8 Cinematica

MECNICA DEL MEDIO

CONTINUO

CINEMTICA

CONTENIDO

3. El principio de los esfuerzos

4. Teora lineal de la elsticidad

5. Teora de la Plasticidad

Mecnica del medio continuo

Introduccin al curso

1. Preliminares de matemtica

2. Cinemtica

CONTENIDO

2. Cinemtica

2.1 Descripcin del movimiento de un continuo

2.2 El campo de desplazamientos

2.3 La derivada material

2.4 Gradiente de deformacin, Tensor de deformacin

finita

2.5 Teora de la deformacin infinitesimal

CONTENIDO

Tensor de deformacin, tensor de giro

Gradiente de velocidad, tasa de deformacin

Derivada material de elementos lineales, elementos

superficiales y elemento volumtricos

Condiciones de compatibilidad de la teora lineal

2. Cinemtica

Mecnica del continuo

A partir de experiencias a travs de

experimentos y de observaciones de

comportamientos a nivel microscpico la

Mecnica del Medio Continuo construye

modelos matemticos, que describen el

comportamiento mecnico (o termodinmico)

de cuerpos materiales (gases, fluidos y

slidos), sin considerar la estructura

microscpica (atmica). Por est razn es una

teora fenomenolgica.

Descripcin del movimiento de un continuo


En la Mecnica del Medio Continuo primero

se establecern los principios que son

aplicables a todos los medios (especialmente

fluidos y slidos) bajo todas las clases de

condiciones de carga. Luego se estudian las

ecuaciones constitutivas que definen los

comportamientos de tipos de materiales

idealizados. Finalmente se tratan problemas

especficos y los resultados se comparan con

observaciones experimentales.



El Continuo lo suponemos (lo pensamos) cons-

truido (conformado) con elementos volumtri-

cos infinitesimales cargados de materia, llama-

dos elementos materiales o puntos materiales.

Se necesita que esos puntos puedan ser identifi-

cados (por ejemplo, suponiendo que cada ele-

mento material est pintado de una manera ca-

racterstica).



De esta manera puede seguirse la trayectoria de

cada elemento en el espacio cuando el cuerpo se

deforma (mueve).

Entendemos como un cuerpo material M (con una superficie M) una cantidad de puntos materiales que interactan mutuamente (compactos), los

cuales cubren en cada instante una parte del espa-

cio Eucldeo tridimensional.


9

Posicin de referencia (t = 0)

(Configuracin de referencia; en

general indeformable y libre de

esfuerzos)

Posicin momentnea (t > 0)

(Configuracin momentnea)

1e

2e3e

MMP

M

ento Desplazami

M

P

x


t=t0

tu ,

Notacin: : Cuerpo material (volumen) M: Superficie del cuerpo material M

: Campo vectorial de desplazamiento tu ,

A cada punto material P (Elemento volumtrico material)

de la posicin de referencia, le es asignado un vector de po-

sicin de acuerdo con un determinado sistema de coorde-

nadas (p.e Cartesianas):

iii e


La posicin del mismo punto material en un tiempo poste-

rior t > 0, en la posicin momentnea, es descrita por un

vector posicin : x

Un elemento volumtrico material esta conformado siempre

por los mismos tomos y molculas.

iiexx

Imagen: )( x : Funcin vectorial unvoca


Ecuaciones cinemticas de movimiento

Imagen invertida

x 1

Deben ser suficientemente diferenciables (tantas ve-

ces como sea requerido; por lo general dos o tres ve-

ces)

1-y


Ejemplo:

Considere el movimiento:

33

22

211 2.0

x

x

tx


Esquematice la configuracin en el tiempo t = 2 para un

cuerpo que en t = 0 tiene la forma de un cubo con lados

igual a la unidad y con una de sus esquinas en el origen.

Solucin: Para una partcula

que en el tiempo t = 0 esta-

ba en el origen, se cumple:

txi todopara 0

Es decir esta partcula per-

manece en el origen todo el

tiempo. 33, x

11, x

22, x

O A

C B


Similarmente, la partcula que en el tiempo t = 0 permaneca

en la posicin (1, 0, 0) se mover a xi = 1d1i . Es decir, las

partculas sobre la lnea OA no se mueven.

33, x

11, x

22, x

O A

C B Una partcula (1, 1, 0) sobre la

lnea CB ocupar en el tiempo

t = 2 la posicin:

iiix 211 1122.0 dd

Es decir, cada partcula de la

lnea CB se desplaza horizon-

talmente hacia la derecha una

distancia igual a (0.2)(2) = 0.4

33, x

11, x

22, x


Una partcula (0, 2, 0) sobre la lnea OC se mover:

iiix 221222.00 dd

C B

O A

C B Es decir, cada partcula sobre la

lnea OC se mover horizontal-

mente hacia la derecha una dis-

tancia linealmente proporcional

a su altura, de tal manera que

OC permanezca como una l-

nea recta. Una situacin similar

se presenta para la lnea AB.

Descripciones referencial y espacial

Cuando un continuo est en movimiento, cantidades como

temperatura q y velocidad v, asociadas a partculas espec-ficas, cambian con el tiempo.

Existen dos maneras para describir esos cambios:

1. Siguiendo la partcula, es decir q y vi se expresan como una funcin de las coordenadas de las partculas en una

configuracin de referencia fija y un tiempo t.


tvv

t

ii ,,,

,,,

321

321

qq


i : Coordenadas materiales (coordenadas Lagrangianas)

xi : Coordenadas espaciales (Coordenadas de Euler)

Esta descripcin es conocida como Lagrangiana o referen-

cial o descripcin material

2. Observando los cambios en posiciones fijas, es decir q y vi se expresan como una funcin de xi y de t.

txxxvv

txxx

ii ,,,

,,,

321

321

qq

Esta descripcin es conocida como Espacial o Euleriana


En la descripcin Euleriana lo que es descrito o medido es

el cambio de cantidades en un punto fijo en el espacio (no

una partcula material especfica) como una funcin del

tiempo. La misma posicin espacial es ocupada por diferen-

tes partculas en tiempos diferentes. Por esta razn, la des-

cripcin espacial no provee informacin directa relacionada

con el cambio en los valores de una cantidad asociada con

una partcula material cuando esta se mueve a travs del es-

pacio.

Ambas descripciones estn relacionadas entre s por el mo-

vimiento: si ste es conocido una descripcin puede ser ob-

tenida a partir de la otra.


Ejemplo:

El movimiento de un cuerpo est dado por:

)1( 2.0 12 iii tx d

El campo de temperatura est dado por:

(2) 2 221 xx q

a) Encuentre la descripcin material de la temperatura

b) Encuentre la tasa de cambio de la temperatura de una

partcula que en el tiempo t = 0 se encontraba en (0, 1, 0)


Solucin:

a) Sustituyendo (1) en (2)

221

2221

221

4.02(3) 2.02

2

qq

q

tt

xx

b) La temperatura de la partcula deseada en diferentes

tiempos es dada por

4.0

4.01

dt

d

t

q

q


Note que aunque la temperatura es independiente del tiem-

po en la descripcin espacial, una partcula experimenta un

cambio de temperatura cuando esta se mueve de una posi-

cin a otra; sto se ve claro en la ecuacin (3).

Mientras que la descripcin espacial es comnmente usada

en mecnica de fluidos, la descripcin referencial es usada

en mecnica de slidos y en la formulacin de leyes de la

mecnica.


Un cambio en la configuracin es el resultado de un despla-

zamiento del cuerpo.

Un desplazamiento de cuerpo rgido consiste de una transla-

cin y una rotacin simultneas. Esto produce una nueva

configuracin sin cambio en las dimensiones y en la forma

del cuerpo.

Con frecuencia un desplazamiento incluye desplazamiento

de cuerpo rgido y deformacin, la cual produce cambio en

las dimensiones y/o en la forma.

Def: Movimiento: Familia de posiciones de un parmetro

Un movimiento de un cuerpo es un secuencia de desplaza-

mientos continuos en el tiempo que lleva el conjunto de par-

tculas a varias configuraciones dentro de un espacio.

0,,, ttx



Si se consideran las ecuaciones:

333

222

12

122

11

2

1

2

2

tx

ttx

ttx

en el tiempo t = 1 se obtendr:

33

212

211

2

3

2

2

x

x

x


Puntos (a, -a, 0) en la configuracin de referencia se move-

rn a una posicin (0, 0, 0) en el tiempo t = 1. sto implica

que diferentes partculas que ocupaban diferentes posicio-

nes en la configuracin de referencia, son desplazadas ha-

cia el mismo sitio en la configuracin momentnea (en el

tiempo t = 1). Esto equivale a la colisin de varias partcu-

las materiales. A pesar de que en la mecnica de partculas

son permitidas las colisiones, en la mecnica del medio

continuo se supone que esta posibilidad es excluida desde

el comienzo. En la mecnica del medio continuo se supone

que partculas materiales diferentes ocupan siempre lugares

diferentes.


Esto es equivalente al requerimiento que:

tx ,,, 321

sea una imagen uno a uno de las partculas de la configura-

cin de referencia en la configuracin momentnea. Debido

a que en la mecnica del medio continuo se requiere dife-

renciar funciones con respecto a xi y a i de aqu en adelante se supondr que la imagen es continua-

mente diferenciable y tiene una inversa continua diferencia-

ble dada por:

tx ,,, 321

txxx ,,, 3211


Vector de desplazamiento u

xu

El vector de desplazamiento de una partcula es la dife-

rencia entre sus vectores de posicin en el tiempo t y en el

tiempo t = t0 (= 0):

u

En la descripcin Lagrangiana el desplazamiento es ex-

presado como una funcin de y t. iu

333

222

12

122

11

2

1

2

2

tx

ttx

ttx

Considere por ejemplo el movimiento:


Las componentes de desplazamiento correspondientes estn

dadas por.

tu

ttu

ttu

33

22

12

22

11

2

12

2


i

2

213

21

13

21

33333

23

21

22

2222

2321

1111

t

xxxu

ttt

txtxxxu

ttt

txtxxxu

En la descripcin Euleriana se expresa como una funcin

de xi y de t. Tomando la descripcin Lagrangiana y resol-

viendo en trminos de xi y t, y sustituyendo esta en la

ecuacin de movimiento se obtiene:

u

xu


Derivada Material

La tasa de cambio con el tiempo de una cantidad tal como la

temperatura o la velocidad de una partcula material es co-

nocida como una derivada material.

Cuando la descripcin referencial o Lagrangiana de una

cantidad es usada, como por ejemplo ,

entonces

t,,, 321 qq

const

qq


consjconsx t

x

xt

qqq

Cuando la descripcin espacial o Euleriana de una cantidad

es usada, como por ejemplo , en donde txxx ,,, 321qq ttx ,,,, 321

, entonces:


De acuerdo con sto, la componente j de la velocidad de

una partcula material esta dada por

cons

jj

t

xv

Llegando a:

consjconsx

vxt

qqq

16)1,1,1( material partcula la para 1en

12122

112

2

2

2

2

1

22

2

22

1

2

2

2

1

t

tt

tt

xxi

q

q

q


Ejemplo: Dado encuen-

tre en t = 1 la tasa de cambio de temperatura de la partcula

material que en la posicin de referencia se encontraba en

la posicin (1,1,1)

txxx 1 donde 2 2221 q


16

)11(4)11(140

)1(4)1(40

)1(

)1,1,1( material partcula la para 1En

14140

21

21

q

q

q

qqq

tt

tx

t

xx

t

x

xtii

ii

j

j


Tarea: El movimiento de un medio continuo es definido por

las ecuaciones:

32

21212

21211

2

1

2

1

2

1

2

1

x

eex

eex

tt

tt

a. Exprese las componentes de velocidad en trminos de

las coordenadas materiales y tiempo

b. Exprese las componentes de velocidad en trminos de

coordenadas espaciales y tiempo.


Tarea: El movimiento de un cuerpo est dado por

3322121 iiii ktx ddd

y el campo de temperatura est dado por : 21 xx q

Encuentre para una partcula localizada en la posicin

(1,1,1) en la configuracin momentnea

q

Def: Vector aceleracin del punto material en el tiempo t,

el cual se encontraba en la posicin en el tiempo t = 0:

a

consttt

xa

|,2

2


La aceleracin de una partcula material es la tasa de cam-

bio de su velocidad.

La componente i de la aceleracin de una partcula material

esta dada por

i

cons

ii v

t

va

2.1 Descripcin del movimiento de un continuo

Si la descripcin material de la velocidad es conocida como

ttv ,,,, 321

Entonces la aceleracin se calcula simplemente obteniendo

la derivada parcial con respecto al tiempo de la funcin

.,,, 321 t

Por otro lado, si solamente es conocida la descripcin espa-

cial de la velocidad, p.e. txxxtxv ,,,, 321

entonces la aceleracin se determina como:


conskconsx

conskconsxcons

vx

v

t

v

t

x

x

v

t

v

t

va

La parte de la aceleracin dada por es llamada acele-

racin convectiva. kx

vv

Cuando el movimiento se presenta nicamente a lo largo del

eje x1, es decir, v2 = v3 = 0 y v1 = v1(x1,t), entonces:


1

11

11

x

vv

t

va

Movimiento General

1e

2e3e

F0t

A

P

A

d

A y P son puntos con una vecindad infinitesimal

AA xxxdd

y

son los vectores de distancia en el tiempo y . 0t0t

A

P

0t

dxAx

x


dxd F

10det FF existe

xdd 1 F

0cumplese0con

dd F

Dos puntos materiales diferentes en la configuracin de refe-

rencia son representados en dos puntos materiales diferentes

en la configuracin momentnea.

Abreviacin:


Por un lado:

Por otro lado:

(2) ikikllkiik edFedeeFdxd

F

k

ikiik

xxF

,

obtiene se )2()1( haciendo


(1) , ikkiikk

iii edxed

xedxxd

Diferencial total

Campo tensorial gradiente de deformacin

xee

xeexeeF ki

k

ikikikiik : ,F

En general es dependiente de la posicin y del tiempo:

. Cuando es independiente de la posicin, es decir , el tensor se denomina homogneo.

F

t,

FF F

tFF


Caso especial: Movimiento rgido (Isometra). Rotacin de

cuerpo rgido.

AA ttxtx

Q

: Tensor ortogonal, es decir, es satisfecho para todo t,

1QQ Ttt tQ 1Q 0t

A

0t

A

A

P

0t

tcA

P

Axx

Ax

x


Movimiento de cuerpo rgido general:

A

Ax

x

0t

0t

O

tc

A

P

A

A

P

Axx


00con

tcttctx AA Q

1Q 0t

F

elementos lineales materiales, perpendicula-

res entre si en la configuracin de referencia.

,,, 321

ddd

Transformacin de un Elemento Volumtrico Material

3d

2d

1d

0dV xd

1

xd

2xd

3

dV


Los elementos materiales en la posicin mo-

mentnea no son, por lo general, perpendiculares entre si.

xdxdxd

321 ,,

rqppqr dddeddddV 3213210

ikkillkikill edxedeexeddxd ,, FF

krrkjqqjippi edxedxedxxdxdxddV 3,2,1,321


rqprkqjpiijk dddxxxedV 321,,,

kjiijk eeee

Def: Determinante funcional J (Determinante funcional Ja-

cobiano):

3,2,1,det: kjiijk xxxeJ F

Debido a: rkqjpiijkpqrpqr xxxeeJe ,,,det F

Se llega a: 0321 JdVdddJedV rqppqr

00 det dVJdVdV F 0det0

0

dV

dVJ F

debido a ; : densidad. dVdVdm 00



Los enunciados anteriores son vlidos si y solo si el

Jacobiano J es diferente de cero para todos los puntos en la

configuracin de referencia y para cada valor de t

; J es una funcin continua de t; J debe

ser positivo para cada t.

10,,, 321 J

Conclusin: Una condicin necesaria y suficiente para que

una deformacin continua sea fsicamente admisible es que

el Jacobiano J sea mayor de cero.

Un campo de desplazamiento satisface la condicin J > 0,

es decir es propio y admisible o simplemente admisible


Para una deformacin admisible de un medio, las compo-

nentes de desplazamiento (u1, u2, u3) deben satisfacer J > 0.

Por ejemplo, un trozo de membrana no puede estar sometida

a componentes de desplazamiento u1 = 21, u2 = 0, u3 = 0, porque entonces J = 1.

Quiz: determine si las siguiente componentes son posibles

para el desplazamiento de un medio continuo cuando k es

una constante

33212121 , , kukuku

Elemento superficial infini-

tesimal orientado dA0 en la

posicin de referencia.

Correspondiente en la

posicin momentnea

F

Transformacin de un Elemento Superficial Material

000 ndAAd

0dA

0n

d

ndAAd

dAn

xd

: vectores unitarios normales nn ,0


Complementacin del elemento superficial a un elemen-

to volumtrico mediante el vector infinitesimal . 0Ad

d

dAddV 00

dAJdJdVAdddAdxdAddV T 00 FF

0AJdAdT F


Debido a : TTTTT LLLLLL1 111

Se llega a : 11 TT LL

Y con esto se obtiene: 001 ndAJndAT F

0

10

120

22 nndAJndAndAdATT FF

0110202 nndAJT FF

011

02

02 nndAJ T

FF

01

02

02 nndAJ T

FF

01

02

02 nndAJ

C


Por esto se puede escribir: 01 AdJAdT F

escalar

01

00 nnJdAdA C

Def: En esta expresin se emplea el Tensor Derecho de

Cauchy Green: FFC T:

simtricoes: CCFFFFC TTTT

C es un tensor definido positivo, es decir, se cumple:

uuuu ,0;0C

Demostracin: 0 uuuuuu T FFFFC

Los valores propios de un tensor real definido positivo son

siempre reales y positivos.


Transformacin de un Elemento Lineal Material

F

1: adS

da

ddS

0t

a

dxdds

0t

xd

: Vector unitario en la direccin del elemento material lineal en la posicin de referencia

a


ddddxdxdds TFFFF

aadSdd

CC

Con esto resulta la elongacin de un elemento lineal mate-

rial , el cual apunta en la direccin del vector unitario

. en la posicin de referencia.

dSdsa

aadS

ds C


Significado de las componentes individuales del tensor

derecho de CAUCHY-GREEN

Sea: 1111 CeedS

ds C

2

11

dS

dsC

Las componentes C11, C22, C33 del tensor derecho de CAU-

CHY-GREEN son por lo tanto cuadrados de la elongacin

de elementos lineales, los cuales son paralelos a los vectores

base en la configuracin de referencia. 321 y, eee


A continuacin consideraremos dos elementos lineales, per-

pendiculares entre si, y paralelos a la base vectorial

en la posicin de referencia: 21 y ee

222111 , edSdedSd

En la posicin momentnea se cumple:

2222211111 , dSCxddsdSCxdds

122121 ddddxdxd

TFFFF

12212121 CdSdSeedSdS C


2112 dddd CC C es simtrico

Con

222111

1221

21

21cosdSCdSC

CdSdS

xdxd

xdxd

Se llega a

2211

1212cos

CC

C

Las componentes Cik del tensor derecho de CAUCHY-

GREEN para i k describen, en lo fundamental, cambios de ngulo de elementos lineales en el plano , los cuales

son ortogonales en la posicin inicial. ki ee ,


En una imagen rgida el tensor derecho de CAUCHY-GRE-

EN se reduce al tensor unitario, debido a que con F = Q

(Q ortogonal; es decir QT = Q1) :

1QQQQFFC 1TT

Tensor de Deformacin de GREEN E

1CE 2

1: EE T

El tensor de deformacin de GREEN es un tensor simtrico,

el cual desaparece para una imagen rgida.


Transformacin de C a ejes principales

IIIIIIIIIIIIIIIIII aaCaaCaaC C

Los valores propios (cuadrados de las elongaciones princi-

pales) son reales y positivos. ( : direcciones principales de

las elongaciones; ) ka

IIIIIIk ,,

Tensor Derecho de Elongacin (Tensor Elongacin) U

efinidopositivo d es ; UUUC

IIIIIIIIIIIIIIIIII aaCaaCaaC : U

U es definido por C en el sistema de ejes principales de


Teorema de la Descomposicin Polar

Un desplazamiento descrito mediante F puede descompo-

nerse localmente en una elongacin U unida con un giro r-

gido R. RUF

R: Tensor ortogonal de giro

U: Tensor derecho de elongacin; simtrico, definido positivo

U

R

RUF


Demostracin de la ortogonalidad de R

TTTTT FUFUFURFUR 1111; Con esto se obtiene:

1UUUUCUUFUFURR 111111 TT

Tensor izquierdo CAUCHY-GREEN B

VVFFB T:

V: Tensor izquierdo de elongacin

B y V son simtricos y definidos positivos


Adaptadas del Profesor Arcesio Lizcano. Alfonso Mariano Ramos Can Pontificia Universidad Javeriana

Anlogamente se cumple: VRF

R Es el mismo tensor de giro anterior

R

VRF

V



Deformaciones Infinitesimales

Def: Campo infinitesimal de desplazamiento: tu ,

Def: Gradiente de desplazamiento: Campo tensorial de

desplazamientos:

iki

k eeu

uu Grad

iii uxux

k

iik

k

i

k

iik

k

i uuFx

d


Suposicin de la teora lineal:

1

k

iu

Esto significa que los cambios de desplazamiento (no los

desplazamientos) son pequeos.

Tu Grad 1F

k

iik

k

i

k

iik

k

i uuFx

d


Ventajas de la teora lineal: Las condiciones de contorno

pueden formularse aproximadamente en la configuracin no

deformada, es decir en la configuracin de referencia, la cual

difiere nicamente muy poco de la configuracin moment-

nea.

k

llk

l

i

k

l

l

i

k

i u

x

ux

x

uu

d

Con

k

ilk

l

i

k

i

k

l

x

u

x

uuu

d

1


En la linearizacin geomtrica es permitido, de manera

aproximada, intercambiar las derivadas con respecto a las

coordenadas materiales por las derivadas con respecto a

las coordenadas espaciales . k

kx

De acuerdo con esto obtenemos para el tensor de deforma-

cin de GREEN : E

1111FF1CE TT uu Grad Grad2

1

2

1

2

1

orden segundode pequea Cantidad

Grad Grad2

1 Grad Grad

2

1 TTuuuu

E


TTuu ; Grad Grad2

1:

En coordenadas cartesianas:

k

i

i

k

k

i

i

kik

x

u

x

uuu

2

1

2

1

ikkiij uu 2

1

Tensor infinitesimal de deformacin


Significado de las componentes individuales del tensor de

deformacin

11E1CU 22

xddsddS

;

Por ejemplo: para 1ki

1

111111

dS

dsC


describen las deformaciones unitarias, es decir, los cambios relativos de longitud de tramos infinitesimales,

los cuales son paralelas a en la configuracin de

referencia.

332211 ,,

321 y , eee

Para i =1, k =2 es vlido en la teora exacta:

1d

2d

0t

2211

1212cos

CC

C

rectoteinicialmen

ngulodelCambio12 12

xd

2

xd

1

0t


12122

1 para ,sin2

coscos 1212121212

Con esto se llega a:

1212

1

22

1

11

12

2211

1212 2

2121

2cos

CC

C

es decir

12122

1


Los para describen la mitad del cambio del ngulo

recto, el cual est formado por paralelas a los ejes y

en la configuracin de referencia.

ik ki ie ke

El tensor infinitesimal de deformacin describe por lo

tanto los cambios de longitud y de ngulo:

332313

232212

131211

B


En la teora lineal se cumple: 1U

Debido a: 1111 2 1U 1

Debido a se obtiene el Tensor de Giro: RUF

TT uuu

Grad Grad

2

1 Grad

111UFR

TT uuu Grad Grad2

1 Grad

2

11R

:

Grad Grad2

1

Tuu1R


Tensor infinitesimal de giro (en la teora lineal)

En coordenadas cartesianas se cumple:

ikkiik uu 2

1


Tuu Grad Grad2

1

u

Grad


Imagen matricial del tensor infinitesimal de Giro

0

0

0

2331

2312

3112

B Antisimtrico

En el caso : el tensor de giro es homogneo y des-

cribe un giro global de un cuerpo rgido del continuo.

t

El vector de giro , cuya direccin determina el eje alrede-

dor del cual se produce el giro y cuya magnitud es el ngulo

de giro, est dado por:


12

31

23

B

A todo tensor antisimtrico A se le puede asignar un vector

de tal manera que se cumpla

a

uauA

Entonces se cumple , es decir, la imagen con el

tensor antisimtrico corresponde a la operacin

uu

Se cumple:

u

rot 2

1


Desplazamiento: diferencia entre los vectores de posicin de

una partcula en las configuraciones actual y de referencia

Deformacin: movimiento relativo de las partculas con res-

pecto a una partcula determinada que se encuentra a una dis-

tancia diferencial de las primeras

Deformacin infinitesimal (pequeas deformaciones): los

desplazamientos son muy pequeos con respecto a las dimen-

siones tpicas del medio continuo

Resumen


Los gradientes de desplazamiento son muy pequeos

t=0 t>0

P

Pxd

a

du

dFxd

iki

kTki

i

k eeu

ueeu

u Grad Grad


3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

1

1

1

Grad

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

uT

1

kjiijkT

MMMeu 321 Grad

1


Vector unitario en la direccin de

d

dad :


] Grad Grad[] Grad[22

dudududdTTT


Deformacin Unitaria de un Elemento

Lineal en el Punto P en Direccin del Vector Unitario

Grad22 aduaddxd T

auadxd T Grad21(2

auad

xd T

Grad21

aaaaaua TTT ])[(] Grad[


0 aa

aaaaaaaaaa TTT debido a que:

aaa

aaaaaua TTT ])[(] Grad[

Se obtiene:

aaaa


1 Grad11

auad

xd

d

dxdP

Ta

aaPa

aPaPa



La elongacin volumtrica en la teora lineal puede escribir-

se: uuJ

dV

dV T div1 Graddetdet

0

1F

uu div Gradtr

Deformacin Volumtrica (Dilatacin)

Def: La deformacin volumtrica e (en la teora lineal) es:

tr div1:00

0

udV

dV

dV

dVdVe

0e Movimiento isocrico. Volumen constante


Descomposicin del tensor

kDee

11

3

1

3

1

1eD

3

1: El desviador describe el cambio de

forma puro sin cambio volumtrico ya

que:

D

033

11

3

1tr tr

eeeDD

1ek

3

1: El tensor esfrico describe el cambio

de volumen puro sin cambio de forma

k


tres valores reales y tres vectores propios IIIIII ,,

IIIIII aaa

,,

Valores propios (Deformaciones principales)

Transformacin de ejes principales de

0det 1

IIIIIIIIIIIIIIIIII aaaaaa

IIIIII ,,

IIIIII aaa

,,

Vectores propios (Direccin de las deformaciones principales)


Invariantes:

321 ,, III

euI IIIIII

div3322111

IIIIIIIIIIII

I

231223

2121133332222112

IIIIIII det3


Ejemplo: Movimiento cortante

tiempodel dadaFuncin :t

211

33

22

:,

tx

x

x

tx

33

22

211

:,

x

x

xtx

tx

Pu

1e

2e

P

12


Campo vectorial de desplazamiento

0

0

0

0,

22 xtt

tu B

Campo vectorial de velocidad

0

0

0

0,

22 xtt

tv B

Campo vectorial de aceleracin

0

0

0

0,

22 xtt

ta B


100

01

001

;

100

010

01

t

tTBB

FF

100

01

01

100

010

01

100

01

0012

FFC TB


xee

xeexeeF ki

k

ikikikiik : ,F

000

0212

020

2

1 2

1CE B

De la transformacin de ejes principales de C resulta U: los

valores propios de U se obtienen de la raz cuadrada de los

valores propios de C:

1

1

1

2

2

III

II

I

U

kkU

kkU


uB

rot 2

10

0

2

1

12

31

23

3

2

1

1

22

1

3

3

11

32

3 2

2

1e

x

u

x

ue

x

u

x

ue

x

u

x

uB

3 2

1eB


Partculas, configuraciones, deformacin y movimien.


0tr div1:3

3

2

2

1

1

00

0

x

u

x

u

x

uu

dV

dV

dV

dVdVe

kDee

11

3

1

3

1

000

00)(

0)(0

100

010

001

03

1

000

00)(

0)(0

t

t

t

tD

0

000

000

000

100

010

001

03

1k


Configuracin de referencia

Ejemplo: Torsin de un cilindro circular. En este

caso las caras planas permanecen planas

zr ezeRd

ddeRd

),,(: zRP

R


Configuracin momentnea

zr ezererxd

ddd

),,(: zrP

zRzz

zR

zRrr

zrP

,,

,,

,,

,,


RP

Configuracin de

referencia

),,(: zRP

zr ezeRd

ddeRd

zRzz

zR

zRrr

zrP

,,

,,

,,

,,

re

e

Pr

Configuracin

momentnea

zezererx r

dddd

z

zz

RR

z

zr

R

r

Rr

z

rr

RR

r

Fx

F ccilikk

iik

1

1


,dd x

FDebido a

ikkiikk

iii edxed

xedxxd

,

ikikllkiik edFedeeFdxd

F

k

ikiik

xxF

,

zr

zr

edzerdedrxd

edzeRdedRd

con


Caso especial:

Radios se conservan: r = R

El giro crece lineal con z: kz

Longitud del cilindro permanece constante: l = const.


),,(: zrP

con lk

: Angulo que forman las aristas entre la configuracin momentnea y la de referencia.

Para movimiento k = k(t) es dado

Con esto

100

10

001

rkccilF


z

zz

RR

z

zr

R

r

Rr

z

rr

RR

r

Fx

F ccilikk

iik

1

1

10

010

001

rk

ccilT

F

Radios se conservan: r = R

El giro crece lineal con z:

Longitud del cilindro permanece constante: l = const.

kz


10

10

001

10

010

001

100

10

00122

rk

rkrk

rk

rkTFF

2210

10

001

100

10

001

10

010

001

rkrk

rkrk

rk

TFF

2210

10

001

rkrk

rkTccil FFC

Tensor derecho de Cauchy Green


10

10

00122

rk

rkrkTccil FFB

Tensor izquierdo de Cauchy Green

Tensor de deformacin de Green

22

2

1

2

10

2

100

000

12

1

rkkr

krccil CE


En caso que k

Teora lineal: Construccin de un campo vectorial de

desplazamiento a partir de simplificaciones de la geometra.

Suposiciones:

1) Seccin transversal permanece plana

2) Secciones transversales se suponen como discos rgidos

que UNICAMENTE giran unos con respecto a otros


),,(: zrP

ezrku

Consecuencias para el campo de desplazamientos

Enunciado para el campo de desplazamientos:

2) El problema es simtrico en rotacin: zruu ,

3) ru

4) zu

1) Desplazamiento nicamente en la direccin :

ezruu

,,e


Condiciones de Borde:

erzl

u

lkrkrllzrulz

zruz

, 2)

satisfecho00,0 )1



00

00

00

Grad

kr

kz

kz

u c

000

0

00

Grad krkz

kz

uTc

Tensor de deformacin infinitesimal

00

00

000

2

1 Grad Grad

2

1

kr

kruuT

ccil

eeeerl

zz 2

1

Deformacin volumtrica e = 0 (deformacin isocrica)


Tensor infinitesimal de giro

Vector de giro

u

kz

kr

B

rot 2

1

2

02

1

12

31

23

ezrku


u

kz

kr

ekzekru zr

rot 2

1

2

02

12

2

1rot

2

1

La TEP del tensor arroja como resultado:

rkrk IIIIII 2

1;

2

1;0

zIIIzIIrI eeaeeaea

2

1;

2

1;


Son definidas como aquellas curvas que en cada punto son

tangentes a una direccin de deformacin principal (para un

tiempo determinado) .

Ejemplo: Estado de deformacin plana, es decir, . est en

todas partes perpendicular al plano del dibujo IIIa


Trayectorias de deformaciones principales

Consideremos los siguientes planteamientos de problemas:

321321 ,,,,2

1xxxuxxxu ikkiik

es vlido, el problema siempre tiene solucin

Condiciones de Compatibilidad en la Teora Lineal


1) Las 3 componentes de un campo de desplazamien-

tos son dadas. Se buscan las 6 componentes

del tensor simtrico de deformacin : Debido a que

(p.e. coordenadas cartesianas)

rui

ru rij

r

2) Se dan las 6 componentes de un tensor de simtrico

de deformacin . Pregunta: Existe en este caso un

campo vectorial de desplazamiento con las 3 compo-

nentes ?. Se buscan entonces las 3 soluciones

de las 6 ecuaciones diferenciales

rij

r

ru

rui rui

321 ,,2

1xxxuu ikikki

En general este problema no se puede resolver de manera ni-

ca, no ambigua, inequvoca.


Para que la solucin sea posible, deben existir, entre las 6

componentes del tensor simtrico, determinadas relaciones.

Estas relaciones son dadas mediante las condiciones de

compatibilidad:

0RotRot:Inc

ilidadIncompatibInc

En coordenadas cartesianas las 6 condiciones son dadas por:

0 knmjlmnijkee


Existe un nico, no ambiguo, inequvoco. ru

Condiciones de compatibilidad son condiciones necesarias

(en cuerpos con relaciones simples, tambin suficientes)

para que nicamente 6 componentes del tensor de

deformacin, que satisfagan esas condiciones, describan un

estado de deformacin fsicamente posible.

Anotacin: En un cuerpo con relaciones simples se puede

trazar sobre un punto del cuerpo cualquier curva cerrada.

Formulacin de las Condiciones de

Incopatibilidad segn Beltrami



8 Cinematica

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