9. Sortieren in linearer Zeit · SS 2016 DuA - Kapitel 9 1 9. Sortieren in linearer Zeit Es gibt...
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 1 9. Sortieren in linearer Zeit Es gibt Algorithmen, die die Ω(nlog(n)) untere Schranke für Vergleichssortierer schlagen. Diese Algorithmen benutzen neben Vergleichen und Kontrolloperationen noch andere Operationen wie z.B. arithmetische Operationen auf den zu sortierenden Zahlen. Allerdings benötigen diese Algorithmen gewisse Einschränkungen, um eine Laufzeit von o(n log n) zu erzielen. Zu diesen Algorithmen gehören Counting-Sort, Bucket-Sort und Radix-Sort.
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 1
9. Sortieren in linearer Zeit
Es gibt Algorithmen, die die Ω(nlog(n)) untere Schrankefür Vergleichssortierer schlagen.
Diese Algorithmen benutzen neben Vergleichen undKontrolloperationen noch andere Operationen wie z.B.arithmetische Operationen auf den zu sortierendenZahlen.
Allerdings benötigen diese Algorithmen gewisseEinschränkungen, um eine Laufzeit von o(n log n) zuerzielen.
Zu diesen Algorithmen gehören Counting-Sort,Bucket-Sort und Radix-Sort.
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 2
Sortieren durch Abzählen (1)Annahme: Es gibt ein dem Algorithmus Counting-Sort bekannter Parameter k, so dass für die Eingabefolge ( )na,,a 1 gilt: ni k ai ≤≤≤≤ 1alle für0 . Algorithmusidee:
1. Für alle ki,i ≤≤0 bestimme Anzahl iC der iaa jj ≤ mit .
2. Kopiere iaa jj = mit in Felder [ ] [ ]ii CB,,CB 11 +− eines Arrays B mit length[B]=n. Dabei gilt 01 =−C .
Es gilt: 1−− ii CC ist die Anzahl der iaa jj = mit .
Annahme: Es gibt ein dem Algorithmus Counting-Sort bekannter Parameter k, so dass für die Eingabefolge
(
)
n
a
,
,
a
K
1
gilt:
n
i
k
a
i
£
£
£
£
1
alle
für
0
.
Algorithmusidee:
1. Für alle
k
i
,
i
£
£
0
bestimme Anzahl
i
C
der
i
a
a
j
j
£
mit
.
2. Kopiere
i
a
a
j
j
=
mit
in Felder
[
]
[
]
i
i
C
B
,
,
C
B
K
1
1
+
-
eines Arrays B mit length[B]=n. Dabei gilt
0
1
=
-
C
.
Es gilt:
1
-
-
i
i
C
C
ist die Anzahl der
i
a
a
j
j
=
mit
.
_1175420433.unknown
_1175420964.unknown
_1175421013.unknown
_1175421095.unknown
_1175420973.unknown
_1175420713.unknown
_1175420887.unknown
_1175420070.unknown
_1175420413.unknown
_1175419901.unknown
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 3
Sortieren durch Abzählen (2)
1a 2a 3a 4a … … 1−na naA
… … …. …
10C 11 +−iC iC kC
iaa jj = mit 0 mit =jj aa
B
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 4
Counting-Sort
Counting-Sort(A,B,k)
1. for i←0 to k do2. C[i]←03. for j←1 to length(A) do4. C[A[j]]←C[A[j]]+15. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert i6. for i←1 to k do7. C[i]←C[i]+C[i-1]8. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert ≤i9. for j←length(A) downto 1 do10. B[C[A[j]]]←A[j]11. C[A[j]]←C[A[j]]-1
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 5
Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (1)
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Illustration für Counting-Sort (2)
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Illustration für Counting-Sort (2)
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C 21
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B1 2 3 4 5 6 7 8
C 21
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 31
Illustration für Counting-Sort (2)
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 32
Illustration für Counting-Sort (2)
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Illustration für Counting-Sort (2)
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Illustration für Counting-Sort (2)
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Illustration für Counting-Sort (2)
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Illustration für Counting-Sort (2)
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Illustration für Counting-Sort (2)
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 44
Illustration für Counting-Sort (2)
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 45
Illustration für Counting-Sort (2)
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 46
Illustration für Counting-Sort (2)
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 47
Laufzeit von Counting-Sort
Zeilen 1-2, 6-7: jeweils O(k)
Zeilen 3-4, 9-11: jeweils O(n)
Counting-Sort(A,B,k)
1. for i←0 to k do2. C[i]←03. for j←1 to length(A) do4. C[A[j]]←C[A[j]]+15. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert i6. for i←1 to k do7. C[i]←C[i]+C[i-1]8. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert ≤i9. for j←length(A) downto 1 do10. B[C[A[j]]]←A[j]11. C[A[j]]←C[A[j]]-1
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 48
Laufzeit von Counting-SortSatz 9.1: Counting-Sort besitzt Laufzeit O(n+k).
Korollar 9.2: Gilt k= O(n), so besitzt Counting-SortLaufzeit O(n).
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 49
Korrektheit von Counting-SortCounting-Sort(A,B,k)
1. for i←0 to k do2. C[i]←0
3. for j←1 to length(A) do4. C[A[j]]←C[A[j]]+15. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert i
6. for i←1 to k do7. C[i]←C[i]+C[i-1]8. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert ≤i
9. for j←length(A) downto 1 do10. B[C[A[j]]]←A[j]11. C[A[j]]←C[A[j]]-1
I1(j): ∀i∈{0,…,length(A)}: C[i]= #i in A[1,…,j-1]
I2(j): ∀j∈{0,…,i-1}: C[j]= #≤j in A und ∀j∈{i,…,k}: C[j]= #j in A
I3(j): ∀i∈{j+1,…,length(A)}: Pos. von A[i] in B ist gleich |{ 1≤l≤length(A) | A[l]
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 50
Korrektheit von Counting-SortCounting-Sort(A,B,k)
1. for i←0 to k do2. C[i]←03. for j←1 to length(A) do4. C[A[j]]←C[A[j]]+15. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert i6. for i←1 to k do7. C[i]←C[i]+C[i-1]8. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert ≤i9. for j←length(A) downto 1 do10. B[C[A[j]]]←A[j]11. C[A[j]]←C[A[j]]-1
Am Ende gilt: ∀i∈{1,…,length(A)}: Pos. von A[i] in B ist gleich|{ 1≤l≤length(A) | A[l]
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 51
Korrektheit von Counting-Sort
A 21
52
33
04
25
36
07
38
B1 2 3 4 5 6
37 8
C 21
22
43
74
75
00
0 2 30 3 52
Am Ende gilt: ∀i∈{1,…,length(A)}: Pos. von A[i] in B ist gleich|{ 1≤l≤length(A) | A[l]
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 52
Radixsort
Ideen: • verwende k-adische Darstellung der Schlüssel• Sortiere Ziffer für Ziffer gemäß Counting-Sort• Behalte bei Betrachtung der i-ten Ziffer die
Reihenfolge der Elemente mit gleicher i-terZiffer bei (s. Countingsort)
Annahme: für alle Zahlen z: 0≤z
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 53
Radixsort
Radixsort(A,k)
1. for i←0 to d-1 do2. Counting-Sort(A,B,i,k-1) 3. sortiere gemäß der Ai[j]-Werte, wobei Ai[j]
die i-te Ziffer in A[j] angibt
Laufzeit: O(d(n+k))k=n und d konstant: Laufzeit O(n).
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 54
Radixsort
Counting-Sort(A,B,i,k)
1. for i←0 to k do2. C[i]←03. for j←0 to length(A) do4. C[Ai[j]]←C[Ai[j]]+15. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert i6. for i←1 to k do7. C[i]←C[i]+C[i-1]8. C[i] enthält Anzahl der Elemente in A mit Wert ≤i9. for j←length(A) downto 1 do10. B[C[Ai[j]]]←A[j]11. C[Ai[j]]←C[Ai[j]]-1
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 55
Radixsort
Beispiel:
Nach Counting-Sort(A,B,0,9):
12 203 3 74 24 17 112
12 112 3203 74 24 17
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 56
Radixsort
Beispiel:
Nach Counting-Sort(A,B,1,9):
12 112 203 3 74 24 17
203 03 11212 17 24 74
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 57
Radixsort
Beispiel:
Nach Counting-Sort(A,B,1,9):
203 3 12 112 17 24 74
003 012 024017 074 112 203
Zauberei???
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 58
Radixsort
Korrektheit:• Für jedes Paar a
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SS 2016 DuA - Kapitel 9 59
Changelog
09.05.16: Folien 4, 47, 49 (neu), 50 (neu), 51 (neu), 52
10.05.16: Folien 49, 50, 51, 58
9. Sortieren in linearer Zeit Sortieren durch Abzählen (1) Sortieren durch Abzählen (2)Counting-SortIllustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (1)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Illustration für Counting-Sort (2)Laufzeit von Counting-SortLaufzeit von Counting-SortKorrektheit von Counting-SortKorrektheit von Counting-SortKorrektheit von Counting-SortRadixsortRadixsortRadixsortRadixsortRadixsortRadixsortRadixsortChangelog
