8 klas algebra_malovanij_2016

Ю.І. МальованийГ.М. Возняк

Г.М. Литвиненко

«Алгебра»підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

За редакцією Ю.І. Мальованого

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Алгебра

УДК 512(075.3)ББК 22.14я72 В65

Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва

ISBN978-966-10-4483-7

© МальованийЮ.І.,ВознякГ.М.,ЛитвиненкоГ.М.,2016

© Навчальнакнига–Богдан,2016

Піктограмою упідручникупозначенотійогоелектронніскладо-ві,якіможнавідкритизапосиланням:

http://www.bohdan-digital.com/edu.

Слово до учнів 3

Люди, не знайомі з алгеброю, не мо-жуть уявити собі тих дивних речей, яких можна досягти за допомогою цієї науки.

Г. Лейбніц, французький математик

СЛОВО ДО УЧНІВ

Юнідрузі!У7класівинавчилисяперетворюватиодночлениімногочлени,розв’язуватирівняння і їх системи,а такожзада-чі за їх допомогою, дізналися, що таке функція, ознайомилисязокремимивидамифункційтаїхграфіками.Вамужевідомітакідії,якдодавання,віднімання,множення,ділення,піднесеннядостепенязнатуральнимпоказником.

У8класівидізнаєтесьпроновудію—добуваннякоренязчис-ла, зокрема, квадратного кореня. Ваші знання про число допо-внятьвідомостіпроновийвидчисел,якімаютьназвуірраціональ-них.Винавчитесяперетворюватидробиіззмінноювзнаменнику,розв’язуватиновівидирівнянь,дізнаєтесь,якзаписуютьдужеве-ликіабонадтомалічисла.

Допомогтивамвуспішномунавчанніалгебримаєцейпідруч-ник.Щотребазнати,працюючизним?

Непоспішайтевиконувативправи,непрочитавшитекствідпо-відногопункту,девизнайдетенеобхіднідляцьоговідомості.Тамжевміщенозразкирозв’язанняокремихзавдань.Полегшитьро-зуміннятекстувідновленнявпам’ятінеобхіднихдляцьоговідо-мостей,проякійдетьсяврубриці«Пригадайте»напочаткумайжекожногопункту.

Щобпривернутивашуувагудоважливихположень,їхвиділеновідміннимвідзвичайногошрифтом,атакожкольором.Означеннятавластивості,якіпотрібнозапам’ятати,набранокольоровимшриф-том.Основніформулизаписанінакольоровомуфоні.Послідовністьвиконанняпевнихдій,перетвореньвиразів,правиланадруковано

4 Слово до учнів

курсивом.Курсивомнабранотакожновітерміни.Зосередитиувагунанайсуттєвішомувамдопоможутьівідповіднізапитаннядляса-моперевірки,поданіукінцікожногопункту.Утекстіпідрубрикою«Увага!»поданозастереження,щодопоможутьвамуникнутипоши-ренихпомилок,якихприпускаютьсяучні.

Виконуючизавданнядлясамоперевірки,вміщенівкінцікож-ногопараграфа,визможетеоцінитисвоїнавчальнідосягнення.

На рівень складності пропонованих задач і вправ указуютьумовніпозначки:знак°біляномерапозначаєвправи,щовідпо-відаютьпочатковому і середньомурівням; *—вправи високогорівня навчальних досягнень. Ця ж позначка біля певного під-пунктувказуєнате,щовміщенийуньомуматеріалподанолишедляознайомлення.Якщожбіляномеранемаєспеціальногопо-значення,тоцявправавідповідаєдостатньомурівню.

Знаком позначенопочатокрозв’язаннявправи, задачі, об-ґрунтуваннятвердження,азнаком—їхкінець.

Слово до педагогівШановніколеги!Вважаємо занеобхіднероз’яснитиВамреа-

лізованийупідручникупідхіддоформуваннясистемзавданьдокожногопункту.По-перше,тутневиокремленозавдання,яківід-несенідлярозглядунауроці,іті,щорекомендуютьсязадатидо-дому.Переконані,щотакихуніверсальнихрекомендаційнеможебути.Всевизначаєтьсякомплексомфакторівукожномуконкрет-номувипадку,ілишевчитель,враховуючиїх,маєзробитиобґрун-тованийвибір.

По-друге,напершийпоглядможездатися,щосистемазавданьневпорядкована.Завдання тутнерозташовані строго зарівня-ми:спочатку—всізавданняпочаткового,потімусізавданнясе-редньогоіт.д.рівнів.Принципгрупуваннязавданьдещоінший.Їхзгрупованозасеріями,кожназякихпередбачаєвідпрацюван-няпевноїдидактичноїодиницівідпочатковогодовищогорівня.Томупіслявправивищогорівняпопередньої серіїприродно зу-стрітивправинижчогорівнянаступноїсерії.

Дякуємозарозуміння!Автори

Розділ І

РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ ТА ЇХ ПЕРЕТВОРЕННЯ

§1. Раціональні дроби 7

§1. РАЦІОНАЛЬНІ ДРОБИ

1.1. Раціональні вирази

Пригадайте

1. Який вираз називають одночленом? Наведіть приклади.2. Який вираз називають многочленом? Наведіть приклади.3. Які з виразів є одночленами:

a) 0,5x2; б) mn2; в)

3 3abc

;

г) -2

3

2cd ; ґ) 0 3

2 2

, ?mn

Які вирази належать до раціональних? Усьомомукласівививчалиперетворенняодночленівімногочленівтавиразів,якінемістятьдіїділенняназміннуабонавираззізмінною.Таківи-разиналежатьдоцілих виразів.

Узагалі,цілимиєвсівирази,утворенізчиселібуквзадопомо-гоюдійдодавання,віднімання,множення,піднесеннядостепеня,атакожділенняначисло,відмінневіднуля.

8 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення

Наприклад:8а6,3m2–4тп, x2 94+ , (с–3d)2+1.

Тіжвирази,якімістятьдіюділенняназміннуабонавираззізмінною,називаютьдробовими.

Дробовими є, наприклад, вирази x ya-3 , a

b +-

5c, m n

m n c-+

+-( )13 2 .

m nm n c-+

+-( )13 2 .

Усіціліідробовівиразиутворюютьмножинураціональних ви-разів.

Окремийкласраціональнихвиразівскладаютьдроби.

Раціональний дріб — це вираз виду AB, де А

і В — цілі раціональні вирази.

Наприклад: a b+5

, 4 53

3

2x yx

-

+( ), 2

9m -, 74.

Якбачимо,дораціональнихдробівналежитьізвичайний дріб, тобтодріб,чисельникізнаменникякогоєнатуральнимичислами.

Слідзазначити,щораціональнийдрібналежитьдоцілихви-разів,якщойогознаменникнеміститьзмінної, ідодробових—упротилежномувипадку.Зоглядунацевсізвичайнідробина-лежатьдоцілихвиразів.

Унаведенихвищеприкладахдробівпершийіостаннійдробиєцілимивиразами,інші—дробовими.

Класифікаціяраціональнихвиразівмаєтакийвигляд:


Що таке «допустимі значення змінних»?Якщоневказа-нододатковихумов,тоцілівиразимаютьзмістзабудь-якихзна-ченьзмінних,щовходятьдоних.Продробовівиразицьогосказа-тинеможна,оскількивонимістятьділеннянавираззізмінною,яка за певних значеньможе перетворювати знаменник у нуль,анануль,яквідомо,ділитинеможна.

Зокрема, вираз x ya-3 не має змісту, якщо а = 0; вираз

ab

c+

-5

—якщоb=–5.Отже,упершомувиразізміннааможе

набуватибудь-якихзначень,крім0(а≠0),азміннаbудругомувиразі—будь-якихзначень,крім–5(b≠–5).

Числові значення, яких може набувати змінна (змінні) в алгебраїчному виразі, називають до-пустимими значеннями змінної (змінних).

Очевидно, що допустимими значеннями змінної с у виразі13 2c -( )

євсіраціональнічисла,крім3.Цеможназаписатитак:

с ≠3.

Допустимимизначеннямизміннихувиразі 32 1a b-( ) +( )

євсі

раціональнічисла,кріма=2іb=–1(а ≠2,b ≠–1).Взагалі,щоб знайтидопустимі значеннязміннихдляданого

раціональногодробу,требаприрівнятийогознаменникдонуля,розв’язатиутворенерівнянняівилучитизнайденікоренізчисло-вихзначень,якихможутьнабуватизмінні.

Приклад. Знайтидопустимізначеннязмінноїхдлядробу xx--212 .

Розв’яжеморівняннях2–1=0;(х–1)(х+1)=0;х–1=0,х=1;х+1=0,х=–1.

Відповідь.Допустимимизначеннямизмінноїхєвсічисла,крім1і–1.

Можливийітакийзаписрозв’язанняцієївправи:


х2–1≠0;(х–1)(х+1)≠0;х–1≠0,х ≠1;х+1≠0,х ≠–1.Відповідь. х ≠–1,х ≠1.Всі наступні властивості і перетворення дробів розглядати-

мутьсялишедлядопустимихзначеньзмінних,щовходятьдоних.

Цейфактвказуютьякнеодміннуумову(наприклад, ab

ab

=55

, b ≠0)

абожмаютьнаувазівпроцесіперетворень.

Уточнюємо означення тотожності.Зоглядунасказане,проаналізуємо таке означення тотожності: тотожність—це рів-ність,правильназавсіхзначеньзмінних,щовходятьдонеї.

Колийдетьсяпроцілівирази,топитаньневиникає,бовонимаютьзмістзавсіхзначеньзмінних,яківходятьдоних.Ачипра-вомірнецеозначеннястосовнодробовихвиразів?Очевидно,ні,бомивжезнаємо,щозапевнихзначеньзміннихдробовівиразимо-жутьнематизмісту.Отже,вданомувипадкумовамаєйтинепровсізначеннязмінних,алишепроті,заякихданівиразимаютьзміст,тобтопродопустимізначеннязмінних.Тобтототожність—церівність,правильназавсіх допустимихзначеньзмінних,щовходятьдонеї.

Дляцілихвиразівцеозначеннянесуперечитьпопередньому,бовнихдопустимимиєвсізначеннязмінних.

Коли дріб дорівнює нулю? Частодоводитьсявизначати,заякихзначеньзмінноїзначеннядробудорівнюєнулю.Цетізна-чення,якіперетворюютьзначеннячисельникавнуль,і,звичай-но,єдопустимимидляданогодробу.Тобтодріб

AB

= 0, коли А = 0, а В ≠ 0. (1)

Приклад. Заякихзначеньт дріб mm m

2

293-+

дорівнюєнулю?

Знайдемо, за яких значень т чисельник дробу дорівнюєнулю.Дляцьогорозв’яжеморівняннят2–9=0.

т2–9=0;(т–3)(m+3)=0,т–3=0абот+3=0;звідкит=3абот=–3.


З’ясуємо,чиодержанізначеннязмінноїтєдопустимимидляданогодробу.Цеможназробити,обчислившизначеннязнамен-никадробудлят=3іт=–3.Якщоврезультатідістанемо0,тоданезначеннязмінноїнеєдопустимим.Отже,

якщот =3,тот2+3т =32+3·3=18;якщот =–3,тот2+3т =(–3)2+3·(–3)=0.Бачимо,щозначеннят=–3неєдопустимимійогослідвилу-

чити.Отже,дрібдорівнює0,якщот =3.З’ясувати,чиєданізначеннязмінноїдопустимимидляданого

дробу,можнайінакше.Спочаткувстановлюютьвсідопустимізна-ченнязмінної,апотімпорівнюютьзнимиданізначення.

Унашомувипадкумаємо:т2+3т ≠0абот(т+3)≠0;звідкит ≠ 0іт ≠–3.

Здвохзначеньт=3іт=–3,заякихчисельникдробудорів-нюєнулю,допустимимєлишеперше.

Надалі встановлювати, чи є дане значення змінної допусти-мимдляпевногодробу,можнабудь-якимізнаведенихспособів.Однак у випадку, коли знаменник є досить складним виразомізнайтийогокоренінепросто,доцільнішекористуватисяпершимспособом.

Зауваження.Вимогавстановити,заякихзначеньзмінноївираз AB

дорівнюєнулю,рівносильнавимозірозв’язатирівняння AB=0.

Запитання для самоперевірки

1. Які вирази належать до раціональних?2. У чому полягає відмінність між цілим і дробовим раціо-

нальним виразом?3. Що таке раціональний дріб?4. Чи може раціональний дріб бути цілим виразом? Наведіть

приклади.5. Як встановити допустимі значення змінної для даного дробу?


6. За якої умови дріб дорівнює нулю?

Задачі та вправи

1°. Випишітьокремоцілівирази,дробовівиразиідроби:

а) 25 - x

; б) 2 38; в)a ab2 2 5- + ;

г) x xx x

3

283

-+

; ґ) 65

1mm +

- ; д) c cd d2 3

4+ - ;

е) 12 4+

x ; є) 42

2x a- ; ж) 2 1

3 13a

b-

-.

2°. Якізданихвиразівєцілимивиразами,аякі—дробовими:

а) 5aa x+

; б) xy

x2

2 + ; в)m - 25

;

г) 18; ґ) b c

c-+ 2

; д) b b b3 23 0 50 75

- - ,,

?

3°. Запишітьвиразиувиглядідробів:

а) 4 12; б)3,7; в) - 4

9; г)2;

ґ)а; д)а–b; е) 12

a a+ ; є) 2 34

b b- .

4°. Обчислітьзначеннядробів:

а) 21 5x

x - ,, якщох=3; б) 4

2 6x -, якщох=2,4;

в) xx-+3

2 5, якщох=–1,5; г) 3 1 5

2 2aa++, , якщоа=–0,5;

ґ)mm

2 42 5

-,

, якщот=4; д) cc+-3 292, , якщос=–3.

5°. Заповнітьтаблицю:х 2 3 –3 4 5 –1 –5 –943x -

Якуклітинкутаблицінеможназаповнитиічому?


6°. Заякихзначеньсзначеннядробу c - 37

дорівнює:

а)0; б)1; в)–1; г)2; ґ)–2?7°. Приякихзначенняхзмінноївиразинемаютьсмислу?

а) 23x

; б) mm-+3

3 12; в) 8

2 7a +;

г) 12--

xx; ґ) x x

x+

-3

4 1; д) n

nnn

+-

+++

22 9

13.

8°. Встановіть,якізначеннязмінноїа(5;–2;4;–1;3;0;1)єдо-пустимимидлядробів:

а) aa- 2 ; б) 3 1

2 2aa++

; в) aa a

2 13

--( )

;

г) aa a+( ) -( )2 4

; д) 512

--a

a; ґ) a

a++112 .

9. Заякихзначеньзміннихдорівнюютьнулюдроби:

а) 2 7mm+ ; б) 2

2xx+; в)

x xx

+( )-

392 ; г)

m mm m

-( )-

132 ;

ґ)a a

a+( )+

43 12

; д) b bb

2 52 10

--

; е) cc

2 43 6

-+

; є)nn-( )-

416

2

2 ;

ж) nn

2

2164-

-( ); з) 1

1

2

2+-

aa

; и) aa

2 93++

; і) aa

2

29

9-+

?

10. Запишітьдопустимізначеннязміннихувиразах:

а) cc c

+-( )51; б) 5

3 7a

a a-( ) -( ); в) 2 8

52c

c c+-

;

г) mm m

2

2 2+; ґ) a

a--3162 ; д) x

x x

2

26

12 36+

+ +;

е) 2 112

bb

-+

; є) pp--32; ж) b

b

2 43

-+

.

11. Розв’яжітьрівняння:

а) x xx

2 6 0+= ; б) 4 16

20

2

2yy

--

= ; в) x xx x

3

2 0-+

= ; г) xx

2 53 2

0+-

= .


12*. Знайдітьнайменші(найбільші)значеннявиразівівідповід-ніїмзначеннязмінних:а)х2+2; б)4т2; в)|а+5|; г)2п2+3;ґ)3–х2; д)8–4х2; е)7–|b|; є)d2–4.

13*. Знайдітьнайбільші(найменші)значеннядробів:

а) 842a +; б) 16

2c +; в) 12

66

-<

bb, .

14*. Чиможливітакірівності:

а) 63

32a += ; б) 10

122a +

= ; в) 262 5

22x += ; г) 20

55

m += ?

Відповідьпоясніть.15. Довжинаробочоїчастиниконвеєрадорівнюєlметрів.Зякою

швидкістюрухаєтьсястрічкаконвеєра,якщодеталь,постав-ленанастрічкунаодномукінціконвеєра,досягаєйогопро-тилежногокінцязаtсекунд?Обчисліть,якщо:а)l=32,4;t=3;б)l=24,5;t=5.

16. Скільки рейсів має зробити вантажівка, щоб перевезтипмішківкартопліпоркілограмівукожному,якщонанеїкластипоттоннкартоплі?Обчисліть,якщоп=150,р=50,т=2,5.

17*. ЗапишітьформулуобчисленняплощіSфігури(рис.1).Знай-дітьізодержаноїформулиh.


1.2. Основна властивість раціонального дробу та її застосування


1. В чому полягає основна властивість звичайного дробу?2. Як скоротити звичайний дріб? Яку властивість дробу при

цьому використовують?3. Що потрібно зробити із знаменником і чисельником дро-

бу 45, щоб отримати рівний йому дріб із знаменником 15?

Яку властивість дробу при цьому використовують?

4. Скільки спільних знаменників можуть мати дроби 38

і 512

?

Назвіть найменший з них і зведіть до нього дані дроби.5. Як шукають спільний множник кількох членів многочлена?

Основна властивість раціонального дробу. Як відомо,чисельник і знаменник звичайного дробуможнапомножитинаоднеітесаменатуральнечисло,відчогозначеннядробунезмі-ниться.Тобто:

ab

acbc

= , деа,b,с—натуральнічисла.

Рівність ab

acbc

= правильнанелишедлянатуральних,айдля

будь-якихраціональнихзначеньа, b іс,крімb =0 іс =0 (тодідробинемаютьсмислу).

Подібнувластивістьмаєіраціональнийдріб:

AB

ACBC

= , де А, В, С — цілі раціональні вирази,

В ≠ 0, С ≠ 0.(2)

Доведемо,щорівність(2)єтотожністю.


Щобпереконатисяуцьому,требавстановити,щовідповідні

значеннядробів AB і AC

BCдорівнюютьоднеодномузавсіхдопу-

стимихзначеньзмінних,щовходятьдоних.Допустимізначеннязміннихвизначаютьсяумовою:В ≠ 0,С ≠ 0.Враховуючице, ві-

зьмемопевнечисловезначеннядробу ABіпорівняємойогозвід-

повіднимзначеннямдробу ACBC

. Цізначеннязаосновноювласти-

вістюдробузчисловимичисельникомізнаменникомдорівнюютьоднеодному.Таксаморівнимибудутьівсііншіпаривідповіднихзначеньданихдробів.Отже,тотожність(2)доведено.

Напідставі основної властивості раціонального дробуможна

стверджувати,що,наприклад,дроби xx

2

3-та

x xx x

2 53 5

+( )-( ) +( )

тотож-

норівні,тобто xx

x xx x

2 2

35

3 5-=

+( )-( ) +( )

завсіхх,крімх–3=0,х =3та

х+5=0,х =–5.Основну властивість дробу використовують для виконання

двохпоширенихтотожнихперетвореньдробів:1)скороченнядробу;2)зведеннядробівдоспільногознаменника.

Скорочення раціональних дробів. Поміняємо місцямилівуіправучастинитотожності(2).Маємо:

ACBC

AB

= , В ≠ 0, С ≠ 0. (2′)

Бачимо,щодріб ACBC

можназамінитипростішим,тотожнорів-

ним йому дробом AB. Таке перетворення називають скорочен-

ням дробу.Уданомувипадкудріб скороченонавиразС,що є спільним

множникомчисельникаізнаменника.


Скоротимо,наприклад,дріб 52

2b

ab. Очевидно,щотутможнави-

конатискороченнянаb2.Маємо 5 52

2b

ab a= , а ≠0,b≠0.

Аналогічно:m xn x

mn

+( )+( )

=33

. Тутідалідляспрощеннязаписівне

вказуватимемодопустимихзначеньзмінних,алепам’ятатимемо,заякихумовматимезміствідповіднарівність.

Якщоупопередніхприкладахвираз,наякийскорочувалидріб,можнабуловизначитизпершогопогляду,тодляскорочення,напри-

клад,дробу1827

4 6

5 2x yx y

требапопередньознайтиспільниймножникчи-

сельникаізнаменника.Цероблятьаналогічнодотого,якзнаходилиспільниймножникчленівмногочлена,розкладаючийогонамнож-никивинесеннямспільногомножниказадужки.Уданомувипадкутаким спільним множником є вираз 9х4у2. Запишемо чисельникізнаменникдробукоженувиглядідвохмножників,однимізякихєзнайденийспільниймножник.Маємо:

1827

9 29 3

23

4 6

5 2

4 2 4

4 2

4x yx y

x y yx y x

yx

=⋅⋅

= .

Якщопідчасскороченнядробуускладненьневиникає,топо-значенийдужкоюпроміжнийзаписможнапропускати.

Якщожодинабообидвачленидробуємногочленами,безвід-повіднихпроміжнихзаписівнеобійтися.

Наприклад:

1) 3 69

3 29

23

2m mnm

m m nm

m n-=

-( )=

- ;

2) ax aybx by

a x yb x y

ab

--

=-( )-( )

=33

33

.

Увага!Пам’ятайте,щодробискорочуютьтількинаспільний множ-ник чисельникаізнаменника.Неприпускайтесяпомилок,схожихнапо-данінижче:

x ax b

ab

++

= (тут«скоротили»надоданок,аненамножник);


ac bad

c bd

+=

+ (тут «скоротили» на множник а, який не є спільним

множником чисельника і знаменника, оскільки даний чисельник намножникивзагалінерозкладається).

У процесі перетворень дробів нерідко доводиться змінюватизнакодногозчленівдробунаосновітакихтотожностей:

AB

AB

= -- ; A

BAB

= --

. (3)

Тобто,щоб змінити знак чисельника або знаменника дробу, треба змінити його і перед дробом.

Скористаємосьцієютотожністюдляскороченнядробу 392

--x

x.

Маємо: 39

33 3

33 3

132

--

=-

-( ) +( )= -

--( ) +( )

= -+

xx

xx x

xx x x

.

Зведення дробів до спільного знаменника.ТотожністьAB

ACBC

= даєможливістьзаписатидріб ABувиглядітотожнорів-

ногойомудробузновимзнаменником.Такеперетвореннянази-ваютьзведенням дробу до нового знаменника.

Нехай,наприклад,требазвестидріб ab c4 2 дознаменника8b3с4.

Знайдемоспочаткувираз,наякийслідпомножитизнаменникданогодробу4b2с,щобдістатиновийзнаменник8b3с4.Цейвиразназиваютьдодатковим множником.Він,очевидно,дорівнює2bс3:8b3с4=4b2с·2bс3.Теперзамінимоданийдрібтотожнорів-нимйомудробом, помножившийого чисельник і знаменникназнайденийдодатковиймножник.Маємо:

ab c

a bcb c bc

abcb c4

24 2

282

3

2 3

3

3 4=⋅⋅

= .

Отже,щоб звести дріб до нового знаменника, треба:1)знайти вираз (додатковий множник), на який слід помно-

жити знаменник даного дробу, щоб дістати новий знаменник;2)записати дріб з новим знаменником, чисельник якого є до-

бутком чисельника даного дробу і додаткового множника.


Якідлявипадкузвичайнихдробів,додатковиймножникмож-назаписуватинадчисельникомданогодробу.

Наприклад,зведемодріб 22x +дознаменниках2–4.

Щоб знайти додатковиймножник, розкладемо новий зна-менникнамножники:х2–4=(х–2)(х+2).Бачимо,щододатковий

множникдорівнюєх–2.Маємо: 22

22

2 24

2 44

2

2 2x xx

xx

x

x

+=

+=

-( )-

=--

-\

.

Здебільшогознаменник,доякогопотрібнозвестидріб,необхід-нознайтисамостійно.Такапотребазазвичайвиникаєпризведен-нідвохабокількохдробівдоспільногознаменника.Звести дро-би до спільного знаменникаозначаєзаписатиїхувиглядідробівзоднаковимизнаменниками.

Наприклад, зведемо до спільного знаменника дроби ax y4 2

і bxy6 3 .

Спочаткутребазнайтицейспільнийзнаменник.Йогомож-наутворити,помножившизнаменникиданихдробів:4х2у·6ху3==24х3у4.Однакодержанийтакимчиномзнаменникнеєнайпро-стішимсередможливих.

Якщо знаменники дробів одночлени, то найпростіший спіль-нийзнаменниквизначаютьтак:

1) знаходять найменше спільне кратне коефіцієнтів одночленів;2) до знайденого числа дописують множники — кожну змінну,

що входить хоча б до одного знаменника, з найбільшим із відпо-відних показників степеня.

У даному випадку найменше спільне кратне коефіцієнтів 4і6дорівнює12.Знаменникидробівмістятьлишедвізмінніхіу.Найбільшийпоказникстепеняпершоїзмінноїдорівнює2,адру-гої—3.Отже,найпростіший спільний знаменникданихдробівдорівнює 12х2у3. Далі зведення дробів до спільного знаменникавиконуютьзавідомимправилом:

ax y

a yx y

ayx y

y\

;3

2

2

2 3

2

2 3

2

43

12312

=⋅

= bxy

b xx y

bxx y

x/

.2

3 2 3 2 362

122

12=

⋅=


Якщознаменникидробів—многочлени,тодлязнаходженняспільного знаменника їхпопередньорозкладаютьнамножники(якщоцеможливо).

Знайдемо, наприклад, спільний знаменник дробів 12x x-

і 12 22x -

.

Знаменникпершогодробу:х2–х=х(х–1),другого: 2х2–2=2(х2–1)=2(х–1)(х+1).

Найпростішим спільним знаменником даних дробів є вираз2х(х–1)(х+1).

Звівшидробидоцьогознаменника,маємо:1 1

12 1

2 1 12 12 12

2 1

2x x x xx

x x xx

x x

x

-=

-( )=

+( )-( ) +( )

=+( )-( )

+( )\

;

12 2

12 1 1 2 1 1 2 12 2x x x

xx x x

xx x

x

-=

-( ) +( )=

-( ) +( )=

-( )\

.


1. Проілюструйте основну властивість раціонального дробу кількома прикладами.

2. Які тотожні перетворення раціональних дробів можна ви-конати на підставі основної властивості дробу?

3. Як скоротити раціональний дріб?4. У якій послідовності виконують зведення дробу до даного

знаменника?5. Як знайти найпростіший спільний знаменник дробів з од-

ночленними знаменниками?


18°. Скоротітьдроби:

а) 1213

; б) 1525

; в) 22

3

5 ; г) xx

2

6 ;

ґ) aa

3

4 ; д) 22

2

2ab

; е) axay

2

3 ; є) 510

cdcn.


19°. Знайдітьспільнімножникиодночленів:а)5m4і15m3; б)6а2і9аb2; в)32х3у2і48х3;г)21аb2і14а2b; ґ)12m4n2і8m2n3; д)18х4у3і27х2у2.

20°. Використовуючирезультативиконанняпопередньоївправи,скоротітьдроби:

а) 69

2

2aab

; б) 515

4

3mm

; в) 3248

3 2

3x yx

;

г) 2148

2

2aba b

; ґ) 1218

4 2

2 3m nm n

; д) 1827

4 3

2 2x yx y

.

21°. Спростітьвирази:

а) 3 69

2m mnm- ; б) 4 2

10

3 2

4x x

x- ;

в) 255 10

2 5

2 2 2a b

a b ab-; г) a b

a b a b

2 2

2 2 4 23-.

22. Визначтедопустимізначеннязміннихутотожностях:

а) xx x

2

5 31

= ; б) 125

125

3 2xx

x= ;

в) xx x+-

=-

24

122 ; г) a

aa

5

32= ;

ґ) 11

112

--

= -+

xx x

; д)* x xx

xx

2

28 1616

44

- +-

=-+

.

23*. З’ясовуючи,заякихзначеньтдрібmm+( )-

11

2

2 дорівнюєнулю,

ученьзаписав:mm

mm m

mm

+( )-

=+( )

-( ) +( )=

+-

11

11 1

11

2

2

2

;

т+1=0,т=–1;т–1=–1–1=–2≠0.Відповідь.т=–1.Знайдітьівиправтепомилку,якоїприпустивсяучень.


Скоротіть дроби (24–27):

24°. а)m a bn a b

-( )-( )

; б) 2 64 8

a ba b-+

; в) m mnm mn

2 33 5

--

;

г) c bcd c b

2 22

--( )

; ґ) ax aybx by

--33

; д) x xx x

5 2

7 43

2 6--

.

25°. а)54 2 2

c x yx y

+( )-( )

; б) c dac ad

2 2-+

; в) x xx+-

2

2 1;

г) 24

2

2x x

x+-

; ґ)a ba b-( )-

2

2 2 ; д) bb

2

211-

+( ).

26°. а)54

2

2 2

c x yx y

+( )-( )

; б) x xy yx y

2 2

2 22- +-

; в) x xy yx y

2 2

2 22+ +-

.

27°. а) xx x

2

29

6 9-

- +; б) 16

16 8

2

2-

- +c

c c; в) x

x x

2

225

25 10-

+ +.

28. Визначте,заякихзначеньзмінноїдробидорівнюютьнулю:

а)a a

a-( ) +( )

+( )2 5

5 2 ; б) x xx

2

233

-

-( ); в)

mm

-( )-

24

2

2 .

29°. З’ясуйте,якізрівностейєтотожностями:

а) cc x

cmmc mx+

=+

; б) 4 13

13

2xxy x

xy

++

=++

;

в) an bcn d

a bc d

++

=++

; г) x yx

x xyx

-=

-2

2 ;

ґ)m kn k

mn

++

= ; д) 2 21

a aba ab

bb

+-

=+-

.

Скоротіть дроби (30–31):

30. а) x yx y

--3 3 ; б) x xy y

x y

2 2

3 3- ++

;

в) 12 12 36 3

2 2

2a ab b

ab b- +

-; г) b c

b c

6 6

2 2--

.

31*. а) ab ac b bcax by ay bx

+ + ++ + +

2

; б)a b ca b c+( ) -

+ +

2 2

;


в) xy x y yx y- + -

-

2

2 2 ; г) ax by ay bxax by ay bx

- + -+ - -

.

32*. Доведітьтотожність:

а) 2 1025

2 1010 25

2

2 2

2

2 2x xy

x yx xy

x xy y+-

=-

- +;

б) a aa ab a b

a ab ba a b b

2

2

2

2 24 42 2

2 42 2

- ++ - -

=- + -+ + -

;

в)2 3 2 34 9 2 3

4 12 94 9

2

2 2

2 2

2 2

x y x yx y x y

x xy yx y

-( ) + -

- + +=

- +-

.

33. Знайдітьізапишітьпаритотожнорівнихдробів:

а) aa-+33; б) 3

3-+

aa; в) - -

+a

a3

3;

г) - -+

33a

a; ґ) 3

3-

- -a

a; д) - -

- -aa

33.

34. Замінітьдробитотожнорівнимиїмдробами,змінившизнак:1)учисельнику:

а)mm--83; б) x

x

2 42 5

--

; в) 3 72 2

aa

-

-( ); г)

bc-( )5 2

2 ;

2)узнаменнику:

а)mm--83; б) x

x

2 42 5

--

; в) 3 72 2

aa

-

-( ); г)

bc-( )5 2

2 .

35. Скоротітьдроби:

а) b bc bc

2

2 22

2--

; б) 93 9

2-+x

ax a; в) n m

m n

3 3

2 2--

;

г) x yxy x

2 2

29

6 2--

; ґ) m nn m

-

-( )2; д) m n

n m

3 3

3-

-( ).

36. Спростітьдробиізнайдітьїхчисловізначення:

а) aa

2 42-+

, якщоа=1,7; б) bb

2 93 9

--

, якщоb=9,9;

в) a x axx a

2 2--

, якщоа=4,3;х=0,1.


г)* x yx xy y

3 3

2 2+

- +, якщох=3,4;у=1,6;

ґ)* 9 418 12

2 2

2 2c d

c d cd--

, якщо c = 13, d =

12.

37*. Доведітьтотожності:

а) ac bx ax bcay bx ax by

x cx y

+ + ++ + +

=++2 2 2

;

б) 3 6 29 18 2

13

3 2 2 3

5 4 4 5 2 2a ab a b ba ab a b b a b

+ - -- - +

=-

;

38*. Доведіть,щозабудь-якогонатуральногопдріб 10 23

n + єці-

лимчислом.

39*. Скоротітьдріб1 2 3 4 52 4 6 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

......

,nn

якщоп—натуральнечисло,

більшевід1.40°. Запишітьдробизновимизнаменникамиізаповнітьтабли-

цю,накреслившиїївзошиті:

Дріб Новийзнаменник

Додатковиймножник

Дріб,зведенийдоновогознаменника

a x+ 24

12

x yx y- 32

х2у2

abmn

3

239т3п2

ab + 5

(b+5)(b–1)

cc-+33

с2–9

pp+-42

0,5p–1


41. Зведітьдроби:

а) 3x a-

дознаменникаа–х;

б) 22 1

aa -

дознаменника2а–4а2;

в) 25 + c

дознаменникас2–25;

г) 1x y-

дознаменникау2–х2;

ґ) 43m n-

дознаменника9т2–п2;

д) 3x a-

дознаменника(а–х)2.

Зведіть до спільного знаменника дроби (42–44):

42°. а) 15aі 16a

; б) 13 5a b

і 17 4a b

;

в) 118 2ax

і 136 2 2a x

; г) 124 8 5a x

і 160 6 4a x

;

ґ) 1a, 12b

і 14c; д) 3

4x і x - 4

6;

е) 48

a b- і 3 412

a b- ; є) 2 32

a ba b- і 4 5

2a bab- .

43. а)° 12 6x -

і 132x x-

; б)° aa b3 3+

і 12a ab+

;

в)° 1m n-

і 12 2m n-

; г)° 12 2m n-

і 12 2m n-

;

ґ) 32 4x -

і 52 82x -

; д) 12x x-

і 12 22x -

;

е) 212a -і 31 - a

; є) mm

-+22і m

m m+

+ +1

4 42 ;

ж) pp2 4-

, 22 - p

і 12p +.


44. а) 192a -і 1

3 2a a+( ) +( ); б) 1

2 2a b-і 1

2a b+( );

в) 12x xy-

і 12 2x y-

; г) 12xy x-і 1

2 2x y-;

ґ)* x yxy y

-+ 2 і

x yx xy

2 2

3 2+-

; д)*a + 3 і aa+-33;

е)* c dc cd d

-+ +2 22

і 22 2

cc d-

; є)* m nm n

-+3 3 і

mm n2 2-

.

45*. Математична несподіванка.Добудь-якогодвоцифровогочисладопишітьтакеждвоцифро-вечисло.Визначтечасткувідділенняодержаногочотирициф-ровогочисланаданедвоцифровечисло.Зробітьвисновок.

1.3. Додавання і віднімання раціональних дробів


1. Як додати звичайні дроби з однаковими знаменниками?2. Як відняти звичайні дроби з однаковими знаменниками?3. Як додати (відняти) звичайні дроби з різними знаменни-

ками?

Сума і різниця дробів з однаковими знаменниками.Яквідомо,длязвичайнихдробівмаємісцерівність

ac

bc

a bc

+ =+ .

Наприклад, 27

37

2 37

57

+ =+

= .

Цярівністьправильнанелишедлянатуральних, алейдлябудь-якихіншихчисловихзначеньа, bіс(завинятком,звичайно,с =0).Доведемоце.


Нехай ac

m= , bc

n= . Оскількирискадробупозначаєдіюді-

лення,тозаозначеннямділеннямаємо:а = ст, b = сп.Тодіа+b = ст+сп = с(т+п).Зрівностіс(т+п)=а+bвипливає:

m n a bc

+ =+ .

Повернувшисьдовведенихнапочаткудоведенняпозначень,

маємо: ac

bc

a bc

+ =+ .

Томуможнастверджувати,щоколиА,ВіС—ціліраціональні

виразизізмінними,товідповіднічисловізначеннявиразів AC

BC

+

і A BC+ будуть рівними за всіх значень змінних (за винятком

С =0).Отже,рівність

AC

BC

A BC

+ =+ , С ≠ 0, (4)

є тотожністю й ілюструє правило додавання раціональних дробівзоднаковимизнаменниками.Цеправиломожнасформулюватитак:

щоб додати раціональні дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники й одержану суму записати в чисельнику дро-бу, а знаменник залишити без змін.

Аналогічновиконуютьвідніманняраціональнихдробівзодна-ковимизнаменниками:

AC

BC

A BC

- =- , С ≠ 0. (5)

Приклади:

1) 2 36 6

2 36

3 36

3 16

12

x x x x x x x++ =

+ +=

+=

+=

+( ) ;

2) 2 14

4 14

2 1 4 14

6 24

2 3 14

3 12

x x x x x x x++

+=

+ + +=

+=

+=

+( ) ;


3) 2 36

16

2 3 16

2 3 16

26

a a a a a a a+-

+=

+ - +=

+ - -=

+( ) .

Увага!Виконуючиподібнівправи,частоприпускаютьсяпомилки,за-

писуючивідразу: 2 36

16

2 3 16

a a a a+-

+=

+ - + .

Помилкаполягаєвтому,що,утворюючирізницючисельниківдробів,знакзмінилилишепередпершимчленомчисельникадробу—від’ємника(а),апереддругимчленом(+1)цезробити«забули».Щобтакогонетра-плялося,вартопринаймнінапершихпорахвдаватисядопроміжногоза-пису(внашомуприкладівінпозначенийдужкою).

4) xa

xa

+-

+--

42

32

.

Тутзнаменникидробіввідрізняютьсялишезнаком.Їхлегкозро-битиоднаковими,змінившиводномузних(наприклад,удругому)знакнапротилежний,зробившицеодночасноіпереддробом:

xa

xa

xa

xa

x xa

x xa a

+-

+--

=+-

---

=+ - -

-=

+ - +-

=-

42

32

42

32

4 32

4 32

72

( ) .

Сума і різниця дробів з різними знаменниками.Частовиникаєпотребадодаватиабовідніматидробизрізнимизнамен-никами.

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, їх спо-чатку зводять до спільного знаменника, а потім додають (від-німають), як дроби з однаковими знаменниками.

Приклади:

1) 7 24

36

3 7 2 2 312

3 2x y x y x y x y++

-=

+ + -=

\ \ ( ) ( )

=+ + -

=+21 6 6 2

1227 4

12x y x y x y ;

2)m nmn

m nm

m m n n m nm n

m n+-

-=

+ - -=

\ \ ( ) ( )2 2

=+ - +

=+m mn mn n

m nm n

m n

2 2

2

2 2

2 ;

3) aa

aa

aa a

aa

a a aa2

2

2 4 2416

14

44 4

14

4 4 1--

-++

=-

- +-

++

=- - - +-

( )( )( )( )\

(( )( )a a- +=

4 4


=- - + - -

- +=

- - - + +- +

=-

a a a aa a

a a a aa a

aa

2 2 2 24 4 44 4

4 4 44 4

3( )( )( ) ( )( ) ( 44 4)( )a +

=

=-3162

aa

;

4)m n mnm n

- +-

2 .

Уданомувипадкумаємосумуцілоговиразут – п ідробу.Щобскористатисяправиломдодаваннядробів,цілийвиразмож-назаписатиувиглядідробузізнаменником1.Маємо:

m n mnm n

m n mnm n

m n mnm n

m n

- +-

=-

+-

=- +

-=

-21

2 22\ ( )

=- + +

-=

+-

m mn n mnm n

m nm n

2 2 2 22 2 .

Завдання, пов’язані із додаванням і відніманнямдробів,мо-жуть бути сформульовані по-різному: виконатидії; знайти суму(різницю)дробів;спроститивираз;перетворитивиразудрібтощо.Алепослідовністьвиконанняцихзавданьзавждиоднаітасама:спочаткусумучирізницюдробівзаписуютьувиглядідробу (наосновівідповіднихправилдодаванняівідніманнядробів),апотімодержанийдрібзводятьдонайпростішоговиглядушляхомвико-наннявідповіднихтотожнихперетвореньйогочисельникаіско-роченнядробу(якщоцеможливо).


1. Як додати (відняти) раціональні дроби з однаковими зна-менниками?

2. Як додати (відняти) раціональні дроби з різними знамен-никами?


Виконайте дії (46–48):

46°. а) 37

47

x x+ ; б) 2

3 3a a- ; в)m

npn

+ ;


г) 1 5x x- ; ґ) 2 3 4

m m m+ - ; д) x

yxy

+2

.

47°. а) 2 1 3 1xb

xb

++

+ ; б) c dc

c dc

-+

+2 22 2 ;

в) a a+-

+32

12

; г) 2 34

2 34

m nmn

m nmn

+-

- ;

ґ) 9 43

4 632 2

pp

pp

-+

- ; д) 2 1 22 2

yy

yy

--

- .

48. а)° xa

xa

+-

++-

42

32; б)° a b

c da bd c

+-

---

;

в) ca

ca

--

++-

59

592 2 ; г) a

a bb

b a( ) ( );

++

+22

22 2

ґ) xx y

yy x( ) ( )

;-

--2 2 д) m

m nn

n m

2

2

2

2( ) ( ).

--

-

Подайте вирази у вигляді дробів(49–51):

49. а)° 3 122x xy

- ; б)° ab b6

583 4+ ;

в) 7 24

36

x y x y++

- ; г) 2 56

18

m m+-

- ;

ґ) 5 66

1aa a+

+ ; д) x yxy

y zyz

-+

- .

50. а)m nmn

m nm

+-

-2 ; б) 2 3 3 2

2 2x yx y

x yxy

-+

- ;

в) 5 3 2 62

2

2

2 2a ba b

b aa b

--

- ; г) 2 5 2 12

2a a

a baab

+ --

- .

51. а)°a bc

+ ; б)° ba

b- ; в)° x y x yx

- ++( ) ;

2

2

г) 2mnm n

m n-

- + ; ґ) c dc

c d2 2-

- + ; д) b cc

bc c2 22 2+

+ - .

52°. Розв’яжітьрівняння: x x3

2 25

- =- .

Рівняння,щомістятьдробибеззмінноївзнаменнику,якправило,розв’язуютьтак.Всічленирівнянняспочаткузво-


дятьдоспільногознаменника,апотіммножатьнаньоголівуіправучастинирівняння,щобпозбутисядробу.Такепере-творення,можнаробитинаосновівідомоївамзпопередніхкласіввластивостірівнянь.Отже:x x3

21

25

5 15 3\ \ \

;- =- 5

153015

6 315

x x- =

- ;

5х–30=6–3х;8х=36;х=4,5.

а)° 6 77

3 5 38

x x+- =

- ; б)° x x-+

-=

45

2 33

6;

в)° x x x-+

-=

-52

18

34

; г)° x x x++

--

-=

62

5 43

86

0.

Спростіть вирази (53—58):

53°. а) 41

1x x-

+ ; б) 44

33-

-+x x

; в) mm n

nm n+

+-

;

г) aa a-

-+333; ґ) x

xx

x--

+242; д) 6

22a

x ya

x y-+

+.

54°. а) a ba b

a ba b

-+

++-

; б) 2 12 1

2 12 1

xx

xx

+-

+-+

;

в) c dc d

c dc d

-+

---

2 2 ; г)m nm n

m nm n

+-

-++2 .

55°. а) 51

32 2x x-

+-

; б) aa b

aa b3 32

5 5+-

+;

в) 3 2bax ay

abx by+

-+

; г) mm mn

nmn n24

22 2--

-;

ґ) cc cd

dc d2 22 -

--

; д) 5 32

7 43

x yx y

x yx y

++

-++( ) ( )

.

56. а) x yx xy

x yxy y

++

+-+2 2 ; б) c

c ccc

-+

--+

33

39 32 .

57. а) 39

532x x-

+-

; б) 42

842x

xx+

---

; в) c dc d

cdc d

+-

--22 2 ;

г) 816

242b

bb-

+--

; ґ) aa

aa

+-

+-

21 1

2

2 ; д) 29

2 13

2

2x

xx

x-+

+-

.


58. а) m nm n

m nm n

-+

++-2 2

2 2

2 2 ; б) x yx y

x yx y

2 2

2 2 2 2+-

-+-

;

в) 54

65 202

--

+-

aa a( )

; г) a ba b

aa b

+-

--( )

;2 2 2

ґ) a ba b

aa b

+-

--( )

;2 2 22 д) x

xx

x x++

+-

+-1

11

11

2

2 .

59*. Доведіть,щозначеннявиразівнезалежитьвіда:

а) a aa

aa

2

26

43

2- --

+--

; б)a a aa a

-- ++ -

3

22 1

1.

60*. Перетворітьудрібвирази:

а) cp

cp p

p c pc cp

2 2

2

2 2 2 2

333 23 9

5 327-

+++ +

-+ +

-;

б) x yx y

xx y

x yx y

-+

--

++-( ) ( )

;2 2 2 22

в) c pc p

pp c

c pc p

+-

+-

--+

22

64

222 2 2 2( ) ( )

;

г) c bac bc ab a

ba ab

bac a

++ - -

++

--

62 6 3

22 32 2 2 .

Доведіть тотожності (61–63):

61°. а) 24

84

2cc c+

++

= ; б) 3 3 3cc a

ac a-

--

= ;

в) ( ) ( ) ;c pcp

c pcp

+-

-=

2 2

4 г) - - +-

= -c cp p

c pp c

2 22 .

62. а) cc p

cpc p

pc p+

+-

--

=2 12 2 ; б) c c

c c- -

-+

=+

1 31

21

2

.

63*. а) xx y x z

yy x y z

zz x z y

2 2 2

1( )( ) ( )( ) ( )( )

;- -

+- -

+- -

=

б) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

;b ca b c a

a ca b b c

a bc a b c

-- -

--

- -+

-- -

=2 2 2

3

в) 23 6

22 4

23 12 12

43 2

162 2 2c

cc c c c c c c+

--+

-+ +

-+

=( )

.

8 klas algebra_malovanij_2016

Engineering

Transcript of 8 klas algebra_malovanij_2016