8Âº-ANO1

5

Produtos notáveis ............................................................................................... 06 Quadrado da soma de dois termos Quadrado da diferença de dois termos Produto da soma pela diferença de dois termosFatoração de polinômios .................................................................................... 12 Fator comum em evidência Fatoração por agrupamento Diferença de dois quadrados Trinômio quadrado perfeitoRetomando as equações .................................................................................... 25Ângulos externos ................................................................................................ 28Retas ..................................................................................................................... 33Tratamento da Informação ................................................................................. 37Frações algébricas .............................................................................................. 41 Simplificação de frações algébricas Mínimo múltiplo comum de polinômiosOperações com frações algébricas .................................................................. 45 Adição e subtração de frações algébricas Multiplicação e divisão de frações algébricas Sistemas de Equações........................................................................................ 53 Método da Substituição Método da AdiçãoInequação ............................................................................................................. 60 Propriedades fundamentais da desigualdadeQuadriláteros ....................................................................................................... 67 Classificação e PropriedadesTriângulos ............................................................................................................. 71 Altura Mediana Mediatriz Bissetriz Congruência Sólidos Geométricos ........................................................................................... 82 Prisma Pirâmide

8º anO

matematica_8º_2S_10.indd 5 09/11/2010 11:08:04

6

Então:

Produtos Notáveis

Alguns empresários compraram um terreno e pretendem construir um Shopping Center. Para concluir o projeto foi necessário fazer uma planta para o melhor aproveitamento do terreno.

Observe a figura:

O engenheiro responsável solicitou aos empresários que incluíssem na planta a área total do terreno.

Veja como ficou a planta:

Agora, vamos calcular a área de cada setor do novo Shopping Center.

Todos os setores correspondem às áreas representadas por figuras geométricas planas (retângulos e quadrados), os quais já sabemos que para calcularmos suas áreas basta multiplicarmos a base pela altura.

Área do estacionamentoa . b = ab

Área da academiab . b = b2

Área da praça de alimentação a . b = ab

Área das lojasa . a = a2

QUaDRaDO Da SOMa DE DOIS TERMOS


7

(área do estacionamento) + (área da praça de alimentação) + (área da academia) + (área das lojas) = área total

Como a planta total também representa uma figura plana, “quadrado”, podemos calcular a área total da seguinte forma:

(a + b) = altura

(a + b) = base

Área total = base x alturaÁrea total = (a + b) . (a + b) = (a + b)2

Para comprovarmos essa igualdade é só aplicar a propriedade distributiva da multiplicação.

Portanto, temos:

(a + b )2 = a2 + 2ab + b2

a2 + ab + ab + b2

a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = (a + b) . (a + b)

Logo, Área total = ab + ab + b2 + a2 2ab + a2 + b2

2ab

Reescrevendo a área total: a2 + 2ab + b2

Ah, já sei! Para saber a área total, é só somar a área de todos os setores.

É isso aí! Veja como fica.


8

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

Cuidado!

(a + b)2 ≠ a2 + b2

Observe:

QUaDRaDO Da DIFEREnÇa DE DOIS TERMOS

O processo de resolução do quadrado da diferença de dois termos é semelhante ao quadrado da soma, alterando-se somente o sinal de adição (a + b)2 pelo sinal de subtração (a – b)2.

(a – b)2 = (a – b) . (a – b)

a2 – ab – ab + b2

a2 – 2ab + b2

Ou seja: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

De modo geral, podemos enunciar o quadrado da soma de dois termos da seguinte forma:

a) (x + y) 2 x2 + 2xy + y2

c) (3a + 2b)2

(3a)2 + 2 (3a . 2b) + (2b)2

9a2 + 2 (6ab) + 4b2

9a2 + 12ab + 4b2b) (x + 2)2

x2 + 2(2x) + 22

x2 + 4x + 4

Veja:

1º termo

2º termo

quadrado

do 1º termomais duas vezes o produto dos termos

mais o quadrado

do 2º termo

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


9

PRODUTO Da SOMa PELa DIFEREnÇa DE DOIS TERMOS

a2 – ab + ab – b2 a2 – b2

Ou seja:

Portanto, podemos concluir que:

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

(x + y) . (x – y) = x2 – y2

(x + 1) . (x – 1) = x2 – 12 = x2 – 1(2a + 4b) . (2a – 4b) = 4a2 – 16b2

Exemplos:

Exemplos:

Produtos notáveis são as multiplicações de certas expressões algébricas que aparecem com frequência nos cálculos, tornando-se notáveis.

Portanto, podemos concluir que:

(a + b) . (a – b) Aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação temos:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

a) (x – y)2

x2 – 2xy + y2 b) (x – 3)2

x2 – 2.(x) . (3) + 32

x² – 6x + 9

c) (2a – 5b)2 (2a)2 – 2.(2a) . (5b) + (5b)2

4a2 – 20ab + 25b2

Cuidado!

(a – b)2 ≠ a2 – b2

Um outro exemplo de produto notável é a expressão algébrica (a + b) . (a – b), denominada “produto da soma pela diferença de dois termos”. Ela pode ser resolvida aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação. Vejamos:

Veja:

1º termo

2º termo

quadrado

do 1º termo

menos duas vezes o produto dos

termos

mais o quadrado

do 2º termo

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2


10

2. A figura abaixo representa uma piscina quadrada vista do alto, ao seu redor há uma faixa demarcada que ocupa uma área de 132m2. Calcule a medida x dos lados da piscina. (As medidas são dadas em metros).

1. O professor de Matemática pediu à sua turma do 8º Ano-B que desenvolvessem a expressão(3x + y2) . (3x + y2). Pedro deu como resposta 3x2 + y4. A resposta desse aluno está correta? Se não estiver, escreva-a corretamente.

(A) (3x + 5) (3x – 5) (C) (3x + 5) (3x + 5)

(B) (3x – 5) (3x – 5) (D) 3x (3x – 25)

3. (Saresp - SP) A expressão 9x2 – 25 é equivalente a:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

quadrado de trinômio quadrado perfeito uma soma

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

quadrado de trinômio quadrado perfeitouma diferença

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

soma vezes diferença de quadrados diferença

nomenclaturas


11

c) (3x² - 6)² = d) x - 2 ² =

a) (2a - 1)² = b) (2qb - c)² =

5. A professora de Artes resolveu fazer com seus alunos um porta-retrato para homenagear o Dia dos Pais. Para adiantar o trabalho ela já trouxe um molde pronto, só que a foto de Rodrigo é maior que o molde. Então, ele precisou recortar 1 cm de duas bordas da foto, conforme a figura.

(A) x + y + 52 (B) (x + y + 5)2 (C) (x + y)2 + 5 (D) x2 + y + 52

4. (Saresp - SP) A expressão algébrica que representa a situação: “O quadrado da soma de dois números mais 5 unidades é”:

Qual o trinômio quadrado perfeito que representa o tamanho da foto após a retirada das bordas?

6. Calcule usando o quadrado da soma de dois termos:

7. Observe a figura e marque qual expressão representa sua área total.

(A) x2 (B) y2 (C) x . y (D) (x + y)2

9. Calcule usando o quadrado da diferença de dois termos:

8. Calcule os produtos:

a) (2a + 1) . (2a – 1) b) (2x + 3) . (2x – 3)

a) (x2 + 1)2 c) (ab2 + cd)2

b) (6 + y)2 d) (a2 + 12

)2

X

1

1

X

X

X

Y

Y

2


12

10. Preencha a tabela, obtendo os valores correspondentes.

Fatoração de Polinômios

Observe os exemplos abaixo:

Um número pode ser representado de diversas formas.

Vamos verificar agora algumas formas de fatoração.

Em todas essas situações estamos efetuando uma fatoração, ou seja, fatorar um número ou uma expressão algébrica significa escrever este número ou essa expressão como um produto (multiplicação) de outros números ou de outras expressões.

Calcule a área dos retângulos 1 e 2.

Observe o exemplo:

Área 1 = base x alturaÁrea 1 = z . x

Área 2 = base x alturaÁrea 2 = y . x

Eu sei! É só somar as duas áreas.

FaTOR COMUM EM EVIDênCIa.

E agora, qual é a área total?

a b a + b a - b (a + b) . (a – b) a2 – b2

3 1

-3 2

6 1

5 -3

-3 -4

2 0

0 5

1 . 24 2 . 12 3 . 8 4 . 6 23 . 3

24

2a . 4a2 8 . a3 8a2 . a 8a . a2

8a3

1 2

Z

Z

Z + Y

Y

Y

XX


13

yxx

zxx

+

Note que o polinômio zx + yx é formado por dois termos: zx e yx , que apresentam em comum o fator x.

Quando os termos de um polinômio apresentam um fator em comum, podemos colocá-lo em evidência, obtendo uma forma fatorada do polinômio.

Colocando o fator comum em evidência.

Portanto, a forma fatorada neste caso é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

zx + yx x . (z + y)

Fator comum em evidência

x. (z + y)

x.

Será que está certo o que fizemos?

Há uma forma de saber se acertamos a fatoração, é só aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. Se voltarmos ao polinômio inicial, é porque o fator comum foi colocado em evidência de forma correta.

Veja:

x . (z + y) xz + xy ou zx + yx

Muito bem!Vejamos como fica.

Eu já vi isso, e chamamos esse processo de prova real.

Logo, podemos concluir que a fatoração está correta.

Área 1 + Área 2

zx + yx


14

Outros exemplos:

Qual é o fator comum nesse caso?

O fator comum é o a.

Observe agora que o fator comum é o x e o y.

d) 12a + 20a4 + 4a3

Agora complicou! Temos três termos e também valores numéricos. Como vamos resolver?

c) 2xy + 5xyz

b) a2 + 3a

a) ay + by + cy

É simples! Primeiro, devemos decompor os valores numéricos em fatores primos e depois colocar em evidência os que forem comuns.

y . ayy

+

byy

+ cyy

= y . (a + b + c)

2xyxy

+

5xyzxy

= xy . (2 + 5z)

a2

a +

3aa

= a . (a + 3)

Logo, xy .

Então: a .


15

2²a . 2². 3a2²a

2². 5a43

2²a2². a3

2

2²a+ +

Vamos lá!Decompondo os valores numéricos em fatores primos.

Colocando em evidência:

Reescrevendo os polinômios:

22 . 3a + 22 . 5a4 + 22 . a3

Os fatores em comum são: 22 e a.

Resumidamente temos:

ax + bx = x. (a + b)mc2 + cn = c. (mc + n)xyz + yz + z = z. (xy + y + 1)15y5 – 10y3 + 25y2 = 5y2 (3y3 – 2y + 5)

a) 16y – a2y c) a3 – 8a2 + a

b) 3x2 + 30xy + 27x d) 49abc – 14ac2 +35 a2bc

1. Identifique o fator comum em cada polinômio.

a) 6x + 6y + 6z c) 4x3 – 6x2 + 12x b) 4a + ab d) 80y5 + 64y3

2. Fatore colocando o fator comum em evidência.

12

6

3

1

2

2

3

22 . 3

20

10

5

1

2

2

5

22 . 5

4

2

1

2

222

2²a (3 + 5a3 + a2) 4a (3 + 5a3 + a2)


16

5. Escreva a área dos retângulos colocando o fator comum em evidência.

3. Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, verifique se as fatorações foram feitas de forma correta. Em caso negativo, refaça-as corretamente.

a) 8x2y (3x – 2y + 1) = 26x3y – 8x2y2 + 8x2yb) 4ab (3b – 5a + 2) = 12ab2 – 20a2b + 8abc) –7 (a + b + c) = – 7a – 7b – 7cd) 6cd (c – 1) = 6c2d + 6cd

4. Carlos Eduardo perguntou a Mônica, sua colega de sala, qual a idade de seu pai. Como Mônica adora enigmas, respondeu: A idade de meu pai é expressa pelo polinômio:15ab + 10bc, sendo 3a + 2c = 15 e 5b = 3

Ajude Carlos Eduardo a resolver esse enigma. (Dica: Coloque os fatores comuns em evidência).

Em algumas situações o polinômio não apresenta um fator comum a todos os termos.

FaTORaÇãO POR aGRUPaMEnTO

Esse polinômio não apresenta um fator comum aos quatro termos, porém, podemos fatorar os termos agrupando-os.

ax + ay + bx + by

x

a

2x

2x

5y

3x

2y 42

5xy9y

mn

mn m

a)

c)

b)

d)

2b 3c 43

43

Em alguns casos sim. Observe o exemplo a seguir.

Puxa! E quando isso ocorre, também podemos fatorar?


17

Agrupando dois a dois podemos encontrar um fator comum.

Observe:

ax + ay + bx + by

a (x + y) + b (x + y)

fatorcomum

Lembre-se: Fator comum é aquele que aparece em dois ou mais termos.

Já acabou?

Então, vamos colocar (x + y) em evidência.

fatorcomum

a (x + y) + b (x + y)

fatorcomum

fatorcomum

Logo, (x + y) . (a + b) é a forma fatorada do polinômio: ax + ay + bx + by

Humm, é fácil! É só agrupar os termos que têm algum fator em comum.

Muito bom! Não se esqueça que podemos conferir o resultado aplicando a propriedade distributiva.

Aplicando a distributiva

(x + y) . (a + b)

xa + xb + ya + yb ou

ax + ay + bx + by

A ordem dos fatores não altera o produto.

Não, ainda temos outro fator comum: (x + y)


18

b)

Outros exemplos:

a) ab + 2ac + a + 3b + 6c + 3 a (b + 2c + 1) + 3 (b + 2c + 1) (b + 2c + 1) . (a + 3)

b) y3 – 5y2 + y – 5

y2 (y – 5) + 1 (y – 5) (y – 5) . (y2 + 1)

1. Observe as figuras e indique três formas distintas para representar o perímetro de cada uma.

a) xm + xn + bm + bn b) 3x + ay + 3y + ax c) x2 + ax + ab + bx d) 4ax + 4by + 4c – ax2 – bxy – cx

2. Fatore os polinômios por agrupamento.

3. (Saresp-SP) Ao calcular a área de uma determinada casa, representada na figura abaixo, uma pessoa calculou a área de cada cômodo encontrando a seguinte expressão: ab + ac + 10b + 10c

Uma outra pessoa calculou a área desta mesma casa de outra

maneira, chegando também ao resultado anterior. Indique a

forma fatorada com que essa última pessoa pode ter

representado a área dessa casa.

4. (Furb-SC) Um professor de Matemática tem 4 filhos. Em uma de suas aulas, ele propôs a seus alunos que descobrissem o valor da expressão ac + ad + bc + bd, sendo que a, b, c e d são as idades dos filhos na ordem crescente. Como informação complementar, o professor disse que a soma das idades dos dois mais velhos é 59 anos e a soma das idades dos dois mais novos é 34 anos. Qual o valor numérico da expressão proposta pelo professor?

banheiro sala

cozinha quarto10

ab c

a) b)

y

x

z

z

w

w

yy

w

w


19

Está baseada no produto notável da soma de dois números pela diferença entre eles, ou seja: a2 – b2 = ( a + b ) . ( a – b )

Para fatorar uma expressão algébrica formada pela diferença de dois quadrados, procedemos do seguinte modo:

Extrai-se a raiz quadrada de cada termo;

Em seguida, forma-se o produto da soma pela diferença entre as raízes determinadas.

DIFEREnÇa DE DOIS QUaDRaDOS

Extrai-se a raiz quadrada de cada termo:

Exemplo: x2 – 4y2

Logo: x2 – 4y2 = (x + 2y) . (x – 2y)

Forma-se o produto entre as raízes determinadas da soma pela diferença entre elas.

Outros exemplos:

Neste caso, primeiramente, colocamos os termos comuns em evidência.

Logo,

a)

b)

Logo, 16a2 b8 - 15a4b6 = a2b6 . (4b + a . 15 ) . (4b - a . 15 )


20

O trinômio x2 + 2xy + y2 é chamado trinômio quadrado perfeito, porque é igual ao quadrado do binômio (x + y), pois:

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

(x + y)2 é a forma fatorada do trinômio x2 + 2xy + y2.

O trinômio x2 – 2xy + y2 também é um quadrado perfeito, porque é igual ao quadrado do binômio (x – y), pois:

x2 – 2xy + y2 = (x – y)2

Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. Para sabermos se um trinômio é ou não é um quadrado perfeito, devemos verificar se ele atende três exigências, são elas:

1º) tem três termos; 2º) dois de seus termos são quadrados (x2 e y2); 3º) o outro termo é mais, ou menos, duas vezes o produto das bases (+ 2xy ou – 2xy).

O sinal deste termo (+ ou –) é mantido na forma fatorada: (x + y)2 ou (x – y)2, respectivamente.

Colocando em prática:

Vamos verificar se o trinômio 9m2 + 12mn + 4n2 é quadrado perfeito.

Precisamos analisar cada item.

Primeiramente constatamos que o trinômio tem três termos, onde dois deles são quadrados, neste caso, 9m2 e 4n2.

Agora, devemos determinar a raiz de cada termo quadrado.

Para finalizar, multiplicamos por 2 o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao termo restante: 2.(3m).(2n) = 12mn

Como o termo restante é justamente 12mn, dizemos que o trinômio é quadrado perfeito.

Portanto: 9m2 + 12mn + 4n2 = (3m + 2n)2

(x – y)2 é a forma fatorada do trinômio x² – 2xy + y².

TRInôMIO QUaDRaDO PERFEITO


21

Analisar se os trinômios abaixo são ou não quadrados perfeitos.

Outros exemplos:

Como 40ab é diferente de 42ab, logo o trinômio 25a2 + 42ab + 16b2 não é quadrado perfeito.

2 . (5a) . (4b) = 40ab

Neste caso, o termo restante é justamente 12y, logo: y2 + 12y + 36 = (y + 6)2.Portanto, o trinômio y2 + 12y + 36 é um trinômio quadrado perfeito.

2 . (y) . (6) = 12y

1. Escreva as subtrações a seguir como um produto de polinômios.

a) p² – v² b) 9 – c² c) z² – 4 d) 4a² – b²

2. Fatorar os polinômios:

a)

b)

a) 49a2 – 81b2 b) x2 – 25 c) d2 – 116

d) (k + 5)2 – 25

Na sala de informática acesse o SITE: www.barueri.sp.gov.br/educacaoDesenvolver as atividades reservadas para <8º ano> na disciplina <matemática>

relacionadas a “Produtos Notáveis”.


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3. (Saresp-SP) Fatorando 4x² + 16x + 16, obtém-se:

(A) (x + 4)² (B) (2x + 4)² (C) (x + 4) (x – 4) (D) 4(x + 2)

4. Verifique se cada trinômio é quadrado perfeito, se for fatore-o.

a) a² + 8a + 16 b) 1 + 9b² – 6bc) k² + 10k + 25 d) 16m² + 8mn + n²

5. Escreva o trinômio quadrado perfeito que representa a área dos quadrados abaixo.

a) x4 + + 49 c) a2 + +16 e) b2 + 4b +

b) – 6y + 9 d) x2 – + 1 f) n4 – 12m2n2 +

6. Preencha as lacunas de forma que cada trinômio abaixo seja um quadrado perfeito.

Um ano solar tem 365 dias mais 5 horas, 48 minutos e 46 segundos. Por isso, de 4 em 4 anos temos, três anos com 365 dias e 6 horas e um ano bissexto, com 366 dias. Entretanto, por não serem exatamente 365 dias e 6 horas, a intercalação de anos bissextos não é tão simples. Em meados do século XVI, o papa Gregório XIII determinou que nenhum ano que terminasse em 00 fosse bissexto, exceto os divisíveis por 400. Assim, em nosso calendário (chamado calendário gregoriano), os anos bissextos são os divisíveis por 4, excluindo os terminados em 00 que não são divisíveis por 400.

ano bissexto

Fonte: Imenes & Lellis. Matemática. São Paulo: Scipione, 1998.


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1. Durante a aula de matemática o professor organizou a sala em três grupos, Romualdo, Renato e Roberto, foram os líderes de seus grupos. Cada um sorteava um produto notável e os outros grupos respondiam. Observe a tabela:

Nome: ________________________________________________________ Nº _____ 8° Ano____

Questõessorteadas

Respostas

Romualdo Renato Roberto

(a + 10)² --------- a² + 20a + 100 a + 2a + 100

(3x – 1)² 9x² + 6x + 1 --------- 9x² – 6x + 1

(x + 1) (x – 1) x² –1 x² + x – 1 ---------

Podemos afirmar que:

(A) Romualdo e Ronaldo acertaram duas questões cada.(B) Romualdo, Renato e Roberto acertaram uma questão cada.(C) Renato e Roberto acertaram duas questões cada.(D) Roberto, Renato e Romualdo erraram todas as questões.

2. Sabendo que xy = 15, quanto vale (x – y)² – (x + y)² ?

(A) – 16(B) – 48(C) – 48(D) – 60

3. Ao fatorar o trinômio 12a²x² + 6a²x³ – 8ax³, colocando em evidência o fator comum, obtemos:

(A) 6ax² (2a + ax – 8a)(B) 4ax² (3a – 6ax + 2ax³)(C) 3ax² (4a – 2ax + 8ax3)(D) 2ax² (6a + 3ax – 4x)


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4. Simplificar a expressão (x + y)² – x² – y², significa reescrevê-la do seguinte modo:

(A) (x + y)²(B) (x – y)²(C) 2xy(D) x – y

5. Ao agrupar e fatorar a expressão abx² + aby² + a²xy + b²xy, obtemos:

(A) (bx – ay) (ax – by)(B) (ax + by) (ay – bx)(C) (bx + ay) (ax + by)(D) (bx – ax) (ax + by)

6. Qual das alternativas abaixo, ao ser fatorada, tem resultado a² b² – 4?

(A) (ab + 2) (ab – 2)(B) (ab + 2) (ab + 2)(C) (a + 2) (b – 2)(D) (ab + 2 (b + 2)

7. Coloque V para verdadeiro e F para falso para cada trinômio apresentado a seguir.

( ) 9d² + 12d² + 4n² = (3d – 2n)²( ) x² + 2xy + y² = (x + y)²( ) n² – 8n + 16 = (n – 4)²( ) m² + 2mn + n² = (m – n)²( ) a² + 12a + 36 = (a + 6)²( ) 1 – 2k + k² = (1 – k)²( ) 9m² + 12m² + 4n² = (3m + 2n)²( ) 25c² – 45c² + 81a² = (5c – 9a)²( ) 1 + 2p + p² = (1 – p)²

8. A multiplicação de (x – 2) (x – 3) é:

(A) x – 5x + 5(B) x² – 5x + 6(C) x² + 7x + 7(D) x² – 10 + 5


25

Lembra-se como resolvemos uma equação de 1º grau?

Já estou me lembrando! Tudo o que fizermos de um lado do sinal de igual, temos que fazer do outro também para mantermos a igualdade.

É isso aí! Vamos lá.

Retomando as Equações

Eu me lembro de ter visto equações na 6ª série!

Isso mesmo! Agora retomaremos o estudo de equações para ampliar nossos conhecimentos.

Vamos representar agora essa descrição em linguagem matemática.

Vamos lá!

Giovanna tem diariamente 5 aulas de mesma duração e um intervalo de 20 minutos, em um período total de 270 minutos na escola. Qual a duração de cada aula?

Essa situação pode ser resolvida utilizando uma equação de 1ª grau.

Veja como:A incógnita da situação é a duração de cada aula.Logo, a duração de cada aula é igual a x (valor desconhecido).

5x + 20 = 270

Como temos 5 aulas com a mesma duração e mais 20 minutos de intervalo, num total de 270 minutos, representaremos matematicamente, da seguinte forma:

Como temos uma igualdade e o objetivo é encontrar o valor de x, basta isolarmos a incógnita em um dos lados da igualdade.

5x + 20 = 270

5x + 20 – 20 = 270 – 20

x = 50 Logo, o tempo de cada aula equivale a 50 minutos.

5x5

2505

=


26

Quando um número não tem denominador, representamos com o número 1.

Sabendo que ela repartiu igualmente entre seus 36 alunos, devemos então dividir o total comprado, por 36.

Outra situação:Dona Ermelinda, professora de Ciências de uma EMEF, gosta de fazer surpresas para seus

alunos. Esta semana ela comprou 4 pacotes iguais de pirulitos e mais 8 pirulitos soltos para distribuí-los igualmente entre seus 36 alunos. Cada um deles recebeu 2 pirulitos. Quantos pirulitos havia em cada um dos pacotes?

Resolvendo:

A incógnita x, é o número de pirulitos que havia em cada pacote.Como ela comprou 4 pacotes e mais 8 pirulitos soltos, temos:

4x + 8

E finalmente, com a informação de que cada aluno recebeu dois pirulitos, temos a equação:

= 2 (Agora é só isolar o x)

Multiplicando os extremos das frações.

Logo, em cada pacote haviam 16 pirulitos.


27

Observe:

Quando temos incógnita no denominador, o processo de resolução é o mesmo.

Então essa retomada de equação é só para aquecer?

É isso aí! Já está aquecido? Então vamos para algumas atividades.

Este tipo de equação é chamada de “equação fracionária” e será abordada posteriormente.

2. Resolva as seguintes equações:

1. Uma loja de materiais de construção vendeu para um freguês a quarta parte de um rolo de arame. Em seguida, vendeu para outra pessoa mais 6 metros do mesmo rolo, completando assim a venda de exatamente metade do rolo de arame.

a) Represente a situação com uma equação.b) Resolva a equação para saber quantos metros de arame tinha esse rolo.

a)

c)

3. Há 8 anos Tábata tinha dois terços da idade que tem hoje. Qual é a idade de Tábata?

b)

d)


28

A reciclagem de uma latinha de alumínio pode economizar energia elétrica suficiente para manter um aparelho de TV ligado durante 3 horas. Se reciclarmos uma tonelada de latinhas de alumínio, economizamos energia elétrica suficiente para manter um aparelho de TV ligado 150000 horas.

a) Quantos dias correspondem a 150000 horas? Você já viveu tantos dias assim?

b) Quantas horas por dia o aparelho de TV de sua casa fica ligado?c) Quantas latas de alumínio reciclado isso representa?

Lembre-se de que, para cada latinha de alumínio reciclada, economiza-se energia elétrica suficiente para manter um aparelho de TV ligado durante 3 horas.

... no fim do século XI, os alemães chamaram a incógnita de “cosa” e no século XVI de “coss”?

... criou-se na Alemanha uma escola de algebristas, conhecida por Cossistas?

... o uso atual de representar as quantidades conhecidas pelas primeiras letras do alfabeto, a, b, c, e as incógnitas pelas últimas, x, y, z, é devido a Descartes?

Você sabia que ...

Fonte: Cadernos do MEC. Brasil.1994.

É mesmo! Eu já ouvi algumas frases que nos dão bem a ideia de ângulo.

Ângulos Externos

Você sabia que não utilizamos o termo ângulos somente na sala de aula?


29

Exemplos:

na diversão Juliano chutou a bola no ângulo!

Nossa! Como o telhado desta casa é inclinado! Tem um ângulo perfeito.

Puxa, que curva fechada!

É mesmo! Essas são situações reais. E eu nunca observei esses detalhes.

Reta do Porto Morretes

Igreja SãoSebastião

Curitiba

BR-277

Paranaguá

Tudo bem! Não se preocupe, o legal é perceber a importância da Matemática e como ela é utilizada em nosso dia-a-dia, mesmo quando não percebemos.


30

Observe o mapa abaixo, veja a quantidade de ângulos que ele nos indica.

Essa figura nos dá a ideia de um triângulo.

Dado a = 50º, como determinar o ângulo b?Para encontrarmos o valor de b, devemos saber que em cada vértice, o ângulo interno (que

está dentro da figura) e o externo são adjacentes suplementares.

Agora ficou fácil! Para saber o valor de b é só fazer a + b = 180º. Certo?

Sim! Está correto. Vamos calcular?

a + b = 180º Como já sabemos que a = 50º, devemos substituir o valor de a na equação.

50 + b = 180º50 – 50 + b = 180 – 50 b = 130º

Temos aqui uma equação do 1º grau. É só isolar a incógnita.

Logo, b = 130º.

Você já sabe o que são ângulos internos. Agora conheça os ângulos externos.

a

b

Lembre-se que dois ângulos são suplementares se sua soma for igual a 180º.


31

c + 95° = 180°

c + 95° - 95° = 180° - 95°

c = 85°

É importante sabermos que a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono independente do número de seus lados, é sempre igual a 360º.

Outros exemplos:

Calculando os ângulos externos a, b, c e d.

Sabendo que a soma dos ângulos externos equivale a 360º, podemos concluir que:

a + b + c + d = 360º

Será que deu certo?

Vamos ver.

83º52º

95ºb

a

d

c

130º

â + 83° = 180°

â + 83° - 83° = 180° - 83°

â = 97°

b + 52° = 180°

b + 52° - 52° = 180° - 52°

b = 128°

d+ 130° = 180°

d+ 130° - 130° = 180° - 130°

d = 50°

a = 97° b = 128° c = 85° d = 50°

a + b + c + d = ?

97° + 128° + 85° + 50° = 360°


32

1. Renato e sua família foram acampar e, para chegar ao camping foi necessário atravessar uma ponte conforme a figura.

Determine a inclinação da rampa que dá acesso à ponte.

2. Observe as figuras geométricas e determine o valor das incógnitas.

3. Calcule o valor de x na ilustração.

xa) b)

c) d)

a

yx

30ºz

100º111º70º

3x + 8º

2x + 10º

3x - 10º

y

160ºx


33

RetasJá falamos sobre retas nas séries anteriores.Agora, retomaremos alguns conceitos sobre elas.

Você se lembra o que são retas paralelas?

Eu me lembro.São retas que pertencem ao mesmo

plano e que não possuem ponto em comum, isto é, nunca se cruzam.

Observe o exemplo a seguir. as ruas e avenidas nos dão ideia de retas.

Temos no mapa apresentado, alguns exemplos de retas paralelas.

As retas que representam as ruas 1 e 2 são paralelas:

Veja:

avenida 1 avenida 2 avenida 3

// símbolo de paralelismo.Rua 1

Rua 2 Rua 1 // Rua 2

As retas que representam as avenidas 1, 2 e 3, também são paralelas.

av. 1 // av. 2 // av. 3

Avenida 1

Rua 1

Rua 2

Avenida 2 Avenida 3


34

E as retas que se cruzam, como são chamadas?

As retas que se cruzam são chamadas de retas concorrentes.

Retas concorrentes, esse nome não me é estranho.

E não é mesmo, pois já estudamos as retas concorrentes. São aquelas que se cruzam em um único ponto. Observe o exemplo do mapa.

As retas que representam a rua 1 e a avenida 1 são concorrentes.

É mesmo! Elas se cruzam em um único ponto, neste caso, chamado de ponto P.

Veja:

Em alguns casos, as retas se cruzam formando um ângulo reto (90º), quando isso ocorre, dizemos que essas retas são perpendiculares e indicamos por:

Exemplo

Como o ângulo formado pelas retas a e b é de 90º temos: a b.

Ainda não sabemos o que são retas transversais, mas a definição é simples.

Não podemos nos esquecer que também temos as retas transversais.

P

Avenida 1

Rua 1

a

b


35

Reta transversal é aquela que intercepta duas ou mais retas em um mesmo plano.

Ah! Já sei então. Seguindo o exemplo do mapa, a Rua 1 é uma reta transversal, pois intercepta (corta) as avenidas 1, 2 e 3 . Estou correta?

Muito bem! Você realmente entendeu.

Geometricamente temos:

Sendo assim, podemos dizer que a rua 1 é concorrente à avenida 1, 2 e 3, pois possui apenas um ponto em comum com cada uma delas. Também é chamada de reta transversal, pois intercepta (corta) mais de uma reta.

1. Trace uma reta paralela à reta dada.

a) b) c) d)

2. Quantas retas paralelas podem ser traçadas tendo como referência a reta b?

a) 3 pares de ruas paralelas.b) 3 pares de ruas concorrentes.c) 2 pares de ruas perpendiculares.

3. Realize uma pesquisa encontrando um mapa de ruas, em seguida identifique:

Avenida 1

Rua 1

Avenida 2 Avenida 3

b

m

r

n

s


36

4. Construa as retas perpendiculares às retas r, s, t e u:

a) b) c) d)

5. Na figura, temos a // b. Qual é o número que expressa, em graus, a medida de y?Dica: (4x + 10 = 3x + 19)

6. (Fundação Carlos Chagas-SP) Na figura abaixo tem-se r // s: t e u são transversais. O valorde x + y é:

(A) 100º

(B) 120°

(C) 130°

(D) 140º

(A) 75 º

(B) 80º

(C) 85 º

(D) 90º

7. (Cesgranrio-RJ) As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal t. Se o ângulo B é o triplo do A, então B - A vale:

c

4x + 10

3x + 19

70º

xy

t

s

A

B

r

t

s

r20º

u

a

yb

u

t

s

r


37

Tratamento da Informação1. A violência contra a criança e o adolescente tem aumentado consideravelmente nos últimos anos. A tabela abaixo nos indica os tipos de violência mais comuns que são denunciadas.

a) De acordo com a tabela, qual o tipo de violência mais comum contra a criança e o adolescente cometido em um ambiente extra familiar?

b) Você é a favor ou contra o trabalho infantil? Por quê?

2. As menores taxas de mortalidade infantil são dos países desenvolvidos – Finlândia, Islândia, Japão, Noruega e Suécia (3 mortes a cada mil nascidos). As piores médias são dos países pobres, especialmente das nações africanas e asiáticas. O Afeganistão apresenta a incrível média de 254 óbitos por mil nascidos vivos.

No Brasil, assim como na maioria dos outros países, essa taxa está reduzindo a cada ano. Conforme dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a mortalidade infantil no Brasil segue em declínio. Em uma década (1998 – 2008) passou de 33,5 crianças mortas por mil nascidas vivas, para 23,3. Acompanhe os dados divulgados pelo IBGE.

Taxa de mortalidade infantil, segundo as regiões do Brasil, de 1990 a 2010Regiões 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010norte 193,3 166,0 145,4 122,9 104,3 79,4 44,6 28,6 24,2

nordeste 193,2 187,0 175,0 164,1 146,4 117,6 74,3 43,0 34,4

Sudeste 153,0 140,0 122,0 110,0 96,2 57,0 33,6 20,7 17,1

Sul 121,0 118,0 109,0 96,0 81,9 58,9 27,4 18,4 15,6

Centro-Oeste 146,0 133,0 119,0 115,0 89,7 69,6 31,2 21,0 18,3

a) Em que ano e em que região do país aparece o maior índice de mortalidade infantil?

b) Em que ano e em que região do país aparece menor índice de mortalidade infantil?

c) Construa um gráfico de barras representando a taxa de mortalidade infantil do Brasil de 1990 a 2010.

Fonte: Delegacia de Proteção à Criança e ao Adolescente (DPCA), 2007.


38

3. Carros a hidrogênio “Não é de hoje que os veículos de passeio têm sido vistos como vilões. Primeiro, pelo preço do petróleo, que desencadeou a corrida por combustíveis alternativos, o que levou o Brasil à opção pelo álcool e sua adição à gasolina e mais recentemente à sua utilização em motores bi-combustíveis. Depois, pelos problemas ambientais decorrentes do efeito estufa provocado pela emissão do gás carbônico, gerado na queima dos combustíveis fósseis e que despontaram como um dos principais causadores de alterações climáticas. Hoje, mesmo com o preço do barril do petróleo ao redor dos U$ 100,00 e as recorrentes ameaças de sua progressiva escassez, é a sirene despertada pelos problemas ambientais que tem levado à corrida por combustíveis cada vez mais limpos. A solução definitiva e perfeita seria o gás hidrogênio, obtido da água e de diferentes biomassas, que, ao reagir com o gratuito oxigênio do ar, em um dispositivo adequado chamado célula a combustível, retorna à atmosfera na forma de água e libera uma corrente elétrica capaz de acionar um silencioso motor elétrico. Sem ruídos e barulhos, reduzem-se a poluição e o efeito estufa. Sonho? Nem tanto. Células a combustível já são utilizadas na Europa em protótipos de ônibus urbanos. Movem também carros pré-comerciais em estados norte-americanos, como o da Califórnia. Em São Paulo, maior cidade da América Latina, que enfrenta problemas crônicos de poluição, gerados em grande parte pela utilização de combustíveis fósseis em veículos leves que por ela circulam em grande número, seria viável a utilização do hidrogênio? Quanto custaria a infraestrutura necessária? O hidrogênio teria preço compatível? A tecnologia do carro a hidrogênio já está dominada? Qual o custo desses veículos? E quanto mais se teria que produzir de energia elétrica para garantir o sistema?” As respostas a estas indagações estão na tese de doutorado de Paulo F. P. Ferreira, pesquisador no Laboratório de Hidrogênio do Instituto de Física Gleb Wataghin (IFGW) da Unicamp, em trabalho orientado pelo professor Ennio Peres da Silva, chefe do laboratório e professor do IFGW.

Texto adaptado, disponível em: <www.unicamp.br/unicamp/unicamp_hoje/ju/novembro2007/ju381pag04.html>. Acesso em: jul.2010.

Comparativos de custos do km rodado com diferentes combustíveis

Preço combustível1 ConsumoCusto de quilômetro

rodado2 (R$/km)

Diesel 1,848R$/l 8km/l 0,2310

GNV 1,1R$/m³ 9km/m³ 0,1222

Gasolina C 2,487R$/l 11,4km/l 0,2182

Álcool Hidratado 1,509R$/l 8 km/l 0,1886

Hidrogênio C1 3,28R$/m³ 10,23km/m³ 0,3206

Hidrogênio C2 2,61R$/m³ 10,23km/m³ 0,2551

Hidrogênio C3 2,52R$/m³ 10,23km/m³ 0,2463(Footnotes)

¹ Preço médio para o estado de São Paulo em maio 2007.² O custo do quilômetro rodado leva em consideração apenas o preço do combustível.

a) Quais os benefícios que o carro movido a hidrogênio traria para a humanidade?

b) Qual combustível apresenta o menor custo por quilômetro rodado?

c) De acordo com a tabela e as informações contidas no texto, o custo/benefício do gás hidrogênio torna viável sua utilização? Justifique sua resposta.


39

Nome: ________________________________________________________ Nº _____ 8° Ano____

1. (Saresp-SP) Entre bananas e maçãs, comprei 5 quilogramas de frutas e gastei R$7,00. Quantos quilogramas comprei de cada fruta?

(A) 3kg de bananas e 2kg de maçãs.

(B) 3kg de maças e 2kg de bananas.

(C) 1kg de bananas e 4kg de maçãs.

(D) 1kg de maçãs e 4kg de bananas.

2. (Saresp-SP) A soma da idade de Carlos e João é 45 anos. Sabendo que a idade de Carlos é o dobro da idade de João, podemos dizer que a idade de Carlos é:

(A) 20 anos (B) 30 anos (C) 40 anos (D) 50 anos

3. As retas r e s indicadas na figura, são paralelas cortadas pela transversal t. A soma das medidas dos ângulos x, y, z e w é igual a:

(A) 270°

(B) 180°

(C) 360°

(D) 400°

4. Determine o valor do ângulo externo x na figura.

(A) 100°

(B) 110°

(C) 120°

(D) 129°

BananasR$ 1,00 o quilo.

MaçãsR$ 1,50 o quilo.

x

t

r

sy

wz

77º

52º

C B

x

A


40

5. (Prova Brasil) Observe o triângulo a seguir.

O valor de x é:

(A) 110° (B) 80° (C) 60° (D) 50°

6. (Saresp-SP) O boletim de Gustavo mostra o seu desempenho na escola neste ano:

Disciplinanotas do

1° Trimestrenotas no

2° trimestrenotas do

3° trimestre

Português 7,0 8,0 9,0

Matemática 5,5 5,5 5,5

Ciências 6,0 6,5 6,0

Geografia 6,5 6,5 6,0

História 7,0 6,5 6,5

Analisando a tabela com as notas de Gustavo, é correto dizer que:

(A) ele melhorou seu desempenho em Português ao longo do ano.

(B) houve variação no seu desempenho de Matemática.

(C) seu desempenho em Geografia foi crescente no ano.

(D) a sua nota de Ciências no 1° trimestre foi maior que a sua nota de Ciências no 2° trimestre.

7. (Saresp-SP) A tabela abaixo mostra o número de passageiros transportados por um ônibus em uma certa semana.

Dia da semana número de passageiros

Segunda-feira 250

Terça-feira 183

Quarta-feira 241

Quinta-feira 194

Sexta-feira 269

Sábado 124

Em que dia dessa semana ele transportou o maior número de passageiros?

(A) Segunda-feira (B) Quarta-feira (C) Sexta-feira (D) Sábado

x 110º

x+10º


41

Eduardo jogou na loteria e gostaria de saber quanto teria direito se fosse um dos ganhadores.Ele sabe que o prêmio total será de 700 mil reais.

Frações Algébricas

Valor do prêmio, dividido pelo número de ganhadores.Matematicamente temos:

Observe que o número de ganhadores foi representado pela incógnita x , pois ainda não oconhecemos.

Temos aqui um exemplo de uma fração algébrica.

A fração algébrica é uma expressão, escrita na forma de fração, que tem variáveis ou incógnitas no denominador, podendo ou não tê-las também no numerador.

Será que é possível saber?

Sim! Porém, precisamos saber o total de ganhadores. Para tanto, podemos representar esta situação da seguinte forma.

Outros exemplos:

Importante!O denominador nunca pode ser igual a zero.

numerador700

Xdenominador

Observe que em todos os exemplos temos incógnitas no denominador.

valor do prêmio

nº de ganhadores =

700x

a)

b)

c)


42

Para simplificar uma fração algébrica, basta dividir o numerador e o denominador por seus divisores comuns:

Exemplos:

Uma fração que não admite mais simplificação é chamada de irredutível.

Quando uma fração algébrica é formada por polinômios, sempre que possível, elas devem ser escritas na forma fatorada para permitir a simplificação.

Exemplos:

Colocandoy em evidência.

Quadrado da soma de dois termos.

Sim! Já vimos este conteúdo quando estudamos os produtos notáveis.

SIMPLIFICaÇãO DE FRaÇõES aLGéBRICaS

Lembre-se:Produto da soma

pela diferença de dois termos.

Eu já vi isso em algum lugar...

.


43

Vamos encontrar o mmc de (12x²yz³ , 18y³).

Observe:

Vejamos como fica:

(2² . 3x²yz³, 2 . 3²y³)

Para encontrarmos o mmc devemos considerar o produto de todos os seus fatores, sendo que os fatores comuns só aparecem uma vez, elevados ao maior expoente.

(2² . 3x²yz³, 2 . 3²y³)

• O 2 é fator comum, então devemos considerar o de maior expoente.

neste caso, 2²

• O 3 é fator comum, devemos também considerar o de maior expoente.

neste caso, 3²

• O x não é fator comum, então é só considerar o que temos.

neste caso, x²

• O y é fator comum, logo devemos considerar o de maior expoente.

neste caso, y³

• O z não é fator comum, então novamente devemos considerar o que temos.

neste caso, z³

MínIMO MúLTIPLO COMUM DE POLInôMIOS

12631

18931

2231

2331

22 . 3 2 . 32


44

Agora é só agrupar, todos os termos considerados.

Determine o mmc de 4abc e 16a5b²

Veja:

2² . 3² . x² . y³ . z³4 . 9 . x². y³. z³36 . x² . y³ . z³

2. Um terreno quadrado, de x metros de lado, foi dividido em y lotes, todos de mesma área.

A expressão algébrica que representa a área de cada lote é :

1. A EMEF onde Fernanda estuda está organizando a biblioteca. Eles possuem M livros de

Matemática, n livros de Língua Portuguesa, C livros de Ciências e J livros de Literatura que

serão distribuídos igualmente em P prateleiras. Represente a fração algébrica desta organização

dos livros.

3. Simplifique as frações algébricas tornando-as irredutíveis.

Portanto, o mmc (12x²yz³, 18y³) = 36x²y³z³

Outro exemplo:

mmc ( 4abc , 16a5 b² ) = 24 . a5. b². c = 16a5b2c

d)

a)

e)

b)

f)

c)

4

2

1

16

8

4

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

4 = 22

16 = 24

(22abc, 24a5b2)

a) b) c) d) e)

y


45

4. Os denominadores de uma fração devem ser diferentes de zero. A partir desta informação, qual o valor que a variável das seguintes frações algébricas podem ter, evitando que ocorra este fato.

aDIÇãO E SUBTRaÇãO DE FRaÇõES aLGéBRICaS

5. Determine o mmc:

a) ( 28x² , 36y ) b) (2x , 5y , 4z) c) ( 2ab² , 15 abc² , 9c) d) (10ax² , ax²)

Operações com Frações Algébricas

Será que é difícil somar e subtrair frações algébricas?

É simples!Eu vou explicar.

Quando as frações possuem o mesmo denominador, mantemos este denominador e somamos ou subtraímos os numeradores.

Exemplos:

Mantemos o denominador e somamos os termos semelhantes.

Mantemos o denominador e subtraímos os termos semelhantes.

Observe: x = 1x y = 1y

a) b) c) d)

a)

b)


46

E quando os denominadores forem diferentes?

Também é simples.Principalmente agora que já

sabemos calcular o mmc das frações algébricas.

Atenção com a regra de sinais!

Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzí-las ao mesmo denominador e em seguida procedemos do mesmo modo como aplicamos para as frações numéricas.

Exemplos:

Primeiro calculamos o mmc de 3x e y

,

D i v ida o mmc pe lo denominador e multiplique o resultado obtido pelo numerador.

c)

a)


47

1. Efetue as adições algébricas indicadas. Quando possível, simplifique a fração resultante.

2. Qual fração algébrica representa o perímetro do quadrado a seguir?

3. Qual fração algébrica representa a diferença entre o perímetro do retângulo 1 e do retângulo 2?

4. Escreva na forma mais simples cada uma das seguintes somas e subtrações algébricas.

21

34x

32x

1x

67x4

5x

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)


48

Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.

MULTIPLICaÇãO E DIVISãO DE FRaÇõES aLGéBRICaS

Para multiplicar ou dividir frações algébricas procedemos da mesma forma que aplicado às frações numéricas.

na multiplicação

Exemplos:

Quando possível, primeiro simplifique as frações.

Exemplos:

na divisão

Mantemos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda.

a)

b)

a)

b)


49

1. Represente a área do campo de futebol através de uma equação algébrica.

2. Relacione as colunas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)


50

1. (Fuvest) Se A =(x-y)xy

, x =

25

e y =

12

, então A é igual a:

TESTES

(A) -0,1 (B) 0,2 (C) -0,3 (D) 0,4 (E) -0,5

2. (CEFET) Simplifique a fração: (a2 + b2 - c2)2 - (a2 - b2 + c2)2

4ab2 + 4abc

4. (Universidade Federal de Goiás) Simplificando a expressãoa2 + ab2 + b

. a2 - ab2 - b

. b2 - 1a2 - 1

, teremos:

3. (PUC-adaptado) Para a, b, c distintos, o valor da expressão a seguir é:

1(a - b)(a - c)

+ 1(b - a)(b - c)

+ 1(c - a)(c - b)

(A) a(b - c)b

(A) a2

b2(B) b2

a2(C a

b(D) b

a

(C) a(c - b)b

(B) a(b + c)b

(D) d(b + c)a

(E) b(b - c)a

(A) a + b + c (B) sempre 0 (C) abc (D) 3(a + b + c) (E)1

a+b+c

5. Reduzindo ao mesmo denominador e simplificando a expressão a seguir você obterá:

A =y3 + y2

y - 5x

3y - 156y

(A) A = y2 + y (B) A = y - 1

(E) y2 - y

(C) y2 + y

2

(D) y2 - y

2


51

1. Ao simplificar a expressão , obtemos:

2. Qual é a forma mais simples da expressão ?

(A) 2 (B) 2x (C) 4x – 1 (D) 8x + 4

3. ( Universidade Federal de Goiás) O valor da expressão é:

4. (Engenharia Araraquara-SP) Simplificar .

4a2 + b3

6ab4

8x + 84x + 4

(A) 2a2b

(A) a

a-b

(A) a

a-1

(B) a

a+b

(B) 2aa

(C) b

a-b

(C) a

a+1

(D) b

a+b

(D) a-1

a

(B) 2a3b

(C) 3a2b

(D) 4a3b


52

5. (Saresp-SP) Uma empresa de entregas em domicílio cobra, na Grande São Paulo, R$ 5,00 fixos por cada entrega, mais R$ 0,03 por cada 1 grama. No interior do Estado, ela cobra o preço da Grande São Paulo acrescido de 10%. O preço de entrega de uma encomenda de x gramas para o interior de São Paulo, em R$, é igual a:

6. (Saresp-SP) O valor numérico da expressão algébrica é A para x = – 1 e B para

x = . O valor de A + B é:

7. A expressão, , na sua forma mais simples é:

8. Indique o valor da divisão, .

9. O mínimo múltiplo comum (mmc) de (9x²y) e (3xy³) é:

(A) 3xy(B) 2x²y(C) 9x²y³(D) 3²xy³

(A)

(B)

(C)

(D)

12

(A) (B) (C) (D)

(A) 1

a+b

(B) 1

a-b

(C) a + b

(D) a – b

(A) 42

(B) 32

(C 22

(D) 12


53

Nilson e Eduardo foram às compras. Como não tinham tomado café pela manhã, resolveram

parar em uma lanchonete, pediram 3 mistos-quentes e 1 refrigerante, gastando R$7,00. Ao

retornarem, passaram novamente pela mesma lanchonete pedindo desta vez 4 mistos-quentes

e 2 latinhas de refrigerante, gastando R$10,00. Ao saírem da lanchonete surgiu a dúvida: qual

é o preço de cada misto-quente e de cada refrigerante?

Sistemas de Equações

Não se você utilizar o sistema de equações. Veja como:

Puxa , é complicado hein!

Como não sabemos o preço de cada um, chamamos de x o preço do misto-quente e de y

o preço do refrigerante.

Equacionando as informações:

Resolvendo o problema utilizando um sistema de equações:

Ida 3x + y = 7 (3 mistos-quentes e 1 refrigerante, gastaram R$7,00)

Volta 4x + 2y = 10 (4 mistos-quentes e 2 refrigerantes, gastaram R$10,00)

As equações com 2 incógnitas formarão o sistema de equações.

3x + y = 7 4x + 2y = 10

Vamos apresentar agora dois modos de resolver esse sitema.


54

3x + y = 7 x = 2

3(2) + y = 7

6 + y = 7

–6 + 6 + y = 7 – 6

y = 1

3x + y = 7

– 3x + 3x + y = 7 – 3x

y = 7 – 3x

Substituindo o valor de y em ( II ), temos:

4x + 2y = 10

4x + 2(7 – 3x) = 10

4x + 14 – 6x = 10

4x – 6x + 14 = 10

–2x + 14 = 10

Para resolver esse sistema pelo método da substituição devemos proceder da seguinte forma:

• Isola-se uma das variáveis numa das equações;

• Substitua essa variável na outra equação pela expressão equivalente.

• Resolva a equação que tem apenas uma variável.

• Substitua o valor encontrado em uma equação que tenha as duas variáveis.

Vamos lá !

3x + y = 7 ( I )

4x + 2y = 10 ( II )

de ( I ) podemos isolar o y.

Agora, é só substituir o valor encontrado para x na outra equação, neste caso ( I ):

–14 – 2x + 14 = 10 – 14

–2x = – 4

x = 2

-2x-2

-4-2

=

MéTODO Da SUBSTITUIÇãO


55

MéTODO Da aDIÇãO

Você ainda pode conferir se acertou. É só substituir os valores obtidos nas equações do sistema.

Logo, a solução do sistema é x = 2 e y = 1, ou seja, o preço de cada misto-quente foi R$ 2,00 e o preço de cada refrigerante foi R$ 1,00.

Na equação ( I ), ao substituirmos x por 2 e y por 1 temos que obter como resultado o valor 7.

Veja:

Na equação (II), temos que obter como resultado o valor 10.

3x + y = 7 x = 2 e y = 1

3(2) + 1 = 7

6 + 1 = 7

7 = 7

4x + 2y = 10 x = 2 e y = 14(2) + 2(1) = 8 + 2 = 10

Agora vamos resolver um sistema de equações pelo método da adição.

x + y = 16 ( I )x – y = 4 ( II )

Pelo método da adição, devemos adicionar a equação ( I ) com a equação ( II ).

Viu como dá certo?

Puxa, é mesmo! E é fácil resolver dessa forma.


56

2x2

Agora ficou fácil! Temos uma equação do 1º grau. Basta isolar o x.

Como já temos o valor de x, agora devemos substituí-lo em qualquer uma das equações do sistema para obtermos o valor de y.

Equacionando

Outro exemplo:

A soma das idades de Vinícius e Caio é 30 anos e a diferença entre essas idades é de 10 anos. Qual a idade de ambos, sendo Vinícius o mais velho?

x = idade de Viníciusy = idade de Caio

x + y = 30 ( I )x – y = 10 ( II )

x = 10

x + y = 16x - y = 4

2x = 20

202

=

Logo, a solução do sistema é:

x = 10 e y = 6

Conferindo o resultado:

Observe:

x + y = 16 x = 10

10 + y = 16

–10 + 10 + y = 16 – 10

y = 6

( I ) x + y = 16 x = 10 e y = 6 10 + 6 = 16

( II ) x – y = 4 x = 10 e y = 6 10 – 6 = 4


57

x + y = 30x – y = 102x = 40

+

Primeiro, resolvendo pelo método da substituição:

( I ) x + y = 30 x + y - y = 30 - y x = 30 - y

Substituindo x = 30 - y em ( II ) temos:

Agora, substituindo y = 10 na equação ( I ):

Resolvendo pelo método da adição:

( II ) x - y = 10 com x = 30 - y (30 - y) - y = 10 30 - y - y = 10 30 - 2y = 10 - 30 + 30 - 2y = 10 - 30 -2y = -20

-2y-2

= -20-2

y = 10

x + y = 30 y = 10x + 10 = 30 x + 10 - 10 = 30 - 10x = 20

Solução x = 20 e y = 10.

x + y = 30x – y = 10

x = 20

2x2

402

=


58

Agora que já sabemos resolver sistemas de equações pelos métodos da substituição e da adição, vamos às atividades?

1. Thomas tem o dobro do número de figurinhas de Hélio,menos 7. Juntos eles têm 98 figurinhas. Quantas figurinhas tem cada um?

2. Dona Joaquina está mobiliando sua casa. Comprou uma cama e uma mesa. Pagou pelos móveis R$ 710,00. A cama custou R$ 50,00 a mais que a mesa. Construa um sistema de equações de duas incógnitas e encontre o preço de cada móvel.

3. Natália tem 9 notas, umas de R$ 10,00 e outras de R$ 20,00. Num total de R$ 150,00. Quantas notas ela tem de cada valor?

Solução x = 20 e y = 10.Logo, a idade de Vinícius é 20 anos e a de Caio é 10 anos.

Substituindo o valor de x em uma das equações, temos:

x + y = 30 x = 20 20 + y = 30 - 20 + 20 + y = 30 - 20 y = 10


59

4. Numa eleição em uma EMEF para vereador mirim, haviam 2 candidatos: Michael e Júnior. Votaram 1230 alunos. Sabe-se que 83 votos foram anulados e que a diferença entre o 1º e o 2º colocado foi de 145 votos. Quantos votos teve cada um, sabendo que Júnior foi o vencedor?

5. (Saresp – SP) Com 48 palitos de mesmo tamanho eu montei 13 figuras: alguns triângulos e alguns quadrados. Quantos quadrados eu montei?

a) x – 3y = –1 b) 2x – y = – 4

3x – 2y = 4 3x + y = – 1

6. Resolva os sistemas abaixo pelo método que considerar adequado.

Comprou-se suco a R$ 4,85 o litro e refrigerante a R$ 2,50 o litro. A quantidade de refrigerante ultrapassa a de suco em 25 litros, e a soma paga pelo suco foi de R$19,75 a mais do que a paga pelo refrigerante. A quantidade de suco comprada foi de:

(A) 60 litros (B) 35 litros (C) 65 litros (D) 40 litros (E) 25 litros

Qual é a mágica?Usando o cálculo de equações, você pode adivinhar a idade de

qualquer pessoa. Duvida? É fácil! Basta pedir que a pessoa faça algumas operações com a idade

que tem e, depois revele o resultado. Neste exemplo, seu amigo tem 15 anos.


60

Resolvendo esta última equação:

Agora veja se dá certo com seus colegas.

Seu amigo tem 15 anos.

Zé grilo é mais alto que Jurema?ou

Jurema é mais baixa que Zé Grilo?

InequaçãoDiversos questionamentos em nosso dia-a-dia nos apresentam situações que podem ser

representadas por sentenças matemáticas.

Observe os exemplos:

Quem é mais alto? Quem é mais baixo?

O elefante pesa mais que o gato? ou

O gato pesa menos que o elefante?

Quem pesa mais?Quem pesa menos?

Podemos expressar matematicamente as situações acima da seguinte forma:

a > b ou b < a

Qual é a maior quantia?

Neste caso as quantias são iguais. Logo, podemos representar essa situação de forma matemática, utilizando o sinal de igualdade, isto é: a = b.

a b


61

• As sentenças que apresentam igualdades são chamadas equações.

• As sentenças que apresentam desigualdades são chamadas inequações.

Exemplos:

Lembre-se= igual> maior que< menor que

Como estamos fazendo o estudo das inequações, vamos relembrar os sinais de desigualdade.

Simbologia Leitura≠ Diferente

> Maior que

< Menor que

≥ Maior ou igual

≤ Menor ou igual

5 ≠ 7 Lê-se: cinco diferente de sete.

3 > 1 Lê-se: Três é maior que um.

4 < 9 Lê-se: quatro é menor que nove.

2x ≥ x + 2 Lê-se: 2x é maior ou igual a x + 2.

4x – 1 ≤ 3x + 2 Lê-se: 4x – 1 é menor ou igual a 3x + 2.

O processo de resolução das inequações é semelhante ao das equações, porém, devemos conhecer algumas de suas propriedades.

E como resolvemos uma inequa ção?


62

a) x – 3 > 8

x – 3 + 3 > 8 + 3

x > 11

b) 3x – 9 ≤ 7 + 2x

3x – 9 + 9 ≤ 7 + 2x + 9

3x ≤ 7 + 9 + 2x

– 2x + 3x ≤ 16 + 2x – 2x

x ≤ 16

PROPRIEDaDES FUnDaMEnTaIS Da DESIGUaLDaDE

Se adicionarmos ou subtrairmos aos dois membros de uma desigualdade um mesmo número “m” ( m > 0 ou m < 0 ), a desigualdade não mudará de sentido.

Exemplos:

PRInCíPIO MULTIPLICaTIVO Da DESIGUaLDaDE

PRInCíPIO aDITIVO Da DESIGUaLDaDE

Se multiplicarmos ou dividirmos os membros de uma desigualdade por um mesmo número m, (m > 0), o sinal de desigualdade não muda de sentido; mas se multiplicarmos ou dividirmos os membros por um número m, (m < 0) , ele mudará de sentido.

Exemplos:

Veja que 2 > 0 e 4 > 0. Logo, o sinal da desigualdade não muda de lado.

6x6

>

246

a) 3x > 12 2 . (3x) > 2 . (12)

x > 4

b) 8 > 3 2 . 8 > 2 . 3 16 > 6

Oito é maior que três.

Dezesseis também é maior que seis.

É só isolar o x.


63

1. Complete a tabela:

(A) maior que 51m. (C) igual a 49m.(B) menor do que 49m. (D) igual a 51m.

(A) 1094 (B) 1095 (C)1096 (D) 1097

2. (Saresp – SP) Para cercar um terreno e fazer um chiqueiro, um fazendeiro dispunha de 200m de arame farpado. Ele deu 4 voltas com o arame em todo o terreno, perdeu 4m de arame com as emendas e, mesmo assim, não usou todos os 200m. Quanto ao perímetro desse terreno podemos dizer, com certeza, que ele é:

3. (Saresp–SP) Um espião de guerra enviou ao seu comando a seguinte mensagem:

5n + 25 > 5500–8n + 3501 > 210 – 5n

O comando sabia que a letra “n” representava o número de foguetes do inimigo. Fazendo os cálculos, o comando descobriu que o total de foguetes era:

-6x-6

<

-24-6

c) 3x > 12 -2 . 3x < -2 . 12

x > 4

d) 8 > 3

– 2 . 8 < – 2 . 3

– 16 < – 6

Oito é maior que três.

Veja que -2 < 0. Logo, o sinal da desigualdade será invertido.

Veja que -6 < 0. Logo, o sinal da desigualdade será invertido novamente.

Menos dezesseis é menor que menos seis.


64

a) 2(x – 3) – 3(2x + 1 ) ≤ 4 c) x(4) –3 +2(–2x + 1) < x + 3b) 5(2x – 3) – 2(3x – 1) > 5 – x d) (2 + 5x) (– 3) + 1 ≥ x – 6

a) descreva a situação usando duas inequações.b) resolva as inequações encontrando a faixa salarial de Edilene.

4. O salário de Edilene mais o salário de sua filha, Érica, é maior que o salário de Dora e menor que o de Graça. Levando em consideração os dados do quadro a seguir,

a) Descreva a situação com uma inequação. b) Resolva a inequação e determine a idade máxima de Tiago.

5. A soma do triplo da idade de Tiago com 3 anos é menor que a idade de sua mãe. A mãe de Tiago tem 36 anos.

6. Determine a solução das seguintes inequações:

7. A população brasileira está vivendo mais. São os indicadores de esperança de vida ao nascer e da taxa de mortalidade infantil que confirmam esse processo. De modo geral, esses índices permitem avaliar as condições de vida e o estado de saúde de um país. Confira os dados:

O aumento da expectativa de vida do brasileiro é resultado da melhoria das condições de vida (saneamento básico e assistência médica por exemplo) e da redução da taxa de mortalidade infantil, conforme mostra o gráfico.

Alguns dos fatores que estão contribuindo para a queda da mortalidade infantil no país são as melhorias nas áreas de saneamento básico, a preocupação com a educação das mães, a expansão das vacinas, o desenvolvimento e implantação de programas de nutrição, programas de assistência às gestantes e mães, de aleitamento, entre outros.

45

Norte

Norte

Nordeste

Nordeste

Sudeste

Sudeste

Sul

Sul

Centro-Oeste

Centro-Oeste

ób

ito

s p

or

mil

nasc

imen

tos

vivo

s

4035302520151050

Trecho disponível em: < http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/datas/saude/saudebrasil.html > Acesso em: jun. 2010.

Observando o gráfico e a tabela responda:

a) Entre os anos de 1920 e 1960 a esperança de vida aumentou ou diminuiu?

b) De acordo com o gráfico, coloque em ordem crescente o número de óbitos entre as regiões do país.


65

Nome: _______________________________________________________ Nº _____ 8° Ano____

1. Se = 4 e y = -1, então o valor de x é:

(A) – 3

(B) – 2

(C) 0

(D) 3

2. (Faap-SP) Achar dois números reais cuja soma é 9 e cuja diferença é 29.

(A) – 9 e 18

(B) –10 e 19

(C) –19 e 9

(D) –18 e –10

3. (ESPCEX) Num depósito há viaturas de 4 rodas e de 6 rodas, ao todo 40 viaturas e 190 rodas. Quantas viaturas há de cada espécie no depósito?

(A) 15 viaturas de 6 rodas e 25 viaturas de 4 rodas.

(B) 25 viaturas de 6 rodas e 25 viaturas de 4 rodas.

(C) 18 viaturas de 6 rodas e 27 viaturas de 4 rodas.

(D) 10 viaturas de 6 rodas e 26 viaturas de 4 rodas.

4. (PUC-SP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala de aula. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era:

(A) 96

(B) 98

(C) 108

(D) 116

x-2y


66

5. Os valores que tornam verdadeiro o sistema de equações são:

(A) x = – 2 e y = –1

(B) x = 2 e y = 1

(C) x = 0 e y = –1

(D) x = 2 e y = – 3

6. Num depósito, existem 24 extintores de incêndio, sendo de espuma química e dióxido de carbono. Sabendo-se que o de dióxido de carbono é o triplo do de espuma química, conclui-se que o número de extintores de espuma química existentes nesse depósito é:

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

7. (ENCCEJA) Uma agência de modelos está selecionando jovens para uma propaganda de sorvetes. Entre as exigências, a agência solicita que os jovens tenham altura mínima de 1,65 m e máxima de 1,78 m. Se x é um número racional que representa a altura, em metros,de um jovem que pode ser escolhido para essa propaganda, é correto afirmar que

(A) x < 1,78

(B) x > 1,65

(C) 1,65 ≤ x ≤ 1,78

(D) 1,65 ≤ x ≥ 1,78

8. (ESA) O menor número natural que satisfaz a inequação 3x – 10 < 4x – 15 é:

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

9. (ANGLO) Os valores de x que satisfazem a inequação > 1 são tais que:

(A) x < 0 ou x > 4

(B) 0 < x < 4

(C) x = 4

(D) x < 4 e x ≠ 0

4x

5x + 3y = 13– 4x + 9y = 1


67

Define-se como quadrilátero todo polígono que possui quatro lados.

Quadriláteros

Elementos principais

Retângulo: paralelogramo cujos ângulos são congruentes e os lados opostos, congruentes entre si.

ParalelogramoÉ o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

CLaSSIFICaÇãO E PROPRIEDaDES

Propriedades dos retângulos

As diagonais de um retângulo são congruentes. Portanto, na figura a seguir temos:

• Quatro ângulos internos A, B, C e D, cuja soma equivale a 360º.

• Duas diagonais: AC e BD.

• Os lados AB e CD, assim como, BCe AD , são chamados de lados opostos.

Logo, A ≡ B ≡ C ≡ D = 90°

AB ≡ DC e AD ≡ BC

AC ≡ BD

DA

BC

A

B

D

C

A

B

D

C


68

Losango: paralelogramo cujos lados são congruentes e os ângulos opostos, congruentesentre si.

Quadrado: paralelogramo cujos lados e ângulos são congruentes.

As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e determinam as bissetrizes internas dos ângulos do losango. Assim, na figura a seguir temos:

Propriedades dos losangos

AM BD

Logo, AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA

A ≡ C e B ≡ D

AC e BD são bissetrizes internas com

γ ≡ δ e α ≡ β.

Logo, A ≡ B ≡ C ≡ D = 90°

AB ≡ BC ≡ CD ≡ AD = L


69

1º. Os lados opostos são congruentes. Portanto, na figura a seguir:

Propriedades dos paralelogramos

São válidas as seguintes propriedades para os paralelogramos:

2º. Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes. Portanto, na figura a seguir:

3º. Os ângulos opostos são congruentes. Assim, na figura a seguir:

4°. As diagonais interceptam-se no ponto médio. Portanto, na figura a seguir:

AB ≡ CD e BC ≡ AD

∆ABC ≡ ∆ADC

B≡ D e A ≡ C

DM ≡ MB e CM ≡ MA

D

C B

A

D

C B

A

D

C B

A

D

C B

A

M


70

É o quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos (chamados de bases).

Trapézio

Isósceles

ClassificaçãoOs trapézios são classificados em:

Quando os lados não-paralelos forem congruentes.

Escaleno

Quando os lados não-paralelos não forem congruentes.

Quando um dos ângulos internos for reto (90º).

Retângulo

O segmento de reta que tem por extremos os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo à base e tem como medida a soma das medidas das bases divida por dois.

Assim na figura a seguir:

Propriedade dos trapézios

Logo, AB ≡ CD

Logo, AB ≠ CD

A, B, C, D = ângulos internos do trapézio

AD = base menor

BC = base maior

MN = base média

DH = altura do trapézio (h)

MN // BC // AD e MN = AD + BC2

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

N M

C

A

B

D

M N

C


71

3. Determine o valor de x nos quadriláteros:

1. Dado o paralelogramo a seguir, encontre o valor de x e as medidas dos ângulos.

Dados: AM = 7cm e DM = 5cm: sendo M o ponto de intersecção entre as duas diagonais.

2. Determine o comprimento das diagonais AC e BD do paralelogramo ABCD.

Triângulos

a) b) c)

MN // BC // DA

MN = x

Já estudamos triângulos nos anos anteriores.

Muito bem! Agora vamos ampliar nossos conhecimentos sobre triângulos.

D

C B

M

A

Trapézio isósceles Trapézio escalenoQuadrado

D

C B

A2x + 30

3x - 20

x

x

3

x

9

5

7 x

A

N

B

D

C

X

8

6

M


72

Relembrando

Todo polígono de três lados é um triângulo.

ÂC

BA

C

BÂngulos: A, B e C Vértice: A, B e C

Lados: AB, BC e CA

Triângulo escaleno Triângulo acutângulo

Classificação dos triângulos

Quanto aos lados Quanto aos ângulos

Triângulo isósceles Triângulo retângulo

Triângulo equilátero Triângulo obtusângulo

Três lados de medidas diferentes

Pelo menos dois lados de medidas iguais

Três lados de medidas iguais

Três ângulos agudos (menores que 90°)

Um ângulo reto (igual a 90°)

Um ângulo obtuso (maior que 90°)


73

Puxa, que legal! As três alturas se cruzam em um mesmo ponto.

É, essa é uma pergunta interessante! Vamos ver o que acontece.

Altura de um triângulo é o segmento que une perpendicularmente um vértice ao lado oposto, o qual passa a ser chamado de base.

aLTURa

Calma! Eu explico. Todo triângulo possui três alturas, depende do vértice a ser considerado.

Observe:

Esse ponto H, onde as três alturas se encontram, é chamado de ortocentro.

Mas se o triângulo tem três vértices e três lados, como saberemos sua altura?

Ah, agora eu entendi! Mas e se nós traçarmos as três alturas no mesmo triângulo o que acontece?

C CB B

H2H3

C BH1

A A A

Altura AH1Altura CH2

Altura BH3

C B

H2H3

H1

A


74

MEDIana

MEDIaTRIZ

A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto a ele.

Veja as três medianas traçadas no mesmo triângulo.

Novamente os três segmentos se encontram num mesmo ponto. Neste caso, chamamos este ponto de baricentro.

A A A

C BM1

C B

M2

C B

M3

Professor! Neste caso também temos três medianas?

Isso mesmo. Temos três medianas.

Mediatrizes são retas perpendiculares a cada um dos lados de um triângulo.

A

mb

mc

maB C

M

Na figura acima, ma, mb e mc são as mediatrizes do triângulo. O ponto M, encontro das mediatrizes, é o circuncentro do triângulo, ou o centro da circunferência circunscrita, circunferência esta que contém todos os vértices do triângulo. A distância do ponto M a qualquer um dos vértices, é a mesma.

Observe:


75

A bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que, a partir do vértice, divide o ângulo ao meio, ou seja, em outros dois ângulos iguais.

BISSETRIZ

Da mesma forma, quando traçamos as três bissetrizes internas de um triângulo e a representamos num mesmo triângulo, obtemos um ponto em comum chamado incentro.

A

C B

A

C B

A

C B

1. Responda:

a) Como se chama o triângulo que tem dois lados congruentes?

b) Como se chama o triângulo que tem um ângulo reto?

c) Quando um triângulo é equilátero?

d) Que nome se dá ao triângulo que tem os ângulos agudos?

e) Quando um triângulo é escaleno?

f) Um triângulo é obtusângulo quando tem um ângulo obtuso. Essa afirmação é verdadeira

ou falsa?

2. Dê a classificação dos triângulos de acordo com os elementos citados:


76

4. Identifique em cada figura, se o segmento AD assinalado é: altura, mediana, mediatriz ou bissetriz.

5. Utilizando uma régua, determine o ponto médio do lado AC e em seguida trace a mediana relativa a esse lado.

3. Use a régua para medir os triângulos seguintes e classifique-os em equilátero, isósceles ou escaleno.

A

B D C

A

B D C

B D C

A

B D C

A

A

B C

A

BC

a)

c)

b)

d)

A A

A

A

B B

B

B

C C

CC

a)

c)

b)

d)


77

7. (FCMSC – SP) No triângulo ABC abaixo, AM é bissetriz do ângulo A. Então (x - y) vale:

(A) 20º

(B) 30º

(C) 60º

(D) 100º

Há cerca de 25 anos, o escritor americano Charles Berlitz lançou o polêmico livro “O Triângulo das Bermudas”. A obra logo virou Best-seller e aumentou a fama do sinistro que o local já tinha, desde o início do século 20.

Mais recentemente, pesquisadores ingleses concluíram que nessa área há, no fundo do mar, um depósito natural de gás metano que faz a água ferver. Essas borbulhas empurram para a superfície grandes massas de água, cuja força cria redemoinhos tão intensos que seriam capazes de sugar navios e aviões.

Fama e mistérios do Triângulo

1. Num triângulo, o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto e divide o ângulo desse vértice em dois ângulos de medidas iguais é chamado...2. O ponto de intersecção das medianas.3. O ponto de intersecção das bissetrizes.4. Num tr iângulo, o segmento de reta que têm extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto ao ângulo desse vértice, é chamado...5. O ponto de intersecção das alturas.6. Num triângulo retângulo a medida de um ___ é de 90º. 7. Num triângulo, o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto e forma, com este lado, um ângulo reto, é chamado...8. Triângulos que têm pelo menos dois lados de medidas iguais.9. Triângulos que têm todos os lados com medidas diferentes.

Cruzadinha

y

x

(A) AC = 6 cm

(B) AC = 9 cm

(C) BC = 6 cm

(D) BC = 9 cm

6. (Saresp – SP) No triângulo ABC, AD é a altura desse triângulo, relativamente a base BC,

e os segmentos BD e DC têm a mesma medida. Se o lado AB mede 6 cm, é correto afirmar

que:

Trecho disponível em: <http://galileu.globo.com/edic/103/arquivog1.htm> Acesso em: jul. 2010.


78

≡

≡

≡

≡

Caso L.L.L (lado – lado – lado)

COnGRUênCIa

Os casos de congruência de triângulos são fatos ou teoremas que permitem verificar se todos os seus lados e ângulos têm respectivamente medidas iguais.

Observe os casos de congruência de triângulos.

Se dois triângulos possuem os três lados, respectivamente congruentes, então os triângulos são congruentes.

Exemplo:

Caso L.a.L (lado – ângulo – lado)

Se dois triângulos possuem dois dos lados e o ângulo compreendido entre eles, respectivamente congruentes, então os triângulos são congruentes.

Exemplo:

Dizemos que duas figuras são congruentes quando podemos colocar uma sobre a outra e elas coincidirem.

AB ≡ DE

AC ≡ DF

A ≡ D

⇒ ∆ ABC ≡ ∆ DEF

A

B C

3 cm 5 cm

7 cm

D

E F

3 cm 5 cm

7 cm


79

≡

≡

≡

≡

Caso a.L.a (ângulo – lado – ângulo)

Se dois triângulos possuem um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, respectivamente congruentes, então os triângulos são congruentes.

Exemplo:

Caso L.a.ao (lado – ângulo – ângulo oposto)

Se dois triângulos possuem um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, respectivamente congruentes, então os triângulos são congruentes.

Exemplo:

Em resumo temos:

L.L.L (lado – lado – lado)L.a.L (lado – ângulo – lado)a.L.a (ângulo – lado – ângulo)L.a.ao (lado – ângulo – ângulo oposto)

Casos de congruência de triângulos:

≡≡

≡

≡


80

1. (Saresp-SP) Os triângulos ABC e DBC têm os ângulos congruentes assinalados com marcas iguais.

2. Dois triângulos de cada item são congruentes. Descubra quais são e escreva no caderno o caso de congruência.

3. (Saresp-SP) Na figura, o triângulo ABC é isósceles e BD ≡ DE ≡ EC . Nessas condições, os triângulos:

(A) ABD e ADE são congruntes.(B) ABD e AEC são congruntes.(C) ADE e AEC são congruntes.(D) ABD e ABC são congruntes.

≡

≡

(A)

(B)

(C)

(D)C

A B D

a)

7cm

7cm

7cm

6cm

6cm

6cm

b)

l

l

ll

ll

lll

lll

6cm 20º 40º6cm

20º40º

6cm

20º

40º

DB

EC

A


81

4. Para construir dois jardins triangulares iguais na frente de sua casa, Ligia precisa determinar todas as medidas. Vamos ajudá-la determinando os valores de x e y.

5. Os pares de triângulos desenhados são congruentes. Escreva em seu caderno, qual é o caso de congruência e em seguida dê o valor da medida x.

C42º

A

5m

B35º

5m

xy

a) b)

40º x

20º

1,5cm

12cm

1,5cm

x

12cm

10,5cm

c)

60º

x 6cm4cm

d)

40º

xx


82

a

h

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto a inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

PRISMa

Quanto a base, os prismas mais comuns são mostrados na tabela:

Professor, a pirâmide também tem base. Ela é um prisma?

Cuidado! Embora a pirâmide também tenha base, observe que suas arestas se unem em um único vértice, o que não ocorre com os primas.

Sólidos Geométricos


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Classificação das pirâmides pelo número de lados da base

PIRÂMIDE

Base: é a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide.

Relembrando

1. (Saresp-SP) Observe os diferentes tipos de caixas utilizadas por uma loja de presentes:

A vendedora monta a caixa de acordo com a escolha do cliente. Se ela utilizar os modelos que aparecem abaixo, obterá caixas do tipo:

(A) 1 e 4(B) 1 e 2 (C) 2 e 3(D) 3 e 4

Vértice

ArestaAresta

Vértice


84

2. Observe a representação de poliedros e realize as contagens necessárias para completar a tabela

Na sala de informática acesse o SITE: www.barueri.sp.gov.br/educacaoDesenvolver as atividades reservadas para <8º ano> na disciplina <matemática>

relacionadas a “Triângulos”.


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Nome: ________________________________________________________ Nº _____ 8° Ano____

1. (Prova Brasil) Chegando a uma cidade, Fabiano visitou a igreja local. De lá, ele se dirigiu à pracinha, visitando em seguida o museu e o teatro, retornando finalmente para a igreja. Ao fazer o mapa do seu percurso, Fabiano descobriu que formava um quadrilátero com dois lados paralelos e quatro ângulos diferentes.

O quadrilátero que representa o percurso de Fabiano é um

(A) quadrado. (B) losango. (C) trapézio. (D) retângulo. 2. Determine a medida x no paralelogramo.

(A) 35°

(B) 47°

(C) 59°

(D) 98°

3. O ângulo x no quadrilátero, equivale a:

(A) 47°

(B) 72°

(C) 128°

(D) 160°

4. Coloque ( V ) para as afirmações verdadeiras ou ( F ) para as afirmações falsas.

a) ( ) Todo losango é um paralelogramo.

b) ( ) Todo retângulo é um paralelogramo.

c) ( ) Todo quadrado é um paralelogramo.

d) ( ) Todo paralelogramo é um losango.

e) ( ) Todo paralelogramo é um retângulo.

f) ( ) Todo paralelogramo é um quadrado.

D

A B

C

47º

x

72º 81º

35º

82º

x

Teatro Museu


86

5. Qual das alternativas indica corretamente o caso que garante a congruência desses dois triângulos e os valores de a, b e x, respectivamente?

a

x

28º

4cm

b

2cm

28º4cm

(A) LLL; a = 62°; b = 28°; x = 4cm.

(B) ALA; a = 62°; b = 62°; x = 2cm.

(C) LAAo; a = 28°; b = 28°; x = 4cm.

(D) LAL; a = 28°; b = 62°; x = 2cm.

6. Observe os triângulos:

a) b) c) d)

Analise as informações e indique a alternativa correta.

I - Os triângulos a e b são triângulos retângulos;II - Os triângulos c e d são triângulos equiláteros;III - Os triângulos a, b, c e d são triângulos acutângulos;IV - Somente o triângulo c é obtusângulo.

(A) Somente o item I está correto.(B) Somente os itens II e III estão corretos.(C) Somente os itens I e IV estão corretos.(D) Todas os itens estão corretos.

7. O perímetro de um triângulo isósceles é 57cm. Se o menor dos seus três lados mede 15cm, quanto mede os outros dois lados?

(A) 21cm e 21cm.(B) 15cm e 15cm.(C) 28,5cm e 28,5cm.(D) 21cm e 28,5.


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1. Uma dessas expressões não pode ser fatorada. Descubra qual é.

(A) 20x + 20y(B) 6x³ – 5x²(C) 6x – 8y – 10z(D) 4x – 3y + 6

2. Adicione as frações representadas, duas a duas, e verifique quais delas tem como resultado .1

2x

3. (Saresp-SP) Nas igualdades abaixo, em que a e b representam números reais, a única verdadeira é:

4. (Saresp-SP) Pelo regulamento de um torneio de basquete, cada equipe ganha 2 pontos por jogo que vencer e 1 ponto por jogo que perder. Nesse torneio uma equipe disputou 9 partidas e acumulou 15 pontos ganhos. É correto afirmar que essa equipe venceu:

(A) 3 partidas e perdeu 6. (C) 5 partidas e perdeu 4.(B) 4 partidas e perdeu 5. (D) 6 partidas e perdeu 3.

5. (Unicamp-2001) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela a seguir:

Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?

(A)

(B)

(C)

(D)

13x

25x

110x

28x

16x

14x

A C EB D F


88

6. Dadas as distâncias entre as cidades a, B e C, indicadas no esquema, calcule a distância entre B e C.

7. Encontre as áreas das figuras pintadas.

8. (Furb-SC) Os avós de Joice retornaram de uma viagem ao exterior ainda com algum dinheiro. O avô voltou com 538d em notas e moedas, e a avó com 406d.

a) Qual o total de dinheiro que eles tinham ao voltar?b) Condiderando d como dólares, pesquise em um jornal a cotação dessa moeda e calcule

com quantos reais os avós de Joice voltaram.


89

11. Um bando de macacos ocupa uma árvore na floresta. Se ficasse cada macaco no seu galho, sobraria 1 macaco sem galho. Se ficassem dois macacos em cada galho, sobrariam dois galhos sem macaco. Quantos são os macacos? E os galhos?

9. Num restaurante trabalham garçons e garçonetes. Há duas garçonetes a menos que o triplo do número de garçons e dois garçons a menos que a metade do número de garçonetes. Quantos são os garçons? E as garçonetes?

10. Numa edição de x livros, há um custo de R$ 2100,00 mais R$ 2,00 por livro impresso. Cada um desses livros será vendido por R$ 8,00. Que quantidade deve ser produzida e vendida para que o valor arrecadado na venda supere o custo de produção?

12. Num terreno há n árvores plantadas, conforme esquemas abaixo. Traçando apenas 3 linhas retas em cada caso, divida o terreno em partes, cada uma contendo uma árvore.


90

19. Daqui a 10 anos, Robson terá o quádruplo da idade de seu filho Ronaldo. Daqui a 16 anos, o triplo. Quantos anos tem Robson e Ronaldo hoje?

15. Sabendo-se que 3a – b = 10 e que a + c = 3, calcule o valor da expressão 3a2 + 3ac – ab – bc.

16. No hipermercado foram vendidas, na promoção de hoje, 228 caixas de sabão em pó. "Limpa rosa" vendeu o triplo do "Limpa verde". Quantas caixas de cada marca foram vendidas.

17. Em uma sala de aula tem 43 alunos. Há 5 meninas a mais que meninos. Quantos são os alunos de cada sexo?

18. A população do Brasil é de aproximadamente 160 milhões de habitantes. A população urbana é o triplo da população rural. Qual é a população urbana? E a população rural?

20. Classifique os quadriláteros:

13. Verifique se os seguintes trinômios são quadrados perfeitos.

14. Sabendo-se que a2 + b2 = 234 e ab = 45, calcule o valor de (a + b)2.

a) x2 + 6x + 9b) x2 + 8x + 9


91

21. Resolva as inequações:

22. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos:

23. Obtenha as medidas dos ângulos a seguir:

24. Sabendo que as retas r, s e v são paralelas, determine o valor de a na situação indicada na figura:

25. Se o triângulo aBC é isósceles de base aC, determine x .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a) b) c)

a) b)


92

26. Na figura os triângulos aBC e CDa são congruentes. Calcule x e y.

27. Sabendo que C é ponto médio de BE, prove que os triângulos aBC e DEC são congruentes.

28. Determine x nos casos a seguir.

48º80º

3y2x

29. Determine as medidas dos ângulos, A,B,C e D nas figuras:

A D

B C

A

D

B

C

A D

B C

a) b) c)

45º130º

45º

xx

xx x + 15

x + 30x + 35

B C

A

D

E

a) b)


8Âº-ANO1

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