特定ソリューション向けS-PLUS アドオンモジュール 汎用統計解 … · スティック分布、ポアソン分布、安定分布、幾何分 布、2項分布、負の分布、ワイブル分布)
8章 分散分析の基礎 - Keio Mathishikawa/QLmaster/08.pdfANOVA (analysis of variance) in the...
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第8章 分散分析の基礎全体の目次
統計学の標準の教程では,
1⃝推定
(最尤法, モーメント法等)
−→2⃝
信頼区間 −→3⃝
統計的仮説検定 −→4⃝
分散分析
のように進むのが定番である. 前章では, 2⃝と 3⃝に関わった. この章では,量子言語の言葉で 4⃝を説明する.
本章の詳細は,
ANOVA (analysis of variance) in the quantum linguistic formulation
of statistics ( arXiv:1402.0606 [math.ST] 2014 )
を見よ.
8.1 零元配置分散分析 (スチューデント t-分布)
同時正規測定の「スチューデント化した仮説検定」は前に述べた. これの多元化が,分散分析であ
る. したがって,同時正規測定の「スチューデント化した仮説検定」をもう一度ここで復習する. も
ちろん,多元化し易い形で復習するわけで,この意味で, 「零元配置分散分析」というタイトルをつけた.
さて,
古典系の基本構造 [C0(Ω) ⊆ L∞(Ω, ν) ⊆ B(L2(Ω, ν))]
に集中しよう.
ここで,
Ω = R× R+ = (µ, σ) | µは実数, σは正数
として, 同時正規測定ML∞(R×R+) (OnG = (Rn,BnR, G
n), S[(µ,σ)]) ( in L∞(R × R+)) を考えよう. 繰り
返しになるが, L∞(R×R+)内の同時正規測定ML∞(R×R+) (OnG = (Rn,BnR, G
n), S[(µ,σ)]) は以下のよう
に定めた.
[Gn(×nk=1Ξk)](ω) =×n
k=1[G(Ξk)](ω)
=1
(√
2πσ)n
∫· · ·
∫×n
k=1Ξk
exp[−∑n
k=1(xk − µ)2
2σ2]dx1dx2 · · · dxn (8.1)
(∀Ξk ∈ BR(k = 1, 2, . . . , n), ∀ω = (µ, σ) ∈ Ω = R× R+).
175
8.1零元配置分散分析 (スチューデント t-分布) 第 8 章 分散分析の基礎
状態空間 Ω = R× R+, 測定値空間X = Rn. 第二状態空間 (=パラメータ空間) Θ = R としよう. ま
た,推定量E : X(= Rn)→ Θ(= R) を次のように定める.
E(x) = E(x1, x2, . . . , xn) = µ(x) =x1 + x2 + · · ·+ xn
n(8.2)
システム量 π : Ω(= R× R+)→ Θ(= R) を次のように定める.
Ω(= R× R+) ∋ ω = (µ, σ) 7→ π(µ, σ) = µ ∈ Θ(= R) (8.3)
スチューデント化の要点は, パラメータ空間Θ(= R)の半距離 dxΘ(∀x ∈ X)で,次のように定めたことで
あった:
dxΘ(θ(1), θ(2)) =|θ(1) − θ(2)|√
nσ(x)=|θ(1) − θ(2)|√
SS(x)(∀x ∈ X = Rn, ∀θ(1), θ(2) ∈ Θ = R) (8.4)
ここで,
SS(x) = SS(x1, x2, . . . , xn) =
n∑k=1
(xk − µ(x))2 (∀x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn)
であった.
前章で述べたように, 我々の問題は,以下の通りであった.
問題 8.1. [零元配置分散分析]. 同時正規測定ML∞(R×R+) (OnG = (Rn,BnR, G
n), S[(µ,σ)])を考えよう. ここで,
µ = µ0
と仮定しよう. すなわち,帰無仮説をHN = µ0 (⊆ Θ = R)) と仮定する. 0 < α ≪ 1とする. このとき,次を満たす Rα;ΘHN
(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (しかも, σに依存しないもの)」を見つけよ
(A1) ML∞(R×R+) (OnG = (Rn,BnR, G
n), S[(µ0,σ)])の測定値 x(∈ Rn)が,
E(x) ∈ Rα;ΘHN
を満たす確率は, α以下である.
さて, 任意の ω = (µ0, σ)( ∈ Ω = R× R+)に対して, 次のように計算する.
[Gn(x ∈ X : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ η)](ω)
=[Gn(x ∈ X :|µ(x)− µ0|√
SS(x)≥ η)](ω)
=1
(√
2πσ)n
∫· · ·
∫η√n−1≤ |µ(x)−µ0|√
SS(x)/√
n−1
exp[−∑n
k=1(xk − µ0)2
2σ2]dx1dx2 · · · dxn
176 全体の目次
8.1零元配置分散分析 (スチューデント t-分布) 第 8 章 分散分析の基礎
=1
(√
2π)n
∫· · ·
∫η2n(n−1)≤ n(µ(x))2
SS(x)/(n−1)
exp[−∑n
k=1(xk)2
2]dx1dx2 · · · dxn (8.5)
(A2) ここで,ガウス積分の公式 8.9(A)によって,次を得る
=
∫ ∞η2n(n−1)
pF(1,n−1)(t)dt = α ( e.g., α = 0.05) (8.6)
ここに, pF(1,n−1) は自由度 (1, n− 1)の F -分布の確率密度関数とする.
ここで, 自由度 (n1, n2)の F -分布の確率密度関数 pF(n1,n2)(t) は, B(·, ·)はベータ関数を使って,
pF(n1,n2)(t) =
1
B(n1/2, n2/2)
(n1n2
)n1/2 t(n1−2)/2
(1 + n1t/n2)(n1+n2)/2(t ≥ 0) (8.7)
と定義されることを思い出そう. また、
自由度 (1, n− 1)の F -分布= 自由度 (n− 1)のスチューデントの t-分布
も注意しよう。
正数 αとして, α-点:Fn2n1,α (> 0) を次のように定める.∫ ∞F
n2n1,α
pF(n1,n2)(t)dt = α (0 < α≪ 1. e.g., α = 0.05) (8.8)
よって,次を解けばよい.
η2n(n− 1) = F 1n−1,α (8.9)
したがって,
(ηαω)2 =F 1n−1,α
n(n− 1)(8.10)
として, 結局,棄却域 Rα;ΘHN( (or Rα;XHN
) として, 次を得る. ;
Rα;ΘHN=
∩ω=(µ,σ)∈Ω(=R×R+) such that π(ω)=µ∈HN (=µ0)
E(x)(∈ Θ) : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ ηαω
= µ(x) ∈ Θ(= R) :|µ(x)− µ0|√
SS(x)≥ ηαω = µ(x) ∈ Θ(= R) :
|µ(x)− µ0|σ(x)
≥ ηαω√n
=µ(x) ∈ Θ(= R) :
|µ(x)− µ0|σ(x)
≥
√F 1n−1,αn− 1
=
µ(x) ∈ Θ(= R) : µ0 ≤ µ(x)− σ(x)
√F 1n−1,αn− 1
or µ(x) + σ(x)
√F 1n−1,αn− 1
≤ µ0
(8.11)
177 全体の目次
8.1零元配置分散分析 (スチューデント t-分布) 第 8 章 分散分析の基礎
そして,
Rα;XHN= E−1(Rα;ΘHN
)
=x ∈ X(= Rn) : µ0 ≤ µ(x)− σ(x)
√F 1n−1,αn− 1
or µ(x) + σ(x)
√F 1n−1,αn− 1
≤ µ0
(8.12)
注意 8.2. 上の議論で,多少なりとも数学を使った部分 (計算した部分)があるとしたら, (A2)のガウス
積分の公式だけであることに注意しよう.
178 全体の目次
8.2一元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
8.2 一元配置分散分析
各 i = 1, 2, · · · , a,に対して, 自然数 ni が定まっているとしよう. また, n =∑a
i=1 ni としよう. 前節の
多少の一般化として, 次のような並行同時正規観測量OnG = (X(≡ Rn),BnR, G
n) ( in L∞(Ω(≡ (Ra×R+))
) を以下のように考えよう.
[Gn(Ξ)](ω) =1
(√
2πσ)n
∫· · ·
∫Ξ
exp[−∑a
i=1
∑nik=1(xik − µi)2
2σ2]a
×i=1
ni×k=1
dxik (8.13)
(∀ω = (µ1, µ2, . . . , µa, σ) ∈ Ω = Ra × R+, Ξ ∈ BnR)
したがって,次のような並行同時正規測定
ML∞(Ra×R+)(OnG = (X(≡ Rn),Bn
R, Gn), S[(µ=(µ1,µ2,··· ,µa),σ)])
を考える.
次のように, aiを定める.
αi = µi −∑a
i=1 µia
(∀i = 1, 2, . . . , a) (8.14)
として,
Θ = Ra (8.15)
そして, システム量 π : Ω→ Θ を次のように定める.
Ω = Ra × R+ ∋ ω = (µ1, µ2, . . . , µa, σ) 7→ π(ω) = (α1, α2, . . . , αa) ∈ Θ = Ra (8.16)
帰無仮説HN (⊆ Θ = Ra) を次のように考える.
HN = (α1, α2, . . . , αa) ∈ Θ = Ra : α1 = α2 = . . . = αa = α
= (a︷ ︸︸ ︷
0, 0, . . . , 0) (8.17)
ここで,次の同値性に注意しよう.
”µ1 = µ2 = . . . = µa”⇔ ”α1 = α2 = . . . = αa = 0”⇔ ”(2.17)”
我々の問題は,以下の通りである.
問題 8.3. [一元配置分散分析]. n =∑a
i=1 niとする. 並行同時正規測定ML∞(Ra×R+)(OnG = (X(≡ Rn),
BnR, G
n), S[(µ=(µ1,µ2,··· ,µa),σ)]) を考えよう. ここで,
µ1 = µ2 = · · · = µa
179 全体の目次
8.2一元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
と仮定しよう. すなわち,
π(µ1, µ2, · · · , µa) = (0, 0, · · · , 0)
を仮定する. つまり帰無仮説をHN = (0, 0, · · · , 0) (⊆ Θ = R)) と仮定する. 0 < α ≪ 1とする.
このとき,次を満たす Rα;ΘHN(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (しかも, σに依存しないもの)」を見つ
けよ
(B1) ML∞(Ra×R+)(OnG = (X(≡ Rn),Bn
R, Gn), S[(µ=(µ1,µ2,··· ,µa),σ)]) の測定値 x(∈ Rn)が,
E(x) ∈ Rα;ΘHN
を満たす確率は, α以下である.
また, Θ = Ra内に重み付きユークリッドノルムを次のように定める.
∥θ(1) − θ(2)∥Θ =
√√√√ a∑i=1
ni
(θ(1)i − θ
(2)i
)2(8.18)
(∀θ(ℓ) = (θ(ℓ)1 , θ
(ℓ)2 , . . . , θ(ℓ)a ) ∈ Ra, ℓ = 1, 2)
また,
X = Rn ∋ x = ((xik)k=1,2,...,ni)i=1,2,...,a
xi· =
∑nik=1 xikni
, x·· =
∑ai=1
∑nik=1 xik
ni, (8.19)
としておこう. フィッシャーの最尤法の動機づけにより, σ(x)(=
√SS(x)n )を次のように定義・計算する.
各 x ∈ X = Rnに対して,
SS(x) = SS(((xik) k=1,2,...,ni)i=1,2,...,a )
=
a∑i=1
ni∑k=1
(xik − xi·)2
=
a∑i=1
ni∑k=1
(xik −∑ni
k=1 xikni
)2
=a∑i=1
ni∑k=1
((xik − µi)−∑ni
k=1(xik − µi)ni
)2
=SS(((xik − µi) k=1,2,...,ni)i=1,2,...,a ) (8.20)
各 x ∈ X = Rnに対して, 半距離 dxΘ in Θ を次のように定める.
dxΘ(θ(1), θ(2)) =∥θ(1) − θ(2)∥Θ√
SS(x)(∀θ(1), θ(2) ∈ Θ)). (8.21)
180 全体の目次
8.2一元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
更に,推定量E : X(= Rn)→ Θ(= Ra) を次のように定める.
E(x) =E((xik)i=1,2,...,a,k=1,2,...,n)
=(∑ni
k=1 x1kn
−∑a
i=1
∑nik=1 xikn
,
∑nik=1 x2kn
−∑a
i=1
∑nik=1 xikn
, . . . ,
∑nik=1 xakn
−∑a
i=1
∑nik=1 xikn
)=(∑ni
k=1 xikn
−∑a
i=1
∑nik=1 xikn
)i=1,2,...,a
= (xi· − x··)i=1,2,...,a (8.22)
よって,次を得る.
∥E(x)− π(ω)∥2Θ
=||(∑ni
k=1 xikn
−∑a
i=1
∑nik=1 xikn
)i=1,2,...,a
− (αi)i=1,2,...,a||2Θ
=||(∑ni
k=1 xikn
−∑a
i=1
∑nik=1 xikn
− (µi −∑a
i=1 µia
))i=1,2,...,a
||2Θ (8.23)
帰無仮説HN (i.e., µi −∑a
k=1 µia = αi = 0(i = 1, 2, . . . , a)) に注意して,
=||(∑ni
k=1 xikn
−∑a
i=1
∑nik=1 xikn
)i=1,2,...,a
||2Θ =a∑i=1
ni(xi· − x··)2 (8.24)
したがって, 任意の ω = ((µik)i=12,...,a, k=1,2,...,n, σ)( ∈ Ω = Rn × R+)に対して, 正数 ηαω ( > 0) を次の
ように定める.
ηαω = infη > 0 : [Gn(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η))](ω) ≥ α (8.25)
ここに
BallcdxΘ(π(ω); η) = θ ∈ Θ : dxΘ(π(ω), θ) > η (8.26)
帰無仮説HN (i.e., µi −∑a
k=1 µia = αi = 0(i = 1, 2, . . . , a)) を確認して, ηαω を計算していこう.
E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)) = x ∈ X = Rn : dxΘ(E(x), π(ω)) > η
=x ∈ X = Rn :∥E(x)− π(ω)∥2Θ
SS(x)=
∑ai=1 ni(xi· − x··)2∑a
i=1
∑nik=1(xik − xi·)2
> η2 (8.27)
π(ω)(= (α1, α2, . . . , αa)) ∈ HN (= 0, 0, . . . , 0))を満たす任意のω = (µ1, µ2, . . . , µa, σ) ∈ Ω = Ra×R+
に対して,
[Gn(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)))(ω)
=1
(√
2πσ)n
∫· · ·
∫∑a
i=1ni(xi·−x··)2∑a
i=1
∑nik=1
(xik−xi·)2>η
2
exp[−∑a
i=1
∑nik=1(xik − µi)2
2σ2]a
×i=1
ni×k=1
dxik
181 全体の目次
8.2一元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
=1
(√
2π)n
∫· · ·
∫(∑a
i=1ni(xi·−x··)2/(a−1)
(∑a
i=1
∑nik=1
(xik−xi·)2)/(n−a)
>η2(n−a)(a−1)
exp[−∑a
i=1
∑nik=1(xik)
2
2]a
×i=1
ni×k=1
dxik (8.28)
(B2) ここで,ガウス積分の公式 8.9(B)によって,次を得る,
=
∫ ∞η2(n−a)(a−1)
pF(a−1,n−a)(t)dt = α ( e.g., α=0.05) (8.29)
ここで, pF(a−1,n−a) は自由度 pF(a−1,n−a)の F -分布の確率密度関数とする.
したがって,次の方程式を解けばよい.
η2(n− a)
(a− 1)= F a−1n−a,α(= ”α-点”) (8.30)
これを解いて,
(ηαω)2 = F a−1n−a,α(a− 1)/(n− a) (8.31)
よって, 次の棄却域 Rα;Θx (or, Rα;Xx ; (α)-棄却域 of HN = (0.0. . . . , 0)(⊆ Θ = Ra) ) を結論できる
Rα;ΘHN=
∩ω=((µi)ai=1,σ)∈Ω(=Ra×R+) such that π(ω)=(µ)ai=1∈HN=(0,0,...,0)
E(x)(∈ Θ) : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ ηαω
= E(x)(∈ Θ) :(∑a
i=1 ni(xi· − x··)2)/(a− 1)
(∑a
i=1
∑aik=1(xik − xi·)2))/(n− a)
≥ F a−1n−a,α (8.32)
さらに,
Rα;Xx = E−1(Rα;ΘHN) = x ∈ X :
(∑a
i=1 ni(xi· − x··)2)/(a− 1)
(∑a
i=1
∑nik=1(xik − xi·)2)/(n− a)
≥ F a−1n−a,α (8.33)
となる.
182 全体の目次
8.3ニ元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
8.3 ニ元配置分散分析
8.3.1 設定
前節の一元配置分散分析の拡張として, もうすこし一般的な並行同時正則観測量OabnG = (X(≡ Rabn),
BabnR , Gabn) ( in L∞(Ω(≡ (Rab × R+)) ) を以下のように考えよう.
[Gabn(Ξ)](ω)
=1
(√
2πσ)abn
∫· · ·
∫Ξ
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − µij)2
2σ2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk (8.34)
(∀ω = ((µij)i=1,2,...,a,j=1,2,...,b, σ) ∈ Ω = Rab × R+, Ξ ∈ BabnR )
したがって,次のような並行同時正規測定
ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn
R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)])
を考える.
ここで,
µij = µ(= µ·· =
∑ai=1
∑bj=1 µij
ab)
+ αi(= µi· − µ·· =
∑bj=1 µij
b−
∑ai=1
∑bj=1 µij
ab)
+ βj(= µ·j − µ·· =
∑ai=1 µija
−∑a
i=1
∑bj=1 µij
ab)
+ (αβ)ij(= µij − µi· − µ·j + µ··) (8.35)
として,
X = Rabn ∋ x = (xijk)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, k=1,2,...,n
xij· =
∑nk=1 xijkn
, xi·· =
∑bj=1
∑nk=1 xijk
bn, x·j· =
∑ai=1
∑nk=1 xijk
an,
x··· =
∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 xijk
abn(8.36)
とする.
8.3.2 帰無仮説: µ1· = µ2· = · · · = µa· = µ··
さて,
Θ = Ra (8.37)
183 全体の目次
8.3ニ元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
と置いて, システム量 π : Ω(= Rab × R+)→ Θ(= Ra) を次のように定める.
Ω = Rab × R+ ∋ ω = ((µij)i=1,2,...,a,j=1,2,...,b, σ) 7→ π1(ω) = (αi)ai=1(= (µi· − µ··)ai=1) ∈ Θ = Ra
(8.38)
帰無仮説HN (⊆ Θ = Ra) を次のように定める.
HN = (α1, α2, . . . , αa) ∈ Θ = Ra : α1 = α2 = . . . = αa = α (8.39)
= (a︷ ︸︸ ︷
0, 0, . . . , 0) (8.40)
”(8.39)⇔(8.40)”の理由は,
aα =
a∑i=1
αi =
a∑i=1
(µi· − µ··) =
∑ai=1
∑bj=1 µij
b−
a∑i=1
∑ai=1
∑bj=1 µij
ab= 0 (8.41)
だからである. 推定量E : X(= Rabn)→ Θ(= Ra) を次のように定める.
E(x) =(∑b
j=1
∑nk=1 xijk
bn−
∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 xijk
abn
)i=1,2,...,a
=(xi·· − x···
)i=1,2,...,a
(8.42)
我々の問題は,以下の通りである.
問題 8.4. [二元配置分散分析]. 並行同時正規測定
ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn
R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)])
を考えよう. ここで,
µ1· = µ2· = · · · = µa· = µ··と仮定しよう. すなわち,
π1(µ1, µ2, · · · , µa) = (0, 0, · · · , 0)
を仮定する. つまり帰無仮説をHN = (0, 0, · · · , 0) (⊆ Θ = Ra)) と仮定する. 0 < α≪ 1とする.
このとき,次を満たす Rα;ΘHN(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (しかも, σに依存しないもの)」を見つ
けよ
(C1) ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn
R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)]) の測定値 x(∈Rabn)が,
E(x) ∈ Rα;ΘHN
を満たす確率は, α以下である.
さらに,
∥θ(1) − θ(2)∥Θ =
√√√√ a∑i=1
(θ(1)i − θ
(2)i
)2(8.43)
184 全体の目次
8.3ニ元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
(∀θ(ℓ) = (θ(i)1 , θ
(ℓ)2 , . . . , θ(ℓ)a ) ∈ Ra, ℓ = 1, 2)
フィッシャーの最尤法に動機付けられて,標準偏差 σ(x)(
=√SS(x)/(abn)
)を次のように定めて,計算
する.
SS(x) = SS((xijk)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b,k=1,2,...,n)
:=
a∑i=1
b∑j=1
n∑k=1
(xijk − xij·)2 =
a∑i=1
b∑j=1
n∑k=1
(xijk −∑n
k=1 xijkn
)2
=a∑i=1
b∑j=1
n∑k=1
((xijk − µij)−∑n
k=1(xijk − µij)n
)2
=SS(((xijk − µij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b)k=1,2,··· ,n) (8.44)
半距離 dxΘ ( in Θ = Ra) を次のように定める.
dxΘ(θ(1), θ(2)) =∥θ(1) − θ(2)∥Θ√
SS(x)(∀θ(1), θ(2) ∈ Θ = Ra, ∀x ∈ X = Rabn) (8.45)
推定量E : X(= Rabn)→ Θ(= Ra) を次のように定めたことを思い出そう.
E(x) =(∑b
j=1
∑nk=1 xijk
bn−
∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 xijk
abn
)i=1,2,...,a
=(xi·· − x···
)i=1,2,...,a
(8.46)
したがって,
∥E(x)− π(ω)∥2Θ
=||(∑b
j=1
∑nk=1 xijk
bn−
∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 xijk
abn
)i=1,2,...,a
−(αi
)i=1,2,...,a
||2Θ
=||(∑b
j=1
∑nk=1 xijk
bn−
∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 xijk
abn
)i=1,2,...,a
−(∑b
j=1 µij
b−
∑ai=1
∑bj=1 µij
ab
)i=1,2,...,a
||2Θ
=||(∑n
k=1
∑bj=1(xijk − µij)bn
−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − µij)
abn
)i=1,2,...,a
||2Θ (8.47)
ここで,帰無仮説HN (i.e., µi· − µ·· = αi = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a) ) を確認して
=||(∑n
k=1
∑bj=1 xijk
bn−
∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 xijk
abn
)i=1,2,...,a
||2Θ =a∑i=1
(xij· − x···)2 (8.48)
したがって, 任意の ω = (µ1, µ2)( ∈ Ω = R× R)に対して, 正数 ηαω ( > 0) を次のように定める.
ηαω = infη > 0 : [G(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η))](ω) ≥ α (8.49)
帰無仮説HN を思い出して, ηαω を以下のように計算する.
E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)) = x ∈ X = Rabn : dxΘ(E(x), π(ω)) > η
185 全体の目次
8.3ニ元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
=x ∈ X = Rabn :abn
∑ai=1
∑bj=1(xij· − x···)2∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − xij·)2
> η (8.50)
更に,帰無仮説π(ω)(= (α1, α2, . . . , αa)) ∈ HN (= 0, 0, . . . , 0))を満たす任意のω = ((µij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, , σ)
∈ Ωに対して,
[Gabn(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)))(ω)
=1
(√
2πσ)abn
∫· · ·
∫E−1(Ballc
dxΘ(π(ω);η))
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − µij)2
2σ2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk
=1
(√
2πσ)abn
∫· · ·
∫abn
∑ai=1
∑bj=1
(xij·−x···)2∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1
(xijk−xij·)2>η
2
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − µij)2
2σ2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk
=1
(√
2π)abn
∫· · ·
∫∑a
i=1
∑bj=1
(xij·−x···)2)
(a−1)∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1
(xijk−xij·)2
ab(n−1)
>η2(ab(n−1))abn(a−1)
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk)
2
2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk (8.51)
(C2) ここで,ガウス積分の公式 8.9(C)によって,次を得る,
=
∫ ∞η2(n−1)n(a−1)
pF(a−1,ab(n−1))(t)dt = α (e.g., α = 0.05) (8.52)
ここに, pF(a−1,ab(n−1)) は自由度 (a− 1, ab(n− 1))の F -分布の確率密度関数である.
式 (8.31)で見たように, F -分布 F a−1ab(n−1),αの α-点を計算すれば
(ηαω)2 = F a−1ab(n−1),α · n(a− 1)/(n− 1) (8.53)
したがって, 棄却域 Rα;Θx (or, Rα;Xx ) — 帰無仮説 HN = (0.0. . . . , 0)(⊆ Θ = Ra) の (α)-棄却域—
を,次のように得る.
Rα;ΘHN=
∩ω=((µi)ai=1,σ)∈Ω(=Ra×R+) such that π(ω)=(αi)ai=1∈HN=(0,0,...,0)
E(x)(∈ Θ) : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ ηαω
= E(x)(∈ Θ) :(∑a
i=1
∑bj=1(xij· − x···)2)/(a− 1)
(∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − xij·)2)/(ab(n− 1))
≥ F a−1ab(n−1),α (8.54)
また,
Rα;XHN= E−1(Rα;ΘHN
) = x(∈ X) :(∑a
i=1
∑bj=1(xij· − x···)2)/(a− 1)
(∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − xij·)2)/(ab(n− 1))
≥ F a−1ab(n−1),α (8.55)
186 全体の目次
8.3ニ元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
8.3.3 帰無仮説: µ·1 = µ·2 = · · · = µ·b = µ··
我々の問題は,以下の通りである.
問題 8.5. [二元配置分散分析]. 並行同時正規測定
ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn
R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)])
を考えよう. ここで,帰無仮説を
µ·1 = µ·2 = · · · = µ·b = µ··と仮定しよう. 0 < α≪ 1とする. このとき,次を満たす Rα;ΘHN
(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (しかも, σに依存しないもの)」を見つけよ
(C1)′ ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn
R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)]) の測定値 x(∈Rabn)が,
E(x) ∈ Rα;ΘHN
を満たす確率は, α以下である.
aと bは,同等の役割をしているので, 8.3.2節と同じ議論をすればよい.
8.3.4 帰無仮説: (αβ)ij = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b )
さて、
Θ = Rab (8.56)
そして, システム量 π : Ω→ Θ を次のように定める.
Ω = Rab × R+ ∋ ω = ((µij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, σ) 7→ π(ω) = ((αβ)ij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b ∈ Θ = Rab
(8.57)
ここで,以下を思い出そう.
(αβ)ij = µij − µi· − µ·j + µ·· (8.58)
また,推定量E : X(= Rabn)→ Θ(= Rab) を次のように定める.
E((xijk)i=1,...,a, j=1,2,...b, k=1,2,...,n)
=(∑n
k=1 xijkn
−∑b
j=1
∑nk=1 xijk
bn−
∑bj=1
∑nk=1 xijk
an+
∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 xijk
abn
)i=1,2,...,a j=1,2,...b,
=(xij· − xi·· − x·j· + x···
)i=1,2,...,a j=1,2,...b,
(8.59)
187 全体の目次
8.3ニ元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
我々の問題は,以下の通りである.
問題 8.6. [二元配置分散分析]. 並行同時正規測定
ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn
R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)])
を考えよう. 帰無仮説HN (⊆ Θ = Rab) を次のように定める.
HN = ((αβ)ij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b ∈ Θ = Rab : (αβ)ij = 0, (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b)(8.60)
すなわち
(αβ)ij = µij − µi· − µ·j + µ·· = 0 (i = 1, 2, · · · , a, j = 1, 2, · · · , b) (8.61)
を仮定する. 0 < α≪ 1とする. このとき,次を満たす Rα;ΘHN(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (し
かも, σに依存しないもの)」を見つけよ
(D1) ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn
R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)]) の測定値 x(∈Rabn)が,
E(x) ∈ Rα;ΘHN
を満たす確率は, α以下である.
さて,
∥θ(1) − θ(2)∥Θ =
√√√√ a∑i=1
b∑j=1
(θ(ℓ)ij − θ
(ℓ)ij
)2(8.62)
(∀θ(ℓ) = (θ(ℓ)ij )i=1,2,...,a, j=1,2,...,b ∈ Rab, ℓ = 1, 2)
として, 半距離 dxΘ in Θ を次のように定める.
dxΘ(θ(1), θ(2)) =∥θ(1) − θ(2)∥Θ√
SS(x)(∀θ(1), θ(2) ∈ Θ, ∀x ∈ X) (8.63)
E((xijk − µij)i=1,...,a, j=1,2,...b, k=1,2,...,n)
=(∑n
k=1(xijk − µij)n
−∑b
j=1
∑nk=1(xijk − µij)bn
−∑b
j=1
∑nk=1(xijk − µij)an
+
∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − µij)
abn
)i=1,2,...,a j=1,2,...b,
=(
(xij· − µij)− (xi·· − µi·)− (x·j· − µ·j) + (x··· − µ··))i=1,2,...,a j=1,2,...b,
=(xij· − xi·· − x·j· + x···
)i=1,2,...,a j=1,2,...b
(注意:帰無仮説 (αβ)ij = 0) (8.64)
188 全体の目次
8.3ニ元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
したがって,
E((xijk)i=1,...,a, j=1,2,...b, k=1,2,...,n) = E((xijk − µij)i=1,...,a, j=1,2,...b, k=1,2,...,n) (8.65)
よって, 各 i = 1, ..., a, j = 1, 2, ...b,
Eij(xijk − µij)
=
∑nk=1(xijk − µij)
n−
∑bj=1
∑nk=1(xijk − µij)bn
−∑b
j=1
∑nk=1(xijk − µij)an
+
∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − µij)
abn
=Eij(x)− (αβ)ij
=xij· − xi·· − x·j· + x··· − (αβ)ij (8.66)
そして, 次を得る.
∥E(x)− π(ω)∥2Θ
=||(Eij(x)− (αβ)ij
)i=1,2,...,a j=1,2,...b
||2Θ (8.67)
帰無仮説 HN (i.e., (αβ)ij = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b) )に注意して,
=
a∑i=1
b∑j=1
(xij· − xi·· − x·j· + x···)2 (8.68)
よって, 任意の ω = (µ, σ)( ∈ Ω = Rab × R)に対して, 正数 ηαω ( > 0) を次のように定める.
ηαω = infη > 0 : [G(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η))](ω) ≥ α (8.69)
帰無仮説HN (i.e., (αβ)ij = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b) )を考慮して, ηαω を計算すると,
E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)) = x ∈ X = Rabn : dxΘ(E(x), π(ω)) > η
=x ∈ X = Rabn :abn
∑ai=1
∑bj=1(xij· − xi·· − x·j· + x···)2∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − xij·)2
> η2 (8.70)
すなわち, π(ω) ∈ HN (⊆ Rab) (i.e., (αβ)ij = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b) ) を満たす任意の状態
ω = ((µij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, , σ) ∈ Ω = Rab × R+に対して, 以下の計算を得る.
[Gabn(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)))(ω)
=1
(√
2πσ)abn
∫· · ·
∫E−1(Ballc
dxΘ(π(ω);η))
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − µij)2
2σ2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk
189 全体の目次
8.3ニ元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎
=1
(√
2πσ)abn
∫· · ·
∫x∈X : dxΘ(E(x),π(ω)≥η
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − µij)2
2σ2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk
=1
(√
2π)abn
∫· · ·
∫∑a
i=1
∑bj=1
(xij·−x
i··−x·j·+x···)2∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1
(xijk−xij·)2 > η2
abn
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk)
2
2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk
=1
(√
2π)abn
∫· · ·
∫∑a
i=1
∑bj=1
(xij·−x
i··−x·j·+x···)2(a−1)(b−1)∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1
(xijk−xij·)2
ab(n−1)
>η2(ab(n−1))
abn(a−1)(b−1)
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk)
2
2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk
(8.71)
(D2) ここで,ガウス積分の公式 8.9(D)によって,次を得る,
=
∫ ∞η2(n−1)
n(a−1)(b−1)
pF((a−1)(b−1),ab(n−1))(t)dt = α( e.g., α = 0.05) (8.72)
ここに, pF((a−1)(b−1),ab(n−1)) は自由度 ((a− 1)(b− 1), ab(n− 1))の F -分布の確率密度関数である.
ここまでくれば,前の議論と同様に, 次の方程式を解けばよい.
η2(n− 1)
n(a− 1)(b− 1)= F
(a−1)(b−1)ab(n−1),α (= ”α-点”) (8.73)
よって,
(ηαω)2 = F(a−1)(b−1)ab(n−1),α n(a− 1)(b− 1)/(n− 1) (8.74)
したがって, 次のような棄却域 Rα;Θx (or, Rα;Xx ; HN = ((αβ)ij)i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b : (αβ)ij = 0 (i =
1, 2, · · · , a, j = 1, 2, · · · , b)(⊆ Θ = Rab) の (α)-棄却域) を得る.
Rα;ΘHN=
∩ω=((µij)ai=1
bj=1,σ)∈Ω(=Ra×R+) such that π(ω)=(αβ)ij∈HN
E(x)(∈ Θ) : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ ηαω
= E(x)(∈ Θ) :(∑a
i=1
∑bj=1(xij· − x···)2)/((a− 1)(b− 1))
(∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − xij·)2)/(ab(n− 1))
≥ F (a−1)(b−1)ab(n−1),α (8.75)
また,
Rα;XHN= E−1(Rα;ΘHN
) = x(∈ X) :(∑a
i=1
∑bj=1(xij· − x···)2)/((a− 1)(b− 1))
(∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk − xij·)2)/(ab(n− 1))
≥ F (a−1)(b−1)ab(n−1),α (8.76)
190 全体の目次
8.4補遺(ガウス積分の公式) 第 8 章 分散分析の基礎
8.4 補遺(ガウス積分の公式)
ここまでで, 計算の部分はあまり多くない。以下に、「計算公式」として、まとめておく。多分、これ
からもこれ以上の計算はしない。
8.4.1 正規分布、χ二乗分布、スチューデントの t-分、F -分布
定義 8.7. [F 分布]. ここで実数 t ≥ 0 に対し n1 と n2 は正の整数とする。自由度 (n1, n2)の F -分布の
確率密度関数 pF(n1,n2)(t) は,
pF(n1,n2)(t) =
1
B(n1/2, n2/2)
(n1n2
)n1/2 t(n1−2)/2
(1 + n1t/n2)(n1+n2)/2(t ≥ 0) (8.77)
と定義される。ここで、B(·, ·)はベータ関数で、x, y > 0として、
B(x, y) =
∫ 1
0tx−1(1− t)y−1dt
である。また、
自由度 (1, n− 1)の F -分布= 自由度 (n− 1)のスチューデントの t-分布
にも注意しよう。
二つの写像 µ : Rn → R to SS : Rn → Rを次のように、定める。
µ(x) = µ(x1, x2, · · · , xn) =
∑nk=1 xkn
SS(x) = SS(x1, x2, · · · , xn) =n∑k=1
(xk − µ(x))2
(∀x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn)
公式 8.8. [ガウス積分 (正規分布と χ二乗分布)]. 既に、(7.6)と (7.7)で述べた。
公式 8.9. [ガウス積分 (F -分布)]. c ≥ 0として、
(A):1
(√
2π)n
∫· · ·
∫c≤ n(µ(x))2
SS(x)/(n−1)
exp[−∑n
k=1(xk)2
2]dx1dx2 · · · dxn =
∫ ∞c
pF(1,n−1)(t)dt (8.78)
(B): n =∑a
i=1 niとして、
1
(√
2π)n
∫· · ·
∫(∑a
i=1ni(xi·−x··)2/(a−1)
(∑a
i=1
∑nik=1
(xik−xi·)2)/(n−a)
>c
exp[−∑a
i=1
∑nik=1(xik)
2
2]a
×i=1
ni×k=1
dxik
191 全体の目次
8.4補遺(ガウス積分の公式) 第 8 章 分散分析の基礎
=
∫ ∞c
pF(a−1,n−a)(t)dt (8.79)
(C):1
(√
2π)abn
∫· · ·
∫∑a
i=1
∑bj=1
(xij·−x···)2
(a−1)∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1
(xijk−xij·)2
ab(n−1)
>c
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk)
2
2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk
=
∫ ∞c
pF(a−1,ab(n−1))(t)dt (8.80)
同じことであるが、
(D):1
(√
2π)abn
∫· · ·
∫∑a
i=1
∑bj=1
(xij·−x
i··−x·j·+x···)2(a−1)(b−1)∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1
(xijk−xij·)2
ab(n−1)
>c
exp[−∑a
i=1
∑bj=1
∑nk=1(xijk)
2
2]n
×k=1
b
×j=1
a
×i=1
dxijk
=
∫ ∞c
pF((a−1)(b−1),ab(n−1))(t)dt (8.81)
192 全体の目次