統計学 補足文書

1

8. 確率変数の独立性

1．複数の確率変数

● 複数の確率変数

1 つの試行T から，複数の確率変数を考える。

① 試行T → 2 つの確率変数 YX ,

② 試行T → n 個の確率変数 nXXX ,,, 21

試行T から 2 つの確率変数 YX , を考える。このとき，X の値とY の値によって値が定まる

式，例えば，

YX ， YX ， )(2

1YX

などは，みな確率変数になる。実際，試行T の結果（標本点）に対して，

X の値が a ，Y の値が b ⇒ YX の値は ba

となる。つまり， YX は試行の結果に対して値が定まる変数になるので，確率変数である。

他も同様である。

同様に，試行T から n 個の確率変数 nXXX ,,, 21 を考えた場合，

nXXX 21 ， nXXX 21 ， )(1

21 nXXXn

などは，みな確率変数になる。

例えば，試行T の結果（標本点）に対して， 1X の値が 1a ， 2X の値が 2a ，…， nX の値が

na ならば，

nXXX 21 の値は， naaa 21

)(1

21 nXXXn

の値は， )(1

21 naaan

要するに，確率変数からつくられる式は，みな確率変数になると理解すればよい。これから，

確率変数の和や積という確率変数を考える。

YX , の和 ⇒ YX

YX , の積 ⇒ YX

nXXX ,,, 21 の和 ⇒ nXXX 21

nXXX ,,, 21 の積 ⇒ nXXX 21

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2．確率変数の和の平均

● 確率変数の和の平均

試行T における 2 つの確率変数 YX , ，さらに， n 個の確率変数 nXXX ,,, 21 に

ついて，次が成り立つ。

(1) )()()( YEXEYXE ， )()()( YEXEYXE

(2) )()()( YEbXEaYbXaE （ ba , は定数）

(3) )()()( YEbXEaYbXaE （ ba , は定数）

(4) )()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE

すなわち i i

ii XEXE )()(

(5) )()()()( 22112211 nnnn XEaXEaXEaXaXaXaE

すなわち i i

iiii XEaXaE )()( （各 ia は定数）

証明の概略を示しておこう。

(1) 和 YX の平均の場合は，確率分布を考える必要はない。いま，試行T の標本点の個

数を l 個とし，標本空間を

},,,{ 21 l

とする。 i に対して定まる X の値を ix ，Y の値を iy で表せば， i に対して定まる YX

の値は， ii yx である。

標本点 X の実現値 Y の実現値 X + Y の実現値

1 1x 1y 11 yx

2 2x 2y 22 yx

… … … …

l lx ly ll yx

平均 x y

lxxx ,,, 21 の平均を x ， lyyy ,,, 21 の平均を y で表せば

xXE )( ， yYE )(

同様に， )( YXE は， YX のすべての実現値の平均であるから，

})()()({1

)( 2211 ll yxyxyxl

YXE

})()({1

2121 ll yyyxxxl

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3

)(1

)(1

2121 ll yyyl

xxxl

yx

従って， )()()( YEXEYXE となる。 )()()( YEXEYXE につい

ても同様である。

(2) 定数 ba , に対して， YbXa , はともに確率変数になるので，(1)より，

)()()( YbEXaEYbXaE

1 次変換の公式より， )()( XEaXaE ， )()( YEbYbE なので，

)()()( YEbXEaYbXaE

(3) (2)で， b を b に変えれば，

)()()())(()( YEbXEaYbXaEYbXaE

)()( YEbXEa

(4)(5) (1)(2)より，明らかである。例えば，3 つの確率変数 ZYX ,, について，(1)を繰り返し

て使えば，

)()())(()( ZEYXEZYXEZYXE

)()()( ZEYEXE

同様に，次の等式も自明になる。

)()()()( ZcEYbEXaEZcYbXaE

)()()( ZEcYEbXEa （ cba ,, は定数）

■ 例

確率変数 YX , について， X の平均が 1，Y の平均が 2 のとき，次の確率変数の平均を求

めよ。

(1) YX (2) YX (3) YX 32 (4) YX 32

＜解＞

仮定より， 1)( XE ， 2)( YE である。公式を忠実に使うと，

(1) 321)()()( YEXEYXE

(2) 121)()()( YEXEYXE

(3) 82312)(3)(2)32( YEXEYXE

(4) 42312)(3)(2)32( YEXEYXE

（注）

確率変数 YbXa （ ba , は定数）の平均は， YbXa において，X を X の平均，Y を

Y の平均に置き換えるだけである。

YbXa の平均は， )()( の平均の平均 YbXa

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4

3. 確率変数の独立性

● 定義

(1) 試行T における確率変数 YX , について， X のとる値 a とY のとる値 b に対して，

)()(),( bYPaXPbYaXP

が常に成立するとき， X とY は（互いに）独立であるという。

(2) 試行T における n 個の確率変数 nXXX ,,, 21 について，各 iX のとる値 ia に対し

て，

),,,( 2211 nn aXaXaXP

)()()( 2211 nn aXPaXPaXP

が常に成立するとき， nXXX ,,, 21 は（互いに）独立であるという。

(1) 上記の定義において「とる値」は不要である。(1)においては，任意の実数 ba , に対して，

)()(),( bYPaXPbYaXP

が成立するとき，X とY は独立であると定義してもよい。実数 a が X の実現値でなければ，

aX となる事象は空事象となり，

0),( bYaXP ， 0)( aXP

となって，上記の等式は当然成立するからである。よって，「任意の実数 a 」と「 X の任意

の実現値 a 」という表現は，同じ意味になる。

(2) ),( bYaXP は，「 aX かつ bY 」となる事象の確率であるが，これは，

積事象（2 つの事象がともに起こる事象）の確率である。つまり， aX となる事象を A ，

bY となる事象を B とすれば， A と B の積事象 BA の確率は )( BAP であり，

)(),( BAPbYaXP （ A と B がともに起こる事象の確率）

よって，上記の独立性の等式は，次の意味になる。

)()()( BPAPBAP … ①

一方，高校数学 A で学習した確率の乗法定理は，

)()()( BPAPBAP A … ②

である。 )( BPA は，事象 A が起こったときの事象 B の起こる「条件つき確率」である。

従って，等式①は，次の等式と同じである。

)()( BPBPA … ③

また，①が成立すれば，

)()()()()()( APBPBPAPBAPABP

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5

であるから，

)()( APAPB

も成立する。

さて，等式③は，事象 A が起こっても，起こらなくても，事象 B の起こる確率は常に )(BP

だと主張している。つまり，事象 A が起こったことが，事象 B の確率には影響を与えないこ

とを意味する。（同様に，事象 B が起こったことが事象 A の確率には影響を与えない。）

(3) 従って， X とY が独立であるとは， aX という事象が起こったとしても，その事象は

bY となる事象の確率には影響を与えないという意味である。別の言い方をすれば，X が

どのような実現値をとったとしても，Y のとり得る異なる実現値と各実現値の確率（＝相対

度数）は変わらないという意味である。

(4) X とY が独立であるとは，それらが無関係な変数であると直感的に理解してもよい。

■ 例

1 個のサイコロを 2 回投げるとき，１回目に出た目の数を X ，２回目に出た目の数をY とす

ると，次が成り立つ。

(1) X とY は，独立である。

(2) )()()( YEXEYXE

＜解説＞

(1) 1 個のサイコロを 1 回投げたときの標本空間は }6,5,4,3,2,1{ である。

1 個のサイコロを 2 回投げるという試行をT とすると，T の標本空間は，直積

になる。直積になるのは，１回目のサイコロ投げと２回目のサイコロ投げは，試行として独立

だからである。独立であるから， X とY の確率分布は同じになる。

X 1 2 3 4 5 6 計 Y 1 2 3 4 5 6 計

P 6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1 1 P

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1 1

確認すれば，例えば， 2Y となる標本点は， )2,(□ の形である。□は１回目の目の数だ

が，これはどの目でもよいので 6 通り。従って， )2,(□ となる場合の数は 16 通りなので，

6

1

66

16)2(

YP

この確率は，1 個のサイコロ１回投げたとき，2 の目が出る確率に等しい。つまり，試行T は

独立試行なので， bY となる確率は，試行T ではなく，1 個のサイコロ１回投げるという試

行で考えてよいのである。

試行T の標本点を書き上げれば次のようになり，全部で 36 個ある。

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6

(1, 1) (1, 2) …… (1, 6)

(2, 1) (2, 2) …… (2, 6)

… … …

(6, 1) (6, 2) …… (6, 6)

このとき，1 回目のサイコロ投げと 2 回目のサイコロ投げは独立試行なので，次が常に成立

することは自明になる。

)()(),( bYPaXPbYaXP

例えば， 1X ， 2Y となる標本点は (1, 2) のみであるから，

36/1)2,1( YXP

一方， 6/1)1( XP ， 6/1)2( YP であるから，

)2()1()2,1( YPXPYXP

が成立する。従って， X とY は，独立である。

(2) 次に，確率分布表より，

6

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11)( XE

)654321(6

1

同様に， )654321(6

1)( YE

一方，上記の標本点から， YX のすべての実現値は，次のようになる。

1 × 1 1 × 2 …… 1 × 6 ← 横合計 1 × ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )

2 × 1 2 × 2 …… 2 × 6 ← 横合計 2 × ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )

… … …

6 × 1 6 × 2 …… 6 × 6 ← 横合計 6 × ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )

これら 36 個の数値の合計は，

)654321()654321(

一方，この 36 個の数値の平均が )( YXE であるから，

)654321()654321(36

1)( YXE

従って， )()()( YEXEYXE が成立する。

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4. 確率変数の積 の平均

● 考察１

)()()( YEXEYXE が成り立たない例を上げよ。

(1) いくらでも例を作ることができる。例えば，コイン投げのように，標本点が 2 個しかない

試行を考え，確率変数 YX , を次のように定義する。

標本点 のとる値 のとる値 のとる値

1 1 1

2 2 4

このとき， 2/3)( XE ， 2/3)( YE ， 2/5)( YXE なので，

4/9)()( YEXE ∴ )()()( YEXEYXE

(2) とる値が， 2,1X ， 2,1Y であれば，とる値の組 ),( YX は

)1,1( ， )2,1( ， )1,2( ， )2,2(

の 4 通りが考えられるが， )2,1( や )1,2( となる標本点は存在しない。これは，Y のとる値

が， X のとる値によって影響を受けているからである。 X が 1 のときY の実現値は 1， X

が 2 のときY の実現値は 2 であり， X のとる値によってY の実現値が変化するのである。

従って， X とY は独立でない。

(3) 一方，標本点が 6 つで，次のような実現値になっていたとする。

標本点 X のとる値 Y のとる値 XY のとる値

1 1 1

1 2 2

3 2 1 2

4 2 1 2

5 2 2 4

6 2 2 4

このとき，

3/56/10)( XE ， 2/36/9)( YE ， 2/56/15)( YXE

なので，

)()()( YEXEYXE

が成立する。組 ),( YX としては，

)1,1( ， )2,1( ， )1,2( ， )2,2(

X Y XY

1

2

1

2

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8

の組がみな登場する。そして，

① 1X ⇒ Y の異なる実現値は 1，2

※ Y のすべての実現値は 1，2 で，

1 の相対度数は 2/1 ，2 の相対度数は 2/1

② 2X ⇒ Y の異なる実現値は 1，2

※ Y のすべての実現値は 1，1，2，2 で，

1 の相対度数は 2/14/2 ，2 の相対度数は 2/14/2

要するに，X がどのような実現値をとっても，Y のとり得る異なる実現値は変わらず，各

実現値の相対度数も同じなので， X とY は独立になる。

● 考察２

は成り立つが， X とY は独立でない例を上げよ。

(1) 残念ながら， )()()( YEXEYXE が成立しても， X とY が独立であるとは限らない。

例えば，標本点が 3 個で， X とY の実現値が次のようになっているとしよう。

標本点 のとる値 のとる値 のとる値

1 2 2

1 4 4

3 2 3 6

このとき， 3/4)( XE ， 3)( YE ， 4)( YXE なので，確かに

)()()( YEXEYXE

が成立している。しかし，明らかに X とY は独立ではない。実際，

3/1)2,1( YXP ， 3/2)1( XP ， 3/1)2( YP

なので，

)2()1()2,1( YPXPYXP

5. 2 つの確率変数の和の平均と分散

● 定理（2つの確率変数の和の分散）

2 つの確率変数 YX , が独立ならば，次が成り立つ。

① )()()( YEXEYXE （積の平均は平均の積）

② )()()( YVXVYXV （和の分散は分散の和）

(1) ①については，前述のサイコロ投げで理解すれば十分である。ただし，参考の意味で，以

下に証明を記しておく。②は，①から容易に導くことができる（後述）。

)()()( YEXEYXE

X Y XY

1

2

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(2) なお，一般に， a と b を定数とするとき，

)()( XEaXaE ， )()( 2 XVaXaV

が成立した。とくに， 1a のとき，

)()( XEXE ， )()()1()( 2 XVXVXV

となることに注意しよう。

また， X とY が独立であれば， Xa と Yb も独立になるので，

)()()()()( 22 XVbXVaYbVXaVYbXaV

)()()()()( 22 XVbXVaYbVXaVYbXaV

よって，上記定理をさらに一般化すれば，次のようになる。

● 定理

2 つの確率変数 YX , が独立ならば，次が成り立つ。（ a と b は任意の定数）

① )()()( YEXEbaYbXaE

② )()()()( 22 YVbXVaYbXaVYbXaV

（参考）

は次の等式から証明されるが，まず，一般論を説明する。

ji

jiji yYxXPyxYXE,

),()(

試行T の標本空間が，排反な n 個の事象 iA で分割されているとする。この意味は，

nAAA 21 （ ji なら ji AA ）

確率変数 X について，の要素（標本点） に対して定まる X の値を )(X で表す。

いま，X が各事象 iA において， iA のどの標本点 に対しても一定の値をとると仮定し，こ

の一定の値を ix で表す。

iA のどの標本点 に対しても， ixX )(

このとき， X の平均 )( XE は，次のようになる。

（※）

n

iii APxXE

1

)()(

なぜなら， ii aAn )( ， Nn )( とすると， iA の要素の個数は ia であるから， iA の

標本点から定まる X の実現値 ix の個数も ia である。従って， X のすべての実現値の合計は

n

iii ax

1

一方， )( XE は， X のすべての実現値の平均であるから

)()()( YEXEYXE

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n

iii

n

i

i

i

n

iii APx

N

axax

NXE

111

)(1

)(

よって，（※）が成立する。

さて， YX , の確率分布が次のとおりであるとする。 mxxx ,,, 21 は異なる値，

nyyy ,,, 21 も異なる値である。

X 1x 2x … mx 計 Y 1y 2y … ny 計

P 1p 2p … mp 1 P 1q 2q … nq 1

ixX となる事象を iA ， jyY となる事象を jB とする。すなわち

})(|{ ii xXA ， })(|{ jj yYB

このとき， mxxx ,,, 21 は異なるので，は排反なm 個の事象 iA で分割される。 jB に

いても同様である。従って，は，排反な nm 個の事象 ji BA で分割される。

一方， ji BA のどの標本点 に対しても， YX は一定の値 ji yx をとるので，（※）より，

ji

jijiji

jiji yYxXPyxBAPyxYXE,,

),()()(

以上の議論は， YX , が独立でなくても成立する。

jiji pyYxXP ),( とおく。 YX , が独立とすると，

)()(),( jiji yYPxXPyYxXP

であるから， jiji qpp が常に成立する。

従って，

m

i

n

jjiji

jijiji qpyxpyxYXE

1 1,

)()()(

m

iii

n

jjj

m

i

n

jjjii pxqyqypx

111 1

)()()()( YEXEXEYE

よって，証明されたが，二重のシグマΣΣがわかりにくければ，Σを使わずに，次のように

確認してもよい。

3m ， 2n の場合を確認すると，

3

1

2

1,

)()()(i j

jijiji

jiji qpyxqpyxYXE

)()( 2222121221211111 qpyxqpyxqpyxqpyx

)( 23231313 qpyxqpyx

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)()( 221122221111 qyqypxqyqypx

)( 221133 qyqypx

)()( 2211332211 qyqypxpxpx

)()( YEXE

なお，（※）より， YX でなくても， YX , の任意の関数 ),( YX について， YX , の独

立性とは無関係に，次の等式が成立する。

ji

jiji yYxXPyxYXE,

),(),()),((

6. V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) の証明

確率変数 X とY が独立ならば， )()()( YEXEYXE が成立するので，

)()(2)2( YEXEYXE

この等式から， )()()( YVXVYXV が容易に導かれる。

22 )())(()( YXEYXEYXV （分散の公式）

222 })()({)2( YEXEYYXXE

})()()(2)({)()2()( 2222 YEYEXEXEYEYXEXE

2222 )()()()( YEYEXEXE

)()( YVXV

7. n個の独立な確率変数

● 定理（ n 個の確率変数の和の平均・分散）

n 個の確率変数 nXXX ,,, 21 が独立ならば，以下が成り立つ。（各 ia は任意の定数）

① )()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE

② )()()()( 2121 nn XVXVXVXXXV

③

(1) 前述したように， nXXX ,,, 21 が独立であるとは，これらの変数が互いに無関係な変

数であると直感的に理解してよい。

■ 例

1 個のサイコロを 回投げるという試行を考える。このとき， i 回目に出た目の数を で表

せば， は独立である。

（解説）

)( 2211 nn XaXaXaV

)()()(2

22

212

1 nn XVaXVaXVa

n iX

nXXX ,,, 21

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回のサイコロ投げは独立試行なので，各回の試行結果は互いに影響を与えない。従って，

が独立であることは，独立の条件をチェックしなくても自明である。

あえて確認すれば，何回目であっても， の確率分布は次のようになる。

iX 1 2 3 4 5 6 計

P 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1

}6,5,4,3,2,1{ とすれば， n 回投げるという試行の標本空間は，の n 個の直積

である。従って，標本点の個数は， n6666 である。つまり，起こりうるすべて

の場合の数は， n6 通りである。

従って，例えば，すべての回に 1 の目が出る標本点は，（1，1，……，1）のみであるから，

nnXXXP6

1)1,,1,1( 21

一方， 6/1)1( iXP （ ni ,,2,1 ）であるから，

nnXPXPXP6

1

6

1

6

1

6

1)1()1()1( 211

他の場合も同様であるから， は独立になる。

n

nXXX ,,, 21

iX

nXXX ,,, 21