§9 ． 2 偏 导 数
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§9 ． 2 偏 导 数. 一、偏导数概念及其计算 二、高阶偏导数. 一、 偏导数定义及其计算法. 引例 :. 研究弦在点 x 0 处的振动速度与加速度 ,. 就是. 将振幅. x 0 处 ,. 求. 关于 t 的. 中的 x 固定于. 一阶导数与二阶导数. 定义 1. 设函数. 在点. 的某邻域内. 极限. 则称此极限为函数. 存在 ,. 的偏导数，记为. 注意 :. 同样可定义对 y 的偏导数. 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处. - PowerPoint PPT Presentation
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§9 ． 2 偏 导 数 • 一、偏导数概念及其计算• 二、高阶偏导数
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一、 偏导数定义及其计算法引例 : 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
),( txu
0xo x
u
中的 x 固定于 求一阶导数与二阶导数 .
x0 处 ,
),( 0 txu
关于 t 的将振幅
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定义 1. ),( yxfz 在点
存在 , xyxyxfz 对在点 ),(),( 00
的偏导数，记为
),( 00 yx 的某邻域内
;),( 00 yxxf
xx 0 0x
则称此极限为函数极限
设函数
)( 0xf)()( 00 xfxxf
x0limx
x
;),( 00 yxxz
0dd
xxxy
.),( 001 yxf
xyxfyxxf
x
),(),(lim 00000
),( 00 yxf x注意 :
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同样可定义对 y 的偏导数 lim
0
y),( 00 yxf y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处则该偏导数称为偏导函数 , 也简称为
偏导数 ,
),(,),( 2 yxfyxf y
) ,( 0xf ),( 0xf
y
记为
yy 0 0y
或 y 偏导数存在 ,
,,, yzyf
yz
对 x
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例如 , 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
xxx
?),,( zyxf y
?),,( zyxf z
x
偏导数定义为
( 请自己写出 )
对 x 的
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二元函数偏导数的几何意义 :
00 ),(
dd
0
0xxyxf
xxf
xxyy
0
),(yyyxfz
xTM 0
00 ),(
dd
0
0yyyxf
yyf
xxyy
是曲线 yTM 0
在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率 .
在点 M0 处的切线斜率 .
是曲线y
x
z
0x
yT
o
xT
0y
0M
对 y 轴的
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函数在某点各偏导数都存在 ,
显然
例如 ,
0,0
0,),(
22
2222
yx
yxyxyx
yxfz
0
0
注意：但在该点不一定连续 .
在上节已证 f (x , y) 在点 (0 , 0) 并不连续 !
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例 1 . 求 22 3 yyxxz
解法 1: xz
)2,1(xz
解法 2:)2,1(x
z
在点 (1 , 2) 处的偏导数 .
)2,1(yz
,32 yx yz
yx 23
)2,1(yz
462 xx
1xz231 yy
2yz
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例 2. 设 ，）且 1,0( xxxz y
zyz
xxz
yx 2
ln1
证 :
yz
xxz
yx
ln1
例 3. 求 的偏导数 . (P14 例 4)解 :
xr
求证
z2
2222 zyx
x2rx
rz
zr
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二、高阶偏导数设 z = f (x , y) 在域 D 内存在连续的偏导数
),(,),( yxfyzyxf
xz
yx
若这两个偏导数仍存在偏导数，
)(xz
)(yz
x
)(xz
y
),()( 2
2yxf
yz
yz
y yy
则称它们是 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同 , 有下列四个二阶偏导
2
2
xz
);,( yxf xx
yxz
2
),( yxf yx
);,(2
yxfxyz
xy
x
数 :
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yxe 22
例 5. 求函数 yxez 2 .2
3
xyz
解 : xz
2
2
xz
) ( 2
2
3
xyz
xxyz
yz
xyz2
yxz2
2
2 yz
注意 : 此处 ,22
xyz
yxz
但这一结论并不总成立 .
yxe 2 yxe 22
yxe 2 yxe 22
yxe 22 yxe 24
的二阶偏导数及
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0,
)(4 22
222
4224
yx
yxyyxxx
yfyf xx
y
)0,0(),0(lim0
),( yxf y
例如 ,
),( yxf x
)0,0(yxf
xfxf
f yy
xxy
)0,0()0,(lim)0,0(
0
二者不等yy
y
0lim 1
xx
x
0lim 1
),( yxf
0,0 22 yx
0,)(
4 22222
4224
yx
yxyyxxy
0,0 22 yx
0, 2222
22
yxyxyxyx
0,0 22 yx
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例 6. 证明函数 满足拉普拉斯02
2
2
2
2
2
zu
yu
xu
证：
2
2
xu
利用对称性 , 有 ,315
2
32
2
ry
ryu
2
2
2
2
2
2
zu
yu
xu
u方程
31r
xr
rx
4
35
2
331rx
r
5
2
32
2 31rz
rzu
5
222
3)(33
rzyx
r
2r
0
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,),()()( 00 连续都在点和若 yxx,yfx,yf xyyx
),(),( 0000 yxfyxf xyyx
则定理 .
例如 , 对三元函数 u = f (x , y ,z) ,
说明 :
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立 .
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序 .
因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,
当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时 , 有
而初等
( 证明略 )
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证 : 令 ),(),(),( 0000 yxxfyyxxfyxF
),(),()( 00 yxfyyxfx
则 ),( yxF
xyxxfyyxxf xx ]),(),([ 010010
),(),()( 00 yxfyxxfy
,),()()( 00 连续都在点和若 yxx,yfx,yf xyyx
),(),( 0000 yxfyxf xyyx
则
)()( 00 xxx
定理 .
令
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),(),(),( 0000 yxxfyyxxfyxF 同样
)()( 00 yyy
yxyyxxf xy ),( 4030 )1,0( 43
),(),( 0000 yxfyxf xyyx
）（）（因 yxfyxf xyyx ,,, ,0x故令
),( 4030 yyxxf xy ),( 2010 yyxxf yx
在点 )( 00 yx ， 连续 ,得0y
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内容小结1. 偏导数的概念及有关结论• 定义 ; 记号 ; 几何意义• 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续• 混合偏导数连续 与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法• 求一点处偏导数的方法
先代后求先求后代利用定义
• 求高阶偏导数的方法 逐次求导法( 与求导顺序无关时 , 应选择方便的求导顺序 )
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作业P18 1 （ 4 ） , （ 6 ） , （ 8 ）； 3 ； 5 ；
6 （ 3 ）； 7 ； 8 ； 9 （ 2 ）
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