BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar BelakangAnuitas   dapat   didefenisikan   pembayaran   premi   asuransi,   pembayaran

hipotik, pembayaran  bunga atas  obligasi,  pembayaran  sewa,  pembayaran secara

cicilan, pembayaran uang pensiun adalah beberapa contoh daripada sebagai suatu

rangkaian pembayaran atau penerimaan berkala  atau periodik dari sejumlah uang

yang sama besarnya dan dibayar atau diterima pada setiap periode waktu yang sama

selama jangka waktu tertentu pembayaran atau penerimaan secara anuitas.

Makalah  ini  membahas  tentang  Anuitas  meningkat  dan  menurun.  Dalam

menyelesaikan persoalan tentang Anuitas di butuhkan teknik perhitungan dengan

metode Penurunan rumus Matematik.

Rumusan masalah pada makalah ini yaitu apa yang dimaksud dengan

anuitas meningkat dan menurun,  apakah perbedaan dari Anuitas Meningkat biasa

dan Anuitas Meningkat dimuka, apakah perbedaan dari Anuitas Menurun biasa dan

Anuitas Menurun dimuka, bagaimana cara menghitung pembayaran dalam waktu

tertentu  dengan  metode  anuitas  meningkat,  dan  bagaimana  cara  menghitung

pembayaran dalam waktu tertentu dengan metode anuitas meningkat?

Tujuan makalah ini adalah untuk menjelaskan pengertian anuitas meningkat

dan   menurun,   untuk   menghitung   tingkat   bunga   pada   peminjaman,   untuk

menghitung pembayaran dalam waktu tertentu dengan metode anuitas meningkat

dan  menurun,  dan  untuk  mengetahui  penurunan  rumus  anuitas  meningkat  dan

menurun

Manfaat   dari   makalah   ini   adalah   apat   memahami   pengertian   anuitas

meningkat dan menurun, dapat memahami apa perbedaan Anuitas meningkat biasa

dan   meningkat   dimuka.   Juga   sebaliknya   dengan   Anuitas   Menurun,   dapat

memahami contoh-contoh anuitas. Dan dapat mengetahui bagaimana teknik atau

cara penyelesaian soal pada anuitas.

1

BAB II

PEMBAHASAN

II.1 Pembahasan Materi dan Penurunan Rumus

Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah yang sama besar

pada setiap interval pembayaran. Besar kecilnya jumlah pembayaran pada setiap

interval tergantung pada jumlah pinjaman, jangka waktu, dan tingkat bunga. Pada

bab ini anuitas yang   dibahas adalah anuitas meningkat (increasing annuity) dan

anuitas  menurun  (decreasing  annuity).  Jika  dilihat  dari  waktu  pembayarannya

,anuitas  dapat  dibagi  dua  yaitu anuitas  biasa  (annuity  immediete)  dan  anuitas

dimuka (annuity due). Anuitas biasa adalah  suatu anuitas yang dibayar  pada setiap

akhir  periode pembayaran, sedangkan anuitas  dimuka adalah suatu anuitas yang

dibayar pada setiap awal periode pembayaran.

Maka   Anuitas   Meningkat   dibagi   menjadi   anuitas   meningkat   Biasa

(Increasing  Annuity  Immediate)  dan  Anuitas  Meningkat  dimuka  (Increasing

Annuity Due). Sebaliknya juga dengan Anutas Menurun Biasa (Decreasing Annuity

Immediate) dan Anuitas Meningkat dimuka (Decreasing Annuity Due).

II.1.1  Anuitas Meningkat (Increasing annuity)

Adalah suatu rangkaian pembayaran yang jumlah pembayarannya meningkat

setiap  interval  pembayaran.  Anuitas  meningkat  dimulai  dengan  1,  meningkat  1

setiap tahun dan akhirnya akan berakhir dengan n. Ini dikatakan anuitas meningkat

secara teratur. Pembayaran berlangsung di awal tahun.

II.1.1.a  Anuitas Meningkat Biasa (Increasing Annuity Immediate):

Adalah  sebuah  Anuitas  Biasa  yang  dibayarkan  selama  n  tahun  dengan

pembayaran pertama sama dengan P dan masing-masing pembayaran berikutnya

meningkat dengan Q. Diagram nya seperti gambar berikut.

Grafik Anuitas Meningkat Biasa :

2

P P+(1)Q P+(n-2)Q P+(n-1)Q

0 1 2 … n-1 n

Nilai  sekarang  (pada  t=0)  anuitas  meningkat  secara  langsung  ,dimana  efektif

tahunan tingkat bunga = i, di hitung sebagai berikut :

Maka nilai anuitas langsung meningkat Biasa dapat juga kita tuliskan dari turunan

rumus berikut

3

Misalkan P=1 dan Q=1. Dalam kasus ini , pembayaran mulai dari 1 dan meningkat1 setiap tahun hingga pembayaran akhir n dibuat pada waktu n.

Maka nilai sekarang (pada t=0) dari suatu anuitas Biasa langsung , di mana tingkat

bunga  efektif  tahunan  adalah  i,  maka  anuitas  meningkat  biasa  di  lambangkan

dengan (Ia) dan untuk menghitungnya adalah sebagai berikut :

4

Contoh II.1.1.a :

Anggito meninjam uang 10.000 akan di bayar kembali lebih dari 30 tahun. Maka

diberikan Pembayaran pertama nya adalah X pada akhir tahun 1. Pembayaran nya

meningkat  100 per tahun untuk 19 tahun ke depan dan tingkatannya tetap untuk 10

tahun ke depan nya. Tingkat bunga efektif adalah 5% per tahun. Maka hitunglah

nilai X?

Penyelesaian   :

II.1.1.b Anuitas Meningkat Di muka (Increasing Annuity-Due)

Untuk anuitas dimuka dibayar selama n tahun dengan pembayaran pertama

sama dengan P dan masing-masing berikutnya, Pembayaran meningkat dengan Q.

Diagram grafik di bawah menggambar kan anuitas meningkat dimuka.

Grafik Anuitas Meningkat Dimuka

P P+(1)Q P+(2)Q …. P+(1-n)Q

0 1 2 .. n-1 n

Nilai sekarang (pada t=0) dari anuitas meningkat dimuka, dimana efektif tahunan

tingkat bunga = i, dapat dihitung seperti dibawah ini :

Maka nilai anuitas langsung meningkat Dimuka turunan rumusnya sebagai berikut:

5

Misalkan P=1 dan Q=1. Dalam kasus ini , pembayaran mulai dari 1 dan meningkat1 setiap tahun hingga pembayaran akhir n dibuat pada n waktu  n-1

6

Nilai sekarang (pada t=0) dari anuitas meningkat dimuka, di mana tingkat bungaefektif tahunan adalah i, maka anuitas meningkat dimuka di lambangkan dengan I

dan menghitungnya adalah sebagai berikut:

Contoh II.1.1.b

Sebuah Anuitas meningkat 8% yang dimulai tahun depan sebesar  Rp1000.000 dan

nilai sekarang  sebesar Rp 377.754. jika tingkat bunga pertahun adalah 14% selama

4 tahun.  Berapakah nilai anuitas meningkat nyah

Jawab :

7

II.1.2 Anuitas menurun (Decreasing Annuity)

Adalah suatu rangkaian pembayaran yang jumlah pembayarannya menurun

setiap interval pembayaran . Anuitas menurun dimulai dengan n, menurun 1  setiap

tahun dan akhirnya akan berakhir dengan 1. Ini dikatakan anuitas menurun secara

teratur.

II.1.2.a Anuitas Menurun Biasa (Decreasing Annuity Immadiate)

Grafik Anuitas Menurun Biasa :

Adalah  sebuah  Anuitas  Biasa  yang  dibayarkan  selama  n  tahun  dengan

pembayaran pertama sama dengan P dan masing-masing pembayaran berikutnya

menurun dengan Q. Diagram nya seperti gambar berikut.

n n-1 … 2 1

0 1 2 … n-1 n

Nilai sekarang (pada t=0) dari suatu anuitas anuitas menurun langsung , di mana

tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka di lambangkan dengan dan

menghitungnya adalah sebagai berikut:

8

Misalkan P=n dan Q= -1. Dalam kasus ini, pembayaran mulai dari n dan menurun 1

setiap tahun, sampai pembayaran akhir 1 dibuat pada waktu n.

9

Soal II.1.2.a

Hitunglah nilai anuitas menurun nyah dari suatu anuitas setiap  awal tahun selama

4kali, jika tingkat bunga yang relevan adalah 10%?

Jawab

II.1.2.b Menurun Dimuka  (Decreasing Annuity Due)

Grafik Anuitas Menurun Dimuka :

10

n n-1 n-2 …. 1

0 1 2 …. n-1 n

Nilai sekarang (pada t=0) dari penurunan anuitas Dimuka, di mana tingkat bunga

efektif tahunan adalah i, maka di lambangkan dengan dan menghitungnya

adalah sebagai berikut:

11

Misalkan P=n dan Q= -1. Dalam kasus ini, pembayaran mulai dari n dan menurun 1

setiap tahun, sampai pembayaran akhir 1 dibuat pada waktu n.

Contoh II.1.2.b

Pak  Anggito  meminjam  uang  dengan  tingkat  bunga  adalah  6%,peminjaman  ini

berdasarkan   anuitas   menurun   dimuka   atau   pembayaran   dimuka   ,   dengan

pembayaran  pertama  Rp10.000  maka  untuk  setiap  pembayaran  berikut  nya

dikurangi dengan Rp1000. maka hitunglah present value  atau nilai sekarangnya?

Jawab:

PV = 10.000+9000v+8000 +…..+1000

PV = 1000*(10+9v+8 +…..+ )

= 1000*D  (10)

= 1000*(10-a(10))/(1-v)

= 1000*(10-7,36)/0.0566

12

= 1000*2,64/0.0566

= 1000*46,638

= Rp 46.638

13

BAB III

KESIMPULAN

Dari pembahasan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa :                         Anuitas  meningkat  merupakan  suatu  peminjaman  uang  dengan  tingkat

periode yang lama pada besar bunga tertentu

Anuitas menurun merupakan kebalikan dari anuitas meningkat yaitu suatu

peminjaman uang dengan tingkat periode yang singkat pada besar bunga

tertentu.

Dalam sebuah anuitas pasti memiliki bunga, dan bunga tersebut merupakan

persenan  dari  total  peminjaman  yang  akan  dibayarkan  pada  pihak  yang

memberikan pinjaman.

Anuitas meningkat merupakan suatu jangka waktu yang semakin meningkat

dari 1 hingga n pada suatu anuitas tertentu.

Aniutas menurun akan menurun dari n tiap 1tahunnya hingga akan berakhir

sampai 1 tahun saja.

14

DAFTAR PUSTAKA

Kleynen,Ruud.2007. Financial and Actuarial Mathematics.McGrawHill.

Kellison, Stephen G.2007.The Theory of Interest. McGrawHill.

Ruckman, Chris.2003. Financial Mathematics.Second Edition.South-Western.

15