9. fundamentos matemáticos aplicaciones de la derivada
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Fundamentos MatemáticosAplicaciones de la
Derivada
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Definición
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Definición
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Puntos Críticos
Los puntos en los cuales la derivada de una función es igual a cero o no existe se conocen como puntos críticos de la función y representan un posible valor máximo o mínimo de la función.
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Criterio de la Primera Derivada
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Criterio de la Primera Derivada
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Ejemplo 1
Obtén los puntos en donde ocurren los máximos y mínimos para la función y proporciona el intervalo en donde f (x) es creciente y en donde es decreciente.
f(x) =1/4 x4 – 2/3 x3
f’(x) = 4/4 x3 – 2(3) / 3 x2 = x3 - 2x2
f’(x) = 0 x3 - 2x2 = 0 x2 (x - 2) = 0
X = 0 y x = 2, son los valores de x, donde hay puntos críticos.
0 2
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Ejemplo 1
Intervalos
No. seleccionado
f’(x)= x3 – 2x2
Signo 1ª. Derivada
Conclusión
(-оо, 0) -1 (-1)3 -2(-1)2= -3 - Decreciente
(0, 2) 1 (1)3 -2(1)2= -1 - Decreciente
(2, +оо) 4 (4)3 -2(4)2= 32 + CrecienteEn x=0, no es máximo, no es mínimo.
En x=2, es un mínimoSi f’(x) > 0, entonces f(x) es crecienteSi f’(x) < 0, entonces f(x) es decrecientef(x) es decreciente en el intervalo (-оо, 2)
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Ejemplo 1
Si se quiere obtener el valor mínimo local de la función, se sustituye x=2 en la función original.
f(x) =1/4 x4 – 2/3 x3
f(2) =1/4 (2)4 – 2/3 (2)3 = -4/3
Por lo tanto, el punto más bajo de la función es (2, -4/3)
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Concavidad y Puntos de Inflexión
La concavidad nos proporciona información acerca de la forma en que la gráfica de una función se flexiona, es decir, se vuelve curva.
Si trazamos rectas tangentes a una gráfica y esta se encuentra siempre por arriba de las rectas tangentes, se dice que la gráfica es cóncava hacia arriba.
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Concavidad y Puntos de Inflexión
De manera similar, si trazamos rectas tangentes a una gráfica y esta se encuentra siempre por abajo de las rectas tangentes, se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo.
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Puntos de Inflexión
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Ejemplo 2
Utiliza la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión de la función f(x) =1/20 x5 – 5/12 x4, determina los intervalos en los que la función es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo.
f’(x) = 5/20 x4 – 5(4) / 12 x3 = 5/20 x4 - 20/12 x3
f’’(x) = 5(4) / 20 x3 – 20 (3) /12 x2 = 20/20 x3 – 60/12 x2 = x3 – 5 x2
f’’(x) = 0 x3 - 5x2 = 0 x2 (x - 5) = 0
X = 0 y x = 5, son los valores de x, donde podrían existir puntos de inflexión.
0 5
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Ejemplo 2
Intervalos
No. seleccionado
f’’(x)= x3 – 5x2
Signo 1ª. Derivada
Conclusión
(-оо, 0) -1 (-1)3 -5(-1)2= -6 - Cóncava
hacia abajo(0, 5) 1 (1)3 -5(1)2=
-4 - Cóncava hacia abajo
(5, +оо) 6 (6)3 -5(6)2= 36 + Cóncava
hacia arriba
0 5Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba
f’’(x) < 0
f’’(x) < 0
f’’(x) > 0
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En x=5, la gráfica de la función tiene un punto de inflexión.
Ejemplo 2
Si se quiere obtener la ordenada del valor de x, se sustituye x=5 en la función original.
f(x) = 1/20 x5 – 5/12 x4
f(5) = 1/20 (5)5 – 5/12 (5)4 = - 104.17
Por lo tanto, el punto de inflexión es (5, -104.17)