8 Metodo Flexibilidad Porticos

Método general de flexibilidad

Aplicación a pórticos planos

J.T. Celigüeta

Punto de partida

Energía complementaria acumulada en una barra plana:

Teorema de Crotti- Engesser:

2º Teorema de F. Engesser:

*

1,ii

Ui n

P

* *b

b

U U

*

0 , ,j

j

UX N Q M

X

2 2*

2 2b m g

N MU dx dx N T dx M Tdx

1 1

EA EIToda la estructura:

Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos 1

J.T. Celigüeta

1. Fase previa

1. Clasificar el pórtico: hiperestático

6b+r > 3n+3b+c h=(6b+r)-(3n+3b+c)

2. Elegir h incógnitas hiperestáticas Xj Pueden ser:

Reacciones exteriores (fuerzas o momentos)

Xj = Ri Xj =Mi

Esfuerzos interiores en las barras (fuerzas o momentos)

Xj =Ni Xj =Qi Xj =Mi

Punto crítico. Heurístico. No hay un método universal

Xj no dependen del sistema de cargas exteriores

El pórtico obtenido al eliminar las Xj debe ser isostático


J.T. Celigüeta

Incógnitas hiperestáticas en pórticos

N

M

Q

N

M

Q


J.T. Celigüeta

Fase previa. Ejemplo

1. Hallar h b=3 r=5 n=4 c=0

h=(6*3+5)-(3*3+3*4+0)=2

2. Elegir 2 incógnitas hiperestáticas

Varias posibilidades: X1 =RDX X2 =MB

Todas las barras HEB 400 L=1000 cm H=500 cm q=4 kg/cm

E=2.1 106 kg/cm2 A=198 cm2 I=57680 cm4

q

A

B C

D

L

H

RDX

MB


J.T. Celigüeta

2. Superposición de 1+ h casos isostáticos

1. Eliminar las h incógnitas hiperestáticas:

si Xj están bien elegidas se obtiene un pórtico isostático

y estable

2. Superposición de 1+h casos, todos ellos isostáticos

Caso 0: sólo las fuerzas exteriores

Esfuerzos

Casos 1 a h: sólo valor unidad de la incógnita Xj

Esfuerzos

Siempre se pueden calcular, si la X está bien elegida

0

1,

jj

j h

N N X N

Esfuerzos reales

0 0 0N Q M

j j jN Q M

0

1,

( ) ( ) ( )jj

j h

M x M x X M x


J.T. Celigüeta

Valores unidad de las incógnitas X

1

1

1

1

1

1

q1

q2

D2

D1

1

11

M M

Q

Q

M

N N

M

N N

Q

Q

D1 D2

1

1


J.T. Celigüeta

3. Esfuerzos en los 1+h casos isostáticos. Ejemplo

N=0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

A

B C

D

N=-1

H/L -H/L

H

H

H

1A

BC

D

N=0

1/L-1/L

11

1

1

X2=MB=1

A

B C

D

1 2

0


J.T. Celigüeta

Ejemplo. Caso 0

N=0

-qL/2-qL/2

qL2/8

q

A

B C

D

qL/2qL/2

0 0

qL/2

-qL/2

-qL/2

0

0

0

0 /2BCDB DYM R qL

0 0BCDX XF B

0 /2BCDY YF B qL


J.T. Celigüeta

Ejemplo. Caso 1

N=-1

H/L-H/L

H

H

H

1A

B C

D

H/L

11

H/L

H/L

-H/L

H

1

H/L

-H/L

1

-1-H/LH

1

0 1BCDB DYM R L H

0 1BCDX XF B

0BCDY Y DYF B R


J.T. Celigüeta

Ejemplo. Caso 2

N=0

-1/L

1 A

B C

D

-1/L

0

0

1/L

1/L

1/L

0

-1/L

1/L

01

1/L

0

1/L

1

00

1

0

2

0 1 0BCDB DYM R L

0 1BCDX XF B

0 1/BCDY Y DYF B R L


J.T. Celigüeta

4. Condiciones de compatibilidad. Planteamiento


* *

0ii i

U U

X R

*

0j

U

X

Xj es una reacción en un punto fijo:

Xj es un esfuerzo interior:

*

0 1,j

Uj h

XSiempre es del tipo:

Nota: se estudiará más adelante el caso de que exista una deformación

de valor conocido impuesto (no nulo) en la dirección de la reacción

(2º Teorema de Engesser)

(Teorema de Crotti - Engesser)

J.T. Celigüeta

4. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (I)

j

j

NN

X

Sustituyendo N, M

*

0 1,j

Uj h

Xh ecuaciones de

compatibilidad

No nos sirve así

0m gj j j j

N M N MN dx M dx T dx T dx

X X X X

0j j j jm gN N dx M M dx T N dx T M dx

( )( )j

j

M xM x

X

Buscamos Xj 0 k

kk

N N X N 0 k

kk

M M X M


J.T. Celigüeta

4. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (II)

Reordenando S e

Sistema de h ecuaciones

con h incógnitas Xj

0 0

0

k j k jk k

k k

j jm g

N X N N dx M X M M dx

T N dx T M dx

0 0

j k j kk

k

j j j jm g

N N dx M M dx X

N N dx M M dx T N dx T M dx

1,jk k jk

f X D j h


J.T. Celigüeta

4. Condiciones de compatibilidad. Aplicación

Coeficiente de flexibilidad

cruzado entre Xj y Xk

Término de carga para Xj

1,jk k j

k

f X D j h

Matriz de coeficientes de flexibilidad f

(h x h) simétrica

Definida positiva si las Xj están bien elegidas (linealmente independientes)

f X D

0 0j j j jj m gD N N dx M M dx T N dx T M dx

j k j kjkf N N dx M M dx


J.T. Celigüeta

5. Deformaciones impuestas en los apoyos (1)

Deformación impuesta conocida Dc :

Elegir como incógnita hiperestática Xj la reacción en la

dirección de la deformación impuesta

j CjX R

Siempre se puede elegir.

Si no se puede: la reacción es isostática,

y la deformación impuesta en su

dirección no produce esfuerzos.

DC X1

X2

DC

A C

0A CYM R


J.T. Celigüeta

5. Deformaciones impuestas en los apoyos (y 2)

k jk j Ck

X f D

Condición de compatibilidad asociada a la deformación conocida

* *

Cj Cj

U U

X R

Mismo desarrollo. Se obtiene:


J.T. Celigüeta

Resumen general

+ =

+ *

0 1,j

Uj h

X

jX

0

1,

jj

j h

N N X N

1,j h

Xj

P

T

q

Caso 0 Caso j

0

1,

( ) ( ) ( )jj

j h

M x M x X M x

P

T

q

-Dj Xj=1

fkj

1,k jk j

k

X f D j h


J.T. Celigüeta

Unidades

Esfuerzos en los casos j=1,h.

, 1

11

j j

j j

j j

N M

F FLX N Q X F L

F FF FL

X M X FLFL L FL

Incógnitas hiperestáticas Xj:

,j jX N Q X F

j jX M X FL


J.T. Celigüeta

Unidades. Coeficientes de flexibilidad fjk


,

11

1, 1

1 1 1

j kk k

jk

k kj kkjk

k

jj j jk jk

jj j jk jk

X N Q X Mf N N dxX F X FLL

f N NNF N

LL

X N Q X F N f fF F

X M X FL N f fL F FL

Cálculo a partir de N j k j kjkf N N dx M M dx

J.T. Celigüeta

Unidades. Coeficientes de flexibilidad fjk


2

,

11

1,

1 11

j kk k

jk

k kj kk kjk

jj j jk jk

jj j jk jk

X N Q X Mf M M dxX F X FL

f M M LM L MFL

LX N Q X F M L f f

F F

X M X FL M f fF FL

Cálculo a partir de M j k j kjkf N N dx M M dx

J.T. Celigüeta

Unidades. Coeficientes D

, 1

11

jj j j

jj j j

X N Q X F N D L

X M X FL N DL

Cálculo a partir de N

,

1 1

jj j j

jj j j

X N Q X F M L D L

X M X FL M D

Cálculo a partir de M

0 1j j jjD N N dx F N L N L

F

0

2

1j j jjD M M dx FL M L M

FL

0 0 ...j jjD N N dx M M dx

Cálculo a partir de los otros términos: idem Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos 21

J.T. Celigüeta

Significado físico de los coeficientes fjk (1)

j k

Esfuerzos reales en el caso j:

Esfuerzos virtuales en la dirección k.

Real Virtual

Calculamos jk

-1

H/L-H/L

H

H

H

Xj=1

Dk

j

0

1/L-1/L

1

1

V=1

V=1

0 0j V Vk N N dx M M dx

j jN N M M

0 0V k V kN N M M

j k j kkjN N dx M M dx f


J.T. Celigüeta

Significado físico de los coeficientes fjk (y 2)

j k

-1

H/L

-H/L

H

H

H

Xj=1

fkj

fjj

0

1/L-1/L

1

1

1

1fkk

fjk

Xk=1

j j k j kk kjN N dx M M dx f

fkj = Deformación en la dirección de Xk, en el caso j


J.T. Celigüeta

Significado físico de los coeficientes Dj (1)

j

Esfuerzos reales: caso 0

Esfuerzos virtuales: caso j

Real

Virtual 0 -1

H/L

-H/L

H

H

H

V=1

Mj

Nj

0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

Dk

0

Dj

0

0 0 0 0 0V V V Vj m gN N dx M M dx T N dx TM dx

0 0N N M M

0 0V j V jN N M M

Calculamos 0j

0 0 0j j j jj m g jN N dx M M dx T N dx TM dx D


J.T. Celigüeta

Significado físico de los coeficientes Dj (y 2)

j

Virtual 0 -1

H/L

-H/L

H

H

H

V=1

Mj

Nj

0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

-Dj

-Dk

0j

Dj = Deformación en dirección de Xj, en el caso 0, con signo (-)

0 0 0j j j jj m g jN N dx M M dx T N dx TM dx D

0j jD


J.T. Celigüeta

Significado físico de las ecuaciones de compatibilidad

Deformación total en la

dirección de Xj = 0.

Auténticas ecuaciones de

compatibilidad de

deformaciones

k jk jk

X f Dk

jk jf

0j jD

0 0kk j j

k

X 0totalj

j k

0 N=0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

-Dj

-Dk

-1

H/L

-H/L

H

H

H

Xj=1

fkj

fjj

0

1/L-1/L

1

1

1

1fkk

fjk

Xk=1


J.T. Celigüeta

Ejemplo. Condiciones de compatibilidad (1)

1 2

N=-1

H/L -H/L

H

H

H

1

N=0

1/L-1/L

11

1

1

3 2 3

11 2

2 2

3 3

L H LH Hf

EA EAL EI EI

311 1.379 10 cm/kgf

2 2

12 2

2

6 2

H HL Hf

EAL EI EI

22 2

2

3

H L Hf

EAL EI EI

j k j kjkf N N dx M M dx

922 6.8822 10 rad/cm kgf

612 0,3452 10 cm/cm kgf


J.T. Celigüeta

Ejemplo. Condiciones de compatibilidad (2)

1

2

0

3

1 0.6880cm24

qL HD

EI

N=0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

-D1

-D2

N=-1

H/L -H/L

H

H

H

1

N=0

1/L-1/L

11

1

1

33

2 1.376 10 rad24

qLD

EI

0 0j jjD N N dx M M dx


J.T. Celigüeta

Ejemplo. Esfuerzos finales.

1

2

556 kg

227814 cm-kg

DX

B

X R

X M

0 1 2556 227814i i i iN N N N

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

f X f X D

f X f X D

0 1 2( ) ( ) 556 ( ) 227814 ( )M x M x M x M x

1 2 2

1 1

50154cm kg 227814cm kg

277968cm kg 277968cm kg

AB BA

CB CD

M HX X M X

M HX M HX

Momentos en las barras (positivo horario)

Momento en el centro del dintel (positivo tracciones abajo)

2

1 2

1 1247108cm kg

8 2 2E

qLM HX X


J.T. Celigüeta

Ejemplo. Superposición de esfuerzos en los 1+h casos

N=0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

A

B C

D

N=-1

H/L -H/L

H

H

H

1A

BC

D

N=0

1/L-1/L

11

1

1

X2=MB=1

A

B C

D

1 2

0

(x 556)

(x 227814)


J.T. Celigüeta

Ejemplo. Resultados

N: -556

N:-1950 N: -2050

50154

227814

277968

2050

556

247108

277968227814

Energía acumulada (numéricamente)

Flexión: 202 cm-kg Axial: 5.2 cm-kg


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