9-Teorema de Casti

5/26/2018 9-Teorema de Casti

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CALCULO DE DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS

Teorema de Castigliano:

Consideremos una estructura, que la esquematizamos con una lnea cerrada. Es decir,que el rea encerrada por la misma se desarrolla una estructura resistente, isosttica ohiperesttica, o sea que no puede ser hiposttica (mecanismo con movimientos).

Consideremos ahora un sistema decargas actuando sobre la misma, convalores tales que todos los elementosestructurales estn sometidos a esfuer-zos, para los cuales, las tensiones ydeformaciones estn dentro delrgimen elstico. Dichas fuerzas lasindicamos con P1 ..... Pj ..... Pn,

sistema que est en equilibrio, es decirque, o bien son sistema de fuerzasexternas, o alguna de ellas son fuerzasexternas y otras son reacciones devnculo.

P1

P2

Pj

Pn

Pn-1

1

2

2'

n-1

j

n

2

2

Al actuar las fuerzas creciendo desdecero a su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicacin de las mismas sedesplazan. Por ejemplo el punto, 2 pasa a ocupar la posicin 2'.Cada fuerza realiza un trabajo elsticode valor:

. P .

Siendo la proyeccin del despalzamiento sobre la recta de accin de la fuerza.El trabajo total, debido a todas las fuerzas vale:

jj

n

j PAe = =1 21

lo cual expresa la energa total elstica acumulada por el sistema.

Si la fuerza Pj, vara en dPj, el trabajo valdra:

j

j

dPP

AeAe

+

dondejP

Ae

es la variacin del trabajo total cuando Pjvara en la unidad.

Consideramos ahora que primero se aplique dPjy luego el sistema P1a Pn. El trabajototal, en este caso resulta:

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AedPddP jjjj ++ ..2

1

Donde:

El 1 sumando, expresa el trabajo elsticode dPj, al aplicar dicha fuerza creciendodesde cero a su valor final.

El 2 sumando, representa el trabajo fsicode dPjdebido al desplazamiento queprovoca el sistema P1a Pn, al crecer desde cero a sus valores finales.

El 3 sumando, el trabajo elsticodel sistema P1a Pn.

Como los estados finales, del 1 y 2 caso son iguales, debe cumplirse:

AedPddPdP

P

AeAe jjjjj

j

++=

+ ..

2

1

Simplificando los valores Ae de las dos ecuaciones y despreciando el primer sumandodel segundo miembro por ser un diferencial de orden superior, se obtiene:

jjj

j

dPdPP

Ae=

.

j

jP

Ae=

o lo que es equivalente :

que es la expresin del Teorema de Castigliano

Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn, se acumula comoenerga interna elstica, podemos escribir:

Ae = AiY por lo tanto:

j

jP

Ai

=

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Ello implica poder enunciar:

"En todo sistema elstico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio,la variacin del trabajo interno para un incremento unitario de la fuerza

aplicada en un punto cualquiera del mismo, representa el desplazamientodel punto proyectado en la direccin de la fuerza, siempre que el sistemase encuentre en el rgimen elstico."

Debido que para obtener las deformaciones con el trabajo externo Ae, necesitamos lasdeformaciones, debemos desarrollar la expresin del trabajo interno Ai.

Dado que los esfuerzos internos estn representados por tensiones y las deforma-ciones por deformaciones especficas, el trabajo interno estar dado por unidad devolumen:

Ai* = "trabajo interno de deformacin por unidad de volumen", el cual estar expresadode la siguiente manera:

+=2

1

2

1*Ai

Por la ley de HookeG

, =

=

E, reemplazando en la expresin anterior:

GEAi

22

21

21* +=

Para obtener el trabajo interno de deformacin debemos integrar la expresin en elvolumen:

+

==x Ax A

dAdxG

dAdxE

dVAiAi22

2

1

2

1*

Las tensiones normales son producidas por momentos y esfuerzos axiles (M y N), y lastensiones tangenciales por los esfuerzos de corte (Q):

A

Q, =+= y

J

M

A

N donde

Jb

SA=

Reemplazando:

dAdxAQ

GdAdxy

JM

EydAdx

JM

AN

EdAdx

AN

EAi

x Ax Ax Ax A +++= 2

2

222

2

2

2

21

211

21

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Del primer trmino tenemos (rea),AdAA

=

del segundo (momento esttico en toda el rea),0=A

ydA

del tercero (momento de inercia),JdAyA

= 2

y del cuarto llamamos =

dAAA

2

(coeficiente de forma de la seccin), por lo tanto:

dxGA

Qdx

EJ

Mdx

EA

NAi ++=

222

2

1

2

1

2

1

Aplicando el Teorema de Castigliano:

GA

dx

P

QQ

EJ

dx

P

MM

EA

dx

P

NN

P

Ai

jjjj

j

+

+

=

=

Aplicacin del Teorema al clculo de deformaciones:

PA

BM

x

L

B

MB

MA

B

B

Sea el caso de una vigaempotrada en A y cargada en elextremo libre B con una fuerza yun momento. El diagrama demomentos, vara de MB = -M aMA= -(M+PL).En la explicacin que siguevamos a considerar que las

deformaciones por flexin sonmucho mayores que las produ-cidas por el esfuerzo de corte, esdecir despreciamos el efecto delcorte, por lo tanto el trabajointerno a considerar, es solo eldebido al momento flector.

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La expresin general del trabajo interno por flexin vale dxEJ

MxAi =

2

2

1

En tal caso, si queremos calcular el desplazamiento vertical del punto B, de acuerdo al

Teorema de Castigliano, debemo hacer la deribada respecto de P y considerando queel momento de inercia y el mdulo de elasticidad son constantes:

dxP

MxMx

EJP

AiL

B

=

=0

1

En el ejemplo planteamos Mx= -(M+Px) y derivando dMx/dP = -x

( )( )

+

=+=

LLL

BxPxM

EJdxxPxM

EJ0

3

0

2

032

11

+=32

1 32 PLML

EJB

Observando y analizando la ecuacin obtenida podemos deducir que la elstica final,es la suma de la debido a M y a la debida a P separadamente , haciendo tender a ceroa P y a M respectivamente.Si el problema planteado, correspondera al caso en el que la carga sea solamente unmomento M en B, no tendramos una carga puntual en B, para calcular eldesplazamiento vertical de ese punto.

FA

B

Pero si consideramos que adems de M actaen B una fuerza F, infinitamente pequea,

podemos escribir: Mx= -(M+Fx), y por lo tantodMx/dF = -x.

Luego podemos decir que F es tan pequea que se puede despreciar y eldesplazamiento vertical quedar:

EJ

MLdxxM

EJdx

F

MxMx

EJF

AiLL

B

2

00

))((11

==

=

=

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Con este ejemplo, hemos demostrado que no es necesario que en el punto donde nosinteresa calcular el desplazamiento, se tenga una fuerza real, para poder usar elTeorema de Castigliano.

Ejemplo 1:

Sea una viga en voladizo, empotrada enA y con un momento aplicado en B. Nosplanteamos calcular el desplazamientovertical de C (punto medio de AB). En talcaso:

M

CA

B

x

L/2

M

F

FL/2

dxF

MxMx

EJF

AiL

C

=

=

0

1

donde F es una fuerza infinitesimalaplicada en C, en la direccin en que sequiere calcular el desplazamiento. Astendremos:

] ] ( )[ ]2

;2

20

LxFMMMM L

Lx

L

x +==

( )2;02

2

0

LxdF

dMdF

dM L

L

x

L

x ==

( )( ) ( )( )

=

++= L

L

L

L

lL

L

c dxLMMxdx

EJdxLxMdxM

EJ2 2

2

02

21

20

1

=

=

4831

22421

22

22 LMML

EJLLMLLM

EJc

EJ

MLc

8

2

=

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Ejemplo 2:

Viga en voladizo con carga en el extremo libreB. Calcular el giro de la seccin C.

C

A

B

m

x

L/2

PL

P

m

Como en C no acta un momento, debemosaplicar en dicho punto un momento minfinitamente pequeo.Para el clculo tenemos:

dxm

MxMx

EJm

Ai L

C

=

=0

1

] ] [ ]PxmMPxM LLxL

x +==2

20

;

1;0

2

2

0

=

=

L

L

x

L

x

dm

dM

dm

dM

Nuevamente haciendo tender m a cero:

( )( ) ( )( )

=

+= 4211101

22

2

02

LLPEJ

dxPxdxPxEJ

LL

L

c

EJ

PLc

8

3 2=

Si entramos en el anlisis detallado de las integrales que hemos realizado, vemos quela derivada del diagrama de momentos es igual al diagrama de momentos de una cargaunitaria aplicada en el punto donde queremos calcular la deformacin.Por lo tanto para el clculo de deformaciones, debemos integrar el producto de dosfunciones:

La del momento real de las cargas actuantes en la estructura.

La del momento que provoca una carga unitaria aplicada en el punto del que sequiere conocer la deformacin y direccin de la misma.

Los momentos probocados por las citadas cargas unitarias (fuerza o momento), vamosa denominarlos como Mx1.

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Ejemplo 3:

Viga simplemente apoyada, de momento deinercia constante y carga unifirme. Se pide:

A

BC

L

qL2/8

M

m = 1

1

F = 1

L/4

q

Mx1caso a)

Mx1caso b)

a) Giro de la seccin en el apoyo A

b) Desplazamiento vertical del punto mediodel tramoAB.

a) Giro

dxMMEJ

dxm

MxMx

EJm

Ai

x

L

x

L

A

1

0

0

1

1

=

=

=

=

2

22x

qx

qLMx =

L

x

m

M

M x

x =

= 11

423232221

22

4332

0

2 L

L

qLqLqLqLdx

L

xx

qx

qLEJ

L

A +=

=

EJ

qLA

24

3

=

b) Desplazamiento vertical

dxMM

EJ

dx

F

MxMx

EJF

Aix

L

x

L

c 1

00

11 =

=

=

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2

22x

qx

qLMx = ] x

F

MM x

L

x 5.02

01 =

=

( ) ( ) ( )

=

= 4

243

24

25.022

2

432/

0

2 LqLqLdxxxqxqLEJ

L

c

EJ

qLc

384

5 3=

Ejemplo 4:

Viga empotrada en A, con extremo libre en C y carga verticalP en C. Calcular:

A

P

L1, J1 C

B

L2, J2

a) Desplazamiento vertical del punto C = vcb) Desplazamiento horizontal de C = hcc) Giro del nudo C = cd) Giro del nudo B = BB

L1= 100 cm J1= J

L2= 200 cm J2= 2J

Diagrama de momentos M

a) Para el clculo del desplazamiento vertical, dado que

P est en el punto y con la direccin del desplazamientoque queremos calcular, el diagrama Mx1 ser elcorrespondiente para P = 1.

( )( ) ( )( )dyLPLEJ

dxxPxEJ

LL

vc +=21

0

11

201

11

A

P

CB

PL1

x

y

2

2

1

3

1 2

1

3 LPLL

P

EJ vc +=

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b) Desplazamiento horizontal de C

A

1

CB

L2

Mx1

Realizando las integrales por tabla.

( )( )

( )( )2

221

2

211

2

1

2

11

EJ

LLPL

EJ

LMMdxMM

EJ

B

A

Bxxhc

=

=

==

1

2

2

4

1LPLEJ hc=

c) Giro de C

( )( ) ( )( )

B

A

B

C

B

B

xxc

EJ

LMM

EJ

LMM

dxMMEJ

+

=

==

2

21

1

11

1

2

1

1

A

1

CB

1

Mx1

( )( ) ( )( )B

A

C

B

cEJ

LPL

EJ

LPL

+

=

2

21

1

11 11

2

1

21

2

1

2

1

2LPL

PLEJ c +=

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d) Giro en B

( )( ) ( )( )2

21

2

211 1

1

EJ

LPL

EJ

LMMdxMM

EJ

B

A

xxB =

==

A

1

CB

Mx1

212

1LPLEJ B =

Problemas cuando se tiene en cuenta el esfuerzo de corte Q y el esfuerzo axil N

Teniendo en cuenta todos los esfuerzos, el trabajo interno de deformacin vale:

dxGA

QQdx

EJ

MMdx

EA

NNAi xx

xx

xx ++= 2

1

2

1

2

1

donde es el coeficiente de forma de la seccin, siempre positivo con valores:

= 1,2 para seccin rectangular

= 1,185 para seccin circular llena= 2 a 3 para seccin doble T (segn las medidas)

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Ejemplo de aplicacin:

Para la estructura de la figura se pide:

a) Desplazamiento vertical del punto D = vD

b) Desplazamiento vertical del punto B = vBc) Desplazamiento horizontal del punto C = hcd) Giro de la seccin B de la barra 4 = B4e) Giro de la seccin B de la barra 3 = B3

Material: Acero E = 2.100.000 Kg/cm2 G = E/2(1+) 800.000 Kg/cm2

L1= L2= 70,7 cm L3= L4= 100 cm

Secciones:Barras 1 y 2 A1,2= 2 cm

2

Barra 3 A3= 3 cm2Barra 4

A4= 54 cm2

J4= 1458 cm4

18 cm

3 cm

P1= 6000 KgP2= 2000 Kg

A

B

C

D

P2

P1

21

4

3

4545

M Mx= -3000 x

Q = 3000 Kg

MA= -300000 Kg cm

N = 2000 Kg

Esfuerzos en las barras:

S1= S2= -0,707 P1S1= S2= -4243 Kg

S3= P2+ 0,5 P1= 5000 Kg

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a) Desplazamiento vertical del punto D = vD

A

B

C

D

1

21

4

3

M1 M1x= -0,5 x

Q1= 0,5

M1A= -50 Esfuerzos en las barras:

S11= S21= -0,707

S31= 0,5N1= 0

i

ii

iixxxxxxVD EA

LS

SdxNNEAdxQQGAdxMMEJ

13

11

100

041

100

041

100

04

11

=+++=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1005,05000

250707,04243

21005,030002,1

10050)300000(3

1

3144 EAEAGAEJVD +

++=

833332121188750342936 +++=VDE

cmVD 308,0=

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b) Desplazamiento vertical del punto B = vB

A

B

C

D

1

21

4

3

M1 M1x= -x

Q1= 1

M1A= -100 Esfuerzos en las barras:

S11= S21= S31= 0N1= 0

dxQQGA

dxMMEJ

xxxxVB 1

100

04

1

100

04

1

+=

( ) ( )( )100130002,1

100100)300000(

3

1

44 GAEJ

VB +=

17500685871+=VBE

Nota:Observar que entre el valor de la elstica teniendo en cuenta el Q y cuando se lodesprecia, la diferencia es menor del 2,6%

cmVB 335,0=

c) Desplazamiento horizontal del punto C = hcS11= S21= 0, S31= 1, N1x= 1, M1x= 0, Q1x= 0

A

B

C

D

1

21

4

3

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i

ii

i

ixxHCEA

LSSdxNN

EA

1

3

1

1

100

04

1

=

+=

( )( ) ( )( )100

15000100

12000

34 EAEAHC +=

cmHC 081,0=

d) Giro de la seccin B de la barra 4 = B4

A

B

C

D

1

21

4

3

Mx1= -1, Qx1= 0, Nx1= 0, S11= S21= S31= 0

( )( )0049,0

1300000

2

11

4

1

100

04

4 =

== EJdxMMEJ xxB

"'4 5116=B

e) Giro de la seccin B de la barra 3 = B3

A

B

C

D 21

4

3

VB

B3

B3=VB/L3

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16/16

B3= 0,335 cm / 100 cm = 0,00335

"'

3 1311=B

f) Giro relativo en B:

4 3B

Giro relativo

Giro Relativo = 16' 51" + 11' 31"

"' 2228= Brelativo

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