1. A CONCISE HANDBOOK OF MATHEMATICS, PHYSICS, AND ENGINEERING SCIENCES K10319_FM.indd 1 9/20/10 4:27:31 PM

2. K10319_FM.indd 2 9/20/10 4:27:32 PM 3. Edited by Andrei D. Polyanin Alexei I. Chernoutsan Authors A.I. Chernoutsan, A.V. Egorov, A.V. Manzhirov, A.D. Polyanin, V.D. Polyanin, V.A. Popov, B.V. Putyatin, Yu.V. Repina, V.M. Safrai, A.I. Zhurov A CONCISE HANDBOOK OF MATHEMATICS, PHYSICS, AND ENGINEERING SCIENCES K10319_FM.indd 3 9/20/10 4:27:32 PM 4. CRC Press Taylor & Francis Group 6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300 Boca Raton, FL 33487-2742 2011 by Taylor and Francis Group, LLC CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business No claim to original U.S. Government works Printed in the United States of America on acid-free paper 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 International Standard Book Number-13: 978-1-4398-0640-1 (Ebook-PDF) This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable efforts have been made to publish reliable data and information, but the author and publisher cannot assume responsibility for the valid- ity of all materials or the consequences of their use. The authors and publishers have attempted to trace the copyright holders of all material reproduced in this publication and apologize to copyright holders if permission to publish in this form has not been obtained. If any copyright material has not been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any future reprint. Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced, transmitted, or uti- lized in any form by any electronic, mechanical, or other means, now known or hereafter invented, including photocopy- ing, microfilming, and recording, or in any information storage or retrieval system, without written permission from the publishers. For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copyright.com (http:// www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that provides licenses and registration for a variety of users. For organizations that have been granted a photocopy license by the CCC, a separate system of payment has been arranged. Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only for identification and explanation without intent to infringe. Visit the Taylor & Francis Web site at http://www.taylorandfrancis.com and the CRC Press Web site at http://www.crcpress.com 5. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page v CONTENTS Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv Editors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii Part I. Mathematics 1 M1. Arithmetic and Elementary Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M1.1. Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M1.1.1. Integer Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M1.1.2. Real, Rational, and Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 M1.2. Equalities and Inequalities. Arithmetic Operations. Absolute Value . . . . . . . . 5 M1.2.1. Equalities and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 M1.2.2. Addition and Multiplication of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 M1.2.3. Ratios and Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 M1.2.4. Percentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 M1.2.5. Absolute Value of a Number (Modulus of a Number) . . . . . . . . . . . . 7 M1.3. Powers and Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 M1.3.1. Powers and Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 M1.3.2. Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 M1.4. Binomial Theorem and Related Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 M1.4.1. Factorials. Binomial Coefcients. Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . 9 M1.4.2. Related Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 M1.5. Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 M1.5.1. Arithmetic Progression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 M1.5.2. Geometric Progression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 M1.6. Mean Values and Some Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 M1.6.1. Arithmetic Mean, Geometric Mean, and Other Mean Values . . . . . . 11 M1.6.2. Inequalities for Mean Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 M1.6.3. Some Inequalities of General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 M1.7. Some Mathematical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 M1.7.1. Proof by Contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 M1.7.2. Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 M1.7.3. Proof by Counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Bibliography for Chapter M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 M2. Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 M2.1. Power, Exponential, and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 M2.1.1. Power Function: y = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 M2.1.2. Exponential Function: y = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 M2.1.3. Logarithmic Function: y = loga x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 M2.2. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 M2.2.1. Trigonometric Circle. Denition of Trigonometric Functions . . . . . . 19 M2.2.2. Graphs of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 M2.2.3. Properties of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page v v 6. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page vi vi CONTENTS M2.3. Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 M2.3.1. Denitions. Graphs of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . 26 M2.3.2. Properties of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 M2.4. Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 M2.4.1. Denitions. Graphs of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 M2.4.2. Properties of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 M2.5. Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 M2.5.1. Denitions. Graphs of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . 33 M2.5.2. Properties of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Bibliography for Chapter M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 M3. Elementary Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 M3.1. Plane Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 M3.1.1. Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 M3.1.2. Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 M3.1.3. Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 M3.2. Solid Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 M3.2.1. Straight Lines, Planes, and Angles in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 M3.2.2. Polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 M3.2.3. Solids Formed by Revolution of Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Bibliography for Chapter M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 M4. Analytic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 M4.1. Points, Segments, and Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 M4.1.1. Cartesian and Polar Coordinates on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 M4.1.2. Distance Between Points. Division of Segment in Given Ratio. Area of a Polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 M4.2. Straight Lines and Points on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 M4.2.1. Equations of Straight Lines on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 M4.2.2. Mutual Arrangement of Points and Straight Lines . . . . . . . . . . . . . . . . 66 M4.3. Quadratic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 M4.3.1. Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 M4.3.2. Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 M4.3.3. Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 M4.3.4. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 M4.3.5. Transformation of Quadratic Curves to Canonical Form . . . . . . . . . . 75 M4.4. Coordinates, Vectors, Curves, and Surfaces in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 M4.4.1. Vectors and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 M4.4.2. Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 M4.4.3. Scalar, Cross, and Scalar Triple Products of Vectors . . . . . . . . . . . . . . 82 M4.5. Line and Plane in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 M4.5.1. Plane in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 M4.5.2. Line in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 M4.5.3. Mutual Arrangement of Points, Lines, and Planes . . . . . . . . . . . . . . . . 91 M4.6. Quadric Surfaces (Quadrics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 M4.6.1. Quadrics and Their Canonical Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 M4.6.2. Quadrics (General Theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Bibliography for Chapter M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page vi 7. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page vii CONTENTS vii M5. Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 M5.1. Polynomials and Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 M5.1.1. Polynomials and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 M5.1.2. Linear and Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 M5.1.3. Cubic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 M5.1.4. Fourth-Degree Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 M5.1.5. Algebraic Equations of Arbitrary Degree and Their Properties . . . . . 108 M5.2. Determinants and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 M5.2.1. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 M5.2.2. Matrices. Types of Matrices. Operations with Matrices . . . . . . . . . . . 114 M5.2.3. Inverse Matrix. Functions of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 M5.2.4. Eigenvalues and Characteristic Equation of a Matrix. The CayleyHamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 M5.3. Systems of Linear Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 M5.3.1. Consistency Condition for a Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 M5.3.2. Finding Solutions of a System of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . 124 M5.4. Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 M5.4.1. Quadratic Forms and Their Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 M5.4.2. Canonical and Normal Representations of a Quadratic Form . . . . . . 129 M5.5. Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 M5.5.1. Concept of a Linear Space. Its Basis and Dimension . . . . . . . . . . . . . 131 M5.5.2. Subspaces of Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 M5.5.3. Coordinate Transformations Corresponding to Basis Transformations in a Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 M5.5.4. Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Bibliography for Chapter M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 M6. Limits and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 M6.1. Basic Concepts of Mathematical Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 M6.1.1. Number Sets. Functions of Real Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 M6.1.2. Limit of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 M6.1.3. Limit of a Function. Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 M6.1.4. Innitely Small and Innitely Large Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 M6.1.5. Continuous Functions. Discontinuities of the First and the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 M6.1.6. Convex and Concave Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 M6.1.7. Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 M6.2. Differential Calculus for Functions of a Single Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 M6.2.1. Derivative and Differential: Their Geometrical and Physical Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 M6.2.2. Table of Derivatives and Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 M6.2.3. Theorems about Differentiable Functions. LHospital Rule . . . . . . . . 153 M6.2.4. Higher-Order Derivatives and Differentials. Taylors Formula . . . . . 154 M6.2.5. Extremal Points. Points of Inection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 M6.2.6. Qualitative Analysis of Functions and Construction of Graphs . . . . . 158 M6.2.7. Approximate Solution of Equations (Root-Finding Algorithms for Continuous Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page vii 8. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page viii viii CONTENTS M6.3. Functions of Several Variables. Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 M6.3.1. Point Sets. Functions. Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 M6.3.2. Differentiation of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 163 M6.3.3. Directional Derivative. Gradient. Geometrical Applications . . . . . . . 166 M6.3.4. Extremal Points of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . 167 M6.3.5. Differential Operators of the Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Bibliography for Chapter M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 M7. Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 M7.1. Indenite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 M7.1.1. Antiderivative. Indenite Integral and Its Properties . . . . . . . . . . . . . . 171 M7.1.2. Table of Basic Integrals. Properties of the Indenite Integral. Examples of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 M7.1.3. Integration of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 M7.1.4. Integration of Irrational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 M7.1.5. Integration of Exponential and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . 179 M7.1.6. Integration of Polynomials Multiplied by Elementary Functions . . . 181 M7.2. Denite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 M7.2.1. Basic Denitions. Classes of Integrable Functions. Geometrical Meaning of the Denite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 M7.2.2. Properties of Denite Integrals and Useful Formulas . . . . . . . . . . . . . 184 M7.2.3. Asymptotic Formulas for the Calculation of Integrals . . . . . . . . . . . . 185 M7.2.4. Mean Value Theorems. Properties of Integrals in Terms of Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 M7.2.5. Geometric and Physical Applications of the Denite Integral . . . . . . 188 M7.2.6. Improper Integrals with Innite Integration Limits . . . . . . . . . . . . . . . 190 M7.2.7. Improper Integrals of Unbounded Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 M7.2.8. Approximate (Numerical) Methods for Computation of Denite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 M7.3. Double and Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 M7.3.1. Denition and Properties of the Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 M7.3.2. Computation of the Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 M7.3.3. Geometric and Physical Applications of the Double Integral . . . . . . 199 M7.3.4. Denition and Properties of the Triple Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 M7.3.5. Computation of the Triple Integral. Some Applications. Iterated Integrals and Asymptotic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 M7.4. Line and Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 M7.4.1. Line Integral of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 M7.4.2. Line Integral of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 M7.4.3. Surface Integral of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 M7.4.4. Surface Integral of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 M7.4.5. Integral Formulas of Vector Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Bibliography for Chapter M7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 M8. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 M8.1. Numerical Series and Innite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 M8.1.1. Convergent Numerical Series and Their Properties. Cauchys Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 M8.1.2. Convergence Criteria for Series with Positive (Nonnegative) Terms 212 M8.1.3. Convergence Criteria for Arbitrary Numerical Series. Absolute and Conditional Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page viii 9. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page ix CONTENTS ix M8.1.4. Multiplication of Series. Some Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 M8.2. Function Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 M8.2.1. Pointwise and Uniform Convergence of Function Series . . . . . . . . . . 215 M8.2.2. Basic Criteria of Uniform Convergence. Properties of Uniformly Convergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 M8.3. Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 M8.3.1. Radius of Convergence of Power Series. Properties of Power Series 218 M8.3.2. Taylor and Maclaurin Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 M8.3.3. Operations with Power Series. Summation Formulas for Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 M8.4. Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 M8.4.1. Representation of 2-Periodic Functions by Fourier Series. Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 M8.4.2. Fourier Expansions of Periodic, Nonperiodic, Even, and Odd Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 M8.4.3. Criteria of Uniform and Mean-Square Convergence of Fourier Series 226 Bibliography for Chapter M8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 M9. Functions of Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 M9.1. Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 M9.1.1. Denition of a Complex Number. Arithmetic Operations with Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 M9.1.2. Trigonometric Form of Complex Numbers. Powers and Radicals . . 230 M9.2. Functions of Complex Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 M9.2.1. Basic Concepts. Differentiation of a Function of a Complex Variable 231 M9.2.2. Integration of Functions of Complex Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 M9.2.3. Taylor and Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 M9.2.4. Zeros and Isolated Singularities of Analytic Functions . . . . . . . . . . . . 243 M9.2.5. Residues. Calculation of Denite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Bibliography for Chapter M9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 M10. Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 M10.1. General Form of Integral Transforms. Inversion Formulas . . . . . . . . . . . . . . . 251 M10.2. Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 M10.2.1. Laplace Transform and the Inverse Laplace Transform . . . . . . . . . 251 M10.2.2. Main Properties of the Laplace Transform. Inversion Formulas for Some Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 M10.2.3. Limit Theorems. Representation of Inverse Transforms as Convergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 M10.3. Various Forms of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 M10.3.1. Fourier Transform and the Inverse Fourier Transform . . . . . . . . . . 255 M10.3.2. Fourier Cosine and Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 M10.4. Mellin Transform and Other Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 M10.4.1. Mellin Transform and the Inversion Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 M10.4.2. Main Properties of the Mellin Transform. Relation Among the Mellin, Laplace, and Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 M10.4.3. Summary Table of Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Bibliography for Chapter M10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page ix 10. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page x x CONTENTS M11. Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 M11.1. First-Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 M11.1.1. General Concepts. The Cauchy Problem. Uniqueness and Existence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 M11.1.2. Equations Solved for the Derivative. Simplest Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 M11.1.3. Exact Differential Equations. Integrating Factor . . . . . . . . . . . . . . . 265 M11.1.4. Riccati Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 M11.1.5. Equations Not Solved for the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 M11.1.6. Approximate Analytic Methods for Solution of Equations . . . . . . 269 M11.1.7. Numerical Integration of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 270 M11.2. Second-Order Linear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 M11.2.1. Formulas for the General Solution. Some Transformations . . . . . . 271 M11.2.2. Representation of Solutions as a Series in the Independent Variable 274 M11.2.3. Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 M11.2.4. Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 M11.3. Second-Order Nonlinear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 M11.3.1. Form of the General Solution. Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . 281 M11.3.2. Equations Admitting Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 M11.3.3. Methods of Regular Series Expansions with Respect to the Independent Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 M11.3.4. Perturbation Methods in Problems with a Small Parameter . . . . . . 284 M11.3.5. Galerkin Method and Its Modications (Projection Methods) . . . . 287 M11.3.6. Iteration and Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 M11.4. Linear Equations of Arbitrary Order and Linear Systems of Equations . . . . . 292 M11.4.1. Linear Equations with Constant Coefcients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 M11.4.2. Linear Equations with Variable Coefcients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 M11.4.3. Systems of Linear Equations with Constant Coefcients . . . . . . . . 298 M11.5. Nonlinear Equations of Arbitrary Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 M11.5.1. Structure of the General Solution. Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . 301 M11.5.2. Equations Admitting Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Bibliography for Chapter M11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 M12. Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 M12.1. First-Order Quasilinear Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 M12.1.1. Characteristic System. General Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 M12.1.2. Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 M12.2. Classication of Second-Order Linear Partial Differential Equations . . . . . . 307 M12.2.1. Equations with Two Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 M12.2.2. Equations with Many Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 M12.3. Basic Problems for Linear Equations of Mathematical Physics . . . . . . . . . . . 311 M12.3.1. Initial and Boundary Conditions. Cauchy Problem. Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 M12.3.2. First, Second, Third, and Mixed Boundary Value Problems . . . . . 313 M12.4. Properties and Exact Solutions of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 M12.4.1. Homogeneous Linear Equations and Their Particular Solutions . . 314 M12.4.2. Nonhomogeneous Linear Equations and Their Particular Solutions 319 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page x 11. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xi CONTENTS xi M12.5. Method of Separation of Variables (Fourier Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 M12.5.1. Solution of Problems for Parabolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 M12.5.2. Solution of Problems for Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 324 M12.5.3. Solution of Problems for Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 M12.6. Integral Transforms Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 M12.6.1. Laplace Transform and Its Application to Linear Mathematical Physics Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 M12.6.2. Fourier Transform and Its Application for Linear Equations of Mathematical Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 M12.7. Boundary Value Problems for Parabolic Equations with One Space Variable. Greens Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 M12.7.1. Representation of Solutions via the Greens Function . . . . . . . . . . 332 M12.7.2. Problems for Parabolic Equation (x) w t = x p(x) w x q(x)w + (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 M12.8. Boundary Value Problems for Hyperbolic Equations with One Space Variable. Greens Function. Goursat Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 M12.8.1. Representation of Solutions in terms of the Greens Function . . . . 336 M12.8.2. Problems for Hyperbolic Equation (x) 2 w t2 = x p(x) w x q(x)w+ (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 M12.8.3. Goursat Problem (a Problem with Initial Data of Characteristics) 340 M12.9. Boundary Value Problems for Elliptic Equations with Two Space Variables 342 M12.9.1. Problems and the Greens Functions for Equation a(x) 2w x2 + 2w y2 + b(x) w x + c(x)w = (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 M12.9.2. Representation of Solutions to Boundary Value Problems via the Greens Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 M12.9.3. Solutions of Problems for the Laplace Equation in the Polar Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 M12.10. Problems with Many Space Variables. Representation of Solutions via Greens Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 M12.10.1. Boundary Value Problems for Parabolic Equations . . . . . . . . . . . 345 M12.10.2. Boundary Value Problems for Hyperbolic Equations . . . . . . . . . 347 M12.10.3. Boundary Value Problems for Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . 348 M12.10.4. Construction of the Greens Functions. General Formulas and Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 M12.11. Duhamels Principles in Nonstationary Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 M12.11.1. Problems for Homogeneous Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . 349 M12.11.2. Problems for Nonhomogeneous Linear Equations . . . . . . . . . . . . 351 Bibliography for Chapter M12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 M13. Special Functions and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 M13.1. Some Coefcients, Symbols, and Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 M13.1.1. Factorials. Binomial Coefcients. Pochhammer Symbol . . . . . . . . 355 M13.1.2. Bernoulli Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 M13.2. Error Functions. Exponential and Logarithmic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 M13.2.1. Error Function and Complementary Error Function . . . . . . . . . . . . 356 M13.2.2. Exponential Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 M13.2.3. Logarithmic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xi 12. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xii xii CONTENTS M13.3. Sine Integral and Cosine Integral. Fresnel Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 M13.3.1. Sine Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 M13.3.2. Cosine Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 M13.3.3. Fresnel Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 M13.4. Gamma Function, Psi Function, and Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 M13.4.1. Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 M13.4.2. Psi Function (Digamma Function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 M13.4.3. Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 M13.5. Incomplete Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 M13.5.1. Integral Representations. Recurrence Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . 361 M13.5.2. Expansions as x 0 and x . Relation to Other Functions 362 M13.6. Bessel Functions (Cylinder Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 M13.6.1. Denitions and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 M13.6.2. Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . 364 M13.7. Modied Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 M13.7.1. Denitions. Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 M13.7.2. Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . 366 M13.8. Degenerate Hypergeometric Functions (Kummer Functions) . . . . . . . . . . . . . 367 M13.8.1. Denitions and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 M13.8.2. Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . 370 M13.9. Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 M13.9.1. Complete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 M13.9.2. Incomplete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 M13.10. Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 M13.10.1. Legendre Polynomials and Legendre Functions . . . . . . . . . . . . . . 373 M13.10.2. Laguerre Polynomials and Generalized Laguerre Polynomials . 375 M13.10.3. Chebyshev Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 M13.10.4. Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Bibliography for Chapter M13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 M14. Probability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 M14.1. Basic Concepts and Simplest Probabilistic Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 M14.1.1. Rules and Formulas of Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 M14.1.2. Probabilities of Random Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 M14.1.3. Conditional Probability. Total Probability Formula . . . . . . . . . . . . 382 M14.1.4. Sequence of Trials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 M14.2. Random Variables and Their Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 M14.2.1. One-Dimensional Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 M14.2.2. Expectation, Variance and Moments of a Random Variable . . . . . 388 M14.2.3. Main Discrete Distributions and Their Numerical Characteristics 390 M14.2.4. Main Continuous Distributions and Their Numerical Characteris- tics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 M14.2.5. Two-dimensional and Multivariate Random Variables . . . . . . . . . . 396 M14.3. Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 M14.3.1. Convergence of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 M14.3.2. Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Bibliography for Chapter M14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xii 13. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xiii CONTENTS xiii Part II. Physics 403 P1. Physical Foundations of Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 P1.1. Kinematics of a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 P1.1.1. Basic Denitions. Velocity and Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 P1.1.2. The Direct and Inverse Problems of Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 P1.1.3. Circular Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 P1.1.4. Relativity of Motion. Addition of Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 P1.2. Kinematics of a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 P1.2.1. Translational and Rotational Motion. Plane Motion . . . . . . . . . . . . . . . 408 P1.2.2. Instantaneous Axis of Rotation. Addition of Angular Velocities. Motion Relative to a Rotational Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 P1.3. Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 P1.3.1. Newtons First Law. Mass. Momentum. Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 P1.3.2. Newtons Second and Third Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 P1.3.3. Action at a Distance. Causality. Natural Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 P1.3.4. Galilean Relativity Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 P1.4. Law of Conservation of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 P1.4.1. Center of Mass. Momentum of a System of Particles . . . . . . . . . . . . . . 413 P1.4.2. Law of Conservation of Momentum. Motion of Center of Mass . . . . 414 P1.5. Law of Conservation of Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 P1.5.1. Work and Power. Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 P1.5.2. Conservative Forces. Potential Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 P1.5.3. Mechanical Energy of a System of Particles. Law of Conservation of Mechanical Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 P1.5.4. Potential Curves. Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 P1.6. Law of Conservation of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 P1.6.1. Moment of Force. Net Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 P1.6.2. Angular Momentum of a Particle. Motion in Central Field . . . . . . . . . 421 P1.6.3. Conservation of Angular Momentum for a System of Particles . . . . . 423 P1.6.4. Two-Body Problem. Reduced Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 P1.7. Gravitational Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 P1.7.1. Law of Universal Gravitation. Superposition Principle . . . . . . . . . . . . 425 P1.7.2. Strength and Potential of Gravitational Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 P1.7.3. Motion in a Central Field of Gravity. Keplers Laws. Orbital and Escape Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 P1.8. Non-Inertial Reference Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 P1.8.1. Denition of Fictitious Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 P1.8.2. Translationally Moving Non-Inertial Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 P1.8.3. Uniformly Rotating Reference Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 P1.9. Dynamics of Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 P1.9.1. Rotation About a Fixed Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 P1.9.2. Properties of Moment of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 P1.9.3. Plane Motion of a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 P1.9.4. Motion with a Fixed Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 P1.10. Special Theory of Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 P1.10.1. Basics of the Special Theory of Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 P1.10.2. Consequences of the Lorentz Transformations. STR Kinematics . . 435 P1.10.3. STR Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 Bibliography for Chapter P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xiii 14. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xiv xiv CONTENTS P2. Molecular Physics and Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 P2.1. Basic Principles and Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 P2.1.1. Two Approaches to Studying Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 P2.1.2. Equation of State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 P2.2. First Law of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 P2.2.1. Quantity of Heat. Internal Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 P2.2.2. First Law of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 P2.2.3. First Law of Thermodynamics for an Ideal Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 P2.3. Second Law of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 P2.3.1. Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 P2.3.2. Carnots Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 P2.3.3. Calculation of the Internal Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 P2.4. Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 P2.4.1. Clausius Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 P2.4.2. Denition of Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 P2.4.3. Direction of Non-Equilibrium Processes in a Thermally Insulated System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 P2.4.4. Statistical Meaning of Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 P2.4.5. Third Law of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 P2.4.6. Thermodynamic Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 P2.5. Kinetic Theory of Ideal Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 P2.5.1. The Basic Equation of the Kinetic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 P2.5.2. Temperature and Energy of an Ideal Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 P2.5.3. Maxwells Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 P2.5.4. Boltzmanns Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 P2.6. Real Gases. Van Der Waals Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 P2.6.1. Isotherms of a Real Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 P2.6.2. Van Der Waals Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 P2.7. Phase Equilibrium. Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 P2.7.1. Conditions for Phase Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 P2.7.2. First-Order Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 P2.8. Surface Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 P2.8.1. Surface Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 P2.8.2. Additional Pressure Under a Curved Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 P2.8.3. Wetting. Capillary Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 P2.9. Transfer Phenomena in Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 P2.9.1. Collision of Molecules in a Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 P2.9.2. Qualitative Model of Transfer Phenomena in Gases . . . . . . . . . . . . . . . 465 Bibliography for Chapter P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 P3. Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 P3.1. Electric Charge. Coulombs Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 P3.1.1. Electric Charge and Its Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 P3.1.2. Coulombs Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 P3.2. Electric Field. Strength and Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 P3.2.1. Strength of Electric Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 P3.2.2. Potential of an Electrostatic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xiv 15. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xv CONTENTS xv P3.3. Gausss Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 P3.3.1. Statement of the Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 P3.3.2. Application of Gausss Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 P3.4. Conductors and Capacitors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 P3.4.1. Electrostatics of Conductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 P3.4.2. Capacitors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 P3.5. Electrostatics of Dielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 P3.5.1. Polarization of Dielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 P3.5.2. Types of Dielectric and Polarization Mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 P3.6. Energy of Electrostatic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 P3.6.1. Energy of a System of Charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 P3.6.2. Energy of an Electrostatic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 P3.7. Direct Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 P3.7.1. Electric Current in a Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 P3.7.2. Current in a Closed Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 P3.7.3. Classical Free-Electron Theory of Metals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 P3.8. Constant Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 P3.8.1. Lorentz Force and Amp`ere Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 P3.8.2. Calculation of Magnetic Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 P3.8.3. Amp`eres Circuital Law and Flux of Magnetic Induction . . . . . . . . . . 496 P3.9. Magnetic Field in Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 P3.9.1. Magnetization. Molecular Currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 P3.9.2. Types of Magnetic Materials and Magnetization Mechanisms . . . . . . 500 P3.10. Electromagnetic Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 P3.10.1. Faradays Law of Electromagnetic Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 P3.10.2. Self-Induction and Mutual Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 P3.10.3. Energy of Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 P3.11. Maxwells Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 P3.11.1. Maxwells Equations in Vacuum and Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 P3.11.2. Law of Conservation of Energy for Electromagnetic Fields . . . . . . 508 P3.11.3. Relativistic Properties of Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 Bibliography for Chapter P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 P4. Oscillations and Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 P4.1. Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 P4.1.1. Harmonic Oscillations. Composition of Oscillations . . . . . . . . . . . . . . 511 P4.1.2. Free Undamped Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 P4.1.3. Damped and Forced Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 P4.2. Wave Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 P4.2.1. Elastic and Acoustic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 P4.2.2. Electromagnetic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 Bibliography for Chapter P4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 P5. Optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 P5.1. Geometric Optics. Radiometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 P5.1.1. Geometric Optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 P5.1.2. Radiometry and Photometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xv 16. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xvi xvi CONTENTS P5.2. Wave Properties of Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 P5.2.1. Interference of Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 P5.2.2. Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 P5.3. Interaction Between Light and Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 P5.3.1. Light Polarization. Fresnel Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 P5.3.2. Light Dispersion and Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 P5.4. Foundations of Quantum Optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 P5.4.1. Thermal Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 P5.4.2. Light Quanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 P5.4.3. Principle of Laser Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 Bibliography for Chapter P5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 P6. Quantum Mechanics. Atomic Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 P6.1. Atomic Structure. Bohr Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 P6.1.1. Nuclear Atomic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 P6.1.2. Bohr Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 P6.2. Elements of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 P6.2.1. Wave Function. Uncertainty Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 P6.2.2. The Schrodinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 P6.2.3. Operator Approach in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 P6.2.4. Motion in a Central Field. Hydrogen Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 P6.2.5. Electron Spin and Fine Structure of the Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 P6.3. Structure and Spectra of Complex Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 P6.3.1. Pauli Exclusion Principle. Structure of Complex Atoms . . . . . . . . . . . 586 P6.3.2. Spectra of Complex Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 P6.4. Elements of Physics of Molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 P6.4.1. Classication of Levels of a Molecule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 P6.4.2. Electron Energy. Theory of Chemical Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 P6.4.3. Vibrational and Rotational Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 Bibliography for Chapter P6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 P7. Quantum Theory of Crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 P7.1. Quantum Statistical Distributions and Their Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 P7.1.1. Elements of Quantum Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 P7.1.2. Electron Gas in Metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 P7.1.3. Heat Capacity of Crystal Lattice. Phonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 P7.2. Electrons in a Periodic Field. Energy Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 P7.2.1. Qualitative Theory of Energy Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 P7.2.2. Quantum Mechanical Description of Energy Regions . . . . . . . . . . . . . 611 P7.2.3. Dynamics of Electron in Crystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 P7.2.4. Band Theory of Semiconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 Bibliography for Chapter P7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 P8. Elements of Nuclear Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 P8.1. Basic Properties of Nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 P8.1.1. Characteristics of Nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 P8.1.2. Nuclear Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 P8.1.3. Nuclear Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xvi 17. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xvii CONTENTS xvii P8.2. Nuclear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 P8.2.1. Radioactivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 P8.2.2. Nuclear Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 P8.3. Nuclear Power Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 P8.3.1. Nuclear Fission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 P8.3.2. Fusion Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 P8.4. Subatomic Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 P8.4.1. Classes of Subatomic Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 P8.4.2. Characteristics of Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 P8.4.3. Interaction Unication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 Bibliography for Chapter P8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 Part III. Elements of Applied and Engineering Sciences 653 E1. Dimensions and Similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 E1.1. Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 E1.1.1. Basic and Derived Units of Measurement. Systems of Units of Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 E1.1.2. Dimensional and Dimensionless Quantities. Dimensional Formula . . 655 E1.2. The -Theorem and Its Practical Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 E1.2.1. The -Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 E1.2.2. Simplest Examples of the Use of the -Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 E1.3. Similarity and Simulation. General Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 E1.3.1. Similarity and Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 E1.3.2. General Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 Bibliography for Chapter E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 E2. Mechanics of Point Particles and Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 E2.1. Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 E2.1.1. Kinematics of a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 E2.1.2. Kinematics of a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 E2.1.3. Plane-Parallel (Plane) Motion of a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 E2.1.4. Arbitrary Motion of a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 E2.1.5. Compound Motion of a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 E2.1.6. Compound Motion of a Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 E2.2. Basic Notions and Laws of Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 E2.2.1. Basic Notions of Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 E2.2.2. Basic Laws of Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 E2.3. Statics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690 E2.3.1. Basic Laws and Theorems of Statics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690 E2.3.2. Balance Conditions for a System of Forces Applied to a Rigid Body 692 E2.3.3. Solution of the Problems of Statics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 E2.3.4. Center of Parallel Forces. Center of Gravity of a Rigid Body . . . . . . . 698 E2.3.5. Distributed Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 E2.3.6. Friction Laws (Coulomb Laws) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 E2.4. Dynamics of a Point Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701 E2.4.1. Equations of Motion of a Point Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701 E2.4.2. First and Second Problems of Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xvii 18. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xviii xviii CONTENTS E2.5. General Theorems of Dynamics of a Mechanical System . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 E2.5.1. Basic Notions and Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 E2.5.2. Theorem on the Motion of the Center of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 E2.5.3. Theorem on the Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 E2.5.4. Theorem on the Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 E2.5.5. Theorem on the Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712 E2.6. Elements of Analytical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 E2.6.1. DAlemberts Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 E2.6.2. Classication of Mechanical Constraints. Generalized Coordinates . 718 E2.6.3. Principle of Virtual Displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 E2.6.4. General Equation of Dynamics (dAlembertLagrange Principle) . . . 722 E2.6.5. Lagrange Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 E2.7. Small Oscillations of Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 E2.7.1. Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 E2.7.2. Small Oscillations of a Conservative System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 E2.7.3. Normal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 E2.7.4. Inuence of Small Dissipative Forces on System Oscillations . . . . . . 728 E2.7.5. Forced Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 E2.8. Dynamics of an Absolutely Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730 E2.8.1. Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730 E2.8.2. Plane-Parallel (Plane) Motion of a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 E2.8.3. Motion of a Rigid Body about a Fixed Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 E2.8.4. Elementary Theory of Gyroscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737 E2.9. Elementary Theory of Impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 Bibliography for Chapter E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 E3. Elements of Strength of Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745 E3.1. Basic Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745 E3.1.1. Introduction. External and Internal Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745 E3.1.2. Stresses and Strains at a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 E3.1.3. Basic Notions and Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 E3.2. StressStrain State at a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 E3.2.1. Types of Stress State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 E3.2.2. Uniaxial Tension and Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 E3.2.3. Simple Shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 E3.3. Central Tension and Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 E3.3.1. Longitudinal Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 E3.3.2. Stresses and Strains under Tension or Compression . . . . . . . . . . . . . . . 751 E3.3.3. Strength Analysis under Tension and Compression . . . . . . . . . . . . . . . . 752 E3.4. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 E3.4.1. Twisting Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 E3.4.2. Stresses and Strains in Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 E3.4.3. Strength Analysis in Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 E3.5. Symmetrical Bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 E3.5.1. Bending Moment and Transverse Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 E3.5.2. Stresses and Strains under Symmetric Pure Bending . . . . . . . . . . . . . . 758 E3.5.3. Stresses and Strains in Symmetric Lateral Bending . . . . . . . . . . . . . . . 760 E3.5.4. Strength Analysis in the Case of Symmetric Bending . . . . . . . . . . . . . . 761 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xviii 19. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xix CONTENTS xix E3.6. Combined Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 E3.6.1. Oblique Bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 E3.6.2. Eccentric Extension or Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765 E3.6.3. Bending with Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 E3.7. Stability of Compressed Rods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 E3.7.1. Critical Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 E3.7.2. Euler Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 E3.7.3. Inuence of Methods for Fixation of the Rod Ends on the Value of the Critical Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770 E3.7.4. Scope of the Euler Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770 E3.7.5. Stability Analysis of Compressed Rods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 Bibliography for Chapter E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 E4. Hydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 E4.1. Hydrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 E4.1.1. Properties of Incompressible Fluid at Rest. Basic Law of Hydrostatics 773 E4.1.2. Force of Pressure on a Plane and on a Curved Wall . . . . . . . . . . . . . . . 774 E4.1.3. Archimedes Principle. Stability of Floating Bodies . . . . . . . . . . . . . . . 777 E4.2. Hydrodynamic Equations and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 E4.2.1. Laminar Flows. NavierStokes Equations. Euler Equations . . . . . . . . 779 E4.2.2. Initial Conditions and the Simplest Boundary Conditions . . . . . . . . . . 781 E4.2.3. Turbulent Flows. Reynolds Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 E4.3. Hydrodynamics of Thin Films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 E4.3.1. Preliminary Remarks. Different Regimes of Film Type Flow . . . . . . . 784 E4.3.2. Films on an Inclined Plane and on a Cylindrical Surface . . . . . . . . . . . 785 E4.4. Fluid Flows in Tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786 E4.4.1. Laminar Flows in Tubes of Various Cross-Sections . . . . . . . . . . . . . . . 786 E4.4.2. Turbulent Flows in Tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791 E4.5. Hydrodynamic Boundary Layers on a Flat Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 E4.5.1. Laminar Boundary Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 E4.5.2. Turbulent Boundary Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798 E4.6. Spherical Particles and Circular Cylinders in Translational Flow . . . . . . . . . . . 800 E4.6.1. Stokes Equations and Their Solution for the Axisymmetric Case . . . . 800 E4.6.2. Spherical Particles in Translational Stokes Flow (at Re 0) . . . . . . . 802 E4.6.3. Spherical Particles in Translational Flow in a Wide Range of Re . . . . 803 E4.6.4. Translational Flow Past a Cylinder (the Plane Problem) . . . . . . . . . . . . 804 E4.7. Spherical Drops and Bubbles in Translational Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 E4.7.1. Spherical Drops and Bubbles in Translational Stokes Flow (at Re 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 E4.7.2. Spherical Drops and Bubbles in Translational Flow at Various Reynolds Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808 E4.8. Flow Past Nonspherical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809 E4.8.1. Translational Stokes Flow Past Ellipsoidal Particles . . . . . . . . . . . . . . . 809 E4.8.2. Translational Stokes Flow Past Bodies of Revolution . . . . . . . . . . . . . . 811 E4.8.3. Translational Stokes Flow Past Particles of Arbitrary Shape . . . . . . . . 812 E4.8.4. Sedimentation of Isotropic and Nonisotropic Particles . . . . . . . . . . . . . 814 E4.8.5. Flow Past Nonspherical Particles at Various Reynolds Numbers . . . . 815 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xix 20. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xx xx CONTENTS E4.9. Motion of Several Particles. Effective Viscosity of Suspensions . . . . . . . . . . . 816 E4.9.1. Motion of Two Spheres. Gravitational Sedimentation of Several Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816 E4.9.2. Rate of Suspension Precipitation. Effective Viscosity of Suspensions 818 Bibliography for Chapter E4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 E5. Mass and Heat Transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 E5.1. Convective Mass and Heat Transfer. Equations and Boundary Conditions . . . 821 E5.1.1. Mass and Heat Transfer in Laminar Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 E5.1.2. Basic Dimensionless Parameters. Diffusion Fluxes and the Sherwood Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 E5.1.3. Mass and Heat Transfer in Turbulent Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825 E5.2. Mass Transfer in Liquid Films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 E5.2.1. Mass Exchange Between Gases and Liquid Films . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 E5.2.2. Dissolution of a Plate by a Laminar Liquid Film . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829 E5.3. Heat Transfer to a Flat Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831 E5.3.1. Heat Transfer in Laminar Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831 E5.3.2. Heat Transfer in Turbulent Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832 E5.4. Convective Heat and Mass Transfer in Tubes and Channels . . . . . . . . . . . . . . . 834 E5.4.1. Heat and Mass Transfer in a Circular Tube with Constant Temperature of the Wall for Laminar Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834 E5.4.2. Heat and Mass Transfer in a Circular Tube with Constant Heat Flux at the Wall for Laminar Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838 E5.4.3. Heat and Mass Transfer in Plane Channels for Laminar Flows . . . . . . 839 E5.4.4. Turbulent Heat Transfer in Circular Tube and Plane Channel . . . . . . . 841 E5.4.5. Limit Nusselt Numbers for Tubes of Various Cross-Sections . . . . . . . 843 E5.5. Interior Heat Problems for Solid Bodies of Various Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . 845 E5.5.1. Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 E5.5.2. Bulk Temperature for Bodies of Various Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 E5.6. Mass and Heat Exchange Between Particles of Various Shapes and a Quiescent Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847 E5.6.1. Stationary Mass and Heat Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847 E5.6.2. Transient Mass and Heat Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849 E5.7. Mass and Heat Transfer to a Spherical Particle in a Translational Flow . . . . . 850 E5.7.1. Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850 E5.7.2. Mass Transfer at Low Reynolds Numbers and Various Peclet Numbers 851 E5.7.3. Mass Transfer at Moderate and High Reynolds Numbers . . . . . . . . . . 852 E5.8. Mass and Heat Transfer to Spherical Drops and Bubbles in Translational Flow 853 E5.8.1. Statement of the Problem. Some Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853 E5.8.2. Mass Transfer at Low Reynolds Numbers and Various Peclet Numbers 853 E5.8.3. Mass Transfer at Moderate and High Reynolds Numbers . . . . . . . . . . 855 E5.8.4. General Correlations for the Sherwood Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855 E5.9. Mass Transfer to Nonspherical Particles in Translational Flow . . . . . . . . . . . . . 856 E5.9.1. Mass and Heat Transfer to a Particle of Arbitrary Shape at Low Peclet Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856 E5.9.2. Mass Transfer to a Ellipsoidal Particle in Translational Flow . . . . . . . 857 E5.9.3. Mass Transfer to Particles of Arbitrary Shape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 E5.9.4. Mass and Heat Transfer to a Circular Cylinder in Translational Flow 859 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xx 21. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xxi CONTENTS xxi E5.10. Transient Mass Transfer to Particles, Drops, and Bubbles in Steady-State Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 E5.10.1. Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 E5.10.2. General Correlations for the Sherwood Number . . . . . . . . . . . . . . . . 861 Bibliography for Chapter E5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862 E6. Electrical Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865 E6.1. Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865 E6.1.1. Introduction. Basic Notions, Denitions, and Notation . . . . . . . . . . . . 865 E6.1.2. Perfect Elements. Active and Passive Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866 E6.1.3. Electric Circuits and Networks. Classication of Electric Circuits and Their Operation Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867 E6.1.4. Structure Elements of Network. Notion of the Graph of a Network . . 868 E6.1.5. Physical Laws for Structure Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868 E6.1.6. Problems of Analysis and Synthesis of a Network. An Analysis of a Network by Physical Laws. Potential Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869 E6.2. Linear Circuits of Direct Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871 E6.2.1. Power of Direct Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871 E6.2.2. Notion of Nonideal Source. Equivalent Circuits and External Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 E6.2.3. Problem of Maximal Power Transfer. The Source Efciency Factor . 874 E6.2.4. Theorem on Active Impedor (Two-Terminal Network) and Its Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875 E6.2.5. Two Compensation Theorems. Properties of Linear Circuits: Linearity Theorem and Reciprocity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876 E6.2.6. Equivalent Transformations in Electrical Networks . . . . . . . . . . . . . . . 877 E6.2.7. Application of Equivalent Transformations in Network Analysis. Convolution Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878 E6.2.8. Superposition Principle. The Notion of Input and Transfer Conductances (Admittances) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880 E6.2.9. Concise Methods for Analyzing Electric Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . 881 E6.3. Nonlinear Electric Circuits of Direct Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884 E6.3.1. Notion of a Nonlinear Element. Several Typical Characteristics of Nonlinear Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884 E6.3.2. Equivalent Transformations of Characteristics of Nonlinear Elements 886 E6.3.3. Graphical Method for Analyzing Circuits with Nonlinear Elements . 887 E6.4. Magnetic Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890 E6.4.1. Magnetic Field and Its Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890 E6.4.2. Amp`eres Circuital Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891 E6.4.3. Ohms Law for Magnetic Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892 E6.4.4. Ferromagnetic Materials and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893 E6.4.5. Kirchhoffs Laws for Magnetic Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894 E6.4.6. Analysis of an Unbranched Magnetic Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896 E6.4.7. Analysis of a Branched Magnetic Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 E6.4.8. Analysis of a Branched Homogeneous Magnetic Circuit with Permanent Magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899 E6.5. Single-Phase Harmonic Current Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900 E6.5.1. Effective and Average Values of Sinusoidal Quantities . . . . . . . . . . . . 900 E6.5.2. Representation of Sinusoidal Quantities by Vectors on Complex Plane 901 E6.5.3. Active Resistance in a Sinusoidal Current Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . 904 K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xxi 22. K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xxii xxii CONTENTS E6.5.4. Inductance in a Sinusoidal Current Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 E6.5.5. Capacitance in a Sinusoidal Current Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906 E6.