9.4 Inecuaciones Fraccionarias e Irracionales 5to...
Transcript of 9.4 Inecuaciones Fraccionarias e Irracionales 5to...
434 Álgebra 435Und. 9 Inecuaciones
9.4.1. Inecuación fraccionaria
9.4.1A. Definición
Sean P(x) y Q(x) son polinomios cuyos grados son mayor o igual que 0 y 1, respectivamente, tal que Q(x) ≠ 0, se denomina inecuación fraccionaria a toda desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas.
PQ
PQ
PQ
PQ
( )( )
; ( )( )
; ( )( )
; ( )( )
xx
xx
xx
xx
< ≤ > ≥0 0 0 0
9.4.1B. Resolución de la Inecuación
Para resolver una inecuación fraccionaria se procede de un modo similar a lo expuesto en el ítem 9.3.3B, estableciendo en los primeros pasos una ligera variación. Veamos:
1er Paso.- Al trasladar todos los términos de la inecuación al primer miembro se debe obtener una fracción donde el numerador y denominador deben ser polinomios con coeficiente prin-cipal positivo.
2do Paso.- Se factoriza totalmente a cada término de la fracción, es decir, a los polinomios del numerador y denominador.
3ero Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del denominador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en blanco en la RN para cada punto encontrado.
La razón de activo, RA, de un negocio se defi-ne como el cociente de sus activos circulantes (efectivo, inventario de mercaderías y cuentas por cobrar), a sus pasivos circulantes PC, (prés-tamos a corto plazo e impuestos). En cierto mo-mento del año 2007 la compañía Ace Sports Equipment, solicitó un préstamo de x millones de dólares, para lo cual la entidad financiera planteó que la razón de activo fuera:
RA ACPC
= xx
→ ++ ≥40
82 5, ;
expresión llamada desigualdad fraccionaria.
9.4 Inecuaciones Fraccionariase Irracionales
4to Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del numerador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en la RN para cada punto encontrado en blanco o en negro, según la relación de desigualdad sea estricta (<, >) o doble (≥, ≤) respectivamente.
5to Paso.- Se anotan los signos (+) y (–) de los intervalos definidos por los puntos de corte del numerador y de derecha a izquierda.
6to Paso.- La solución estará dada por las zonas (+) o (–) según la relación de desigualdad sea (>, ≥) o (<, ≤).
Ejemplo.- Resolver: xx x
2
2 21
− −≥
Trasladando al primer miembro: xx x
x x xx x
2
2
2 2
221 0 2
20
− −− ≥ → − + +
− −≥
Reduciendo términos: xx x
+− −
≥22
02
Factorizando cada término: x
x x+
+ − ≥21 2
0( )( )
Los puntos de corte son: x + 2 = 0 ; x + 1 = 0 ; x – 2 = 0
x = -2 ; x x= =- ;extremos abiertos
1 2
En la recta real tenemos:
Elegimos las zonas positivas porque la relación es ≥, luego: CS = [-2; 1⟩ ∪ ⟨2; ∞⟩
9.4.1C. Método de los puntos de referencia
C1. Fundamentos del método
El método de los puntos de referencia permite determinar las raíces de una inecuación de gra-do mayor o igual a 2 y se fundamenta en un algoritmo constituido por un conjunto de pasos lógicamente estructurados y cuya secuencia garantiza la identificación de todas las raíces de una inecuación de 2do grado e incluso de grado superior.
C2. Aplicaciones
Este algoritmo se emplea para resolver inecuaciones fraccionarias, es decir, de la forma P( )Q( )
xx
> 0 (< 0), donde P(x) y Q(x) son polinomios con coeficientes principales positivos, como
por ejemplo:
4 13
0 3 12
0 4 3 02
2
2
7 33x
x xx xx x
x x−+
> − ++
< − + >; ( ) ( )( )
;
436 Álgebra 437Und. 9 Inecuaciones
C3. Descripción del método
El método está constituido de los siguientes pasos:
1er Paso.- Expresar la desigualdad racional P( )Q( )
xx
> 0 (< 0), con los polinomios P(x) y Q(x) fac-torizados.
2do Paso.- Se determinan todas las raíces reales de ambos polinomios y se marcan con peque-ños redondeles en la recta numérica real. Las raíces reales se encuentran igualando a cero cada uno de los factores de P(x) y Q(x).
3er Paso.- Comenzando sobre la recta, de derecha a izquierda, se traza una curva que pasará por todos los puntos marcados, teniendo en cuenta que al pasar por una raíz de multiplicidad* impar la curva cruza la recta, mientras que al hacerlo por una de multiplicidad par la curva se queda, o «rebota», por el mismo lado de la recta.
4to Paso.- Se eligen los intervalos de acuerdo con el sentido de la desigualdad:
i) P( )Q( )
xx
> 0 , se consideran los intervalos ubicados sobre la recta.
ii) P( )Q( )
xx
< 0 , se consideran los intervalos ubicados debajo de la recta.
La unión de todos estos intervalos es el conjunto solución de la desigualdad dada.
* La multiplicidad, es el término referido a las veces que una raíz está contenida en el conjunto solución. Este número viene dado por el grado del factor en el que se encuentra la raíz.
Ejemplo 1.- Resolver: (x ) (x )x (x )7 3− +
+<3 1
2
20
1er Paso.- En la inecuación dada ya se cumple con la primera condición pues se observa que el numerador y denominador están factorizados.
2do Paso.- Determinamos las raíces:
a) Las raíces reales del numerador son:
a1. (x – 3)2 = 0 → x = 3 (multiplicidad par)
a2. (x + 1) = 0 → x = -1 (multiplicidad impar)
b) Las raíces reales del denominador son:
b1. x7 = 0 → x = 0 (multiplicidad impar)
b2. (x + 2)3 = 0 → x = -2 (multiplicidad impar)
c) Ubicación de las raíces encontradas sobre la recta numérica:
3er Paso.- Trazamos la curva por todos los redondeles:
Observa que 3 es una raíz de multiplicidad par: (x – 3)2, por tal razón, aquí la curva queda del mismo lado («rebota»), en cambio en las demás, la curva cruza la recta.
4to. Paso.- Dado que el sentido de la desigualdad de nuestro ejemplo es <, el conjunto solu-ción vendrá dado por la unión de todos los intervalos ubicados debajo de la recta, los cuales hemos señalado como regiones sombreadas:
⟨-∞; -2⟩ y ⟨-1; 0⟩
Luego tenemos que: C.S = ⟨-∞; -2⟩ ∪ ⟨-1; 0⟩
Aclaremos, también, que en caso de desigualdades racionales no estrictas PQ
( )( )xx
≥ 0 ó bien PQ
( )( )xx ≤ 0, las raíces reales del numerador se marcan con redondeles sombreados y se incluyen
en la solución.
Ejemplo 2.- Resolver: ( )( )x x x x x x
2 2
26 6 5
4 3− − − +
− + ³ 0
Con el propósito de esquematizar el procedimiento, te presentamos la resolución así:
Factori-zamos los tér-minos
( )( )( )( )( )( )
x x x x x x
− + − −− − ≥3 2 5 1
3 10
Reducimos la expresión reco-nociendo que:
a) x – 3 ≠ 0 → x ≠ 3
b) x – 1 ≠ 0 → x ≠ 1
( - )( )( - )( - )( - ) ( - )
x x x x x x
3 2 5 13 1
0+ ≥
Elabora-mos la gráfica Sombreamos por arriba ya que el
sentido de la desigualdad ≥, es hacia la derecha.
Identi-ficamos
las raíces
→ (x + 2)(x – 5) ≥ 0
x + 2 = 0 → x = -2
x – 5 = 0 → x = 5
Recono-cemos
los inter-valos
438 Álgebra 439Und. 9 Inecuaciones
De este último esquema, los redondeles en blanco representan a los valores inadmisibles, de modo que no deben ser considerados en el conjunto solución de la inecuación dada. Por tanto:
C.S = ⟨-∞; 2] ∪ [5; +∞⟩ – {1}
9.4.2. Inecuaciones con radicales
Sean F(x) y H(x) dos expresiones racionales (polinomios o fracciones) y m ∈ N | m ≥ 2,
Una inecuación con radicales o inecuación irracional, es la desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas:
F( ) > H( ) ; F( ) < H( ) ; F( ) H( ) F( ) m m m mx x x x x x x≥ ∨ ≤≤ H( )x
9.4.3. Resolución de una inecuación con radicales
Para resolver una inecuación irracional se debe tener en cuenta al índice que presenta el signo radical y al signo de relación.
9.4.3A. Si: F( )2n x > H x( )
La resolución considera dos casos, veamos:
Caso (A): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) ≥ 0 ∧ F(x) > [H (x)]2n
Caso (B): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) < 0
Siendo la solución de la inecuación, la unión de los dos casos.
9.4.3B. Si : F( ) H2n x < ( )x
La resolución plantea: F(x) ≥ 0 ∧ H(x) > 0 ∧ F(x) < [H(x)]2n
9.4.3C. Si : F( ) H2n 1 x+ > ( )x
La resolución plantea: F(x) > [H(x)]2n + 1
9.4.3D. Si : Fn ( ) ( )x x2 1+ <
La resolución plantea: F(x) < [H(x)]2n + 1
Observación.- Para resolver una inecuación irracional de índice impar no existe ninguna res-tricción, basta elevar ambos miembros de la inecuación a un exponente que elimine el signo radical y a continuación proceder a resolver la nueva inecuación obtenida, teniendo en cuenta los diversos criterios de resolución vistos hasta aquí.
Prob. 01.- Resolver: 2 11
1xx
−+
>
A)⟨-∞;-2⟩∪⟨1;∞⟩ B)⟨-∞;-1⟩∪⟨3;∞⟩ C)⟨-∞;-1/2⟩∪⟨1;∞⟩
D)⟨-∞;1⟩∪⟨2;∞⟩ E)⟨-∞;-1⟩∪⟨2;∞⟩
Trasladando todos los términos al primer miembro tenemos:
2 11 1 0 2
1 0xx
xx
−+ − > → −
+ >
Como el numerador y denominador son polinomios que verifican el 2º paso, se procede a determinar los puntos de corte. Veamos:
x – 2 = 0 ; x + 1 = 0 → ptos: 2 y -1
En la recta numérica:
De donde se consigue: x ∈ ⟨–∞; -1⟩ ∪ ⟨2; ∞⟩ Rpta. E
Nota. Obsérvese que -1 debe ser extremo abierto porque anula el denominador. Asimismo, 2 es un cero del numerador y es abierto porque la desigualdad es estricta (>).
Prob. 02.-Resolver: 21
31
52x x x− + +
+ <
A)⟨-2;0⟩∪⟨1/3;∞⟩ B)⟨-2;-1⟩∪⟨3;∞⟩ C)⟨-3;-2⟩∪⟨1/2;2⟩
D)⟨-2;-1⟩∪⟨-1/3;1⟩ E)⟨-1;1⟩∪⟨2;3⟩
Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: 21
31
52 0x x x− + + − + <
2 1 2 3 1 2 5 1 11 1 2 0( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )x x x x x x
x x x+ + + − + − − +
− + + <
2 3 2 3 2 5 11 1 2 0
2 2 2( ) ( ) ( )( )( )( )
x x x x xx x x
+ + + + − − −− + + <
440 Álgebra 441Und. 9 Inecuaciones
Efectuando obtenemos: 3 3 11 1 2 0( )
( )( )( )x
x x x+
− + + <
Observar que: 3 > 0, luego: 3 11 1 2 0x
x x x+
− + + <( )( )( )
Los puntos de corte son: -1/3 ; 1 ; -1 ∧ -2
En la recta numérica los intervalos solución están dados por las zonas (–) porque el signo de relación es estricto (<):
De donde obtenemos: x ∈ ⟨-2; -1⟩ ∪ ⟨-1/3; 1⟩ Rpta. D
Prob. 03.- Resolver: x x
x x
2
23 4
2 81+ −
− −≥
paraluegoindicarlasumadelmayorenteronegativo«x»conelmenorenteropositivo«x».
A)4 B)-1 C)35 D)6 E)2
La inecuación dada es: x xx x
2
23 42 8
1 0+ −− −
− ≥
Efectuando operaciones tenemos: 5 42 8
02x
x x+
− −≥
Factorizando los términos queda: 5 44 2 0x
x x+
− + ≥( )( )
Los puntos de corte son: -4/5 ; 4 y -2
Observar que en la recta los puntos 4 y -2 son los extremos para intervalos abiertos, mien-tras que el punto -4/5 es extremo cerrado.
Notamos que el mayor entero negativo «x» es: xmáx = -1
Asimismo el menor entero positivo «x» es: xmín = 5
\ xmáx + xmín= 4 Rpta. A
Prob. 04.- Resolver: xx
xx
++ ≤ +
+31
24
A)⟨-∞;-1⟩∪[4;∞⟩ B)⟨-∞;-4⟩∪[-5/2;1⟩ C)⟨-∞;-4⟩∪⟨5/2;∞⟩
D)⟨-∞;-10⟩∪[-2;∞⟩ E)⟨-∞;-1⟩∪[3;∞⟩
Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: xx
xx
++
− ++
≤31
24
0
Efectuando tenemos: 2 2 51 4 0( )
( )( )x
x x+
+ + ≤
Dado que: 2 > 0, podemos simplificarlo: 2 51 4 0x
x x+
+ + ≤( )( )Los puntos de corte son: -5/2 ; -1 y -4
Ya que -5/2 es un cero del numerador y la desigualdad es doble, le corresponde un redon-del negro, es decir es un extremo cerrado. Luego, elaborando la gráfica, se tiene:
De donde conseguimos: x ∈ ⟨-∞; -4⟩ ∪ [-5/2; 1⟩ Rpta. B
Prob. 05.-Resolver: x x2
2− − < 2
A)⟨-3;-2⟩∪⟨1;5⟩ B)⟨-3;-1⟩∪⟨2;5⟩ C)⟨-2;-1⟩∪[2;3⟩
D)⟨-3;1⟩∪⟨2;∞⟩ E)⟨-3;-1⟩∪⟨3;5⟩
Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo F Hn ( ) ( )x x2 > , se tiene:
{x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 2 < 22}
Es decir: {x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 6 < 0}
De donde tenemos: {(x – 2)(x + 1) ≥ 0 ∧ 2 > 0 } ∧ {(x – 3)(x + 2) < 0}
Para la 1ra condición se determinan los puntos de corte: -1 y 2
Para la 2da condición se determinan los puntos de corte: -2 y 3
442 Álgebra 443Und. 9 Inecuaciones
Elaborando un gráfico para cada solución, diremos que la solución final es la que se obtiene al intersectar los intervalos solución de cada condición. Veamos:
Finalmente la intersección viene dada por:
\ x ∈ ⟨-2; -1] ∪ [2; 3⟩ Rpta. C
Prob. 06.- Resolver: x33
1− > −x 1
A)⟨-∞;-1⟩∪⟨2;∞⟩ B)⟨-∞;0⟩∪⟨1;∞⟩ C)⟨-∞;-2⟩∪⟨3;∞⟩
D)⟨-∞;0⟩∪⟨1;∞⟩ E)⟨-∞;0⟩∪⟨3;∞⟩
Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo F Hn ( ) ( )x x2 1+ > , se tiene:
La inecuación dada es: x x33 1 1− > −
Elevando al cubo tenemos: x3 – 1 > x3 – 3x2 + 3x – 1
Reduciendo conseguimos: 3x2 – 3x > 0
Factorizando obtenemos: 3x(x – 1) > 0
Observar que: 3 > 0
Luego: x(x – 1) > 0
Los puntos de corte son: 0 y 1
En la recta numérica:
De donde se consigue: x ∈ ⟨-∞; 0⟩ ∪ ⟨1; ∞⟩ Rpta. B
Prob. 07.- Resolver: 2 1 3x − >
A)⟨5;∞⟩ B)⟨-∞;5⟩∪⟨8;∞⟩ C)⟨-∞;-5⟩∪⟨5;∞⟩
D)⟨-∞;3⟩∪⟨5;∞⟩ E)⟨3;∞⟩
La inecuación dada corresponde al primer caso expuesto en la teoría, luego para su resolu-ción se planteará lo siguiente:
Caso (A): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 ≥ 0 ∧ 2x – 1 > 9
x ≥ 1/2 ∧ R ∧ x > 5
De donde intersectando conseguimos: x > 5 ↔ x ∈ ⟨5; ∞⟩
Caso (B): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 < 0
x ≥ 1 ∧ ∅ (Absurdo)
De donde intersectando conseguimos: x ∈ ∅
Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de los casos (A) y (B), veamos: x ∈ ⟨5; ∞⟩ ∪ ∅ \ x ∈ ⟨5; ∞⟩ Rpta. A
Prob. 08.- Resolver: 2 3 1x x+ > +
A)[-2;5⟩∪⟨6;∞⟩ B)⟨-∞;-3/2⟩ C)⟨-∞;-2⟩∪[4;∞⟩
D)⟨-∞;3⟩∪⟨5;∞⟩ E)[-3/2; 2 ⟩
De acuerdo con lo expuesto en el primer caso del ítem 9.4.3A. para resolver la inecuación dada se procede de la siguiente manera:
Caso (A): {2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {2x + 3 > x2 + 2x + 1}
{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {x2 – 2 < 0}
{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {(x + 2 )(x – 2 ) < 0}
En la recta numérica:
La intersección viene dada por:
444 Álgebra 445Und. 9 Inecuaciones
De donde se obtiene que: x ∈[- ; 1 2
Caso (B): 2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 < 0
Intersectando en la recta numérica se tiene:
x ∈ [-3/2; -1⟩
Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de las soluciones obtenidas en los casos (A) y (B), es decir:
x ∈[ ∪[- ; -3/2; -1 2 1 \ x ∈∈-3/2; 2 Rpta. E
Prob. 09.- Resolver: 2 1− ≤ +x x
A)⟨1;5] B)⟨-∞;-3⟩ ∪ ⟨4;∞⟩ C)[-1/2;6⟩ ∪ ⟨7;∞⟩
D)[-1;1/2] E)⟨-1;2]∪ ⟨3;∞⟩
Para resolver la inecuación planteada será suficiente hacer cumplir simultáneamente la condición de existencia a cada radical para luego elevar ambos miembros de la inecuación al cuadrado, veamos:
2 1− ≥ +x x → 2 – x ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2 – x ≥ x + 1
x – 2 ≤ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2x – 1 ≤ 0
De donde tenemos: x ≤ 2 ∧ x ≥ -1 ∧ x ≤ 1/2
\ x ∈ [–1; 1/2] Rpta. D
Prob. 10.- Determinarelmínimovalorde f ( )x x x= − + +2 2 2 2 ;x ∈R
A)1 B)2 C)3 D)4 E) 3
Una inspección minuciosa del radicando, sugiere plantear que:
(x – 1)2 ≥ 0; ∀ x ∈ R x2 – 2x + 1 ≥ 0
Sumando 1: x2 – 2x + 2 ≥ 1
Extrayendo raíz cuadrada: x x2 2 2 1− + ≥
Sumando 2 conseguimos: x x2 2 2 2 1 2− + + ≥ +
f(x) ≥ 3
\ f(x) mínimo = 3 Rpta. C
Prob. 11.- Resolver: − − +−
<2
90
2
2x x
x
A)⟨1;3⟩ ∪ ⟨3; 4⟩ B)⟨2;3⟩ C)⟨-3;-1⟩
D)⟨-3;-1⟩ ∪ ⟨2; 3⟩ E)⟨-2;-1⟩ ∪ ⟨2;4⟩
La inecuación dada se puede reescribir así: -2 0 9 02 2− + > ∧ − <x x x
En forma equivalente: –2 – x + x2 > 0 ∧ x2 – 9 < 0
x2 – x – 2 > 0 ∧ x2 – 9 < 0
Factorizando cada polinomio del primer miembro:
(x – 2)(x + 1) > 0 ∧ (x + 3)(x – 3) < 0
En la recta real: ∩
de la intersección: -3 < x < -1 ∨ 2 < x < 3 \ CS = ⟨-3; -1⟩ ∪ ⟨2; 3⟩ Rpta. D
Prob. 12.- Resolver xx
−+
>41
015
7,darcomorespuestaelcomplementodesuconjuntosolución.
A)⟨-1;4⟩ B)⟨-4;1⟩ C)[-4;1] D)⟨-∞;-1⟩ ∪ ⟨4; ∞⟩ E)[-1;4]
446 Álgebra 447Und. 9 Inecuaciones
La inecuación dada es: xx
−+
>41
015
7
Fácilmente podemos reconocer que en R el signo de x − 415 es el mismo que el de x – 4, asimismo que el signo de x + 17 es el mismo que el de x + 1.
Ahora la inecuación se puede reescribir así: xx
−+ >4
1 0
En la recta real: → CS = ⟨-∞; -1⟩ ∪ ⟨4; ∞⟩
\ (CS)' = [-1; 4] Rpta. E
Prob. 13-Determinarelconjuntosolucióndelainecuación: x xx
< −−
161
A)⟨1;4⟩ B)⟨1;4⟩ C)⟨0;5⟩ D)⟨2;4⟩ E)⟨3;4]
De acuerdo con la teoría, se cumple que: x xx
x xx
≥ ∧ −−
≥ ∧ < −−
0 161
0 161
por -1
x xx
x xx
≥ ∧ −−
≤ ∧ − −−
<0 161
0 161
0
x xx
x x xx
≥ ∧ −−
≤ ∧ − − +−
<0 161
0 161
02
x xx
xx
≥ ∧ −−
≤ ∧ −−
<0 161
0 161
02
x xx
x xx
≥ ∧ −−
≤ ∧ + −−
<0 161
0 4 41
0( )( )
(x ≥ 0) ∧ (1 < x ≤ 16) ∧ (x < -4 ∨ 1 < x < 4)
De la intersección: 1 < x < 4 \ CS = ⟨1; 4⟩ Rpta. A
Prob. 14.- Determinarlacantidaddevaloresenterosqueasumexenlasiguienteinecuación:
2 9 1− − ≥x
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
La inecuación dada es: 2 9 1− − ≥x
Según la teoría se cumple: 2 9 0 2 9 1− − ≥ ∧ − − ≥x x
En forma equivalente: 9 2 9 1− ≤ ∧ − ≤x x
9 1− ≤x
Ahora se cumple que: 9 – x ≥ 0 ∧ 9 – x ≤ 1
x x≤ ∧ ≥9 8
8 ≤ x ≤ 9
Fácilmente reconoceremos que los valores enteros que asume «x» son 8 y 9.
\ Nº de valores = 2 Rpta. A
Prob. 15.- Resolver: x x− ⋅ − ≥2 9 023
A)[3;∞⟩ B)[2;∞⟩ C)[9;∞⟩ D)[3;9] E)[3;∞⟩ ∪{2}
La inecuación dada es: x x− ⋅ − ≥2 9 023
De acuerdo con el conjunto de valores admisibles (CVA) en R para el radical de índice par debemos plantear:
x – 2 ≥ 0 ↔ x ≥ 2
Ahora la inecuación: x x− ⋅ − ≥2 9 023
Se puede reescribir así: x x23 9 0 2− ≥ ∀ ≥;
Elevando al cubo: x2 – 9 ≥ 0 → (x + 3)(x – 3) ≥ 0
En forma equivalente: x ≤ -3 ∨ x ≥ 3
Pero x ≥ 2, luego: x ≥ 3 ∨ x = 2 \ CS = [3; ∞⟩ ∪ {2} Rpta. E
448 Álgebra 449Und. 9 Inecuaciones
01.-Resolver: 41
1xx +
>
A)⟨-∞;-1⟩∪⟨1/3;∞⟩
B)⟨-1;1/3⟩
C)⟨-∞;1⟩∪⟨4/3;∞⟩
D)⟨-∞;-2⟩∪⟨2/3;∞⟩
E)⟨-∞;-1⟩∪⟨1/2;∞⟩
02.- Resolver: 21
41x x+
≥−
A)⟨-3;1⟩∪⟨1;∞⟩ B)⟨-∞;-3]∪⟨-1;1⟩
C)⟨-3;1⟩ D)⟨-3;-1]∪⟨1;2⟩
E)⟨-∞;-3]∪⟨-1;1⟩
03.- Resolver: 21
3 1x x x− + >
A)⟨0;1/2⟩∪⟨1;∞⟩
B)⟨-∞;0⟩∪⟨1/2;1⟩
C)⟨-∞;1⟩
D)⟨1/2;1⟩∪⟨1;∞⟩
E)⟨0;1/4⟩∪⟨1/2;∞⟩
04.- Resolver: x x
x x
2
22
20− −
+ −≤
luegoindicarlacantidaddenúmerosenteros«x»queverifiquenlainecuación.
A)1 B)2 C)3
D)4 E)Infinitos
05.-Resolver: 32
4x −
>
A)⟨2;11/4⟩ B)[2;11/4⟩ C)⟨2;11/4]
D)∅ E)R
06.-Resolver: x x x
x x
5 3
4 23
3 11+ +
+ +≤
A)⟨3;6⟩ B)⟨-∞;1] C)⟨-1;2⟩
D)⟨0;1⟩ E)⟨0;3]
07.- Indicarunintervalosoluciónde:xx
xx
++
> ++
34
12
A)[-4;-2⟩ B)⟨-4;-2⟩ C)[-3;-2⟩
D)⟨-∞;-4⟩ E)⟨-3;-5⟩
08.- Resolver: 4 3 2 7− > −xx x
A)⟨1/2;0⟩ B)∅ C)⟨0;∞⟩
D)R E)⟨-∞;-1/2⟩∪⟨0;∞⟩
09.- Silaexpresión: xx x x− − + −
−12
18
12
es no negativa, ¿cuál es el intervalo al cualpertenece«x»?
A)⟨-∞;-2⟩∪⟨-1;1⟩∪⟨3;∞⟩
B)⟨-∞;-2]∪⟨-1;1⟩∪[3;∞⟩
C)⟨-∞;-1⟩∪⟨1;∞⟩
D)⟨∞;-2]∪⟨-1;3⟩–{1}
E)[-2;-1⟩∪⟨1;3⟩
9.4. InecuacionesFraccionarias e Irracionales
Práctica10.- Resolver: 2 1 1x − >
A)x≥1/2 B)x>1 C)x≥2
D)x>3 E)x>0
11.-Resolver: x2 1 4− > -
A)⟨-1;1⟩ B)⟨-∞;0⟩
C)⟨-∞;-1⟩∪⟨1;∞⟩ D)⟨1;∞⟩
E)⟨-∞;-1]∪[1;∞⟩
12.- Resolver: x x x2 12− − >
A)R B)∅ C)⟨-∞;0]
D)⟨-∞;-3] E)⟨-∞;-3⟩
13.-Resolver: 3 2 2x + <
A)[-2/3;2/3] B)[-2/3;2/3⟩
C)⟨-2/3;2/3⟩ D)⟨-2/3;2/3]
E)⟨-∞;2/3⟩
14.- Resolver x x2 5 4 2− + < , para luegoindicarlacantidaddenúmerosenterospositi-vos«x»queverificanlainecuación.
A)1 B)2 C)3
D)4 E)5
15.- Resolver: x x2 2 5− − < -
A)⟨-1;2⟩ B)⟨-2;1⟩
C)⟨-∞;-1]∪[2;∞⟩ D)∅
E)⟨-∞;-2]∪[1;∞⟩
16.-Resolver: x x33 8 2+ ≤ +
A)[-2;0] B)[-2;0⟩
C)⟨-∞;-2]∪[0;∞⟩ D)⟨-∞;-2⟩∪⟨0;∞⟩
E)⟨-∞;-1]∪[1;∞⟩
17.- ¿Cuántosnúmerosenteros«x»verifican
lasiguienteinecuación: x x33 7 1− < − ?
A)1 B)2 C)3
D)4 E)5
18.- Resolver: x x− ≤ −4 11
A)[4;11] B)[15/2;11] C)[4;15/2]
D)[2;15/2] E)∅
19.- Resolver: xx
−+
>32
0
A)R–[-2;3] B)R–[2;3]
C)R–[-3;2] D)R–[1;5]
E)R–[2;9]
20.- Alresolver: x xx x
2
22 34 3
3− +− +
> - ,seobtiene:
A)R–
B)R–∪⟨2;3⟩
C)⟨-∞;-1⟩∪⟨3/2;2⟩
D)R–⟨1;3⟩
E)⟨-∞;1⟩∪⟨3/2;2⟩∪⟨3;∞⟩
21.- Resolver: x x x
x
4 6 7
117 1 2
10+( ) +( ) +( )
−( )≤
A)∅ B)R C)[-3;-1⟩
D)[-3;1⟩ E)[-2;1⟩
22.- Unintervalosoluciónde:
xx n
x
x n
nx n
n−
≤−
++
>8 2 02
2 2; es:
A)⟨-n;n⟩ B)⟨n;3n⟩ C)[3n;∞⟩
D)⟨n;3n] E)[3n;∞⟩
450 Álgebra
23.-Resolver: xx
xx
−+ ≤ +
−22
11
A)x ∈⟨-2;0⟩∪⟨1;∞⟩
B)x∈⟨-2;1⟩
C)x∈⟨-1;1⟩∪⟨2;∞⟩
D)x∈⟨-1;0⟩∪⟨1;∞⟩
E)x∈∅
24.-Si:0>b>a,resolver: ax bbx a
++ ≥ -1
A)x∈⟨-∞;-a/b⟩∪[-1;∞⟩
B)x∈⟨1;a/b⟩
C)x∈⟨-∞;0⟩∪⟨1;a/b⟩
D)x∈⟨-∞;-a/b⟩∪⟨1;∞⟩
E)R
25.-Dado: M |= ∈ − ≤{ }x x 2 9 4 ,indiqueelcardinalde«M».
A)4 B)2 C)3
D)6 E)8
26.-Al resolver: 2 52− − >x x - indicar elproductodelmenorconelmayorentero«x».
A)-2 B)1 C)3
D)0 E)-3
27.- Resolver: xx
−−
<24
2
A)⟨-∞;4] B)⟨-2;3⟩ C)⟨2;3⟩
D)⟨18/5;4] E)[2;18/5⟩
28.-Resolver:
x x x x
x x x x x
−( ) −( ) +( ) −
−( ) +( ) −( ) −( )≥6 8 3 1
4 4 64 50
3 15 3
9 10 3
A)x∈[-3;0⟩∪⟨2;3⟩
B)x∈[-2;0⟩∪[2;3]
C)x∈[-2;1⟩∪⟨2;3]
D)x∈[-3;0⟩∪[1;2]
E)∅
29.-Resolver: 2 1 3 3 02x x x− > − + ≥
A)x<-1/4∪x>1/3
B)x>1/5∪x<3/4
C)x>-2/3∪x<1
D)x>-5/3∪x<1
E)x>1
30.-Determinarelintervaloformadoporlosvalores de «x» que satisfacen la siguienteinecuación:
2 2 4 22 4
1x x xx x− − −− −
>( )
A)⟨4;∞⟩ B)⟨2;∞⟩ C)⟨-2;4⟩
D)⟨2;4⟩ E)⟨0;∞⟩
..
..
..
ABF
()x y+n
Claves:
20E
19A
18C
17B
16C
15D
14B
13B
12D
11E
10B
09B
08E
07D
06B
05A
04B
03A
02B
01A
21E
28D
27E
26A
25D
24A
23A
22D
29E
30A