7:Travail et énergie - EPFL · 2018-08-20 · Giancoli chapitres 7-1 à 7-4; 8-1 à 8-4; 8-7, 8-8...
Transcript of 7:Travail et énergie - EPFL · 2018-08-20 · Giancoli chapitres 7-1 à 7-4; 8-1 à 8-4; 8-7, 8-8...
Phys I SV 20137-1
7:Travail et énergie
I. Comment déterminer la vitesse d’un objet en fonction des forces et sa trajectoire (sans calculer le temps du parcours) ?
Le principe travail-énergieForces conservatives
II. Quelles énergies dépendent de la position d’un objet ?Energie mécanique
III. Comment détermine-t-on la puissance d’un objet en mouvement?
Giancoli chapitres 7-1 à 7-4; 8-1 à 8-4; 8-7, 8-8
Préparation au cours et aux exosChapitres du Giancoli à lire avant le cours (3 p):
7-1 Work done by a constant force7-4 Kinetic energy and the work-energy principle
Exercices simples (9) à faire avant la séance d’exos:Giancoli 7-5, 50, 53, (59), 63abc8-12, 62, 70
Phys I SV 20137-2
7-
Situation:Une force F appliquée pendant une distance d à un objet rigide en mouvement rectiligne
Le travail W
d’une force constante F est le produit
du déplacement det
de la composante parallèle F|| à d decette force F:
unités: [Nm J] (Joule)
Définition:
Exemple: Travail d’une Tesla Roadster de m=1200kg avec accélération constante de 7.5 m/s2 à 100 km/h (sans frottement, voir leçon 2)
1. Force F=ma F = 1200·7.5 = 9kN2. Distance d=51m 3. Travail W=Fd=460kJ
F|| ddFW ||
dFFdW cos
rdFdW
NB. Pour un temps très court, F peut toujours être considérée comme constante. Travail infinitésimal:
F
Phys I SV 20137-3
FN
mg
A. La serveuse sur la tablette
C. Le sac-à-dos montant
D. Une femme poussant contre un mur
E. La Terre sur le satellite Swiss Cube
B. La Terre quand vous tombez avec votre siège
mg
FG
xFG
y=0y 0
FN
x=0
Phys I SV 20137-4
-t-
Situation: On monte à vitesse constante m sur un plan incliné ded’une hauteur de h (sans frottement). Quel travail fait-on sur la masse ?
1.Distance d = h/sin2.Force F || à d: mgsin3.Travail W = mgsin d
hd
mg
Le travail du poids ne dépend pas de la trajectoire,seulement du changement de hauteur
Pour une petite distance dl: dW=mgcos dl
dy=cos dl: dW = -mgdydl
mg
h
h1
dy
h2
)( 12
2
1
2
1
21hhmgdymgdWW
h
h
h
hhh
Généralisation:
F
= mgh
y
x
mgh
Phys I SV 20137-5
7-2. Quelle est la relation entre travail et énergie ?
Changement d’énergie = travail
E = W
Définition
Energie Capacité d’un objet de faire du travail
a b
va vb
Définition Energie cinétique
2
2mvK
b
a
b
a
v
v
v
v
b
a
vmvdvmdtdxdvm
2
2
Situation: Un objet (bus) est accéléré par une force nette Fnet en un mouvement rectiligne pendant une distance d.
Question: Quel est le changement d’énergie ?
NB. Travail d’une force F constante appliquée pendant une distance drinfinitésimale :
rdFdW
b
a
b
a
b
anet
b
aba dx
dtdvmmadxdxFdWW
b
a
b
a
b
a
z
zz
y
yy
x
xx
b
anet
b
aba dzmadymadxmardFdWW
Phys I SV 20137-6
Le principe travail-énergie
Le travail net sur un objet est égal au changement de son énergie cinétique linéaire
abnet KKW2
2mvK
b
a
net vdmWba
)(2
2
)(2
22ab vvm
ab KK
b
a
dK
m
h
Exemple: On laisse tomber un objet de masse m d’une hauteur h (frottement de l’air est négligé)
= mvsol2/2 - mvh
2/2 = mvsol
2/2 = K
Travail du poids:
W = Fzdz = mgh
z
m
hz
00
0 hh
h mgzdzmgW
NB. Dans le référentiel « standard » on obtient le même résultat:
b
a
b
anet
net madxdxFWba
Voir diapo précédent:
Phys I SV 20137-7
Question: Combien de travail faut-il pour accélérer une voiture de m=1200kg à v1=100 km/h et de v1=100 à v2=140 km/h ?
Comment les deux travaux sont quantitativement différents ?
Vitesse de 0 à v = 100/3.6 = 27.8 m/s, K augmente par mv1
2/2:
K = 1200 27.82/2 = 1200 773/2
= 460kJ
Vitesse de 27.8 m/s à v2 = 140/3.6 = 38.9 m/s
K augmente par m v22/2 - 460kJ:
K = 1200 38.92/2 - 460 kJ
= 910 – 460 kJ = 450 kJ
Situation: Lors d’un accident de circulation une Renault Mégane de mA=1200 kg percute sur une route mouillée (μk=0.5) une Fiat Punto de mB=900 kg au repos devant un feu de circulation. Question: Si le conducteur de la Renault roule avec vA=54 km/h et commence à freiner dA=15 m devant la Fiat, y aurait-il un accident?
W=-Ffd = -mgμkd = -mv2/2d = 152[m2/s2]/(2 10 [m/s2] 0.5) = 22.5m
d = v2/2gμkQuel travail doit effectuer une force non-conservative Ff pour arrêter une voiture de masse m en mouvement rectiligne avec vitesse v? OUI
Phys I SV 20137-8
Une force est conservative si le travail qu’elle fournit dépend uniquement du point de départ et du point d’arrivée et non du chemin parcouru.
BA WW 2121
7-
Bparcours
2
1Aparcours
2
121 ldFldFW A
F est conservative, si son travail W satisfait pour n’importe quel chemin A ou B:
i.e.
Définition: Force conservative
Définition équivalente: Le travail fournit par une force conservative suivant un parcours fermé est zéro.
12 = -W21)
Phys I SV 20137-9
1. La force du poids travail: WG
1-2=mg(y1-y2) = -WG2-1
2. La force de rappel du ressort
Loi de Hooke(Force exercée par le ressort)
(voir leçon 4)
xkFx
dW(x)=kxdxb
a
b
aba xdkxdxkW )(
22
2
2xkEressort
)(2
22ab xxk
abW
E = W:
Comment décider si une force est conservative ?
Démontrer pour n’importe quel chemin droit, le travail aller-retour et nul …
Phys I SV 20137-10
Définition:
7- -
))(,)(,)(()(dz
rdUdy
rdUdx
rdUrdrdUF
L’énergie potentielle U est l’énergie dont les forces (conservatives) associées dépendent des positions des objets impliqués.
12WU
Une force conservative est entièrement définie par son énergie potentielle:
12
2
1
UUdU
Le changement d’une énergie potentielle est égale
1) au travail qu’elle peut fournir par sa force conservative
2) à l’opposé du travail fait par sa force conservative en déplaçant l’objet
(-U est la primitive de F)
zFyFxFU zyx
rFrdFW2
112
rdrdUF )(
e peut fo
Phys I SV 20137-117-11
CmgyykUmgkydy
dUg
g
2
2
dzdU
dxdU gg 0
dzdU
dydU rr 0
dzdU
dxdU ss 0
mgy + Cg
kx2/2 + Cr
-ky2/2 + mgy + Cs
CmgyUmgdy
dUg
g
CxkUkxdx
dUg
g
2
2Fr
mg
y m
y0
y
mg
Fry0
Ug=
Ur=
Us=
Energie potentielle: 3 exemples
Cgy
Autres exemples:
1. Électrostatique
2. Magnétostatique
3. Chimique
0zx FF
0zy FF
0zx FF
Constante d’intégration C ? choix de U(r)=0 est libre
Phys I SV 20137-12
NB. Cela semble être différent de mgh … ?Voir:
rmMGrU g )(
TT
TTg RhR
mMGhRU/1
)(
mghChR
GMmChRUT
TTg 2)(
xx x
11
11
TT
T RhR
GmM /1
g
2/1222 zyxGmM
r
r’
2'1
rGmMFRG
''1
2 drr
GmMdW RG
rRG
r drr
GmMW ''1
2
r
rGmM
'1
Quelle est l énergie potentielle e gravitation ?
''
'1
2 rr
rGmMFg
m
M
Situation: On (RG) s’approche de l’infini avec une masse m à vitesse constante, jusqu’à la position r d’une planète (M).Le travail que fait RG = l’énergie potentielle = -travail de la planète
r
Ug
rT
Phys I SV 20137-13
Phys I SV 20137-13
A B
Situation: Deux personnes, Agathe et Bernard, montent sur une colline par deux chemins différents (sans frottement).
Qui fait plus de travail W en montant ?
1. WA>WB
2. WA<WB
3. WA=WB
En descendant sur le toboggan, qui a la vitesse la plus grande à l’arrivée ?
A. vA=vB
B. vA>vB
C. vA<vB
Qui prendrait le moins de temps t pour descendre ?
I. tA<tBII. tA=tBIII. tA>tB
Phys I SV 20137-14
Conservation de l’énergie mécanique d’un système (si toutes les forces qui travaillent sont conservatives):
E=constante
(y compris le ressort: UR=kx2/2)
Exemple
Définition: Energie mécanique E K+U
7-
constante2
2
mghmv
E
Principe travail-énergie:
Le travail de la force associée à U sur un objet est égal au changement de son énergie cinétique:
W12= K
Le changement de l’énergie potentielle est égal au travail qu’elle PEUT faire:
U = W21 = -W12 = - K
E K+ U=0
Ui
Balle suspendue au plafond
Phys I SV 20137-15
Exemple I - Le jet d’eau à Genève: Quelle vitesse est nécessaire à la pompe pour obtenir la hauteur du jet ?
K = -mv2/2=-mgh=- 2
Exemple II – impact d’une balle: À quelle vitesse V d’un humain de M=70 kg correspond l’énergie cinétique d’une balle de m = 5 g volant à v = 700 m/s (voir leçon 4)?
K = mv2/2 = MV2 (m/M) = 700 (0.005/70) = 6m/sDu point de vue énergie, le cinéma a raison …
140 m
s I SVSVSVSVSVSVSVSVVV 222222222201000010 33
Comment décider d’utiliser la dynamique/cinématique ou les calculs
d’énergies ?Si le temps n’est pas considéré, le calcul par énergie est souvent plus simple et direct
MAIS …(il faut e.g. s’assurer que v=0 dans une des conditions)
Phys I SV 20137-16
x2[m] m1[kg] m2[kg] g[m/s2] x1[m]t[s] 1 0.0537 0.387 9.8 0.5
1 0.9012 0.901 Predictions: vitesse3 0.912 1.0934 0.9105 0.9016 0.908
moyenne 0.906SD 0.005SEM 0.002
vitesse 1.104
– vues en termes d’énergie
Chariot sans frottements
=0.387kg
x1=0.5m
0.5m
x2=1m
a=0 g>a 0m2
m1
Temps t pour parcourir x depuis l’arrêt de m1:
Prédictions de U+K=const:
Résultat de l’expérience:
=0.0537kg
3 portails optiques
Après x1:U1 = -m1g x1
K1 = m1v2/2
K2 = m2v2/2
U1+ K1+ K2=0
m1g x1=m1v2/2+m2v2/2
m1g x1=v2(m1+m2)/2
Pourquoi?
121
12 2 xmmgmv
Puissance instantanée:
Phys I SV 20137-17
Puissance = Travail fait par temps
Puissance moyenne:
7- Définition:
TWP
Unité: 1W=1J/sNB. 1kWh = 3.6 MJ
Principe travail-énergie :
P = E/T
Exemple: Quelle est la puissance maximale Pmax que pourrait fournir le vent passant par l’aire balayée par les pales d’une éolienne de diamètre D de 80 m (comme celles à Martigny) quand souffle un vent ( =1.2 kg/m3) avec une vitesse v de 36 km/h ?
Solution: Energie cinétique stockée dans l’air K= mv2/2. (Pour calculer le maximum possible, admettons que tout l’air perde son énergie cinétique en passant l’éolienne)
masse qui passe pendant temps T, m(T)= r2vT (volume du cylindre)
= D2vT/4
Puissance = K/T = D2v3/8 = 3 MW
3.14 1.2 802 103/8 = 3.7 8 105
[kg/m3 m2 m3/s3 =J/s]
dtdE
dtdWtP )(
Phys I SV 20137-18
http://www.swissdams.ch/Dams/damForm/default.asp?ID=75
h=34m
530 m3/s
GE
Question: Quelle est la puissance maximale que peut fournir le barrage à Verboix ?
Réponse:
Changement d’énergie potentielle/s = puissance
= m/t gh = 530 103 9.8 20
= 1.04 108 W = 104 MW
(cela prends à peu près 2ans pour produire la même énergie qu’à la Grande Dixence…)
340 m
(la chute d’eau est de 20m)
(Masse volumique de l’eau 1000kg/m3)
Phys I SV 20137-19
Exemple: a puissan e instantanée une or e
Ffr
FT
mg
FN
Quelle est la puissance fournie à un objet uniformément accéléré?
x=0 x,t
Exemple: Voiture de 1200kg accélérant de 110à 120 km/h en T=3s (voir exemple leçon 1):
accélération a= v/T=0.9m/s2
1) F=ma=m v/T=1.1kN, vitesse moyenne v =115 km/h ~ 32m/s
2) P = Fv = mv v/T 35kW (sans frottement …)
( 50 CV)
P(t)=FTv(t)=FT(at+v0)
a=(FT-Ffr)/m
tm
FFvFP frT
T 0
NB. 1CV 0.75kW
dtldF
dtdWtP )(
Puissance instantanée d’une force:
vFtP )(
Phys I SV 20137-21
constante22
22 kxmgh
mv
Situation: L’extrémité d’un ressort est au repos en position Q. Le ressort est comprimé, avant de lâcher, d’une longueur z. En lâchant, on lance une bille de masse m qui arrive à hauteur h. (Fig. A)
Question 1: Si on comprime le ressort de moitié ( z’=0.5 z), comme illustré en B, à quelle hauteur h’ la bille arrivera-t-elle?
a) h’=2hb) h’=hc) h’=h/2d) h’=h/4
Question 2: Si on utilise une bille de masse double (m’=2m avec z’= z) dans A, à quelle hauteur h arrivera-t-elle?
a) h’=2hb) h’=hc) h’=h/2d) h’=h/4
P’
A B
h h’
z z’
?
admettez z h
Phys I SV 20137-22
b
a
b
a
b
a
z
z z
y
y y
x
x x
b
aba
dzFdyFdxF
ldFWCes intégrales (=aire de la fonction F(x)) se calculent en suivant le chemin parcouru
omplément: e travail une or e en général
iiFiiii lFW cos
ldFdlFdW
l
cos
:0Limite
ldamldFdW
zzyyxx dvvdvvdvvmvdvm
lddtvdm
dtldvmd
vdvmdtvdv
vdtldll
a
2)()()(( 222
yyx vdvdvdm
dKmvdvvdmconstm
)2
(2
)( 2
Energie cinétique
2
2mvK
QED
Phys I SV 20137-23
Preuve:
par définition (force conservative)
et il s’ensuit que
Définition équivalente: Le travail fournit par une force conservative suivant un parcours fermé est zéro.
AA WldFldFW 21
2
1
1
212 )(
AB WW 1212
0212111AAA WWW
BAA WWW 122111
QED
Phys I SV 20137-24
Phys I SV 20137-25
Phys I SV 20137-26