9. План практичних...
Transcript of 9. План практичних...
План практичних занять з дисципліни
«Нанофізика і фемтохімія в нетрадиційній енергетиці та
ресурсозбереженні»
Практичне заняття 1. Основи наноелектроніки.
1.1 Одиниці вимірювання Використовуючи фундаментальні константи q, h, k і m0, обчисліть: (a) квант провідності, q2/h, в Сіменсах (b) квант опору, h/q2, в Омах (c) теплову енергію kT при T=300 K в eV (d) швидкість v вільного електрона з кінетичною енергією m0v2/2 = 10 meV 1.2 Різниця функцій Фермі Показати, що різниця між двома функціями Фермі з різними електро-хімічними потенціалами μ0 і μ1,
та ,
може бути наближена як для різниці потенціалів, що не
перевищує kT: .
Практичне заняття 2. Балістична провідність.
1.3 Вироджені та невироджені провідники На лекції 1 було показано, що провідність може бути наведена в формі
Показати, що повна провідність G може буде наближена як
якщо щільність станів D(E) приблизно постійна на інтервалі в декілька kT навколо μ0. 1.4 Усереднення швидкості
f0(E ) = 1
exp ( E − μ0k T ) + 1
f1(E ) = 1
exp ( E − μ1k T ) + 1
f1(E ) − f0(E ) = (− ∂f0∂E )(μ1 − μ0)
μ1 − μ0 ≪ k T
G = ∫∞
−∞dE (−∂f0
∂E ) q 2 D2t
.
G = (q2 D2t )
E= μ0,
Розглянути електрони в провіднику, що мають швидкість v, однорідно розподілену в усіх напрямках у випадках (a) одномірного, (b) двомірного, (c) трьохмірного простору. Знайти середні значення і
Практичне заняття 3. Щільність станів.
2.1 Щільність станів Розглянути двомірні провідники з трьома різними відношеннями між енергією та імпульсом:
В кожному випадку знайти функції N(E) і D(E) та перевірити, чи задовільнюється умова
, де d = 2 - розмірність простору. 2.2 Провідність та щільність електронів Для кожного з трьох випадків вправи 2.1 знайти відношення між провідністю і щільністю електронів за низьких температур. Можна допустити, що фактор виродження g = 1.
Практичне заняття 4. Квантування провідності.
2.3 Щільність мод Для кожного з трьох випадків вправи 2.1 знайти M(E) із рівняння
і показати, що воно співпадає з формулой
2.4 Балістична провідність Чому дорівнює площа балістичного провідника, провідність якого дорівнює 10 q2/h, якщо він зроблен із такого матеріалу: (a) мідь з питомим опором 17е-9 Ом/м і довжиною вільного пробігу 40 нм? (b) кремній з питомим опором 2е-4 Ом/м і довжиною вільного пробігу 1 мкм?
Практичне заняття 5. Спінтроніка.
4.1 Тунельний магнетоопір
В лекції 4 ми отримали вираз , де
⟨ |vi |⟩ ⟨v2z ⟩ .
E( p) = Ec + p2
2m, E( p) = Ec + v0 p, E( p) = E2
c + v20 p2 .
D(E )ν (E )p(E ) = N(E )d
M(E ) = hDν2L {1, 2
π, 1
2 }
M(E ) = {1, 2 Wh/π , π
A(h/p)2 } .
MR = P2
1 − P2 , якщо Rch = 0 P ≡ R − rR + r
,
припускаючи, що будь-які два резистора, що підключені послідовно, дають сумарний опір R1+R2. Припускаючи, що тунельні резистори, що підключені послідовно, дають сумарний опір KR1R2, де K - константа, показати, що MR має додатковий фактор 2:
4.2 Нелокальний спіновий потенціал В лекції 4 ми обговорювали, як змінюється потенціал в нелокальній структурі. Показати, що спінова напруга, що заміряна зовнішнєю пробою, дається формулою
, де P1 і P2 - полярізації інжектуючого та вимірюючого контакта, і .
Практичне заняття 6. Спінтроніка.
4.3 Рівняння LLG Намагніченість магніту описується рівнянням Ландау-Ліфшица-Гілберта (LLG). При деяких спрощуючих умовах рівняння для z-компоненти магніту зводиться до:
Покажіть, що стійкі рішення цього рівняння виглядають так:
4.4 Струм перемикання Для магнітів, що перемикаються спіновим струмом Is в напрямку z, рівняння LLG має вигляд:
де NS - кількість спінів, що включає магніт, які пов'язані з намагніченістю насичення MS і обсягом V відношенням .
Покажіть, що мінімальний струм, необхідний для перемикання, задається формулой
Оцініть чисельне значення мінімального струму перемикання для магніту з та
параметром демпфування
MR = 2P2
1 − P2 .
Vs = P1P2IRse−L/λsf Rs = ρλsf /A
m̂m̂
(1 + α2)dmz
dt= (1 − m2
z )α γμ0(HK mz + H ) .
Fundamentals of Nanoelectronics, Part 1 (Basic), Week 2, Home Work
Copyright 2011 [email protected] All Rights Reserved
2
HW 4.3. LLG Equation: The magnetization m̂ of a magnet is described by the
Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) equation. With some simplifying conditions, the
equation for the z-component of m̂ for a magnet with its easy axis along the z-
direction reduces to
(1+! 2 )dmz
dt= (1"mz
2)!# µ0(HKmz + H )
Show that the stable solutions to this
equation look like
HW 4.4. Switching current: For magnets driven by a spin current IS in the z-
direction, the equation from HW 4.3 is replaced by
(1+! 2 )dmz
dt= (1"mz
2) !# µ0HKmz +
IS
qNS
$%&
'()
where NS is the number of spins comprising the magnet related to the saturation
magnetization MS and volume V by
NS = MSV / µB
Show that the minimum spin current needed to switch is given by
IS( )switching
= 2q!HKMSV
!
Estimate the numerical value for the minimum switching current for a magnet
with HKMSV = 2KuV = 2eV and damping parameter ! = 0.01.
(1 + α2)dmz
dt= (1 − m2
z )(α γμ0HK mz + IsqNs ),
NS = MSV /μB
(IS)switching = 2qαHK MSV
ℏ .
HK MSV = 2 eV
α = 0.01.
Практичне заняття 7. Термоелектрика.
5.1 Однорівневий пристрій У лекції 6 ми використовували прості аргументи, щоб показати, що для однорівневого пристрою коефіцієнти Зеєбека та Пельтьє, а також коефіцієнт теплопровідності є
Отримати ці результати формально, починаючи з транспортних коефіцієнтів
Зверніть увагу, що
5.2 Невироджені провідники Покажіть, що коефіцієнт Зеєбека S дається
для невиродженого провідника з
для якого функція Фермі наближується експоненціальною функцією
Практичне заняття 8. Термоелектрика.
5.3 Довжина хвилі електронів і довжина хвилі фононів Оцінити довжини хвиль Де Бройля для електрона (з ефективною масою m) і для акустичного фонона (зі швидкістю cS), кожна з яких має енергію, рівну kT.
5.4 Закон Стефана-Больцмана для фононів Аналогічно тому, як балістичний зарядовий струму на одиницю площини, що переноситься електронами, дорівнює
S = ε − μqT
, Π = ε − μT
, κ = 0.
G = ∫∞
−∞dE (−∂f0
∂E ) G (E ); GS = ∫∞
−∞dE (−∂f0
∂E ) E −μ0q T
G (E );
GP = ∫∞
−∞dE (−∂f0
∂E ) E −μ0q
G (E ); GQ = ∫∞
−∞dE (−∂f0
∂E ) (E −μ0)2
q 2TG (E ) .
S = GSG
, Π = ε − μ0q
, Gκ = GQ − GPGSG
.
S = kq (n + 1 − μ0
k T )
G (E ) = q2
h ( EE0 )
n
,
f (E, μ0) ≈ e(E−μ0)/kT .
( IA )ballistic
= qh ∫
∞
0dE ( M
A )el( f1(E ) −f2(E )),
ми можемо записати балістичний тепловий струм на одиницю площини, що переноситься фононами, як
Починаючи з цього співвідношення, отримайте закон Стефана-Больцмана для фононів:
Література:
1. S. Datta. Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport. World Scientific, 2017. 2. Ю.А. Кругляк. Наноэлектроника "снизу - вверх", ТЭС, Одесса, 2015.
(IQ
A )ballistic= 1
h∫∞
0d(ℏω)( M
A )ph(n1(ω) − n2(ω)) .
(IQ
A )ballistic= π2k4
40c2s ℏ3 (T 41 − T 4
2 ) .