9_ GRINZI.pdf
Transcript of 9_ GRINZI.pdf
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 111
9.1 DEFINIII Cele ce urmeaz se refer la elementele structurale cum sunt grinzile, dar i plcile pentru care
abordarea privind calculul i alctuirea poate fi fcut cu teoria de grind. Grinzile din structurile de rezisten de tipul planeelor sunt n general orizontale, solicitate la
ncovoiere, la tiere i deseori i la torsiune. ncovoierea poate s fie nsoit de for axial de compresiune sau de ntindere, de exemplu la
grinzile cadrelor. Conform P100 i EN1998, grinda este un element structural solicitat preponderent la ncovoiere, dac fora axial de proiectare nu depete valoarea:
cdcEd fA10,0N Grinda este un element structural liniar ale crei dimensiuni ndeplinesc condiia:
h3l unde l este deschiderea grinzii i h este nlimea seciunii transversale. Uzual, raportul dintre deschiderea i nlimea grinzii este h 8...15l = .
Placa este un element structural de suprafa pentru care raportul ntre deschiderea minim n planul ei, minl i grosimea fh satisface condiia:
f5 hminl
9.2 IPOTEZE DE PROIECTARE Calculul la starea limit ultim de rezisten se bazeaz pe respectarea condiiei: RdEd MM (9.1) unde:
EdM este momentul ncovoietor de calcul, rezultat din aciunile de calcul, considernd i efecte sau cerine specifice, cum este asigurarea ductilitii;
RdM valoarea de calcul a momentului ncovoietor capabil al seciunii. La calculul seciunilor se folosesc diagramele - date n capitolul 6: pentru betonul comprimat
diagrama dreptunghiular cc - (fig. 6.9c), iar pentru armtur, diagrama ss - cu ramura superioar orizontal (fig. 6.11).
Valorile de calcul sunt: pentru betonul comprimat (fig. 9.1a): 5,3cu3cu == la marginea cea mai comprimat; cckcd ff = , pe nlimea de calcul a zonei comprimate, egal cu x8,0 ; pentru armtura ntins (fig.9.1b): sykyd ff = , dac sydyds Ef= ; sss E= , dac yds
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 112
n cazul diagramei ss - cu ramura superioar orizontal, nu se produce atingerea pivotului A. nlimea zonei comprimate pentru care armtura ntins ajunge la limita de curgere este limx x= . Valoarea limx se poate deduce din asemnarea triunghiurilor de nlime limx i limxd (fig. 9.2):
yd
lim
cu
lim xdx= , de unde rezult:
culimcu yd s yd s
3,5x d = d f E 3,5+1000 f E
= + (9.2a) Din relaia de mai sus rezult lim , nlimea relativ limit a zonei comprimate: culimlim
cu yd s
x =
d +f E= (9.2b)
Condiia de limitare a nlimii zonei comprimate de beton, pentru ca ruperea s nceap prin curgerea armturii ntinse, se poate scrie sub formele:
limxx lim (9.3a, b)
n tabelul 9.1 se dau valorile lim pentru diferite caliti de oel i clase de beton C50/60, lund n considerare combinaiile de aciuni pentru care se face proiectarea.
Tabelul 9.1 Valori de calcul i coeficieni cu valori limit
OEL Combinaie fyd MPaEs
GPa yd
lim 2 lim F, S 348 1,74 0,668 1,989 0,391 S400 A 400 2,00 0,636 2,333 0,379
F, S 435 2,18 0,617 2,642 0,371 S500 A 500
200
2,50 0,583 3,500 0,357 F, S 300 1,43 0,710 1,689 0,407 PC52 A 345 1,64 0,681 1,882 0,396
F, S 350 1,68 0,677 1,919 0,395 PC60 A 405
210
1,93 0,645 2,226 0,383 F, S combinaii fundamentale i combinaii cu seism s = 1,15 A combinaii accidentale s = 1,00
Fig. 9.1 Diagrame pentru calcul
d h
As
x 0,8x
fcd =cu 3,5
Fs
s
s
sydyd Ef= sE
ydf
a. Starea de eforturi pentru betonul comprimat
b. Diagrama de calcul pentru armturi
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 113
Fig. 9.2 Starea de deformaii specifice pe nlimea seciunii transversale
9.3 SECIUNEA DE FORM DREPTUNGHIULAR SIMPLU ARMAT SOLICITAT LA NCOVOIERE O seciune de beton armat se consider simplu armat dac armtura longitudinal de rezisten,
sA este situat (grupat) numai n zona ntins a seciunii (fig. 9.3). n grind se prevede i armtur longitudinal de montaj sau constructiv, care formeaz
mpreun cu armturile de rezisten longitudinale i transversale carcase spaiale; aportul acestei armturi este de obicei neglijat n preluarea eforturilor.
Seciunea de calcul este format din aria betonului comprimat cA i din suma ariilor armturilor ntinse, sA .
Relaiile de calcul se deduc din echilibrul eforturilor exterioare i interioare .
9.3.1 Ecuaiile de echilibru Ecuaia de proiecie
Ecuaia de proiecie dup axa grinzii se scrie (fig. 9.3): sc FF = (9.4) unde:
cF este rezultanta eforturilor de compresiune din beton, acionnd n centrul de greutate al seciunii comprimate de beton:
c cdF = 0,8b x f (9.5)
sF este rezultanta eforturilor de ntindere din armtur, acionnd n centrul de greutate al armturilor, la distana sd de marginea ntins a seciunii:
ydss fAF = (9.6) nlocuind expresiile rezultantelor n ecuaia 9.4, rezult poziia axei neutre:
s yd
cd
A fx 1,25
bf= (9.7)
Folosind pentru nlimea relativ a zonei comprimate notaia dx= , rezult:
s yd
cd
A f1,25
bdf = (9.8)
ds
compresiune
xlim
d
ntindere
h
As1
cu = 3,5 yd
2a
0
B
B d xlim
As2
xmin
yd
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 114
Fig. 9. 3 Seciunea dreptunghiular simplu armat
Ecuaia de momente se poate scrie fie fa de punctul de aplicaie al rezultantei interioare sF sau cF : M n raport cu sF : zFM cEd =
unde braul de prghie al rezultantelor interioare cF i sF este: ( ) x4,0dx8,05,0dz == (9.9) ( )x4,0dfxb8,0M cdEd = (9.10) n (9.10) se scrie x d= : ( ) ( ) ( )2Ed cd cdM =0,8b d f d-0,4 d = b d f 0,8 1-0,4 (9.11) cu notaia: ( )= 4,018,0 (9.12) rezult:
Rd
2Ed cd
M
M bd f= 14243 (9.13)
M n raport cu cF : zFM sEd =
( )x4,0dfAM ydsEd = (9.14) ( ) ( )== 4,01dfAd4,0dfAM ydsydsEd (9.15) Valoarea relativ a braului de prghie z rezult:
z 1 0, 4d
= = (9.16)
0,8x Fc
fcd
b
d hAs
MEd
Fs
MEdMEd
fcd3,5cu =
ds
d-xa. n.
Seciunea de calcul
Deformaiile specifice
Eforturile secionale
As
Ac
d h
b
yd
0,8x xFc
0,4x
z
Fs
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 115
Rd
Ed s yd
M
M d A f= 14243 (9.17)
n concluzie, momentul ncovoietor capabil al seciunii dreptunghiulare simplu armat, RdM se poate scrie sub formele (rel. 9.13 sau 9.17): cd
2Rd fdbM = (9.18)
ydsRd fAdM = (9.19) Momentul ncovoietor maxim preluat de seciunea dreptunghiular simplu armat n condiiile de rupere enunate rezult din relaia (9.18), cu valorile limit din tabelul 9.1: cd
2limmax,Rd fdbM = (9.20)
( )limlimlim 4,018,0 = (9.21) 9.3.2 Seciunea dreptunghiular simplu armat. Proiectare Prin proiectare se urmrete:
determinarea dimensiunilor b, h ale seciunii transversale de beton; calculul ariilor de armtur, conform distribuiei momentelor ncovoietoare de proiectare
EdM n lungul elementului; verificarea capacitii portante a unei seciuni cu alctuirea cunoscut; respectarea prescripiilor de alctuire.
Alegerea calitii materialelor se face respectnd cerinele de performan: pentru beton se ine seama de clasa de rezisten i de expunere; pentru oel trebuie respectate criteriile de rezisten i ductilitate, respectiv de aderen.
Dimensiunile seciunii de beton pot fi estimate n funcie de necesitatea asigurrii rigiditii (robusteii), sub forma unui raport ntre deschiderea i dimensiunea reprezentativ a unui element structural (tabelele 9.2 i 9.3).
Tabelul 9.2. Grosimi pentru plci Tipul planeului hf min Planee cu grinzi i: plci continue armate pe o direcie lmin / 35 plci continue armate pe dou direcii: lmin / 45
Tabelul 9.3. Dimensiuni b, h pentru grinzi Dimensiunea Recomandri
l / 12 grinzi de cadre antiseismice l / 15 grinzi de cadru sau grinzi principale minim, hmin l / 20 grinzi secundare l / (8..12) grinzi de cadru sau principale
nlimea
optim, hoptim l / (12..15) grinzi secundare b = h /(1,5..3) seciuni dreptunghiulare Limea inimii grinzilor, b b = h /(2..3) seciuni T
Prescripii privind aria de armtur
Relaia (9.3) condiioneaz modul de cedare al elementelor solicitate la ncovoiere preponderent, limitnd implicit cantitatea de armtur ntins. Pe lng aceast condiie, prescripiile impun cantiti minime de armtur pentru a preveni ruperile fragile, evitarea deschiderilor mari ale fisurilor i asigurarea prelurii eforturilor produse de deformaii mpiedicate. Valori ale ariilor de armtur prescrise prin reguli: Valoarea minim a ariei de armtur de rezisten s,minA respectiv procentul minim de
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 116
armare corespunztor, se determin cu relaiile:
bdff26,0A
yk
ctmmin,s = ctmmin
yk
fp 26f
= (9.22a,b) db0013,0A min,s minp 0,13% (9.23a,b) unde ctmf are valorile date n tabelul 6.1, n funcie de clasa de beton. Valorile procentului minim de armare care rezult din corelarea relaiilor (9.22b) i (9.23b) sunt date n tabelul 9.4, n funcie de clasa de beton i tipul oelului. Valoarea maxim a ariei de armtur de rezisten s,maxA respectiv procentul maxim de armare corespunztor rezult din condiia: hb04,0A max,s maxp 4%= (9.24a,b) Obs. n zonele de nndire prin suprapunere a barelor, procentul maxim admis se poate dubla.
Tabelul 9. 4 Procentul minim de armare, p (% )
Beton
Oel fyk
C12
/15
C16
/20
C20
/25
C25
/30
C30
/37
C35
/45
C40
/50
C45
/55
C50
/60
PC52 345 0,13 0,14 0,17 0,19 0,22 0,24 0,26 0,29 0,31PC60 405 0,13 0,13 0,14 0,16 0,19 0,21 0,23 0,24 0,26S400 400 0,13 0,13 0,14 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,26S500 500 0,13 0,13 0,13 0,13 0,15 0,17 0,18 0,20 0,21S600 600 0,13 0,03 0,13 0,13 0,13 0,14 0,15 0,16 0,18
pmin = 0.13% Procentul maxim de armare, pmax = 4,0%
Avnd n vedere multitudinea de simboluri i notaii utilizate n procesul de proictare, tabelul 9.5 cuprinde cteva din cele folosite frecvent.
Tabelul 9. 5 Simboluri i relaii utilizate n proiectare
Denumire Simbol Relaia de definire Relaia de calcul a ariei de armtur Numr
relaie sA
coeficient de armare bdAs= bdAs = (9.25) procent de armare p bdA100p s= sA = p bd/100 (9.26)
coeficient mecanic de armare
yds
cd
fA=
bd f cds
yd
fA bdf
= (9.27) valoarea relativ a nlimii zonei
comprimate, dx
s ydcd
A f1,25
bdf = cds
yd
fA 0,8 bdf
= (9.28)
valoarea relativ a braului de prghie,
dz = 4,01
yds
Eds fAd
MA = (9.29)
Procedee de proiectare Se pot folosi mai multe procedee:
- aplicarea direct a relaiilor analitice de la punctul 9.3.1; - utilizarea unor tabele sau diagrame deduse pe baza relaiilor de echilibru.
n cele ce urmeaz se prezint proiectarea cu ajutorul tabelelor date n anexa 9: tabelul A.9.3, cu variabilele , i , pentru orice calitate de oel i clas de beton;
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 117
tabelul A.9.4 (pentru oelul PC52) i tabelul A.9.5 (oelul PC60), cu variabilele , , i p. 9.3.2.1 Calculul ariei de armtur, sA
Date intrare: Date ieire:
EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; nomc sA - seciunea de armtur
a. Valoarea relativ a momentului ncovoietor de proiectare EdM : Din relaia 9.13 rezult valoarea relativ a momentului ncovoietor de proiectare:
cd2Ed
fdbM= (9.30)
n care nlimea util a seciunii de beton se determin cu relaia: sd h d= (9.31)
unde: snoms 5,0cd += , n ipoteza aezrii armturilor de diametru s pe un singur rnd ;
s diametrul barelor longitudinale; s nu este cunoscut, de aceea se pleac de la un diametru uzual pentru tipul de element care se calculeaz; se pot lua valorile din tabelul 9.6.
Tabelul 9.6 Diametre uzuale pentru armturi independente
Tipul elementelor Elemente liniare (grinzi, stlpi) Plci subiri
Diametre bare (12...25)mm (6...16)mm
b. n funcie de , rezult: coeficientul mecanic de armare, din tabelul A.9.3; procentul de armare, p din tabelele A.9.4 sau A.9.5.
Dac este necesar, se poate face interpolare liniar ntre dou valori consecutive. c. Calculul ariei de armtur
Aria de armtur ntins sA se poate calcula cu una din relaiile date n tabelul 9.5, de exemplu (9.26) sau (9.27):
100/bdpAs = sau cdsyd
fA bdf
= Observaie: dac se ncadreaz n tabel, condiia 9.3 este ndeplinit, sub forma lim . d. Se verific respectarea prescripiilor privind cantitatea minim i maxim de armtur (rel. 9.22...9.24); dac procentul efectiv de armare este mai mic dect cel dat n tabelul 9.4, se adopt valoarea minim prescris. Alegerea i aranjarea n seciune a armturilor Pentru grinzi, se aleg barele din tabelul A.9.1 (diametru i numr), se dispun n seciune innd seama de distana sl prescris (pct. 4.1.3); dac barele nu ncap pe un rnd, se aeaz pe dou sau cel mult trei rnduri. n acest caz, sd se determin pentru noul centru de greutate al armturilor; calculul se reface de la punctul a cu valoarea sd astfel obinut. Dispunerea armturilor n lungul grinzii
Se urmrete: acoperirea diagramei de momente ncovoietoare n toate seciunile, conform relaiei 9.1; ancorarea armturilor (cap. 4): stabilirea formei necesare de ancorare la capetele barelor i respectarea lungimii de ancorare a armturilor; stabilirea zonelor de nndire a armturilor i calculul lungimii de nndire.
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 118
9.3.2.2 Dimensionarea seciunii transversale de beton hb, i a armturii sA
Date intrare: Date ieire:
EdM ; cdf ; ydf ; nomc hb, - dimensiunile seciunii de beton sA - seciunea de armtur
a. Opiuni de proiectare Se alege ca necunoscut nlimea util d, deoarece are o influen mai mare asupra capacitii portante a seciunii dect limea seciunii, b. Se apreciaz limea grinzii, sau se presupune cunoscut din predimensionare (tabelele 9.2 i 9.3); n cazul plcilor se ia de obicei b = 1000 mm. Se alege un procent de armare, p, din tabelul A.9.4 sau A.9.5; se pot utiliza de exemplu valorile uzuale, considerate optime:
0.25....0.60 % pentru plci 0.80...1.3 % pentru grinzi. b. Calculul seciunii de beton
Pentru oelurile PC 52 i PC60, n funcie de p ales i de calitatea materialelor se determin din tabelul A.9.4 sau A.9.5; din relaia 9.13 rezult nlimea util necesar, necd :
Ednec
cd
Mdb f
= (9.32) Dac oelul este diferit de PC 52 sau PC60, se utilizeaz tabelul A.9.3; se alege un procent de armare p, apoi se calculeaz coeficientul mecanic de armare : yd
cd
fp100 f
= n funcie de se determin din tabel i se calculeaz necd cu relaia 9.32. nlimea necesar a seciunii este: sh d d= + (9.33) Se rotunjete h la valoarea modulat cea mai apropiat pentru grinzi monolite se ia uzual multiplu de 50 mm, iar pentru plci, multiplu de 10 mm; se obine nlimea efectiv a seciunii. n cazul grinzilor este recomandat respectarea raportului 3...5,1bh = .
c. Calculul seciunii de armtur se face conform punctului 9 .3 .2 .1 , pornind de la nlimea efectiv, cu care se determin sd h d= .
9.3.2.3 Verificarea momentului ncovoietor capabil, RdM
Date intrare: Date ieire:
EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; sA ; nomc RdM momentul ncovoietor capabil
a. Calculul capacitii portante Se calculeaz valoarea relativ a nlimii zonei comprimate, cu relaia 9.8 : s yd
cd
A f1,25
bdf = ,
unde sd h d= . Din tabelul 9.1 se ia valoarea lim corespunztoare tipului de oel i combinaiei de aciuni la care se face verificarea:
dac lim , armtura sA curge; din tabelele A.9.3, A.9.4 sau A.9.5 se determin n funcie de ;
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 119
Din relaia 9.18 rezult: cd
2Rd fdbM =
dac lim> , armtura nu curge; RdM se limiteaz conform relaiei 9.20: cd
2limmax,Rd fdbM =
b. Verificarea capacitii portante dac RdEd MM , seciunea rezist la solicitarea dat ; dac RdEd MM > , seciunea nu rezist la solicitarea dat; pentru a mri capacitatea portant a elementului se trece la armarea dubl sau se mresc dimensiunile seciunii transversale.
Rezolvarea problemelor de proiectare se poate face i direct, cu ajutorul relaiilor din tabelul 9.7.
Tabelul 9.7 Proiectarea seciunii dreptunghiulare, simplu armat, la solicitarea de ncovoiere
Calculul ariei de armtur Calculul nlimii utile necesare Verificarea seciunii
cd2Ed
fdbM=
( )= 21125,1 lim
cds
yd
fA 0,8 bdf
=
Se apreciaz valoarea procentului de armare p conform punctului
9.3.2.2:
cd
yd
ff
100p=
( ) lim5,01 = Ed
neccd
Mdb f
=
s yd
cd
A f1, 25
bdf =
cazul a: lim ( )= 4,01dfAM ydsRd
cazul b:
lim> cd
2limmaxRd, fdbM =
9.3.3 Seciunea de form dreptunghiular simplu armat solicitat la ncovoiere preponderent, cu for axial n cazul n care momentul ncoietor este nsoit de o for axial ce nu poate fi neglijat, relaiile deduse la punctul 9.3.2 se corecteaz cu efectul forei axiale. n figura 9.4 este prezentat cazul ncovoierii cu for axial de compresiune.
Fig. 9.4 Seciunea dreptunghiular simplu armat solicitat la ncovoiere
cu for axial de compresiune 9 .3 .3 .1 Ecuaiile de echilibru Ecuaia de proiecie dup axa grinzii:
0,5h
MEd , NEd +MEd
fcd3,5cu =
ds
x a.n.
As
Ac
d h
b
yd
0,8x
z
Fc 0,4x
Fs
NEd
ys 0,5h
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 120
scEd FFN = (9. 34) ydscdEd fAfxb8,0N = (9. 35) Poziia axei neutre rezult:
cd
Edyds
bfNfA
25,1x+= (9. 36)
Valoarea relativ a nlimii zonei comprimate este:
cd
Edyds
bdfNfA
25,1+= (9. 37)
Ecuaia de momente se scrie fa de punctul de aplicaie al rezultantelor interioare, sF sau cF : M n raport cu sF : zFyNM csEdEd =+ (9.38)
( )x4,0dfxb8,0yNM cdsEdEd =+ (9.39) unde ss dh5,0y = Dup nlocuirea x d= n relaia 9.39, rezult: 444 3444 21
RdMsEdcd
2Ed yNfdbM = (9.40)
M n raport cu cF : ( ) zFyzNM ssEdEd = (9.41)
( ) dfAydNM ydssEdEd = ( )Ed s yd Ed sM =A f d +N d-y (9.42) Momentul ncovoietor capabil al seciunii dreptunghiulare, simplu armat, solicitat la ncovoiere cu for axial de compresiune este partea din dreapta a ecuaiei 9.40 sau 9.42: sEdcd
2Rd yNfdbM = (9.43)
( )sEdydsRd ydNdfAM += (9.44) n continuare se va lucra cu relaia 9.40, care are o form mai simpl.
9.3.3.2 Proiectarea Dimensionarea seciunii de armtur Se calculeaz din relaia 9.40:
cd2
sEdEd
fdbyNM += (9.45)
n funcie de , rezult: coeficientul mecanic de armare, din tabelul A.9.3; procentul de armare, p din tabelele A.9.4 sau A.9.5.
Aria de armtur se calculeaz cu relaiile:
yd
Ed
yd
cds f
Nf
bdfA = sau Eds
yd
NbdA p100 f
= (9.46) (9.47) Verificarea capacitii portante
Se calculeaz valoarea relativ a nlimii zonei comprimate, cu relaia 9.37:
cd
Edyds
bdfNfA
25,1+=
Se alege din tabelul 9.1 valoarea lim corespunztoare tipului de oel i combinaiei de aciuni la care se face verificarea:
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 121
dac lim , din tabelele A.9.3...A.9.5 se ia n funcie de i din relaia 9.43 rezult: sEdcd
2Rd yNfdbM =
dac lim> , armtura nu curge i momentul capabil se limiteaz la valoarea: sEdcd
2limRd yNfbdM = (9.48)
Rezolvarea problemelor de proiectare se poate face i direct, cu ajutorul relaiilor din tabelul 9.8.
Tabelul 9.8. Proiectarea seciunii dreptunghiulare simplu armat la ncovoiere cu for axial
Calculul ariei de armtur Calculul nlimii utile necesare Verificarea seciunii
Semnul de deasupra este pentru fora axial de compresiune
cd2
sEdEd
fdbyNM =
( )= 21125,1 lim
yd
Ed
yd
cds f
Nf
bdf8,0A m=
Se apreciaz valoarea procentului de armare p
conform punctului 9.3.2.2:
cd
yd
ff
100p=
( ) lim5,01 = cd
sEdEdbf
yNMd =
cd
Edyds
bdfNfA
25,1=
cazul a: lim ( ) sEdydsRd yN4,01dfAM =
cazul b:
lim> sEdcd
2limRd yNfbdM m=
9.4 SECIUNEA DE FORM DREPTUNGHIULAR DUBLU ARMAT SOLICITAT LA NCOVOIERE
Din punctul de vedere al modelrii pentru calcul, o seciune de beton armat se consider dublu armat dac, pe lng armtura longitudinal de rezisten ntins, 1sA , are i armtura longitudinal de rezisten comprimat, 2sA , care particip la preluarea eforturilor mpreun cu betonul comprimat (fig. 9.5).
Armarea dubl se utilizeaz dac seciunea grinzii este insuficient n varianta de armare simpl i nu poate fi mrit, din considerente constructive sau arhitecturale. Ea este necesar n urmtoarele cazuri: grinzi supuse la solicitri alternante de ncovoiere, grinzile cadrelor din zonele seismice, grinzile continue n seciunile de reazem.
Fig. 9.5 Seciunea dreptunghiular dublu armat
Se recomand ca ruperea seciunii dublu armate s nceap prin curgerea armturii ntinse 1sA i s se termin prin zdrobirea betonului comprimat, ca i n cazul armrii simple. O astfel de rupere este
yds1 =
ds2
MEd MEd
fcd3,5cu =
ds1
x
a.n.
As1
Ac
d h
b
0,8x
z
Fc
Fs1
As2
ds2Fs2
s2
zs
0,4x
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 122
condiionat de respectarea relaiei 9.3:
limxd =
Armtura comprimat 2sA poate s ajung sau nu la limita de curgere, n funcie de valoarea deformaiei specifice de compresiune 2s . Evaluarea efortului unitar din armtura comprimat Deformaia specific din armtura comprimat rezult din asemnarea triunghiurilor de nlime x i s2x - d din figura 9.5:
s2s2 cux -d
= x
Armtura comprimat 2sA atinge limita de curgere, dac s2 yd yd s = f E= . Aceast situaie corespunde unei valori a nlimii zonei comprimate minx x= (fig. 9.2). cumin s2
cu yd sx d
f E= (9.49)
cu notaia:
cu2cu yd s
=
- f E (9.50)
rezult min 2 s2x d= Condiia ca armtura comprimat 2sA s ating limita de curgere se poate scrie sub formele:
minx x s2min 2
dxd d
= (9.51a, b) Valorile coeficientului 2 se dau n tabelul 9.1. 9.4.1 Ecuaiile de echilibru Se presupune c att armtura ntins s1A , ct i armtura comprimat 2sA ajung la curgere, adic este respectat dubla condiie (9.3) i (9.51), scris sub una din formele:
min limx x x sau s22 limdd Ecuaia de proiecie dup axa grinzii 1s2sc FFF =+ (9.52) unde: cdc fxb8,0F = - rezultanta eforturilor de compresiune din beton (9.53) yd1s1s fAF = - rezultanta eforturilor din armtura ntins (9.54) yd2s2s fAF = - rezultanta eforturilor din armtura comprimat. (9.55) Cu rezultantele eforturilor interioare de mai sus, ecuaia de proiecie se scrie: yd1syd2scd fAfAfxb8,0 =+ (9.56) de unde rezult nlimea zonei comprimate:
( )
cd
yd2s1s
bffAA
25,1x= (9.57)
Valoarea relativ a nlimii zonei comprimate rezult:
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 123
( )
cd
yd2s1s
bdffAA
25,1= (9.58)
Ecuaia de momente se scrie fa de punctul de aplicaie al rezultantei armturii ntinse 1sF : M n raport cu s1F : s2scEd zFzFM += (9.59)
x4,0dz = este braul de prghie al rezultantelor cF i 1sF 2ss ddz = este braul de prghie al rezultantelor 1sF i 2sF (9.60) ( ) ( )2syd2scdEd ddfAx4,0dfxb8,0M += (9.61) ( ) ( )2syd2scd2Ed ddfA4,018,0fdbM += (9.62) ( )2Ed cd s2 yd s2M = bd f +A f d-d (9.63) Se observ c momentul ncovoietor capabil RdM al seciunii (partea din dreapta a ecuaiei 9.63) este compus din momentul ncovoietor SAM , preluat de seciunea dreptunghiular simplu armat cu armtura SAA , i M , aportul armturii comprimate 2sA : MMM SAEd += (9.64) ( )2syd2s ddfAM = (9.65) Momentul ncovoietor capabil al seciunii dreptunghiulare, dublu armat, RdM este partea din dreapta a relaiei (9.63): ( )2Rd cd s2 yd s2M bd f A f d d= + (9.66) 9.4.2 Seciunea dreptunghiular dublu armat. Proiectarea Situaiile de proiectare posibile sunt:
1 calculul ariilor de armtur s1A i s2A pentru o seciune cunoscut de beton, 2. calculul ariei armturii ntinse s1A , fiind cunoscut aria armturii comprimate s2A , 1. determinarea momentului ncovoietor capabil RdM a unei seciuni dublu armate cu alctuirea
cunoscut.
9.4.2.1 Calculul ariilor de armtur s1A i s2A
Date intrare: Date ieire:
EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; nomc s1A seciunea de armtur ntins s2A seciunea de armtur comprimat
Armarea dubl este necesar dac, pentru seciunea de beton cunoscut, armarea simpl nu este
suficient, adic: limcd
2Ed fdb
M >= unde lim rezult din tabelul 9.1.
a. Premizele calculului
Pentru a obine o soluie economic, se impune condiia ca aria de armtur dispus n zona comprimat 2sA s fie minim, deoarece armtura ntins trebuie s echilibreze att eforturile de compresiune din beton, ct i din armtura 2sA . Condiia de minim pentru armtura comprimat poate fi atins dac n relaia 9.64 se utilizeaz capacitatea portant maxim a seciunii simplu armate: Ed SA,maxM M M= +
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 124
unde 2SA,max lim cdM bd f= , conform relaiei 9.20. Astfel, relaia (9.63) devine: ( )2syd2scd2limEd ddfAfdbM += (9.67) n acest caz, armtura ntins este: min2smaxSA1s AAA += (9.68) b. Calculul armturii comprimate s2A Seciunea armturii comprimate s2A se determin din relaia (9.67):
( )2sydcd
2limEd
2s ddffbdMA
= (9.69) c. Calculul armturii ntinse s1A
Conform relaiei (9.68), seciunea armturii ntinse este :
2syd
cdlim1s Af
fbd8,0A += (9.70) n acest caz de proiectare nu este nevoie s se verifice deformaiile specifice din armturi, deoarece n mod evident ambele armturi ajung la curgere.
9.4.2.2 Calculul armturii ntinse s1A , avnd armtura comprimat s2A cunoscut
Date intrare: Date ieire:
EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; nomc
s2A - seciunea de armtur comprimat s1A - seciunea de armtur ntins
Se calculeaz valoarea relativ a momentului ncovoietor , din relaia 9.63:
( )
cd2
2syd2sEd
fdb
ddfAM = (9.71) a. Dac lim , atunci armtura ntins s1A curge, deoarece lim . Pentru rezultat, din tabelele A.9.3, A.9.4 sau A.9.5 se determin i i se verific efortul din armtura comprimat:
o dac d
d 2s2 , armtura comprimat ajunge la curgere, iar armtura ntins este:
2syd
cd2sSA1s Af
fbdAAA +=+= (9.72 a,b)
o dac d
d 2s2 , aria armturii s2A este insuficient; este necesar recalcularea acestei armturi conform punctului 9.4.2.1, cu relaia 9.69; aria armturii ntinse rezult din relaia 9.70.
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 125
9.4.2.3. Verificarea momentului ncovoietor capabil RdM al seciunii dublu armate
Date intrare: Date ieire:
EdM ; cdf ; ydf ; h,b ; nomc ; s1A , s2A RdM - momentul ncovoietor capabil
a. Determinarea valorii relative a axei neutre Presupunnd c att armtura ntins ct i cea comprimat ajung la curgere, se calculeaz (rel. 9.58):
( )
cd
yd2s1s
bdffAA
25,1=
b. Calculul momentului capabil
dac lim2s2 dd se determin din tabelele A.9.3 sau A.9.4, A.9.5 n funcie de
; momentul ncovoietor capabil n acest caz este dat de relaia (9.63): ( )2syd2scd2Rd ddfAfdbM +=
dac d
d 2s2 , momentul ncovoietor capabil rezult din relaia (9.68): ( )2syd2scd2limRd ddfAfdbM +=
n acest caz, armtura ntins s1A nu curge; armtura comprimat curge, deoarece 2sd fiind mic, deformaia specific a armturii i cea a betonului comprimat de la partea superioar a grinzii au valori apropiate. c. Verificarea capacitii portante Seciunea dreptunghiular dublu armat are capacitatea portant suficient, dac:
Ed RdM M
9.5 SECIUNEA N FORM DE T SIMPLU ARMAT SUPUS LA NCOVOIERE Seciunile n form de T se ntlnesc frecvent la grinzi prefabricate, la grinzile planeelor monolite
i la alte elemente de rezisten cu seciuni n form de I sau chesonate, asimilabile cu forma T. Modul de cedare al elementelor ncovoiate avnd seciunea n form de T cu placa n zona
comprimat este condiionat de relaia 9.3, adic lim . Seciunea se consider n form de T dac inima grinzii i placa, dispus n zona comprimat, sunt
legate monolit i armate astfel, nct s conlucreze solidar pn la rupere.
Limea efectiv a plcii Datorit conlucrrii ce exist ntre inima grinzii i plac, aceasta urmrete deformaiile inimii.
Deformaia plcii se atenueaz pe msura ndeprtrii de inim, deoarece rigiditatea plcii este mai mic dect a grinzii (fig. 9.6a). Distribuia eforturilor unitare de compresiune pe limea plcii este neuniform, avnd intensitatea maxim n dreptul inimii (fig. 9.6b).
Limea teoretic activ a plcii rezult din condiia ca suprafaa distribuiei teoretice a eforturilor unitare s fie egal cu suprafaa curbei reale de distribuie, acceptnd acelai efort unitar maxim n dreptul inimii, cdf .
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 126
Fig. 9.6 Conlucrarea plcii cu inima
Determinarea limii active de calcul effb , conform celor de mai sus, este dificil pentru calculele uzuale, de aceea pentru elementele construciilor civile i industriale se folosete procedura simplificat din SR EN 1992.
9.5.1 Determinarea poziiei axei neutre Forma zonei comprimate de beton depinde de poziia axei neutre: este dreptunghiular dac
fhx8,0 , respectiv are form de T, dac fhx8,0 > . Pentru delimitarea celor dou situaii se consider cazul particular n care fhx8,0 = (fig. 9.7). Ecuaia de proiecie dup axa grinzii: sfcf FF = unde cdfeffcf fhbF = (9.75) ydsfsf fAF = (9.76) Din relaiile de mai sus rezult aria de armtur ce corespunde situaiei fh0,8x = : cdsf eff f
yd
fA = b hf
(9.77)
Fig. 9.7 Seciunea de calcul pentru poziia axei neutre fhx8,0 =
Ecuaia de momente Din ecuaia de momente n raport cu armtura ntins ( )fcff h5,0dFM = se determin momentul ncovoietor pentru situaia n care nlimea de calcul a zonei comprimate este egal cu grosimea plcii ( fhx8,0 = ): ( )fcdfefff h5,0dfhbM = (9.78) Stabilirea extinderii diagramei eforturilor de compresiune din beton se face pe baza valorilor sfA i fM , conform schemei din tabelul 9.9.
beff
Asf
h d
0,8x = hf 0,5hf
Fsf
Fcfd - 0,5hf
Ac
Mf
b
Mf
distribuia real c
distribuia de calcul
inimaa) b)
placa Ac a.n.
As
c = fcd
beffbeff
beff
b beff,st beff,dr
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 127
Tabelul 9.9 Poziia axei neutre la seciunea T Dimensionare Verificare
axa neutr este n plac f0,8x h Ed fM M s sfA A
axa neutr este n inim f0,8x h> Ed fM >M s sfA >A
9.5.2. Proiectarea seciunii T n cazul n care axa neutr este n plac Seciunea T cu axa neutr n plac ( Ed fM M ) se calculeaz ca o seciune de form dreptunghiular cu limea effb i nlimea util d , deoarece zona ntins fiind fisurat, pentru calcul conteaz numai dimensiunile zonei comprimate de beton. De exemplu, n acest caz relaiile (9.31) i (9.27) se scriu:
Ed2eff cd
M =
b d f (9.79)
cds effyd
fA =b df
(9.80)
9.5.3. Proiectarea seciunii T n cazul n care axa neutr este n inima grinzii Ecuaiile de echilibru Seciunea de calcul pentru situaia n care axa neutr este n inima grinzii se consider format din dou componente (fig. 9.8):
a. seciunea dreptunghiular simplu armat (cu armtura saA ), solicitat de momentul ncovoietor saM ;
b. seciunea format din aripile plcii, avnd limea ( )effb b i armtura corespunztoare sbA , solicitat de bM ; din ecuaia de proiecie cbsb FF = (fig. 9.8b) rezult:
( ) cdsb eff fyd
fA b -b hf
= (9.81)
Fig. 9.8 Seciunea n form de T simplu armat schem calcul
saF
beff 0,8x > hf
h d
b a
Mb= +
0,5hf 0,8x
MEd Fs
fcd
Fc 0,4x
z d - 0,5hf
Ac
saM
saF
b beff
b
sA
h d
hf 0,8x
saA sbA
b a
MEd saM Mb = +
hf
sbF
Fcb Fca
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 128
Ecuaia de proiecie sc FF = Rezultanta eforturilor de compresiune din beton este, conform figurii (9.8): ( )c ca cb cd eff f cdF F + F 0,8b x f b -b h f= = + (9.82) Rezultanta eforturilor din armtura ntins este: ( )s sa sb yd s ydF A A f A f= + = (9.83) nlocuind expresiile rezultantelor n ecuaia de proiecie, rezult: ( )cd eff f cd s yd0,8 b x f + b -b h f = A f (9.84) Poziia axei neutre rezult din relaia 9.84:
s yd eff fcd
A f b -b1, 25 hb f b
x =
(9.85)
Cu notaia dx= , valoarea relativ a nlimii zonei comprimate rezult:
s yd eff fcd
A f b -b1, 25 hb df b d
= (9.86)
Ecuaia de momente se scrie n raport cu punctul de aplicaie al rezultantei sF : ( )Ed ca cb fM F z F d 0,5h= + (9.87) rezult: ( ) ( )2Ed cd eff f f cdM bd f b b h d 0,5h f= + (9.88)
Expresia momentului ncovoietor capabil al seciunii T simplu armate este dat de partea din dreapta a ecuaiei 9.88: ( ) ( )2Rd cd eff f f cdM bd f b b h d 0,5h f= + (9.89) Situaiile de proiectare uzuale sunt:
calculul ariei de armtur sA , seciunea de beton fiind cunoscut, determinarea momentului ncovoietor capabil RdM a unei seciuni T simplu armate cu alctuirea cunoscut.
9.5.3.1. Calculul ariei de armtur sA al seciunii T simplu armate Date intrare: Date ieire:
EdM ; cdf ; ydf ; f effh, h ,b,b sA - seciunea de armtur
a. Poziia axei neutre Conform tabelului 9.10, dac ( )Ed f eff f cd fM M b h f d 0,5h = , axa neutr este n inima grinzii T.
b. Calculul coeficientului . Din relaia 9.88 rezult:
( ) ( )Ed eff f f cd
2cd
M b b h d 0,5h fbd f
= Pentru obinut, din tabelele A.9.3, A.9.4, sau A.9.5 se determin sau . Calculul armturii ntinse sA nlocuind termenii din relaia 9.83 rezult:
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 129
( )cd cds eff fyd yd
f fA bd b b hf f
= + (9.90) Dac max , pentru creterea capacitii portante seciunea T trebuie armat dublu. Dac este satisfcut condiia 5bbeff , se accept s se considere acoperitor zona comprimat avnd nlimea fh , (adic fhx8,0 = ); aria de armtur rezult din ecuaia de momente scris n raport cu rezultanta din betonul comprimat:
( )Eds yd fMA =
f d -0,5h (9.91)
9.5.3.2. Verificarea momentului ncovoietor capabil RdM al seciunii T simplu armate
Date intrare: Date ieire:
EdM ; cdf ; ydf ; eff fb , b ,h,h ; sA RdM - momentul ncovoietor capabil
a. Poziia axei neutre
Conform tabelulului 9.10, dac cds sf eff fyd
fA A = b hf
, axa neutr este n inima seciunii. b. Calculul momentului capabil
Se calculeaz cu relaia 9.86: s yd eff f
cd
A f b -b1, 25 hb df b d
=
Se determin coeficientul corespunztor valorii din tabelele A.9.3, A.9.4, sau A.9.5. dac lim , armtura curge i RdM rezult din relaia 9.89:
( ) ( )2Rd cd eff f f cdM bd f b b h d 0,5h f= + dac lim> , momentul ncovoietor capabil se limiteaz la valoarea:
( ) ( )2Rd lim cd eff f f cdM bd f b b h d 0,5h f= + dac este satisfcut condiia 5bbef , se accept s se calculeze momentul
ncovoietor capabil din relaia 9.90: ( )fydsRd h5,0dfAM = (9.92) c. Verificarea capacitii portante
dac RdEd MM , seciunea rezist la solicitarea dat; dac RdEd MM < , seciunea nu rezist la solicitarea dat i trebuie armat dublu.
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 130
ANEXA 9
Tabelul A.9.1 Diametrele, ariile seciunilor armturilor i masa armturilor din bare laminate
Aria seciunii transversale pentru n bare, n cm2
Dia
met
rul
mm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Masa kg/m
6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 0,222
8 0,50 1,00 1,51 2,01 2,51 3,01 3,52 4,02 4,52 5,02 0,394
10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 0,616
12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,78 7,91 9,04 10,17 11,30 0,887
14 1,54 3,08 4,62 6,15 7,69 9,23 10,77 12,31 13,85 15,39 1,208
16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,09 20,10 1,578
18 2,54 5,09 7,63 10,17 12,72 15,26 17,80 20,35 22,89 25,43 1,997
20 3,14 6,28 9,42 12,56 15,70 18,84 21,98 25,12 28,26 31,40 2,465
22 3,80 7,60 11,40 15,20 19,00 22,80 26,60 30,40 34,19 37,99 2,983
25 4,91 9,81 14,72 19,63 24,53 29,44 34,34 39,25 44,16 49,06 3,851
28 6,15 12,31 18,46 24,62 30,77 36,93 43,08 49,24 55,39 61,54 4,831
32 8,04 16,08 24,12 32,15 40,19 48,23 56,27 64,31 72,35 80,38 6,310
36 10,17 20,35 30,52 40,69 50,87 61,04 71,22 81,39 91,56 101,74 7,986
40 12,56 25,12 37,68 50,24 62,80 75,36 87,92 100,48 113,04 125,0 9,860
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 131
Tabelul A.9.2 Seciunea armturii ntinse la plci armate cu plase legate, cm2/m Diametrul barelor, mm Distana
ntre bare cm 6 8 10 12 14 16
8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0
3,53 3,32 3,14 2,97 2,83 2,69 2,57 2,46 2,36 2,26 2,17 2,09 2,02 1,95 1,88 1,82 1,77 1,71 1,66 1,61 1,57 1,53 1,49 1,45 1,41
6,28 5,91 5,58 5,29 5,02 4,78 4,57 4,37 4,19 4,02 3,86 3,72 3,59 3,46 3,35 3,24 3,14 3,04 2,96 2,87 2,79 2,72 2,64 2,58 2,51
9,81 9,24 8,72 8,26 7,85 7,48 7,14 6,83 6,54 6,28 6,04 5,81 5,61 5,41 5,23 5,06 4,91 4,76 4,62 4,49 4,36 4,24 4,13 4,03 3,93
14,13 13,30 12,56 11,90 11,30 10,77 10,28 9,83 9,42 9,04 8,70 8,37 8,07 7,80 7,54 7,29 7,07 6,85 6,65 6,46 6,28 6,11 5,95 5,80 5,65
19,23 18,10 17,10 16,20 15,39 14,65 13,99 13,38 12,82 12,31 11,84 11,40 11,00 10,61 10,26 9,93 9,62 9,32 9,05 8,79 8,55 8,32 8,10 7,89 7,69
25,12 23,64 22,33 21,15 20,10 19,14 18,27 17,47 16,75 16,08 15,46 14,89 14,35 13,86 13,40 12,97 12,56 12,18 11,82 11,48 11,16 10,86 10,58 10,31 10,05
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 132
Tabelul A.9.3 Coeficieni pentru calculul elementelor cu seciunea dreptunghiular sau T, supuse la ncovoiere cu for axial pentru beton cu fck 50 MPa Relaii de calcul 0,05 0,051 0,064 0,06 0,062 0,077 0,07 0,073 0,091 0,08 0,083 0,104 0,09 0,094 0,118 0,10 0,106 0,132 0,11 0,117 0,146 0,12 0,128 0,160 0,13 0,140 0,175 0,14 0,151 0,189 0,15 0,163 0,204 0,16 0,175 0,219 0,17 0,188 0,234 0,18 0,200 0,250 0,19 0,213 0,266 0,20 0,225 0,282 0,21 0,238 0,298 0,22 0,252 0,315 0,23 0,265 0,331 0,24 0,279 0,349 0,25 0,293 0,366 0,26 0,307 0,384 0,27 0,322 0,402 0,28 0,337 0,421 0,29 0,352 0,440
ncovoiere cu for axial
Ed Ed s2
cd
M N y =
bd f
unde s sy = 0,5h - d
s yd Ed
cd
A f N =
bdf
cd Eds
yd yd
f NA = bdf fm
2Rd cd Ed sM = bd f N ym
n relaiile de calcul semnul de deasupra care nsoete fora axial este pentru compresiune.
0,30 0,368 0,459 0,31 0,384 0,479 0,32 0,400 0,500
valori 0,33 0,417 0,521 limit 0,34 0,434 0,543 pentru 0,35 0,452 0,565 oel: 0,36 0,471 0,589 S500 0,37 0,490 0,613
0,38 0,510 0,638 S400 0,39 0,531 0,664 PC60 0,40 0,553 0,691
0,401 0,555 0,694 0,402 0,557 0,697 0,403 0,560 0,699 0,404 0,562 0,702 0,405 0,564 0,705
PC52 0.407 0,569 0,711
ys
fcd
s
cu = 3.5
ds
d
b
h
0.8x x CG
As
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 133
Tabelul A.9.4 Coeficieni pentru calculul elementelor cu seciunea dreptunghiular sau T, supuse la ncovoiere cu for axial pentru beton cu fck 50 MPa
Ed Ed s2
cd
M N y =
bd f; s sy = 0,5h - d ;
s yd Ed
cd
A f N =
bdf; cd Eds
yd yd
f NA = bdf fm
Oel PC52 MPa300f yd = ; max=0,71 =1,5; =1,15c s C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 procente de armare, p
0,02 0,020 0,025 0,054 0,072 0,090 0,112 0,135 0,157 0,180 0,202 0,2240,04 0,041 0,051 0,109 0,145 0,181 0,227 0,272 0,318 0,363 0,408 0,4540,06 0,062 0,077 0,165 0,220 0,275 0,344 0,413 0,482 0,550 0,619 0,6880,08 0,083 0,104 0,223 0,297 0,371 0,464 0,557 0,649 0,742 0,835 0,9280,10 0,106 0,132 0,282 0,375 0,469 0,587 0,704 0,821 0,938 1,056 1,1730,11 0,117 0,146 0,312 0,415 0,519 0,649 0,779 0,909 1,038 1,168 1,2980,12 0,128 0,160 0,342 0,456 0,570 0,712 0,855 0,997 1,140 1,282 1,4250,13 0,140 0,175 0,373 0,497 0,621 0,776 0,932 1,087 1,242 1,398 1,5530,14 0,151 0,189 0,404 0,539 0,673 0,842 1,010 1,178 1,346 1,515 1,6830,15 0,163 0,204 0,436 0,581 0,726 0,907 1,089 1,270 1,452 1,633 1,8150,16 0,175 0,219 0,468 0,624 0,779 0,974 1,169 1,364 1,559 1,754 1,9490,17 0,188 0,234 0,500 0,667 0,834 1,042 1,251 1,459 1,668 1,876 2,0840,18 0,200 0,250 0,533 0,711 0,889 1,111 1,333 1,556 1,778 2,000 2,2220,19 0,213 0,266 0,567 0,756 0,945 1,181 1,417 1,654 1,890 2,126 2,3620,20 0,225 0,282 0,601 0,801 1,002 1,252 1,503 1,753 2,004 2,254 2,5040,21 0,238 0,298 0,636 0,848 1,060 1,325 1,589 1,854 2,119 2,384 2,6490,22 0,252 0,315 0,671 0,895 1,119 1,398 1,678 1,957 2,237 2,517 2,7960,23 0,265 0,331 0,707 0,943 1,178 1,473 1,768 2,062 2,357 2,652 2,9460,24 0,279 0,349 0,744 0,992 1,240 1,549 1,859 2,169 2,479 2,789 3,0990,25 0,293 0,366 0,781 1,041 1,302 1,627 1,953 2,278 2,603 2,929 3,2540,26 0,307 0,384 0,819 1,092 1,365 1,707 2,048 2,389 2,730 3,072 3,4130,27 0,322 0,402 0,858 1,144 1,430 1,788 2,145 2,503 2,860 3,218 3,5750,28 0,337 0,421 0,898 1,197 1,496 1,870 2,245 2,619 2,993 3,367 3,7410,29 0,352 0,440 0,938 1,251 1,564 1,955 2,346 2,737 3,128 3,519 3,9100,30 0,368 0,459 0,980 1,307 1,634 2,042 2,450 2,859 3,267 3,675 4,0840,31 0,384 0,479 1,023 1,364 1,705 2,131 2,557 2,983 3,409 3,836 0,32 0,400 0,500 1,067 1,422 1,778 2,222 2,667 3,111 3,556 4,000 0,33 0,417 0,521 1,112 1,482 1,853 2,316 2,779 3,243 3,706 0,34 0,434 0,543 1,158 1,544 1,930 2,413 2,895 3,378 3,861 0,35 0,452 0,565 1,206 1,608 2,010 2,513 3,015 3,518 4,020 0,36 0,471 0,589 1,256 1,674 2,093 2,616 3,139 3,662 0,37 0,490 0,613 1,307 1,743 2,178 2,723 3,267 3,812 0,38 0,510 0,638 1,360 1,814 2,267 2,834 3,401 3,967 0,39 0,531 0,664 1,416 1,888 2,360 2,950 3,540 0,40 0,553 0,691 1,474 1,965 2,457 3,071 3,685
0,401 0,555 0,694 1,480 1,973 2,467 3,083 3,700 0,402 0,557 0,697 1,486 1,981 2,477 3,096 3,715 0,403 0,560 0,699 1,492 1,989 2,487 3,109 3,730 0,404 0,562 0,702 1,498 1,998 2,497 3,121 3,745 0,405 0,564 0,705 1,504 2,006 2,507 3,134 3,761 0,406 0,566 0,708 1,510 2,014 2,517 3,147 3,776 0,407 0,569 0,711 1,517 2,022 2,528 3,160 3,791
-
Facultatea de Construcii Timioara 2012/2013 Agneta Tudor & Tudor Clipii
NOTE DE CURS - BETON ARMAT 134
Tabelul A.9.5 Coeficieni pentru calculul elementelor cu seciunea dreptunghiular sau T, supuse la ncovoiere cu for axial pentru beton cu fck 50 MPa
Ed Ed s2
cd
M N y =
bd f; s sy = 0,5h - d ;
s yd Ed
cd
A f N =
bdf; cd Eds
yd yd
f NA = bdf fm
Oel PC60 MPa350fyd = ; max = 0,676 1,5; 1,15c s = = C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 procente de armare, p
0,01 0,010 0,013 0,023 0,031 0,038 0,048 0,057 0,067 0,077 0,086 0,096 0,02 0,020 0,025 0,046 0,062 0,077 0,096 0,115 0,135 0,154 0,173 0,192 0,03 0,030 0,038 0,070 0,093 0,116 0,145 0,174 0,203 0,232 0,261 0,290 0,04 0,041 0,051 0,093 0,124 0,156 0,194 0,233 0,272 0,311 0,350 0,389 0,05 0,051 0,064 0,117 0,156 0,195 0,244 0,293 0,342 0,391 0,440 0,489 0,06 0,062 0,077 0,142 0,189 0,236 0,295 0,354 0,413 0,472 0,531 0,590 0,07 0,073 0,091 0,166 0,221 0,277 0,346 0,415 0,484 0,553 0,623 0,692 0,08 0,083 0,104 0,191 0,254 0,318 0,398 0,477 0,557 0,636 0,716 0,795 0,09 0,094 0,118 0,216 0,288 0,360 0,450 0,540 0,630 0,720 0,810 0,900 0,10 0,106 0,132 0,241 0,322 0,402 0,503 0,603 0,704 0,804 0,905 1,005 0,11 0,117 0,146 0,267 0,356 0,445 0,556 0,668 0,779 0,890 1,001 1,113 0,12 0,128 0,160 0,293 0,391 0,488 0,611 0,733 0,855 0,977 1,099 1,221 0,13 0,140 0,175 0,319 0,426 0,532 0,666 0,799 0,932 1,065 1,198 1,331 0,14 0,151 0,189 0,346 0,462 0,577 0,721 0,866 1,010 1,154 1,298 1,443 0,15 0,163 0,204 0,373 0,498 0,622 0,778 0,933 1,089 1,244 1,400 1,556 0,16 0,175 0,219 0,401 0,534 0,668 0,835 1,002 1,169 1,336 1,503 1,670 0,17 0,188 0,234 0,429 0,572 0,715 0,893 1,072 1,251 1,429 1,608 1,787 0,18 0,200 0,250 0,457 0,610 0,762 0,952 1,143 1,333 1,524 1,714 1,905 0,19 0,213 0,266 0,486 0,648 0,810 1,012 1,215 1,417 1,620 1,822 2,025 0,20 0,225 0,282 0,515 0,687 0,859 1,073 1,288 1,503 1,717 1,932 2,147 0,21 0,238 0,298 0,545 0,727 0,908 1,135 1,362 1,589 1,817 2,044 2,271 0,22 0,252 0,315 0,575 0,767 0,959 1,198 1,438 1,678 1,917 2,157 2,397 0,23 0,265 0,331 0,606 0,808 1,010 1,263 1,515 1,768 2,020 2,273 2,525 0,24 0,279 0,349 0,637 0,850 1,062 1,328 1,594 1,859 2,125 2,390 2,656 0,25 0,293 0,366 0,669 0,893 1,116 1,395 1,674 1,953 2,232 2,511 2,789 0,26 0,307 0,384 0,702 0,936 1,170 1,463 1,755 2,048 2,340 2,633 2,926 0,27 0,322 0,402 0,735 0,981 1,226 1,532 1,839 2,145 2,452 2,758 3,064 0,28 0,337 0,421 0,770 1,026 1,283 1,603 1,924 2,245 2,565 2,886 3,206 0,29 0,352 0,440 0,804 1,073 1,341 1,676 2,011 2,346 2,681 3,017 3,352 0,30 0,368 0,459 0,840 1,120 1,400 1,750 2,100 2,450 2,800 3,150 3,500 0,31 0,384 0,479 0,877 1,169 1,461 1,826 2,192 2,557 2,922 3,288 3,653 0,32 0,400 0,500 0,914 1,219 1,524 1,905 2,286 2,667 3,048 3,429 3,810 0,33 0,417 0,521 0,953 1,271 1,588 1,985 2,382 2,779 3,176 3,573 3,971 0,34 0,434 0,543 0,993 1,324 1,655 2,068 2,482 2,895 3,309 3,723 0,35 0,452 0,565 1,034 1,378 1,723 2,154 2,584 3,015 3,446 3,877 0,36 0,471 0,589 1,076 1,435 1,794 2,242 2,691 3,139 3,587 4,036 0,37 0,490 0,613 1,120 1,494 1867 2,334 2,801 3,267 3,734 0,38 0,510 0,638 1,166 1,555 1,943 2,429 2,915 3,401 3,886 0,395 0,553 0,691 1,238 1,651 2,064 2,580 3,096 3,612 4,128