Departement dElectricite, Electronique et Informatique(Institut Montefiore)

Notes du cours ELEC 0029

ANALYSE ET FONCTIONNEMENTDES SYSTEMES DENERGIE ELECTRIQUE

Thierry VAN CUTSEM

directeur de recherches FNRSprofesseur adjoint ULg

janvier 2012

Table des matie`res

1 Puissances en regime sinusodal 5

1.1 Conventions de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Puissance traversant dans une coupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Regime sinusodal: phaseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Puissances instantanee, active, reactive, fluctuante et apparente . . . . . . . . . 8

1.5 Puissance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Expressions relatives aux dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Facteur de puissance et compensation des charges . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Syste`mes triphases equilibres 15

2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Tensions de ligne (ou composees) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Connexions en etoile et en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Analyse par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Puissances en regime triphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Production dun champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Quelques proprietes du transport de lenergie electrique 303.1 Transit de puissance et chute de tension dans une liaison . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Caracteristique QV a` un jeu de barres dun reseau . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Puissance de court-circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1

4 La ligne de transport 37

4.1 Parame`tres lineiques dune ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Caracteristiques des cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 La ligne en tant que composant distribue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Quelques proprietes liees a` limpedance caracteristique . . . . . . . . . . . . . 514.5 Schema equivalent dune ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.6 Limite thermique dune ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Le syste`me per unit 56

5.1 Passage en per unit dun circuit electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Passage en per unit de deux circuits magnetiquement couples . . . . . . . . . . 58

5.3 Passage en per unit dun syste`me triphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Le transformateur de puissance 62

6.1 Transformateur monophase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2 Transformateur triphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3 Valeurs nominales, syste`me per unit et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . 77

6.4 Autotransformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.5 Ajustement du nombre de spires dun transformateur . . . . . . . . . . . . . . 816.6 Transformateur a` trois enroulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.7 Transformateur dephaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Le calcul de repartition de charge (ou load flow) 877.1 Les equations de load flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2 Specification des donnees du load flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.3 Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.4 Prise en compte de contraintes de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2

7.5 Resolution numerique des equations de load flow . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.6 Decouplage electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.7 Lapproximation du courant continu (ou DC load flow) . . . . . . . . . . . . . 1027.8 Analyse de sensibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8 La machine synchrone 109

8.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2 Les deux types de machines synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3 Modelisation au moyen de circuits magnetiquement couples . . . . . . . . . . 113

8.4 Transformation et equations de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.5 Energie, puissance et couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.6 La machine synchrone en regime etabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.7 Valeurs nominales, syste`me per unit et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . 130

8.8 Courbes de capacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9 Comportement des charges 135

9.1 Comportement du moteur asynchrone en tant que charge . . . . . . . . . . . . 135

9.2 Mode`les simples des variations des charges avec la tension et la frequence . . . 141

10 Regulation de la frequence 149

10.1 Regulateur de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.2 Regulation primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.3 Regulation secondaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11 Regulation de la tension 164

11.1 Controle de la tension par condensateur ou inductance shunt . . . . . . . . . . 165

11.2 Regulation de tension des machines synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.3 Compensateurs synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3

11.4 Compensateurs statiques de puissance reactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

11.5 Regulation de tension par les regleurs en charge . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12 Analyse des defauts equilibres 187

12.1 Phenome`nes lies aux defauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

12.2 Comportement de la machine synchrone pendant un court-circuit . . . . . . . . 190

12.3 Calcul des courants de court-circuit triphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

13 Analyse des syste`mes et regimes triphases desequilibres 206

4

Chapitre 1

Puissances en regime sinusodal

Dans ce chapitre nous rappelons quelques definitions et relations fondamentales, essentiellespour lanalyse des syste`mes electriques de puissance. Laccent est mis sur les notions de puis-sance en regime sinusodal.

1.1 Conventions de signe

Considerons le dipole represente a` la figure 1.1, avec ses deux bornes dextremite.

v(t)

convention moteur convention generateur

1

11

1i(t)

v(t)

i(t)

Figure 1.1: dipole: conventions dorientation du courant par rapport a` la tension

La tension v(t) aux bornes du dipole est la difference entre le potentiel de la borne reperee parlextremite de la fle`che et le potentiel de la borne reperee par son origine.

Deux conventions sont possibles en ce qui concerne lorientation du courant i(t) par rapport a`la tension v (cf figure 1.1):

la convention moteur correspond aux sens conventionnels de la Theorie des Circuits1.1prie`re de se reporter aux notes du cours ELEC053

5

Le courant est compte comme positif sil entre dans le dipole par la borne correspon-dant a` lextremite de la fle`che reperant la tension. Dans ce cas, le produit p(t) =v(t) i(t) represente la puissance instantanee absorbee par le dipole. Une valeur positive(resp. negative) indique donc que le dipole consomme (resp. fournit) de la puissance a`linstant t;

la convention generateur correspond aux sens non conventionnels de la Theorie des Cir-cuits. Le courant est considere comme positif sil sort du dipole par la borne correspon-dant a` lextremite de la fle`che reperant la tension. Le produit p(t) = v(t) i(t) representela puissance instantanee generee par le dipole. Une valeur positive (resp. negative) in-dique donc que le dipole produit (resp. consomme) de la puissance a` linstant t.

1.2 Puissance traversant dans une coupe

Lexpression de la puissance instantanee consommee (ou produite) par un dipole se generaliseaisement a` une coupe.

Considerons un circuit compose de deux circuits A et B relies par n+1 conducteurs, traversantune coupe , comme represente a` la figure 1.2. Soit vi la difference de potentiel entre le i-e`meconducteur (i = 1, . . . , n) et le (n+ 1)-e`me, pris arbitrairement comme reference.

A la figure 1.2, les courants dans les n premiers conducteurs sont orientes selon la conventionmoteur (resp. generateur) vis-a`-vis du circuit B (resp. A) et le courant dans le (n + 1)-e`meconducteur est oriente en sens inverse. En vertu de la premie`re loi de Kirchhoff, ce courantvaut:

in+1 =nj=1

ij

Avec cette convention de signe, lexpression:

p(t) =nj=1

vjij (1.1)

represente la puissance instantanee traversant la coupe de A vers B, cest-a`-dire la puissanceabsorbee par B, ou encore la puissance produite par A.

Considerer une autre reference pour les differences de potentiel et montrer que lexpression correspon-dante de la puissance est identique a` (1.1)

6

BA

in+1

i1

vj

ij

Figure 1.2: puissance traversant une coupe

1.3 Regime sinusodal: phaseurs

En regime sinusodal, toute tension se presente sous la forme:

v(t) =2 V cos(t+ ) (1.2)

ou`2V est lamplitude (ou valeur de crete) de la tension, V sa valeur efficace2 et la pulsa-

tion, reliee a` la frequence f et la periode T par:

= 2f =2

T(1.3)

De meme, tout courant se presente sous la forme:

i(t) =2 I cos(t+ ) (1.4)

Definissons les grandeurs complexes suivantes:

V = V ej (1.5)I = I ej (1.6)

ou` les lettres surlignees designent des nombres complexes, afin de les differencier des nombresreels. V est le phaseur relatif a` la tension v(t) tandis que I est le phaseur relatif au couranti(t).

On a evidemment:

v(t) =2 re

(V ej(t+)

)=2 re

(V ejt

)(1.7)

i(t) =2 re

(I ej(t+)

)=2 re

(I ejt

)(1.8)

2la pratique a consacre lusage des valeurs efficaces pour caracteriser les grandeurs sinusodales: lorsque londonne la valeur dune tension alternative, il sagit, sauf mention contraire, de la valeur efficace. Rappelons queV est la valeur de la tension continue qui, appliquee a` une resistance, y dissipe la meme puissance que la tensionsinusodale (1.2) en moyenne

7

Dans le plan complexe, aux nombres V ejt et I ejt, on peut associer des vecteurs tournants.Chaque vecteur part de lorigine 0 + j0 et aboutit au nombre complexe en question. Chaquegrandeur sinusodale est, au facteur

2 pre`s, la projection sur laxe reel du vecteur tournant

correspondant.

Usuellement, pour representer ces vecteurs tournants, on conside`re leur position en t = 0. Acet instant, le vecteur tournant representant la tension nest rien dautre que le phaseur V etcelui representant le courant est le phaseur I .

Une representation graphique des phaseurs est donnee a` la figure 1.3 (dont une partie serautilisee dans un developpement ulterieur). On designe ce type de schema sous le terme dediagramme de phaseur.

IQ

IP

I

V

Figure 1.3: diagramme de phaseur

1.4 Puissances instantanee, active, reactive, fluctuante et ap-parente

Considerons un dipole soumis a` une tension V et parcouru par un courant I .

Projetons le vecteur I sur laxe defini par le vecteur V et de meme orientation que ce dernier(cf figure 1.3). Soit IP le vecteur projete ainsi obtenu. On peut ecrire:

IP = IP ej (1.9)

ou` IP est un nombre reel, positif si le vecteur IP est de meme sens que V et negatif dans le cascontraire. IP est appele courant actif. On a:

IP = I cos( ) (1.10)

8

Projetons a` present le vecteur I sur un axe perpendiculaire au vecteur V et en retard sur cedernier (cf figure 1.3). Soit IQ le vecteur projete ainsi obtenu. On peut ecrire:

IQ = IQ ej (pi

2) (1.11)

ou` IQ est un nombre reel, positif si IQ est en retard sur V et negatif dans le cas contraire. IQest appele courant reactif. On a:

IQ = I sin( ) (1.12)

Exprimons i(t) en fonction des courants actif et reactif. On a successivement:

i(t) =2 re

(Iejt

)=2 re

(IP e

jt + IQejt)=2 re

(IP e

j(t+) + IQej(t+pi

2))

=2IP cos(t+ ) +

2IQ sin(t+ ) (1.13)

En utilisant lexpression (1.2) de la tension et lexpression (1.13) du courant, la puissanceinstantanee vaut:

p(t) = v(t) i(t) = 2V IP cos2(t+ ) + 2V IQ cos(t+ ) sin(t+ )

= V IP [1 + cos 2(t+ )] + V IQ sin 2(t+ ) (1.14)

On en deduit les proprietes importantes suivantes:

la puissance instantanee est la somme de deux composantes, lune relative au courantactif, lautre au courant reactif

la composante relative au courant actif se presente elle-meme sous forme dune sommedun terme constant et dun terme oscillatoire de pulsation 2, changeant donc de signequatre fois par periode. Toutefois, la somme de ces deux termes ne change jamais designe et correspond donc a` une puissance allant toujours dans le meme sens

la composante relative au courant reactif ne comporte quun terme oscillatoire de pulsa-tion 2

sur une periode, les composantes oscillatoires ont une moyenne nulle. La valeur moyennede la puissance p(t) est donc la constante presente dans la composante relative au courantactif. Cette valeur, notee P , est appelee puissance active. On a donc:

P = V IP (1.15)et en utilisant (1.10):

P = V I cos( ) (1.16) lamplitude de la composante relative au courant reactif, notee Q, est appelee puissance

reactive. On a donc:Q = V IQ (1.17)

et en utilisant (1.12):Q = V I sin( ) (1.18)

9

on sait que dans un circuit RLC, le dephasage du courant par rapport a` la tension,cest-a`-dire lexistence du courant reactif IQ, est du aux elements L et C. La puissanceV IQ sin 2(t + ) se rapporte donc a` lenergie magnetique Wm = 12Li

2 emmagasineedans les bobines et a` lenergie electrostatique We = 12Cv

2 emmagasinee dans les con-densateurs. Cette energie est toujours positive (elements passifs !) mais elle passe parun maximum puis sannulle deux fois par periode. La puissance, derivee temporelle delenergie, change de signe au meme rythme

la somme des termes oscillatoires, notee pf(t), est appelee puissance fluctuante. On a:pf(t) = V I cos() cos 2(t+)+V I sin() sin 2(t+) = V I cos(2t++)

(1.19)resultat que lon obtient plus directement en multipliant (1.2) par (1.4). Etant de moyennenulle, la puissance fluctuante ne correspond a` aucun travail utile. La puissance active estla seule composante utile.

le produit:S = V I

est appele puissance apparente. On voit que puissances apparente et active concidentquand il ny a pas de dephasage entre la tension et le courant, cest-a`-dire pas de courantreactif.

Les grandeurs p(t), pf (t), P , Q et S ont toutes la dimension dune puissance et devraient doncsexprimer en watts. Cependant, etant donne la nature tre`s differente de ces grandeurs, onutilise des unites separees:

p(t), pf(t) et P sexpriment en watts, dont le symbole est W . Dans le cadre des reseauxdenergie electrique, il est plus confortable dexprimer les grandeurs en kilowatts (kW)et en megawatts (MW)

Q sexprime en vars (abreviation pour volt ampe`re reactif), dont le symbole est VAr, Varou var (nous retiendrons ce dernier). En pratique, on utilise plutot le kvar et le Mvar

S sexprime en volt.ampe`res (VA). En pratique, on utilise plutot le kVA et le MVA.

1. En partant de lexpression de lenergie magnetique emmagasinee dans une bobine, retrouver celle,etablie plus haut, de la puissance instantanee absorbee.2. Demontrer que la puissance reactive Q consommee par une bobine est reliee a` lenergie moyenne< Wm > quelle emmagasine sur une periode par la relation:

Q = 2 < Wm >

3. En partant de lexpression de lenergie electrostatique emmagasinee dans un condensateur, retrouvercelle, etablie plus haut, de la puissance instantanee absorbee.

10

4. Demontrer que la puissance reactive Q produite par un condensateur est reliee a` lenergie moyenne< We > quil emmagasine sur une periode par la relation:

Q = 2 < We >

1.5 Puissance complexe

La puissance complexe est definie par:

S = V I (1.20)ou` designe le conjugue dun nombre complexe. En remplacant V par (1.5) et I par (1.6) ontrouve:

S = V ejIej = V Iej() = V I cos( ) + jV I sin( ) = P + jQLa partie reelle de la puissance complexe est donc la puissance active tandis que sa partieimaginaire est la puissance reactive. Le module de la puissance complexe vaut quant a` lui:

S =P 2 +Q2 = V I (1.21)

cest-a`-dire la puissance apparente.

Linteret de la puissance complexe reside dans le fait que P et Q se calculent souvent plusaisement en passant par S.

Lorsque lon travaille avec la puissance complexe, on est souvent amene a` utiliser le

theore`me de conservation de la puissance complexe3: dans un circuit alimentepar des sources sinusodales fonctionnant toutes a` la meme frequence, la sommedes puissances complexes entrant dans toute partie du circuit est egale a` la sommedes puissances complexes recues par les branches de cette partie du circuit.

Applique a` la figure 1.4, par exemple, ce theore`me fournit:

S1 + S2 + S3 =i

Sbi

ou` le membre de droite represente la somme des puissances complexes recues par toutes lesbranches du circuit C. En decomposant en parties reelles et imaginaires, on obtient les bilansde puissance active et reactive:

P1 + P2 + P3 =i

Pbi

Q1 +Q2 +Q3 =i

Qbi

11

I1

V2

I2

I3

V3V1

S2 = V2I2

S3 = V3I3S1 = V1I

1

C

Figure 1.4: illustration du theore`me de la conservation de la puissance complexe

Le bilan de puissance est une notion naturelle en ce qui concerne la puissance instantanee: iltraduit le principe de conservation de lenergie, dont la puissance est la derivee temporelle. Ilest presque aussi naturel de constater quil sapplique a` la puissance active, qui representela valeur moyenne de la puissance instantanee. Mais le fait le plus remarquable est quilsapplique egalement a` la puissance reactive, pour laquelle on va donc pouvoir parler de pro-ductions, de consommations et de pertes, au meme titre que pour la puissance active.

1.6 Expressions relatives aux dipoles

La table 1.1 donne les relations entre tension, courant et puissances pour un dipole tandis que latable 1.2 donne les expressions des puissances actives et reactives consommes par les dipoleselementaires. Dans les deux cas, on a considere la convention moteur.

On notera quune inductance consomme de la puissance reactive, tandis quune capacite enproduit.

Table 1.1: tension, courant et puissances dans un dipole (convention moteur)V = Z I = (R + jX) I I = Y V = (G+ jB) V

Z : impedance Y : admittanceR : resistance G : conductanceX : reactance B : susceptance

S = ZI2 S = Y V 2

P = RI2 P = GV 2

Q = XI2 Q = BV 2

3la demonstration sappuie sur le theore`me de Tellegen. On la trouve dans de nombreux traites de Theorie descircuits

12

Table 1.2: puissances absorbees par les dipoles elementaires (convention moteur)resistance R inductance L capacite C

0 /2 /2P RI2 =

V 2

R0 0

Q 0 LI2 =V 2

L I

2

C= CV 2

1.7 Facteur de puissance et compensation des charges

Considerons une charge alimentee par une source de tension (cf figure 1.5.a). Rappelons quela puissance active P correspond a` la puissance utile consommee par la charge.

+V

ba

C

charge

L

R

I

Figure 1.5: compensation dune charge pour amelioration de son facteur de puissance

De (1.16) on tire lexpression du courant parcourant le circuit:

I =P

V cos( )

Cette relation montre que, pour une meme puissance utile P et sous une tension V constante,le courant augmente dautant plus que cos( ) est faible.On designe cos( ) sous le vocable de facteur de puissance. Le facteur de puissance estdautant plus faible que le courant est fortement dephase par rapport a` la tension. Dans le casdune charge resistive, le facteur de puissance est egal a` lunite.

On a dailleurs a` partir de (1.21):I =

P 2 +Q2

Vqui montre que pour une meme puissance utile P et sous une tension V constante, le courantaugmente avec la puissance reactive, consommee ou produite par la charge.

13

Laugmentation du courant I requiert dutiliser des sections de conducteurs plus importantes,dou` un investissement plus important. Elle entrane egalement des pertes RI2 par effet Jouleplus elevees dans les resistances des conducteurs traverses par le courant, dou` un cout defonctionnement plus eleve.

Nous verrons ulterieurement que la consommation de puissance reactive entrane egalementune chute des tensions, susceptible de gener le bon fonctionnement de la charge.

La plupart des charges etant inductives (a` cause de la presence de circuits magnetiques), doncconsommatrices de puissance reactive, il y a interet a` compenser ces dernie`res, cest-a`-dire a`produire de la puissance reactive de sorte que lensemble presente un facteur de puissance aussiproche que possible de lunite. Le moyen le plus simple consiste a` brancher des condensateursen paralle`le sur la charge.

Considerons a` titre dexemple le cas dune charge RL, comme represente a` la figure 1.5.b. Lefacteur de puissance vaut:

cos( ) = PP 2 +Q2

=RI2

R2I4 + 2L2I4=

RR2 + 2L2

Pour avoir une compensation ideale, il faut que la puissance reactive Qc produite par le con-densateur egale la puissance reactive Q consommee par la charge, soit:

Qc = Q CV 2 = L V

2

R2 + 2L2

C = LR2 + 2L2

Notons que si la charge varie au cours du temps, il est necessaire dadapter le volume de com-pensation de manie`re a` conserver un facteur de puissance aussi proche que possible de lunite.Ceci peut etre realise en disposant plusieurs condensateurs en paralle`le et en enclenchant lenombre adequat.

Pour des charges variant tre`s rapidement, il peut devenir difficile de declencher/enclencher lescondensateurs au moyen de disjoncteurs, condamnes a` une usure prematuree. On peut alorsfaire appel a` lelectronique de puissance.

Notons enfin quune surcompensation conduit a` une augmentation du courant au meme titrequune absence de compensation.

14

Chapitre 2

Syste`mes triphases equilibres

Si lon excepte la presence de liaisons haute tension a` courant continu, la quasi-totalite dutransport et de la distribution denergie electrique est realisee au moyen de syste`mes triphases.Comme on le rappelle dans ce chapitre, les avantages principaux de ce syste`me sont leconomiede conducteurs et la possibilite de generer des champs magnetiques tournants dans les generateurset dans les moteurs.

Dans ce chapitre, nous rappelons le principe de fonctionnement dun tel syste`me, en regimeequilibre, ainsi que les grandeurs et les relations qui le caracterisent.

2.1 Principe

Un circuit triphase equilibre est constitue de trois circuits identiques, appeles phases. Le regimetriphase equilibre est tel que les tensions et les courants aux points des trois phases qui secorrespondent sont de meme amplitude mais decales dans le temps dun tiers de periode dunephase a` lautre.

La figure 2.1 donne un exemple de syste`me triphase qui pourrait representer un generateuralimentant une charge par lintermediaire dune ligne de transport que nous supposerons ideale,pour simplifier. On a pour les tensions indiquees sur cette figure:

va(t) =2V cos(t+ )

vb(t) =2V cos((t T

3) + ) =

2V cos(t+ 2

3)

vc(t) =2V cos((t 2T

3) + ) =

2V cos(t+ 4

3)

et pour les courants:

ia(t) =2I cos(t+ ) (2.1)

15

ib(t) =2I cos((t T

3) + ) =

2I cos(t+ 2

3) (2.2)

ic(t) =2I cos((t 2T

3) + ) =

2I cos(t+ 4

3) (2.3)

relations dans lesquelles on a tenu compte de (1.3).+ +

+

2

phase c

phase b

phase a

ic

ib

vbvc

va

ia

12

3

1

3

Figure 2.1: circuit triphase constitue de trois circuits monophases

Les diagrammes de phaseur relatifs aux tensions et aux courants se presentent sous formedetoiles aux branches de meme amplitude et dephasees lune par rapport a` lautre de 2/3radians (120 degres), comme represente a` la figure 2.2. On a donc pour les tensions:

Va = V ej

Vb = V ej( 2pi

3) = Vae

j 2pi3

Vc = V ej( 4pi

3) = Vae

j 4pi3 = Vbe

j 2pi3

et pour les courants:

Ia = Iej

Ib = Iej( 2pi

3) = Iae

j 2pi3

Ic = Iej( 4pi

3) = Iae

j 4pi3 = Ibe

j 2pi3

Il est clair que:

Va + Vb + Vc = 0 (2.4)Ia + Ib + Ic = 0 (2.5)

Nous avons suppose que londe de tension de la phase b est en retard sur celle de la phase aet celle de la phase c en retard sur celle de la phase b. Dans le diagramme de la figure 2.2, un

16

Ic

O

Va

Ia

Vb

Ib

Vc

Figure 2.2: diagramme de phaseur des tensions et courants en regime triphase equilibre

observateur place en O voit passer les vecteurs tournants dans lordre a, b, c. On dit que lestensions Va, Vb, Vc forment une sequence directe.

En fait, la configuration de la figure 2.1 presente peu dinteret. On peut obtenir un montage plusinteressant en regroupant les conducteurs de retour 11, 22 et 33 en un conducteur unique.Ce dernier est parcouru par le courant total Ia + Ib + Ic = 0. On peut donc supprimer cetteconnexion sans modifier le fonctionnement du syste`me, ce qui donne le circuit de la figure 2.3,typique des reseaux de transport a` haute tension.

++

+

phase c

NN

phase a

phase b

Figure 2.3: un authentique circuit triphase !

Lavantage du syste`me triphase de la figure 2.3 par rapport a` un syste`me monophase est evident:la puissance transmise par le syste`me triphase a` travers la coupe vaut 3 fois celle transmisepar une de ses phases, pour seulement 1,5 fois le nombre de conducteurs. De facon equivalente,le syste`me triphase de la figure 2.3 transporte autant de puissance que celui de la figure 2.1 maisavec moitie moins de conducteurs.

17

Les points tels que N et N sont appeles neutres. En regime parfaitement equilibre, tous lesneutres sont au meme potentiel.

Les tensions Va, Vb ou Vc sont appelees tensions de phase ou tensions phase-neutre.

2.2 Tensions de ligne (ou composees)Definissons a` present les differences:

Uab = Va Vb (2.6)Ubc = Vb Vc (2.7)Uca = Vc Va (2.8)

Ces tensions sont appelees tensions composees ou tensions entre phases ou tensions de ligne.

Le diagramme de phaseur correspondant, represente a` la figure 2.4, fournit:

Uab =3 Va e

j pi6 =

3 V ej(+

pi6) (2.9)

Ubc =3 Vb e

j pi6 =

3 V ej(+

pi6 2pi

3) (2.10)

Uca =3 Vc e

j pi6 =

3 V ej(+

pi6 4pi

3) (2.11)

Vc

UbcVb

Uab

Va

Uca

Figure 2.4: tensions de phase et tensions de ligne

On voit que lamplitude de la tension de ligne vaut3 fois celle de la tension de phase et que

Uab, Ubc et Uca forment aussi une sequence directe.

Il est a` noter quen pratique, quand on specifie la tension dun equipement triphase, il sagit,sauf mention contraire, de la valeur efficace de la tension de ligne. Cest le cas lorsque lonparle, par exemple, dun reseau a` 380, 150, 70, etc. . . kV.

18

2.3 Connexions en etoile et en triangle

Il existe deux modes de connexion dun equipement triphase: en etoile ou en triangle, commerepresente a` la figure 2.5.

a

bcc b

a

IabIac

Ia

ZY

ZY ZY

IbIc IbIc

Z

ZZ

Ia

Figure 2.5: connexion dune charge triphasee en etoile et en triangle

Recherchons la relation entre les courants Iab et Ia dans le montage en triangle. On a succes-sivement:

Ia = Iab+ Iac =Uab + Uac

Z=Uab Uca

Z=

Uab Uabej 4pi3Z

=UabZ

(1ej 4pi3 ) =3 ej

pi6 Iab

dont on tire evidemment :Iab =

13ej

pi6 Ia (2.12)

Le cours de Circuits electriques (et plus precisement la methode par transfiguration) a montreque, si lon applique les memes tensions de phase Va, Vb et Vc aux deux montages, les courantsde phase Ia, Ib et Ic sont identiques a` condition que :

Z = 3 ZY (2.13)

Etablir cette relation en exprimant que les deux montages consomment la meme puissance complexe.

Une charge alimentee sous tension monophasee doit donc etre placee dans une branche detoileou de triangle, selon la valeur de la tension en question.

Les distributeurs delectricite veillent a` connecter les differentes charges monophasees de ma-nie`re a` equilibrer les trois phases. Cest pourquoi il est raisonnable de considerer que lescharges vues du reseau de transport sont equilibrees.

19

Au niveau dune habitation alimentee en triphase (380 V entre phases), les equipements mono-phases fonctionnant sous 220 V sont places entre phase et neutre. On veille a` repartir lesequipements (p.ex. les pie`ces dhabitation) sur les phases de la manie`re la plus equilibreepossible. Evidemment, au niveau dune habitation, il existe un desequilibre. Les cablesdalimentation sont dotes dun conducteur de neutre et ce dernier est parcouru par un cer-tain courant. Les neutres des differents consommateurs sont regroupes. Au fur et a` mesure dece groupement, le courant total de neutre devient negligeable devant les courants de phases.Notons que le cable dalimentation peut etre dote dun cinquie`me conducteur, destine a` mettreles equipements a` la terre.

Certaines charges, alimentees sous une tension sinusodale, produisent des harmoniques decourant. Ces derniers ont des effets indesirables telles que pertes supplementaires, vibrationsdans les machines, perturbations des equipements electroniques, etc. . . . Il convient donc deprendre des mesures pour limiter leur propagation dans le reseau. Etant donne que dans unspectre de Fourier, lenergie contenue dans une harmonique diminue quand le rang de cetteharmonique (cest-a`-dire la frequence) augmente, ce sont principalement les harmoniques derang le plus bas quil faut supprimer (ou du moins attenuer).La connexion des charges en triangle permet la suppression de certaines harmoniques. A titredexemple, le lecteur est invite a` resoudre lexercice qui suit.

Considerant une charge montee en triangle, avec dans chacune des branches un courant i(t):

periodique, de periode 1/f impair: i(t) = i(t) presentant, a` linterieur de chaque demi-periode, une symetrie caracterisee par: i(T2 t) = i(t)

montrer que les courants de ligne ne comportent pas dharmonique pair et aucun harmonique de pulsa-tion inferieure a` 5.

2.4 Analyse par phase

La symetrie qui existe entre les differentes phases permet de simplifier lanalyse dun syste`metriphase equilibre. Il suffit en effet de determiner tensions et courants dans une phase, pourobtenir automatiquement les tensions et courants dans les autres phases, par simple dephasagede 2/3 radians.Pour pouvoir determiner letat electrique dune phase en se passant des deux autres, deuxoperations sont toutefois necessaires:

20

remplacer les charges connectees en triangle par leur schema equivalent en etoile, enutilisant simplement la relation (2.13);

saffranchir des couplages inductifs et capacitifs entre phases. Cette operation simple estdetaillee dans les deux sous-sections qui suivent.

2.4.1 Traitement des couplages inductifs entre phases

Considerons le circuit triphase de la figure 2.6, dans lequel chaque phase posse`de une resistance,une self-inductance et un couplage inductif avec les autres phases.

R

Va

Vb

Vc

M

M

Vb

Ic

Ib

Vc

M

Va

L

L

L

Ia

R

R

Figure 2.6: couplage inductif entre phases

Les tensions dextremite sont liees aux courants par:

VaVbVc

=

VaVbVc

+

Zs Zm ZmZm Zs ZmZm Zm Zs

IaIbIc

relation dans laquelle on a suppose (idealement) un parfait equilibre entre les phases (memeterme diagonal dans chaque phase et meme terme non-diagonal quelle que soit la paire dephases consideree).La premie`re composante de cette relation matricielle donne:

Va = Va + ZsIa + ZmIb + ZmIc

et en tenant compte du fait que le regime est equilibre :

Va = Va +[Zs + Zm(e

j 2pi3 + ej

4pi3 )]Ia

= Va +[Zs Zm

]Ia

21

Tout se passe donc comme si la phase a etait seule mais presentait une impedance:

Zeq = Zs Zm (2.14)qui est appelee impedance cyclique. Insistons sur le fait que ce resultat nest valable quenregime equilibre !

Dans le cas represente a` la figure 2.6, on trouve aisement que:

Zeq = R + j(LM) (2.15)Le schema equivalent par phase est donc celui de la figure 2.7.a. Dans ce schema, la premie`reloi de Kirchhoff impose un courant de retour Ia. Comme on la dit plus haut, celui-ci nexistepas dans le circuit triphase.

C + 3CmVaVa

baIaIa

Ia Ia

Va

Ia

Ia

LMR

Figure 2.7: schemas equivalents par phase des circuits des figures 2.6 et 2.8

2.4.2 Traitement des couplages capacitifs entre phases

Considerons a` present le circuit de la figure 2.8, dans lequel chaque phase posse`de un couplagecapacitif avec la terre et avec les autres phases.

Notons que chaque phase presente la meme capacite C par rapport a` la terre (supposee aupotentiel nul) et que chaque paire de phases presente la meme capacite mutuelle Cm.La relation entre courants et tensions est:

Ia IaIb IbIc Ic

=

Ys Ym YmYm Ys YmYm Ym Ys

VaVbVc

Notons ici encore lhypothe`se de parfaite symetrie triphasee. La premie`re composante de cetterelation matricielle donne:

Ia Ia = YsVa + YmVb + YmVcet en tenant compte du fait que le regime est equilibre:

Ia Ia =[Ys + Ym(e

j 2pi3 + ej

4pi3 )]Va

=[Ys Ym

]Va

22

CIa

CmC

VaIa

Ic

Ib

VcIc

IbVb

Cm

Cm

C

Figure 2.8: couplage capacitif entre phases

On voit que tout se passe comme si la phase a etait seule mais avec une admittance entre phaseet neutre :

Yeq = Ys Ym (2.16)

Dans le cas represente a` la figure 2.8, on a Ys = jC + 2jCm et Ym = jCm et donc :

Yeq = j(C + 3Cm) (2.17)

Le schema equivalent par phase est donc celui de la figure 2.7.b.

2.4.3 Schema unifilaire

F

jeu de barres

transformateur

gnrateur

charge

A

B

C

D

E

Figure 2.9: schema unifilaire dun syste`me de puissance

Lanalyse par phase se concretise en particulier dans lutilisation du schema unifilaire. Il sagit

23

dun diagramme monophase, sans conducteur de retour, representant les equipements qui com-posent un syste`me de puissance. Un exemple est donne a` la figure 2.9.

Les equipements tels que lignes, cables, transformateurs, generateurs, charges, etc. . . sont reliesentre eux, dans les postes a` haute tension, par lintermediaire de barres conductrices. Une barreest consideree comme un equipement equipotentiel. Lensemble des trois barres relatives auxtrois phases est appele un jeu de barres. Les jeux de barres du syste`me de la figure 2.9 sont A,B, . . . , F.

2.5 Puissances en regime triphase

La puissance instantanee traversant la coupe des figures 2.1 et 2.3 vaut:

p(t) = vaia + vbib + vcic

= 2V I[cos(t+ ) cos(t+ ) + cos(t+ 2

3) cos(t+ 2

3) +

+ cos(t+ 43) cos(t+ 4

3)]

= 3V I cos( )+V I

[cos(2t+ + ) + cos(2t+ + 4

3) + cos(2t+ + 2

3)]

= 3V I cos( ) = 3POn voit que la puissance instantanee est une constante, egale a` trois fois la puissance activeP transferee par une des phases. Il ny a donc pas de puissance fluctuante en regime triphaseequilibre.

Puisque la puissance reactive a ete definie comme lamplitude dun des termes de la puissancefluctuante (cf (1.14,1.17)), on pourrait penser que la notion de puissance reactive nest pasappelee a` jouer un role en regime triphase equilibre. Il nen est rien. En fait, dans chaque phase,il y a une puissance fluctuante; une de ses composantes correspond a` lenergie emmagasineedans les bobines et les condensateurs de cette phase et son amplitude est la puissance reactiveQ relative a` la phase consideree. Simplement, les puissances fluctuantes des differentes phasessont decalees temporellement dun tiers de periode, de sorte que leur somme est nulle a` toutinstant.

La puissance complexe triphasee vaut, par extension de la formule monophasee:

S3 = VaIa + VbI

b + VcI

c = VaI

a + Vae

j 2pi3 Iae

j 2pi3 + Vae

j 4pi3 Iae

j 4pi3 = 3VaI

a

La partie reelle de S est la puissance active triphasee:

P3 = 3V I cos( ) = 3P (2.18)tandis que la partie imaginaire est la puissance reactive triphasee:

Q3 = 3V I sin( ) = 3Q (2.19)

24

La notion de puissance reactive triphasee est artificielle dans la mesure ou` il ny a pas de puis-sance fluctuante triphasee. En fait, seule la puissance reactive par phase Q a une interpretation.Q3 = 3Q est une grandeur aussi artificielle quun courant triphase 3I . Cependant, cettenotion est universellement utilisee, pour des raisons de symetrie avec la puissance active.

En vertu de (2.9), on a:P3 =

3UI cos( ) (2.20)

Q3 =3UI sin( ) (2.21)

ou` U est la valeur efficace de la tension de ligne. Ces formules sont souvent utilisees parcequelle font intervenir U , elle-meme utilisee pour designer la tension. Notons toutefois que cesformules sont hybrides dans la mesure ou` est le dephasage entre le courant et la tensionde phase (et non la tension de ligne).

2.6 Production dun champ tournant

Montrons finalement comment un ensemble de courants triphases peut etre utilise pour pro-duire un champ tournant dans une machine.

Les machines electriques tournantes, tels les generateurs des centrales electriques, sont con-stituees dun stator, qui est la partie fixe, et dun rotor, qui est la partie tournante, separee dela premie`re par un entrefer. Stator et rotor sont tous deux fabriques dans un materiau a` hautepermeabilite magnetique.

Le stator dun machine tournante triphasee est dote dun ensemble de trois enroulements, cor-respondant chacun a` une phase. Un de ces enroulements, que nous supposerons relatif a` laphase a, est represente en coupe a` la figure 2.10.a et en perspective a` la figure 2.10.b1.

Si lon injecte un courant continu dans lenroulement en question, les lignes du champ magne-tique qui en resulte se disposent comme represente en pointille a` la figure 2.10.a. Notons que lapermeabilite magnetique du materiau etant beaucoup plus elevee que celle de lair de lentrefer,les lignes de champ sont orientees dans ce dernier selon la normale a` la surface (cylindrique)exterieure du rotor et la surface interieure du stator. En dautres termes, le champ est radial entout point de lentrefer.

Reperons un point quelconque P de lentrefer au moyen de langle (cf figure 2.10.a) etdesignons par H() lamplitude du champ magnetique en ce point. H() est une fonctionperiodique, de periode 2 dont le developpement en serie de Fourier secrit:

H() = c1 cos+ c3 cos 3+ c5 cos 5+ . . .

En pratique, les constructeurs sefforcent de rendre les harmoniques spatiaux en 3, 5, etc. . .aussi faibles que possible, en jouant sur le nombre et la disposition des conducteurs. On peut

1insistons sur le fait que ces figures donnent seulement un schema de principe

25

a bstator

entrefer

P

rotor

Figure 2.10: enroulement statorique dune des trois phases

donc ne retenir que le premier terme du developpement ci-dessus. Le champ etant par ailleursproportionnel au courant ia (en negligeant toute saturation a` ce stade), on peut ecrire:

H() = kia cos (2.22)

Lenroulement de la phase b (resp. c) est decale spatialement de 2/3 (resp. 4/3) radianspar rapport a` celui de la phase a2. La figure 2.11.a montre la disposition des trois phases, enrepresentant chaque enroulement par une seule spire, pour des raisons de lisibilite.

Le champ total cree par les trois phases vaut donc, au point correspondant a` langle :

H3 = kia cos+ kib cos( 23) + kic cos( 4

3)

et si lon alimente lensemble par les courants triphases equilibres (2.1, 2.2, 2.3):

H3 =2kI

[cos(t+ ) cos+ cos(t+ 2

3) cos( 2

3)+

+ cos(t+ 43) cos( 4

3)]

=

2kI

2

[cos(t+ + ) + cos(t+ ) + cos(t+ + 4

3)

+ cos(t+ ) + cos(t+ + 23) + cos(t+ )

]2la position relative des phases depend du sens de rotation de la machine. Dans le cas present, on suppose que

le rotor tourne dans le sens trigonometrique. Cette assertion sappuie sur des considerations du chapitre 8

26

ab

c

b

cb

c

b

cb c

bc

b

a

a

a

p = 2p = 1

a

a a

axe phase caxe phase b

axe phase a

Figure 2.11: disposition des enroulements statoriques triphases

=32kI

2cos(t+ ) (2.23)

Cette relation est celle dune onde qui circule dans lentrefer a` la vitesse angulaire , commerepresente a` la figure 2.12, dans laquelle lentrefer a ete deroule.

20

N

S

Figure 2.12: onde de champ circulant dans lentrefer (deroule)

Les trois courants triphases produisent donc le meme champ magnetique quun aimant (ou unenroulement parcouru par du courant continu) tournant a` la vitesse angulaire . Les poles Nordet Sud de cet aimant sont reperes a` la figure 2.12. Cest pourquoi on parle de champ tournant.

Etant donne que le champ tourne a` la meme vitesse que les vecteurs tournants associes aux

27

grandeurs sinusodales, on peut representer ces differents vecteurs sur un meme diagrammede phaseur, comme a` la figure 2.13. Dans cette figure, laxe horizontal est a` la fois laxe surlequel on projette les vecteurs tournants pour obtenir les evolutions temporelles des grandeurssinusodales et laxe de reference par rapport auquel on repe`re la position angulaire , cest-a`-dire laxe de la phase a, par coherence avec ce qui prece`de. Le diagramme de phaseur montrantla position des vecteurs tournants a` linstant t = 0, le vecteur representant le courant Ia fait unangle avec laxe de reference. La relation (2.23) montre quen t = 0, le champ magnetiqueest maximal en = . Le vecteur representant le champ tournant concide donc avec Ia.

IcIa

H3

Ib

NS

Figure 2.13: diagramme de phaseur et position du champ tournant

Dans certaines machines (generateurs de centrales hydrauliques par exemple), on desire quele champ tourne a` une vitesse plus faible, tout en alimentant le stator avec des courants depulsation . On obtient ce resultat en repetant plusieurs fois la sequence (a, b, c) sur la cir-conference du stator. Si la sequence se repe`te p fois, on dit que la machine posse`de p paires depoles. Par exemple, la figure 2.11.b se rapporte a` une machine a` 2 paires de poles. On parcourtla sequence comple`te (a, b, c) sur rad (au lieu de 2 dans le cas p = 1) et chaque phasesetend sur un angle dau plus /2 rad (au lieu de dans le cas p = 1).Dans ces conditions, lexpression (2.22) devient H() = kia cos p. En recommencant ledeveloppement ci-dessus, on trouve a` present:

H3 =32kI

2cos(t+ p)

A un instant donne, le champ H3 est maximal en p points et minimal en p autres points. Lavitesse angulaire du champ magnetique est donc /p. Le tableau ci-dessous donne quelquesexemples, pour un reseau a` 50 ou a` 60 Hz.

28

nombre p vitesse angulairede paires /p en tours/minutede poles f = 50 Hz f = 60 Hz

1 3000 36002 1500 18004 750 9006 500 600

20 150 18040 75 90

29

Chapitre 3

Quelques proprietes du transport delenergie electrique

Dans ce chapitre nous montrons quelques proprietes fondamentales du fonctionnement desreseaux denergie electrique en regime etabli et nous introduisons quelques notions impor-tantes.

3.1 Transit de puissance et chute de tension dans une liaison

3.1.1 Mode`le et relations principales

Considerons le syste`me simple de la figure 3.1. Il comporte deux jeux de barres (ou noeudselectriques, ou simplement noeuds) relies par une ligne ou un cable, dont nous supposons quele schema par phase consiste en une resistance R en serie avec une reactance X . Comme nousle verrons au Chapitre 6, le transformateur de puissance peut, sous certaines conditions, etreegalement represente par un tel dipole.

1 2

P12 + jQ12 P21 + jQ21XR

IV1 V2

Figure 3.1: syste`me simple a` deux jeux de barres

Par un choix approprie de lorigine des temps, on peut supposer que le phaseur de la tensionau noeud 1 a une phase nulle. Posons: V1 = V1ej0 = V1 et V2 = V2ej2 = V2 6 2.

30

Soit I le courant parcourant la ligne. Soient P12 et Q12 les puissances active et reactive parphase entrant dans la ligne par le noeud 1 (cf figure 3.1). On a evidemment:

V2 = V1 (R + jX)I (3.1)Il y correspond le diagramme de phaseur de la figure 3.2.

jXI XIP = XP12/V1

XIQ = XQ12/V1

RIP = RP12/V1

RIQ = RQ12/V1

V2IQ I

IP V1

RI

Figure 3.2: diagramme de phaseur relatif au syste`me de la figure 3.1

Etablissons lexpression de la tension V2 en fonction de la tension V1 et des transits de puissanceP12 et Q12. On a:

P12 + jQ12 = V1I (3.2)

dou` lon tire:I =

P12 jQ12V 1

=P12 jQ12

V1En introduisant cette dernie`re relation dans (3.1), on obtient:

V2 = V1 (R + jX)[P12 jQ12

V1

]= V1 RP12 +XQ12

V1 jXP12 RQ12

V1(3.3)

On peut retrouver ce resultat au depart de la figure 3.2, en considerant que:

la projection de I sur V1 est le courant actif IP = P12/V1 la projection de I sur la perpendiculaire a` V1 est le courant reactif IQ = Q12/V1.

3.1.2 Effet du transport de puissance active et reactive

Comme nous le verrons, dans les reseaux de transport a` Tre`s Haute Tension (THT), la resistanceR est negligeable devant la reactance X 1. Si lon suppose donc R = 0, la relation (3.3) sesimplifie en:

V2 = V1 XQ12V1

jXP12V1

(3.4)

Le diagramme de phaseur correspondant est donne a` la figure 3.3.1cette simplification ne sapplique pas aux reseaux de distribution a` Moyenne Tension (MT) ou`R est du meme

ordre de grandeur que X !

31

BA

O

jXI

jXP12/V1

XQ12/V1

IQ

IP

V2

I

V1

2 1

Figure 3.3: diagramme de phaseur de la fig. 3.2 quand R = 0

Cette figure montre de plus la variation de la tension V2 sous leffet de variations supplementairesde la puissance active (passage du point O au point A) et de la puissance reactive (passage deO en B), la tension V1 etant supposee constante. On peut en conclure que:

le transfert de puissance active cree une chute de tension en quadrature avec V1. Si lonsuppose, comme cest le cas en pratique, que ||V2 V1|| est faible devant V1, on peutconclure que le transport de puissance active induit principalement un dephasage destensions;

le transfert de puissance reactive cree une chute de tension en phase avec V1. On peuten conclure que le transport de puissance reactive induit principalement une chute des(modules des) tensions.

3.1.3 Transport de puissance reactive a` longue distance

Dans les reseaux de transport a` THT, il est dusage de dire que la puissance reactive ne setransporte pas aisement sur de longues distances. Ce fait peut etre illustre comme suit surnotre exemple a` deux noeuds.

Le bilan de puissance complexe de la liaison fournit:

P12 = P21 +RI2 (3.5)Q12 = Q21 +XI2 (3.6)

Comme X >> R, on voit que les pertes reactives sont nettement plus elevees que les pertesactives. Ainsi, si les puissances active et reactive entrent en quantites egales dans la liaison, ilsort a` lautre extremite nettement moins de puissance reactive que de puissance active.

Par ailleurs, nous venons de voir que le transfert de puissance reactive va de pair avec unevariation des (modules des) tensions. Transferer beaucoup de puissance reactive requiert deschutes de tension importantes. En pratique, ceci nest pas acceptable car les tensions aux

32

differents noeuds dun reseau doivent rester dans une plage de quelques pourcents autour desvaleurs nominales, sous peine de fonctionnement incorrect des materiels.

Une telle limitation nexiste par pour la puissance active car le dephasage des tensions na pasde consequence directe pour les equipements.

3.1.4 Expressions des transits en fonction des tensions

Etablissons a` present lexpression des puissances P12 et Q12 en fonction des modules et desphases des tensions aux extremites. Pour plus de generalite, nous considererons le cas ou`1 6= 0.On obtient a` partir des relations (3.1,3.2):

P12 + jQ12 = V1I = V1

V 1 V 2R jX = V1e

j1V1e

j1 V2ej2R jX =

V 21 V1V2ej(12)R jX

=[V 21 V1V2 cos(1 2) jV1V2 sin(1 2)] (R + jX)

R2 +X2

En developpant le numerateur et en egalant parties reelle et imaginaire des deux membres, onobtient les relations recherchees:

P12 = V21

R

R2 +X2 V1V2

[R

R2 +X2cos(1 2) X

R2 +X2sin(1 2)

](3.7)

Q12 = V21

X

R2 +X2 V1V2

[X

R2 +X2cos(1 2) + R

R2 +X2sin(1 2)

](3.8)

Par simple permutation des indices 1 et 2, on obtient lexpression des puissances entrant dansla ligne du cote du noeud 2:

P21 = V22

R

R2 +X2 V2V1

[R

R2 +X2cos(2 1) X

R2 +X2sin(2 1)

]

Q21 = V22

X

R2 +X2 V2V1

[X

R2 +X2cos(2 1) + R

R2 +X2sin(2 1)

]

Le lecteur est invite a` verifier que ces expressions obeissent bien aux bilans de puissance (3.5,3.6).Sous lhypothe`se R = 0, les relations ci-dessus deviennent simplement:

P12 =V1V2 sin(1 2)

X(3.9)

Q12 =V 21 V1V2 cos(1 2)

X(3.10)

P21 =V2V1 sin(2 1)

X(3.11)

Q21 =V 22 V2V1 cos(2 1)

X(3.12)

33

Ces relations sont utilisees dans de nombreux raisonnements.

Rappelons que P12 et Q12 sont des puissances par phase. La puissance triphasee sobtient enmultipliant ces relations par un facteur 3.

3.2 Caracteristique QV a` un jeu de barres dun reseauDans cette section, nous nous interessons a` la relation entre la puissance reactive Q injecteeen un jeu de barres et la tension V a` celui-ci, toute autre chose restant constante. Choisissonsde compter Q positif quand la puissance entre dans le reseau. Le developpement qui suit estlimite a` une seule source de puissance reactive et ne rend pas compte des interactions entredeux sources voisines.

Dans une certaine plage de variation, on peut representer un reseau vu dun de ses jeux debarres par un schema equivalent de Thevenin (cf figure 3.4.a). Rappelons le

Theore`me de Thevenin. Vu dun acce`s, un circuit lineaire peut etre remplacepar un schema equivalent compose dune source de tension en serie avec uneimpedance. La f.e.m. de la source equivalente est la tension apparaissant a` vide a`lacce`s considere. Limpedance equivalente est limpedance vue de lacce`s apre`savoir passifie le circuit, cest-a`-dire avoir annule les f.e.m. (resp. les courants) dessources de tension (resp. de courant) independantes.

Nous supposons que limpedance de Thevenin est essentiellement inductive, hypothe`se deja`discutee. Quant a` la f.e.m. de Thevenin, dans le cas qui nous occupe, cest la tension releveeau jeu de barres lorsquaucune puissance ny est produite ni consommee.Considerons a` present linjection dune puissance reactive Q en ce jeu de barres. Commeaucune puissance active nest injectee, la relation (3.9) montre quil ny a pas de dephasageentre la tension du jeu de barres et la f.e.m. de Thevenin, tandis que (3.10) fournit lexpressionde la puissance reactive Q entrant par phase dans lequivalent:

Q =V 2 V Eth

Xth(3.13)

Sous les hypothe`ses adoptees plus haut, lequation (3.13) nous indique que la relation entre Qet V est quadratique. Cependant, pour des variations de tension suffisamment faibles autour deEth, cette relation peut etre linearisee. Le coefficient angulaire de la droite correspondante (cffigure 3.4.b) est donne par:

1QV

)V=Eth

=Xth

2V Eth)V=Eth

=XthEth

34

+

V

V

Q

Xth

Eth

a. b.pente Xth/Eth

Q

Eth

Figure 3.4: schema equivalent de Thevenin et caracteristique QV dun reseau

On voit donc que, suite a` des variations de la puissance reactive en un jeu de barres, les vari-ations de tension y sont dautant plus faibles que la reactance de Thevenin vue de ce jeu debarres est faible.

La representation dun ensemble aussi complexe quun syste`me denergie electrique par unsimple schema equivalent de Thevenin est evidemment une abstraction assez forte. Des remar-ques simposent a` ce sujet:

les resultats ci-dessus ne sont pas valables pour de grandes variations de V et/ou de Q.En effet, dans ce cas, la caracteristique nest plus lineaire, non seulement a` cause dela relation (3.13) mais surtout a` cause du passage en limite de production reactive desgenerateurs (voir chapitre 11), ce qui modifie les parame`tres de Thevenin;

apre`s une perturbation, la reactance de Thevenin varie dans le temps car le syste`me estle sie`ge de dynamiques provenant de ses composants et de ses regulations. La reactancede Thevenin vue dans les tout premiers instants doit etre calculee en tenant compte ducomportement des composants (surtout les generateurs: voir chapitre 12); elle diffe`rede la reactance de Thevenin qui caracterise le passage dun point de fonctionnement enregime etabli a` un autre;

lorsquun reseau perd un de ses composants (ligne, transformateur, generateur), les para-me`tres de Thevenin se modifient. Dans de nombreux cas, Eth diminue et Xth augmentesuite a` un tel incident.

3.3 Puissance de court-circuit

La notion de puissance de court-circuit est tre`s utilisee dans lanalyse des reseaux denergieelectrique. Elle est definie par :

Scc = 3VNIcc =3UNIcc (3.14)

35

ou` VN est la valeur nominale de la tension de phase, UN celle de la tension de ligne et Iccle courant circulant dans (chaque phase d)un court-circuit triphase sans impedance au jeu debarres considere.

Notons que Scc ne represente pas une puissance au sens physique du terme. En effet, lesgrandeurs intervenant dans cette formule ne se rapportent pas a` la meme configuration, puisqueVN est la tension avant court-circuit et Icc le courant pendant le court-circuit.

La puissance de court-circuit est utilisee dans le dimensionnement des disjoncteurs. En effet :

un disjoncteur doit etre capable deteindre larc electrique qui apparait entre ses contactsau fur et a` mesure que ceux-ci seloignent lun de lautre. Plus le courant de court-circuitIcc est eleve, plus le disjoncteur doit etre puissant pour eteindre cet arc;

une fois le courant interrompu, le disjoncteur doit etre capable de tenir la tension qui seretablit a` ces bornes sans quil y ait rupture dielectrique du gaz situe entre ses contacts.Cette tension est dautant plus elevee que VN est eleve.

Il est donc raisonnable de dimensionner un disjoncteur sur la base du produit de Icc et de VN .Il existe une relation simple entre la puissance de court-circuit en un jeu de barres et le schemaequivalent de Thevenin du reseau vu de ce jeu de barres. En effet, si lon suppose que la tensionau jeu de barres avant court-circuit est egale a` la tension nominale VN , cest egalement la valeurde la f.e.m. de Thevenin et lamplitude du courant de court-circuit est donne par :

Icc =VN|Zth| (3.15)

Il en resulte que la puissance de court-circuit est donnee par :

Scc = 3V 2N|Zth| =

U2N|Zth| (3.16)

La puissance de court-circuit donne egalement une indication sur la tenue de la tension enun jeu de barres. En effet, plus Scc est elevee, plus |Zth| est faible et, comme on la vu a`la section precedente, plus les variations de la tension avec la puissance reactive sont faibles.Cest pourquoi il importe que des charges fluctuant rapidement soient connectees a` des jeux debarres ou` la puissance de court-circuit est suffisamment elevee.

Lorsque limpedance de Thevenin tend vers zero, la puissance de court-circuit tend vers linfini.A la limite, on parle de jeu de barres infini.

36

Chapitre 4

La ligne de transport

Dans ce chapitre, nous nous interessons au comportement dune ligne de transport de lenergieelectrique en regime sinusodal etabli. Apre`s avoir rappele comment peuvent etre calculesles parame`tres lineiques, nous etudions le comportement de la ligne en tant que composantdistribue1. Nous en deduisons le schema equivalent a` elements localises utilise dans les calculsde reseaux usuels. Nous terminons par des considerations relatives a` la limite thermique. Lesconsiderations de ce chapitre sappliquent egalement aux cables a` haute tension.

4.1 Parame`tres lineiques dune ligne

Les parame`tres lineiques sont les parame`tres (inductance, capacite, resistance, conductance)relatifs a` un troncon de longueur infinitesimale dx, divises par cette longueur dx. Il sagit doncde parame`tres par unite de longueur.

4.1.1 Inductances serie

La ligne est entouree dair, dont la permeabilite magnetique est:

= 0r 0 = 4107 H/m (4.1)

Le metal dont est constitue chaque conducteur est caracterise par une permeabilite relative rtre`s proche de 1 en pratique.

1par opposition a` localise : voir cours de Circuits electriques

37

Ligne triphasee simple

Nous considerons une ligne composee de trois conducteurs, chacun relatif a` une phase. Lesdimensions sont definies a` la figure 4.1.

chaque conducteur

c

dac

dab

a

b

dbc

de rayon r

Figure 4.1: ligne triphasee simple : geometrie et distances

Le lecteur est invite a` se reporter aux cours dElectromagnetisme et de Transport et Distributionde lEnergie electrique, pour letablissement de la relation suivante entre flux et courants :

abc

= 0

2

r4+ ln 1

rln 1

dabln 1

dacr4+ ln 1

rln 1

dbcr4+ ln 1

r

L

iaibic

(4.2)

ou` a designe le flux magnetique embrasse par une longueur unitaire du conducteur de la phasea, ia le courant circulant dans cette phase, et de meme pour les deux autres phases. La matriceL est la matrice dinductance. Cette matrice est symetrique; les termes laisses en blanc sontidentiques a` ceux situes symetriquement par rapport a` la diagonale. Le terme or

8correspond

au champ magnetique existant a` linterieur du conducteur.

On notera que lexpression ci-dessus est etablie sous lhypothe`se :

ia + ib + ic = 0 (4.3)ce qui suppose quil ny pas de retour de courant par un conducteur autre que les trois phasesconsiderees.

Ligne triphasee transposee

Dans bon nombre de cas, les positions des conducteurs sur les pylones sont telles que lesdistances dab, dac et dbc ne sont pas toutes trois egales. Il en resulte un certain desequilibre

38

entre phases. Celui-ci peut etre compense en transposant les phases comme represente a` la fi-gure 4.2. La matrice dinductance sobtient alors comme la moyenne arithmetique des matricesrelatives a` chacune des trois configurations. On trouve :

L =02

r4+ ln 1

rln 13dabdacdbc ln

13dabdacdbc

r4+ ln 1

rln 13dabdacdbcr4+ ln 1

r

(4.4)

Lexpression 3dabdacdbc est appelee distance moyenne geometrique 2.

c

b

c

a

c

b

a

a

b

Figure 4.2: transposition des conducteurs dune ligne triphasee

A present que les trois inductances mutuelles sont egales, on peut calculer linductance lineiquepar phase (en H/m), cest-a`-dire la partie imaginaire de limpedance cyclique (2.14) relative a`un troncon de longueur infinitesimale dx, divisee par la pulsation et par dx. On obtient :

=02

(r4

+ ln1

r ln 1

3dabdacdbc

)=

02

(r4

+ ln3dabdacdbc

r

)(4.5)

Ligne triphasee a` faisceaux de conducteurs

A proximite dun conducteur de faible section porte a` un potentiel eleve (par rapport a` la terre),les lignes equipotentielles sont tre`s rapprochees et le champ electrique est tre`s intense. Ceciproduit une ionisation de lair ambiant, connue sous le nom deffet couronne. Ce dernier estresponsable de pertes, dinterferences radio et dune gene acoustique (bruit audible a` proximitedes lignes, surtout par temps humide).Cest la raison pour laquelle, pour des tensions nominales superieures ou egales a` 220 kV,chaque conducteur de phase est remplace par un faisceau de plusieurs conducteurs maintenus a`distance constante les uns des autres par des entretoises disposees a` intervalle regulier. Le fais-ceau se comporte comme un conducteur dont le rayon serait nettement plus grand que celui desconducteurs qui le composent, comme le confirme un calcul ci-apre`s. Le champ electrique estdonc moins intense. En Belgique, les lignes a` 380 kV (et certaines a` 220 kV) comportent deuxconducteurs par phase; dans certains pays, surtout pour des tensions nominales superieures a`380 kV, on en utilise jusqua` quatre.

2en anglais : Geometrical Mean Distance (GMD)

39

Considerons la ligne a` faisceau de deux conducteurs dont la geometrie et les dimensions sontdefinies a` la figure 4.3. En pratique, la distance d entre conducteurs dune meme phase est tre`sfaible par rapport aux distances entre phases, de sorte que lon peut considerer que chacun desconducteurs de la phase a est a` la distance dab de chacun des conducteurs de la phase b, et dememe pour les autres phases.

de rayon rchaque conducteur

43

65

21a

dbc

dac

dab

c

b

d

d

d

Figure 4.3: ligne triphasee a` faisceaux de deux conducteurs : geometrie et distances

Sous cette hypothe`se, la relation entre flux et courants des six conducteurs de la figure 4.3 sepresente sous la forme :

1

2

3

4

5

6

=

02

r4+ ln 1

rln 1

dln 1

dabln 1

dabln 1

dacln 1

dacr4+ ln 1

rln 1

dabln 1

dabln 1

dacln 1

dacr4+ ln 1

rln 1

dln 1

dbcln 1

dbcr4+ ln 1

rln 1

dbcln 1

dbcr4ln 1

rln 1

dr4+ ln 1

r

i1

i2

i3

i4

i5

i6

(4.6)On suppose egalement que le courant de phase se repartit de manie`re egale dans les deuxconducteurs (identiques) qui le transportent :

i1 = i2 =ia2

i3 = i4 =ib2

i5 = i6 =ic2

Par ailleurs, les conducteurs 1 et 2 etant en paralle`le, le flux a` considerer pour la phase a esta = 1 = 2, et de meme pour les autres phases3

3on peut sen convaincre aisement en passant par les tensions aux bornes du troncon de ligne, puis en revenantaux flux

40

En considerant une ligne sur deux dans (4.6) et en regroupant les colonnes, on obtient aisement:a

b

c

= 02

12

(r4+ ln 1

d r

)ln 1

dabln 1

dac

12

(r4+ ln 1

d r

)ln 1

dbc12

(r4+ ln 1

d r

)

ia

ib

ic

=02

(r8+ ln 1

d r

)ln 1

dabln 1

dac(r8+ ln 1

d r

)ln 1

dbc(r8+ ln 1

d r

)

ia

ib

ic

(4.7)

Lexpressiond r est appelee rayon moyen geometrique4.

En comparant (4.2) et (4.7), on voit que lutilisation des deux conducteurs au lieu dun seul,toute autre chose restant egale, naffecte pas les inductances mutuelles mais diminue la selfinductance dune phase. En effet, le terme de self-induction a` linterieur de chaque conducteurest divise par deux et, surtout, le rayon r est remplace par le rayon moyen geometrique, qui estnecessairement plus grand (vu que d > r).

Ligne triphasee transposee a` faisceau de conducteurs

Lorsque lon combine les techniques de transposition et de faisceau, la matrice dinductancede la ligne devient :

L =02

(r8+ ln 1

d r

)ln 13dabdacdbc ln

13dabdacdbc(

r8+ ln 1

d r

)ln 13dabdacdbc(r8+ ln 1

d r

)

ia

ib

ic

(4.8)

qui fait intervenir la distance et le rayon moyens geometriques.

Les inductances mutuelles etant a` nouveau toutes egales, on peut calculer linductance lineiquepar phase (en H/m) :

=02

(r8

+ ln1d r ln 1

3dabdacdbc

)=

02

(r8

+ ln3dabdacdbc

d r

)(4.9)

qui est plus petite que celle de la ligne triphasee simple (donnee par (4.5)).

Discussion

Limpedance que presente un reseau de transport contribue a` limiter la puissance transmissiblepar celui-ci, a` cause de la chute de tension quelle entrane. Les resultats ci-dessus montrent

4en anglais : Geometric Mean Radius (GMR)

41

que, pour diminuer linductance cyclique, on a interet a` rapprocher les phases le plus possible,toutes autres choses restant egales. Cependant, il importe de maintenir une distance disolationminimale entre celles-ci. Cette distance est dautant plus grande que la tension nominale dureseau est elevee.

Dans le cas dun cable, la permittivite du materiau isolant est beaucoup plus elevee que cellede lair qui entoure une ligne aerienne. Les phases peuvent donc etre davantage rapprochees. Ilen resulte que linductance cyclique dun cable est nettement plus faible que celle dune ligneaerienne de meme tension nominale et de section comparable.

4.1.2 Capacites shunt

La ligne est entouree dair, dont la permittivite dielectrique est:

= 0r 0 = 136

109 F/m (4.10)

Ligne triphasee simple

Considerons a` nouveau la geometrie decrite a` la figure 4.1.

Le lecteur est invite a` se reporter aux cours dElectromagnetisme et de Transport et Distributionde lEnergie electrique, pour letablissement de la relation suivante entre potentiels et chargeselectriques :

vavbvc

= 1

2or

ln 1r

ln 1dab

ln 1dac

ln 1r

ln 1dbc

ln 1r

S

qaqbqc

(4.11)

ou` va designe le potentiel electrique de la phase a, qa la charge electrique portee par uneunite de longueur du conducteur de cette phase5, et de meme pour les deux autres phases.Le potentiel electrique etant defini a` une constante additive pre`s, il faut choisir un point dereference dont le potentiel est fixe a` zero (usuellement un point du sol). La matrice S est lamatrice dinelastance. Cette matrice est symetrique; les termes laisses en blanc sont identiquesa` ceux situes symetriquement par rapport a` la diagonale. La similitude entre les matrices L etS est assez remarquable6.

5rappelons que les charges se positionnent sur la peripherie du conducteur6la difference tient dans le fait que le champ electrique est nul a` linterieur du conducteur, contrairement au

champ magnetique, qui produit le terme de self-inductance or/8

42

Ligne triphasee transposee

Par extension du developpement relatif aux inductances, on etablit lexpression suivante pourla matrice dinelastance dune ligne triphasee transposee :

S =1

2or

ln 1r

ln 13dabdacdbc ln1

3dabdacdbc

ln 1r

ln 13dabdacdbcln 1

r

(4.12)

dans laquelle on retrouve la distance moyenne geometrique.

Les termes non diagonaux de S etant tous egaux, on peut calculer la capacite shunt par phase,cest-a`-dire la capaciteC+3Cm de la figure 2.7, relative a` un troncon de longueur infinitesimaledx, divisee par dx. Les capacites C et Cm proviennent de la figure 2.8.

Pour ce faire, nous faisons lhypothe`se que la charge totale portee par les trois phases est nulle:

qa + qb + qc = 0 (4.13)

En fait, il est possible dobtenir le resultat sans calculer au prealable les capacites C et Cm. Eneffet, de (4.12) on tire pour la phase a, par exemple :

va =1

2or

(ln

1

rqa + ln

13dabdacdbc

(qb + qc)

)

=1

2or

(ln

1

r ln 1

3dabdacdbc

)qa

On en deduit la capacite recherchee (en F/m) :

c = 2or1

ln3dabdacdbc

r

(4.14)

Ligne triphasee a` faisceaux de conducteurs

Revenons a` la geometrie detaillee a` la figure 4.3. Nous considerons a` nouveau que chacun desconducteurs de la phase a est a` la distance dab de chacun des conducteurs de la phase b, et dememe pour les autres phases.

Sous cette hypothe`se, la relation entre potentiels et charges des six conducteurs de la figure 4.3

43

se presente sous la forme :

v1

v2

v3

v4

v5

v6

=

1

2or

ln 1r

ln 1d

ln 1dab

ln 1dab

ln 1dac

ln 1dac

ln 1r

ln 1dab

ln 1dab

ln 1dac

ln 1dac

ln 1r

ln 1d

ln 1dbc

ln 1dbc

ln 1r

ln 1dbc

ln 1dbc

ln 1r

ln 1d

ln 1r

q1

q2

q3

q4

q5

q6

(4.15)

On suppose de plus que la charge dune phase se repartit de manie`re egale sur les deux con-ducteurs (identiques) qui la composent :

q1 = q2 =qa2

q3 = q4 =qb2

q5 = q6 =qc2

On suppose enfin que les potentiels des conducteurs dune meme phase (relies par des entre-toises) sont egaux:

v1 = v2 = va v3 = v4 = vb v5 = v6 = vc

En considerant une ligne sur deux dans (4.15) et en regroupant les colonnes, on obtient aisement:va

vb

vc

= 12or

12

(ln 1

d r

)ln 1

dabln 1

dac

12

(ln 1

d r

)ln 1

dbc12

(ln 1

d r

)

qa

qb

qc

=1

2or

ln 1d r

ln 1dab

ln 1dac

ln 1d r

ln 1dbc

ln 1d r

qa

qb

qc

(4.16)

dans laquelle on retrouve le rayon moyen geometrique.

Ligne triphasee transposee a` faisceau de conducteurs

Lorsque lon combine les techniques de transposition et de faisceau, la matrice dinelastancede la ligne devient :

S =1

2or

ln 1d r

ln 13dabdacdbc ln1

3dabdacdbc

ln 1d r

ln 13dabdacdbcln 1

d r

(4.17)

44

qui fait intervenir la distance et le rayon moyens geometriques.

Les capacites mutuelles etant a` nouveau toutes egales, on peut calculer la capacite shunt parphase, toujours sous lhypothe`se (4.13). De (4.16) on tire pour la phase a, par exemple :

va =1

2or

(ln

1d r

qa + ln1

3dabdacdbc

(qb + qc)

)

=1

2or

(ln

1d r ln 1

3dabdacdbc

)qa

(4.18)

On en deduit la capacite recherchee (en F/m) :

c = 2or1

ln3dabdacdbc

d r

(4.19)

Les lois de lElectromagetisme montrent que c = 1v2 ou` v est la vitesse de propagation des ondeselectro-magnetiques dans le milieu separant les conducteurs. Quen est-il avec les expressions trouveespour les inductances et capacites par phase, sous les hypothe`ses adoptees ?

Discussion

Revenons a` notre comparaison ligne-cable.

La permittivite plus elevee du milieu isolant conduit a` une capacite shunt par phase plus eleveepour le cable.

Les distances plus faibles entre phases contribuent egalement a` une valeur plus elevee de cettecapacite.

Il sen suit quun cable presente une capacite equivalente par phase nettement plus elevee quecelle dune ligne aerienne de meme tension nominale et de section comparable.

4.1.3 Resistance serie

Aux frequences de 50 ou 60 Hz, on peut negliger leffet pelliculaire et supposer que le courantse repartit uniformement dans la section du conducteur.

La resistance lineique (en /m) est donnee par :

r =

s(4.20)

45

ou` est la resistivite du materiau (en .m) et s la section du conducteur (en m2). Le cuivre a laplus faible resistivite mais est devenu trop cher. Laluminium a une resistivite plus elevee maiscoute moins cher. Cependant, il na pas pas la resistance mecanique requise pour les longuesportees entre pylones dune ligne THT. On utilise donc un alliage daluminium plus resistantou lon arme les conducteurs dune ame en acier.

4.1.4 Conductance shunt

La conductance shunt (ou laterale) dune ligne est tre`s faible. En fait, il existe des courants defuite, principalement a` la surface des isolateurs et surtout quand latmosphe`re est poussiereuse(en milieu industriel) ou saline (a` proximite de la mer). Toutefois les pertes associees a` cescourants sont tre`s faibles devant les puissances vehiculees par les lignes et lon neglige tre`ssouvent cette conductance en pratique.

4.1.5 Ordres de grandeur

Le tableau ci-apre`s donne lordre de grandeur des resistances serie, reactances serie et admit-tances shunt, par phase, lineiques et a` 50 Hz, pour un echantillon representatif de lignes HT etTHT presentes dans le reseau belge.

Le tableau reprend egalement les limites thermiques considerees en fin de chapitre.

tensions nominales (kV)380 220 150 70

r (/km) 0.03 0.04 0.09 0.05 0.12 0.09 0.35l (/km) 0.3 (2) 0.3 (2) ou 0.4 (1) 0.4 (1) 0.2 0.4 (1)c (S/km) 3.0 3.0 3.0 3.0Smax (MVA) 1350 ou 1420 250500 150 350 30 100

(1) 1 conducteur par phase (2) 2 conducteurs par phase

On voit quil y a une assez grande dispersion dans les valeurs des resistances, correspondant a`une assez grande variete de sections de conducteurs.

On notera quen THT la resistance est faible devant la reactance.

La susceptance shunt est relativement constante pour les differents niveaux de tension con-sideres dans le tableau ci-dessus.

46

4.2 Caracteristiques des cables

Pour des raisons evidentes, les cables sont utilises en milieu urbain et en milieu aquatique.Sous la pression de lopinion et des pouvoirs publics, par souci du respect du paysage, on tenda` les substituer aux lignes aeriennes HT ou THT, du moins lorsquil sagit de remplacer uneligne arrivee en fin de vie ou de renforcer le reseau existant.

Il faut cependant noter que linvestissement relatif a` un cable est plusieurs fois superieur a` celuidune ligne aerienne de meme capacite. Par ailleurs, la maintenance est plus malaisee en cesens quune inspection visuelle nest pas possible comme pour les lignes aeriennes et que lareparation necessite douvrir le sol. Enfin, il existe des limitations de nature electrique, commementionne plus loin.

En principe, les developpements qui prece`dent sappliquent egalement aux cables. Cependant,les valeurs des parame`tres lineiques sont tre`s differentes.

Le tableau ci-apre`s donne lordre de grandeur des resistances serie, reactances serie et admit-tances shunt, par phase, lineiques et a` 50 Hz, pour un echantillon representatif de cables utilisesdans le reseau belge (transport et repartition).

tensions nominales (kV)150 36

r (/km) 0.03 0.12 0.06 0.16l (/km) 0.12 0.22 0.10 0.17c (S/km) 30 70 40 120Smax (MVA) 100 300 10 30

Toute autre chose egale, la reactance serie par phase est plus faible car les phases sont plusproches. La susceptance shunt par phase est nettement plus elevee pour la meme raison etaussi parce que le milieu isolant qui entoure les conducteurs metalliques est caracterise par unepermittivite relative r nettement superieure a` 1.

La valeur elevee de cette susceptance shunt est un obstacle a` lutilisation de cables HT ou THTsur de longues distances. En effet :

plus la longueur augmente, plus le courant capacitif total augmente. Il existe meme unelongueur a` laquelle ce courant pourrait atteindre la limite thermique admissible pour lecable, auquel cas ce dernier fonctionnerait a` sa limite rien que par le fait detre mis soustension, avant meme dy faire transiter une puissance !

plus la longueur augmente, plus le cable produit de la puissance reactive, ce qui peutprovoquer des surtensions dans le reseau.

Ceci conduit a` utiliser le transport a` courant continu (sous haute tension) au dela` dune certainelongueur de cable, par exemple pour des liaisons sous-marines.

47

4.3 La ligne en tant que composant distribue

La figure 4.4 represente le schema par phase dune ligne de longueur d. Nous designons parz = r + j limpedance serie lineique (en /m) et par y = g + jc ladmittance shuntlineique (entre phase et neutre, en S/m)7. Nous considerons la presence dune conductanceshunt, dans un souci de generalite.

1

1 2

2

r dx

V1

I2

V2

II + dI

x

d

dx

VV + dV

I1

c dxg dx

dx

Figure 4.4: schema par phase dune ligne en regime sinusodal

Designons par x la position dun point de la ligne, reperee par rapport a` lextremite 228. Lesimpedance, admittance, tensions et courants relatifs a` une section de longueur infinitesimaledx sont indiques a` la figure 4.4.

Lapplication des lois dOhm et de Kirchhoff a` cette section infinitesimale donne:

dV = I zdx

dI = (V + dV ) ydx V ydxou` le produit dV dx a ete neglige. Ceci conduit aux deux equations differentielles du premierordre:

dV

dx= zI (4.21)

dI

dx= yV

qui peuvent etre combinees en une equation differentielle du second ordre:

soit d2V

dx2= yzV = 2V (4.22)

soit d2I

dx2= yzI = 2I (4.23)

7Nous utilisons des lettres minuscules pour designer des grandeurs lineiques8ce choix simplifie certains des calculs qui suivent

48

ou` lon a pose: =

yz (4.24)

Cette grandeur est appelee la constante de propagation de la ligne et sexprime en m1.

Lequation caracteristique relative a` (4.22) est s2 2 = 0, dont les racines sont . Lasolution de lequation (4.22) est donc de la forme:

V = k1 ex + k2 e

x (4.25)

La solution de lequation (4.23) est de la meme forme.Avant de poursuivre le developpement, un commentaire simpose sur la signification des deuxtermes de (4.25). Decomposons k1, k2 et comme suit :

k1 = k1ej1

k2 = k2ej2

= + j (4.26)

La relation (4.25) devient:

V = k1exej(x+1) + k2e

xej(x+2)

La tension a` linstant t et a` la coordonnee x vaut donc:

v(x, t) = k12ex cos(t+ x+ 1)

v1(x, t)

+ k22ex cos(t x+ 2)

v2(x, t)

Le terme v1(x, t) correspond a` une onde qui se propage de la gauche vers la droite, en satte-nuant. En effet, pour un x fixe, v1(x, t) est une fonction sinusodale du temps et, pour un tfixe, cest une fonction sinusodale de la position x. Cette onde est appelee onde incidente,tandis que est appele constante dattenuation et constante de phase. De meme v2(x, t)correspond a` une onde qui se propage, en sattenuant, de la droite vers la gauche. Il sagit delonde reflechie.La vitesse de propagation de ces ondes, soit /, est celle de la lumie`re dans lair qui entourela ligne, soit un peu moins de 300.000 km/s. La longueur donde est la distance entre deuxmaxima voisins de la cosinusode, a` un instant donne. On trouve aisement que = 2/.En combinant ces deux informations, on conclut que la longueur donde dun signal a` 50 Hzest denviron 6.000 km. Meme les lignes les plus longues utilisees dans le monde sont donccourtes par rapport a` cette longueur donde.

Linterpretation ci-dessus prend tout son sens lorsque lon etudie les transitoires electromagne-tiques se produisant suite a` un coup de foudre sur la ligne ou suite a` une manoeuvre (mise soustension par exemple). Ainsi, si une onde de tension due a` la foudre se propage sur une ligne etatteint une extremite ouverte, elle se reflechit entie`rement, ce qui peut conduire a` une tensiondouble a` cette extremite ouverte. De tels phenome`nes doivent evidemment etre pris en compte

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lors du design de lisolation des equipements. Leur etude requiert de resoudre des equationsaux derivees partielles (equation des telegraphistes), qui sortent du cadre de ce cours.Revenons a` lexpression (4.25) et transformons-la en lexpression suivante, plus pratique:

V = (k1 + k2)ex + ex

2+ (k1 k2) e

x ex2

= K1 ch x+ K2 sh x (4.27)

Notons V1, V2 (resp. I1, I2) les tensions (resp. courants) aux extremites 11 et 22 de la ligne.On identifie les constantes K1 et K2 en considerant les conditions aux frontie`res. Ainsi, enx = 0, on a:

V = V2 ce qui fournit: K1 = V2

I = I2, cest-a`-dire, en vertu de (4.21): dVdx

]x=0

= zI2

K1 sh x+ K2 ch x]x=0

= zI2

K2 = zI2

=

z

yI2

En remplacant dans (4.27), on obtient donc lexpression de la tension en un point dabscisse x:V = V2 ch x+ ZcI2 sh x (4.28)

ou` lon a pose:

Zc =

z

y(4.29)

Cette grandeur est appelee impedance caracteristique de la ligne et sexprime en .

Nous laissons au lecteur le soin detablir lexpression correspondante du courant en un pointdabscisse x:

I =V2Zc

sh x+ I2 ch x (4.30)

Enfin, evaluees en x = d, ces equations fournissent les relations entre tensions et courants auxextremites de la ligne:

V1 = V2 ch d+ ZcI2 sh d (4.31)I1 =

V2Zc

sh d+ I2 ch d (4.32)

Montrer que lon aboutit aux memes relations en placant ladmittance shunt g + jc a` droite delimpedance r + j (et non a` gauche, comme sur la figure 4.4.)

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4.4 Quelques proprietes liees a` limpedance caracteristiqueConsiderons le cas dune ligne sans pertes : r = 0, g = 0, hypothe`se justifiee par le fait que gest tout a` fait negligeable et r faible pour une ligne THT. On a successivement:

z = j

y = jc

= j = jc

Zc = Zc =

c

V = V2 cos x+ jZcI2 sin x (4.33)I = I2 cos x+ j

V2Zc

sin x (4.34)

Que se passerait-il si lon connectait a` un reseau une ligne de longueur /4 (ligne au quart donde),ouverte a` lautre extremite ? On supposera la ligne sans perte pour simplifier.

Limpedance caracteristique est donc une resistance pure. Si lon ferme la ligne sur cetteresistance, cest-a`-dire si V2 = ZcI2, le regime qui sinstalle posse`de plusieurs proprietes re-marquables. En effet, les relations (4.33, 4.34) fournissent:

V = V2 ejx

I = I2 ejx

En comparant avec (4.25), on voit quil ny a pas donde reflechie.On en deduit que:

la tension (resp. le courant) a une amplitude V2 (resp. I2) constante tout au long de laligne

la tension et le courant sont en phase en tout point de la ligne. Limpedance V /I vue ennimporte lequel de ses points est la resistance Zc

en consequence, la ligne ne consomme ni ne produit de puissance reactive. Les produc-tions cV 2 equilibrent les pertes I2

la puissance triphasee qui transite au droit de nimporte quel point de la ligne est donc lapuissance active fournie a` la resistance Zc, soit:

Pc = 3V 22Zc

(4.35)

ou` V2 est la tension de phase. Lorsque lon prend pour V2 la tension nominale VN de laligne, cest-a`-dire la tension pour laquelle elle a ete concue, la valeur de Pc est appeleepuissance naturelle de la ligne

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ces proprietes sappliquent quelle que soit la longueur d de la ligne !

Nous laissons au lecteur le soin de montrer que si la ligne est fermee sur une resistanceinferieure (resp. superieure) a` Zc, cest-a`-dire si elle recoit une puissance active superieure(resp. inferieure) a` Pc, elle consomme (resp. produit) de la puissance reactive. En particulierune ligne ouverte a` une de ses extremites se comporte comme un condensateur a` lautre.

Remarque. Dans la transmission dinformation, on sarrange generalement pour fermer lescables (coaxiaux p.ex.) sur leurs impedances caracteristiques (p.ex. 75 ) afin de minimiserla reflexion donde. Par contre, ce nest jamais le cas pour les lignes de transport denergieelectrique. En effet, en pratique, celles-ci ne fonctionnent jamais a` leurs puissances naturelles,les flux de puissance etant variables car dictes par les consommations et les productions.

4.5 Schema equivalent dune ligne

La structure la plus employee pour representer une ligne est le schema equivalent en pi, repre-sente a` la figure 4.5. Determinons la valeur a` donner a` limpedance Zser et a` ladmittance Ysh dece circuit a` elements condenses pour que, vu des acce`s 11 et 22, il ait le meme comportementque le composant distribue considere a` la figure 4.4.

2

2

1

1I1

Ysh YshV1

Zser

V2

I2

Figure 4.5: schema equivalent en pi de la ligne (elements condenses)

Definissons au prealable les grandeurs suivantes, relatives a` la totalite de la ligne:

R = r d L = d G = g d C = c d Z = z d Y = y d

On etablit aisement a` partir de la figure 4.5 que:

V1 = V2 + Zser(I2 + YshV2) = (1 + ZserYsh)V2 + ZserI2

Une identification terme a` terme avec (4.31) fournit:Zser = Zc sh d (4.36)

1 + ZserYsh = ch d Ysh = ch d 1Zc sh d

=1

Zcth d

2(4.37)

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Pour des lignes dune longueur inferieure a` 150 km, on conside`re que |d| est suffisammentfaible pour pouvoir remplacer les fonctions hyperboliques par leurs developpements en serielimites au premier ordre:

sh d d+ . . .th d

2 d

2+ . . .

Une substitution dans (4.36, 4.37) donne alors:

Zser = Zcd =

z

y

zyd = zd = Z

Ysh =1

Zc

d

2=

1

2

y

z

zyd =

1

2yd =

Y

2

En conclusion, une ligne de transport peut toujours etre modelisee par un schema equivalenten pi. Pour une longueur inferieure a` 150 km, les parame`tres de ce schema equivalent sontobtenus en multipliant simplement les valeurs lineiques par la longueur de la ligne. On parlede ligne courte. Au-dela` de 150 km, il convient dutiliser les expressions (4.36, 4.37).

Etablir lexpression de la puissance active entrant dans une ligne sans pertes, en fonction des modulesV1, V2 et du dephasage 1 2 des tensions dextremite. En supposant V1 et V2 egales et constantes,discuter linfluence de la longueur d sur la puissance maximale transmissible. Que devient cette expres-sion dans le cas dune ligne courte ?

4.6 Limite thermique dune ligne

Generalement chaque phase dune ligne de transport electrique THT ou HT est constitueedune ame en acier pour la tenue mecanique, entouree de conducteurs en aluminium, tre`s bonconducteur de lelectricite.

Le passage du courant dans un conducteur de ligne y entrane des pertes par effet Joule, quiechauffent le materiau.

Un tel echauffement doit etre limite pour deux raisons:

il entrane une dilatation du conducteur, qui le fait se rapprocher du sol, dou` un risquede court-circuit ou delectrocution;

au dela` dune certaine temperature, laluminium subit une degradation irreversible parun effet de recuit, diminuant sa resistance mecanique.

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La temperature maximale typique des conducteurs dune ligne aerienne est de 75o C.

Chaque ligne est caracterisee par un courant maximal admissible en permanence, dans unequelconque de ses phases. Nous noterons ce dernier Imax. Cet