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9. RLC-Schaltungen
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Wechselstrom-NetzwerkeRichtungskonvention nicht genauso wie in Gleichstromnetzwerken:
• Richtung kehrt sich ständig um.
• Polarität von Spannung und Strom ist bei Phasenverschiebung nicht immer in gleicher Richtung.
• Rückspeisung der Quelle
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ue
uC
uR ∼ i
C = 22 nF
R = 720 Ω
Messung der Phasenverschiebung zwischender Eingangsspannung ueund dem Strom i
000000 HzFrequenz Hz Funktion
101
102
103 104
105
106
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9 Grundschaltelemente R, L, C im Wechselstromkreis
IRUR
ILUL
ICUC
Bezugszeiger für alle Zeigerdiagramme ist der Strom I mit ϕi = 0°Im
Re
Im
ReIm
Reϕui = 90°
ϕui = -90°ϕui =0°
ZR = R ZL = j ωL ZC = - jωC1
UR = RI ej0° UL = ωL ej90° UC = 1/ωC e-j90°
PR = RI2 QL = ωLI2 QC = - (1/ωC)I2
Blindleistungen
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Grundschaltelemente R, L, C im Wechselstromkreis:Grundschaltelemente R, L, C im Wechselstromkreis:
Bei der Zusammenschaltung der Grundschaltelementeentstehen:
komplexe Impedanzen Z = R + X bzw. Z = R + jXkomplexe Admittanzen Y = G + B bzw. Y = G + jB
Die in diesen Schaltungen umgesetzte Scheinleistung Sbesteht aus:
Wirkleistung P und Blindleistung Q
S = P + Q bzw. S = P + jQ
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Serien- und ParallelschaltungenSerienschaltung
1) Widerstand und Kondensator2) Widerstand und Spule
Berechung jeweils von Einzel- und Gesamtspannungen und Leistung (komplex!)
Parallelschaltung3) Widerstand und Kondensator4) Widerstand und Spule
Berechung jeweils von Einzel- und Gesamtspannungen und Leistung (komplex!)
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Reihenschaltung von ImpedanzenVorgehensweise zur Analyse von Wechselstromnetzwerkenanalog zu Gleichstromnetzwerken, aber:
• komplexer Strom ist Bezugsgröße für die Phase
• einzelne Spannungen zu Gesamtspannung in komplexer Ebene addieren (komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)
• komplexe Scheinleistung aus komplexem Strom und komplexer Spannung berechnen(komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)
emgemgGET
9 Reihenschaltung von R und L im Wechselstromkreis
IUR ULUges
Wie schon bei Gleichstrom-netzwerken ist bei Reihen-schaltungen die Bezugsgrößefür alle Berechnungen derStrom I mit ϕi = 0°
Gesucht sind die Impedanz Zges, die Spannungen UR , UL und Ugesmit ihren Phasenwinkeln.
Für Reihenschaltungen gilt:
Blindwiderstand XL = ωLZges = R + j X Wirkwiderstand R
Zges = R + j ωL
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Im
Re
Die Impedanz Zges in der komplexen ZahlenebeneIm
Re
Zges = R + j ωL
R
jωLZges
ϕZ = arctan( )ωLR
Zges = R2 + (ωL)2
Zges = eZges jϕZBerechnung der Spannungen:
UR = R I ej0° = R IUL = jXL I ej0° = jωL I = I ωL ej90°
Uges = UR + UL
Uges = I ej0° •(R + jωL) = I ej0° • eZges
jϕZUR
ULUges
I
ϕui = ϕZ
e j90° = cos(90°) + j sin(90°) = 0 + j(1) = j
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9 Reihenschaltung von R und L im Wechselstromkreis:
IUR ULUges
Berechnung der Leistungen
Wirkleistung in R: P = I2 RBlindleistung in XL: Q = I2 ωLScheinleistung in Z: S = P + jQ
S = P2+ Q2
S = I Uges
Im
Re
P
QS
ϕZ
P = S cos(ϕZ)Q = S sin(ϕZ)
Leistungsfaktor = cos(ϕZ)
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9 Reihenschaltung von R und C im Wechselstromkreis
IUR UCUges
Wie schon bei Gleichstrom-netzwerken ist bei Reihen-schaltungen die Bezugsgrößefür alle Berechnungen derStrom I mit ϕi = 0°
Gesucht sind die Impedanz Zges, die Spannungen UR , UC und Ugesmit ihren Phasenwinkeln.
Für Reihenschaltungen gilt:Zges = R + j XC
Wirkwiderstand RBlindwiderstand XC = - 1
ωC
Zges = R + = R - j1jωC
1ωC
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9 Die Impedanz Zges in der komplexen Zahlenebene
ϕZ = -arctan( )1ωCR
Zges = R2 + (1/ωC)2
Zges = eZgesjϕZBerechnung der Spannungen:
UR = R I ej0° = R IUC = jXC I ej0° = -j 1/ωC I = [I/ωC]e-j90°
Uges = UR + UC
Uges = I ej0° •(R - j 1/ωC) = I ej0° • eZgesjϕZ
Zges = R - j 1ωC
ImReR
-j 1/ωCZges
Im Re
UR
UC
I
Uges
ϕui= ϕZ
e− j 90° = cos(−90°) + j sin(−90°) = 0 + j(−1) = − j
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9 Reihenschaltung von R und C im WechselstromkreisBerechnung der Leistungen
Wirkleistung in R: P = I2 RBlindleistung in XC: Q = I2-j(1/ωC)Scheinleistung in Z: S = P + jQ
S = P2 + Q2
S = I Uges
P = S cos(ϕZ)Q = S sin(ϕZ)
Leistungsfaktor = cos(ϕZ)
IUR UCUges Im Re
QS
ϕZ
P
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Parallelschaltung von ImpedanzenVorgehensweise zur Analyse von Wechselstromnetzwerkenanalog zu Gleichstromnetzwerken, aber:
• komplexe Spannung ist Bezugsgröße für die Phase
• einzelne Ströme zu Gesamtstrom in komplexer Ebene addieren (komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)
• komplexe Scheinleistung aus komplexem Strom und komplexer Spannung berechnen (komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)
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9 Parallelschaltung von R und L im Wechselstromkreis
IRU
Wie schon bei Gleichstrom-netzwerken ist bei Parallel-schaltungen die Bezugsgrößefür alle Berechnungen dieSpannung U mit ϕu = 0°
IL
Iges
Gesucht sind die Admittanz Y, die Ströme IR , IL und Igesmit ihren Phasenwinkeln.
Y = G + jB = 1/R + 1/jωL = 1 1R ωL- j
Admittanz Y = komplexer Leitwert: Y = 1Z
Blindleitwert B = - 1ωLWirkleitwert G = 1
R
R L
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9 Die Admittanz Y in der komplexen Zahlenebene
Y = 1 1R ωL- j
ImRe1/R
-j 1/ωLYϕY = -arctan( )R
ωL
Y = eY jϕY
Y = 1/R2 + (1/ωL)2
Im ReBerechnung der Ströme:IR = G • Uej0° = U/RIL = jBL • Uej0° = U/ωL e-j90°
Iges = IR + IL
Iges = Uej0° •(G + jB) = Uej0° • Ye jϕY
IR
IL
U
Iges
ϕiu= ϕY
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9 Parallelschaltung von R und L im Wechselstromkreis
Berechnung der Leistungen
IRU IL
Iges
R L
Wirkleistung in G: P = U2 /RBlindleistung in BL: QL = U2/jωL = -j U2/ωLScheinleistung in Y: S = U2(1/R - j 1/ωL)
Im ReP
QS
ϕY
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9 Parallelschaltung von R und C im Wechselstromkreis
IRU
Wie schon bei Gleichstrom-netzwerken ist bei Parallel-schaltungen die Bezugsgrößefür alle Berechnungen dieSpannung U mit ϕu = 0°
IC
Iges
Gesucht sind die Admittanz Y, die Ströme IR , IC und Igesmit ihren Phasenwinkeln.
Y = G + jB = 1/R + jωC = 1R + jωC
Admittanz Y = komplexer Leitwert: Y = 1Z
Blindleitwert B = ωCWirkleitwert G = 1 R
R C
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9 Die Admittanz Y in der komplexen Zahlenebene
Y = + jωC 1R
ϕY = arctan(ωCR)
Y = eY jϕY
Y = 1/R2 + (ωC)2
Berechnung der Ströme:IR = G • Uej0° = U/RIC = jB • Uej0° = UωC ej90°
Iges = IR + IC
Iges = Uej0° •(G + jB) = Uej0° • Ye jϕY
Im
Re
1/R
jωCY
Im
Re
IR
ICIges
U
ϕi = ϕY
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9 Parallelschaltung von R und C im WechselstromkreisBerechnung der Leistungen
Wirkleistung in G: P = U2 /RBlindleistung in BL: QC = U2 jωCScheinleistung in Y: S = U2(1/R + jωC)
IRU IC
Iges
R CIm
Re
P
QS
ϕZ
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Realer TransformatorAls Beispiel für ein Wechselspannungs-Netzwerk mit ver-schiedenen Impedanzen dient der reale Transformator unterBerücksichtigung der Drahtwiderstände und der magnetischenStreuverluste.
Die Gegeninduktivität ist M12 = M21 = M. Die Spannung lassensich schreiben als
R1 R2L2L1
i1 i2u1 u2
u1 = L1di1dt
+ i1R1 + Mdi2dt
u2 = L2di2dt
+ i2R2 + Mdi1dt
und
Vorzeichen: laut Definition u = L di/dt
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Streuverluste im realen TransformatorDa die magnetischen Streufelder nicht zur Gegeninduktivität beitragen, können wir die Induktivitäten in je zwei Anteile aufteilen:Die Streuinduktivität Lσ und die Hauptinduktivität Lh,
wobei die Hauptinduktivitäten einen idealen Trafo ohne Verluste (Kupfer, Streuung) bilden und zur Gegeninduktivität beitragen:
mit Lh1 = ü2 Lh2 ist
L1 = L1σ + L1h L2 = L2σ + L2hund
M = L1hL2h M = L1hL1h /ü2 = L1h /ü = üL2h
u1 = L1σdi1dt
+ L1hdi1dt
+ i1R1 +L1h
üdi2dt
= L1σdi1dt
+ L1hdi1dt
+1üdi2dt
+ i1R1
u2 = L2σdi2dt
+L1h
ü2di2dt
+ i2R2 +L1h
üdi1dt
= L2σdi2dt
+L1h
ü1üdi2dt
+di1dt
+ i2R2
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Ersatzschaltbild mit Streuverlusten
Man kann zusammenfassen
uh1 = L1hdi1dt
+1üdi2dt
uh 2 =
L1h
ü1üdi2dt
+di1dt
und
R1 R2
L1h
i1 i2u1 u2
L1σ L2σ
uh2uh1
i2/ü
ü
in uh1 = ü uh2
in einem neuen Ersatzschaltbild
R1 R‘2L1h
i1 i‘2u1 u‘2L1σ L‘2σ
uh
u'2 = üu2
i'2 = i2 /ü
R'2 = ü 2R2
L'2σ = ü2L2σ
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Ersatzschaltbild mit Eisenverlusten
R1 R‘2L1h
i1 i‘2u1 u‘2L1σ L‘2σ
uh RFE
Durch L1h und RFE fließt der Strom i0=iµ+iFE. Dabei beschreibtiFE die Ummagnetisierungsverluste im Eisenkern und iµ denMagnetisierungsstrom.
Für das Wechselstromersatzschaltbild ersetzen wir die Induktivitäten durch ihre Impedanzen X=ωL
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9 BlindstromkompensationReihenschaltung von R und L im Wechselstromkreis
I
UR UL
UN R= 10Ω, L = 318 mH,UN = 230V, 50 Hz
Im
ReϕZ = arctan( )ωL
R
Zges = R2 + (ωL)2
UL
I
ϕui = ϕZ
Zges = (10Ω)2 + (2π •50•0,318)2
Zges = 100,4 Ω
ϕZ = arctan( )2π •50•0,31810
ϕZ = 84,28°
UN
UR
I = U/Z = 2,3 A
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9 Welche Maßnahme kann ergriffen werden, damit dieNetzspannung UN und der Strom I in Phase liegen?I
UR UL
UN IRL
IC
Der Strom I teilt sichjetzt auf in IRL und IC,dadurch kann - bei geeigneter Dimen-sionierung von C -die Phasenverschie-bung zwischen UNund I Null werden.
Im
Re
IRL
ϕui = ϕZ
UNRichtung von IC, senkrecht auf UN,90° voreilend
ICI
UN und I sind jetztin Phase, d.h. dem Netz wird nur Wirk-leistung entnommen.
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Im
Re
IRL
ϕui = ϕZ
UNRichtung von IC, senkrecht auf UN,90° voreilend
ICI I = IRL + IC
Aus dem Betrag vonIC kann die Größeder Kapazität berech-net werden.
IC = UN ωCC = IC/UNω
emgemgGET
9
Im
Re
IRL
UN
I = IRL + IC
IC
IC
I
I
unterkompensiert, dieSchaltung verhält sichnoch induktiv
überkompensiert, dieSchaltung verhält sichjetzt kapazitiv.
Im
Re
IRL
UN
I = IRL + IC
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9
Blindstromkompensation
emgemgGET
9
Zusammenfassung
Nächste Vorlesung „Ortskurven“
RC-Parallel und ReihenschaltungZeigerdiagrammLeistung, Leistungsfaktor cosφ
RL-Parallel und ReihenschaltungZeigerdiagrammLeistung, Leistungsfaktor cosφ
Realer Transformator
Blindstromkompensation