8. 입체도형의 성질
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8. 입체도형의 성질
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다면체
다면체 : 몇 개의 다각형으로
둘러싸인 입체도형을
다면체라고 한다 .
다면체는 면의 개수에 따라
사면체 , 오면체 , 육면체 , …
로 나눈다 .
꼭지점
모서리
면
오면체
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★ 각기둥 : 두 밑면이 평행하고 합동인 다각형이며 옆면이 모두 직사각형인 다면체
각기둥은 밑면인 다각형의 모양에 따라 삼각기둥 , 사각기둥 , 오각기둥 ,… 으로 나뉜다 .
삼각기둥 사각기둥
밑면
옆면
밑면
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사각뿔
사각뿔
사각뿔대
각뿔 : 밑면이 다각형이고 , 옆면이 모두 삼각형인 다면체각뿔대 : 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서
생기는 두 입체도형 중 각뿔이 아닌 쪽의 다면체
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다면체 면의 개수
꼭짓점의 개수
모서리의 개수
n 각기둥
n 각뿔
n 각뿔대
n+2
n+1
n+2
2n
n+1
2n
3n
2n
3n
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각 다면체의 옆면의 모양을 짝지어 놓은 것이다 .
옳게 짝지어진 것은 ?
① 삼각뿔 - 삼각형
② 사각뿔 - 사각형
③ 오각기둥 - 오각형
④ 오각뿔대 - 삼각형
⑤ 육각뿔대 - 직사각형
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아래의 조건을 모두 만족하는 입체도형은 ?
두 밑면이 평행하다 .
옆면은 사다리꼴이다 .
꼭짓점이 10 개다 .
면의 개수는 7 개이다 .
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정사면체 , 정육면체 , 정팔면체 ,
정십이면체 , 정이십면체
종 류
정다면체 : 각 면이 합동이 정다각형이고 ,
각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체
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정다면체
정사면체 정육면체 정팔면체
정이십면체정십이면체
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정사면체
정사면체의 전개도
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정육면체
정육면체의 전개도
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정팔면체
정육면체의 전개도
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정십이면체
정십이면체의 전개도
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정이십면체
정이십면체의 전개도
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정사면체 정육면체
정팔면체
전개도를 그려서 정다면체를 만들어 보세요 !
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전개도를 그려서 정다면체를 만들어 보세요 !
정십이면체
정이십면체
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정다면체
면의 모양
한 꼭지점에 모이는
면의 개수
꼭짓점의 총 개수
모서리의 총 개수
정 4 면체
정 6 면체
정 8 면체
정 12면체
정 20면체
3
3
4
3
5
3×4÷3=4
4×6÷3=8
3×8÷4= 6
5×12÷3=20
3×20÷5=12
3×4÷2 = 6
4×6÷2=12
3×8÷2= 12
5×12÷2=30
3×20÷2=30
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한 꼭짓점에 6 개의 정삼각형이 모이는
정다면체를 만들 수 있나요 ?
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한 꼭짓점에 4 개의 정사각형이 모이는
정다면체를 만들 수 있나요 ?
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한 꼭짓점에 3 개의 정육각형이 모이는
정다면체를 만들 수 있나요 ?
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한 꼭짓점에 4 개의 정사각형이 모이는
정다면체를 만들 수 있나요 ?
![Page 22: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/22.jpg)
한 꼭짓점에 4 개의 정오각형이 모이는
정다면체를 만들 수 있나요 ?
![Page 23: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/23.jpg)
정다각형으로 평면을 채울 때 ,
가능한 정다각형에는 무엇이 있을까요 ?
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자연 속에도 과학이 !
벌집의 단면의 모양이 정육각형인 이유는 ?
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한 걸음 더 !정다면체의 각면의 중점을 이어서 얻어지는
다면체는 무엇일까 ?
정사면체 정팔면체 정육면체 정십이면체정이십면체
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회전체 : 평면도형을 직선을 축으로 하여 1
회전 시킬 때 생기는 입체도형
( 예 ) 원뿔 , 원기둥 , 원뿔대 , 구 등
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회전축
회전축
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1. 회전체를 그 회전축에 수직인 평면으로 자르면 그 단면은 항상 원이다 .
2. 회전체를 그 회전축을 포함한 평면으로 자르면 그 단면은 모두 합동이며 , 회전축에 대하여 선대칭도형이다 .
회전체의 성질
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회전체를 회전축을 포함하는 평면으로
자른 단면의 모양을 옳게 짝지은 것은 ?
① 구 — 타원 ② 반구 — 원
③ 원뿔 — 직각삼각형 ④ 원기둥 — 사각형
⑤ 원뿔대 — 사다리꼴
회전체의 성질
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2cm
6cm
원뿔의 옆면의 부채꼴에 대한 호의 길이와 중심각의 크기는 ?
4 cm
6cm
2cm
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기둥의 겉넓이와 부피
( 기둥의 겉넓이 )= ( 옆넓이 ) + ( 밑넓이 ) 2
★ 전개도를 이용한다 .
( 기둥의 부피 )= ( 밑넓이 ) ( 높이 )
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원기둥의 전개도
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![Page 35: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/35.jpg)
각기둥의 겉넓이의 예 ( 단위 cm)
)(1122)44(4)54( 2cmS
4 4
5 5
44
4
![Page 36: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/36.jpg)
각기둥의 부피의 예 ( 단위 cm)
)(60=5×)4×3(=×= 3cm높이밑넓이부피
43
5
![Page 37: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/37.jpg)
( 원기둥의 겉넓이 ) = ( 옆넓이 ) + ( 밑넓이 ) 2
222 rrhS
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![Page 38: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/38.jpg)
원기둥의 부피
( 원기둥의 부피 ) = ( 밑넓이 ) (높이 )
hrV 2h
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![Page 39: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/39.jpg)
그림의 직사각형을 직선 l 을 축으로 1 회전하여
얻어지는 입체도형의 겉넓이와 부피는 ?
3cm
2cm
l
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다음 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하여라 .
6cm
4cm
3cm5cm
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다음 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하여라 .
6cm
4cm
![Page 42: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/42.jpg)
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원뿔의 전개도
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l
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![Page 43: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/43.jpg)
1
6
2
6
1
그림과 같이 점 A 에서 출발하여 원뿔의 표면을 따라 한 바퀴 돌아서 다시 A 로 오는 최단 거리는 ?
![Page 44: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/44.jpg)
뿔의 겉넓이
( 뿔의 겉넓이 )= ( 밑넓이 ) + ( 옆넓이 )
r
l
2r
l
r
![Page 45: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/45.jpg)
그림의 직사각형을 직선 l 을 축으로 1 회전하여
얻어지는 입체도형의 겉넓이와 부피는 ?
6cm
3cm
l
![Page 46: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/46.jpg)
그림의 삼각뿔의 부피는 ?
5cm4cm
6cm
![Page 47: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/47.jpg)
1. 다음 원뿔의 겉넓이를 구하여라 .
2. 원뿔대의 겉넓이를 구하여라 .
10
6
4cm
6cm
5cm
2cm8
![Page 48: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/48.jpg)
각뿔의 겉넓이의 예
5cm
8cm
5cm 5cm5cm
8cm
![Page 49: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/49.jpg)
높이밑넓이부피기둥의부피뿔의 3
1
3
1
밑넓이와 높이가 같은 뿔과 기둥에서 뿔에 물을
가득 채운 후 기둥에 부으면 기둥높이의 만큼
물이 차게 된다 .
3
1
데모크리토스 ( 그리스 BC460?-BC370?) 의 실험
![Page 50: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/50.jpg)
직육면체의 그릇에 물을 붓고 그림처럼 기울였다 . 이 때 , 그릇에 있는 물의 부피를 구하여라 .
5cm
6cm
3cm
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구의 겉넓이와 부피
24 r( 구의 겉넓이 ) =( 구의 부피 ) =
3
3
4r
![Page 52: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/52.jpg)
그림과 반구와 원뿔을 붙여서 만든 입체도형이다 .
겉넓이와 부피를 구하여라 .
3cm
4cm5cm
![Page 53: 8. 입체도형의 성질](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56815753550346895dc4f7b5/html5/thumbnails/53.jpg)
원기둥에 원뿔과 구가 그림과 같이 들어 있다 .
원뿔 : 구 : 원기둥의 부피의 비는 ?
< 아르키메데스 >
r2r
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다음 반구의 겉넓이와 부피를 구하여라 .
3cm O