A + A B + A B C + A B C D 2 0 2 1Udruženje nastavnika matematike Crne Gore Matematički list za...

A + A B + A B C+ A B C D 2 0 2 1

Nagra

dni za

datak

Udruženje nastavnika matematike Crne Gore Matematički list za učenike osnovnih škola – „Dijagonala”, broj 11

Godina 2021. Cijena: 1,50 €

Glavni urednik: mr Radomir Božović

Odgovorni urednik: Danijela Jovanović

Redakcija: Prof. dr Žarko Pavićević, Prof. dr Radoje Šćepanović,

Miodrag Lalić, Prof. dr Milenko Mosurović, Snežana Irić,

Aleksandra Vuković, Vanja Đurđić Kuzmanović,

Irena Pavićević, Nevena Ljujić

Lektura: Milja Božović, prof.

Korektura: Danijela Jovanović, prof.

Priprema za štampu: Branko Gazdić

Tiraž: 1000

Štampa: „Studio Branko“ d.o.o. – Podgorica

Zavod za školstvo je odlukom broj 01 – 1214/2 od 03.09.2018. godine preporučio časopis „Dijagonala“ za korišćenje u osnovnim školama kao pomoćno nastavno sredstvo.

Sadržaj

Graf u matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Odabrani zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Takmičarski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Takmičarski zadaci iz prošlog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Pripremanje nastave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Matematika Mesopotamije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Rekli su o matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

U Carskoj Rusiji grad Königsberg - Kenigsberg (današnji Kalenjingrad u Ruskoj Federaciji) nalazio se na obje obale i dva ostrva rijeke Pregelj. Ostrva

su sa obalama i međusobno bila poveza-na sa sedam mostova (vidi donje slike). Početkom XX vijeka svih sedam mo-stova bili su pokretni. Nažalost, danas u Kalenjingradu postoje samo tri mosta koji su nepokretni.

Priča se da je jedan stanovnik grada postavio sljedeći zadatak svom susjedu: Da li može da prođe svaki od sedam mo-stova samo jedanput, pri čemu treba da se vrati na mjesto odakle je krenuo.

Susjed nije uspio da na navedeni na-čin pređe svih sedam mostova.

I ostali pokušaji stanovnika Kenigs-berga i njihovih gostiju ostali su bezuspješni.

Problem je 1736. godine riješio čuveni švajcarko-ruski matematičar Leo-nhard Euler - Leonard Ojler, koji je u to vrijeme živio u Sankt Petersburgu.

Naime, Ojler je postavljeni zadatak prikazao grafički na sljedeči način:

A-desna obala B-lijeva obalaC-ostrvo Knajphof D-ostrvo Lomze

Graf sedam mostova Kenigsberga

Sl. 1.

Kenigsberg – karta iz 1652. godine1

Dr Žarko Pavićević

Graf u matematici

U Carskoj Rusiji grad Königsberg - Kenigsberg (današnji Kalenjingrad u Ruskoj Federaciji) nalazio se na obje obale i dva ostrva rijeke Pregelj. Ostrva su sa obalama i međusobno bila povezana sa sedam mostova (vidi donje slike). Početkom XX vijeka svih sedam mostova bili

su pokretni. Nažalost, danas u

Kalenjingradu postoje sam tri mosta koji su nepokretni.

Figura koja se sastoji od tačaka (koje mogu da predstavljaju neke objekte) i linija koje spajaju neki od tih tačaka (spajanje se vrši ako su objekti u nekoj vezi-relaciji-odnosu) naziva se GRAF (vidi sl. 1).

Kenigsberg – karta iz 1652. godine1

Ostrvo Knajphof

A

D C

B

A

B

C D

A-desna obala B-lijeva obala C-ostrvo Knajphof D-ostrvo Lomze

Graf sedam mostova Kenigsberga

Sl. 1.

Priča se da je jedan stanovnik grada postavio sljedeći zadatak svom susjedu: Da li može da prođe svaki od sedam mostova samo jedanput, pri čemu treba da se vrati na mjesto odakle je krenuo. Susjed nije uspio da na navedeni način pređe svih sedam mostova. I ostali pokušaji stanovnika Kenigsberga i njihovih gostiju ostali su bezuspješni. Problem je 1736. godine riješio čuveni švajcarko-ruski matematičar Leonhard Euler - Leonard Ojler, koji je u to vrijeme živio u Sankt Petersburgu.-Petrogradu Naime, Ojler je postavljeni zadatak prikazao grafički na sljedeči način:

1 https://www.alamy.com/stock-photo-image-koenigsberg-map-by-merian-erben-1652-147563267.html

4 Dijagonala

Figura koja se sastoji od tačaka (koje mogu da predstavljaju neke objekte) i linija koje spajaju neke od tih tačaka (spajanje se vrši ako su objekti u nekoj vezi-relaciji-odnosu) naziva se GRAF (vidi sl. 1).

Koristeći svoj graf, Ojler je pokazao da se na naprijed navedeni način ne mogu preći mostovi. O tome će biti riječi u nastavku ovog teksta.

Tačke u grafu se nazivaju čvorovi ili tjemena grafa, a linije koje spajaju čvorove nazivaju se grane ili rebra grafa. Dakle, grane su određene čvorovi-ma koji se nalaze na njenim krajevima. Čvorovi grafa se mogu obilježavati na razne načine, npr. velikim ili malim slovima, brojevima itd, dok se grane obilježavaju malim pisanim slovima (vidi sl.2 i sl.3).

Ako je na jednom ili oba kraja svake grane grafa nacrtana strelica, tada se dobija orjentisani graf (vidi sl. 4).

Ako se u orjentisanom grafu na jednom čvoru grane nalazi strelica, to zna-či da je čvor bez strelice u nekom „odnosu“- relaciji sa čvorom sa strelicom, dok čvor sa strelicom nije u takvom odnosu sa čvorom bez strelice. Na pri-mjer, ako čvorovi a i c predstavljali „osobe“ i ako je „odnos“ - „biti sin“, sa sl. 4 se vidi da je c sin od a, a da a nije u takvom odnosu sa c. Na sl. 4 su čvorovi


Tačke u grafu se nazivaju čvorovi ili tjemena grafa, a linije koje spajaju čvorove nazivaju se grane ili rebra grafa. Dakle, grane su određene čvorovima koji se nalaze na njenim krajevima. Čvorovi grafa se mogu obilježavati na razne načine, npr. velikim ili malim slovima, brojevima itd, dok se grane obilježavaju malim pisanim slovima (vidi sl.2 i sl.3).


Ako se u orjentisanom grafu na jednom čvoru grane nalazi strelica, to znači da je čvor bez strelice u nekom „odnosu“- relaciji sa čvorom sa strelicom, dok čvor sa strelicom nije u takvom odnosu sa čvorom bez strelice. Na primjer, ako čvorovi a i c predstavljali „osobe“ i ako je „odnos“ - „biti sin“, sa sl. 4 se vidi da je c sin od a, a da a nije u takvom odnosu sa c. Na sl. 4 su čvorovi c i b u istom međusobnom odnosu. Ako su čvorovi jedne grane u istom međusobnom odnosu, tada se, po dogovoru, na krajevima tih čvorova ne moraju crtati strelice (vidi sl. 5).

Dakle, odnos između čvorova koji se zadaje crtanjem strelica, mogu se interpretirati kao odnos između objekata koje ti čvorovi predstavljaju, a možemo i kao dozvoljeno kretanje od čvora bez strelice ka čvoru sa strelicom.

Graf može da ima granu koja je prikazana na sl. 6. Ta grana se naziva petlja.

Sl. 6.

A

B

C D

Sl. 3.

a

b

c d

e

Sl. 2.

u2

u1

u4 u3

u5

u

v

a

b

c

Sl. 4.

a 1

Sl. 5.

1



Tačke u grafu se nazivaju čvorovi ili tjemena grafa, a linije koje spajaju čvorove nazivaju se grane ili rebra grafa. Dakle, grane su određene čvorovima koji se nalaze na njenim krajevima. Čvorovi grafa se mogu obilježavati na razne načine, npr. velikim ili malim slovima, brojevima itd, dok se grane obilježavaju malim pisanim slovima (vidi sl.2 i sl.3).


Ako se u orjentisanom grafu na jednom čvoru grane nalazi strelica, to znači da je čvor bez strelice u nekom „odnosu“- relaciji sa čvorom sa strelicom, dok čvor sa strelicom nije u takvom odnosu sa čvorom bez strelice. Na primjer, ako čvorovi a i c predstavljali „osobe“ i ako je „odnos“ - „biti sin“, sa sl. 4 se vidi da je c sin od a, a da a nije u takvom odnosu sa c. Na sl. 4 su čvorovi c i b u istom međusobnom odnosu. Ako su čvorovi jedne grane u istom međusobnom odnosu, tada se, po dogovoru, na krajevima tih čvorova ne moraju crtati strelice (vidi sl. 5).

Dakle, odnos između čvorova koji se zadaje crtanjem strelica, mogu se interpretirati kao odnos između objekata koje ti čvorovi predstavljaju, a možemo i kao dozvoljeno kretanje od čvora bez strelice ka čvoru sa strelicom.

Graf može da ima granu koja je prikazana na sl. 6. Ta grana se naziva petlja.

Sl. 6.

A

B

C D

Sl. 3.

a

b

c d

e

Sl. 2.

u2

u1

u4 u3

u5

u

v

a

b

c

Sl. 4.

a 1

Sl. 5.

1


Dijagonala 5

c i b u istom međusobnom odnosu. Ako su čvorovi jedne grane u istom me-đusobnom odnosu, tada se, po dogovoru, na krajevima tih čvorova ne moraju crtati strelice (vidi sl. 5).

Dakle, odnos između čvorova koji se zadaje crtanjem strelica, mogu se interpretirati kao odnos između objekata koje ti čvorovi predstavljaju, a mo-žemo i kao dozvoljeno kretanje od čvora bez strelice ka čvoru sa strelicom.

Graf može da ima granu koja je prikazana na sl. 6. Ta grana se naziva petlja. Graf kod kojeg su sve grane obostrano orjentisane zove se neorjentisani

graf. Kod ovog grafa se ne crtaju strelice, jer se podrazumijevaju, pa se zato i zove neorjentisanim grafom.

Dalje će nam svi grafovi biti neorjentisani i bez petlji. Grane grafa se zadaju sa čvorovima koji su krajevi te grane. Na primjer,

grana grafa čiji su krajevi čvorovi a i b se obilježava sa (a,b) ili sa (b,a). Ako nam je bitna orjentacija, tada je grana (a,b) orjentisana od a ka b, tj. smjer kretanja je od a ka b: a je početni čvor, a b je krajnji čvor te grane i u njemu se crta strelica.

Dva čvora u grafu su susjedna ako postoji grana čiji su krajevi ti čvorovi, tj. ako su ti čvorovi spojeni granom. Dvije grane su susjedne ako imaju zajed-nički čvor.

Broj susjednih čvorova jednog čvora je stepen tog čvora. Stepen čvora je jednak i broju grana koje počinju ili se završavaju u tom čvoru. Sada se lako može pokazati da važi:

– Zbir stepena čvorova grafa jednak je dvostrukom broju njegovih grana.Pomoću zbir stepena čvorova grafa dokazuje se:

– Lema o rukovanjima: Broj čvorova grafa sa neparnim stepenom je paran broj.

Zadatak 1. Na šahovskom turniru, koji se održava po kružnom sistemu, učestvuje 6 takmičara. Ako je u prvih 10 odigranih partija svaki od takmičara odigrao bar dvije partije, od čega je Marko odigrao četiri partije a Petar tri, da li je još neki od takmičara, osim Marka, odigrao više partija od Petra, ako se zna da Petar i Marko nijesu međusobno odigrali partiju?

Rješenje zadatka 1. Uslove zadatka pri-kazujemo nacrtanim grafom na slici 7. U tom grafu su čvorovi grafa takmičari, a odi-grane partije između dva takmičara su pri–kazane granama grafa. Čvor M predstavlja

Graf kod kojeg su sve grane obostrano orjentisane zove se neorjentisani graf. Kod ovog grafa se ne crtaju strelice, jer se podrazumijevaju, pa se zato i zove neorjentisanim grafom.

Dalje će nam svi grafovi biti neorjentisani i bez petlji.

Grane grafa se zadaju sa čvorovima koji su krajevi te grane. Na primjer, grana grafa čiji su krajevi čvorovi a i b se obilježava sa (a,b), ili sa (b,a). Ako nam je bitna orjentacija, tada je grana (a,b) orjentisana od a ka b, tj. smjer kretanja je od a ka b: a je početni čvor, a b je krajnji čvor te grane i u njemu se crta strelica.

Dva čvora u grafu su susjedna ako postoji grana čiji su krajevi ti čvorovi, tj. ako su ti čvorovi spojeni granom. Dvije grane su susjedne ako imaju zajednički čvor.

Broj susjednih čvorova jednog čvora je stepen tog čvora. Stepen čvora je jednak i broju grana koji počinju ili se završavaju u tom čvoru.

Sada se lako može pokazati da važi:

- Zbir stepena čvorova grafa jednak je dvostrukom broju njegovih grana.

Pomoću zbir stepena čvorova grafa dokazuje se:

- Lema o rukovanjima: Broj čvorova grafa sa neparnim stepenom je paran broj.

Zadatak 1. Na šahovskom turniru, koji se održava po kružnom sistemu, učestvuje 6 takmičara. Ako je u prvih 10 odigranih partija svaki od takmičara odigrao bar dvije partije, od čega je Marko odigrao četiri partije a Petar tri, da li je još neki od takmičara, osim Marka, odigrao više partija od Petra, ako se zna da Petar i Marko nijesu međusobno odigrali partiju?

Rješenje zadatka 1. Uslove zadatka prikazujemo nacrtanim grafom na slici 7. U tom grafu su čvorovi grafa takmičari, a odigrane partije između dva takmičara su prikazane granama grafa.

Čvor M predstavlja Marka, P predstavlja Petra, a čvorovi 1, 2, 3 i 4 ostale igrače turnira. Graf sa slike 7 ne prikazuje odigranih svih 10 partija, veš samo 7. Ovaj graf treba dopuniti sa još 3 grane, međutim to ne možemo uraditi jer u zadatku nije dato sa kim su igrali ostali igrači. Dakle, kako u grafu ima 10 grana, to po zbir stepena čvorova grafa, zbir stepena čvorova u ovom grafu je 20. Kako je na slici prikazano 14 susjednih čvorova (svaka grana daje 2 susjedna čvora) u tom grafu mora biti još 6 susjednih čvorova što daje 3 grane koje mogu spajati

samo neke od čvorova 1, 2, 3 i 4. Kako god se izvrši to spajanje, tada bi bar jedan od čvorova 1, 2, 3 ili 4 imao stepen 4 ili 5, što znači da je igrač predstavljen tim čvor odigrao više partija od Petra. Nacrtajte sva moguća takva spajanja.

Zadatak 2. Na nekoj konferenciji učesnici se pozdravljaju rukovanjem. Dokažite da je broj učesnika konferencije koji su se rukovali neparan broj puta, paran broj.

4

P M

3 2 1

Sl 7.

6 Dijagonala

Marka, P predstavlja Petra, a čvorovi 1, 2, 3 i 4 ostale igrače turnira. Graf sa slike 7 ne prikazuje odigranih svih 10 partija, već samo 7. Ovaj graf treba do-puniti sa još 3 grane, međutim to ne možemo uraditi jer u zadatku nije dato sa kim su igrali ostali igrači.

Dakle, kako u grafu ima 10 grana, to po zbir stepena čvorova grafa, zbir stepena čvorova u ovom grafu je 20. Kako je na slici prikazano 14 susjednih čvorova (svaka grana daje 2 susjedna čvora) u tom grafu mora biti još 6 su-sjednih čvorova što daje 3 grane koje mogu spajati samo neke od čvorova 1, 2, 3 i 4. Kako god se izvrši to spajanje, tada bi bar jedan od čvorova 1, 2, 3 ili 4 imao stepen 4 ili 5, što znači da je igrač predstavljen tim čvorom odigrao više partija od Petra. Nacrtajte sva moguća takva spajanja.

Zadatak 2. Na nekoj konferenciji učesnici se pozdravljaju rukovanjem. Dokažite da je broj učesnika konferencije koji su se rukovali neparan broj puta, paran broj.

Rješenje zadatka 2. Dokaz se izvodi razmatranjem grafa koji će opisati ruko-vanja učesnika konferencije. U tom grafu čvorovi predstavljaju učesnike konfe-rencije, a grane će spajati one čvorove koji predstavljaju učesnike konferencije koji su se međusobno rukovali, tj. grane predstavljaju rukovanja. Tada u ovom grafu čvor koji ima neparan stepen predstavlja učesnika konferencije koji se ru-kovao sa neparnim brojem učesnika konferencije. Iz leme o rukovanjima slijedi da je broj čvorova grafa sa neparnim stepenom paran broj, što u našem slučaju predstavlja broj učesnika konferencije koji su se rukovali neparan broj puta.

Neka su a1, a2, a3, ... ,an svi čvorovi nekog grafa G. Niz čvorova ai1, ai2, ai3, ... ,aik–1, aik i niz grana (ai1, ai2), (ai2, ai3), ... ,(aik–1, aik) grafa G, koje po-vezuje čvorove ai1 i aik čini maršrutu M tog grafa. Grane maršrute M, počev od grane (ai1, ai2), nadovezuju se jedna za drugu, redom (ai2, ai3), ... , (aik–1, aik). Čvor ai1 je početak maršrute M, a čvor aik njen kraj. Ako je ai1= aik, tj. ako se početak i kraj maršrute poklapaju, tada se kaže da je maršruta zatvore-na. Broj grana u maršruti je njena dužina.

Zatvorena maršruta u kojoj su sve grane međusobno različite zove se cikl. Graf je povezan ako za bilo koja dva njegova čvora postoji maršruta koji

ih povezuje. Rješavajući zadatak sedam Kenigsbergških mostova, Ojler je 1736. godi-

ne razmatrao posebne cikle i grafove, koji su u njegovu čast nazvani Ojlerovi cikli i Ojlerovi grafovi. Oni su omogućili riješavanje ne samo zadataka o mo-stovima Kenigsberga, nego i druge matematičke zadatake i probleme, koji su kasnije našli primjenu u mnogim naučnim disciplinama, a takođe i u rješava-nju velikog broja praktičnih zadataka.

Dijagonala 7

U povezanom grafu, cikl koji sadrži sve grane grafa je Ojlerov cikl, ili se još zove obilazeći graf. Povezan graf koji ima bar jedan Ojlerov cikl je Ojlerov graf.

Iz definicija cikla i Ojlerovog grafa može se zaključiti da se Ojlerov graf može nacrtati bez podizanja olovke s papira “u jednom potezu“, a da se grane ne prolaze dva ili više puta (neki čvorovi se mogu proći više puta). Važi i obr-nuto, ako se neki graf može nacrtati bez podizanja olovke s papira “u jednom potezu“, a da se grane ne prolaze dva ili više puta, tada se dobija Ojlerov graf. Dakle, samo se Ojlerovi grafovi, i samo oni, mogu nacrtati na naprijed naveden način.

Te 1736. godine, Ojler je dokazao sledeće tvrđenje:Ojlerova teorema. Povezani graf je Ojlerov graf ako i samo ako su stepe-

ni svih njegovih čvorova parni brojevi.

Rješenje zadatka sedam Kenigsbergških mostova. Sa sl.1, na kojoj je dat graf sedam mostova Kenigsberga, se vidi da su svi čvorovi tog grafa neparnog stepena. Otuda iz Ojlerove teoreme slijedi da taj graf nema Ojlerovih ciklova, tj. da se taj graf ne može nacrtati bez podizanja olovke s papira „u jednom potezu“, a da se grane ne prolaze dva ili više puta. Ako se kretanje vrha olov-ke po granama grafa posmatra kao kretanje pješaka po mostovima, slijedi da pješak preko ovih sedam mostova ne može preći samo jedanput, i da se vrati na mjesto odakle je krenuo.

Nalaženje Ojlerovog cikla. Navodimo algoritam - postupak Flerija: Neka je zadan Ojlerov graf G sa n čvorova. Kreće se od proizvoljnog čvora, kojeg ćemo označiti sa a1, i ide se po grani do njemu susjednog čvora, kojeg ćemo označiti sa a2. Ta se grana udaljava iz grafa, čime se dobija tekući graf. Ako iz čvora a2 ide više grana, tada se ide po onoj grani koja pri njenom udaljenju ne dijeli novonastali graf na dvije povezane komponente, tj. dva povezana podgrafa novodobijenog grafa. Ovakav postupak se ponavlja sve dok se ne stigne u polazni čvor a1. Na taj način se dobija niz čvorova a1, a2, ... , an koji je Ojlerov cikl.

Zadatak 3. Provjerite da li je na sl. 8 nacrtan Ojlerov graf. Ako jeste, postup-kom Flerija odredite jedan Ojlerov cikl na tom grafu.

Rješenje zadatka 3. Čitaocu prepušta-mo da se uvjeri da je nacrtani graf Ojlerov primjenom Ojlerove teoreme.

se dobija tekući graf. Ako iz čvora a2 ide više grana, tada se ide po onoj grani koja pri njenom udaljenju ne dijeli novonastali graf na dvije povezane komponente, tj. dva povezana podgrafa novodobijenog grafa. Ovakav postupak se ponavlja sve dok se ne stigne u polazni čvor a1 . Na taj način se dobija niz čvorova a1, a2, ... , an koji je Ojlerov cikl. Zadatak 3. Provjerite da li je na sl. 8 nacrtan Ojlerov graf. Ako jeste, postupkom Flerija odredite jedan Ojlerov cikl na tom grafu. Graf je unikursalni ako se može nacrtati jednim potezom olovke, ali tako da se svaka grana grafa crta samo jedanput. Teorema o unikursalnom grafu. Povezani graf je unikursalni samo ako sadrži ne više od dva čvora neparnog stepena. Zadatak 4. Prosta verzija trosobne „igre presijecanja“. Da li se figura, koja je dobijena kada se pravougaonik podijeli na tri pravougaonika – tri sobe, kao na sl. 9, može proći u jednom potezu neprekidnom linijom, tako da ona siječe svaku duž u toj figuri jedanput. Linija ne može prolaziti kroz zajedničke tačke duži - tjemena.

Rješenje zadatka 4. Kao i kod sedam mostova Konigsberga, ovaj zadatak može biti predstavljen kao graf, gdje su pravougaonici čvorišta grafa (uključuje se i spoljašnost figure), a dva čvora su spojena granom ako pravougaonici imaju zajedničku duž. Sada se problem zadatka svodi na to, da li se može u jednom potezu preći olovkom po ovom grafu, ali tako da se svaka grana prođe samo jednom, tj. da li je ovaj graf unikursalni.

Kako ovaj graf ima samo dva čvora sa neparnim stepenom, a to su čvorovi a1 i a4, to iz teoreme o unikursalnom grafu slijedi da se graf u jednom potezu može preći olovkom, ali tako da se svaka grana prolazi samo jednom. Dakle, figura sa tri pravougaonika se može proći u jednom potezu neprekidnom linijom, tako da ona siječe svaku duž u

toj figuri jedanput. Nacrtajte jednu takvu liniju.

Zadaci za vježbanje

Rješenje zadatka 3. Čitaocu prepuštamo da se uvjeri da je nacrtani graf Ojlerov primjenom Ojlerove teoreme. Primjenom postupka Flerija može se dobiti sljedeći Ojlerov cikl: a1, a4 , a5 , a2 , a4 , a2 , a3 , a1 . Izvršite provjeru.

Sl. 8.

a1

a3 a2 a5

a4

a2 a3

a4

a1 a2

a3

a1 a4

Graf za trosobnu „igru“

Sl 9.

8 Dijagonala

Primjenom postupka Flerija može se dobiti sljedeći Ojlerov cikl: a1, a4, a5, a2, a4, a2, a3, a1. Izvršite provjeru.

Graf je unikursalni ako se može nacrtati jednim potezom olovke, ali tako da se svaka grana grafa crta samo jedanput.

Teorema o unikursalnom grafu. Povezani graf je unikursalni samo ako sadrži ne više od dva čvora neparnog stepena.

Zadatak 4. Prosta verzija trosobne „igre presijecanja“. Da li se figura, koja je dobijena kada se pravougaonik podijeli na tri pravougaonika – tri sobe, kao na sl. 9, može proći u jednom potezu neprekidnom linijom, tako da ona siječe svaku duž u toj figuri jedanput. Linija ne može prolaziti kroz zajedničke tačke duži - tjemena.

Rješenje zadatka 4. Kao i kod sedam mo-stova Konigsberga, ovaj zadatak može biti predstavljen kao graf, gdje su pravougaoni-ci čvorišta grafa (uključuje se i spoljašnost figure), a dva čvora su spojena granom ako pravougaonici imaju zajedničku duž. Sada se problem zadatka svodi na to, da li se može u jednom potezu preći olovkom po ovom grafu, ali tako da se svaka grana prođe samo jednom, tj. da li je ovaj graf unikursalni.

Kako ovaj graf ima samo dva čvora sa ne-parnim stepenom, a to su čvorovi a1 i a4, to iz teoreme o unikursalnom grafu slijedi da se graf u jednom potezu može preći olovkom, ali tako

da se svaka grana prolazi samo jednom. Dakle, figura sa tri pravougaonika se može proći u jednom potezu neprekidnom linijom, tako da ona siječe svaku duž u toj figuri jedanput. Nacrtajte jednu takvu liniju.

Zadaci za vježbanje:

1. U zemlji čuda Diznilendu na jezeru sa sedam ostrva svako od ostrva ima jedan, tri ili pet mostova. Pokažite da bar jedan most vodi na kopno.

2. Gradovi u jednoj državi povezani su avio - linijama. Iz glavnog grada po-lazi 15 linija, iz grada Istok jedna linija, a svih ostalih gradova po 8 linija. Da li se iz glavnog grada može avio - linijama doći do Istoka? Uključena je mogućnost i presijedanja u nekim od 8 navedenih gradova. (Odgovor: Da.)

se dobija tekući graf. Ako iz čvora a2 ide više grana, tada se ide po onoj grani koja pri njenom udaljenju ne dijeli novonastali graf na dvije povezane komponente, tj. dva povezana podgrafa novodobijenog grafa. Ovakav postupak se ponavlja sve dok se ne stigne u polazni čvor a1 . Na taj način se dobija niz čvorova a1, a2, ... , an koji je Ojlerov cikl. Zadatak 3. Provjerite da li je na sl. 8 nacrtan Ojlerov graf. Ako jeste, postupkom Flerija odredite jedan Ojlerov cikl na tom grafu. Graf je unikursalni ako se može nacrtati jednim potezom olovke, ali tako da se svaka grana grafa crta samo jedanput. Teorema o unikursalnom grafu. Povezani graf je unikursalni samo ako sadrži ne više od dva čvora neparnog stepena. Zadatak 4. Prosta verzija trosobne „igre presijecanja“. Da li se figura, koja je dobijena kada se pravougaonik podijeli na tri pravougaonika – tri sobe, kao na sl. 9, može proći u jednom potezu neprekidnom linijom, tako da ona siječe svaku duž u toj figuri jedanput. Linija ne može prolaziti kroz zajedničke tačke duži - tjemena.

Rješenje zadatka 4. Kao i kod sedam mostova Konigsberga, ovaj zadatak može biti predstavljen kao graf, gdje su pravougaonici čvorišta grafa (uključuje se i spoljašnost figure), a dva čvora su spojena granom ako pravougaonici imaju zajedničku duž. Sada se problem zadatka svodi na to, da li se može u jednom potezu preći olovkom po ovom grafu, ali tako da se svaka grana prođe samo jednom, tj. da li je ovaj graf unikursalni.

Kako ovaj graf ima samo dva čvora sa neparnim stepenom, a to su čvorovi a1 i a4, to iz teoreme o unikursalnom grafu slijedi da se graf u jednom potezu može preći olovkom, ali tako da se svaka grana prolazi samo jednom. Dakle, figura sa tri pravougaonika se može proći u jednom potezu neprekidnom linijom, tako da ona siječe svaku duž u

toj figuri jedanput. Nacrtajte jednu takvu liniju.

Zadaci za vježbanje

Rješenje zadatka 3. Čitaocu prepuštamo da se uvjeri da je nacrtani graf Ojlerov primjenom Ojlerove teoreme. Primjenom postupka Flerija može se dobiti sljedeći Ojlerov cikl: a1, a4 , a5 , a2 , a4 , a2 , a3 , a1 . Izvršite provjeru.

Sl. 8.

a1

a3 a2 a5

a4

a2 a3

a4

a1 a2

a3

a1 a4

Graf za trosobnu „igru“

Sl 9.

9

Dr Goran Šuković

Nizovi

Niz je uređena kolekcija objekata, gdje je svakom objektu pridružen nenegativan cio broj – indeks elementa niza. Ako niz nazovemo x, tada element čiji je indeks i označavamo sa xi ili, kako je uobičajeno u programskim jezicima, sa x[i] (u C++). Primjer: U tabeli je prikazan niz x koji se sastoji od 7 cijelih brojeva. Indeksi niza su brojevi od 0 do 6, a elementi niza su redom 2, 4, 6, 8, 10, 12 i 14. Tada je prvi element niza onaj koji ima indeks 0, tj. x0 = 2 ili x[0] = 2. Slično, šesti element niza ima indeks 5 tj. važi x5 = 12 ili x[5] = 12.

Indeks 0 1 2 3 4 5 6

Element 2 4 6 8 10 12 14

Ponekad je moguće napisati vezu između indeksa niza i elementa. Npr. u gornjem primjeru je to moguće: x[i]=2(i+1) ili xi = 2+2i, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Primjer: Neka je xi = 2i + 2 − 3, i = 0, 1, 2, 3, 4.

Indeks 0 1 2 3 4

Elementi 1 5 13 29 61

xi = 2i+2 − 3 je opšti član niza, i = 0, 1, 2, 3, 4.

Nizovi u C++

Nizovi sadrže samo elemente jednog tipa (npr. cijele brojeve, realne brojeve, karaktere, predmete, ocjene...). Elementi niza označavaju se srednjim (uglastim) zagradama. Uzastopni elementi niza zauzimaju uzastopne memorijske lokacije.

Primjer: niz realnih brojeva, jedan realan broj zauzima 8 bajtova.

10 Dijagonala

Primjer: niz u jezicima C, C++, Java. Obratite pažnju, indeksi počinju od 0.

Deklarisanje niza

Primjer: int c[8]; // 8 cijelih brojeva double p[6]; // 6 realnih brojeva char dd[100]; // 100 karaktera


Deklarisanje niza



Deklarisanje niza



Deklarisanje niza


Dijagonala 11


Deklarisanje niza


U ovom primjeru deklarisali smo 3 niza:

• niz cijelih brojeva c koji ima 8 elemenata, a njegovi indeksi su redom 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.

• niz realnih brojeva p koji ima 6 elemenata čiji su indeksi 0, 1, 2, 3, 4 i 5. • niz karaktera dd koji ima 100 elemenata čiji su indeksi 0, 1, …, 99.

Obratite pažnju da ako niz ima n elemenata, tada su indeksi nenegativni cijeli brojevi 0, 1, …, n-1. U nekim programskim jezicima moguće je zadati prvi indeks niza tj. prvi indeks ne mora biti 0.

Pristup elementima niza

Sada kada znamo kako da deklarišemo niz, naučićemo kako se pristupa nekom elementu niza. U prethodnom primjeru c označava jedan blok memorije veličine 8 ∙ 4 = 32 bajta, jer jedan cio broj u jeziku C++ zauzima 4 bajta, a naš niz c ima 8 elemenata. Naravno, c označava cio blok, dok se pojedinom elementu niza pristupa navođenjem imena niza i odgovarajućeg indeksa. Na primjer, ako nas zanima vrijednost sa indeksom 3, napisaćemo c[3].

Primjer: int a[4], ind = 3; a[0] = 3; a[1] = 5; a[2] = 7; a[3] = -4; cout

12 Dijagonala

int main() { int ocjene[6]; // 6 cijelih brojeva // ucitavanje elemenata sa tastature int ind = 0; while(ind < 6) { cout > ocjene[ind]; ind++; } // prosjecna ocjena = (suma ocjena)/(broj ocjena) ind = 0; int suma = 0; while(ind < 6) { suma = suma + ocjene[ind]; ind++; } float prosjek = suma/6.0; // podesavanje da stampa samo 2 decimale cout

Dijagonala 13

int main() { int ocjene[6]; // 6 cijelih brojeva // ucitavanje elemenata sa tastature int ind = 0; while(ind < 6) { cout > ocjene[ind]; ind++; } // prosjecna ocjena = (suma ocjena)/(broj ocjena) ind = 0; int suma = 0; while(ind < 6) { suma = suma + ocjene[ind]; ind++; } float prosjek = suma/6.0; // podesavanje da stampa samo 2 decimale cout

14 Dijagonala

Zadaci za vježbu

VI razred Priprema za treći pismeni zadatak.

1. Odrediti x (x ∈ N), tako da su tačne jednakosti: 𝑥𝑥

12 = 3

36 ; 13 =

5𝑥𝑥;

58 =

15𝑥𝑥 ;

𝑥𝑥45 =

115;

10𝑥𝑥 =

110; 7 =

161𝑥𝑥 .

2. a) Koliko je: 56 od 12;

23 od 6;

58 od 56;

724 od 120;

916 od 320?

b) Od kog broja : 13 iznosi 15;

25 iznosi 16;

34 iznosi 15;

89 iznosi 72?

3. Poređati po veličini razlomke: a) 38 ,

56 ,

712 ,

1124 ,

34 ,

316 , svodeći ih na isti imenilac;

b) 56 , 34 ,

45 ,

1213 ,

611 ,

23 , svodeći ih na isti brojilac.

4. U jednoj školi ima 720 učenika. Odličnih je 16 , vrlo dobrih 13 , dobrih

320

i dovoljnih 118. Koliko ima nedovoljnih učenika?

5. Izračunati zbir četiri broja od kojih je prvi 5,4 dok je svaki sledeći za 213 veći od njegovog predhodnika.

6. Ana je pročitala 23 knjige i ostalo joj je još 30 stranica. Marija je pročitala

60 stranica i ostala joj je još 14 knjige. Čija knjiga je imala više strana?

7. Izračunati: a) 229 + (34 +

16 ); b)

1124 + (

78 −

34); c)

56 – (

12 −

38).

8. a) Od kog broja treba oduzeti 2,5 da se dobije razlika brojeva 112 i 23?

b) Kada se od razlike brojeva 838 i 114 oduzme neki broj dobije se 2.

Izračunati taj broj. c) Kada se od broja 1012 oduzme neki broj uvećan za 1

38, dobija se skup

brojeva ne manjih od 8 310. Odrediti skup tih brojeva.

9. Razlici brojeva 8,4 i 5,5 dodati razliku broja 15,5 i zbira brojeva 4,8 i 1014, pa cio izraz oduzeti od broja 10.

ZaDaCi Za vježbU

Priprema za treći pismeni zadatak

vi razred

Dijagonala 15

Zadaci za vježbu

VI razred Priprema za treći pismeni zadatak.

1. Odrediti x (x ∈ N), tako da su tačne jednakosti: 𝑥𝑥

12 = 3

36 ; 13 =

5𝑥𝑥;

58 =

15𝑥𝑥 ;

𝑥𝑥45 =

115;

10𝑥𝑥 =

110; 7 =

161𝑥𝑥 .

2. a) Koliko je: 56 od 12;

23 od 6;

58 od 56;

724 od 120;

916 od 320?

b) Od kog broja : 13 iznosi 15;

25 iznosi 16;

34 iznosi 15;

89 iznosi 72?

3. Poređati po veličini razlomke: a) 38 ,

56 ,

712 ,

1124 ,

34 ,

316 , svodeći ih na isti imenilac;

b) 56 , 34 ,

45 ,

1213 ,

611 ,

23 , svodeći ih na isti brojilac.

4. U jednoj školi ima 720 učenika. Odličnih je 16 , vrlo dobrih 13 , dobrih

320

i dovoljnih 118. Koliko ima nedovoljnih učenika?

5. Izračunati zbir četiri broja od kojih je prvi 5,4 dok je svaki sledeći za 213 veći od njegovog predhodnika.

6. Ana je pročitala 23 knjige i ostalo joj je još 30 stranica. Marija je pročitala

60 stranica i ostala joj je još 14 knjige. Čija knjiga je imala više strana?

7. Izračunati: a) 229 + (34 +

16 ); b)

1124 + (

78 −

34); c)

56 – (

12 −

38).

8. a) Od kog broja treba oduzeti 2,5 da se dobije razlika brojeva 112 i 23?

b) Kada se od razlike brojeva 838 i 114 oduzme neki broj dobije se 2.

Izračunati taj broj. c) Kada se od broja 1012 oduzme neki broj uvećan za 1

38, dobija se skup

brojeva ne manjih od 8 310. Odrediti skup tih brojeva.

9. Razlici brojeva 8,4 i 5,5 dodati razliku broja 15,5 i zbira brojeva 4,8 i 1014, pa cio izraz oduzeti od broja 10.

10. Izračunati: a) 25 – (879 + 4,6 + 5

215);

b) (479 + 1238 – 8

56) + (13

512 – 7

524) – 4

736;

c) (19,6 – 4 712) – (2335 – 5

115 – 16,15) + 5

730;

d) (823 – 4,5) + (5,75 – 113) – (3

16 + 2,25 – 1

23).

Predlog III pismenog zadatka

I grupa

1. Izračunati: a) 23 + 34; b)

78 −

56; c) 2

23 − 1

25; d) 5,4 − 1,15; e) 2,5 + 0,01.

2. Za koliko je zbir brojeva 12 , 14 ,

38 i

512 manji od broja 5?

3. Izračunati: a) 834 + (7

12 – 1

56); b) (3,25 +

15) + (5,75 – 2

45).

4. Riješiti jednačine i nejednačine: a) 25 + x =1

110; b) x – 5,5 < 4,01;

c) 10 – (125 + x) = 658; d) (x + 8

1118) – 3,5 > 11

23.

5. Vera je čitala knjigu koja ima 280 stranica. Prvog dana je pročitala 1235 ukupnog broja stranica, a drugog dana

58 ostatka. Koliko još stranica ima

da pročita?

II grupa

1. Izračunati: a) 34 + 45; b)

89 −

56; c) 3

23 − 2

15; d) 7,3 + 3,02; e) 5 – 0,03.

2. Koji je od zbirova (25 + 37) ili (

27 +

35) veći i za koliko?

3. Riješiti jednačine i nejednačine: a) x + 2,5 = 5,12; c) (1212 − x) + 4

34 = 7

16 ;

b) x − 23 < 56; d) 12 – (4

19 + x) > 4

14.

4. Izračunati: a) (523 + 6

45 ) + (9

13 – 4

12 ); b) (12,375 − 5

56) + (27

512 − 23

23).

Prijedlog trećeg pismenog zadatka

i grupa

ii grupa

16 Dijagonala

5. Prvog dana učenik je pročitao polovinu knjige, drugog trećinu a trećeg preostalih 12 stranica. Koliko stranica ima knjiga?

Ljiljana Krunić, JU OŠ „Vladimir Nazor”, Podgorica

Priprema za treći pismeni zadatak – VII razred 1. Konstruisati trougao ako su poznati sledeći elementi:

a. 𝑎𝑎 = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝛽𝛽 = 45°, 𝛾𝛾 = 60°; b. 𝑎𝑎 = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑏𝑏 = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝛾𝛾 = 90°; c. 𝑎𝑎 = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑏𝑏 = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐 = 6 𝑐𝑐𝑐𝑐.

2. Konstruisati jednakokraki trougao 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 čiji je krak 7 cm, a ugao na osnovici 75°.

3. Konstruisati ortocentar jednakokrakog: a) oštrouglog; b) tupouglog; c) pravouglog trougla.

4. Izračunati: a) −15 +65; b)

−35 +

4−7 ; c)

−36 −

38; d)

34 −

78.

5. Izračunati: a) − 38 + 51

16; b) (25 + (−0,5)) + (−1

14).

6. Dati su brojevi 𝑐𝑐 = −2 23 , 𝑛𝑛 = 416 i 𝑝𝑝 = 2

12.

Poređati po veličini brojeve |𝐴𝐴|, |𝐴𝐴| i |𝐴𝐴| ako je 𝐴𝐴 = 𝑛𝑛 − 𝑐𝑐 + 𝑝𝑝, 𝐴𝐴 = 𝑝𝑝 − 𝑐𝑐 − 𝑛𝑛 i 𝐴𝐴 = 𝑐𝑐 − 𝑛𝑛 + 𝑝𝑝.

7. Riješiti jednačinu: 12 − (2 + 𝑥𝑥 − 216) = 3 −

73.

8. Odrediti najmanji cio broj koji zadovoljava sljedeću nejednakost: −(1 − 𝑥𝑥) − 1 12 ≥ −2 − 10

12.

9. Odrediti vrijednost izraza 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, ako je: (𝑎𝑎 + 32) + (46 + 𝑏𝑏) = 10.

10. Kada je automobil prešao 310 nekog puta i još 112 km stigao je na pola puta. Odrediti dužinu tog puta.

11. Ako je 𝑝𝑝 + 𝑞𝑞 = −3 25 , izračunati vrijednost izraza:

𝑋𝑋 = 2 12 − (−316 − 𝑝𝑝) + 1,2 − (3

34 − 𝑞𝑞).

BONUS ZADATAK 1: Nemanja može da odradi jedan posao za 18 sati. Ako bi mu pomogla Milica, onda bi posao završili za 12 sati. Za koje bi vrijeme Milica odradila sama ovaj posao?








−35 +

4−7 ; c)

−36 −

38; d)

34 −

78.


16; b) (25 + (−0,5)) + (−1

14).


12.



73.


12.




𝑋𝑋 = 2 12 − (−316 − 𝑝𝑝) + 1,2 − (3

34 − 𝑞𝑞).



vii razred

Dijagonala 17








−35 +

4−7 ; c)

−36 −

38; d)

34 −

78.


16; b) (25 + (−0,5)) + (−1

14).


12.



73.


12.




𝑋𝑋 = 2 12 − (−316 − 𝑝𝑝) + 1,2 − (3

34 − 𝑞𝑞).


BONUS ZADATAK 2: Koji broj treba dodati imeniocu a oduzeti brojiocu razlomka 20212020 da bi se dobijeni razlomak sveo do −

23 ?


I grupa

1. a) Konstruisati trougao 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 ako je poznato: 𝑎𝑎 = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑏𝑏 = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝛾𝛾 = 45°. b) Konstruisati težište oštrouglog trougla 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵.

2. a) Riješiti nejednačinu i rješenje predstaviti na brojevnoj pravoj:

2,25 + (𝑥𝑥 − 1 12) ≤ 114.

b) Riješiti jednačinu: 𝑥𝑥 + 12 =34 −

12.

3. Izračunati 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 − 11 15 − 𝐵𝐵, ako je: 𝐴𝐴 = −2 12 + (6,4 − 𝑐𝑐), |𝑐𝑐| =

25 (−𝑐𝑐 > 0) i 𝐵𝐵 = |5 + (−1

12)|.

4. a) Ako je 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = − 23 , odrediti vrijednost izraza 𝑎𝑎 − (23 − 2

15 − 𝑏𝑏).

b) Odrediti elemente skupa 𝑀𝑀, a zatim ih sabrati ako je 𝑀𝑀 = {− 𝑥𝑥3 ∣ 𝑥𝑥 ∈ 𝑍𝑍, −3 ≤ 𝑥𝑥 < 1}.

5. Na jednoj proslavi bilo je 16 učenika, 4 nastavnika i nekoliko roditelja. Od svih prisutnih, 512 su predstavljali očevi, a četvrtinu prisutnih majke učenika. Koliko je bilo prisutnih na toj proslavi?

II grupa

1. a) Konstruisati ∆ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 ako je poznato: 𝑎𝑎 = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑏𝑏 = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐 = 5 𝑐𝑐𝑐𝑐. b) Konstruisati težište tupouglog trougla 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵. 2. a) Riješiti nejednačinu i rješenje predstaviti na brojevnoj pravoj:

1 − (29 − 𝑡𝑡) ≤ 2 − (−114);

b) Riješiti jednačinu: −𝑥𝑥 − 12 =34 + 1

12.

3. Uporediti brojeve 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 𝑖𝑖 𝐵𝐵 ako je: 𝐴𝐴 = |1 − 𝐵𝐵|, 𝐵𝐵 = |𝐵𝐵| − 2 i

𝐵𝐵 = 23 − 215 + 1

12.








−35 +

4−7 ; c)

−36 −

38; d)

34 −

78.


16; b) (25 + (−0,5)) + (−1

14).


12.



73.


12.




𝑋𝑋 = 2 12 − (−316 − 𝑝𝑝) + 1,2 − (3

34 − 𝑞𝑞).


BONUS ZADATAK 2: Koji broj treba dodati imeniocu a oduzeti brojiocu razlomka 20212020 da bi se dobijeni razlomak sveo do −

23 ?


I grupa

1. a) Konstruisati trougao 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 ako je poznato: 𝑎𝑎 = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑏𝑏 = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝛾𝛾 = 45°. b) Konstruisati težište oštrouglog trougla 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵.

2. a) Riješiti nejednačinu i rješenje predstaviti na brojevnoj pravoj:

2,25 + (𝑥𝑥 − 1 12) ≤ 114.

b) Riješiti jednačinu: 𝑥𝑥 + 12 =34 −

12.

3. Izračunati 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 − 11 15 − 𝐵𝐵, ako je: 𝐴𝐴 = −2 12 + (6,4 − 𝑐𝑐), |𝑐𝑐| =

25 (−𝑐𝑐 > 0) i 𝐵𝐵 = |5 + (−1

12)|.

4. a) Ako je 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = − 23 , odrediti vrijednost izraza 𝑎𝑎 − (23 − 2

15 − 𝑏𝑏).

b) Odrediti elemente skupa 𝑀𝑀, a zatim ih sabrati ako je 𝑀𝑀 = {− 𝑥𝑥3 ∣ 𝑥𝑥 ∈ 𝑍𝑍, −3 ≤ 𝑥𝑥 < 1}.

5. Na jednoj proslavi bilo je 16 učenika, 4 nastavnika i nekoliko roditelja. Od svih prisutnih, 512 su predstavljali očevi, a četvrtinu prisutnih majke učenika. Koliko je bilo prisutnih na toj proslavi?

II grupa

1. a) Konstruisati ∆ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 ako je poznato: 𝑎𝑎 = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑏𝑏 = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐 = 5 𝑐𝑐𝑐𝑐. b) Konstruisati težište tupouglog trougla 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵. 2. a) Riješiti nejednačinu i rješenje predstaviti na brojevnoj pravoj:

1 − (29 − 𝑡𝑡) ≤ 2 − (−114);

b) Riješiti jednačinu: −𝑥𝑥 − 12 =34 + 1

12.

3. Uporediti brojeve 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 𝑖𝑖 𝐵𝐵 ako je: 𝐴𝐴 = |1 − 𝐵𝐵|, 𝐵𝐵 = |𝐵𝐵| − 2 i

𝐵𝐵 = 23 − 215 + 1

12.


i grupa

ii grupa

18 Dijagonala

4. a) Odrediti vrijednost izraza 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, ako je 𝑎𝑎 − 1 + (𝑏𝑏 − 15) = 145 .

b) Sabrati sve prave razlomke čiji je imenilac jednak 4. Da li je dobijeni rezultat prirodan broj?

5. Goran je pročitao knjigu za tri dana. Prvog dana je pročitao 38, drugog 5

12 i

trećeg 16 knjige i još 12 stranica. Koliko stranica je imala ta knjiga? Seid Kršić, JU OŠ „21. Maj”, Podgorica

Priprema za treći pismeni zadatak – VIII razred

2. Izračunati:

a) 912 − 92; b) 992−149 ; c)

452−252572−432; d)

53−√11 +

53+√11.

2. Pokazati da je brojevna vrijednost datog izraza racionalan broj: a) (√5 + 4)2 + (4 − √5)2; b) (√12 − 12)2 − (6 − √8)2.

3. Ako je 𝐴𝐴 = 3𝑥𝑥 + 1, 𝐵𝐵 = 2𝑥𝑥 − 3, 𝐶𝐶 = 2 − 𝑥𝑥, srediti polinome: a) 𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2 + 𝐶𝐶2; b) 𝐴𝐴2 − 𝐵𝐵2 + 𝐴𝐴 ∙ 𝐶𝐶; c) (𝐴𝐴 + 𝐶𝐶)2 − 𝐵𝐵2; d) (𝐵𝐵 − 𝐶𝐶)2 + 𝐴𝐴2.

4. Rastaviti izraze na činioce: a) 15𝑎𝑎2 − 35𝑎𝑎; b) 4𝑦𝑦2 − 28𝑦𝑦 + 49; c) 0,01𝑝𝑝2 − 6181 𝑞𝑞

2.

5. Riješiti jednačine: a) 8(2𝑥𝑥 − (3𝑥𝑥 + 2)) + 18 = 7𝑥𝑥 − (3𝑥𝑥 − 5(2𝑥𝑥 − 4)); b) 2𝑥𝑥 − 3 (2𝑥𝑥 − 3(2𝑥𝑥 − 3(2𝑥𝑥 − 3))) = 1; c) (4𝑥𝑥 − 3)(3𝑥𝑥 + 4) − (2𝑥𝑥 + 1)(6𝑥𝑥 − 1) = 1; d) 𝑥𝑥−72𝑥𝑥+5 = −

67;

e) 𝑥𝑥+25 − 3 =𝑥𝑥−1

2 − 𝑥𝑥; f) (2𝑥𝑥 − 1)2 − (𝑥𝑥 + 1)2 = 0.

6. Odrediti nepoznati parameter 𝑘𝑘 u jednačini 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 ∙ √3 = 𝑥𝑥2 + 1, ako je 𝑥𝑥 rješenje jednačine 4𝑥𝑥 =

23.




12 i



2. Izračunati:

a) 912 − 92; b) 992−149 ; c)

452−252572−432; d)

53−√11 +

53+√11.




2.


67;

e) 𝑥𝑥+25 − 3 =𝑥𝑥−1

2 − 𝑥𝑥; f) (2𝑥𝑥 − 1)2 − (𝑥𝑥 + 1)2 = 0.


23.

viii razred


Dijagonala 19




12 i



2. Izračunati:

a) 912 − 92; b) 992−149 ; c)

452−252572−432; d)

53−√11 +

53+√11.




2.


67;

e) 𝑥𝑥+25 − 3 =𝑥𝑥−1

2 − 𝑥𝑥; f) (2𝑥𝑥 − 1)2 − (𝑥𝑥 + 1)2 = 0.


23.

7. Majka ima 36, a kćerka 16 godina. Prije koliko godina je majka bila tri puta starija od kćerke?

8. Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 37 da bi se dobio

razlomak 23? 9. Riješiti nejednačine:

a) 5𝑥𝑥 − 3 < 4𝑥𝑥 − 1; b) 𝑥𝑥−13 +

1−2𝑥𝑥3 ≥

𝑥𝑥−36 −

12;

c) 7−𝑥𝑥2 − 3 <3+4𝑥𝑥

5 − 4; d) 3(2𝑥𝑥 − 1) < 4(3𝑥𝑥 − 8) − 7; e) 𝑥𝑥 − (2𝑥𝑥 − (3𝑥𝑥 − (4𝑥𝑥 − 5))) < 1; f) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 5) − 3(4𝑥𝑥 − 3) ≥ (𝑥𝑥 − 5)2.

10. Naći najveći cio broj 𝑥𝑥 koji zadovoljava nejednačinu: 2𝑥𝑥+13 −3𝑥𝑥−1

2 > 1.


I grupa

1. Uprostiti izraze: a) 4 ∙ (𝑎𝑎 − 5)(𝑎𝑎 + 5) − (2𝑎𝑎 − 3)(2𝑎𝑎 + 3); b) 4 ∙ (𝑦𝑦 − 12 𝑥𝑥) (𝑦𝑦 +

12 𝑥𝑥) − 9 ∙ (𝑦𝑦 −

13 𝑥𝑥)

2.

2. Riješiti jednačine: a) 𝑥𝑥+12 +𝑥𝑥3 = 1 +

16; b) (1 − 𝑥𝑥)

2 = −𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 1. 3. Riješiti nejednačine: a) 2𝑥𝑥 − 5 − (𝑥𝑥 + 2) ≤ −5; b) 𝑥𝑥+13 − 2(𝑥𝑥 + 3) <

12.

4. Brat je stariji od sestre 8 godina. Kroz 5 godina zbir njihovih godina će biti 46. Koliko godina sada ima sestra, a koliko brat?

5. Koji broj treba oduzeti od brojioca i imenioca razlomka 1112 da bi se dobio razlomak jednak recipročnoj vrijednosti polaznog razlomka?

II grupa

1 Uprostiti izraze: a) 9 ∙ (5 − 4𝑥𝑥)(5 + 4𝑥𝑥) − 4 ∙ (3𝑥𝑥 + 7)(3𝑥𝑥 − 7) + 27𝑥𝑥; b) 4 ∙ (12 + 2𝑥𝑥)

2− 9 ∙ (13 𝑥𝑥 + 1) (

13 𝑥𝑥 − 1).




12 i



2. Izračunati:

a) 912 − 92; b) 992−149 ; c)

452−252572−432; d)

53−√11 +

53+√11.




2.


67;

e) 𝑥𝑥+25 − 3 =𝑥𝑥−1

2 − 𝑥𝑥; f) (2𝑥𝑥 − 1)2 − (𝑥𝑥 + 1)2 = 0.


23.

7. Majka ima 36, a kćerka 16 godina. Prije koliko godina je majka bila tri puta starija od kćerke?

8. Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 37 da bi se dobio

razlomak 23? 9. Riješiti nejednačine:

a) 5𝑥𝑥 − 3 < 4𝑥𝑥 − 1; b) 𝑥𝑥−13 +

1−2𝑥𝑥3 ≥

𝑥𝑥−36 −

12;

c) 7−𝑥𝑥2 − 3 <3+4𝑥𝑥

5 − 4; d) 3(2𝑥𝑥 − 1) < 4(3𝑥𝑥 − 8) − 7; e) 𝑥𝑥 − (2𝑥𝑥 − (3𝑥𝑥 − (4𝑥𝑥 − 5))) < 1; f) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 5) − 3(4𝑥𝑥 − 3) ≥ (𝑥𝑥 − 5)2.

10. Naći najveći cio broj 𝑥𝑥 koji zadovoljava nejednačinu: 2𝑥𝑥+13 −3𝑥𝑥−1

2 > 1.


I grupa

1. Uprostiti izraze: a) 4 ∙ (𝑎𝑎 − 5)(𝑎𝑎 + 5) − (2𝑎𝑎 − 3)(2𝑎𝑎 + 3); b) 4 ∙ (𝑦𝑦 − 12 𝑥𝑥) (𝑦𝑦 +

12 𝑥𝑥) − 9 ∙ (𝑦𝑦 −

13 𝑥𝑥)

2.

2. Riješiti jednačine: a) 𝑥𝑥+12 +𝑥𝑥3 = 1 +

16; b) (1 − 𝑥𝑥)

2 = −𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 1. 3. Riješiti nejednačine: a) 2𝑥𝑥 − 5 − (𝑥𝑥 + 2) ≤ −5; b) 𝑥𝑥+13 − 2(𝑥𝑥 + 3) <

12.

4. Brat je stariji od sestre 8 godina. Kroz 5 godina zbir njihovih godina će biti 46. Koliko godina sada ima sestra, a koliko brat?

5. Koji broj treba oduzeti od brojioca i imenioca razlomka 1112 da bi se dobio razlomak jednak recipročnoj vrijednosti polaznog razlomka?

II grupa

1 Uprostiti izraze: a) 9 ∙ (5 − 4𝑥𝑥)(5 + 4𝑥𝑥) − 4 ∙ (3𝑥𝑥 + 7)(3𝑥𝑥 − 7) + 27𝑥𝑥; b) 4 ∙ (12 + 2𝑥𝑥)

2− 9 ∙ (13 𝑥𝑥 + 1) (

13 𝑥𝑥 − 1).


i grupa

ii grupa

20 Dijagonala

2. Riješiti jednačine: a) −2𝑥𝑥 = 10(𝑥𝑥 − 1) + 7; b) 2𝑥𝑥3 −𝑥𝑥−3

6 − 0,5 = 𝑥𝑥. 3. Riješiti nejednačine: a) 3𝑥𝑥 − 2 < 8(𝑥𝑥 + 1); b) 3𝑥𝑥−23 −

3𝑥𝑥+12 ≥ 1.

4. Otac je 30 godina stariji od sina, a 25 godina od kćerke. Koliko godina ima svako od njih ako je otac tri puta stariji od oba djeteta zajedno?

5. Riješiti jednačinu: (3𝑥𝑥 − 7)2 − (4𝑥𝑥 + 5)(4𝑥𝑥 − 3) = 9(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3) − (4𝑥𝑥 + 5)2.

Kristina Radović, JU OŠ „Radojica Perović“, Podgorica

Priprema za treći pismeni zadatak – IX razred

Matematika nas uči da budemo korak ispred svih, da budemo ponosni i priznamo kada nijesmo u pravu!

1. Površina baze pravilne četvorostrane prizme je 25 cm2. Izračunati njenu

površinu i zapreminu ako je H = 2a. 2. Manja dijagonala osnove jednakoivične šestostrane prizme je d1 =

6√3 cm. Izračunati površinu omotača i zapreminu prizme. 3. i) Izračunati površinu pravilne četvorostrane piramide ako je:

a) osnovna ivica 12 cm i visina piramide 8 cm; b) osnovna ivica 10 cm i bočna ivica 13 cm; c) osnovna ivica 10 cm i visina bočne strane 15 cm; d) visina bočne strane 15 cm i visina piramide 12 cm.

ii) Izračunati površinu i zapreminu pravilne četvorostrane piramide ako je površina osnove 36 cm2 i visina piramide 4 cm.

iii) Osnovna ivica pravilne četvorostrane piramide je 24 cm. Izračunati visinu piramide ako se površina omotača prema površini osnove odnosi kao 5 ∶ 4.

4. Osnovna ivica pravilne trostrane piramide je 6cm, a površina omotača je dva puta veća od površine baze. Izračunati površinu piramide.

5. Izračunati zapreminu pravilne šestostrane piramide ako je: a) B = 36√3 cm2, M = 72 cm2;b) M = 36√3 cm2 i visina bočne strane 3√6 cm.



3𝑥𝑥+12 ≥ 1.














iX razred

Priprema za treći pismeni zadatak.

Dijagonala 21



3𝑥𝑥+12 ≥ 1.














6. Osnova piramide je pravougaonik sa stranicama a = 6 cm i b = 4 cm. Podnožje visine piramide je presječna tačka dijagonala osnove. Izračunati površinu i zapreminu piramide ako je bočna visina koja odgovara kraćoj stranici pravougaonika 5cm.

7. Izračunati površinu i zapreminu pravilne trostrane piramide čija je visina bočne strane 2 m, a nagib bočnih strana prema ravni osnove je: a) 60°; b) 45°; c) 30°.

8. Riješiti sistem jednačina:

a) { 3x + 2y = 52x − y = −1, b) {a2 +

b3 = −3

a3 −

b2 =

16 ,

c) { (x − 2)(y + 1) = (x + 3)(y + 2) − 1(2x − 3)(5y + 7) = (5x − 6)(2y + 1), d)

{

1x + y +1

x − y =58

1x − y −

1x + y =

38 .

9. Zbir cifara dvocifrenog broja je 13. Ako od datog broja oduzmemo broj u kojem su cifre jedinica i desetica zamijenile mjesta, dobija se broj 27. Koji je to broj?

10. Broj 78 rastaviti na dva sabirka tako da trećina prvog sabirka bude za 2 veća od petine drugog sabirka.


I grupa

1. Omotač pravilne šestostrane prizme je M = 48 cm2, a visina H = 8 cm. Izračunati zapreminu prizme.

2. Površina omotača pravilne četvorostrane piramide je M = 96cm2, a bočna visina i osnovna ivica su u razmjeri 3 ∶ 4. Izračunati površinu piramide.

3. Bočna ivica pravilne šestostrane piramide je dva puta duža od osnovne ivice. Ako je visina piramide H = 4√3 cm izračunati površinu većeg dija-gonalnog presjeka.

4. Zbir cifara dvocifrenog broja je 9. Ako cifre zamijene mjesta dobija se broj koji je za 9 veći od prvobitnog broja. Koji je to broj?



3𝑥𝑥+12 ≥ 1.















6. Osnova piramide je pravougaonik sa stranicama a = 6 cm i b = 4 cm. Podnožje visine piramide je presječna tačka dijagonala osnove. Izračunati površinu i zapreminu piramide ako je bočna visina koja odgovara kraćoj stranici pravougaonika 5cm.

7. Izračunati površinu i zapreminu pravilne trostrane piramide čija je visina bočne strane 2 m, a nagib bočnih strana prema ravni osnove je: a) 60°; b) 45°; c) 30°.


a) { 3x + 2y = 52x − y = −1, b) {a2 +

b3 = −3

a3 −

b2 =

16 ,

c) { (x − 2)(y + 1) = (x + 3)(y + 2) − 1(2x − 3)(5y + 7) = (5x − 6)(2y + 1), d)

{

1x + y +1

x − y =58

1x − y −

1x + y =

38 .

9. Zbir cifara dvocifrenog broja je 13. Ako od datog broja oduzmemo broj u kojem su cifre jedinica i desetica zamijenile mjesta, dobija se broj 27. Koji je to broj?

10. Broj 78 rastaviti na dva sabirka tako da trećina prvog sabirka bude za 2 veća od petine drugog sabirka.


I grupa

1. Omotač pravilne šestostrane prizme je M = 48 cm2, a visina H = 8 cm. Izračunati zapreminu prizme.

2. Površina omotača pravilne četvorostrane piramide je M = 96cm2, a bočna visina i osnovna ivica su u razmjeri 3 ∶ 4. Izračunati površinu piramide.

3. Bočna ivica pravilne šestostrane piramide je dva puta duža od osnovne ivice. Ako je visina piramide H = 4√3 cm izračunati površinu većeg dija-gonalnog presjeka.

4. Zbir cifara dvocifrenog broja je 9. Ako cifre zamijene mjesta dobija se broj koji je za 9 veći od prvobitnog broja. Koji je to broj?

i grupa

22 Dijagonala

5. Riješiti sistem jednačina: a) metodom zamjene b) metodom suprotnih koeficijenata

{ x + 5y = 73x + 2y = 8, {4x + 3y = −46x + 5y = −7

II grupa

1. Izračunati površinu i zapreminu pravilne četvorostrane piramide ako je ru = 3 cm, a H = 4 cm.

2. Razvijeni omotač pravilne trostrane prizme je kvadrat površine 144 cm2. Izračunati površinu i zapreminu te prizme.

3. Izračunati površinu i zapreminu pravilne šestostrane piramide čija je osnovna ivica 6 cm, a nagibni ugao bočne ivice prema ravni osnove je 45°.

4. „Daj mi jedan kliker pa ću imati dva puta više od tebe“, reče dječak svom drugu. „Ne, daj ti meni jedan kliker, pa ćemo imati jednako“, odgovori mu drug. Po koliko klikera ima svako od njih?


a) {(3x − 1)(1 + y)

3 = xy +13

2 − x − 3y4 = y, b) {

(2x + 1)2 − (y − 1)2 = (2x − y)(2x + y)2x − 2y + 7

2x − 3y + 26 =13 .

BONUS ZADATAK: Keopsova piramida ima osnovnu ivicu a = 230,37 m i bočnu ivicu s = 219,15 m. Provjeriti da li je: a) B = H2; b) O2H = π.

Milan Rosandić, JU OŠ „Oktoih“, Podgorica

ODABRANI ZADACI:

VI razred

1. Izračunati razliku najvećeg i najmanjeg od pravih razlomaka čiji brojioci i imenioci uzimaju vrijednost iz skupa {2, 3, 5, 8}.

2. Umjesto (*) odrediti nepoznate brojeve, tako da važe jednakosti:

a) 5∗ −∗3 =

16 , 𝑏𝑏)

∗8 −

1∗ =

38 ; 𝑐𝑐)

∗5 −

2∗ =

215.


{ x + 5y = 73x + 2y = 8, {4x + 3y = −46x + 5y = −7

II grupa






a) {(3x − 1)(1 + y)

3 = xy +13

2 − x − 3y4 = y, b) {

(2x + 1)2 − (y − 1)2 = (2x − y)(2x + y)2x − 2y + 7

2x − 3y + 26 =13 .



ODABRANI ZADACI:

VI razred



a) 5∗ −∗3 =

16 , 𝑏𝑏)

∗8 −

1∗ =

38 ; 𝑐𝑐)

∗5 −

2∗ =

215.

ii grupa

ODabRaNi ZaDaCi

vi razred

Dijagonala 23


{ x + 5y = 73x + 2y = 8, {4x + 3y = −46x + 5y = −7

II grupa






a) {(3x − 1)(1 + y)

3 = xy +13

2 − x − 3y4 = y, b) {

(2x + 1)2 − (y − 1)2 = (2x − y)(2x + y)2x − 2y + 7

2x − 3y + 26 =13 .



ODABRANI ZADACI:

VI razred



a) 5∗ −∗3 =

16 , 𝑏𝑏)

∗8 −

1∗ =

38 ; 𝑐𝑐)

∗5 −

2∗ =

215.

3. Igor i Saša imaju određeni broj sličica. Ako bi Igor kupio petinu od broja sličica koje ima, ukupan broj njegovih sličica bio bi 60. Ako bi Saša poklonio sestri 13 sličica koje ima, ostalo bi mu 30. Koji od njih dvojice ima više sličica?

4. Mara je odnijela na pijacu dva pileta. Na pitanje kupca o tome kolika je masa pilića, Mara je odgovorila: „Jedno pile ima 1kg i još 15 svoje mase, a

drugo je za 35 svoje mase lakše od 2 kg”. „Kupiću ovo drugo jer je veće“, reče kupac. „Mislim da je prvo pile veće“, odgovori Mara. Ko je od njih dvoje u pravu? Zaokružiti slovo ispred tačnog odgovora. a) Mara; b) kupac; c) ni Mara, ni kupac.

VII razred

1. Konstruisati trougao ABC ako su zadati sledeći elementi: ℎ𝑐𝑐 = 4 cm,𝛼𝛼 = 60°, 𝛽𝛽 = 45°.

2. Konstruisati trougao ABC ako su zadati sledeći elementi: AB = 5 cm, ℎ𝑐𝑐 = 3 cm i 𝑡𝑡𝑐𝑐 = 4 cm.

3. Neka je H ortocentar trougla ABC. Odrediti ugao kod tjemena C ako je CO = AB.

4. Odrediti sve cijele brojeve čija je apsolutna vrijednost manja od vrijednosti

izraza: .5,31,0:43:

312

321:2

21310

316 −

+−+−

VIII razred

1. Koji cijeli broj je najbliži broju b, ako je ( ) ?2

14:212

+−=b

2. Za realne brojeve x i y važe jednakosti x + y = 18 i 17022 =+ yx . Koje vrijednosti će imati razlika x − y?

3. Izračunati: .2005200712008120062

++−

4. a) Odrediti 𝑥𝑥 tako da vrijednosti izraza a(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 i 𝑏𝑏(𝑥𝑥) = 14 – 1,5𝑥𝑥 budu dužine kateta i 𝑐𝑐(𝑥𝑥) = 2,5𝑥𝑥 – 2 dužina hipotenuze pravouglog trougla. b) Za dobijenu vrijednost 𝑥𝑥 odrediti poluprečnik kružnice opisane oko tog

pravouglog trougla.


{ x + 5y = 73x + 2y = 8, {4x + 3y = −46x + 5y = −7

II grupa






a) {(3x − 1)(1 + y)

3 = xy +13

2 − x − 3y4 = y, b) {

(2x + 1)2 − (y − 1)2 = (2x − y)(2x + y)2x − 2y + 7

2x − 3y + 26 =13 .



ODABRANI ZADACI:

VI razred



a) 5∗ −∗3 =

16 , 𝑏𝑏)

∗8 −

1∗ =

38 ; 𝑐𝑐)

∗5 −

2∗ =

215.

3. Igor i Saša imaju određeni broj sličica. Ako bi Igor kupio petinu od broja sličica koje ima, ukupan broj njegovih sličica bio bi 60. Ako bi Saša poklonio sestri 13 sličica koje ima, ostalo bi mu 30. Koji od njih dvojice ima više sličica?

4. Mara je odnijela na pijacu dva pileta. Na pitanje kupca o tome kolika je masa pilića, Mara je odgovorila: „Jedno pile ima 1kg i još 15 svoje mase, a

drugo je za 35 svoje mase lakše od 2 kg”. „Kupiću ovo drugo jer je veće“, reče kupac. „Mislim da je prvo pile veće“, odgovori Mara. Ko je od njih dvoje u pravu? Zaokružiti slovo ispred tačnog odgovora. a) Mara; b) kupac; c) ni Mara, ni kupac.

VII razred

1. Konstruisati trougao ABC ako su zadati sledeći elementi: ℎ𝑐𝑐 = 4 cm,𝛼𝛼 = 60°, 𝛽𝛽 = 45°.

2. Konstruisati trougao ABC ako su zadati sledeći elementi: AB = 5 cm, ℎ𝑐𝑐 = 3 cm i 𝑡𝑡𝑐𝑐 = 4 cm.

3. Neka je H ortocentar trougla ABC. Odrediti ugao kod tjemena C ako je CO = AB.

4. Odrediti sve cijele brojeve čija je apsolutna vrijednost manja od vrijednosti

izraza: .5,31,0:43:

312

321:2

21310

316 −

+−+−

VIII razred

1. Koji cijeli broj je najbliži broju b, ako je ( ) ?2

14:212

+−=b

2. Za realne brojeve x i y važe jednakosti x + y = 18 i 17022 =+ yx . Koje vrijednosti će imati razlika x − y?

3. Izračunati: .2005200712008120062

++−

4. a) Odrediti 𝑥𝑥 tako da vrijednosti izraza a(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 i 𝑏𝑏(𝑥𝑥) = 14 – 1,5𝑥𝑥 budu dužine kateta i 𝑐𝑐(𝑥𝑥) = 2,5𝑥𝑥 – 2 dužina hipotenuze pravouglog trougla. b) Za dobijenu vrijednost 𝑥𝑥 odrediti poluprečnik kružnice opisane oko tog

pravouglog trougla.

vii razred

viii razred

24 Dijagonala

IX razred

1. Neka je 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴1𝐴𝐴1𝐴𝐴1𝐴𝐴1 pravilna četvorostrana prizma osnovne ivice 12 cm i visine 8 cm. Izračunati površinu presjeka ACMN, gdje su M i N središta ivica 𝐴𝐴1𝐴𝐴1 i 𝐴𝐴1𝐴𝐴1 redom.

2. Osnovna ivica pravilne trostrane piramide je dužine x, a bočna strana zaklapa sa ravni osnove ugao od 60ᴼ. Odrediti x ako je mjerni broj površine piramide jednak mjernom broju njene zapremine.

3. Riješiti sistem jednačina: {2|𝑥𝑥| + 3𝑦𝑦 = 23𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3. 4. Krov kuće ima oblik pravilne četvorostrane piramide i pokriven je bakar-

nim limom. Osnovna ivica je 4,5 m, a bočna 5 m. Izračunati masu lima ako je njegova debljina 4 mm i gustina 𝜌𝜌 = 2,4 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑐𝑐3.

Irena Pavićević i Dejana Drakić, JU OŠ „Štampar Makarije”,Podgorica

TAKMIČARSKI ZADACI:

VI razred

1. Šta je veće: 3∗5∗36 ili 5∗3∗

45 ako umjesto (*) mogu da stoje bilo koje cifre?

2. Kako od kanapa dužine 23 𝑚𝑚 odsjeći komad dužine pola metra, bez upotrebe sprava za mjerenje dužine?

VII razred

1. Neka je 𝐴𝐴 = 1 + 11+ 1

1+13

i 𝐴𝐴 = −5 + 12+ 2

3+12

. Dokazati da je 𝐴𝐴 = 711 𝐴𝐴 +

18𝐴𝐴, cio broj. 2. Ako je tačka H ortocentar ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, dokazati da je ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + ∡𝐴𝐴 = 180°.

VIII razred

1. Uporediti brojeve 20102006 + i 20082 . 2. Dat je pravougli trougao ABC takav da je ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90° i ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 15°.

Izračunati vrijednost izraza .ACBC

BCAC

+

IX razred







VI razred

1. Šta je veće: 3∗5∗36 ili 5∗3∗



VII razred

1. Neka je 𝐴𝐴 = 1 + 11+ 1

1+13

i 𝐴𝐴 = −5 + 12+ 2

3+12



VIII razred



BCAC

+

iX razred

TaKMiČaRSKi ZaDaCi

vi razred

vii razred

viii razred

Dijagonala 25

IX razred







VI razred

1. Šta je veće: 3∗5∗36 ili 5∗3∗



VII razred

1. Neka je 𝐴𝐴 = 1 + 11+ 1

1+13

i 𝐴𝐴 = −5 + 12+ 2

3+12



VIII razred



BCAC

+

IX razred

1. Tačka S ne pripada ravni pravougaonika ABCD. Nagib prave SC prema ravni pravougaonika je 45ᴼ, nagib prave SA prema istoj ravni je 30ᴼ a duž SD dužine 6 cm, normalna je na ravan ABCD. Izračunati površinu piramide SABCD.

2. Kocku sira ivice 13 dm napalo je 2021 miševa. Dokazati da se neposredno posle napada može isjeći kocka sira ivice 1dm (kubni decimetar) unutar koje se ne nalazi ni jedan miš.

Irena Pav

A + A B + A B C + A B C D 2 0 2 1Udruženje nastavnika matematike Crne Gore Matematički list za...

Documents

Transcript of A + A B + A B C + A B C D 2 0 2 1Udruženje nastavnika matematike Crne Gore Matematički list za...