78

8_____________________________________________________________________________________

DEAL AKIKANLARIN AKII8.1. DEAL AKIKANBir ideal akkan viskozitesi olmayan sktrlamaz bir akkan olarak tanmlanabilir. Gerekte elbette byle bir sv mevcut deildir, fakat su veya petrol gibi svlar, gazlar kk basn deimelerinde, ideal sv davranna yaklarlar. deal sv kavram nemlidir. nk akkan aknn analizinin basitletirilmesi onun sayesinde yaplabilir. Bu sayede nemli eitlik olan Bernoulli* denklemi karlm olup bu eitlik kk deiikliklerle gerek svlarn davranlarna da uygulanabilir. Bir ideal akkann kabulndeki nemli deiiklikler unlardr: 1. 2. 3. Akkanlar sktrlamaz olduklarndan younluk deimesi sktrmasndan veya genlemesinden dolay bir i olumaz. olumaz ve akkann

Akkann viskozitesi olmadndan srtnme yoktur ve hz profili dorusal kalmaktadr, rnek olarak akkan akm izgileri herhangi bir noktada ayndr. 1.ve 2.nin sonucu olarak akkann i enerjisi deimez, rnek olarak akkan scakl sabit kalr.

8.2 BERNOULL ETLekil 8.1deki gibi iinden ideal akkan akan eik ve ap kademeli olmak klen bir boru ksmn farz edin. Giri ve k referans noktalar 1. ve 2. arasnda enerjinin korunumu prensibini m kg akkan iin uygulaynz. Akkan ideal olduundan bu noktalar arasnda pompalama ve stma yoktur, i enerji de deimemektedir. Bylelikle sadece i enerjinin deitiini dikkate almak gerekir; potansiyel enerji, kinetik enerji ve ak ii

1. Potansiyel enerji; referans noktasndan h metre yksekliinde akkann potansiyel enerji PE = m.g.h 2. Kinetik enerji; u hz ile hareket eden m kg ktledeki akkann kinetik enerjisi KE = m.u2

*

Deneysel olarak 1738 ylnda Daniel Bernoulli tarafndan bulunmutur.

79

ekil 8.1 Eik, daralan bir boru boyunca ak

3. Ak ii; 1 ile 2 arasnda pompalama ii olmadndan 1den 2ye svnn akn salayan baz nedenler olmal, aksi taktirde akkan ters ynde geri akacaktr. Bunun sebebi 1 ile 2 arasnda basn fark olmasndandr. Bu ak iin gerekli aray ak ii olarak adlandrlr. Kuvvet; F = p.A ; W = kuvvet x yol W = p.A.l Fakat A.l = V(hacim) W = p.V Fakat younluk; =pm m m V = W = V

imdi 1 ile 2 arasnda enerjinin korunumu prensibini uygulayarak olursak; PE1 + KE1 + W1 = PE2 + KE2 + W2

mg.h1 + .

p .m p .m 1 1 .mu1 + 1 . 2 = mg.h2 + .mu2 + 2 . . 2 2 2

m ile blerek yeniden dzenlersek;

80

p1 1 2 p 1 + u1 + g.h1 = 2 + u2 + g.h2 2 g 2 g 2Bu eitlik geleneksel olarak gerek ivmesi ye blnerek Bernoulli eitlii karlr;2 p1 u1 p u2 + + h1 = 2 + 2 + h2 g 2g g 2g

(8.1)

rnek 8.1 Bernoulli eitliinin boyuta homojen olduunu gsteriniz. zm:p kgm 2m2 s Nm 2 = = =m 3 2 g kgm xm s kgm2s2 m 1 s u2 = 2g m 2 s h=m

(

)

2

=

m2s2 m 2 s

=m

Bylelikle Bernoulli eitlii boyuta homojendir ve btn terimler m birimine sahiptir.

8.3 BASMA YKSEKLrnek 8.1deki Bernoulli denkleminde her terim ykseklik veya metre birimine sahiptir. Basma terimi geni bir kullanma sahip olduundan her bir terim u isimlerle adlandrlr: Basn Ykseklii

hp =

p

g

Not: p Pa birimine sahiptir ve mutlak veya gsterge basnc olabilir(basn ykseklii eitliin her iki tarafnda bulunduundan ayn atmosferik basncn eklenmesi onlar farksz yapar). Buna ramen, p geleneksel olarak daima gsterge basncdr. Bylelikle p1 veya p2den herhangi biri atmosferik basn olduundan basn ykseklii sfr olur. Hz Ykseklii

hv =

u2 2g

burada u hz m/s birimindedir. Potansiyel Ykseklik =h

81

Toplam Basma Ykseklii H = Basn ykseklii, hz ykseklii ve potansiyel ykseklik terimlerinin toplamna eittir. Bernoulli eitlii bylelikle u kelimelerle ifade edilebilir; deal bir akkan aknda, toplam basma ykseklii herhangi bir kesitte sabittir. Bu nemli akkan basma yksekliindeki her bir terim Bernoulli eitliinde edeer bir akkan yksekliini temsil eder. Sreklilik eitlii de Bernoulli eitlii ile ayn anda uygulanabilir ve bunlarn kombinasyonu akkanlar mekaniindeki saysz problemlerin zmne imkan verir.

rnek 8.2 Bal younluu 0,9 olan ya bir boruda 5m/s hzla akmaktadr. Borunun belli bir noktasndaki basn 30 kPa ve borunun ykseklii 3,5mdir(referans noktasnda). Bu noktadaki basn yksekliini, hz yksekliini ve toplam ykseklii hesaplaynz. zm:

bas as yksekli h p = h yksekli hv =

p 30 .10 3 = = 3,4m g 0,9.10 3 x9,81

u2 52 = = 1,27 m 2g 2 x9,81

potansiyel ykseklii h = 3,5m toplam basma ykseklii = 3,4 + 1,27 + 3,5 = 8,17m

Bernoulli Eitliinin Uygulamas Bu blmn kalan ksmnda baz yaygn ak durumlarna Bernoulli eitlii uygulanacaktr. Btn durumlarda ideal akkan davran olduunu farz ediyoruz(kayp yok).

8.4 VENTUR BORUSUBir venturi borusu ekil 8.2deki ak hattna yerletirilen bir ak kstlaycdr. Venturinin giri ksm keskin daralmakta ve fakat k ksm girdap hareketini nlemek iin yava yava genilemektedir. 2deki boaz hz 1den daha fazladr. Bylelikle Bernoulli eitlii gerei 2deki basn den daha azdr. Potansiyel ykseklik benzerdir(yatay), bylece boazda hz basncndaki art, basn yksekliinde azalma olmaktadr.

82

ekil 8.2 Bir borudaki venturi tp

ayet 3 noktas venturi giriindeki 1 noktas ile ayn apta ise ideal svlarda kayp olmadndan 3 ile 1 benzerdir. 1 ile 2 arasndaki basn deiimi gsterge veya daha ok diferansiyel manometre ile llr. Basntaki bu deiim boazdaki akkann hznn ve bylece ak debisinin llmesinde kullanlr (boaz alan bilindiinde). Bu cihaz venturimetre olarak bilinir.

rnek 8.3 Yatay bir venturi borusu 75mm apl banyo taklm olup boaz ap 50mmdir. ayet borudan 45 kPa basn ve 4m/s hzda su akyorsa, boazdaki ideal basn ve hz hesaplaynz. zm: 8.2deki ekilden; 1 = 75mm, 2 = 50mm u1 = 4m/s ; u2 = 4x(75/50)2 = 9m/s h1 = h2 (yatay boru) p1 = 45kPa = 45.103 Pa = 103 kg/m3 (su) Bernoulli eitlii;2 p1 u1 p u2 + + h1 = 2 + 2 + h2 g 2g g 2g

h1 = h2 olduundan ve her iki taraf g ile arplrsa;

83

2 p1 u1 p u2 + = 2 + 2 2 2

4 .1 3 5 0 1 3 0

+

p 42 92 = 2 + 2 2 1 3 0 +4 ,5 0

4 +8 = 5

p2 1 3 0

p2 =1 ,5.1 3 =1 ,5kPa 2 0 2

8.5 EK BORUSabit aptaki bir eik boru ekil 8.3te gsterilmitir.

ekil 8.3 Eik Boru

Boru ap sabit olduundan akkann hz sabit kalmaktadr. Bylece hz 1 ve 2deki hz ykseklii benzerdir. 2deki potansiyel ykseklik 1den daha yksek olduundan Bernoulli eitlii gerei 1deki basn ykseklii 1den daha az olmaldr. Bu ekilde 1den 2ye akan bir akkanda basn ykseklii, hz yksekliine dnmektedir.

rnek 8.4 Ya tayan (BY=0,9) bir boru yukarya doru 1/20 (sine) eimdedir. Borunun belli bir noktasndaki basn 90 kPadr. Bu noktadan 100m uzaktaki ideal boru basncn hesaplaynz.

84

zm: ekil 8.3e dayanarak; 1 = 90 kPa = 90.103 Pa = 900 kg/m3 h1 = 0 (referans) h2 = 100/20 = 5m 1 ve 2deki hz eit olduunda, Bernoulli eitlii u hali alr;p1 p +h1 = 2 +h2 g g p2 9 .1 3 0 0 +0 = +5 9 0.9 8 0 , 1 9 0.9 8 0 , 1 p2 = 4 ,9 k a 5 P

Not: Hz basma ykseklii eitlie girilmediinden, bu problem statik yntemleriyle zlebilir (problem 2.11e baknz).

8.6 BR TANKTAN SIVI AKIIBir delik veya orifise sahip bir tanka Bernoulli eitlii uygulanarak vena daralmasndaki k hz hesaplanabilir. Not: Orifisteki hz bulmak iin Bernoulli eitliinin uygulanmas doru deildir. nk sv hzlanrken 2 noktasndaki vena daralmasnda sv basnc atmosfer basncna ulaamaz(ekil 8.4e baknz). Buna ramen vena daralmas orifisle ayn apta olduundan, ayet h ykseklii orifis apna kyasla ok bykse bu etki kk bir hataya neden olur.

ekil 8.4 Bir tanktan ak

85

ayet vena daralmasna kyasla tank alannn ok byk olduu kabul edilirse u1