Números irracionales

¿Alguna vez has utilizado números irracionales?

Se desea calcular la longitud de un lado de una pista de baile de forma cuadrada, cuya área

es 16 u2

Si A = x2 , obteniendo raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad, tenemos que:

El resultado obtenido es el número que multiplicado por si mismo nos da el valor de 16 esto

es ( 4 ) ( 4 ) ó ( -4 ) (-4 ), el valor negativo se desprecia , el valor del lado del cuadrado es :

X = 4 u

¿Qué crees que sucedería, si el área del cuadrado fuera de 2 U2?

¿Qué número multiplicado por si mismo es igual a 2?

Definimos los elementos:

x = lado del cuadrado

A = área del cuadrado

La fórmula del área del cuadrado es:

A = ( x ) ( x ) = x2

A = 16 u2

x

x

A = X2 Por lo tanto

A Sustituyendo el valor del área = X

16 = X

A 2 = X =

Si hacemos ( 1 ) ( 1 ) = 1 y ( 2 ) ( 2 ) = 4, entonces el número buscado deberá estar entre 1 y

2.

Aproximándonos al número buscado, por ejemplo:

Este resultado es mayor que nuestro 2 por lo tanto, el número es menor de 1.5, que es el

equivalente en decimal a 2

3 ; de lo anterior podrás observar que no es fácil expresar 2

como el cociente de dos números.

Ahora recurre a tu calculadora y obtendrás:

Definición de número irracional:

Número Irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos números

enteros. El conjunto de los números irracionales se representa por la letra Q; como son:

2 , 17 , 5

3, entre otros, o constantes numéricas como: , e, etc.

Cuando trabajamos con irracionales, éstos se aproximan a un racional, dependiendo de la

precisión deseada. Ejemplo:

= 3.14 (con dos decimales).

= 3.1416 (con cuatro decimales).

= 3.14159265 (con ocho decimales)

= 3.1415926535897932384626433832795 (con 31 decimales)

Observa los siguientes números y subraya los irracionales:

2 ; 16 ; 9

4 ;

5

3 ; = 3.14156 . . .

Investiga si en otras materias se usan números irracionales.

2 = 1.4142135...... Por lo tanto podemos decir que

este es un número irracional

= 2

3

4

9

2

3

Actividad No. 1

Comprobación aproximada del valor del número irracional .

Material:

Tapas circulares de diferentes tamaños

Cinta métrica

Regla

Lápiz y borrador

Procedimiento:

Se miden el perímetro y el diámetro de cada tapa anotando en una tabla los valores

correspondientes. Se divide el valor del perímetro entre el valor del diámetro y se anota en

la tabla.

Tabla sugerida:

TAPA

PERÍMETRO

DIÁMETRO

PERÍMETRO

DIÁMETRO

1

2

3

Observa que todos los resultados obtenidos tienen un valor aproximado de 3.1....., no

importando el tamaño de la tapa, a este valor se le llamo “”.

Números reales:

El conjunto de números reales está formado por el conjunto de números racionales e

irracionales y pueden ser positivos o negativos, pueden ser representados en una recta

numérica continua observándose que a cada número le corresponde “uno y solo uno” de los

puntos de la recta, por ejemplo dado R = { -7, , 3/5, 4 }

Se pueden realizar entre ellos las 4 operaciones básicas, la potenciación y la radicación.

Potenciación:

Es el resultado que se obtiene al multiplicar la base por si misma cuantas veces lo indique

el exponente: an

= ( a )( a )( a ) . . .

53 = (5)(5)(5) = 125

Base: Es el número que se multiplica por si mismo.

Exponente: Indica el número de veces que se toma como factor la base.

Potencia: Es el resultado de la operación.

0 -7

4

5

3

POTENCIA

EXPONENTE

BASE

Para el cálculo de potencias enteras de números racionales es necesario conocer las

propiedades o leyes de los exponentes.

m>n nm

n

m

aa

a

n

m

a

a m =n 10 aa

a

a nm

n

m

m <n mnn

m

aa

a

1

1.-Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se suman.

Ejemplo: ( 32 ) ( 3

4 ) = 3

2 + 4 = 3

6

2. Cuando dos potencias de la misma base se dividen, es igual a la misma base y se eleva a

la diferencia de los exponentes, es decir, el del numerador menos el del denominador.

Ejemplo:

3. Si una potencia se eleva a un exponente, se escribe la base elevada al producto de los

exponentes.

Ejemplo: ( 52

)3 = 5

(2)(3) = 5

6

4. Si un término cualquiera formado por dos o más factores se eleva a un exponente, éste

afecta por igual a cada factor.

Ejemplos: a) ( 3 x 8)2 = 3

2 x 8

2

b)

2

=

8

3

82

32

32

36 = 3

6-2 = 3

4

5. Si una cantidad está elevada a un exponente negativo, es igual a una fracción, donde el

numerador es la unidad y el denominador es la misma cantidad con exponente positivo,

como se muestra enseguida: n

m

m

n

a

b

b

a

.

Ejemplos: 4-2

= ;4

12

3

3

35

5

1

1

5

1

6.-. Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a la unidad

Ejemplo 1222

2 055

5

5

; 12

25

5

; 2 10

Radicación:

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Un radical, también puede expresarse en forma de una potencia de exponente fraccionario,

siendo la base de la potencia el radicando, el numerador del exponente será el exponente

del radicando, y el denominador el índice de la raíz.

Ejemplo: 5

3

5 3 xx ; 3

7

3 7 55

82 = 64

64 = 8

a a n

m =

n

m

Exponente fraccionario

Base Radicando

Exponente del Radicando

Índice

Radical

Reglas de los signos de radicación:

a) Si el índice es impar y el radicando es positivo, la raíz es única y positiva

4643 ; 7 2128

b) Si el índice es impar y el radicando es negativo, la raíz es única y negativa

4643 ; 25129

c) Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos raíces de igual valor absoluto,

pero de diferente signo

24 525 aa ; 440966

d) Sí el índice es par y el radicando es negativo, no hay solución en el campo de los

números reales, ya que su resultado es visto en el campo de los números imaginarios.

77 i

Simplificación de radicales:

Simplificar un radical, significa escribirlo en su forma más simple. Ejemplo:

Simplificar 12

Solución:

Descomponer el 12 en sus factores primos:

Significa que 12 se puede escribir de la forma :

No hay solución en el campo de los números

reales, porque no existe un número que al

multiplicarse por si mismo nos de un resultado

igual a – 7.

12 6 3 1

2 2 3

12 = 2 x 2 x 3 , esto es; 12 = 22 x 3

Cambiando la expresión de = =

Ejemplo:

Simplificar

Solución: Se descompone en factores primos el número 432

Significa que 432 se puede escribir como: 432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3, por la ley de los

exponentes podemos escribir esta expresión como: 432 = 24 x 3

3, como el índice de la raíz

es 3, entonces, escribimos esta expresión en función del índice de la raíz: 432 = 23 x 2 x 3

3,

esto es, que:

3 333 )3)(2)(2(432 Efectuando las operaciones, se tiene:

333 33 262)3)(2()3)(2)(2(

Ejemplo:

Simplificar: 32

Expresamos la raíz de la raíz, en función de un solo radicando, es decir:

432 3

432 216 108

54 27 9 3 1

2 2 2 2 3 3 3

22 x 3

3

12

22 3 x 12 =

12 = 2

4 3232 = Descomponiendo el 32 en 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 24 2

Por lo tanto: 44 44 22)2(232

OPERACIONES CON RADICALES.

SUMA Y RESTA DE RADICALES.

Para sumar o restar dos o más radicales, se suman o restan los radicales que sean

semejantes, es decir, aquellos que tengan el mismo radicando e índice.

Ejemplo 1.

Realizar la suma de los siguientes radicales

343)251(32353

Ejemplo 2.

Realizar la suma de los siguientes radicales

bababbaa 75)52()41(524

Ejemplo 3.

Realizar la suma de los siguientes radicales

2005012812

Para resolver este tipo de ejercicios primero se debe simplificar cada uno de los radicales

que intervienen en la suma.

3*412 = 32

2*64128 = 28

2*2550 = 25

2*100200 = 210

Quedando la expresión de la siguiente manera.

Se multiplican los índices de los radicales.

32 + 28 + 25 + 210 = 32 + (8+5+10) 2 = 32 + 23 2

Observa que los radicales que no son semejantes se dejan indicados en la operación.

Ejemplo 4.

Realizar la suma y la resta de los siguientes radicales.

333 8119224

Simplificando la expresión se obtiene:

3 33 )3(224 = 2 3 3

3 33 )3(4192 = 4 3 3

3 33 )3(381 = 3 3 3

quedando la expresión de la siguiente manera:

2 3 3 - 4 3 3 + 3 3 3 = (2-4+3) 3 3 = 3 3

Ejemplo No. 5.

Realiza la siguiente suma y resta de radicales.

3 6 - 5 23 + 4 24 + 2 3 128

= 3 6 - 5 3 2 + 4 )6)(4( + 2 3 )2)(64(

= 3 6 - 5 3 2 + 4(2) 6 + 2 (8) 3 2

= 3 6 - 5 3 2 + 8 6 + 16 3 2

= ( 3 + 8 ) 6 + ( - 5 + 16 ) 3 2

= 11 6 + 11 3 2

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES.

En expresiones del mismo índice se multiplican los coeficientes del radical y los

radicandos conservando el misma índice del radical.

Ejemplo 1.

Realizar la siguiente multiplicación de radicales.

( 4 5 )( 8 5 ) = ( 4)(8) )5)(5( = 32 25 = (32)(5) = 160

Ejemplo 2.

Realizar la siguiente multiplicación de radicales.

(5 3 )( 6 2 ) = (5)(6) )2)(3( = 30 6

En las expresiones de diferente índice o radicando: se aplica la siguiente ley de los

radicales. ( n xa )( m yb ) = )( nynm mx ba

Ejemplo 3.

Realizar la siguiente multiplicación de radicales.

( 1 2 )( 2 3 2 ) = ( 1)( 2) )3)(2(2 =2 6 2

Ejemplo 4.

Realizar la siguiente multiplicación de radicales

( 23 42 )( 6 5 23 ) = ( 2)( 6) )5)(3( )2)(3()5)(4( )3)(2( = 12 )3)(2(15 620 = 12

15 6515 )3)(2)(2(

= ( 12)( 2) 15 65 )3)(2( = 24 15 )729)(32( = 24 15 23328

Explica con tus propias palabras el principio o ley para multiplicar radicales con diferente

índice.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

DIVISION DE RADICALES.

En las expresiones del mismo índice, se dividen los coeficientes de los radicales y de los

radicandos, conservando el mismo radical.

Ejemplo 1.

Realizar la siguiente división de radicales

227

14

3

6

73

146

Ejemplo 2.

Realizar la siguiente división de radicales

5

1

5

1

3*5

3

15

3

El resultado 5

1 se debe racionalizar, para ello, se multiplica el numerador y el

denominador por el radical del denominador.

Tomemos la expresión como ejemplo para racionalizar

( 5

5

25

5)

5

5)(

5

1

El objetivo de racionalizar es que ningún radical debe quedar en el denominador

Ejemplo 3.

Racionalizar la expresión 7

3

( 7

21

49

21

)7)(7(

)7)(3()

7

7)(

7

3

División de radicales con diferente índice o radicando.

Se transforman los radicales hasta obtener índices o radicandos comunes, se dividen los

coeficientes y los radicándoos, conservando el radical común y se simplifica la expresión.

Ejemplo 4.

5

3

2

6=

5/1

3/1

2

6=

15

3

15

5

2

6 151515

3

5

9728

7776

2

6

Observa que las expresiones que tienen el mismo índice son, 15/3

15/5

2

6, ahora transformándola

nuevamente a radical tendremos:

15 3

15 5

2

6 = 15

3

5

2

6= 15

3

55

2

)3)(2(= 15 52 )3)(2( 15 972

Otra forma de resolver radicales con diferente índice es aplicando la fórmula siguiente:

mnny

b

mxa

m yb

n xa

Ejemplo 5.

Resuelva la expresión:

442348411.010227908144.810747561509.4

390625

7

5

7

5

7

5 20 820

1220

15

8

)4)(5(

)3)(5(

)2)(4(

4 3

5 2

xx

EJERCICIO 5

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. 2592 2. 3888

3. 68 4. 3 250

5. 4

27 6. 3

216

48

7. 4 1250 8. 4

81

32

9. 1280 10. 3 4158

EJERCICIOS. 6

1.- 31037323 2.- 31057325

3.- 20251037108212 4. 123238

5.- 125

50 6.-

123 3

7.- 63

4

5

3

2 8.-

3

7

9.- 55 84 10.- 3 31037323

10.- Una fábrica requiere construir un nuevo almacén que le de un espacio de

5000 m2, si el almacén va ha ser cuadrado, ¿cuántos metros tendrá por lado?

Apoyado en la recta numérica y usando números reales resuelve los

siguientes ejercicios:

1. Si Luis Miguel tiene $10.00 y le pagan $4.00 que le debían:

a) Representa esto en una recta numérica

R =

0 10 14

l = lado del cuadrado

A = 5000m2

La fórmula del área del

cuadrado es: A = ( l ) ( l ) = l2

A = 5000 m2

l

l

I = A

I = 5000

I = 70.71 m

b) Hacer la operación con números reales:

R = ____________________________

2. Juan Manuel tiene un peso de 100 kg., se puso a dieta. En el primer mes bajó

9 kg., y en el siguiente mes bajo 11.4 kg. ¿cuál es su peso después de los dos

meses de dieta?

R = ____________________________

3. Grafíca en la recta numérica los siguientes números reales: - ,

, , 2

4. Escribe en forma de potencia, los siguientes productos:

a) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) = R= __________________________

b) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = R= __________________________

c) ( -6 ) ( -6 ) = R= __________________________

5. Resuelve las operaciones que se indican, aplicando las Leyes de los Radicales:

a) 36

25 b)

9

4

3

1 16

4

3

3

8

0