Nastavna jedinica 4.24 :

Totalna verovatnoća, Bajesova teorema Pretpostavimo da se dogadjaji medju sobom iskljucuju i da cine potpun sistem dogadjaja ( vezan za dati eksperiment. Kako se pri realizaciju eksmerimenta mora realizovati bar jedan od dogadjaja to se i proizvoljan dogadjaj A mora realizovati bar sa jednim od njih.

1 2, , , nH H H…)1 2 nH H H U+ + + =

1 2, , , nH H H…

Sledi: ( )1 2 1 2n nA UA H H H A H A H A H A= = + + + = + + + pri cemu se i dogadjaji medju sobom iskljucuju. Prema teoremi zbira verovatnoca imamo:

1 2, , , nH A H A H A…

1 2( ) ( ) ( ) ( )nP A P H A P H A P H A= + + + ili, koristeci teoremu proizvoda verovatnoca, dobijamo: 1 1 2 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )n nP A P H P A H P H P A H P H P A H= + + + Ova formula je poznata pod nazivom formula totalne verovatnoce. Teorema 1. Bajesova teorema. Ako se dogadjaji medju sobom iskljucuju i cine potpun sistem dogadjaja iz polja S koje odgovara eksperimentu, i ako je A proizvoljan dogadjaj iz S takav da je

1 2, , , nH H H…

( ) 0P A ≠ , onda je:

1 2

( )( | ) , 1,2, ,( ) ( ) ( )

ii

n

P H AP H A i nP H A P H A P H A

= =+ + +

…

Prema definiciji uslovne verovatnoce imamo:

( )( | ) , 1,2, ,( )

ii

P H AP H A i nP A

= = …

odakle se , zamenom verovatnoce P(A) iz formule o totalnoj verovatnoci, dobija gornja formula. Za izracunavanje verovatnoce mozemo koristiti apriornu verovatnocu i uslovnu verovatnocu dogadjaja A, pod uslovom da se realizovao dogadjaj , jer je prema teoremi proizvoda verovatnoca:

( )iP H A ( )iP H

iH

( ) ( ) ( | ), 1,2, ,i i iP H A P H P A H i n= = … Bajesova formula moze se sada napisati i u obliku:

1 1 2 2

( ) ( | )( | )( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

1,2, ,

i ii

n n

P H P A HP H AP H P A H P H P A H P H P A H

i n

=+ + +

= …

,

3

Na levoj strani formule su verovatnoce hipoteze pod uslovom da se realizovo dogadjaj A. One se u ovoj formuli izrazene pomocu verovatnoca hipoteza i uslovnih verovatnoca dogadjaja A pod uslovom da su se realizovale hipoteze .

iH

1 2, , , nH H H…

1 2, , , nH H H… Primer 1. U nekoj fabrici 30 odsto proizvodnje otpada na masinu A, 25 odsto na masinu B i ostalo na masinu C. Na masini A se pojavljuje 1 odsto skarta, na masinu B – 1,2 i na masinu C – 2 odsto skarta. U toku dana ove tri masine proizvedu 10000 jedinica proizvodnje. a) Kolika je verovatnoca da ce slucajno izabran proizvod od tih 10000 proizvoda biti skart? b) Ako je izabrani proizvod skart, kolika je verovatnoca da je on proizveden: na masini A; na masini B; na masini C? Rešenje: Oznacimo sa sledece dogadjaje: 1 2, , ,A H H H A - izabrani proizvod je skart,

1H - izabrani proizvod je proizveden na masini A,

2H - izabrani proizvod je proizveden na masini B,

3H - izabrani proizvod je proizveden na masini C. Prema uslovima zadatka imamo:

1 1

2 2

3 3

( ) 0.30, ( | ) 0.010( ) 0.25, ( | ) 0.012( ) 0.45, ( | ) 0.020

P H P A HP H P A HP H P A H

= == == =

a) Verovatnoca da je izabrani proizvod skart jednaka je, prema formuli:

( ) 0.30 0.010 0.25 0.012 0.45 0.020

0.003 0.003 0.009 0.015P A = ⋅ + ⋅ + ⋅

= + + ==

b) Pre nego sto je proizvod izabran iz celokupne dnevne proizvodnje i proveren, verovatnoce da je taj slucajno izabrani proizvod proizveden na masini A, B i C jednake su respektivno 0.30, 0.25 i 0.45. Pomocu Bajesove formule vidimo da se ove verovatnoce menjaju posle posle dobijanja dopunske informacije o tome da je izabrani proizvod skart. Te nove verovatnoce jednake su:

1 11

2 22

3 33

( ) ( | ) 0.003( | ) 0.20( ) 0.015

( ) ( | ) 0.003( | ) 0.2( ) 0.015

( ) ( | ) 0.009( | ) 0.60( ) 0.015

P H P A HP H AP A

P H P A HP H AP A

P H P A HP H AP A

= =

= =

= =

0

=

=

=