8 Central Potential

Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009

8 Central Potential เนอหา 8.1 Introduction 8.2 Orbital Angular Momentum Operator 8.3 เซตของ Commuting Observables 8.4 Position Space ในพกดทรงกลม 8.5 Eigen State ของ Hamiltonian 8.6 Application - Nuclear Magic Number 8.7 Eigen State ของ ˆzL และ 2L 8.8 Application - Coulomb Potential 8.9 บทสรป 8.10 ปญหาทายบท

8.1 Introduction

ระบบทางฟสกสจานวนไมนอย ทอยภายใตอทธพลของพลงงานศกยซงมความสมมาตรในแนวรศม ยกตวอยางเชน อะตอมซงประกอบดวยอเลกตรอนและนวเคลยส โดยทอเลกตรอนจะอยภายใตอทธพลของ Coulomb interaction ระหวางประจลบของตวมน และประจบวกของโปรตอนทอยภายในนวเคลยส หรอเขยนใหอยในรปของสมการไดวา

2

0( )

4e ZV r

rπε= − (SI unit) _____________________ สมการ (8.1)

เมอ Z คอ atomic number ของนวเคลยส ซงแสดงถงจานวนของโปรตอนทบรรจอยภายใน และ r คอระยะทางระหวางอเลกตรอนและนวเคลยส โดยทเรากาหนดใหนวเคลยสของอะตอม อย ณ จดกาเนดพอด จากสมการ (8.1) จะเหนวา พลงงานศกยดงกลาวขนอยกบระยะทางของอนภาคจากจดกาเนดเพยงเทานน เราเรยกระบบทอยภายใตอทธพลของพลงงานศกยเชนนวา central potential และจะเปนประเดนหลกของเนอหาในบทน



central potential ( ) ( )V V r=r _____________________ สมการ (8.2) ซงจะสงผลให Hamiltonian operator ของระบบอยในรปของ

2ˆˆ ( )2pH V rm

= + _____________________ สมการ (8.3)

เนองจากสสารทกชนดทเราพบเหน ลวนประกอบดวยอะตอมทงสน การทเราสามารถนา quantum mechanics มาใชในการวเคราะหใหเหนถงพฤตกรรมในแงตางๆของอะตอม จงมความสาคญยง และจะเปนพนฐานทจาเปนในการศกษาระบบทซบซอนมากขน อาทเชนโมเลกล, ผลก, หรอ สมบตของวสด เปนตน ขอมลชนสาคญทไดจากการคานวณเชง quantum mechanics นอกจากระดบพลงงานของโมเลกลแลว กคอการกระจายตวของกลมหมอกอเลกตรอน เนองจากความกาวหนาทางวทยาการคอมพวเตอร ประกอบกบงานวจยเชงทฤษฏในดาน quantum chemistry ทาใหนกวทยาศาสตรสามารถทจะประมาณคาตอบของ Schrödinger equation ของโมเลกลขนาดใหญขน ซงผลลพธทไดกคอความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอน ณ ตาแหนงตางๆ หรอทเรยกวา กลมหมอกอเลกตรอนนนเอง

กลมหมอกอเลกตรอนจากการถายภาพโดย STM เปรยบเทยบกบผลการคานวณ

Experimental

Quantum

กลมหมอกอเลกตรอนจากการถายภาพโดย STM เปรยบเทยบกบผลการคานวณ

Experimental

Quantum

ภาพ (8.1) [credit: Moresco and Gourdon, "Scanning tunneling microscopy experiments on single molecular landers". PNAS, Vol 102:8809-8814]



ภาพ (8.1) แสดงกลมหมอกอเลกตรอนจากการถายภาพโดย scanning tunneling microscope เปรยบเทยบกบผลการคานวณทไดจากทฤษฏ quantum mechanics โมเลกลทปรากฏเปนสารประกอบ hydrocarbon ทชอ pentacene ซงมโครงสรางทางเคมดงแสดงในภาพ (geometry) ภาพของกลมหมอกทอยภายใตชอ homo และ lumo โดยคราวๆแลวมความหมายเปนการกระจายตวของอเลกตรอนทมระดบพลงงานแตกตางกน สาหรบการคานวณเชง quantum mechanics นนเปนผลจากทฤษฏหนงทชอ density functional theory หรอ DFT ซงตอยอดออกมาจากฐานของ quantum mechanics และถงแมเนอหาของ DFT จะอยนอกเหนอจากขอบเขตของหนงสอเลมน ภาพทปรากฏใหเหนดงกลาว กจะเปนสงททาใหนกศกษาไดเหนถงเนอหาทนาตนเตนของ quantum mechanics ซงรออยในอนาคต ถานกศกษาตดสนใจทจะทางานวจยในดานน อยางไรกตาม central potential มไดจากดอยแตในปรากฏการณทางฟสกสในระดบของอะตอม ซง

มขนาดอยทประมาณ 1010− meter แตเพยงเทานน พฤตกรรมของนวเคลยสเอง ซงมขนาดเลกกวาอะตอมถง 1 แสนเทา (หรอราว 1 femto-meter) กสามารถทจะอธบายไดดวย central potential ของ nuclear force ซงเปนแรงทยดเหนยวใหโปรตอนและนวตรอนสามารถอยรวมกนได โดยทเราจะวกกลบมาวเคราะหระบบทเลกในระดบนวเคลยสในโอกาสตอไป ภายหลงจากทเราไดเขาใจในกลไกทางคณตศาสตรซง quantum mechanics ใชเปนเครองมอในการวเคราะห central potential เรยบรอยแลว

Position Space in 3 Dimensions

เมอจะทาการวเคราะหพฤตกรรมของระบบดวย quantum mechanics เราจาเปนจะตองเลอก basis state พนฐานในการบรรยายถงสถานะของอนภาคนนๆ วธการทงายและเปนธรรมชาตทสดในการอธบายพฤตกรรมของมน กคอการตงคาถามวา อนภาคอย ณ ตาแหนงใด กาหนดให

r แทนสถานะของอนภาค ซงอย ณ ตาแหนง r _______________ สมการ (8.4) และโดยทวไปแลว เรามวธในการกากบตาแหนงของอนภาคใน 3 มตโดยอาศย Cartesian coordinate ดวยเหตนเอง ในการอธบายสถานะดงสมการ (8.4) เราอาจจะใชสญลกษณ



, ,x y z แทนสถานะของอนภาค ซงอย ณ ตาแหนง ˆ ˆ ˆx y z= + +r i j k _____ สมการ (8.5)

z

x

y

2( , , )x y z dxdydzψ =

ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )x y z

dV dxdydz=

z

x

y

2( , , )x y z dxdydzψ =

ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )x y z

dV dxdydz=ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )x y z

dV dxdydz=

ทงน นกศกษาจะตองไมลมวา กลไกในการบงบอกถงตาแหนงของอนภาค มไดมเพยง Cartesian coordinate ทใชตวแปร ( , , )x y z เพยงอยางเดยวเทานน ณ ตาแหนงเดยวกนนเอง เราอาจจะใช spherical coordinate ซงกากบตาแหนงของอนภาคดวย ( , , )r θ ϕ หรอแมกระทงการใชตวแปร ( , , )zρ θ ในพกดกระบอก อยางนเปนตน อยางไรกตาม ในขนตนน เราจะใช Cartesian coordinate ในการกาหนดตาแหนงของอนภาค และจะวกกลบมากลาวถงประเดนของ spherical coordinate อกครงหนงเมอมความจาเปน เราทราบดวา quantum mechanics มองสถานะของระบบในแงของความนาจะเปน กลาวคอเราไมอาจจะทราบไดวา แทจรงแลวอนภาคทกาลงสนใจ อย ณ ตาแหนงใดกนแน เพราะฉะนนถากาหนดให Ψ แทนสถานะของอนภาค แลวเราสามารถเขยนสถานะของระบบใหอยในรป linear superposition ของ basis state ในสมการ (8.5) ไดดงตอไปน

( , , ) , ,dxdydz x y z x y zψΨ = ∫∫∫

หรอนยมเขยนแบบยอวา 3d ( )rψΨ = ∫ r r _______________ สมการ (8.6)

เมอ ( )ψ r คอ probability amplitude ของสถานะ r และดวยคานยามของฟงชนกดงกลาว สามารถตความไดวา

2 3( ) d rψ =r ความนาจะเปนทอนภาคจะมตาแหนงอยระหวาง x x dx→ + , y y dy→ + , และ z z dz→ +

_______________ สมการ (8.7)



และจากคานยามของ basis state ใน 3 มต ดงในสมการ (8.4) กด หรอในระบบของพกด Cartesian ในสมการ (8.5) กด กลไกของ operator ทเราเคยไดศกษามาแลวใน 1 มต อาทเชน position operator x , translation operator ˆ( )T a , หรอ แมกระทง momentum operator ˆ xp กสามารถนามาประยกตใชกบระบบใน 3 มตไดเชนเดยวกน ซงกคอ position operator x , y , และ z เปน operator ซงทาหนาทเสมอนกบการวดตาแหนงของอนภาค ตามแนวแกน x, y, และ z ตามลาดบ โดยเขยนใหอยในรปของสมการไดวา

x x=r r , y y=r r , และ z z=r r _______________ สมการ (8.8) momentum operator ˆ xp , ˆ yp , และ ˆ zp เปน operator ซงทาหนาทในการวด momentum ของ

อนภาคตามแนวแกนตางๆ และผลของ operator ดงกลาวทกระทากบสถานะใน 1 มตทเราไดศกษามาแลว สามารถเขยนใหอยในรปของ 3 มตไดดงน

ˆ ( , , )

ˆ ( , , )

ˆ ( , , )

x

y

z

p x y zi x

p x y zi y

p x y zi z

ψ

ψ

ψ

∂Ψ =

∂∂

Ψ =∂∂

Ψ =∂

r

r

r

__________________ สมการ (8.9)

translation operator ˆ ( )xT a , ˆ ( )yT a , และ ˆ ( )zT a เปน operator ทมผลทาใหสถานะของอนภาค

เลอนตาแหนงของมนตามแนวแกน x, y, หรอ z ไปเปนระยะทางเทากบ a หรออกนยหนง

ˆ ˆ( ) ( ) , , , ,ˆ ˆ( ) ( ) , , , ,

ˆ ˆ( ) ( ) , , , ,

x x

y y

z z

T a T a x y z x a y z

T a T a x y z x y a z

T a T a x y z x y z a

= = +

= = +

= = +

r

r

r

____________ สมการ (8.10)

นอกจากน ในกรณทการเลอนของตาแหนงมขนาดเลกมากๆ เปนระยะทางสนๆ aΔ หรอทเรยกวา infinitesimal translation เราสามารถเขยน translation operator ใหอยในรปทสมพนธอยกบ momentum operator ซงกคอ



ˆ ˆ( ) 1

ˆ ˆ( ) 1

ˆ ˆ( ) 1

x x

y y

z z

iT a p a

iT a p a

iT a p a

Δ = − Δ

Δ = − Δ

Δ = − Δ

_____________________ สมการ (8.11)

จากคานยามของ position operator , momentum operator, และ translation operator ดงกลาว ทาใหเราสามารถเขยนความสมพนธของ operator ตางๆเหลานใหอยในรปของ commutator ไดวา

[ ]ˆ ˆ, xx p i= , ˆ ˆ, yy p i⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , และ [ ]ˆˆ, zz p i= ___________ สมการ (8.12)

สาหรบ operator ซงกระทาในแกนของพกด Cartesian ทตางกน ยกตวอยางเชน x และ ˆ yp นน

เราสามารถสลบลาดบทของการกระทากบสถานะใดๆได กลาวคอ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 ,y y yxp p x x p⎡ ⎤− = = ⎣ ⎦

แบบฝกหด 8.1 จงพสจนวา

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,y x x yxp yp p i p⎡ ⎤− =⎣ ⎦ _________________ สมการ (8.13)

และ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,y x y xxp yp p i p⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ _________________ สมการ (8.14)

ความสมพนธในเชง commutator ระหวาง position operator และ momentum operator ประกอบกบคานยามของ infinitesimal translation operator นเอง จะเปนพนฐานสาคญในการวเคราะห orbital angular momentum operator ในลาดบตอไป

8.2 Orbital Angular Momentum Operator

เมอครงทศกษาถงสมบตทเกยวของกบการหมนของระบบ หรอทเรยกวา angular momentum นน เราใชสญลกษณ ˆ ˆ ˆx y zJ J J≡ + +J แทน angular momentum โดยทวไปของระบบ ซงแยก

ออกเปนสองประเภทดวยกนคอ orbital angular momentum และ spin angular momentum กลาวคอ



= +J L S เราใชเวลาอยพอสมควรในการศกษา spin angular momentum ˆ ˆ ˆx y zS S S≡ + +S โดยเฉพาะอยาง

ยง ˆzS operator นน นอกจากจะมความหมายถง operator ในการวด spin angular momentum ตามแนวแกน z ของระบบแลว มนยงทาหนาเปน generator of rotation กลาวคอ มนเปนตนเหตททาให spin ของอนภาคมการหมนรอบแกน z เปนมม infinitesimal dϕ นนเอง

ˆˆ ˆ( ) 1 ziR d S dϕ ϕ= −k _________________ สมการ (8.15)

อยางไรกตาม rotation operator ดงปรากฏอยในสมการขางตน มผลแตเฉพาะตอสมบตเชง spin ของอนภาคเพยงเทานน โดยทเราใช orbital angular momentum ˆzL เปน generator of rotation ซงทาใหเกดการหมนของอนภาคใน 3 มตรอบแกน z ซงในการวเคราะหทผานมา เราไดหลกเลยงการกลาวถง rotation operator ทมผลตอการหมนของตาแหนงของอนภาค มาโดยตลอด ในทานองเดยวกนกบสมการ (8.15) เราสามารถนยาม infinitesimal rotation operator

ˆ ˆ ˆ( ) 1 ziR d L dϕ ϕ= −k _________________ สมการ (8.16)

เมอ

ˆzL คอ 1) operator ในการวด orbital angular momentum ตามแนวแกน z 2) generator of rotation รอบแกน z

_________________ สมการ (8.17)

ขอแตกตางทสาคญระหวางสมการ (8.15) และสมการ (8.16) กคอ ˆ1 zi S dϕ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ อธบายการหมน

ของ spin ในขณะท ˆ1 zi L dϕ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ เปนการหมนของตาแหนงของอนภาคใน 3 มต และในลาดบ

ตอไปเราจะใชคานยามของ ˆzL ในสมการ (8.17) มาเปนเงอนไขในการเขยน ˆzL ใหอยในรปของ position และ momentum operator



ˆzL ในรปของ Position และ Momentum Operator

ภาพ (8.2) แสดงการหมนของตาแหนงของอนภาครอบแกน z เมอพจารณาในระนาบ x-y สมมตวาแตเดม ตาแหนงของอนภาคกคอ ( , )x y ซงทามมกบแกน x เทากบ α ณ ตาแหนงดงกลาวนเอง

ระยะหางของอนภาคจากจดกาเนดมคาเปน 2 2x yρ = + เมอเกดการหมนรอบแกน z ปรากฏวาอนภาคอย ณ ตาแหนงใหม ( , )x y′ ′ และเนองจากการหมนเปนมม dϕ ดงกลาว ระยะหางของอนภาคจากแกน z (หรอรศม) จะตองคงท เพราะฉะนนแลว

( ) ( )2 2cos cosx d x y dρ α ϕ α ϕ′ = + = + + _________________ สมการ (8.18) และ

( ) ( )2 2sin siny d x y dρ α ϕ α ϕ′ = + = + + _________________ สมการ (8.19)

x

y

, ,x y z=rdϕ

, , , ,x y z x yd y xd zϕ ϕ′ ′ ′= = − +r

การเปลยนสถานะของอนภาคดวยการหมน ตาแหนงของมน รอบแกน z


α x

y

, ,x y z=rdϕ

, , , ,x y z x yd y xd zϕ ϕ′ ′ ′= = − +r



α

ภาพ (8.2) แสดงการเปลยนตาแหนงของอนภาค เนองจากการหมนรอบแกน z เปนมมขนาดเลก และเมอเราพจารณาเฉพาะในกรณทมม dϕ มขนาดเลกมาก สมการ (8.18) และ สมการ (8.19) ลดรปลงเหลอ

x x ydϕ′ = − และ y y xdϕ′ = + _______________ สมการ (8.20) แบบฝกหด 8.2 จงพสจนสมการ (8.20) จากสมการ (8.18) และ (8.19)



กระบวนการในการหมนของตาแหนงทอนภาคตงอย จากสถานะ , ,x y z มาเปน , ,x yd y xd zϕ ϕ− + นน เปนผลของ infinitesimal rotation operator ในสมการ (8.16)

เพราะฉะนนแลว

ˆ ˆ, , ( ) , ,x yd y xd z R d x y zϕ ϕ ϕ− + = k _______________ สมการ (8.21) ถาสงเกตใหดจะพบวา การหมนเปนมมขนาดเลกดงกลาว ประกอบดวยสองขนตอนดวยกน คอ 1) translation ของอนภาคตามแนวแกน y เปนระยะทาง xdϕ หรอ ˆ ( )yT xdϕ

2) translation ของอนภาคตามแนวแกน x เปนระยะทาง ydϕ− หรอ ˆ ( )xT ydϕ− ดงนน infinitesimal rotation operator ˆ ˆ( )R dϕ k จงสามารถเขยนใหอยในรปของ translation operator ทงสองไดดงน

( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) 1

x y

x y

y x

R d T yd T xd

i ip yd p xd

iR d xp yp d

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − −

k

k

_________ สมการ (8.22)

โดยทในสมการขางตน เราอาศยคานยามของ infinitesimal translation operator ดงปรากฏใน

สมการ (8.11) และตดเทอมทแปรผนกบ ( )2dϕ ทงไป และในทายทสดถาหากเราเปรยบเทยบสมการ (8.16) ซงเขยน infinitesimal rotation operator ใหอยในรปของ orbital angular momentum กบสมการ (8.22) ขางตน จะสรปไดวา

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz y xL xp yp= − ____________________ สมการ (8.23)

สมการ (8.23) แสดงใหเหนถงความสมพนธของ orbital angular momentum operator ˆzL กบ position operator และ momentum operator และเปนความสมพนธทมประโยชนอยางมากในทางคณตศาสตร โดยเฉพาะอยางยงสมบตทเกยวของกบ commutator ระหวาง ˆzL และ operator อนๆ ยกตวอยางเชน ถาเราตองการพจารณา commutator ˆ ˆ,z xL p⎡ ⎤⎣ ⎦ กสามารถทาไดโดยการแทน ˆ ˆˆ ˆ ˆz y xL xp yp= − เขาไปใน commutator ซงจะทาให



[ ]

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

z x y x x

y x x x

L p xp yp p

xp p yp p

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= −⎣ ⎦

ˆ ˆ ˆ,z x yL p i p⎡ ⎤ =⎣ ⎦

เชนนเปนตน แบบฝกหด 8.3 จงพสจนสมบตตอไปนของ commutator

2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ, 0z x y zL p p p⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ _________________ สมการ (8.24)

2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ, 0zL x y z⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ __________________ สมการ (8.25)

และในทานองเดยวกนกบ ˆzL ดงในสมการ (8.23) เราสามารถเขยน ˆxL และ ˆyL ใหอยในรปของ

position operator และ momentum operator ไดเชนเดยวกน โดยเรมจากการพจารณาผลของการหมนเปนมมขนาดเลก รอบแกน x ในกรณของ ˆxL และ รอบแกน y ในกรณของ ˆyL และจะไดวา

ˆ ˆ ˆ ˆˆx z yL yp zp= − และ ˆ ˆ ˆˆˆy x zL zp xp= − _________________ สมการ (8.26)

เปนทนาสงเกตวา ความสมพนธขางตน สอดคลองกบคานยามของ angular momentum ในวชา classical mechanics ซงเขยนอยในรป vector ไดวา

classical

z yx

y x z

y xz

yp zpx py p zp xpz xp ypp

−⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥≡ × = × = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L r p

อยางไรกตาม ถงแมบงเอญจะมรปแบบของความสมพนธทคลายกน ในทาง quantum mechanics เรานยาม orbital angular momentum โดยอาศยความสมพนธกบการหมนรอบแกนตางๆ ซงมไดเกยวของใดๆกบ cross product ของ vector r และ p แตอยางใด แบบฝกหด 8.4 จงพสจนสมบตตอไปนของ commutator

ˆ ˆ ˆ,x y zL L i L⎡ ⎤ =⎣ ⎦ _____________________ สมการ (8.27) ˆ ˆ ˆ,y z xL L i L⎡ ⎤ =⎣ ⎦ _____________________ สมการ (8.28)



ˆ ˆ ˆ,z x yL L i L⎡ ⎤ =⎣ ⎦ _____________________ สมการ (8.29)

2L ในรปของ Position และ Momentum Operator

นอกจากองคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum หรอ ˆzL แลวนน เราอาจจะมความตองการทราบเพยงขนาดของ orbital angular momentum โดยมไดสนใจวา vector ของ orbital angular momentum ดงกลาว ชไปในทศทางใดทศทางหนงโดยเฉพาะ เพราะฉะนนเรานยาม operator

2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆx y zL L L L≡ + + _____________________ สมการ (8.30)

เหมอนดงในกรณของ ˆzL ซงเราสามารถทจะเขยนใหอยในรปของ position operator และ momentum operator ได ดงปรากฏในสมการ (8.23) เรากสามารถเขยน 2L ใหอยในลกษณะเชนเดยวกนนได ซงกคอ

( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y z x y z x y zL x y z p p p xp yp zp i xp yp zp= + + + + − + + + + +

__________________ สมการ (8.31) หรอเขยนแบบยอๆไดวา

( )22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL r p r p i r p= − ⋅ + ⋅ __________________ สมการ (8.32)

เมอเรานยามใหสญลกษณตอไปนมความหมายเปน 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr x y z≡ + + , 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆx y zp p p p≡ + + ,

และ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆx y zr p xp yp zp⋅ ≡ + + สาหรบเอกลกษณทางคณตศาสตรในสมการ (8.31) หรอ ทเขยน

อยางยอในสมการ (8.32) กด สามารถพสจนไดอยางไมยากเยนนก โดยเรมจากการเขยน

( ) ( ) ( )2 222 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆx y z z y x z y xL L L L yp zp zp xp xp yp≡ + + = − + − + −

และเมอทาการกระจายเทอม และจดกลมใหมจะไดวา



2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

z z z y y z y y

x x x z z x z z

y y y x x y x x

z z y y x x z z y y x

L yp yp yp zp zp yp zp zp

zp zp zp xp xp zp xp xpxp xp xp yp yp xp yp yp

yp yp zp zp zp zp xp xp xp xp yp yp

= − − + +

− − + +

− − +

= + + + + +{ }{ }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ

x

z y y z x z z x y x x yyp zp zp yp zp xp xp zp xp yp yp xp− + + + + +

__________________ สมการ (8.33) จะเหนวาสมการขางตนประกอบดวย 2 วงเลบดวยกน เราสามารถทจะใชสมบตของ commutator จดรปเทอมทอยภายในวงเลบปกกาอนแรกไดวา

{ }

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

z z y y x x z z y y x x

z y x z y x

x y z x y z x y z x y z

yp yp zp zp zp zp xp xp xp xp yp yp

y p z p z p x p x p y p

x p p p y p p p z p p p x p y p z p

x y

+ + + + +

= + + + + +

= + + + + + + + + − − −

= + +( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zz p p p x p y p z p+ + − + +

ในขณะทเทอมในวงเลบปกกาอนทสองสามารถจดรปไดโดยอาศยสมบต ˆ ˆ ˆˆx xp x xp i= − , ˆ ˆ ˆ ˆy yp y yp i= − , และ ˆ ˆˆ ˆz zp z zp i= − ดงนนแลว

{ }( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2

z y y z x z z x y x x y

z y y z x z

z x y x x y

y z x z x y x y

yp zp zp yp zp xp xp zp xp yp yp xp

y zp i p z yp i p z xp i p

x zp i p x yp i p y xp i p

yzp p xzp p xyp p i xp yp

+ + + + +

= − + − + − +

− + − + −

= + + − + +( )ˆ zzp

และเมอรวมวงเลบปกกาทงสองเขาดวยกน สมการ (8.33) จะอยในรปของ

( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2

x y z x y z

y z x z x y x y z

L x y z p p p x p y p z p

yzp p xzp p xyp p i xp yp zp

= + + + + − + +

− + + + + +

สมการขางตนจะลดรปใหงายขนไปอก ถาเราใชเอกลกษณทวา



( )( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2 2 2

ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2

x y z

x y z y z x z x y x y z

xp yp zp

x p y p z p yzp p xzp p xyp p i xp yp zp

+ +

= + + + + + − + +

__________________ สมการ (8.34) แบบฝกหด 8.5 จงพสจนเอกลกษณในสมการ (8.34) ทาใหในทายทสดแลว

( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y z x y z x y zL x y z p p p xp yp zp i xp yp zp= + + + + − + + + + +

ซงกตรงกบสมการ (8.31) อยางไรกตาม การพสจนความสมพนธในสมการ (8.31) ดวยวธการกระจายเทอมตางๆออกมาโดยตรงนน คอนขางจะตองใชความรอบคอบและละเอยดพอสมควร เราสามารถทจะพสจนสมการเดยวกนน โดยใชอกวธหนงทมความซบซอนนอยกวา กลาวคอ ถาเราเปลยนการเรยกพกดในระบบ Cartesian ซงเดมเปน ( ), ,x y z ใหอยในรปแบบของสญลกษณ

( )1 2 3, ,x x x แทน เราจะเขยน orbital angular momentum ตามแกนตางๆไดวา

1 2 3 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL x p x p= − , 2 3 1 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL x p x p= − และ 3 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL x p x p= − ____________ สมการ (8.35) หรอเขยนใหอยในรปทวไป

3 3

1 1

ˆ ˆ ˆi ijk j kj k

L x pε= =

= ∑ ∑ ____________ สมการ (8.36)

เมอ ijkε คอคาคงทซงอาจจะเปน 0, +1, หรอ -1 ขนอยกบดชน , ,i j k ทกากบมนอย และมชอเรยก

โดยทวไปวา permutation symbol ในทายทสดแลว การเขยนในรปของสมการขางตน มผลลพธทไดไมแตกตางจากสมการ (8.35) เพยงแตวาสมการ (8.36) มความกระชบมากกวาเทานน นอกจากน permutation symbol ijkε ยงมเอกลกษณหลายประการทสาคญ อาทเชน



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }

01 , , 1, 2,3 , 2,3,1 , 3,1,2

1 , , 1,3, 2 , 3,2,1 , 2,1,3ijk

if i j j k k iif i j k

if i j k

ε

⎧ = ∨ = ∨ =⎪⎪= + ∈⎨⎪− ∈⎪⎩

____________ สมการ (8.37)

3 3

1 10ijk

i jε

= ==∑∑ ____________ สมการ (8.38)

3 3

1 12ipq jpq ij

p qε ε δ

= ==∑ ∑ ____________ สมการ (8.39)

3 3 3

1 1 16ijk ijk

i j kε ε

= = ==∑∑ ∑ ____________ สมการ (8.40)

3

1ijk imn jm kn jn km

iε ε δ δ δ δ

== −∑ ____________ สมการ (8.41)

[credit: Weisstein Eric W. "Permutation Symbol." MathWorld - A Wolfram Web Resource]

และจากสมการ (8.36) เราบอกไดวา

3 3 3 3 3 32 2

1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 32

1 1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i ijk j k imn m ni i j k m n

ijk imn j k m ni j k m n

L L x p x p

L x p x p

ε ε

ε ε

= = = = = =

= = = = =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑∑∑ ∑ ∑

เนองจากเทอม ˆ ˆ ˆ ˆj k m nx p x p ไมขนอยกบดชน i เราสามารถจดกลมของ summation เสยใหม

ประกอบกบใช identity ในสมการ (8.41) ทาให

( )

3 3 3 3 32

1 1 1 1 13 3 3 3

1 1 1 13 3 3 3 3 3 3 3

2

1 1 1 1 1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ijk imn j k m nj k m n i

jm kn jn km j k m nj k m n

jm kn j k m n jn km j k m nj k m n j k m n

L x p x p

x p x p

L x p x p x p x p

ε ε

δ δ δ δ

δ δ δ δ

= = = = =

= = = =

= = = = = = = =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= −

= −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

ถงแม summation ขางตนจะมเทอมทบวกกนอยเปนจานวนมาก ดวยสมบตของ Kronecker delta function จะมเฉพาะบางเทอมทไมเทากบศนย ดงนน



( ) ( )

3 3 3 32

1 1 1 13 3 3 3

1 1 1 13 3 3 3 3 3

2 2 2

1 1 1 1 1 1


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

j k j k j k k jj k j k

j j k kj k j k j k jkj k j k

j k j j j j k k j jj k j j k j

L x p x p x p x p

x x p i p x p p x i

L x p i x p x p p x i x p

δ δ

= = = =

= = = =

= = = = = =

= −

= − − +

= − − −

∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑∑

∑∑ ∑ ∑∑ ∑

แตเทอมท 3 ในสมการขางตน สามารถจดรปเสยใหมไดวา

( )3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3j j k k j j k k j j k k j j

j k j k j k jx p p x x p x p i x p x p i x p

= = = = = = == − = −∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑


3 3 3 3 32 2 2

1 1 1 1 1

3 3 3 3 32 2

1 1 1 1 1


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

j k j j k k j jj k j k j

j k j j k k j jj k j k j

L x p x p x p i x p

x p x p x p i x p

= = = = =

= = = = =

= − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

ทงนถาเรานยาม 2 2 2 2

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆr x x x≡ + + , 2 2 2 21 2 3ˆ ˆ ˆ ˆp p p p≡ + + , และ 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr p x p x p x p⋅ ≡ + +

จะสามารถเขยนสมการขางตนอยางยอๆใหอยในรปของ

( )22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL r p r p i r p= − ⋅ + ⋅ ซงกไดผลลพธตรงกนกบสมการ (8.32) ไมวาเราจะทาการพสจนแบบกระจายเทอมออกมาโดยตรงเหมอนในวธแรก หรอการใช permutation symbol ijkε เขาชวยเหมอนดงวธทสอง กตาม

Commutator 2ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 ,zL H L H⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ สมบตเชงคณตศาสตรทสาคญอกประการหนงของ ˆzL และ 2L กคอ operator ทงสอง ตางก commute กบ Hamiltonian ของระบบ central potential โดยในขนตนนเราจะเพยงพสจนเฉพาะ



เอกลกษณทางคณตศาสตรดงกลาวน แตจะขามการวเคราะหใหเหนถงความหมายในทางฟสกสไปกอน เมอพจารณา Hamiltonian operator ของระบบทเปน central potential พบวา ประกอบดวยสองเทอมดวยกนคอ พลงงานจลน และ พลงงานศกย

2ˆˆ ( )2pH V rm

= +

เมอ 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆx y zp p p p≡ + + จากสมการ (8.24) จะเหนวา 2ˆ ˆ, 0zL p⎡ ⎤ =⎣ ⎦ เพราะฉะนนแลว ˆzL

จะตอง commute กบพลงงานจลนของระบบ กลาวคอ

2ˆˆ , 02zpLm

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.42)

สวนในกรณของพลงงานศกย ( )V r ถานยามตวแปร 2rξ ≡ และเขยน ( )V r ใหอยในรปของ ( ) ( )V r V ξ= จากนนเราสามารถกระจายใหอยในรปของ Taylor expansion ไดวา

2

220 0 0

0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )1! 2!

1 ( )!

nn

nn

V V V V

Vn

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ

ξ ξξ

= = =

∞

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂⎜ ⎟=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∑

จากสมการ (8.25) เราทราบวา ˆzL commute กบ 2 2 2ˆ ˆ ˆx y zξ = + + เพราะฉะนน

ˆ , 0nzL ξ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ เมอ n คอเลขจานวนเตม 0,1,2, …

และถาพจารณา commutator ระหวาง ˆzL กบพลงงานศกย ( ) ( )V r V ξ= จะพบวา



0 00 0 0

1 1ˆ ˆ ˆ, ( ) , ( ) ( ) ,! !

n nn n

z z zn nn n

L V r L V V Ln n

ξ ξ

ξ ξ ξ ξξ ξ

∞ ∞

= == = =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑

ดงนน

ˆ , ( ) 0zL V r⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.43)

เนองจาก orbital angular momentum ตามแนวแกน z commute กบทงพลงงานจลนและพลงงานศกย จงสรปไดทนทวา

ˆ ˆ, 0zL H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.44)

และในกรณของ ˆxL และ ˆyL เราจะใชตรรกะของความสมมาตร กลาวคอ Hamiltonian operator

H มไดขนอยกบทศทางใด ทศทางหนงโดยเฉพาะ หากแตมความสมมาตรในแนวรศม เพราะฉะนนสมการ (8.44) เมอเปนจรงตามแนวแกน z แลว กจะตองเปนจรงตามแนวแกนอนๆดวย เพราะวาแกนทเรากาหนดขนวาเปน x, y, หรอ z นน เปนเพยงสงทสมมตขน ดงนน

ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 ,x yL H L H⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.45)

ในเมอไดขอสรปแลววา orbital angular momentum operator ทง 3 ลวน commute กบ Hamiltonian ของระบบ central potential ทงสน เราสามารถโยงความสมพนธดงกลาวไปยง operator 2L ไดดวยเชนกน กลาวคอ

2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,x y z x y zL H L L L H L H L H L H⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

อาศยสมบตของ commutator ทวา ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , ,AB C A B C A C B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ทาใหเราทราบวาเทอมทง 3 ท

ปรากฏอยทางขวามอของสมการขางตน ลวนมคาเปนศนย เพราะฉะนนแลว

2ˆ ˆ, 0L H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.46)



แบบฝกหด 8.6 จงพสจนวา 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 , , ,x y zL H L H L H⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

และภายหลงจากทไดพสจนใหเหนในเชงคณตศาสตร ถงความสมพนธเชง commutator ดงในสมการ (8.44) และ สมการ (8.46) เรยบรอยแลว ในลาดบตอไปเราจะไดกลาวถงนยสาคญทซอนอยเบองหลงเปลอกนอกของคณตศาสตรเหลาน

8.3 เซตของ Commuting Observables

quantum mechanics ใชกลไกของ operator ในการวดปรมาณทางฟสกส เราเรยกปรมาณเหลานวา observable อาทเชน ตาแหนง , momentum, angular momentum, หรอ พลงงาน เปนตน เราแทนกระบวนการในการวด observable เหลานดวย operator อาทเชน x , ˆ xp , ˆzL , หรอ H สมมตวาเรากาลงพจารณา operator ทใชแทนกระบวนการวด observable A และ B ใดๆ และปรากฏวา operator ทงสองนน commute หรอ ˆ ˆ, 0A B⎡ ⎤ =⎣ ⎦

ในทางตรงกนขาม ถาสมมตตอไปอกวา operator C มได commute กบ A กลาวคอ ˆ ˆ, 0A C⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦

ผลลพธทจะตามมาในแงของการตความในเชง quantum mechanics นน มความสาคญมากทเราจาเปนจะตองทาความเขาใจนยสาคญทางฟสกส ทอยลกลงไปจากพนผวของคณตศาสตรทปรากฏ

ความเขาใจผดเกยวกบ operator และ Eigen Equation

กาหนดใหสถานะ r แทนสถานะของอนภาคทเราทราบแนชดวาอย ณ ตาแหนง r ซงถาเราใชพกด Cartesian ในการกากบตาแหนง กจะเขยนใหชดเจนยงขนไดวา

, ,x y z=r แทนสถานะของอนภาค ททราบแนชดวาอย ณ พกด ( ), ,x y z พจารณา operator x ทใชแทนกระบวนการวดตาแหนงตามแนวแกน x ของอนภาค แนนอนวาเราสามารถเขยนสมการในรปดงตอไปน

x x=r r ____________________ สมการ (8.47) ทางซายมอของสมการ แสดงถงกระบวนการวดพกดตามแนวแกน x ถาระบบอยในสถานะ r



ทางขวามอของสมการ แสดงถงผลลพธของการวด นนกคอ ไดคาตอบเทากบ x สมการ (8.47) เรยกอกอยางหนงวา eigen equation และใหสงเกตวาสถานะ r ปรากฏอยทงทางซายและขวามอของสมการดงกลาว นอกจากน เมอพจารณา operator ˆ xp ทใชแทนกระบวนการวด momentum ตามแนวแกน x ของอนภาค มนกศกษาอยจานวนไมนอยทอาศยสมการ (8.47) เปนตวอยาง และเขยน eigen equation อยางผดๆวา

Incorrect ! ˆ x xp p=r r ____________________ สมการ (8.48) ดวยความเขาใจทผดวา เมอนา operator ˆ xp เขาไปวด momentum ของสถานะ r แลวจะไดคา momentum xp ออกมาเปนผลลพธ เราจะอภปรายความผดพลาดของสมการขางตนใน 4 ประเดนดวยกน คอ

1) จาก Heisenberg uncertainty principle ทวา 2

x pΔ Δ ≥ นนกแสดงวา ถาเราทราบตาแหนงทแน

ชดของสถานะ r หรออกนยหนง ความคลาดเคลอนของการวดตาแหนง 0xΔ = ยอมหมายความวาสถานะดงกลาวมความคลาดเคลอนของการวด momentum pΔ = ∞ พดงายๆกคอ เราไมมทางทราบเลยวา momentum ของสถานะ r มคาเปนเทาใดกนแน นนกแสดงวา อนภาคทอยในสถานะ r ไมอาจจะม momentum xp ทแนนอนเปนสมบตเฉพาะตวของมนเอง ดงนนความพยายามในการเขยนสมการ (8.48) ดงกลาวจงไมถกตอง 2) ในเชงคณตศาสตร การเขยนสมการ (8.48) นน คลายกบจะพยายามจะสอความหมายวาสถานะ r เปน eigenstate ของ operator ˆ xp ซงในทางคณตศาสตรแลว เปนไปไมได

เนองจาก operator x และ ˆ xp ตางกไม commute กลาวคอ [ ]ˆ ˆ, 0xx p i= ≠ ดงนน operator ทงสองไมอาจจะม eigenstate รวมกนได และถาเรากาหนดให r เปน eigenstate ของ x ตงแตแรกเสยแลว มนกไมอาจจะเปน eigenstate ของ operator ˆ xp ไดอกตอไป



3) ในเชงฟสกส ถาพจารณา operator A ใดๆทใชวดปรมาณทางฟสกส การทเราจะเขยน eigen equation ในลกษณะ A aα α= ไดนน ยอมมความหมายทละไวในถานทเขาใจวา สถานะ α จะตองมสมบตเฉพาะตวทแนนอนคาหนง ซงมคาเทากบ a ยกตวอยางเชน

x x=r r แสดงวา สถานะ r มพกดตามแกน x ทแนนอน y y=r r แสดงวา สถานะ r มพกดตามแกน y ทแนนอน z z=r r แสดงวา สถานะ r มพกดตามแกน z ทแนนอน

4) จรงๆแลว เราสามารถคานวณผลของ operator ˆ xp ทกระทาตอสถานะ r ไดโดยใชความสมพนธระหวาง infinitesimal translation operator ˆ ( )xT aΔ และ momentum operator ˆ xp ได

จากการพจารณา ˆ ˆ( ) 1x xiT a p aΔ = − Δ ดงนน

ˆˆ ( )x xp T a

i a i a= − Δ

Δ Δ

และผลของ operator ˆ xp ทกระทากบสถานะ r กคอ

( )ˆˆ ( ) , , , , , ,x xp T a x y z x y z x a y zi a i a i a

⎛ ⎞= − Δ = + + Δ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠r

จะเหนวา สถานะผลลพธทได เปน linear superposition ระหวางสถานะทอนภาคอย ณ ตาแหนงเดม ผสมกบสถานะทอนภาคเลอนไปขางหนาเปนระยะทาง aΔ ดวยเหตเหลานเอง สมการ (8.48) จงไมถกตอง

Simultaneous Observables

ในกรณตวอยางของ position operator x และ momentum operator ˆ xp ทกลาวมาแลวขางตน เราสามารถสรปใหครอบคลมไปถงกรณทวไป โดยการพจารณา Hermitian operator A และ B ใดๆ (ซงเปนตวแทนของการวดปรมาณทางฟสกส ) ถาสมมตให operator A commute กบ operator B หรออกนยหนง ถา ˆ ˆ, 0A B⎡ ⎤ =⎣ ⎦ แลวผลลพธ

ทจะตามมากคอ ทงสอง operator ดงกลาวม eigenstate รวมกน ซงเขยนในรปของสมการไดวา



A aΠ = Π และ B bΠ = Π จากสมการขางตน จะเหนวาสถานะ Π เปน eigenstate ของ A ซงกหมายถงสถานะดงกลาวมปรมาณทางฟสกสทแทนดวย observable a ทชดเจนแนนอนคาหนง และสถานะ Π กยงเปน eigenstate ของ B ซงกหมายถงสถานะดงกลาวมปรมาณทางฟสกสทแทนดวย observable b ทชดเจนแนนอนคาหนง อกเชนกน ในเมอคาของ a และ b ตางกเปนสมบตเฉพาะตวของสถานะ Π จงไมแปลกทเราอาจจะเขยนสถานะดงกลาววา

,a bΠ = นกศกษาอาจจะมเพอนทมสมบตเฉพาะตวคอ เขาเปนคนทสงมาก และเพอนคนเดยวกนน ยงเปนคนมฐานะรารวยเปนพเศษ ในบางครงเราเอยถงเขาโดยอาศยสมบตเฉพาะตวทมอย และเรยกเพอนคนนวา เสย , โยง การทสถานะ Π สามารถมคาทง a และ b เปนสมบตเฉพาะตวพรอมๆกนได เราเรยกเหตการณในลกษณะนวา A และ B เปน simultaneous observables ซงจะเกดขนกตอเมอ ˆ ˆ, 0A B⎡ ⎤ =⎣ ⎦

เทานน

Eigen State ของระบบ Central Potential ในกรณของ Hamiltonian operator ซงใชในการวดระดบพลงงานของระบบ ถาสมมตใหสถานะ Ψ เปน eigenstate ของ H operator แลว จะไดวา

H EΨ = Ψ

เมอ E คอพลงงานของระบบ นอกจากน จากสมการ (8.46) เราทราบวา 2ˆ ˆ, 0L H⎡ ⎤ =⎣ ⎦

เพราะฉะนน Ψ ยอมตองเปน eigenstate ของ operator 2L ดวย กลาวคอ

( )2 2ˆ 1L l lΨ = + Ψ



เมอ l กคอเลข quantum number ของ orbital angular momentum สมการขางตนแสดงใหเหนวา

ระบบดงกลาวมขนาดของ orbital angular momentum เทากบ ( ) 21l l + (สาหรบนกศกษาทยง

ขาดความแมนยาในประเดนดงกลาว สามารถทบทวนเนอหาในบทท 3 Angular Momentum ได) ในกรณทวไปแลว angular momentum j สามารถทจะมคาไดทงทเปนเลขจานวนเตม และเปนครงหนงของจานวนเตม กลาวคอ

angular momentum 1 30, ,1, , 2,2 2

j ⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎩ ⎭

แตในกรณของ orbital angular momentum l ซงเกยวของเฉพาะกบการหมนของอนภาคใน 3 มตนน มคาไดเฉพาะเปนเลขจานวนเตมเทานน หรออกนยหนง

orbital angular momentum { }0,1,2,l∈ โดยทเราจะไดกลาวถงเหตผลของขอจากดดงกลาวในโอกาสตอไป และในทายทสด เนองจาก Hamiltonian H commute กบ operator ˆzL ดงจะเหนไดจากสมการ (8.44) ทาให Ψ เปน eigenstate ของ ˆzL โดยปรยาย ดงนน

ˆzL mΨ = Ψ เมอ m กคอองคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum ซงคาของ m ทเปนไปไดนนมอยภายในชวงทจากด คอ ( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + − +

และในเมอสถานะ Ψ มสมบตเฉพาะตวททราบคาแนชดอย 3 ปรมาณดวยกน 1) พลงงาน , 2) ขนาด orbital angular momentum , และ 3) องคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum เราจงอาจจะเรยก Ψ ดวยสมบตทมนมอยไดวา

ให , ,E l m เปนสถานะ eigenstate ของระบบ central potential โดยท ˆ , , , ,H E l m E E l m= ____________________ สมการ (8.49)

( )2 2ˆ , , 1 , ,L E l m l l E l m= + ____________________ สมการ (8.50) ˆ , , , ,zL E l m m E l m= ____________________ สมการ (8.51)



จากสมการทงสามขางตน จะพบวา , ,E l m แสดงถงสถานะของระบบทมสมบตเฉพาะตวพรอมๆกน 3 ประการดวยกนคอ 1) มพลงงานเทากบ E , 2) มขนาดของ orbital angular momentum เทากบ

( ) 21l l + , และ 3) มองคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum เปน m

ขอควรระวง เนองจากเราใชสญลกษณ m แทนมวลของอนภาค ในขณะเดยวกน m กอาจจะหมายถง องคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum นกศกษาจงควรระมดระวงเปนพเศษไมใหสบสน โดยดจากสภาพแวดลอมของสมการ เพอแยกแยะระหวางกรณทงสอง

8.4 Position Space ในพกดทรงกลม

ดงทไดเกรนไวแลววา การอธบายถงตาแหนงของอนภาค มไดจากดอยแตเพยง Cartesian coordinate เพยงเทานน ในขนนเราจะพยายามทจะใชพกดทรงกลม ในการกากบตาแหนงของอนภาค รวมไปถงการเขยน operator ตางๆอาทเชน 2L , และ ˆzL ใหอยในรปของ spherical coordinate

Spherical Coordinate

ในพกดทรงกลมดงแสดงใน ภาพ (8.3) เราอธบายตาแหนง r ของอนภาคดวยเซตของตวแปร 3 ตวดวยกนคอ ( ), ,r θ ϕ เมอ r ≡ ระยะหางของอนภาคจากจดกาเนด θ ≡ มมกมทกระทากบแกน z ϕ ≡ มมกวาด ทเงาซงทอดลงบนระนาบ x-y กระทากบแกน x

z

x

y

2 2( , , ) sinr r drd dψ θ ϕ θ θ ϕ =

ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )r θ ϕ

2 sindV r drd dθ θ ϕ=θ

ϕ

r

z

x

y

2 2( , , ) sinr r drd dψ θ ϕ θ θ ϕ =

ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )r θ ϕ

2 sindV r drd dθ θ ϕ=θ

ϕ

r

ภาพ (8.3) ภาพแสดงวธการอธบายตาแหนงของอนภาค ในระบบของ spherical coordinate



จากคานยามของตวแปรในพกดทรงกลมทง 3 เราสามารถเขยนความสมพนธกบตวแปรในพกด Cartesian ไดวา

sin cosx r θ ϕ= sin siny r θ ϕ= cosz r θ= ____________ สมการ (8.52) และ

2 2 2r x y z= + + 12 2 2

cos z

x y zθ −

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

1tan yx

ϕ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

_____ สมการ (8.53)

และสามารถคานวณ partial derivative ระหวางคตางๆของตวแปรเหลานได ซงกคอ

sin cos cos cos sin sin

sin sin cos sin sin cos

cos sin 0

x x xr rry y yr rrz z zrr

θ ϕ θ ϕ θ ϕθ ϕ

θ ϕ θ ϕ θ ϕθ ϕ

θ θθ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= = = −⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂= = = +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂= = − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

_____ สมการ (8.54)

และ

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 0

r x r y r zx y zx y z x y z x y z

x yxz yzx y z x y zx y x y z x y x y z

y xx y zx y x y

θ θ θ

ϕ ϕ ϕ

⎡∂ ∂ ∂ ⎤= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂+ + + + + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥− +∂ ∂ ∂

= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ + +⎢ ⎥+ + + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥∂ − ∂ ∂

= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂+ +⎣ ⎦

___________________ สมการ (8.55) นอกจากน เพอความสะดวก partial derivative ดงในสมการขางตน สามารถเขยนใหอยในรปของตวแปรในพกดทรงกลม โดยอาศยสมการ (8.52) เปนตวชวย ไดดงตอไปน



sin cos sin sin cos

cos cos sin cos sin

sin cos 0sin sin

r r rx y z

x r y r z r

x r y r z

θ ϕ θ ϕ θ

θ ϕ θ θ ϕ θ θ θ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕθ θ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂= = = −⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂= − = + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

____________ สมการ (8.56)

และถากาหนดให , ,r θ ϕ=r เปนสถานะททราบแนชดวา อนภาคอย ณ ตาแหนง r เราสามารถทเขยนสถานะ Ψ ใดๆของอนภาคใหอยในรป linear superposition ไดวา

3

22

0 0 0

d ( )

( , , ) , ,

sin ( , , ) , ,

r

dxdydz x y z x y z

drd d r r rπ π

ψ

ψ

θ ϕ θψ θ ϕ θ ϕ

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞∞

Ψ =

=

Ψ =

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

r r

____________ สมการ (8.57)

จะสงเกตวา คาทเปนไปไดของตวแปร ( ), ,r θ ϕ ในพกดทรงกลมนน มไดอยในชวง ( ),−∞ +∞ เหมอนกนกบในกรณของ Cartesian coordinate แตวามคาจากดอยในชวง ( )0,r∈ +∞ ,

( )0,θ π∈ , และ ( )0,2ϕ π∈ เพยงเทานน จากสมการ (8.57) ขางตน ประกอบกบ ภาพ (8.3) เราบอกไดวา

2 2( , , ) sinr r drd dψ θ ϕ θ θ ϕ =ความนาจะเปนทจะพบอนภาคภายในกลอง

ขนาด 2 sindV r drd dθ θ ϕ= ซงตงอย ณ ตาแหนง ( ), ,r θ ϕ=r

__________________ สมการ (8.58)

Operator ( )ˆ ˆr p⋅ ในพกดทรงกลม

เพอแสดงขนตอนในการเขยนผลของ operator ตางๆ ทแตเดมนยามอยในรปของพกด Cartesian ใหอยในรปของตวแปรในพกดทรงกลม เราจะเสนอตวอยางของ operator ˆ ˆr p⋅ ซงมคานยามวา

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆx y zr p xp yp zp⋅ ≡ + +



ในขนแรก พจารณาผลของ operator ดงกลาวใน Cartesian coordinate กาหนดให Ψ แทนสถานะใดๆของระบบ จะไดวา

( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zr p xp yp zp xp yp zp⋅ Ψ = + + Ψ = Ψ + Ψ + Ψr r r r r

ในแตละเทอมทปรากฏอยทางขวามอของสมการ ยกตวอยางเชน ˆˆ xxp Ψr เนองจาก x เปน Hermitian operator เราสามารถนามนมากระทากบสถานะ bra r ไดโดยไมผดกตกา นอกจากน โดยคานยามแลว x x=r r เนองจาก r เปน eigenstate ของ x ดงนน

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y zr p x p y p z p⋅ Ψ = Ψ + Ψ + Ψr r r r

ถาเราเขยนสถานะ Ψ ในรปของ linear superposition ของ position ในพกด Cartesian

( , , ) , ,dxdydz x y z x y zψ+∞ +∞+∞

−∞ −∞ −∞

Ψ = ∫ ∫ ∫ จะไดวา

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z

i x i zi y

r p x p y p z pψ ψψ∂ ∂∂∂ ∂∂

⋅ Ψ = Ψ + Ψ + Ψr r r r

เพราะฉะนนแลว ในพกด Cartesian

( )ˆ ˆr p x y zi x y z

ψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⋅ Ψ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

r __________________ สมการ (8.59)

ในขนทสอง เราทาการเปลยนทางขวามอของสมการ (8.59) ใหอยในรปตวแปรของพกดทรงกลม

พจารณา xψ∂∂

เนองจากเราทราบวา นอกจากเราจะเขยนฟงชนก ( , , )x y zψ ψ= แลว มนยง

อาจจะเขยนใหอยในรปของตวแปร ( ), ,rψ θ ϕ ไดอกดวย ดงนน อาศยกฎลกโซของ partial derivative

rx r x x xψ ψ ψ θ ψ ϕ

θ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂



เพราะฉะนน

rx y z xx y z r x x x

ryr y y y

rzr z z z

ψ ψ ψ ψ ψ θ ψ ϕθ ϕ

ψ ψ θ ψ ϕθ ϕ

ψ ψ θ ψ ϕθ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

จดกลมสมการขางตน ใหอยในรปผลคณของ rψ∂∂

, ψθ

∂∂

, และ ψϕ

∂∂

จะได

r r rx y z x y z

x y z r x y z

x y zx y z

x y zx y z

ψ ψ ψ ψ

ψ θ θ θθ

ψ ϕ ϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

ในทายทสด ใชสมการ (8.56) ชวยในการคานวณเทอมทอยภายในวงเลบทงสาม จะไดวา

2 2 2 2 2

2 2

sin cos sin sin cos

sin cos cos sin cos sin sin cos 0

sin cos sin cos 0 0

r r rx y z r r r rx y z

x y zx y z

x y zx y z

θ ϕ θ ϕ θ

θ θ θ θ θ ϕ θ θ ϕ θ θ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

ดวยเหตน x y z rx y z rψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂ ∂

และเมอแทนผลลพธทไดเขาไปในสมการ (8.59) จะ

ไดผลของ operator ( )ˆ ˆr p⋅ ใน spherical coordinate กลาวคอ

( )ˆ ˆ ( , , )r p r ri r

ψ θ ϕ∂⋅ Ψ =

∂r ถา

22

0 0 0sin ( , , ) , ,drd d r r r

π πθ ϕ θψ θ ϕ θ ϕ

∞Ψ = ∫ ∫ ∫

_____________________ สมการ (8.60)



แบบฝกหด 8.7 จงหาผลของ operator ˆxL , ˆyL , และ ˆzL ใน spherical coordinate โดยใชวธใน

ทานองเดยวกบทกลาวมาแลวขางตน และแสดงใหเหนวา

ˆ sin cot cos ( , , )xL ri

ϕ θ ϕ ψ θ ϕθ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂Ψ = − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

r _____ สมการ (8.61)

ˆ cos cot sin ( , , )yL ri

ϕ θ ϕ ψ θ ϕθ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂Ψ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

r ______ สมการ (8.62)

ˆ ( , , )zL ri

ψ θ ϕϕ∂

Ψ =∂

r ____________________________ สมการ (8.63)

Operator 2L ในพกดทรงกลม

จากการเขยน operator ˆxL , ˆyL และ , ˆzL ใหอยในรปของ spherical coordinate ดงในสมการ (8.61)

, สมการ (8.62) , และสมการ (8.63) นน เราสามารถนารปแบบดงกลาว มาประกอบกนขนเปน operator ทซบซอนมากขน อาทเชน

2

2

ˆ

sin sin cot cos cot cos sin cot cos

xL

ψ ψ ψ ψϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕθ θ ϕ ϕ θ ϕ

Ψ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

r

2

2

ˆ

cos cos cot sin cot sin cos cot sin

yL

ψ ψ ψ ψϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕθ θ ϕ ϕ θ ϕ

Ψ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

r

2

2 22

ˆzL ψϕ∂

Ψ = −∂

r

และเมอรวมเทอมทงสามเขาดวยกน จะปรากฏวาเทอมจานวนมากหกลางกนหายไป เหลอแตเพยง

2 2 22 2 2 2 2

2 2 2ˆ ˆ ˆ cot cotx y zL L L ψ ψ ψ ψθ θ

θθ ϕ ϕ

⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ + Ψ = − + + +⎨ ⎬∂∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭r

ซงสามารถจดรปไดวา



( )2

2 22 2

1 1ˆ sin , ,sin sin

L rθ ψ θ ϕθ θ θ θ ϕ

⎧ ⎫∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞Ψ = − +⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭r

______________________ สมการ (8.64)

8.5 Eigen State ของ Hamiltonian

ในการวเคราะหหา eigenstate และ eigen energy ของ Hamiltonian operator H นน ในเมอเราทราบวาพลงงานศกย ( )V r มความสมมาตรในแนวรศม จงอาจจะเปนประโยชนอยบาง ถาเราจะลองเขยน H ใหอยในรปของ spherical coordinate

Operator H ในพกดทรงกลม

การสราง Hamiltonian operator ในพกดทรงกลมนน สามารถเรมไดจากการพจารณา operator

( )22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL r p r p i r p= − ⋅ + ⋅ ในสมการ (8.32) จะไดวา

( )

( )

22 2 2

22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

L r p r p i r p

r p r p i r p

Ψ = − ⋅ + ⋅ Ψ

= Ψ − ⋅ Ψ + ⋅ Ψ

r r

r r r

โดยทเราจะพจารณาทางขวามอของสมการ ไปทละเทอมดวยกน เทอมท 3) จากสมการ (8.60) เราทราบวา

( ) 2ˆ ˆ ( , , )i r p r rrψ θ ϕ∂

⋅ Ψ =∂

r

เทอมท 2) ไดจากการนา operator ( )ˆ ˆr p⋅ มากระทาซอนกน 2 ครง ดงนน

( )22 2 2 22

ˆ ˆ ( , , ) ( , , ) ( , , )r p r r r r r r rr r rr

ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⋅ Ψ = − = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠

r

เทอมท 1) เนองจาก position operator 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr x y z= + + เปน Hermitian operator เราสามารถนามนมากระทากบสถานะ bra r ไดวา

( )2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr p x y z p r pΨ = + + Ψ = Ψr r r

และเมอรวมเทอมทงสามเขาดวยกน จะทาใหไดผลลพธ



2

2 2 2 2 22

ˆ ˆ 2 ( , , )L r p r r rrrψ θ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂Ψ = Ψ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠

r r

จากนนทาการจดรปใหอยในรปของ operator 2ˆ2pm

Ψr

2 2 2

22 2

ˆ 1 2ˆ ( , , )2 22p L rm m r rmr r

ψ θ ϕ⎛ ⎞∂ ∂

Ψ = Ψ − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠r r

สมการขางตนเปนผลของ operator 2ˆ2pm

ทกระทากบสถานะ Ψ ใดๆ ในพกดทรงกลม ซงเปน

operator ทแสดงถงพลงงานจลนของระบบ เพราะฉะนน เราสามารถสราง Hamiltonian eigen equation ไดวา

2

2

2 22

2 2

ˆˆ , , ( ) , ,2ˆ

( ) , , ( ) , ,2

1 2ˆ ˆ, , , , ( , , ) ( ) ( , , )22

E E

pH E l m V r E l mm

p V r E l m V r E l mm

H E l m L E l m r V r rm r rmr r

ψ θ ϕ ψ θ ϕ

= +

= + +

⎛ ⎞∂ ∂= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠

r r

r r

r r

______________________ สมการ (8.65) ในสมการขางตน เราเขยน probability amplitude (หรอ wave function) ซงเปน eigenstate ของ Hamiltonian วา

, , ( , , )EE l m rψ θ ϕ≡r eigenstate ของ Hamiltonian ทงนเพอปองกนการสบสนกบสถานะอนๆ แตจากคานยามของสมการ (8.50)

( )2 2ˆ , , 1 , ,L E l m l l E l m= + และสมการ (8.49) ˆ , , , ,H E l m E E l m= ดงนนแลว สมการขางตนลดรปลงเหลอ



( ) 2 2 2

2 21 2, , , , ( , , ) ( ) ( , , )

22E E

l lE E l m E l m r V r r

m r rmr rψ θ ϕ ψ θ ϕ

⎛ ⎞+ ∂ ∂= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠

r r

หรอ

( ) 22 2

2 212 ( ) ( , , ) ( , , )

2 2E E

l lV r r E r

m r rr mrψ θ ϕ ψ θ ϕ

⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

______________________ สมการ (8.66) ทแสดงขางตนเปน eigen equation ของ Hamiltonian operator ทเขยนขนไป spherical coordinate ในมมมองของคณตศาสตร มนเปนสมการอนพนธอนดบสอง ทมผลเฉลยคอ 1) eigen function ( , , )E rψ θ ϕ ซงมความหมายในทาง quantum mechanics เปน probability amplitude ทจะพบ

อนภาค ณ ตาแหนง ( ), ,r θ ϕ=r และ 2) eigen value E ซงกคอระดบพลงงานของอนภาคทอยในสถานะนนๆ นอกจากนจะสงเกตวา ผลเฉลย ( , , )E rψ θ ϕ และ E ของสมการ (8.66) นน ขนอยกบสมบตเชง orbital angular momentum ของอนภาคดวย ดงจะเหนไดจากเทอม ( ) 21l l + ทปรากฏในสมการดงกลาว

Radial Equation

สมการ (8.66) มลกษณะพเศษทสาคญอยขอหนงกคอ operator ทางซายมอของสมการ ขนอยกบตวแปร r เพยงอยางเดยว ดวยเหตนจงเปนการสมเหตผลทเราจะสมมตวา probability amplitude ( , , )E rψ θ ϕ ซงจากนยามแลวเปนฟงชนกของทง r , θ , และ ϕ นน สามารถเขยนใหอยในรป

( , , ) ( ) ( , )E r R r Yψ θ ϕ θ ϕ= ______________________ สมการ (8.67)

กลาวคอ สวนทขนอยกบรศม r นน เปนอสระจากสวนทขนอยกบมมทงสอง และเมอแทนสมมตฐานดงกลาวเขาไปในสมการ (8.66) จะไดวา

( ) 22 2

2 212 ( ) ( ) ( )

2 2

l lV r R r E R r

m r rr mr

⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭



______________________ สมการ (8.68) นอกจากนเมอพจาณาสมบตเชง normalization ทวา summation ของความนาจะเปนทงหมดมคาเปนหนง หรอ

222

0 0 02

2 22

0 0 02

2 22

0 0 0

1 sin ( , , )

sin ( ) ( , )

1 ( ) sin ( , )

drd d r r

drd d r R r Y

dr r R r d d Y

π π

π π

π π

θ ϕ θ ψ θ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ

∞

∞

∞

=

=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

เพราะฉะนน เพอความสะดวก เราจะกาหนดใหทงสองเทอมทคณกนอยมคาเปน 1 ทงค กลาวคอ

normalization condition

22

02

2

0 0

( ) 1

sin ( , ) 1

dr r R r

d d Yπ π

θ ϕ θ θ ϕ

∞=

=

∫

∫ ∫ ______________ สมการ (8.69)

จากสมการ (8.68) เปนหวใจสาคญในการวเคราะหระดบพลงงานของระบบทมลกษณะเปน central potential ซงการจะหาผลเฉลยของสมการดงกลาว จาเปนตองมขอมลเบองตนอย 2 ประการคอ 1) ทราบฟงชนกของ central potential ( )V r ทเรากาลงศกษา และ 2) กาหนดขนาดของ orbital angular momentum l ทเรากาลงพจารณา ดวยขอมลทงสองชนดงกลาว ถาเราประสบผลสาเรจในการแกสมการ กจะไดผลเฉลยเปนขอมลออกมา 2 ประเภทดวยกนคอ 1) ระดบพลงงาน E ทเปนไปไดของระบบ และ 2) ฟงชนก ( )R r ทสอดคลองกบระดบพลงงานนนๆ นอกจากนจะสงเกตวา ระดบพลงงานดงกลาว มไดเกยวของกบลกษณะการกระจายตวเชงมม ( , )Y θ ϕ แตอยางใด



Degeneracy

จากทกลาวมาแลวขางตนวา eigenstate ของระบบ มสมบตเฉพาะตวอยอยางนอย 3 ชนดดวยกนคอ 1) พลงงาน 2) ขนาดของ orbital angular momentum และ 3) องคประกอบตามแกน z ของ angular momentum หรอทเขยนใหอยในรปของสญลกษณวา

, ,E E l mψ = อยางไรกตาม จากสมการ (8.68) เราทราบวา ระดบพลงงาน E ของระบบ มไดเกยวของกบ m แตอยางใด ดวยเหตนเอง จงหลกเลยงไมได ทจะม eigenstate อยจานวนหนงทมพลงงานเทากน ทงๆทตว eigenstate เอง มคณสมบตทเกยวของกบ องคประกอบตามแกน z ของ angular momentum แตกตางกน ยกตวอยางเชน สมมตวาเรากาลงวเคราะหอนภาคทเคลอนทภายใตอทธพลของ central potential ( )V r และพจารณากรณทระบบม 1l = หรออกนยหนง กาหนดใหระบบมขนาดของ orbital

angular momentum เทากบ ( )1 1 1 2⋅ + =

ในเมอ 1l = กแสดงวา { }1,0, 1m∈ − + ทาใหม eigenstate อย 3 สถานะดวยกนคอ

, 1, 1E l m= = − , , 1, 0E l m= = , และ , 1, 1E l m= = + โดยทสถานะทง 3 เหลาน มองคประกอบตามแกน z ของ orbital angular momentum แตกตางกน แตมพลงงานเทากน (สาเหตทพลงงานเทากนกเพราะวา พลงงานขนอยกบคาของ l เพยงเทานน)

ในทาง quantum mechanics การท eigenstate มสมบตแตกตางกน แตมพลงงานเทากน เราเรยกเหตการณเชนนวา "degeneracy"

จากตวอยางขางตน เรามกจะเรยกเหตการณเชนนวา 3 fold degeneracy และในกรณของ l ใดๆนน เนองจาก ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1 , 2 , , 2 , 1 ,m l l l l l l∈ − − − − − + − + − +… เราจงสรปไดวา

ในระบบ central potential eigenstate ทม quantum number l จะแยกออกเปน

(2 1)l + fold degeneracy เปนอยางนอย



ความเขาใจในธรรมชาตของ degeneracy ของระบบ มความสาคญเกยวกบการวเคราะหระบบในกรณทประกอบดวยอนภาคมากกวาหนงอนภาค ซงจะไดยกตวอยางการนามาใชงานในลาดบตอไป เมอกลาวถง nuclear magic number

8.6 Application - Nuclear Magic Number

application ทสาคญอนหนงซงจะเปนตวอยางในการนาสมการ (8.68) มาใชในการวเคราะหระดบพลงงานของระบบ กคอ "nuclear magic number"

C12

6 atomic numbermass number

a) mass number คอจานวนของ nucleon b) simple model ของ nucleus

credit: graphic จาก atomicarchive.com และ Virginia university Astronomy Group

C12

6 atomic numbermass number

a) mass number คอจานวนของ nucleon b) simple model ของ nucleus

credit: graphic จาก atomicarchive.com และ Virginia university Astronomy Group ภาพ (8.4) a) แสดง mass number ทปรากฏอยในตารางธาต ซงกหมายจานวนของ nucleon ภายในนวเคลยสนนเอง b) model อยางงายทใชในการคานวณเชง quantum mechanics ภายในนวเคลยส ซงมขนาดเลกกวาอะตอมประมาณถง 1 แสนเทานน โดยทวไปแลวประกอบดวยอนภาคโปรตอนและนวตรอน เราเรยกอนภาคทงสองชนดนวา nucleon ในธาตแตละชนดกจะมจานวน nucleon แตกตางกนออกไป และจานวนของ nucleon ภายในนวเคลยสนเอง มชอเรยกวา "mass number" ซงมกจะแทนดวยสญลกษณ A ยกตวอยางเชน อะตอมของ carbon ทมจานวนโปรตอน 6 ตวนน มอยดวยกนหลาย isotope กลาวคอ carbon-12 และ carbon-14 ซงหมายถงม mass number เทากบ 12 และ 14 ตามลาดบ จากการทดลองของนกวทยาศาสตร ถาจานวนของ nucleon มคาเฉพาะคาหนง จะพบวานวเคลยสดงกลาวนนมความเสถยรเปนพเศษ จานวนเหลานนกคอ 2, 8, 20, 28, 50, 82, … ดวยความพเศษของมน เราเรยกลาดบของตวเลขดงกลาวนวา "magic number" (Warner, "Not-so-magic-number"



Nature 430:517-519 (2004) และ Mayer "On closed shell nuclei II" Phys.Rev. 75:1969-1970 (1949))

Infinite Spherical Potential Well ดงแสดงใน ภาพ (8.4)b เราจะใช model อยางงายในการคานวณหาระดบพลงงานของ nucleon ทบรรจอยภายในนวเคลยส โดยมองวาอนภาค nucleon โดนกกอยภายในดวยอทธพลของ central potential ทมความแขงเปนอนนต หรอ

0( )

r aV r

r a<⎧

= ⎨∞ ≥⎩ __________________ สมการ (8.70)

ลกษณะของบอพลงงานศกยดงกลาว มความคลายคลงกบ infinite square well ใน 1 มต เพยงแต ( )V r ในสมการ (8.70) นนเปนระบบใน 3 มต และเนองจากกาแพงศกย ณ r a= มความแขงเปน

อนนต probability amplitude บรเวณภายนอกทรงกลมจะตองมคาเปนศนยเสมอ ซงเราจะเรยกเงอนไขนวา boundary condition

( , , ) 0E rψ θ ϕ = ถา r a≥ __________________ สมการ (8.71) และในเมอเราแยก probability amplitude (หรอ wave function) ออกเปน 2 สวนดวยกนคอ ( , , ) ( ) ( , )E r R r Yψ θ ϕ θ ϕ= จะไดวา ณ ตาแหนงรศมเทากบ a นน

( ) 0R a = boundary condition __________________ สมการ (8.72)

จากสมการ (8.68) ระดบพลงงานของ central potential นนถกกาหนดโดยฟงชนก ( )R r และ orbital angular momentum quantum number l เพยงเทานน ซงอยในรปของสมการดงตอไปน

( ) 22 2

2 212 ( ) ( )

2 2

l lR r E R r

m r rr mr

⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ เมอ r a< ________ สมการ (8.73)

ในสมการขางตน จะเหนวาเรากาหนดให ( ) 0V r = ซงกสบเนองมาจากลกษณะของบอศกยทกาลงพจารณาอย เมอ m กคอมวลของ nucleon (หรอมวลของโปรตอน) เราสามารถจดรปสมการขางตนใหดงายขนไดวา



( )2

2 2 212 2 0

l lR R mER Rr rr r

+∂ ∂ ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟∂∂ ⎝ ⎠

โดยทวไปแลวสมการอนพนธอนดบสองจะมผลเฉลยทซบซอนและแกสมการไดลาบาก แตโชคดทเราสามารถเปลยนรปของสมการขางตนใหอยในรปของ spherical Bessel equation ซงนกคณตศาสตรไดศกษาผลเฉลยไวเรยบรอยแลว โดยใชเทคนคการเปลยนตวแปร

22mE rρ ≡

สมการอนพนธขางตนจะอยในรปของ

( )2

2 212 1 0

l lR R Rρ ρρ ρ

⎡ ⎤+∂ ∂+ − =⎢ ⎥

∂∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

spherical Bessel equation ทปรากฏขางตน ในทางคณตศาสตรแลว มผลเฉลยอย 2 ประเภทใหญๆคอ 1) spherical Bessel functions

( ) 1 sin( )l

ll

djd

ρρ ρρ ρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ________ สมการ (8.74)

และ 2) spherical Neumann functions

( ) 1 cos( )l

ll

dd

ρη ρ ρρ ρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ________ สมการ (8.75)

จะเหนวา ฟงชนกทงสองมรปแบบทขนอยกบ l ซงเชอมโยงอยกบขนาดของ orbital angular momentum ของระบบ โดยมลกษณะของฟงชนกดงแสดงใน ภาพ (8.5)



ผลเฉลยของ Spherical Bessel Equationผลเฉลยของ Spherical Bessel Equation ( )2

2 212 1 0

l lR R Rρ ρρ ρ

⎡ ⎤+∂ ∂+ − =⎢ ⎥

∂∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

0 2 4 6 8 100.5−

0

0.5

1

0 2 4 6 8 102−

1−

0

Spherical Bessel Function ( )lj ρ Spherical Neumann Function ( )lη ρ

ρ ρ

0j

1j

2j

0η 1η 2η

ผลเฉลยของ Spherical Bessel Equationผลเฉลยของ Spherical Bessel Equation ( )2

2 212 1 0

l lR R Rρ ρρ ρ

⎡ ⎤+∂ ∂+ − =⎢ ⎥

∂∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

0 2 4 6 8 100.5−

0

0.5

1

0 2 4 6 8 102−

1−

0

Spherical Bessel Function ( )lj ρSpherical Bessel Function ( )lj ρ Spherical Neumann Function ( )lη ρSpherical Neumann Function ( )lη ρ

ρ ρ

0j

1j

2j

0η 1η 2η

ภาพ (8.5) แสดงผลเฉลยของ spherical Bessel equation ซงมฟงชนกทเปนผลเฉลยอย 2 ประเภทคอ spherical Bessel function และ spherical Neumann functions ฟงชนกทงสองแบบดงกลาว ม close form ดงตอไปน

0

1 2

2 3 2

sin( )

sin cos( )

3 1 3cos( ) sin

j

j

j

ρρρρ ρρ

ρρ

ρρ ρρρ ρ

=

= −

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0

1 2

2 3 2

cos( )

cos sin( )

3 1 3sin( ) cos

ρη ρρρ ρη ρ

ρρ

ρη ρ ρρρ ρ

= −

= − −

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

อยางไรกตาม ถงแมวาผลเฉลยในทางคณตศาสตรมไดสองแบบ เนองจาก spherical Neumann functions ( )lη ρ → −∞ ณ จดกาเนด ในทางฟสกสเราจงตดผลเฉลยนออกไป คงเหลอไวแต spherical Bessel functions เทานนเอง เพราะฉะนน probability amplitude สามารถเขยนใหอยในรป

22( ) R lmER r N j r

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ เมอ 0,1,2,l = ___________ สมการ (8.76)

เมอ RN คอ normalization constant ททาให 22

0( ) 1dr r R r

∞=∫



Energy Eigen Values

และเนองจากขอกาหนดของ probability amplitude ทวา ( ) 0R r a= = ซงเงอนไขนเองจะเปนตวกาหนดใหพลงงาน E ของระบบมคาไดเฉพาะเพยงคาใดคาหนง กลาวคอ

22( ) 0lmEj a = __________________ สมการ (8.77)

ยกตวอยางเชน ในกรณท 0l = จะไดวา 2

0 2

2

2sin2( ) 0

2

mE amEj a

mE a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

หรอ

22mE a nπ= เมอ 1,2,3,n =

นนกคอ

2 2

2, 0 22

n lE nmaπ

=⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

เมอ 1,2,3,n = ____________ สมการ (8.78)

สมการขางตน แสดงระดบพลงงานทเปนไปไดของ nucleon เฉพาะกรณทม orbital angular momentum เปนศนย สวนในกรณท 0l ≠ การคานวณหาระดบพลงงานมความซบซอนมากขน และจะตองอาศยขอมลจากตารางดงแสดงใน ภาพ (8.6)



0 2 4 6 8 10

0.5−

0.5

1

3.14 6.28 9.42

ρ

0j

1j

( )1 0j ρ =

( )0 0j ρ =

4.49 7.73

spherical Bessel function เปนศนย ณ ตาแหนงตางๆกน

1n = 2n = 3n =

1n = 2n =

0 2 4 6 8 10

0.5−

0.5

1

3.14 6.28 9.42

ρ

0j

1j

( )1 0j ρ =

( )0 0j ρ =

4.49 7.73

spherical Bessel function เปนศนย ณ ตาแหนงตางๆกน

1n = 2n = 3n =

1n = 2n =

ภาพ (8.6) spherical Bessel functions ( ) 0lj ρ = ณ ตาแหนง ρ ตางๆกน จดทฟงชนกเปนศนย

นเองจะเปนตวกาหนดระดบพลงงานของระบบ โดยอาศยเงอนไข 22( ) 0lmEj a =

0l = 1l = 2l = 3l =

1n = 3.142 4.493 5.763 6.988

2n = 6.283 7.725 9.095 10.417

3n = 9.425 10.904 12.323 13.698 ตารางแสดงคาของ ρ ททาให ( ) 0lj ρ = หรอเรยกอกอยางหนงวา zeroth of Bessel function (จาก MathCAD Version 14) สาหรบขนตอนในการอานตารางขางตน เพอทจะนาไปคานวณระดบพลงงานของระบบนน สมมตวาเราตองการทราบระดบพลงงานลาดบท 3n = ของ nucleon ในขณะทมนมขนาดของ orbital

angular momentum เปน ( ) 22 2 1+ สามารถทาไดโดยการกาหนดให

( )3, 22

212.323n lm E

a= = =


( )22

3, 2 212.323

2n lE

ma= = =



และเราอาจจะนาระดบพลงงานดงกลาว แทนเขาไปในสมการ (8.76) ทงนเนองจากระดบพลงงานขางตน ขนอยกบเลข quantum number ,n l จงเปนการเหมาะสมทเราจะใชดชน ,n l กากบ probability amplitude ( )R r เพอใหเกดความชดเจนยงขน กลาวคอ

,, 2

2( ) ( )n l

n l R lmE

R r N j r= เมอ 0,1,2,l = ___________ สมการ (8.79)

0 0.5 1

1

2

3

4

5

0 0.5 1

4−

2−

2

4

6

8

1,0R

r

r

1,1R

1,2R

, ( )n lR r ในกรณตางๆกน สาหรบนวเคลยสรศม a = 1

1,1R2,1R

3,1R

0 0.5 1

1

2

3

4

5

0 0.5 1

4−

2−

2

4

6

8

1,0R

r

r

1,1R

1,2R

, ( )n lR r ในกรณตางๆกน สาหรบนวเคลยสรศม a = 1

1,1R2,1R

3,1R

ภาพ (8.7) แสดง probability amplitude ในสวนของ , ( )n lR r ในสถานการณตางๆกน

ภาพ (8.7) แสดง probability amplitude , ( )n lR r ทระดบพลงงาน และ ท orbital angular momentum ตางๆกน จะสงเกตวาเมอขนาดของ orbital angular momentum สงขน (ในภาพซายทกาลงเปรยบเทยบ , 0 ( )n lR r= , , 1( )n lR r= , และ , 2 ( )n lR r= ) อนภาค nucleon โดยเฉลยแลวจะอยในบรเวณทมรศมจากจดศนยกลางมากขน ซงกสอดคลองกบลกษณะการเคลอนทในมมมองของ classical mechanics ทวา ถาอนภาคเคลอนทดวยรศมของการหมนเพมขน angular momentum ของมนกจะมากขนเปนเงาตามตวนนเอง

Nucleon Magic Number

จากตวอยางขางตน จะเหนวาเมอเราพจารณาระบบของ nucleon ทโดนกกอยในนวเคลยส ซง model อยางงายทเราใชเปนเครองมอในการศกษาเบองตนกคอ spherical infinite potential well หรอบอพลงงานศกยรปทรงกลมทแขงมาก ทาใหอนภาคไมสามารถออกไปภายนอกไดนน



ในแตละกรณทอนภาคดงกลาวม orbital angular momentum (ซงกากบดวยเลข quantum number l ) ทแตกตางกน กจะมระดบพลงงานเปนชนๆ เปนเซตของตวมนเอง (ซงกากบดวยเลข quantum number n ) ดงทไดสรปไวในภาพ ภาพ (8.8)

0

100

200

0l = 1l = 2l =

2

2

2

6

6

6

14

14

14

2, 22

n lmaE

2288

10

10

10

181820203434 4040

จานวน nucleon สะสม

แสดงจานวน nucleon ทสามารถบรรจอยในแตละระดบชนพลงงาน

3l =0

100

200

0l = 1l = 2l =

2

2

2

6

6

6

14

14

14

2, 22

n lmaE

2288

10

10

10

181820203434 4040

จานวน nucleon สะสม

แสดงจานวน nucleon ทสามารถบรรจอยในแตละระดบชนพลงงาน

3l = ภาพ (8.8) แสดงระดบพลงงานของ nucleon ในกรณของ n และ l ตางๆกนออกไป ภาพ (8.8) แสดงระดบพลงงาน ,n lE ของ nucleon ในกรณของ orbital angular momentum ( 1)l l + ตางๆกน จะเหนวาระดบพลงงานดงกลาว ขนอยกบคาของ n และ l

ตวเลขทเขยนกากบอยกบในแตละชนพลงงาน อาท 2, 6, 10, หรอ 14 แสดงถงจานวนของ nucleon ทสามารถบรรจเขาไปใหเตม ในแตละระดบพลงงานนนๆ ซงตวเลขดงกลาว ขนอยกบคาของ l และสมบตเชง spin ของ nucleon ยกตวอยางเชน ถา 1l = แลวจะไดวา ณ ระดบพลงงานเดยวกนน องคประกอบตามแนวแกน z ของ angular momentum หรอทแทนดวยสญลกษณ m นน มคาทเปนไปไดกคอ { }1,0, 1m∈ − + ซงเปนไปไดทงสน 2 1 3l⋅ + = แบบ หรอทเรยกวา 3 fold degeneracy ประกอบกบการท nucleon ซงกคอ

โปรตอนหรอนวตรอนนน ม spin 12

s = ดงนน เราสามารถบรรจ nucleon ถง 6 ตวเขาไปอยใน

ระดบพลงงานเดยวกนน โดยททง 6 ตวดงกลาว มสถานะไมซากนเลย ซงกคอ



1l =

1m = +

0m =

1m = −

1 2zS = +1 2zS = −

1 2zS = +1 2zS = −1 2zS = +1 2zS = −

nucleon ทง 6 อยในระดบพลงงานเดยวกน

3 fold 2 fold

รวมทงหมด6 fold degeneracy1l =

1m = +

0m =

1m = −

1 2zS = +1 2zS = −

1 2zS = +1 2zS = −1 2zS = +1 2zS = −

nucleon ทง 6 อยในระดบพลงงานเดยวกน

3 fold 2 fold

รวมทงหมด6 fold degeneracy

เมอพจารณานวเคลยสของธาตตางๆ จากการทดลองพบวา ถาจานวน nucleon ทอยภายในนวเคลยสมคาเทากบ 2, 8, 20, 28, 50, หรอ 82 แลว นวเคลยสดงกลาวจะมความเสถยรเปนพเศษ ทาใหนกวทยาศาสตรตงชอลาดบของตวเลขเหลานวา "nuclear magic number" ในความพยายามทจะใชอธบาย nuclear magic number โดยใช model ของ quantum mechanics แบบ infinite spherical potential well นน เราจะตงสมมตฐานวา

การทนวเคลยสมความเสถยรเปนพเศษกเพราะจานวน nucleon ทอยภายใน บรรจอยเตมชนระดบพลงงานของระบบพอด

ในทางทฤษฏนน โดยอาศยระดบพลงงานทคานวณไดดงแสดงใน ภาพ (8.8) เงอนไขขางตนจะเกดขนได กตอเมอจานวน nucleon ทงหมดของนวเคลยส มคาเทากบ "จานวน nucleon สะสม" ซงกคอ 2, 8, 18, 20, 34, และ 40 นนเอง โดยอาศยตรรกะอนน เราสามารถทานายตวเลข magic number ในทางทฤษฏ ซงกคอ 2, 8, 18, 20, 34, หรอ 40 และจะเหนวามความใกลเคยงกบ magic number จากการทดลองอยบาง โดยเฉพาะอยางยงตวเลขในสองอนดบแรก คอเลข 2 และ เลข 8 ตนเหตททาใหเกดความแตกตางระหวางการคานวณและผลททดลองไดนน มทมาจากการท model ทเราใชศกษา มการประมาณทหยาบจนเกนไป อกทงยงมอนตรกรยาภายในนวเคลยสอนๆทเรยกวา spin-orbit interaction ซงเราละเลยมไดนามาพจารณารวมดวย และภายหลงจากการนาปจจยตางๆทเกยวของเขามาวเคราะหเชง quantum mechanics โดยละเอยด เราจะพบวา magic number ทไดจากการคานวณนน ตรงกนพอดกบผลทปรากฏจากการทดลอง (B.T.Feld, Ann. Rev. Nuclear Sci. 2:239 (1953))



8.7 Eigen State ของ ˆzL และ 2L

ทผานมาเราไดใชเวลาสวนใหญในการคานวณ ( )R r ซงแทนการกระจายตวของ probability amplitude ( , , )E rψ θ ϕ ในเชงรศม แตยงมขอมลอกสวนหนงทเรายงไมไดกลาวถง ซงกคอ

( , )Y θ ϕ

รปแบบทางคณตศาสตรของ ( , )Y θ ϕ เมอพจารณา operator ˆzL และ operator 2L นน จะพบวา operator ทงสอง เมอเขยนใหอยในรปของพกดทรงกลมแลว ขนอยกบมม θ และมม ϕ ดงตอไปน

ˆ ( , , )zL ri

ψ θ ϕϕ∂

Ψ =∂

r

และ

( )2

2 22 2


L rθ ψ θ ϕθ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞Ψ = − +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦r

ถากาหนดให สถานะ Ψ เปน eigenstate ของ Hamiltonian หรอ , ,E l mΨ = แลวจะทาให

{ }

( )

ˆ , , ( ) ( , )

, ,

z

R r

L E l m R r Yi

m E l m

θ ϕϕ∂

=∂

r

r

( , )

( )

Y

R r

θ ϕ

= ( , )Yi

θ ϕϕ∂∂

หรอ

igenvalueˆ operatorin sphericalcoordinate

( , ) ( , )e

Lz

Y m Yi

θ ϕ θ ϕϕ∂

=∂

_______________ สมการ (8.80)

และในกรณของ 2L จะไดวา



{ }2

2 22 2

2

( )

1 1ˆ , , sin ( ) ( , )sin sin

( 1) , ,

R r

L E l m R r Y

l l E l m

θ θ ϕθ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

+

r

r

( , )

( )

Y

R r

θ ϕ

= −2

22 2

1 1sin ( , )sin sin

Yθ θ ϕθ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

หรอ

22 2

2 2eigenvalue

2ˆ operator in spherical coordinate

1 1sin ( , ) ( 1) ( , )sin sin

L

Y l l Yθ θ ϕ θ ϕθ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + = +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ _______________

สมการ (8.81) จากสมการ (8.80) และ (8.81) จะเหนวา นอกจาก ( , )Y θ ϕ จะแสดงถงการกระจายตวของ Hamiltonian eigenstate ในสวนทเกยวของกบมม ( , )θ ϕ แลว มนยงมสมบตทมความสาคญกคอ

( , )mlY θ ϕ เปน eigenstate ของ ˆzL และ 2L operator

ซงม l และ m เปนสมบตเฉพาะตว โดยทเราใชดชน ,l m กากบฟงชนก ( , )Y θ ϕ กเพอบงชใชชดเจนวา ฟงชนก ( , )m

lY θ ϕ ในพกดทรงกลมดงกลาว เปนตวแทนของ eigenstate ซงม ขนาดของ orbital angular momentum เทากบ

2( 1)l l + และมองคประกอบในแนวแกน z ของ orbital angular momentum เทากบ m และการทเราใหดชน m เปน superscript (ปรากฏอยดานบน) นน กเพยงเพอใหสอดคลองรปแบบการใชสญลกษณแบบสากลของฟงชนก ( , )m

lY θ ϕ เทานน นอกจากน เรายงอาจจะเขยน eigenstate ของ ˆzL และ 2L operator ใหอยในรปของ ket ไดวา ,l m ซงมคณสมบตคอ

2 2ˆ , ( 1) ,L l m l l l m= + และ ˆ , ,zL l m m l m=

eigenstate ,l m ทเขยนอยในลกษณะของ ket นน มขอดคอมนไมไดยดตดอยกบพกดใดๆ ของ

ระบบ หากแตใชไดในกรณทวไป ซงตางจาก ( , )mlY θ ϕ ซงเปนตวแทนของ eigenstate ในพกด

ทรงกลมเพยงเทานน กลาวคอ



, , ( , )m

ll m Yθ ϕ θ ϕ= __________________ สมการ (8.82) เมอ ,θ ϕ มความหมายเปนสถานะทอนภาคตงอย ณ มมกม θ และ มมกวาด ϕ ในพกดทรงกลม โดยมไดสนใจวาอนภาคดงกลาวมรศม r หางจากจดกาเนดเปนระยะทางเทาใด และเพอทจะแสดงใหเหนวา ( , )m

lY θ ϕ เปนฟงชนกทขนอยกบ มม θ และมม ϕ อยางไรบาง เราเรมดวยการพจารณาสมการ (8.81)

22 2

2 2

2

2 2

1 1sin ( , ) ( 1) ( , )sin sin

1 1sin ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) 0sin sin

m ml l

m m ml l l

Y l l Y

Y Y l l Y

θ θ ϕ θ ϕθ θ θ θ ϕ

θ θ ϕ θ ϕ θ ϕθ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + = +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + + + =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎣ ⎦

แตจากสมการ (8.80) ( , ) ( , )m ml lY m Y

iθ ϕ θ ϕ

ϕ∂

=∂

ดงนน 2

22 ( , ) ( , )m m

l lY m Yθ ϕ θ ϕϕ∂

= −∂

หรอ

2

2 21 sin ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) 0

sin sinm m m

l l lmY Y l l Yθ θ ϕ θ ϕ θ ϕ

θ θθ θ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ − + + =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

__________________ สมการ (8.83) เนองจากสมการขางตน เปนสมการอนพนธของ , ( , )l mY θ ϕ ทขนอยกบมม θ เพยงอยางเดยว ในขณะทสมการ (8.80) กเปนสมการอนพนธของ , ( , )l mY θ ϕ ทขนอยกบมม ϕ เพยงเทานน เราสามารถเขยนมนใหอยในรปของ

( , ) ( ) ( )mlY θ ϕ θ ϕ= Θ Φ __________________ สมการ (8.84)

กลาวคอ สวนทขนกบมมทงสองนน เปนฟงชนกทเปนอสระตอกน และเมอแทนคานยามขางตนเขาไปในสมการ (8.80) จะไดวา

( ) ( )mi

ϕ ϕϕ∂Φ = Φ

∂



ซงมผลเฉลยของสมการกคอ ( ) ime ϕϕΦ = ____________________ สมการ (8.85)

สวนในกรณของมม θ นน แทนสมการ (8.84) เขาไปในสมการ (8.83) จะทาให

2

2 21 sin ( ) ( ) ( 1) ( ) 0

sin sinm l lθ θ θ θ

θ θθ θ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ Θ − Θ + + Θ =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

ใชเทคนคของการเปลยนตวแปร โดยนยามให cosx θ≡ และเขยนสมการขางตนในรปของ x

2 22

2 2(1 ) 2 ( 1) 01

mx x l lxx x

⎡ ⎤∂ ∂− Θ− Θ+ + − Θ =⎢ ⎥

∂∂ −⎢ ⎥⎣ ⎦

เปนทนายนดทมปราชญนามวา Adrien-Marie Legendre ไดศกษาสมการอนพนธขางตน และทราบผลเฉลยเปนอยางด สมการขางตนมชอเฉพาะวา associated Legendre differential equation ซงมผลเฉลยคอ

( ) ( )mlP xθΘ = เมอ cosx θ≡

เมอ ( ) ( )2 2 21( ) (1 ) 1

2 !

m l m lm ml l l m

dP x x xl dx

+

+−

≡ − − อาทเชน

00 ( ) 1P x =

01 ( )P x x= ( )1 21 2

1 ( ) 1P x x+ = − −

( )1 21 21

1( ) 12

P x x− = −

( )0 22

1( ) 3 12

P x x= − ( )1 21 22 ( ) 3 1P x x x+ = − −

( )2 22 ( ) 3 1P x x+ = −

( )1 21 22

1( ) 12

P x x x− = −

( )2 22

1( ) 18

P x x− = −



( )0 23

1( ) 5 32

P x x x= −

( )( )1 21 2 2

33( ) 1 5 12

P x x x+ = − −

( )2 23 ( ) 15 1P x x x+ = −

( )3 23 23 ( ) 15 1P x x+ = − −

( )( )1 21 2 23

1( ) 1 5 18

P x x x− = − − −

( )2 23

1( ) 18

P x x x− = −

( )3 23 23

1( ) 148

P x x− = −

ตารางแสดง associated Legendre polynomial (credit: Weisstein, Eric W. "Legendre Polynomial." From MathWorld--

A Wolfram Web Resource) และเมอเรานาผลลพธ ( ) ( )m

lP xθΘ = เขามารวมกบ ( ) ime ϕϕΦ = จะทาใหได ( , )mlY θ ϕ อยใน

รปทสมบรณคอ

( )( )

!2 1( , ) (cos )4 !

m m iml l

l mlY P el m

ϕθ ϕ θπ

−+= ⋅

+ _______________ สมการ (8.86)

สาเหตทจาเปนจะตองมสมประสทธ ( )( )

!2 14 !

l mll mπ−+

⋅+

คณอยกบผลเฉลยของ associated Legendre

equation กเพราะวา เราตองการใหฟงชนก ( , )mlY θ ϕ normalized เปนหนง กลาวคอ

2

2

0 0sin ( , ) 1d d Y

π πθ ϕ θ θ ϕ =∫ ∫

สมประสทธของการ normalization ดงแสดงในสมการ (8.86) นน สามารถพสจนใหเหนไดอยางไมยากเยนนก โดยการสมมตให

( , ) (cos )m m iml lY N P e ϕθ ϕ θ= ⋅

เมอ N คอ normalization constant และอาศยเงอนไข



( )

( )

2 2

0 02 22

0 0

22

0

1 sin (cos )

sin (cos )

1 2 sin (cos )

m iml

ml

ml

d d N P e

d d N P

N d P

π πϕ

π π

π

θ ϕ θ θ

θ ϕ θ θ

π θ θ θ

= ⋅

=

=

∫ ∫

∫ ∫

∫

กาหนดให cosx θ≡ ดงนน sind dxθ θ = เพราะฉะนน

( )1 22

11 2 ( )m

lN dx P xπ+

−

= ∫

อาศยสมบตทางคณตศาสตรของ associated Legendre function ทวา

( ) ( )( )

1 2

1

!2( )2 1 !

ml

l mdx P x

l l m

+

−

+= ⋅

+ −∫ __________________ สมการ (8.87)

ทาให ( )( )

2 !21 22 1 !

l mN

l l mπ

+= ⋅

+ − หรออกนยหนง

( )( )

!2 14 !

l mlNl mπ−+

= ⋅+

นอกจากน associated Legendre function ยงมสมบตทเปนประโยชนในการคานวณทางคณตศาสตรมากกคอ

1 1(2 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )m m ml l ll xP x l m P x l m P x− ++ = + + − + _________ สมการ (8.88)

ดงปรากฏในสมการ (8.86) ดงกลาว นอกจากนฟงชนก , ( , )l mY θ ϕ ยงมชอเรยกอกอยางหนงวา spherical harmonic ซงจะปรากฏใหเหนบอยครงมากในสมการทางฟสกสทใชพกดทรงกลมในการวเคราะห ตารางดงตอไปนแสดงตวอยางของ spherical harmonic , ( , )l mY θ ϕ ในกรณ ,l m ตางๆกน



00

1 1( , )2

Y θ ϕπ

=

01

1 3( , ) cos2

Y θ ϕ θπ

= 11

1 3( , ) sin2 2

iY e ϕθ ϕ θπ

+ += −

( )0 22

1 5( , ) 3cos 14

Y θ ϕ θπ

= − 12

1 15( , ) sin cos2 2

iY e ϕθ ϕ θ θπ

+ += −

2 2 22

1 15( , ) sin4 2

iY e ϕθ ϕ θπ

+ +=

( )0 23

1 7( , ) cos 5cos 34

Y θ ϕ θ θπ

= − ( )1 23

1 21( , ) sin 5cos 18


+ += − −

2 2 23

1 105( , ) sin cos4 2


+ +=

3 3 33

1 35( , ) sin8

iY e ϕθ ϕ θπ

+ += −

ตารางแสดง associated Legendre polynomial (credit: Weisstein, Eric W. "Spherical Harmonics." From MathWorld-

-A Wolfram Web Resource) ตารางขางตนแสดงเฉพาะในสวนท 0m ≥ สาหรบกรณท 0m < เราสามารถใชเอกลกษณทางคณตศาสตรทเกยวของกบ complex conjugate ของ ( , )m

lY θ ϕ กลาวคอ

( )( , ) 1 ( , )mm ml lY Yθ ϕ θ ϕ

∗− ⎡ ⎤= − ⎣ ⎦



0, 0l m= =

1, 0l m= = 1, 1l m= =±

2, 0l m= = 2, 1l m= =± 2, 1l m= =±

x

y

z

Spherical Harmonics 2( , )m

lY θ ϕ

2

mlY(θ,φ)

0, 0l m= =

1, 0l m= = 1, 1l m= =±

2, 0l m= = 2, 1l m= =± 2, 1l m= =±

x

y

z

Spherical Harmonics 2( , )m

lY θ ϕ

2

mlY(θ,φ)

ภาพ (8.9) แสดงรปรางของ spherical harmonics ยกกาลงสอง ในกรณตางๆกน แบบฝกหด 8.8 จงแสดงใหเหนวา

( ) ( ) ( )2

, 1 , 1 ,0 0

sin ( , ) cos ( , )m ml l l l l m mld d Y Y

π πϕ θ θ θ ϕ θ θ ϕ δ δ δ

∗′′ ′ ′+ −′ = +∫ ∫

l และ m เปนจานวนเตม

เมอกลาวถง angular momentum โดยทวไปนน เราใชสญลกษณ = +J L S ซงรวมเอา angular momentum ทงสองชนดไดดวยกน กลาวคอ 1) orbital angular momentum และ 2) spin angular momentum นอกจากน ในบทท 3 เราไดพสจนแลววา เมอพจารณาขนาดของ angular momentum และ องคประกอบตามแนวแกน z ของ angular momentum

2 2ˆ , ( 1) ,J j m j j j m= + และ ˆ , ,zJ j m m j m=

โดยท j มคาไดอยในชวง 1 30, ,1, , 2,2 2

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

เพยงเทานน แตเมอเราเรมศกษาเกยวกบ eigenstate

ของ orbital angular momentum operator ซงอาจจะเขยนอยในรป



2 2ˆ , ( 1) ,L l m l l l m= + และ ˆ , ,zL l m m l m=

ดงกลาวนน เราไดสมมตวา l มคาไดอยในชวง { }0,1,2,3, ซงเปนจานวนเตม และแตกตางจากกรณของ j ทเปนไดทงจานวนเตม หรอ ครงหนง ของจานวนเตมกได และใน Section น เราจะไดอภปรายถงสาเหตท l และ m จะตองเปนเลขจานวนเตมเพยงเทานน ถาเราพจารณา eigenstate ของ ˆzL ในพกดทรงกลม ซงกคอ

( ) ime ϕϕΦ = โดยทตวแปร ϕ แสดงถงมมกวาดตามแนวราบในพกดทรงกลม และสมมตวา แตเดมอนภาคตงอย ณ ตาแหนงทมมม 0ϕ ϕ= จากนนทาการหมนอนภาคดงกลาวใหครบ 1 รอบพอด กลาวคอ กาหนดให 0 2ϕ ϕ π→ + เนองจากเรากาลงพจารณาพกดทรงกลมใน 3 มต อนภาคจะตองมาอย ณ จดเดม กอนทจะมการหมน หรออกนยหนง

( )0 0

200

( ) ( 2 )imime e ϕ πϕ

ϕ ϕ π+

Φ = Φ +

=

สมการขางตนจะเปนจรงไดในทกๆกรณ กตอเมอ 2 1i me π = ซงจะเกดขนไดถา

m เปนจานวนเตม และเนองจาก ( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + + + การท m เปนจานวนเตม กยอมหมายความวา

l เปนจานวนเตม

ดวยเชนกน กลาวโดยสรปกคอ โดยอาศยตรรกะทเกยวของกบ symmetry ของระบบพกดใน 3 มต ซงกคอ eigenstate ของ ˆzL จะตองไมมการเปลยนแปลง เนองจากการหมนเปนมม 2π รอบแกน z เราสามารถบอกไดวา l และ m จะตองเปนจานวนเตมเสมอ

รปแบบทสมบรณของ ( ), ,E rψ θ ϕ ในพกดทรงกลม



มาถงขนน เรามขอมลทครบถวนทจะสราง probability amplitude หรอ ทเรยกวา wave function ของอนภาคในพกดทรงกลม และเปนการดทเราจะไดสรปขนตอนโดยทวไปของการนา quantum mechanics มาวเคราะหระบบทเปน central potential

โจทยกาหนด central potential ( )V r

แกสมการ radial equation

( ) 22 2, , ,2 2

12 ( ) ( )2 2

n l n l n ll l

R r E R rm r rr mr

⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

,

,

( )n l

n l

R r

E⎧⎪⎨⎪⎩

ไดผลลพธ

สราง complete wave function

, , ,( , , ) ( ) ( , )mn l m n l lr R r Yψ θ ϕ θ ϕ=

General Steps for Solving Central Potential Problem

โจทยกาหนด central potential ( )V r

แกสมการ radial equation

( ) 22 2, , ,2 2

12 ( ) ( )2 2

n l n l n ll l

R r E R rm r rr mr

⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

,

,

( )n l

n l

R r

E⎧⎪⎨⎪⎩

ไดผลลพธ

สราง complete wave function


General Steps for Solving Central Potential Problem

ภาพ (8.10) แสดงขนตอนโดยทวไปของการวเคราะหระบบแบบ central potential ดงแสดงใน ภาพ (8.10) กลไกโดยทวไปในการวเคราะหระบบแบบ central potential แบงออกเปน 3 ขนตอนดวยกนคอ 1) อาศยกฎเกณฑทางฟสกสเปนตวกาหนด central potential ( )V r ของระบบทเราตองการศกษา

ยกตวอยางเชน model อยางงายของ nucleon ภายในนวเคลยส 0( )

r aV r

r a<⎧

= ⎨∞ ≥⎩ หรออกตวอยาง

หนงกคอ อเลกตรอนของ hydrogen atom 2

0

1( )4eV r

rπε= − เปนตน

2) ทาการแกสมการ ( ) 22 2, , ,2 2

12 ( ) ( ) ( )2 2

n l n l n ll l

V r R r E R rm r rr mr

⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭



ซงกขนอยกบความซบซอนของ ( )V r วาเราสามารถทจะหาผลเฉลยใหอยในรปของ analytical solution ไดหรอไม ถาหากไมได การใชวธ numerical method ในการประมาณคาตอบของสมการกเปนทางเลอกหนง ทสามารถทาไดโดยไมยากนก ผลลพธทไดจากการแกสมการกคอ i) ระดบพลงงาน ,n lE ของระบบ ซงการใชดชน ,n l ในการกากบพลงงานดงกลาว กเพอทจะบงชใหชดเจนวา ระดบพลงงานทไดนน ขนอยกบ orbital angular momentum l และในแตคาของ l กจะมระดบพลงงานไดมากกวาหนงอน ซงกากบดวยดชน n นนเอง และ ii) radial wave function , ( )n lR r ซงเปนฟงชนกทแสดงถงการกระจายตวในแนวรศมของ probability amplitude ทงน ดชน ,n l เปนสงทบงชใหเหนวา ระบบทม orbital angular momentum l และระดบพลงงาน n ทแตกตางกน กจะมการกระจายตวในแนวรศมทแตกตางกนดวยเชนกน 3) สราง probability amplitude ใน 3 มตทสมบรณของระบบ โดยท

,, , ( ) ( , )mn l lE l m R r Y θ ϕ=r __________________ สมการ (8.89)

เมอ , ( , )l mY θ ϕ กคอ spherical harmonics function ดงทแสดงในตารางขางตน

8.8 Application - Coulomb Potential

ตงแตป 1913 นกวทยาศาสตรไดทาการศกษาการแผรงสของ hydrogen atom หรอทเรยกวา emission spectrum อยางละเอยดและพบวาแสงทเปลงออกมานน มความยาวคลน λ แตกตางกนออกไป ยกตวอยางเชน ในชวงแสงสแดง ณ ความยาวคลน 410.2nmλ = หรอในชวงแสงสนาเงน ณ ความยาวคลน 486.1nmλ = เปนตน กอนหนานนถง 30 ป โดยอาศยการลองผดลองถก ในป 1885 อาจารยชาว Swiss ชอ Johann Balmer ไดคนพบสตรทางคณตศาสตรทสามารถทานายความยาวคลนของแสง ทแผออกมาจาก hydrogen atom ไดตรงกบผลของการทดลอง (เปนบางสวน) ซงมสมการวา



2 21 1 1

2R

nλ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

______________ สมการ (8.90)

และความยาวคลนแสงทสอดคลองกบสมการขางตนนน เรยกวา Balmer series เมอ R คอคาคงทซงเทากบ 7 11.097 10 m−× อยางไรกตาม ความเขาใจทถองแทเกยวกบทมาของสมการดงกลาว ตลอดจนขอมลเชงทฤษฏในแงอนๆทเกยวของกบ hydrogen atom ยงจาเปนจะตองรอจนกวาจะมการถอกาเนดของ quantum mechanics ในป 1926 และใน Section น เราจะไดศกษาถงระดบพลงงานของ hydrogen ในมมมองของ quantum mechanics ซงจะเปนพนฐานทสาคญในการทาความเขาใจกบธรรมชาตของอะตอม ทประกอบกนขนเปนสรรพสงรอบๆตวเรา

Bound State Solutions ณ Asymptotic Limits

เมอพจารณาการเคลอนทของอเลกตรอน ทอยภายใตอทธพลของ Coulomb interaction ระหวางนวเคลยส ซงมประจเทากบ Ze+ จะพบวาพลงงานศกยกคอ

2

0( )

4e ZV r

rπε= −

และในการคานวณ probability amplitude ของระบบ เราเรมดวย radial equation

( ) 22 2 2

2 2 0

12 ( ) ( )2 42

l l e Z R r E R rm r r rr mr πε

⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + − =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ________ สมการ (8.91)

เพอทจะทราบสมบตอยางคราวๆของผลเฉลย ( )R r เรามาลองวเคราะหผลเฉลยดงกลาวในสอง asymptotic limit ดวยกนคอ 1) ทรศมหางจากนวเคลยสอยมากพอสมควร หรอ 1r และ 2) ทบรเวณใกลกบจดกาเนด หรอ 1r



1) ในกรณท 1r จะมอย 3 เทอมทปรากฏอยทางซายมอของสมการขางตน ทมคานอยมาก

โดยประมาณแลว เราสามารถตดออกจากสมการได ซงเทอมเหลานกคอ 2r

, ( ) 2

21

2

l l

mr

+ , และ

2

04e Z

rπε เพราะฉะนนแลว สมการ (8.91) ลดรปเหลอ

1r 2

2 22( ) ( ) 0mER r R r

r∂

+ =∂

ในทางคณตศาสตรแลว สมการขางตนมผลเฉลยอยสองประเภท ขนอยกบคาของระดบพลงงาน E กลาวคอ

ถา 0E > 22

( ) expm E

R r i r⎛ ⎞⎜ ⎟±⎜ ⎟⎝ ⎠

∼ ________ สมการ (8.92)

ถา 0E < 22

( ) expm E

R r r⎛ ⎞⎜ ⎟±⎜ ⎟⎝ ⎠

∼ ________ สมการ (8.93)

ทงน เมอเรากาลงพจารณา bound state solution ซงหมายถงการกาหนดใหอเลกตรอนอยภายในบรเวณใกลเคยงกบนวเคลยส หรออกนยหนง

bound state solution lim ( ) 0r

R r→∞

=

นนกคอ ความนาจะเปนทจะพบอนภาค ณ ตาแหนงไกลออกไปจากนวเคลยส จะตองมคาเปนศนย แตจากสมการ (8.92) และ (8.93) เงอนไของ bound state จะเกดขนไดกตอเมอ ระดบพลงงาน

0E < และ 22

( ) expm E

R r r⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

∼ ดงนนเราสรปไดวา

ในกรณ bound state ของ hydrogen atom 0E <

และเมอ 1r จะทาให 22

( ) expm E

R r r⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

__________________ สมการ (8.94)



ดงแสดงในสมการขางตน จะพบวาในสถานะ bound state นน พลงงานของ hydrogen atom จะตองมคาเปนลบ และในบรเวณทอยหางออกไปจากนวเคลยส ความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอนมคาลดลงเรอยๆแบบ exponential decay นนเอง 2) ในกรณท 1r เราลองเดาผลเฉลยของ ( )R r ในกรณดงกลาวน โดยสมมตใหอยในรป ( ) sR r r= ซงเมอแทนเขาไปในสมการ (8.91) จะได

( ) ( ) 22 22 2 2 1

0

1( 1) 2

2 2 4s s s s sl l es s r sr r Zr Er

m m πε− − − −+

− − + + − =

เมอคณทงสองขางของสมการดวย 2sr− + ทาให

[ ] ( ) 22 22

0

1( 1) 2

2 2 4l l es s s Zr Er

m m πε+

− − + + − =

ในกรณท 0r → เราสามารถทจะตดเทอม 2

04e Zrπε

และ 2Er ทงไปได เพราะฉะนน

( )

[ ] ( )( 1) 2 1 0

1 0

s s s l l

s l s l

− − − + + =

⎡ ⎤− + + =⎣ ⎦

หรอ s l= + และ ( 1)s l= − + ในทนเราเลอกเฉพาะผลเฉลยท ( ) lR r r∼ เทานน เพราะวาผล

เฉลย ( 1)( ) lR r r− +∼ นนมคาลเขาส infinity ณ จดกาเนด เพราะฉะนน

ในกรณ bound state ของ hydrogen atom เมอ 1r จะทาให ( ) lR r r∼

__________________ สมการ (8.95) ขอมลทเราวเคราะหได มาจนถงบดนกคอลกษณะทางคณตศาสตรแบบหยาบของฟงชนก ( )R r ใน 2 กรณดวยกนคอ



22

exp if 1( )

if 1l

m Er r

R r

r r

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟−⎪ ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎪⎪⎩

∼

จะเปนพนฐานทสาคญในการชวยแนะแนวทางใหเราสามารถเขยนผลเฉลย ( )R r ณ ตาแหนง r ใดๆ ไดสาเรจ

ระดบพลงงานของ Bound State

จะสงเกตวาสมการ (8.91) ยงประกอบดวยคาคงทจานวนหนง อาทเชน 2

2m หรอแมกระทง

พลงงาน E ซงกถอวาเปนคาคงทของระบบอกอนหนง ถาเรานยามตวแปรของระยะทาง

28m E

rρ = __________________ สมการ (8.96)

จากนนเขยนสมการ (8.91) ใหอยในรปของ ρ จะไดวา

( ) ( ) ( ) ( )2

2 212 1 0

4l l

R R Rγρ ρ ρρ ρ ρρ ρ

⎛ ⎞ + ⎛ ⎞∂ ∂+ − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

_________ สมการ (8.97)

โดยท 2

04 2Ze m

Eγ

πε= และเมอพจารณา asymptotic limit ดงในสมการ (8.94) และ สมการ

(8.95) จะพบวา

2 if 1( )

if 1l

eR

ρ ρρ

ρ ρ

−⎧⎪⎨⎪⎩

∼

เทคนคในทางฟสกสทพบบอย เพอทจะหาผลเฉลยของสมการ (8.97) นน ทาไดโดยการเขยน ( )R ρ ใหอยในรปผลคณของ asymptotic limit ทงสอง และคณอยกบฟงชนกทวไปอนหนง

กลาวคอ กาหนดให

2( ) ( )lR e ρρ ρ ρ−= L _________________ สมการ (8.98)



สมการขางตนมไดมการประมาณเขามาเกยวของแตอยางใด ถงแมเราจะจากดรปแบบทางคณตศาสตรใหอยในรปของ 2le ρρ − แตฟงชนก ( )ρL กยงสามารถทจะเปนอะไรกได และเพอทจะหาวา ( )ρL มรปแบบเชนใด แทน ( )R ρ ดงในสมการ (8.98) เขาไปในสมการ (8.97) ทาให

( )2

212 2( ) 1 ( ) ( ) 0

ll γρ ρ ρ

ρ ρ ρρ

⎛ ⎞− +⎛ ⎞∂ + ∂+ − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L L L _________ สมการ (8.99)

กอนทจะทาการวเคราะหเพอหาผลเฉลยทางคณตศาสตรของ ( )ρL เราจะทาการพสจนใหเหนวา การทผลเฉลยจะอยลกษณะทเปน bound state solutions นน γ จะตองเปนจานวนเตมเสมอ พจารณาฟงชนก ( )ρL ทอยในรป power series expansion

0( ) k

kk

cρ ρ∞

== ∑L

และเมอแทน summation ดงกลาวเขาไปในสมการ (8.99) จะพบวา

( ) ( )

[ ] ( )

2 2 1 1

2 1 1 0

2 1

2 0

( 1) 2 1 1 0

( 1) 2( 1) 1 0

k k k kk k k k

k k k k

k kk k

k k

k k c l kc kc l c

kc k l c l k

ρ ρ ρ γ ρ

ρ γ ρ

∞ ∞ ∞ ∞− − − −

= = = =∞ ∞

− −

= =

⎡ ⎤− + + − + − + =⎣ ⎦

⎡ ⎤− + + + − + + =⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

ถาสงเกตใหดจะเหนวาเทอมแรก สามารถจดรปของ summation ใหมไดเปน

[ ] 2 11

2 0( 1) 2( 1) ( 1)( 2 2)k k

k kk k

kc k l k k l cρ ρ∞ ∞

− −+

= =− + + = + + +∑ ∑

เพราะฉะนนแลว สมการขางตนกลายเปน



( )

[ ] ( ){ }

1 11

0 0

11

0

( 1)( 2 2) 1 0

( 1)( 2 2) 1 0

k kk k

k k

kk k

k

k k l c c l k

k k l c l k c

ρ γ ρ

γ ρ

∞ ∞− −

+= =

∞−

+=

⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦

∑ ∑

∑

เนองจากสมบตความเปน orthogonal ของ polynomial 1kρ − สมการจะเปนจรงไดในทกกรณ กตอเมอเทอมภายในวงเลบปกกาตองมคาเทากบศนย หรอ

[ ] ( )1( 1)( 2 2) 1 0k kk k l c l k cγ+ ⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦

ทาให

( )1

1( 1)( 2 2)k k

l kc c

k k lγ

++ + −

=+ + +

_________________ สมการ (8.100)

สมการขางตน เปนกลไกทสามารถใชในการคานวณหาเซตของสมประสทธ { }kc ยกตวอยางเชน เราอาจจะกาหนดให 0l = และ 0 1c = ซงจะไดวา 0 1c =

( )1 0

0 1 0 1(0 1)(0 2 0 2) 2

c cγ γ+ + − −

= =+ + ⋅ +

( )2 1

0 1 1 2 1(1 1)(1 2 0 2) 6 2

c cγ γ γ+ + − − −

= = ⋅+ + ⋅ +

3c = เชนนเปนตน

อยางไรกตาม ถาสมประสทธมคา 0kc ≠ เชนนเรอยไป สดทายแลวจะทาให 1 1lim kk k

cc k+

→∞=

ซงกหมายถง 0

( ) kk

kcρ ρ

∞

== ∑L จะมคาเขาสอนนต ณ บรเวณทอยไกลจากนวเคลยส ( ρ →∞ )

และทาใหขดกบขอกาหนดของ bound state solutions ทเราตงใจไวตงแตแรก วธการทจะหลกเลยงไมใหเกดสถานการณทไมพงประสงคดงกลาว กคอการกาหนดให γ มคาเทากบจานวนเตมบวกคาหนง กลาวคอ



กาหนดให nγ = เมอ 1,2,3,n = และในสถานการณเชนน เมอ 1k n l= − − จะทาให 1 0kc + = , 2 0kc + = , และ 3 0kc + =

อยางนเรอยไป สงผลให ( 1)

0( )

n lk

kk

cρ ρ− −

== ∑L เปน polynomial ทม order สงสดเพยงแค order

( 1)n l− − และจะไมลเขาสอนนต เปนไปตามทเราตองการ

จากคานยามของ 2

04 2Ze m

Eγ

πε= จะไดวา ระดบพลงงานของระบบกคอ

22

2 20

14 2

nZe mE

nπε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

เมอ 1,2,3,n = ____________ สมการ (8.101)

นอกจากนจะพบวา มคาของ l ทเปนไปไดอยจานวนหนง ททาใหระดบพลงงานเทากน ซงกคอ

0,1, , ( 1)l n= − _________________ สมการ (8.102)

r

En

( )V r

1E

2E3E

ระดบพลงงานของ hydrogen atom

อเลกตรอนกระโดดลงมาทระดบพลงงานตากวาและเปลงแสงออกมา


photon

fn

in

f ihv E E= −

r

En

( )V r

1E

2E3E

ระดบพลงงานของ hydrogen atom



photon

fn

in

f ihv E E= −



ในกรณของ hydrogen atom นน 22

2013.6eV

4 2Ze mπε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

และเพอเปรยบเทยบกบผลการ

ทานายทเรยกวา Balmer series ดงทไดเกรนไวขางตนในสมการ (8.90) เรามองวาแสงทเปลงออกมาจาก hydrogen atom นน เกดขนจากการทอเลกตรอนมการกระโดดจากระดบพลงงานในชน fn ท

สงกวา มายงระดบพลงงาน in ทตากวา สงผลใหเปลงแสงทมพลงงานเทากบ f iE E EΔ = −

หรออกนยหนง

2 22 2

2 2 2 2 2 20 0

1 1 1 14 42 2f i i f

Ze m Ze mhvn n n nπε πε

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

และเมออาศยความสมพนธระหวางความยาวคลนของแสง และความถของมน c vλ= ทาให

22

2 2 20

Rydberg constant

1 1 1 14 2 i f

Ze mhc n nλ πε

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

จากการคานวณ เราจะพบวา Rydberg constant นนมคาเทากบ 7 11.097 10 m−× และ Balmer series นนเปนเพยงกรณทมการกระโดดจากระดบพลงงาน fn ใดๆ มาสระดบพลงงานชนท 2in =

Radial Wave Function

มาถงขนนเรากมความพรอมทจะคานวณหา radial wave function ( )R ρ กอนอน เพอความสะดวก

เราจะเขยนคานยามของ 28m E

rρ = เสยใหม โดยอาศย 22

2 20

14 2Ze mE

nπε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

จะได

2

201 0

24

a

e m Z rn

ρπε

= ⋅ ⋅ ⋅

ซงโดยทวไปแลว คาคงท 2

00 2

4 0.529Aame

πε= ≅ มชอเรยกวา Bohr radius ซงเปนหนวยใน

การวดระยะทางในระดบอะตอม เพราะฉะนนแลว จงเปนการเหมาะสมเราจะเขยน



0

2Z rn a

ρ = ⋅ ______________________ สมการ (8.103)

นอกจากนจะสงเกตวาสมการ (8.99) นน มความคลายคลงกบสมการทางคณตศาสตรทชอ associated Laguerre equation ทวา

2

21( ) 1 ( ) ( ) 0k sx x x

x x xx∂ + ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂L L L _________ สมการ (8.104)

เมอ k และ s เปนจานวนเตม และ Edmond Laguerre (1834-1886) ไดทาการศกษาผลเฉลยของสมการดงกลาว ซงมชอวา associated Laguerre function ทมกจะเขยนโดยใชสญลกษณ

( )( ) ( )!

k x sk x s ks s

x e dx e xs dx

−− +=L ______________ สมการ (8.105)

ยกตวอยางเชน

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )0( )1

( ) 22

( ) 3 23

( ) 1

( ) 11( ) 2 2 1 221( ) 3 3 3 2 3 1 2 36

k

k

k

k

x

x x k

x x k x k k

x x k x k k x k k k

=

= − + +

⎡ ⎤= − + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + + − + + + + + +⎣ ⎦

L

L

L

L

ซงมเอกลกษณทางคณตศาสตรทเกยวของกบ integration ดงตอไปน

( )( ) ( ),

0

!( ) ( )

!k kx k

s ss ss k

dx e x x xs

δ∞

−′′

+=∫ L L ______________ สมการ (8.106)

และ

( ) ( )21 ( )

0

!( ) 2 1

!x k k

ss k

dx e x x s ks

∞− + +⎡ ⎤ = + +⎣ ⎦∫ L ______________ สมการ (8.107)

นอกจากน ( 1)( ) ( 1)1( ) ( ) ( )kk k

s s sx x x++−= −L L L ______________ สมการ (8.108)



เมอเปรยบเทยบ associated Laguerre equation (8.104) กบสมการ (8.99) เราสามารถเขยนผลเฉลยของ radial equation ไดวา

(2 1)2, 1( ) ( )ll

n l n lR N e ρρ ρ ρ+−− −= L

ซง N กคอ normalization constant ทจะทาให 22,

0( ) 1n ldr r R r

∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦∫ หรอในรปของ ρ

3 2(2 1)2 2 20

10

( ) 12

lln l

naN d eZ

ρρ ρ ρ ρ∞

+−− −

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ∫L

และจากเอกลกษณทางคณตศาสตรของ associated Laguerre functionsในสมการ (8.107) จะพบวา

( )( )

2(2 1)2 21

0

2 !( )

1 !ll

n ln n l

d en l

ρρ ρ ρ ρ∞

+−− −

+⎡ ⎤ =⎣ ⎦ − −∫ L ดงนน ( )

( )

3 2

0

1 !22 !n lZN

na n n l− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ และ

ในทายทสด

( )( )

3 2(2 1)2

, 10

1 !2( ) ( )2 !

lln l n l

n lZR r ena n n l

ρρ ρ+−− −

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠

L เมอ 0

2Z rn a

ρ = ⋅

____________________ สมการ (8.109) ยกตวอยางเชน

3 2

01,00

( ) 2 Zr aZR r ea

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 2

2 02,00 0

( ) 2 12 2

Zr aZ ZrR r ea a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

2 02,10 0

1( )23

Zr aZ ZrR r ea a

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )3 2 23 03,0 20 0 0

22( ) 2 13 3 27

Zr aZrZ ZrR r ea a a

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



3 2

3 03,10 0 0

4 2( ) 19 3 6

Zr aZ Zr ZrR r ea a a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2 2

3 03,20 0

2 2( )327 5

Zr aZ ZrR r ea a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 5 10 15 20

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 200.2−

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20

0.1−

0.1

0.2

0.3

0r a

1,0 ( )R r 2,0R

2,1R

3,0R3,1R3,2R

Radial Probability Amplitude ของ Hydrogen Atom, ( )n lR r

0 5 10 15 20

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 200.2−

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20

0.1−

0.1

0.2

0.3

0r a

1,0 ( )R r 2,0R

2,1R

3,0R3,1R3,2R

Radial Probability Amplitude ของ Hydrogen Atom, ( )n lR r

Complete Wave Function ของ Hydrogen Atom

สงทเราไดวเคราะหมาดวยความลาบากพอสมควร กคอ , ( )n lR r , ( , )mlY θ ϕ , และ nE ของ

hydrogen atom ทาใหเราทราบขอมลทงหมดเกยวกบ hydrogen atom นนกคอ probability amplitude (หรอ wave function) ของอเลกตรอนภายในอะตอมนนเอง กาหนดให , ,n l m แทนสถานะ eigenstate ของ hydrogen atom จะไดวา

( ), , ,, , , , , , ( ) ( , )mn l m n l lr n l m r R r Yθ ϕ ψ θ ϕ θ ϕ= = ______________ สมการ (8.110)

โดยท ( )( )

3 2(2 1)2

, 10

1 !2( ) ( )2 !

lln l n l

n lZR r ena n n l

ρρ ρ+−− −

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠

L เมอ 0

2Z rn a

ρ = ⋅

( )( )

!2 1( , ) (cos )4 !

m m iml l

l mlY P el m

ϕθ ϕ θπ

−+= ⋅

+



1n =

2n =

3n =

0, 0l m= =

1, 0l m= = 1, 1l m= = ±

0, 0l m= =0, 0l m= =

1, 0l m= = 1, 1l m= = ±

2, 0l m= = 2, 1l m= = ± 2, 2l m= = ±

x

z

การกระจายตวของ probability density ในระนาบ x-z2

, ( ) ( , )mn l lR r Y θ ϕ

1n =

2n =

3n =

0, 0l m= =

1, 0l m= = 1, 1l m= = ±

0, 0l m= =0, 0l m= =

1, 0l m= = 1, 1l m= = ±

2, 0l m= = 2, 1l m= = ± 2, 2l m= = ±

x

z

x

z

การกระจายตวของ probability density ในระนาบ x-z2

, ( ) ( , )mn l lR r Y θ ϕ

ภาพ (8.11) แสดงการกระจายตวของ probability density หรอ

2, ( ) ( , )m

n l lR r Y θ ϕ ของ hydrogen

atom ในระนาบ x-z บรเวณทภาพมความเขมสงหมายถงมความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอน ณ ตาแหนงดงกลาวสง ในขณะท background สขาวหมายถงบรเวณทไมมอเลกตรอนปรากฏอย และสมบตอนๆทเกยวของกบ operator อาทเชน

ˆ , , , ,nH n l m E n l m= ซง 22

2 20

14 2

nZe mE

nπε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )2 2ˆ , , 1 , ,L n l m l l n l m= + { }0,1, , ( 1)l n∈ − ˆ , , , ,zL n l m m n l m= ( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + − +

ดงแสดงใน ภาพ (8.11) ทเรยกไดวาเปนการกระจายตวของกลมหมอกอเลกตรอน ในกรณทมนมระดบพลงงาน และ สมบตเชง orbital angular momentum ตางๆกน ซงมขอสงเกตอยหลายประการดงตอไปน 1) เฉพาะในกรณท orbital angular momentum 0l = เพยงเทานน ทอเลกตรอนมโอกาสทจะอย ณ ตาแหนงของนวเคลยสพอด



2) ในระดบพลงงานสงขน หรอ n มากขนนน อเลกตรอนมโอกาสทจะอยหางไกลจากนวเคลยสมากขน ซงจะสงเกตไดจากภาพวา อะตอมมขนาดใหญขน ในทางคณตศาสตร เราสามารถคานวณรศมโดยเฉลยของของอเลกตรอนไดวา

20, , , , 3 ( 1)2ar n l m r n l m n l lZ⎡ ⎤= = − +⎣ ⎦ _____________ สมการ (8.111)

แบบฝกหด 8.9 จงพสจนสมการ (8.111) นอกจากน ยงมสมบตทางคณตศาสตรอกจานวนหนงทจะเปนประโยชนมากในการคานวณคาเฉลยของปรมาณทางฟสกสในลาดบตอไป อาทเชน

22 2 20, , , , 2 5 1 3 ( 1)

2a nr n l m r n l m n l l

Z⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = + − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

_______ สมการ (8.112)

20

1 1, , , , Zn l m n l mr r n a

= = _______ สมการ (8.113)

( )

2

2 2 3 20

1 1 2, , , ,2 1

Zn l m n l mr r n a l

= =+

_______ สมการ (8.114)

( )( )

3

3 3 3 30

1 1 2, , , ,1 2 1

Zn l m n l mr r n a l l l

= =+ +

_______ สมการ (8.115)

แบบฝกหด 8.10 จงคานวณพลงงานจลนโดยเฉลยของ hydrogen atom ถาระบบอยในสถานะ eigenstate , ,n l m และแสดงใหเหนวา

2ˆ2 np Em

= ___________________ สมการ (8.116)

เมอเปรยบเทยบกบอะตอมอนๆทมอยในธรรมชาต hydrogen atom ถอเปน model พนฐานและไมซบซอนจนเกนไป ทจะเปดโอกาสใหเราใชผลการวเคราะหทางคณตศาสตรไดอยางแมนยา อยางไรกตาม เรองราวเกยวกบ hydrogen atom ยงมไดจบลงแตเพยงระดบพลงงานและรปรางของกลมหมอกอเลกตรอนทปรากฏเทานน ยงมอนตรกรยาอนๆ อกทเรายงไมไดกลาวถง อาทเชน interaction ทเกยวของกบ spin ของโปรตอนและอเลกตรอนภายใน hydrogen atom, interaction ระหวาง hydrogen atom กบ สนามไฟฟา หรอ



สนามแมเหลก ภายนอกทปอนใหกบระบบ, หรอแมกระทง ปรากฏการณทมวลของอเลกตรอนมคาเพมขนเลกนอยเมอมนเคลอนทดวยความเรวสง (อนเปนผลจากทฤษฏ special relativity ของ Einstein) ซงเราจะไดกลาวถงปรากฏการณตางเหลานในอนาคต ภายหลงจากทไดศกษาเทคนคทาง quantum mechanics ทเรยกวา perturbation theory เรยบรอยแลว

8.9 บทสรป

ประเดนหลกของเนอหาในบทนกคออนภาคทเคลอนทอยภายใตอทธพลของ central potential

( ) ( )V V r=r สงผลให Hamiltonian ของระบบอยในรปของ

2ˆˆ ( )2pH V rm

= +

ดวยความทเปนระบบใน 3 มต เราเขยนสถานะ Ψ ของอนภาคใหอยในรป linear superposition ของ position basis states

3d ( )rψΨ = ∫ r r

เมอ ( )ψ r คอ probability amplitude ของสถานะ r และดวยคานยามของฟงชนกดงกลาว สามารถตความไดวา

2 3( ) d rψ =r ความนาจะเปนทอนภาคจะมตาแหนงอยระหวาง x x dx→ + , y y dy→ + , และ z z dz→ +

operator ทมความสาคญอยางมากในการศกษา central potential กคอ operator ทเกยวของกบ orbital angular momentum ˆzL และ 2L ซงเขยนใหอยในรปของ position และ momentum operator ไดวา

ˆ ˆˆ ˆ ˆz y xL xp yp= − และ ( )22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL r p r p i r p= − ⋅ + ⋅



ซง operator ทงสองนน commute กบ Hamiltonian กลาวคอ

2ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 ,zL H L H⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

สงผลให เราสามารถกาหนดให , ,E l m เปนสถานะ eigenstate ของระบบ central potential โดยท

( )2 2

ˆ , , , ,

ˆ , , 1 , ,ˆ , , , ,z

H E l m E E l m

L E l m l l E l m

L E l m m E l m

=

= +

=

เมอ l มคาไดอยในชวง { }0,1,2,3, และ ( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + + + ทงน นอกจาก

พกด Cartesian ทเราใชเปนตวกากบตาแหนงของอนภาคแลว เราอาจจะใชพกดทรงกลม ( ), ,r θ ϕ และเขยนสถานะ Ψ ใหอยในรปของ linear superposition

23 2

0 0 0d ( ) sin ( , , ) , ,r drd d r r r

π πψ θ ϕ θψ θ ϕ θ ϕ

∞Ψ = =∫ ∫ ∫ ∫r r

ซงฟงชนก ( , , )rψ θ ϕ กคอ probability amplitude ในพกดทรงกลม และ

2 2( , , ) sinr r drd dψ θ ϕ θ θ ϕ =ความนาจะเปนทจะพบอนภาคภายในกลองขนาด 2 sindV r drd dθ θ ϕ= ซงตงอย ณ ตาแหนง ( ), ,r θ ϕ=r

และในระบบ spherical coordinate นเอง operator ทสาคญๆสามารถเขยนใหอยในรป

( )2

2 22 2

ˆ ( , , )


zL ri

L r

ψ θ ϕϕ

θ ψ θ ϕθ θ θ θ ϕ

∂Ψ =

∂

⎧ ⎫∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞Ψ = − +⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

r

r

รวมไปถง operator ทเกยวของกบ Hamiltonian ดวย ซงกคอ

2 2 22

2 2ˆ 1 2ˆ ( , , )2 22p L rm m r rmr r

ψ θ ϕ⎛ ⎞∂ ∂

Ψ = Ψ − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠r r



และ

2 22

2 21 2ˆ ˆ ( , , ) ( ) ( , , )

22H L r V r r

m r rmr rψ θ ϕ ψ θ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂Ψ = Ψ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠

r r

รปแบบของ Hamiltonian operator ในพกดทรงกลมดงกลาว นาไปสการเขยน probability amplitude ใน 3 มตของระบบ ใหอยในรป


เมอ , , ( , , )n l m rψ θ ϕ คอ eigenstate ของ Hamiltonian ซงจากสมการขางตน แยกออกเปนสองสวน

คอ 1) radial part , ( )n lR r และ 2) angular part ( , )mlY θ ϕ

ในสวนของ radial part นน สามารถหาไดจากการแกสมการ

( ) 22 2, ,2 2

12 ( ) ( ) ( )2 2

n l n ll l

V r R r E R rm r rr mr

⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

โดยจะไดผลเฉลยของสมการเปน , ( )n lR r และ eigen energy ,n lE ของระบบ จะสงเกตวา สมการดงกลาวขนอยกบ orbital angular momentum l และ ( )V r เพยงเทานน และมไดเกยวของกบ องคประกอบตามแกน z หรอ m แตอยางใด ทาใหในระบบ central potential eigenstate ทม quantum number l จะแยกออกเปน (2 1)l + fold degeneracy เปนอยางนอย นอกจากน เพอเปนตวอยางของการนาสมการดงกลาวมาประยกตใชงาน เราไดศกษาระบบของนวเคลยส โดยจาลองวาเปนกาแพงพลงงานศกยทรงกลมทแขงมาก จนโปรตอนและนวตรอนทบรรจอยภายในนน ทะลออกมาไมได

0( )

r aV r

r a<⎧

= ⎨∞ ≥⎩



จากการวเคราะหระดบพลงงานของระบบดงกลาวพบวา model อยางหยาบๆทเราใชนน ทานาย "nuclear magic number" วามคาเปน 2, 8, 18, 20, 34, และ 40 ทงน เมอเปรยบเทยบกบผลทไดจากการทดลอง ซงกคอ 2, 8, 20, 28, 50, หรอ 82 กถอไดวา เปนจดเรมตนทด ในสวนของ angular part ( , )m

lY θ ϕ นน ปรากฏวาไมไดขนอยกบลกษณะเฉพาะตวของ central potential ( )V r แตอยางใด และฟงชนกดงกลาว สามารถคานวณไดดวยการแกสมการ

22 2

2 21 1sin ( , ) ( 1) ( , )sin sin

m ml lY l l Yθ θ ϕ θ ϕ

θ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + = +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

ซงมผลเฉลยกคอ

( )( )

!2 1( , ) (cos )4 !

m m iml l

l mlY P el m

ϕθ ϕ θπ

−+= ⋅

+

เมอ ( )m

lP x คอ associated Legendre polynomial นอกจาก ( , )mlY θ ϕ จะเปนสวน angular part

ของ eigenstate ในระบบทเปน central potential แลว ตวมนเองยงมสมบตเปน eigenstate ของ ˆzL และ 2L operator อกดวย ในทายทสด เราไดใชเวลาในการศกษา hydrogen atom เพอทจะไดทราบถงระดบพลงงาน ตลอดจนการกระจายตวของ probability amplitude ใน 3 มตของมน hydrogen atom ประกอบดวยอเลกตรอนทอยภายใตอทธพลของ Coulomb interaction ซงมพลงงานศกยอยในรปของ

2

0( )

4e ZV r

rπε= −

และจากการแกระบบของสมการดงทกลาวไวขางตน พบวาระดบพลงงานของมนมคาเปน



22

2 20

14 2

nZe mE

nπε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

เมอ 1,2,3,n =

ในแตละชน n ของระดบพลงงานนนๆ ระบบม orbital angular momentum 0,1, , ( 1)l n∈ − และถากาหนดให , ,n l m แทนสถานะ eigenstate ของ hydrogen atom จะไดวา

( ), , ,, , , , , , ( ) ( , )mn l m n l lr n l m r R r Yθ ϕ ψ θ ϕ θ ϕ= =

โดยท ( )( )

3 2(2 1)2

, 10

1 !2( ) ( )2 !

lln l n l

n lZR r ena n n l

ρρ ρ+−− −

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠

L เมอ 0

2Z rn a

ρ = ⋅

( )( )

!2 1( , ) (cos )4 !

m m iml l

l mlY P el m

ϕθ ϕ θπ

−+= ⋅

+

8.10 ปญหาทายบท

แบบฝกหด 8.11 จงแสดงใหเหนวา ในกรณ eigenstate ของ hydrogen atom นน คาเฉลยของพกดตามแนวแกน z ของอเลกตรอนนน มคาเทากบ

ˆ, , , , 0z n l m z n l m= = แบบฝกหด 8.12 พจารณาพลงงานของ diatomic molecule ทอยในรปพลงงานจลนของการหมนรอบตวเอง กลาวคอ กาหนดให Hamiltonian

2ˆˆ2LHI

=

เมอ I คอคาคงท ซงอาจจะตความไดวาเปน moment of inertia

2m1m

Center of Mass

0r

Moment of Inertia21 20

1 2

m mI rm m

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

2m1m

Center of Mass

0r

Moment of Inertia21 20

1 2

m mI rm m

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

a) จงคานวณระดบพลงงานและ eigenstate ของระบบ b) ในกรณของ hydrochloric acid หรอ HCl พบวา absorption spectrum เกดขนท ความยาวคลน



λ = 479, 243, 162, 121, และ 96 micron จงวเคราะห spectrum ดงกลาวเพอคานวณหาระยะหางระหวาง chlorine atom และ hydrogen atom ภายในโมเลกล หมายเหต: ขอมลจาก D. Bloor et at., Proc. Roy. Soc. A260, 510(1961) แบบฝกหด 8.13 พจารณา Hamiltonian ของระบบทมรปแบบทางคณตศาสตรดงตอไปน

20

ˆˆ ˆ2 zLH LI

ω= +

เมอ I และ 0ω คอคาคงท a) จงคานวณ eigen energy และ eigenstate ของระบบ b) จงใหความหมายในทางฟสกสของ Hamiltonian ดงกลาว โดยเฉพาะอยางยงทมาของเทอม 0 ˆzLω แบบฝกหด 8.14 พจารณา ground state ของ hydrogen atom จงคานวณความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอนอยนอก classically allowed region หมายเหต: classically allowed region คอบรเวณท 0E V− ≥ แบบฝกหด 8.15 พจารณา isotope ของ hydrogen atom ทเรยกวา tritium นนกคออเลกตรอนทอยภายใตอทธพลของนวเคลยสซงประกอบดวย 1 proton และ 2 นวตรอน กาหนดใหแตเดม อเลกตรอนอยในสถานะ ground state จากนนสมมตวาเกดปฏกรยานวเคลยรขนภายในนวเคลยส ทาใหนวตรอน 1 ตวกลายเปน proton ทาใหในทายทสด นวเคลยสประกอบดวยโปรตอนถง 2 ตว a) จงคานวณความนาจะเปนทอเลกตรอนจะอยในสถานะ ground state ของระบบภายหลงจากปฏกรยานวเคลยรดงกลาว b) แสดงคาตอบออกมาเปนตวเลข แบบฝกหด 8.16 พจารณา Hamiltonian ของระบบทอยในรปของ spherical harmonic กลาวคอ

22 2ˆ 1ˆ ω

2 2pH m rm

= +

เมอ ω คอคาคงท และสมมตใหระบบอยในสถานะ bound state a) จงหาผลเฉลยของ ( )R r ณ asymptotic limit 1r และ 1r b) จงคานวณ energy eigenstate ของระบบ c) จงคานวณรปแบบผลเฉลยของ ( )R r ณ รศม r ใดๆ

8 Central Potential

Documents

Transcript of 8 Central Potential