8. Konvexe Polytope

Tobias Boelter

TopMath Frühlingsschule

Mittwoch, 5. März 2014

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Polytope

• Es können auch nicht konvexe Polytope untersucht werden, wir beschränken unshier aber auf konvexe Polytope.

• Mit einem Polytop ist hier deshalb immer ein konvexes Polytop gemeint.

• Polytope sind „konvexe Mengen mit mehr Struktur“ und haben interessante(Geo)metrische und kombinatorische Eigenschaften

• Polytope spielen z.B. eine wichtige Rolle in der Optimierung (Vorträge 10, 11morgen)

• Das Thema füllt ganze Bücher:

• Branko Grünbaum: Convex Polytopes, 1967 (≈450 Seiten)• Günter Ziegler: Lectures on Polytopes, 1995, Springer (≈350 Seiten)

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Polytope

Gliederung

• Polyeder und Polytope• Spezielle Polytope• Graphen• Eulerformel

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Polytope

Ein Polyeder ist der Schnitt endlich vieler Halbräume.

P(A, b) def= {x ∈ Rn : Ax ≤ b}

für eine m × n Matrix A und b ∈ Rm

x + y ≤ 2

x− y ≤ 1

y ≤ 2

Bemerkung 8.1

Die Polyeder sind genau die Mengen P(A, b), denn jede Ungleichung definiert einenHalbraum. 2

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Polytope

Sei C eine konvexe Menge. Ein z ∈ C heißt Extrempunkt von C , falls für allex , y ∈ C mit z ∈ xy gilt, dass x = z = y

Für den Polyeder P = P(A, b) und z ∈ P sei Az die Matrix, die aus denaktiven Zeilen besteht, d.h. Zeilen ai mit ai z = bi

Satz 8.2z ist Extrempunkt von P ⇔ rang Az = n

Korollar 8.3Ein Polyeder hat höchstens

(mn

)Extrempunkte.

Denn(m

n

)ist die Anzahl der n × n Teilmatrizen von A. 2

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Polytope

Beweis des Satzes:

• Sei z ein Extrempunkt. Angenommen rang Az < n.

• Dann gibt es ein c 6= 0 : Az c = 0.

• Die Zeilen ai mit ai z < bi gehören nicht zu Az

• deshalb gibt es ein δ > 0 mit

ai (z + δc) ≤ bi , ai (z − δc) ≤ bi

• denn ai (z ± δc) = ai z ± δai c und entweder ai c = 0 oder ai z − bi > 0.

• Also A(z ± δc) ≤ b ⇒ z ± δc ∈ P ⇒ z + δc, z − δc ⊂ P

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Polytope

• Sei umgekehrt z ∈ xy ⊂ P mit rang Az = n. Es ist zu zeigen, dass x = z = y .

• Es ist also z = λx + (1− λ)y mit λ ∈ (0, 1).

• Für eine beliebige Zeile ai von Az gilt:

bi = ai z

= ai (λx + (1− λ)y )= λai x + (1− λ)ai y

≤ λbi + (1− λ)bi

= bi

• ⇒ ai x = bi und ai y = bi , denn beide Male kann keine echte Ungleichheit gelten.

• ai z = bi gilt sowieso

• Da rang Az = n, folgt x = z = y2

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Polytope

Ein H-Polytop ist ein beschränkter Polyeder.

Ein V-Polytop ist die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten.

(H für Hyperplanes, V für Vertices)

x + y ≤ 2

x− y ≤ 1

y ≤ 2

x + y ≥ 0

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Polytope

• Sei S ⊂ Rn kompakt und konvex. Eine Teilmenge F ⊂ S heißt Seite,

falls F = ∅, F = S oder F = S ∩ H für eine Stützhyperebene H .

• ∅,S heißen uneigentliche Seiten, die anderen heißen echte Seiten.

• Falls dim F = k , heißt F eine k-Seite.

• 0-Seiten heißen Ecken.

• 1-Seiten heißen Kanten.

• (n-1)-Seiten heißen Facetten.

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Polytope

• Eine Menge von Punkten {x1, . . . xk } heißt minimale Darstellung desV-Polytops P = conv{x1, . . . xk }, falls kein xi überflüssig ist, d.h.xi /∈ conv

⋃j 6=i xj

• Die minimale Darstellung eines V-Polytops existiert immer.

• Der folgende Satz besagt u.a. dass sie Eindeutig ist.

Satz 8.4Sei M = {x1, . . . xk } eine minimale Darstellung von einem Polytop P . Dann sindäquivalent:

i) x ∈ M

ii) x ist Ecke von P

iii) x ist Extrempunkt von P

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Polytope

Qx

H

Beweis:

• i)⇒ii) (x ∈ M ⇒ x ist Ecke von P )

• Sei x ∈ M .• Setze Q = conv(M \ {x})• Dann gibt es eine Hyperebene H , die {x} und Q strikt trennt• verschiebe diese parallel sodass x ∈ H• Q liegt jetzt oBdA in H+ und deshalb auch P ⊂ H+

• H stützt jetzt P an x• Weil H ∩ P = {x} ist x 0-Seite.

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Polytope

a

bx

H• ii)⇒iii) (x ist Ecke von P ⇒ x ist Extrempunkt von P )

• Sei H eine Stützhyperebene von P sodass H ∩ P = {x}.• Sei x ∈ ab mit a, b ∈ P• Da H nicht a und b trennen darf, muss ab in H liegen• Da dim H ∩ P = 0 folgt a = x = b.

• iii)⇒i) (x ist Extrempunkt von P ⇒ x ∈ M )

• Ein Extrempunkt kann nicht als Konvexkombination von zwei anderenPunkten in P dargestellt werden

• Deshalb muss er in der minimalen Darstellung enthalten sein.

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Polytope

Satz 8.5Jede echte Seite eines V-Polytops P ist ein V-Polytop und die Anzahl der Seiten istendlich.

Beweis:

• Sei P = conv{x1, . . . , xk } eine minimale Darstellung von P und H = [f : α] eineStützhyperebene.

• oBdA sei {x1, . . . , xr } ⊂ H und f (xi ) > α für i = r + 1, . . . , k .

• Also f (xi ) =

{α falls i = 1, . . . , rα+ εi falls i = r + 1, . . . , k mit εi > 0

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Polytope

• Sei x =∑k

i=1 λi xi , λi ≥ 0,∑λi = 1 ein beliebiger Punkt in P

• Dann ist

f (x ) = f (k∑

i=1

λi xi ) =k∑

i=1

λi f (xi )

=r∑

i=1

λiα+k∑

i=r+1

λi (α+ εi )

= αk∑

i=1

λi︸ ︷︷ ︸=1

+k∑

i=r+1

λi εi︸︷︷︸>0

• Deshalb gilt

x ∈ H ∩ P ⇔ f (x ) = α

⇔ (λr+1, . . . , λk ) = 0

⇔ x ∈ conv{x1, . . . , xr }

• Wir haben also eine injektive Abbildung {Echte Seiten} → Pot(x1, . . . , xr )

• Die Anzahl der Seiten ist deshalb endlich. 214 / 31

Polytope

Satz 8.6 (Hauptsatz für Polytope)

Sei P ⊂ Rn . Dann gilt: P ist ein H-Polytop⇔ P ist ein V-Polytop

Beweis:

• Sei P ein beschränkter Polyeder.

• Da P kompakt ist, ist P die konvexe Hülle seiner Extrempunkte.

• Die Anzahl der Extrempunkte von P ist nach Korollar 8.3 endlich.

• Also ist P ein V-Polytop

• Sei umgekehrt P ein V-Polytop und P = conv{x1, . . . , xk } eine minimaleDarstellung.

• oBdA sei dim P = n

• Seien F1, . . . ,Fm die Facetten von P (nach Satz 8.5 endlich) und Hi ,H+i die

zugehörigen Hyperebenen bzw. abgeschlossenen Halbräume

• d.h. Fi = Hi ∩ P und P ⊂ H+i

• Wir wollen zeigen, dass P = H+1 ∩ . . . ∩ H+

m

• Die Inklusion ⊂ ist klar, da jeweils P ⊂ H+i

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Polytope

• zu zeigen: P ⊃ H+1 ∩ . . . ∩ H+

m

• Angenommen ∃x ∈ H+1 ∩ . . . ∩ H+

m aber x /∈ P

• Wir setzen D def=⋃

B⊂{x1,...,xk}#B=n−1

aff({x} ∪ B)

• dim aff(B) ≤= n − 2

• D ist also die endliche Vereinigung von affinen Unterräumen (flats) derDimension höchstens n − 1

• Da dim P = n ⇒ int P * D

• Also gibt es einen Punkt y ∈ (int P) \ D

• Da y ∈ int P und x /∈ P schneidet die Strecke xy den Rand des Polytops ineinem Punkt z .

• z muss auf einer Facette von P liegen, denn

• sonst wäre z ∈ D und damit xy ⊂ D im Widerspruch zu y /∈ D

• Sei Fj die Facette, die z enthält. Dann ist z ∈ Hj

• Weil y ∈ int P ⊂ H+j , muss x auf der anderen Seite von Hj liegen.

• zu x ∈ H+1 ∩ . . . ∩ H+

m 2

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Polytope

Skizze:

R2

P

x

y

z

Hj

Fj

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Polytope

Gliederung

• Polyeder und Polytope• Spezielle Polytope• Graphen• Eulerformel

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Polytope

• Ein k-Simplex Sk ist ein Polytop mit k + 1 Ecken und Dimension k.

• Simplices können rekursiv konstruiert werden

• S0 = {x1}

• Sk = conv(Sk−1 ∪ {xk+1}) wobei xk+1 /∈ affSk−1

• Jede Seite des Sn ist die konvexe Hülle von ein paar beliebigen Ecken

• Jede k-Seite ist auch ein k-Simplex

• Die Anzahl der k-Seiten von Sn ist damit gegeben durch(n+1

k+1

)

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Polytope

• Eine k-Pyramide Pk ist die konvexe Hülle eines Polytops der Dimension k − 1und einem davon affin unabhängigen Punkt x , genannt die Spitze

• Eine Pyramide ist damit eine Verallgemeinerung eines Simplex

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Polytope

• Seien x1, . . . , xk linear unabhängig.

• Dann ist X k def= conv{±x1, . . . ,±xk } das k-Kreuzungspolytop

• X 1 ist eine Strecke durch 0

• X 2 ist ein Parallelogramm

• X 3 ist ein Oktaeder

0 0

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Polytope

Gliederung

• Polyeder und Polytope• Spezielle Polytope• Graphen• Eulerformel

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Polytope

• Mit Graphen können wir u.a. die kombinatorische Struktur von Polytopenerfassen

• Ein (einfacher, ungerichteter) Graph ist ein Paar G = (V ,E ) bestehend ausendlich vielen Knoten V und Kanten E ⊂ {{u, v} | u, v ∈ V }

• Graphen können in die Ebene gezeichnet werden

1

2

3

4

5

6

• V = {1, . . . , 6} E = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 4}, {5, 6}}

• Mit Kn bezeichnen wir den vollständigen Graphen auf n Knoten, d.h.V = {1, . . . , n} und E = {{u, v} | u, v ∈ V }

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Polytope

• Eine Folge von Knoten (x1, x2, . . . , xk ) heißt (x1, xk )-Pfad , falls {xi , xi+1} ∈ Efür i = 1, . . . k − 1.

• Ein (x,x)-Pfad heißt Kreis falls kein Knoten zwei Mal durchlaufen wird.

• Ein Dreieck ist z.B. ein Kreis, eine 8 nicht.

• x ∼ y def⇐⇒(x = y oder es gibt einen (x,y)-Pfad) ist eine Äquivalenzrelation

• Die Äquivalenzklassen bzgl. ∼ heißen Zusammenhangskomponenten

• Ein Graph G = (V ,E ) heißt zusammenhängend falls V eineZusammenhangskomponente ist.

• Anders gesagt: Wenn zwischen je zwei Knoten ein Weg existiert

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Polytope

• Zwei Graphen G1 = (V1,E1), G2 = (V2,E2) heißen isomorph falls es eineBijektion f : V1 → V2 gibt, die die Inzidenzen beibehält d.h.{u, v} ∈ E1 ⇔ {f (u), f (v )} ∈ E2.

• Wie können beim Zeichnen von Graphen auch die Beschriftung der Knotenweglassen und damit die Äquivalenzklasse bzgl. Isomorphie ausdrücken.

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Polytope

• Ein Graph heißt planar falls er so in die Ebene gezeichnet werden kann, dasssich Kanten nur in den Knoten Kreuzen.

• Kanten sind abei stetige, injektive Wege γ{u,v} : [0, 1]→ R2

• Äquivalent dazu ist, dass der Graph auf die Einheitsspähre S2 im R3 gezeichnetwerden kann

• Denn R2 und S2 \ (0, 0, 1) sind homöomorph (Stereographische Projektion p)

• d.h. p, p−1 sind bijektiv, und stetig.

• Wege bleiben damit stetig und es können keine Kreuzungen entstehen (dabijektiv).

• Die Kanten teilen die Ebene bzw. Spähre nach dem Zeichnen in Regionen auf.

• Verantwortlich für das Entstehen von Regionen sind Kreise.

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Polytope

• Zu einem Polytop P können wir den zugehörigen Graphen G(P) = (V ,E )definieren

• Seine Knoten sind die Ecken von P

• und {x , y} ∈ E falls conv{x , y} eine Kante von P ist.

• Beobachtung: G(P) ist immer zusammenhängend

Beispiel 8.7

• Die Graphen von 2-dim Polytopen sind Kreise• G(Sk ) = Kk+1

• Die Graphen von 3-dim Polytopen sind planar (Beweis später)

• Zwei Polytope heißen kombinatorisch äquivalent falls ihre Graphen isomorphsind.

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Polytope

Gliederung

• Polyeder und Polytope• Spezielle Polytope• Graphen• Eulerformel

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Polytope

• Sei P ein n-dim Polytop. Wir bezeichnen mit fk (P) die Anzahl der k -Seiten von P(0 ≤ k ≤ n − 1)

• also f0(P) = #Ecken, f1(P) = #Kanten,. . .• Die Euler-Charakteristik von P wird definiert durch

χ(P) =

n−1∑k=0

(−1)k fk (P)

Satz 8.8 (Euler-Formel)

χ(P) = 1 + (−1)n−1

Beweis:

• Für die vorgestellten Polytope kann man die Formel einfach verifizieren (Buchvon S. R. Lay)

• Den allgemeinen Beweis findet man in Grünbaums Buch.• Wir werden später den Fall n = 3 verallgemeinern und beweisen, d.h.

#Ecken +#Facetten = #Kanten + 2

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Polytope

Satz 8.9Sei P ein 3-dim Polytop. Dann ist G(P) planar und zusammenhängend. Ecken werdenzu Knoten, Kanten zu Kanten und Facetten zu Regionen.

Beweis:

• Wir verschieben P sodass 0 ∈ rel int P .

• Jetzt können wir den Rand von P auf die Einheitssphäre injektiv und stetigprojizieren durch proj: R3 \ 0→ S2, x 7→ x

‖x‖

• Die Bilder der Ecken und Kanten können wir dann als Zeichnung von einemGraphen auf die Einheitssphäre auffassen.

• Wegen der injektivität kreuzen sich dabei die Kanten nur in Knoten.

• Wege bleiben stetig.

• Facetten werden dabei zu Regionen.

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Polytope

Satz 8.10 (Euler-Formel)

Sei G ein zusammenhängender, planarer Graph mit E Ecken, K Kanten und RRegionen. Dann gilt E + R = K + 2.

Beweis (Induktion über K):

• Sei K = 0. Dann gilt E = 1 (Zusammenhang) und R = 1√

• Sei G ein Graph mit K Kanten, E Ecken und R Regionen.

• Wir unterscheiden zwei Fälle:

• Falls es keinen Kreis gibt, muss K = E − 1 und R = 1 gelten.√

• Andernfalls können wir eine Kreiskante entfernen• Dadurch werden die Regionen, die rechts und links der Kante liegen

verbunden.• K und R vermindern sich um 1.• Die Behauptung folgt durch Induktion. 2

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