9. Aplikasi MB Distrib Kecepatan [Compatibility Mode]

Aplikasi Statistik Aplikasi Statistik MaxwellMaxwell--BoltzmannBoltzmann

Distribusi Kecepatan Molekul


Berapakah laju rata-rata sebuah molekul dalam suatu sistem gas ideal bersuhu T?

kTv

kTvm

3

2

3

2

1 2

====

====

m

kTv

3====

Apakah semua molekul mempunyai laju sama dengan harga di atas?

Bagaimana distribusi laju molekul pada sistem gas ideal bersuhu T?

Saat ini kita akan menentukan distribusi laju molekul pada sistem gas ideal bersuhu T


Gas Ideal Statistik Maxwell- Boltzmann, mengapa!

1. Molekul-molekul dapat dibedakan2. Setiap keadaan energi dapat diisi lebih

dari satu molekul

−−−−====

kTg

Z

NN j

jj

εexp

−−−−====

kTg

Z

NN j

jj

ε∆∆ exp

Jumlah rata-rata molekul yang energinya antara εj dan εj + ∆ εj

Jumlah keadaan yang energinya antara εj dan εj + ∆ εj

(((( ))))1........)(

)( ε∆εεΦ

∆εΩd

dg j

jj ========


Tinjau sistem partikel dalam kotak 3-D:

Φ(ε) = Jumlah keadaan yang energinya kurang dari dan sama dengan εj

3R 3

4

8

1 bola volume

8

1)( ======== πεΦ Nyatakan dalam nj

(((( ))))41 π22222Rdengan

388

zyxj nnnn ++++++++======== (((( ))))2.....6

3

4

8

1)( 33

jjj nnnππΦ ========

(((( ))))3.....2

)()( 2

jjjj

jjj nnn

dn

ndgn ∆π∆

Φ∆Ω ============

Pernyataan energi εj :

(((( )))) (((( ))))4.....82

232

2222

2

22

jzyxj nVm

hnnn

mL

−−−−====++++++++====hπε


Fungsi Partisi Z:

−−−−====

−−−−====

−−−−

∑∑∑∑∑∑∑∑ 23

222

8exp

2exp jj

jj

j

jn

mkT

Vhnn

kTgZ ∆πε

∆

Aproksimasi (PR no 1)

(((( ))))5.....2

8exp

2

23

22

322

0

2

====

−−−−====

−−−−∞∞∞∞

∫∫∫∫ h

mkTVdnn

mkT

VhnZ jjj

ππ


Sekarang kita nyatakan indeks n pada persamaan-persamaan sebelumnya menjadi indeks v (kecepatan):

Pernyataan energi :

(((( ))))6.....2

1

8223

22

jjj mvnVm

h ======== −−−−ε + persamaan (3)

PR no 2

(((( ))))7.....4 2

3

3

vvh

Vmgv ∆π∆ ====

(((( ))))8....2

exp2

4 22

23

vkT

mvv

kT

mNNv ∆

π∆

−−−−

====

Statistik Maxwell-Boltzmann menjadi:

Jumlah rata-rata molekul yang lajunya antara v dan v + ∆v


vkT

mvv

kT

mNN v ∆

−

=∆2

exp2

4 22

23

π(((( ))))9...

2exp

2

4 22

23

−−−−

====kT

mvv

kT

mN

v

Nv

π∆∆

Fungsi Distribusi lajuMaxwell-Boltzmann

v

Nv

∆∆

v

Grafik fungsi distribusi MB pada suhu berbeda

Ketika v = 0, fungsi distribusi

bernilai nol.

Artinya?

Tidak ada molekul yang diam


Laju dengan peluang terbesar vm:

02

exp2

4

0

22

23

kT

mvv

kT

mN

dv

d

v

N

dv

d v

====

−−−−

====

π

∆∆

(((( ))))10.....2

22

m

kTv

kTkTdv

m ====

π

(((( ))))11.....exp4

2

22

3

−−−−====mm

V

v

vv

v

N

v

N

π∆∆

Fungsi distribusi MB dinyatakan dalam vm:

PR no 3

PR no 4

∑∑∑∑==== vNvN

v ∆1


Laju rata-rata molekul :

Aproksimasi

dvv

vv

vv

mm∫∞

−=0

2

23

3exp

4

π

(((( ))))12....82

m

kTvv m ππ

========PR no 5


Kelajuan root-mean-square (vrms):

2

1

02

24

3

2

1

2__

2 exp41

−=

∆== ∫∑∞

dvv

vv

vNv

Nvv

mm

Vrms π

(((( ))))13.....32

3

m

kTvv mrms ========

224.1:128,1:13

:8

:2

:: ========m

kT

m

kT

m

kTvvv rmsm π

Perbandinan ketiga jenis kelajuan:

PR no 6


Visualisasi ruang kecepatan:

∆NV = Jumlah vektor kecepatan yang berujung pada kulit bola, yang kecepatannya antara v dan v + ∆v

Volume kulit bola : 4πv2∆v

−

=

∆∆

=2

23

2exp

1

4mm

vv

v

v

vN

vv

N

ππρ

Jumlah titik representatif tiap satuan volume dalam kulit atau kerapatan ρv :

Distribusi Kecepatan MolekulVisualisasi ruang kecepatan:

Tinjau elemen volum ∆vx∆vy∆vz

dalam ruang kecepatan

Jumlah titik representatif dalam elemen volume ∆vx∆vy∆vz adalah elemen volume ∆vx∆vy∆vz adalah ∆NVxVyVz

Sehingga

x y zv v v v x y zN v v vρ∆ = ∆ ∆ ∆

( )zyx

m

zyz

m

VVV vvvv

vvv

vNN

ZYX∆∆∆

++−

=∆

2

2223

exp1

π


( )zyx

m

zyx

m

VVV vvvv

vvv

vNN

ZYX∆∆∆

++−

=∆ 2

2223

exp1

π

Jumlah molekul yang kecepatannya antara vx dan vx + ∆vx , vy dan vy + ∆vy , vz dan vz + ∆vz

Tinjau salahsatu komponen saja, misalkan komponen x:Tinjau salahsatu komponen saja, misalkan komponen x:

Jumlah molekul yang kecepatannya antara vx dan vx + ∆vx = ∆NVx

x

m

xz

m

zy

m

y

m

x vv

vdv

v

vdv

v

v

vNNv ∆

−

−

−

=∆ ∫∫

∞

∞−

∞

∞−2

2

2

2

2

23

expexpexp1

π

2

2

exp1

m

x

mx

x

v

v

vN

v

Nv −=

∆∆

π

PR no 7

Fungsi distribusi kecepatan Maxwell-Boltzmann untuk satu komponen

kecepatan

Serupa untuk ∆NVy

dan ∆NVz


∆Nvx

2

2

exp1

m

x

mx

x

v

v

vN

v

Nv −=

∆∆

π

Fungsi distribusi kecepatan Maxwell-Boltzmann untuk satu komponen kecepatan

∆vx

vx

Area = ∆Nvx

vx

∆Nvx

vx

∆Nvx

Bentuk mirip distribusi Gauss

9. Aplikasi MB Distrib Kecepatan [Compatibility Mode]

Documents

Transcript of 9. Aplikasi MB Distrib Kecepatan [Compatibility Mode]