CASOS ESPECIALES MEDIANTE TABLEAU Investigacin Operativa I 1.- Empate en la variable que entra a la baseAl existir un empate en la variable que entra a la base, se selecciona de forma arbitraria.BASE Z X1 X3 X3 X4 Y1 Y2 ZoZ 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0Y1 0 1 1 0 0 1 0 3Y2 0 0 0 1 1 0 1 2BASE Z X1 X3 X3 X4 Y1 Y2 ZoZ 1 0 0 -1 -1 1 0 3X1 0 1 1 0 0 1 0 3Y2 0 0 0 1 1 0 1 2BASE Z X1 X3 X3 X4 Y1 Y2 ZoZ 1 0 0 0 0 1 0 5X1 0 1 1 0 0 1 0 3X3 0 0 0 1 1 0 1 22.- Problema con soluciones DEGENEADAS.Alexistirunempateenelvectordesalidasepuedeocasionarunciclajetal, que nunca se obtenga la solucin ptima, es as que en la siguiente iteracin unaomasvariablesbsicassernobligadamenteigualesacero.Deesta manera,estacondicinrevelaqueelmodelotienecuandomenosuna restriccin redundante.0 ,4 28 4:9 32 12 12 12 1> s +s ++ =X XX XX XsaX X ZMaxX1X2abRSFcc(Redundante)Lamentablemente,noexisteningunatcnicaconfiablequenospermita identificar restricciones redundantes a partir del tableau. Veamos el siguiente ejemplo: 0 ,4 28 4:9 32 12 12 12 1> s +s ++ =X XX XX XsaX X ZMax La resolucin mediante el mtodo simplex es: ZX1X2X3X4 1-3-9 000 X3014108 X4012014 ZX1X2X3X4 1-3/4 09/4018 X20 1/4102 X401/20-1/210 ZX1X2X3X4 1003/23/218 X2001-1/22 X1010-120 ZX1X2X3X4 1-3-9 000 X3014108 X4012014 ZX1X2X3X4 1-3/4 09/4018 X20 1/4102X401/20-1/210 ZX1X2X3X4 1003/23/218 X2001-1/22 X1010-120 Comovimosanteriormente,lasiteracionesunoydosgeneraronunasuertede ciclaje, ya que a partir de un estado comn (valor objetivo iguales) se obtuvieron soluciones distintas. Peroqupasacuandosonmsdedosvariables,larespuestaesms complejayaque el ciclaje oreciclaje, efectivamente, se vuelve ms notorio,ya queapartirdeltableauinicialydespusdesucesivasiteracionesaplicandoel mtodosimplex,podemosvolvernuevamentealtableauinicialsinpoder llegaralasolucinptima.Lastcnicasutilizadasparasolucionarelciclaje generanunareduccindrsticaenlosclculosy,porende,enlostiemposde ejecucin, pero una tcnica que mejora esta causa es la Regla Lexicogrficas.Esdecir,seasumecomocorrectaladecisintomadadeformaarbitraria,en caso de caer en un ciclo perpetuo (ms de 4 iteraciones sin mejora) se debe probar con la otra opcin. Max:Z = 2X4 + (3/2)X6 s.a.X1 + 0X2 + 0X3 + X4 - X5 + 0X6 = 2 X1 + X2 + 0X3 + 2X4 - 0X5 + X6 = 4 X1 + 0X2 + X3 + X4 +X5 + X6 = 3 X1 + 0X2 + X3 + X4 +X5 + X6 = 3 BaseEcuacinZX1X2X3X4X5X6bi Z(0)1000-20-3/20 X1(1)01001-102 X2 (2)00102014 X3 (3)0001l113 Primera iteracin: BaseEcuacinZX1X2X3X4X5X6bi Z(0)12000-2-3/24 X4(1)01001-102 X2 (2)0-2100210 X3 (3)0-1010211 Segunda iteracin: BaseEcuacinZX1X2X3X4X5X6bi Z(0)101000-1/24 X4(1)001/20101/22 X5 (2)0-11/20011/20 X3 (3)01-110001 Tercera iteracin: BaseEcuacinZX1X2X3X4X5X6bi Z(0)1-13/200104 X4(1)01001-102 X6 (2)0-2100210 X3 (3)01-110001 Cuarta iteracin: BaseEcuacinZX1X2X3X4X5X6bi Z(0)101/210105 X4(1)001-11-101 X6 (2)00-120212 X1 (3)01-110001 X1=1 X2=0 X3=0 X4=1 X5=0 X6=2 Z=5 Existen problemas, cuyas soluciones ptimas no son nmeros finitos, sino por el contrario es el infinito, es decir, no existe ninguna restriccin que acote su crecimiento. As, se dice que el espacio desolucionesyel valorptimode la funcin objetivo es no acotado. 3.- Problema con solucin ptima NO ACOTADA. 0 ,4 22 2 2: . .4 4 2 12 12 12 1>s + s + + =X XX XX Xa sX X Z MxX1X2cabcRSFEncualquieriteracindelmtodosimplex,elvectorqueentraalabaseesel asociadoalavariableXk,entoncessitodaslasm i Yik, , 1 , 0 = s ,lasolucindel problema lineal es no acotado. Argumentos de la columna pivote ZX1X2X3X4 1-4-4 000 X30-22102 X40-12014 ZX1X2X3X4 1-8 0204 X20-111/201 X4010-112 ZX1X2X3X4 100-6820 X2001-1/213 X1010-112 Comosepuedeapreciar,enestaterceraiteracinX3debeentraralabase,pero 0 2 / 113< = Yy0 2 / 123< = Y . Por lo tanto, no es posible aplicar la regla de seleccin que indica que variable debe salir de la base ptima. existenotrotipodeproblemasquenotienenunanicasolucinptima,sino quealcontrario,tienenuninfinitonmerodesolucionesptimas,pero acotadasenunaregindeterminadaparalascualeslasolucinrespectiva generarelmismovalorenlafuncinobjetivo.Cuandohablamosdeestos casos se dice que la funcin objetivo es paralela a una restriccin de enlace. 4.- Problema con solucin ptimas MULTIPLES. 0 ,20 4 1030 10 6: . .2 5 2 12 12 12 1>s +s ++ =X XX XX Xa sX X Z MxX1X2abRSFccBAComoseaprecia,lafuncinobjetivotieneunvalormximo(ptimo)cuando coincide con el trazo AB de la RSF. Es necesario recordarel conceptodela combinacin lineal convexaentre dos puntos A y B, como existen infinitos puntos entre A y B, tambin existen infinitos puntos ptimos que generan el mismo valor de la funcin objetivo.

Matemticamente, se tiene que si XA es el vector asociado al punto A y XB es el vector asociado al punto B, entonces: 1 0, ) 1 ( s s + = B AX X XSi existe un vector asociado a Xk que no est en la base ptima, cuyo costo reducido 0 = k kc z , el resto de los0 > i ic zy todasm i Yik, , 1 , 0 = > , entonces el problema de programacin lineal tiene solucionesmltiples y la base es ptima. Retomemos el ejemplo ya visto en este caso: 0 ,20 4 1030 10 6: . .2 5 2 12 12 12 1>s +s ++ =X XX XX Xa sX X Z Mx ZX1X2X3X4 1-5 -2000 X306101030 X401040120 ZX1X2X3X4 10001/210 X300 38/5 1-3/518 X101001/102 Cuando una Variable NO Bsica tiene coeficiente = 0 en la fila cero (Funcin Objetivo), existen mltiples soluciones. El primer punto extremo esXA = (2,0,18,0) Paradeterminarcualseraelotropuntoextremo,sedeberintroducirala base la variable X2, as: ZX1X2X3X4 10001/210 X20015/38-3/3845/19 X1010-1/195/3820/19 ) ( 10 $0019 / 4519 / 2043212um ZXXXXX=(((((

=(((((

=El segundo punto extremo esXB =Como ya se explic, existe una combinacin lineal convexa entre los puntos XA y XBquetambinesptima.Laexpresinmatemticaquedefinedichaexpresin, asociada a un X* es: 1 0,0019 / 4519 / 20) 1 (01802) 1 (2 1 *s s(((((

+(((((

= + = X X XProblema Sin Soluciones o Infactible Comosehaexplicadoanteriormente,elmtododepenalizacinoelmtodode doblefasepermiten identificarcundounproblemadeprogramacin lineal notiene solucin. Por logeneral,si lasrestriccionesnosepuedensatisfacerenformasimultnea,se dicequeelproblemanotienesolucin;estasituacinnoocurrecuandolas restricciones son: 1.del tipos, ya que las variables de holgura siempre generarn una RSF y, por lo tanto, existir una solucin factible ptima, 2.deltipo= v > efectivamentegeneranvariablesartificialesWqueporsu estructuranonosgarantizanunasolucinfactiblealmodeloinicialyaunque se efecten las provisiones necesarias para que exista un solucin ptima, es decir,que efectivamente W=0,si noexisteunaRSFelproblemanotendr solucin.Veamos el siguiente caso de problema lineal: 0 ,42:2 22 12 12 12 1>> +s ++ =X XX XX XsaX X ZMx La representacin grfica es la siguiente: X1X2ca bcRSF 2RSF 1 Comosepuedeobservar,noexistenvaloresdeX1yX2quepuedanestar simultneamente en ambas regiones sombreadas. Veamosahoracmoidentificamosestacondicinpormediodelmtodode penalizacin de Gran M, presentando primero el PPL estndar y el tableau original: 0 ,4 4 2 3:0 2 22 12 12 12 1>= + += + += + X XW X X XX X XsaMW X X ZMx ZX1X2X3X4W 1-2-200M0 X30111002 W0110-114 ZX1X2X3X4W 1-2-M -2-M0M0-4M X30 111002 W0110-114 ZX1X2X3X4W 1002+MM04-2M X10111002 W000-1-112 Comovemos,lasolucinptimaalproblemamodificado,seobtieneenelltimo tableau,perocomolavariableartificialnoesnula,sinoqueW=2,elproblema original no tiene solucin factible.