A Coes Decont
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8/17/2019 A Coes Decont
1/47
Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
AÇÕES DE CONTROLEAÇÕES DE CONTROLE
■ Ações de Controle■ Relação Controlador/Planta■ Controlador proporcional■ Efeito integral■ Efeito derivativo■ Controlador PID
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
Ações comuns de controleAções comuns de controle
Ações mais comuns:• tipo liga-desliga (duas posições)• proporcional• proporcional-integral• proporcional-derivativo• proporcional-integral-derivativo
K(s) P(s)
R(s) E(s) U(s) Y(s)
-
■ Ação de controle: o tipo de processamento que o controladorrealiza sobre o sinal de erro para gerar o sinal aplicado à planta
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
Controle em malha fechadaControle em malha fechada
■ Cálculo da função de transferência de malha fechada
G(s)
R(s) E(s) Y(s)
-)()()())(1(
)()()()()(
)()()()()()(
s RsGsY sGsY sGs RsGsY
sY s Rs E
s E sGsY
=+−=
−==
)()(1
)()( s RsG
sGsY
+=
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
Achando a FT de malha fechadaAchando a FT de malha fechada
■ Considerando o numerador e o denominador da FT
G(s)R(s) E(s) Y(s)
-
)(1)(
)()(
sGsG
s RsY
+=
)()(
)(
)(
)(
s N s D
s N
s R
sY
+=
)()(
1
)()(
)()(
s D
s N s Ds N
s RsY
+
=
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
Possui duasposições fixas
Elementoatuante
Geralmente sãosolenóides
• Intervalo de tempoentre ligado e desligad<
>=0 )(desligadoM
0 (ligado)M2
1
E
E U
• Faz com que a saída controlador mantenhaseu valor atual até quesinal erro atuante tenhatingido um certo valo
Ação de duas posições (liga-desliga)Ação de duas posições (liga-desliga)
P(s)
R(s) E(s) U(s) Y(s)
-
histerese diferencial
Obs: É um métodoprimitivo de controle
-
8/17/2019 A Coes Decont
6/47Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
Exemplo: Sistema de controle de nível de líquidoExemplo: Sistema de controle de nível de líquido
Quanto menor ointervalo diferencial
Maior é a freqüência demovimentos Liga-Desliga
-
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7/47Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
■ A ação de controle é proporcional ao erro
Ação ProporcionalAção Proporcional
Kp
R(s) E(s) U(s)
Y(s)-
)()( t eK t u p=
pK s E sU =)( )(
-
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8/47Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
■ A ação de controle é proporcional à integral do erro■ É sempre usada em conjunto com a ação proporcional
( ) ( )∫ = t
I dt t eK t u 0
( )( ) s
K s E sU I =
Ação IntegralAção Integral
R(s) E(s) U(s)
Y(s)-s
K I
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
■ A ação de controle é proporcional ao erro e à sua integral
( )( ) s
K sK s E sU I P +=
Ação Proporcional IntegralAção Proporcional Integral
R(s) E(s) U(s)
Y(s)-s
K K I P +
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
■ Ação de controle é proporcional à derivada do erro■ É sempre usada em conjunto com a ação proporcional(obs: notar que é uma FT imprópria)
( ) ( )dt
t deK t u D=
( )( )
sK s E sU
D=
Ação DerivativaAção Derivativa
R(s) E(s) U(s)
Y(s)-
sK D
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
■ Ação de controle é proporcional ao erro e à derivada
do erro (também imprópria)
( )( ) sK K s E sU
D p +=
Ação Proporcional DerivativaAção Proporcional Derivativa
R(s) E(s) U(s)
Y(s)-
sK K DP
+
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
■ Ação de controle é proporcional ao erro, à integral e à
derivada do erro (controlador PID)(também imprópria)
( )( ) s
K sK sK s E sU I P D ++=
2
Ação Proporcional Integral DerivativaAção Proporcional Integral Derivativa
R(s) E(s) U(s)
Y(s)-s
K sK K
I DP ++
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em malhafechada com realimentação unitária para controladoresproporcional (P) e proporcional derivativo (PD) para uma plantaque representa uma inérciaJ .
( ) 21)( )( JssU sY sP ==
Exemplo: Controle de posição de uma inérciaExemplo: Controle de posição de uma inércia
θ= J T
-
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■ O DB abaixo representa o controlador proporcional comrealimentação unitária negativa
R(s) E(s) U(s) Y(s)
-PK 2
1 Js
Exemplo: Diagrama de blocos controlador PExemplo: Diagrama de blocos controlador P
-
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■ Fechando a malha do DB anterior encontra-se aseguinte FT
■ Observa-se que houve uma variação• no ganho estático
• um deslocamento do pólo
Exemplo: FT de malha fechadaExemplo: FT de malha fechada
1)0( ==s RY
J
K j p±=λ
∞== )0(sU Y
0=λ
p
p
K Js
K
s RsY
+= 2)(
)(
-
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■ Considerando a TL do degrau (1/s ), a resposta seráportanto
■ Encontrando a TIL, obtém-se
Exemplo: Resposta ao degrau unitárioExemplo: Resposta ao degrau unitário
0p/ cos1 ≥
t t J
K -
p
)()()(
2 p
p
K Jss
K
s RsY
+=
-
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■ A curva do gráfico apresenta a resposta ao degrau para dois valores da
constante proporcional (Kp=2 e Kp=20), considerandoJ = 1 .
A resposta oscila com freqüência
maior quanto maior é o Kp e o sobressinal é grande
Exemplo: Traçando as respostasExemplo: Traçando as respostas
-
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■ O DB abaixo representa o controlador proporcional comrealimentação unitária negativa
R(s) E(s) U(s) Y(s)
-
sK K DP + 21
Js
Exemplo: Diagrama de blocos controlador PDExemplo: Diagrama de blocos controlador PD
-
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■ Fechando a malha do DB anterior encontra-se aseguinte FT
■ Observa-se que houve uma variação• no ganho estático
• um deslocamento do pólo
Exemplo: FT de malha fechada com controlador PDExemplo: FT de malha fechada com controlador PD
1)0( ==s R
Y
J
JK K K p D D
2
42 −±−=λ
∞== )0(sU
Y
0=λ
p D
p D
K sK Js
K sK
s RsY
+++= 2)(
)(
-
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■ A curva do gráfico apresenta a resposta ao degrau para Kp=20 e dois
valores da constante derivativa (Kd=2 e Kp=10), considerandoJ = 1 .
A oscilação da resposta diminui
com Kd
Exemplo 9.1: Traçando as respostasExemplo 9.1: Traçando as respostas
-
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Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em malhafechada com realimentação unitária e controlador proporcionalpara a planta de primeira ordem com ganho estáticok econstante de tempo τ . Repetir para um controlador PI e PD.
( )1)(
)(+τ== s
k sU sY
sP
Exemplo 9.1: Planta de primeira ordemExemplo 9.1: Planta de primeira ordem
-
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■ O DB abaixo representa o controlador proporcional comrealimentação unitária negativa
R(s) E(s) U(s) Y(s)
-
PK
1+s
k
τ
Exemplo 9.1: Diagrama de blocosExemplo 9.1: Diagrama de blocos
-
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■ Fechando a malha do DB anterior encontra-se aseguinte FT
■ Observa-se que houve uma variação• no ganho estático
• um deslocamento do pólo
( )( ) 1
p
p
K k Y s R s s K k τ
= + +
Exemplo 9.1: FT de malha fechadaExemplo 9.1: FT de malha fechada
k K
k K s
RY
p
p
+== 1)0(
τ λ
k K p+−=1
k sU Y == )0(
τ−=λ1
-
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■ Considerando a TL do degrau (1/s ), a resposta seráportanto
■ Encontrando a TIL, obtém-se
• notar que (TVF)
)1()(
k K ss
k K sY
p
p
++= τ
Exemplo 9.1: Resposta ao degrau unitárioExemplo 9.1: Resposta ao degrau unitário
( )( )
0p/ 11
1
≥
−+
=+
−t e
k K
k K t y
t k K
p
p p
τ
)(em aequivale)(em0 t yt ssY s ∞→→
-
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■ As curvas do gráfico abaixo apresentam a resposta ao degrau para dois
valores da constante proporcional (2 e 20), considerandok = 1 e τ = 2 .
A resposta é tanto mais rápida quanto
maior é o Kp.O erro estacionário também diminui com o aumento do Kp.
Exemplo 9.1: Traçando as respostasExemplo 9.1: Traçando as respostas
-
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■ Os diagramas abaixo são também p/ os mesmos valores de Kp
Observar que o pólo para o Kp = 20 é de freqüência bem maior que a do primeiro caso (10.5>1.5)
Exemplo 9.1: Diagramas de BodeExemplo 9.1: Diagramas de Bode
-
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Exemplo 9.1: Programa no MATLABExemplo 9.1: Programa no MATLAB
■ tau=2;■ k=1;
■ Kp=2;■ nmf=[Kp*k];■ dmf=[tau 1+Kp*k];■ t=0:0.05:5;w=logspace(-1,2,400);
■ smf=tf(nmf,dmf);■ y=step(smf,t);■ figure(1), subplot(211),
plot(t,y)■ title( ’Efeito do controlador
proporcional Kp=2’ )■ figure(2), subplot(211),
bode(smf,w), xlabel( ’’ )
■ Kp=20;■ nmf=[Kp*k];■ dmf=[tau 1+Kp*k];■ t=0:0.05:5;■ smf=tf(nmf,dmf);■ y=step(smf,t);
■ figure(1), subplot(212),plot(t,y)
■ title( ’Efeito do controladorproporcional Kp=20’ )
■
xlabel( ’Tempo (s)’ )■ figure(2), subplot(212),
bode(smf,w)
-
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■ Diagrama de blocos
Exemplo 9.2: Controlador PIExemplo 9.2: Controlador PI
R(s)E(s)
U(s) Y(s)
-
PK
1+s
k
τ
s
K I
-
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■ Fechando a malha, obtém-se
– Observe que •• aumentou a ordem do sistema em malha fechada aumentou a ordem do sistema em malha fechada •• surgiu um zero surgiu um zero
( )( ) k K sk K s
k K ksK s RsY
I P
I P
++++=
)1(2τ
Exemplo 9.2: FT de malha fechadaExemplo 9.2: FT de malha fechada
-
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■ Considerando:
Observar o efeito da integral do
erro ao longo do tempo no erro estacionário
5,0 / 0;2;1;2 ==== I P K K k τ
Exemplo 9.2: Controlador PIExemplo 9.2: Controlador PI
-
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■ Os diagramas abaixo p/ valores de Ki=0/0.5
Raízes Ki=0 -1.50
Raízes Ki=0.5 -1.3090 -0.1910 Zero em -0.250
Exemplo 9.2: Diagramas de BodeExemplo 9.2: Diagramas de Bode
-
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Exemplo 9.2: Programa MATLABExemplo 9.2: Programa MATLAB
■ tau=2;■ k=1;■ Kp=2;■ Ki=0;■ nmf=[Kp*k ];■ dmf=[tau 1+Kp*k];■ t=0:0.05:6;
■ smf=tf(nmf,dmf);■ figure(1)■ y=step(smf,t);■ subplot(211), plot(t,y)■ axis([0 6 0 1])■ title( ’ resposta ao degrau
ki=0 ’ )■ figure(2), subplot(211),
bode(smf,w), xlabel( ’’ )
■ Ki=0.5;■ nmf=[Kp*k Ki*k];■ dmf=[tau 1+Kp*k Ki*k];■ smf=tf(nmf,dmf);■ figure(1)■ y=step(smf,t);
■ subplot(212), plot(t,y)■ axis([0 6 0 1])■ title( ’ resposta ao degrau
ki=0.5 ’ )
■ figure(2), subplot(212),bode(smf,w), xlabel( ’’ )
-
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■ Diagrama de blocos
Exemplo 9.3: Controlador PDExemplo 9.3: Controlador PD
R(s)
E(s)U(s)
-
PK
1+sk
τ
sK D
-
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■ Fechando a malha, obtém-se (FTMF)
Observe que
– surgiu um zero
– variou a posição do pólo
Exemplo 9.3: FT de malha fechadaExemplo 9.3: FT de malha fechada
( ) k K sk K k K sK
s RsY
p D
p D
++++=
1)(
)()(
τ
D
P
K K
z −=
k K
k K
D
p
++−=
τ λ
1
-
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■ Considerando:
Observar o efeito de Kd No tempo de subida
5,0 / 0;2;1;2 ==== DP K K k τ
Exemplo 9.3: Resposta ao degrau unitárioExemplo 9.3: Resposta ao degrau unitário
-
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■ Considerando:
Observar o efeito nos diagramas de Bode do novo zero
5,0 / 0;2;1;2 ==== DP K K k τ
Exemplo 9.3: Diagramas de BodeExemplo 9.3: Diagramas de Bode
P h a s e
( d e g
) ; M a g n i
t u d e
( d B ) Efeito da ação derivativa Kd=0
-20
-10
10-1
100
101
-80-60-40-20
Frequency (rad/sec)
P h a s e
( d e g
) ; M a g n i
t u d e
( d B ) Efeito da ação derivativa Kd=0,5
-14-12-10-8-6-4
10-1 100 101 102-30-20-10
-
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Exemplo 9.3: Programa MATLABExemplo 9.3: Programa MATLAB
■ tau=2;■ k=1;■
Kp=2;■ Kd=0;■ nmf=[Kd*k Kp*k];■ dmf=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k];■ t=0:0.05:6;■ smf=tf(nmf,dmf);■ y=step(smf,t);■ subplot(211), plot(t,y)■ axis([0 6 0 1])■
title(’resposta ao degraukd=0’)■ figure(2), subplot(211),
bode(smf,w), xlabel(’’)■ title(’Efeito do controlador
PI Kp=2 Kd=0’)
■ Kd=0.5;■ nmf=[Kd*k Kp*k];■ dmf=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k];■ smf=tf(nmf,dmf);■ t=0:0.05:6;■ figure(1)
■ y=step(smf,t);■ subplot(212), plot(t,y)■ axis([0 6 0 1])■ title( ’ resposta ao degrau
ki=0.5 ’ )■ figure(2), subplot(211),
bode(smf,w), xlabel(’’)■ title(’Efeito do controlador
PI Kp=2 Kd=0.5’)
-
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Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em malha fechada
com realimentação unitária e controlador PD para a planta descrita pelaequação abaixo. Considerar um fator de amortecimento de 0,1 e umafreqüência natural de 2 rad/s. A FTMF deve apresentar um fator deamortecimento de 0,5 e uma frequência natural de 5 rad/s.
222
2)(
nn
n
sssP
ω+ζω+ω=
Exemplo 9.4: Planta de segunda ordemExemplo 9.4: Planta de segunda ordem
Y(s)R(s)E(s)
U(s)
-
PK
( )P s
sK D
-
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■ Diagrama de Blocos
■ FT de malha fechada
Exemplo 9.4:Exemplo 9.4:ControladorControlador PDPD
( )
( ) )1()2(
)(222
2
pnn Dn
nP D
K sK s
K sK
s R
sY
++++
+=ω ω ζω
ω
R(s) E(s) Y(s)
-22
2
2)(
nn
nP D
ss
K sK
ω ζω ω
+++
-
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■ Considerando a FT
■ e os valores desejados, obtém-se o seguinte sistema:
Exemplo 9.4:Exemplo 9.4:ControladorControlador PDPD
( )( ) )1()2(
)( 2222
Pnn Dn
nP D
K sK sK sK
s RsY
+ω+ω+ζω+ω+=
55.022*2
5)1(*
2
222
=ω××=ωζ=ω+ζω
=ω=+ω
ef ef ef n Dn
ef Pn
K
K
15,1
25,5
=
= D
P
K
K
-
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■ Resposta ao degrau■ wn=2; zeta=0.1;■ Kp=5.25; Kd=0;■ b0=wn^2; a0=b0; a1=2*zeta*wn;■ np=[b0]; dp=[1 a1 a0];■ t=0:0.05:5;■ pl=tf(np,dp);y=step(pl,t);■ nmf=[Kd Kp]*b0;
■ dmf=[1 a1+Kd*b0 a0+Kp*b0];■ smf=tf(nmf,dmf); yp=step(smf,t);■ Kd=1.15; nmf=[Kd Kp]*b0;■ dmf=[1 a1+Kd*b0 a0+Kp*b0];■ smf=tf(nmf,dmf); ypd=step(smf,t);
■ figure(1), plot(t,y,t,yp,t,ypd)■ legend(‘y’,’yp’,’ypd’)
Observar que:- K P aumenta a freq. natural
- K D aumenta o amortecimento
Exemplo 9.4:Exemplo 9.4:ControladorControlador PDPD
-
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0 1 2 3 4 5-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
■ Considerando o erro e suaderivada, desenhados na
figura ao lado, além dassaídas controladasanteriores, observa-se que:
- O pico do erro
coincide com osobressinal quandoKD = 0
- o sinal da derivada
do erro antecipa o pico, permitindoassim a suaatenuação
Exemplo 9.4:Exemplo 9.4:ControladorControlador PDPD
Derivada do erro
Resposta p
Resposta pd
erro p
-
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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP
Para a planta abaixo, projetar um controlador PD de modo que o fator
de amortecimento e a freqüência natural de malha fechada sejamrespectivamente 0,707 e 10 rad/s.
Exercício 9.1: Projeto de controlador PDExercício 9.1: Projeto de controlador PD
Y(s)R(s)
E(s)U(s)
-
PK
sK D
)1(1+ss
-
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■ Diagrama de Blocos
■ Fechando a malha, obtém-se (FTMF)
Exemplo 9.3: FT de malha fechadaExemplo 9.3: FT de malha fechada
( )2
( )( ) 1
D p
D p
K s K Y s R s s K s K
+=
+ + +
R(s) E(s) Y(s)
-
( )( )
1 D P
K s K
s s
+
+
-
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■ Considerando a FT
■ e os valores desejados, obtém-se o seguinte sistema:
Exemplo 9.4:Exemplo 9.4:ControladorControlador PDPD
2 100
1 2 2 0.707 10 14.14
P ef
d ef ef
K
K
ω
ζ ω
= =
+ = = × × =100
13,14
P
d
K
K
=
=
( )2( )( ) 1 D p
D p
K s K Y s R s s K s K += + + +
-
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■ Resposta ao degrau■ Kp=100; Kd=13.14;■ np=[1]; dp=[1 1 0];■ sys=tf(np,dp);■ nmf=[Kd Kp];■ dmf=[1 1+Kd Kp];■ t=0:0.05:2; yp=step(sys,t);■
smf=tf(nmf,dmf); yf=step(smf,t);■ figure(1), plot(t,yp,t,yf)
Exemplo 9.4:Exemplo 9.4:ControladorControlador PDPD