8541984 Operaciones Con Funciones Version Blog
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INTRODUCCIÓN
• Hasta el momento hemos visto como las funciones sirven para representar procesos.
• Hoy trataremos a las funciones como objetos.• Al estudiarlas como objetos matemáticos, las
funciones pueden combinarse mediante las 4 operaciones aritméticas: +, -, · , ÷ , para obtener nuevas funciones.
SUMA DE FUNCIONES
• Para sumar dos funciones debemos tener elementos comunes (intersección) en el dominio (variable independiente)
• En esos elementos comunes podremos definir la nueva función que se genere de la suma.
• Veamos un ejemplo con dos funciones, f y g.
SUMA DE FUNCIONES
• Dadas dos funciones f y g podemos definir una nueva función, a la que llamaremos f + g que actúe del siguiente modo:
Para cada x que está en los dominios de f y de g , el valor de f + g en x será:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
SUMA DE FUNCIONES
• Es decir, el valor de f + g es la suma de los valores individuales de f y de g para cada valor de x que esté en ambos dominios.
• La función f + g no estará definida en un valor de x que no pertenezca a uno de los dominios de f o de g.
• En ambos casos decimos que x no pertenece al dominio de f + g
SUMA DE FUNCIONES
• Al lado aparecen tablas de valores para dos funciones f y g.
• Observa que estas funciones tienen sólo 3 elementos comunes en su dominios.
• Por lo tanto, es en esos elementos que sólo podremos definir la nueva función f + g
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
¿Puedes identificar estos 3 elementos
comunes en el dominio?
SUMA DE FUNCIONES
• El dominio de f + g es {3, 9, 11}
• No es posible definir los valores de esta nueva función cuando x tiene valor 5, 7, 15 ó 16, pues al menos una de las funciones originales, f ó g, no está definida para alguno de esos números.
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
SUMA DE FUNCIONES
• Naturalmente que si los dominios de dos funciones no tienen elementos en común entonces éstas no se pueden sumar.
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2 x (f + g)(x)
3 4 + 1 = 5
9 -1 + 0 = -1
11 3 + 1 = 4
Finalmente, en este caso si podremos sumar
aquellos valores donde los dominios eran comunes
OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES
• De forma similar trabajaremos con las operaciones de resta, multiplicación y división.
• Aunque debemos tener cierto cuidado con la operación de división pues hay que excluir aquellos elementos que hacen el denominador igual a cero.
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
))(/( xgf
))(( xgf ⋅))(( xgf −
OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
x (f - g)(x)
3 3
9 -1
11 2
x (f · g)(x)
3 4
9 0
11 3
311
43
(f / g)(x)x
Como g(9) = 0, la función f / g no puede estar definida,
así que ese valor queda excluido en la división
DEFINICIONES PARA LAS OPERACIONES CON FUNCIONES• Sean f y g funciones, y sea
D = {dominio de f} ∩ {dominio de g} entonces se definen las siguientes funciones para todo x ∈ D.
• La función ( f / g )(x) = f(x) / g(x) está definida en el conjunto que contiene elementos de D que no hacen cero el denominador
{x ∈ D | g ≠ 0}
( f + g )(x) = f(x) + g(x)
( f – g )(x) = f(x) - g(x)
( f ∙ g )(x) = f(x) ∙ g(x)
EN OTROS CASOS
• Estas operaciones pueden realizarse para producir nuevas funciones, sin importar en que representaciones están definidas.
• Al hacer las operaciones en funciones que están definidas por polinomios solo se requiere unirlos por la operación correspondiente y simplificar, si es posible, el polinomio resultante.
Si y realiza las siguientes operaciones
EJEMPLO
))(/(,))((,))((, xhfxhfxhf ⋅−
D = ℜ
( f + h )(x) = f(x) + h(x)= (3x3 + x2 – 4) + (5x + 1)
= 3x3 + x2 (+) –4 + 5x + 1
= 3x3 + x2 + 5x + –3
( f + h )(x)
f(x) = 3x3 + x2 – 4 h(x) = 5x + 1
EJEMPLO
D = ℜ
Si y realiza las siguientes operaciones
))(/(,))((, ,))(( xhfxhfxhf ⋅+
f(x) = 3x3 + x2 – 4 h(x) = 5x + 1
( f – h )(x)
( f – h )(x) = f(x) – h(x)= (3x3 + x2 – 4) – (5x + 1)
= 3x3 + x2 (+) –4 + –5x + –1
= 3x3 + x2 + –5x + –5
EJEMPLO
D = ℜ
Si y realiza las siguientes operaciones
))(/(, ,))((,))(( xhfxhfxhf −+
f(x) = 3x3 + x2 – 4 h(x) = 5x + 1
( f ∙ h )(x)
( f ∙ h )(x) = f(x) ∙ h(x)= (3x3 + x2 (+) –4) (5x + 1)
= 15x4 + 5x3 + –20x + 3x3 + x2 +–4
= 15x4 + 8x3 + x2 + –20x + –4
EJEMPLO
Si y realiza las siguientes operaciones
,))((,))((,))(( xhfxhfxhf ⋅−+
D = ℜ, pero x ≠ - 1 /5
(Dominio Restringido)
f(x) = 3x3 + x2 – 4 h(x) = 5x + 1
( f / h )(x)
( f / h )(x) = f(x) / h(x)
3x3 + x2 (+) –4
5x + 1=
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
• Utiliza las tablas de la izquierda para realizar las siguientes operaciones
x f(x)
-50 5
-20 3.2
-3 8
-1.1 -1
-1 4
0 3
2 10.5
e 9
17.3 6
41 -5
109 14
x g(x)
-50 4
-21 -8
-3 -3
-1.4 4
-1.2 7.2
10 8
2 0
e -1
16 -1
41 4
109 3.9
1. ( f + g )
2. ( f – g )
3. ( f ∙ g )
4. ( f / g )
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
• Utiliza las tablas de la izquierda halla los siguientes valores, si es posible
x f(x)
-50 5
-20 3.2
-3 8
-1.1 -1
-1 4
0 3
2 10.5
e 9
17.3 6
41 -5
109 14
x g(x)
-50 4
-21 -8
-3 -3
-1.4 4
-1.2 7.2
10 8
2 0
e -1
16 -1
41 4
109 3.9
5. ( g + f )(e)
6. ( g ∙ f )(-3)
7. ( g + g )(1)
8. ( f – f )(-20)
9. ( f / g )(0)
EJERCICIOS DE PRÁCTICA• Sean f(n) = 3n2 + 5n + 1 g(n) = 5n + 4
h(n) = en + 2 j(n) = 3en
Escribe en su forma más simple y especifica su dominio.
10. f + g
11. f ∙ g
12. g – f
13. f / g
14. g3
15. h ∙ j
16. h + j
17. j / h
18. h½
REFERENCIAS
• PRECÁLCULO, Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas
• PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill
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CURSO:
FUNCIONES Y MODELOS
11mo Grado
Juan A. Pomales ReyesEsc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel
Distrito Escolar de Naguabo
http://juanpomales.blogspot.com/