Классические ортогональные полиномыОпределение классических ортогональ-ных полиномовОсновные свойства классических ортого-нальных полиномов

9 — Лекция

9.1 Классические ортогональные полиномы

9.1.1 Определение классических ортогональных полиномов

Определение 9.1 Система {pn(x)} полиномов всех степеней, заданных на от-резке [a,b] называется системой классических ортогональных полиномов, еслиони ортогональны на [a,b] с весом ρ(x), удовлетворяющим на интервале (a,b)дифференциальному уравнению Пирсона

d

dx(σ(x)ρ(x)) = τ(x)ρ(x), (9.1)

где σ(x) и τ(x) - заданные функции, удовлетворяющие условию

xmσ(x)ρ(x)|ba = 0, m= 0,1,2, . . . . (9.2)

Граничные точки a и b отрезка [a,b] могут соответственно принимать значения −∞и +∞.

Функция τ() - линейная функция

τ(x) =Ax+B, (9.3)

коэффициенты которой A и B определяются из условия (9.2).Функция σ(x) имеет вид

σ(x) =

(x−a)(b−x) при a 6=−∞, b 6= +∞

(x−a) при a 6=−∞, b= +∞(b−x) при a=−∞, b 6= +∞

1 при a=−∞, b= +∞

(9.4)

В уравнение для веса ρ(x) входят два параметра линейной функции τ(x).Общее решение уравнения (9.1) имеет вид

82 Лекция

ρ(x) = 1σ(x)e

∫ τ(x)σ(x)dx (9.5)

Формулы (9.1) -(??) определяют целый класс классических ортогональных поли-номов и позволяют получить для них явные представления через функции ρ(x) иσ(x) . Классический ортогональный полином pn(x) является полиномом n - й степени.Рассмотрим наиболее важные для приложений конкретные примеры классическихортогональных полиномов.

9.1.2 Основные свойства классических ортогональных полиномов

1. Классические ортогональные полиномы по определению ортогональны наотрезке [a,b] с весом ρ(x):

b∫a

pn(x)pk(x)ρ(x)dx= 0, n 6= k. (9.6)

2. Теорема о нулях.

Теорема 9.1 Классический ортогональный полином pn(x) имеет ровно nпростых нулей строго внутри отрезка [a,b]

Доказательство. Пусть n произвольное фиксированное целое положительноечисло. В силу ортогональности полиномов pn(x) и p0(x)≡ 1 имеем

b∫a

pn(x) ·1 ·ρ(x)dx= 0, n > 0. (9.7)

Следовательно, полином pn(x) меняет знак на интервале (a,b) в некоторомчисле k > 1 различных точек x1,x2, . . . ,xk (xi ∈ (a,b) и xi 6= xj при i 6= j). Тогдаполином pn(x) имеет вид

pn(x) = (x−x1)(x−x2) . . .(x−xk)ϕn(x), (9.8)

где ϕn(x) не меняет знака на (a,b). Для доказательства теоремы достаточнопоказать, что k = n. Предположим противное: пусть k < n. Так как системаклассических ортогональных полиномов {pn(x)}рп(х) содержит полиномывсех степеней, то для полинома rk(x) = (x−x1)(x−x2) . . .(x−xk) справедливоразложение

rk(x) =k∑i=0

aiρi(x), (9.9)

где ak 6= 0. Так как k < n имеем

b∫a

pn(x)rk(x)ρ(x)dx=k∑i=0

ai

b∫a

pn(x)pi(x)ρ(x)dx= 0 (9.10)

9.1 Классические ортогональные полиномы 83

С другой стороны,b∫a

pn(x)rk(x)ρ(x)dx=b∫a

r2k(x)ϕn(x)ρ(x)dx 6= 0, (9.11)

так как функция r2k(x)ϕn(x)ρ(x) не меняет знак на интервале (a,b). Сравнивая

последние две формулы, получаем противоречие. Следовательно, k > n, апоскольку полином n - й степени не может иметь более n нулей, то k = n.Отсюда вытекает, что все корни простые. Теорема доказана.В силу основной теоремы алгебры любой полином n - й степени pn(z) накомплексной плоскости z имеет ровно n нулей (с учетом их краткости). Издоказанной теоремы следует, что все нули классического ортогонального по-линома pn(z) сосредоточены строго внутри отрезка [a,b] действительной осикомплексной плоскости z.Так как между двумя нулями дифференцируемой функции f(x) по теоремеРолля имеется хотя бы один нуль ее производной f ′(x), то из этого свойстваи доказанной теоремы получаем, что все нули производных классическогоортогонального полинома pn(x) простые и расположены строго внутри отрезка[a,b].

�

3. Покажем, что производные p′n(x) также являются классическими ортогональ-ными полиномами, заданными на отрезке [a,b], и ортогональными с новымвесом ρ1(x) = σ(x)ρ(x).При m< n имеем

b∫a

pn(x)xm−1τ(x)ρ(x)dx= 0. (9.12)

Действительно, xm−1τ(x) есть полином степени m и может быть представленв виде

xm−1τ(x) =m∑i=0

cipi(x), (9.13)

откуда следует (??). Воспользуемся уравнением Пирсона (9.1) для τ(x)ρ(x) ивычислим интеграл по частям. Учитывая, что в силу условия (9.2) подстановкиобратятся в нуль, получим

b∫a

pn(x)xm−1τ(x)ρ(x)dx=

=b∫a

pn(x)xm−1 d

dx[σ(x)ρ(x)]dx=

=−b∫a

σ(x)ρ(x)xm−1p′n(x)dx− (m−1)b∫a

σ(x)ρ(x)xm−2pn(x)dx. (9.14)

Так как σ(x)xm−2 - полином степени не выше m< n, аналогично формуле (??)получаем, что второй интеграл в формуле (??) равен нулю. Поэтому

b∫a

σ(x)ρ(x)xm−1p′n(x)dx= 0. (9.15)

84 Лекция

Следовательно, при m< n полином p′n(x) степени n−1 ортогонален ко всемполиномам меньшей степени m−1 с весом ρ1(x) = σ(x)ρ(x) т. е.

b∫a

p′n(x)p′m(x)ρ1(x)dx= 0, n 6=m (9.16)

Осталось показать, что весовая функция ρ1(x) удовлетворяет уравнению Пир-сона (9.1). Имеем

(σρ1)′ = σ′ρ1 +σρ′1 = σ′ρ1 +σ(σρ)′ = σ′ρ1 +στρ= (σ′+ τ)ρ1 = τ1ρ1, (9.17)

где τ1 =σ′(x)+τ(x) - линейная функция. Очевидно, что произведение xmσ(x)ρ1(x),m= 0,1, . . ., обращается в нуль в точках a и b.

4. Получим дифференциальное уравнение для классических ортогональных по-линомов.Запишем формулу (9.15) в виде

b∫a

p′n(x)(xm)′σ(x)ρ(x)dx= 0. (9.18)

Интегрируя по частям, получим

σ(x)ρ(x)p′n(x)xm∣∣ba−

b∫a

xmd

dx

[σ(x)ρ(x)dpn

dx

]dx= 0, (9.19)

откуда, используя уравнение Пирсона (9.1), находим

b∫a

xm[σρp′′n+p′n(σρ)′

]dx=

b∫a

xm[σp′′n+ τp′n

]ρdx= 0 (9.20)

при всех m< n. Обозначим

qn(x) = σ(x)p′′n+ τ(x)p′n. (9.21)

Полином n - й степени qn(x) разложим по системе классических ортогональныхполиномов

qn(x) =n∑i=1

aipi(x). (9.22)

Учитывая (??), получим

b∫a

qn(x)pm(x)ρdx=n∑i=0

ai

b∫a

pi(x)pm(x)ρdx= am

b∫a

p2mρdx= 0, (9.23)

откуда am = 0 приm<n и, следовательно, qn(x) = anpn(x). Обозначив λn =−an,будем иметь

σ(x)p′′n+ τ(x)p′n+λnpn = 0. (9.24)

9.1 Классические ортогональные полиномы 85

Уравнение (9.24) можно записать в самосопряженной форме. Для этого умно-жим (9.24) на ρ(x) и, используя уравнение Пирсона (9.1), приведем его квиду

d

dx

[σρdpndx

]+λnρpn = 0. (9.25)

5. В случае конечного отрезка [a,b] в силу поведения функции ρ(x)σ(x) приx−→ a или x−→ b граничные точки отрезка [a,b] являются особыми точкамиуравнения (9.25)). Тем самым классические ортогональные полиномы являютсясобственными функциями краевой задачи Штурма - Лиувилля для уравнения(9.25)) на отрезке [a,b] с условиями ограниченности в граничных точках:

d

dx

[σρdy

dx

]+λρy = 0, x ∈ (a,b)

|y(a)|<∞, |y(b)|<∞.(9.26)

При постановке задачи Штурма - Лиувилля граничные условия выделяютодно из двух линейно независимых решений линейного дифференциальногоуравнения второго порядка.Поскольку в силу теоремы Вейерштрасса ортогональные полиномы образуютна конечном отрезке полную и замкнутую систему, для них имеет местотеорема разложимости Стеклова и они исчерпывают все собственные функциикраевой задачи (9.26). В самом деле, если предположить, что при некоторомзначении параметра λ, отличного от λn, существует собственная функция y(x)задачи (9.26), не являющаяся классическим ортогональным полиномом, то всилу общих свойств собственных функций непрерывная функция y(x) должнабыть ортогональна ко всем функциям системы классических ортогональныхполиномов {pn(x)} и в силу замкнутости этой системы тождественно равнанулю.Найдем выражение для собственных значений задачи (9.26). Выпишем коэф-фициент при xn в уравнении (9.24). Поскольку

σ(x) = σ(0) +xσ′(0) + x2

2 σ′′, τ(x) = τ(0) +xτ ′, (9.27)

то, подставляя эти выражения в (9.24), получим коэффициент при xn в виде{12σ′′n(n−1) + τ ′n+λn

}an, (9.28)

где

pn(x) = anxn+an−1x

n−1 + . . . , an 6= 0. (9.29)

Отсюда, приравнивая коэффициент при x∗n в уравнении (9.24) нулю, получим

λn =−n(τ ′+ n−1

2 σ′′). (9.30)

6. Уравнение (9.25) можно записать в виде

d

dx

[ρ1(x)dpn

dx

]+λnρpn = 0. (9.31)

86 Лекция

где ρ1(x) = σ(x)ρ(x). Так как производные m - го порядка p(m)n классических

ортогональных полиномов снова являются классическими ортогональнымиполиномами, то получим для них уравнение

d

dx

[ρm+1(x)dp

(m)n

dx

]+λnmρmp

(m)n = 0, (9.32)

где

λnm =−(n−m)[(n−m−1)σ

′′

2 + τ ′], m= 0,1, . . . , ρ0 = ρ, λn0 = λn. (9.33)

7. Получим явное представление для классических ортогональных полиномов. Всилу уравнения (9.32)

ρmp(m)n =− 1

λnm

d

dx

(ρmp

(m+1)m+1

), (9.34)

и, в частности, рекуррентно применяя последнюю формулу, находим

9.1 Классические ортогональные полиномы 87

88 Лекция

9.1 Классические ортогональные полиномы 89