7_Dynamika_Tuheho_Telesa53-95

7-Dynamika tuhého tělesa

53

7. Dynamika tuhého tělesa

Tuhé těleso budeme dále chápat jako zvláštní případ soustavy hmotných bodů, pro kterou platí, že bez ohledu na pohyb a působící síly se vzdálenosti mezi jednotlivými body nemění. Tuhé těleso je modelem reálného tělesa, protože reálná tělesa deformovatelná jsou. Jak bylo uvedeno v kinematice, z hlediska mechaniky jsou základními typy pohybů translační pohyby a pohyby rotační kolem stálé osy otáčen. Jejich význam je v tom, že složitější případy pohybů m;6eme na tyto základní pohyby rozložit. Řada vlastností obecných pohybů je přitom dána prostým shrnutím poznatků o posuvném a rotačním pohybu.

Pohybové rovnice tuhého tělesa pro tyto pohyby můžeme podobně jako u hmotného bodu získat buď podle 2. Newtonova zákona nebo podle d´Alembertova principu tj. z rovnováhy působících vnějších působících sil a sil setrvačných. Při d´Alembertově způsobu použijeme soustavu spojenou s pohybujícím se tělesem a setrvačné síly jednotlivých elementů tělesa resp. jejich setrvačné momenty sloučíme do výsledné setrvačné síly resp. do výsledného setrvačného momentu.

7. 1 Dynamika při translačním pohybu tělesa Podobně jako v kapitole o soustavě hmotných bodů si zavedeme střed hmotnosti S tělesa jako bod, jehož polohový vektor rS splňuje rovnici

( ) ( )m V

dm dV

m m

ρ= =∫ ∫

S

r r

r , (7.1)

kde m je celková hmotnost tělesa. Vzhledem k tomu, že na všechny hmotnostní elementy těles v technické praxi působí stejné gravitační zrychlení, střed hmotnosti můžeme ztotožnit s těžištěm T (těžiště někdy budeme dále také někdy označovat písmenem G).

Z kinematiky bodů tělesa konajícího translační pohyb (všechny rychlosti bodů tělesa jsou stejné) pak vyplývá pro hybnost tělesa vztah

( )m

dm m= =∫ TH v v (7.2)

Nechť se těleso pohybuje vůči nehybnému pozorovateli translačně se zrychlením a=aT, každý. Vycházíme-li z 2. Newtonova zákon, pak za předpokladu že hmotnost nezávisí na čase platí

d

mdt

= = T

HF a (7.3)

Zvolíme-li za počátek nepohyblivé vztažné soustavy těžiště T tělesa, pak pro myšlené rozdělení tělesa na hmotné elementy dm pro moment hybnosti tělesa TB platí

0T x dm dm x= = =∫ ∫B r v r v , (7.4)

Protože podle definice těžiště platí dmdm =∫ r 0 . Jestliže budeme uvažovat vztah mezi

momentem působících sil a časovou změnou momentu hybnosti dostáváme


55

skalárními. V kinematice obecný rovinný pohyb byl definován jako pohyb tělesa, jehož body opisují při pohybu křivky v rovnoběžných rovinách. Abychom při dynamických úlohách mohli vektorové pohybové rovnice popsat 3 rovnicemi skalárními, musí být 3 rovnice z prostorového případu být splněny triviálně. Tomu však bude jen v tom případě, jestliže kromě podmínky pohybu jednotlivých bodů v rovnoběžných rovinách vyšetřovaná tělesa budou mít rovinu symetrie rovnoběžnou s rovinami pohybu bodů tělesa a zatížení vnějšími silami buď v této rovině symetrie nebo podle roviny souměrnosti rozložení vnějších sil symetrické. Takové případy však jsou z hlediska strojírenské praxe poměrně časté (např. kotouče, hřídele, karoserie motorových vozidel apod.). V těchto případech pro přímočaré pohyby volíme kartézskou soustavu souřadnic s počátkem O T≡ a vektorové rovnice (7.9) popisující dynamiku při rovinném translačním pohybu rozepisujeme do 3 rovnic složkových

ix Txi

F ma=∑ , iy Tyi

F ma=∑ , ( ) ( ) 0Ti i yi i xizi i

M x F y F= − =∑ ∑ (7.10)

V případě posuvného rovinného pohybu, při kterém se těžiště tělesa pohybuje po křivce je vhodné složkové rovnice rozepsat do (okamžité) tečny a normály. Pro zápis složkových pohybových rovnic tedy použijeme souřadnice přirozené tj.

in Tni

F ma=∑ , it Tti

F ma=∑ , ( ) 0Ti bi

M =∑ (7.11)

kde směr binormály b je dán vektorovým součinem x=b τ n . Pro momentovou podmínku je možné v obou případech vzít i libovolný jiný vztažný

bod B. K tomuto obecnému bodu však již moment setrvačných sil nulový a místo

podmínek ( ) 0Ti zi

M =∑ resp. ( ) 0Ti bi

M =∑ musíme psát

( )Bi T T x T T yzi

M y ma x ma= −∑ resp. ( )Bi T T t T T nbi

M n ma t ma= −∑ , (7.12)

kde T Tx , y jsou kartézské souřadnice resp. T Tt ,n jsou přirozené souřadnice těžiště T v lokálních souřadných systémech s počátkem v bodě B. Příklad 7. 1 Zjistěte zrychlení bedny tvaru krychle o hmotnosti m=50 kg pohybujícího se působením síly P=600 N po horizontální rovině, součinitel smykového tření f=0,2- obr. 7.2.

Obr. 7. 2


57

sTdm m= − = −∫F a a (7.13)

Jak vyplývá z definice těžiště, působiště této výsledné setrvačné síly je přitom v těžišti. Podobně jako ve statice, v některých případech je vhodné pro momentovou rovnici použít jako vztažný bod jiný bod než je těžiště (např. v průsečíku nositelek neznámých složek reakcí). Pokud tedy chceme při rovinném pohybu momentovou podmínku použít k obecnému vztažnému bodu A, musíme k momentu působících vnějších sil přičíst i příslušný moment od výsledné setrvačné síly. Do schématu uvolněného tělesa je proto vhodné zakreslovat do těžiště i směr setrvačné síly, což usnadňuje aplikaci momentové podmínky k obecnému vztažnému bodu.Pak tedy pro souřadnou soustavu s počátkem O A≡ platí

x: ix xi

F ma=∑ (7.14)

y: iy yi

F ma=∑ (7.15)

z: ( ) ( ) ( ) 0Ai i yi i xi T y Tzi i

M x F y F m x a y a= − − − =∑ ∑ (7.16)

Příklad 7. 2 Auto dle obrázku má hmotnost m= 2000kg a těžiště v bodě T (obr. 7.3). Určete zrychlení auta, jestliže hnaná zadní kola se neustále protáčí a přední se volně odvalují. Hmotnosti kol zanedbejte. Koeficient smykového tření kol je f=0,25. Řešení: Jsou-li hmotnosti kol nulové, pak je nulový moment setrvačnosti a kola nekladou odpor proti roztáčení ( 0 0M Tr J ,J Tα= = = ⇒ = ). Z toho ovšem vyplývá, že u nepoháněných kol jsou tečné složky reakcí nulové. U hnacích kol však při uvolnění tečné složky reakcí nenulové jsou

( 0 0hh

MM Tr J T

rα− = = ⇒ = ≠ ). Proto ve

schéma uvolněného automobilu jsou tečné složky reakcí předních kol nulové. Neznámé jsou NA, , NB, ,aT. Pro vztažný bod T

pohybové rovnice: x: 0,25NB=-2000aT

y: NA+NB -2000.9,81=0 z: 1,25NA+0,25.0,3NB – 0,75NB=0 Po dosazení dostáváme numerické hodnoty: aT=1,59m/s2, NA =6,88kN, NB=1,7kN

Obr. 7. 3

a


59

( )21 2

1

2S S S mg cos mrϕ ϕ= = = + ɺ Úhlovou rychlost

můžeme určit ze zákona zachování mechanické energie

( )2 21

2mr mgr cos cosϕ ϕ α= −ɺ

Namáhání v řezu C-C je dáno silami po jedné straně řezu, obr. a). Pro tahovou sílu N, posouvající sílu T a ohybový moment Mo, jakožto účinky části 2 na část 1 platí, že

22 2N m r cos m r sin S sinϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − + −ɺɺ ɺ

22 2T m r sin m r cos S cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + −ɺɺ ɺ

( ) ( ) ( )22 2 2

1

2'

oM m r sin m r cos m g l x S l x cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − + + − + −ɺɺ ɺ

Poznámka: Síly setrvačné i tíhové představují ve skutečnosti spojitá silová zatížení. V dynamice tuhého tělesa však zpravidla pracujeme se silami příslušejícími výslednicím těchto spojitých zatížení. Z uvedeného vyplývá, že těleso konající translační pohyb můžeme z hlediska jeho dynamických vlastností (tj. při výpočtu kinetické energie, hybnosti, momentu hybnosti, výsledné setrvačné síly) i při vyšetřování jeho pohybu (pokud nám nejde o zjištění vazeb apod.) považovat za bodové těleso umístěné v těžišti, hmotnost tohoto bodového tělesa je přitom rovna celkové hmotnosti tělesa. Jak bylo zmíněno v kapitole o dynamice bodového tělesa, z hlediska hybnosti tělesa při translačním pohybu platí zákon zachování hybnosti popř. je splněna relace mezi impulsem působících sil a změnou hybnosti tělesa tj. platí

2 1

0

t

dt− = ∫H H F (7.17)

Tato rovnice vyjadřuje zákon o změně hybnosti při translačním pohybu tělesa.

Protože všechny body tělesa konajícího translační pohyb mají stejnou rychlost, jeho kinetická energie je dána vztahem

221 1

2 2k TE v dm mv= =∫ (7.18)

7. 2 Dynamika při rotačním pohybu tělesa

Při rotačním pohybu je jedna jeho přímka (osa otáčení o) nehybná a je totožná s nositelkou vektoru úhlové rychlosti. Body tělesa opisují v rovinách kolmých k ose rotace soustředné kružnice se středy na ose rotace. Odvodíme pohybové rovnice otáčejícího se tělesa, všimneme si výpočtu reakcí uložení, namáhání a velmi důležitého problému vyvažování.

sFn

2

sFt

2


61

kde OM je výsledný moment od akčních zátěžových sil, r je polohový vektor k elementu dm,

a je zrychlení rotačního pohybu elementu dm.

Pro vztažnou souřadnou soustavu dle obr. 7.5 dostáváme pro rychlost rotačního pohybu jednotlivých hmotnostních elementů vztah

0 0x y x

x y z

ω ω ω = = = − +

i j k

v ω r i j (7.27)

Pro zrychlení rotačního pohybu elementu můžeme po provedení vektorových součinů psát

2 2( y x ) ( x y )α ω α ω= − − + −a i j (7.28)

Dosadíme-li rovnici (7.28) do rovnice (7.26) a uvážíme-li, že pro všechny elementy je ω a α stejné, obdržíme silové pohybové rovnice složkové

2

2

0

x Ax Bx

m m

y Ay By

m m

z Az

F F F ydm xdm

F F F xdm ydm

F F

α ω

α ω

+ + = − −

+ + = −

+ =

∫ ∫

∫ ∫ (7.29)

Podobně po provedení vektorových součinů a rozepsání do složek dostáváme pro složky momentových pohybových rovnic vztahy

iF

z

Obr. 7. 5

α


63

kde 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x x y x z

x y y y z

x z y z z

I D D

D I D

D D I

=

2I je tzv. matice setrvačnosti tělesa,

2 2

2 2 2 2

0 0 0 0

0 0 , 0 0

0 0 0 0 0 0

z z

z z

α ωα ω

− − = =

A Ω jsou matice úhlového zrychlení a matice úhlové

rychlosti při rotaci kolem osy o z≡ ; 2 O2 2 2f ,m ,ω ,α jsou sloupcové matice mající jako

prvky souřadnice příslušných vektorů 2 2 2 2o, , ,F M ω α . Stejným způsobem bychom mohly

dojít k maticovému zápisu rovnice (7.19) pro vyjádření momentu hybnosti

2 2 2 2 2 2O T Tm= +Ωb R r I ω (7.34)

Výhodou použití systému 2 2 2x y zO souhlasícího s polohou tělesa je v tom, že poloha těžiště a

matice setrvačnosti nezávisí na poloze tělesa. V dalším index (2) už proto budeme zpravidla vynechávat. Z odvozených rovnic pro rotační pohyb je zřejmé, že reakce v ložiskách jsou obecně závislé nejen na vnějších silách , ale i na kinematických veličinách α a ω. Je snahou, aby reakce nebyly závislé na úhlové rychlosti a úhlovém zrychlení. To bude pouze tehdy, pokud bude 0T Tx y= = (tj. pokud bude těžiště ležet na ose rotace- těleso bude staticky vyváženo) a

bude platit 0xz yzD D= = (těleso bude vzhledem k ose z dynamicky vyváženo).

Z rovnic (7.32) je zřejmé,že při poloze těžiště na ose rotace budou pravé strany prvních tří rovnic (7.32) rovny nule a stávají se z nich pouze složkové rovnice statické rovnováhy . V tomto případě tedy platí

0

0

0

ix

iy

iz

F

F

F

=

=

=

∑

∑

∑

(7.35)

Rovnice (7.35) vyjadřuje skutečnost, že při rotaci tělesa kolem osy procházející těžištěm nedochází k namáhání ložisek od výslednice setrvačných sil a zjištěné namáhání ložisek odpovídá působení jen vnějších sil (např. při obrábění). 7. 2. 2 Vyvažování rotujících hmot K důležitým úkolům ve stavbě strojů patří vyvažování setrvačných silových účinků, které mohou vznikat při rotačních pohybech těles. V rovinném případě je výsledná setrvačná síla sF a výsledný setrvačný moment s oM

pro počátek O na ležícím na ose rotace o jsou dány 2

2

sT T

s so o T t T n T T T T T

m x m

I x x ( I ) x( m x ) ( I ) me I

ω= − +

= − = + + − = − + − = − −

F r α r

M α r F r F α r r α α α α (7.36)

kde e je kolmá vzdálenost těžiště od osy rotace. Jak vyplývá ze vztahu (7.36), při poloze těžiště na ose rotace a při konstantních otáčkách celkový jsou výsledné dynamické účinky působící na ložiska jsou nulové (elementární odstředivé síly však existují a namáhají těleso


65

s rovinou pohybu hmoty m1 (obr.7.7). Má-li být hřídel vyvážen, musí být v rovnováze silové účinky odstředivých sil vyvažované hmoty a od protizávaží, tzn.

2 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3

2 3 2 2 3 3

0 a 0,

0,

m m

sni

sni F

s s sn n n

s sn n

F M

F F F m r m r m r

F a F b r a r b

ω ω ω

= =

− − ⇒ − − =

= ⇒ =

∑ ∑

kde m2 a m3 jsou hmotnosti protizávaží. U lomených hřídelů často bývá 2 3a b, r r= = . Pak předchozí rovnice splníme pro hodnoty

1 12 3

22

m rm m

r= =

Příklad 7. 4 Ocelový kotouč stejné tloušťky se otáčí kolem své osy a jsou v něm vyvrtány dvě díry (obr.7.8). Jaký bude průměr třetí díry a v jaké bude poloze, má-li být kotouč vyvážen vrtáním díry ve vzdálenosti 3r =500mm?

Obr. 7. 8

m1

m3

m2

Obr. 7. 7


67

je přitom určen 3 souřadnicemi a hmotností tj. existuje 8 neznámých. Přitom jsou použitelné 4 rovnice dynamických účinků vyjadřujících namáhání osy ve směrech kolmých na rotaci (2 silové a 2 momentové ve směrech x a y-viz systém rovnic (1.28). Volba polohy vyvažovacích rovin je ve skutečnosti podmíněna možnostmi umístění vývažků – z-ové souřadnice a vzdálenosti vývažků od osy rotace jsou předepsány. Celkový počet nezávislých souřadnic vývažků je roven 2 a celkový počet neznámých je tedy 4. Přitom pokud je chceme určit z rovnic (7.32), je nutné předpokládat, že hodnoty deviačních momentů a polohy těžiště jsou známé. Při řešení vyvažování je nutno si uvědomit, že každý rotor je pružný a vlivem prostorových odstředivých sil se deformuje, čímž dochází ke změně konfigurace rozložení hmot. Proto je nutno vyvažovat rotory při těch úhlových rychlostech, s jakými budou použity v provozních podmínkách. Z důvodů dosažení vyšší přesnosti je vhodné rotory vyvažovat ne pouze ve dvou, ale i ve třech i čtyřech rovinách. 7.2.3 Matice setrvačnosti V kinematice se obecný prostorový pohyb tělesa řeší rozkladem na pohyb bodu referenčního a sférický pohyb kolem bodu referenčního. Přitom se z důvodu přehlednosti pro popis vztahů mezi kinematickými veličinami používá maticový zápis. Stejným způsobem budeme postupovat i při popisu dynamiky tělesa konajícího prostorové pohyby. Přitom abychom však mohli popsat i dynamiku prostorových pohybů pomocí maticového formalismu, je nutné vyjádřit ve formě matic i geometricko-hmotnostní charakteristiky těles. Prvky těchto matic charakterizují rozložení hmot v tělesech nezávisle na jejich pohybech.

7.2.3.1 Výpočet osových a deviačních momentů setrvačnosti Pro popis geometricko-hmotnostních charakteristik těles ve formě matic je nutné vzhledem ke 3 souřadným osám zvoleného pravoúhlého systému znát hodnoty 3 osových momentů

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2x y z

m m

I y z dm,I x z dm, I x y dm= + = + = +∫ ∫ ∫ (7.38)

a hodnoty 3 momentů deviačních

xy xz yz

m m m

D xydm;D xzdm;D yzdm;= − = − = −∫ ∫ ∫ (7.39)

kde x,y,z jsou souřadnice elementární hmotnosti dm. Např. pro hmotný bod o hmotnosti m se souřadnicemi x,y, je k ose z jeho hodnota momentu setrvačnosti rovna 2 2 2( )zI x y m mr= + =

a jeho deviační moment setrvačnosti k osám x, y je roven xyD mxy= − .

Jak je z definičních vztahů zřejmé, momenty setrvačnosti k osám jsou vždy kladné, momenty deviační mohou být kladné nebo záporné v závislosti na volbě vztažné souřadné soustavy. Lze tedy nalézt takovou souřadnou soustavu, k jejímž osám budou deviační momenty nulové. Souřadnicové osy k nimž jsou deviační momenty nulové se nazývají hlavní osy setrvačnosti. Např. pokud má těleso rovinu symetrie xy, pak platí 0xz yzD D= = a hlavní

osou setrvačnosti je osa z. Vztažný souřadný systém s počátkem v těžišti budeme nazývat centrální souřadnicový systém, osy a roviny procházející těžištěm budeme nazývat centrálními osami setrvačnosti a centrálními rovinami setrvačnosti.

Při výpočtech momentů setrvačnosti zpravidla předpokládáme, že měrná hmotnost ρ je v prostoru tělesa konstantní, takže integrace přes hmotnost přejde k integraci přes objem tj. dm dVρ= . V kartézských souřadnicích pro infinitezimální element objemu přitom platí

dV dx dy dz= . (7.40)


69

Pro rotační osu z 21

2zI m R= ⋅ (7.46)

pro osu x ležící v rovině kotouče a jdoucí jeho středem

21

4xI mr= (7.47)

Dutý hřídel, tlustostěnná trubka:

( )2 21

2oI m R r= ⋅ + (7.48)

Koule:

22

5oI m R= ⋅ (7.49)

Tyč délky l upevněná ve středu:

21

12oI m l= ⋅ (7.50)

Hranol, kvádr:

( )2 21

3oI m b h= ⋅ + (7.51)

Kužel :

Pro geometrickou osu z plného kužele je 23

10zI mR= (7.52)

Pro osu o jdoucí vrcholem a kolmou na rotační osu 2

23

20 4o

lI m R

= ⋅ +

(7.53)


71

2 2 22 3 4 5 0 45 1 4kg.mT oI I m y , , , ,= − ⋅ = − ⋅ =

Z hlediska dynamiky rotačních pohybů mají základní význam osové momenty setrvačnosti. Při jejich výpočtu pro osy kolmé na geometrickou osu je účelné zavést rovinné momenty setrvačnosti .

2 2 2; ;xy xz z

m m m

I z dm I y dm I x dm= = =∫ ∫ ∫ (7.56)

V těchto výrazech x,y,z představují vzdálenosti jednotlivých elementů tělesa od rovin yz, xz, xy. Jak vyplývá z definice, mezi rovinnými a osovými momenty setrvačnosti platí vztahy

x xy xz

y xy yz

z xz yz

I I I

I I I

I I I

= +

= +

= +

(7.57)

Jestliže osa z je totožná s geometrickou osou tělesa, pak platíxz yzI I= , pak pro výpočet zI

můžeme použít vztah 2z xzI I= .

Příklad 7.6 Určete osový moment setrvačnosti válce Ix pro souřadný systém u kterého je podstava totožná s s rovinou xy. Řešení: Představíme si válec složený z elementárních disků, z nichž každý má elementární moment

setrvačnosti 21

2zdI R dm= , kde 2dm R dzρ π= , ρ je hustota válce. Pak platí

2 2 21 1

2 2

L

z

o

I R R dz mRρ π= =∫ (a)

Platí xz yzI I= . Můžeme tedy psát:

212

4z xz yz xz xzI I I I I mR= + = ⇒ = (b)

2 2 2 2

0

1

3

L

xy

m

I z dm z R dz mLρπ= = =∫ ∫ (c)

2 21 1

3 4x y xy xzI I I I mL mR= = + = + (d)

Podobně pro výpočet osových momentů osových momentů setrvačnosti koule nebo tenkých desek je účelné použití polárního momentu setrvačnosti

( ) ( )2 2 2 1

2polar xy xz yz x y z

m

I x y z I I I I I I= + + = + + = + +∫ (7.58)


73

0 0

0

0

x

y yz

yz z

I

I D

D I

=

I (7.60)

Polohu hlavních os setrvačnosti můžeme určit na základě geometrické interpretace. Lze dokázat, že koncové body vektorů Mr o souřadnicích

cos cos cos, , ,M M M

o o o

x y zI I I

α β γ= = = kde oI kde je moment setrvačnosti k ose o svírající se

souřadnými osami úhly α, β a g , vytváří tzv. elipsoid setrvačnosti

2 2 2 2 2 2 1x y z xy yz xzI x I y I z D xy D yz D xz+ + + + + = (7.61)

Úloha nalezení hlavních os setrvačnosti tedy může být formulována jako převedení této kvadratické formy na kanonický tvar, což lze provést řešením systému rovnic

( ) 0

( ) 0

( ) 0

x xy xz

xy y yz

xz yz z

I x D x D y

D x I y D z

D x D y I z

λλ

λ

− + + =

+ − + =

+ + − =

(7.62)

Aby tento systém lineárních diferenciálních rovnic měl netriviální řešení, musí determinant soustavy neznámých být roven nule:

( )

( ) 0

( )

x xy xz

xy y yz

xz yz z

I D D

D I D

D D I

λλ

λ

−− =

− (7.63)

To je vzhledem k λ kubická rovnice. Postupným dosazením tří reálných kořenů λ1, λ2, λ3 do systému (7.62) pak můžeme vypočítat hodnoty vektorů

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( , , ), ( , , ), ( , , )x y z x y z x y z= = =r r r , které určují velikost a směr hlavních poloos

elipsoidu setrvačnosti.

7.2. 3. 3 Matice setrvačnosti vzhledem k posunutým osám Výpočet integrálů určujících momenty setrvačnosti vzhledem k osám, které jsou totožné s osami symetrie popř. které v rovinách symetrie leží, je poměrně snadný. Pro určení momentů setrvačnosti a deviačních momentů vzhledem k obecně položeným osám je pak vhodné použití transformačních vztahů mezi maticemi setrvačnosti vztaženým vzhledem k různým souřadnicovým soustavám. Poměrně jednoduchý je případ dvou vztažných soustav, jejichž osy jsou navzájem rovnoběžné tj. odlišujícími se jen posunutím počátku. V tomto případě (na základě aplikace Steinerovy věty a využitím definičních vztahů pro deviační momenty), mezi maticí setrvačnosti 1TI určenou v centrálním souřadném systému 1 1 1x y zO a

maticí setrvačnosti 2I v systému 2 2 2x y zO s počátkem posunutým vůči původnímu centrálnímu

systému o x10,, y10, z10 platí vztah

1 1T m2 = +I I I (7.64)

kde 1mI je matice setrvačnosti středu hmotnosti umístěného v počátku soustavy 2 2 2x y zO , pro

kterou platí


75

Obr. 7. 13

21

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

ϕ ϕϕ ϕ

− =

C (7.70a)

a pro transformaci ze soustavy (1) do soustavy (2) pak platí

12

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

ϕ ϕϕ ϕ

= −

C (7.70b)

Jestliže soustava (2) rotuje kolem soustavy (1) úhlovou rychlostí x y z( , , )ω ω ω=ω pak

pro časovou derivaci transformační matice platí

21 = 21 21C Ω Cɺ (7.71a)

kde matice 21Ω je matice úhlových rychlostí

21

0

0

0

z y

z x

y x

ω ωω ωω ω

− = −

Ω (7.71b)

Jestliže vztahy mezi vektorovými veličinami jsou vyjádřeny pomocí násobení tenzorem, pak matici ortogonální transformace můžeme využít i pro transformaci příslušného tenzoru. Např. jestliže uvážíme vztah pro moment hybnosti

21 21 21 12ωO1 1 1 O2 2 2 2 1b = = b = ω = ωI I IC C C C (7.70)

Pak dostáváme relaci

1 21 2 12= C I CI (7.71)


77

( )o o o

dM I I

dtω α= = (7.76)

To je hlavní pohybová rovnicí rotačního pohybu tělesa při rotačním pohybu kolem stálé osy otáčení o, v níž značí: Io ... moment setrvačnosti k ose otáčení o, α...okamžité úhlové zrychlení tělesa

o oiM M=∑ ...součet momentů vnějších sil k ose otáčení o.

Je-li možné zanedbat čepové tření v ložiskách, je rovnice (7.76) vlastní pohybovou rovnicí (tj. neobsahuje neznámé reakce), která sama o sobě řeší vlastní rotační pohyb tělesa a umožňuje vypočítat potřebné vnější síly či momenty pro docílení předepsaného rotačního zrychlení. Pro zjištění namáhání ložisek při působení vnějších sil symetricky rozložených vzhledem k rovině symetrie tělesa je pak možné použít první dvě rovnice systému (7.32). Pro rovinný případ rotačního pohybu tedy můžeme pohybové rovnice psát ve vektorovém tvaru

Tm=F a (7.77)

o oI=M α (7.78)

Ztotožníme-li osu rotace s osou z tj. o z≡ , pak ve složkách tyto vektorové rovnice mají tvar

2 2

ix T T iy T T iz zF my mx , F mx my , M Iα ω α ω α= − − = − − =∑ ∑ ∑ (7.81a)

Polohu těžiště a jeho vzdálenost e od osy rotace většinou známe, proto souřadný systém orientujeme tak, aby xT=e, yT=0. Tím se rovnice zjednoduší na tvar

2

ix iy iz zF me , F me , M Iω α α= − = − =∑ ∑ ∑ (7.81b)

Při poloze těžiště na ose rotace se rovnice ještě více zjednoduší a platí

0 0ix iy iz zF , F , M I α= = =∑ ∑ ∑ (7.81c)

Z hlavní pohybové rovnice rotačního pohybu pak pro impuls momentu vnějších sil vyplývá relace

( ) 2

1

2 1

to

o o o o

t

d IM I I M dt

dt

ωω ω= ⇒ − = ∫ (7.79)

Tato rovnice vyjadřuje zákon o změně momentu hybnosti rotačního pohybu tělesa: Změna momentu hybnosti rotujícího tělesa je způsobena impulsem momentu vnějších sil k ose otáčení.

Dosadíme-li za úhlové zrychlení α v rovnici (7.76) vztah ( )2

2

d

d

ωα

ϕ= pak můžeme

práci momentu vyjádřit pomocí vztahu


79

( )( )

( )( )

1

1

3 3 2 22 1 2 2 1 12

2 22 12 1

222

3 3

r

o

r

Pf r r Pf r r r rM r fpdr

r rr rπ π

π− + +

= = =+−∫

Vlastní pohybová rovnice pro rotační pohyb roztáčeného setrvačníku je

( )( )

2 22 2 1 1

2 1

2

3o o

Pf r r r rM I

r rα

+ += =

+

Jedná se tedy o pohyb s konstantním úhlovým zrychlením. Aplikací vztahu d

dt

ωα = a

integrací tedy dostáváme pro dobu roztočení setrvačníku hodnotu

( )

( )2 1

2 22 2 1 1

3

2o k

k

I r rt

P r r r r f

ω +=

+ +

Celkové pootočení setrvačníku kϕ pak získáme integrací vztahu ( )2

2

d

d

ωα

ϕ= :

( )( )

( )( )

2

0 0 0

2 2 22 1 2 1 2 12

2 22 1 2 1 2 1

22

4 3

3 4

k k k

o

o

k ok k k

o

Md d d

I

Pf r r r r I r r

I r r f P r r r r

ω ϕ ϕ

ω α ϕ ϕ

ωω ϕ ϕ

= =

+ + += ⇒ =

+ + +

∫ ∫ ∫

a počet otoček ( )

( )2

2 1

2 22 2 1 1

3

2 8k ok

k

r r In

Pf r r r r

ωϕπ π

+= =

+ +

Ztracená práce je dána prací momentu třecích sil při relativním pootáčení spojky vůči

setrvačníku tj. 0 0

k

oA M dω

ω

ψ=

= ∫ , kde relativní pootočení spojky dψ závisí na okamžité úhlové

frekvenci setrvačníku podle vztahu ( )kd dtψ ω ω= − . Pro celkovou ztracenou práci tedy platí:

( ) ( )0 0 0 0

2

0 0 0 0

1

2

k k k k

o o o k o k o k

dA M d I d I dt I d I

dt

ψ ψ ω ω

ψ ψ ω ω

ωψ α ψ ω ω ω ω ω ω= = = =

= = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫

Práce tření tedy nezávisí na velikosti konstantního momentu spojky. Z postupů je přitom zřejmé, že tento výsledek platí i pro časově proměnný moment třecí spojky.

Poznámka: Pro 1 2r r≐ je možné použít ( )2 12o

PfM

r r−≐

7.2.4 Setrvačné silové účinky v případě rovinného rotačního pohybu Pro diskusi namáhání ložisek rotujících součástí je vhodné provést vyšetření rotačního

pohybu i způsobem d´Alembertovým. V tomto případě použijeme soustavu spojenou s rotujícím tělesem a pohybové rovnice konstruujeme na základě rovnováhy působících a setrvačných silových účinků. V případě rotujícího tělesa tvoří elementární setrvačné síly prostorovou soustavu sil. Ze statiky je známo, že pro zvolený počátek lze takovou soustavu sil nahradit výslednou silou a výslednou silovou dvojicí. Nejprve si rozebereme případ, kdy těleso má vůči ose otáčení rovinu souměrnosti kolmou k této ose. Pro soustavu Oxyz s osami x, y ležícími v rovině symetrie v tomto rovinném případě ze souměrnosti tělesa vyplývá, že ke každému bodu (x,y,z) existuje i bod (x,y,-z). Pak deviační momenty k ose z nulové tj.

0xz yzD D= = . Výslednice elementárních setrvačných sil i těžiště tedy leží v rovině symetrie.


81

Pro vztažný bod ve středu perkuse P je výslednicová soustava setrvačných silových účinků

dána vztahy

stF meα= (7.90)

2snF meω= (7.91)

0sPM = (7.92)

Poznámka: Při umístění osy rotace do bodu P jsou sice ložiska namáhána odstředivou silou,

ale při prudkém rozběhu nebo zastavení nedochází k ohybovému namáhání tělesa. Uchycení do středu perkuse je tedy vhodné v případech, kdy jsou tělesa vystavena náhlým změnám úhlového zrychlení v důsledku náhlých změn hodnot působících silových účinků (např. rázů). Příklad 7. 9 Zjistěte hodnotu odstředivé síly a velikost reakcí u setrvačníku hmotnosti 20kg s výstředností těžiště e=2mm při otáčkách n=600ot/min, vzdálenosti setrvačníku od ložisek jsou a=600mm, b=200mm.

Řešení: Odstředivá síla

2

2 60020 0 002 157 9

30s

nF me , , Nπω ⋅ = = ⋅ ⋅ =

.

Při vzdálenosti setrvačníku od ložisek a=600mm, b=200mm pak vznikají v ložiskách odstředivou silou reakce

Obr. 7. 19

sFn

sFt

Ioα

Ioα

ITα

Obr. 7. 16 Obr. 7. 17 Obr. 7. 18


83

( ) ( )

2

2

sM M

m m m

so M M M M M

m

dm x dm dm

dm x x x dm x dm

Ω Ω Ω

Ω Ω Ω Ω Ω Ω

ω

ω

= − + −

= − + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

F a α r r

M r a r α r r r

(7.97)

Podle pravidel pro vektorový součin můžeme upravit druhý výraz na pravé straně druhé rovnice

( ) ( ) ( )M M M M M M

m m m

x x dm . dm . dmΩ Ω Ω Ω Ω Ω= −∫ ∫ ∫r α r α r r r α r (7.98)

Poněvadž vektor úhlového zrychlení je kolmý na průvodič Mr , bude skalární součin M.α r

roven nule. Dále platí

2M

m

r dm IΩ Ω=∫α α , (7.99)

kde I Ω je moment setrvačnosti k ose o jdoucí referenčním bodem Ω kolmo na rovinu

pohybu. S využitím vztahu pro těžiště tj. T M

m

m dm= ∫r r pak rovnici (7.93) lze přepsat do

tvaru

2

T T T

o T

m m( x ) m m

m( x ) IΩ Ω Ω

Ω Ω Ω

ω= + − == +

F a α r r a

M r a α (7.100)

kde TΩr je polohový vektor od referenčního bodu Ω vzhledem k těžišti T tělesa. Obdrželi jsme vektorové pohybové rovnice obecného rovinného pohybu. Ztotožníme-li referenční bod s těžištěm tj. TΩ ≡ , pak 0TΩ =r a rovnice (7.100) přejdou na tvar

T

T T

m

I

==

F a

M α (7.101)

Tento tvar je podstatně jednodušší než systém rovnic (7.100) a proto jej zpravidla při řešení konkrétních úloh budeme používat. Rovnice (7.103) můžeme slovně interpretovat: Dynamiku obecného rovinného pohybu můžeme řešit jako dynamiku translačního pohybu hmoty soustředěné v těžišti (na kterou působí výslednice vnějších sil) a rotačního pohybu tělesa kolem těžiště (pod působením výsledného momentu vnějších sil). Poznámka: V případě, že translační a rotační složka pohybu tělesa jsou vázány (např. při odvalování kotouče), pak je nutné do schématu uvolněného tělesa zakreslit orientace translačního a úhlového zrychlení tak, aby si navzájem odpovídaly -viz obr. 7.20.

V případě přímočarého pohybu těžiště pro složkový zápis rovnic (7.101) budeme používat souřadnice kartézské tj.

x Tx y Ty T TF ma ;F ma ;M I α= = = (7.102)

Jestliže dráha pohybu těžiště bude křivočará, pak pro zápis složkových pohybových rovnic použijeme přirozené souřadnice okamžité tečny a normály dráhy těžiště

t Tt n Tn T TF ma ;F ma ;M I α= = = ,

Pro kinetickou energii tělesa konajícího obecný rovinný pohyb vztah


85

Řešení: Nejprve zjistíme hodnotu zrychlení středu válce při za předpokladu, že dochází k jeho odvalování při obecném sklonu sklon nakloněné roviny. Zvolíme-li jako vztažný bod těžiště, pak pro zvolený souřadný systém pohybové rovnice ve složkách jsou: x: ... t Smg sin F maβ − =

y:... 0nF mg cosβ− =

z:... t TF r I α− = −

Pro moment setrvačnosti válce k ose totožné s jeho geometrickou osou použijeme známý

vztah 21

2TI mr=

V případě, že bychom jako vztažný bod použili pól rychlosti P, pak pohybové rovnice by měly tvar: x: ... t Smg sin F maβ − =

y:... 0nF mg cosβ− =

z:... Pmg sin r Iβ α− = −

Hodnotu IP určíme za pomoci Steinerovy věty tj. 2 23

2P TI I mr mr= + = .

Má-li docházet k odvalování válce, musí být dále splněna podmínka valení Ta rα= .

V obou případech jsou v rovnicích 4 neznámé S n ta ,F ,F ,α . Pro hodnotu zrychlení středu

válce dostáváme v obou případech výsledek 2

3Sa g sinβ= , výpočet při použití druhého

systému rovnic je však jednodušší. Při maximálním úhlu sklonu maxβ ještě dochází k odvalování a tečná složka reakce tF

je rovna třecí síle tj. t n maxF F f mg cosβ= = . Pak můžeme kombinací podmínky valení a

vztahu pro zrychlení středu kotouče 2

3S maxa g sinβ= určit z první rovnice hodnotu

součinitele smykového tření max

1

3f tgβ= .

Poznámka: U některých úloh je účelné kombinovat pohybové rovnice pro jednotlivé složky pohybu tělesa se zákony zachování platnými pro celé těleso. Příklad 7.7. Koule je vržena počáteční rychlostí vT0 téměř tečně na podložku, koeficient smykového tření je f. Určete čas t∆ po který se koule smýká, na jaké drázex∆ se smýká a jaká je její konečná rychlost vTk po ukončení smýkání. Řešení: Využitím vztahu pro impuls momentu zjistíme dobu trvání impulsu třecí síly

02 1

2

5k

O

vI M t B B t

fg∆ ∆= = − ⇒ =

Využitím pohybové rovnice pro translační složku pohybu dostaneme konečnou rychlost

50 0

5

7t

tř T T Tk T T Tk T

FF ma a v v a t v v

m∆= ⇒ = ⇒ = − ⇒ =

Ze zákona zachování energie dostaneme vztah pro dráhu na které třecí síla působí 2

2 2 2 00

1 1 1 12

2 2 2 49k k tř

vmv I F x mv x

fgω ∆ ∆+ + = ⇒ =

Kontrolní otázky:


87

Vycházíme přitom z věty o momentu hybnosti pro soustavu hmotných bodů tj. moment hybnosti tělesa uvažujeme jako součet momentu hybnosti středu hmotnosti. vzhledem k tomuto bodu a momentů hybnosti všech bodů tělesa k těžišti. S tělesem spojíme souřadný systém 2 2 2x y zO jehož počátek ztotožníme s nehybným

bodem tělesa. (obr.7.22). Novou polohu tělesa určujeme z posloupnosti tří kroků:a) pootočíme kolem osy z1 o precesní úhel ψ ,osa x1 se přemístí do uzlové přímky u; b) otočíme kolem uzlové přímky u o úhel nutace ϑ , z1 se přemístí do z2 ; c) kolem z2 pootočíme o vlastní rotaci

ϕ . Výslednou úhlovou rychlost ωωωω při sférickém pohybu lze tedy složit ze tří rotací tj. z úhlové

rychlosti precese ψɺ , rotace ϕɺɺɺɺ a nutaceψɺɺɺɺ

= + +ω ψ ϕ ϑϕ ϑϕ ϑϕ ϑɺɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ (7.106)

1ψ ϕ ϑ= + +2ω k k u ɺɺɺɺɺɺɺɺɺɺɺɺ (7.107)

Jak již bylo zmíněno při popisu dynamiky rotačního pohybu tělesa, aby hmotnostní charakteristiky tělesa nezávisely na čase, je nutné vztažný souřadný systém spojit s tělesem tj. souřadný systém Ox2 y2 z2. Souřadnice výsledné rychlosti dostaneme z Eulerových úhlů a jejich časových derivací průmětem do os x2, y2, z2

2

2

2

x

y

z

sin sin cos

sin cos sin

cos

= +

= −

= +

ɺɺ

ɺɺ

ɺ ɺ

ω ψ ϑ ϕ ϑ ϑω ψ ϑ ϕ ϑ ϕω ψ ϑ ϕ

(7.108)

Rovnice (7.108) jsou známé Eulerovy kinematické rovnice. V soustavě spojené s tělesem je vektor tedy výsledné úhlové rychlosti tedy vyjádřen

Obr. 7. 22


89

kde 2Ob , 2ω jsou sloupcové matice momentu hybnosti a vektoru úhlové rychlosti a 2I je

matice setrvačnosti tělesa. Kinetickou energii rotujícího tělesa kolem okamžité osy otáčení úhlovou rychlostí ω

lze určit následujícím postupem

( ) ( ) ( )21 1 1

2 2 2k

m m m m

E v dm . dm . x . x dm= = = =∫ ∫ ∫ ∫v v v ω r ω r v (7.117)

Poslední integrál na pravé straně rovnice vyjadřuje moment hybnosti tělesa, takže lze psát

1

2ωkE = Ob (7.118)

nebo

1

2kE = Tω Iω (7.119)

V případě, že směry os souřadné soustavy ztotožníme s hlavními osami setrvačnosti, pak platí

2 2 21 1 1

2 2 2kE I I Iξ ξ η η ζ ζω ω ω= + + (7.120)

7. 4. 1 Pohybové rovnice při sférickém pohybu tělesa Z kapitoly o soustavě hmotných bodů víme, že moment vnějších sil je roven časové změně momentu hybnosti

OO

d

dt= B

M , (7.121)

kde vektor OB v maticovém zápisu můžeme vyjádřit pomocí vztahu (7.116).

Jak však bylo zmíněno v úvodu, vztah (7.121) platí jen pro inerciální tj. nepohyblivé soustavy souřadnic. Pokud jej však chceme použít pro vektory MO a BO vyjádřené v soustavě

2 2 2x y zO spojené s tělesem tj. soustavě pohyblivé, pak je nutné si uvědomit, že směry vektorů

báze rotující soustavy závisí na čase a časová derivace vektorů báze je obecně různá od nuly. V případě, že pohyblivá souřadná soustava vůči soustavě nepohyblivé rotuje úhlovou rychlostí ω , pak mezi časovou změnou libovolné vektorové veličiny R vyjádřené v nepohyblivé soustavě Ox1y1z1 a v soustavě pohyblivé Ox2y2z2 platí vztah:

1 22 2

d dx

dt dt= +R R

ω R , (7.122)

kde vektory 1 21,

d d

dt dt= = 2

R RR Rɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ mají jako souřadnice časové derivace souřadnic vektorů

R1, R2. 2Rɺ tedy znamená, že se derivují jenom souřadnice vektoru R vyjádřené v soustavě Ox2y2z2 , neprovádí se však již derivace vektorů báze Ox2y2z2, i když je to soustava pohyblivá.

Uvažujme počátek souřadný systém spojený s tělesem Oξη ζ s počátkem ve středu sférického

pohybu, směry os , ,ξ η ζ tohoto souřadného systému ztotožněme se směrem hlavních os setrvačnosti. S použitím identity (7.122) pak v soustavě spojené s tělesem má rovnice (7.121) v maticovém zápisu tvar

2 2 2 2 2 2O = +m I ω Ω I ωɺɺɺɺ . (7.123)


91

Poznámka1: Dynamiku obecného prostorového pohybu bychom řešili jako unášivý pohyb posuvný daný pohybem těžiště ( Tm= 22f a ) a relativní pohyb sférický okolo těžiště

( 2 2 2 2 2 2O = +m I ω Ω I ωɺɺɺɺ ). Řešení těchto rovnic umožní popsat pohyb těžiště a sférický pohyb

kolem těžiště. 7. 4. 2 Technické aplikace sférického pohybu Z hlediska technických aplikací mají základní význam dva zvláštní případy sférických pohybů: 1) Bezsilový setrvačník - těleso je podepřeno v těžišti a výsledné vnější silové účinky vzhledem k této opoře jsou nulové.

2) Těžký symetrický setrvačník - rotačně symetrické těleso je roztočeno velkou úhlovou rychlostí, je podepřeno v bodě své geometrické osy a je podrobeno účinku síly tíže. V případě bezsilového setrvačníku je těleso podepřeno v těžišti tj. síla tíže je v rovnováze s reakcí opory a také moment vnějších gravitačních sil je nulový. Platí tedy

O ==

M 0

F 0 (7.129)

Z toho ovšem vyplývá, že v základním (nepohyblivém) souřadném systému je hybnost i moment hybnosti stálý co do velikosti i co do směru. Stálá je i mechanická energie bezsilového setrvačníku. Platí tedy

( )

2 2 21 1 1

2 2 21 1 1

2 2 2

kE I I I

. I I I konst.

ξ ξ η η ζ ζ

ξ η ζ ξ ξ η η ζ ζ

ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

= + + =

= + + + + =

i j k i j k (7.130)

Průmět výsledné úhlové rychlosti do nositelky momentu hybnosti je tedy také stálý. Z toho pak vyplývá, že roztočíme-li bezsilový setrvačník kolem některé z hlavních os setrvačnosti, bude se kolem ní otáčet jako kolem své stálé osy (aniž by tato osa musela být fixována k rámu ložisky). Podepření setrvačníku v těžišti můžeme nahradit uchycením v Cardanově závěsu (který má možnost tří nezávislých rotací tj. má 30 volnosti). Poloha hlavní osy otáčení pak zachovává svůj směr (vzhledem ke stálicím) bez ohledu na rotaci zemskou a takový setrvačník můžeme využít pro detekci jeho relativních pohybů vůči pohybujícím se objektům.

V případě že počáteční úhlová rychlost neleží na hlavní ose setrvačnosti, není již pohyb rotační, ale sférický. Přitom pro rotačně symetrická tělesa platí, že se jedná o pohyb s rovnoměrnou (regulární) precesí i vlastní rotací; úhel nutace je stálý. Výsledná úhlová rychlost je dána součtem dvou Eulerových rychlostí tj.

= +ω ψɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺϕϕϕϕ (7.131)

Vektory úhlové rychlosti precese, rotace a výsledné úhlové rychlosti leží v případě bezsilového setrvačníku v jedné rovině. Při působení stálé vnější silové dvojice se účinek této dvojice projeví tím, že osa bezsilového setrvačníku se bude stále více přiklánět ke směru vynucené rotace tj. setrvačník se bude snažit změnit vlastní rotaci tak, aby byla souhlasně rovnoběžná s rotací vynucenou. Tímto způsobem např. vysvětlit napřimování původně nakloněné osy dětského vlka roztočeného na vodorovné desce.

V případě těžkého setrvačníku podepřeného pod těžištěm působí při skloněné ose na setrvačník ve směru horizontálním vnější silová dvojice (síla tíže a reakce od opory), která se snaží osu rotace otočit kolem vodorovné osy o. Podle d´Alembertova principu setrvačný moment musí být v rovnováze s momentem sil vnějších sil tj. musí platit s o oI= −M α .


93

Vzhledem k tomu, že setrvačník je těžký (tj. nedochází ke změně velikosti hodnoty vlastní úhlové frekvence), je hodnota precesní frekvence také konstantní. Začne-li na roztočený těžký setrvačník (který má v bodě uchycení pod těžištěm možnost sférického pohybu) působit konstantní vnější moment OM , pak pro existenci kinetostatické rovnováhy

mezi působícími a setrvačnými silovými účinky musí vzniklý gyroskopický moment sOM

být stejně velký, ale opačně orientovaný jako OM .

Pro výklad chování setrvačníku je nutno uvažovat to, že moment hybnosti OB tělesa

souvisí s výsledným momentem OM vnějších sil zcela analogicky jako hybnost H tělesa s

výslednou vnější silou F. Stejně jako setrvačná síla unášivá zapříčiněná akcelerací tělesa je rovna časové derivaci hybnosti, velikostně je rovna výsledné působící síle a je namířena proti ní, tak i setrvačný gyroskopický moment je zapříčiněn pohybem tj. dvěma současnými rotacemi, časová změna momentu hybnosti je rovna výslednému momentu působících sil a je

namířen proti němu. V případě, že uchycení těžkého setrvačníku má 20 volnosti (obr. 7.24a), pak je možné

jej použít k zachování pevného směru vůči rotující Zemi a nazývá se gyrokompas. U gyrokompasů je setrvačník roztočen vysokou úhlovou rychlostí 1(2000 4000) rad.sϕ −= −ɺɺɺɺ ,

precesní rychlost je určena rotací Země tj. 5 17,27.10 rad.sZψ ω − −= =ɺɺɺɺ . Vzniklý gyroskopický moment MG se snaží natočit osu setrvačníku tak, aby byla rovnoběžná s osou Země. Působením závaží popř. pružinou je však osa setrvačníku udržována v horizontální rovině tj. ve směru tečny k poledníku (obr. 7.24b). Vzhledem k tomu, že precesní pohyb osy setrvačníku souhlasí s pohybem Země, relativní pohyb osy vůči Zemi je nulový a osa gyroskopu míří neustále směrem k zemskému pólu.

Těžký setrvačník má podle předpokladu velký moment setrvačnosti a jeho rotační energie je velká, přitom rotace probíhá kolem jedné z hlavních os setrvačnosti tj. ložiska nejsou namáhána setrvačnými silovými účinky. V případě roztočení těžkého setrvačníku na vysokou úhlovou rychlost při vychýlení osy může setrvačník působit na okolí velkými momenty tj. má stabilizační schopnost. Uplatňoval se proto např. jako součást řídících zařízení zamezujících kývání lodi nebo jednokolejových vozidel.

Chceme-li setrvačníkem polohu příslušného technického zařízení stabilizovat, musí být spojení se setrvačníkem takové, aby vyvolané reakce tlumily výkyvy. Např. u lodí, aby se

z2

x1

Obr. 7. 23


95

Řešení: Úhel nutace je υ=900 , vztah pro gyroskopický moment 0 0GM Iϕ ψ= ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ tedy platí

přesně. Předpokládáme pravotočivý směr otáčení turbiny. Gyroskopický moment působí kolmo na vektory precese i rotace a musí být v rovnováze s reakcemi v ložiskách. Platí

tedy 0 00 GA G A B

M IF l M F F

l l

ϕ ψ− = ⇒ = = =ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ

=

=4169N

7_Dynamika_Tuheho_Telesa53-95

Documents

Transcript of 7_Dynamika_Tuheho_Telesa53-95