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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERIAS
ldquoTEORIA ELECTROMAGNETICArdquo
TAREA 2
CONTENIDO
1 Problemas Libro de Cheng
T1- 7
ESTRADA CALDERON GUILLERMO ____________________
LUNA HERNAacuteNDEZ ALVARO ____________________
TORRES HERNANDEZ FRANCISCO JAVIER ____________________
02 de marzo de 2012
P2-3 Dados los tres vectores AB y C siguientes
A=ax6+ay 2minusaz3
B=ax 4minusa y6+az12
C=ax5minusaz2
Calcule
a) aB
aB=ax 4minusa y6+az12
radic42+62+122=ax
27minusay
37+az
67
b) |Bminus A||Bminus A|=radic22+82+152=171
c) La componente de A en direccioacuten de B
A sdotaB=6 x27minus2x 3
7minus3x 6
7=minus171
d) Bsdot A
Bsdot A = 24-12-36 = -24
e) La componente de B en direccioacuten de A
Bsdot aA=B sdot A|A|
= minus2462+22+32
=minus343
f) θAB
θAB=B sdotABA
=minus24147
=minus2+5 1042 deg
g) A X C
A X C=[ax ay az6 2 minus35 0 2 ]=minusax 4minusa y3minusa10
h) A sdot (B XC )Y ( A X C )sdotC
A sdot (B XC )= (A X B ) sdotC=minus( A X C ) sdotB=minusiquest
P2-11 La posicioacuten de un punto en coordenadas ciliacutendricas estaacute indicada por (3 4π 3 minus4)
Especifique la situacioacuten del punto
a) En coordenadas cartesianas
x=rcosɸ=3cos240 deg=minus32
y=rsenɸ=3 sen240 deg=minus3 radic32
z=minus4
(minus32minus3 radic3
2minus4)iquest
b) En coordenadas esfeacutericas
R=(r2+z2)12=(32+42)
12=5
θ=tanminus1 rz=tanminus1 3
minus4=1431deg
ɸ=4 π3
=240 deg
(5 1431deg 240deg)
P2-15 Dado un campo vectorial en coordenadas esfeacutericas F=aR(12R2)
a) Encuentre F y F y en el punto P(-2-44)
F=aR12
radicminus22+(minus42)+42=aR
126
=aR2
F y=2minus4
radicminus22+(minus42)+42=minus43
b) Encuentre el aacutengulo que forma F con el vector A=ax2minusay 3minusaz6 en P
aF=16 (ax 2minusa y 4minusaz6 )=13 (minusaxminusay2minusaz2)
a A=1
radic22+iquestiquestiquest
θFA 0cosminus1 ( Af sdot aA )=cosminus1 121 iquestiquest
P2-16 Dado un campo vectorial F=ax yminusa1 x Calcule la integral intF sdot d l desde P1 (21-1) hasta
P2 (82-1)
a) a lo largo de una liacutenea recta que une los dos puntos
x=6 yminus4 dx=6dyintP 2
P1
sdotErarr d l=int
1
2
[6 ydy+(6 yminus4 )]dy=14
b) a lo largo de una paraacutebola x=2 y2
x=2 y2 dx=4 ydy intP2
P1
sdotErarr d l=int
1
2
[4 y2dy+2 y2dy ]=14
iquestF es un campo conservativo Explique
La integral de liacutenea de dos puntos especiacuteficos no necesariamente es conservativa
sdotErarr Es un campo conservativo en este caso por que iquestErarr ⊳(xy+c )
P2-18 Dado el campo escalar V= 2xy ndash yz + xz
a) Determine el vector que representa la direccioacuten y la magnitud de la razoacuten de incremento maacutexima de V en el punto P(2-10)
nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3
Magnitud iquestradic29
b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)
PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ
radiciquestiquestiquest
La razon del incremento de V en P en direccion Q
Q= (nablaV ) APQ=17
(4+12+18 )=347
P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx
a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen
Cara izquierda
y=0 ds=minusay dxdz
∬0
1
minus yzdxdz=0
Cara derecha
y=1 ds=a ydxdz
∬0
1
zdxdz=12
Cara de superior
z=1 ds=azdzdy
∬0
1
dxdyd=12
Cara inferior
z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0
Cara Frontal
x=1 ds=axdydz
∬0
1
ydydz=12
Cara posteriro
x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0
Sumando resultados
∮F sdot ds=32
b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia
nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz
intnablasdotFdv=∭0
1
( x+ y+z )dxdydz=32
P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la
regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4
Cara superior
( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds
A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π
Cara inferior
( z=0 ) A=ar r2 ds=azds
int A sdot ds=0
Recorrido
(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds
∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π
nablasdot A=3 r+2 intV
nablasdot Adv=int0
4
int0
2π
int0
5
(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds
P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z
a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy
int A sdot ds=int0
π2
int0
π2
az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ
R32πint0
π2
cosθ2 sin θdθ=23π R3
∮ A sdotds=23π R3
b) encuentre nablasdot A nablasdot A=
d A zd z
=d zd z
=1
c) verifique el teorema de la divergencia
intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds
P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ
a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura
Parte AB
r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ
intAB
F sdotd l=iquestint0
π2
cosɸdɸ=1iquest
Parte BC
ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r
intBC
F sdotd l=iquestint1
2
5 rdr=152
iquest
Parte CD
r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ
intCD
F sdotd l=iquestintπ2
0
8cos ɸdɸ=minus8iquest
Parte DA
intDA
F sdotd l=0
Por lo tanto
∮ABCDA
F sdotd l=1+ 152
minus8=12
b) calcule nabla X F
nabla X F=az1riquest
c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo
en la parte (a)
ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ
int (nablaX F ) sdotds=minusint1
2
r (3 rminus5 )drint0
π2
cosɸdɸ=12
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0
P2-3 Dados los tres vectores AB y C siguientes
A=ax6+ay 2minusaz3
B=ax 4minusa y6+az12
C=ax5minusaz2
Calcule
a) aB
aB=ax 4minusa y6+az12
radic42+62+122=ax
27minusay
37+az
67
b) |Bminus A||Bminus A|=radic22+82+152=171
c) La componente de A en direccioacuten de B
A sdotaB=6 x27minus2x 3
7minus3x 6
7=minus171
d) Bsdot A
Bsdot A = 24-12-36 = -24
e) La componente de B en direccioacuten de A
Bsdot aA=B sdot A|A|
= minus2462+22+32
=minus343
f) θAB
θAB=B sdotABA
=minus24147
=minus2+5 1042 deg
g) A X C
A X C=[ax ay az6 2 minus35 0 2 ]=minusax 4minusa y3minusa10
h) A sdot (B XC )Y ( A X C )sdotC
A sdot (B XC )= (A X B ) sdotC=minus( A X C ) sdotB=minusiquest
P2-11 La posicioacuten de un punto en coordenadas ciliacutendricas estaacute indicada por (3 4π 3 minus4)
Especifique la situacioacuten del punto
a) En coordenadas cartesianas
x=rcosɸ=3cos240 deg=minus32
y=rsenɸ=3 sen240 deg=minus3 radic32
z=minus4
(minus32minus3 radic3
2minus4)iquest
b) En coordenadas esfeacutericas
R=(r2+z2)12=(32+42)
12=5
θ=tanminus1 rz=tanminus1 3
minus4=1431deg
ɸ=4 π3
=240 deg
(5 1431deg 240deg)
P2-15 Dado un campo vectorial en coordenadas esfeacutericas F=aR(12R2)
a) Encuentre F y F y en el punto P(-2-44)
F=aR12
radicminus22+(minus42)+42=aR
126
=aR2
F y=2minus4
radicminus22+(minus42)+42=minus43
b) Encuentre el aacutengulo que forma F con el vector A=ax2minusay 3minusaz6 en P
aF=16 (ax 2minusa y 4minusaz6 )=13 (minusaxminusay2minusaz2)
a A=1
radic22+iquestiquestiquest
θFA 0cosminus1 ( Af sdot aA )=cosminus1 121 iquestiquest
P2-16 Dado un campo vectorial F=ax yminusa1 x Calcule la integral intF sdot d l desde P1 (21-1) hasta
P2 (82-1)
a) a lo largo de una liacutenea recta que une los dos puntos
x=6 yminus4 dx=6dyintP 2
P1
sdotErarr d l=int
1
2
[6 ydy+(6 yminus4 )]dy=14
b) a lo largo de una paraacutebola x=2 y2
x=2 y2 dx=4 ydy intP2
P1
sdotErarr d l=int
1
2
[4 y2dy+2 y2dy ]=14
iquestF es un campo conservativo Explique
La integral de liacutenea de dos puntos especiacuteficos no necesariamente es conservativa
sdotErarr Es un campo conservativo en este caso por que iquestErarr ⊳(xy+c )
P2-18 Dado el campo escalar V= 2xy ndash yz + xz
a) Determine el vector que representa la direccioacuten y la magnitud de la razoacuten de incremento maacutexima de V en el punto P(2-10)
nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3
Magnitud iquestradic29
b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)
PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ
radiciquestiquestiquest
La razon del incremento de V en P en direccion Q
Q= (nablaV ) APQ=17
(4+12+18 )=347
P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx
a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen
Cara izquierda
y=0 ds=minusay dxdz
∬0
1
minus yzdxdz=0
Cara derecha
y=1 ds=a ydxdz
∬0
1
zdxdz=12
Cara de superior
z=1 ds=azdzdy
∬0
1
dxdyd=12
Cara inferior
z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0
Cara Frontal
x=1 ds=axdydz
∬0
1
ydydz=12
Cara posteriro
x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0
Sumando resultados
∮F sdot ds=32
b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia
nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz
intnablasdotFdv=∭0
1
( x+ y+z )dxdydz=32
P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la
regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4
Cara superior
( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds
A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π
Cara inferior
( z=0 ) A=ar r2 ds=azds
int A sdot ds=0
Recorrido
(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds
∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π
nablasdot A=3 r+2 intV
nablasdot Adv=int0
4
int0
2π
int0
5
(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds
P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z
a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy
int A sdot ds=int0
π2
int0
π2
az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ
R32πint0
π2
cosθ2 sin θdθ=23π R3
∮ A sdotds=23π R3
b) encuentre nablasdot A nablasdot A=
d A zd z
=d zd z
=1
c) verifique el teorema de la divergencia
intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds
P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ
a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura
Parte AB
r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ
intAB
F sdotd l=iquestint0
π2
cosɸdɸ=1iquest
Parte BC
ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r
intBC
F sdotd l=iquestint1
2
5 rdr=152
iquest
Parte CD
r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ
intCD
F sdotd l=iquestintπ2
0
8cos ɸdɸ=minus8iquest
Parte DA
intDA
F sdotd l=0
Por lo tanto
∮ABCDA
F sdotd l=1+ 152
minus8=12
b) calcule nabla X F
nabla X F=az1riquest
c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo
en la parte (a)
ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ
int (nablaX F ) sdotds=minusint1
2
r (3 rminus5 )drint0
π2
cosɸdɸ=12
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0
A X C=[ax ay az6 2 minus35 0 2 ]=minusax 4minusa y3minusa10
h) A sdot (B XC )Y ( A X C )sdotC
A sdot (B XC )= (A X B ) sdotC=minus( A X C ) sdotB=minusiquest
P2-11 La posicioacuten de un punto en coordenadas ciliacutendricas estaacute indicada por (3 4π 3 minus4)
Especifique la situacioacuten del punto
a) En coordenadas cartesianas
x=rcosɸ=3cos240 deg=minus32
y=rsenɸ=3 sen240 deg=minus3 radic32
z=minus4
(minus32minus3 radic3
2minus4)iquest
b) En coordenadas esfeacutericas
R=(r2+z2)12=(32+42)
12=5
θ=tanminus1 rz=tanminus1 3
minus4=1431deg
ɸ=4 π3
=240 deg
(5 1431deg 240deg)
P2-15 Dado un campo vectorial en coordenadas esfeacutericas F=aR(12R2)
a) Encuentre F y F y en el punto P(-2-44)
F=aR12
radicminus22+(minus42)+42=aR
126
=aR2
F y=2minus4
radicminus22+(minus42)+42=minus43
b) Encuentre el aacutengulo que forma F con el vector A=ax2minusay 3minusaz6 en P
aF=16 (ax 2minusa y 4minusaz6 )=13 (minusaxminusay2minusaz2)
a A=1
radic22+iquestiquestiquest
θFA 0cosminus1 ( Af sdot aA )=cosminus1 121 iquestiquest
P2-16 Dado un campo vectorial F=ax yminusa1 x Calcule la integral intF sdot d l desde P1 (21-1) hasta
P2 (82-1)
a) a lo largo de una liacutenea recta que une los dos puntos
x=6 yminus4 dx=6dyintP 2
P1
sdotErarr d l=int
1
2
[6 ydy+(6 yminus4 )]dy=14
b) a lo largo de una paraacutebola x=2 y2
x=2 y2 dx=4 ydy intP2
P1
sdotErarr d l=int
1
2
[4 y2dy+2 y2dy ]=14
iquestF es un campo conservativo Explique
La integral de liacutenea de dos puntos especiacuteficos no necesariamente es conservativa
sdotErarr Es un campo conservativo en este caso por que iquestErarr ⊳(xy+c )
P2-18 Dado el campo escalar V= 2xy ndash yz + xz
a) Determine el vector que representa la direccioacuten y la magnitud de la razoacuten de incremento maacutexima de V en el punto P(2-10)
nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3
Magnitud iquestradic29
b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)
PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ
radiciquestiquestiquest
La razon del incremento de V en P en direccion Q
Q= (nablaV ) APQ=17
(4+12+18 )=347
P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx
a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen
Cara izquierda
y=0 ds=minusay dxdz
∬0
1
minus yzdxdz=0
Cara derecha
y=1 ds=a ydxdz
∬0
1
zdxdz=12
Cara de superior
z=1 ds=azdzdy
∬0
1
dxdyd=12
Cara inferior
z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0
Cara Frontal
x=1 ds=axdydz
∬0
1
ydydz=12
Cara posteriro
x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0
Sumando resultados
∮F sdot ds=32
b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia
nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz
intnablasdotFdv=∭0
1
( x+ y+z )dxdydz=32
P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la
regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4
Cara superior
( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds
A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π
Cara inferior
( z=0 ) A=ar r2 ds=azds
int A sdot ds=0
Recorrido
(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds
∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π
nablasdot A=3 r+2 intV
nablasdot Adv=int0
4
int0
2π
int0
5
(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds
P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z
a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy
int A sdot ds=int0
π2
int0
π2
az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ
R32πint0
π2
cosθ2 sin θdθ=23π R3
∮ A sdotds=23π R3
b) encuentre nablasdot A nablasdot A=
d A zd z
=d zd z
=1
c) verifique el teorema de la divergencia
intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds
P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ
a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura
Parte AB
r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ
intAB
F sdotd l=iquestint0
π2
cosɸdɸ=1iquest
Parte BC
ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r
intBC
F sdotd l=iquestint1
2
5 rdr=152
iquest
Parte CD
r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ
intCD
F sdotd l=iquestintπ2
0
8cos ɸdɸ=minus8iquest
Parte DA
intDA
F sdotd l=0
Por lo tanto
∮ABCDA
F sdotd l=1+ 152
minus8=12
b) calcule nabla X F
nabla X F=az1riquest
c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo
en la parte (a)
ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ
int (nablaX F ) sdotds=minusint1
2
r (3 rminus5 )drint0
π2
cosɸdɸ=12
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0
F=aR12
radicminus22+(minus42)+42=aR
126
=aR2
F y=2minus4
radicminus22+(minus42)+42=minus43
b) Encuentre el aacutengulo que forma F con el vector A=ax2minusay 3minusaz6 en P
aF=16 (ax 2minusa y 4minusaz6 )=13 (minusaxminusay2minusaz2)
a A=1
radic22+iquestiquestiquest
θFA 0cosminus1 ( Af sdot aA )=cosminus1 121 iquestiquest
P2-16 Dado un campo vectorial F=ax yminusa1 x Calcule la integral intF sdot d l desde P1 (21-1) hasta
P2 (82-1)
a) a lo largo de una liacutenea recta que une los dos puntos
x=6 yminus4 dx=6dyintP 2
P1
sdotErarr d l=int
1
2
[6 ydy+(6 yminus4 )]dy=14
b) a lo largo de una paraacutebola x=2 y2
x=2 y2 dx=4 ydy intP2
P1
sdotErarr d l=int
1
2
[4 y2dy+2 y2dy ]=14
iquestF es un campo conservativo Explique
La integral de liacutenea de dos puntos especiacuteficos no necesariamente es conservativa
sdotErarr Es un campo conservativo en este caso por que iquestErarr ⊳(xy+c )
P2-18 Dado el campo escalar V= 2xy ndash yz + xz
a) Determine el vector que representa la direccioacuten y la magnitud de la razoacuten de incremento maacutexima de V en el punto P(2-10)
nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3
Magnitud iquestradic29
b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)
PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ
radiciquestiquestiquest
La razon del incremento de V en P en direccion Q
Q= (nablaV ) APQ=17
(4+12+18 )=347
P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx
a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen
Cara izquierda
y=0 ds=minusay dxdz
∬0
1
minus yzdxdz=0
Cara derecha
y=1 ds=a ydxdz
∬0
1
zdxdz=12
Cara de superior
z=1 ds=azdzdy
∬0
1
dxdyd=12
Cara inferior
z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0
Cara Frontal
x=1 ds=axdydz
∬0
1
ydydz=12
Cara posteriro
x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0
Sumando resultados
∮F sdot ds=32
b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia
nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz
intnablasdotFdv=∭0
1
( x+ y+z )dxdydz=32
P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la
regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4
Cara superior
( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds
A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π
Cara inferior
( z=0 ) A=ar r2 ds=azds
int A sdot ds=0
Recorrido
(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds
∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π
nablasdot A=3 r+2 intV
nablasdot Adv=int0
4
int0
2π
int0
5
(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds
P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z
a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy
int A sdot ds=int0
π2
int0
π2
az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ
R32πint0
π2
cosθ2 sin θdθ=23π R3
∮ A sdotds=23π R3
b) encuentre nablasdot A nablasdot A=
d A zd z
=d zd z
=1
c) verifique el teorema de la divergencia
intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds
P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ
a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura
Parte AB
r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ
intAB
F sdotd l=iquestint0
π2
cosɸdɸ=1iquest
Parte BC
ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r
intBC
F sdotd l=iquestint1
2
5 rdr=152
iquest
Parte CD
r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ
intCD
F sdotd l=iquestintπ2
0
8cos ɸdɸ=minus8iquest
Parte DA
intDA
F sdotd l=0
Por lo tanto
∮ABCDA
F sdotd l=1+ 152
minus8=12
b) calcule nabla X F
nabla X F=az1riquest
c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo
en la parte (a)
ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ
int (nablaX F ) sdotds=minusint1
2
r (3 rminus5 )drint0
π2
cosɸdɸ=12
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0
nablaV=ax (2 y+z )+a y (2 xminusz )+az ( xminus y )=ax (minus2 )+ay 4+az3
Magnitud iquestradic29
b) Determine la razoacuten de incremento de V en el punto P en la direccioacuten hacia el punto Q(026)
PQ=OQminus 0P=aX (minus2 )+ay 3+az6=aPQ=PQ
radiciquestiquestiquest
La razon del incremento de V en P en direccion Q
Q= (nablaV ) APQ=17
(4+12+18 )=347
P2-21 Dado un campo vectorialF=ax xy+ay yzminusaz zx
a) calcule el flujo de salida total a traveacutes de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un veacutertice en el origen
Cara izquierda
y=0 ds=minusay dxdz
∬0
1
minus yzdxdz=0
Cara derecha
y=1 ds=a ydxdz
∬0
1
zdxdz=12
Cara de superior
z=1 ds=azdzdy
∬0
1
dxdyd=12
Cara inferior
z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0
Cara Frontal
x=1 ds=axdydz
∬0
1
ydydz=12
Cara posteriro
x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0
Sumando resultados
∮F sdot ds=32
b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia
nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz
intnablasdotFdv=∭0
1
( x+ y+z )dxdydz=32
P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la
regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4
Cara superior
( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds
A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π
Cara inferior
( z=0 ) A=ar r2 ds=azds
int A sdot ds=0
Recorrido
(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds
∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π
nablasdot A=3 r+2 intV
nablasdot Adv=int0
4
int0
2π
int0
5
(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds
P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z
a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy
int A sdot ds=int0
π2
int0
π2
az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ
R32πint0
π2
cosθ2 sin θdθ=23π R3
∮ A sdotds=23π R3
b) encuentre nablasdot A nablasdot A=
d A zd z
=d zd z
=1
c) verifique el teorema de la divergencia
intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds
P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ
a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura
Parte AB
r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ
intAB
F sdotd l=iquestint0
π2
cosɸdɸ=1iquest
Parte BC
ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r
intBC
F sdotd l=iquestint1
2
5 rdr=152
iquest
Parte CD
r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ
intCD
F sdotd l=iquestintπ2
0
8cos ɸdɸ=minus8iquest
Parte DA
intDA
F sdotd l=0
Por lo tanto
∮ABCDA
F sdotd l=1+ 152
minus8=12
b) calcule nabla X F
nabla X F=az1riquest
c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo
en la parte (a)
ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ
int (nablaX F ) sdotds=minusint1
2
r (3 rminus5 )drint0
π2
cosɸdɸ=12
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0
Cara inferior
z=0 ds=minusa2dxdy=intF sdotds=0
Cara Frontal
x=1 ds=axdydz
∬0
1
ydydz=12
Cara posteriro
x=0 ds=minusax dydz intF sdot ds=0
Sumando resultados
∮F sdot ds=32
b) encuentre nablasdotF y verifique el teorema de divergencia
nablasdotF= y+z+x dv=dz dydz
intnablasdotFdv=∭0
1
( x+ y+z )dxdydz=32
P2-22 Para una funcioacuten vectorial A=axr2+az2 z verifique el teorema de la divergencia para la
regioacuten ciliacutendrica circular encerrada por r = 5 z= 0 y z = 4
Cara superior
( z=4 ) A=ar r2+az8 ds=azds
A sdotds=int8ds=8 (π s2 )=200 π
Cara inferior
( z=0 ) A=ar r2 ds=azds
int A sdot ds=0
Recorrido
(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds
∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π
nablasdot A=3 r+2 intV
nablasdot Adv=int0
4
int0
2π
int0
5
(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds
P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z
a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy
int A sdot ds=int0
π2
int0
π2
az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ
R32πint0
π2
cosθ2 sin θdθ=23π R3
∮ A sdotds=23π R3
b) encuentre nablasdot A nablasdot A=
d A zd z
=d zd z
=1
c) verifique el teorema de la divergencia
intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds
P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ
a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura
Parte AB
r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ
intAB
F sdotd l=iquestint0
π2
cosɸdɸ=1iquest
Parte BC
ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r
intBC
F sdotd l=iquestint1
2
5 rdr=152
iquest
Parte CD
r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ
intCD
F sdotd l=iquestintπ2
0
8cos ɸdɸ=minus8iquest
Parte DA
intDA
F sdotd l=0
Por lo tanto
∮ABCDA
F sdotd l=1+ 152
minus8=12
b) calcule nabla X F
nabla X F=az1riquest
c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo
en la parte (a)
ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ
int (nablaX F ) sdotds=minusint1
2
r (3 rminus5 )drint0
π2
cosɸdɸ=12
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0
Cara inferior
( z=0 ) A=ar r2 ds=azds
int A sdot ds=0
Recorrido
(r=s ) A=ar52+az2 z ds=azds
∮ A sdotds=200 π+0+100 π=1200 π
nablasdot A=3 r+2 intV
nablasdot Adv=int0
4
int0
2π
int0
5
(3 r+2 )r dr dɸdz=1200 π=∮ A sdotds
P2-23 Para una funcioacuten vectorial A = az z
a) calcule ∮ A sdot ds sobre la superficie de una regioacuten semiesfeacuterica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada en el origen con la base plana coincidente en el plano xy
int A sdot ds=int0
π2
int0
π2
az (R cosθ )sdotarR2sin θdθdɸ
R32πint0
π2
cosθ2 sin θdθ=23π R3
∮ A sdotds=23π R3
b) encuentre nablasdot A nablasdot A=
d A zd z
=d zd z
=1
c) verifique el teorema de la divergencia
intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds
P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ
a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura
Parte AB
r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ
intAB
F sdotd l=iquestint0
π2
cosɸdɸ=1iquest
Parte BC
ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r
intBC
F sdotd l=iquestint1
2
5 rdr=152
iquest
Parte CD
r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ
intCD
F sdotd l=iquestintπ2
0
8cos ɸdɸ=minus8iquest
Parte DA
intDA
F sdotd l=0
Por lo tanto
∮ABCDA
F sdotd l=1+ 152
minus8=12
b) calcule nabla X F
nabla X F=az1riquest
c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo
en la parte (a)
ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ
int (nablaX F ) sdotds=minusint1
2
r (3 rminus5 )drint0
π2
cosɸdɸ=12
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0
c) verifique el teorema de la divergencia
intnablasdotA dv=1 X (Volumende laregionhemisferica )=23π R3=∮ A sdotds
P2-27 Suponga que una funcioacuten vectorial F=a5 r sen ɸ+aɸr2cos ɸ
a) calcule ∮F sdotd l a lo largo del contorno ABCDA en la direccioacuten indicada en la figura
Parte AB
r=1 F=ar5sin ɸ+aɸ cosɸ d l=aɸ dɸ
intAB
F sdotd l=iquestint0
π2
cosɸdɸ=1iquest
Parte BC
ɸ=π2F=ar5 r=d l=ard r
intBC
F sdotd l=iquestint1
2
5 rdr=152
iquest
Parte CD
r=2 F=ar10sin ɸ+aɸ 4cos ɸ d l=aɸ2dɸ
intCD
F sdotd l=iquestintπ2
0
8cos ɸdɸ=minus8iquest
Parte DA
intDA
F sdotd l=0
Por lo tanto
∮ABCDA
F sdotd l=1+ 152
minus8=12
b) calcule nabla X F
nabla X F=az1riquest
c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo
en la parte (a)
ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ
int (nablaX F ) sdotds=minusint1
2
r (3 rminus5 )drint0
π2
cosɸdɸ=12
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0
Por lo tanto
∮ABCDA
F sdotd l=1+ 152
minus8=12
b) calcule nabla X F
nabla X F=az1riquest
c) calcule intnablaX F sdotds sobre el aacuterea sombreada y compare el resultado con lo que obtuvo
en la parte (a)
ds=az rdrdɸ (nabla X F iquest sdotds=minusr (3 rminus5 )dr cosɸdɸ
int (nablaX F ) sdotds=minusint1
2
r (3 rminus5 )drint0
π2
cosɸdɸ=12
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0
P2-30 Dada una funcioacuten vectorial
F=ax (x+3 yminusc1 z )+a y (c2 x+5 z )+az(2 xminusc3 y+c4 z)
a) Determine c1 c2 c3 si F es irrotacionalF ES IRROTACIONAL
nabla X F=ax( part F zpart yminuspartF y
part z )+ay ( partF x
part zminuspart F zpart x )+az( partF y
part xminuspartF zpart y )=0
b) Determine c4 si F tambien es Solenoidal
TAMBIEN ES SOLENOIDAL
nabla X F=part Fxpart x
+part F y
part y+partF z
part z=0
partpartx
=(x+3 yminusc1 z )+ partpart y (c2 x+5 z )+ part
part z (2 xminusc3 y+c A z )=0