Grupos EspaciaisCombinaes dos retculos de Bravais com os grupos pontuais, para cada um dos sistemas cristalinos, mais as substituies possveis dos eixos e planos pelos eixos helicoidais e planos com deslizamento.

Total: 230 grupos espaciais

Nomenclatura compreende:

- tipo do retculo: P, I, F, C (ou A ou B), R - simetria

Total : 230 grupos espaciais

73 Grupos Espaciais Simples - combinaes diretas entre os tipos de retculos e os Grupos Pontuais

157 Grupos Espaciais derivados destes substituies de eixos e planos por eixos helicoidais e planos com deslizamento

Sistema

Grupos Pontuais

Retculos

Grupos Espaciais P1

1 P

Triclnico

1

P1

Monoclinico ( 90o)

2 m 2/m

P C

P2 C2 Pm Cm P2/m C2/m

P21 Pc Cc P21/m P2/c P21/c C2/c

Sistema

Grupos Pontuais 222

Retculos

Grupos Espaciais

P222 P212121 C222 C2221 Pmmm Pnnn Pbam Cmmm Immm Fmmm Pmma Pnna Pban Cccm Ibam Fddd

P21212 P2221 I222 I212121 Pmmn Pccn Pbcn Cmma Ibca

F222

mmm P C I F

Pmna Pnma Pnnm Pccm Pcca Pbac Pbcm Cmcm Cmca Ccca

Ortorrmbico

mm2

Pmm2 Pma2 Pmc21 Pna21 Cmm2 Ccc2 Imm2 Ima2 Fmm2 Fdd2

Pnc2 Pcc2 Pba2 Pmn21 Pca21 Cmc21 Iba2

Pnn2

Exemplo1: grupo espacial P222 (projeo no plano ab)

1o Passo: identificar o sistema e caracterizar a simetria

- sistema ortorrmbico, a b, = 90o, simetria 222 na origem+

- posio inicial x y z (quadrante positivo)

2o Passo: aplicar os operadores de simetria+

+

-

3o Passo: completar a projeo dos pontos gerados pois a mesma simetria da origem se repete nos demais vrtices.

+

+

+

+

-

-

+

+

+

+

-

-

4o Passo: completar os elementos de simetria presentes

+

+

+

+

-

-

+

+

+

+

-

-

5o Passo: determinar as coordenadas das posies gerais

4 x y z, -x y -z, -x -y z , x -y -z

6o Passo: identificar as posies especiais possveis e substituir os valores nas posies gerais para obter o nmero de posies geradas.Sobre eixos de ordem 2 Sobre cruzamentos 222 1 1 1 1 1 1 1 1 222 222 222 222 222 222 222 222 000 1/2 0 0 0 1/2 0 1/2 1/2 0 0 0 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 00z, x 0 0, 0 y 0, 1/2 0 z, 0 1/2 z, 1/2 y 0, x 1/2 0, 1/2 1/2 z, 0 y 1/2, x 0 1/2, 1/2 y 1/2, x 1/2 1/2, 0 0 -z -x 0 0 0 -y 0 1/2 0 -z 0 1/2 -z 1/2 -y 0 -x 1/2 0 1/2 1/2 -z 0 -y 1/2 -x 0 1/2 1/2 -y 1/2 -x 1/2 1/2

Exemplo2: grupo espacial C222 (projeo no plano ab)

1o ao 4o Passo: so os mesmos do grupo espacial P222.5o Passo: repetir a simetria da origem na centragem, lembrando que retculo C implica numa translao (1/2 1/2 0 ).

+

+ +

+

+

-

+ +

+

+

+

-

-

6o Passo: identificar os elementos de simetria da centragem+

+ +

+

+

-

+ +

+

+

+

-

-

7o Passo: determinar as posies gerais(000, 1/2 1/2 0) + 8 x y z, -x y -z, -x -y z , x -y -z

ou8 x y z, -x y -z, -x -y z , x -y -z, 1/2+x 1/2+y z, 1/2-x 1/2+y -z, 1/2-x 1/2-y z, 1/2+x 1/2-y -z

6o Passo: identificar as posies especiais possveis e substituir os valores nas posies gerais para obter o nmero de posies geradas.Sobre cruzamentos 222 2 2 2 2 222 222 222 222 0 0 0, 1/2 1/2 0 1/2 0 0, 0 1/2 0 0 0 1/2, 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1/2, 0 1/2 1/2

Sobre eixos de ordem 2 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 00z, 0 1/2 z, x 0 0, x 0 1/2, 0 y 0, 0 y 1/2, 1/4 1/4 z, 0 0 -z, 1/2 1/2 z, 0 1/2 -z, 1/2 0 z, -x 0 0, 1/2+x 1/2 0, -x 0 1/2, 1/2+x 1/2 1/2, 0 -y 0, 1/2 1/2+y 0, 0 -y 1/2, 1/2 1/2+y 1/2, 1/4 3/4 -z, 3/4 3/4 z, 1/2 1/2 -z 1/2 0 -z 1/2-x 1/2 0 1/2-x 1/2 1/2 1/2 1/2-y 0 1/2 1/2-y 1/2 3/4 1/4 -z

Exemplo3: grupo espacial Ama2 (projeo no plano ab, origem 1 a 2)

+

1o Passo

+

2o

Passo

+

,

,+

+

+ +

+

3o Passo

+ +

,

,

+ + + +

,

,++

+

+

+

4o Passo+ +

,

,++

+ + +

,

,++

+

+ +

1/2+

+

5o

Passo+ +

,

,

+ 1/2 + 1/2+ +

,

, +1/2

+1/2 + + + 1/2

,

,++

+

,6o Passo

7o Passo

Determinar as coordenadas das posies gerais (0 0 0, 0 1/2 1/2) +

8 x y z, -x -y z, 1/2-x y z, 1/2+x -y z

8o Passo

Determinar as posies especiais lembrando que elementos de simetria com translao so proibidos para posio especial.

4 m 4 2

1/4 y z, 3/4 -y z 0 0 z, 1/2 0 z

Exemplo4: grupo espacial P121/c1 (projeo no plano ab) 1o Passo+

1/2 +

,

1/2 +

, , , ,

1/2+

, , , ,

1/4

1/4

+1/4 1/4

2o Passo1/2+ , +

1/2 -

1/2 +

1/4

1/4

+1/4 1/4

1/2 +

,

1/2 +

1/2+

+1/4 1/4

3o

e

4o

Passos1/2+ , 1/2 +

1/2 +

1/4

1/4

+

Como podemos observar o centro de inverso aparece fora da origem e em 1/4 de z. Devemos ento recomear colocando o centro de inverso na origem.

Refazendo a nova projeo com o centro de inverso na origem fica:-

,+ 1/2+

,

-1/2

-

,+

1/4

1/4

1/4

1/4

-

,+ 1/2 +

,

-1/2 -

,+

1/4

1/4

5o Passo

Posies gerais: 4 x y z, -x -y -z, x 1/2-y 1/2+z, -x 1/2+y 1/2-z

6o Passo

Posies especiais:

2 1 0 0 0, 0 1/2 1/2 2 1 1/2 0 0, 1/2 1/2 1/2 2 1 0 1/2 0, 0 0 1/2 2 1 1/2 1/2 0, 1/2 0 1/2

Exemplo5: grupo espacial P41 (projeo no plano ab)

1o Passo

2o Passo

3o e 4o Passos

5o Passo:

Posies gerais:

4 x y z, -y x 1/4+z , -x -y 1/2+z, y -x 3/4 +z

6o Passo

Posies especiais:

No tem posies especiais pois s tem simetria com translao.