9.05.2018

1

2 - 1

Karadeniz Technical UniversityDepartment of Electrical and Electronics Engineering

61080 Trabzon, Turkey

2 - 2

Legal Notice

The use of these lecture notes are limited to those who are attending to the course.They are not allowed for copying, printing, distributing or selling to the third

parties in any format.

9.05.2018

2

2 - 3

Fuzzy Sets

GİRİŞ

sarıturuncu

yeşil

mavi

beyazsiyah

RENKLER

17 3

5

9

1513

11

15 ‘e kadar tek sayılar

12

4

1721

Kesin kümeler, elemanları ve ait olma dereceleri

2 - 4

0

25

60

çocuk

genç

yaşlı

025

60

çocuk

genç

yaşlı

60

yaşlı

Yaş uzayı0

1yaşlı

Yaş uzayı

1

060

Fuzzy Sets

9.05.2018

3

2 - 5

Herhangi bir bulanık küme, elemanlarının ait olma derecelerinigösteren bir karakteristik veya üyelik fonksiyon ile temsil edilebilir.

(ayrık biçim)

(sürekli biçim)

Fuzzy Sets

2 - 6

ÖRNEK 2.1.Aşağıdaki gibi ayrık biçimde verilen A bulanık kümesiniX={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} kesin sayı uzay kümesinde grafiklegösteriniz.

ÇÖZÜM 2.1. MATLAB ile grafik çizimi % ORNEK 2.1clear; clg;uf=[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.6 0.4 0.1 0];X=0:1:9;plot(X,uf,'o',0,1.2); axis([-inf inf 0 1.2]);hold onfor k=1:length(X)plot([X(k) X(k)],[0 uf(k)],'-');end; hold offxlabel('X kesin uzayi');ylabel('Uyelik Dereceleri')0 2 4 6 8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X kesin uzayı

Üye

likde

rece

leri

m(x)

Fuzzy Sets

9.05.2018

4

2 - 7

ÖRNEK 2.2. Aşağıdaki gibi sürekli biçimde tanımlanan 5’e yakınsayılar kümesini grafikle gösteriniz.

ÇÖZÜM 2.2. MATLAB ile grafik çizimi

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X kesin uzayi

Uye

likD

erec

eler

i

% ORNEK 2.2clear; clg;x=0:0.01:10;uf=1./(1.+3*(x-5).^2);plot(x,uf,0,1.2);xlabel('X kesin uzayi');ylabel('Uyelik Dereceleri')

ÖDEV 2.1

Ayrık ve sürekli bulanık kümeleregerçek hayattan en az ikişer örnekbulup MATLAB ortamında çizdiriniz.Bulduğunuz örneklerin neden ayrık vesürekli olduklarını açıklayınız.

Fuzzy Sets

2 - 8

Üçgen üyelik fonksiyonu

% **************************************% Üçgen Üyelik Fonksiyonu% *************************************% Girişler: üçgenin x1, x2 köşeleri ve tepe% değerine karşılık gelen xT değeri ile x değişkeniclear; clg; clc;x1=-1; xT=0; x2=1x=-2:0.001:5;

a=(x-x1)/(xT-x1);b=(x2-x)/(x2-xT);c=0;UCGEN=max(min(a,b),c);

plot(x,UCGEN);xlabel('x kesin sayisi'); ylabel('Uyelik Derecesi');grid

X kesin uzayı

0

1

x1 x2xT

x1 < xT < x2

Fuzzy Sets

9.05.2018

5

2 - 9

Yamuk üyelik fonksiyonu

x1 < xT1 < xT2 < x2

-2 -1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x kesin sayısı

Uyel

ikDe

rece

si

x1x2xT2xT1

% ***********************************% YAMUK Üyelik Fonksiyonu% **********************************% Girişler:% yamuğun x1, xT1, xT2, x2 köşelerine% karşılık gelen x değerleri ve x değişkeniclear; clg; clc;x1=-3; xT1=-0.5; xT2=0.5;x2=1.5;x=-5:0.01:2;

a=(x-x1)/(xT1-x1);b=1;c=(x2-x)/(x2-xT2);d=0;YAM=min(a,c);YAMUK=max(min(YAM,b),d);

plot(x,YAMUK)xlabel('x kesin sayisi');ylabel('Uyelik Derecesi'); grid

Fuzzy Sets

2 - 10

Gaussian üyelik fonksiyonu % ****************************% GAUSSIAN Uyelik Fonksiyonu% ****************************% Girişler:% Tepe değre karşılık gelen xT,% genişlik w ve x değişkeniclear; clg; clc;xT=0; w=1.5; x=-5:0.01:5;a=(x-xT)/w; b=-(1/2)*(a.^2);GAUSS=exp(b);plot(x,GAUSS);xlabel('x kesin sayisi');ylabel('Uyelik Derecesi');grid

-5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x kesin sayisi

Uye

likD

erec

esi

xT

W=1.5

Eğer w parametresinin değeri çok artırılırsa,gaussian biçimli üyelik fonksiyonu bir sinüs eğrisigibi dalgalanmaya başlar. Çok küçük wdeğerlerinde ise fonksiyon daralır. w yeterinceküçük olursa, fonksiyon tam merkezde bir çizgihalini alır.

Fuzzy Sets

9.05.2018

6

2 - 11

Çan üyelik fonksiyonu

% ******************************% Çan Üyelik Fonksiyonu% ******************************% Girişler :% Merkezdeki xT,% 0.5 üyelik derecesindeki d genişliği% ve m eğim katsayısı ile x değişkeni.clear; clg; clc;xT=0; d=2; m=4;x=-5:0.01:5;

A = (abs((x-xT)/d)).^(2*m);CAN=1./(1.+A);

plot(x,CAN);xlabel('x kesin sayisi');ylabel('Uyelik Derecesi'); grid

d : göbek genişliğini ayarlar.m>0 : düz tepe genişliğini ayarlar.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x kesin sayisixTxa xb

Uye

likD

erec

esi

d

Fuzzy Sets

2 - 12

Cauchy üyelik fonksiyonu% ***********************************% Cauchy üyelik fonksiyonu% ***********************************% Girişler: % Merkezdeki xT,% üyelik derecesi=0.5 deki yarı genişlik a% eğim m, ve değişken x% b >= 1 özel bir can eğrisi verir.% b=5 örnek bir çan olur.% ***********************************clear; clg; clc;xT=0; d=2; m=1; POW1= 2*m;x=-5:0.01:5;

CAUCH=((x-xT)/d).^POW1;CAUCHY=1./(1.+CAUCH);

plot(x,CAUCHY)xlabel('x kesin sayisi');ylabel('Uyelik Derecesi'); grid

Cauchy fonksiyonu Gaussian fonksiyonden türetilmiştir.d ve m çan üyelik fonksiyonundaki özelliklere sahiptirler.

-5 0 50.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x kesin sayisi

Uye

likD

erec

esi

xT

dd

Fuzzy Sets

9.05.2018

7

2 - 13

Sinüsoid üyelik fonksiyonu

x=xT değeri bir parametre olarak girilir.

xT değeri üyelik fonksiyonunun yerini belirler

x=xT değerinde sin(w xT) =1 olmalıdır

Böylece kullanılan yarım periyotluk aralık: T=2xT

üyelik fonksiyonun alt ve üst sınırları, x1 ve x2:

x1=xT-D ve x1=xT+D

Şeklinde belirlenebilir. Burada D=T/2 dir.

Fuzzy Sets

2 - 14

% ***************************************% Sinusoid Uyelik Fonksiyonu% ***************************************% Girisler : xT degeri ve x degiskeni% Hesaplanan: x1, x2, T, ve Dclear; clf; clgxT=2; T=2*xT;D=T/2;x1=xT-D; x2=xT+D;x=x1:0.001:x2; w=pi/T;A=abs(sin(w*x)); % sinus fonksiyonplot(x,A); xlabel('x kesin degiskeni');ylabel('SINUSOID UF')grid

Sinüsoid üyelik fonksiyonu (devam...)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x kesin degiskeni

SIN

USO

IDU

F

xTx1 x2

T

DD

Fuzzy Sets

9.05.2018

8

2 - 15

Sigmoid üyelik fonksiyonu

a < 0 ise fonksiyon sola bakar.a > 0 ise fonksiyon sağa bakar.a=0 ise fonksiyon mA(x)=0.5 değerinde sabit kalan yatay bir çizgidir.a parametresi aynı zamanda sigmoid fonksiyonun x=c iken mA(x)=0.5değerinden geçiş eğimini de belirler.

Fuzzy Sets

2 - 16

% ************************************% Sigmoid Üyelik Fonksiyonu% ************************************clear; clg; clfx=-5:0.001:5; % X genel uzayiar=4; cSG=3; % Sağ egriaL=-4; cSL=-3; % sol egriSIGMOR=(1./(1+exp(-ar*(x-cSG))));SIGMOL=(1./(1+exp(-aL*(x-cSL))));plot(x,SIGMOR,x,SIGMOL)xlabel('X genel uzayi');ylabel('Sigmoid UF'); grid

-5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X genel uzayi

Sigm

oid

UF

aL arcSGcSL

0.5

Sigmoid üyelik fonksiyonu (devam)

Fuzzy Sets

9.05.2018

9

2 - 17

Yaş genel uzayında BEBEK, ÇOCUK, GENÇ, ORTA YAŞLI ve YAŞLI bulanık kümeleriverilmektedir.

Bu kümeleri, maksimum üyelikleri sırasıyla 0, 10, 20, 40 v e 60 yaşlarına karşılık gelecekbiçimde aynı şekil üzerinde grafikle gösteriniz.

Bu kümelerden hangilerinin ara, hangilerinin kenar küme olduklarını tespit ediniz.

Bu kümelerden hangilerini azalan veya artan sigmoid fonksiyonlarla temsil edebilirsiniz?

Azalan veya artan sigmoid fonksiyonlar yerine dik üçgen yapısına sahip üçgenfonksiyonlar kullanabilir misiniz?

GENÇ ve ORTA YAŞLI bulanık kümelerini hangi tür üyelik fonksiyonları ile temsil etmekuygun olur?

BEBEK ve YAŞLI kümelerini eşkenar üçgen, yamuk, çan, gaussian veya sinüsoid üyelikfonksiyonları ile temsil etmek doğru olur mu?

Bu bulanık kümeleri MATLAB ortamında çizdiriniz.

ÖDEV

Fuzzy Sets

2 - 18

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Uye

likD

erec

esim(x)

x kesin sayisi-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

göbek

Geçiş noktalarıBant genişliği

a=0.2 kesmesi

destek

sınır sınır

yüks

eklik

m(x)=a=0.2

Fuzzy Sets

9.05.2018

10

2 - 19

Göbek :

Geçiş noktaları :

Sınır : sınır(A)=boundry(A)={x, öyle ki 0<mA(x)<1}

gecis(A)=crosover(A)={x, öyle ki mA(x)=0.5}

destek : destek(A)=support(A)={x, öyle ki mA(x)>0}

a-kesmesi :

Bant genişliği:

BW(A)={x, öyle ki xÎA0.5 }

Fuzzy Sets

2 - 20

Yükseklik : Yükseklik(A)=height(A)=max[mA(x)]

Bükeylik :

Fuzzy Sets

9.05.2018

11

2 - 21

ÖRNEK 2.3. Aşağıda verilen A bulanık kümesinin göbeğini, geçişnoktalarını, sınırlarını, a=0.2, 0.6, ve 0.8 kesme kümesinive bu kesme kümelerine ilişkin seviye kümelerini, destekkümesini, ve yüksekliğini bulunuz. A kümesinin normalolup olmadığını belirtiniz.

ÇÖZÜM 2.3.

ÇÖZÜMöğrenciyebırakıldı

Fuzzy Sets

2 - 22

• Bu ayrıtta tanımlanan bulanık küme özelliklerinin herbirini verilen herhangi bir bulanık küme içinbulunmasını sağlayacak bir MATLAB yazılımgerçekleştiriniz. Gerçekleştirdiğiniz yazılımı kullanarakÖrnek 2.3 de istenilenleri bulup sonuçlarınızı Çözüm 2.3ile karşılaştırınız.

• Bu ayrıtta verilen bütün bulanık kümeler için birerMATLAB fonksiyonu oluşturunuz. Öyle ki parametrelerinigirdiğinizde bu fonksiyon gerekli üyelik değerini versin.

ÖDEV

Fuzzy Sets

9.05.2018

12

2 - 23

BULANIK KÜME İŞLEMLERİ

Kesin kümelerde olduğu gibi, bulanık kümelerde de alt küme, boş küme,kesişim kümesi, birleşim kümesi ve değilleme gibi tanımlar vardır.

Genel kesin sayı uzayının farklı bulanık bölgelere ayrıştırılması, yanibölmelenmesi, bulanık bölmeleme (fuzzy partition) olarak isimlendirilir.

Bulanık kümeler arasında yapılan işlemlerden uygulamada en fazla kullanılanüçü aşağıda sıralanan işlemlerdir.

v Kesişim (intersection) işlemi

v Birleşim (union) işlemi

v Tümleme (complement) (değilleme)

Fuzzy Sets

2 - 24

Kesişim İşlemi (Intersection: T-Norm)

C=AÇB

AND işlemi

Fuzzy Sets

9.05.2018

13

2 - 25

Kesişim işlemi aynı zamanda T-norm (Triangular - norm) olarak da isimlendirilir

Kesişim İşlemi (Intersection: T-Norm) devam....

İki bulanık kümenin kesişimi aşağıdaki koşul ve özellikleri sağlamalıdır.

Koşul 1. Sınır koşulu Kesin küme teorisindeki klasikkesişim özelliğini gösterir.

Koşul 2. Değişme özelliği

Koşul 4. Birleşme özelliği

Boundary condition

Commutativity

Associativity

Koşul 3. Monotonluk özelliğimontonic

Fuzzy Sets

2 - 26

Kesişim İşlemi (Intersection: T-Norm) devam....

Koşul 5. Süreklilik özelliğiEk koşullar:

Kesişim işlemi t sürekli bir fonksiyon olmalıdır.

Tablo 2.1 - Temel bulanık kesişim (t-norm) fonksiyonları

tY(a,b)=1-min{1,[(1-a)W+(1-b)W]1/W}, w > 0YagertDP(a,b)=ab/max{a,b,a}, a Î (0,1)Dubois and PradetH(a,b)=ab/[g+(1-g)(a+b-ab)], g³0Hamacher

tZK(a,b)=Zayıf Kesişim

tAÇ(a,b)=abAritmetik ÇarpımtL(a,b)=max{a+b-1, 0}LukasiewicztZ(a,b)=min{a,b}Zadeh (minimum)

Koşul 6. Tek kuvvet (aynılık) özelliği(idempotent)

Fuzzy Sets

9.05.2018

14

2 - 27

Ödev 2.4Aşağıda verilen a ve b bulanık kümeleri için Tablo 2.1 de verilen fonksiyonlarıkullanarak kesişim işlemlerinin sonuçlarını elde ediniz.

a={1, 0.75, 0.5, 0.25, 0}, b={0, 0.25, 0.5, 0.75, 1}Notlar :a. Hamacher kesişimi için g1 =0.2, g2=0.5, g3=1, ve g4=2 alarak

çözünüzb. Dubois ve Prade kesişimi için a1=0.2, a2=0.5, ve a3=0.8 alarak

çözünüz.c. Yager kesişimi için w1=1, w2=2, ve w3=¥ alarak çözünüz.

YAGER Kesişiminin verilen w değerleri için aşağıdaki fonksiyonlaradönüştüğünü göz önüne almayı unutmayınız.

w1=1 için, = kuvvetli kesişim

Fuzzy Sets

2 - 28

Ödev 2.4 (devam...)

YAGER Kesişiminin verilen w değerleri için aşağıdaki fonksiyonlaradönüştüğünü göz önüne almayı unutmayınız.

w1=1 için, = kuvvetli kesişim

w2=2 için

w¥=¥ için

= Zayıf kesişim

Fuzzy Sets

9.05.2018

15

2 - 29

Birleşim İşlemi (Union: T-Conorm)

C=AÈB

OR işlemi

Fuzzy Sets

2 - 30

Birleşim İşlemi (Union: T-Conorm) (devam...)

Koşul 1. Sınır koşulu

Koşul 2. Değişme özelliği

Koşul 3. Monotonluk özelliği

Koşul 4. Birleşme özelliği

İki bulanık kümenin birleşimi aşağıdaki koşul ve özellikleri sağlamalıdır.

Kesin küme teorisindeki klasikbirleşim özelliğini gösterir.

Fuzzy Sets

9.05.2018

16

2 - 31

Koşul 5. Süreklilik özelliğiEk koşullar:

birleşimi işlemi s sürekli bir fonksiyon olmalıdır.

Koşul 6. Tek kuvvet (aynılık) özelliği

Birleşim İşlemi (Union: T-Conorm) (devam...)

Tablo 2.2 - Temel bulanık birleşim (t-conorm=s-norm) fonksiyonları

sY(a,b)=min{1, [aW+bW]1/W }, w > 0Yager

sH(a,b)=[a+b-(2-g)ab] / [1-(1-g)ab], g ³ 0Hamacher

sKB(a,b)=Kuvvetli birleşim

sA(a,b)=a+b-abAritmetik

sL(a,b)=min{a+b, 0}Lukasiewicz

sZ(a,b)=max{a,b}Zadeh (maximum)

Fuzzy Sets

2 - 32

Ödev 2.5Aşağıdaki a ve b bulanık kümeleri için Tablo 2.2 de verilen fonksiyonlara ilişkinbirleşim işlemlerinin sonuçlarını elde ediniz.

a={1, 0.75, 0.5, 0.25, 0}, b={0, 0.25, 0.5, 0.75, 1}

Notlar

a. Hamacher birleşimi için g1 =0.2, g2=0.5, g3=1, ve g4=2 alarakçözünüz

b. Dubois ve Prade birleşimi için a1=0.2, a2=0.5, ve a3=0.8alarak çözünüz.

c. Yager birleşimi için w1=1, w2=2, ve w3=¥ alarak çözünüz.

Birleşim İşlemi (Union: T-Conorm) (devam...)

Fuzzy Sets

9.05.2018

17

2 - 33

YAGER Kesişiminin verilen w değerleri için aşağıdaki fonksiyonlara dönüştüğünü gözönüne almayı unutmayınız.

Birleşim İşlemi (Union: T-Conorm) (devam...)

w1=1 için, zayıf (yumuşak) birleşim

w2=2 için

w¥=¥ için

= Güçlü birleşim

w değeri arttıkça birleşim işleminin gücü de artmaktadır.

Ödev 2.5 (devam...)

Fuzzy Sets

2 - 34

Değilleme İşlemi (Bulanık Tümleyen)

Bir bulanık kümenin değili NOT=DEĞİL işlemine karşılık gelir.

A=genç,B=orta yaşlı

Genç=A Genç Değil=

NOT işlemi

C = not A = A değil =

Fuzzy Sets

9.05.2018

18

2 - 35

Bir bulanık kümenin degili aşağıdaki koşul ve özellikleri sağlamalıdır.

Değilleme İşlemi (Bulanık Tümleyen) (devam...)

Koşul 1. Sınır koşulu

Koşul 2. Monotonluk özelliği

Kesin küme teorisindeki klasikdeğilleme özelliğini gösterir.

Önemli iki ek koşul:

Koşul 3. Süreklilik özelliği değilleme işlemi d sürekli bir fonksiyon olmalıdır.

Koşul 4. Tek kuvvet (aynılık) özelliği

Denge noktası: 1-a=a olması gibi.

Fuzzy Sets

2 - 36

Sugeno değillemesi

Değilleme İşlemi (Bulanık Tümleyen) (devam...)

a Î [0,1] ve l Î (-1, ¥)wÎ (0, ¥)

değilleme işleminin en çok bilinen iki alt sınıfı

Yager değillemesi

Fuzzy Sets

9.05.2018

19

2 - 37

De Morgan Yasaları

ÖDEV 2.6

Şekildeki makara sisteminde makaraya geçirilmiş olan ipiniki ucu aşağıya sarkıtılmış ve bu uçlara 10 kg lık ağırlıklarbağlanmıştır. Eğer ağırlıklardan birisi düşerse diğer ağırlık daipi çekip düşürmektedir. Makara sürtünmesiz kabuledildiğinden, ağırlıklardan birinin asılı kalabilmesi diğerininde asılı kalması şartına bağlıdır.

Bu sistemin dengede kalabildiği ve kalamadığı iki durumuDeMorgan yasasıyla ifade ediniz.

Fuzzy Sets

2 - 38

BULANIKLILIK AYARI

Bulanık Sözler (Sözel degişkenler) için örnekler:

çocuk, genç, yaşlı, kısa, orta, uzun, soğuk, ılık, sıcak, küçük, normal,büyük, yavaş, hızlı, yumuşak, sert, v.b.

Bulanık betimleyici olarak kullanılabilen bulanık sözler:

çok, az, biraz, fazla, azıcık, epeyce, hemen hemen, şöyle böyle, civarında,...e yakın, ...den uzak, neredeyse, aşağı yukarı, daha, tamamı ile, oldukça,vb.

Sözel değişkenler:

çok yaşlı, az yaşlı, biraz yaşlı, oldukça yaşlı, yaşlı değil, fazla yaşlı değil, vb.

Fuzzy Sets

9.05.2018

20

2 - 39

5’e yakın=

5’e çok yakın =

Yakın= mA(x)

Çok Yakın= [mA(x)]2

Çok çok Yakın= [[mA(x)]2]2

Az yakın= [mA(x)]0.5

Fuzzy Sets

2 - 40

Odaklama (concentration)

Çok(A)= a pozitif tam sayı

Çok(A)= a Î [0,1]veya

Bu ikinci bağıntıda genlik küçülmesine dikkat!

Fuzzy Sets

9.05.2018

21

2 - 41

ÖRNEK 2.4.

A bulanık kümesi

olarak verilmektedir. Bu kümenin odaklanmış biçimini verilen her ikibağıntıyı da kullanarak elde ediniz.

ÇÖZÜM 2.4.

Fuzzy Sets

2 - 42

%************************% ORNEK 2.4 - Odaklama%************************clear; clc; clgX=[1 2 3 4 ];A=[0 0.2 0.8 1];A2=A.^2;A3=0.5*A;plot(X,A,X,A2,X,A3);holdplot(X,A,'o',X,A2,'+',X,A3,'*');xlabel('X kesin uzayi')ylabel('Uyelik derecesi')grid; hold

ÇÖZÜM 2.4. (devam...)

Fuzzy Sets

9.05.2018

22

2 - 43

Genişletme (dilation)

az(A) = DIL(A) = A1/2 = A0.5

Hassas Ayarlama (contrast intensification)

Ha(A)=

üyelik fonksiyonunun 0.5 üyelik değeri aynı kesin sayıya karşılık gelecekşekilde, üyelik fonksiyonunun 0.5 den büyük üyeliklere sahip bölümüne azişlemi, yani dilation, uygulanırken 0.5 den küçük üyeliklere sahip bölümünede çok işlemi, yani concentration uygulanmaktadır. Hassas ayarlama işlemi;

Fuzzy Sets

2 - 44

Hassas Ayarlama (contrast intensification) devam....

Fuzzy Sets

9.05.2018

23

2 - 45

Örnek 2.5Soğuk, ılık, ve sıcak bulanık sözleri şekildeki gibi Gaussian fonksiyonlarıile sıcaklık uzayında tanımlansınlar. Bu bulanık sözler çok betimleyicisiile birlikte kullanıldıklarında çok soğuk, çok ılık, ve çok sıcak sözeldeğişkenlerini meydana getirirler. Çok betimleyicisi aslında bir bulanıksayının odaklanması, yani üyelik değeri 1 olan bölgeye doğru daraltılmasıişlemini yapmaktadır. Zadeh* tarafından yapılan tanıma göre ;

çok soğuk= (soğuk)2, çok ılık= (ılık)2, çok sıcak= (sıcak)2

biçiminde ifade edilebilirler. Şekil a da çok betimleyicisinin etkisi, Şekilb de ise az betimleyicisinin etkisi görülmektedir.

* L.A. Zadeh, "Outline of a new approach to the analysis of complex systems anddecision processes", IEEE Transactions on Systems, man, and Cybernetics, Vol.SMC-3, No. 1,.28-44, January 1973.

Fuzzy Sets

2 - 46

Fuzzy Sets

9.05.2018

24

2 - 47

Fuzzy Partition

Partitioning of a universe of discourse into sub categories isnot an easy distinguishable task. There are uncertainty intransition parts from one category to the other and a fuzzypartioning is required to represent the uncertainty duringthese transition.

The support set of each sub category can be defined as

2 - 48

Fuzzy Partition

9.05.2018

25

2 - 49

Fuzzy Partition

The membership function can bedefined in terms of the relatedsupport set. For example, let us usetriangular type fuzzy membershipfunctions to represent the sub-categories given in Figures

2 - 50

Fuzzy Partition

ExampleAs a first step, let us determine the parameters for triangular fuzysubsets according to the definitions made in question part and put themin a table form. Since a triangular type fuzzy subset is represented by amembership function in terms of its parameters x1, x2 and x3 as inEquations above, lets obtain these parameters from the survey datashown in Figures above.

Fuzzy subset xL xP xR

Infant 0 0 7

Child 1 10 20

Young 11 26 40

Middle aged 24 44 65

Old 40 70 70

Parameters oftriangular membershipfunctions from thesurvey data

9.05.2018

26

2 - 51

Fuzzy Partition

As a second step, let us plot them in the defined universe ofdiscourse, age.

2 - 52

Fuzzy Partition

P3.6. A crisp color spectrum is shown in Figure P3.6. Each colorrepresents an operating condition as no load (NoL), light load (LL),nominal load (NomL), heavy load (HL), extra heavy load (EHL)and faulted (F) condition.

Convert the crisp color spectrum given in Figure P3.6 into a fuzzycolor spectrum representing the fuzzy operating conditions.

Crisp color spectrum representing crisp operating conditions.

9.05.2018

27

2 - 53

Fuzzy Partition

P3.7. The fuzzy color spectrum shown in Figure P3.7a is partitionedinto six sub categories, which are representing the thermal colors ofloading conditions in a power line. The sub categories are defined as noload (NoL), light load (LL), nominal load (NomL), heavy load (HL),extra heavy load (EHL) and faulted (F) condition.

Color spectrum representing fuzzy loading conditions.

2 - 54

Fuzzy Partition

Thermal pictures of a power transmission line are taken at differentinstants under various operating conditions and given in Figure P3.7b.According to the partition space given in Figure P3.7a, determine theoperating condition of each case.

Thermal pictures of a powr transmission line under different loadings.

9.05.2018

28

2 - 55

Type-2 Fuzzy Sets

1. Jerry M. Mendel and Robert I. Bob John, Type-2 Fuzzy Sets MadeSimple, IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS, VOL.10, NO. 2, APRIL 2002, pp. 117-127.

2. Jerry M. Mendel, “Type-2 Fuzzy Sets:Some Questions andAnswers”, IEEE Neural Networks Society, August 2003, pp.10-13.

2 - 56

Type-2 Fuzzy Sets

Type-2 fuzzy sets let us model and minimize the effects of uncertainties inrule-base fuzzy logic systems. However, they are difficult to understandfor a variety of reasons which we enunciate.

we strive to overcome the difficulties by:1) establishing a small set of terms that let us easily communicate about

type-2 fuzzy sets and also let us define such sets very precisely,

2) presenting a new representation for type-2 fuzzy sets, and

3) using this new representation to derive formulas for union,intersection and complement of type-2 fuzzy sets without having touse the Extension Principle.

INTRODUCTION

9.05.2018

29

2 - 57

Type-2 Fuzzy Sets

It is known that type-2 fuzzy sets let us model andminimize the effects of uncertainties in rule-based fuzzylogic systems (FLSs).

Unfortunately, type-2 fuzzy sets are more difficult to useand understand than are type-1 fuzzy sets;

Hence, their use is not yet widespread.

2 - 58

Type-2 Fuzzy Sets

There are (at least) four sources of uncertainties in type-1 FLSs:

(1) The meanings of the words that are used in the antecedents andconsequents of rules can be uncertain (words mean differentthings to different people).

(2) Consequents may have a histogram of values associated withthem, especially when knowledge is extracted from a group ofexperts who do not all agree.

(3) Measurements that activate a type-1 FLS may be noisy andtherefore uncertain.

(4) The data that are used to tune the parameters of a type-1 FLSmay also be noisy.

All of these uncertainties translate into uncertainties about fuzzy setmembership functions.

9.05.2018

30

2 - 59

Type-2 Fuzzy Sets

Type-1 fuzzy sets are not able to directly model such uncertaintiesbecause their membership functions are totally crisp.

On the other hand, type-2 fuzzy sets are able to model suchuncertainties because their membership functions are themselvesfuzzy.

Membership functions of type-1 fuzzy sets are two-dimensional,whereas membership functions of type-2 fuzzy sets are three-dimensional.

It is the new third-dimension of type-2 fuzzy sets that providesadditional degrees of freedom that make it possible to directly modeluncertainties.

2 - 60

Type-2 Fuzzy Sets

Type-2 fuzzy sets are difficult to understand and use because:

(1) the three-dimensional nature of type-2 fuzzy sets makes them verydifficult to draw;

(1) there is no simple collection of well-defined terms that let useffectively communicate abouttype-2 fuzzy sets, and to then bemathematically precise aboutthem (terms do exist but have notbeen precisely defined2 );

(1) derivations of the formulas for the union, intersection, andcomplement of type-2 fuzzy sets all rely on using Zadeh’sExtension Principle, which in itself is a difficult concept(especially for newcomers to FL) and is somewhat ad hoc, so thatderiving things using it may be considered problematic;

(1) using type-2 fuzzy sets is computationally more complicated thanusing type-1 fuzzy sets.

9.05.2018

31

2 - 61

Type-2 Fuzzy Sets

Here we focus on overcoming difficulties 1–3,

because doing so makes type-2 fuzzy sets easy to use andunderstand.

Difficulty 4 is the price one must pay for achieving betterperformance in the face of uncertainties, and is analogousto using probability rather than determinism.

3 We only touch on it very briefly here.

2 - 62

Type-2 Fuzzy Sets

Even in the face of these difficulties, type-2 fuzzy sets and FLSs havealready been used for (this list is in alphabetical order by application):

ü classification of coded video streams [29],ü co-channel interference elimination from nonlinear time-varying

communication channels [28],ü connection admission control [30],ü control of mobile robots [42], decision making [43], [2],ü equalization of nonlinear fading channels [20], [32], [25], [27],ü extracting knowledge from questionnaire surveys [15], [30],ü forecasting of time-series [17], [32], [26],ü function approximation [15],ü learning linguistic membership grades [12],ü pre-processing radiographic images [13],ü relational databases [3],ü solving fuzzy relation equations [41],ü and transport scheduling [10].

9.05.2018

32

2 - 63

Type-2 Fuzzy Sets

DEFINITIONS

Imagine blurring the type-1 membership function depicted in Fig. 1(a) by shiftingthe points on the triangle either to the left or to the right and not necessarily by thesame amounts, as in Fig. 1(b).

Fig. 1(a) Fig. 1(b)

2 - 64

Type-2 Fuzzy Sets

DEFINITIONS

Then, at a specific value of, x say x’, there no longer is a singlevalue for the membership function (u’); instead, themembership function takes on values wherever the verticalline intersects the blur.

Those values need not all be weighted the same; hence, wecan assign an amplitude distribution to all of those points.Doing this for all xÎX, we create a three-dimensionalmembership function—a type-2 membership function—thatcharacterizes a type-2 fuzzy set.

9.05.2018

33

2 - 65

Type-2 Fuzzy Sets

Definition 1:DEFINITIONS

A type-2 fuzzy set, denoted , is characterized by a type-2 membershipfunction

xÎX

Can also be expressed as

2 - 66

Type-2 Fuzzy Sets

DEFINITIONS

denotes union over alladmissible x and u.

Recall that the union of two sets A and B isby definition another set that contains theelements in either A or B.When we view each element of a type-2fuzzy set as a subset, then the unions in (2)conform to the classical definition of union,since each element of that set is distinct. Ata specific value of x and u only one term isactivated in the union.

For discrete universes of discourse is replaced by .

9.05.2018

34

2 - 67

Type-2 Fuzzy Sets

DEFINITIONS

5: the third dimension disappears.

2 - 68

Type-2 Fuzzy Sets

DEFINITIONS

Fig. 2. Example of a type-2 membershipfunction. The shaded area is the FOU.

9.05.2018

35

2 - 69

Type-2 Fuzzy Sets

DEFINITIONSDefinition 2:

(3)

2 - 70

Type-2 Fuzzy Sets

DEFINITIONS

Fig. 2. Fig. 3.

9.05.2018

36

2 - 71

Type-2 Fuzzy Sets

DEFINITIONS

Based on the concept of secondary sets, we can reinterpret a type-2 fuzzyset as the union of all secondary sets, i.e., using (3), we can re-expressin a vertical-slice manner, as

(4)

(5)

or

2 - 72

Type-2 Fuzzy Sets

DEFINITIONSDefinition 3:

Definition 4:

(5)

9.05.2018

37

2 - 73

Type-2 Fuzzy Sets

(6)

In this equation, + , also denotes union.Observe that x has been discretized intoN values and at each of these values uhas been discretized into Mi values. Thediscretization along each uik does nothave to be the same, which is why wehave shown a different upper sum foreach of the bracketed terms. If, however,the discretization along each uik is thesame, thenM1=M2= ........=MN=M.

2 - 74

Type-2 Fuzzy Sets

9.05.2018

38

2 - 75

Type-2 Fuzzy Sets

The shaded region in Fig. 1 is the FOU. Other examples of FOUs aregiven in Fig. 4. The term footprint of uncertainty is very useful, because itnot only focuses our attention on the uncertainties inherent in a specifictype-2 membership function, whose shape is a direct consequence of thenature of these uncertainties, but it also provides a very convenient verbaldescription of the entire domain of support for all the secondary grades ofa type-2 membership function.

Definition 5:

2 - 76

Type-2 Fuzzy Sets

Fig. 4. FOUs. (a) GaussianMFwith uncertain standard deviation. (b)Gaussian MF with uncertain mean. (c) Sigmoidal MF with inflectionuncertainties. (d) Granulated sigmoidal MF with granulation uncertainties.

(a) (b)

(c) (d)

9.05.2018

39

2 - 77

Type-2 Fuzzy Sets

FOU also lets us depict a type-2 fuzzy set graphically in two-dimensions instead of three dimensions, and in so doing lets usovercome the first difficulty about type-2 fuzzy sets-theirthree-dimensional nature which makes them very difficult todraw.The shaded FOUs imply that there is a distribution that sits ontop of it—the new third dimension of type-2 fuzzy sets.What that distribution looks like depends on the specificchoice made for the secondary grades.When they all equal one, the resulting type-2 fuzzy sets arecalled interval type-2 fuzzy sets. Such sets are the most widelyused type-2 fuzzy sets to date.

2 - 78

Type-2 Fuzzy Sets

Definition 6:

9.05.2018

40

2 - 79

Type-2 Fuzzy Sets

Definition 7:

(9

2 - 80

Type-2 Fuzzy Sets

Fig. 5. Example of an embedded type-2 setassociated with the type-2 membershipfunction depicted in Fig. 2.

9.05.2018

41

2 - 81

Type-2 Fuzzy Sets

Definition 8:

2 - 82

Type-2 Fuzzy Sets

How can I learn more about type-2 FSs?

I would start with the article by Mendel and John (2002), andwould then read Mendel (2001) (modulo focusing on intervaltype-2 FSs). Doing the latter will save you a lot of time. Oh,and there is lots of freetype-2 software available at:

http://sipi.usc.edu/~mendel/software

9.05.2018

42

2 - 83

Work Examples

2 - 84

X, Y, Z1, Z2 ve Z3 bulanık değişkenleri U uzay kümesinde aşağıdakigibi karakterize edilmektedirler.

a. Bu bulanık sayı değişkenlerini birer bulanık küme olarak üyelik fonksiyonlarıile karakterize edip, her birini kendi crisp (kesin) uzay kümesinde şekillegösteriniz.

b. Bu bulanık sayıları normalize edilmiş ortak bir uzay kümesinde şekillegösteriniz. Normalize işlemlerini de gösteriniz.

Fuzzy SetsÇALIŞMA SORUSU

9.05.2018

43

2 - 85

Aşağıda kamera ile alınıp bilgisayar ortamına aktarılmış her kenarı 5 cm uzunluğunda birkare görüntü verilmiştir. Bu görüntüde renkler kenardan merkeze doğru gittikçekoyulaşmakta, kenardaki renk tonu B=beyaz iken tam merkezde S=siyah olmaktadır. Buiki renk arasında ise M=mavi ve L=lacivert ara geçiş renkleri bulunmaktadır.

Bu şeklin bir canlı iç organının sağlık durumunu belirlemek üzere termal yöntemlerlealınıp kaydedildiği varsayılarak, bu organın sağlıklı olup olmadığına karar verilecektir.Şöyle ki; eğer renk tonundaki koyuluk kenara yaklaştıkça beyazlığını kaybediyorsa, yanimerkezdeki siyahlık kenarlara doğru yayılmasını artırıyorsa bu organ sağlıklı durumunukaybetmektedir. Eğer ara geçiş renklerinden mavi veya lacivertten biri veya her ikisikaybolacak şekilde siyah renk beyaza dönüşüyorsa organ iyice sağlıksız, eğer görüntütümüyle siyahsa organ tamamı ile sağlıksızdır.

Yukarıda verilen açıklamalar ışığında şekildeki görüntüalanını uygun biçimde bölümleyip, renk tonlarını birerbulanık küme ile temsil ediniz.

Böyle görüntüye sahip bir organın sağlıklı olup olmadığınakarar verecek kurallar dizisi oluşturunuz.

Fuzzy SetsÇALIŞMA SORUSU

2 - 86

X={-4, 4} kesin reel sayı uzayında tanımlı A, B, ve C gibi üç bulanık sayıaşağıda verilmektedir.

a. Verilen bulanık sayıları aynı şekil üzerinde ölçekli çizinizb. Verilen bulanık sayılarına=0 ve a=0.5 kesmelerini şekil üzerinde gösteriniz.c. Verilen bulanık sayıları kullanarak

işleminia.

İşlemini yapınızb.

Fuzzy SetsÇALIŞMA SORUSU

9.05.2018

44

2 - 87

Yüksekliği 1 olan üçgen biçimli bir üyelik fonksiyonu, tepe noktasına karşılık gelen xT, solalt köşesine karşılık gelen xL ve sağ alt köşesine karşılık gelen xR parametrelerine bağlıolarak tanımlandığında, xL£ x £ xR aralığındaki herhangi bir x değerine karşılık gelen üyelikderecesi aşağıdaki bağıntılarla belirlenebilmektedir.

a. T=[0,40] oC sıcaklık uzayında tanımlı ve eşit aralıkla dağılan üçgen biçimli SOĞUK,ILIK ve SICAK bulanık kümelerini aynı şekil üzerinde çizerek, her biri için xL, xT, vexR parametrelerinin yerlerini gösteriniz.

b. T1=5 oC ve T2=25 oC sıcaklıklarının ilgili SOĞUK, ILIK ve SICAK bulanıkkümelerindeki üyelik derecelerini bulunuz.

c. İlk iki şıkta istenenleri veren bir MATLAB yazılımı gerçekleştiriniz.

Fuzzy Sets

ÇALIŞMA SORUSU

2 - 88

N=Negatif, S=sıfır ve P=pozitif bulanık kümeleri ayrık biçimde aşağıdaki gibiverilmektedir.

a. Bu bulanık kümeleri ortak bir kesin uzay kümesinde grafikle gösteriniz.b. Bu bulanık kümeleri çizdirebileceğiniz bir MATLAB yazılımı yazınızc. x1=-0.75 ve x2=0.25 kesin değerlerinin verilen N, S ve P bulanık

kümelerindeki üyelik değerlerini veren bir MATLAB function dosyasıoluşturunuz. Öle ki, üçgen yapılı bu bulanık kümeleri ve x1,x2 değerlerigirildiğinde üyelik değeri çıkış olarak elde edilsin.

Fuzzy Sets

ÇALIŞMA SORUSU