7

•El estudio de la física

•Sistema de unidades

•Mecánica y fuerzas

•Estática

•Cinemática

•Dinámica

•Hidrostática e hidrodinámica

•Temperatura y dilatación

•Cambios de estado

•Termodinámica

•Movimiento ondulatorio

•Acústica

•Óptica

•La luz y el color

•Física nuclear

•Electrostática y electrodinámica

•Magnetismo

y electromagnetismo

•Electrónica

FÍSICAFÍSICA

R

P

R

P

F

– F

Conceptos generales

Fenómenos naturales y objeto de la física

El conocimiento del medio que le rodea es una cuestiónque ha preocupado al hombre desde los albores de suexistencia. Las causas de los fenómenos naturales, los ci-clos que rigen el devenir de los astros y los océanos, losmisterios de la acción y la inacción, el tiempo y el espa-cio, han sido desde siempre fuente de especulaciones má-

gicas y estudios filosóficos, de la expresión poética delmito y del rigor sistemático de la ciencia.

La física, una disciplina científica con la misión de res-ponder a las preguntas sobre la realidad del mundo, pre-tende desvelar las causas de la diversidad de las formasnaturales, la relación entre materia y energía o el origen ysentido del tiempo, entre otras muchas cuestiones. En unadefinición más formal se diría que la física es la rama dela ciencia dedicada al estudio de los objetos inanimadosy los factores que pueden modificar su condición sin al-terar su naturaleza propia y distintiva.

EL ESTUDIO DE LA FÍSICA

Fenómenos naturales como las descargas eléctricas que se desencadenan durante las tormentas constituyeron la referencia inmediata para los estudios físicos en la antigüedad.

Fotografías de cabecera: dispositivo centrífugo de bombeo (izq.) e imagen del reactor de la central nuclear de Zorita, España (der.).

Varios son los adjetivos que podrían completar la des-cripción de este área del saber. Así, la física es una cienciafenomenológica, por cuanto su principal objetivo es el es-tudio de los fenómenos naturales para poder conocer losprincipios que los gobiernan. Y también una ciencia ob-servacional, ya que es en la observación paciente de estosfenómenos donde se asientan sus logros, y experimental,porque no se puede considerar suficientemente conocidonada que no se consiga reproducir.

Sobre esta base, el edificio de la física se ha construido entorno a dos pilares fundamentales: la aplicación de una me-todología científica sólida y estructurada y el empleo de unlenguaje altamente especializado, fundamentalmente ma-temático, que le ha permitido expresar con precisión las cadavez más abstractas y complejas nociones que manejaba.

Con este espíritu, se ha vivido en el curso de la historiauna notable evolución en las diversas disciplinas de la fí-sica. Al estudio de temas clásicos, como la mecánica delos cuerpos, el calor o la luz, se han añadido en los últi-mos siglos nuevos conceptos (electricidad, magnetismo,el átomo y sus partículas) y sistematizaciones teóricas (re-latividad general, mecánica cuántica).

En la física actual se vive un proceso simultáneo dedisgregación y unificación. Por una parte, el gradode detalle alcanzado en el conocimiento de los fenóme-nos ha conducido a una notable complejidad de losmodelos propuestos e, inevitablemente, a la especiali-zación de los científicos. Pero al mismo tiempo, el es-

fuerzo de los investigadores se ha dirigido a la bús-queda de las causas primordiales en las que se funda-mentarían los fenómenos físicos en sus variadísimasmanifestaciones.

Según este enfoque, todos los procesos de la naturale-za, aunque aparentemente tan diferentes como el peso, ladilatación de los cuerpos o el estallido del trueno y el re-lámpago, obedecerían a unas leyes universales comunescuyo descubrimiento es misión última de la física. En suslargos siglos de investigación, los físicos han concluidoque existen tan sólo cuatro tipos de interacciones funda-mentales que dan origen a todos los fenómenos natura-les conocidos:

– La interacción gravitatoria, responsable de la atrac-ción mutua entre los cuerpos dotados de masa y cuyosefectos más visibles son la gravedad y el orden que go-bierna el movimiento del Sol, sus planetas y, en definiti-va, los cuerpos celestes.

– La interacción electromagnética, manifiesta en loshechos que estudian la electricidad, el magnetismo y laóptica (la luz es una forma de radiación electromagné-tica).

– La interacción fuerte, que sostiene el armazón de losátomos y evita que los núcleos de éstos, base de toda lamateria conocida, se disgreguen o destruyan.

– La interacción débil, que rige ciertos acontecimientosmuy particulares detectados a escala subatómica.

4 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

Rama Subdivisiones Tema que estudia

Mecánica Fuerzas: Estática Las leyes del movimiento de la materiaCinemáticaDinámica

Fluidos: HidrostáticaHidrodinámica

Electricidad y magnetismo Electrostática Las cargas eléctricas, su corriente y Electrodinámica la interacción entre sus campos eléctricos Electromagnetismo y magnéticos

Electrónica Los procesos afectados por el calor Termología Temperatura o la temperatura

CalorimetríaTermodinámica

Óptica Lentes La producción, absorción y Fotometría propagación de las ondas visiblesColorimetría

Acústica Acústica arquitectónica La producción, absorción y propagación Acústica ambiental de las ondas sonoras

Ondulatoria Ondas elásticas Las ondas producidas por el sonido y Ondas inelásticas las vibraciones

Física nuclear Física atómica Las propiedades y leyes del átomoFísica de partículas

Ramas de la física

____________________________________________________________________________________________ El estudio de la física 5

1901 W. C. Röntgen (Alemania)1902 H. A. Lorentz (Holanda)

P. Zeeman (Holanda)1903 A. H. Becquerel (Francia)

P. Curie (Francia)M. Curie (Francia)

1904 J. W. S. Rayleigh (Gran Bretaña)1905 P. E. A. Lenard (Alemania)1906 J. J. Thomson (Gran Bretaña)1907 A. A. Michelson (EE. UU.)1908 G. Lippman (Francia)1909 G. Marconi (Italia)

C. F. Braun (Alemania)1910 J. D. Van Der Waals (Holanda)1911 W. Wien (Alemania)1912 N. G. Dalén (Suecia)1913 H. Kamerlingh-Onnes

(Holanda)1914 M. Von Laue (Alemania)1915 W. H. Bragg (Gran Bretaña)

W. L. Bragg (Gran Bretaña)1916 No otorgado1917 C. G. Barkla (Gran Bretaña)1918 M. K. E. L. Planck (Alemania)1919 J. Stark (Alemania)1920 C. E. Guillaume (Suiza)1921 A. Einstein (germano-suizo)1922 N. Bohr (Dinamarca)1923 R. A. Millikan (EE. UU.)1924 K. M. G. Siegbahn (Suecia)1925 J. Franck (Alemania)

G. Hertz (Alemania)1926 J. B. Perrin (Francia)1927 A. H. Compton (EE. UU.)

C. T. R. Wilson (Gran Bretaña)1928 O. W. Richardson (G. Bretaña)1929 L. V. de Broglie (Francia)1930 C. V. Raman (India)1931 No otorgado1932 W. Heisenberg (Alemania)1933 E. Schrödinger (Austria)

P. A. M. Dirac (Gran Bretaña)1934 No otorgado1935 J. Chadwick (Gran Bretaña)1936 V. F. Hess (Austria)

C. D. Anderson (EE. UU.)1937 C. J. Davisson (EE. UU.)

G. P. Thomson (Gran Bretaña)1938 E. Fermi (Italia)1939 E. O. Lawrence (EE. UU.)1940 No otorgado1941 No otorgado1942 No otorgado1943 O. Stern (EE. UU.)1944 I. I. Rabi (EE. UU.)1945 W. Pauli (Austria)

1946 P. W. Bridgman (EE. UU.)1947 E. V. Appleton (Gran Bretaña)1948 P. M. S. Blackett (Gran Bretaña)1949 H. Yukawa (Japón)1950 C. F. Powell (Gran Bretaña)1951 J. D. Cockcroft (Gran Bretaña)1952 F. Bloch (EE. UU.)

E. M. Purcell (EE. UU.)1953 F. Zernike (Holanda)1954 M. Born (Gran Bretaña)

W. Bothe (R. F. Alemania)1955 W. E. Lamb (EE. UU.)

P. Kusch (EE. UU.)1956 W. Shockley (EE. UU.)

J. Bardeen (EE. UU.)W. H. Brattain (EE. UU.)

1957 C. N. Yang (China)T. D. Lee (China)

1958 P. A. Cerenkov (URSS)I. M. Frank (URSS)I. J. Tamm (URSS)

1959 E. G. Segré (EE. UU.)O. Chamberlain (EE. UU.)

1960 D. A. Claer (EE. UU.)1961 R. Hofstadter (EE. UU.)

R. L. Mössbauer (R. F. Alemania)1962 L. D. Landau (URSS)1963 E. P. Wigner (EE. UU.)

M. Goeppert-Mayer (EE. UU.)J. H. D. Jensen (R. F. Alemania)

1964 Ch. H. Townes (EE. UU.)N. G. Basov (URSS)A. M. Prochorov (URSS)

1965 S. I. Tomonaga (Japón)J. Schwinger (EE. UU.)R. P. Feynman (EE. UU.)

1966 A. Kastler (Francia)1967 H. A. Bethe (EE. UU.)1968 L. W. Álvarez (EE. UU.)1969 M. Gell-Mann (EE. UU.)1970 H. Alfvén (Suecia)

L. Néel (Francia)1971 D. Gador (Gran Bretaña)1972 J. Bardeen (EE. UU.)

L. N. Cooper (EE. UU.)J. R. Schrieffer (EE. UU.)

1973 L. Esai (Japón)I. Giaever (EE. UU.)B. D. Josephson (Gran Bretaña)

1974 M. Ryle (Gran Bretaña)A. Hewish (Gran Bretaña)

1975 A. Bohr (Dinamarca)B. Mottelson (Dinamarca)J. Rainwater (EE. UU.)

1976 B. Richter (EE. UU.)S. C. C. Ting (EE. UU.)

1977 P. W. Anderson (EE. UU.)F. Mott (Gran Bretaña)J. H. Van Vleck (EE. UU.)

1978 P. L. Kapitsa (URSS)A. A. Penzias (EE. UU.)R. W. Wilson (EE. UU.)

1979 S. L. Glashow (EE. UU.)1980 J. W. Cronin (EE. UU.)

V. L. Fitch (EE. UU.)1981 N. Bloembergerg (EE. UU.)

A. L. Schawlow (EE. UU.)K. M. Siegbahn (Suecia)

1982 K. G. Wilson (EE. UU.)1983 S. Chandrasekhar (EE. UU.)

W. A. Fowler (EE. UU.)1984 C. Rubbia (Italia)

S. Van Der Meer (Holanda)1985 K. Von Klitzing (R. F. Alemania)1986 F. Ruska (R. F. Alemania)

G. Binnig (R. F. Alemania)H. Rohrer (Suiza)

1987 J. G. Bednorz (R. F. Alemania)K. A. Müller (Suiza)

1988 L. M. Lederman (EE. UU.)Schwartz (EE. UU.)J. Steinberger (EE. UU.)

1989 N. F. Ramsey (EE. UU.)H. G. Dehmelt (EE. UU./

Canadá)W. Paul (R. F. Alemania)

1990 J. I. Friedman (EE. UU.)H. W. Kendall (EE. UU.)R. E. Taylor (Canadá)

1991 P. G. de Gennes (Francia)1992 G. Charpak (Francia)1993 R. A. Hulse (EE. UU.)

J. H. Taylor (EE. UU.)1994 B. N. Brockhouse (Canadá)

C. G. Shull (EE. UU.)1995 Martin L. Perl (EE. UU.)

Frederic Reines (EE. UU.)1996 David M. Lee (EE. UU.)

Douglas D. Osherof (EE. UU.)Robert C. Richardson (EE. UU.)

1997 Steven Chu (EE.UU.)Claude Cohen-Tannoudji (Francia)William Phillips (EE.UU.)

1998 Robert B. Laughlin (EE.UU.)Horst L. Störmer (Alemania)Daniel C. Tsui (EE.UU.)

1999 Gerardus’t Hooft (Países Bajos)Martinus J.G. Veltman (Países

Bajos)2000 Zhores I. Alferov (Rusia)

Herbert Kroemer (EE.UU.)Jack Kilby (EE.UU.)

Premios Nobel de física

El premio Nobel es uno de los galardones más importantes que se conceden para premiar las diferentes facetas delpensamiento humano. Fue creado por el científico sueco Alfred Nobel y lo otorga anualmente la Academia sueca. Losganadores del premio Nobel de física, desde 1901, han sido los siguientes:

El objetivo final de los físicos es, pues, formular hipó-tesis que ayuden a interpretar estas interacciones desdeuna concepción unificada. Sólo así podrá llegar a com-prender la esencia íntima de las principales magnitudesque definen los fenómenos físicos: materia, energía, es-pacio y tiempo.

Metodología

Reciben el nombre de métodos los pasos o vías que se uti-lizan para poder llegar a conocer la verdad de un hecho,de una idea o de una hipótesis. El método utilizado en fí-sica es el método científico por excelencia, es decir, el ex-perimental, que permite a los estudiosos descifrar, hastadonde les es posible, los fenómenos investigados.

Dicho método debe cumplir cuatro fases o etapas, queson las siguientes:

– En primer lugar, el investigador debe observar los fe-nómenos tal como se producen en la naturaleza, inten-tando acumular la mayor información posible sobre losmismos y captando todas las circunstancias de lugar ytiempo que influyen sobre dichos fenómenos.

– A continuación, el científico debe intentar reproducirel fenómeno estudiado de la forma más fiel posible y enigualdad de condiciones para poder así relacionar todoslos factores que puedan intervenir.

– El siguiente paso es el más importante, ya que el cien-tífico debe preguntarse el porqué de los fenómenos que seobservan durante su estudio e intentar establecer una ge-neralización para todos los fenómenos semejantes. Es lafase de la formulación de hipótesis y de la puesta en prác-tica de los procedimientos oportunos para su demostra-ción. Cuando esta última se consigue, se formula lacorrespondiente tesis, es decir, una propuesta de explica-ción concreta sostenida con argumentos demostrables.En caso contrario, cuando la hipótesis no puede demos-trarse con un grado de validez y fiabilidad suficientes, elproceso vuelve a empezar.

– El último paso es el de comunicar a toda la comuni-dad científica los resultados obtenidos de las investiga-ciones para así poder contrastar, confirmar o rectificar loenunciado.

Cuando la comunidad científica establece distintas hi-pótesis para explicar un determinado fenómeno surgenlas teorías, como, por ejemplo, las que se han producidoen los últimos años sobre el origen del universo.

6 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

_Preguntas de repaso

1. ¿Por qué se dice que la física es una ciencia feno-menológica?

2. ¿En qué se diferencia una hipótesis de una tesis?3. ¿Qué tema estudia la mecánica?

Central generadora de energía atómica en Tokai-Mura, Japón.Desde la segunda mitad del siglo XX, la investigación científicasobre la utilización de la energía nuclear ha experimentadoespectaculares avances.

SISTEMASDE UNIDADES

Conceptos generales

Unidades y magnitudes

Uno de los objetivos de la física es medir, interpretar y re-lacionar los resultados de las medidas entre sí y con otrasmagnitudes que no pueden ser directamente mensura-bles. Otro de sus objetivos es deducir las leyes cuantitati-vas que pueden obtenerse de estas relaciones y que debenpoder probarse con nuevas mediciones.

En el mundo de la física, el término magnitud se utili-za para poder trabajar y operar con todas las propieda-des que sean observables y mensurables y que ademáspuedan expresarse cuantitativamente. Se entiende pormagnitud física toda característica de los cuerpos que sepuede medir y comparar con otra de la misma naturale-za. Cada magnitud o tipo de magnitudes posee una seriede unidades de medida por ejemplo, el metro en longi-tud o el kilogramo en masa que se adopta arbitraria-mente para poder comparar con ella las distintas medi-ciones de la misma especie.

Estas comparaciones son posibles gracias a la medicióno medida, con la que se puede comprobar el número deveces que una determinada magnitud integra a su uni-dad. Para que una medición sea válida y admisible es ne-cesario que haya sido determinada por medio de unida-des elementales, constantes, repetibles e inalterables.

Por ejemplo, si se afirma que un partido de fútbol hadurado 90 minutos, ello significa que duró lo que un re-loj tarda en medir ese tiempo. En este caso, la magnitudmedida es el tiempo, la unidad de medida es el minuto yel reloj es un patrón, más concretamente un patrón secun-dario, dado que el minuto no se define según las propie-dades de dicho reloj. Todos los instrumentos de medidase calibran directa o indirectamente en función de los pa-trones primarios de longitud, tiempo y masa establecidospor la comunidad científica internacional.

El resultado de la medición es la medida de la magni-tud y suele expresarse con un número, seguido del sím-bolo de la unidad utilizada. Estas medidas reciben elnombre de directas.

La definición de los patrones primarios se ha modifica-do a lo largo del tiempo debido a la mayor precisión de

las medidas. El metro, por ejemplo, que es la unidad delongitud, se definió incialmente en 1889 como la longitudde una determinada barra de platino iridiado mantenidaen unas condiciones fijas. Este patrón se desechó en 1960porque su conservación y reproducción resultaban muydifíciles y estaban sujetas a imprecisiones. Hoy en día, lalongitud patrón se toma de la longitud de onda de la ra-diación rojo-anaranjada emitida por los átomos de krip-tón 86 en el interior de un tubo de descarga eléctrica.Como sucede con la longitud, se han establecido patro-nes unitarios para el tiempo y la masa.

Patrón en platino e iridio que determina la masa exacta delkilogramo, conservado en la Oficina Internacional de Pesos yMedidas de Sèvres, Francia.

Fotografías de cabecera: dispositivo centrífugo de bombeo (izq.) e imagendel reactor de la central nuclear de Zorita, España (der.).

En función de estas tres magnitudes fundamentales,que se representan por medio de los símbolos L (longi-tud), T (tiempo) y M (masa), y de sus combinaciones ma-temáticas pueden expresarse todas las demás en el ámbi-to de la mecánica clásica.

Magnitudes fundamentales y derivadas

Como ya se ha comentado, se consideran magnitudes fí-sicas todas las características y propiedades susceptiblesde ser medidas. Las magnitudes físicas se clasifican endos grupos: fundamentales y derivadas. La masa, la lon-gitud, el tiempo y la intensidad eléctrica de corriente sonmagnitudes fundamentales, ya que pueden medirse di-rectamente. Las magnitudes derivadas, en cambio, noson directamente mensurables, sino que se basan en lasfundamentales y se expresan por medio de operacionesmatemáticas denominadas ecuaciones dimensionales(v. más adelante). Entre ellas se encuentran el volumen(longitud elevada al cubo), la velocidad (longitud entretiempo), la densidad (masa entre volumen), la superfi-cie (longitud por longitud) y la presión (masa entre su-perficie).

Sistema Internacional (S.I.)

El Sistema Internacional de medidas nació bajo las direc-trices de la Oficina Internacional de Pesos y Medidascomo modificación del sistema M.K.S. (metro-kilogramo-masa y segundo), al que añade las siguientes unidadesde base: el kelvin para medir temperaturas y la candelapara medir intensidades luminosas.

El origen del S.I. se remonta a 1948, año en el que se ce-lebró la IX Conferencia General de Pesas y Medidas(CGPM). No obstante, hasta la XI CGPM, celebrada en1960, no se establecieron las unidades suplementarias yderivadas, así como las normas para los prefijos de losmúltiplos y submúltiplos de las unidades.

Las unidades básicas que forman el S.I. para cada unade las siguientes magnitudes fundamentales: longitud,masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléc-trica e intensidad luminosa, son, respectivamente: el me-tro, el kilogramo, el segundo, el kelvin, el amperio y lacandela.

En la historia de la física se han dado definicionescada vez más exactas de estas unidades fundamen-tales, pudiendo considerarse como correctas las si-guientes:

Metro (m). El metro es la longitud igual a 1.650.763,73longitudes de onda (λ) de la radiación correspondiente ala transición entre dos niveles 2p10 y 5d5 del isótopo 83 delátomo de kriptón en el vacío.

Kilogramo (kg). El kilogramo es la masa formada poruna aleación de iridio y platino que equilibra un decíme-tro cúbico de agua a la temperatura de 4 ºC pesados enuna balanza de brazos iguales.

Segundo (s). El segundo es la duración de 9.192.631.770períodos de radiación correspondiente a la transición en-tre dos niveles hiperfinos del estado fundamental delisótopo 133 del átomo de cesio.

Kelvin (K). El kelvin es la fracción 1/273,16 de la tem-peratura termodinámica del punto triple del agua y equi-vale a la expresión de un intervalo de temperatura.

Amperio (A). El amperio es la intensidad de unacorriente eléctrica constante que, mantenida en dos con-ductores paralelos y rectilíneos de longitud infinita, desección circular y puestos en el vacío a la distanciade un metro entre uno y otro, produce en dichos con-ductores una fuerza igual a 2 · 10-7 newton por metro delongitud.

Candela (cd). La candela es la intensidad luminosa endirección perpendicular de una superficie de 1/60 cm2

de un cuerpo negro a la temperatura de congelación delplatino, bajo la presión de 101.325 newton por metro cua-drado.

En este mismo sistema se contemplan también las lla-madas unidades suplementarias, que no son ni funda-mentales ni derivadas, sino geométricas y engloban lassiguientes: el ángulo plano (radián) y el ángulo sólido (es-tereorradián).

En la XI Conferencia General de Pesas y Medidas, cele-brada en 1960, se dieron las siguientes definiciones a lasunidades del ángulo plano y del ángulo sólido:

El radián es el ángulo plano que, teniendo su vérticeen el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferen-cia de este círculo un arco de longitud igual al radio.

El estereorradián es el ángulo sólido que, teniendo suvértice en el centro de una esfera, delimita sobre la super-ficie esférica correspondiente un área igual a la de un cua-drado que tiene como lado el radio de la esfera.

Los prefijos adoptados para designar los múltiplos ysubmúltiplos de las unidades son los siguientes:

8 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

Múltiplos Submúltiplos

Factor de Factor dePrefijo Símbolo multipli- Prefijo Símbolo multipli-

cación cación

Deca Da 101 Deci d 10-1

Hecto H 102 Centi c 10-2

Kilo K 103 Mili m 10-3

Mega M 106 Micro µ 10-6

Giga G 109 Nano n 10-9

Tera T 1012 Pico p 10-12

Prefijos de múltiplos y submúltiplos de la unidad

Otros sistemas

En los cálculos físicos se utilizan otros sistemas, ademásdel Sistema Internacional. Los más utilizados (aunque el

básico sea el S.I.) son el Sistema Cegesimal y el SistemaTécnico. Existe también el Sistema fps o británico, quesólo se emplea en el Reino Unido, los Estados Unidos yalgunos países de la Comunidad Británica de Naciones.Este sistema está basado en las unidades pie (f), libra (p)y segundo (s).

En el Sistema Técnico, la fuerza es una magnitud físicafundamental, mientras que la masa se define como unamagnitud derivada. En este sistema, la unidad de masano tiene nombre concreto; se le llama simplemente uni-dad técnica de masa (utm).

Una unidad técnica de masa se define como la masaque adquiere la aceleración de 1 m/s2 al aplicarle la fuer-za de un kilopondio (kp).

El kilopondio o kilogramo-peso (unidad fundamentalde fuerza en el sistema técnico) se define como la fuerzacon que la Tierra atrae al kilogramo-patrón al nivel delmar en el paralelo 45º.

1 kp = 9,80 N

El Sistema Cegesimal se utilizó durante años, sobretodo en la física teórica. Sus unidades fundamentales sonel centímetro (cm), el gramo (gr) y el segundo (s).

La base teórica de este sistema fue expuesta por Max-well en los siguientes términos: Los fenómenos por loscuales la electricidad nos es conocida son de naturalezamecánica y, como consecuencia, deben medirse con lasunidades o patrones mecánicos.

Ecuaciones dimensionales

Las ecuaciones de dimensión de una unidad derivada sonexpresiones simbólicas, que indican la relación que exis-te entre esa unidad y las unidades fundamentales.

En las ecuaciones dimensionales se utilizan los siguien-tes símbolos:

L Dimensiones de longitudM Dimensiones de masaT Dimensiones de tiempo

____________________________________________________________________________________________ Sistemas de unidades 9

Unidades fundamentales

Sistema Longitud Masa Tiempo Fuerza

Sistema Metro Kilogramo SegundoInternacional (m) (kg) (s)

CGS Centímetro Gramo Segundo(Cegesimal) (cm) (g) (s)

Técnico Metro

Segundo Kilopondioo terrestre (m) (s) (kp)

Sistemas y unidades

Tipo Magnitud Unidad Símbolo

Fundamen- Longitud Metro mtales Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo sIntensidad de Amperio A

corrienteeléctrica

Temperatura Kelvin Ktermodin.

Intensidad Candela cdluminosa

Suplemen- Ángulo plano Radián radtarias Ángulo sólido Estereorradián sr

Derivadas Superficie Metro cuadrado m2

Volumen Metro cúbico m3

Densidad Kilogramo por kg/m3

metro cúbicoVelocidad metro por m/s

segundoAceleración metro por m/s2

segundocuadrado

Fuerza Newton NPresión Pascal Pa o N/m2

Potencia Vatio WMomento de Newton por N · m

una fuerza metroTensión Newton por N/m

superficial metroCarga eléctrica Culombio cPotencial Voltio V o W/A

eléctricoCapacidad Faradio F o c/A

eléctricaResistencia Ohmio Ω o V/A

eléctricaInducción Tesla T o Wb/m2

magnéticaFlujo de Weber Wb o V · s

inducciónmagnética

Iluminancia Lux lxFrecuencia Hertz HzActividad Curie Ci

radioactivaEntropía Julio por kelvin S o J/KDensidad de Amperio por A/m2

corriente metrocuadrado

Unidades delSistema Internacional

I Dimensiones de intensidad de corrienteE Dimensiones de intensidad luminosaθ Dimensiones de temperatura termodinámica

Las ecuaciones derivadas, y por tanto sus unidades,pueden relacionarse con las magnitudes fundamentalesya sea directa o indirectamente. Así, la velocidad depen-de directamente de las magnitudes fundamentales, lon-gitud y tiempo.

v = st

siendo s el espacio (o longitud) y t el tiempo.En cambio, el trabajo está indirectamente relacionado con

las magnitudes fundamentales, aunque es posible expre-sarlo en función de ellas por transformaciones sucesivas:

T = F · s = m · a · s = m · v · s = m · s · s = m · s2– – ––––t t2 t2

donde F es la fuerza, a la aceleración, s el espacio (o lon-gitud) y t el tiempo. La última expresión representa el va-lor del trabajo en función de las magnitudes fundamen-tales: masa, longitud (o espacio) y tiempo.

Es habitual representar las magnitudes fundamentalescon letras mayúsculas: M (masa), L (longitud) y T (tiem-po). Si se pone en la expresión última esas letras mayús-

culas y la magnitud de trabajo entre corchetes, se obtienela ecuación de dimensiones del trabajo:

[T] = ML2T -2

que, para la velocidad, sería:

[V] = LT -1

Las unidades que figuran en el denominador se colo-can en el numerador con exponente negativo. Si en algu-na ecuación figura algún valor constante, no se incluyeen la ecuación dimensional, ya que ésta sólo expresa cómovaría una unidad en función de las unidades fundamen-tales.

La ecuación de dimensiones sirve para comprobar lahomogeneidad de las fórmulas. Esta comparación es muyimportante, ya que no es posible sumar dos cantidadesque no sean homogéneas, algo que puede deducirse desus respectivas ecuaciones de dimensiones.

Por tanto, dos ecuaciones son homogéneas si tienen lamisma ecuación de dimensiones, aunque expresen mag-nitudes físicas distintas.

A continuación se recogen de forma gráfica las ecua-ciones dimensionales de las principales magnitudes.

Errores

Siempre que se efectúa una medición, aunque el métodoy los sistemas para realizarla sean de una gran precisión,el resultado numérico obtenido tiene una precisión limi-tada. La medición siempre se ve afectada por alguna in-exactitud o error.

Esta inexactitud o error puede deberse a la impreci-sión inherente a los aparatos utilizados; al procedimien-to indirecto empleado, que también experimenta unacierta imprecisión; a errores accidentales cometidos du-rante la medición; a defectos del medidor utilizado yotros factores.

Los errores cometidos cuando el valor obtenido es ma-yor que el real se denominan por exceso. En caso contra-rio, cuando el valor que se obtiene es menor que el real,se denominan errores por defecto.

Cuando los errores son imputables al operador querealiza la medición (falta de concentración, errores visua-les...), se llaman errores personales. Los que se deben alaparato empleado se denominan instrumentales.

Los errores en una medición pueden ser absolutos o re-lativos:

El error absoluto cometido al realizar una medición esla diferencia entre el valor obtenido (m´) y la medida exac-ta (m):

Ea = m´ – m

10 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

Los registros de presión y temperatura se realizan mediantebarómetros-termómetros como el representado en la imagen.

De esta fórmula puede deducirse que la expresión deuna medida cuyo valor aproximado se ha calculado o co-nocido es:

m = m´ ± Ea

Cuando la medida exacta no se conoce, en la prácticase toma por valor exacto la media aritmética de las medi-das efectuadas. El valor de Ea puede ser positivo (errorpor exceso) o negativo (por defecto).

El error absoluto es una magnitud de la misma natura-leza que la magnitud que se mide y se evalúa en la mis-ma unidad.

Por ejemplo, si se afirma que la medida exacta de una

longitud es L = 38,000 m, se quiere decir que el error ab-soluto cometido es menor que un milímetro, por lo quela medida podría expresarse de la siguiente manera:L = (38,000 ± 0,001) m.

En las medidas, los ceros después de una coma indicansu grado de exactitud. Así, se puede afirmar que para va-lorar un tiempo medido con un cronómetro es más exac-ta la cifra de 27,000 s que 27,00 s, y aún más que simple-mente 27 s.

El error relativo, por su parte, se define como el cocien-te entre el error absoluto y el valor verdadero. En el ejem-plo anterior, el error relativo de la medida (27,00 ± 0,01)sería:

∆ E 0,01 = = 0,00037 ≈ 0,037%E 27,00

____________________________________________________________________________________________ Sistemas de unidades 11

Magnitud Ecuación dimensional

Superficie L2

Volumen L3

Densidad ML-3

Aceleración LT-2

Fuerza LMT-2

Presión L-1MT-2

Energía, trabajo, calor L2MT-2

Potencia L2MT-3

Momento de una fuerza L2MT-2

Tensión superficial MT-2

Carga eléctrica TIPotencial eléctrico L2MT-3I-1

Capacidad eléctrica L-2M-1T4I2

Resistencia eléctrica L2MT-3I-2

Densidad de corriente IL-2

Inducción magnética MT-2I-1

Flujo de inducción magnética L2MT-2I-1

Iluminancia EL-2

Frecuencia T-1

Entropía, capacidad térmica L2MT-2θ-1

Ecuaciones dimensionales


1. Expresar las siguientes mediciones en el SistemaInternacional:

v = 120 km/h.m = 2,5 tm.s = 400 cm2.

2. Deducir si se pueden sumar entre sí las magnitu-des físicas de cantidad de movimiento (m.v) y lade impulso mecánico (F.t).

3. Se ha calculado que la distancia entre dos edifi-cios es de 1.700 m, con un error de ± 2 m; al mis-mo tiempo, se midió la altura de una señal de trá-fico, resultando su valor de 2,35 m, con un errorde ± 2 cm. ¿Cuál de las dos medidas se ha realiza-do con mayor precisión?

Introducción

La mecánica es la parte de la física que estudia los movi-mientos de los cuerpos y las causas que los producen. Lasramas principales de la mecánica son la estática, que es-tudia las fuerzas que provocan el equilibrio de los siste-mas físicos, y la dinámica, o estudio de la acción de lasfuerzas y de los movimientos resultantes.

La fuerza, entendida como origen de todo movimien-to, es un concepto fundamental de la mecánica. Al tratar-se de una magnitud vectorial y antes de entrar en mate-ria conviene repasar los principios de las operaciones conmagnitudes escalares y vectoriales.

Magnitudes escalares y vectoriales

Las magnitudes que se miden en la física pueden ser denaturaleza escalar o vectorial.

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan per-fectamente definidas con la simple especificación de su mó-dulo. Así, se dice que el valor de un trabajo es de 8 julios,sin indicar en qué dirección ni sentido se ha realizado; elloindica que el trabajo es una magnitud escalar.

Estas magnitudes deben su calificativo al hecho de quesus valores pueden representarse en escalas apropiadascon un punto de referencia como origen.

Son magnitudes escalares, entre otras muchas, la lon-gitud, el tiempo, la masa, la densidad, el trabajo, la inten-sidad de corriente y el potencial eléctrico.

(– 4) - (– 3) - (– 2) - (– 1) - (0) - (1) - (2) - (3) - (4)Representación de la longitud como magnitud escalar en una

escala aleatoria

Sin embargo, para definir las magnitudes vectorialesno es suficiente con conocer su módulo. Además, han deespecificarse la dirección, el sentido de la magnitud y elpunto de aplicación.

Magnitud vectorial es, por ejemplo, la velocidad de unmóvil. Si se dijera que un avión está sobrevolando el ecua-

dor, no es suficiente información para conocer su posi-ción. Si se complementa este dato diciendo que vuela enla línea Buenos Aires-Madrid (dirección), todavía no po-dríamos saber si va o vuelve de Madrid, por lo que en-tonces sería necesario además conocer también su senti-do de movimiento.

Además de la velocidad son magnitudes vectoriales lafuerza, la aceleración, el peso de los cuerpos, el campoeléctrico, la cantidad de movimiento, etc.

La representación de las magnitudes vectoriales se rea-liza mediante vectores. Un vector se define como todo seg-mento rectilíneo orientado y compuesto por un módulo,una dirección, un sentido y un punto de aplicación:

El módulo es una longitud que indica, en una escala, el va-lor numérico de la magnitud que representa. En el ejemploilustrado, el vector v tiene un módulo de 3 unidades.

La dirección es la recta sobre la que se extiende el vec-tor. En el ejemplo, sería la horizontal que une los extre-mos A-A’.

El sentido al que apunta el vector se indica mediante elextremo de flecha que posee en uno de los puntos termina-les. En una dirección únicamente existen dos sentidos. Enel ejemplo, el vector apunta de izquierda a derecha (A-A’).

El punto de aplicación es el origen del vector; en elejemplo, el punto O.

Los vectores se denotan con una flecha sobre la letra oletras que lo representan, por ejemplo, v o OA. El módu-lo del vector se representa como |v|.

Tipos de vectores

Vectores fijos o ligados son los que únicamente poseenun punto de aplicación, una dirección y un sentido, porlo que están inmóviles en el espacio.

Vectores libres son los que como punto de aplicacióntienen cualquier punto del espacio, por lo que pueden

Módulo: 3 unidades

A A'vO

MECÁNICAY FUERZAS

MECÁNICAY FUERZAS


trasladarse paralelamente a sí mismos a cualquier puntode origen.

Vectores deslizantes son los que se pueden apoyar encualquier punto de la recta sobre la que se sustenta y se-ñala su dirección.

Vectores equipolentes son los que poseen igual módu-lo y sentido, pero direcciones paralelas. Si dos vectoresposeen igual módulo y direcciones paralelas, pero de sen-tido contrario, forman un par de vectores.

Vectores axiales son los que representan magnitudesasociadas a un movimiento de rotación.

Vectores polares son los que representan magnitudesasociadas a un movimiento de traslación:

Operaciones con vectores

Como antecedente de las operaciones entre vectores pro-piamente dichas, es importante recordar el significado devector equipolente de un vector v. El vector equipolentede v es otro vector de igual módulo, dirección y sentido,pero aplicado en otro punto del espacio.

Suma. En la suma de vectores se pueden producir lossiguientes casos:

1. Suma de dos vectores consecutivos: dados dos vectoresconsecutivos a y b, el vector resultante de la suma s tienecomo origen el punto de partida de a, y como extremo,el de llegada de b:

s = a + b = OB

2. Suma de dos vectores concurrentes: dados dos vectoresconcurrentes a y b, el vector suma s es el que une el ori-gen de a con el extremo de b’, equipolente de b y cuyoorigen es el extremo de a:

s = a + b = a + b’= OA + AB= OB

3. Suma de dos vectores libres: dados dos vectores libresa y b, el vector suma s es el que une el origen de a con

el extremo de b’, equipolente a b y cuyo origen es el ex-tremo de a:

s = a + b = a + b’

Diferencia. En la diferencia o resta de vectores se pue-den producir los siguientes casos:

1. Diferencia de dos vectores consecutivos: se considera la di-ferencia entre a y b como la suma de a con el opuesto de b:

r = a – b = a + (– b)

2. Diferencia de dos vectores concurrentes: la diferenciaentre a y b, es la suma de a con un vector equipolente alopuesto de b:

r = a – b = a + (– b) = a + (– b’)

3. Diferencia de vectores libres: al igual que sucede conlos vectores concurrentes, la diferencia entre a y b, es lasuma de a con un vector equipolente al opuesto de b:

Si se desea sumar o restar tres o más vectores, basta conaplicar la propiedad asociativa y llevar a cabo el procesoexplicado de dos en dos vectores.

El vector obtenido al sumar o restar varios vectores reci-be el nombre de resultante, al ser equivalente a la acción con-junta de sus diversos componentes. Así, puede decirse quela composición de varios vectores es equivalente a su suma.

Al igual que de varios vectores puede obtenerse la re-sultante de su suma, también es factible el paso inversoconsistente en descomponer vectorialmente un vector envarios, una técnica de gran interés para la resolución deproblemas:

r

x

y

r2

r1

r

b

– b'

ar

– b

ab

b

ar

– b

– b

b

ar

– b

a s

b'

b

ba

a s

b

b'

Oa b B

A

Os

A O a A

sb

B

vector deslizante

v

vo'

ovector fijo

v

vector libre

vv

o'

o

par de vectores

a

bvectores axiales

a b

____________________________________________________________________________________________ Mecánica y fuerzas 13

descomposición vectorial del vector r, obteniéndose r1 y r2

Producto de un escalar por un vector. El producto deun escalar n por un vector r es otro vector cuya direccióncoincide con la de r, al igual que su sentido si el escalar espositivo (el sentido será opuesto si tiene signo negativo).El módulo del resultado es igual al producto del escalar npor el módulo de r.

Por tanto, el vector nr queda determinado por:

Módulo = |nr|.Dirección = la misma que la de r.Sentido = si n > 0, el mismo que r; si n < 0, el opuesto a r.

Producto escalar de dos vectores. Al realizar el produc-to escalar de dos vectores se obtiene un escalar. El resul-tado de esta operación es el producto de los módulos delos vectores que se multiplican por el coseno del ánguloque forman entre ellos:

a · b = |a| · |b| · cos α

Producto vectorial de dos vectores. El producto vecto-rial de dos vectores v1 y v2 es un nuevo vector de direc-ción perpendicular al plano formado por v1 y v2, cuyosentido es el del avance de un tornillo o un sacacorchosque girase de v1 hacia v2, y su módulo se obtiene por elproducto de v1 por v2 y por el seno del ángulo que forman:

|v1 v2| = |v1| · |v2| · sen α

Doble producto vectorial. El producto vectorial de v1por el producto vectorial de v2 y v3 es igual al valor esca-lar resultante del producto escalar del primer y el tercervector por el segundo menos el producto escalar del pri-mer y el segundo vector por el tercero. Expresado en tér-minos matemáticos:

v1 ( v2 v3) = ( v1 · v3) · v2 – ( v1 · v2) · v3

Concepto de fuerza

La fuerza se puede definir como una magnitud vectorialcapaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modifi-car su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movi-miento si estaban inmóviles (efecto dinámico). Tambiénel peso se considera una fuerza, ya que se manifiesta dela misma forma, a pesar de sus particularidades.

El concepto de fuerza, a pesar de ser uno de los más im-portantes en el estudio de la física, no siempre se utilizacorrectamente. Para definir una fuerza es preciso consi-derar cuatro parámetros, que son:

1. Punto de aplicación. Punto del cuerpo sobre el quese aplica la fuerza.

2. Dirección. Recta sobre la que actúa la fuerza y a tra-vés de la cual se desplazará el cuerpo.

3. Sentido. Cada una de las dos posibilidades que tienela fuerza de orientarse sobre el eje señalado por su dirección.

4. Intensidad. Medida de la fuerza con respecto a unvalor unitario que se admite por convenio. En el SistemaInternacional, la unidad de fuerza es el newton.

Como puede verse por los parámetros que definen auna fuerza, se trata de una magnitud vectorial y, por tan-to, cumple todas las propiedades de los vectores.

Momento de una fuerza

Las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, además de pro-ducir en él deformaciones y traslaciones, también pue-den rotar en torno a un punto o un eje para dar lugar almomento de una fuerza. Algunos ejemplos cotidianos deestos momentos de fuerzas son abrir o cerrar puertas yventanas, girar las ruedas de un coche, etc.

En lenguaje formal, se llama momento de una fuerzarespecto de un eje perpendicular a la fuerza al productode la distancia del eje a la dirección de la fuerza por la in-tensidad de dicha fuerza.

De esta definición se deduce que el efecto de la fuerzavaría con la distancia al eje de giro, por lo que será másfácil abrir una puerta cuanto más lejos de la bisagra seaplique la fuerza.

El momento de una fuerza es una magnitud vectorial;el vector que la representa es perpendicular al plano queforma la distancia al eje y la fuerza:

MOF = XO F1 = XB F2

XBO

F2 F1

v2v

v2

v1

α

14 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________


1. Calcular el producto escalar y vectorial entre v y w:

2. Decir si las siguientes afirmaciones son verdade-ras o falsas:a) Una fuerza única no produce equilibrio.b) La estática estudia las fuerzas como causantes

del equilibrio de los cuerpos.c) Dos fuerzas son concurrentes cuando sus direc-

ciones pasan por un mismo punto de aplicación.

90º

w

v

a estática es la parte de la mecánica que estudia laacción de las fuerzas como causantes del equilibrio

de los cuerpos.

Equilibrio de un sólido

Un sólido está en equilibrio estático cuando todas aque-llas fuerzas que actúan sobre él no modifican su estadode reposo, por lo que su resultante y el momento de lasfuerzas deben ser nulos:

Σ Fi = 0 ΣMi = 0

Si un sólido que está sometido a dos fuerzas permaneceen equilibrio, ello indica que dichas fuerzas tienen el mis-mo módulo, igual dirección y son de sentido contrario.

Por ejemplo, si se suspende un sólido de un solo pun-to, dicho sólido permanecerá en equilibrio por el efectode dos fuerzas: su peso, que se aplica sobre su centro degravedad (c.d.g.), y la fuerza de reacción que ejerce elpunto de apoyo sobre el cuerpo:

De igual forma, si el sólido se mantiene en equilibriosobre una superficie horizontal, dicho equilibrio se pro-duce por el efecto de dos fuerzas de igual módulo y di-rección y sentido contrario. Una de las fuerzas es su pesoaplicado en el centro de gravedad, y la otra es la reacciónnormal del plano, que se aplica en el mismo punto:

Par de fuerzas

Se denomina par de fuerzas al resultado de aplicar enpuntos diferentes dos fuerzas iguales en intensidad, pa-ralelas y de sentido opuesto.

El efecto de un par de fuerzas aplicado sobre un cuerpoda una resultante de valor nulo. El efecto que se produceen el cuerpo no es de traslación, sino de rotación. Así, seinfiere que los movimientos de rotación de los cuerposse deben a la acción sobre ellos de un par de fuerzas.

Momento de un par de fuerzas. El módulo de un mo-mento de un par de fuerzas es igual al producto del bra-zo del par por la intensidad de una de las fuerzas (ambasfuerzas son de igual intensidad):

M = d · Fd = XY · sen α

M = XY · sen α · F

El momento de un par de fuerzas es una magnitud vec-torial; el vector que lo representa es, por tanto, perpen-dicular al plano formado por las dos fuerzas y su sentidose corresponde con el producido al avanzar un tornilloque girase con el par.

El sentido del par se caracteriza por el sentido de giro,el cual se establece previamente. Por convenio se sueleconsiderar como giro positivo el que tiene lugar en senti-do contrario a las agujas del reloj.

Dos pares de fuerzas se consideran equivalentes si susmomentos son iguales:

M1 = 2 · 8 = 16 M2 = 4 · 4 = 16F F'

– F – F'

Xd

α

Y

F

– F

N = – P

N

P

F

P

F = – P

L

ESTÁTICA


Por su parte, dos pares de fuerzas se equilibran entre sícuando sus momentos tienen un mismo módulo y sonmutuamente opuestos (giran al revés):

M1 = 5 · 4 = 20 M2 = 2 · 10 = 20

Centro de gravedad

En la naturaleza, las fuerzas que actúan sobre casi to-dos los cuerpos se ejercen sobre los diferentes puntosde dichos cuerpos. Por ejemplo, todas las partículas deun sólido son atraídas por la Tierra por una fuerza iguala los pesos de la totalidad de las partículas que lo com-ponen:

No obstante, es posible sustituir, en un plano teórico,el efecto de todas las fuerzas por una sola resultante desu acción conjunta. La resultante determina el peso, la di-rección y el sentido de la fuerza. Al punto de aplicaciónde esta fuerza resultante se le denomina centro de grave-dad (c.d.g.) del cuerpo.

El centro de gravedad no tiene por qué estar localizadoen el propio cuerpo. Así, el centro de gravedad de una es-fera hueca se situaría en el centro geométrico de la esfera,análogamente a lo que sucede con un anillo, que tendríasu centro de gravedad en su centro geométrico:

Pues bien, para que un cuerpo se encuentre en equili-brio estable, la línea vertical proyectada desde su centrode gravedad debe pasar por su base:

en equilibrio no en equilibrio

Por otra parte, para incrementar la estabilidad de uncuerpo se debe procurar que su centro de gravedad estélocalizado lo más bajo posible y que su base sea muy an-cha. Un claro ejemplo de ello lo constituyen los automó-viles deportivos, que suelen ser muy bajos y de anchuraconsiderable para garantizarles que sean más estables yveloces:

Objetos ordenados de mayor a menor estabilidad

Máquinas

En física, se califica de máquinas simples a la polea, el tor-no, la palanca y el plano inclinado.

Todos estos mecanismos se utilizan para contrarrestarlos efectos de unas fuerzas llamadas resistentes (Fr) pormedio de la acción de otras denominadas motrices (Fm).

Gracias a las máquinas es posible vencer grandes fuer-zas resistentes aplicando pequeñas fuerzas motrices. Porejemplo, en una mudanza un solo empleado será capazde subir a un octavo piso un mueble mediante la utiliza-ción de una polea.

Agrupando en dos resultantes, por un lado, todas lasfuerzas resistentes y, por otro, las motrices, se obtiene ladenominada magnitud de desarrollo mecánico. El desarro-llo mecánico (Dm) es la capacidad de una máquina paratransformar fuerzas, y se expresa mediante la siguientefórmula:

Dm = Fr / Fm

Polea

La polea simple es una máquina compuesta por un discoacanalado giratorio de un eje fijo sostenido por un estriboy fijado a un soporte. Por el canal del disco se hace pasaruna cuerda que, por un extremo, sujetará el objeto que sedesplaza; en el otro extremo se aplicará la fuerza motriz.

Con la polea no se logra reducir la fuerza motriz (sinconsiderar rozamientos), sino que se busca cambiar la di-rección de la fuerza resistente y hacer su aplicación máscómoda.

Para reducir la fuerza resistente se pueden montar va-rias poleas consecutivas, con lo que se logra distribuir laresistencia por todos los puntos de la cuerda. Estas má-quinas reciben el nombre de polispastos:

c.d.g. c.d.g.

c.d.g. c.d.g.

c.d.g. c.d.g.

•c.d.g.

•c.d.g.

• •

• •

•

• •

•

• •

c.d.g. R

F F'

– F – F'

16 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

Torno

El torno es una máquina provista de dos discos acanala-dos y que atraviesan el mismo eje, sujetos por un estriboque está fijado a un soporte. Con el torno se consigue re-ducir la acción de la fuerza motriz. En él se cumple que:

P1 · r = P2 · R

Palanca

La palanca se puede definir como una máquina que úni-camente consta de una barra rígida que oscila sobre unpunto de apoyo. Su desarrollo mecánico puede calcular-se simplemente mediante el equilibrio de todas las fuer-zas y momentos que actúan sobre ella.

Matemáticamente se expresa así:

| R| · l1 · cos α – | F| · l2 · cos α = 0

Este cálculo se considera ideal, dado que se despreciantodas las fuerzas de rozamiento, que complicarían consi-derablemente estas sencillas expresiones.

Las palancas se clasifican en tres grupos:

– Palancas de primera especie, que tienen el punto deapoyo entre la fuerza resistente y la motriz. Ejemplosde esta categoría son los alicates y la balanza.

– Palancas de segunda especie, con la fuerza resistentesituada entre el punto de apoyo y la fuerza motriz. Las

pinzas para mariscos son un ejemplo ilustrativo de estaclase de palanca.

– Palancas de tercera especie, cuya fuerza motriz se en-cuentra entre el punto de apoyo y la fuerza resistente,como sucede, por ejemplo, en las pinzas para hielo.

Plano inclinado

El plano inclinado considerado como máquina es simple-mente un plano rígido en posición oblicua (ni horizontalni vertical).

Si la fuerza motriz es paralela a la del plano, para quese alcance el equilibrio es necesario que la relación entreesta fuerza motriz (F) y la resistente (R) sea igual a la es-tablecida entre la altura del plano (h) y su longitud (l):

=

Si la fuerza motriz es paralela a la base del plano incli-nado, para que se alcance el equilibrio es necesario que larelación entre la fuerza motriz (F) y la resistente (R) seaigual a la formada entre la altura (h) y su longitud de labase del plano (b):

= hb

FR

R

F

h

b

R

hl

FR

R

l

F

h

R

αl1

l2

R

F

P1

R

P2

r

R

P

R

P

F

– F

______________________________________________________________________________________________________ Estática 17


1. Calcular la intensidad y el punto de aplicación dela resultante que equilibra a dos fuerzas paralelasy del mismo sentido, que actúan en los extremosde una barra de un metro y que tienen unas inten-sidades de 50 y 25 N.

2. Un niño quiere abrir una puerta de 80 cm de an-cho, haciendo para ello una fuerza perpendiculara la puerta de 25 N desde su extremo. Mientras tan-to, el padre intenta impedírselo haciendo una fuer-za de 60 N a una distancia de 20 cm del eje. Deter-minar si la puerta terminará por abrirse o no.

e llama cinemática a la rama de la física que estudialos movimientos y las leyes que los rigen, indepen-

dientemente de las causas que los hayan producido.

Elementos del movimiento

En física se puede definir el movimiento como el cambio con-tinuo de posición de una partícula. Este cambio de posiciónrecibe el nombre de desplazamiento, por lo que puede decir-se que el desplazamiento es originado por un movimiento.

Para completar un desplazamiento, un cuerpo pasa poruna serie de puntos consecutivos que configuran una tra-yectoria. Si la unión de todos los puntos que definen undesplazamiento constituye una trayectoria recta, el mo-vimiento se dice rectilíneo. De igual forma, si la trayecto-ria es curva, el movimiento se llama curvilíneo. Al con-trario que en los rectilíneos, en un movimiento curvilíneola trayectoria y el desplazamiento no coinciden:

Para la consumación de cualquier movimiento, por bre-ve que éste sea, se necesita un tiempo determinado. Así,podría decirse que un cuerpo se mueve cuando su posi-ción con respecto a un sistema de referencia varía con eltiempo.

El sistema de referencia permite localizar y ubicar en elespacio cualquier partícula que se desplace. El sistema de

referencia puede ser absoluto o relativo, según se definacon ejes de referencia fijos o determinados con respecto aotros puntos de referencia.

Para situar una partícula en el espacio se suelen utili-zar ejes cartesianos perpendiculares entre sí, que se iden-tifican con los símbolos X, Y, Z. Si, en cada instante, se unela posición de una partícula en movimiento con el origendel sistema de referencia, se formará un vector con extre-mo en la posición de la partícula, que recibe el nombre devector de posición de la partícula.

Al moverse en el espacio, la partícula habrá pasado alcabo de cierto tiempo de estar en el punto A (x, y, z) al A’(x’, y’, z’), de lo que se deduce que el vector de posicióntambién variará en función del tiempo, algo que se indi-ca de la siguiente forma:

r = r (t)

Y el desplazamiento de la partícula se indicará tambiéncomo:

∆r = r’– r

El movimiento de la partícula de X a X’ en un tiempo de-terminado permite conocer la velocidad media del despla-zamiento, que se calcula como la relación constante exis-tente entre el espacio recorrido por un cuerpo y el tiempoempleado en recorrerlo. En el Sistema Internacional (S.I.),la unidad de la velocidad es el metro por segundo (m/s).

Si la velocidad en el desplazamiento no es constante,es posible utilizar el concepto de velocidad instantáneaen cada punto de la trayectoria para poder describir elmovimiento:

vmedia = ∆r∆t

donde ∆r es el cambio de longitud y ∆t el incremento detiempo.

Cuando la velocidad de una partícula varía en el trans-curso del tiempo, se dice que existe una aceleración. Si en

Desplazamiento

Trayectoria

y

x

S


CINEMÁTICA

t segundos la velocidad de la partícula cambia en v m/s,su aceleración media se define como el cociente:

amedia = ∆v∆t

con ∆v el cambio de velocidad y ∆t el incremento de tiempo.

Tanto la velocidad como la aceleración son magnitudesvectoriales dotadas de un módulo, una dirección y unsentido.

A escala de su trayectoria global, pueden distinguir-se dos componentes de la aceleración: uno tangencial otangente a la trayectoria y otro centrípeto o dirigido alcentro geométrico en torno al cual se describe la trayec-toria.

Tipos de movimientos

En virtud de su tipo de trayectoria, los movimientos pue-den ser rectilíneos o curvilíneos.

Movimientos rectilíneos son los que poseen una tra-yectoria recta y en los que la velocidad sólo cambia demódulo, manteniendo constantes la dirección y el sen-tido.

En los movimientos rectilíneos, la aceleración sólo po-see componente tangencial, sin aceleración centrípeta de-bido a que el radio de la trayectoria es cero.

Movimientos curvilíneos son los que poseen una tra-yectoria curva, ya sea parabólica, elíptica, circular, etc.

En el movimiento curvilíneo sí aparece un componen-te centrípeto de la aceleración, cuya dirección es la del ra-dio de la curva que describe, con sentido hacia el centro.El módulo de la aceleración centrípeta es igual al cocien-te del cuadrado del módulo de la velocidad entre el mó-dulo del radio:

|ac| = v2

r

at : aceleración tangencial ac: aceleración centrípeta

Movimiento rectilíneo uniforme

Un cuerpo se desplaza según un movimiento rectilíneouniforme cuando su velocidad es constante en todos susparámetros: módulo, dirección y sentido. Por ello, la ve-locidad media del desplazamiento coincide con la instan-tánea en todos los puntos de su trayectoria.

Un movimiento rectilíneo puede ser uniforme o acele-rado. En el movimiento uniforme, la velocidad permane-ce constante, mientras que en el acelerado cambia con elpaso del tiempo. Cuando el cambio de velocidad en cadasegundo es constante, el movimiento se dice uniforme-mente acelerado.

En un movimiento rectilíneo uniforme, el espacio quese recorre en un tiempo determinado viene dado por lasiguiente expresión:

s = v · t

(s: espacio, v: velocidad, t: tiempo)

En caso de que el origen de coordenadas no coincidacon el de partida del movimiento habrá que añadir untérmino de desplazamiento igual a la constante s0:

s = s0 + v · t

Para ilustrar gráficamente un movimiento, se dibuja sucurva representativa en un sistema de coordenadas:

Diagrama espacio-tiempo (s-t) de un movimiento rectilíneouniforme. La pendiente de la recta representa la velocidad

del cuerpo en desplazamiento

Diagrama velocidad-tiempo (v-t) de un movimiento rectilíneouniforme. El área de color azul representa el espacio recorrido

por el cuerpo que se desplaza

Al ser la velocidad constante, su representación gráficasiempre será una recta paralela al eje de tiempos. Si la rec-ta se encuentra por encima del eje, la velocidad es positi-va; en caso contrario, la velocidad será negativa.

t

v

v = cte

S = v . t

t

s

s = s0 + vt

s = vt

o

ac

a

at

____________________________________________________________________________________________________ Cinemática 19

Movimiento rectilíneo acelerado

Este tipo de movimientos se caracteriza por poseer unaaceleración constante cuya dirección y sentido son losmismos que en la velocidad (salvo que el movimiento seauniformemente retardado, en cuyo caso la deceleracióntiene sentido opuesto a la velocidad).

Al ser la aceleración constante, tanto la aceleración me-dia como la instantánea tienen el mismo valor. La veloci-dad se expresa por la siguiente ecuación:

vfinal = v0 + a · t

siendo v0 la velocidad inicial, a la aceleración y t la varia-ble tiempo.

Si cuando t0, v0 = 0, entonces:

vfinal = a · t

La ecuación general de un movimiento rectilíneo uni-formemente acelerado es:

S = S0 + v0 · t + 1 a · t2

2

Donde s0 es el espacio inicial y v0 la velocidad inicial, esdecir, la que tiene el móvil cuando se empieza a contar eltiempo.

Si s0 = 0, la expresión se reduce a:

S = v0 + t + 1 a · t2

2

Si además de s0 = 0, el cuerpo parte de una situación dereposo (v0 = 0), la ecuación se simplifica aún más:

s = 1 a · t2

2

En caso de movimientos uniformemente retardados,las anteriores fórmulas también resultan válidas, auncuando el valor de la aceleración será negativo por opo-nerse al movimiento del cuerpo.

La representación gráfica espacio-tiempo de un movi-miento uniformemente acelerado tiene forma de parábo-la, como corresponde a su ecuación matemática:

Por su parte, la representación de una gráfica veloci-dad-tiempo es una recta cuya pendiente refleja la acele-ración del movimiento.

Movimiento circular uniforme

Un cuerpo tiene movimiento circular uniforme cuandose desplaza según una circunferencia y recorre arcos igua-les en tiempos iguales.

A diferencia del movimiento rectilíneo uniforme, elcircular uniforme sí posee una aceleración, en este casocentrípeta o normal, siempre dirigida hacia el centro dela circunferencia y perpendicular a la trayectoria en to-dos y cada uno de sus puntos.

La aceleración centrípeta en el S.I. se mide en me-tros por segundo al cuadrado (m/s2) y su módulo vienedado por la siguiente expresión:

an = v2

R

siendo v la velocidad lineal y R el radio de la circunferen-cia (radio de curvatura).

Velocidad lineal y angular del movimiento circularuniforme. La velocidad lineal o de traslación de un cuer-po que sigue una trayectoria circular es igual al arco querecorre en la unidad de tiempo:

La velocidad lineal del punto 1 será: v1 = x x’/t, y la delpunto 2, v2 = y y’/t. Se deduce fácilmente que si el tiem-po es igual en ambos casos, v1 > v2, por lo que la veloci-dad lineal es directamente proporcional al radio de giro:

v = arco descritotiempo empleado en recorrerlo

En un movimiento circular uniforme, la velocidad an-gular es el ángulo recorrido por unidad de tiempo. Así, esigual el ángulo barrido por el vector de posición OX en launidad de tiempo. La velocidad angular se representapor ωy se mide en radianes por segundo (rad/s):

ω = arco descrito = ϕtiempo empleado t

Un radián es el valor del ángulo central de una circun-ferencia que abarca un arco de longitud igual al radio. Portanto: 360º = 2πrad.

yx'

O

yx

2y'

t

v

v = v0 + a . t

v = v . t

t

S

4

1 2

a = m/s2

0 0

1

20 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________ Cinemática 21

La frecuencia (N) de un cuerpo que se mueve con mo-vimiento circular uniforme es el número de vueltas (o ci-clos) que da por unidad de tiempo. Cuando el ángulo ϕ = 2πrad (una vuelta completa), entonces t = T, un tiem-po que recibe el nombre de período:

ω = 2π · rad/sT

Si el cuerpo completa N vueltas (en un segundo), en daruna vuelta tardará 1/N segundos, o sea, el período T. En-tonces:

ω= 2πN rad/s

La velocidad lineal (v) es igual al producto de la veloci-dad angular por el radio (m/s):

v = ω · R

Aceleración angular

La aceleración angular es el cociente entre la variación dela velocidad angular y el tiempo en que se produce estavariación de velocidad. En el S.I. se mide en radianes porsegundo al cuadrado (rad/s2):

α = ωt

Movimiento circular uniformemente acelerado. Lasfórmulas de velocidad y espacio del movimiento circularuniformemente acelerado son equiparables a las del mo-vimiento rectilíneo. Así pues, las respectivas magnitudesangulares se expresan de la siguiente forma:

Velocidad angular: ω= ω0 + αt

Espacio angular: ϕ = ϕ0 + ω0t + 1 αt2

2

donde ω: velocidad angular; ω0: velocidad angular ini-cial; α: aceleración angular; ϕ: ángulo; ϕ0: ángulo inicial;t: tiempo.

Movimiento armónico simple

Se llama movimiento armónico simple al desplazamien-to que produce la proyección de una masa puntual sobreel diámetro de una circunferencia cuando se desplaza so-bre ella con movimiento circular uniforme. Cuando elmóvil completa una vuelta alrededor de la circunferen-cia, y la proyección del punto ha recorrido enteramenteel diámetro en ambas direcciones, se dice que se ha pro-ducido una oscilación completa:

La máxima distancia que separa un punto de la posi-ción de equilibrio recibe el nombre de amplitud, y se re-presenta con la letra A. En la representación, es el seg-mento OA.

La distancia a que se encuentra el punto en cualquierinstante del movimiento con respecto a la posición deequilibrio se denomina elongación (X). Por tanto, podríadefinirse la amplitud como la máxima elongación posi-ble. En la representación, los segmentos O1 y O2 son elon-gaciones en un momento dado.

Período es el tiempo que invierte el móvil en dar unavuelta entera a la circunferencia. Se representa con el sím-bolo T y en el S.I. se mide en segundos.

Al número de veces que el móvil pasa por un mismopunto en la unidad de tiempo (segundos) se le llama fre-cuencia, magnitud que puede también definirse como lainversa del período:

N = 1/T

La ecuación que gobierna el movimiento armónico sim-ple es:

A = X · sen ωt

O 1A

X A

2


1. Un hombre se desplaza en motocicleta en direc-ción rectilínea a una velocidad de 95 km/h duran-te 30 km, pero al llegar a una montaña reduce suvelocidad a 48 km/h durante 22 km. Calcular lavelocidad media de todo el desplazamiento.

2. Un ciclista consigue mantener una velocidad cons-tante de 30 km/h. Sabiendo que la rueda tiene undiámetro de 0,6 m, calcular:a) La velocidad angular de una rueda.b) La aceleración centrípeta de las ruedas.c) Las vueltas que da cada rueda por cada kilóme-

tro que recorre la bicicleta.

a dinámica es la parte de la mecánica física que es-tudia las fuerzas como agentes del movimiento de

los cuerpos. Sus principios, ya analizados desde los iniciosde la historia de la ciencia, fueron desvelados en la edadmoderna por destacados estudiosos e investigadores, par-ticularmente Galileo Galilei, Johannes Kepler e Isaac New-ton, considerado el creador de la dinámica clásica.

Leyes fundamentales de la dinámica

Según las concepciones de la dinámica clásica, la noción demovimiento está asociada a la de fuerza, de forma que siem-pre que se desplaza un cuerpo puede hallarse una fuerzadeterminada que soporta tal movimiento. Por tanto, se po-dría afirmar que un cuerpo permanece en reposo siemprey cuando no existan fuerzas exteriores actuando sobre él.

La resistencia que oponen todos los cuerpos al movi-miento, debida a su masa inercial, se llama fuerza de iner-cia. Aunque fue Galileo el primero en enunciar el princi-pio de inercia, el inglés Newton lo incorporó a sus postula-dos básicos de la dinámica, por lo que fue llamadoprimera ley de Newton de la dinámica. Dicho principioafirma que todo cuerpo permanece en su estado de repo-so o de movimiento rectilíneo y uniforme a no ser que al-guna fuerza exterior actúe para modificar dicho estado.

Por tanto, si a un cuerpo se le aplica una fuerza unifor-me, se moverá con una velocidad constante mientras noactúen sobre él fuerzas exteriores que lo frenen o lo acele-ren. Newton resumió el comportamiento dinámico de loscuerpos sometidos a fuerzas en otras dos leyes conside-radas fundamentales. Así, la segunda ley de Newton afir-ma que la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo esdirectamente proporcional a la masa y a la aceleracióncon que se desplaza. Esta ley se expresaría matemática-mente del modo siguiente:

ΣF = m · a

En la vida cotidiana puede comprobarse la validez deeste principio sin más que aplicar una misma fuerza a dis-

tintos cuerpos: éstos se moverán con distintas velocida-des, menores cuanto mayor sea su masa. Así, los cuerposcon mayor masa tienen más dificultad para acelerarse quelos menos masivos.

La tercera ley de Newton, llamada de acción y reacción,dice que siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobreotro, este segundo actúa sobre el primero con la misma fuer-za (igual módulo y dirección), pero en sentido contrario.

De esta forma, si en la ilustración llamamos F a la fuer-za que ejerce el cuerpo de la izquierda sobre el de la dere-cha y F’ a la ejercida por el cuerpo de la derecha sobre elde la izquierda, el principio de acción y reacción se expre-saría como:

Impulso y cantidad de movimiento

Si se escribe la segunda ley de Newton, F = m · a, como:

F = m · a → F = m · ∆v → F · ∆t = m · ∆v∆t

Se obtiene en el primer miembro ( F · ∆t) una magnituddenominada impulso mecánico, de naturaleza vectorial,que en el Sistema Internacional (S.I.) se mide en newtonpor segundo (N/s).

Por tanto, el impulso mecánico es:

I = F · ∆t

En el segundo miembro de la expresión obtenida de lasegunda ley de Newton aparece otra nueva magnitud:la cantidad de movimiento o momento lineal de un cuer-po. Esta magnitud se puede definir como el producto dela masa de un cuerpo por la velocidad que adquiere di-cho cuerpo. Al igual que el impulso mecánico, la canti-dad de movimiento, denotada por p, es una magnitud

F'F

F = – F'


L

DINÁMICA

vectorial y, en el S.I., sus unidades son el newton por se-gundo (N/s) o también su equivalente, kg/m/s.

Matemáticamente, la cantidad de movimiento es:

p = m · v

De lo anterior puede definirse el impulso mecánicocomo la variación de la cantidad de movimiento en uncuerpo o un sistema dado.

Las fuerzas cuya acción es tan breve que no se puede me-dir en el tiempo reciben el nombre de fuerzas instantáneas.El efecto que producen puede verse como un impulso me-cánico o como una cantidad de movimiento equivalente:

F · t = m · v

El desplazamiento de un cuerpo será rectilíneo y uniforme,con velocidad constante, mientras no actúe sobre él ningunafuerza exterior (rozamiento, otro cuerpo que lo frene, etc.).

Ahora, que si la fuerza que actúa sobre el cuerpo esconstante, el cuerpo se moverá con una aceleración tam-bién constante, en virtud de la segunda ley de Newton.

Conservación de la cantidad de movimiento. El princi-pio de conservación de la cantidad de movimiento fueenunciado por Newton al tiempo que su segunda ley fun-damental, y afirma que la cantidad de movimiento de unsistema de masas permanece constante siempre que noactúe sobre él alguna fuerza exterior al sistema. En térmi-nos matemáticos se expresaría como:

Σm · v = constante

Por tanto, la cantidad de movimiento de una masa in-dividual puede variar, pero no así la suma de todas lascantidades de movimiento de un sistema aislado (siem-pre y cuando no actúen sobre él fuerzas exteriores).

Trabajo

El trabajo (denotado por T o W) es una magnitud físicaque se determina al valorar el esfuerzo”, ya sea éste mus-cular o el requerido, por ejemplo, para el consumo de unadeterminada cantidad de combustible por un motor. Larealización de un trabajo se debe siempre a la acción deuna fuerza y da origen a un movimiento de desplaza-miento desde su punto de aplicación.

Cuando la fuerza que se ejerce, por ejemplo, en unatracción es igual o inferior a la del peso que se quiere des-plazar, se produce un cansancio o fatiga, pero no se reali-za ningún trabajo, ya que el cuerpo no se desplaza. Portanto, una fuerza sólo realiza un trabajo cuando se pro-duce un desplazamiento de su punto de aplicación.

En el S.I., el trabajo se mide en julios (J), unidad que sedefine como el trabajo realizado por una fuerza de unnewton cuando su punto de aplicación se desplaza un me-tro en su misma dirección:

julio = newton · metro

El kilográmetro (kgrm) es la unidad de trabajo en el Sis-tema Técnico, siendo 1 kgrm = 9,8 J. Por su parte, en elsistema C.G.S. la unidad de trabajo es el ergio, siendo 1 ju-lio = 107 ergios.

Trabajos de fuerzas constantes (en magnitud y direc-ción). Cuando la fuerza que realiza el trabajo es de inten-sidad constante y el desplazamiento se produce en la mis-ma dirección de la fuerza, el trabajo se obtiene aplicandola fórmula:

T = F · s

Por consiguiente, pueden producirse dos casos, segúnel sentido de aplicación de la fuerza:

1. Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sen-tido, el trabajo es positivo y se llama trabajo motor.

2. Cuando la fuerza y el desplazamiento apuntan ensentidos contrarios, el trabajo es negativo y se llama tra-bajo resistente.

Trabajos de fuerzas constantes cuya dirección no es ladel desplazamiento. El trabajo que realiza una fuerzaconstante cuyo punto de aplicación se desplaza en unadirección cualquiera, no coincidente con la de desplaza-miento, se calcula como el producto del desplazamientopor la proyección de la fuerza sobre el desplazamiento:

W = F · s · cos α

Si α es un ángulo comprendido entre 0º y 90º, el trabajoes positivo; si α está entre 90º y 180º, el trabajo es negati-vo. Cuando α = 90º o 270º, el trabajo realizado es nulo (porejemplo, cuando se lleva algún objeto de la mano, lo quese realiza es una fuerza para sostener el objeto y no untrabajo).

Gráficamente, el trabajo puede verse como el área queforman el desplazamiento, representado en el eje de abs-cisas, y la intensidad de la fuerza constante, en el de or-denadas:

T = F . S

F

S

Fα = 0º α = 45º

Desplazamiento

F

α = 90º

F

α = 180ºF

W = 0 – W

____________________________________________________________________________________________________ Dinámica 23

Trabajo realizado por una fuerza variable. Si la fuerzano es constante, esto es, si es función de una variable,el desplazamiento puede descomponerse en otros igua-les ∆s, lo suficientemente pequeños como para que enellos se pueda considerar la fuerza como constante.

Para cada uno de estos desplazamientos el trabajo infi-nitesimal será:

∆W = F∆x

el trabajo total:

W = ΣF∆x

Más exactamente, si se toman límites tendentes a ceroen un desplazamiento desde un punto 1 al 2:

W = lim ΣF∆x = ∫ 12 F(x)dx

Geométricamente, el valor obtenido es el área compren-dida entre la función F(x) y los valores 1 y 2 en el eje x:

Energía

En términos mecánicos, la energía se puede definir comola capacidad de la materia para producir un trabajo enforma de movimiento. De ahí que para realizar cualquiertrabajo sea necesario transmitir energía de un lugar a otro.Existen muchas clases de energía: muscular, eléctrica, ca-lorífica, nuclear, etc.

La energía mecánica de un cuerpo o un sistema es lasuma de sus energías cinética y potencial:

E = Ec + Ep

Por la ley de conservación, la energía mecánica en unsistema material aislado siempre se mantiene constante.

Energía cinética (Ec)

La energía cinética es aquella que posee un cuerpo quelleva una cierta velocidad. El trabajo realizado por unafuerza a lo largo de un desplazamiento se transforma enenergía cinética del cuerpo en movimiento, es decir:

W = ∆Ec

La energía cinética de un cuerpo se define como la mi-tad del producto de su masa por el cuadrado de su velo-cidad, es decir:

Ec = 1 · m · v2

2

Energía potencial (Ep)

Existen en la naturaleza varios tipos de energías poten-ciales. Así, una carga eléctrica posee una energía po-tencial eléctrica; un muelle, energía potencial elástica,y un cuerpo que se desplaza en dirección descendente,energía potencial gravitatoria. Esta última se puede de-finir como la energía que posee un cuerpo en funciónde la altura a que se encuentre, siendo igual al produc-to de su masa por la aceleración de la gravedad y porla altura:

Ep = m · g · h

El trabajo necesario para elevar un cuerpo hasta unacierta altura coincide con su energía potencial, por lo quepara medir la energía se utiliza la misma que para el tra-bajo, el julio.

Potencia

La potencia media de una fuerza en un intervalo de tiem-po es el cociente entre el trabajo realizado y el tiempo em-pleado en realizarlo. En forma matemática, ello se expre-sa como:

P = Wt

El trabajo es independiente del tiempo que se tardaen realizarlo. Por tanto, un hombre que empuja un carrolleva a cabo el mismo trabajo que el que haría un ca-ballo; la diferencia es que el caballo, al poseer mayorpotencia, invierte mucho menos tiempo. La potencia esla magnitud que refleja la rapidez con que se realiza untrabajo.

La unidad de potencia en el S.I. es el vatio (W = ju-lio/segundo), que se define como la potencia necesariapara realizar un trabajo de un julio durante un se-gundo.

Otras unidades de potencia ampliamente utilizadasson el caballo de vapor (CV) o caballo de potencia (HP)y el kilogramo por segundo (kg/s), cuyas equivalenciasson las siguientes:

1 CV = 75 kg/s1 CV = 746 W = 0,746 kw

El trabajo también se puede expresar como unidad depotencia-tiempo, al ser W = P · t. La unidad en que semide, desde este punto de vista, es el kilovatio-hora, mag-nitud igual al trabajo realizado en una hora por una má-quina que funciona con una potencia constante de un ki-lovatio. El kilovatio-hora se simboliza como kwh, y suequivalencia a julios es:

1 kwh = 1.000 J/s · 3.600 s = 3,6 · 106 julios

F(x)

x(S)x1 x2

F

24 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

Principios de la dinámica terrestre y celeste

Ley de la gravitación universal de Newton

Todos los cuerpos son atraídos hacia el centro de la Tierrapor una fuerza que recibe el nombre de gravedad. Así, elpeso de un cuerpo es la fuerza con que es atraído por laTierra. Pero este fenómeno no es algo peculiar del plane-ta terrestre. De hecho, todos los cuerpos materiales se ejer-cen mutuamente fuerzas atractivas que son producto deinteracciones gravitatorias. Ya en 1680, Newton estudióeste fenómeno y enunció la ley de la gravitación univer-sal, que afirma que: la fuerza de atracción mutua creadaentre dos puntos materiales es proporcional al produc-to de sus masas e inversamente proporcional al cuadra-do de la distancia que los separa.

Matemáticamente:

F = G · m · m’d2

donde m y m’ son las masas de los cuerpos y d la distan-cia de separación; G es la llamada constante de gravita-ción universal, y en el S.I. tiene el valor de:

G = 6,67 · 10-11 N · m2/kg2

Como ya se ha dicho, la fuerza con que un cuerpo esatraído por la Tierra es igual a su peso, por lo que el pesode un cuerpo situado en la superficie terrestre puede ex-presarse como:

F = P = G · M · m’R2

siendo M la masa de la Tierra, m la masa del cuerpo y Rel radio terrestre.

La fuerza con que la Tierra atrae a la unidad de masase denomina intensidad del campo gravitatorio terrestre(gravedad), y se representa con la letra g. Es decir:

g = G · MR2

De donde:

P = m · g

Por tanto, el peso de un cuerpo no depende sólo de sumasa, sino también de la posición de la Tierra en que seencuentre (el valor de R no es perfectamente constante,pues depende de la altitud y está influido por la formageométrica de la Tierra, más un elipsoide que una esfera).

Leyes de Kepler

El alemán Johannes Kepler (1571-1630) propuso un conjun-to de principios sistemáticos, obtenidos de la observación

de los movimientos de los planetas alrededor del Sol, quehan demostrado su validez en el estudio de los desplaza-mientos de los cuerpos celestes desde el punto de vista dela mecánica clásica. Estos principios, unidos al concepto degravitación universal debido a Newton, explican con ungrado de exactitud bastante elevado el movimiento del Sol,sus planetas y sus satélites en el ámbito del Sistema Solar.

En su libro Astronomia Nova (1609), Kepler enunció susdos primeras leyes, que dicen:

1. Los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elíp-ticas, con el astro en uno de los focos.

2. El radio vector que va desde el Sol a un planeta dadobarre áreas iguales en tiempos iguales.

La tercera ley de Kepler vio la luz por vez primera enel libro Harmonices Mundi, de 1619, y establece que la ra-zón matemática que existe entre los períodos de dos pla-netas cualesquiera es igual a la razón entre las distanciasmedias elevada a tres medios (es decir, la razón de las po-tencias 3/2 de los dos semiejes mayores elípticos). Si Ty T’ son los períodos de revolución, y α y α’, los ejes co-rrespondientes, la ley se expresaría matemáticamente:

T2= α3

T’2 α’3

La ecuación fundamental del movimiento planetarioes, por tanto, la siguiente:

GMs = 4π2r3 f 2 = 4π2r3

T2

siendo:

Ms: la masa del Sol;r: el radio de la órbita del planeta;v: la velocidad del planeta;T: el período de revolución;f : la frecuencia de giro.

____________________________________________________________________________________________________ Dinámica 25


1. Calcular el impulso mecánico de la fuerza que haactuado para que un coche de 1.200 kg que circulaa 60 km/h aumente su velocidad hasta 100 km/h.

2. Un hombre sube un cuerpo de 20 kg por un plano in-clinado con una aceleración de 1,5 m/s2, para lo queaplica una fuerza paralela al plano (ángulo de incli-nación 30º). Despreciando el rozamiento, calcular:a) La fuerza realizada por el hombre.b) El trabajo, si el plano tiene una longitud de 6 m.c) La potencia desarrollada por el hombre si logra

subir el cuerpo en 5 minutos.

Hidrostática

La estática de los fluidos o hidrostática es la rama de la fí-sica que estudia las propiedades mecánicas de los fluidosen reposo. El estudio de las propiedades mecánicas de losfluidos gaseosos recibe también el nombre de aerostática.

Magnitudes básicas

La densidad y el peso específico son las dos propiedadesintrínsecas de los cuerpos líquidos y gaseosos que deter-minan su comportamiento al ser sometidos a fuerzas ypresiones.

Densidad. La densidad, una de las propiedades carac-terísticas de los cuerpos, se define como el cociente entrela masa del cuerpo y su volumen. Por tanto, la densidadde un cuerpo es la masa de una unidad de volumen.

La unidad de la densidad en el Sistema Internacio-nal (S.I.) es el kilogramo por metro cúbico (kg/m3), aun-que la más utilizada sea el gramo por centímetro cúbi-co (g/cm3), que es la unidad de densidad en el siste-ma C.G.S. (cegesimal).

La densidad se suele representar por la letra griega ρ, yen términos matemáticos se expresa como:

ρ = mV

Así, cuando se dice que un cuerpo es más denso queotro, lo que en realidad se afirma es que una misma masaestará contenida en un volumen menor. Análogamente,un cuerpo es más denso que otro si, con el mismo volu-men, pesa más.

De la expresión que define a la densidad se puede in-terpretar la masa de un cuerpo como el producto de suvolumen por la densidad del material que lo compone.

Matemáticamente:

m = v · ρ

Densidad relativa (d). La densidad relativa de un cuer-po sólido o líquido es la relación que existe entre su den-

sidad absoluta y la densidad del agua. La densidad de losgases se mide con respecto a la densidad absoluta del aire.Así pues:

d líquido, sólido =ρcuerpo

ρagua

d gas =ρgas

ρaire

La densidad relativa, lógicamente, carece de unidadesal ser una relación entre magnitudes iguales.

En la práctica, la densidad relativa expresa cuántas ve-ces es un cuerpo más o menos denso con respecto al agua(si es sólido o líquido) o al aire (si es un gas).

Peso específico. El peso específico de un cuerpo se de-fine como el cociente entre el peso del cuerpo y su volu-men. Su unidad de medida en el S.I. es el newton por me-tro cúbico (N/m3) y, en términos matemáticos, se expre-saría como:

Pe = PV


Sólido Gramos/centímetro cúbico

Plomo 11,3Hierro 7,9Acero 7,8Vidrio 3,0-3,6Aluminio 2,7Mármol 2,7Tierra 1,2Hielo 0,92Madera 0,2-0,8

Densidades de algunos sólidos(T = 20 ºC)

HIDROSTÁTICAE HIDRODINÁMICA

Sustituyendo P por m · g en la definición de peso espe-cífico, se obtiene la expresión:

Pe = m · g/V

Sabiendo que m/V es la densidad (ρ), el peso específicopuede escribirse también como:

Pe = ρ · g

Lo que indica que la densidad es una característicaconstante de cada material, mientras que el peso espe-cífico depende del valor de la aceleración de la grave-dad (g).

Tensión superficial

Se llama tensión superficial a la fuerza ejercida en la su-perficie de los líquidos por unidad de longitud.

Matemáticamente se expresa como:

σ = Fl

En un líquido actúan unas fuerzas de cohesión sobre to-das las moléculas que lo componen. En el interior de los

líquidos todas las fuerzas de cohesión están equilibradas.No así en su superficie, donde al existir sólo una atraccióndesde el interior del líquido, las fuerzas no se compensan,dando lugar a una resultante que atrae a las partículas su-perficiales del fluido hacia el interior del mismo:

Esta acción sobre las moléculas de la capa superficialdel líquido induce en ésta un comportamiento similar alde una membrana elástica. Tal acción es debida a la pre-sencia de la tensión superficial.

Presión hidrostática

Siempre que un cuerpo se encuentra en contacto con unfluido, cualquier parte de sus paredes que toca el fluidoexperimenta fuerzas de presión dirigidas contra él:

Pelota llena de agua

Las fuerzas de presión ejercidas por un fluido sobre lasparedes del recipiente que lo contiene son siempre per-pendiculares a dichas paredes. La aplicación de estasfuerzas normales a la superficie y de módulo constanterecibe el nombre de presión hidrostática. Esta presión,debida a la fuerza que actúa uniformemente sobre unasuperficie S, es igual al cociente entre la fuerza y la su-perficie.

Matemáticamente:

n = FS

De esta expresión se deduce que la presión es directa-mente proporcional a la fuerza e inversamente propor-cional a la superficie sobre la que actúa. Por tanto, al re-ducir la superficie se pueden conseguir grandes presio-nes con la aplicación de fuerzas pequeñas (el filo de uncuchillo o la punta de un clavo).

R

R = 0

____________________________________________________________________________________ Hidrostática e hidrodinámica 27

Gas Gramos/centímetro cúbico

Butano 0,0026Dióxido de carbono 0,0018Aire 0,0013Hidrógeno 0,00084

Densidades de algunos gases (T= 0 ºC

y P = 1 atm.)

Líquido Gramos/centímetro cúbico

Mercurio 13,6Leche 1,03Agua de mar 1,025Agua destilada 1Aceite 0,92Gasolina 0,68

Densidades de algunos líquidos(T = 20 ºC)

La unidad de medida de la presión en el S.I. es el pas-cal, en homenaje al científico francés Blaise Pascal, queenunció el principio que lleva su nombre. El principio dePascal para los líquidos afirma que la presión ejercida so-bre un determinado punto de un líquido se transmite entodas las direcciones con la misma intensidad y siempreen dirección perpendicular a la superficie donde se en-cuentra el punto de aplicación.

Al igual que los sólidos transmiten las fuerzas que seles aplica, los líquidos transmiten las presiones. Aplica-ciones técnicas de este principio son la prensa hidráulica,el elevador hidráulico y los frenos de los coches:

F = f · SV

Un pascal (Pa) es la presión ejercida por la fuerza de unnewton que actúa uniformemente sobre una superficiede un metro cuadrado. Se expresa matemáticamentecomo:

1 Pa = 1 N1 m2

Otra unidad de medida de presión muy utilizada es elbar, equivalente a 105 pascales.

De todo lo expuesto se deduce que la fuerza de presiónsobre una superficie es igual al producto de la presión porla superficie:

F = p · s

La presión que ejerce el líquido sobre una superficie ho-rizontal sumergida a cierta profundidad es igual al pesode la columna de ese líquido, que tiene como base la su-perficie, y como altura, la distancia hasta la superficie li-bre. Es decir:

F = PF = m · g = V · δ · g

Y como el volumen es: V = S · h, se tiene que:

F = S · h · δ · g

(F, fuerza de la presión; S, superficie; h, altura; δ, densi-dad; g, aceleración de la gravedad.)

Esta fórmula se conoce como principio fundamental dela hidrostática.

Hidrodinámica

La hidrodinámica, también denominada mecánica defluidos o dinámica de los fluidos, es la disciplina científi-ca dedicada al estudio de la mecánica de movimiento delos líquidos y los gases.

Flujo estacionario y flujo turbulento

Aunque un fluido esté formado teóricamente por unasmoléculas entendidas como puntuales en cada instantedel movimiento, se considera que se desplaza homogé-neamente sin considerar de modo individual la mo-lécula que ocupa cada lugar del espacio en un instantedado.

El régimen o movimiento de un fluido en virtud de ladisposición relativa de sus moléculas durante el despla-zamiento, se puede catalogar en estacionario o laminar yturbulento.

El régimen se dice estacionario cuando el fluido se des-plaza de modo ordenado a una velocidad uniforme en to-dos sus puntos, con lo que pueden determinarse con pre-cisión las posiciones concretas de una partícula del flui-do en todo momento. Por el desplazamiento paralelo queexperimentan sus moléculas recibe también el nombre derégimen laminar.

Por su parte, el régimen se dice turbulento cuando lasmoléculas del fluido se desplazan de manera caótica ydesordenada, lo que impide predecir su posición concre-ta en un momento determinado; las moléculas describenen este régimen trayectorias no paralelas entre sí:

Ejemplo de régimen aproximadamente laminar seríanlas aguas de un río en su desembocadura, las cuales flu-yen tranquilas y de modo que pudiera considerarse or-denado. Sin embargo, el mismo río en sus fuentes, dondeexisten corrientes y rápidos, tendrá un régimen clara-mente turbulento.

Estacionario Turbulento

F

Sf

28 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

En términos matemáticos, el paso de un fluido en régi-men estacionario a régimen turbulento se expresa por unparámetro denominado número de Reynolds y dependede la viscosidad de cada fluido. El número de Reynoldses un valor básico en la formulación teórica de toda la hi-drodinámica y aerodinámica.

Si se asume que un fluido no se puede comprimir, conlo que su densidad sería siempre constante, una partícu-la que se desplazara por una conducción en el interior delfluido cumpliría la siguiente expresión, denominada teo-rema de la continuidad, en cualquier sección o filete de laconducción:

SA · VA = SB · VB

Principios teóricos de la hidrodinámica

Las leyes conocidas como teoremas de Bernouilli y Torri-celli y efecto Venturi se utilizan en hidrodinámica paraexpresar el comportamiento físico de los fluidos idealesen régimen estacionario dotados de movimiento.

Teorema de Bernouilli. Daniel Bernouilli, físico francés,enunció en 1738 el teorema que lleva su nombre, en el queafirmaba que las presiones totales en dos puntos cuales-quiera de un fluido en movimiento, incompresible y sinrozamiento son iguales. Este principio también podría ex-ponerse diciendo que la suma de las presiones hidrostá-tica, potencial y cinética es constante en todos los puntosdel fluido. Es decir:

P + dgh + 1 dV2 = constante2

siendo P la presión hidrostática; el producto dgh, la pre-sión potencial, y 1/2 dV2, la presión cinética.

Como el fluido se considera incompresible, el volumenque fluye en un determinado tiempo por una seccióndada es igual al que discurre por otro punto en el mismotiempo, con independencia del valor de la sección de laconducción en el segundo punto:

Tubo Venturi. El efecto Venturi se aprecia cuando unfluido en régimen estacionario pasa de una sección de-terminada a otra menor. Al llegar a la menor sección, elfluido experimenta una reducción en su velocidad y supresión hidrostática.

Venturi ideó un aparato, conocido por venturímetro otubo de Venturi, que sirve para medir la velocidad de loslíquidos. El venturímetro se coloca adosado a la conduc-ción en un punto donde ésta tenga estrechamientos:

La velocidad del líquido se obtiene mediante la expre-sión que se indica seguidamente, donde d es la densi-dad del líquido que fluye por la conducción y d´ la den-sidad del líquido empleado en el propio mecanismo delventurímetro (un manómetro):

V =2 · a · g · (d’ – d) · h

d

En el efecto Venturi se basa el funcionamiento de dis-tintos mecanismos, como los medidores de velocidad delaire o de los aviones.

Teorema de Torricelli. En virtud del teorema de Torri-celli, la velocidad de un líquido que fluye por una peque-ña abertura o poro de un recipiente es igual a la veloci-dad que tendría el líquido si cayera desde la altura de lasuperficie libre del líquido:

Al considerar el flujo del líquido como un movimientouniformemente acelerado en caída libre, y aplicando Ber-nouilli, la velocidad de líquido será:

V = 2gh

con h = altura del líquido y g = aceleración de la gravedad.

dh

V

h

d'

d

a

VA

VA

hA

hBA

B

SA

VB

SB

VA

VASA SB

VB

____________________________________________________________________________________ Hidrostática e hidrodinámica 29

La presión en la superficie de la masa de agua es iguala la existente en el orificio por donde fluye el líquido. Es-tas presiones coinciden con la presión atmosférica, unconcepto que introdujo el propio Torricelli.

Cálculo de la presión atmosférica. La presión atmosfé-rica, descrita por Torricelli en 1643, es la fuerza que ejercela atmósfera terrestre por unidad de superficie en loscuerpos que se encuentran inmersos en ella.

Para calcular el valor de la presión atmosférica, Torri-celli llenó un tubo de un metro de mercurio y, tapándolopor el extremo, lo introdujo en una cuba de mercurio (conel experimento realizado al nivel del mar). Al retirar eldedo, el nivel del tubo bajó hasta una altura de 76 cm. Enla parte que se vacía existe una presión nula (p = 0), y en lasuperficie de la cuba y en el interior del tubo al mismo ni-vel, las presiones son iguales. Esta presión es la atmosfé-rica, que equivale a la presión de la columna de mercuriomedida en el interior del tubo de Torricelli:

La presión atmosférica por el principio fundamental dela hidrostática será igual a:

P = δ · h · g

Por lo que la presión atmosférica normal, de 76 cm demercurio, equivaldrá a:

P = 13.600 kg/m3 · 0,76 m · 9,8 m2/s = 101.300 N/m2 == 101.300 pascales

Otra unidad utilizada para medir la presión atmosfé-rica, sobre todo en el ámbito de la meteorología, es el mi-libar. En esta escala, la presión atmosférica equivale a1.013 milibares.

Es también muy frecuente la utilización de la propiapresión atmosférica como unidad de presión, en cuyocaso recibe el nombre de atmósfera. Las equivalencias deesta unidad con las anteriores son:

1 atm = 1 kg/m2

1 atm = 105 pascales1 atm = 103 milibares1 atm = 1 bar

La presión disminuye con la altura, dado que la canti-dad y el peso de aire también disminuye en tales circuns-tancias.

El tubo de Torricelli es simplemente un barómetro conel que es posible medir la presión atmosférica en centí-metros de mercurio. En este instrumento, la altura baro-métrica es la altura de la columna de mercurio, y la cá-mara barométrica es el espacio vacío situado en su ex-tremo.

Hg

76 cm

p = 0

30 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________


1. Calcular la densidad de un cubo de material des-conocido que tiene 13 cm de base y que pesa 2,5 kg.

2. Calcular la presión que ejerce el tapón (de 1,1 cmde radio) sobre cada centímetro cuadrado de unabotella al cerrarla, si está totalmente llena y el ta-pón actúa sobre el agua con una fuerza de 1 N.

3. Calcular la superficie que deberá tener el émbolomás pequeño de una prensa hidráulica para queen el émbolo mayor, de superficie 0,5 m2, se origi-nen fuerzas de 100 N, si en el menor se aplica unafuerza de 15 N.

4. Calcular la velocidad a la que saldrá el agua de unacisterna colocada en el suelo cuando se abre un gri-fo en su base. La cisterna, que está al 80% de su ca-pacidad, es cilíndrica y mide 10 m de altura y 3 mde radio.

5. ¿Podría suceder que al fluir un líquido por unaconducción, el estrechamiento de la sección pro-vocara un aumento de la presión con respecto a lasección más ancha?

6. Razonar si es cierta la siguiente afirmación:“En las conducciones de líquidos, la presiónaumenta con la velocidad, con la altura y en losensanchamientos de sección.”

Conceptos generales

Concepto de temperatura

La idea de temperatura puede explicarse de forma intuiti-va por las sensaciones de frío o calor que se experimentanal tocar un cuerpo. Cuando el sentido del tacto indica queun cuerpo está más caliente que otro, tal sensación se ex-presa diciendo que el primero posee una temperatura ma-yor que el segundo. Así, si dos cuerpos están igualmentecalientes o fríos se dice que poseen la misma temperatura.Pero la fiabilidad de los sentidos para comparar tempera-turas es muy limitada, ya que se trata de percepciones sub-jetivas que pueden estar muy condicionadas por diversosfactores. La temperatura es una magnitud mensurable ysu correcta medición se realiza por medio de termómetros.

Cuando un cuerpo experimenta un incremento de tem-peratura se debe a que ha recibido una cantidad de ener-gía y, por el contrario, si su temperatura desciende se debea que ha cedido energía a otro cuerpo o al medio exterior.Al poner en contacto dos cuerpos de distinta temperatura,el más caliente cede energía en forma de calor al cuerpo demenor temperatura hasta que el valor térmico de ambosse iguala en una situación denominada equilibrio térmico.

Termómetros

Se puede llamar termómetro a cualquier instrumento odispositivo que sirve para señalar o medir temperaturas.En realidad, el termómetro lo que mide es su propia tem-peratura, que se corresponde con la del medio en que seencuentra y con el que ha establecido un equilibrio tér-mico. Para que el funcionamiento de un termómetro seacorrecto deben cumplirse varias condiciones:

1. El termómetro debe alcanzar con la mayor rapidezla temperatura del medio en el que se introduce.

2. El termómetro no debe alterar la temperatura inicialdel medio con el que está en contacto.

3. El líquido escogido para la escala de medida debe sermuy buen conductor del calor y su masa lo menor posible.

4. El circuito que contiene el líquido debe ser cerradoy no sufrir pérdidas.

El termómetro más común se compone de un tubo ca-pilar cerrado, de vidrio, ensanchado en su parte inferioren forma de depósito. Este depósito contiene un líquido,generalmente azogue o alcohol teñido, que al dilatarse ocontraerse por el descenso o aumento de temperatura, se-ñala en una escala los grados de temperatura:

Dilatación de sólidosTodo sólido al ser calentado aumenta de volumen, fenóme-no que es conocido con el nombre de dilatación térmica. Elcuerpo que lo experimenta se dice que ha sido dilatado.

Los distintos incrementos de dilatación dependen dela naturaleza del cuerpo calentado.

Dilatación lineal

La dilatación de los cuerpos siempre se produce en lastres dimensiones del espacio, de forma que lo que aumen-ta realmente es el volumen. Sin embargo, cuando se tratade alambres o varillas muy finos, se considera que la di-latación solamente se produce en la dimensión longitu-dinal, despreciando la producida en las otras dos, de mag-nitud muy inferior.

En intervalos de temperaturas comprendidas entre 0 ºCy 100 ºC, la dilatación lineal es proporcional al aumentode temperatura. Así, puede verse que cuando se duplicao triplica la temperatura de una varilla, el alargamientode ésta igualmente se multiplica por dos o por tres.

Termómetroclínico

Termómetro demáximas y mínimas

Alcohol

Índice dehierro

Mercurio


TEMPERATURAY DILATACIÓN

La dilatación lineal es proporcional a la longitud inicialdel cuerpo dilatado. Si éste es homogéneo en la naturale-za de su composición, todas las unidades de su longitudse dilatan por igual, por lo que el alargamiento totalaumentará cuanto mayor sea la longitud inicial delcuerpo que se calienta.

Las dilataciones lineales se pueden medir medianteun instrumento que es denominado dilatómetro de cua-drante.

Coeficiente de dilatación lineal (λ). Se denomina coefi-ciente de dilatación lineal de un sólido al aumento de lon-gitud que experimenta la unidad de longitud medida(1 m) a 0 ºC, cuando se produce un incremento de tempe-ratura de 1 ºC.

En términos matemáticos se expresa como:

λ = l – l0l0 t

Siendo: l, la longitud a temperatura t a la que se calien-ta el sólido; l0, la longitud del sólido a 0 ºC; t, la tempera-tura a la que se calienta el cuerpo.

De la anterior fórmula podemos deducir la longitud deuna varilla a una temperatura determinada si sabemossu longitud a 0 ºC:

l = l0 + l0λtl = l0 (1 + λt)(1 + λt) se conoce como binomio de dilatación lineal.

Dilatación superficial

Se puede hablar de dilatación superficial, al igual queocurría con la lineal, cuando el cuerpo que se calienta (unachapa o lámina) posee un grosor despreciable frente a susuperficie.

Coeficiente de dilatación superficial. Se denomina coe-ficiente de dilatación superficial al aumento de superficieque experimenta la unidad de superficie inicial por cadagrado de incremento de la temperatura.

En términos matemáticos:

β = S – S0S0t

Siendo: S, la superficie a los t ºC a los que se calienta elsólido; S0, la superficie del sólido a 0 ºC; t, los grados cen-tígrados a los que se calienta.

De donde:

S = S0 · (1 + βt)

El factor (1 + βt) se conoce como binomio de dilataciónsuperficial.

El coeficiente de dilatación superficial tiene valor dedoble magnitud que el coeficiente de dilatación lineal:

β = 2 λ

Dilatación cúbica

En sentido estricto, la dilatación cúbica es la única que delas mencionadas tiene existencia real. Se puede compro-bar mediante la experiencia del anillo de Gravesande, quese ilustra en el dibujo:

– Si sólo se calienta la esfera, ésta no pasa por el anillo.– Si se calientan ambos cuerpos, la esfera pasará por el

anillo.– Es indiferente que la esfera sea maciza o hueca, pues

los sólidos huecos se dilatan como si fuesen macizos.

De la experiencia se extrae la conclusión de que los sóli-dos se dilatan al ser calentados y se contraen al enfriarse.

Coeficiente de dilatación cúbica. El coeficiente mediode dilatación cúbica de los sólidos es el aumento que ex-perimenta la unidad de volumen inicial por cada gradode incremento en la temperatura.

Se calcula en términos matemáticos:

α = V – V0V0t

Siendo: V, el volumen a los t ºC a los que se calienta elsólido; V0, el volumen del sólido a 0 ºC; t, los grados cen-tígrados a los que se calienta.

De donde:

V = V0 · (1 + αt)

El factor (1 + αt) se conoce como binomio de dilatacióncúbica. El coeficiente de dilatación cúbica es de valor tri-ple que el de dilatación lineal:

α = 3 λ

Dilatación de líquidos

Para comprender mejor el fenómeno de la dilatación delos líquidos puede efectuarse la siguiente experiencia:

En frío ocalienteanillo yesfera

Esferacaliente

32 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

En un recipiente de cuello estrecho dotado de un tubofino graduado se vierte agua hasta un nivel “1” y se pro-cede a su calentamiento. Se observa entonces que, prime-ramente, el agua desciende hasta un nivel “2” y luego seeleva hasta un nivel “3”.

Estos cambios de nivel se deben a que en el inicio delproceso, lo que primero se calienta es el recipiente, por loque aumenta su volumen y el nivel del líquido desciendehasta “2”. Al seguir aplicando calor, el líquido tambiénempieza a dilatarse y se eleva hasta el nivel “3”. El hechode que el nivel “3” se halle por encima del inicial “1” in-dica que la dilatación real del líquido es mayor que la ex-perimentada por el recipiente.

En los líquidos existen dos coeficientes de dilatación:el real, que corresponde a la verdadera dilatación del lí-quido, y el aparente, asociado a la diferencia de volu-men experimentada por el líquido y la sufrida por el re-cipiente:

γreal = γaparente + γrecipiente

Dilatación de gases a presión constante

Los gases se dilatan en mucha mayor medida que los lí-quidos y los sólidos. Por lo general, cuando se calienta ungas pueden variar a la vez su volumen y la presión a queestá sometido, por lo que se puede considerar por sepa-rado la variación de volumen cuando cambia la tempera-tura con la presión constante y cuando se altera la presiónmanteniendo constante el volumen.

El coeficiente medio de dilatación de los gases someti-dos a presión constante para un cambio de temperaturaentre 0 ºC y t ºC es el aumento de volumen que experi-menta la unidad de volumen por cada grado que se in-crementa la temperatura. Este coeficiente se expresa me-diante la fórmula:

α = V – V0V0t

De donde:

V = V0 · (1 + αt)

El factor (1 + αt) se conoce como binomio de dilataciónde un gas a presión constante.

Un gas perfecto es el que mantiene constante el valorα = 1/273, con independencia de la magnitud de su pre-sión y temperatura.

Escalas termométricas

En el S.I. se elige como unidad de temperatura la escalaKelvin o absoluta, cuyos grados se expresan con el sím-bolo K y la temperatura con T.

Los grados Kelvin son propios de termómetros de gasy, debido a su escaso valor práctico fuera del contextocientífico, los termómetros más utilizados son los de lí-quidos (mercurio) y los termopolares (sólidos), con esca-las en grados centígrados o Celsius. La escala Celsius tie-ne dos puntos fijos:

1. El valor cero (0 ºC), que es el punto de fusión del hielo.2. El punto 100 ºC, correspondiente a la temperatura

del agua hirviente a una presión de 1 atmósfera o 760 mmde mercurio.

Entre el intervalo de 0 ºC a 100 ºC existen 100 divisionesiguales que corresponden a cada uno de los grados Celsius.

Las escalas Celsius y Kelvin son ambas centígradas, conigual valor de su unidad o grado:

T (kelvin) = (273 + t) ºC

La escala Fahrenheit se utiliza en países que tienen tempe-raturas ambiente muy bajas, en particular el Reino Unido, yse relaciona con la escala Celsius por la siguiente expresión:

ºF – 32 = 9ºC 5

—3—1—2

________________________________________________________________________________________ Temperatura y dilatación 33


1. ¿Cuánto medirá una varilla de acero a 60 ºC, si a 0 ºCsu longitud es de 100 cm? Se sabe que el coeficientede dilatación del acero es de 1,1 · 10–6 ºC–1.

2. Una varilla de hierro de 10 m de longitud a 0 ºC, a100 ºC mide 10,011 m:a) Hallar los coeficientes de dilatación del hierro y

del cobre. La relación entre los coeficientes linea-les de dilatación del hierro y cobre es 11/16.

b) Calcular la temperatura a la que otra varilla de co-bre mediría 10 m, si a 100 ºC su longitud es 10,011 m.

Centígrada Fahrenheit Kelvin

Punto de ebullicióndel agua 100 ºC 212 ºF 373 ºK

Pto. de fusión del agua 0 ºC 32 ºF 273 ºKCero absoluto – 273 ºC – 459 ºF 0 ºK

Escalas termométricas

Calor y energía

El calor es una clase de energía que puede definirse comoel intercambio que tiene lugar como resultado de la exis-tencia de una diferencia o gradiente de temperatura.

Los efectos que produce el calor en la materia se pue-den clasificar básicamente en:

– Dilataciones y aumentos de volumen, abordados enel capítulo “Temperatura y dilatación” (pág. 31).

– Cambios de estado (el presente capítulo).

La cantidad de calor que necesitará un cuerpo paraalterar su temperatura dependerá directamente de sunaturaleza, su masa y la temperatura que se pretendaelevar.

Mecanismos de transferencia del calor

Para que se produzca la transferencia o intercambio decalor entre los cuerpos existen principalmente dos meca-nismos: la conducción y la radiación. Cuando el procesode conducción va asociado a un movimiento macroscó-pico de un medio fluido se denomina convección.

Conducción. Se llama conducción al intercambio de ca-lor producido de un cuerpo a otro con temperatura másbaja y con el que se encuentra en contacto. También sepuede producir entre distintas partes de un mismo cuer-po dotadas de temperaturas diferentes. Durante la con-ducción se produce una transferencia de energía desdelas moléculas más energéticas (de mayor temperatura)a las más frías (de menor temperatura).

Convección. La convección es el mecanismo de inter-cambio de calor que se produce cuando un fluido de tem-peratura conocida se pone en contacto con una superficiesólida que posee una temperatura diferente. Según el tipode movimiento que experimente el fluido se puede dis-tinguir entre convección natural o libre y forzada.

La convección libre se produce cuando el fluido sedesplaza impelido por las propias fuerzas de empuje

originadas por la diferencia de temperatura en elfluido.

La convección forzada tiene lugar cuando el movi-miento del fluido se debe a presiones impuestas artificial-mente o al movimiento de la superficie con la que se en-cuentra en contacto.

Radiación. La radiación térmica es un tipo de transfe-rencia de calor de fundamento radicalmente diferente dela conducción y la convección. Se basa en el hecho de quetodo cuerpo caliente emite una radiación en forma de on-das electromagnéticas. Las propiedades de esta radiacióndependen de la temperatura de la superficie, su natura-leza, la longitud de onda de la emisión y la dirección enque se propague.

Equilibrio térmico

Cuando dos cuerpos dotados de diferente temperaturase ponen en contacto, el más energético efectúa unatransferencia de energía al de menor temperatura que,por tanto, se calentará. La transferencia o intercambioconcluirá cuando los cuerpos adquieran igual tempera-tura, condición necesaria para que se establezca el equi-librio térmico.

Para alcanzar este equilibrio el cuerpo más caliente hade haber cedido la misma cantidad de calor que la absor-bida por el más frío.

Unidades de cantidad de calor

Dado que el calor es una forma de energía, su unidad enel Sistema Internacional (S.I.) es el julio, la misma quepara el trabajo y la energía.

Antes de conocerse la equivalencia entre calor y ener-gía se adoptó como unidad práctica para la medida delcalor la caloría, definida como la cantidad de calor nece-saria para elevar la temperatura de un gramo de aguadestilada de 14,5 ºC a 15,5 ºC (es decir, en un grado cen-tígrado). El símbolo de esta unidad es cal.

CAMBIOSDE ESTADO


Posteriormente, el británico James P. Joule, en la segun-da mitad del siglo XIX, dedujo experimentalmente la equi-valencia entre la caloría y el julio, que se expresa a conti-nuación:

1 kilocaloría (kcal) = 1.000 cal1 termia (ter) = 106 cal1 cal = 4,1868 J1 J = 0,239 cal1 cal(termoquímica) = 4,184 J1 kcal = 4,1868 kJ

En el S.I. no se admite la caloría como unidad elemen-tal de calor, a pesar de lo cual, y aunque indebidamente,continúa siendo de utilización muy frecuente en los círcu-los científicos y técnicos.

Calor específico y capacidad térmica

La cantidad de calor (Q) que ha de aplicarse a un cuerpocuya masa es m para elevar su temperatura actual t1 has-ta t2 viene dada por la siguiente expresión:

Q = m · c · (t2 – t1)

La constante de proporcionalidad c es el calor especí-fico del cuerpo, un parámetro que depende de su natu-raleza y constitución. Despejando c en la anterior ex-presión:

C =Q

m · (t2 - t1)

Por tanto, la unidad de calor específico en el S.I. será eljulio por kilogramo y kelvin:

Jkg · K

En la práctica también se utilizan otras unidades parael calor específico, en particular el J/kg · ºC, el kJ/kg · ºC

y sobre todo la caloría por gramo y grado Celsius(cal/g · ºC).

Se llama capacidad térmica o calorífica (Ct o Cm) a lacantidad de calor necesaria para elevar un grado centí-grado la temperatura de la masa m de un cuerpo dado.En términos matemáticos:

Q = m · c · (t2 – t1) = Ct · (t2 – t1)

Formas de cambios de estado

Fusión y solidificación

La fusión es el proceso por el cual un cuerpo pasa del es-tado sólido al líquido. Al calentar un sólido cristalinopuro de forma continuada llegará a un momento en quedicho sólido cambiará de estado para pasar al estado lí-quido. La temperatura a la que se produce este cambio sellama punto de fusión:

Determinación del punto de fusión del hielo

El paso inverso por el cual un líquido, al ser enfriado,se convierte al estado sólido recibe el nombre de solidifi-cación.

A excepción de los materiales amorfos, que carecen deun punto determinado de fusión, los cuerpos sometidosa los procesos de fusión o solidificación obedecen a las si-guientes leyes:

– A presión constante, los sólidos se funden a una tem-peratura determinada, que se denomina temperatura defusión (punto de fusión).

– A presión constante, los líquidos puros inician su so-lidificación a una temperatura determinada, que recibeel nombre de temperatura de solidificación.

0 ºC

______________________________________________________________________________________________ Cambios de estado 35

Elemento cal/g · ºC kJ/kg · K

Agua 1,000 4,1868Hielo 0,480 2,0934Hierro 0,119 0,4610Cobre 0,095 0,3977

Algunos calores específicos

– Para cada sustancia, la temperatura de fusión coinci-de con la de solidificación.

– Durante los procesos de fusión y solidificación, latemperatura no varía.

– El proceso de fusión absorbe calor, y el de solidifica-ción, lo desprende.

– Tanto en la fusión como en la solidificación se produ-cen variaciones de volumen.

En general, los sólidos aumentan su volumen al fun-dirse y se contraen al enfriarse. En algunos casos, comoen el hierro fundido, la plata y el agua, sucede el fenóme-no contrario (por la misma razón por la que el hielo flotaen el agua, ya que es menos denso):

Tanto en la fusión como en la solidificación, el paso de líquido a sólido y de sólido a líquido se produce a la misma

temperatura

Vaporización

La vaporización es el paso de un cuerpo del estado líqui-do al gaseoso. Este fenómeno se puede producir de cua-tro formas diferentes:

1. Vaporización en el vacío.2. Vaporización en una atmósfera gaseosa.3. Evaporación.4. Ebullición.

Vaporización en el vacío. Este tipo de vaporizacióntiene lugar cuando el líquido se encuentra en un am-biente libre de cualquier gas. En tal caso, la vaporiza-ción es instantánea y concluye cuando el vapor se satu-ra. La presión del vapor saturado es superior a la del va-por seco, siempre y cuando la temperatura permanezcaconstante.

Vaporización en una atmósfera gaseosa. Esta vapo-rización se produce en líquidos inmersos en un ambien-te cerrado, pero que contiene otro gas. A diferencia dela vaporización en el vacío, cuando se trata de unaatmósfera el proceso no es instantáneo, y será más len-to cuanto mayor sea la presión del gas contenido en elambiente.

La mezcla del gas del ambiente más la mezcla delvapor saturado posee una presión global equivalente ala presión inicial del gas más la presión máxima delvapor:

Si inyectamos éter al presionar la pera, se evapora en el vaso deaire y hace que el mercurio ascienda por el tubo de referencia.

Habrá un momento en que, a pesar de seguir inyectando éter, elnivel se estabilizará, pues el aire del vaso se saturará de vapor

de éter

Evaporación. Se llama evaporación al cambio de esta-do de líquido a vapor producido en la superficie de un lí-quido al dejarlo al aire libre en una atmósfera ilimitada.La evaporación constituye el tipo de vaporización máslento de los existentes.

Para un líquido cualquiera, la rapidez de la evapora-ción se rige por los siguientes principios:

Aire

Aire

Éter

Mercurio

Tubo referencia

t (min)

t (ºC)

90

8 10

Sólido

Sólido +líquido

Líquido

t (min)

t (ºC)

90

8 10

Sólid

o

Sólido +líquido

Líquido

36 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

Acetona – 88,6 ºCAgua 100 ºCÉter 34,6 ºCCloroformo 61,30 ºCCobre 2.330 ºCCarbono 4.000 ºCPlata 1.950 ºC

Algunas temperaturas de ebullición

– A mayor temperatura ambiente, mayor evaporación.– Cuanto mayor es el movimiento del aire en contacto

con el líquido, mayor será también la evaporación.– El ritmo de la evaporación es proporcional a la super-

ficie del líquido.

Ebullición. La ebullición es el paso a estado de vaporde un líquido formado en toda su masa por burbujas ga-seosas. Al calentar un líquido aparecen burbujas en subase que, por su menor densidad, se elevan rápidamentehasta alcanzar la superficie, donde se condensan brusca-mente. Este proceso produce en el líquido una agitaciónirregular de sus partículas:

a) Determinación del punto de ebullición del agua (100 ºC)b) Ebullición de un líquido

El punto de ebullición es la temperatura que debe te-ner un líquido para empezar a hervir, es decir, comenzara convertirse en vapor.

La temperatura de ebullición depende directamente dela presión atmosférica a que se encuentra el líquido, yaumenta al hacerlo esta presión.

En un ambiente a presión constante, la ebullición deun líquido puro se produce siempre a la misma tempe-ratura, que permanece constante mientras dura la ebu-llición.

Los líquidos puros comienzan su proceso de ebullicióna la temperatura para la cual la presión de su vapor satu-rado iguala a la presión que soporta el líquido.

El proceso inverso a la vaporización se denomina licua-ción o paso de un gas al estado líquido. La vaporizaciónpuede producirse a cualquier temperatura, siempre quese disminuya convenientemente la presión ejercida sobre

el líquido. Sin embargo, la licuación no tiene lugar a cual-quier temperatura por mucho que se eleve la presión. Entodos los gases existe una temperatura por encima de lacual la licuación es imposible, es la denominada tempe-ratura crítica.

Sublimación

La sublimación, una característica propia de cada sustan-cia, es el paso directo de un cuerpo en estado sólido al es-tado gaseoso. En realidad, todos los sólidos se pueden su-blimar, aunque para que ello ocurra tienen que estar, enla mayoría de los casos, a una presión muy baja.

En condiciones normales, sólidos como la naftalina, elyodo o el arsénico experimentan el proceso de sublima-ción y desaparecen poco a poco en estado de vapor, deahí el olor característico que desprenden.

Un sólido se sublima cuando, a una temperatura infe-rior a la de fusión, la presión de su vapor iguala a la pre-sión atmosférica que lo rodea.

Agua

100 ºCa) b)

______________________________________________________________________________________________ Cambios de estado 37


1. Por medio de un calentador eléctrico se calientaagua durante 15 minutos. Si el calentador desarro-lla una potencia calorífica de 950 vatios, calcular:a) La energía o cantidad de calor que se despren-

de (en el S.I.).b) Si se aprovecha solamente el 75% del calor des-

prendido en calentar el agua, hallar la tempera-tura que tendrá una masa de agua de 750 gra-mos tomada a 2 ºC.

2. Se introducen 60 g de hielo en un calorímetro quecontiene 500 g de agua a 40 ºC. Sabiendo que la ca-pacidad calorífica del calorímetro es de 30 cal/ºCy que el calor de fusión del hielo es Cf = 80 cal/g,hallar la temperatura final.(Un calorímetro es un vaso que permite medir lascantidades de calor que intervienen en una trans-formación.)

Sistemas termodinámicos

La termodinámica es la parte de la física que estudia losmecanismos de transformación o transferencia de ener-gía de un cuerpo a otro dentro de un sistema. Se llama sis-tema termodinámico a toda porción o cantidad de mate-ria definida y limitada por barreras, ya sean éstas reales oimaginarias.

Las barreras de un sistema pueden clasificarse de la si-guiente manera:

Aislantes, que no permiten el paso de materia ni deenergía.

Fijas o rígidas, que impiden los cambios de volu-men.

Adiabáticas, que no permiten la transferencia de ener-gía en forma de calor ni de materia.

Impermeables, a través de las cuales no se produceintercambio de materia.

Permeables, que facultan el intercambio de materia yenergía en forma de calor.

Diatérmicas, que facilitan el intercambio de energíaen forma de calor.

Móviles, que permiten los cambios de volumen.

Un sistema termodinámico puede estar confinado porbarreras dotadas simultáneamente de varias de las ante-riores características, pudiendo ser, por ejemplo, diatér-micas y rígidas al mismo tiempo.

AislanteFija y rígidaAdiabática

Barreras termodinámicas ImpermeablePermeableDiatérmicaMóvil

En virtud del tipo de barrera que poseen, los sistemastermodinámicos se pueden clasificar en los grupos quese indican a continuación:

Abiertos, en los que es posible el intercambio de ener-gía y materia con el medio exterior (medio exterior estodo aquello que sea ajeno al sistema). El hecho de quepueda existir un intercambio de materia indica que al me-nos una de las paredes del sistema es imaginaria. A suvez, los sistemas abiertos pueden ser estacionarios o noestacionarios. En los primeros, la cantidad de materia queentra en el sistema es igual a la que sale, es decir, el flujode masa es constante. En los sistemas no estacionarios, lamateria que entra no es igual a la que sale.

Cerrados, sistemas termodinámicos en los que no pue-de existir intercambio de materia, pero sí de energía conel exterior.

Aislados, sistemas termodinámicos en los que no es po-sible ni el intercambio con el exterior de materia ni deenergía.

Térmicamente aislados o adiabáticos, sistemas termo-dinámicos en los que no se produce intercambio de ma-teria ni de energía en forma de calor con el exterior, perosí es posible la transferencia de energía en forma de tra-bajo.

Abiertos EstacionariosNo estacionarios

Sistemas termodinámicos CerradosAisladosTérmicamente aislados

o adiabáticos

Variables termodinámicas

Se llama variables termodinámicas a las propiedadesmacroscópicas de los sistemas termodinámicos. Por suparte, se denomina estado a cada una de las diferentesformas en que se puede presentar un sistema termodi-námico.

Las variables de estado son aquéllas que definen unsistema en equilibrio. Estas variables son la presión, elvolumen y la temperatura (simbolizadas, respectivamen-te, por P, V, T). Si varía una de ellas, se producirá una al-

TERMODINÁMICA


teración en el valor de, al menos, otra de estas variables,relacionadas entre sí por medio de la ecuación de estado,P · V = n · R · T (n, número de moles de gas; R, constanteuniversal de los gases perfectos).

Las variables termodinámicas se pueden dividir en in-tensivas y extensivas. Se llama variables extensivas aaquéllas cuyo valor se obtiene sumando sus valores entodos los subsistemas en que se puede dividir el sistemaprincipal. Por tanto, dependen de la cantidad de siste-ma que se considere, medida, por ejemplo, en forma demasa, volumen, trabajo, etc.

Las variables intensivas son aquéllas en que su valorneto no se obtiene como la suma de los valores parcialesen todos los subsistemas. Estas variables no dependen dela cantidad de sistema que se considere, de tal formaque la temperatura o presión de una habitación será lamisma con independencia de que se considere, por ejem-plo, todo su volumen o una parte de él.

Las variables intensivas no varían, aunque se parta la caja endos, pero las extensivas sí

Estado de equilibrio

Se considera que un sistema se encuentra en equilibriocuando sus variables termodinámicas no varían y soniguales en todos los puntos del sistema. Para determinarel estado de equilibrio basta con tener en cuenta las va-riables (P, V, T), las cuales son capaces por sí solas dedefinir el estado de un sistema.

Las diferentes formas en virtud de las cuales los siste-mas intercambian energía o materia con el entorno o conotro sistema se llaman cambios, procesos o transforma-ciones. Los cambios de estado se manifiestan a través dealteraciones en las variables de estado.

Así, se llaman cambios cuasiestáticos a aquéllos en quese conoce el camino que sigue la transformación y, portanto, todos sus estados de equilibrio intermedios. Loscambios no estáticos son aquellos en que no es posibleconocer los estados de equilibrio intermedios de latransformación, sino tan sólo las variables iniciales ylas finales de la transformación.

Son procesos reversibles aquéllos en que la transforma-ción de un punto a otro experimenta un cambio cuasies-tático y sus puntos de equilibrio están infinitamente pró-ximos. El sistema puede recorrerse tanto en un sentidode la transformación como en el contrario sin que se alte-ren las condiciones del sistema.

Las transformaciones que se realizan a presión cons-tante se denominan isobaras. Isocoras son aquellas trans-formaciones que se realizan a volumen constante. Lastransformaciones experimentadas a temperatura cons-tante se denominan isotermas. Finalmente, las transfor-maciones que se realizan sin intercambio de calor con elexterior se denominan adiabáticas.

Leyes fundamentales de la termodinámica

Primer principio de la termodinámica

La ley física conocida como primer principio de la termo-dinámica regula los intercambios de energía en los siste-mas termodinámicos. Este principio postula que en todosistema termodinámico el balance energético global essiempre constante.

Consideremos un sistema que después de haber sufri-do una serie de transformaciones sucesivas retorna a suestado inicial (realiza un ciclo), y que, además, en dichastransformaciones intervienen como únicas energías el ca-lor Q absorbido por el sistema y el trabajo mecánico W,que es realizado por el mismo. Por tanto, el principio dela conservación de la energía exige que: Q = W.

Si el calor fuese menor que el trabajo, y dado que pordefinición al final del ciclo la situación coincide con la delestado inicial, la repetición sucesiva de la transformaciónllevaría a obtener de la nada todo el trabajo que se desea-se. Se habría fabricado así el móvil perpetuo de primeraespecie, una entelequia de la física clásica refutada teóri-camente a mediados del siglo XIX.

Si el calor fuese mayor que el trabajo Q > W, repitiendosucesivamente el ciclo se destruiría cuanta energía se qui-siera.

Debido a ello podría reformularse el primer principiode la termodinámica afirmando que es imposible la exis-tencia del móvil perpetuo de primera especie; es decir, unsistema cerrado que experimente un proceso cíclico no

VO VO

P

P P = cte

isobara

P V = cte

isocora

V

P

O

isoterma

T = cte

V

P

O

ΣQ = cte

adiabática

Pm2

V2

T

Pm

V

T

P, V, T, m

________________________________________________________________________________________________ Termodinámica 39

puede proporcionar mayor cantidad de trabajo que laenergía que recibe en forma de calor:

Sin embargo, en las transformaciones abiertas el esta-do final de las transformaciones es distinto al inicial. Portanto, en general, es Q ≠W o Q – W ≠ 0, lo que es lo mis-mo. Pero ha de tenerse en cuenta que la energía Q – W,por el principio de conservación de energía, no puededesaparecer. Por ello se considera que esa diferencia deenergía ha sido absorbida por el sistema, el cual evolu-ciona aumentando su energía interna U. Así pues, latransformación puede definirse por la siguiente ex-presión:

∆U = ∆Q ∆W

Esta fórmula contiene la definición matemática del pri-mer principio de la termodinámica, según el cual la varia-ción de energía interna de un sistema es igual a la diferen-cia existente entre el calor absorbido por dicho sistema yel trabajo realizado por él.

La energía interna puede definirse como la energía to-tal que posee el sistema debido a su masa, el movimientode sus partículas, su posición en un posible campo defuerzas, etc.

A cada estado del sistema le corresponde una cantidadinvariable de energía interna, y la variación que experi-menta esta magnitud al pasar el sistema de un estado aotro será independiente de los estados intermedios porlos que haya atravesado, es decir, del tipo de transforma-ción experimentada. Por tanto, la energía interna de unsistema es una función de estado cuyo valor depende úni-camente de estado del sistema.

Podría parecer ilógico que a partir de la diferencia en-tre el calor y el trabajo, que no son funciones de estado,se obtenga una magnitud que sí lo es. Pero la energía in-terna de un sistema (U) puede considerarse como la sumade las energías cinética y potencial de todas sus partícu-las, la primera de ambas determinada por la masa y la ve-locidad de las partículas y la segunda por las fuerzas deatracción entre ellas.

Un sistema que se encuentre en un estado dado posee-rá una energía cinética y potencial determinadas y, portanto, una energía interna que es función del estado delsistema.

El primer principio de la termodinámica para unatransformación elemental se puede expresar mediante lasiguiente fórmula:

dQ = dU dW

Es decir, la cantidad infinitesimal de calor que se comu-nica a un sistema se emplea, por una parte, en aumentarsu energía interna y, por otra, en producir un trabajo ex-terior.

Procesos isocoros. En el tipo de transformaciones de-nominadas isocoras, el volumen es constante, por lo quedV = 0 y, por tanto, el trabajo también será nulo:

Q = ∆U

De ello se deduce que en una transformación isocora elcalor absorbido (o cedido) por el sistema se utiliza en in-crementar (o disminuir) su energía interna.

En la representación gráfica de un proceso isocoro sepuede apreciar claramente que el trabajo es nulo, pues sufunción no crea ningún área sobre el eje del volumen (esteárea sería el trabajo):

dU = dQ = nCV · dT

CV = 5 R, para gases de moléculas diatómicas2

CV = 3 R, para gases de moléculas monoatómicas2

Si el sistema que realiza la transformación fuera un gasideal, entonces:

P · V = n · R · T

Por tanto:

→

Procesos adiabáticos. Los procesos adiabáticos sonaquéllos en que no se producen intercambios de energíaen forma de calor. Estas transformaciones son reversiblespor naturaleza.

Al ser Q = 0, el primer principio de la termodinámicase reduce en este caso a:

dW = dU

P1 = P2T1 T2

P = n · RT V

V

P

O V

W ()

Q (+)

W (+)

Q ()

Sistema

40 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

Es decir, el trabajo en una expansión adiabática se rea-liza a expensas de la energía interna del sistema, lo queproduce una disminución de su temperatura.

El valor del trabajo en un proceso adiabático es, portanto:

W1-2 = (U2 U1) = U1 U2 = n · Cv · (T1 T2)

Si T2 es mayor que T1, el trabajo es negativo y el medioexterior suministra trabajo al sistema. Si T2 es menorque T1, el trabajo es positivo y lo realiza el sistema comose representa en el gráfico:

Si el sistema del proceso fuera un gas ideal, utilizandoel coeficiente adiabático γ = 1,4 (γ = Cp/Cv), el trabajo sepuede calcular de la siguiente manera:

W = P1 · V1 P2 · V2γ 1

En una transformación adiabática, la presión y el volu-men se pueden relacionar entre sí por la siguiente expre-sión:

P1 · V1γ = P2 · V 2

γ P · V γ2 = constante

La temperatura se relaciona con el volumen y la pre-sión mediante la fórmula:

1 γ

V · T γ1 = constante P · T γ1 = constante

Procesos isóbaros. Son procesos isóbaros aquellos quese realizan a presión constante.El trabajo producido eneste tipo de procesos se puede deducir muy fácilmente sise tiene en cuenta su función en los ejes cartesianos pre-sión-volumen:

W1 2 = p · (V2 V1)

Al aplicar el primer principio de la termodinámica, sus-tituyendo el trabajo se obtiene:

Qp = U2 U1 + p · (V2 V1) = (U2 + pV2) (U1 + pV1)

La suma de las funciones de estado U y pV es, a su vez,otra función de estado que recibe el nombre de ental-pía (H). La entalpía, junto con la presión, el volumen y latemperatura, caracterizan el estado del sistema. De la an-terior ecuación se deduce:

Qp = H2 H1 o dQp = dH

De dicha ecuación se colige que todo el calor que ab-sorbe el sistema, cuando la presión es constante, se em-plea en incrementar la entalpía. Si el sistema que evolu-ciona es un gas ideal, el calor recibido es:

Qp = nCp · (V2 V1)

se cumplen las siguientes igualdades:

CP = 5 R, para gases de moléculas monoatómicas2

Cv = 3 R, para gases de moléculas diatómicas2

Procesos cíclicos. Aplicando el primer principio de latermodinámica a una transformación cíclica, como en ellaes Q = W, la energía interna será nula. Así pues:

Q = W

Por tanto, no es posible que un sistema cerrado que ex-perimenta un proceso cíclico proporcione mayor canti-dad de energía en forma de trabajo de la que recibe en for-ma de calor.

El trabajo total se puede calcular sumando algebraica-mente el componente de trabajo de todos los procesos in-dependientes que forman el ciclo.

Segundo principio de la termodinámica

Consideremos las siguientes experiencias:

1. Dos cuerpos a diferentes temperaturas se ponen encontacto entre sí y se mantienen térmicamente aisladosdel medio exterior. Ambos cuerpos alcanzan finalmen-

V1 = V2T1 T2

P

O V1

P

VV2

T1 < T2

21

WT1 T2

T1 > T2

21

+ WT1 T2

________________________________________________________________________________________________ Termodinámica 41

te la misma temperatura y la cantidad de calor cedidapor el cuerpo más caliente es igual a la recibida por elmás frío.

2. Un volante en rotación se detiene por rozamiento ensus cojinetes. La temperatura del volante y de los cojine-tes aumenta, siendo el trabajo producido por rozamientoigual a la cantidad de calor absorbida por el sistema paraelevar su temperatura.

En cada una de estas transformaciones, de acuerdo conel primer principio de la termodinámica, la energía totaldel sistema considerado permanece constante.

Supongamos ahora que los dos sistemas anteriores seencuentran en el estado final de las transformaciones da-das e imaginemos que se producen transformaciones enel sentido inverso.

En el primer ejemplo, uno de los cuerpos debe enfriar-se espontáneamente y el otro calentarse hasta que se res-tablezcan las temperaturas iniciales. En el segundo caso,el volante y los cojinetes deben enfriarse y el volante em-pezar a girar hasta alcanzar su velocidad inicial.

La experiencia demuestra que estos procesos nunca seproducen en la naturaleza, a pesar de que la energía totaldel sistema permanece constante y que, por tanto, no es-tán en contradicción con el primer principio de la termo-dinámica. Así pues, debe existir otra ley natural que de-termine el sentido de evolución de los procesos en unsistema aislado.

Esta ley es el denominado segundo principio de la ter-modinámica. Al igual que el primero, constituye una ge-neralización de la experiencia y establece que ciertos pro-cesos completamente consecuentes con el primer princi-pio no podrán producirse en la práctica.

Muchos enunciados se han propuesto para el segun-do principio, todos los cuales coinciden en afirmar queun determinado proceso es imposible. Uno de estosenunciados es el debido a lord Kelvin, quien, en 1851,afirmó que es imposible cualquier proceso cíclico cuyoúnico resultado sea la extracción de calor de una únicafuente y la producción de una cantidad equivalente detrabajo.

Un dispositivo que pudiera operar de esta manera sellama móvil perpetuo de segunda especie. Si fuera posi-ble su construcción, extrayendo calor de cualquiera de lasfuentes inagotables de la naturaleza (el mar o la atmósfe-ra) podría obtenerse todo el trabajo que se deseara. Se ten-dría así un movimiento continuo que no estaría en con-tradicción con el primer principio.

Entropía

La magnitud física denominada entropía y representadacon la letra S es una función de estado cuyo comporta-miento para el conjunto sistema-entorno muestra dife-rencias en los procesos reversibles e irreversibles. Para unproceso reversible elemental se define matemáticamentecomo:

dS = dQrev ∆Q = ∆S · TT

En los procesos reversibles, la entropía del conjunto sis-tema-entorno no varía, pero en los procesos irreversiblessiempre aumenta.

Entropía y desorden

La entropía de un sistema puede relacionarse con la ideade desorden. Supongamos, por ejemplo, que un sistemaaislado está formado por dos gases separados por un ta-bique. Tal sistema posee un cierto grado de orden, en elsentido de que todas las moléculas de uno de los gasesestán a un lado del tabique y todas las del otro gas seencuentran al otro lado. Si retiramos el tabique, se mez-clan las moléculas de ambos gases hasta que, finalmen-te, ambas clases de moléculas se distribuyen uniforme-mente en todo el volumen. El orden original ha dismi-nuido, y aumentado el grado de desorden o de mezcladel sistema.

Pero también se ha incrementado la entropía del siste-ma, ya que el volumen que ocupa cada gas se ha duplica-do (a T constante, si los gases son ideales) dado que:

∆S = n · R · ln VB

VB

Así pues, se puede considerar la entropía como una me-dida del desorden de un sistema.

Ciclo de Carnot

Se llama ciclo de Carnot a un proceso en cuatro pasos quepermite transformar calor en trabajo. Para ello, como deacuerdo con el segundo principio no puede transformar-se en trabajo el calor recibido de una sola fuente, se dis-pone de dos fuentes a temperatura diferente, de maneraque el sistema absorbe calor de la fuente caliente y cedecalor a la fuente fría, realizando además trabajo.

El ciclo consta de los pasos siguientes:

P

O V

A

B

D

C

Q1

Q2

T2

T1

4 1

2

3

42 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

1. El sistema absorbe calor Q2 de la fuente a tempe-ratura T2 mediante una expansión isoterma, para pasarde un estado PA, VA y T2 a otro VB y PB a igual tempera-tura.

2. El sistema se expande adiabáticamente hasta un vo-lumen VD y temperatura T1, menor que T2.

3. El sistema se comprime isotérmicamente a la tem-peratura T1, cediendo calor Q1, a la fuente fría a tempera-tura T1, hasta poseer un volumen VA y una presión PA.

4. El sistema se comprime adiabáticamente hasta reco-brar su estado inicial.

Al representar el ciclo en un diagrama P-V, el trabajorealizado vendrá dado por el área encerrada por las lí-neas del ciclo.

Como el sistema completa un ciclo cerrado, la varia-ción de energía interna es nula. Por tanto, de acuerdo conel primer principio de la termodinámica, el trabajo será:

W = Q2 Q1 (Q1 < 0)

El rendimiento termodinámico del ciclo, por definición,es la relación existente entre el trabajo realizado W y elcalor absorbido Q2:

=

Este rendimiento, lógicamente, siempre será menorque uno.

Se puede calcular el rendimiento en función de las tem-peraturas de las fuentes, a partir de la ecuación de estadodel sistema. Si se tratara de un gas ideal, podría afirmar-se que:

Transformación A-B: WA-B = Q2 = n · R · T2 ln (VB/VA). Transformación B-D: WB-D = n · Cv · (T2 T1). Transformación D-C: WD-C = Q1 = n · R · T1 ln (VC/VD). Transformación C-A: WC-A = n · Cv · (T1 T2).

Por tanto, el trabajo total sería:

W = n · R · T2 ln (VB/VA) + n · R · T1 ln (VC/VD)

y el rendimiento del ciclo, tras sucesivas simplificaciones:

η = 1 T1T2

El rendimiento se incrementa al aumentar T2 y dismi-nuir T1 y, por tanto, al aumentar la diferencia entre estastemperaturas. La existencia de esa diferencia térmica escondición necesaria para que el ciclo produzca trabajo.Si T1 = T2, entonces el rendimiento es nulo, es decir, no serealiza trabajo.

El rendimiento del ciclo de Carnot no depende de lasustancia que evoluciona, sino de las temperaturas delhogar y del refrigerante. Por ello, según la teoría todoslos ciclos de Carnot que funcionan a las dos mismas tem-peraturas tienen el mismo rendimiento.

1 + Q1 (Q1 < 0)Q2

η = W = Q1 + Q2Q1 Q2

________________________________________________________________________________________________ Termodinámica 43


1. Sabiendo que el peso molecular de un gas es 32y que su coeficiente adiabático es γ = 1,4, dedu-cir los calores específicos de dicho gas a presióny a volumen constante, en unidades del S.I. R = 8.315 J/kmol · K.

2. Componer un cuadro en el que se indiquen lasprincipales características de las transformacionesisoterma, isocora, isobara y adiabática.

Conceptos generales

Ondas

El término onda se aplica a un amplio conjunto de fenó-menos físicos muy diferentes entre sí, como la luz, el ca-lor, el movimiento del agua cuando se arroja un objeto so-bre ella, etc. Todos estos fenómenos comparten el hechode que transportan energía de un punto a otro.

Una onda, base del movimiento ondulatorio, se puededefinir como el fenómeno de transmisión de una pertur-bación de un punto a otro del espacio, sin que exista untransporte neto de materia entre dichos puntos.

Si la onda se propaga en un medio elástico ideal, latransmisión de energía es completa. Por el contrario,cuando el movimiento ondulatorio se produce en un me-dio no elástico, la onda es amortiguada y termina por des-aparecer, tal y como sucede en la realidad.

De particular interés para la física es el estudio del movi-miento ondulatorio periódico no amortiguado y sinusoi-dal, conocido simplemente por movimiento ondulatorio:

Clases de ondas

Es posible establecer una clasificación de las ondas enfunción de dos criterios: la naturaleza del medio en quese propagan y la dirección en que se produce la perturba-ción mientras la onda se desplaza.

Las ondas que necesitan de un medio natural como so-porte para su propagación se conocen como ondas mate-riales y no pueden propagarse en el vacío. A esta catego-ría pertenecen el sonido y sus fenómenos extremos, losultrasonidos y los infrasonidos. La velocidad de propa-gación de las ondas materiales depende directamente delas características elásticas del medio.

Las ondas que pueden propagarse tanto en el vacíocomo en los medios materiales reciben el nombre de elec-tromagnéticas. En este grupo se encuadran las ondas deradio y televisión, el radar, etc. La velocidad de propaga-ción de las ondas electromagnéticas depende de la cons-tante dieléctrica ε y de la permeabilidad magnética µ delmedio; en el caso del vacío se tiene que:

c = 1 300.000 km/hε0 · µ0

con ε0 constante dieléctrica en el vacío y µ0 permeabili-dad magnética en el vacío.

En virtud de la dirección en que se produce la pertur-bación las ondas pueden ser transversales o longitudina-les. En las ondas transversales, las partículas del mediovibran en dirección perpendicular a la del desplazamien-to de la onda. Cuando las direcciones de vibración y pro-pagación coinciden, la onda se dice longitudinal.

Cuando las ondas longitudinales se propagan por el in-terior de un fluido se llaman ondas a presión. Éste es elcaso del desplazamiento del sonido en el aire:

Onda transversal

V

V

V

Movimiento ondulatorio periódicono amortiguado y sinusoidal

Movimiento ondulatorio periódicoamortiguado

Movimiento ondulatorio periódico

MOVIMIENTOONDULATORIO


En la onda transversal, la cuerda oscila perpendicularmentea la dirección en que se propaga la onda.

En la onda longitudinal, el muelle oscila en la misma direcciónen que se propaga la onda

Ecuación del movimiento ondulatorio

Para determinar la función matemática que permita cono-cer el movimiento ondulatorio sinusoidal, primeramentees preciso conocer las magnitudes que intervienen en él.

Amplitud es la máxima elongación que puede inducirun movimiento ondulatorio. Se representa convencional-mente con la letra A.

Longitud de onda es la distancia existente entre dospuntos consecutivos de la onda que se encuentren en lasmismas condiciones de movimiento, es decir, entre dospulsos sucesivos.

Se representa con la letra λ:

Período es el tiempo necesario para que una partículaefectúe una vibración completa, es decir, el tiempo quetranscurre entre dos pulsos sucesivos. Se suele represen-tar con el símbolo T, y en el Sistema Internacional se mideen segundos. Durante un período la onda habrá recorri-do la longitud λ.

Frecuencia es el número de vibraciones completas efec-tuadas en una unidad de tiempo (normalmente un segun-do). La frecuencia es la magnitud inversa del período, serepresenta con f y su unidad en el S.I. es el hercio (Hz):

f = 1T

Velocidad de onda o velocidad de propagación

Se dice velocidad de propagación a la velocidad requeridapara recorrer una longitud de onda en un período de tiem-po dado. Siempre que los diferentes pulsos se propaguencon la misma velocidad, para lo cual el medio de propaga-ción ha de ser isótropo, uniforme y homogéneo, se tiene que:

v = λT

siendo v la velocidad de propagación, λ la longitud deonda y T el período.

Para determinar la función de un movimiento ondu-latorio sinusoidal que lleva vibrando t segundos conuna amplitud A y que se encuentra a una distancia xdel foco, se emplea la ecuación del movimiento ondu-latorio:

y = A · sen 2π( t – x)T λ

donde x, y son las coordenadas horizontal y vertical delpunto; A, la amplitud de la onda; T, el período; λ, la lon-gitud de onda, y t, la variable tiempo.

Propiedades de las ondas

El paso de una onda de un medio de propagación a otroprovoca cambios en la dirección de desplazamiento, enun fenómeno conocido como refracción. Si, por el contra-rio, la onda “rebota” en el segundo medio y se devuelveal primero, se dice que la onda se refleja. Otras propieda-des básicas de la luz son la difracción y las interferenciasentre las ondas.

Reflexión

Cuando el frente de una onda llega a la superficie de se-paración entre dos medios que tienen densidades y pro-piedades mecánicas diferentes, generalmente se originandos ondas: la refractada, que atraviesa el medio en gene-ral con un cambio de dirección, y la reflejada, que es de-vuelta al primer medio también, por lo general con cam-bio de dirección.

La reflexión produce un cambio de dirección en la onda,regido por las siguientes leyes:

1. El rayo u onda incidente y el rayo reflejado se en-cuentran en el mismo plano.

2. El ángulo de incidencia, i, y el ángulo de reflexión, r,son iguales:

Refracción

Se llama refracción al cambio de dirección experimenta-do por una onda al pasar de un medio a otro en los queposee distinta velocidad de propagación.

El fenómeno de la refracción se rige por dos leyes prin-cipales:

IncidenteReflejado

Refractado

Medio 1Medio 2

ri

d

λA

Onda longitudinal

V

V

V

V

__________________________________________________________________________________________ Movimiento ondulatorio 45

1. El rayo incidente, la normal y el rayo refractado seencuentran en el mismo plano.

2. La relación entre el seno del ángulo de incidencia yel seno del ángulo de refracción es igual al cociente entrelas velocidades de la onda en los dos medios:

Difracción

Aunque la difracción ya fue descrita por Isaac Newton yChristiaan Huygens en el siglo XVII, fue el francés Jean Fres-nel (1778-1872) quien, basándose en un principio enuncia-do de Huygens, ofreció una explicación detallada de estefenómeno. Así, la difracción, que permite a la luz doblaresquinas o bordear obstáculos, puede explicarse como elresultado de la colisión de una onda con una superficie queno puede atravesar, pero en cuya parte central existe unorificio del tamaño del orden de magnitud de su longitudde onda. En dicho orificio, que actuará como una fuentepuntual de onda, se creará un nuevo frente de onda. Portanto, la difracción se produce con mayor claridad cuandoel tamaño del orificio es muy próximo a la longitud deonda del propio movimiento ondulatorio:

Polarización

Se conoce por polarización al fenómeno experimentadopor una onda cuando pasa por una pequeña ranura prac-ticada en un cuerpo que no puede atravesar, de modo quesólo se transmite a través del obstáculo la porción de ondaque vibra en la misma dirección que la ranura. Laonda que atraviesa el obstáculo sólo vibrará en un planoy se dirá que está polarizada:

Superposición (interferencias)

Cuando dos o más ondas se propagan por el mismo me-dio, la perturbación resultante en cada punto del medioque recibe ambos movimientos ondulatorios es igual a lasuma de las perturbaciones que producirían cada una delas ondas por separado.

Las ondas, al coincidir en un punto, dan origen a unanueva. Sin embargo, antes y después del punto de con-fluencia, mantienen sus características inherentes, pro-piedad que caracteriza al movimiento ondulatorio.

La coincidencia de dos o más ondas en un mismo pun-to se llama interferencia. Se entiende por interferenciaconstructiva cuando la perturbación resultante de la su-perposición de dos o más ondas supone un refuerzo delas originales. Si, por el contrario, la perturbación resul-tante es de intensidad menor que las ondas originales, lainterferencia recibe el nombre de destructiva:

Ondas estacionarias. Las ondas estacionarias constitu-yen un caso particular de las interferencias, en el que lasondas que confluyen son iguales y con la misma direc-ción, aunque de sentido contrario:

Al coincidir estas perturbaciones dan lugar a una ondaestacionaria, en la que se distinguen puntos inmóviles de-nominados nodos (N1, N2...) y vientres (V1, V2...), que sedesplazan hasta posiciones extremas. En apariencia, laonda produce la sensación de permanecer inmóvil en elespacio, por lo que recibe el nombre de onda estacionaria.

Una forma sencilla y fácil de producir una onda esta-cionaria consiste en superponer la onda incidente en unobstáculo y su onda reflejada.

V1

V1 V2

N1 N2

Superposición de ondas

Onda transversalsin polarizar

Ondapolarizada

Agua

46 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________


1. Contestar razonadamente a estas cuestiones:a) ¿Cuál es la diferencia entre onda y movimiento

ondulatorio?b) ¿Pueden producir interferencias un sonido y

una onda electromagnética?c) ¿Qué es lo que transmite la onda?

2. Hallar la longitud de onda de un movimiento cuyavelocidad de propagación es de 300 m/s, con unafrecuencia de 650 ciclos por segundo.

Naturaleza del sonido

El origen de cualquier sonido es la vibración de lamateria. El ser humano tiene la capacidad de percibir,gracias a su capacidad auditiva, los sonidos que se emi-ten o propagan con una frecuencia comprendida entre16 y 20.000 Hz. Este intervalo se conoce como bandaacústica.

El hecho de que el sonido es producido por la vibraciónde la materia puede apreciarse con claridad en ejemplostan cotidianos como:

– Los instrumentos musicales, los cuales emiten soni-do cuando vibran sus cuerdas (violín o guitarra) o mem-branas (tambores), o bien el aire en su interior (flautas otrompetas).

– La voz humana es producto de la vibración de lascuerdas vocales.

Así, también se puede definir el sonido como la sensa-ción provocada por una oscilación de frecuencia audible,es decir, comprendida entre 16 y 20.000 Hz.

El sonido se propaga según movimientos ondulatoriosa través de medios materiales. Para definir estos movi-mientos se emplean magnitudes tales como la longitudde onda, la amplitud, la frecuencia y el período, pro-pias del dominio de la mecánica ondulatoria.

Alternativamente, la naturaleza y las características deun sonido pueden definirse perfectamente por otras mag-nitudes como el tono, la intensidad y el timbre.

La velocidad del sonido, en general, es superior en lossólidos que en los líquidos y, a su vez, mayor en éstos queen los gases. La influencia de la temperatura en la veloci-dad de propagación del sonido en sólidos y líquidos esprácticamente nula. No sucede lo mismo, sin embargo,en los medios gaseosos.

Tono, intensidad y timbre

Aparte de las propiedades físicas del sonido, este fenó-meno posee como cualidades diferenciativas, relaciona-das con el modo de percepción de sus ondas por el oídohumano, el tono, la intensidad y el timbre.

Tono. Característica del sonido íntimamente relaciona-da con su frecuencia, el tono permite distinguir entre soni-dos agudos y graves. Los primeros son los constituidos porondas sonoras de alta frecuencia, mientras que los sonidosgraves están formados por ondas de baja frecuencia:

Con independencia de la altura del sonido, lo que nun-ca varía es su velocidad de propagación. Ahora bien, lasnotas altas poseen mayor frecuencia y menor longitud deonda que las bajas, al cumplirse la expresión:

v = λ · f

donde v es la velocidad de propagación; λ, la longitud deonda, y f, la frecuencia.

Sonido agudo

Sonido grave

ACÚSTICA


Medio Velocidad (m/s)

Hierro 5.130Aluminio 5.100Agua 1.460Aire 340

Velocidad del sonido según elmedio de propagación

Al ser la velocidad constante en un medio dado, alaumentar la frecuencia disminuye la longitud de onda.

Intensidad. Se llama intensidad del sonido a la energíatransmitida en cada segundo por una onda sonora al atra-vesar la unidad de superficie perpendicular a la direcciónde propagación. En el Sistema Internacional, la unidad demedida de la intensidad del sonido es el vatio por metrocuadrado (W/m2).

La propagación de las ondas sonoras tiene lugar en to-das las direcciones. Cuando el medio de propagación eshomogéneo, las ondas que se forman son longitudinalesesféricas.

La “fortaleza” o “debilidad” de un sonido, es decir, su in-tensidad, depende únicamente de la amplitud de sus ondas:

Para el oído humano existe un límite por debajo del cualno puede percibir ningún sonido. Esa intensidad mínimaaudible (I0) recibe el nombre de umbral inferior de audi-ción, y depende de la frecuencia del sonido y, sobre todo,de la capacidad auditiva de cada persona.

En el otro extremo del intervalo auditivo se encuentrael umbral superior de audición, que corresponde a la má-xima intensidad de sonido que el oído es capaz de perci-bir sin sufrir ningún daño.

Por su parte, se llama sonoridad a la intensidad sonoraen relación con la capacidad fisiológica propia del oídohumano para distinguir entre sonidos de mayor o menorintensidad. La sonoridad o nivel de intensidad se mideen decibelios (dB) y se calcula mediante la siguiente ex-presión:

i = 10 log II0

Timbre. La cualidad sonora responsable de que poda-mos distinguir entre varios sonidos, aunque posean elmismo tono y se perciban con igual intensidad, es el tim-bre. Esta propiedad permite distinguir claramente si unsonido es humano o, por ejemplo, procede de un piano ouna trompeta, aunque todos ellos tengan igual tono e in-tensidad.

El tono fundamental de un sonido es el formado poruna onda de una sola frecuencia. En la realidad no exis-ten apenas sonidos que se emitan en su tono fundamen-tal; por lo general, están formados por la superposiciónde muchas ondas de muy distintas frecuencias múlti-plos de la frecuencia del tono fundamental, denomina-das armónicos. El tono fundamental se percibe con idén-tica impresión sonora para cualquier instrumento, y sonel timbre y los armónicos los que caracterizan a cada so-nido en concreto.

Efecto Doppler-Fizeau

Cuando se escucha el sonido de un automóvil que circu-la por una carretera pueden apreciarse variaciones en sutono o frecuencia según se aleje o acerque con respecto allugar de observación. Los cambios de frecuencia de lasondas cuando existe un movimiento relativo del foco emi-sor con respecto al receptor son comunes para todos lostipos de ondas. El efecto responsable de este fenómenose denomina efecto Doppler-Fizeau.

En los movimientos relativos de emisor y receptor sepueden dar dos casos:

1. Si el emisor (E) se mueve a lo largo del eje hori-zontal hacia el receptor (R) con una velocidad vf, en unmedio caracterizado por una velocidad de propagacióndel sonido v, siendo f0 la frecuencia con que emite lasondas el foco, la frecuencia percibida en el receptorserá:

fr = f0

(1 ± Vf )V

En la fórmula se atribuye signo positivo al caso en queel foco emisor se aleja del receptor, y negativo cuando seproduce el movimiento en sentido contrario.

Si en el sentido opuesto al movimiento hubiese otro re-ceptor R’, a ambos receptores llegaría el mismo númerode ondas, aunque desigualmente espaciadas (es decir, condistinta longitud de onda):

2. Si el receptor permanece inmóvil y el que se despla-za es el receptor, la longitud de onda no variará, pero sílo hará la frecuencia de las ondas. Si se aleja, el receptorpercibirá ondas con menor frecuencia, que serán de fre-cuencia superior en caso de que se acerque.

La frecuencia de las ondas percibidas por el receptor, fr,viene dada por la expresión:

fr = f0 · (1 ± vr)v

donde f0 es la frecuencia de emisión; vr, la velocidad delobjeto vista desde el receptor, y v, la velocidad de propa-gación del sonido. Se asigna a esta frecuencia signo posi-tivo cuando el receptor se acerca al foco, y negativo, cuan-do se aleja de él.

Vf

λ'

λ

E1

32

E2E3

R' R

1

x

Sonido fuerte

Sonido débil

48 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________ Acústica 49

El efecto Doppler-Fizeau se aprecia en todos los movi-mientos ondulatorios, pero con particular importancia enel caso de la luz. La frecuencia del haz luminoso cuandose acercan el foco y el receptor resulta mayor que si per-maneciesen inmóviles uno con respecto a otro, lo que pro-duce un corrimiento hacia el azul del tono cromático (fre-cuencias más altas). Este corrimiento es hacia el rojo cuan-do foco y receptor se alejan, un hecho de especial interésen el contexto de la astrofísica y la cosmología, al ser unindicio de la expansión del universo en su conjunto.

Resonancia

El fenómeno de la resonancia se produce cuando la emi-sión de ondas por parte de un objeto hace vibrar solida-riamente a otro. Las compresiones y enrarecimientos delas ondas sonoras debidas a las emisiones del primer ob-jeto actúan regularmente sobre el segundo y provocan suvibración. Este hecho se denomina también vibración porsimpatía.

El fenómeno de la resonancia tiene lugar cuando las fre-cuencias naturales de vibración de dos objetos son idén-ticas o la de uno de ellos es un múltiplo de la del otro. Deesta forma, un tenor podría ser capaz de hacer vibrar lascuerdas de un piano contiguo que poseyeran su mismafrecuencia.

El segundo diapasón vibrará por resonancia siempre que tengala misma frecuencia que el primero o un múltiplo de ésta

La resonancia no es sólo un fenómeno asociado a las on-das sonoras, sino que también se puede dar en estructu-ras vibrantes, ondas hertzianas y ondas luminosas.

Ultrasonidos

El oído humano, que funciona como una caja de resonan-cia, sólo es capaz de percibir sonidos comprendidos enuna banda de frecuencia entre 16 y 20.000 Hz (que corres-

ponden a una longitud de onda de 5 m para el sonido másdébil y de 3 cm para el más intenso).

Los sonidos cuya frecuencia es superior a 20.000 Hz y,por tanto, ya no percibibles por el oído humano recibenel nombre de ultrasonidos.

Una forma de producir ultrasonidos de muy alta fre-cuencia es someter láminas de cuarzo a la acción de unacorriente eléctrica alterna. Al paso de ésta, las láminas decuarzo se comprimen y estiran, es decir, vibran con unafrecuencia muy alta.

Los ultrasonidos se utilizan en muy distintas aplicacio-nes, tales como la esterilización de la leche, la limpiezade aires contaminados, el diagnóstico de ciertas enferme-dades, las operaciones quirúrgicas o la catálisis y acelera-ción de reacciones químicas.

La energía de los ultrasonidos es tan intensa que si sesumerge una mano en un líquido sometido a vibracionesultrasónicas, se experimentaría un dolor muy agudo.


1. Establecer la veracidad o falsedad de las siguien-tes afirmaciones:

a) Las ondas de sonido no se pueden propagar enel vacío.

b) El sonido se transmite mejor en los líquidos queen los gases.

c) La transmisión del sonido es mejor en los líqui-dos que en los sólidos.

d) La intensidad fisiológica es una sensación audi-tiva que se mide en decibelios.

e) Cuanto mayor sea la temperatura del agua, másrápidamente se propagará el sonido.

2. ¿En qué tipo de movimiento ondulatorio se apre-cia más el efecto Doppler-Fizeau?

3. ¿A qué se llama ultrasonidos?

Introducción

La óptica es la parte de la física que estudia los fenóme-nos producidos por las radiaciones electromagnéticas vi-sibles, que se manifiestan a través de su doble naturalezade ondas y corpúsculos materiales.

Todos los tipos de radiación electromagnética conoci-dos tienen en común su velocidad de propagación en elvacío (2,99793 · 108 km/s), valor constante que constituyeuno de los paradigmas de la física teórica.

La óptica se centra principalmente en el estudio de lanaturaleza de la luz, que posee propiedades y caracterís-ticas propias de las ondas. Por tanto, podría también de-finirse la óptica como el área de la física dedicada al estu-dio de los fenómenos producidos por la luz visible o ener-gía radiante que podemos percibir por la retina denuestros ojos.

Hipótesis sobre la naturaleza de la luz

La naturaleza de los efectos luminosos ha sido objeto decontroversia desde los albores de la ciencia. En la físicamoderna, la idea de una luz compuesta por partículasmateriales, defendida, entre otros, por Isaac Newton ensu obra Opticks (1704), fue duramente contestada. Chris-tiaan Huygens y otros científicos propusieron una teoríaque propugnaba que la luz era un mero fenómeno ondu-latorio. La historia se encargó de demostrar que ambosenfoques eran complementarios: según la doctrina elec-tromagnética y la teoría cuántica más avanzada, la luzestá formada, al igual que los restantes tipos de radiaciónelectromagnética no visible, por partículas sin masa lla-madas fotones que comparten en su movimiento las pro-piedades de los fenómenos ondulatorios.

Teoría electromagnética

Los trabajos de Thomas Young y Augustin-Jean Fresnelen el siglo XIX reafirmaron la idea previamente propuestapor Robert Hooke de que las ondas luminosas son trans-versales, es decir, que la vibración de las partículas que

emiten luz es perpendicular a la dirección del desplaza-miento de la onda. Este resultado contradecía los postu-lados vigentes y planteaba incógnitas que los modelosaceptados eran incapaces de resolver:

Esta contradicción se resolvió en 1873 cuando el britá-nico James Maxwell enunció la teoría electromagnéticade la luz. Según esta hipótesis, el paso de un tren de on-das luminosas implica fluctuaciones periódicas de loscampos eléctricos y magnéticos y no vibraciones mate-riales.

La teoría de Maxwell adquirió plena aceptación conlos trabajos de Heinrich Hertz en 1887. Utilizando uncircuito oscilante de reducidas dimensiones, Hertz con-siguió producir ondas electromagnéticas que mostra-ban idénticas propiedades que la luz, dando por com-probada la naturaleza electromagnética de las ondas lu-minosas.

Teoría cuántica

El físico alemán Max Planck (1858-1947) propuso en 1900la hipótesis cuántica, que revolucionaría las bases de lafísica teórica. Según esta hipótesis, la emisión de energíapor los cuerpos no es continua, sino que se realiza por pa-quetes o cuantos de acción cuya energía viene dada porla expresión:

E = h · f

siendo f la frecuencia de la radiación, y h, un parámetrodenominado constante de Planck y cuyo valor es:

h = 6,6256 · 10-34 J · s

La teoría cuántica, inicialmente recibida con cierta frial-dad en los círculos científicos, fue admitida a escala glo-

E

H


ÓPTICA

bal cuando demostró su validez en la explicación de losfenómenos subatómicos luminosos.

Fue Albert Einstein quien se encargó de aplicar la teo-ría de cuantos al estudio de la luz. Llamó fotones a esoscuantos de luz, con lo que el producto de su frecuenciapor la constante de Planck sería la energía asociada a cadauno de ellos. Según estas consideraciones, la luz sería unacorriente de fotones (corpúsculos) de energía hf, a la quese asociaría una radiación de frecuencia f. Esta idea seaplicaría también al resto de las partículas subatómicas,en la llamada hipótesis de la dualidad corpúsculo-onda.

Así pues, el fotón se caracteriza por su longitud de ondaλ y frecuencia f, y la onda, por su cantidad de movimien-to (p = m · c) y por su energía (E = hf). Entre todas estasmagnitudes se establecen las siguientes relaciones:

E = h · f

por lo que la cantidad de movimiento del fotón será:

p = mc, y como E = mc2

E h · f hentonces p = = =

c c λ

Con todo, la aproximación teórica puramente ondula-toria de la luz mantiene su utilidad y su vigencia en múl-tiples procesos y aplicaciones, principalmente a escalamacroscópica.

Propiedades de la luz

La óptica se encarga del estudio de las propiedades de laluz, como su propagación en los medios materiales y susdiversas incidencias: reflexión o “rebote” de los rayos lu-minosos en superficies pulimentadas; refracción o cam-bio de dirección al pasar de un medio a otro; difracción,un curioso fenómeno que permite a los haces luminosossortear obstáculos, doblar curvas, etc.; polarización uorientación de las ondas de luz en una dirección privile-giada; interferencias; dispersión, etc.

Propagación de la luz

La luz se propaga en línea recta en el vacío o a través demedios transparentes homogéneos. Los manantialesde luz se llaman focos, y si son muy pequeños con res-pecto a los cuerpos que integran su medio, se dicen focospuntuales o puntos luminosos.

Según el efecto que induce en ellos la luz, los cuerposse pueden catalogar en opacos, transparentes y trans-lúcidos:

– Se llama opacos a los cuerpos que no son atravesadospor la luz, como la piedra, la madera, etc.

– Transparentes son los materiales que permiten que laluz les atraviese, como el agua, el vidrio, etc.

– Los cuerpos translúcidos o semitransparentes permi-ten el paso de la luz, pero no se pueden distinguir perfec-tamente los contornos de los objetos a su través.

Los cuerpos transparentes y translúcidos también ab-sorben parte de la luz que incide sobre ellos y, a deter-minados espesores, se hacen opacos; es conocido, porejemplo, que el agua a ciertas profundidades (superio-res a 100 m en mares y océanos) no permite el paso dela luz.

Se llama rayo luminoso a la línea recta que sigue la luzcuando se propaga entre dos puntos. Esta línea, pura-mente teórica, carece de entidad real, pero se empleacomo forma de representación de la luz en los principiosde la óptica.

Cuando el foco de luz puede considerarse puntual,la interposición de cuerpos opacos produce una som-bra de contornos nítidos. No ocurre así cuando la luzemerge de un foco extenso, en cuyo caso la sombra apa-rece rodeada de otra menos intensa que se llama pe-numbra:

Focoextenso

Penumbra

Foco

puntual

Sombra

________________________________________________________________________________________________________ Óptica 51

Espectro electromagnético

1023

1022

1021

1020

1019

1018

1017

1016

1015

1014

1013

1012

1011

1010

109

108

107

106

105

104

103

102

10

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1101

102

103

104

105

106

107

Frecuenciaciclos/segundo

Longitud deonda/metros

VISIBLE

Rayos gama

Rayos X

Ultravioleta

Infrarrojo

Ondas de radio cortas

Ondas de TV y radiode FM

Ondas de radio de AM

Ondas de radio largas

= 1 Å= 1 mm

= 1 µm

= 1 cm

= 1 m

= 1 km1 MHz =

1 kHz =

Reflexión de la luz. Espejos

Cuando la luz colisiona con una superficie no pulimenta-da, se refleja en todas las direcciones. Este fenómeno reci-be el nombre de difusión de la luz. Sin embargo, cuandoincide sobre una superficie pulimentada (llamada espe-jo), el haz luminoso se refleja en unas ciertas direccionesprivilegiadas determinadas por el fenómeno de la refle-xión. Se puede definir la reflexión de la luz como la mo-dificación brusca de la dirección que experimenta un hazluminoso cuando colisiona contra una superficie puli-mentada:

En función del tipo de superficie, el espejo puede serplano, cóncavo o convexo.

Espejo plano. En los espejos planos, la imagen del ob-jeto es simétrica y de igual tamaño que el propio obje-to. La distancia del objeto al espejo es igual, aunque desentido contrario, a la que existe entre la imagen y el es-pejo:

Los espejos planos resultan medios ideales para ilus-trar las leyes de la reflexión desde el punto de vista de lafísica clásica. La primera ley de la reflexión afirma que elrayo incidente, el reflejado y la normal a ambos se en-cuentran en un mismo plano.

Por su parte, la segunda ley de la reflexión estableceque el ángulo de reflexión es igual al de incidencia. Por latercera ley, el camino seguido por los rayos de luz es in-dependiente del sentido de su propagación:

El periscopio es una de las utilidades del espejo plano

Espejos cóncavos y convexos. Los espejos no planos,ya sean cóncavos o convexos, son esféricos y compartenlas siguientes propiedades y definiciones:

– El centro geométrico de la figura (O) es el centro delespejo.

– El centro de curvatura (C) corresponde al centro de laesfera a que pertenece el espejo.

– El eje principal es la línea recta que une el centro de lafigura y el de curvatura.

– Se llama eje secundario a toda recta que pase por elcentro de curvatura.

– Foco principal es el punto situado en el eje principalsobre el cual coinciden todos los rayos paralelos al ejeprincipal de un haz luminoso.

– La distancia focal es la separación que existe entre elfoco principal y el centro del espejo. La distancia focal esla mitad del radio del espejo.

– El plano focal es el plano perpendicular al eje princi-pal y que contiene al foco.

En los espejos esféricos, tanto cóncavos como conve-xos, el valor inverso de la distancia focal es igual a la sumade los valores inversos de las distancias del espejo al ob-jeto y a su imagen:

1 + 1 = 1–– –– ––S S’ f

El tamaño del objeto reflejado viene dado por la si-guiente expresión:

t = S’––S

En estas expresiones es importante el “signo” de las dis-tancias. Una distancia se considera positiva cuando semide hacia la derecha del centro de la figura y hacia arri-ba del eje principal.

Los espejos cóncavos son los que poseen como superfi-cie reflectante la cara interior. En las figuras se ilustranlas diversas posibilidades de fenómenos de reflexión exis-tentes en dichos espejos:

Imagen

Espejo

A'Aa b

i

ri = ar = ba = bi = b (2.ª ley)

Difusión dela luz en superficie

no pulimentada

Reflexión

Espejo

52 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

ESPEJOS CÓNCAVOS

Por su parte, espejos convexos son los que tienencomo superficie reflectante la cara exterior. En ellos, laimagen obtenida es siempre de menor tamaño que el ob-jeto, con independencia de la distancia que les separedel espejo:

Refracción de la luz. Lentes

Se denomina refracción a todo cambio de dirección ex-perimentado por un rayo luminoso al pasar de un me-dio de propagación a otro. Por su parte, las lentes ópti-cas son medios transparentes limitados por dos superfi-cies, al menos una de las cuales es curva, que refractanla luz.

Las lentes se pueden clasificar en:

– Convergentes o convexas:

• Biconvexa (1).• Planoconvexa (2).• Meniscoconvexa (3).

– Divergentes:

• Bicóncava (4).• Planocóncava (5).• Meniscocóncava (6).

Para simplificar, las lentes se representan esquemática-mente de la siguiente manera:

Las lentes de buena calidad deben ser lo más delgadasposible para así sólo recibir los rayos que pasan próximosa su centro y obtener una imagen clara.

En una lente se distinguen dos clases de elementos: losópticos, como el centro óptico y los focos principales, ylos geométricos, que son el centro de curvatura, el ejeprincipal y la sección principal.

La alteración de las imágenes por lentes cumple las si-guientes propiedades:

– Cualquier rayo secundario que atraviesa por el cen-tro óptico de la lente no sufre refracción alguna.

– Todo rayo paralelo al eje principal se refracta a travésdel foco imagen.

– Todo rayo que pase por el foco objeto experimentauna refracción en la lente paralela al eje principal.

– Cuando un punto está situado sobre el eje principaldel haz luminoso atraviesa la lente sin refractarse y suimagen estará también sobre el eje.

– Si el objeto está situado sobre el foco, su imagen seforma en el infinito, pues los rayos que de él emergen sur-gen paralelos de la lente:

Construcción de imágenes:

Elementos de una lente divergente

Eje principalC O C'F

S

Elementos de una lente convergente

Eje principalCentrocurvatura

C O F

Focoimagen

C'

Convergentes Divergentes

21 3 4 5 6

Imagen en un espejo convexoF C

O

I

ri

Cuerpo situado entre el foco

y el centro de curvatura

FCO

I

Cuerpo situado en el centro de curvatura

FCO

I

Cuerpo situado fuera

del centro de curvatura

FCO

I

________________________________________________________________________________________________________ Óptica 53

En las lentes divergentes, cualquiera que sea la posi-ción del objeto, la imagen que se produce es siempre vir-tual, directa y de menor tamaño:

La distancia del objeto a la lente S, de la lente a la ima-gen S´ y la distancia focal f’ de la imagen se relacionan en-tre sí de la siguiente manera:

1 1 1–– = –– – ––f’ S’ S

con ambas distancias positivas.La magnitud 1/f´, inversa de la distancia focal, es la po-

tencia de la lente. Cuando la distancia focal se mide enmetros, la potencia tiene como unidad la dioptría.

La relación entre el tamaño de la imagen y la dimen-sión real del objeto viene dada por la siguiente expresión:

Tamaño de la imagen = Tamaño del objeto · S’––S

El uso de las lentes es muy diverso en aparatos de ópti-ca, tales como cámaras fotográficas, lupas, microscopios,anteojos, instrumentos astronómicos ópticos, etc.

Imagen de un objeto enuna lente divergente

OF' A'

A

BB'

Imagen de un punto en

una lente convergente

F O F'

X'

X

Imagen de un cuerpo simétrico

al eje principal

F

O F'A

B'

A'B

Imagen de un objeto

situado entre la lente y el foco

A' O F'A

B'

F

B

Imagen de un objeto

situado entre el infinito y el foco

F O F'A

B'

A'

B

54 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________


1. Calcular la longitud de un espejo plano y la dis-tancia a que debe colocarse del suelo para que unhombre de 1,82 m de altura pueda verse en él decuerpo entero. La altura a la que tiene los ojos es1,70 m.

2. Determinar la posición, la naturaleza y el tamañode una imagen producida por una lente conver-gente de 25 cm de distancia focal, al recibir los ra-yos de un cuerpo de 6 cm de altura colocado a60 cm de la lente. Resolver el problema tambiéngráficamente.

Luminosidad de los cuerpos

La sensación de luz percibida por los sentidos contienetanto elementos psicológicos como físicos. La cantidadde energía radiante y el color o frecuencia de la radiaciónluminosa determinan en cierta medida la impresión vi-sual que recibimos. Estas y otras magnitudes configuranlas ramas de la ciencia física conocidas como fotometríay colorimetría.

Intensidad luminosa

La intensidad luminosa de un foco puntual es el flujo deluz emitido por unidad de ángulo sólido atravesado:

I = dF–––dW

(I, intensidad luminosa; dF, variación de flujo; dW, ángu-lo sólido.)

La unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.)de la intensidad luminosa es la candela (cd), que se defi-ne como una sexta parte de la intensidad luminosa emiti-da por un centímetro cuadrado de un cuerpo negro, a unatemperatura igual a la de fusión del platino (2.045,5 K),en una dirección perpendicular al cuerpo.

La relación existente entre el flujo luminoso emitido porun foco y su flujo radiante total se denomina rendimien-to luminoso. Su unidad de medida es el lumen/vatio.

El flujo luminoso de un lumen que incide por unidadde superficie (m2) recibe el nombre de lux, que es la uni-dad de medida de la iluminación. Es decir, 1 lux = 1 lm/m2.

Flujo luminoso

Se llama flujo luminoso a la energía radiante correspon-diente al intervalo visible del espectro electromagnético.Los flujos luminosos proceden siempre de un foco, lla-mado así cualquier cuerpo que emita ondas luminosas,ya sean producidas por el mismo o por su reflejo.

La unidad de medida en el S.I. del flujo luminoso es ellumen (lm), que se define como el flujo luminoso total que

emite un foco puntual con una intensidad de una cande-la (cd).

Color de los cuerpos

Un prisma óptico es cualquier medio transparente li-mitado por dos caras que se cortan. Cuando un rayo lu-minoso atraviesa un prisma se produce una desviaciónen su dirección. Las imágenes producidas por un pris-ma son virtuales y siempre están desplazadas hacia subase:

Cuando el rayo de luz que atraviesa el prisma es mo-nocromático (de un solo color) y se refracta en las dos ca-ras del prisma no se descompone, apareciendo un rayodesviado, pero del mismo color.

Sin embargo, cuando el rayo de luz que atraviesa elprisma es de luz blanca, el rayo refractado es una bandavertical de siete colores. En el extremo superior se situaráel color rojo, y en el inferior, el violeta. Los siete coloresen que se descompone la luz blanca son: rojo, naranja,amarillo, verde, azul, añil y violeta. El proceso por el cualla luz blanca se fragmenta y descompone en estos sietecolores se llama dispersión.

El proceso inverso es también cierto, es decir, la super-posición de estos siete colores da como resultado el blan-co, tal como comprobó Isaac Newton con su experimentocon el disco que lleva su nombre. El disco de Newton estáformado por una circunferencia dividida sectorialmenteen los siete colores, de modo que al hacerlo girar a granvelocidad se ve el blanco:

rojonaranjaamarilloverdeazulañilvioleta

Rayo deluz blanca

A

A'

LA LUZY EL COLOR


Se llama colores complementarios a los que al combi-narse dan como resultado el blanco.

Como conclusión, se puede decir que los objetos no tie-nen un color propio, sino que su frecuencia cromática de-pende del tipo de luz que incida sobre ellos y de la quedifunden o absorben. Los cuerpos negros son los que ab-sorben todo tipo de acción luminosa que les llega y no di-funden ninguna. De esta forma, el negro en física no seconsidera un color, sino la ausencia de él, pues no difun-de ninguna radiación luminosa:

Luz coherente y sus aplicacionesLos focos de luz común emiten sus ondas en todas las di-recciones y en varias frecuencias. No sucede así con unatecnología de invención relativamente reciente, la luz lá-ser que, gracias a la coherencia y monocromaticidad desus haces, se ha convertido en fuente de numerosas y va-riadísimas aplicaciones industriales y científicas.

Láser

El término láser proviene de la definición en inglés, lightamplification by stimulated emission of radiation, que signifi-ca amplificación de la luz por emisión estimulada de ra-diación. El láser es un dispositivo por el cual se generauna radiación electromagnética coherente, prácticamentede una única longitud de onda y altamente direccional.

La longitud de onda en la que puede emitir un lásercorresponde a un intervalo comprendido entre un milíme-tro y las correspondientes a la luz ultravioleta y los rayos X.

Debido a que su frente de ondas se encuentra en fase yse desplaza de forma constante, el láser genera una ener-gía muy elevada. Esta alta energía que produce y la pre-cisión de su emisión hace que su espectro de aplicaciónsea tan amplio, desde su utilización en operaciones qui-rúrgicas de gran precisión hasta su empleo en el taladra-do de materiales de gran dureza y con puntos de fusiónmuy altos.

Aplicando los fundamentos del láser, pero con longitu-des de onda milimétricas y de microondas, se obtiene undispositivo similar al láser que se denomina máser. Conél se consigue una generación coherente de ondas elec-tromagnéticas por la emisión estimulada de partículas,ya sean átomos o moléculas.

Holografía

Una de las aplicaciones más espectaculares de la luz lá-ser es la holografía. Esta técnica, que en un inicio se llamóreconstrucción del frente de ondas, fue inventada por elestadounidense Dennis Gabor en 1948, mientras intenta-ba mejorar la calidad de las imágenes obtenidas en losmicroscopios electrónicos. El proceso que se sigue pararealizar una holografía se diferencia del de la fotografíacorriente en el hecho de que no se registra la imagen de uncuerpo, sino las ondas de la luz que refleja. El hologramaregistrado es una mezcla de puntos, manchas y espiralessin parecido alguno con el cuerpo objeto de la holografía.

En una holografía la información almacenada es mu-cho más rica que la que se registra en una fotografía. Me-diante un proceso de reconstrucción se logra obtener unaimagen inteligible y percibida “en tres dimensiones”.

Esta técnica, aunque experimentó un importante avan-ce cuando aplicó el láser como fuente de luz, es aún obje-to de una intensa labor de investigación. Ello no obstan-te, ha encontrado aplicación en áreas muy diferentes,como el almacenamiento de información, el tratamientode imágenes, la metrología, la presentación de imágeneso ciertas técnicas biomédicas:

Esquema de la formación de un holograma

La visión tridimensional de las figuras se consigue porlos fenómenos de interferencia de los rayos reflejadospor difusión en el propio objeto y por el haz de referencia.Los puntos de la placa fotográfica donde coinciden rayoscon una misma fase quedan iluminados con una mayorintensidad, por lo que tras la reacción química de la placafotográfica la imagen se percibe como tridimensional.

PlacafotográficaHaz de

referencia

Láser

Objeto

Disco de Newton

amarillonaranja

verdeazul

rojo

añilvioleta

Eje

56 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________


1. ¿A qué se llama intensidad luminosa de un foco?

2. ¿Qué son los colores complementarios?

3. ¿De dónde proviene el término láser?

Color Intervalo de longitudde onda (en angström, Å)

Violeta 4.000 a 4.500Añil 4.500 a 4.750Azul 4.750 a 5.000Verde 5.000 a 5.700

Amarillo 5.700 a 5.900Naranja 5.900 a 6.100

Rojo 6.100 a 7.500

Introducción

La idea de que la materia está constituida por unidadesmínimas e indivisibles se remonta a los albores de laciencia. Estas unidades elementales, en sus diversas for-mas imaginadas por filósofos y científicos, tanto anti-guos como contemporáneos, han recibido el nombre deátomos.

Según la física contemporánea, el átomo está com-puesto por un núcleo y un halo de electrones que lorodea.

Ernest Rutherford propuso en 1911 el modelo de la físi-ca nuclear comúnmente aceptado. Este modelo exponeque el átomo posee prácticamente toda su masa concen-trada en su centro, en una región denominada núcleo. Elnúcleo tiene carga positiva y su tamaño es de diez mil acien mil veces menor que el del átomo.

En un inicio se pensaba que el átomo era una estructu-ra muy simple, una idea que pronto hubo de ser desecha-da. La variedad y complejidad de los procesos atómicosha promovido el nacimiento de toda una disciplina de lafísica, llamada física nuclear.

La profundización en el estudio de los fenómenosatómicos y subatómicos ha hecho posible un gran avanceen el conocimiento de la materia, y ha dado origen al usoy dominio de la energía nuclear.

El núcleo de los átomos está formado por neutrones yprotones, partículas que reciben el nombre genérico denucleones.

Como se ha dicho anteriormente, la masa del núcleosuma prácticamente la total del átomo, al significar lamasa de un electrón tan sólo una 1.840ª parte de la de unnucleón.

La masa de los protones, neutrones y electrones se pue-de medir en kilogramos, pero por su magnitud tan redu-cida, se emplea para su medición la unidad de masaatómica (u.m.a.).

Una unidad de masa atómica se define como la do-ceava parte de la masa del isótopo 12 del carbono. Lomismo sucede con las medidas de longitud, para las quese utiliza como unidad de medida el fermi, equivalentea 1,0 · 10-15 m:

El radio del núcleo atómico varía entre 1,2 y 7,5 fermis.De las tres partículas atómicas que constituyen un átomo(protón, neutrón y electrón), es el número de protones lacaracterística que distingue a unas especies atómicas deotras. Esta cantidad de protones de cada elemento se de-nomina número atómico y se representa con la letra Z.

La suma de la masa de los protones y los neutrones (prác-ticamente, la de átomo) se conoce como número másico (opeso atómico) y se representa con la letra A. De esta forma,un elemento con símbolo X se representaría como AZX.

Se llama isótopos a los núcleos de un mismo elementoque poseen igual número atómico, pero distinto númeromásico. Algunos de los elementos, como el flúor o el so-dio, sólo poseen un isótopo, pero otros tienen gran canti-dad de isótopos. También es posible “fabricar” isótoposartificiales de ciertos elementos en el laboratorio.

La energía que mantiene unidos a los nucleones en elnúcleo atómico, igual a la que habría que aportar para se-pararlos, recibe el nombre de energía de enlace del nú-cleo, y se puede asociar a la existencia de un camponuclear llamado de interacción fuerte. Las principales ca-racterísticas de este campo nuclear son:

– Es independiente de la carga eléctrica. Las interaccio-nes nucleares protón-neutrón, neutrón-neutrón o protón-protón se consideran prácticamente iguales.

– Es una fuerza de corto alcance. Sólo se pone de mani-fiesto cuando las distancias son inferiores a un fermi.

– Es una fuerza de naturaleza atractiva, ya que mantie-ne unidos a los nucleones entre sí; a distancias muy infe-riores a su alcance resulta repulsiva.

La energía de enlace media constituye un factor acer-tado para la determinación del grado de estabilidad delnúcleo.

Protón Neutrón Electrón

Carga eléctrica 1,6021 · 10-19 0 – 1,6021 · 1-19

(culombios)Masa (kg) 1,6726 · 10-27 1,6749 · 10-27 9,1096 · 10-31

Masa (u.m.a.) 1,0073 1,0087 5,4859 · 10-4

Radio (fermi) 1,2 1,2 0

FÍSICANUCLEAR


Radiactividad

La radiactividad natural fue descubierta por el francésHenri Becquerel en 1896, pero fueron Rutherford y Roydsquienes en 1909 obtuvieron la prueba experimental deque las hasta entonces misteriosas partículas α eran áto-mos de helio doblemente ionizados.

En virtud de estos descubrimientos se constató que laradiactividad es una propiedad del núcleo atómico. Nu-merosos elementos químicos poseen núcleos que, al serinestables, se desintegran espontáneamente para trans-formarse en núcleos de átomos diferentes. Este fenóme-no se acompaña de emisión de partículas nucleares o ra-diactividad.

Si la desintegración de un átomo es espontánea, puedeproducirse aunque el átomo se halle totalmente aislado deagentes externos. Un átomo inestable puede existir durantemillones de años sin desintegrarse para, de forma repentinay espontánea, iniciar su proceso de desintegración radiacti-va. Este fenómeno, cuando es espontáneo, no requiere la ab-sorción de energía suministrada por agentes externos.

Al emitir radiactividad un átomo puede producir trestipos distintos de partículas: α, β y γ.

Las radiaciones α, β y γresultan de verdaderos cambiosnucleares, pues el núcleo modifica su naturaleza; ello noobstante, en una radiación γ lo que sucede es una desex-citación del núcleo, que vuelve a ser estable tras la per-turbación.

Los tres tipos principales de radiación (α, β y γ) emitenrayos de diferentes características: las partículas α tienencarga positiva; las β, negativa, y las γ,se suponen descar-gadas, ya que no se ven afectadas por la acción de cam-pos eléctricos.

Los átomos con intensa fuerza de atracción nuclear en-tre los protones y los neutrones de su núcleo producen laemisión de partículas α y, muy raramente, protones.Cuando la atracción electromagnética es muy débil seemiten partículas γ, en forma de protones.

El poder ionizante de una partícula emitida durante laradiación es su capacidad para formar iones. Este poder

ionizante tiene efecto hasta una cierta distancia a partirde la cual se anula. Esta distancia se conoce como alcan-ce de la radiación. La cantidad de pares de iones pro-ducida por unidad de longitud de la trayectoria de la par-tícula emitida se denomina ionización específica. La ioni-zación específica disminuye a medida que aumenta elalcance de la partícula.

Según la naturaleza del medio en que se propaga la par-tícula emitida, el recorrido o alcance puede variar. Estavariación en la energía absorbida de la partícula ionizan-te por el medio se denomina poder de detención, magni-tud que se mide respecto al aire:

Poder de detención =d0 · s0 · A––––––––d · s · A0

donde:

d: densidad del elemento estudiado;s: espesor del elemento estudiado;A: masa atómica del elemento estudiado;d0: densidad del aire;s0: espesor del aire;A0: masa atómica del aire.

Por tanto, el alcance es la distancia necesaria para fre-nar a una partícula α, y depende directamente del medioen que se emita la partícula. Por ejemplo, el alcance en elaire de una partícula α con una energía de 6,0 MeV esde más o menos 5 cm, mientras que en el aluminio es de0,05 mm.

Al igual que sucede en todos los procesos fisicoquími-cos, en una desintegración radiactiva se cumplen las si-guientes leyes de conservación:

– Conservación de la cantidad de movimiento.– Conservación de la energía.– Conservación de la carga.– Conservación del número de nucleones.

58 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

Tipos Partícula emitida Nuevo Z Nuevo A Interacción responsable

Desintegración α α (4He) Z – 2 A – 4 Fuerte

Desintegración β β– (electrón) Z + 1 A Débilβ+ (positrón) Z – 1 A Débil

Desintegración γ γ(fotón) Z A Electromagnéticae– (electrón) Z A

Emisión de protones 1H (protón) Z – 1 A – 1 Fuerte

Fisión espontánea El núcleo se parte en dos partes distintas ~ Z/2 ~ A/2 Electromagnética

Formas de desintegración radiactiva de núcleos inestables

________________________________________________________________________________________________ Física nuclear 59

El número de nucleones (protones y neutrones) sin des-integrar en un instante dado, se calcula mediante la si-guiente expresión:

N = N0 · e-λt

donde N0 es el número inicial de nucleones y λ una cons-tante radiactiva que depende del nucleón que se considere.

Otra magnitud empleada en este contexto es la vidamedia de una muestra radiactiva, definida como el tiem-po que ha de transcurrir para que se haya desintegradola mitad de los nucleones radiactivos iniciales (N0/2). Apartir de la anterior expresión se puede determinar el va-lor de la vida media o tiempo de semidesintegración:

T = ln2–––λ

Unidades radiactivas. La unidad de medida de la ra-diación es el curie, representado por ci y cuyo nombre esun homenaje al matrimonio de físicos franceses Pierre yMarie Curie, galardonados con el Premio Nobel de físicaen 1903 por sus descubrimientos sobre radiactividad.

Existen submúltiplos del curie, tales como el milicurie(10-3 ci) y el microcurie (10-6 ci).

Ya en 1946 se adoptó también como unidad de medidapara la radiactividad, propuesta de los científicos Condony Curtis, el rutherford (rd), que equivale a 1,5 · 10-5 curies.

Reacciones nucleares

Dos son los procesos principales en los que los intercam-bios de partículas elementales y subatómicas producencambios en la naturaleza de los átomos que intervienenen ellos: la fisión nuclear, o ruptura de un núcleo atómi-co en otros, y la fusión, o conjugación de dos o más áto-mos para formar uno de una especie química diferente.

Fisión nuclear

La fisión nuclear consiste en la fragmentación en dos par-tes de masas prácticamente iguales de un núcleo pesado,como el uranio o torio.

La fisión espontánea es prácticamente inexistente en lanaturaleza, pero se puede lograr por medios artificialesmediante el bombardeo con neutrones del núcleo atómi-co que se quiere fisionar. Los neutrones aportan la ener-gía necesaria para que se pueda producir la ruptura delátomo.

Al producirse la fisión del núcleo atómico se producen,además de los dos fragmentos atómicos en que se divide,varios neutrones libres que pueden activar otras fisiones,en un fenómeno de reacción en cadena. Así, por ejemplo,

la reacción nuclear de fisión del uranio puede expresarsecomo:

10 + 235

92V → X + Y + 2 o 3 o n

Los términos X e Y son nucleidos que poseen un núme-ro másico comprendido en los intervalos 84-104 y 129-149.

Cuando se consume un neutrón para activar la fisión yse obtiene como resultado también un protón, la reacciónestá controlada. Pero si por el ritmo de la reacción no seconsumen los neutrones que se producen en exceso tienelugar una reacción en cadena, base de las armas conoci-das como bombas atómicas.

La energía que son capaces de liberar algunos elemen-tos, como el uranio, durante una fisión es de tal enverga-dura que con una tonelada de material fisionable seobtiene una cantidad de energía equivalente a la de dosmillones de toneladas métricas de petróleo.

Fusión nuclear

La fusión nuclear se basa en el proceso inverso a la fisión.En las reacciones de fusión se logra obtener un núcleo máspesado a partir de la colisión de dos átomos ligeros.

Las fusiones nucleares alimentan la energía que se con-sume en el corazón de las estrellas, que pueden versecomo descomunales hornos de fusión.

A nivel científico e industrial, la fusión aún no ha sidocontrolada con garantías, aunque su enorme atractivocomo fuente energética ha motivado intensos esfuerzosde investigación. En la fusión nuclear no existen prácti-camente residuos, al contrario que en la fisión, origen degrandes cantidades de desechos radiactivos peligrosos.Además, el rendimiento energético es considerablemen-te superior en las reacciones de fusión nuclear. Un ejem-plo sencillo de fusión es la conversión de hidrógeno pe-sado (deuterio y tritio) en helio, acompañada de la emi-sión de un neutrón:

21H + 31H → 4

2He + 10n


1. ¿Cuáles son las tres partículas de las que está cons-tituido el átomo y cuál de ellas es la más represen-tativa?

2. ¿Qué son los isótopos de un elemento químico?

3. Explicar qué es la radiactividad y decir las emisio-nes que puede producir.

Electrostática

Cargas eléctricas

La electrostática es la ciencia que estudia el comporta-miento de las cargas eléctricas en reposo. La electricidaden reposo recibe el nombre de electricidad estática.

Los primeros descubrimientos de interés acerca de laelectricidad estática se debieron al griego Tales de Miletohacia el año 600 a.C., cuando describió la cualidad del ám-bar (resina fosilizada) de atraer pequeñas virutas de ma-dera al ser frotado con un material de lana:

A raíz de este descubrimiento se introdujo el términogriego “elektron”, que significa ámbar y con el cual sepretendía denominar a todos los cuerpos capaces de car-garse de carga eléctrica.

Posteriormente se comprobó que otros materiales, alser cargados eléctricamente, en vez de atraerse se repe-lían entre sí. Ello se interpretó como la existencia de dosclases de cargas eléctricas. La clase de carga originada porel frotamiento del ámbar recibió el nombre de resinosa, yla originada por el frotamiento del vidrio, vítrea.

Fue el estadounidense Benjamin Franklin (1706-1790)quien atribuyó a estas dos clases de cargas el nombre porel que se conocen en la actualidad. Así, la resinosa pasó aser la negativa y la vítrea se denominó positiva.

La electrostática se rige por una serie de propiedadesbásicas de las cargas eléctricas:

– La carga puede ser tanto positiva como negativa.– Las cargas de igual signo (positivo o negativo) se re-

pelen y las de distinto signo se atraen.– La carga se puede medir y cuantificar, siendo toda

carga múltiplo de la que posee el electrón, partícula sub-

atómica que constituye la unidad elemental de carga eléc-trica.

Los cuerpos se pueden clasificar en electronegativos oelectropositivos, según el tipo de carga que en ellos pre-domine. Un cuerpo cargado negativamente (electronega-tivo) es aquel en cuya estructura existe un exceso de elec-trones, los cuales ha recibido de otro cuerpo. Cuando elcuerpo cede electrones a otro y tiene así un déficit de es-tas partículas queda cargado positivamente y se denomi-na electropositivo.

La carga eléctrica neta de un cuerpo viene dada por elnúmero de electrones que posee en exceso o que ha cedi-do. La carga se representa por la letra Q, y en el SistemaInternacional (S.I.) se mide en culombios (C):

1 culombio = 6,25 · 1018 electrones1 µC = 10-6 C

Con lo que la carga de un electrón será:

1e– = 1,60 · 10-19 culombios

Ley de Coulomb

El principio de la electrostática conocido como ley deCoulomb permite calcular numéricamente la fuerza conque se atraen o repelen dos cargas eléctricas.

Tras unas experiencias iniciales realizadas por loscientíficos ingleses Joseph Priestley y Henry Cavendishinspiradas en las leyes de la gravitación universal deNewton, fue Charles A. Coulomb quien en 1785 enun-ció la ley fundamental de la electrostática, que lleva sunombre y que afirma que la fuerza existente entre doscargas, ya sea de atracción o repulsión, es directamenteproporcional al producto de las cargas e inversamen-

+ – + +

Varillaelectrizada


ELECTROSTÁTICAY ELECTRO -DINÁMICA

te proporcional al cuadrado de las distancias que las se-para:

F = KQ1 · Q2––––––

d2

La constante de proporcionalidad K de esta fórmula de-pende del medio en que se encuentren las cargas y de lasunidades que se empleen. En el vacío y usando el Siste-ma Internacional (S.I.), K tiene el siguiente valor:

K = 9 · 109 N · m2

––––––C2

Lo que indica que en el vacío una carga de un culom-bio repele a otra igual situada a un metro con una fuerzade 9 · 109 newtons.

Para cualquier otro medio, el valor de K viene dado porla expresión:

K =1

––––4πε

donde ε es la constante dieléctrica del medio en el que seencuentran las cargas y que constituye una medida de supoder no conductor.

Por tanto, la ley de Coulomb se puede expresar me-diante la denominada ecuación racionalizada:

F =1 Q1 · Q2––– · ––––––

επ4 d2

Campo eléctrico

Recibe la denominación de campo eléctrico el espacio querodea a una carga y en el cual se perciben sus efectos deatracción o repulsión sobre otras cargas. Al introducir unacarga en el campo eléctrico generado por otra se crea uncampo eléctrico de fuerzas, una magnitud de naturalezavectorial.

En un campo eléctrico se llama líneas de fuerza a lastrayectorias que siguen las cargas positivas repelidas porun cuerpo electropositivo. Se considera que las líneas defuerza emergen radialmente del cuerpo cargado positi-vamente.

Intensidad del campo eléctrico. Se dice intensidad delcampo eléctrico en un punto a la fuerza con que la cargagenerada del campo atrae o repele a la unidad de car-ga positiva en dicho punto. La intensidad del campo eléc-trico es directamente proporcional al número de líneas defuerza que atraviesan la unidad de superficie en direc-ción perpendicular al campo.

La resultante de las fuerzas que actúan sobre la unidadde carga en un punto de un campo eléctrico se representapor medio de un vector tangente a la línea de fuerza enese punto, y recibe el nombre de vector campo o intensi-dad del campo eléctrico en dicho punto.

La intensidad del campo eléctrico se representa por laletra E, y se expresa matemáticamente de la siguiente ma-nera:

E =F

––Q

Donde Q es la carga que origina el campo y F la fuerzacon que el campo atrae o repele a la unidad de carga po-sitiva. La unidad de medida de la intensidad de campoeléctrico en el S.I. es el newton/culombio.

El módulo de la intensidad del campo eléctrico creadopor una carga positiva Q a una distancia d a la cual se co-loca la unidad de carga positiva + q podrá expresarse tam-bién como:

E = KQ

–––d2

o bien:

E =1 . Q

–––– –––4πε d2

El campo eléctrico es una magnitud de carácter vecto-rial, cuyo módulo es el cociente de la fuerza por la carga,y cuya dirección, la recta que une la carga fuente del cam-po con la carga que se introduce en él. El sentido delcampo depende del signo de la carga cuando la carga quegenera el campo es positiva; el sentido del campo es ha-cia fuera. Si la carga es negativa, el campo apuntará haciala propia carga.

Cuando la intensidad del campo eléctrico es idénticaen todos los puntos del mismo, el campo se dice que eseléctrico uniforme entre dos cargas (p. ej., entre las arma-duras de un condensador plano).

Potencial eléctrico

Toda carga inmersa en el interior de un campo eléctricoposee, además de una intensidad, cierta energía. Estaenergía está directamente relacionada con la distancia aque se encuentra de la carga fuente el campo.

El potencial del campo eléctrico en un determinadopunto del mismo es el trabajo que sería preciso realizar

–+

+ q

–+

__________________________________________________________________________________ Electrostática y electrodinámica 61

para atraer la unidad de carga positiva desde el infinitohasta dicho punto.

Su valor se calcula mediante la siguiente expresión:

1 QV = ––– · ––

4πε d

o lo que es lo mismo:

V = K ·Q––d

siendo: V, potencial del campo eléctrico; Q, carga eléctri-ca; d, distancia; ε, constante dieléctrica del medio:

Si un punto determinado del espacio recibe la influen-cia de la acción de varias cargas, el potencial resultantees la suma de todos los potenciales individuales:

V = ΣK ·Q––d

Diferencia de potencial. La diferencia de potencial en-tre dos puntos es el trabajo que es preciso realizar parallevar la unidad de carga positiva de un punto al otro. Ma-temáticamente se expresa como:

Vb – Va =Wa-b––––+ q

Por lo que el trabajo para trasladar una carga q de unpunto a otro puede representarse como:

Wa-b = q . (Vb – Va)

En el S.I., la unidad de medida de potencial y diferen-cia de potencial es el voltio, equivalente a un julio por cu-lombio (1V = 1J/1c).

El voltio, que se representa con la letra V, es la diferen-cia de potencial entre dos puntos cuando el trabajo reali-zado para trasladar la carga de un culombio de un puntoal otro es igual a un julio.

En la práctica se manejan también las siguientes uni-dades derivadas del voltio:

Megavoltio (MV) = 106 VKilovoltio (kV) = 103 V

Milivoltio (mV) = 10 – 3 V

Electrodinámica

La electrodinámica es la rama de la física que estudia lascargas eléctricas en movimiento.

Corriente eléctrica

La corriente eléctrica es un efecto producido por el pasode electrones a través de un material conductor. Dichacorriente solamente se produce cuando existe una dife-rencia de nivel eléctrico o de potencial entre dos puntosdel conductor. Esta diferencia de potencial es originadapor los llamados generadores.

Si se somete el conductor a un campo eléctrico, el mo-vimiento de los electrones tiene lugar en la dirección con-traria a la del campo. Los electrones se desplazan por elinterior de los conductores al azar, colisionando entreellos y con los iones de la red atómica del conductor, sinobedecer a ninguna ley causal. A pesar de ello, la veloci-dad de desplazamiento de estas partículas es constante.

El movimiento de los electrones produce dos tipos decorriente: la alterna y la continua. En la corriente alternase producen variaciones rapidísimas y periódicas en elsentido del campo eléctrico, y en la continua, el sentidode la corriente es siempre el mismo (aunque pueda va-riar la intensidad), al serlo también el del campo eléctricoque la genera.

Intensidad de la corriente

Se denomina intensidad de corriente eléctrica a la canti-dad de electricidad que circula por la sección recta de unconductor en la unidad de tiempo:

I =Q (culombios)–––––––––––––

t (segundos)

Q = I · t

La intensidad de corriente eléctrica se representa por elsímbolo I, y su unidad de medida en el S.I. es el ampe-rio (A). Un amperio es, por tanto, la intensidad de corrien-te eléctrica que transporta en un segundo una carga deun culombio.

Los instrumentos utilizados para medir intensidadesreciben el nombre de amperímetros. El amperio tiene lassiguientes unidades derivadas principales:

Microamperio (µA) = 10 – 6 AMiliamperio (mA) = 10 – 3 A

Es muy frecuente también medir la electricidad en tér-minos de amperios-hora, que es la cantidad de electrici-dad que transporta la corriente eléctrica (ininterrumpi-da) en un período de una hora. La equivalencia de estaunidad con la del S.I. es:

1 amperio-hora = 3.600 culombios

Resistencia eléctrica

La resistencia eléctrica representa la oposición que ejercela red de átomos metálicos del conductor a la circulaciónde los electrones por ella. Esta resistencia aumenta con la

+ q

(∞)+ Q

P+0d

62 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________ Electrostática y electrodinámica 63

longitud del conductor y disminuye al incrementarse susección. También está íntimamente relacionada con la na-turaleza del conductor (resistividad); así, por ejemplo, elcobre ofrece menor resistencia al paso de corriente queel hierro a igual longitud y sección.

La resistencia eléctrica en el S.I. se mide en ohmios (Ω),que es la resistencia al paso de corriente que ofrece unacolumna de mercurio con una longitud de 106 cm y 1 mm2

de sección a la temperatura de 0 ºC.La resistividad de un conductor (ρ) de un material de-

terminado es la resistencia que ofrecería al paso de lacorriente eléctrica un alambre de dicho material que tu-viera una sección de 1 cm2 y una longitud de 1 cm. Esdecir:

R = ρ · L → ρ = R · S Ω · cm–– ––––S L

Asociación de resistencias. Las resistencias pueden dis-ponerse en un circuito en serie o en paralelo. La resisten-cia total que resultaría de sustituir todas las resistenciasindividuales por una única resistencia resultante vendríadada por las siguientes fórmulas:

– Resistencias en serie: RT = ΣRi:

– Resistencias en paralelo: 1/RT = Σ1/Ri , y la intensi-dad total, IT = ΣIi:

Ley de Ohm

El principio de la electrodinámica conocido por ley deOhm relaciona las tres magnitudes básicas estudiadas: elpotencial, la intensidad y la resistencia. Esta ley afirmaque el potencial (V) perdido en una resistencia (R) al pa-sar una intensidad de corriente I es:

V = I · R

Va – Vb = I · R

A partir de la ley de Ohm se puede definir más clara-mente el ohmio como la resistencia existente entre dospuntos de un material conductor por el que, al aplicar unadiferencia de potencial de un voltio, circula una intensi-dad de un amperio.

Ley de Joule. Energía de la corriente eléctrica

Experimentalmente se comprueba que todo conductorpor el que circula corriente se calienta en mayor o menormedida. El físico británico James Joule enunció una ley,que lleva su nombre, según la cual cuando por un con-ductor circula corriente eléctrica, se desprende una canti-dad de calor que es directamente proporcional a la resis-tencia del propio conductor, al tiempo en el cual circula yal cuadrado de su intensidad:

C = R · I2 · t

El calor producido (energía) equivale a un trabajo, porlo que su unidad será el julio. También se suele expresaren calorías, donde una caloría equivale a 4,186 julios. Portanto:

julio = culombio · voltio

La energía (trabajo) que se pierde por unidad de tiem-po es la potencia eléctrica, en este caso igual a:

P = W = C__ __t t

de donde:R · I2tP = ––––– = R · I2

tLuego:

P = R · I2

o bien:P = Va-b · I

En la práctica, la energía eléctrica se mide en vatios-hora (w/h), que es la energía producida por un vatio du-rante una hora:

1 w/h = 3.600 julios1 Kw/h = 3.600.000 julios

R1I1

R2I2

R3I3

I I

R1 R2I I I


1. Hallar la intensidad de un campo eléctrico si unacarga de 6 microculombios situada en el campo ex-perimenta una fuerza de 0,15 N.

2. Decir de qué tipo es y calcular la fuerza que existeentre dos cargas puntuales situadas en el vacío yseparadas entre sí 50 cm. Q1 = 3 µC y Q2 = 5 µC.

3. Calcular el trabajo necesario y la potencia desarro-llada para desplazar una carga de 15 C desde unpunto con 2.500 voltios a otro con 1.800 V enun tiempo de 3 minutos.

Introducción

Los fenómenos producidos por el mineral magnetita eranya conocidos por los antiguos. La capacidad de este mi-neral para atraer el hierro fue aprovechada en la Chinaantigua para inventar la brújula, construida con una va-rilla de este metal que, colgada de un hilo, siempre seorientaba en la dirección norte-sur por efecto del campomagnético terrestre.

La magnetización es el fenómeno por el cual si se frotaen una misma dirección una barra de acero con magneti-ta, la barra adquiere las mismas propiedades que el mi-neral. Los trozos de magnetita que poseen estas propie-dades reciben el nombre de imanes naturales.

Los imanes artificiales son aquéllos que se obtienen apartir de la magnetización de materiales ferromagnéti-cos, tales como el níquel, el hierro o el cobalto. La mayo-ría de los imanes que se pueden adquirir en un comercioestán compuestos por hierro y níquel.

Desde el punto de vista de sus propiedades de ima-nación, los cuerpos se pueden dividir en magnéticos yno magnéticos. Los cuerpos magnéticos, como el hierroo el acero, son fuertemente atraídos por los imanes,mientras que los no magnéticos no experimentan estaatracción.

En los imanes se distinguen dos polos magnéticos, arbi-trariamente bautizados como norte y sur. Estos polos tie-nen la propiedad de experimentar una fuerza de repul-sión con los de otros imanes si son de la misma polaridad,y de atracción, si son de polaridad distinta. La línea ima-ginaria central que separa ambos polos recibe el nombrede línea neutra, la cual no posee las cualidades de lospolos:

En un imán no se pueden observar a simple vista lospolos magnéticos, si bien éstos siempre existen en pa-rejas y no pueden aislarse. De esta forma, si se divideun imán por la mitad, se obtendrán dos imanes, cadauno con su polo norte y sur; por más que se realicen par-ticiones sucesivas siempre se obtendrán nuevos imanesdipolares (no existe en la práctica el monopolo magné-tico).

Si se calienta un imán al rojo y se deja enfriar perderátodas las propiedades magnéticas:

Al igual que la fuerza gravitatoria o la existente en-tre cargas eléctricas, las fuerzas de atracción o repul-sión entre los polos de los imanes son inversamenteproporcionales al cuadrado de la distancia que las se-para.

Campo magnético

Al igual que en los alrededores de una carga eléctrica exis-te un campo eléctrico, en torno a los imanes se crea uncampo magnético, que puede definirse como el espacio oregión que rodea a un imán y donde éste manifiesta susefectos magnéticos.

Las líneas de fuerza del campo magnético son las tra-yectorias que, hipotéticamente, tendría un polo norte ais-

N S N SN S N S

N S N S

N S

N S N S S N N S


MAGNETISMOY ELECTRO-

MAGNETISMO

lado si se colocara dentro del campo magnético. Una for-ma de ver y entender claramente el significado de las lí-neas de fuerzas sería colocar un imán debajo de un papely verter sobre éste limaduras de hierro. Las líneas emer-gen de un polo y se suman en el otro; por convenio, se ad-mite que las líneas de fuerza salen del imán por el polonorte y vuelven a él por el polo sur:

Las líneas de fuerza no se cruzan y son cerradas, por loque en el interior del imán se dirigen del polo sur al norte.

Flujo magnético

El conjunto de las líneas de fuerza de un campo magnéti-co se denomina flujo magnético. Esta magnitud se repre-senta con la letra griega ϕ y su unidad en el SistemaInternacional (S.I.) es el weber (Wb).

Inducción magnética. La densidad de flujo magnéti-co (B) es el número de líneas de fuerza del campo mag-nético que atraviesan perpendicularmente a la unidad desuperficie:

B =ϕ (flujo magnético)–––––––––––––––––

S (superficie)

La densidad de flujo magnético también se conoce porinducción magnética, que, simbolizada por B, es un vec-tor que posee una dirección y sentido determinados encada punto del campo.

La unidad en el S.I. de inducción magnética es el tes-la (T), definido como la inducción magnética uniformeque, repartida perpendicularmente en una superficie deun metro cuadrado, produce un flujo magnético de unweber:

B =ϕ (wb)––––––S (m2)

1 webertesla = –––––––1 m2

Otra unidad de medida habitual para la inducciónmagnética es el gauss, que se utiliza sobre todo cuandolos campos magnéticos son poco intensos. Una tesla equi-vale a 104 gauss:

Flujo magnético a través del aire y del hierro (el trozo de hierroqueda imantado por un cierto período de tiempo)

Al introducir una carga Q dotada de una velocidad ven un campo magnético aparece sobre ella una fuerza dedirección determinada por la regla de la mano izquierda,en la que el dedo pulgar indica la dirección de la fuerza;el índice, el sentido del campo, y el medio, el sentido demovimiento de la carga:

El módulo de la fuerza se calcula por medio de la si-guiente expresión:

F = B · Q · v · sen α

donde α es el ángulo comprendido entre la dirección delcampo y la de desplazamiento de la carga.

Electromagnetismo: campos creadospor corrientes eléctricas

En 1820, el físico danés Hans Christian Oersted observóque el paso de la corriente eléctrica crea un campo mag-nético a su alrededor. Para sus estudios realizó la siguien-te experiencia: colocó una brújula debajo de un conduc-tor eléctrico, de modo que mientras por el conductor nocirculaba corriente, la brújula no se movía; pero si secerraba el circuito y se hacía pasar corriente por el con-ductor, la brújula giraba en un movimiento que depen-día del sentido en que circulara la corriente:

B

V

aα

B (campo magnético)

F (fuerza)

V (movimiento)

N S N S

N S

__________________________________________________________________________________ Magnetismo y electromagnetismo 65

Todo lo experimentado demuestra que en la zona o re-gión próxima a un conductor eléctrico por el que se hacepasar corriente eléctrica se crea un campo magnético. Elsentido del campo depende de la dirección en que se hagacircular la corriente.

Campo magnético creado por un conductor rectilíneode longitud indefinida. Para comprobar la existencia deeste campo magnético se hace la siguiente experiencia:se atraviesa un papel con un conductor vertical rectilí-neo por el que se hace circular una corriente de intensi-dad I y sobre el papel se espolvorean limaduras dehierro; el resultado es que las limaduras se orientan for-mando círculos concéntricos alrededor del conductor enun plano perpendicular a éste, círculos que siguen laslíneas del campo producido por la corriente eléctrica rec-tilínea:

Si en vez de limaduras de hierro se utilizan pequeñasagujas imantadas (imanes), se aprecia que se disponen detal forma que su dirección es tangente a las circunferen-cias anteriormente formadas.

Si se cambia la dirección de la corriente eléctrica, lasagujas invierten su sentido, al igual que las líneas delcampo. Para poder conocer el sentido de giro de las lí-neas del campo se utiliza la regla de la mano derecha, porla que si se sujeta el conductor con la mano derecha deforma que el dedo pulgar señale el sentido de la corrien-te, la dirección de los dedos indica el sentido de las líneasdel campo:

Campo magnético creado por una corriente circular.Si se hace circular corriente por una espira circular queatraviesa un papel y se espolvorean sobre él limadurasde hierro, se aprecia que alrededor del conductor, ensus dos puntos de intersección con el papel, se agru-pan las limaduras en torno a las líneas de campo mag-nético:

Por tanto, el campo magnético creado por una corrien-te circular forma circunferencias concéntricas alrededordel conductor y se encuentran en un plano perpendicu-lar a la espira.

Al establecerse el flujo magnético, la espira queda po-larizada y, por analogía con los imanes, se dice que ad-quiere una cara norte y otra sur. La cara norte es aquellaen que, al ser mirada de frente, la corriente gira en el sen-tido contrario al de avance en las agujas de un reloj. Porel contrario, en la cara sur la corriente gira en el sentidode las agujas de un reloj:

Campo magnético creado por un solenoide o bobina.Un solenoide es el dispositivo que resulta de arrollarun conductor en torno a un cilindro hueco y de mate-rial aislante; las espiras que se forman deben estar muypróximas, pero sin tocarse (eléctricamente aisladas en-tre sí):

Si se hace circular corriente por el conductor, el campomagnético que se crea a su alrededor es igual al que seformaría con un imán natural con forma rectangular. Laslíneas que se forman, como en un imán natural, son cerra-das y salen de un extremo (polo norte) para sumirse en elotro (polo sur).

Solenoide

I

I

Cara sur

Cara norte

I

Paso decorriente

Líneasde campo

I I

SN

N S

NS

S N

N S

+ –

II I

+ – + –

66 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________ Magnetismo y electromagnetismo 67

Mientras por un solenoide circule corriente, el disposi-tivo se comporta exactamente igual que un imán natural,pero pierde todas las propiedades magnéticas al in-terrumpir el suministro de corriente.

La inducción magnética que se crea en el interior deun solenoide es función del número de espiras, de la in-tensidad de la corriente y de la longitud del solenoide.Es decir:

B = 4 · π · 107 N · I––––L

siendo N, el número de espiras; L, la longitud del solenoi-de; I, la intensidad de corriente:

Campo magnético de un electroimán. Un electroimánes un solenoide donde el conductor se enrolla sobre uncilindro (núcleo) de hierro dulce, en virtud de lo cualla intensidad del campo magnético creado llega a sermiles de veces mayor que en un solenoide o bobinasimple.

El núcleo del electroimán puede ser recto o tenerforma de herradura, con lo que el campo magnético serámás intenso debido a la mayor proximidad entre lospolos:

Los electroimanes y las bobinas presentan mejores ca-racterísticas que los propios imanes naturales. Las dife-rencias principales que existen entre ellos son:

– En los electroimanes se puede invertir la polaridadsimplemente alterando el sentido de la corriente.

– Los campos magnéticos que se crean son mucho másintensos (sobre todo en el caso de los electroimanes).

– La intensidad del campo magnético en un electroimáno bobina se puede controlar simplemente modificando laintensidad de la corriente eléctrica:

Una aplicación del electroimán es el timbre eléctrico

El campo magnético terrestre

El hecho de que un pequeño imán se oriente siempre enla misma dirección indica que el globo terrestre en su con-junto se comporta como un imán de grandes proporcio-nes. Así, el polo norte magnético se encuentra cerca delpolo sur geográfico, y el polo sur magnético es próximoal norte geográfico:

Representación del campo magnético terrestre

Por tanto, el polo norte de una brújula se orienta apro-ximadamente hacia el polo norte geográfico. La pequeñadesviación existente entre el polo y la dirección marcadapor la brújula se denomina ángulo de declinación.

SM

α

NM

SG

NG

Pulsador

Timbre

Electroimán

Tornillo deajuste

Electroimán deherradura

Electroimán recto

N S

I

I

NS


1. Explicar el motivo por el cual la intensidad de unimán disminuye si se calienta.

2. Indicar las diferencias que existen entre un imánnatural y un electroimán.

3. ¿De qué depende la mayor o menor intensidad deun electroimán?

Introducción

La electrónica es la rama de la física que se encarga delestudio del movimiento de los electrones y otras partícu-las atómicas cargadas. A diferencia de la electrodinámi-ca, que estudia los electrones que circulan a través de unconductor, la electrónica analiza su movimiento en el va-cío, en atmósferas con gases enrarecidos o en semicon-ductores. La electrónica también se dedica al estudio dela emisión, propagación, recepción, reflexión y refracciónde las ondas electromagnéticas.

Así pues, la electrónica define el uso de materiales ydispositivos que almacenan o transportan electrones,con el fin de manipular, transmitir o grabar informaciónfísica.

En electrónica, las variables principales utilizadas sonfunción del tiempo, como la corriente, el voltaje o tensióny la carga.

La propiedad fundamental de los dispositivos electró-nicos es su capacidad para amplificar y rectificar las se-ñales que les llegan.

Las aplicaciones de la electrónica son múltiples y va-riadas, en campos tan diversos como la informática, lastelecomunicaciones, la electromedicina, la óptica electró-nica, etc.

Emisión termoiónica

El fenómeno de la emisión termoiónica consiste en la emi-sión de electrones por parte de un metal caliente, de modoque cuanto mayor es la temperatura del metal, mayor esla cantidad de electrones emitidos.

Este fenómeno fue descubierto por vez primera porel estadounidense Thomas A. Edison en 1883, cuandotrabajaba en la invención de su lámpara incandescen-te. Edison constató que en el interior de una lámparacon una atmósfera nula (de vacío) se originaba entreun filamento incandescente y un electrodo positivo unacorriente eléctrica, ya que el filamento al calentarse

emitía electrones que eran atraídos por el electrodo po-sitivo:

El paso de corriente se puede comprobar interponien-do un amperímetro en el circuito. El amperímetro indicael paso de corriente siempre que el electrodo introducidoen la lámpara de vacío esté conectado a un potencial po-sitivo.

Si el electrodo o placa estuviese unido a un potencialnegativo, el amperímetro no detectaría ningún paso decorriente.

Si se aumenta la diferencia de potencial que se aplica alcircuito, la corriente medida en el amperímetro aumenta-rá también, pero no de forma lineal. En virtud de ello,para cierto valor de la diferencia de potencial se alcanzalo que se denomina corriente de saturación, valor límiteque no se puede superar:

V

I

T2 < T2

< T3

IS T3

T2

T1

Placa Amperímetro

Filamento

A


ELECTRÓNICA

____________________________________________________________________________________________________ Electrónica 69

Diodos y triodos

Un diodo es un dispositivo formado por un filamento yuna placa, en el que existe emisión termoiónica. El diodopermite el paso de la corriente sólo en un sentido, del fi-lamento (cátodo) a la placa (ánodo), y se representa es-quemáticamente de la siguiente manera:

Así pues, el diodo rectifica la corriente debido a su ca-rácter unidireccional. Al entrar corriente alterna por elánodo emerge en el cátodo únicamente con pulsos posi-tivos, como muestra el gráfico:

Este fenómeno se denomina rectificación de mediaonda. Para lograr una rectificación completa de la ondase incluye otro diodo que provoca un entrelazado dela señal resultante:

El triodo es un dispositivo resultante de añadir a la cá-mara o lámpara de vacío del diodo un tercer electrodo lla-mado rejilla o electrodo de control, situado entre el fila-mento y la placa. El triodo se utiliza principalmente paraamplificar la tensión y para tener un mayor control sobrela corriente circulante:

Transistores

Los transistores, al igual que los triodos, permiten laamplificación de señales (tensión e intensidad), peroademás se utilizan también como osciladores y de otrasmaneras.

Los transistores están compuestos principalmente portres partes bien diferentes: el emisor, el colector y la base.La parte central es la base, que se intenta sea lo más del-gada posible. El emisor y colector, ubicados en los extre-mos, están fabricados del mismo material semiconductor(germanio, silicio y otros materiales) y diferente del de labase.

Los transistores pueden representarse esquemática-mente como la combinación de circuitos electrónicos, dela siguiente manera:

Base

Emisor

Colector

Base

Emisor

Colector

Placa

+

Filamento

Rejilla

Triodo

Señal de entrada

V

t

Señal de salida

V

t

Señal de entrada

V

t

Señal de salida

V

t

Placa

+

Filamento


1. ¿Qué estudia la electrónica?

2. ¿Por qué en la transmisión termoiónica se produ-ce el paso de corriente?

3. ¿Qué partes se distinguen en un transistor?

Absorción: Acción por la que los cuerpos, en general los denaturaleza gaseosa, penetran y se diluyen en otros. Acciónpor la que la energía penetra en la materia.

Acumulador: Instrumento en el que se almacena cualquierclase de energía (en particular, en forma de corrienteeléctrica continua). En un sentido amplio, todo aparato oinstrumento destinado a recoger la energía sobrante deuna máquina para su ulterior utilización cuando sea nece-sario.

Adhesión: Fuerza intramolecular existente entre las superfi-cies en contacto de dos cuerpos.

Aislador: Dícese del material que no permite el paso de lacorriente eléctrica. Sinónimo de aislante.

Amperímetro: Instrumento que, colocado en serie en un cir-cuito de corriente eléctrica, sirve para medir la intensidadque circula por dicho circuito, medida en amperios.

Amperio: Unidad de intensidad de corriente eléctrica en elSistema Internacional. Símbolo: A.

Angström: Unidad de longitud de escala subatómica, usadaprincipalmente en la medición de longitudes de onda.Equivale a 10–10 metros. Símbolo: Å.

Anión: Ion cargado negativamente.Ánodo: Polo positivo de un generador de electricidad

(p. ej., de una pila).Año luz: Unidad de longitud utilizada en magnitudes astro-

nómicas. Equivale a 946,05 . 1010 km, y es la distancia re-corrida en el vacío por un haz de luz en un año.

Balanza: Aparato o instrumento utilizado para medir ma-sas. Existen muchas clases de balanzas, que aplican el mé-todo de comparación con otras masas conocidas, miden lamasa por el grado de elongación de un muelle o usan pro-cedimientos electrónicos o hidráulicos.

Baricentro: Punto físico de un cuerpo en el que se encuentrael centro de gravedad.

Barómetro: Instrumento o aparato destinado a la mediciónde la presión atmosférica. El primer modelo de barómetrose debe al italiano Evangelista Torricelli en 1643. El tipomás común es el de mercurio.

Batería: Instrumento compuesto por varias pilas o acumula-dores para el suministro de corriente eléctrica. Para obte-ner mayor tensión, las pilas se conectan en serie, y paraconseguir mayor capacidad, en paralelo.

Brújula: Instrumento que sirve para señalar la dirección delos polos magnéticos (desviados de los geográficos por la

declinación terrestre), compuesto por una aguja imantadaque gira libremente alrededor de un eje.

Caballo de vapor: Unidad de potencia, utilizada sobre todoen máquinas. Equivalente a 745,7 vatios. Símbolo: HP.

Caída de tensión: Gradiente asociado a la medida de la ten-sión eléctrica en una resistencia por la que circula unacorriente eléctrica.

Calorimetría: Disciplina científica que estudia el calor des-prendido o absorbido por los cuerpos.

Candela: Unidad de intensidad luminosa en el Sistema In-ternacional. Símbolo: cd.

Capacidad: Cantidad de carga eléctrica que puede almace-nar un condensador eléctrico.

Capilaridad: Efecto de las fuerzas moleculares que son res-ponsables de los fenómenos de adherencia y cohesión delos líquidos.

Carga: Balance de electrones (carga negativa) y protones (po-sitiva) que posee un cuerpo, es decir, su cantidad de elec-tricidad neta, ya sea positiva o negativa.

Catión: Ion provisto de carga positiva.Cátodo: Polo negativo de un generador de electricidad

(p. ej., una pila).Cohesión: Fuerza que obliga a mantenerse unidas a las mo-

léculas de un cuerpo. Al elevarse la temperatura, la fuerzade cohesión disminuye.

Componente: Cada una de las partes en que se puede divi-dir una magnitud, según las direcciones en las que actúa.

Compresión: Reducción del volumen mediante la acción deuna presión sobre él.

Condiciones normales: Atmósfera ambiente situada a 0 ºCde temperatura y 1 atm de presión. Abreviatura: C.N.

Conductividad: Capacidad de ciertos materiales para per-mitir el paso de corriente eléctrica por ellos (conductores).

Corpúsculo: Partícula elemental de muy pequeñas dimen-siones.

Cuanto: Mínima cantidad en la que se manifiesta una mag-nitud de valores discretos cuantificados.

Descarga: Proceso por el cual un generador eléctrico nivelasu diferencia de potencia. Por ejemplo, cuando se descar-ga una batería de un coche.

Deslizamiento: Movimiento de traslación que sufren loscuerpos sobre una superficie.

Diafragma: Superficie de separación entre dos medios ocuerpos, ya sea permeable o impermeable.

GLOSARIO

Diagrama: Método de representación gráfica de varias mag-nitudes sobre unos ejes dispuestos, por lo general, en di-recciones mutuamente perpendiculares entre sí.

Diapasón: Instrumento en forma de horquilla que, al ser gol-peado, emite vibraciones en cinco tonos que se usan comoreferencias.

Dieléctrico: Sustancia que ofrece resistencia al paso de lacorriente eléctrica, como la madera o el plástico.

Dinamo: Instrumento que convierte la energía mecánica eneléctrica. Aunque también puede realizar la transforma-ción inversa, el término es menos empleado para ello.

Distorsión: Falta de uniformidad en el aumento o disminu-ción en la imagen de un objeto al atravesar una lente.

Ebulliscopio: Instrumento por el que se miden los puntosde ebullición de las distintas sustancias.

Eco: Proceso de repetición de los sonidos, debido a su refle-xión en cuerpos sólidos.

Electrodo: Cada uno de los dos polos de una pila o genera-dor, que reciben el nombre de ánodo y cátodo.

Electrón: Partícula elemental constituyente de los átomos,que en los materiales conductores circula libremente porla retícula cristalina (base de la electricidad). Posee cargaeléctrica negativa de 1,602 . 10–19 culombios y masa casidespreciable (1.836 veces menor que la del protón).

Equilibrio: Estado alcanzado cuando la suma de todas lasfuerzas que actúan sobre un cuerpo o un sistema se neu-tralizan. En termodinámica, el equilibrio se alcanza cuan-do las variables del sistema se mantienen invariantes entodos sus puntos.

Escalar: Magnitud que se define simplemente por su valornumérico, como, por ejemplo, la temperatura.

Espectro: Distribución de cualquier magnitud física, porejemplo la emisión de radiaciones electromagnéticaspor un cuerpo radiante.

Espectrómetro: Instrumento que mide el espectro luminoso,las masas y la abundancia de isótopos en una mezcla.

Estado: Conjunto de todas las magnitudes que definen uncuerpo o sistema. En termodinámica, el estado se definepor medio de la presión, la temperatura y el volumen deun sistema.

Expansión: Toda acción destinada a aumentar el volumende los cuerpos, ya sean gases, líquidos o sólidos.

FEM: Tensión almacenada en un acumulador o batería.Abreviatura de fuerza electromotriz.

Fibra óptica: Guía de ondas constituida por numerosos hi-los finísimos de vidrio de distintos índices de refracciónpor los que circulan señales luminosas a velocidades pró-ximas a la de la luz.

Filtro: Dispositivo que deja pasar a un intervalo de frecuen-cias o de longitudes de onda, pero no los impulsos no com-prendidos en dicho intervalo.

Focómetro: Instrumento que sirve para calcular la distanciafocal de las lentes.

Fotón: Partícula elemental constituyente de la luz y las ra-diaciones electromagnéticas (radio, rayos X, infrarrojo, ul-travioleta). Carece de masa y su energía es directamenteproporcional a su frecuencia.

Galvanómetro: Aparato utilizado para medir el sentido y laintensidad de corrientes eléctricas.

Generador: Instrumento o máquina capaz de transformar laenergía mecánica en eléctrica.

Grado: Cada una de las divisiones elementales de las esca-las termométricas (grados Celsius, Kelvin, etc.).

Hercio: Unidad de frecuencia en el Sistema Internacional.Símbolo: Hz. Se escribe también hertz.

Hipersonido: Vibración que posee una frecuencia superiora la del sonido, es decir, mayor que 109 Hz.

Homogeneidad: Cualidad de los cuerpos que tienen todassus características repartidas uniformemente. Términocontrario a heterogeneidad.

Imanación: Acción consistente en magnetizar un cuerpoferromagnético, convirtiéndolo en un imán.

Incompresibilidad: Característica de algunas sustancias porla cual su volumen no disminuye al ser sometidas a com-presión.

Inversor: Instrumento capaz de modificar el sentido de lacorriente eléctrica.

Ion: Átomo cargado eléctricamente por haber ganado (anión,negativo) o perdido (catión, positivo) electrones.

Isotones: Núcleos atómicos de un elemento, que tienen igualnúmero de neutrones, pero distinto número de protones.

Kelvin: Unidad elemental de temperatura en el Sistema In-ternacional, definido como 1/273,16 partes de la tempera-tura termodinámica del punto triple del agua. Símbolo: K.

Kilogramo: Unidad elemental de masa en el Sistema Inter-nacional, según el patrón de platino iridiado conservadoen la Oficina de Pesas y Medidas de París. Símbolo: kg.

Lente especular: Dispositivo óptico que habitualmente secomporta como lente, pero se convierte en espejo median-te la impregnación con un metal de una de las caras.

Ley de Avogadro: Principio que indica que el número de mo-léculas de los gases es siempre el mismo si son idénticos elvolumen, la presión y la temperatura a que están some-tidos.

Límite de elasticidad: Máxima deformación que puede su-frir un cuerpo a partir de la cual ya no recobrará su estadooriginal cuando cese la fuerza que actúa sobre él.

Lupa: Lente biconvexa de pequeño tamaño, que tiene unfoco de corta distancia. Incrementa el ángulo de visión, yla imagen obtenida es virtual.

Macrofísica: Disciplina de la física que estudia los procesosnaturales percibidos por los sentidos.

Manómetro: Instrumento que sirve para medir la presión delos fluidos. Pueden ser de mercurio, agua o alcohol.

Metro: Unidad elemental de longitud en el Sistema Interna-cional, definido como la distancia recorrida en el vacío porla luz en 1/299792458 de segundo. Símbolo: m.

Microfísica: Disciplina de la física que se dedica al estudiode los cuerpos elementales, como el átomo y sus partícu-las constituyentes.

Microscopio: Instrumento óptico destinado a la observacióncercana de objetos extremadamente pequeños, con unosaumentos muy elevados. Los modelos más antiguos sonlos microscopios ópticos; en la actualidad existen otrasmuchas clases: electrónicos, de polarización, de interfe-rencias, etc.

Mol: Unidad de cantidad de materia en el Sistema Interna-cional, definida como la cantidad de una sustancia que

______________________________________________________________________________________________________ Glosario 71

72 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

contiene tantas partículas elementales como átomos exis-ten en 0,012 kg del isótopo 12 del carbono.

Monocromática: Dícese de la radiación que posee una únicalongitud de onda, es decir, un solo color.

Neutrón: Partícula subatómica que, junto con los protones,forma parte de los núcleos atómicos. Su carga eléctrica esnula y su masa es 1,00136 veces la masa del protón.

Número atómico: Cantidad de protones que existe en un nú-cleo atómico. Magnitud identificativa de cada uno de loselementos químicos.

Número de Avogadro: Cantidad de moléculas o átomos con-tenidos en un gramo-mol. Igual a 6,234.1023.

Número másico: Suma del número de protones y neutronesdel núcleo atómico.

Opaco: Dícese del cuerpo que no deja pasar la luz.Oscilación: Proceso de vibración por el que un cuerpo se des-

vía periódicamente de su posición de reposo.Ósmosis: Mecanismo por el que los líquidos pasan de unos

cuerpos a otros a través de membranas o paredes semiper-meables, debido a la diferencia de presión existente entreambos medios.

Palanca: Dispositivo que, al hacer girar una barra sobre unpunto de apoyo, proporciona fuerzas de mayor magnituda la aplicada.

Paralaje: Ángulo que forman dos rayos que, emergentes depuntos distintos, se dirigen a uno común.

Patrón: Magnitud mensurable que se adopta como valorde referencia y comparación.

Pirómetro: Instrumento óptico o eléctrico utilizado para me-dir temperaturas muy altas.

Plasma: Mezcla de electrones e iones en estado gaseoso queresulta de calentar los átomos a temperaturas superiores acien millones de grados.

Principio de Le Chatelier-Braun: Ley que enuncia que cuan-do sobre un sistema en equilibrio se ejerce una influenciaexterna en una determinada dirección, el equilibrio se des-plaza en la dirección necesaria para contrarrestar dicha in-fluencia.

Procesos irreversibles y reversibles: Los procesos irreversi-bles son aquellos que sólo se pueden desarrollar en unadirección. En los reversibles, el proceso puede tener lugaren ambas direcciones.

Protón: Partícula subatómica de carga positiva que formaparte, junto con los neutrones, del núcleo de los átomos.

De idéntica carga que el electrón (1,602 . 10–19 culombios),aunque positiva, y masa igual a 1,672 . 10–24 g.

Radar: Instrumento que, mediante el uso de ondas electro-magnéticas, sirve para determinar la posición exacta delos cuerpos.

Radián: Unidad de medida de los ángulos planos. Un radiánequivale a 57,30 grados.

Reacción en cadena: Serie sucesiva de fisiones de núcleosatómicos, que constituye la base de los reactores y las bom-bas nucleares.

Rectificador: Aparato que convierte la corriente alterna encontinua, o al contrario.

Remanencia: Imantación residual de los materiales ferro-magnéticos después de haber experimentado una imana-ción.

Segundo: Unidad elemental de tiempo en el Sistema Inter-nacional, definida como la duración de 9.192.631.770 perío-dos de la emisión de radiación entre dos niveles hiperfi-nos del cesio 133. Símbolo: s.

Semiconductor: Material cuya conductividad varía en fun-ción de la temperatura. Los dispositivos semiconductoresson básicos en electrónica digital.

Sólido rígido: Cuerpo considerado como indeformable quese adopta como ideal en los cálculos físicos.

Telescopio: Instrumento óptico de gran alcance que se dedicaa la observación a grandes distancias (astros). El primer mo-delo fue construido por Galileo Galilei en 1609.

Tono: Sensación acústica producida en el oído como conse-cuencia de una vibración sonora.

Transformador: Aparato eléctrico que convierte corriente dealta tensión y débil intensidad en otra de baja tensión ygran intensidad, o al contrario.

Transistor: Dispositivo electrónico semiconductor, que puedeejercer funciones de detección y modulación, así como pro-vocar oscilaciones y amplificar corrientes eléctricas.

Vacuómetro: Instrumento medidor de la presión de vacío.Viscosidad: Cualidad de los fluidos debida al rozamiento

entre las moléculas que lo constituyen. Se gradúa median-te la determinación de la velocidad de los fluidos a travésde tubos capilares.

Viscosímetro: Aparato o instrumento que mide la viscosi-dad, esto es, el rozamiento interno.

Voltímetro: Aparato que mide la tensión eléctrica que circu-la por un conductor.

El estudio de la física

1. Porque su principal objetivo es el estudio de los fenóme-nos naturales para poder comprender los principios quelos gobiernan.

2. La hipótesis es una proposición pendiente de demostrar.La tesis es una proposición apoyada por argumentos de-mostrables.

3. Las leyes que rigen el movimiento de la materia.

Sistemas de unidades

1.

m = 2,5 · 1.000 kg = 2.500 kg

2. A simple vista parecería que no, pero para saberlo es nece-sario comprobar si las dos magnitudes son homogéneas,para lo cual deben tener la misma ecuación de dimensiones:

L[m · v] = M ––– = MLT –1

T[F · t] = MLT-2 · T = MLT –1

Las dos ecuaciones de dimensiones son homogéneas, porlo que sí pueden sumarse.

3. Para saber qué medida se realizó con mayor precisión, secalculan los errores relativos en ambos casos.Primer caso:

2 mEr = ––––––– = 0,001171.700 m

es decir, el error relativo es: Er = 0,117%.Segundo caso:

0,02 mEr = –––––– = 0,00852,35 m

es decir, el error relativo es: Er = 0,85%.Comparando los dos errores relativos, se observa que laprimera medida se realizó con bastante mayor precisión

que la segunda, aunque su error absoluto sea muy supe-rior al que se comete en la segunda medición.

Mecánica y fuerzas

1. |v| = 2|w| = 4

Producto escalar:v · w = v · w · cos 90º = 2 · 4 · 0 = 0

Producto vectorial:|v w| = |v|·| w|· sen 90º = 2 · 4 · 1 = 8

El resultado del producto vectorial es un vector r, de mó-dulo 8 unidades, cuya dirección es perpendicular al pla-no que determinan los vectores v y w, y su sentido vienedado por la llamada regla del tornillo o sacacorchos:

2. a) Verdadero.b) Verdadero.c) Verdadero.

Estática

1. La fuerza resultante que equilibrará el sistema tendrá sen-tido contrario a las otras dos, y para que el sistema se equi-libre debe cumplirse que:

Σ F = 0; F1 + F2 + R = 0R = – F1 – F2 = – 50 – 25 = – 75 N

Recuérdese que, aunque tengan signo negativo, las fuer-zas siempre poseen intensidades positivas, y lo único quenos indica el signo es que apuntan en dirección contraria:

X YR→

F2

→F1

→

d1 d2

v2v

v2

v1

α

s = 400 cm2

= 0,04 m2

10.000 cm2

m2

v =120 · 1.000 m = 33,33 m/s360 s

RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE REPASO

También debe cumplirse que la suma de todos los mo-mentos con respecto a un punto sea cero. Si tomamos elpunto X como referencia:

F1 · 0 + R · d1 – F2 · d2 = 0R · d1 = F2 · d2

Sabemos que: d1 + d2 = 1 m.

R · d1 = F2 · (1 – d1)75 · d1 = 25 · (1 – d1); 75 · d1 = 25 – 25 · d1; 100 d1 = 25

d1 = 25/100 = 0,25 m → d2 = 0,75 m

Por lo que la resultante de 75 N está aplicada a 25 cm delpunto X y a 75 cm de Y.

2. El momento producido por el niño al abrir la puerta será:

M1 = 25 N · 0,8 m = 20 N · m

Y el del padre:

M2 = 60 N · 0,2 m = 12 N · m

M1 M2, por lo que el padre no podrá impedir que el niñoabra la puerta.

Cinemática

1.

2. a) Como la bicicleta avanza por segundo N veces la lon-gitud de la periferia de la llanta de la rueda, la veloci-dad lineal de la periferia de las ruedas es igual a la detraslación de la bicicleta:

v = ω · RDe donde ω= v/R = 30 km/h/0,3 m =

= 8,33 m/s/0,3 m = 27,77 s–1 = 27,77 rad/sb) La aceleración centrípeta o normal viene dada por la

expresión:

ac = v2= 8,332

= 231,29 m/s2

R 0,3c) El número de vueltas que dará cada rueda en un kiló-

metro es la relación que existe entre la distancia re-corrida y la longitud periférica de la rueda:

nº de vueltas = 1.000 m = 1.000 m = 530,5 vueltas2πR 2π · 0,3 m

Dinámica

1. 100 km/h = 27,77 m/s60 km/h = 16,66 m/s

I = m · ∆v = 1.200 kg · (27,77 – 16,66) = 13.332 N/s

2. a) En el sistema intervienen dos fuerzas: la ascendente,realizada por el hombre en el sentido del movimiento,y la componente del peso en la dirección del plano, quese opone al desplazamiento. La fuerza “negativa” ejer-

cida por el peso es: Fuerza realizada por el hombre.Así:

F’ = m · g · sen α = 20 kg · 9,8 m/s2 · sen 30º = 98 N

Ahora bien, el efecto resultante de ambas fuerzas se tra-ducirá en una aceleración:

Σ F = m · a, con lo que:F – F’ = m · a

Por tanto:

F = m · a + F’ = 20 kg · 1,5 m/s2 + 98 N = 128 N

b) Trabajo realizado:

T = F · s = 128 N · 6 m = 768 julios

c) Potencia desarrollada por el hombre:

P = T/t = 768/300 s = 2,56 vatios

Hidrostática e hidrodinámica

1. El volumen del cubo es su arista elevada a la tercera po-tencia: V = 133 = 2.197 cm3:

ρ = m = 2.500 g = 1,137 g/cm3

V 2.197 cm3

2. La presión transmitida por el tapón a cada punto de la bo-tella viene dada por la fórmula:

p = FS

La superficie circular de la botella es πr2, S = π· 1,12 = 3,8 cm2.Pasada la superficie al Sistema Internacional, S = 3,8 · 10–4 m2:

ρ = 1 N = 2.631,5 pascales3,8 · 10–4 m2

3. De la fórmula:

F = f · Ss

Despejando s:

s = S ·f

= 0,5 ·15

= 0,075 m2

F 100

4. Al estar la cisterna a 10 m de altura y al 80% de su capaci-dad, el nivel del agua estará a 8 m de su base. Aplicandoel teorema de Torricelli, la velocidad del líquido en la sa-lida será:

V = 2g h = 2· 9,8·8 = 12,52 m/s

5. En una conducción horizontal, la presión no puede crecersi se ensancha la sección. La única forma de que ello suce-diese es que la conducción fuera descendente.

s SF↓ f ↓

vm = 52 km = 67,17 km/h(0,3157 + 0,4583) h

vm = 52 km30 km + 22 km

95 km/h 48 km/h

vm = desplazamientotiempo empleado

74 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

6. Según el teorema de Bernouilli, la suma de la presión hi-drostática, cinética y potencial deben ser constantes en to-dos los puntos de la conducción. Es decir:

P + dgh + 1 dV2 = constante2Luego al aumentar la altura h, la presión P disminuirá.Por su parte, al ser mayor la velocidad v, también se re-ducirá la presión. En los ensanchamientos, debido al teo-rema de la continuidad (S · V = cte.), la velocidad es me-nor y, por tanto, la presión aumenta (la única afirmacióncierta de la frase propuesta).

Temperatura y dilatación

1. La longitud a 60 ºC vendrá dada por la expresión:l = l0 (1 + λt)

Siendo: l la longitud a los t ºC a que se calienta el sólido,l0 la longitud del sólido a 0 ºC y t los grados centígradosde incremento de temperatura:

l = 100 cm · (1 + 1,1 · 10–6 ºC–1 · 60 ºC) = 100,0066 cm

2. a) El coeficiente de dilatación del hierro viene dado porla expresión:

λ = l – l0l0 t

es decir:

λFe = (10,011 – 10) m = 1,1 · 10–5

10 m · 100 ºCY el del cobre es la 16/11 parte del coeficiente delhierro, es decir:

b) La varilla de cobre a 0 ºC medirá:

l0Cu = l = 10,011 m = 9,995 m(1 + λt) 1 + 1,6 · 10–5 · 100 ºC

Conociendo la longitud de la barra a 0 ºC podemos sa-ber a qué temperatura medirá 10 m:

l = l0 (1 + λt)10 m = 9,995 m (1 + 1,6 · 10–5 · t)

Por tanto:

t = 1 10 – 1 = 31,26 ºC1,6 · 10–5 [ 9,995 ]

Cambios de estado

1. a) El trabajo o la energía es igual a la potencia por eltiempo:E = 950 W · (15 min · 60 s/min) = 855.000 W/s = 855 kJ

b) Se aprovecha el 75%, luego:Q = 75% E = 855 kJ · 0,75 = 641,25 kJ

De la ecuación:Q = m · c · (t2 – t1)

si sabemos que el calor específico del agua es 4,18 kJ/kg ºC, despejamos t2, que es la temperatura alcanzadapor el agua. (Todas las cantidades se expresan en uni-dades del S.I.)

t2 = 206,54 ºC

2. Se parte del concepto de que el calor cedido por el aguaes igual al calor absorbido por el hielo.Siendo t la temperatura final que se alcanza, el calor per-dido por el agua será:

Q1 = 500 g · 1 cal/g ºC · (30 – t)Calor perdido por el calorímetro:

Q2 = 30 cal/g ºC · (40 – t)Estos calores perdidos los absorbe el hielo al fundirse paraacabar llegando a la temperatura t.El calor perdido es el de fusión más el de 0 ºC hasta alcan-zar la temperatura t.Calor de fusión:

Qf = 60 g · 80 cal/g = 4.000 calCalor de 0 ºC a t:

Q3 = 50 g · 1 cal/g ºC · (t – 0)Igualando calores perdidos a absorbidos:

Q1 + Q2 = Qf + Q3

[500 · 1 · (30 – t) + 30 · (40 – t)] cal = [4.000 + 50 · 1(t – 0)] cal15.000 – 500 t + 1.200 – 30 t = 4.000 + 50 t

580 t = 12.200

t = 12.200 = 21,03 ºC580

Termodinámica

1. Los calores específicos a presión y volumen constantes seobtendrán a partir de las dos siguientes igualdades:

Cp – Cv = R γ = Cp/CvComo Cp = 1,4 Cv, se sustituye en la primera ecuación yqueda:

1,4 Cv – Cv = 8.315 J/kmol · KCv = 8.315/0,4 = 20.787 J/kmol · K

Sustituyendo el valor de Cv:Cp = 1,4 Cv = 1,4 · 20.784 = 29.097,6 J/kmol · K

2. Las principales características de las transformacionesisoterma, isocora, isobara y adiabática son las que se ci-tan en el recuadro de la página siguiente.

Movimiento ondulatorio

1. a) La diferencia entre onda y movimiento ondulatorio re-side en que la onda es el ente que se propaga hacia elinfinito, mientras que el movimiento ondulatorio es laclase de movimiento que posee la onda.

b) Sí, porque las ondas electromagnéticas, además de po-der propagarse en el vacío, también lo hacen en me-dios materiales, al igual que el sonido.Recuérdese que el sonido es una onda material y nece-sita un medio material para propagarse. No ocurre asícon las radiaciones electromagnéticas, que tambiénpueden propagarse en el vacío.

c) Lo que se transmite en las ondas es energía.

2. λ = v · T y T = 1 → λ = v · 1 = 300 · 1 = 0,46 m–– –– –––f f 650

λCu = 16 · 1,1 · 10–15 = 1,6 · 10–15

11λFe = 11λFe 16

______________________________________________________________________________ Respuestas a las preguntas de repaso 75

Acústica

1. a) Verdadero.b) Verdadero.c) Falso.d) Verdadero.e) Falso.

2. En el caso de la luz.

3. A los sonidos cuya frecuencia es superior a 20.000 Hz yno son perceptibles por el oído humano.

Óptica

1.

Según el esquema anterior, se pueden comprobar las si-guientes igualdades:

HS = H´S´ = 1,82 m

Longitud del espejo, l = AB

Datos:

SO = 1,70 mAltura al suelo, h = BC

SC = CS´ = dOD = SS´

Por relaciones de semejanza entre los triángulos OAB yOH´S´, se cumple:

l OB l 1–––– = ––– → –––– = ––H’S’ OS’ 1,82 2

Despejando l, obtenemos que la longitud del espejo es de91 cm.Por semejanza de los triángulos OSS´ y BCS´, se verifica:

OS = SS’ 1,70 = 2d = 2––– ––– → –––– –––BC CS’ h 2

Despejando la altura del espejo al suelo, h, se obtiene queel espejo debe estar a 0,85 cm del suelo.

2. La distancia de la imagen a la lente es s´, en la fórmula si-guiente:

1 = 1 – 1–– –– ––f ’ s’ s

– f ´ es la distancia focal, igual a 25 cm (positivos, por es-tar a la derecha de O);

– s es la distancia del objeto a la lente, – 60 cm en el ejer-cicio (negativos por estar a la izquierda de O):

S d C S'

O DH H'

B

MA

l

76 FÍSICA ________________________________________________________________________________________________________

Transformación Ecuación Calor Energía interna Trabajo Representacióngráfica

Q U WdU = n · CvdT dW = pdV

Isoterma P1V1 = P2V2 dW = dQ dU = 0 W1 – 2 = nRTL (P1/P2)dT = 0 Q1 – 2 = U1 = U2

nRT ln (V2/V1) == nRT ln (P1/P2)

Isocora P1/T1 = P2/T2 dQ = dU dU = n · CvdT W1 – 2 = 0dV = 0 Q1 – 2 = U2 – U1 = U2 – U1 =

= nCv (T2 – T2) = n · Cv (T2 – T1)

Isobara V1/T1 = V2/T2 dQ = dW + dU dU = n · CvdT W1 – 2 = nR (T2 – T1)dP = 0 Q1 – 2 = nCp (T2 – T1) U2 – U1 =

= n · Cv (T2 – T1)

Adiabática P1V1γ = P2V2

γ dQ = 0 dU = n · CvdT W1 – 2 = (P1V1 – dQ = 0 T1V 1

γ– 1= T2V 2

γ– 1 Q1 – 2 = 0 U2 – U1 = – P2V2)/γ – 1= n · Cv (T2 – T1)

V

P

O V1 V2

1

2

V

P

O V1 V2

V

P

O

2

1

V

P

O V1 V2

S’ = f ’

· s’ =(25 cm) · (– 60 cm)

=–1.500

= 42,85 cm–––– –––––––––––––––– ––––––S + j (– 60 + 25) cm – 35

Tamaño de la imagen = Tamaño del objeto · S’S

Ti = 6 cm · (42,85/– 60) = – 4,28 cmLa imagen estará a 42,85 cm a la derecha de la lente (s’ espositiva) y tendrá un tamaño de 4,28 cm (el signo negati-vo significa que está invertida con respecto al objeto). Laimagen es real por estar situada a la derecha de la lente:

La luz y el color

1. La intensidad luminosa de un foco puntual es el flujo deluz emitido por unidad de ángulo sólido atravesado. Seexpresa matemáticamente:

I = dF–––dW

2. Los que al combinarse dan como resultado el blanco.

3. De la expresión inglesa light amplification by stimulatedemission of radiation, que significa amplificación de la luzpor emisión estimulada de radiación.

Física nuclear

1. El átomo está constituido por protones, neutrones y elec-trones. Las partículas que hacen posible la distinción en-tre los distintos elementos son los protones.

2. Se llaman isótopos de un elemento químico a los núcli-dos que poseen el mismo número atómico (Z) y distintonúmero másico (A).

3. La radiactividad es la ruptura espontánea de un núcleoinestable. El núcleo inestable puede ser natural o artificial.La radiactividad produce la emisión de una o varias delas siguientes radiaciones:– Radiaciones α: son núcleos de helio 42He2+ emitidos por

los átomos (pueden llamarse partículas α).– Radiaciones β: son electrones emitidos por los átomos

(se les puede llamar partículas β).– Radiaciones γ: son ondas electromagnéticas de altísi-

ma frecuencia (incluso mayor que la de los rayos X).

Electrostática y electrodinámica

1. La carga de 2 µC equivale a 2 · 10–6 C. La intensidad delcampo viene dada por la fórmula:

FE = ––Q

E =0,15 N = 25 · 103 N/C––––––––

6 · 10–6 C

2. Al ser las dos cargas del mismo signo (positivas), la fuer-za que habrá entre ellas será repulsiva, y se puede calcu-lar gracias a la ley de Coulomb:

Q1 · Q2F = K ––––––d2

F = 9 · 109 3 · 10–6 · 5 · 10–6= 0,54 N–––––––––––––

0,52

3. El trabajo desarrollado para llevar una carga de un puntoa otro es:

Wa – b = q · (Vb – Va)Wa – b = 15 C · (2.500 – 1.800)

V = 10.500 julios

Y la potencia desarrollada:

P = W = 10.500 julios = 58,33 W–– ––––––t (180) s

Magnetismo y electromagnetismo

1. El magnetismo de un imán está ligado a la orientación depequeñas unidades magnéticas contenidas en el interiordel mismo, y al aumentar la temperatura, estas unidadesmagnéticas se desorientan debido a la mayor agitaciónmolecular.

2. – En un electroimán se obtienen campos magnéticos másintensos que en un imán natural.

– En un electroimán se puede invertir la polaridad sim-plemente con cambiar el sentido de la corriente.

– Controlando la intensidad de la corriente, en los elec-troimanes se puede modificar la intensidad del campomagnético.

3. Los motivos de una mayor o menor intensidad de un imánse pueden resumir en tres (principalmente los dos primeros):– El mayor ferromagnetismo del núcleo, que aumenta de

forma muy notable la intensidad del campo magnéti-co en un electroimán.

– La cantidad de capas de conductor que tenga la bobi-na, que cuanto mayor sea más importante será la in-tensidad.

– Los electroimanes en herradura poseen un campo mag-nético más intenso debido a la cercanía de sus polos.

Electrónica

1. La electrónica es la rama de la física que estudia el movi-miento de los electrones y otras partículas atómicas car-gadas, en el vacío, en atmósferas con gases enrarecidos oen semiconductores.

2. El paso de corriente se produce debido a que el filamen-to metálico, al calentarse, emite electrones, que en el va-cío de la lámpara circulan del filamento a la placa oánodo.

3. En un transistor se distinguen el emisor, el colector y labase.

F O F'Objeto

Imagen


•El estudio de la química

•Estructura atómica

•Estructura electrónica

y sistema periódico

•Nomenclatura y formulación

•Enlaces atómicos y moleculares

•Estados de agregación

de la materia

•Química de disolución

•Reacciones químicas

•Elementos de la tabla periódica

•Química orgánica

•Hidrocarburos

•Alcoholes, fenoles y éteres

•Otros compuestos orgánicos

QUÍMICAQUÍMICA

Zn2+

VoltímetroBombilla

Zn

Ánodo

Cátodo

Cu2+

Puente

salino

Cu

Se rompela unión de losiones

+

-+

-

+-

+

-

-

+-

+

-

+

-

+

+-

HN

CH3

N

O

N

N

CH3

O

T ºC

0–10–20–30–40–50–60–70–80–90

–100–110–120–130–140–150–160–170–180–190

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n.º carbonos

Aproximación histórica

La química es la ciencia que estudia la estructura, consti-tución, propiedades y posibles transformaciones de lamateria, así como la energía que se desprende de dichastransformaciones.

Aunque la química concebida como ciencia moderna yexperimental es relativamente reciente, su origen real sefunde con las primeras manifestaciones culturales, artesy oficios del hombre primitivo.

El descubrimiento y dominio del fuego, en la edad depiedra, permitieron al hombre controlar los primeroscambios químicos en la estructura y composición de lamateria, y sentaron los precedentes más remotos de losprocesos químicos. La conquista del fuego motivó el co-nocimiento de tres importantes técnicas químicas: la ce-rámica, el vidrio y la metalurgia.

El pueblo chino conocía la técnica de la cerámica cincomil años antes de nuestra era.

El origen del vidrio se remonta a los asirios, que ya uti-lizaban la pasta de vidrio unos 2.500 años antes de la eracristiana. Los egipcios perfeccionaron la técnica y se con-virtieron en maestros de la fabricación del vidrio.

En cuanto a los metales, el descubrimiento de que elcobre metálico se obtenía al calentar determinadas pie-dras azules o verdes probablemente fuera fruto de la ca-sualidad. El bronce se descubrió unos 4.000 años a.C. alcalentar a la vez minerales de estaño y cobre, de maneraque se obtenía un material de gran dureza con el que los

fenicios fabricaban sus armas. La extracción del hierroen hornos rudimentarios y, sobre todo, el descubrimien-to del acero, aleación obtenida al mezclar carbón vege-tal con hierro, marcó una nueva era en la historia delhombre.

Los egipcios desarrollaron magistralmente determina-das técnicas químicas, fabricando vidrios y esmaltes, pre-parando colorantes para teñir telas y elaborar perfumes,bálsamos, venenos y jabones. También conocían sistemasde embalsamamiento, purificaban metales, en especialoro y cobre, y obtuvieron diversas sales minerales.

A partir del siglo VI a.C. se sentaron en Grecia las basesde la química teórica, surgiendo otro importante foco deconocimiento, aunque diferente al del pueblo egipcio.Mientras los egipcios adquirían conocimientos de los he-chos experimentales, los filósofos griegos especulabansobre la naturaleza de la materia y ofrecían una explica-ción del mundo mediante la elaboración de doctrinas.

Los filósofos griegos creían que existía un elementoesencial que originaba todas las demás sustancias. Talesde Mileto consideraba que ese elemento fundamental erael agua, Heráclito pensaba que era el fuego, Anaxímenescreía que era el aire y Empédocles añadió un cuarto ele-mento además de los anteriores, la tierra. Aristótelesaceptó la teoría de los cuatro elementos y los relacionócon las cualidades de seco, húmedo, caliente y frío. Loscuatro elementos eran consecuencia de dos propiedadesno opuestas: el fuego, caliente y seco; el aire, caliente yhúmedo; la tierra, fría y seca; el agua, húmeda y fría:

EL ESTUDIODE LA QUÍMICA

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O

Fotografías de cabecera: modelo molecular de la hélice de ácido desoxirribonucleico (izq.) y fórmula estructural de la teobromina (der.).

Tierra

Caliente Seco

Húmedo Frío

Fuego

Aire

Agua

Tierra

En el siglo IV, Leucipo y Demócrito defendieron la teo-ría del atomismo, según la cual la materia no es divisi-ble indefinidamente, sino que se llegaría a una partículatan pequeña que ya no se podría dividir. Epicuro llamóátomo a esa partícula indivisible. Esta teoría fue dese-chada por los grandes filósofos griegos, Sócrates, Pla-tón y Aristóteles, y no reapareció hasta el siglo XIX conJohn Dalton.

Durante el siglo IV a. C., las civilizaciones griega y egip-cia contrastaron su saber y surgió un enfrentamiento queoriginó un período oscurantista durante el cual se detu-vo el desarrollo de la ciencia.

En el siglo VII se produjo la expansión árabe. La culturaislámica asimiló las doctrinas filosóficas de Grecia y Egip-to y se acuñó la palabra Al-Kimiya o alquimia para refe-rirse al estudio de las transformaciones de la materia. Losalquimistas, precursores de los modernos químicos, sededicaron a obtener sustancias por procedimientos detransformación química, con el objetivo de buscar loscuerpos nobles que les revelaran el secreto de los cambiosdel Universo.

Durante la edad media, los alquimistas pensaban quelos cuatro elementos aristotélicos podían intercambiarseentre distintos materiales, por lo que tendría que existirun sistema para convertir una sustancia en otra, y másconcretamente para convertir cualquier metal en oro.

Consideraban que los metales se componían de dos

principios comunes: el mercurio, que les daba caráctermetálico, y el azufre, que les confería combustibilidad, ycondensaba los elementos tierra y fuego. Para obteneroro, sólo tenían que mezclar azufre y mercurio en las pro-porciones adecuadas, pero en presencia de la “piedra fi-losofal”, a la que también se atribuía la cualidad de eli-minar la enfermedad, devolver la juventud y proporcio-nar inmortalidad, por lo que se denominó también “elixirde la vida” y “elixir de la eterna juventud”. Los alquimis-tas europeos, entre los siglos XII y XVI, consiguieron aislardiversos elementos, como el bismuto, el arsénico o el an-timonio, y utilizaron para ello diferentes métodos ope-rativos, como la calcinación, la disolución, la sublimacióno la cristalización.

Entre los famosos alquimistas árabes se encuentra Ge-ber (o Yabir), que en su búsqueda de la piedra filosofal,preparó los ácidos acético (a partir del vinagre) y nítricodiluido (a partir de los nitratos naturales) y describió lasíntesis de algunas sales. En Occidente destacaron sanAlberto Magno, Roger Bacon, Arnau de Vilanova y Ra-món Llull.

Hacia principios del siglo XVI, las corrientes científicasdel momento ayudaron a la alquimia a salir del oscuran-tismo en el que estuvo durante la edad media. Surgió ungran interés por la aplicación de drogas, tanto naturalescomo artificiales, para la curación de enfermedades. Setrataba de una química farmacéutica, a la que se denomi-nó iatroquímica o química médica.

Durante esta época destacaron, entre otros, los traba-jos del alemán Georg Agrícola, que buscó la utilidadmedicinal de muchos minerales y resumió los conoci-mientos metalúrgicos de la época. Otro representantefue el médico suizo Paracelso, quien sentó las bases dela moderna química médica. El médico alemán Libavinpreparó el ácido clorhídrico, el agua regia (mezcla ca-paz de disolver el oro, compuesta por los ácidos clorhí-drico y nítrico) y muchos medicamentos. El médico fla-menco Jean Baptiste Van Helmont inventó la palabragas (del griego “chaos”: desorden) para denominar alos vapores. Estudió y demostró que el gas producidoen la combustión de la madera era distinto del aire, y lodenominó “gas silvestre” (es el actual dióxido de car-bono).

Entre los primeros químicos que rompieron con la tra-dición alquimista cabe citar al angloirlandés Robert Boy-le, quien en su obra El químico escéptico, publicada en 1661,sustituyó el término alquimia por el de química. Estable-ció el moderno concepto de elemento, considerándolo,desde un punto de vista práctico, como la sustancia queno puede descomponerse en otras más simples. Estudióla materia en estado gaseoso y descubrió que al aumen-tar la presión disminuía el volumen y viceversa. La cuali-dad de los gases de ser compresibles ratificó su convic-ción de que la materia estaba compuesta por átomos y fueel primero que utilizó esta teoría para explicar las trans-formaciones químicas.

En esa misma época, el alemán Georg Ernst Stahl pro-puso la teoría del “flogisto”, según la cual los metales ylas sustancias combustibles contenían un principio infla-

82 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Antoine Laurent de Lavoisier aportó notables avances al estudio dela química de los gases.

mable llamado flogisto, que se desprendía al arder unasustancia o al enmohecerse un metal. Esta teoría tratabade explicar los procesos de combustión en el aire y la cal-cinación de los metales. Una sustancia rica en flogisto ar-día con facilidad y sin dejar cenizas, en tanto que los me-tales sin flogisto (enmohecidos) eran más difíciles dequemar.

La teoría del flogisto no explicaba las diferencias depeso entre las distintas sustancias. La madera disminuíade peso al arder, ya que desprendía flogisto, pero los me-tales al enmohecerse aumentaban de peso, aunque tam-bién perdiesen flogisto.

Antoine-Laurent de Lavoisier resolvió este problemasustituyendo el flogisto por el oxígeno, constituyente ga-seoso de los ácidos y de las bases. Con meticulosidad, cal-cinó estaño en un recipiente cerrado y comprobó que elconjunto no aumentaba de peso; el metal, calcinado o en-mohecido, pesaba más que el estaño inicial, pero el airedel recipiente había disminuido su peso en la misma can-tidad.

Después de varios experimentos, determinó que el airecontenía un 27% de un componente activo al que deno-minó oxígeno, que reaccionaba con el metal y actuaba enla combustión (la proporción de oxígeno en el aire es del21%). El resto del aire, inactivo, se denominó “ázoe” yposteriormente nitrógeno.

Lavoisier desarrolló en su tratado elemental de quími-ca todos los conocimientos químicos de la época y creólas bases de la química moderna. Aplicaba sistemática-mente el principio según el cual la masa no se crea ni sedestruye en los procesos químicos, sino que unas sustan-cias se transforman en otras. También desarrolló, junto a

otros investigadores, un sistema detallado de nomencla-tura química.

Los esfuerzos de Lavoisier y de sus seguidores por es-tablecer un método de nomenclatura y unos principiosuniversales dieron sus frutos durante el siglo XIX. Lavoi-sier abrió un período en torno al cual se articularon unconjunto de nuevos principios y descubrimientos. Losquímicos centraron su atención en las masas que formanparte de las reacciones y que participan en la composi-ción de las sustancias.

John Dalton explicó la constancia en la proporción delos elementos que constituían un compuesto químico,considerando que estaban formados por pequeñas partí-culas denominadas moléculas. Desarrolló una teoría ató-mica, según la cual los elementos químicos estarían for-mados por átomos, iguales entre sí, indestructibles e in-divisibles.

Joseph-Louis Gay-Lussac estudió en 1808 los volúme-nes de gases de las reacciones químicas y observó que losvolúmenes medidos, en igualdad de condiciones de pre-sión y temperatura, mantenían relaciones fijas, determi-nables mediante análisis matemáticos de unidades ente-ras simples. Por ejemplo, el hidrógeno reacciona con eloxígeno en la proporción de dos volúmenes de hidróge-no por cada volumen de oxígeno para producir dos volú-menes de vapor de agua; el nitrógeno y el hidrógeno lohacen en una proporción de un volumen de nitrógeno porcada tres volúmenes de hidrógeno; un volumen de clorose combina con uno de hidrógeno para formar dos volú-menes de cloruro de hidrógeno.

Con los datos así obtenidos, no se entendía que par-tiendo de una molécula de cloro y una de hidrógeno seformasen dos moléculas de cloruro de hidrógeno cuando

________________________________________________________________________________________ El estudio de la química 83

Divisionesde la química Objeto de estudio

Inorgánica Estudia los elementos y sus com-puestos, excepto los que estánformados por cadenas de car-bono

Orgánica Estudia los compuestos del carbono

Analítica Estudia los métodos utilizadospara identificar y determinar lacomposición porcentual de lassustancias

Física Estudia las relaciones entre la es-tructura y las propiedades delas sustancias

Técnica o industrial Describe los procedimientos in-dustriales para obtener las sus-tancias

Principales divisiones de la química

El estudio de la química se centró durante la edad media en loslaboratorios de alquimia. En la imagen, El alquimista, de DavidTeniers, (Museo del Prado, Madrid).

debía de formarse una sola. Amadeo Avogadro, en 1811,encontró una explicación. Postuló la existencia de molé-culas, indicando que las partículas que forman los gaseselementales no son átomos, sino agregados de átomos, alos que denominó moléculas, y enunció su hipótesis su-poniendo que bajo condiciones análogas de presión y

temperatura, volúmenes iguales de diversos gases conte-nían siempre el mismo número de moléculas. De esta for-ma, si las moléculas de cloro e hidrógeno tuvieran dosátomos cada una, sí podrían formarse dos moléculas decloruro de hidrógeno.

Se pensó que los átomos de los elementos eran agrega-

84 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

1901 J. H. Van’t Hoff (Países Bajos)1902 E. Fischer (Alemania)1903 S. A. Arrhenius (Suiza)1904 Sir W. Ramsay (G. Bretaña)1905 A. Von Baeyer (Alemania)1906 H. Moissan (Francia)1907 E. Buchner (Alemania)1908 E. Rutherford (G. Bretaña)1909 W. Ostwald (Alemania)1910 O. Wallach (Alemania)1911 M. Curie (Francia)1912 V. Grignard (Francia)

P. Sabatier (Francia)1913 A. Werner (Suiza)1914 T. W. Richard (EE. UU.)1915 R. Willstätter (Alemania)1916 No concedido1917 No concedido1918 F. Haber (Alemania)1919 No concedido1920 W. Nersnt (Alemania)1921 F. Soddy (G. Bretaña)1922 F. V. Aston (G. Bretaña)1923 F. Pregl (Austria)1924 No concedido1925 R. Zsigmondy (Alemania)1926 T. Svedberg (Suecia)1927 H. Wieland (Alemania)1928 A. Windaus (Alemania)1929 A. Harden (G. Bretaña)

H. Von Euler-Chelpin (Suecia)1930 H. Fischer (Alemania)1931 K. Bosch (Alemania)

F. Bergius (Alemania)1932 J. Langmuir (EE. UU.)1933 No concedido1934 H. C. Urey (EE. UU.)1935 F. e I. Joliot-Curie (Francia)1936 P. J. W. Debye (Países Bajos)1937 N. Haworth (G. Bretaña)

Paul Karrer (Suiza)1938 R. Kuhn (Alemania)1939 A. Butenandt (Alemania)

L. Ruzicka (Suiza)1940 No convocado1941 No convocado1942 No convocado1943 G. de Hevesy (Hungría)

1944 O. Hahn (Alemania)1945 A. I. Virtanen (Finlandia)1946 J. B. Sumner (EE. UU.)

J. H. Northrop (EE. UU.)W. M. Stanley (EE. UU.)

1947 R. Robinson (G. Bretaña)1948 A. W. K. Tiselius (Suecia)1949 W. F. Giauque (EE. UU.)1950 O. P. H. Diels (R. F. Alemania)

Kurt Alder (R. F. Alemania)1951 E. M. McMillan (EE. UU.)

G. T. Seaborg (EE. UU.)1952 A. J. P. Martin (G. Bretaña)

R. L. M. Synge (G. Bretaña)1953 H. Staudinger (R. F. Alemania)1954 L. G. Pauling (EE. UU.)1955 V. du Vigneaud (EE. UU.)1956 G. N. Hinshelwood (G. Bretaña)

N. N. Semyonov (URSS)1957 A. R. Todd (G. Bretaña)1958 F. Sanger (G. Bretaña)1959 J. Heyrovsky (Checoslovaquia)1960 W. F. Libby (EE. UU.)1961 M. Calvin (EE. UU.)1962 M. F. Perutz (G. Bretaña)

J. C. Kendrew (G. Bretaña)1963 K. Ziegler (R. F. Alemania)

G. Natta (Italia)1964 D. Hodgkin (G. Bretaña)1965 R. B. Woodward (EE. UU.)1966 R. S. Mulliken (EE. UU.)1967 M. Eigen (R. F. Alemania)

R. G. W. Norrish (G. Bretaña)G. Porter (G. Bretaña)

1968 I. Onsager (EE. UU.)1969 D. H. R. Barton (G. Bretaña)

O. Hassel (Noruega)1970 L. F. Leloir (Argentina)1971 G. Herzberg (Canadá)1972 Ch. B. Anfinsen (EE. UU.)

S. Moore (EE. UU.)H. Stein (EE. UU.)

1973 E. O. Fischer (R. F. Alemania)G. Wilkinson (G. Bretaña)

1974 P. Flory (EE. UU.)1975 J. W. Cornforth (G. Bretaña)

V. Prelog (Suiza)1976 W. N. Lipscomb (EE. UU.)

1977 I. Prigogine (Bélgica)1978 P. Mitchell (G. Bretaña)1979 H. C. Brown (EE. UU.)

G. Wittig (R. F. Alemania)1980 P. Berg (EE. UU.)

W. Gilberg (EE. UU.)F. Sanger (G. Bretaña)

1981 K. Fukui (Japón)R. Hoffmann (EE. UU.)

1982 A. Klug (G. Bretaña)1983 H. Taube (EE. UU.)1984 B. Merrifield (EE. UU.)1985 H. A. Hauptman (EE. UU.)

J. Karle (EE. UU.)1986 D. R. Herschbach (EE. UU.)

Y. T. Lee (EE. UU.)J. C. Polanyi (Canadá)

1987 D. J. Cram (EE. UU.)J. M. Lehn (Francia)C. J. Pedersen (EE. UU.)

1988 J. Deisenhofer (R. F. Alemania)R. Huber (R. F. Alemania)H. Michel (R. F. Alemania)

1989 S. Altman (EE. UU.)T. R. Cech (EE. UU.)

1990 E. J. Corey (EE. UU.)1991 R. R. Ernst (Suiza)1992 R. A. Marcus (EE. UU.)1993 K. B. Mullis (EE. UU.)

M. Smith (Canadá)1994 G. A. Olah (EE. UU.)1995 P. Crutzen (Países Bajos)

M. Molina (México)F. Sherwood Rowland (EE. UU.)

1996 Robert F. Curl (EE. UU.)Richard E. Smalley (EE. UU.)Harold W. Kroto (G. Bretaña)

1997 Paul Boyer (EE.UU.)John Walker (G. Bretaña)

1998 Walter Hohn (EE.UU.)John A. Pople (EE.UU.)

1999 Ahmed H. Zewail(Egipto/EE.UU.)

2000 Hideki Shirakawa (Japón)Alan Heeger (EE.UU.)Alan MacDiarmid(Nueva Zelanza/EE.UU.)

Premios Nobel de química

Instituidos en 1901 por el científico sueco Alfred Nobel para galardonar los avances más decisivos del saber humano, en ladisciplina de química los premios Nobel han recaído en:

dos de átomos de hidrógeno (ésta era la hipótesis deProust), ya que las masas atómicas relativas eran núme-ros enteros. Las nuevas hipótesis y leyes, así como la ma-yor exactitud de las medidas, demostraron más adelanteque la mayoría de las masas relativas eran números deci-males. La siguiente escala de masas atómicas se basó enla masa del átomo de oxígeno y actualmente se funda-menta en el valor 12 para la masa de carbono-12.

Jakob Berzelius publicó en 1828 la tabla de las masasatómicas de los elementos conocidos hasta ese momento.

En el primer tercio del siglo XX se hicieron varios inten-tos de clasificar los elementos químicos. El criterio másutilizado era el de seguir el orden creciente de sus masasatómicas.

Julius Lothar Meyer y Dimitri Ivánovich Mendéleievfueron los creadores del sistema periódico. Este hecho lle-vó a pensar que los átomos debían ser más complejos delo que se creía hasta ese momento, y más tarde, en 1897,el descubrimiento del electrón contribuyó al concepto dequímica moderna que se aplica actualmente. Los electro-nes se convirtieron en los responsables de las reaccionesquímicas. La existencia de un desequilibrio electrónicoexplicaba los efectos fisicoquímicos.

La química orgánica, que en un principio se aplicabaexclusivamente a los seres vivos, amplió sus aplicacio-nes. Se consiguieron compuestos orgánicos medianteprocesos artificiales de síntesis, que repercutieron sobrela industria. El descubrimiento de las sustancias radiac-tivas y el creciente empleo de combustibles fósiles y de-rivados del petróleo abrieron nuevos caminos a la quí-mica. La química médica y farmacéutica, y la química delos grandes polímeros (plásticos, fibras, etc.), se desarro-llaron de forma espectacular durante la segunda mitaddel siglo XX. La alimentación, los cultivos agrícolas y di-versos tipos de utilización de la química surgieron comoresultado de una ciencia en continua evolución.

Durante las últimas décadas, la visión tridimensionalde las moléculas, los avances en los métodos de análisisy síntesis y la utilización de la informática como herra-mienta de trabajo han supuesto nuevos logros para laciencia química, en constante y continuo progreso.

Clasificación de la química

La clasificación de la química en ramas perfectamente de-finidas e independientes es difícil de establecer debido ala amplitud de los campos que estudia esta ciencia, asícomo por el gran número de interrelaciones que presentacon otras ciencias.

Los criterios de división en diferentes áreas especiali-zadas de trabajo han sido muy variados. Una de las divi-siones que se establecieron atiende a su utilidad inmedia-ta, considerándose química pura cuando su enfoque sedirige a la construcción de modelos y sistemas teóricospara explicar y predecir el comportamiento de las espe-cies químicas, o química aplicada cuando considera losaspectos prácticos de sus diversas áreas.

Dentro de la química pura existen varias subdivisiones

en función de las sustancias objeto de trabajo y de la na-turaleza de las sustancias a estudiar.

La química general analiza distintos acontecimientos ycaracterísticas que describen procesos en los que inter-vienen los diferentes elementos químicos.

La termoquímica estudia y analiza los intercambios deenergía que se producen en las reacciones químicas.

La cinética interpreta la naturaleza de los equilibriosen las sustancias químicas, así como las velocidades delas reacciones que se producen.

La química física establece las relaciones entre la es-tructura y las propiedades de las sustancias.

Por otra parte, la síntesis química reúne diversas técni-cas y conocimientos que permiten la fabricación de de-terminadas sustancias a partir de otros compuestos ini-ciales (se acerca así al objetivo de la química aplicada y ala química industrial).

La química analítica estudia los métodos para recono-cer y determinar los componentes elementales de las sus-tancias.

La química descriptiva estudia las propiedades y ca-racterísticas de los compuestos para utilizarlos en suidentificación y determinación cualitativa, de forma quese diferencian dos grandes tipos de sustancias químicas:las inorgánicas y las orgánicas.

La química inorgánica estudia los elementos simplesy compuestos, salvo los que están formados por cade-nas de carbono. La química orgánica estudia los com-puestos del carbono, así como sus combinaciones conotros elementos, en especial hidrógeno, oxígeno, nitró-geno, fósforo, azufre y cloro, y constituidos fundamen-talmente por estructuras complejas y unidas entre sí porlargas cadenas de enlaces químicos (en un principio sepensaba que estas sustancias se obtenían exclusivamentede los seres vivos, pero también se obtienen por síntesis).

Dentro de la química orgánica, el estudio de las macro-moléculas durante el siglo XX adquirió una gran impor-tancia en bioquímica, ciencia que estudia las estructurasy los procesos biológicos y que es actualmente una disci-plina independiente.

En el cuadro que se ofrece en la página 79 se indica, amodo de resumen, una de las principales clasificacionesde la química.

________________________________________________________________________________________ El estudio de la química 85


1. ¿Quién fue el primer científico que utilizó el tér-mino de “química” para designar los temas queestudiaba la antigua alquimia?

2. ¿Cuál fue la principal aportación de Lavoisier aldesarrollo de la ciencia química?

3. ¿En qué cinco grupos principales puede dividirsela química?

Teoría atómico-molecular

Como se indicó en el tema anterior, las investigacionessobre si la materia estaba constituida por partículas invi-sibles o, por el contrario, formaba una entidad única, co-menzaron con los filósofos de la antigua Grecia. Fue De-mócrito quien desarrolló la primera teoría basada enla discontinuidad de la materia, y puso de manifiesto laexistencia del átomo. A principios del siglo XIX, John Dal-ton desarrolló su teoría atómica, donde exponía sus ideassobre la constitución de la materia. Ésta se puede resumirasí en los términos siguientes:

– Los átomos son las partículas constitutivas de todaslas sustancias; son pequeñas esferas macizas e invisibles.

– Las esferas, o átomos, son idénticas (tienen la mismamasa y las mismas propiedades) para un mismo elemen-to y diferentes a las de cualquier otro elemento.

– Los átomos de distintos elementos pueden agruparsepara formar moléculas compactas, entre las que se esta-blece una relación numérica sencilla.

En el año 1896, Henri Becquerel rebatió la teoría de laindivisibilidad del átomo, al realizar sus experiencias conlas sales de uranio que emitían radiaciones similares a losrayos X. Estos experimentos dieron lugar al estableci-miento de diferentes modelos atómicos para poner de ma-nifiesto la existencia de partículas tanto de carga positivacomo de carga negativa en el interior de un mismo átomo.

Modelo atómico de Thomson

En 1897, al estudiar la naturaleza de los rayos catódicos,Joseph J. Thomson puso de manifiesto la existencia delelectrón. Para ello utilizó un tubo de vacío, que disponíade un campo eléctrico y otro magnético. Observó que loselectrones poseen carga negativa, mientras que los áto-mos son eléctricamente neutros, por lo que, para equili-brar la carga negativa de los electrones, cada átomo de-bería tener igual carga positiva.

Estas premisas permitieron a Thomson suponer un mo-delo atómico constituido por una esfera maciza de carga

positiva y con electrones de carga negativa en su interior,por lo que el resultado de su conjunto era el átomo de car-ga neutra. A partir de este modelo se postuló que la ma-teria está constituida por partículas cargadas eléctrica-mente, que se desplazan de unos cuerpos a otros.

Una vez formulada la teoría que sostiene que el átomoconsta de electrones, negativos, y protones, positivos, elprincipal problema radicaba en determinar la distribu-ción y número de partículas que había en el átomo.

Modelo atómico de Rutherford

Ernest Rutherford, discípulo de J. J. Thomson, demostróa principios del siglo XX la teoría de su maestro y dio unpaso decisivo en el estudio de la estructura del átomo aldescubrir que éste poseía un núcleo central donde se ha-llaba concentrada la carga positiva y que los electronesgiraban alrededor.

Rutherford llegó a esta conclusión mientras investigabala difusión de partículas alfa por la materia. Así, cuando laradiación emitida por un elemento se hace pasar a travésde un campo magnético, se desdobla en tres haces distin-tos. Rutherford nombró estos haces con las tres primerasletras del alfabeto griego. Los rayos alfa son partículas po-sitivas cuya masa es mayor que la del átomo de hidrógeno;los rayos beta, haces de electrones, y los gamma son radia-ciones de naturaleza electromagnética, ya que no se des-vían con un campo magnético. Para su experimento diseñóun dispositivo mediante el cual bombardeó una láminamuy fina de oro con partículas alfa, emitidas por materia-les radiactivos protegidos mediante una cámara de plomo,disponiendo una pantalla fluorescente detrás para poderobservar los impactos de las partículas cuando salían de lalámina metálica. Supuestamente, si la carga positiva yla masa del electrón se encontraban distribuidas uniforme-mente, las partículas alfa, con carga positiva, debían des-viarse ligeramente al atravesar la lámina metálica. El resul-tado que se obtuvo fue que la mayoría de los rayos alfa atra-vesaban la lámina sin sufrir prácticamente ningunadesviación, algunos se desviaban ligeramente, mientrasque ciertas partículas rebotaban y seguían una trayectoriade retroceso.

ESTRUCTURAATÓMICA

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O


Estos resultados no podían explicarse según el modelode Thomson, razón por la que Rutherford elaboró un nue-vo modelo atómico según el cual el átomo debía estarprácticamente vacío, concentrándose toda su masa en elcentro o núcleo, que estaría constituido por cargas positi-vas. En este modelo, los electrones, cargados negativa-mente, giraban alrededor del núcleo como en un sistemaplanetario, donde existen espacios libres.

La existencia de un núcleo, formado por protones, y lacorteza, constituida por electrones girando, permitía ex-plicar el comportamiento de las partículas alfa:

– Las que no se desviaban pasaban alejadas del núcleoa través de los espacios vacíos.

– Las que sufrían una pequeña desviación pasaban cer-ca de algún núcleo y se repelían, al estar cargados positi-vamente tanto las partículas como el núcleo.

– Las grandes desviaciones de algunas partículas alfase podían explicar pensando en un choque contra unapartícula de gran masa y carga positiva, es decir, las querebotaban era debido a que chocaban con el núcleo, y re-botaban tan pocas porque la probabilidad de chocar eramuy pequeña.

Así pues, se supuso que los electrones se encuentrangirando en órbitas concéntricas y fijas, con un movimien-to rápido que les confiere una fuerza centrífuga que im-pide que caigan sobre el núcleo, a pesar de la atracciónelectrostática que éste ejerce.

Posteriormente, Rutherford obtuvo una partícula quemás tarde se identificó como el protón, constituyente delnúcleo cuya masa es 1.837 veces mayor que la masa de unelectrón.

Conociendo la existencia de electrones y protones comoconstituyentes del átomo, había que explicar la discre-pancia entre masa y carga de los elementos, por lo que sepostuló la existencia en el núcleo de otra partícula sin car-ga y de igual masa que el protón. James Chadwick de-mostró la existencia de dicha partícula, denominada neu-trón. Sobre estas premisas se desarrollaría el modelo ató-mico de Bohr, sobre el cual se asentarían buena parte delos principios de la química atómica moderna.

Modelo atómico de Bohr

El modelo atómico de Rutherford no justificaba la estabi-lidad del átomo, ya que, según las leyes electromagnéti-cas clásicas, cuando una partícula cargada eléctricamen-te se mueve, emite energía radiante en forma de ondas.Por tanto, el electrón iría perdiendo su energía y dismi-nuiría su velocidad, describiendo órbitas cada vez máspequeñas hasta precipitarse sobre el núcleo.

Para solucionar el problema, Niels Bohr, en 1913, esta-bleció un nuevo modelo atómico para el hidrógeno, ba-sándose en el modelo de su maestro Rutherford, así comoen el estudio de los espectros atómicos y en la idea de MaxPlanck de la cuantización de la energía para explicar laradiación del cuerpo negro, principios ambos que se ex-ponen en detalle a continuación.

Espectros atómicos

Se puede estudiar la composición de cualquier tipo deenergía electromagnética mediante sistemas ópticos, ta-les como prismas o espectroscopios, basándose en el he-cho de que la luz, al atravesar un prisma triangular de vi-drio o ser reflejada por una red de difracción, se dispersaen sus diferentes componentes. Se obtiene así un conjun-to de imágenes denominadas espectros, integrado por lí-neas, bandas y espacios, de color, más o menos separa-dos según sean sus componentes. Los espectros puedenser continuos, de bandas y de rayas:

– El espectro continuo corresponde a la luz blanca o so-lar. Es un espectro de colores, donde el azul y el rojo sedisponen en los extremos.

– El espectro de bandas es característico de las molécu-las. Está formado por rayas muy finas que se agrupan yaparecen como bandas.

– El espectro de rayas es típico de cada átomo. Si un ele-mento, en estado gaseoso, se somete a un calentamientomediante una llama o se excita por una chispa o descargaeléctrica, emite una radiación que constituye su espectroatómico de emisión. Si se estudia el espectro del hidróge-no gaseoso, se observan una serie de líneas con longitudesde onda y frecuencias únicas y características. Todas estaslíneas se conocen como series de Balmer, ya que fue esteinvestigador quien descubrió que las frecuencias de la zonavisible presentaban una relación sencilla entre ellas:

1/λ = ν = R(1/n12 – 1/n2

2)(siendo λ la longitud de onda y n1 y n2 números enteros.)

Posteriormente se obtuvieron otra serie de líneas es-pectrales con relaciones análogas a la de Balmer, que per-mitían obtener las diferentes longitudes de onda del es-pectro del hidrógeno:

Serie de Lyman = región ultravioleta.Serie de Paschen = región infrarrojo próximo.Serie de Brackett = región infrarrojo lejano.

Hipótesis de Planck

Max Planck llegó a la conclusión de que la radiación nopuede ser emitida ni absorbida de forma continua, sinosólo en momentos determinados y en cantidades defini-das. Tales cantidades quedan establecidas en los llamadoscuantos o fotones. La radiación emitida o absorbida por uncuerpo sólo puede ser un número entero de cuantos.

Según Planck, el cuanto es la mínima cantidad de ener-gía que se puede emitir y su valor es directamente pro-porcional a la frecuencia de la radiación emitida. Puedecalcularse mediante la siguiente expresión matemática:

e = h · ν

Siendo h la constante de Planck = 6,624 · 10-27 ergios porsegundo o 6,624 · 10-34 julios por segundo, ν (letra griega

______________________________________________________________________________________________ Estructura atómica 87

ni) la frecuencia de la energía electromagnética, y e laenergía del cuanto o fotón.

A partir de lo expuesto anteriormente, Bohr estableciósu modelo atómico formulando tres postulados:

Primer postulado. Cuando un electrón gira en su órbi-ta, no emite energía radiante, por lo que la órbita descritapor el electrón es estacionaria. Al no emitir energía, novaría su velocidad y no se acerca al núcleo, sino que giraalrededor de él describiendo una órbita circular.

Este postulado confirma la teoría de Rutherford y permi-te conocer la velocidad del electrón al asemejar la fuerza deatracción electrostática, fe (que viene dada por la ley de Cou-lomb: proporcional al producto de las cargas dividido porla distancia al cuadrado), con la fuerza centrípeta, fc; es de-cir, cuando un electrón gira alrededor del núcleo, la fuerzade atracción electrostática funciona como fuerza centrípeta:

Fuerza electrostática →fe = Ze · e/r2, siendo Z el númeroatómico y e la carga de los electrones de la periferia.

Fuerza centrípeta →fc = mv2/r

mv2/r = Ze · e/r2

Como Z, el número atómico, es igual al número de pro-tones del núcleo o de electrones de la periferia y e se tomacomo carga de los electrones periféricos, la igualdad setransforma en la expresión siguiente:

mv2/r = Ze2/r2; mv2 = Ze2/r; v2 = Ze2/m · r

Segundo postulado. Para el electrón sólo son posibleslas órbitas en las que la cantidad de movimiento del elec-trón por la longitud de la órbita sea un múltiplo del cuan-to de energía (h/2π).

Este postulado relaciona al átomo con la teoría cuánticade Planck. Puesto que la energía se emite o se absorbe enforma de cuantos de luz o fotones, no puede tomar cualquiervalor, sino sólo los múltiplos enteros de ese cuanto (e = h · ν,donde h es la constante de Planck y ν la frecuencia).

Como el momento cinético del electrón cuando gira al-rededor del núcleo viene expresado por mvr y ha de sermúltiplo entero de h/2π.

mvr = nh/2πdonde n = número cuántico = 1, 2, 3

mv · 2πr = nh

se eleva la expresión al cuadrado para poder sustituir lav2 por el valor obtenido en el primer postulado

m2 · v2 · 22 · π2 · r2 = n2 · h2

Se sustituye v2 por Ze2/mrm2 · Ze2/mr · 22 · π2 · r2 = n2 · h2

m · Ze2 · 4π2 · r = n2 · h2

r = h2n2/m · Ze2 · 4π2

Esta expresión indica que el radio de la órbita del elec-

trón está cuantizado. Dando a πvalores 1, 2, 3, 4, …, se ob-tienen los radios, r, de la órbitas permitidas. Para n = 1, laórbita es la de menor radio y por tanto el electrón en ellaposee la mínima energía potencial.

El estado fundamental o de mínima energía y, por tan-to más estable, del hidrógeno corresponde al electrón enla primera órbita.

Tercer postulado. El paso de un electrón de una órbitasuperior (más alejada) a otra inferior (más cercana) liberaenergía en forma de ondas electromagnéticas. De igualforma, para lograr que un electrón salte a una órbita másexterna se necesita un aporte de energía.

La frecuencia de las ondas electromagnéticas o fotones,emitidas cuando un electrón excitado en la órbita a cae enla b perdiendo la excitación, viene dada por:

Ea – Eb = hν

La fórmula de la energía del electrón en cualquier órbi-ta se puede deducir mediante las ecuaciones obtenidasen el primer y segundo postulado:

Energía del electrón = Energía potencial + Energía cinética

Ee- = Ep + Ec

Ec = 1/2 mv2

Ep = ∫∞r – Ze2/r2 · dr = Ze2/r

La energía potencial será la carga del electrón por el po-tencial del punto donde se encuentra dicho electrón.Como en el infinito la energía potencial es cero, y los de-más potenciales van disminuyendo según se acercan alnúcleo, tendrán signo negativo. Por tanto,

Ep = –Ze2/ry

Ee- = 1/2 mv2 – Ze2/r

Como en el primer postulado:

1/2 mv2 = 1/2 Ze2/r

Sustituyendo, se obtiene la energía total del electrón

Ee- = 1/2 Ze2/r – Ze2/r = –1/2 Ze2/r

Teniendo en cuenta el valor de r en el segundo postulado

Ee- = –(1/2) Ze2 · m · Ze2 · 4π2/h2 · n2

Ee- = –mZ2 · e4 · 2π2/h2 · n2

Como n = 1, 2, 3, …, n2 = 1, 4, 9, …, la expresión ante-rior indica que también está cuantizada la energía, puestoque depende del valor de n2.

Supongamos ahora el electrón en las dos primeras ór-bitas; su energía para cada una de ellas será:

Si n = 1 (órbita 1): Ee- = -2π2 · m · Z2 · e4/h2 · 12

Si n = 2 (órbita 2): Ee- = -2π2 · m · Z2 · e4/h2 · 12

88 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Es decir, la energía del electrón es mayor para la segun-da órbita que para la primera, lo que significa que las ór-bitas de mayor energía son las más alejadas del núcleo, ypor tanto, si un electrón pasa de una órbita superior (másalejada) a otra inferior, se libera energía. La energía libe-rada queda registrada en las rayas que constituyen los es-pectros de emisión.

Partículas subatómicas

Los átomos no son las partículas elementales de la materia.Gracias a los aceleradores de partículas y a los estudios dela radiación cósmica, actualmente se conocen varios cente-nares de partículas de dimensiones inferiores a los átomos.Estas partículas se diferencian entre sí en razón de su masay por su carga eléctrica. A este respecto, cabe puntualizarque a cada una de las partículas subatómicas o elementalesles corresponde una antipartícula, de igual masa y dura-ción de vida, pero de carga opuesta. Así, se definirían comopartículas el protón y el electrón, mientras que serían suscorrespondientes antipartículas el antiprotón y el positrón(o antielectrón). El neutrón y el antineutrón presentan unamisma carga, pero se diferencian por otras característicaselectromagnéticas, mientras que otras partículas de carganeutra, como el fotón (γ) o el pión neutro (π), son ellas mis-mas sus propias antipartículas. En esencia, se distinguenlas siguientes categorías de partículas subatómicas:

– Los leptones son las partículas más ligeras; incluyenel electrón (e-), de carga negativa; el neutrino (ν), de carganeutra y masa igual a la del electrón; el positrón (e+), deigual masa que el electrón, pero de carga positiva; el me-són o muón (µ), de carga positiva o negativa y masa 209veces mayor que la del electrón, y sus antipartículascorrespondientes.

– Los mesones, partículas de masa media (menor quela del protón, pero mayor que la del electrón), con cargatanto positiva como negativa. Entre ellos se encuentranel mesón πo pión, de carga variable; el mesón K o kaón,también de carga variable; el fotón; los rayones, y sus res-pectivas antipartículas.

– Los bariones, que son las partículas de mayor peso,entre los que podemos encontrar los nucleones –proto-nes y neutrones–, hiperiones y sus antipartículas.

Al conocerse la existencia de tan elevado número departículas, se hacía necesario elaborar un sistema para suordenación. Según el físico Murray Gell-Mann, estas par-tículas quedarían ordenadas si se admitiese la existenciade unidades más elementales, llamadas quarks.

Las partículas elementales se caracterizan por su car-ga, su masa de reposo, el momento de rotación y el mo-mento de traslación en una órbita.

La gran mayoría de estas partículas son inestables, sibien tres de ellas –el electrón, el protón y el neutrón– es-tán presentes en casi todos los átomos.

Las características principales de estas tres partículasse pueden resumir de la siguiente forma:

Electrón. Los electrones fueron las primeras partículassubatómicas descubiertas. Están cargados negativamente.

Símbolo: e, e-

Masa en reposo: 9,1090 · 10-24 gCarga: 1,602 · 10-19 culombios

Protón. Partícula constitutiva del núcleo atómico, concarga igual a la del electrón, pero de signo positivo, y unamasa 1.837 veces mayor que la del electrón y aproxima-damente igual a la del neutrón.

Símbolo: P, 11H+

Masa en reposo: 1,6725 · 10-24 gCarga: 1,602 · 10-19 culombios

Neutrón. El neutrón es la partícula constitutiva del nú-cleo atómico, no tiene carga eléctrica y por tanto no es des-viada por los campos magnéticos o eléctricos.

Símbolo: nMasa en reposo: 1,6748 · 10-24 g

Carga: 0 culombios

Número atómico

Se llama número atómico al número de protones que tie-ne en su núcleo un átomo.

Este número es característico de cada elemento quími-co determinado, es decir, que todos los átomos de un mis-mo elemento tienen el mismo número de protones, mien-tras que en átomos de diferentes elementos el número deprotones es distinto. Así, por ejemplo: el átomo de cloroes el único que tiene número atómico 17, el oxígeno 8, elcarbono 6, etc.

El número atómico se representa por Z, y es exacta-mente igual al número de electrones de la corteza en unátomo neutro, ya que los protones llevan una carga posi-tiva igual en magnitud y de signo opuesto a la de los elec-trones.

n.º atómico = n.º de protones = n.º de electrones = Z

La determinación experimental del número atómico serealiza mediante el análisis del espectro de rayos X delelemento en cuestión.

Número másico

Se denomina número másico a la suma del número deprotones y el de neutrones.

El símbolo que se utiliza es A.

n.º másico = n.º de protones + n.º de neutrones = AA = Z + N

En la tabla periódica se representa situándolo como su-períndice junto al símbolo correspondiente del elemento.

El número puede ser diferente en átomos de un mismo


elemento, es decir, los átomos de un elemento siempretienen el mismo número de protones, pero pueden tenerdiferente número de neutrones.

A los átomos de un mismo elemento que se diferencianen su número másico se les denomina isótopos.

Masa atómica

La unidad de medida de masa atómica o peso atómico (uo uma) en un principio era aproximadamente igual a lamasa del átomo de hidrógeno. Se adoptó la masa del áto-mo de hidrógeno como unidad de masa atómica al ser elelemento más pequeño. También se utiliza el oxígenocomo elemento tipo o patrón por su cualidad de combi-narse con casi todos los elementos.

En 1961 se tomó una unidad de masa relativa estable-ciendo una nueva escala de pesos atómicos, basada en elisótopo 12 del carbono. Esta unidad de masa atómica esla doceava parte de la masa del átomo de carbono. Estevalor se ha deducido experimentalmente y equivale a1,66 · 10-24 gramos.

El átomo-gramo de un elemento es el número de gra-mos de dicho elemento, igual numéricamente a su masao peso atómico, o, expresado de otra forma, el átomo-gra-mo, es el peso atómico expresado en gramos.

Ejemplo. El átomo-gramo del azufre pesa 32 gramosporque su masa atómica es 32; el cobre pesa 63,5 gramos;el oxígeno, 16 gramos, etc.

Masa molecular

Se denomina molécula a la partícula neutra más peque-ña de una sustancia, que presenta las características ne-cesarias para participar en los procesos químicos y tie-ne capacidad de existir independientemente. Para quese constituya una molécula han de unirse varios átomosentre sí.

Partiendo de estas premisas, se puede definir el con-cepto de masa molecular o peso molecular como la sumade las masas o pesos atómicos que componen una molé-cula concreta.

Ejemplo. Para la molécula de hidróxido de calcio, for-mada por dos átomos de oxígeno, dos átomos de hidró-geno y un átomo de calcio Ca(OH)2, como la masa atómi-ca o peso atómico es:

Ca = 40; O = 16; H = 1

La masa molecular será:

Masa molecular Ca(OH)2 = 1 · 40 + 2 · 16 + 2 · 1 = 74 u(unidades de masa atómica)

La molécula-gramo o mol de una sustancia es la masamolecular de dicha sustancia expresada en gramos.

En el ejemplo anterior del hidróxido de calcio:

Masa molecular = 74 uMolécula-gramo o mol = 74 g

Para designar la cantidad de sustancia en número demoles se usa el símbolo n.

Ejemplo:

En 74 g de Ca(OH)2 hay 1 mol, n = 1,en 148 g hay 2 moles de Ca(OH)2, es decir, n = 2

El número de moléculas contenidas en un mol de unasustancia es constante e igual al número de Avogadro (N),que tiene un valor de:

N = 6,023 · 1023 moléculas/mol

El valor de esta constante permite obtener el núme-ro de moléculas (nm) contenido en cierta cantidad de gra-mos (x) de cualquier sustancia, así como el número deátomos (na) contenido en una cantidad de gramos de undeterminado elemento.

Se aplican las siguientes fórmulas:

nm = Nx/mol = 6,023 · 1023 · x/molna = Nx/átomo gramo

Volumen molar. Experimentalmente se ha demostra-do que una molécula de cualquier gas medido a 760 mmde mercurio de presión y 0º C de temperatura ocupa unvolumen de 22,415 litros. A ese volumen se le denomi-na volumen molar.

Isótopos

Pueden existir varias clases de átomos de un mismo ele-mento, debido a que, a pesar de tener el mismo númerode protones, tienen diferente número de neutrones. A es-tos átomos con igual número atómico, pero diferente nú-mero másico, se les denomina isótopos.

Los isótopos de un elemento deben tener idéntico com-portamiento químico y diferenciarse físicamente sólo en lamasa, ya que tienen la misma carga nuclear, que es la res-ponsable de las propiedades características de cada átomo.

Para cada elemento pueden exisitir una serie de isóto-pos en distinta proporción en la naturaleza.

Por ejemplo, hay tres clases de átomos de hidrógeno,denominados protio o hidrógeno, deuterio y tritio.

Al conjunto de todos los isótopos de un elemento quí-mico se le llama pléyade. Todos los isótopos de hidróge-no tienen un protón en su núcleo, pero el hidrógeno nocontiene ningún neutrón, el deuterio tiene uno y el tritiotiene dos neutrones.

Hidrógeno: 11HDeuterio: 21HTritio: 31H

Actualmente se sabe que de todos los elementos cono-cidos, tan sólo 21 de ellos son puros. En general, un ele-mento químico está formado por una mezcla de isótoposque se presentan con distinta frecuencia en la naturaleza.

90 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Por ejemplo, el cloro tiene 2 isótopos –cloro-35 y clo-ro-37– y su presencia en la naturaleza es del 75% y del25%, respectivamente.

Por tanto, la masa promedio de un átomo de cloro es:

75 · 35 u + 25 · 37 u = 35,5 u100

Mecánica cuántica

El modelo atómico de Bohr era aplicable al átomo de hi-drógeno, pero no explicaba el espectro de otros elemen-tos químicos con más de un electrón.

El nuevo modelo dio lugar al desarrollo de la denomi-nada mecánica cuántica. Varias fueron las claves para su-perar el modelo de Bohr:

– Principio de dualidad onda-corpúsculo de De Broglie.– Principio de incertidumbre de Heisenberg.– Ecuación de onda de Schrödinger.

Principio de dualidad onda-corpúsculo de De Broglie.Según este principio, la materia se comporta como onda ocomo partícula según las circunstancias. La luz puede te-ner por una parte comportamiento corpuscular, como sifuese un conjunto de partículas (tal es el caso del efecto fo-toeléctrico) y en otras ocasiones puede manifestarse comouna onda (como ocurre en el fenómeno de difracción).

Louis de Broglie caracterizó la onda asociada a un fo-tón y propuso la relación:

p = h/λ o λ = h/p

en donde p es la cantidad de movimiento o momento delfotón (p = m · v), λ es la longitud de onda y h la constantede Planck.

De Broglie generalizó esta conclusión a toda la materia,de tal forma que no sólo el fotón llevaría una onda asocia-da, sino que toda la materia presentaría esta dualidadonda-corpúsculo, con lo que todo objeto o partícula en mo-vimiento llevaría asociada una onda de longitud: λ = h/p.

El segundo postulado de Bohr puede explicarse a par-tir de este principio, de tal forma que una órbita será po-sible cuando la onda electrónica sea estacionaria, o lo quees lo mismo, cuando la longitud de la órbita sea múltiplode la longitud de onda electrónica.

Principio de incertidumbre de Heisenberg y conceptode orbital. Constituye una de las ideas fundamentales delpensamiento físico actual. Al intentar conocer la cantidadde movimiento y la posición del electrón en un momentodeterminado, Werner Heisenberg formuló su principio,que se puede enunciar de la siguiente forma:

No se pueden conocer simultáneamente y con preci-sión absoluta la posición y la cantidad de movimiento omomento de un electrón. Para determinar la posición deun electrón habría que emplear luz de longitud de ondamenor que las dimensiones del electrón, algún fotón po-dría chocar contra el electrón y cambiaría su velocidad

y por tanto no se podría conocer la trayectoria del elec-trón.

Ecuación de onda de Schrödinger y concepto de orbital.Partiendo de la idea de que toda partícula en movimientolleva asociada una onda, Schrödinger halló una ecuaciónque permitía describir el movimiento del electrón.

La ecuación de onda tiene varias soluciones para de-terminados valores de energía que coinciden con los nú-meros cuánticos n, l y m de la teoría de Bohr. Estas solu-ciones son funciones matemáticas y por tanto se puedenrepresentar gráficamente. Esta representación delimitauna región donde la probabilidad de encontrar el elec-trón es elevada. A ese volumen del espacio en el que re-sulta más probable encontrar un electrón se le llama or-bital atómico.

La descripción mecánico-cuántica del electrón situadoen un determinado orbital necesita cuatro números cuán-ticos para explicar su disposición alrededor del núcleo:

n, l, m, s

Los orbitales de un átomo se agrupan en niveles deenergía. El número cuántico principal, n, indica el ni-vel energético que tiene el electrón. Puede tomar cual-quier valor de los números naturales a excepción del 0.

Si n = 1, el orbital pertenecerá al primer nivel de ener-gía (órbita más cercana al núcleo) si n = 2, el orbital perte-necerá al segundo nivel, y así sucesivamente. Es decir, loselectrones cuyo número cuántico principal es elevado tie-nen más energía y están más alejados del núcleo.

El número cuántico secundario o azimutal, l, tambiéndenominado angular o número cuántico orbital, describela forma geométrica del orbital.

Las energías de los orbitales que pertenecen a un mis-mo nivel no son idénticas. Por ello, los orbitales se agru-pan en subniveles dentro de cada nivel, de tal forma quelos electrones pertenecientes al mismo subnivel tienen lamisma energía.

El número cuántico, l, indica el subnivel de energía en elque se encuentra un orbital. Los posibles valores de l de-penden del valor de n y pueden tomar cualquier valor, des-de 0 hasta n – 1. Por ejemplo, si n = 4, el número l puede to-mar los valores 0, 1, 2 y 3. Según los valores que toma elnúmero cuántico secundario, las sub-órbitas se deno-minan:

si l = 0, se tiene un orbital s;si l = 1, se tiene un orbital p;si l = 2, se tiene un orbital d;si l = 3, se tiene un orbital f;

m es el número cuántico magnético, que indica la orien-tación del orbital l en el espacio con relación a la direc-ción de un campo magnético externo.

Por cada valor de l, el número cuántico m puede tomartodos los valores enteros positivos y negativos compren-didos entre –l y l. Así si l = 3, m puede valer cualquier nú-mero entre 3 y –3, es decir, 3, 2, 1, 0, –1, –2, –3.


Un orbital puede tener como máximo dos electrones,que se diferencian entre sí por el sentido de giro sobre sueje. El número cuántico s o número de espín (spin en in-glés significa giro) informa sobre el sentido de giro de unelectrón dentro de un orbital. Sólo puede adoptar 2 valo-res, +1/2 o –1/2, ya que solamente son posibles dos senti-dos de giro. El signo + o - depende de que el espín tomeuna dirección paralela o antiparalela al campo magnéticoexterior.

Distribución de los orbitales

Los orbitales s aparecen en todos los niveles; los orbitalesp aparecen a partir del segundo nivel; los d, a partir deltercer nivel, y los f, a partir del cuarto nivel:

Por otra parte, sólo existe un orbital s en cada nivel. Losorbitales p aparecen en grupos de tres, los d en grupos decinco y los f en grupos de siete (ver cuadro siguiente):

Forma de los orbitales

La forma del orbital depende exclusivamente del núme-ro cuántico l.

– Para el electrón en un subnivel s (l = 0), todos los or-bitales tienen m = 0. La distribución de la densidad de car-ga es independiente de la dirección en el espacio, no tie-ne orientación determinada y lo único que varía es la dis-tancia al núcleo. Los orbitales s adquieren forma deesferas cuyo radio depende del valor del número cuánti-co principal n.

– La distribución de carga de los orbitales p, l = 1, depen-de de la dirección. Para l = 1 son posibles tres orbitales p:px, py y pz, ya que m puede tomar los valores +1, o/y –1.

Todos los orbitales p toman la misma forma y se repre-sentan por dos lóbulos separados por un plano, en el cualla probabilidad de encontrar el electrón es nula. Los tresorbitales p difieren entre sí sólo por la orientación segúnlos tres ejes. Para el orbital l = 1, m = –1, la mejor orienta-ción es según el eje x (Px). Para l = 1, m = 0, la orientaciónmás privilegiada es según el eje y (Py). Para l = 1, m = 1, elorbital donde es más probable encontrar los electronesestá orientado según el eje z (Pz).

– Los orbitales d y f son de representación más compli-cada, ya que difieren entre sí tanto por su orientación enel espacio como por su forma. Hay cinco orientacionespara los orbitales d y siete para los orbitales f.

92 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________


1. ¿Cuántos protones y cuántos neutrones hay en elnúcleo del estroncio-90 (90

38Sr)?

2. Determinar la masa de una molécula de ácidosulfúrico, H2SO4, sabiendo que la masa o pesoatómico del azufre es S = 32, la del oxígeno 0 = 16 y la del hidrógeno H = 1.

3. ¿Cuál es el número de orbitales presentes en elsegundo nivel de energía de un átomo? ¿Qué for-ma adoptarían dichos orbitales?

Numero Nombre Valorescuántico adicional posibles Significado

n Principal 1, 2, 3, … Nivel energético

l Secundario 0, … (n-1) Tipo orbitalo azimutal (s, p, d, f)

m Magnético –l, …, 0, Orientación… +l del orbital

s De spin –1/2, + 1/2 Sentido de girodel orbital

Números cuánticos

Primer nivel (n = 1) l = 0 (orbital s)

Segundo nivel (n = 2) l = 0 (orbital s)l = 1 (orbital p)

Tercer nivel (n = 3) l = 0 (orbital s)l = 1 (orbital p)l = 2 (orbital d)

Cuarto nivel (n = 4) l = 0 (orbital s)l = 1 (orbital p)l = 2 (orbital d)l = 3 (orbital f)

Orbital s (l = 0) m = 0 un orbital s

Orbital s (l = 1) m = –1 tres orbitales pm = 0m = +1

Orbital d (l = 2) m = –2 cinco orbitales dm = –1m = 0m = +1m = +2

Orbital s (l = 3) m = –3 siete orbitales fm = –2m = –1m = 0m = +1m = +2m = +3

ESTRUCTURA ELECTRÓNICA

Y SISTEMAPERIÓDICO

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O

Clasificación de los elementos

A comienzos del siglo XIX surgieron los primeros intentosde clasificación de los elementos químicos en grupos ofamilias, pero hasta 1869 no se logró una ordenación re-gular y coherente de los elementos, en función de sus pe-sos atómicos. Lothar Meyer y Dimitri Ivánovich Mendé-leiev utilizaron el mismo criterio de los pesos atómicoscrecientes, pero siguieron caminos distintos. Meyer, a par-tir de la densidad y masa de los elementos, hizo un cálculorelativo de los volúmenes atómicos y obtuvo una repre-sentación en forma de ondas, donde los elementos de pro-piedades análogas ocupaban lugares equivalentes, ya queaparecían con periodicidad.

Por su parte, Mendéleiev tuvo en consideración el nú-mero que caracteriza la capacidad de combinación de cadaátomo, es decir, la valencia. Al ordenar los elementos deacuerdo con su masa atómica, observó que las valenciasse sucedían periódicamente. Dispuso los elementos en unatabla periódica, de forma que los elementos con igual va-lencia y propiedades similares quedaban en la misma co-lumna. Así obtuvo una tabla con siete columnas. Colocólos elementos de transición en subgrupos dentro de los an-teriores y en un grupo aparte. Interpretó los huecos comoelementos todavía no descubiertos, y predijo las propie-dades que tendrían los hipotéticos elementos, a los que dionombres provisionales, añadiendo el prefijo eka al elemen-to que estaba encima del lugar vacío. El descubrimientodel galio, escandio y germanio, cuyas propiedades coinci-dían con las predichas por Mendéleiev para el eka-alumi-nio, eka-boro y eka-silicio, confirmó el valor de esta tablaperiódica, conocida como sistema periódico corto.

La tabla periódica ha sufrido modificaciones hasta lle-gar al actual sistema periódico largo, que está elabora-do en función del número atómico, en lugar de tomarcomo base el peso atómico, ya que el número atómicode un elemento es característico del mismo, y de él de-penden las propiedades periódicas de los elementos.Como el átomo es eléctricamente neutro (tiene el mismonúmero de protones y de electrones), el número atómi-co también indica la cantidad de electrones del átomo.

Siguiendo la ordenación de esos electrones se conoce suconfiguración electrónica y el lugar que ocupa en el sis-tema periódico.

Configuración electrónica

Se llama configuración electrónica de un elemento a ladisposición que adoptan los electrones en un átomo dedicho elemento respecto de la posición central del nú-cleo.

La representación de la configuración electrónica de unátomo consiste en la distribución, en niveles energéticos,de sus electrones. El primer nivel energético contiene el or-bital 1s; el segundo contiene el orbital 2s y tres orbitales 2p;el tercer nivel, un orbital 3s, tres 3p y cinco orbitales 3d, y elcuarto nivel, un orbital 4s, tres 4p, cinco 4d y siete 4f.

Para obtener la configuración electrónica de cualquierelemento hay que tener en cuenta una serie de principiosde construcción que se exponen a continuación.

Principio de exclusión de Pauli. En 1925, WolfgangPauli enunció un principio según el cual en ningún áto-mo pueden coexistir dos electrones con los cuatro núme-ros cuánticos iguales. De este modo, para un valor fijo den, l y m hay dos electrones formando un orbital.

– n define un nivel energético, y en cada nivel sólo ca-ben 2n2 electrones;

– n y l corresponden a un subnivel energético y defi-nen el tipo de orbital; en cada subnivel caben 2(2l + 1) elec-trones;

– n, l, m definen la orientación en el espacio del subni-vel energético (un orbital determinado); en cada orienta-ción caben dos electrones;

– n, l, m, s definen un electrón, ya que sólo un electrónpresenta un conjunto de cuatro números cuánticos.

Regla de la máxima multiplicidad de Hund. En un mis-mo subnivel (p d f), los electrones tienden a ocupar un nú-mero máximo de orbitales y siempre con los mismos va-lores de espín hasta que sea posible.


94 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Tabla de clasificación periódica de los elementos

1 1,00797

–252,7 1–259,2 H0,071hidrógeno

40 91,22

3580 41852 Zr6,49

circonio

19 39,102

760 163,7 K0,86

potasio

20 40,06

1440 2838 Ca1,55

calcio

21 44,956

2730 31539 Sc3,0

escandio

37 85,47

688 138,9 Rb1,53

rubidio

38 87,62

1380 2768 Sr2,6

estroncio

39 88,905

2927 31509 Y4,47

itrio

55 132,905

690 128,7 Cs1,90

cesio

56 137,34

1640 2714 Ba3,5

bario

57 138,91

3470 3920 La6,17

lantano

87 (223)

— 1(27) Fr—

francio

88 (226)

— 2700 Ra5,0

radio

89 (227)

— 31050 Ac—

actinio

22 47,90

3260 4,31668 Ti4,51

titanio

23 50,942

3450 5,4,3,21900 V6,1

vanadio

40 91,22

3580 41852 Zr6,49

circonio

41 92,906

3300 5,32468 Nb8,4

niobio

72 178,49

5400 42222 Hf13,1

hafnio

73 180,948

5425 52996 Ta16,6

tantalio

104 (260)

Rfrutherfordio

105 (260)

Hahalnio

24 51,996

2665 6,3,21875 Cr7,19

cromo

25 54,938

2150 7,6,4,2,31245 Mn7,43

manganeso

26 55,847

3000 2,31536 Fe7,86

hierro

42 95,94

5560 6,5,4,3,22610 Mo10,2molibdeno

43 (99)

— 72140 Tc11,5

tecnecio

44 101,07

4900 2,3,4,6,82500 Ru12,2

rutenio

74 183,85

5930 6,5,4,3,23410 W19,3tungsteno

75 186,2

5900 7,6,4,2,–13180 Re21,0

renio

76 190,2

5500 2,3,4,6,83000 Os22,6

osmio

27 58,933

2900 2,31495 Co8,9

cobalto

45 102,905

4500 2,3,41966 Rh12,4

rodio

77 192,2

5300 2,3,4,62454 Ir22,5

iridio

58 140,12

3468 3,4795 Ce6,67

cerio

90 232,038

3850 41750 Th11,7

torio

59 140,907

3127 3,4935 Pr6,77praseodimio

60 144,24

3027 31024 Nd7,00neodimio

61 (147)

— 3(1027) Pm—

prometio

91 (231)

— 5,4(1230) Pa15,4

protactinio

92 238,03

3818 6,5,4,31132 U19,07

uranio

93 (237)

— 6,5,4,3637 Np19,5

neptunio

62 150,35

1900 3,21072 Sm7,54

samario

94 (242)

3235 6,5,4,3640 Pu—

plutonio

3 6,939

1330 1108,5 Li0,53

litio

4 9,0122

2770 21277 Be1,85

berilio

11 22,9898

892 197,8 Na0,97

sodio

12 24,312

1107 2650 Mg1,74

magnesio

Número atómicoPunto de ebullición ºC

Punto de fusión ºC

Nombre

Símbolo

Estado de oxidación

Masa atómica*

* Basada en el C 12. Indica el isótopo más estable.** Para los elementos gaseosos, los valores registrados son los de su estado líquido en el punto de ebullición.

III B IV B

I A

II A

CLAVE

V B VI B VII B VIII

1

2

3

4

5

6

7

6

7

Densidad (g/nl)**

__________________________________________________________________________ Estructura electrónica y sistema periódico 95

Tabla de clasificación periódica de los elementos (cont.)

18 39,948

–185,8 0–189,4 Ar1,40

argón

36 83,80

–152 0–157,3 Kr2,6

kriptón

54 131,30

–108,0 0–111,9 Xe3,06

xenón

86 (222)

(–61,8) 0(–71) Rn—

radón

2 4,0026

–268,9 0–269,7 He0,126

helio

10 20,183

–246 0–248,6 Ne1,20

neón

17 35,453

–34,7 ±1,3,5,7–101,0 Cl1,56

cloro

35 79,909

58 ±1,5–7,2 Br3,12

bromo

53 126,904

183 ±1,5,7113,7 I4,94

yodo

85 (210)

— ±1,3,5,7(302) At—

astato

9 18,9984

–188,2 –1–219,6 F1,505

flúor

16 32,064

444,6 6,3,4,–2119,0 S2,07

azufre

34 78,96

685 6,4,–2217 Se4,79

selenio

52 127,60

989,8 –2,4,6449,5 Te6,24

telurio

84 (210)

— 4,2254 Po(9,2)

polonio

8 15,9994

–183 2–218,8 O1,14

oxígeno

15 30,9738

280 b +3,5,444,2 b P1,82

fósforo

33 74,922

613 ±3,5817 As5,72

arsénico

51 121,75

1380 ±3,5630,5 Sb6,62antimonio

83 208,980

1560 3,5271,3 Bi9,8

bismuto

7 14,0067

–195,8 ±3,5,4,2–210 N0,81

nitrógeno

14 28,086

2680 41410 Si2,42

silicio

32 72,59

2830 4937,4 Ge5,32

germanio

50 118,69

2270 4,2231,9 Sn7,30

estaño

82 207,19

1725 4,2327,4 Pb11,4

plomo

6 12,01115

4830 ±4,23727g C2,26

g = grafito b = blanco

carbono

13 26,9815

2450 3660 Al2,70

aluminio

31 69,72

2237 329,8 Ga5,91

galio

49 114,82

2000 3156,2 In7,31

indio

81 204,37

1457 3,1303 Tl11,85

talio

30 65,37

906 2419,5 Zn7,14

zinc

48 112,40

765 2320,9 Cd8,65

cadmio

80 200,59

357 2,1–38,4 Hg13,6

mercurio

29 63,54

2595 2,11083 Cu8,96

cobre

47 107,870

2210 1960,8 Ag10,5

plata

79 196,967

2970 3,11063 Au19,3

oro

28 58,71

2730 2,31453 Ni8,9

níquel

46 106,4

3980 2,41552 Pd12,0

paladio

78 195,09

4530 2,41769 Pt21,4

platino

71 174,97

3327 31652 Lu9,84

lutecio

103 (257)

— —— Lw—lawrencio

70 173,04

1427 3,2824 Yb6,98

iterbio

102 (254)

— —— No—

nobelio

69 168,934

1727 3,21545 Tm9,33

tulio

101 (256)

— —— Md—mendelevio

68 167,26

2900 31497 Er9,05

erbio

100 (253)

— —— Fm—

fermio

67 164,930

2600 31461 Ho8,80

holmio

99 (254)

— —— Es—

einstenio

66 162,50

2600 31407 Dy8,54

disprosio

98 (249)

— 3— Cf—

californio

65 158,924

2800 3,41356 Tb8,27

terbio

97 (247)

— 4,3— Bk—

berkelio

64 157,25

3000 31312 Gd7,89gadolinio

96 (247)

— 3— Cm—

curio

63 151,96

1439 3,2826 Eu5,26

europio

95 (243)

— 6,5,4,3— Am—

americio

5 10,811

— 3(2030) B2,34

boro

III A IV A

I B II B

V A VI A VII A

VIII

De esta forma Sólo ocuparíaocupa 3 orbitales 2 orbitales

Principio de mínima energía de Aufbau. Los electronestienden a ocupar los orbitales con menor energía posible;para n + l:

3d n + l = 3 + 2 = 54s n + l = 4 + 0 = 4 Se llena antes4p n + l = 4 + 1 = 5

Regla de Madelung. Cuando dos orbitales tienen elmismo valor para n + l, se llena antes y es más estable el de menor n. En el ejemplo anterior será más estable ycomenzará a llenarse el subnivel 3d y luego el 4f.

Atendiendo a las reglas y principios enumerados, sepueden escribir las configuraciones electrónicas de losátomos.

También, mediante el espectroscopio, se determinó lasecuencia de los niveles electrónicos de la corteza dela siguiente forma:

Energías para llenar los orbitalespara cada nivel cuántico principal

El número cuántico n se relaciona con el de la capa, yel l corresponde a las letras s, p, d, f. El valor de m está re-presentado por las líneas horizontales. Por tanto, para co-nocer la configuración electrónica hay que ir rellenandolos huecos de energía, de tal forma que un nivel s sólopuede albergar dos electrones; en el nivel p puede haberseis, puesto que hay tres subniveles, y en el d puede ha-ber diez.

Cuando aumenta el número de la capa, los niveles seacercan entre sí y sus energías se entremezclan, por lo queempieza a llenarse la siguiente capa sin haberse comple-tado la anterior. La secuencia de ocupación viene deter-minada por el diagrama que se expone a continuación, sibien hay que tener en consideración que los orbitales 4f sellenan después del primer electrón del 5d, y los 5f comien-zan a llenarse después del primer electrón del orbital 6d:

1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f ↔ 5d, 6p, 7s, 5f↔ 6d, 7p.

Para conocer la distribución electrónica de los elemen-tos del sistema periódico, se puede comenzar por el hi-drógeno, para ir rellenando con electrones sucesivos losdiferentes niveles de energía, pero respetando el princi-pio de exclusión de Pauli. La configuración de un deter-minado elemento será igual a la del que le precede en elsistema periódico, aunque añadiéndole un electrón enel nivel vacante de menor energía.

El hidrógeno tiene un electrón definido por los núme-ros cuánticos: n = 1, l = 0, s = + 1/2. Lo que se puede es-cribir de forma abreviada como H = 1s1 (notación simpli-ficada de la estructura electrónica, n lx, donde n es el nú-mero cuántico principal, x el número de electrones y l elnúmero cuántico del momento angular, que en el caso delhidrógeno significa que en el nivel 1, el orbital s está ocu-pado por un electrón). Este electrón del orbital s se puederepresentar como:

1H : 1s1

1s

El helio posee dos electrones en el nivel fundamental,con lo que ha llenado el primer nivel energético:

2He : 1s2

1s

El litio, de número atómico 3, presenta la configuracióndel helio, pero con un electrón más, y debe comenzar a

1s

7s

6s

5s

4s

3s

2s

7p

6p

5p

4p

3p

2p

6d

5d

4d

3d

5f

4f

7.ª capa

5.ª capa

3.ª capa

6.ª capa

4.ª capa

2.ª capa

1.ª capa

6f

7p

6d

6p7s

5f

5d

4f

6s

4d

5p

5s4p

3d4s

3p3s2p2s1s

P SíPyPx Pz

No

96 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

llenar el segundo nivel o capa, que admite 8 electrones(2 en el nivel s y 6 en el p):

3Li : 1s22s1

1s 2s

El berilio, con 4 electrones, llena el subnivel energético 2s:

4Be : 1s22s2 o (He) 2s2

1s 2s

Necesariamente, el siguiente elemento comenzará a lle-nar el subnivel 2p, en el que, además del principio de mí-nima energía, se tendrá que aplicar la regla de Hund parallenar los orbitales p (se colocan en cada orbital con losespines desapareados).

5B : 1s22s22p1 o (He) 2s22p1

1s 2s 2p

6C : 1s22s22p2 o (He) 2s22p2

1s 2s 2p

Así sucesivamente, hasta llegar al neón, que con sus10 electrones llena la segunda capa.

10Ne : 1s22s22p6 o (He) 2s22p6

1s 2s 2p

A partir del neón comienza a llenarse el siguiente nivelenergético. De igual forma que cuando empezó a llenar-se el segundo nivel, el primer elemento que comienza allenar el tercer nivel tiene la misma configuración elec-trónica que el gas noble anterior (Ne):

11Na : 1s22s22p63s1 o (Ne) 3s1

1s 2s 2p 3s

En este tercer nivel existen también orbitales d, y es don-de se debe aplicar la regla de Madelung (es más estableel orbital de menor n + l), por lo que :

Para el subnivel 3d, n = 3 y l = 2, n + l = 5.Para el subnivel 4s, n = 4 y l = 0, n + l = 4.

Según este razonamiento, comenzará a llenarse el sub-nivel 4s antes que el 3d

19K : (Ar) 4s1

1s 2s 2p 3s 3p 4s

Cuando se llega a los subniveles 3d y 4p, el valor de

n + l coincide, pero, como es más estable el de menor ni-vel energético n, comenzará a llenarse el subnivel 3d yluego el 4p.

36Kr : (Ar) 4s23d104p6

1s 2s 2p 3s 3p

4s 3d 4p

En resumen, se puede decir que la estructura electróni-ca de un elemento cualquiera es exactamente igual que ladel elemento anterior salvo el último electrón añadido, oelectrón diferenciador.

Sistema periódico

La tabla periódica tiene filas, denominadas períodos,y columnas que forman grupos o familias, donde se si-túan los elementos químicamente afines. Según las nor-mas de la IUPAC (Unión Internacional de Química Puray Aplicada), el sistema periódico actual se compone desiete períodos y dieciocho grupos que se numeran del 1al 18, aunque también se pueden numerar según la no-menclatura clásica: del IA al VIIIA y del IB al VIIIB). Encada período hay una gradación característica de las pro-piedades físicas y químicas al pasar de un elemento aotro. Cada período se inicia cuando comienza a llenarseun nuevo nivel de electrones. El número de un períodoindica qué orbitales s o p se están ocupando a medida quese construye el período. También indica el valor del nú-mero cuántico n. Ejemplo. Los elementos que están com-pletando sus orbitales 4s o 4p corresponden al período 4.Los elementos que pertenecen a un mismo grupo presen-tan un comportamiento químico similar, debido a quetienen la misma configuración electrónica en el nivel másexterno:

– Los gases nobles deben su estabilidad a tener com-pleta la última capa electrónica. Todos tienen una confi-guración electrónica ns2 np6, salvo el helio, que tiene sólodos electrones.

– Los elementos de los grupos 1, 2, 13, 14, 15, 16 y 17 notienen completos sus niveles energéticos superiores y elúltimo electrón ocupa un orbital s o p.

– Los elementos de los grupos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y12 son los elementos de transición, los metales. El elec-trón diferenciador se coloca en la penúltima capa; son ele-mentos en los que se van completando los orbitales d.

– Los elementos de transición interna son los lantá-nidos y los actínidos, cuyo electrón diferenciador se si-túa en la antepenúltima capa. Se van llenando los orbi-tales f.

Los elementos del grupo 1 se denominan también me-tales alcalinos, los del grupo 2 son los metales alcalino-térreos, los de los grupos 13, 14, 15, 16 y 17 son los no me-


tales, y además los del grupo 17 son los halógenos (queforman sales), y los del grupo 18 son los gases nobles.

Los tres primeros períodos son los períodos cortos: elprimer período únicamente contiene dos elementos, el hi-drógeno y el helio; el segundo y tercer período contienenocho elementos. Los restantes períodos se conocen comoperíodos largos: el cuarto y quinto período contienen die-ciocho elementos, y el sexto, treinta y dos. El séptimo pe-ríodo está incompleto.

Propiedades periódicas

En cualquier grupo o familia, los elementos que lo for-man tienen características químicas similares y a lo largode cada período las propiedades varían, también, de for-ma periódica. Esto se debe a que en cada familia, todoslos elementos presentan la misma configuración electró-nica en su última capa, siendo los electrones de esta capaexterna los que intervienen en los procesos químicos.

En los epígrafes siguientes se estudiarán las propieda-des periódicas más características.

Volumen atómico

El volumen atómico se define como la relación entre elpeso atómico y la densidad de un elemento.

Volumen atómico = Peso atómico/Densidad

El volumen atómico, dentro de cada grupo, aumentade arriba hacia abajo y disminuye hacia el centro, para

volver a aumentar paulatinamente hasta el final, a lo lar-go de los períodos. Meyer fue el primero que indicó la pe-riodicidad de la variación del volumen atómico con elpeso atómico.

Radio atómico y radio iónico

El radio atómico es la mitad de la distancia entre dos nú-cleos de dos átomos contiguos. Su valor aumenta con elnúmero atómico, al ser mayor el número de pisos electró-nicos. Los elementos de mayor radio atómico son los delgrupo 1.

Por su parte, el radio iónico se define como el que tie-ne un átomo cuando ha perdido o ganado electrones.Las variaciones del radio iónico son regulares a lo largodel sistema periódico, e igual que el radio atómico,aumenta, en cada grupo, con el número atómico. Elradio de los aniones (iones cargados negativamente)siempre es mayor que el de los átomos del elemento queprovienen, mientras que los iones positivos (cationes)tienen los radios menores que los átomos de los que pro-vienen y, al aumentar su carga positiva, disminuye sutamaño.

Potencial de ionización

Es la energía necesaria para arrancar el electrón más dé-bil a un átomo neutro gaseoso, y formar un ion positivo ocatión.

un átomo neutro gaseoso + energía →→ ion positivo gaseoso + e–

Cuanto más elevado sea el valor del potencial de ioni-zación, menor tendencia presentará ese átomo para for-mar iones positivos.

Como la energía de ionización es necesaria para arrancarun electrón del átomo, en cada elemento químico toma tan-tos valores como electrones tiene. En función del electrónque se trate de arrancar, se denomina primer potencial deionización, cuando corresponde a la energía necesaria paraarrancar el primer electrón; segundo potencial de ioniza-ción, cuando se trata de sustraer el segundo electrón, etc. Elsegundo potencial de ionización es siempre mayor que elprimero, ya que el volumen de un catión es menor queel del átomo, y la fuerza electrostática es mayor.

La energía de ionización se expresa en electrones vol-tio –eV, que es la cantidad de energía que adquiere unelectrón cuando sufre una aceleración mediante una di-ferencia de potencial de un voltio– o en julios o kilojuliospor mol (kJ/mol).

En términos generales, el potencial de ionización dis-minuye al aumentar el número atómico y se incrementaen los períodos proporcionalmente a ese número atómi-co. Los metales alcalinos tienen valores mínimos de lospotenciales de ionización, por lo que presentan mayor fa-

98 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Escala de electronegatividad de Pauling

Cesio 0,7Rubidio 0,8Potasio 0,8Bario 0,9Sodio 0,9Estroncio 1,0Calcio 1,0Litio 1,0Magnesio 1,2Escandio 1,3Aluminio 1,5Berilio 1,5Titanio 1,6Zirconio 1,6Germanio 1,7Estaño 1,7

Silicio 1,8Antimonio 1,8Boro 2,0Astato 2,0Teluro 2,1Hidrógeno 2,1Selenio 2,4Yodo 2,4Carbono 2,5Azufre 2,5Bromo 2,8Cloro 3,0Nitrógeno 3,0Oxígeno 3,5Flúor 4,0

cilidad para perder los electrones, dando iones positivoso cationes, y van aumentando hasta alcanzar el máximoen los gases nobles, ya que su configuración electrónicaes la más estable, por lo que se necesita más energía paraarrancar un electrón. Los elementos del grupo 17 tam-bién tienen una energía de ionización muy elevada, contendencia a ganar un electrón para dar iones negativos oaniones.

Resumiendo, se puede decir que el potencial de ioniza-ción mide la mayor o menor capacidad de los átomos paraformar iones positivos, de forma que cuanto menor es elpotencial de ionización, mayor es la capacidad de formariones.

Afinidad electrónica o electroafinidad

Se define como la tendencia de un átomo a ganar electro-nes para formar un ion negativo. Es, por tanto, la energíadesprendida cuando un átomo neutro, gaseoso y en esta-do fundamental capta un electrón para formar un ion ga-seoso con carga negativa. Se mide en electrovoltios porátomo o en kilojulios por mol.

Un átomo neutro gaseoso + e– → ion negativo + energía(afinidad electrónica)

Esta propiedad es contraria a la de la energía de ioniza-ción, y aumenta en los grupos de abajo arriba y en los perío-dos de izquierda a derecha. Se incrementa dentro de unperíodo a medida que aumenta el número atómico (excep-to los gases nobles que tienen baja afinidad), y en los gru-pos disminuye a medida que aumenta el número atómico.

Los iones que se forman con desprendimiento de energíason más estables que los átomos de los que proceden y pre-sentan también un volumen mayor, ya que al existir un ex-ceso de cargas negativas se producen fuerzas de repulsiónque inducen un aumento del radio y del volumen atómico.

Esta propiedad es de gran utilidad para predecir el ca-rácter oxidante de un elemento químico.

Electronegatividad

Es la tendencia o capacidad de un átomo para atraer ha-cia sí el par de electrones que comparte en el enlace conotro átomo.

Esta propiedad está relacionada con las dos anterio-res. Si la afinidad electrónica es elevada, el elemento tie-ne gran tendencia a captar electrones, por lo que serámuy electronegativo. Suele medirse como la media arit-mética entre el potencial de ionización y la afinidad elec-trónica.

Electronegatividad = P · I + A · E/2

La escala de electronegatividad es muy útil para pre-decir el tipo de enlace que se puede producir entre doselementos. Si la electronegatividad es elevada, la tenden-cia será reaccionar formando compuestos con un enlaceiónico. Por el contrario, si las electronegatividades sonparecidas, tenderán a formar compuestos con enlaces co-valentes. (Ambos tipos de enlace se estudiarán en próxi-mos capítulos.)

La electronegatividad aumenta de izquierda a derechaa lo largo de los períodos y de abajo arriba dentro de cadagrupo. El cesio es el elemento menos electronegativo, y elflúor el de mayor electronegatividad.



1. ¿Cuál es la configuración electrónica de los gasesnobles?

2. Utilizando el denominado diagrama de ocupa-ción electrónica, ¿cuál es la configuración elec-trónica de un átomo de sodio en estado funda-mental?

3. Ordenar de mayor a menor potencial de ioniza-ción los siguientes elementos:

Cl, Na, Ne, Br, Li

4. ¿Cuál de los elementos que se exponen a conti-nuación tiene mayor volumen? Ordenarlos demayor a menor:

Fe, Se, Ca, Ga

n química se utiliza un lenguaje determinado o no-menclatura, y un sistema abreviado de escritura o

formulación, que simplifican el aprendizaje de esta ciencia.Así pues, formulación es la parte de la química que consisteen representar las moléculas mediante notaciones de sím-bolos y números que sirven para definir la composición deuna sustancia y a las que se designa como fórmulas quími-cas, mientras que la nomenclatura tiene por objeto ponernombres a dichas fórmulas.

Una fórmula está constituida por la yuxtaposición delos símbolos de los elementos que la integran, a los quese les añaden subíndices numéricos que indican el núme-ro de átomos del mismo elemento que forman parte dedicha fórmula (salvo cuando el subíndice es uno, que seomite).

Las fórmulas pueden ser empíricas, moleculares yestructurales. Las fórmulas empíricas representan laproporción en que se encuentran los compuestos. Lasfórmulas moleculares representan el número real deátomos de los diferentes elementos que forman los com-puestos. Las fórmulas estructurales, además de indicarel número y tipo de átomos, indican también la ordena-ción y tipo de enlace que presentan esos átomos en elespacio.

Suelen utilizarse en química orgánica, y pueden ser:semidesarrolladas (indican los enlaces que unen los áto-mos), desarrolladas (los enlaces se indican en un plano)y tridimensionales (representan la ordenación espacialde los enlaces en un plano).

El conjunto de reglas que rigen la nomenclatura se hamodificado en numerosas ocasiones. La IUPAC, tras larevisión y unificación de los numerosos criterios aplica-dos, ha desarrollado unas reglas normalizadas de no-menclatura, para que sean utilizadas universalmente, sibien aún se siguen empleando diversas maneras de nom-brar a las sustancias.

Para desginar sistemáticamente los más de dos millo-nes de compuestos conocidos, la IUPAC, establece dosgrandes bloques de compuestos: inorgánicos y orgánicos.En este tema se tratará del estudio de las reglas de no-menclatura de los compuestos inorgánicos más significa-tivos, y la nomenclatura de los compuestos orgánicos se

abordará en los capítulos dedicados específicamente a laquímica orgánica.

Combinaciones de un solo elemento

Las moléculas formadas por un solo elemento pueden sermonoatómicas, biatómicas (diatómicas), triatómicas, te-traatómicas, etc.

La fórmula general es En , donde E puede representartanto a elementos metálicos como no metálicos, y n = 1,2, 3, ...

Según la nomenclatura sistemática de la IUPAC, lasmoléculas de las sustancias simples se nombran median-te un prefijo numeral: mono, di, tri, etc. (el prefijo monosuele omitirse), que indica el número de átomos de queconstan las moléculas, seguido del nombre del elemento:H2 = dihidrógeno, etc. La nomenclatura sistemática nom-bra las sustancias teniendo en cuenta la estructura real delas moléculas.

Según la nomenclatura funcional, o antigua, estas mo-léculas de sustancias simples reciben el nombre del ele-mento al que pertenecen. La nomenclatura funcionalpone nombre a las sustancias teniendo en cuenta las fun-ciones químicas.

E

NOMENCLATURAY FORMULACIÓN

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O

Nombre sistemático NombreSustancia Fórmula IUPAC funcional

Hidrógeno H2 Dihidrógeno HidrógenoOxígeno O2 Dioxígeno OxígenoNitrógeno N2 Dinitrógeno NitrógenoSodio Na Sodio Sodio

Combinaciones de un solo elemento


Óxidos

Óxidos metálicos y no metálicos

Se denominan óxidos los compuestos inorgánicos bina-rios cuyas moléculas están formadas por átomos de oxí-geno y de cualquier otro elemento. Todos los óxidos seajustan a la fórmula general E2On, donde E es el elementoque acompaña al oxígeno y n la valencia con la que actúadicho elemento. Al escribir la fórmula se tendrá en cuen-ta si el elemento que acompaña al oxígeno actúa con va-lencia 1, ya que en este caso no se pone como subíndice yse sobreentiende: Na2O1 es incorrecto y Na2O es correc-to. Si la valencia del elemento es múltiplo de dos, los sub-índices se dividen y se simplifica la fórmula: Ca2O2 se sim-plifica como CaO.

Se escribe en primer lugar el símbolo del metal o no me-tal y a continuación el del oxígeno, cambiando las valen-cias y omitiendo los signos de las mismas.

Los óxidos metálicos u óxidos básicos están formados porun metal y el oxígeno. El nombre de óxidos básicos se debea que al reaccionar con el agua dan hidróxidos o bases.

Los óxidos no metálicos son los compuestos formadospor la unión de un no metal y el oxígeno.

Los óxidos se nombran con la palabra óxido, la prepo-sición de y a continuación el nombre del elemento queacompaña al oxígeno. Cuando un elemento puede actuarcon más de una valencia, ésta se indicará según la nota-ción de Stock (se suele usar únicamente para los elemen-tos metálicos): se expresa en números romanos y entreparéntesis inmediatamente después del nombre, o bienmediante los prefijos griegos mono-, di-, tri-, etc., que in-dican los átomos de cada elemento constituyente de lamolécula del óxido. Está permitido también la utilizaciónde los prefijos hemi- (1/2) y sesqui- (3/2).

En la nomenclatura clásica o funcional, los óxidos me-tálicos se nombran con la palabra genérica óxido seguidadel nombre del metal, o por la raíz del nombre del metal yel sufijo -ico, si actúa con el número de valencia mayor y -oso si es la menor.

Los óxidos no metálicos que reaccionan con el agua seconocen como anhídridos u óxidos ácidos. Como en el

caso anterior, cuando el no metal presenta dos valenciasdistintas se nombran con el término anhídrido seguidodel nombre del no metal y el sufijo -oso o -ico según se uti-lice la menor o mayor valencia, respectivamente. Cuan-do el no metal actúa con cuatro valencias distintas se uti-lizan prefijos y sufijos. Para diferenciar entre sí a los demenor valencia, al menor se le antepone el prefijo hipo-, ypara distinguir a los dos de mayor valencia, se anteponeel prefijo per- al de valencia superior.

Óxidos dobles

Están formados por agrupaciones de dos o más molécu-las de óxidos de un mismo elemento metálico. Su fórmu-la general es M3O4.

Según la nomenclatura sistemática, los óxidos doblesse nombran igual que los óxidos sencillos.

Según la nomenclatura funcional, se nombran con lapalabra óxido y a continuación la raíz del nombre del me-tal terminado primero en -oso y después en -ico.

Peróxidos

Se llaman peróxidos los compuestos formados por áto-mos de metal y el grupo peróxido (-O-O-), que actúa convalencia 2-. Se podría decir que son los óxidos metálicos

____________________________________________________________________________________ Nomenclatura y formulación 101

Nomenclatura sistemáticaFórmula

Nombre estequiométrico Nomenclatura de StockNomenclatura funcional

Fe O Monóxido de hierro Óxido de hierro (II) Óxido ferrosoFe2 O3 Trióxido de hierro (sesquióxido de hierro) Óxido de hierro (III) Óxido férricoCl2 O Óxido de dicloro (hemióxido de cloro) Óxido de cloro (I) Anhídrido hipoclorosoCl2 O3 Trióxido de dicloro (sesquióxido de cloro) Óxido de cloro (III) Anhídrido clorosoCO2 Dióxido de carbono Óxido de carbono (IV) Anhídrido carbónicoCl2 O5 Pentaóxido de dicloro Óxido de cloro (V) Anhídrido clóricoCl2 O7 Heptaóxido de dicloro Óxido de cloro (VII) Anhídrido perclórico

Óxidos metálicos y no metálicos

Nombre sistemático NombreFórmula (Notación de Stock) funcional

Cr3O4 Tetraóxido de tricromo u Óxidoóxido de cromo (II, III) cromoso-crómico

Fe3O4 Tetraóxido de trihierro Óxidou óxido de hierro (II, III) ferroso-férrico

Óxidos dobles

que tienen un oxígeno añadido. Su fórmula general se re-presenta por M2 (O2)n.

Al escribir la fórmula se ha de poner en primer lugar elsímbolo del metal seguido del símbolo del grupo per-óxido. Se intercambian los números de valencia prescin-diendo del signo, y se efectúa la división si los subíndicesson divisibles por el mismo número.

En la nomenclatura sistemática, según la notación deStock, los peróxidos se nombran con la palabra óxido, lapreposición de y el nombre del metal seguido del númerode valencia en números romanos entre paréntesis.

Según la nomenclatura funcional, los peróxidos senombran con la palabra peróxido seguida por la preposi-ción de y el nombre del metal o la raíz del nombre del me-tal con el sufijo -ico. Cuando el metal actúa con dos valen-cias, se utiliza el sufijo -oso e -ico según actúe con la va-lencia menor o mayor, respectivamente.

Hidruros

Los hidruros son compuestos binarios cuyas moléculasestán formadas por átomos de hidrógeno y cualquier otroelemento. Se escriben colocando en primer lugar el ele-mento más electropositivo y cambiando la valencia. Sedividen en metálicos y no metálicos.

Hidruros metálicos

Son los compuestos que contienen una combinación dehidrógeno y metal. Todos los hidruros metálicos respon-den a la fórmula general MHn, donde M es el símbolo delmetal que se combina con el hidrógeno y n la valencia conla que actúa dicho elemento. Al escribir la fórmula se ten-drá en cuenta: escribir en primer lugar el símbolo del me-tal (es más electropositivo) y a continuación el del hidró-geno, cambiando las valencias y prescindiendo del sig-no. Como la valencia del hidrógeno es 1, no se pone comosubíndice y se sobreentiende.

Los hidruros metálicos se nombran anteponiendo la pa-labra hidruro al nombre del metal correspondiente, indi-

cando la valencia en números romanos y entre paréntesis(notación de Stock), o bien utilizando los prefijos mono-,di-, tri-, tetra-, etc., según el número de hidrógenos que hayen la molécula.

Según la nomenclatura clásica o funcional, los hi-druros metálicos se nombran con el término genéricohidruro, seguido del nombre del metal con el sufijo -osoo -ico según actúe con el número de valencia menor omayor, respectivamente.

Hidruros no metálicos, ácidos hidrácidos

Los hidruros no metálicos son aquellos compuestos cuyasmoléculas están formadas por átomos de hidrógeno y unno metal. La fórmula general es mHn y Hnm, según seade electronegativo el elemento, ya que se coloca siempreel elemento más electropositivo en primer lugar; laIUPAC recomienda colocar más a la izquierda al elemen-to que se sitúa antes en la siguiente lista:

B, Si, C, Sb, As, P, N, H, Te, Se, S, At, I, Br, Cl, O, Fmás electronegativos

Así se consigna HCl y no ClH, HF y no FH. Se nombrancon la terminación -uro, que se añade detrás del nombreabreviado o de la raíz latina del elemento mas electrone-gativo, que se debe escribir a la derecha. Cloruro de hi-drógeno y no hidruro de cloro, fluoruro de hidrógeno yno hidruro de flúor.

Las combinaciones del hidrógeno con F, Cl, Br, I, S, Sey Te reciben el nombre especial de hidrácidos, ya quecuando están disueltos en agua tienen carácter ácido.Estos compuestos se nombran con la palabra ácido se-guida de la raíz del nombre del no metal y el sufijo-hí-drico cuando están disueltos en el agua y actúan comoácidos.

En el caso de los elementos más electropositivos que elhidrógeno, las fórmulas se nombran con la palabra hidru-ro precedida de los prefijos mono-, di- tri-, tetra-, etc., se-gún el número de hidrógenos que posean las moléculas,la preposición de y el nombre del no metal. También es-tán admitidos por la IUPAC los nombres comunes o vul-gares de estos elementos.

102 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Nombre sistemático NombreFórmula (Notación de Stock) funcional

Hg2O2 Peróxido de mercurio (I) Peróxidomercurioso

HgO2 Peróxido de mercurio (II) Peróxidomercúrico

Na2O2 Peróxido de sodio (I) Peróxido sódicoo de sodio

BaO2 Peróxido de bario (II) Peróxido báricoo de bario

Peróxidos

Nombre disueltoFórmula Nombre sin disolver en agua

H2Te Teluro de hidrógeno Ácido telurhídricoH2Se Seleniuro de hidrógeno Ácido selenhídricoH2S Sulfuro de hidrógeno Ácido sulfhídricoHI Yoduro de hidrógeno Ácido yodhídricoHBr Bromuro de hidrógeno Ácido bromhídricoHCl Cloruro de hidrógeno Ácido clorhídricoHF Fluoruro de hidrógeno Ácido fluorhídrico

Combinación entre metal y no metal y entre no metal y no metal

En el primer caso, son sustancias cuyas moléculas están for-madas por átomos de no metal y metal. Se las denominatambién sales binarias. Su fórmula general es Mnm n . Se es-cribe poniendo el metal primero, ya que es el elemento máselectropositivo, seguido del elemento más electronegativo,cambiando las valencias. Según la nomenclatura sistemáti-

ca, se nombran añadiendo el sufijo-uro al no metal, la pre-posición de y el nombre del metal, indicando las proporcio-nes en que se combinan los elementos mediante prefijosmono-, di-, tri-, tetra-, etc. Según la notación de Stock, se in-dica la valencia mediante números romanos. En la nomen-clatura funcional o clásica, se utilizan los sufijos -oso e -ico,según la valencia menor o mayor del elemento.

En el caso de la combinación de no metales ente sí, senombran del mismo modo, pero añadiendo la termina-ción -uro al elemento más electronegativo. Es correcto es-cribir BP, fosfuro de boro, pero incorrecto escribir PB, bo-ruro de fósforo.

Hidróxidos

Los hidróxidos son compuestos formados por un metal ogrupo metálico (electropositivo) y un grupo hidroxilo(OH) electronegativo, cambiando las valencias. La fór-mula general es M(OH)n, donde M es el símbolo del ele-mento metálico y n su valencia.

Al escribir la fórmula de un hidróxido, se pondrá enprimer lugar el metal (elemento más electropositivo) y acontinuación el grupo hidroxilo entre paréntesis. Al in-tercambiar las valencias, si la del metal es 1, se suprimeel paréntesis.

Según la nomenclatura sistemática, los hidróxidos se nom-bran con la palabra hidróxido, seguida de la preposición de


Fórmula Nombre sin disolver Nombre vulgar

NH3 Trihidruro de nitrógeno AmoníacoHidruro de nitrógeno (III)

PH3 Trihidruro de fósforo FosfinaHidruro de fósforo (III)

AsH3 Trihidruro de arsénico ArgonaHidruro de arsénico (III)

SbH3 Trihidruro de antimonio EstibinaHidruro de antimonio (III)

CH4 Tetrahidruro de carbono MetanoHidruro de carbono (IV)

SiH4 Tetrahidruro de silicio SilanoBH3 Trihidruro de boro Borano



CaF2 Difluoruro de calcio Fluoruro de calcio Fluoruro cálcicoMnS Monosulfuro de manganeso Sulfuro de manganeso (II) Sulfuro manganosoMnS2 Disulfuro de manganeso Sulfuro de manganeso (IV) Sulfuro mangánicoFeBr2 Dibromuro de hierro Bromuro de hierro (II) Bromuro ferrosoFeBr3 Tribromuro de hierro Bromuro de hierro (III) Bromuro férrico

Combinación entre metal y no metal y entre no metal y no metal



CrH2 Dihidruro de cromo Hidruro de cromo (II) Hidruro cromosoCrH3 Trihidruro de cromo Hidruro de cromo (III) Hidruro crómicoFeH2 Dihidruro de hierro Hidruro de hierro (II) Hidruro ferrosoFeH3 Trihidruro de hierro Hidruro de hierro (III) Hidruro férricoCaH2 Dihidruro de calcio Hidruro de calcio Hidruro cálcico

Hidruros metálicos

y el nombre del metal, e indicando las proporciones de loselementos mediante los prefijos mono-, di-, tri-, tetra-, etc.

Según la nomenclatura de Stock, se indican las valen-cias del metal en números romanos y entre paréntesis.

En la nomenclatura funcional o clásica, se nombran deigual forma que en la sistemática, sustituyendo el prefijomono-, di-, tri-, etc., por el sufijo -oso e -ico, según actúe elmetal con valencia menor o mayor respectivamente.

Oxoácidos

Los oxoácidos son compuestos ternarios cuyas molécu-las están formadas por átomos de hidrógeno, oxígeno yun no metal o metal. La fórmula general de los oxoácidoses del tipo HaX bO c , donde X es un elemento no metálico,aunque a veces puede ser un metal de transición en unelevado estado de oxidación, y a, b y c son los átomos quehay de cada elemento en la molécula.

La fórmula se escribe colocando primero el hidrógeno,seguido del metal o no metal, y finalmente el oxígeno.

Según la nomenclatura sistemática de la IUPAC, senombra primero la palabra oxo, para indicar el oxígeno,seguida del nombre del metal o no metal terminado en-ato (indicando la valencia en números romanos entreparéntesis), y finalmente el hidrógeno precedido de lapreposición de. Las proporciones de los constituyentesse indican mediante los prefijos mono-, di-, tri-, tetra-, etc.

H 2CO3 = Trioxocarbonato (IV) de hidrógeno

Según la notación de Stock, se nombran con la palabraácido, seguido de oxo (de oxígeno), y por último el ele-mento metálico o no metal terminado en -ico, indicandosu valencia en números romanos entre paréntesis.

H 2CO3 = ácido trioxocarbónico (IV)

No obstante, y a pesar de existir esta nomenclatura, laIUPAC admite los nombres funcionales de las sustancias de-bido al uso tan arraigado. Para nombrar a los oxoácidos seutilizan las terminaciones -oso e -ico y los prefijos hipo- y per-.

HClO ácido hipoclorosoHClO2 ácido clorosoHClO3 ácido clóricoHClO4 ácido perclórico

Algunos anhídridos de no metales, como el fósforo, elarsénico y el antimonio, pueden unirse a una, dos o tresmoléculas de agua, obteniéndose ácidos oxoácidos po-lihidratados. Para nombrarlos se pone la palabra ácido,seguida del nombre del anhídrido correspondiente, alque se antepone el prefijo meta- cuando se une a una mo-lécula de agua, piro- si se une a dos moléculas y orto- siprocede de la unión de tres moléculas de agua:

P2O 3 + 2H2O = H4P 2O 5 (ácido pirofosforoso)P2O 3 + 3H2O = H6P 2O 6 = H3PO3 (ácido ortofosforoso)P2O 5 + H2O = H2P 2O 6 = HPO3 (ácido metafosfórico)P2O 5 + 2H2O = H4P 2O 7 (ácido pirofosfórico)

104 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________



Pb (OH)2 Dihidróxido de plomo Hidróxido de plomo (II) Hidróxido plumbosoPb (OH)4 Tetraóxido de plomo Hidróxido de plomo (IV) Hidróxido plúmbicoNaOH Hidróxido de sodio Hidróxido de sodio (I) Hidróxido sódicoCuOH Hidróxido de cobre Hidróxido de cobre (I) Hidróxido cuprosoCu (OH)2 Dihidróxido de cobre Hidróxido de cobre (II) Hidróxido cúprico

Hidróxidos

Fórmula Nombre sistemático (Stock) Nombre funcional (Stock) Nombre tradicional

HClO Ácido oxoclórico (I) Oxoclorato (I) de hidrógeno Ácido hipoclorosoHClO2 Ácido dioxoclórico (III) Dioxoclorato (III) de hidrógeno Ácido clorosoHClO3 Ácido trioxoclórico (V) Trioxoclorato (V) de hidrógeno Ácido clóricoHClO4 Ácido tetraoxoclórico (VII) Tetraoxoclorato (VII) de hidrógeno Ácido perclórico

Oxoácidos

Cationes y aniones

Como se indicó en el capítulo dedicado a la estructuraatómica, cuando un átomo o grupos de átomos están car-gados eléctricamente se denominan iones. A los ionescargados positivamente se les denomina cationes y alos cargados negativamente aniones.

Los cationes monoatómicos presentan la fórmula ge-neral: Xn+, –donde n+ es el número de cargas positivasque tienen en exceso los átomos del elemento X.

Se nombran con la palabra catión o anión seguida delnombre del elemento y la carga entre paréntesis. Segúnla notación de Stock, la carga se expresa en números ro-manos entre paréntesis.

Según la nomenclatura funcional, si los átomos del ele-mento dan un solo ion, se denominan catión o ion segui-do del nombre del elemento; si dan dos iones, se nom-bran con la palabra catión o ion seguida de la raíz delnombre del elemento y el sufijo -oso o -ico, según sea lamenor o mayor carga, respectivamente.

Cuando los cationes son poliatómicos, como los que seobtienen de los hidruros, se nombran con la palabra iono catión seguida de la raíz del nombre del hidruro y el su-fijo -onio.

AsH3 = ion o catión arsonio.PH3 = ion o catión fosfonio.

Los aniones son átomos cargados negativamente, confórmula general: Xn–, donde n– representa las cargas ne-gativas que tienen en exceso los átomos del elemento X.

Tanto en la nomenclatura sistemática como en la fun-cional se nombran con la palabra genérica anión o ion se-guida de la raíz del nombre del elemento, al que se le aña-dirá el sufijo -uro.

H – = ion o anión hidruro.Cl– = ion o anión cloruro.N 3– = ion o anión nitruro.

Cuando los aniones son poliatómicos (son dos o másátomos cargados negativamente), como es el caso de losaniones que se obtienen de las sales, se utiliza la nomen-clatura funcional fundamentalmente. Se nombran con lapalabra genérica ion o anión seguida de la primera pala-bra de la sal de la que derivan.

Sales

Las sales pueden ser consideradas compuestos que se for-man por la unión de una especie aniónica con otra catió-nica.

Sales neutras

Son combinaciones poliatómicas que se obtienen al sus-tituir los átomos de hidrógeno de los ácidos por átomosde metales o grupos electropositivos. La fórmula gene-ral de las sales neutras es M’x (R)n , donde M’ simbolizael metal o grupo de átomos con carácter metálico y R elresto ácido. En este apartado se estudiarán las sales neu-tras que se derivan de los oxoácidos, denominadas oxi-sales.

Según la IUPAC, al consignar las fórmulas de las sales,se escribirá en primer lugar el símbolo del metal o áto-mos de carácter metálico (M’) y a continuación el restoácido entre paréntesis. Si los subíndices del elemento me-tálico y del resto ácido son divisibles por un mismo nú-mero, se hará una reducción de la fórmula. Si el númerode valencia del elemento metálico es 1+, al resto ácido sele quita el paréntesis y no se coloca ningún subíndice. To-das las sales de los oxoácidos terminan en -ato, indicán-dose entre paréntesis, detrás del nombre, la valencia conla que actúa el metal; y en caso de un intercambio de va-lencias que implique un subíndice detrás del radical, seindicará mediante los nombres griegos dis, tris, tetrakis,pentakis, que servirán para indicar la repetición de unanión poliatómico: Al2 (SO4) 3 = tris [tetraoxo sulfato (IV)]de dialuminio.

Según la nomenclatura funcional, si el metal o grupometálico de las moléculas de las sales neutras actúan conun solo número de valencia, el nombre de la sal se formacon el del específico de la molécula del ácido del que de-rivan, cambiando los sufijos -oso por -ito e -ico por -ato, yel nombre del metal o grupo metálico, o la raíz del nom-bre del metal con el sufijo -ico, precedido de la preposi-ción de. Si el metal actúa con dos o más números de va-lencia, a la raíz del metal se le coloca el sufijo -oso o -icosegún actúa con el número de valencia menor o mayor,respectivamente.


Fórmula Nombre sistemático Nombre funcional

Fe2+ Ion o catión hierro (II) Ion o catión ferrosoFe3+ Ion o catión hierro (III) Ion o catión férricoCu+ Ion o catión cobre (I) Ion o catión cuprosoCu2+ Ion o catión cobre (II) Ion o catión cúprico

Cationes y aniones

Fórmula Nombre sistemático Nombre funcional

ClO– Ion o anión Ion o aniónmonoxoclorato (I) hipoclorito

ClO2– Ion o anión Ion o anión clorito

dioxoclorato (III)

SO42– Ion o anión Ion o anión sulfato

tetraoxosulfato (VI)

Aniones poliatómicos

Sales ácidas

Las sales ácidas proceden de sustituir algunos de los hi-drógenos de las moléculas de los ácidos por átomos deelementos metálicos o grupos de átomos con carácter me-tálico o electropositivos.

Su fórmula general es M’t(HkR)n, donde M’ es el símbo-lo del metal o grupo con carácter electropositivo que sus-tituyó al hidrógeno del ácido; t es el número de átomosde hidrógeno que fueron sustituidos, y n es el número devalencia de los metales o grupos electropositivos sin elsigno +.

Según las normas de la IUPAC, se nombran antepo-niendo la palabra hidrógeno al nombre de la sal corres-pondiente. Para las fórmulas, las normas son similares alas dadas para las sales neutras.

En la nomenclatura funcional, las sales ácidas se nom-bran igual que las sales neutras correspondientes, perocolocando delante del elemento metálico los prefijosmono-, di-, tri-, etc., para indicar el número de átomos dehidrógeno sustituidos.

Cuando se sustituyen sólo la mitad de los hidrógenossustituibles, se pueden nombrar con el nombre de la salneutra, colocando el prefijo bien la primera palabra quecompone el nombre, o bien colocando ácido de, entre lasdos palabras que forman el nombre de la sal.

TioderivadosSon derivados del azufre que presentan una estructurarelacionable con la de un derivado oxigenado conocido,al que se nombra añadiendo el prefijo tio-

H3PO3S (ácido monotiofosfórico)H3PO2S 2 (ácido ditiofosfórico) Del H3PO4H3POS3 (ácido tritiofosfórico)

Los aniones de estos ácidos se nombran de la formausual: monotiofosfato, ditiofosfato, etc.

106 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________


1. Formular los compuestos que se exponen a conti-nuación:

2. Nombrar los siguientes compuestos:

3. Nombrar los compuestos:

4. Formular:a) Perclorato de vanadilo (V)b) Sulfato de magnesioc) Fosfonato de platino (II)d) Ácido disulfurosoe) Tribromuro de fósforo

Fórmula Oxoanión del que proceden Nombre sistemático IUPAC Nombre tradicional

K2SO3 SO32– Trioxosulfato (IV) de potasio Sulfito de potasio

K2SO4 SO42– Tetraoxosulfato (VI) de potasio Sulfato de potasio

NaClO ClO– Monoxoclorato (I) de sodio Hipoclorito de sodioNaClO2 ClO2

– Dioxoclorato (III) de sodio Clorito de sodioNaClO3 ClO3

– Trioxoclorato (V) de sodio Clorato de sodioNaClO4 ClO4

– Tetraoxoclorato (VII) de sodio Perclorato de sodio

Sales neutras

Fórmula Nombre sistemático Nombre funcionalIUPAC (incorrecto)

NaHSO4 Hidrogenosulfato de Bisulfato sódicosodio[hidrogenotetraoxosulfato(VI) de sodio]

KH2PO4 Dihidrogenofosfato Bifosfato potásicode potasio

K2HPO4 Monohidrogenofosfato Bifosfato dede potasio dipotasio

Sales ácidas

a) SO42–

b) Li[AlH4]c) BeS

d) FeS2O 3e) MgTiO3f) MgNa2(CO3)2

g) HBF4h) SOCl2i) Na2FeCl4

a) MgOb) COc) Ca(OH)2

d) NaHSO4e) HIO3f) Cu2O

g) HNO3h) KMnO4

a) Ácido fosfóricob) Ácido sulfhídricoc) Óxido de hierro (II)d) Óxido de rubidioe) Hidróxido de

aluminiof) Hidróxido de bario

g) Peróxido dehidrógeno

h) Hidrogenocarbonatode sodio

i) Sulfato de potasioj) Sulfuro de

hidrógeno

Enlace químico

La materia está constituida por agrupaciones de átomos:los elementos químicos son unas agrupaciones de áto-mos iguales, en tanto que los compuestos químicos sonagregados de átomos diferentes. Al conjunto de fuerzas ointeracciones que mantienen unidos entre sí a los átomos,iones o moléculas para dar lugar a estructuras o agrupa-ciones más estables que los átomos o moléculas de parti-da se le denomina generalmente enlace químico.

Así pues, los enlaces se producen para economizarenergía y, por tanto, para conseguir una mayor estabili-dad: los agregados atómicos son más estables que los áto-mos aislados, porque contienen menos energía. Ello sig-nifica que cuando se forme un enlace se desprenderáenergía, mientras que será necesario aportar energía pararomperlo.

Como la consecuencia del enlace es una mayor estabi-lidad, y los átomos de los gases nobles son sistemas muyestables, dada su escasa reactividad, los átomos tiendena adquirir la configuración electrónica del gas noble quetienen más próximo, es decir, a llenar de electrones porcompleto sus orbitales más externos. Por ello, en el enla-ce químico desempeña un papel decisivo la configura-ción electrónica de dicho nivel externo de los átomos, co-nocida como configuración de valencia, de la que, ade-más, dependerá el tipo de enlace que se forme.

Los átomos de los gases nobles, a excepción del helio,tienen en el nivel de valencia 8 electrones, situados en losorbitales s y p, que estarán ocupados por completo (s 2p 6).Esta disposición de octeto confiere una gran estabilidada los átomos que la presentan. Como el resto de los ele-mentos poseen incompletos sus niveles de valencia, reac-cionarán para captar o ceder los electrones que les faltanpara que la configuración electrónica de su nivel de va-lencia sea similar a la de los gases nobles. Kossel, en 1916,estableció la regla del octeto con esta teoría.

En general, los enlaces se dividen en dos grandes gru-pos: enlaces intramoleculares y enlaces intermoleculares.

Los enlaces intramoleculares o interatómicos son losque mantienen unidos a un conjunto de átomos paraconstituir una estructura superior:

– Enlace iónico, entre metal y no metal, producido porcaptación o cesión de electrones.

– Enlace covalente, entre no metal y no metal, en el quese comparten electrones de valencia de átomos diferentes.

– Enlace metálico, entre átomos de un mismo metal, enel que se forma una nube electrónica móvil que mantieneunidos los cationes constituyentes del metal.

Los enlaces intermoleculares, más débiles que los in-tramoleculares, mantienen unidas entre sí las moléculasde una misma sustancia. Son los siguientes:

– Enlace por fuerzas de Van der Waals, debidas a la exis-tencia de dipolos en las moléculas.

– Enlace por puentes de hidrógeno, unión entre molécu-las de hidrógeno y de elementos muy electronegativos,como el flúor, el oxígeno o el nitrógeno.

Enlace iónico

Los átomos en estado fundamental tienen el mismo núme-ro de protones que de electrones: son eléctricamente neu-tros. En ocasiones, y bajo determinadas condiciones, los áto-mos pueden perder uno o más electrones, quedando portanto una carga positiva, o bien pueden captar uno o máselectrones, resultando en el conjunto una carga negativa. Aestos átomos se les denomina iones. Los de carga eléctricapositiva son los cationes y los de carga negativa los aniones.

Estos iones de signo contrario se unirán con fuerzaselectrostáticas de atracción, donde el átomo de electrone-gatividad baja cede uno o varios electrones al de electro-negatividad alta, formando un enlace iónico.

Al número de electrones que un elemento cede o captapara formar el correspondiente ion se le denomina elec-trovalencia o valencia iónica de dicho elemento.

A modo de ejemplo, un caso sencillo de enlace iónicose produce en la molécula de NaCl:

Na (Z = 11): 1s 22 s 22 p 63 s 1 → Na+: 1 s 22 s 22 p 6

Cl (Z = 17): 1s 22 s 22 p 63 s 23 p 5 → Cl– : 1 s 22 s 22 p 63 s 23 p 6

Cl– + Na+ → [Cl–Na+]

ENLACES ATÓMICOS

Y MOLECULARES

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O


Como se puede observar, el átomo de sodio con un elec-trón en su nivel de valencia, cuando está próximo a unátomo de cloro que tiene 7 electrones en dicho nivel, cedesu electrón de valencia convirtiéndose en ion sodio (Na+)y el cloro capta el electrón pasando a ion cloruro (Cl–). Es-tos iones, de cargas eléctricas opuestas, se atraen y esta-blecen un enlace iónico.

En este compuesto, los átomos de cloro y sodio alcan-zan la estructura de gas noble, al completar los 8 (7 + 1)electrones que pueden situarse en el nivel más externo.La estructura electrónica del ion cloruro es similar a la delátomo de argón, y la configuración electrónica del ion so-dio es similar a la del átomo de neón.

Redes cristalinas iónicas

Aunque se habla de moléculas iónicas, las unidades mo-leculares aisladas no se presentan realmente en estado na-tural, salvo cuando el compuesto se encuentra en estadode vapor. En realidad, los compuestos iónicos forman re-des cristalinas en las que los iones positivos y negativosestán ordenados de forma regular y situados en los vérti-ces, caras y aristas de dicha red, de forma que la atracciónelectrostática entre ellos sea máxima. Para que se formeuna red iónica, el número de cargas de signo positivo hade ser igual al de cargas de signo negativo, ya que el con-junto de la red ha de ser siempre eléctricamente neutro, ylos iones estarán ordenados en el espacio de forma que seconsiga la máxima compactación en el empaquetamiento.

El número de iones de un signo que rodea a cada uno delos iones de signo contrario se llama número o índice de co-ordinación. En el caso del NaCl, cada ion sodio se encuen-tra rodeado por seis iones cloruro y, de la misma forma, elion cloruro está rodeado por seis iones sodio, obteniéndo-se como resultado una gran red eléctricamente neutra.

Los tipos de redes dependen de dos factores: el tamañode los iones, ya que influye en el número de iones que sepueden situar alrededor, y el número de cargas positivas,que ha de ser igual al de cargas negativas, ya que los com-puestos iónicos deben de ser isoeléctricos.

Energía reticular

Se denomina energía reticular a la energía que se des-prende en la formación de un compuesto iónico median-te la unión de iones de signo opuesto. Esta energía es lamisma que se necesita para separar los iones negativosde los iones positivos que lo forman. Por tanto, un cristaliónico será más estable, desde el punto de vista químico,cuanto mayor sea su energía reticular.

La mayor o menor energía reticular depende de la mag-nitud de las cargas eléctricas y los radios de los iones quecomponen la red.

Propiedades de los compuestos iónicos

Los compuestos iónicos son sólidos a temperatura am-biente y presentan unas propiedades características, dadala naturaleza del enlace iónico:

Dureza. Debido a la fortaleza del enlace, estos sólidospresentan una elevada resistencia a ser rayados o dilata-dos, y presentan elevados puntos de fusión, ya que laenergía necesaria para separar los iones es alta.

Conductividad. Conducen la electricidad en estadode fusión y en disolución, ya que, en estado líquido, losiones se disponen en forma desordenada y con libertadde movimientos, permitiendo el transporte de la corrien-te eléctrica, mientras que en estado sólido no son conduc-tores de la electricidad porque los iones están fijos dentrode una red.

Solubilidad. Los sólidos iónicos son solubles en disol-ventes polares y en el agua, en la que se disocian, y soninsolubles en disolventes no polares. A este respecto cabepuntualizar que los disolventes polares son aquellos enlos que hay separación permanente entre cargas positi-vas y negativas y que presentan gran actividad química,mientras que los no polares son los que mantienen carac-terísticas opuestas.

Fragilidad. Los sólidos iónicos son relativamente frá-giles, ya que la acción de fuerzas exteriores produce des-lizamiento de un plano del cristal sobre otro y se deshaceel empaquetamiento y hace que se enfrenten iones delmismo signo, permitiendo la aparición de fuerzas que serepelen y contribuyen a la rotura del cristal.

Enlace covalente

El enlace iónico explica la combinación de átomos de di-ferente electronegatividad –es decir, tendencia más o me-nos pronunciada a aceptar electrones en su capa exter-na–, pero no explica las propiedades o la resistencia demuchas moléculas, cuyos átomos son eléctricamenteiguales o similares. El enlace covalente se forma al com-partir electrones los diferentes átomos que constituyenla molécula.

Para explicar el enlace entre átomos de estas caracterís-ticas surgió la idea de la compartición de electrones entreátomos.

Cada uno de ellos tiende a compartir electrones conotros átomos de características similares para llegar a ad-quirir su configuración eléctrica estable, ya que, aunquela diferencia de electronegatividad de los átomos que for-man la molécula puede variar, nunca podrá alcanzar va-lores que permitan la transferencia de electrones de unátomo a otro.

Teoría de Lewis

Lewis, basándose en la regla del octeto de Kossel, que es-tablece que la tendencia de cada átomo es tener ocho elec-trones en su última capa, para adoptar la configuraciónde gas noble, sugirió que los átomos pueden alcanzar estaestructura estable de gas noble si comparten uno o variospares de electrones con otros átomos, para formar enla-ces de unión, a los que denominó covalentes.

La representación de este enlace se realiza sólo para loselectrones de valencia, mediante el símbolo del elemento

108 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

rodeado de puntos y cruces que simbolizan los electro-nes de valencia de cada uno de los átomos, o bien me-diante puntos y rayas que simbolizan el par de electro-nes compartidos. Estos diagramas se llaman diagramasde puntos o de Lewis.

Cada par de electrones compartido constituye un enlace,por lo que puede haber varios tipos de enlaces covalentes:

– Sencillo o simple, si en la formación del enlace parti-cipa un solo par de electrones, como el enlace de dos áto-mos de hidrógeno:

H + H → H – H o H x. H

– Doble, si se comparten dos pares de electrones, comoel que se establece entre dos átomos de oxígeno:

– Triple, como el enlace que tiene lugar entre dos áto-mos de nitrógeno:

Enlace covalente coordinado o dativo

En la formación del enlace covalente es posible que el parde electrones sea cedido por uno solo de los átomos quese unen; en este caso se denomina enlace covalente coor-dinado o enlace dativo. El átomo o molécula que aportael par de electrones actúa como donante, y el otro, comoreceptor. Un ejemplo es el enlace formado entre el trifluo-ruro de boro y el amoniaco:

Amoniaco trifluoruro de boro

Amoniaco trifluoruro de boro

En la molécula de amoniaco, el átomo de nitrógeno tie-ne en la órbita exterior un par de electrones sin compartir.En el trifluoruro de boro, el boro sólo tiene seis electronesen su capa exterior. Al compartir los dos electrones del ni-trógeno, el boro adopta la estructura del neón, saturandoel orbital que tenía libre. El amoniaco es la molécula do-nadora y el trifluoruro de boro la receptora. Al escribir lafórmula se suelen indicar los enlaces covalentes medianteuna flecha (→) dirigida del átomo donador al receptor.

Teorías del enlace covalente

El modelo artificial de Lewis no corresponde exactamen-te a la realidad, ya que parece indicar que los pares deelectrones se encuentran en posiciones fijas. Además de lateoría de Lewis, el enlace covalente se puede explicar me-diante dos teorías complementarias, basadas en el mode-lo ondulatorio: la teoría del enlace de valencia y la teoríade los orbitales moleculares.

Teoría del enlace de valencia. La teoría del enlace devalencia o de los electrones desapareados, elaborada porL. Pauling y J. C. Slater, supone que la formación del en-lace covalente tiene lugar cuando cada uno de los átomosparticipantes posee al menos un electrón desapareado.La formación del enlace covalente consiste en el aparea-miento de esos electrones, que mantienen espines de sig-no contrario, y la máxima superposición de los orbitalesatómicos que contienen esos electrones, originando unaregión de alta densidad electrónica.

En el caso de la formación de la molécula de hidróge-no, los orbitales 1s de los átomos de hidrógeno se sola-pan en la región entre núcleos, dando lugar a la forma-ción de un orbital molecular o de valencia que contienelos dos electrones opuestos, según el principio de exclu-sión de Pauli.

enlace1 s ———– 1s

H H

Por cada par de electrones que se aparean se forma unenlace y, por tanto, por cada átomo se podrán formar tan-tos enlaces como electrones desapareados posea. A la ca-pacidad que tiene un elemento de formar enlaces cova-lentes se le llama covalencia. Así, la covalencia es el nú-mero de electrones desapareados de que dispone o puededisponer ese elemento. Por ejemplo, el oxígeno tiene ensus compuestos una covalencia 2, puesto que tiene en losorbitales py y pz dos electrones desapareados. Cada unode estos orbitales podrá solaparse con otro orbital que po-sea un electrón, como es el caso del 1s del hidrógeno, paraformar la molécula de agua:

O (Z = 8) : 1s2 2s2p4

Covalencia 21s 2s 2p

1s H |

1s 2s 2p O |

1s H

H

H

O H2O

F|B – F|F

+

H|

H – N|H

F|B – F|F

→

H|

H – N|H

••

+

H

H N

H

• •

• •

••

••

F

B F

F• •

• •

••

••

• •

• •

••

••

• •

• •

••

•• →

H

H N

H

• •

• •

•• :

F

B F

F• •

• •

••

••

• •

• •

••

••

• •

• •

••

••

•• • x x

x• •

• • xx x

N + N → N N → N ≡ N•• x

x • x x

xx x x x

x • • •

• xx x

xO + O → O O → O = Oxx x x x

x • • x x

________________________________________________________________________________ Enlaces atómicos y moleculares 109

La teoría de orbitales de valencia, además de estable-cer el carácter direccional de las moléculas, explica su geo-metría, basándose en el carácter direccional que poseenlos orbitales cuando se solapan para formar el enlace co-valente

Se ha comprobado que cuando existen cuatro átomosligados a otro, la estructura de la molécula puede ser lade un tetraedro con un átomo central y cuatro en losvértices, o bien puede constar de una estructura cua-drangular plana. Cuando el número de átomos ligadoa uno central es de cinco, se presenta una estructura depirámide cuadrangular o bipirámide triangular. Si elnúmero de átomos es de seis, aparece una disposiciónoctaédrica; con tres átomos ligados a uno central, unadisposición piramidal triangular, en t o trigonal plana.Con dos átomos unidos a otro, la disposición es angu-lar o lineal.

Teoría de los orbitales moleculares. La teoría de los or-bitales moleculares se debe a Hund y Mulliken. Difierede la teoría del enlace de valencia en que tiene en cuentatodos los electrones combinados y considera que la uniónen la molécula se produce mediante un conjunto de orbi-tales polinucleares.

La formación del enlace covalente se debe a la super-posición de orbitales atómicos con energía y simetría de-terminadas. Estos orbitales se combinan originando unorbital molecular en el que habrá un par de electrones(principio de exclusión de Pauli). Como los electro-nes compartidos pertenecen a los dos átomos, la máximaprobabilidad de hallarlos en el orbital molecular se en-cuentra en la región entre los dos núcleos.

Si los orbitales atómicos se describen mediante una fun-ción de onda que define su dirección y la forma, el orbitalmolecular también se describe mediante una función deonda que es la expresión matemática de la combinaciónlineal de los orbitales atómicos de los que procede. Estacombinación se puede efectuar de dos formas, según quelas funciones de onda tengan el mismo o distinto signo,de forma que cuando la densidad de carga entre los nú-cleos es mayor en los átomos aislados que en el orbitalmolecular, se le denomina orbital molecular antienlazan-te. Cuando la densidad de carga del orbital molecular esmayor que en los dos átomos aislados, constituye un or-bital molecular enlazante.

La formación de orbitales moleculares a partir de la in-teracción de orbitales s origina orbitales que contienenlos dos núcleos atómicos y se denominan orbitales σ. Silas funciones de onda de los orbitales s tienen signos dis-tintos, el orbital obtenido es antienlazante.

Átomo A Átomo B Orbital molecularantienlazante

Átomo A Átomo B Orbital molecularenlazante

Los orbitales σ se pueden formar también a partir deun orbital s y otro p o de dos p , pero a lo largo del eje x,es decir, interaccionan frontalmente.

Cuando los orbitales py y px se solapan no de formafrontal, sino lateral, se forma un orbital con simetría dife-rente al orbital σ, que se denomina orbital π.

En ambos tipos de orbitales (σ y π), el orbital del queproceden se indica mediante subíndices (si el orbital pro-cede de un orbital s → σS). A los orbitales antienlazantesse los distingue mediante un asterisco (π*, σ*).

Hibridación y estereoquímicamolecular

Aunque en principio se podía pensar que los orbitalesmoleculares mantienen la orientación espacial que pre-sentan los orbitales atómicos de los que proceden, el es-tudio de estructuras covalentes ha dado resultados que

2pz 2pz

2py ó 2pz 2py ó 2pz

π 2py o π 2pz

σ 2pz

σ 2pz

π 2py o π 2pz

+

AntienlazanteÁtomo A Átomo B

Enlazante

+

Átomo A Átomo BAntienlazantes

A Bx

A Bx

xA B

A B

Enlazantes

+σ 2s

+2s 2s

σ 2s

110 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

no coinciden con esta teoría. Para explicar esta falta decoincidencia se creó el concepto de hibridación.

La hibridación es un fenómeno que implica una redistri-bución interna de los orbitales atómicos dando lugar a otrosorbitales nuevos que favorecen el máximo solapamiento yla máxima economía energética en la formación de enla-ces. Matemáticamente, son la combinación lineal de lasfunciones de onda de los orbitales atómicos no hibridados.

Tomemos como ejemplo la molécula de metano. El carbo-no a partir del orbital s y los tres p forman cuatro orbitalesiguales que ya no son ni p ni s y forman una estructura te-tragonal, donde los lóbulos se pueden solapar con los orbi-tales del hidrógeno para originar los orbitales moleculares.

Este tipo de hibridación se denomina tetragonal por lageometría de la molécula, o sp3 por los orbitales que in-tervienen. Los orbitales híbridos solamente se puedenunir por solapamiento frontal, por lo que los enlaces quese producen son solamente de tipo sigma (σ).

Existen cinco posibles hibridaciones entre orbitales ató-micos, y cada una de ellas da lugar a diferentes disposi-ciones geométricas de las moléculas.

Polaridad del enlace

En el enlace covalente, los electrones compartidos, de losque depende el enlace, están situados a la mitad de la dis-tancia entre los núcleos en el caso de moléculas con dosátomos iguales. Sin embargo, cuando las partículas per-tenecen a distintos elementos, los electrones son atraídosmás por un átomo que por el otro, debido a que cada unopresenta un valor diferente de electronegatividad. El cen-tro de la carga tiende a distribuirse más cerca del núcleodel átomo de mayor electronegatividad y se crea un di-polo eléctrico. Un dipolo es un par de cargas iguales yopuestas (una positiva y otra negativa), separadas poruna distancia pequeña. El momento dipolar es el pro-ducto de la carga por la distancia entre ellas y define aun dipolo. Su unidad es el Debye (1D = 3,3 · 1030 culom-bios metro).

Los compuestos iónicos tienen momentos dipolaresde gran magnitud, considerándose, por tanto, que el en-lace iónico es un caso límite de enlace covalente de po-laridad máxima, y los compuestos covalentes típicoscomo el Cl2 no presentan momento dipolar, son apola-res, ya que el par de electrones de enlace permanece enel centro de la distancia internuclear. Existe, sin embar-go, una gradación entre el enlace covalente apolar y eliónico. Dentro de esa escala se encuentra una serie decompuestos que presentan momentos dipolares de me-nor magnitud que los compuestos iónicos. Entre ellos seencuentran muchos compuestos covalentes formadospor átomos distintos, como el HCl, HBr, H2O, etc. Sonmoléculas en las que se ha formado un dipolo y se de-nominan polares.

Cuanto mayor sea la atracción de un átomo por los elec-trones de un enlace covalente, mayor será la polaridad dela molécula que forma:

NaCl HCl Cl2Enlace Enlace Enlaceiónico covalente covalente

polar apolar

Como en un enlace iónico se produce transferencia to-tal de electrones de una órbita de un átomo a la del otro,cuando la transferencia es parcial, el enlace es de carácterparcialmente iónico. Por tanto, la mayoría de los com-puestos covalentes tienen cierto carácter iónico, ya queson polares.

Enlace metálico

Existen dos teorías para explicar el enlace metálico: lateoría clásica, que no explica el comportamiento de los

+H

–Cl

+Na

–Cl Cl Cl±


Pares deOrbitales electrones Formaatómicos Enlaces no de la

Hibridación combinados sigma compartidos molécula

sp s1 pz 2 0 lineal1 1 lineal

sp2 s1 px py 3 0 trigonalplana

2 1 angularde 120º

sp3 s1 px py pz 4 0 tetraédrica3 1 piramidal

trigonal2 2 angular

de 109,5º

sp3d s1 px py 5 0 bipiramidalpz dz

2 trigonal4 1 tetraédrica

distorsionada3 2 forma de T2 3 lineal

sp3 d2 s1 px py pz 6 0 octaédricadz

2 dx2-y 2

5 1 bipiramidal cuadrada

4 2 cuadradaplana

Hibridaciones

elementos semiconductores, y la teoría cuántica o teoríade bandas.

Teoría clásica

El enlace metálico es el que se establece entre un gran nú-mero de cationes rodeados por una nube electrónica quelos mantiene unidos. En un metal no se unen solamentedos átomos, sino que un número indefinido de iones for-ma una red metálica donde los electrones son atraídospor igual por todos los núcleos y mantienen unidos a ungran número de iones positivos. Los iones de esta redmetálica se disponen formando planos, entre los que lanube de electrones de valencia se mueve libremente, yaunque estos planos están formados por cargas del mis-mo signo, no se repelen, debido al hecho de que la nubede electrones actúa a modo de pantalla, aunque puedendesplazarse unos sobre otros con facilidad.

Estructura de red metálica con electrones de valenciadeslocalizados

Este tipo de enlace es exclusivo de los metales y susaleaciones, que presentan dos características:

– Bajo potencial de ionización, por lo que pueden cederelectrones con facilidad y dar lugar a la nube electrónica,y a la vez forman los iones positivos característicos de lared metálica.

– Orbitales de valencia vacíos, que confieren gran liber-tad de movimiento a los electrones.

Las redes metálicas pertenecen principalmente a tresmodelos estructurales: red cúbica centrada en el centro,red cúbica centrada en las caras y red hexagonal compac-ta. Las tres son resultado del apilamiento compacto de losátomos de los metales.

Red cúbica Red cúbica Redcentral centrada en hexagonal

las caras

La red cúbica centrada en el centro corresponde conun número de coordinación de 8 y la presentan los me-tales: litio, sodio, potasio, bario, etc. La estructura cú-bica centrada en las caras es típica del calcio, aluminio,hierro, níquel, cobre, plata, oro y cincuenta metalesmás, con un número de coordinación de 12. La hexa-gonal compacta es típica de metales como el cromo, be-rilio, magnesio, con número de coordinación tambiénde 12.

Teoría de bandas

Se puede considerar que un metal es una macromolé-cula formada por un elevado número de átomos cuyosorbitales atómicos interaccionan dando lugar a orbita-les moleculares. Al ser muy grande el número de orbi-tales atómicos, sus niveles de energía están tan próxi-mos que forman una banda de energía. En los metalesalcalinos, la configuración electrónica de la capa de va-lencia es ns1 y es la que contribuye a la formación deuna banda semillena, puesto que los orbitales de nive-les inferiores no contribuyen a la formación del enlace.En los metales alcalinotérreos, la configuración electró-nica de la capa de valencia es ns2, por lo que la bandaestará completamente llena y solapada con la p que es-tará desocupada.

Tanto en el caso de los metales alcalinos como en el delos alcalinotérreos, los niveles energéticos están tan pró-ximos que el aporte de energía necesario para que los elec-trones llenen orbitales desocupados es mínimo, y el mo-vimiento de electrones sólo se verá impedido por los cho-ques que se producen contra los núcleos en vibración.Como las vibraciones aumentan al incrementarse la tem-peratura, también aumentará el número de choques, conlo que se observa que la conductividad de los metales dis-minuye con la temperatura.

En el caso de los semiconductores (elementos situadosen el sistema periódico entre los metales y no metales),no hay superposición entre las bandas s y p, aunque éstaseparación es mínima y por tanto se puede superar conun aporte de energía, en pequeña cantidad. Esto provo-ca que al aumentar la temperatura, se favorezca la con-ductividad.

En los sólidos aislantes, con enlaces covalentes, la sepa-ración entre bandas es muy elevada, por lo que sería nece-sario un gran aporte de energía para que fueran conduc-tores.

+ + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + +

112 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Orbitalesatómicos p

Orbitalesatómicos s



Metales alcalinos Metales alcalinotérreos

Propiedades de los metales

Los metales presentan las siguientes propiedades:

– Conductividad. Los metales son excelentes conduc-tores, tanto térmicos como eléctricos, debido a la gran mo-vilidad de sus electrones de valencia.

– Ductilidad y maleabilidad. Los metales tienen granfacilidad para ser estirados en forma de hilos (ductilidad)y para ser extendidos en láminas muy finas (maleabili-dad). Ambas propiedades son debidas a la disposición encapas de los iones que forman la red, por lo que, cuandose aplica cierta presión al metal, las capas se deslizan unassobre otras.

– Tenacidad. Los metales presentan la capacidad de re-sistir tensiones de tracción o choque sin romperse (son te-naces). Esta característica se debe a la intensidad de lanube de carga negativa y de las fuerzas de atracción en-tre los iones positivos, que mantienen la estructura estre-chamente unida.

– Brillo. Los metales emiten energía en forma lumino-sa, al saltar los electrones libres a niveles fundamentalesde energía.

– Efecto fotoeléctrico y termoiónico. Al tener los elec-trones de valencia gran libertad de movimiento, puedenser arrancados mediante una pequeña aportación deenergía luminosa o térmica.

Fuerzas intermoleculares

Las fuerzas que intervienen en la unión entre moléculasde diferentes compuestos, denominadas fuerzas intermo-leculares, son mucho más débiles que las fuerzas intra-moleculares. De ellas depende el estado de agregación delos compuestos (líquido, sólido, gas) y los puntos de fu-sión y ebullición, ya que al ser fuerzas débiles se necesitapoca energía para provocar un cambio de fase (p. ej., desólido a líquido o de líquido a gas).

Estas fuerzas se deben a la existencia de dipolos, aun-que las moléculas no sean polares. Existen varios tipos,

pero las más características son las fuerzas de Van derWaals y el enlace o puente de hidrógeno.

Fuerzas de Van der Waals. Se deben a la formación dedipolos instantáneos, producidos por las vibracionesde las moléculas que hacen que la nube de electrones sedesplace respecto del núcleo. La formación de estos di-polos induce a otros dipolos en las moléculas próximas ypor tanto se originan fuerzas de atracción. Son fuerzasmás débiles que las de otros tipos de enlace y aumentancon el volumen de las moléculas, ya que en las moléculasde mayor tamaño, las capas electrónicas externas se de-forman con mayor facilidad.

Puentes de hidrógeno. Cuando el hidrógeno está for-mando una molécula con algún elemento muy electrone-gativo y de mayor tamaño (como el oxígeno, flúor y ni-trógeno), el par de electrones es fuertemente atraído porel elemento más electronegativo, con lo que el hidrógenoqueda cargado positivamente y constituye un polo posi-tivo muy intenso que se une al elemento electronegativode la molécula contigua. Estas fuerzas constituyen el en-lace o puente de hidrógeno, que se representa medianteuna línea discontinua de puntos:

Puentes de hidrógeno de la molécula de agua

OH

O

H H

H HO

H H

O

H

∆E





Semiconductores Aislantes

∆ E



1. Utilizando la teoría del enlace de valencia, expli-car la formación de la molécula de flúor (F2).

2. ¿Cómo se representa la molécula de agua según laestructura de Lewis? ¿Presenta dicha moléculamomento dipolar? Razónese la respuesta.

3. De las afirmaciones que se exponen a continua-ción, indicar, de forma razonada, si son ciertaso no:a) Las redes cristalinas no presentan conducti-

vidad.b) Los sólidos iónicos funden a temperaturas su-

periores a las de los sólidos moleculares.c) Los electrones de valencia de los metales no

esmtán deslocalizados.d) La temperatura aumenta la conductividad de

los metales.

a materia puede presentarse en tres estados funda-mentales de agregación: sólido, líquido y gaseoso.

Las partículas que forman la materia se encuentran enocasiones en condiciones de desorden completo, comoen el caso del gas ideal, o pueden formar ordenacionesregulares, como en el caso del sólido cristalino, pero en-tre ambos estados ideales existen otros reales (aunquesuelen estudiarse los estados ideales por su mayor facili-dad para establecer leyes generales).

Estado gaseoso

Los gases forman un estado de la materia en el que suspartículas se encuentran en un completo desorden, debi-do a la gran distancia que hay entre las moléculas, y a queno existen grandes fuerzas que las unan.

Los gases se expanden indefinidamente y no tienen for-ma ni volumen definido, sino que adoptan la forma delrecipiente que los contiene. También se pueden compri-mir fácilmente, reduciéndolos a una porción mínima delvolumen inicial, sin que sea necesario aplicar grandespresiones.

El estudio de los gases ha sido fundamental en el de-sarrollo de la química. Cuando se comprimen o se calien-tan, los gases presentan un comportamiento más simpleque otros estados de la materia. La modificación de la pre-sión, volumen y temperatura origina la transición de unestado a otro de agregación de la materia, pudiéndoseconseguir que la sustancia cambie de estado.

La presión de un gas es debida al choque de las molé-culas contra las paredes del recipiente que lo contiene, ypor tanto es la fuerza que ejerce sobre una unidad de su-perficie. La unidad de presión en el Sistema Internacio-nal es el pascal, que es la presión ejercida por una fuerzade un newton sobre una superficie de 1 metro cuadrado.No obstante, también se utiliza como unidad la atmósfe-ra, que es la fuerza ejercida por una columna de mercu-rio de 760 mm de altura y 1 cm2 de sección, a 0 ºC y sobreel nivel del mar.

1 atmósfera = 101.325 pascales

La presión parcial es la que ejerce uno de los gases quecomponen una mezcla cuando ocupa el volumen total dela masa. La presión total es la suma de las presiones par-ciales de los componentes de dicha mezcla.

Por su parte, el volumen de un gas es el espacio en elque sus moléculas se mueven libremente. La unidad devolumen es el centímetro cúbico (es una medida análogaal milímetro en el caso de los líquidos).

Para explicar el comportamiento de los gases en dife-rentes condiciones existen diversas leyes que se exponena continuación.

Ley de Boyle-Mariotte

En la segunda mitad del siglo XVII, e independientemen-te, Boyle en Gran Bretaña, y Mariotte en Francia, estable-cieron la relación existente entre la presión y el volumende una cantidad de gas a temperatura constante. Al some-ter un gas a diferentes presiones, los volúmenes son pro-porcionales a dichas presiones, de forma que si se duplicala presión, el volumen se reduce a la mitad y viceversa.

Según la ley de Boyle-Mariotte, a temperatura constan-te, la presión que se ejerce sobre un gas y el volumen queocupa son inversamente proporcionales.

El producto de la presión y el volumen es constante yse expresa matemáticamente como:

P · V = K

donde P es la presión, V el volumen y K una constante; esdecir, si una masa de gas ocupa un volumen V1 cuando lapresión es P1, y ocupa un volumen V2 al ser la presión P2,el producto del volumen por la presión es el mismo enambos casos:

P 1 · V1 = P2 · V2 o P1/P2 = V2/V1

Leyes de Charles y Gay-Lussac

Al calentarse, los cuerpos sufren una dilatación que esmucho mayor en los gases que en los líquidos y sólidos.La ley de Charles relaciona la temperatura y el volumen:

L

ESTADOS DEAGREGACIÓN

DE LA MATERIA

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O


A presión constante, el volumen de una cierta masa de gas esdirectamente proporcional a la temperatura absoluta:

V = K · T o V/T = K

expresión en la que V es el volumen, T la temperatura ab-soluta en grados kelvin y K una constante

O también:

V i/Ti = Vf/Tf

donde los subíndices i y f significan inicial y final del vo-lumen y temperatura.

La ley de Gay-Lussac relaciona presión y temperatura:

A volumen constante, la presión de un gas es directamente pro-porcional a la temperatura absoluta:

P = K · T o P/T = K

donde P es la presión, T la temperatura absoluta medidaen grados kelvin y L una constante.

También se puede expresar:

P i/Ti = Pf/Tf

si se contemplan las presiones y temperaturas inicial y final.

Ley completa de los gases

Como en un caso real no parece probable que se manten-gan constantes la temperatura y la presión de un gas, las le-yes de Gay-Lussac y Boyle se pueden combinar en una úni-ca ley para expresar la variación de volumen de una ciertamasa de gas, con la presión y la temperatura.

P · V/T = K

o análogamente al producto de las leyes anteriores

P i Vi/Ti = Pf Vf/Tf

Para una masa determinada de cualquier gas, el producto delvolumen por la presión dividido por el valor de la temperaturaes una constante. El valor de la constante depende de lamasa del gas considerado.

Ley de Gay-Lussac de volúmenes de combinaciónde gases. Principio de Avogadro y volumen molar

En 1808, Gay-Lussac demostró que cuando se forma unasustancia gaseosa a partir de la reacción de dos o más ga-ses, los volúmenes de las diferentes sustancias, medidasbajo las mismas condiciones, se encuentran en una rela-ción de números enteros:

Hidrógeno + cloro → cloruro de hidrógeno1 volumen 1 volumen 2 volúmenes

Avogadro enunció una hipótesis según la cual el moti-vo de que los compuestos gaseosos se combinasen segúnesa relación sencilla de volúmenes era que volúmenesiguales de todos los gases, bajo las mismas condicionesde presión y temperatura, contienen el mismo número demoléculas.

Experimentalmente, se ha visto que, en condicionesnormales, a 0º C y 1 atmósfera de presión, un mol de cual-quier gas ocupa 22,4 litros aproximadamente, volumenque se denomina molar. La cadena de equivalencias serápara el O2, por ejemplo:

1 mol de O2 → 32 gramos O2 → 22,4 litros →→ 6,02 · 1023 moléculas de O2

Ecuación general de los gases perfectos

Según las leyes anteriores, la presión ejercida por un gases directamente proporcional a la temperatura absoluta einversamente proporcional al volumen que se considerafunción de estado (por depender de la presión y la tem-peratura).

La ecuación de estado o de los gases perfectos relacio-na todos los factores que determinan el estado de un gasaplicada a n moléculas y se expresa:

P · V = nRT

R es una constante universal cuyo valor puede cono-cerse a partir de la ecuación:

R= Vo Po/nT

El volumen se mide en litros, la temperatura en gradosabsolutos y la presión en atmósferas. Así se deduce que:

R= 1 atm · 22,4l/1mol · 273 K = 0,082 atm · l/mol · K

Mezcla de gases. Presiones parciales y ley de Dalton

Para una mezcla de gases que no reaccionan químicamen-te entre sí, Dalton estableció la ley de las presiones parcia-les, según la cual la presión total de la mezcla es la sumade las presiones parciales que cada uno de los gases par-ciales ejercería si él solo ocupase todo el recipiente.

Como la ecuación de los gases perfectos se puede apli-car a un solo gas o a mezcla de gases, si Pt es la presióntotal y Vt el volumen total, puede establecerse que

P t = P1+P2+P3+.... = n1 RT/V1 + n2 RT/V2 +....+ n RT/Vt

En general, la presión parcial de cualquier componentede la mezcla es la presión total por la fracción del núme-ro de moles de ese componente:

P A = XA Pt

____________________________________________________________________________ Estados de agregación de la materia 115

X A es la fracción molar del componente A, luego, en con-secuencia:

X A = moles de A/moles totales

Teoría cinética molecular de los gases

Según los principios de la teoría cinética, los gases estánformados por partículas, moléculas o átomos esféricosque están moviéndose continuamente con movimientorectilíneo y con una velocidad que depende de la natura-leza del gas y la temperatura. La dirección del movimien-to varía cuando la molécula choca con otra partícula o conlas paredes del recipiente que contiene el gas.

La teoría cinética intenta explicar el comportamiento ypropiedades de los gases. En este sentido, cabe reseñartres factores esenciales:

– Los gases no reducen su volumen o presión espontá-neamente a una temperatura determinada, debido a quelos choques entre las moléculas o con las paredes del re-cipiente son elásticos y por tanto no se pierde nada deenergía.

– El aumento de volumen y presión es consecuencia delmovimiento desordenado de las moléculas cuando se ele-va la temperatura.

– La presión que ejerce un gas se debe a la existencia deun movimiento caótico entre muchos millones de molé-culas en una mínima cantidad de gas.

Ley de la difusión de gases. Ley de Graham

Graham estudió en 1832 las velocidades de difusión dediferentes gases y enunció la ley por la que las veloci-dades de difusión de un gas, en igualdad de condicio-nes de presión o temperatura, son inversamente pro-porcionales a las raíces cuadradas de sus densidadesrespectivas:

V 1/V2 = d2/d1

donde V1 y V2 son las velocidades de difusión.La densidad presenta valores menores en los gases que

en los líquidos y sólidos:

d = masa (peso molecular)/volumen

Estado líquido

Los líquidos se consideran un estado de agregación de lamateria intermedio entre el estado de gas ideal y de sóli-do cristalino. En un líquido, las moléculas están muy pró-ximas unas de otras, el espacio entre ellas es muy peque-

ño y por tanto son muy poco compresibles. Tienen ma-yor fuerza de atracción intermolecular que los gases y ma-yor condensación. En consecuencia, estas fuerzas de co-hesión hacen que los líquidos se adapten a la forma delrecipiente que los contiene. Sin embargo, cuando se en-cuentran libres en un gas o en otro líquido, tienden aadoptar un volumen esférico.

Las moléculas de los líquidos poseen movimiento detraslación, aunque menor que los gases y con menor ve-locidad.

Tensión superficial

Una molécula en el interior de un líquido es atraída conla misma intensidad en todas direcciones, y la fuerza re-sultante sobre cualquiera de ellas es cero, ya que cada mo-lécula se encuentra rodeada por completo por otrasmoléculas. Pero las moléculas de la superficie sí se en-cuentran sometidas a una fuerza resultante de atracción,ya que estas moléculas de la capa superficial no se hallancompletamente rodeadas por otras y por eso se ven so-metidas a la atracción de las que se sitúan en capas infe-riores, con lo que se forma una capa resistente llamadatensión superficial.

La tensión superficial de un líquido se puede definircomo la fuerza ejercida sobre la superficie de ese líquido,que se opone al aumento de su área. También se puededefinir como el trabajo que habría que efectuar para ex-tender un centímetro cuadrado la superficie de un líqui-do. Este hecho explica que la tendencia de los líquidos seencamina a la formación de gotas esféricas, puesto que laesfera es el cuerpo de menor superficie.

La tensión superficial es el fenómeno físico responsa-ble de la formación en los tubos capilares de meniscos,convexos (a) o cóncavos (b), según su magnitud en cadalíquido, en lo que constituye el fundamento de diversosaparatos de medición.

En la imagen se ilustran los meniscos formados por ele-vación o descenso de los líquidos, siendo r el radio delmenisco y h la magnitud del desplazamiento:

r

h

h

r

ba

116 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Viscosidad y fluidez

La viscosidad y la fluidez son características opuestas en-tre sí, que permiten establecer diferencias entre el estadolíquido y gaseoso. La fluidez es una característica delos líquidos, cuyas moléculas pueden deslizarse al ser so-metidas a una fuerza.

Por otra parte, se denomina viscosidad de un líquido,o de un gas, a la resistencia que éstos ofrecen a fluir. Estaresistencia es debida al rozamiento interno que originanlas atracciones que las moléculas ejercen entre sí y quetienden a oponerse al movimiento de una partícula conrespecto a otra.

En los líquidos, la viscosidad disminuye al aumentarla temperatura.

Cuando un líquido presenta una viscosidad elevada, sedenomina viscoso o espeso; cuando la viscosidad impideel flujo, por ser muy elevada, el cuerpo se denomina ví-treo. Así pues, un vidrio tiene el desorden molecular deun líquido y las propiedades externas de un sólido, moti-vo por el que al calentar dicho cuerpo vítreo disminuye laviscosidad y aparecen las propiedades del estado fluido.

Si se supone que la capa laminar de un líquido se des-plaza con una velocidad, v , y otra capa con superficie, s,se desplaza a su lado con velocidad inferior, r , la capa demenor velocidad ejerce una fuerza que disminuye la ve-locidad mayor con el fin de igualar ambas velocidades.Matemáticamente se expresa:

P = π · S (dv)/dr

donde πes el coeficiente de viscosidad, constante carac-terística de cada sustancia líquida.

Vaporización: evaporación y ebullición

Todos los líquidos pueden pasar a gas o vapor. Este pro-ceso se denomina vaporización. El paso de líquido a va-por, cuando se produce en la superficie del líquido, acualquier temperatura, se llama evaporación, mientrasque si este proceso tiene lugar en toda la masa del líqui-do, a una temperatura constante, se denomina ebulli-ción.

Evaporación

La evaporación se puede explicar mediante la teoría ci-nética. Según esta teoría, las partículas que forman unamasa líquida están en constante movimiento, en funciónde su energía cinética.

Para que una molécula pase de líquido a gas será nece-saria una energía cinética que le permita vencer la ten-sión superficial. Las moléculas de la capa superficial sonlas que mayor energía poseen y, por tanto, pueden esca-par del líquido y pasar a la fase de vapor. Como las molé-


Clase Unidades Unión Propiedades

IÓNICOS IONES Fuerzas eléctricas – Redes iónicas(Sal común) – Altos puntos de fusión y ebullición

– Duros– Solubles en H2O– Conductores

ATÓMICOS ÁTOMOS Enlace covalente – DurosO COVALENTES – Altos puntos de fusión y ebullición

– Insolubles– Formación de redes

METÁLICOS IONES + Eléctrica – Sólidosy ELECTRONES – – Maleables

– Dúctiles– Brillo– Conductores– Insolubles– Formación de redes

MOLECULARES MOLÉCULAS Fuerzas intermoleculares – Blandos(Glucosa, celulosa) (Van der Waals o dipolares) – Volátiles

– Bajos puntos de fusión y ebullición– Insolubles en H2O– No conductores

Tipos de sólidos

culas que se evaporan son las de mayor energía, el líqui-do se enfriará, ya que disminuye la energía cinética me-dia del resto de las moléculas.

La evaporación se facilita al aumentar la temperatura,ya que aumenta la energía cinética de las moléculas. Elincremento de la superficie libre del líquido también fa-cilita la evaporación.

Ebullición

Como se indicó anteriormente, la ebullición y la evapo-ración son procesos similares, aunque difieren en algu-nos aspectos. La evaporación tiene lugar de forma es-pontánea y sólo se produce en la zona superficial, y laebullición se efectúa cuando se proporciona calor y, portanto, el líquido alcanza una temperatura que permite laformación de burbujas que al ascender se rompen y libe-ran vapor. Este proceso de vaporización tiene lugar deforma tumultuosa en toda la masa del líquido.

El punto de ebullición de un líquido es la temperatu-ra a la que la presión de vapor es igual a la presión ex-terior que actúa sobre la superficie del líquido (será lapresión atmosférica si el líquido está en una vasija abier-ta). El punto de ebullición de un líquido es la tempera-tura a la que su presión de vapor es de 760 mm. Comola presión atmosférica varía con la altura, los líquidoshierven a temperaturas distintas según la altura a la quese encuentren. A mayor altura se necesita menor tem-peratura.

Saturación y presión de vapor

Si la evaporación de un líquido se produce en un reci-piente abierto, pocas moléculas de las que se han difun-dido hacia la atmósfera vuelven a la superficie del reci-piente. Por el contrario, si la evaporación se verifica enun recipiente cerrado, las moléculas que se vaporizan nopueden escapar y se condensan, pasando nuevamente allíquido. La saturación se produce cuando se condensan

tantas moléculas por segundo como las que se vaporizanen ese mismo intervalo de tiempo. El líquido está en equi-librio con el vapor, puesto que la velocidad de escape delas moléculas de líquido a vapor es igual a la de retornode la fase de vapor a la fase líquida.

Cuando se llega a la saturación y se establece el equili-brio, la cantidad relativa de líquido y vapor permanecenconstantes. La presión del vapor saturado, a una tempera-tura determinada, es la presión de vapor del líquido quepresenta valores fijos y característicos para cada sustancia.

Estado sólido

Por regla general, se dice que el estado sólido se caracte-riza por tener forma y volumen determinados. La formay el volumen determinados y la mínima compresibilidadhacen suponer que, en los sólidos, las moléculas o los áto-mos se encuentran en contacto unos con otros, ya que po-seen unas fuerzas de atracción muy intensas.

Para establecer las propiedades de los sólidos se hacreado el modelo de sólido cristalino ideal, que obedecea un orden geométrico y que permite desarrollar la si-guiente clasificación.

Clasificación de los sólidos

Los sólidos se suelen clasificar en dos grandes grupos: lossólidos vítreos o amorfos y los sólidos cristalinos.

Los sólidos vítreos o amorfos son sustancias cuyaconstitución interna es variable, debido a que adoptanuna distribución más o menos al azar.

Dentro de este grupo de sustancias se encuentran lasresinas sintéticas o el vidrio. El vidrio es considerado unlíquido de fuerzas internas intensas –denominadas tam-bién líquidos sobreenfriados– y es considerado un esta-do de agregación intermedio entre los líquidos y los cris-tales. Las partículas del vidrio no están ordenadas geo-métricamente y su estructura interna corresponde a la deun líquido de viscosidad máxima y gran rapidez.

118 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Fase dispersa Medio dispersante Sistema coloidal Ejemplos

Gas + Gas No existe No pueden existirLíquido Espumas Espuma de cerveza, nata batidaSólido Espuma sólida Piedra pómez

Líquido + Gas Nieblas, aerosoles Nubes, brumaLíquido Emulsiones Leche, mahonesaSólido Geles Gelatina, jalea, queso

Sólido + Gas Humos Humos y polvoLíquido Soles Disoluciones coloidalesSólido Coloide sólido Vidrios coloreados, piedras preciosas coloreadas

Tipos de sistemas coloidales

Los sólidos cristalinos o cristales se caracterizan porser homogéneos y anisótropos, es decir, partes iguales deun cuerpo y con la misma orientación presentan las mis-mas propiedades físicas y químicas (homogeneidad). Porotra parte, las propiedades de un cristal dependen de ladirección que se considere al analizarlas (anisotropía).

Los cristales se constituyen en redes poliédricas segúnlas tres direcciones del espacio. Se pueden clasificar porel tipo de enlace que mantiene unidas a las moléculas oátomos y también por las simetrías cristalinas.

Coloides

Se llama coloide o estado coloidal a un sistema en el queen un medio dispersante se encuentran esparcidas una se-rie de partículas llamadas micelas, cada una de las cualesestá constituida por un grupo de átomos, o bien moléculasgigantes o macromoléculas que pueden alcanzar el tama-ño de las micelas (la hemoglobina de la sangre es una ma-cromolécula). Aunque los coloides típicos están formadospor una fase dispersante líquida, existen diversos sistemasde agregación para cada fase del coloide, por lo que se pue-den clasificar según se indica en el recuadro inferior.

Los sistemas coloidales se presentan muy a menudo enla naturaleza y constituyen un grupo muy importante desustancias. La mayoría de los líquidos orgánicos y los te-jidos son sistemas coloidales. La leche, las nubes, las pelí-culas fotográficas, los humos, las jaleas y un largo etcéte-ra son sustancias de tipo coloidal.

Cambios de estado

El estado físico en que se encuentra una sustancia depen-de del tipo de sustancia que se esté considerando y de latemperatura y la presión a la que se encuentre sometida;por tanto, modificando alguno de estos factores, o los dos,se puede conseguir que dicha sustancia cambie de estado.

Cuando se calienta un sólido, las partículas que lo cons-tituyen se van desordenando hasta llegar al estado líqui-do. A esta energía que hay que aportar por unidad demasa para pasar del estado sólido al líquido se le llamacalor latente de fusión, o calor molar de fusión cuando setrata de 1 mol de sustancia.

Al seguir aumentando la temperatura, aumenta la ener-gía cinética, se llega al punto de ebullición y el líquido seconvierte tumultuosamente en gas. Nuevamente se ha

realizado un aporte de energía por unidad de masa paraque la sustancia cambie del estado líquido a gas, denomi-nándose calor latente de vaporización (o calor molar devaporización si se trata de 1 mol de sustancia).

En el Sistema Internacional de unidades, el calor laten-te del cambio de estado se mide en julios/kilogramos,aunque también se utilizan la kilocaloría/kilogramo y ca-loría/gramo.

Sólido

CondensaciónLicuefacción

Vaporización, evaporacióny ebullición

Sublimac

iónFusión

Sublimac

iónSolidificación

LíquidoGas



1. En el transcurso de un viaje, en el que el coche tie-ne uno de sus neumáticos sin cámara, la tempera-tura que alcanzan las ruedas es de 83 ºC. ¿Qué pre-sión llegará a soportar el neumático sin cámara, sise tiene en cuenta que a temperatura ambiente de20º C soporta una presión de 1,7 atmósferas y tie-ne una capacidad de 17 litros?

2. Si un gas a 700 mm de presión y 27º C de tempera-tura ocupa un volumen de 100 centímetros cúbi-cos, ¿cuál será su volumen en condiciones norma-les de presión y temperatura?

3. Determinar la densidad del oxígeno en condicio-nes normales de presión y temperatura.

4. ¿Qué cantidad de calor habrá que aportar parafundir un cubito de hielo de 30 gramos de masay que está a –18º C de temperatura? El calor la-tente de fusión del agua es de 334,4 julios/kilo-gramo.

QUÍMICADE DISOLUCIÓN

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O

Mezclas

Una mezcla es la unión de dos o más sustancias, en cual-quier proporción, en la que cada uno de los componentesconserva su identidad y propiedades específicas, ya queno llega a formar una nueva especie química.

Cuando los componentes de una mezcla se distinguencon facilidad, se dice que la mezcla es heterogénea. Por elcontrario, en las mezclas homogéneas se necesitan méto-dos analíticos para determinar sus componentes; a estasmezclas homogéneas se las suele denominar dispersiones.

Las dispersiones están integradas por una sustancia lla-mada fase dispersa, contenida en otra llamada fase dis-persante. En función de los estados de agregación de es-tas dos fases, las dispersiones se dividen básicamente endos grupos: suspensiones y disoluciones (también llama-das soluciones).

Por su parte, las suspensiones están constituidas pordos o más sustancias insolubles entre sí. Se subdividen se-gún el estado de agregación de las fases que las compo-nen en: suspensiones coloidales, formadas por fases disper-santes líquidas o gaseosas con fase dispersada sólida o ga-seosa, y emulsiones, constituidas por las fases líquidas.

Disoluciones

Una disolución o solución es una mezcla homogénea dedos o más sustancias.

Sus componentes son al menos dos: el disolvente, queequivale a la fase dispersante y es el componente que in-terviene en mayor proporción, y el soluto o fase dispersa,que se halla en menor cantidad.

Existen diferentes tipos de disolución. Pueden distin-guirse, así, los diversos grupos desarrollados en el recua-dro superior.

Cualquier mezcla de gases es una disolución, indepen-dientemente de la proporción en que se encuentre cadacomponente. En este contexto, cuando dos o más sustan-cias pueden mezclarse en cualquier proporción se dice deellas que son completamente miscibles.

Las sustancias que no se mezclan entre sí se dice queno son miscibles (p. ej., el agua y el aceite).

Entre estos dos tipos de sustancias existen otros que semezclan parcialmente para formar disoluciones, perosólo lo hacen en determinadas proporciones.

ColoidalesHomogéneas Dispersiones

SuspensionesEmulsiones

Disoluciones

Heterogéneas

Mezclas

Disoluciones en estadogaseoso. (Se comportancomo gases.)

Disoluciones en estadolíquido. (Se comportancomo líquidos. Son lasdisolucionespropiamente dichas.)

Disoluciones en estadosólido. (Se comportancomo sólidos.)

– Gases en gases (aire)– Líquidos en gases (agua

en aire: niebla)– Sólidos en gases (polvo

en aire)

– Gases en líquidos (CO2

en H2O)– Líquidos en líquidos

(alcohol en H2O)– Sólidos en líquidos

(azúcar en H2O)

– Gases en sólidos– Líquidos en sólidos– Sólidos en sólidos

(aleaciones: latón,bronce, etc.)

Disoluciones


Tipos Ejemplos

Solubilidad y saturación

La solubilidad de un soluto en un disolvente es la canti-dad de soluto máximo que puede disolverse en un volu-men de disolvente determinado.

Atendiendo a la cantidad de soluto disuelto se obtie-nen diferentes tipos de disolución:

– Cuando a una disolución se le agrega una cantidadmuy grande de soluto, parte de éste no se disuelve y seobtiene una disolución saturada.

– Cuando a la disolución se le agrega una cantidad ma-yor de disolvente, ocurre el fenómeno contrario, es decir,la disolución se diluirá, por lo que la tendencia será que elsoluto vaya disminuyendo su concentración en la mezcla.

– Cuando este soluto se disuelve totalmente sin alcan-zar la saturación, se obtiene una disolución no saturada.Se originará una disolución sobresaturada cuando un di-solvente contenga una cantidad de soluto superior a susolubilidad, a temperatura ambiente.

La solubilidad de casi todas las sustancias sólidas en lí-quidos aumenta con la temperatura y está ligada al calorde disolución, que es el que se absorbe o desprende cuan-do se disuelve un sólido.

Al disolver un sólido en un líquido se desencadenandos procesos:

– Ruptura de la red cristalina, que es un proceso endo-térmico o, lo que es lo mismo, necesita energía para queesa ruptura se produzca.

– Hidratación o posible combinación entre soluto y di-solvente. Las partículas se rodean de moléculas de aguaen un proceso exotérmico, es decir, en el que se liberaenergía.

Por tanto, en una disolución, el efecto térmico es lasuma de los dos cambios energéticos, por lo que si el quepredomina es el exotérmico se calentará, mientras que siel que predomina es el endotérmico se enfriará. Si este ca-lor de disolución se multiplica por el peso molecular delsoluto se obtiene el calor molar de disolución de la com-binación.

Disolución de gases. Ley de Henry

En términos generales, aunque todos los gases son par-cialmente miscibles en los líquidos, su solubilidad es re-lativamente baja y depende de tres factores: la naturalezadel gas, la temperatura de la disolución y la presión queejerce el gas sobre la disolución.

El hidrógeno, el oxígeno y el nitrógeno se disuelven malen agua y forman disoluciones en las que las moléculas per-manecen igual que antes de formar parte de la disolución.Sin embargo, en los gases muy solubles, como el NH3 y HCl,al formar parte de una disolución, se originan una serie dereacciones químicas que hacen que las propiedades de ladisolución sean diferentes de las del soluto y de las del di-solvente aislados. Este tipo de disoluciones es muy impor-

tante para la vida en el mar, ya que los animales marinosdependen, entre otros elementos, del oxígeno disuelto.

Según la ley de Henry, la solubilidad es directamenteproporcional a la presión del gas sobre la disolución cuan-do la temperatura es constante.

Formas de expresar la concentración

Las propiedades de una disolución dependen en gran me-dida de la composición, tanto en lo que se refiere a la clasede sustancias que la forman como en cuanto respecta a suscantidades relativas o, lo que es lo mismo, a su concentra-ción (concentración se define como la relación que existeentre las cantidades de soluto y de disolvente de dicha di-solución). La composición de una disolución puede expre-sarse de diferentes formas, que se exponen a continuación.

Concentración centesimal

La concentración se expresa en forma de porcentaje, se-ñalando cuánta masa de soluto se encuentra presente en100 gramos de disolución:

C (%) = (peso de soluto/peso disolución) · 100

Molaridad

Es el número de moles o moléculas-gramo de soluto quecontiene un litro de disolución:

M = n/V M = molaridad en moles/litron = número de molesV = volumen de disolución en litros

El número de moles es la cantidad de gramos de la sus-tancia dividido entre la masa molecular expresada en gra-mos (mol). Una disolución 1 molar (1M) contiene 1 mol desoluto en un litro de disolución; una disolución 2 molar(2M) contiene 2 moles de soluto en 1 litro de disolución, etc.

Normalidad

La normalidad de una disolución se define como el núme-ro de equivalentes-gramo de soluto en 1 litro de disolución.

El equivalente gramo es el número de gramos igual alpeso equivalente químico, que es, a su vez, el cociente en-tre el peso atómico o molecular y la valencia de un deter-minado compuesto:

N = ne/V N = normalidadne = número de equivalentesV = volumen de la disolución en litros

n e = m/eq m = cantidad de soluto en gramoseq = equivalente – gramo

eq = peso atómico/valencia = peso molecular/valencia == mol/v (valencia)

__________________________________________________________________________________________ Química de disolución 121

n e = m/(mol/v) = m.v/mol como m/mol = n (número de moles)

n e = n . v

y por tanto

N = n . v/V

en donde n/V = molaridad (M)

luego N = M · v

La normalidad es igual a la molaridad por la valencia.

Molalidad

Es el número de moles de soluto por kilogramo de disol-vente.

Ml = n/Md Ml = molalidadn = número de moles del solutoMd = masa en kilogramos de disolvente

Fracción molar

La fracción molar de un soluto es el cociente entre el nú-mero de moles del soluto y el número total de moles dela disolución (soluto y disolvente: ns + nd):

X s = moles del soluto (ns)/moles de soluto (ns) + + moles del disolvente (nd)

La fracción molar del disolvente se define de formaanáloga:

X d = moles de disolvente (nd)/moles de soluto (ns) + + moles de disolvente (nd)

Coeficiente de reparto

Cuando una sustancia actúa como soluto y se disuelveen dos líquidos no miscibles entre sí, este soluto se repar-te en los líquidos según cierta proporción determinadapor el llamado coeficiente de reparto (K), que correspon-de a:

K = solubilidad del disolvente 1/ solubilidad del disolvente 2

Propiedades coligativas de las disoluciones

Muchas propiedades de las disoluciones dependen úni-camente del número de partículas presentes, es decir, dela concentración del soluto. Las propiedades coligativasmás importantes son: la presión de vapor de las disolu-

ciones, la temperatura de ebullición, la temperatura decongelación y la presión osmótica.

Presión de vapor. Ley de Raoult

Al igual que en el estudio de los gases se introduce el con-cepto de gas ideal, al estudiar las disoluciones se utilizala noción de disolución ideal.

Fue François Raoult quien enunció la ley que afirmaque: la presión parcial de vapor de un componente de una diso-lución, a cualquier temperatura, es igual al producto de la frac-ción molar del componente por su presión de vapor en estado lí-quido puro. De forma análoga, se puede decir que la dis-minución de la presión de vapor del disolvente esproporcional a la fracción molar del soluto.

En una disolución compuesta por dos líquidos voláti-les A y B, si la presión de vapor del cuerpo A es Po

A , sufracción molar es XA y las presiones de vapor parcial PA ,la ley de Raoult se expresaría:

PA = XA. Po

A

para el segundo compuesto se expresaría:

PB = X B. P o

B

La presión del vapor total de la disolución será la sumade las presiones parciales (ley de Dalton):

P = XA · P oA + X B

. P oB

Cuando el soluto no es volátil (caso de disolución deun sólido), la presión total está determinada únicamentepor la del disolvente. Según la ley de Raoult, si Po es lapresión de vapor del agua pura, XA la fracción molar delagua disuelta y P la presión de vapor de la disolución:

P = XA P o

Como en una disolución las fracciones molares de to-dos sus elementos han de ser 1, si Xs es la fracción molardel soluto:

X A = 1 – Xs

y, por tanto, P = Po (1 – Xs) → Po – P = Xs. Po .

P o – P = ∆P, variación de presión de vapor

Si sustituimos el valor de la fracción molar:

Xs = ns/(ns + nd)∆P = ns/(ns + nd) . Po

Variación de los puntos de fusión y ebullición:ebulloscopia y crioscopia

La disminución de la presión de vapor debida al solutoafecta directamente a los puntos de fusión (que disminu-

122 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

yen) y ebullición (que aumentan). Por tanto, si la varia-ción en los puntos de fusión y ebullición depende de lamolalidad de la disolución, se podrá determinar el pesomolecular del soluto, si se miden el punto de congelacióno el de ebullición de la disolución:

Ml = (moles soluto/g disolvente) . 1.000 gmoles = gramos /peso molecular

Por otra parte, el punto de ebullición de una disoluciónes superior al del disolvente puro y la diferencia se deno-mina elevación del punto de ebullición. Como conse-cuencia de la ley de Raoult, se deduce que la elevacióndel punto de ebullición es proporcional a la molalidad ypor tanto:

∆te = Ml . Ke

donde te es la elevación del punto de ebullición, Ke es laconstante ebulloscópica (elevación molal del punto deebullición) y Ml es la molalidad.

Para el descenso del punto de congelación se sigue unprocedimiento análogo, ya que es directamente propor-cional a la concentración molal de la disolución:

∆tc = Ml . Kc

donde K c es la constante crioscópica.Se pueden utilizar los enunciados anteriores y se ob-

tendrá la expresión:

∆t = Kc. [gramos soluto · 1.000/(peso molecular ·

· gramos disolvente)]

Ósmosis y presión osmótica

La ósmosis es un proceso mediante el cual un disolventepasa a través de una membrana semipermeable. Lasmembranas semipermeables se caracterizan por permitirque un componente de la disolución (disolvente) pase através de ellas, pero impiden el paso del otro componen-te (soluto). Este tipo de membranas pueden ser de origenvegetal, animal o sintéticas.

Al separar dos concentraciones de disoluciones dife-rentes mediante una membrana semipermeable, desde ladisolución más diluida fluye el disolvente hacia la diso-lución más concentrada, con el fin de igualar las concen-traciones. La diferencia de niveles determina la presiónosmótica, que es la presión que ejercen las disoluciones,

debida al contacto de las partículas del soluto con las pa-redes del recipiente que las contiene.

Dado que el comportamiento de las disoluciones escomparable al de los gases perfectos, para determinar lapresión osmótica se puede deducir una expresión análo-ga a la de los gases ideales.

πV = nRT πes la presión osmóticaV el volumen de la disoluciónn el número de moles del solutoR la constante de los gases

(R = 0,082 atmos l/mol ºK)T la temperatura absoluta

π= nRT/V

Como n = masa del soluto (m)/masa molecular (Mm)πV = (m/Mm) . R . T → Mm = (m/π . V) . R . T

La presión osmótica es directamente proporcional ala temperatura para concentraciones constantes.

De igual forma, será directamente proporcional a laconcentración de la disolución cuando la temperaturasea constante. Por tanto, las disoluciones de igual tem-peratura y concentración poseen presiones osmóticasiguales.

Los fenómenos osmóticos desempeñan un papel muyimportante en diversas funciones vitales de los organis-mos vivos, como en los intercambios de sustancias meta-bólicas entre las células y el medio que las rodea. Tam-bién, las sustancias nutritivas y el agua que necesitan lasplantas son absorbidas por ósmosis.

__________________________________________________________________________________________ Química de disolución 123


1. En un litro de disolución hay 3 gramos de hidróxidosódico. ¿Cuál será la molaridad de dicha disolución?

2. ¿Cuál es la composición centesimal de una disolu-ción de 60 gramos de cloruro sódico en un litro deagua?

3. Calcular el número de equivalentes gramo de hidró-xido sódico que hay en 15 litros de una disolución,si la concentración de esa sustancia es 2 normal.

REACCIONES QUÍMICAS

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O

Ecuaciones químicas y cálculosestequiométricos

Las reacciones químicas son transformaciones de unassustancias en otras. En este proceso químico, los elemen-tos o compuestos iniciales, denominados reactivos oreactantes, sufren una redistribución en su estructura ató-mica a través de varios mecanismos, para dar lugar aotras sustancias de diferente naturaleza, denominadasproductos de reacción.

Para esquematizar las reacciones químicas se utili-zan representaciones escritas denominadas ecuacionesquímicas, que constan de dos miembros separados poruna flecha, generalmente orientada de izquierda a de-recha, que indica el sentido en el que se produce la reac-ción correspondiente. Por tanto, las ecuaciones quími-cas son igualdades cuyo primer miembro corresponde alas fórmulas de los reactivos y en cuyo segundo térmi-no, situado a la derecha, se consignan las fórmulas delos productos:

Reactivos → Producto

Si existe más de un reactivo o se forma más de un pro-ducto, las fórmulas de estos reactivos o de los productosformados se separan mediante signos de adición:

Reactivo A + Reactivo B → Producto A + Producto BHCl + Na OH → Cl Na + H2O

Las reacciones que tienen lugar en un solo sentido sedenominan irreversibles, mientras que las que se produ-cen en los dos sentidos se designan como reacciones re-versibles, en las que los términos se separan mediante dosflechas de sentido contrario (equilibrio).

Reactivo 1 + Reactivo 2 ↔ Producto 1 + Producto 2C + O2 ↔ CO2

Una vez consignadas las fórmulas de reactivos y pro-ductos, como la ecuación ha de cumplir la ley de conser-

vación de masas, se debe comprobar que el número deátomos que hay de cada elemento es el mismo en ambosmiembros de la igualdad, ya que de no ser así será nece-sario ajustar la ecuación.

Ajustar una ecuación química consiste en encontrarel número mínimo de moléculas de cada una de lassustancias que intervienen en el proceso, para que severifique la ley de conservación de masas. Se utilizancoeficientes (que son esos “números mínimos de mo-léculas”) que se colocan delante de cada fórmula. Porejemplo, el metano, CH4, arde en presencia de oxíge-no, O2, formando dióxido de carbono, CO2, y agua,H2O:

CH4 + O2 → CO2 + H2O

Esta ecuación no está correctamente ajustada, ya quetiene un mayor número de átomos de hidrógeno en elreactivo que en el producto, mientras que con el oxíge-no ocurre lo contrario. Por tanto, se ajusta la ecuaciónde la siguiente manera:

CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O

En este caso, el número de átomos de hidrógeno y oxí-geno que aparecen en los dos miembros de la ecuaciónes equivalente, y los coeficientes indican que para quearda una molécula de metano, son necesarias 2 molécu-las de oxígeno, y se formará una molécula de CO2 y dosde agua. Por tanto, en cualquier reacción, la suma de lossubíndices de cada elemento por sus coeficientes es equi-valente en los dos miembros de la ecuación.

En ciertos procesos químicos es necesario especificar elestado físico de las sustancias, que se indica entre parén-tesis a la derecha de las fórmulas. Además de los estadossólido (s), líquido (l) y gaseoso (g), se suele indicar si lasustancia se encuentra disuelta en agua (a).

CaCO3 (s) + 2HCl (a) → CaCl2 (a) + CO2 (g) + H2O (l)CH4 (g) + 2O2 (g) → CO2 (g) + H2O (l)


Otro tipo particular de ecuaciones químicas es el quese utiliza para representar las reacciones en las que inter-vienen iones, donde, además, hay que igualar eléctrica-mente ambos miembros para que se cumpla la ley de con-servación de carga, lo que implica que la suma algebrai-ca de las cargas positivas y negativas sea equivalente enambos miembros de la ecuación:

Zn + Ag+ → Zn2+ + AgZn (s) + 2Ag+ (a) → Zn2+ (a) + 2Ag (s)

Por otro lado, el número de moléculas que entra a for-mar parte de una reacción tiene que ser un número ente-ro. Cuando se utilizan coeficientes racionales, se aplica elcriterio de Avogadro, según el cual cada fórmula está re-presentada por un mol.

Cálculos estequiométricos

La estequiometría es la parte de la química que relacionalas cantidades y proporciones de productos y reactivosque intervienen en una reacción.

De una ecuación química ajustada pueden deducirselos volúmenes y masas de los reactivos y los productos.Los problemas estequiométricos plantean situacionesen las que se puede calcular la cantidad de una sustan-cia cualquiera que participa en una reacción si se cono-ce la cantidad de alguna de las otras sustancias partici-pantes. Estos cálculos reciben el nombre de estequiomé-tricos.

Las cantidades de reactivos y productos que intervie-nen en el proceso pueden expresarse en gramos, moles,litros, moles por litro, número de moléculas, átomos, mo-léculas, etc.

Sobre esta base, se pueden efectuar diferentes cálculoscimentados en las ecuaciones químicas:

– Cálculos peso-peso. Si se conoce el peso de una sus-tancia de la ecuación, puede hallarse el de otra.

– Cálculos peso-volumen. En el caso de los gases, pue-de darse su cantidad en volumen, por lo que si se conoceel peso de una de las sustancias, puede hallarse el volu-men del gas.

– Cálculos volumen-volumen, entre al menos dosgases.

Cuando se conoce la ecuación química de un procesose puede seguir un modelo para la solución de todos losproblemas estequiométricos. Se resuelve en varios pasos,que son los siguientes:

1. Ajustar la ecuación.2. Determinar la masa molecular de las sustancias im-

plicadas en el problema.3. Convertir la cantidad de sustancias dadas a moles.4. Convertir los moles de las sustancias dadas en moles

de las sustancias que se desean.

5. Convertir los moles de las sustancias deseadas en lasunidades que se precisen.

Equilibrio químico

Una vez iniciada una reacción química, puede desarro-llarse hasta que se agote uno de los reactivos, o bien pue-de desarrollarse hasta un cierto punto en que permaneceinvariable aunque existan reactivos. En el segundo casose dice que el sistema está en equilibrio. Inicialmente, losreactivos se combinan rápidamente para formar produc-to, hasta que la cantidad de productos es lo suficiente-mente grande como para que reaccionen entre sí volvien-do a formar los reactivos de partida. Esta situación es unestado de equilibrio.

El equilibrio se alcanza cuando los productos vuelven atransformarse en reactivos con la misma velocidad que losreactivos se transforman en productos, es decir, el equili-brio es una reacción reversible en la que las concentracio-nes de los productos y reactivos no varían. En la reacción

aA + bB ↔ cC + dD

en el instante inicial sólo hay reactivos y la velocidad enque reaccionan es máxima; va disminuyendo a medi-da que disminuyen los reactivos. En la formación delos productos, la velocidad, nula en un principio,aumenta en la medida en que aumentan dichos pro-ductos. Como la velocidad de los reactivos disminuyey la de los productos aumenta, llega un momento enel que las dos velocidades se igualan, alcanzándose elequilibrio químico:

Experimentalmente se ha comprobado que en el equi-librio, el producto de las concentraciones molares de losproductos elevadas a la potencia igual a sus coeficien-tes estequiométricos, dividido por el producto de lasconcentraciones molares de los reactivos elevadas a lapotencia correspondiente a sus coeficientes estequio-métricos, es constante para una temperatura dada. Estaconstante, K, tiene un valor fijo para cada temperatura,independientemente de los valores absolutos de lasconcentraciones molares y no varía en presencia de uncatalizador, puesto que el catalizador sólo afecta altiempo necesario para alcanzar el equilibrio:

Kc = [C]c[D]d/[A]a[B]b

Reacción directaaA + bB → cC + dD

Vel

ocid

ad

Equilibrio

V1

V2 Reacción inversacC + dD → aA + bB

Tiempo

__________________________________________________________________________________________ Reacciones químicas 125

La constante de equilibrio también se puede expresaren función de las presiones parciales y de las fraccionesmolares:

∆n es el incremento de moles de la reacción, Kp y Kc sonfunción sólo de la temperatura y Kx depende además dela presión. Las tres constantes de equilibrio coinciden sólocuando no hay variación en el número de moles (∆n = 0).

También se relaciona con la energía libre de Gibbs me-diante la expresión:

∆Gº = –RTlnKp

Principio de Chatelier

Si en un sistema en equilibrio varían las condiciones, lareacción se ajusta a la nueva situación y se establece unnuevo equilibrio, es decir, si en un sistema en equilibrioactúa una causa externa (se modifican la presión, la tem-peratura o la concentración), el sistema evoluciona en elsentido de contrarrestar dicha causa.

Con base en el principio de Le Chatelier, a continuaciónse expone el efecto que producen distintos factores exter-nos sobre un sistema en equilibrio.

Efecto de la concentración sobre el equilibrio. Si en unareacción reversible se aumenta la concentración de lassustancias participantes en el equilibrio, la reacción severificará en la dirección que tiende a disminuir su con-centración.

Sea la reacción:

aA + bB ↔ cC + dD

– Si se aumenta la concentración [A] y/o [B]

Kc = [C]c[D]d/[A]a[B]b

el exceso A o B reacciona para formar más C y D y alcan-zar de nuevo el equilibrio. La reacción se desplaza haciala derecha (→).

– Si se disminuye [A] y/o [B], el equilibrio se desplazahacia la izquierda (←).

– Cuando se aumenta el producto [C] y/o [D], el equili-brio se desplaza hacia la izquierda, mientras que si se dis-minuye alguno de los elementos de este miembro de la ecua-ción, se desplaza hacia la derecha y disminuye [C] y/o [D].

Efecto de la temperatura sobre el equilibrio. En unareacción en la que se libera o absorbe calor, el equilibrio sepuede desplazar adicionando o eliminando energía calorí-fica al sistema. Si una reacción química en sentido directoes endotérmica y en el inverso es exotérmica:

aA + bB ↔ cC + dD ∆H > O

si aumenta la temperatura, el sistema absorbe calor, ypara contrarrestar este exceso de temperatura reaccionadesplazándose hacia la izquierda, favoreciendo la reac-ción endotérmica. Si se disminuye la temperatura, se pro-duce el efecto contrario.

Efecto de la presión sobre el equilibrio. Las variacionesde presión sólo afectan a los equilibrios en los que hay al-guna variación de volumen en la reacción e intervienealgún gas.

Como a mayor presión las sustancias se comprimeny disminuyen su volumen, si aumenta la presión elequilibrio se desplaza hacia donde haya menos molesgaseosos; por el contrario, si la presión disminuye, sedesplaza el equilibrio hacia donde hay más moles ga-seosos.

Equilibrios de ácido-base

Concepto de ácido-base

No hay una única teoría que pueda explicar de formaconvincente el concepto de ácido y de base. A continua-ción se exponen una serie de teorías sobre dicho con-cepto.

Teoría de Arrhenius. El primer intento teórico de justi-ficar las propiedades ácidas y básicas se debe al químicosueco Svante Arrhenius, quien, trabajando con disolucio-nes de electrolitos en agua, estableció que ésta, ademásde actuar como agente dispersante, hacía que los electro-litos se disociaran en iones negativos y positivos. En elcaso de los ácidos, al disociarse aparecían iones de hidró-geno, H+, mientras que en las bases aparecían iones OH–.Por tanto, según Arrhenius:

– Ácido es toda sustancia química que en disoluciónacuosa cede iones H+ (protones).

– Base es toda sustancia química que en disolución acuo-sa cede iones OH– (oxidrilo, hidroxilo o iones hidróxido).

Son ácidos sustancias como HCl, HNO3, H2SO4, etc.

(ácido) HCl → H+ + Cl– (base)(ácido) HNO3 → H+ + NO3

– (base)

Teoría de Brönsted y Lowry. La teoría de Arrhenius li-mitaba el carácter básico a los hidróxidos, cuando la rea-lidad pone de manifiesto la existencia de sustancias, queno son hidróxidos, con carácter básico, como es el casodel amoniaco, que no contiene iones OH–. Por otra parte,limitaba el concepto de disolvente al medio acuoso, porlo que era necesario ampliarla.

Estos inconvenientes desaparecieron mediante la teo-ría que, de forma independiente, propusieron Brönsted yLowry y según la cual:

– Ácido es toda sustancia que en disolución cede iones H+.– Base es toda sustancia que en disolución acepta H+.

Kp = PcC · PdD Kx = XcC · XdD———— ————PaA · PbB XaA · XbB

Kc = Kp (1/RT)∆n Kp = Kx P∆n

126 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

De esta forma se puede decir que las reacciones ácido-base consisten en la transferencia de iones H+ de un da-dor, ácido, a un aceptor, base.

Los ácidos de Brönsted y Lowry son los mismos que losácidos de Arrhenius:

(ácido) HCl → H+ + Cl– (base)(ácido) HNO3 → H+ + NO3

– (base)

Además de los hidróxidos, son también bases sustan-cias como el amoniaco o las aminas:

(base) OH– + H+ → H2O (ácido)(base) NH3 + H+ → NH4

+ (ácido)

En esta teoría no cabe hablar de ácidos y bases como en-tes aislados, sino de pares ácido-base, ya que se asigna acada ácido una base conjugada y a cada base un ácido con-jugado.

El ion cloruro es la base conjugada del ácido clorhídri-co, el ion amonio es el ácido conjugado de la base amo-niaco.

Fuerza relativa de ácidos y bases

El grado de ionización o disociación, α, o porcentaje delácido (o base) disociado, es una medida de la fortaleza delos ácidos o de las bases: α = número de moles ioniza-dos/número total de moles. Según esto:

– Ácidos fuertes son los que presentan una disociaciónprácticamente total. Son ácidos fuertes, entre otros, el áci-do sulfúrico, el nítrico, el clorhídrico, el perclórico, etc.

– Los hidróxidos de los metales alcalinos son bases fuer-tes y también se encuentran disociados totalmente.

En general, cada sistema ácido-base conjugado es unequilibrio cuya constante, para un ácido, recibe el nom-bre de constante de acidez, Ka:

Ácido1 ↔ base1 + H+

K a = [base1][H+]

[ácido1]

De forma análoga, para una base se determina su cons-tante de basicidad,

Base2 + H+ ↔ ácido2[ácido2]K b =

[base2][H+]

El grado de ionización y la constante de equilibrio serelacionan de la siguiente forma:

Si se parte de un mol de un ácido HA, la disociación serealizará:

HA ↔ A– + H+

Antes de la disociación, el número de moles era:

1 0 0

En el equilibrio:

1 - α α α

Si en vez de un mol se parte de una concentración inicialde ácido = C, las concentraciones en el equilibrio serán:

[HA] = C(1 - α)[A–] = C α[H+] = C α

La constante de equilibrio será, por tanto:

K a = C α · C α / C (1 - α); Ka = C α2/(1 - α)

Las reacciones de neutralización de los ácidos y delas bases son reacciones de sus iones para llegar a la for-mación de agua.

Por tanto, las reacciones de neutralización se puedenescribir como la reacción suma de las semirreaccionesdel ácido y la base.

K = [ácido1][base2] = Ka Kb[ácido2][base1]

Considerada como una reacción irreversible, Ka Kb soninfinitos.

Ello implica que las reacciones de ácidos fuertes (conlas bases), y de las bases fuertes (con los ácidos), son siem-pre completas.

En general, es posible predecir el desplazamiento deun equilibrio ácido-base: el equilibrio estará desplazadosiempre que reaccione un ácido con la base conjugada deun ácido más débil.

Los ácidos que, al disociarse, sólo pueden proporcio-nar un ion hidrógeno reciben el nombre de ácidos mono-próticos.

Los ácidos que pueden disociarse dando más de unprotón reciben el nombre de ácidos polipróticos, que sufrendisociaciones sucesivas:

HSO4 → H+ + HSO4–

HSO4– → H+ + SO4

2–

Ionización del agua

La autoionización del agua se puede considerar comoun equilibrio ácido-base:

H2O + H2O ←→H3O + + OH–

ácido1 base2 ácido2 base1

Por este motivo, el agua puede actuar como dadora deiones H+, frente a las bases, o como aceptora de iones H+,frente a los ácidos.


HCl + H 2O ←→Cl– + H3O +

ácido base

NH3 + H 2O ====== NH4+ + OH–

base ácido

Las sustancias que, como el agua, presentan este com-portamiento, reciben en nombre de anfóteras, anfipróti-cas o anfolitos.

Son sustancias de este tipo los iones intermedios de laionización de ácidos polipróticos y ácidos con más de unhidrógeno.

ácido base ácido baseH3PO4 ↔ H2PO4

– ↔ HPO42– ↔ PO4

3–

| ácido base |Anfóteras

Concepto de pH (potencial de hidrógeno)

El agua puede comportarse como ácido o como base, ce-diendo o captando protones. En disoluciones acuosas,las concentraciones de los iones H3O + y OH– están liga-dos por el producto iónico del agua y, por tanto, con ex-presar una de estas concentraciones, la otra queda auto-máticamente determinada. Normalmente se suele utili-zar la concentración de iones H3O +, que varía entre loslímites:

[H3O +] = 1 para una disolución 1N de un ácido fuerte[H3O +] = 10–14 para una disolución 1N de un ácido fuerte

Para expresar las concentraciones mediante númerossencillos se introdujo el concepto de pH, definido comomenos el logaritmo decimal de la concentración de ionesH3O + (o ion H+ en la notación simplificada). Es una me-dida de la acidez de la disolución:

pH = –log [H3O +]

En el agua pura: [H+] = [OH–] = 10–7, y su pH = 7. En ge-neral, una disolución se considera:

Ácida: [H3O+] > 10–7; pH < 7Básica: [H3O+]< 10–7; pH > 7

Neutra: [H3O+] = 10–7; pH = 7

De la misma forma que se define el pH, se define tam-bién el pOH: pOH = –log [OH–].

Es evidente que pH + pOH = 14Los límites del pH y pOH en disoluciones acuosas vie-

nen dados por el máximo y mínimo valor de la concen-tración de iones [H3O +]. El máximo valor viene dado porla concentración de agua pura [H2O]= 1.000/18 = 55,5molar. Por tanto pH = –log (55,5) = –1,74.

Este es el motivo por el que, en disoluciones acuosas,la escala de pH tiene por límites los valores entre –1,74y 15,74.

Ejemplo. Determinar el pH de una disolución cuya con-centración de iones H+ es 0,02 mol/l.

pH = –log [H+] = –log (2 · 10–2) = 1,69

Las sustancias orgánicas que presentan diferente colo-ración en función del medio, ácido o básico, en el que seencuentren, es decir, que tienen la propiedad de variarsu color al modificarse el pH de la disolución donde seencuentran, se llaman indicadores. En general son ácidoso bases débiles, caracterizados por presentar diferentecolor el ácido que su base conjugada. Esta diferenciade coloración es la base de su utilización en las reaccio-nes ácido-base. Un cambio de color indica el punto finalde la reacción.

Los indicadores más utilizados son los que se recogenen el recuadro inferior.

Los indicadores utilizados de forma individual sólopueden determinar aproximadamente la zona de pHen la que se produce el cambio de color, por lo que si

128 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Indicadores

Indicador

Azul de timolNaranja de metilo

Rojo de metiloTornasol

Azul de bromotimolRojo neutroRojo cresol

FenolftaleínaTimolftaleína

Amarillo de alizarinaNitramina

Medio ácido

RojoRojoRojoRojo

AmarilloRojo

AmarilloRojo

IncoloroAmarilloIncoloro

Medio básico

AmarilloAmarilloAmarillo

AzulRojo

AmarilloRojoAzulAzulLila

Pardo-anaranjado

Intervalo de pH del cambio de color

1,2-2,83,2-4,44,2-6,34,5-8,36,0-7,66,8-8,07,2-8,88,5-10,09,2-10,5

10,1-12,011,0-13,0

se desea hacer un seguimiento continuado de la varia-ción de pH de una disolución, habrá que prepararseuna mezcla capaz de cubrir un intervalo más amplio.No obstante, este método no es muy preciso y se re-curre a técnicas instrumentales, basadas en los poten-ciales de electrodo, con los que se obtienen medidasmás fiables.

Volumetrías ácido-base

El análisis volumétrico es una de las técnicas utilizadaspara determinar la concentración o riqueza de un ácido ode una base existentes en una disolución dada. Para ellose hace reaccionar una disolución problema con una di-solución de normalidad, N, conocida. Esta disolución pa-trón se vierte, gota a gota, por medio de una boreta sobrela disolución problema, a la que se somete a agitación. Elpunto final de la reacción lo indica el viraje del color delindicador utilizado. En dicho punto se suspende el goteoy se lee la cantidad de disolución gastada.

Si Np y Vp son la concentración y el volumen de la di-solución patrón y Nx y Vx los de la disolución problema,se puede obtener la concentración de la disolución pro-blema:

N p · Vp = Nx · Vx → Nx = Np · Vp

Vx

Hidrólisis

El término hidrólisis significa ruptura por el agua. Al di-solver una sal en agua, ésta se disocia en sus iones, quepueden presentar características ácidas o básicas y reac-cionar con el agua.

Sal de ácido débil y base fuerte. Las sales que provie-nen de ácidos débiles (carbonatos, bicarbonatos, aceta-tos, cianuros, etc.) y bases fuertes tienen hidrólisis bási-ca, es decir, la hidrólisis de un ácido débil y una basefuerte dan lugar a una disolución que tendrá un pH bá-sico.

Ejemplo. Al disolver acetato sódico, CH3 - COONa en agua,se disocia totalmente en los iones Na+ y los aniones acetatoCH3-COO–

CH3 - COONa ↔ CH3-COO– + Na+

El ion sodio tiene carácter ácido muy débil, ácido con-jugado del NaOH, y no interacciona con el agua.

El ion acetato, como procede de un ácido débil, será unabase fuerte que reaccionará con el agua con arreglo a lareacción:

CH3-COO– + H2O ↔ CH3-COOH + OH–

La constante de hidrólisis es Kh = [CH3-COOH] · [OH–][CH3-COO–]

La constante de hidrólisis es también la relación entreel producto iónico del agua y la constante de acidez delácido del anión.

En este tipo de disoluciones, la concentración de H3O +

es inferior a la del agua pura, por lo que la disolución serábásica al presentar el medio un pH superior a 7.

Sal de ácido fuerte y base débil. Las sales que provienende ácidos fuertes y bases débiles presentan hidrólisis áci-da, es decir, la hidrólisis de una sal de base débil y ácidofuerte da lugar a una disolución que tendrá un pH ácido.

Ejemplo. El cloruro de amonio, NH4Cl, se disocia al di-solverse en agua según la reacción:

NH4Cl ↔ NH4+ + Cl–

Los iones cloruro tienen carácter básico muy débil (baseconjugada de un ácido, HCl), por lo que no interaccionancon el agua.

Los iones amonio, sin embargo, dado su carácter ácido(ácido conjugado de una base débil como es el amonia-co), sí interaccionan con el agua.

NH4+ + H2O ↔ NH3 + H 3O +

dando un exceso de iones hidrógeno. La constante deequilibrio, constante de hidrólisis en este caso, es:

K h = [NH3] · [H3O +][NH4

+]

La disolución tendrá una concentración de iones H3O +,mayor que la del agua pura y por tanto será básica.

Sal de ácido débil y base débil. Las disoluciones de salesde ácido débil y base débil, como el acetato de amonio, pre-sentan una doble hidrólisis. El carácter ácido o básicode estas disoluciones dependerá de la fortaleza relativa deambos iones. Estos ácidos tienen poca tendencia a captariones procedentes de la ionización del agua y por tantotienden a dar lugar a disoluciones neutras, débilmente bá-sicas o ácidas, según el grado de hidrólisis de los iones ori-ginados por la sal.

Sal de ácido fuerte y base fuerte. Las disoluciones desales de ácido fuerte y base fuerte, como el cloruro, sonneutras, no se produce la hidrólisis y por tanto sus ionesno reaccionan con el agua.

Teoría de Lewis de ácidos y bases

Conocido el comportamiento de los ácidos y de las bases,y definido el enlace covalente coordinado (formación deenlaces por compartición de electrones), Lewis propusoque las reacciones ácido-base consisten en el proceso detransferencia de pares electrónicos entre un dador, base,y un aceptor, ácido. Por tanto:

– Ácido es toda sustancia capaz de aceptar un par deelectrones.

– Base es toda sustancia capaz de ceder un par de elec-trones.


Un ejemplo del comportamiento ácido o básico de las sus-tancias lo constituye el amoniaco y el trifluoruro de boro.

El comportamiento básico del amoniaco es debido a sucapacidad de ceder un par electrónico de uno de sus or-bitales, dando lugar a un enlace covalente coordinado.

El trifluoruro de boro es el ácido, por ser capaz de acep-tar un par de electrones en uno de sus orbitales vacíos.

BF3 + :NH3 ↔ F3B : NH3

Las reacciones ácido base de Brönsted y Lowry quedanjustificadas de forma similar:

H + + : OH– ↔ H : OH

La teoría de Lewis amplía considerablemente el núme-ro de sustancias ácidas y básicas.

Equilibrios de oxidación-reducción

Conceptos de oxidación-reducción

Desde el punto de vista clásico, oxidación es la reacciónquímica en la que se combina una sustancia con el oxíge-no, es decir, existe una ganancia de oxígeno, y reducciónes la reacción química en la que se produce una disminu-ción del contenido de oxígeno de una sustancia. La oxi-dación y la reducción son procesos simultáneos, es decir,siempre que se produce una reducción tiene lugar unaoxidación y viceversa. El compuesto que gana el oxígenoes el reductor, y el que lo pierde es el oxidante.

C + O2 → CO2 OxidaciónZnO + C → Zn + CO Reducción

Como este concepto de oxidación y reducción es muyrestringido, se amplió a otros procesos en los que no par-ticipa el oxígeno, pero sí hay un intercambio de electro-nes. Por tanto, las reacciones de oxidación-reducción sonprocesos en los que existe una transferencia de electro-nes entre diferentes especies químicas (ion, átomo, mo-lécula).

Una oxidación es una reacción en la que una sustanciacede electrones, denominándose agente reductor a la es-pecie química que cede o pierde los electrones.

Una reducción es una reacción en la que una sustanciaacepta uno o más electrones. El agente oxidante es la es-pecie química que capta o gana electrones.

El equilibrio entre oxidante y reductor es :

Oxidante1 + reductor2 ↔ reductor1 + oxidante2

El oxidante2 es la forma oxidada del reductor2, y el re-ductor1 es la forma reducida del oxidante1.

Oxidante1 — gana e– → reductor1Reductor2 — pierde e– → oxidante2

Estos equilibrios son similares a los equilibrios áci-do-base. De igual forma que un ácido al ceder un pro-tón da una base conjugada y una base al captar dichoprotón da su ácido conjugado, un oxidante cuandogana electrones pasa a ser su forma reducida, y el re-ductor al perder electrones se convierte en su forma oxi-dada. A este par oxidante-reductor se le denomina parredox.

Número de oxidación

Debido a los electrones ganados o cedidos por un com-puesto, cada átomo de dicho compuesto se caracterizapor un estado de oxidación con respecto a dicho átomoaislado, también denominado número de oxidación.Por tanto, se define como número de oxidación la cargaformal asignada a ese átomo según unas reglas estable-cidas:

1. El estado de oxidación de una especie química mo-noatómica es igual a la carga del átomo.

2. En los elementos libres, cada átomo tiene un númerode oxidación igual a cero.

3. El número de oxidación del hidrógeno en sus com-puestos es +1, salvo en los hidruros metálicos que es –1.

4. El estado de oxidación del oxígeno en todos sus com-puestos es –2, excepto en los peróxidos, que es –1, y en lascombinaciones con el flúor, que es +2.

5. El número de oxidación de los metales alcalinos es +1y el de los alcalinotérreos es +2.

6. En los haluros, el número de oxidación es –1 (aunquecuando se combinan con el oxígeno o con un halógenomás electronegativo puede ser positivo).

7. La suma algebraica de los estados de oxidación posi-tivos y negativos de los átomos de un compuesto es ceroy si se trata de un ion, es igual a la carga del ion.

Con estas reglas se puede calcular el número de oxida-ción (n.o.) de cualquier elemento de un compuesto. Porejemplo, para el ClO3

–, el número de oxidación será:

n.o. (ClO3–) = n.o. (Cl) + 3 · n.o. (O) = –1;

n.o. (Cl) = –1 – (3 · –2) = –1 – (–6) = +5

Un elemento se oxida cuando aumenta su número deoxidación y se reduce cuando disminuye.

Ajuste de reacciones redox. Método del ion-electrón

El método del ion-electrón es el más utilizado para el ajus-te de las reacciones de oxidación-reducción; se basa en elhecho de que el número de electrones que cede el agentereductor es equivalente al que acepta el agente oxidante.En este método se debe seguir un orden. Se utilizará comoejemplo la reacción:

130 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

MnO2 + HCl → MnCl2 + Cl2 + H2O1 átomo de Cl 4 átomos de Cl

1. Calcular los números de oxidación de los átomos queaparecen en la reacción, y a partir de ellos determinarqué especies se oxidan y cuáles se reducen:

2. Se escriben las semirreacciones del oxidante y del re-ductor (pero el átomo no se pone aislado, sino que se pon-drá la molécula de la que procede. Si es una sal se escribi-rá el ion al que pertenece):

3. Se ajusta el número de átomos de las especies, excep-to el oxígeno y el hidrógeno:

4. Se ajusta el oxígeno, añadiendo para ello H2O en elmiembro de la semirreacción donde se da una deficien-cia de oxígeno:

2HCl → Cl2 no se necesita ajustar el n.º de O2MnO2 → Mn2+ + H2O ⇒ MnO2 → Mn2+ + 2H2O

5. Se ajusta el hidrógeno, bien en medio ácido o en me-dio básico. Para hacerlo en medio ácido, se adicionaránprotones en el miembro de la semirreacción que tengadeficiencia de hidrógeno. En medio básico, en vez deadicionar protones, se añade H2O y se colocan en elmiembro opuesto tantos OH– como protones se nece-siten:

2HCl → Cl2 + 2H+

MnO2 → Mn2+ + 2H2O ⇒ MnO2 + 4H+ → Mn2+ + 2H2O

6. Se ajusta la carga de los dos miembros poniendo tan-tos e– como sean necesarios en el miembro donde hay ex-ceso de carga positiva:

2HCl → Cl2 + 2H+ ⇒ 2HCl → Cl2 + 2H+ + 2e–

carga 0 carga 0 2+

MnO2 + 4H+ → Mn2+ + 2H2O4+ 2+

MnO2 + 4H+ + 2e– → Mn2+ + 2H2O

7. Para igualar el número de electrones en las dos se-mirreacciones se multiplica cada semirreacción por el nú-mero adecuado. En el ejemplo no es necesario multipli-car por ningún número, dado que son iguales.

8. Se suman las dos semirreacciones y se simplifican lasespecies que aparecen en ambos miembros:

2HCl → Cl2 + 2H+ + ∅2e–

MnO2 + 4H+ + ∅2e– → Mn2+ + 2H2O2H+ + 2HCl + MnO2 → Cl2 + Mn2+ + 2H2O

La reacción se pasa de iónica a molecular:

2HCl + 2HCl + MnO2 → MnCl2 + Cl2 + 2H2O4HCl + MnO2 → MnCl2 + Cl2 + 2H2O

9. Se ajustan, por tanteo, las especies que no intervie-nen en la reacción (en el ejemplo está ajustada):

4HCl + MnO2 → MnCl2 + Cl2 + 2H2O

Relaciones entre reacciones redox y corrienteeléctrica. Procesos electroquímicos

Los procesos electroquímicos son reacciones a través delas cuales se puede transformar la energía química eneléctrica o la energía eléctrica en química. Estos procesosson de dos tipos:

– Pilas electroquímicas o voltaicas: aprovechan lasreacciones redox para dar corriente eléctrica.

– Electrólisis: se provocan reacciones redox mediante lacorriente eléctrica.

Pilas electroquímicas. Las pilas electroquímicas pue-den ser galvánicas o electrolíticas. Las galvánicas propor-cionan energía eléctrica a partir de energía química. Lamás sencilla es la de Daniell.

En principio, toda reacción de oxidación-reducción sepuede separar en dos reacciones parciales, a partir de lascuales se genera la energía eléctrica en una pila. La pilaDaniell consiste en dos disoluciones, una de sulfato decobre y otra de sulfato de zinc. La condición fundamen-tal es que los dos agentes, oxidante y reductor, se encuen-tren separados para que la transferencia de electrones ten-ga que verificarse a través de un conductor, que puedeser un puente salino donde hay una disolución conduc-tora de KCl o NaNO3, o mediante un tabique poroso quepuede ser de arcilla o porcelana.

En la disolución de sulfato de cobre se sumerge una lá-mina de cobre que se denomina electrodo. En la disolu-ción de sulfato de zinc se pone otro electrodo de zinc me-tálico. Los electrodos se llaman ánodo y cátodo. En el áno-do se produce la oxidación y en el cátodo, la reduccción.Cuando se conectan los electrodos fluye una corriente através del conductor exterior.

↵

HCl → Cl2 → 2HCl → Cl2 MnO2 → Mn2+

Oxidación ReducciónCl–1 → Cl0

2 Mn+4 → Mn+2

MnO2 → (MnCl2 → Mn2 + Cl2–)

HCl → Cl2 MnO2 → Mn2+

+4 –2 +1 –1 +2 –1 0 +1 –2MnO2 + HCl → MnCl2 + Cl2 + H2O

ReducciónOxidación


Pila Daniell

Se producen los siguientes procesos:

En el ánodo, semirreacción de oxidación:

Zn – 2e– → Zn2+

En el cátodo, semirreacción de reducción:

Cu2++ 2e– → Cu

y la reacción total:

Zn + Cu2+ → Zn2+ + Cu

Las pilas se representan mediante diagramas, en losque las líneas verticales designan los límites de las fases.Los puentes salinos se representan mediante doble líneavertical. Por convenio, se escribe el ánodo a la izquierda:

Zn | Zn2+ || Cu2+| Cu

Electrólisis. La electrólisis es el proceso contrario al quese produce en una pila galvánica, es decir, se produceenergía química a partir de energía eléctrica mediantereacciones redox no espontáneas. La energía necesariapara que se lleven a cabo las reacciones se obtiene apli-cando un voltaje a un par de electrodos inertes sumergi-dos en una disolución. La reacción de electrólisis originala descomposición de un compuesto en sus elementos.

Pueden darse electrólisis de sales, de ácidos y de bases.A continuación, se analiza la electrólisis del cloruro de so-dio, que se puede efectuar en disolución acuosa o con clo-ruro de sodio fundido.

En el caso de la electrólisis del cloruro de sodio fundi-do se obtiene Cl(g) y Na(l), que, al ser menos denso queel NaCl fundido, sube a la superficie.

Ánodo: Cl– – 1e– → 1/2 Cl2 ↑ se desprenderáCátodo: Na+ + 1e– → Na(l)

Cl– + Na+ → 1/2 Cl2 + Na

ClNa

En el caso de efectuarse la electrólisis en disoluciónacuosa, se obtiene Cl2 en el ánodo y H+ en el cátodo.

Equilibrios de precipitación

Solubilidad y precipitación

Se define la solubilidad de un soluto en un disolventecomo la cantidad de soluto máximo que puede disolver-se en un volumen de disolvente determinado.

Una disolución saturada es aquella que se encuentraen equilibrio con un exceso de soluto. Algunos solutosson muy solubles en un determinado disolvente, mien-tras que otros, como ciertas sales, tienen un valor de so-lubilidad tan bajo que pueden considerarse insolublespara ciertos procesos químicos.

Una sustancia se considera soluble cuando la concen-tración del soluto es superior a 0,1 M en una solución sa-turada.

Una sustancia es poco soluble cuando la concentraciónde soluto en una solución saturada es menor que 0,1 M ymayor que 0, 001 M.

Una sustancia se considera insoluble cuando la concen-tración de soluto es inferior a 0,001 M en solución satu-rada.

Cuando una sal se disuelve en agua, se rompe la redcristalina (la unión de los iones). Para ello hay que ven-cer las fuerzas de atracción entre los iones de carga opues-ta o, lo que es lo mismo, es necesario superar la energíareticular de la sal mediante la hidratación (las moléculasdel agua rodean a las partículas del sólido que se disuel-ve en ella):

Cuando se mezclan dos disoluciones que contieneniones de una sal insoluble, se produce una precipitación,que consiste en la formación de un sólido, denominadoprecipitado, dentro del seno de la disolución.

La solubilidad de un compuesto depende de varios fac-tores:

Se rompela unión de losiones

+

-+

-

+-

+

-

-

+-

+

-+

-

+

+ -

Cuba

electrolítica

Electrodos

Sal fundida o

en disolución

-+

AtraídosCl -

Na+

Atraídos

Zn2+

Voltímetro Bombilla

Zn

Ánodo Cátodo

Cu2+

Puente

salino

Cu

132 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

– Temperatura. Como se indicó en párrafos anteriores,para que una sustancia se disuelva es necesaria una ener-gía de hidratación que suele ser menor que la energía re-ticular, por lo que el proceso, aunque con excepciones,suele ser endotérmico. Este hecho explica que la solubili-dad de las sustancias aumente con la temperatura.

– Tamaño de los iones. La solubilidad de los compues-tos iónicos es, en general, mayor cuanto mayor es la dife-rencia de tamaño de los iones que lo forman. Los ionesmás grandes están más próximos dentro de la red cristali-na, con lo que aumenta la repulsión entre ellos y por con-siguiente disminuirá la energía reticular y aumentará lasolubilidad:

Tamaño grande → aumenta la solubilidadTamaño pequeño → disminuye la solubilidad

– Densidad de carga. Es la relación entre la carga y eltamaño del ion. Si el ion es grande y la carga pequeña, ladensidad es pequeña y favorece la solubilidad, ya que eldisolvente puede romper la unión electrostática con ma-yor facilidad:

Pequeña → aumenta la solubilidadGrande → disminuye la solubilidad

– Constante dieléctrica del disolvente. La fuerza deatracción entre dos cargas opuestas viene dada por la leyde Coulomb. Si se aumenta la constante dieléctrica, lafuerza disminuye y se disuelve más:

Grande → sustancias iónicas muy solublesPequeña → sustancias iónicas no solubles

En el recuadro superior se expone la solubilidad de al-gunas sustancias.

Producto de solubilidad

El concepto de producto de solubilidad se aplica a sus-tancias poco solubles en agua, que presentan enlacesiónicos (parcial o totalmente) y en consecuencia puedenliberar iones en disolución:

A x By ↔ xA– + yB+

El producto de solubilidad, Ks, es un valor fijo para cadasustancia a una determinada temperatura (normalmentese toma la temperatura de 25 ºC). En general, si se tieneuna sustancia poco soluble Ax By, su producto de solubi-lidad será:

K s = [A–] x [B+] y

El producto de solubilidad sólo se puede aplicar en equi-librios iónicos de sustancias insolubles y disoluciones sa-turadas. Para sustancias poco solubles, Ks es pequeño,mientras que para sustancias muy solubles, Ks es grande.

Ejemplo. Si se disuelve cloruro de cobre en agua hastala saturación, se obtiene el equilibrio:

CuCl (s) ↔ Cu+ (a) + Cl– (a)

Aplicando al equilibrio la ley de acción de masas se ob-tiene:

K = [Cu+ (a)] + [Cl– (a)][CuCl (s)]

Como el cloruro de cobre está disuelto en una cantidadmínima, [CuCl (s)] se puede considerar constante, y portanto K · [CuCl (s)], el producto de solubilidad será:

Ks = [Cu+ (a)] + [Cl– (a)]

Por otra parte, para una sal poco soluble, la solubilidaden mol/l, representada como s, será igual a la concentra-ción del catión y del anión:

AB(s) ↔ AB ↔ A– (a) + B+ (a)s = [A– (a)] = [B+ (a)];

como Ks = [A– (a)] · [B+ (a)]si se sustituye Ks = s · s = s2

s = Ks

Efecto del ion común

En los equilibrios de disolución de sustancias poco solu-bles, la concentración de los iones permanece constante.Si se añade un ion común a los ya existentes en la disolu-ción, el equilibrio se rompe variándose la solubilidad, conlo que la cantidad de sustancia disuelta sería menor. Esdecir, disminuye la solubilidad de una sal por la presen-


Sales solubles– Todos los iones negativos dan compuestos

solubles con los metales alcalinos,alcalinotérreos, H+ y NH4

+.– Los acetatos y nitratos son todos solubles.– Cloruros, bromuros, ioduros (excepto los de Ag+,

Pb2+, Hg2+ y Cu+).– Sulfatos (excepto de Ba2+, Sr2+ y Pb2+) .

Sales insolubles

– Los sulfuros son insolubles, salvo los alcalinos,alcalinotérreos y de amonio.

– Carbonatos y fosfatos, salvo los alcalinos y deamonio que son solubles.

– Hidróxidos, salvo los compuestos por ionesalcalinos, alcalinotérreos, H+ y NH+

4.

Solubilidad

cia de iones comunes de la sal. (La precipitación sólo seconsigue mediante este efecto.)

El efecto del ion común tienen numerosas aplicacio-nes, entre otras conseguir una precipitación completa deun ion, para lo que se utiliza un exceso de agente preci-pitante.

Equilibrios de formación de complejos

Compuestos de coordinación

Un complejo o compuesto de coordinación es toda sus-tancia que está constituida por grupos de moléculas y/oiones, denominados ligandos, enlazados a un átomo o ioncentral.

El átomo central actúa como aceptor de pares de elec-trones, por lo que la mayoría de las veces proviene de launión de un ion metálico que tiene un orbital vacante conotro que generalmente no es metal y tiene un par de elec-trones para compartir.

Los átomos que se unen directamente al átomo centralse llaman átomos dadores, ya que ceden los electrones.Se ha establecido una clasificación de los ligandos aten-diendo al número de átomos que se unen al central. Así,serán monodentados si presentan un solo átomo dador ypolidentados (bi, tri, tetradentados, etc.) si se unen a tra-vés de un átomo dador. Este tipo de compuestos se lla-man quelatos. Algunas sustancias naturales como la he-moglobina de la sangre, con el hierro presente en ella, for-man quelatos.

Los iones metálicos que con más frecuencia forman loscomplejos son los metales de transición, porque tienenun orbital d sin completar.

Los ligandos están unidos al átomo central medianteenlaces covalentes coordinados. Este complejo se une alátomo que formará el compuesto mediante enlace ióni-co. El número de ligandos que se une al átomo central sedenomina número de coordinación. En el ion [Ni(NH3) 4] 2+,el Ni(II) es el átomo central que acepta pares electrónicosdel NH3, y su número de coordinación es 4. Los gruposcoordinados junto con el átomo central constituyen la es-fera de coordinación:

La carga de un ion complejo es la suma algebraica delos números de oxidación del átomo central y los ligan-dos. Según la carga resultante, los complejos pueden sercatiónicos, aniónicos o neutros:

[AgCl2] – → (+1) de la plata + (–2) de los cloros = –1[Cu(NH3) 4] 2+ → (+2) del cobre + (0) de los aminos = +2

[Al(H2O)6] 3+ → (+3) del aluminio + (0) del agua = +3

Nomenclatura y formulación

Para escribir la fórmula de los iones complejos, en pri-mer lugar se coloca el símbolo del ion central y a su de-recha se van anotando los ligandos iónicos y despuéslos neutros, siguiendo un orden alfabético, basado en lossímbolos de los átomos unidos directamente al ion cen-tral.

Para nombrar los complejos se siguen las siguientes re-glas:

1. En primer lugar, se nombra el ion negativo seguidodel ion positivo.

2. Los ligandos o grupos de coordinación se nombranantes que el átomo central. Cuando hay ligandos negati-vos y neutros, se nombran primero los ligandos nega-tivos y después los neutros. Cuando hay varios ligandosneutros o negativos en el mismo complejo, se nombran conlos prefijos di, tri, tetra, etc., y se nombran por orden alfa-bético.

Para citar los ligandos neutros o catiónicos se utiliza sunombre corriente, a excepción de los ligandos H2O y NH3,que se denominan “aqua” y “ammina”.

3. Los aniones complejos se nombran con la termina-ción -ato agregada al nombre apocopado del átomo cen-tral, seguida por el estado de oxidación expresado ennúmeros romanos y entre paréntesis (notación deStock).

4. Si el ion complejo es positivo, no se añade ningún su-fijo, pero se sigue la notación de Stock.

Veamos algunos ejemplos:

Cl2[Co(NH3)5 Cl]: cloruro de cloropentaminocobalto (III)

[Cr(H2O)3Cl3]: triclorotriacuocromo (III)

[Cu(H2O)4] 2+: tetracuocobre (II)

SO4[Cr(H2O)2(NH3) 3 Cl ]: sulfato de clorotriaminodiacuocromo (III)

K2[PtCl6]: hexacloroplatinato (IV) de potasio

Formación de iones complejos

La formación de un complejo se efectúa añadiendo ciertacantidad de ligando a una disolución del ion central. Losiones complejos pueden ser estables en disoluciones o,por el contrario, pueden tener tendencia a disociarse en

H – N – H

H – N → Ni ← N – H

H|

|H

H|

|H

H|

|H

2+

H – N – H

134 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

sus componentes, por lo que se establece un equilibrio dedisociación.

Si M es un ion metálico y l un ligando,

M 2+ + L ↔ (ML)2+, K1= [(ML)2+][M2+][L]

(ML)2+ + L ↔ (ML)2+, K2 = [(ML)2+][(ML)2+][L]

(ML2) 2+ + L ↔ (ML3) 2+, K3 = [(ML3) 2+][(ML2) 2+][L]

(ML3) 2+ + L ↔ (ML4) 2+, K4 = [(ML4) 2+][(ML3) 2+][L]

La constante de formación del complejo β se obtienemediante las constantes parciales. Será:

M 2+ + 4L ↔ (ML4) 2+

β = [(ML4) 2+][M2+][L]4

En términos generales, si n es el número de coordina-ción y c la carga del complejo, la constante de formacióndel complejo o constante de estabilidad es:

M c + nL ↔ (MLn) c

Las reacciones de iones complejos tienen tendencia aformarse en disolución acuosa, cuyo ion central formaacuicomplejos. Los equilibrios de formación de un ioncomplejo son el resultado de la competición entre las mo-léculas de agua y las del agente complejante que preten-de sustituir a las de agua que forman el acuicomplejo:

M(H2O)2+ + 4L ↔ (ML4) 2+ + 4H2O

Si se considera el equilibrio de forma inversa se obtie-nen la constante de disociación o de inestabilidad, β’, quese expresa:

(MLn) c ↔ M c + nL

β‘ = [L]n [Mc][(MLn) c]

Los complejos de mayor estabilidad son los que pre-sentan valores elevados de β y reducidos de β‘.

La estabilidad de un ion complejo está determinada porla naturaleza del ion central. Los cationes que mejor ac-túan son los de volumen pequeño y carga elevada. Porconsiguiente, los metales de transición producen los com-plejos más estables.

La gran estabilidad de muchos complejos les confieregran utilidad en numerosos procesos químicos, tanto ana-líticos como industriales, utilizándose para la extracciónde metales, como catalizadores, para obtener caucho,también en reacciones bioquímicas, etc.

= [(MLn) c][Mc][L]n



1. Escribir la ecuación ajustada que describe el pro-ceso de combustión del butano, C4H10, en presen-cia de oxígeno, O2.

2. Calcular el pH de una disolución 0,01 M de KOH.

3. ¿Cuál es el número de oxidación del azufre en elácido sulfúrico? ¿Y el del carbono en el carbonatode sodio?

4. El residuo de CaCO3 obtenido al evaporarse 500 ccde una disolución de carbonato cálcico preparadaa 25 ºC es de 3,5 mg. ¿Cuál es el producto de solu-bilidad a 25 ºC?

5. Nombrar los siguientes complejos de coordina-ción:

a) [Co(NH3) 6 Cl3]b) [CrCl2(H2O)4NO3]c) [PtCl4] [Ag (NH3) 2] 2

d) [Co(NH3) 6] 3+

lo largo del presente capítulo se estudiarán laspropiedades de la mayoría de los elementos quí-

micos de los grupos representativos. Estas propiedadesse analizarán de forma comparativa en función de su si-tuación en el sistema periódico, es decir, de su configura-ción electrónica, responsable en gran medida de conferirmuchas de estas propiedades.

Para una mejor comprensión de las propiedades de cadagrupo de los que constituyen la tabla periódica, en las pá-

ginas siguientes se expondrán las más significativas ca-racterísticas en cuadros sinópticos correspondientes a lasdiversas categorías de elementos.

A este respecto, la principal distinción dentro de la ta-bla es el carácter metálico o no metálico de los elementos.En el recuadro de la izquierda se exponen las principalespropiedades metálicas y no metálicas de los elementos.

Hidrógeno

El hidrógeno puede compararse formalmente con los me-tales alcalinos por tener un electrón en su capa de valencia,o con los halógenos por su tendencia a ganar un electrón.

Sus propiedades son más próximas a las de los halóge-nos, dado que pierde con mucha dificultad su electrón devalencia.

Son relativamente frecuentes los compuestos del hidró-geno con estado de oxidación –1 (hidruros metálicos).

En la naturaleza se encuentra casi exclusivamente com-binado con el oxígeno, formando agua. Se presenta, enbaja proporción, en forma de molécula diatómica de ba-

A


ELEMENTOS DE LA TABLA

PERIÓDICA

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O

Propiedades de los metales

– Elevada conductividadeléctrica

– Elevada conductividadtérmica

– Aspecto gris-metálico(excepto cobre y oro)

– Sólidos (excepto mercurioy cesio)

– Maleables y dúctiles– Enlace metálico en

estado sólido– Capas electrónicas

externas con pocoselectrones

– No electronegativos– Reductores– Bajas energías de

ionización– Baja afinidad electrónica– Formación de cationes– Óxidos básicos o

anfóteros

Propiedades de los no metales

– Mala conductividadeléctrica

– Aislantes del calor– Sólidos, líquidos y gases– No dúctiles, quebradizos– Enlace covalente (excepto

gases nobles)– Capas electrónicas

externas con más de 4 electrones (conexcepciones)

– Electronegativos– Oxidantes– Altas energías de

ionización– Alta afinidad electrónica– Forman aniones– Óxidos ácidos

Propiedades de los elementos

Nombre Hidrógeno

Símbolo HNúmero atómico 1Configuración electrónica 1s1

Estado de oxidación +1, –1Radio atómico (Å) 0,32Potencial redox 0,00Electronegatividad 2,1Energía de ionización (eV) 13,5Punto de ebullición (ºC) –257,7Punto de fusión (ºC) –259,14

Hidrógeno

jos puntos de ebullición y fusión y de pequeño tamaño.Se conocen tres isótopos del hidrógeno: hidrógeno, 11H;deuterio, 21H, y tritio, 31H.

Este elemento se obtiene industrialmente por descom-posición del agua, mediante electrólisis, añadiendo alagua unas gotas de ácido sulfúrico o hidróxido sódico.En uno de los electrodos se libera hidrógeno (cátodo) y eloxigeno en el otro (ánodo):

2H2O → 2H2 + O2

También se obtiene industrialmente por reducción delvapor de agua con coque calentado a 1.000 ºC, para obte-ner una mezcla de hidrógeno y monóxido de carbono:

C + H2O → H2 + CO

En el laboratorio se pueden obtener pequeñas cantida-des de hidrógeno a partir de compuestos que lo conten-gan, tales como ácidos, agua, etc., mediante diferentesmétodos, entre los que cabe citar:

Zn + 2 H2O ↔ Zn2+ + 2 OH– + H2Al + 2 H 2O → Al3+ + 2 OH– + H2

Entre las principales aplicaciones del hidrógeno cabecitar la fabricación de amoniaco, metanol y otros produc-tos orgánicos, como alcoholes o gasolinas; la obtenciónde margarina comestible y de jabón; su uso como agentereductor en la obtención de metales a partir de sus óxi-dos, y su empleo como gas para llenar globos sonda ypara soldar metales con alto punto de fusión.

Grupo I A (1): metales alcalinosTodos los metales alcalinos se comportan como fuertesreductores, ya que tienden a perder el electrón de su capaexterna. Este carácter reductor aumenta cuando lo hacesu volumen.

Reaccionan con oxidantes (oxígeno, halógeno, etc.),y de igual forma reaccionan con el agua desprendien-do H+:

4M + O2 → 2M2OM + X → MX

2M + 2H2O → 2M(OH) + H2

Sus óxidos tienen carácter básico:

M 2O + H2O → 2 (M++ OH–)

No son elementos electronegativos y pierden su elec-trón de valencia con facilidad, por lo que su único estadode oxidación es +1 y sus compuestos son de carácteriónico (hidruros, óxidos, haluros, hidróxidos, sulfuros,así como oxoaniones, sulfatos, nitratos, etc.).

Dada su elevada capacidad de reacción, no se encuen-tran libres en la naturaleza, sino que se hallan formandosales marinas y en rocas salinas.

Es muy difícil la obtención del metal libre como conse-cuencia de su escasa afinidad por su electrón de valencia.Todos los métodos de obtención se basan en la reacciónde reducción de los iones:

M + + e– → M

En general, el procedimiento más utilizado es la elec-trólisis de sus compuestos.

El litio se utiliza en síntesis orgánicas y en química nu-clear, así como en metalurgia como desoxidante, desul-furante y desgasificante.

El sodio se emplea como agente reductor en la obten-ción de metales raros, en síntesis orgánicas, como con-ductor eléctrico, etc. Las sales de potasio y sodio tienenuna importancia esencial en el mantenimiento del equili-brio electrolítico del organismo humano.

El cesio se utiliza en la fabricación de células fotoeléc-tricas.

__________________________________________________________________________________ Elementos de la tabla periódica 137

Nombre Litio Sodio Potasio Rubidio Cesio Francio

Símbolo Li Na K Rb Cs FrNúmero atómico 3 11 19 37 55 87Configuración electrónica 2s1 3s1 4s1 5s1 6s1 7s1

Estado de oxidación +1 +1 +1 +1 +1 +1Radios atómicos (Å) 1,52 1,86 2,31 2,44 2,62 2,6Energía de ionización (eV) 5,3 5,1 4,3 4,1 3,8 –Potencial redox –3,05 –2,71 –2,93 –2,93 –2,92 –Electronegatividad 1,0 0,9 0,8 0,8 0,7 0,7Punto de ebullición (ºC) 1.340 885 775 690 671 –Punto de fusión (ºC) 179,1 97,5 63,5 39,0 28,5 –

Grupo I A (1): metales alcalinos

Grupo II A (2): metales alcalino-térreos

Se caracterizan por su naturaleza fuertemente metálica,que aumenta con el número atómico. En general son me-nos reactivos que los metales alcalinos y más duros.

Forman iones M2+, aunque con menor facilidad que losmetales alcalinos.

Sus compuestos tienen un marcado carácter iónico, ex-cepto los compuestos del berilio (por la alta densidad delion Be2+). El berilio forma compuestos lineales con hibri-dación “sp”(BeCl2).

Todos los alcalino-térreos son fuertemente reductoresy reaccionan para formar esencialmente óxidos, hidróxi-dos y sales.

Con el oxígeno forman óxidos de carácter iónico, ex-cepto el óxido de berilio (BeO), que tiene carácter cova-lente. La fórmula general es:

2M + O2 → 2MO

Tanto los óxidos como los hidróxidos son tanto más bá-sicos cuanto mayor es el volumen iónico, excepto el óxi-do de berilio, que es anfótero, por lo que puede presentarcaracterísticas químicas tanto ácidas como básicas. La fór-mula general de hidróxido es:

2MO + H2O → 2M(OH)2

Con los halógenos forman haluros que, con excepciónde los fluoruros de calcio, estroncio y bario, son fácilmen-te solubles en agua. Su fórmula general es:

M + X2 → MX2

Combinados con nitrógeno, forman los nitruros de fór-mula general N2M 3, que se hidrolizan con el agua origi-nando hidróxidos y amoniaco:

N 2Mg3 + 6 H2O → 3Mg(OH)2 ↓ + 2NH3

Con agua (Ba, Ca, Sr) forman hidróxidos:

M + 2H2O → M(OH)2 + H2↑

De igual modo que los metales alcalinos, y debido a sugran reactividad, no se encuentran libres en la naturaleza.

Se obtienen por medio de procesos electrolíticos de sussales fundidas, basándose, por tanto, en la reducción desus iones:

M 2+ + 2e– → M

El berilio se utiliza en la industria química para la fabri-cación de aleaciones ligeras con cobre o níquel. El magne-sio también se utiliza en aleación con pequeñas cantida-des de zinc y aluminio. Se emplea así mismo en lámparaspara fotografía, en la fabricación de cohetes, como desoxi-dante y como desgasificador en metalurgia. El calcio seutiliza como desoxidante y también en aleaciones, mien-tras que el bario se usa en pirotecnia, y sus compuestos,en procesos radioscópicos. Los compuestos del radio tie-nen todos aplicación derivada de su radiactividad.

Buena parte de las sales de metales alcalino-térreos tienen,además, numerosas aplicaciones clínicas y farmacéuticas.

Grupo III A (13)

En este grupo, las propiedades varían desde el carácterno metálico del boro –cuyo estado de oxidación es +3 ysus compuestos son covalentes– hasta el carácter metáli-co del talio, con su estado de oxidación +1, de mayor es-tabilidad y que forma compuestos iónicos.

El boro presenta en la mayoría de sus compuestos la hi-bridación sp2 (moléculas plano-triangulares como elBCl3). Con el estado de oxidación +3, la mayoría de ellosson covalentes.

El galio, indio y talio en disolución se encuentran comoM3+ y M+. Reaccionan:

138 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Nombre Berilio Magnesio Calcio Estroncio Bario Radio

Símbolo Be Mg Ca Sr Ba RaNúmero atómico 4 12 20 38 56 88Configuración electrónica 2s2 3s2 4s2 5s2 6s2 7s2

Estado de oxidación +2 +2 +2 +2 +2 +2Radios atómicos (Å) 1,11 1,6 1,97 2,15 2,17 2,2Energía de ionización (eV) 9,3 7,6 6,0 5,6 5,2 5,2Potencial redox –1,85 –2,37 2,87 –2,89 –2,90 –2,92Electronegatividad 1,5 1,2 1,0 1,0 0,9 0,9Punto de ebullición (ºC) 2.780 1.100 1.245 1.160 1.140 1.145Punto de fusión (ºC) 1.285 650 840 800 725 700

Grupo II A (2): metales alcalino-térreos

– Con el oxígeno a elevadas temperaturas:

4M + 3O2 → 2M2O 3

– Con los halógenos (excepto el boro):

2M + 3X2 → 2MX3

– Con ácidos (H+), liberando H2.

La basicidad de sus óxidos aumenta al incrementarseel número atómico. El óxido de boro es ácido y el de alu-minio tiene carácter anfótero. Los demás son básicos.

El aluminio es el metal más abundante en la cortezaterrestre, donde se encuentra combinado en numerososminerales. El boro es muy escaso y no se presenta en es-tado libre. Los boratos de calcio y sodio son las combina-ciones más abundantes. El galio y el indio son muy esca-sos y se encuentran en forma de impurezas en mineralesde aluminio y zinc. El talio se encuentra en piritas.

El boro se obtiene por tratamiento industrial del bórax,por descomposición de halogenuros o bien reduciendo elóxido bórico con magnesio:

B 2O 3 + 3Mg → 2B + 3MgO

El aluminio se obtiene mediante electrólisis de alúmi-na por descomposición de la bauxita:

2 Al2O 3 → 3O2 + 4 Al

El galio, talio e indio se obtienen al purificar algunosmetales de aluminio y zinc, donde se encuentran comoimpurezas.

En cuanto a la utilización de los metales que conformanel grupo III A, el boro se usa en aleaciones especiales,como moderador de neutrones; como antiséptico; en lapreparación de dentífricos; en soldadura; en ciertos jabo-nes; fabricación de vidrio, etc. El aluminio se utiliza enconstrucción, en la industria farmacéutica, como antiáci-do, en utensilios de cocina, en líneas de alta tensión, parafabricar pinturas, etc. El galio, el indio y el talio se utili-zan en la investigación de semiconductores y en la fabri-cación de fotocélulas.

Grupo IV A (14)

Las propiedades de los elementos de este grupo varíandesde el comportamiento no metálico del carbono, con esta-


Nombre Boro Aluminio Galio Indio Talio

Símbolo B Al Ga In TlNúmero atómico 5 13 31 49 81Configuración electrónica 2s2p1 3s2p1 4s2p1 5s2p1 6s2p1

Estado de oxidación +3 +3 +3, +1 +3, +1 +1, +3Radios atómicos (Å) 0,88 1,43 1,62 1,62 1,71Energía de ionización (eV) 8,3 8,6 5,9 5,7 6,0Potencial redox –0,9 –1,65 –0,53 –0,34 –0,34Electronegatividad 2,0 1,5 1,6 1,7 1,8Punto de ebullición (ºC) 2.550 1.800 1.983 2.000 1.457Punto de fusión (ºC) 2.300 660 30 155 300

Grupo III A (13)

Nombre Carbono Silicio Germanio Estaño Plomo

Símbolo C Si Ge Sn PbNúmero atómico 6 14 32 50 82Configuración electrónica 2s2p2 3s2p2 4s2p2 5s2p2 6s2p2

Estado de oxidación +4, +2 +4 +4, +2 +2, +4 +2, +4Radios atómicos (Å) 0,77 1,17 1,22 1,41 1,53Energía de ionización (eV) 11,2 8,1 0,0 –0,13 –0,12Potencial redox 0,39 0,1 0,0 –0,13 –0,12Electronegatividad 2,5 1,8 1,8 1,8 1,8Punto de ebullición (ºC) 3.200 2.600 2.700 2.260 1.744Punto de fusión (ºC) >3.500 1.430 960 232 327

Grupo IV A (14)

do de oxidación más estable (+4) y compuestos covalentes,a las propiedades metálicas del estaño y del plomo en su es-tado de oxidación más estable (+2) y compuestos iónicos.

El germanio y el silicio son elementos semiconduc-tores.

A la vista de los valores de la energía de ionización, esmuy poco probable la existencia de iones M4+; por ello,los compuestos de estos elementos con un estado de oxi-dación +4 son predominantemente covalentes (a excep-ción del PbF4 y PbCl4).

Los compuestos con estado de oxidación +2 son tam-bién covalentes, a excepción de las sales de plomo y cier-tas sales del estaño.

En algunas sustancias se ha detectado la presencia delion C4– (carburos) y del ion Si4– (siliciuros).

Los átomos del carbono tienen gran tendencia a unirseentre sí formando cadenas carbonadas. Esta propiedadtambién la presenta el silicio, pero en menor medida.

El carbono se presenta en dos variedades alotrópicas:el grafito, que tiene una estructura hexagonal y es con-ductor, y el diamante, cuya estructura es tetraédrica y quees el material más duro que se ha hallado en estado natu-ral. La hibridación de los compuestos del carbono puedeser sp (estructura lineal), sp2 (estructura plano-triangu-lar) y sp3 (estructura tetraédrica).

El carbono es ligeramente reductor, por lo que se em-plea como reductor de óxidos de metales poco reactivos(Fe2O 3).

A diferencia del carbono, el silicio no forma dobles en-laces, aunque puede formar orbitales híbridos con los or-bitales d más próximos (sp3d).

Estos elementos reaccionan con :

– Oxígeno (a elevadas temperaturas):

M + O2 → MO2

(El carbono puede dar también CO.)

– Halógenos:

M + 2X2 → MX4

– Con oxidantes fuertes (como HNO3), dando MO2 (elgermanio y estaño) y Pb2+ (el plomo).

Los óxidos de carbono y silicio (CO2 y SiO2) son ácidos,los óxidos de germanio y estaño (GeO2 y SnO2) son anfó-teros y el óxido de plomo es ligeramente básico.

El carbono se encuentra libre en la naturaleza, y es unode los elementos más abundantes; en la atmósfera se en-cuentra formando CO2.

El silicio no está libre en la naturaleza, sino en forma desilicatos, que son los minerales más abundantes en la cor-teza terrestre. Uno de los procedimientos de obtencióndel silicio es por reducción de sílice mediante agentes re-ductores fuertes, como el magnesio:

SiO2 + 2Mg → 2MgO + Si

El estaño puede encontrarse libre o en combinación,formando minerales como la casiterita, que se puede con-centrar por lavado o tostación, y cuyo óxido resultante sereduce con carbón:

SnO2 + 2C → Sn + 2CO

El plomo se encuentra combinado en minerales comola galena o la cerusita. Se obtiene del tostado del concen-trado de estas combinaciones, en presencia de aire, por loque parte del sulfuro se convierte en óxido que se mezclacon carbón o chatarra de hierro y se funden:

2PbS + 3O2 → 2PbO + SO2, PbO + C → Pb + COPbS + Fe → Pb + FeS

El germanio es un elemento poco abundante, pero seencuentra ampliamente distribuido en la naturaleza, enasociación con minerales sulfurados. Se obtiene de los re-siduos de la metalurgia del zinc y plomo.

En cuanto a la utilización industrial de estos elemen-tos, el diamante se utiliza en perforadoras como abrasivoy como materia de talla en joyería; el grafito se emplea enla fabricación de electrodos, crisoles, lubricantes, lapice-ros, como aditivo en plásticos, etc; el silicio y el germaniose usan en electrónica como semiconductores para fabri-car transistores, fotocélulas, etc.; el estaño y el plomo seusan fundamentalmente en metalurgia y construcción.En el caso del estaño, su principal uso es la fabricación dehojalata, bronce, latones, etc.

Grupo V A (15)

De igual forma que en los grupos precedentes, en los ele-mentos del grupo V A existe una transición regular entrelas propiedades no metálicas del nitrógeno y las metáli-cas del bismuto.

Por ser muy elevadas las energías de ionización, noexisten los iones M5+.

El nitrógeno puede presentar hasta tres enlaces cova-lentes (hibridación sp3, como en el amoniaco). Los restan-tes elementos del grupo pueden presentar además cova-lencias superiores debido a la participación de orbitales dpróximos.

El nitrógeno, y en menor medida el fósforo, son los úni-cos elementos que presentan el estado de oxidación –3(nitruros y fosfuros de metales muy reactivos).

Sólo el bismuto y el antimonio tienen propiedades me-tálicas, formando cationes M3+.

Los óxidos de nitrógeno, fósforo y arsénico son ácidos,mientras que los de antimonio y bismuto tienen carácteranfótero, a excepción del Bi2O 3, de carácter básico. Todoslos elementos reaccionan con el hidrógeno formando loscompuestos MH3.

En el estado de oxidación +5, todos los óxidos presen-tan propiedades ácidas, aunque la acidez disminuye alaumentar el número atómico.

En el estado de oxidación +5, el óxido de bismuto es

140 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

el agente oxidante más fuerte. De igual forma, el amo-niaco es el compuesto más reductor, con estado de oxi-dación +3.

El nitrógeno es el único elemento gaseoso, y debido asu elevada energía de enlace es muy poco reactivo (sonnecesarias elevadas temperaturas para que reaccione). Seencuentra formando las cuatro quintas partes de la at-mósfera y está constituido por los isótopos 14N y 15N. Tam-bién se halla en la corteza terrestre formando nitrato só-dico y potásico. Se puede obtener por destilación fraccio-nada de aire líquido o por oxidación del ion amonio,oxidación del amoniaco, etc.

NO2– + NH4

+ → N2 + 2H2O

2NH3 + 3CuO → N2 + 3Cu + 3H2O

Entre otras aplicaciones, el nitrógeno se utiliza en laindustria para la obtención de amoniaco, ácido nítrico ycianamida cálcica. A presión atmosférica y a –195 ºC detemperatura se obtiene el nitrógeno líquido, empleadoen criogenia y criocirugía, ramas de la investigación cen-tradas en las aplicaciones de las bajas temperaturas. Esun elemento esencial para la vida, puesto que es un cons-tituyente esencial de las proteínas, aunque ningún ani-mal es capaz de asimilar directamente el nitrógeno dela atmósfera, sino que necesita una serie de transforma-ciones:

Ciclo del nitrógeno

El fósforo no se encuentra en estado libre, pero en for-ma de fosfatos se halla en la naturaleza en cantidad con-siderable. Se obtiene preparando estos fosfatos con coqueo sílice en un horno eléctrico:

2Ca3(PO4) 2 + 6SiO2 → 6CaSiO3 + P4O 10P 4O 10 + 10C → 10CO + P4

El fósforo se utiliza, además de para la formación decompuestos, para la fabricación de cerillas, raticidas yciertos bronces.

El arsénico, el antimonio y el bismuto se encuentran ensulfuros minerales, de los que se obtiene la materia pri-ma mediante reducción de los óxidos con el carbono:

tostación reducciónSulfuro → SO2 + óxido → elemento

Las sales de estos tres elementos presentan diferen-tes aplicaciones en medicina. En la industria, el arséni-co se emplea en metalurgia, en la fabricación de vidrioy en la manufactura de ciertos tipos de bronce y en di-versas aleaciones; el antimonio se utiliza en la fabrica-ción de aleaciones de usos especiales, y el bismuto seemplea para la obtención de aleaciones de bajo puntode fusión que se usan para alarmas de fuego y duchasautomáticas.

Grupo VI A (16)

Al aumentar el número atómico decrece el poder oxidan-te del elemento.

En este grupo, todos los elementos tienden a formariones –2(E2-), aunque los procesos de formación son en-dotérmicos. Los óxidos tienen un marcado carácter ióni-co (con excepción de los grupos precedentes y los óxidosde los halógenos).

Los compuestos del azufre, selenio y teluro con estadode oxidación –2 son los metales más reactivos y tienen ca-rácter iónico. Todos los elementos del grupo reaccionan

Bac

teri

as

Bacterias

nitrificantes

Putrefacci

ón

Proteínasanimales

N2 atmosférico

Metabolismo

vegetal

Putrefacción

Bacteria

s

desnitrifica

ntes

Proteínasvegetales

Suelo(NO3

-, NO2-NH4

+)

Metabolismoanimal

des

nitr

i-fi

cant

es


Nombre Nitrógeno Fósforo Arsénico Antimonio Bismuto

Símbolo N P As Sb BiNúmero atómico 7 15 33 51 83Configuración electrónica 2s2p3 3s2p3 4s2p3 5s2p3 6s2p3

Estado de oxidación +3, +5 +3, +5 +3, +5 +3, +5 +1, +5Radios atómicos (Å) 0,7 1,1 1,2 1,4 1,46Energía de ionización (eV) 14,5 10,5 9,8 8,6 7,3Electronegatividad 3 2,1 2,1 1,9 1,8Punto de ebullición (ºC) –195,8 280,5 610 1.380 1.450Punto de fusión (ºC) –209 44,1 814 631 271

Grupo V A (15)

con el hidrógeno dando compuestos covalentes de for-mula EH2.

Existe otro óxido de hidrógeno (H2O 2, peróxido de hi-drógeno o agua hidrogenada), con propiedades oxidan-tes y en el que el estado de oxidación del oxígeno es –1.

A excepción del oxígeno, estos elementos pueden pre-sentar más de dos enlaces, al poder utilizar orbitales dpróximos a su capa de valencia.

El polonio es radiactivo y el único que presenta propie-dades metálicas.

Los elementos de este grupo se encuentran en diversasvariedades alotrópicas: O2 y O3; S (rómbico y monoclíni-co); Se (gris y rojo).

El azufre y el selenio se encuentran en la forma mole-cular S8 y Se8.

En general reaccionan con los metales, los halógenos yel hidrógeno.

Sólo el oxígeno tiene capacidad para formar dobles en-laces, y el azufre en escasos compuestos. El azufre se pue-de encontrar en forma elemental en grandes yacimientosy también formando parte de sulfuros y sulfatos (galena,pirita, blenda, cinabrio, etc.).

Se obtiene calentando las rocas que lo contienen en hor-nos especiales de donde se separa el azufre para purifi-carlo posteriormente. La utilización del azufre es muy va-riada: como antiparasitario en agricultura; aislante eléc-trico en la vulcanización del caucho; en la fabricación defertilizantes; en la industria del papel, y en la elaboraciónde pólvora, colorantes, cementos y materiales de cons-trucción y cerillas.

Tanto el selenio como el teluro pueden hallarse en esta-do libre combinado, pero en muy pequeña cantidad. Seobtienen generalmente como subproductos de diversosprocesos industriales y ambos se emplean en las indus-trias electrónica e informática, dado su carácter de semi-conductores.

El selenio se utiliza fundamentalmente en la fabricaciónde rectificadores eléctricos, esmaltes, colorantes y paracolorear el vidrio de semáforos.

El oxígeno es el elemento más abundante en la natura-leza. Se encuentra en estado libre en la atmósfera y com-

binado con el hidrógeno formando agua. Se obtiene deforma natural en el proceso de la fotosíntesis. Industrial-mente se alcanza mediante diferentes procesos, comopuede ser la destilación fraccionada del aire líquido o laelectrólisis del agua:

2H2O → 2H2 + O2

En el laboratorio existen numerosas reacciones para ob-tener oxígeno. Los métodos más usados suponen la des-composición térmica de los compuestos menos establesdel oxígeno.

El oxígeno suministra la energía para que se produzcala vida animal y vegetal. En la industria se utiliza paraconseguir temperaturas elevadas. En medicina se empleaen el tratamiento de enfermedades respiratorias e intoxi-caciones.

En su forma alotrópica (ozono, O3) se utiliza para des-infectar y como agente blanqueante, además de para pu-rificar el aire y esterilizar agua.

Grupo VII A (17): halógenos

Todos los elementos halógenos son no metales y tienenuna gran tendencia a completar su capa electrónica ex-terna mediante la incorporación de un electrón.

Esta tendencia se manifiesta ganando un electrón y for-mándose por tanto el ion haluro correspondiente, o biencon la formación de un enlace covalente. Como se puedeesperar de los altos valores de sus potenciales redox, loshalógenos son oxidantes enérgicos, disminuyendo sufuerza al aumentar su número atómico.

Forman enlaces iónicos con los metales reactivos y en-lace covalente en sus uniones entre sí, con el oxígeno, conel hidrógeno y con otros no metales.

Sus puntos de fusión y ebullición aumentan al incre-mentarse el número atómico, ya que aumentan las fuer-zas intermoleculares o de Van der Waals. Así, el flúor y elcloro son gases, el bromo es líquido y el yodo es un sóli-do que sublima con facilidad.

142 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Nombre Oxígeno Azufre Selenio Teluro Polonio

Símbolo O S Se Te PoNúmero atómico 8 16 34 52 84Configuración electrónica 2s2p4 3s2p4 4s2p4 5s2p4 6s2p4

Estado de oxidación –2, –1 –2, +2, +4, +6 –2, +2, +4, +6 –2, +2, +4, +6 –2, +6Radios atómicos (Å) 0,66 1,04 1,17 1,37 1,4Energía de ionización (eV) – – – – –Potencial redox 0,40 –0,48 –92 –1,14 –Electronegatividad 3,5 2,5 2,4 2,1 1,9Punto de ebullición (ºC) –183 444 688 1.390 –Punto de fusión (ºC) –219 119 217 452 –

Grupo VI A (16)

A excepción del flúor, los halógenos tienen covalenciassuperiores a la unidad. El flúor es un elemento con eleva-da reactividad, debido a su gran electronegatividad, po-der oxidante y pequeño tamaño.

Reaccionan con el agua de dos formas diferentes:

2X2 + 2H2O → 4H+ + X– + O2(reacción muy enérgica con el flúor)

X 2 + H2O → H+ + X– + HOX (Cl, Br, I)

Reaccionan con los metales formando haluros; con elhidrógeno dando origen a los halogenuros de hidrógeno,y con otros halógenos

X2 + nX’2 → 2XX’n

Los halogenuros de hidrógeno (HF, HCl, HBr y HI) soncovalentes y sus disoluciones tienen carácter ácido. Este ca-rácter ácido aumenta con el número atómico del halógeno.

Todos los halógenos se presentan en forma moleculardiatómica estable. El cloro es el más abundante del gru-po y se encuentra fundamentalmente en forma de cloru-ros metálicos, como el cloruro sódico o sal común, de laque se obtiene en su mayor parte este elemento.

El bromo se encuentra en disolución en el agua de mar,aunque también forma parte de compuestos minerales.El método más utilizado para obtener el bromo es la clo-ración del agua de mar a pH ácido:

2Br– + Cl2 → Br2 + 2Cl–

El yodo es proporcionalmente escaso y se encuentra enforma de yodatos y peryodato sódico. Se obtiene median-te diferentes métodos, uno de los cuales es a partir del yo-dato sódico por reducción con bisulfito:

2IO3– + 5HSO3 → 3HSO4

– + H2O + I2

Todos los halógenos pueden obtenerse por oxidaciónde sus iones haluro. El flúor ha de obtenerse electrolítica-mente.

El flúor se utiliza en la preparación de derivados fluo-rados de los hidrocarburos y se emplea como refrigeran-te en máquinas frigoríficas, como extintor, para la obten-ción de plásticos, etc.

El bromo se utiliza para obtener dibromuro de etileno,que se emplea como aditivo en la gasolina, para obtenerbromuros metálicos, colorantes, etc.

El cloro se usa como agente blanqueante para el papel


Nombre Flúor Cloro Bromo Yodo Astato

Símbolo F Cl Br I AtNúmero atómico 9 17 35 53 85Configuración electrónica 2s2p5 3s2p5 4s2p5 5s2p5 6s2p5

Estado de oxidación –1 –1, +1, +3, +5, +7 –1, +1, +3, +5, +7 –1, +1, +3, +5, +7 –1, +1, +3, +5, +7Radios atómicos (Å) 0,72 0,99 1,14 1,33 –Energía de ionización (eV) 17,4 13 11,8 10,2 –Potencial redox 2,87 1,36 1,06 0,53 –Electronegatividad 4 3 2,8 2,5 –Punto de ebullición (ºC) –188 –34,6 58 185 –Punto de fusión (ºC) –223 –102 –7 114 –

Grupo VII A (17): halógenos

Nombre Helio Neón Argón Kriptón Xenón Radón

Símbolo He Ne Ar Kr Xe RnNúmero atómico 2 10 18 36 54 86Configuración electrónica 2s2 2s2p6 3s2p6 4s2p6 5s2p6 6s2p6

Radios atómicos (Å) 0,93 1,60 1,91 2,0 2,2 –Energía de ionización (eV) 24,6 21,6 15,8 14 12,1 10,7Punto de ebullición (ºC) –268,9 –245,9 –185,7 –152,9 –107,1 –61,8Punto de fusión (ºC) –272,2 –248,7 –189,2 –157 –112 –71

Grupo VIII A (18): gases nobles

y tejidos de algodón, para purificar agua potable, fabri-cación de colorantes, drogas y explosivos, etc.

El yodo se utiliza como antiséptico (tintura de yodo) yen la síntesis de compuestos orgánicos.

Grupo VIII A (18): gases nobles

Los gases nobles son muy escasos en la naturaleza.Debido a su poca reactividad, se presentan en forma

monoatómica.Tienen puntos de fusión y ebullición muy bajos (fuer-

zas interatómicas o de Van der Waals muy pequeñas), porlo que, incluso a muy bajas temperaturas, se encuentranen estado gaseoso.

Los puntos de fusión y ebullición aumentan al incre-mentarse su número atómico.

Todos, excepto el radón, forman parte de la composi-ción de la atmósfera, aunque en bajos porcentajes. El he-lio se encuentra en el gas natural.

Se han conseguido aislar combinaciones de xenón con

flúor y con oxígeno mediante reacciones a elevadas tem-peraturas o con descargas eléctricas. El helio se obtiene desu extracción de gas natural. El resto de los gases noblesse obtiene de la destilación fraccionada del gas licuado.

El helio se utiliza para llenar globos sonda y bombonasde buceo. De este modo, todos ellos se utilizan como me-dio de difusión en lámparas fluorescentes e incandescentes.

Metales de transición y elementos de transición interna

Los elementos de transición, metálicos y de transición in-terna quedan englobados en los grupos del sistema pe-riódico comprendidos entre el III B y el II B, correspon-dientes a las columnas ubicadas en los órdenes tercero adecimosegundo, de izquierda a derecha.

Dentro de este gran grupo, el escandio, el itrio y el lan-tano se incluyen en la serie de los lantánidos y el actinioen la de los actínidos, que constituyen las dos series deelementos de transición interna, que agrupa elementos

144 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Radios Energía de Punto de Punto deNúmero Configuración Estado de atómicos ionización ebullición fusión

Nombre Símbolo atómico electrónica oxidación (Å) (eV) (ºC) (ºC)

Escandio Sc 21 3d14s2 +3 1,51 6,56 2.400 1.200Itrio Y 39 4d15s2 +3 1,81 6,6 2.500 1.490Lantano La 57 5d16s2 +3 1,86 5,6 1.800 826Actinio Ac 89 6d17s2 +3 – – – 1.600Titanio Ti 22 3d24s2 +2, +3, +4 1,45 6,83 3.000 1.800Circonio Zr 40 4d25s2 +4 1,58 6,95 3.000 1.860Hafnio Hf 72 4f145d26s2 +4 1,66 5,5 3.200 1.700Vanadio V 23 3d34s2 +2, +3, +4, +5 1,31 6,74 3.000 1.710Niobio Nb 41 4d45s1 +3, +5 1,43 6,77 3.500 2.200Tántalo Ta 73 4f145d36s2 +5 1,42 – 4.100 3.000Cromo Cr 34 3d54s1 +2, +3, +6 1,24 6,75 2.500 1.900Molibdeno Mo 42 4d55s1 de +2 a +6 1,36 7,18 4.800 2.620Wolframio W 74 4f145d4 +4, +6 1,37 – 5.900 3.370Manganeso Mn 25 3d54s2 +2, +3, +4, +7 1,24 7,43 1.900 1.260Tecnecio Tc 43 4d55s2 +4, +6, +7 – – – –Renio Re 75 4f145d56s2 +4, +6, +7 – 7,87 – 3.167Hierro Fe 26 3d64s2 +2, +3 1,23 7,89 3.000 1.535Rutenio Ru 44 4d75s1 +2, +3, +4, +6, +8 1,32 7,5 2.700 2.450Osmio Os 76 4f145d66s2 +2, +3, +4, +6, +8 – 8,7 5.300 2.700Cobalto Co 27 3d74s2 +2, +3 1,25 7,86 2.900 1.495Rodio Rh 45 4d85s1 +2, +3, +4 1,34 7,7 2.500 1.970Iridio Ir 77 4f145d76s2 +3, +4 1,35 9,2 4.800 2.450Níquel Ni 28 3d54s2 +2, +3 1,24 7,63 2.850 1.450Paladio Pd 46 4d10 +2, +4 1,37 8,33 2.200 1.550Platino Pt 78 4f145d96s1 +2, +4 1,38 8,96 4.300 1.773Cobre Cu 29 3d104s1 +1, +2 1,27 7,72 2.300 1.083Plata Ag 47 4d105s1 +1 1,44 7,57 1.950 961Oro Au 79 4f145d106s1 +1, +3 1,40 9,22 2.600 1.063Zinc Zn 30 3d104s2 +2 1,32 9,39 907 419Cadmio Cd 48 4d105s2 +2 1,48 9,0 767 321Mercurio Hg 80 4f145d106s2 +1, +2 1,46 10,43 357 –38,8

Metales de transición y elementos de transición interna

de características químicas muy similares dentro de cadauna de ellas.

Por cuanto respecta a los metales de transición, son ele-mentos de alta energía de enlace y gran fuerza de cohesión.Todos ellos tienen estados de oxidación variables y propie-dades metálicas muy acentuadas, por lo que son duros ybuenos conductores térmicos y eléctricos, y presentan pun-tos de fusión y ebullición elevados, con la excepción delmercurio, que es líquido a temperatura ambiente.

Dado que se trata de un conjunto muy numeroso de ele-mentos, es conveniente destacar las características de losmás abundantes y utilizados, ya que otros como el nio-bio, el tántalo o el hafnio son proporcionalmente muy es-casos y, en consecuencia, de interés secundario.

El titanio se extrae del mineral denominado rutilo y tie-ne aplicación en la elaboración de cosméticos y dentífri-cos, así como en la fabricación de aleaciones ligeras.

El cromo, por su parte, se obtiene de minerales como lacromita y se aplica en el proceso de protección de super-ficies metálicas denominado cromado. El wolframioconstituye la materia prima para la fabricación de los fi-lamentos de las lámparas incandescentes, mientras queel níquel se emplea en recubrimientos metálicos, y el co-bre, contenido en minerales como la cuprita, la malaqui-ta y la calcopirita, tiene como aplicación fundamental lade servir como materia prima para los filamentos de loscables eléctricos.

El hierro, contenido en minerales como la magnetita oel oligisto, es uno de los materiales de construcción y ma-nufactura más empleados en distintas aleaciones, comoel acero (mezcla de hierro y carbono), de gran dureza, re-sistencia y elasticidad. El mercurio se usa en la fabrica-ción de termómetros y de lámparas de mercurio, que seemplean como fuentes de rayos ultravioleta. Por último,los metales nobles, como la plata, el oro o el platino, pre-sentan gran resistencia a la corrosión y suelen encontrar-se en estado libre en la naturaleza. Tradicionalmente sehan empleado en joyería y, en la antigüedad, en la acuña-

ción de moneda (han llegado a nuestros días como patróncomparativo de todas las unidades monetarias). Más mo-dernamente, las sales de plata han hallado aplicación enla industria fotográfica. En aleaciones, la plata, el oro y elplatino se aplican también en conexiones electrónicas deprecisión, como la de las grandes redes telefónicas o lasde las naves espaciales. Forman parte también de los ma-teriales empleados en odontología para elaborar puentesy coronas.

Por cuanto se refiere a las series de transición interna, cabedestacar el uranio y el plutonio, metales radiactivos queconstituyen la materia prima para la industria nuclear.



1. Citar alguno de los métodos de obtención del hi-drógeno.

2. Indicar si las siguientes frases son verdaderas ofalsas:a) El grafito es una forma alotrópica del carbono.b) De todos los gases nobles, sólo el radón forma

parte de la composición de la atmósfera.c) El cloro se usa como agente de blanqueo del pa-

pel y tejidos de algodón.d) Todos los elementos halógenos son no metales

y tienen una gran tendencia a completar su capaelectrónica externa adicionando un electrón.

3. Indicar si el hidrógeno tiene isótopos y, en casoafirmativo, cuáles.

4. ¿Cuál es el método más utilizado para la obtenciónde metales alcalinos?

146 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

QUÍMICAORGÁNICA

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O

Generalidades

Se conoce como química orgánica a la química de los com-puestos del carbono. El nombre de química orgánica se debea que en un principio estos compuestos se obtenían sola-mente de los seres vivos, animales o vegetales, diferencián-dose de la llamada química inorgánica, cuyos compuestosse obtenían de los minerales. Se pensaba que los compues-tos orgánicos no se podrían obtener en el laboratorio, ya quesería necesaria la intervención de un ser vivo para su for-mación. En 1828, el químico alemán Wöhles logró obteneren laboratorio una sustancia orgánica, la urea, y a partir deese momento se modificaron las teorías anteriores, inicián-dose el gran desarrollo de la química orgánica, que se acele-ró de una manera impresionante en el siglo XX.

Hasta hace relativamente poco tiempo, la mayoría de loscompuestos orgánicos se obtenían de los vegetales. En1925, más de un 80% de los productos orgánicos obteni-dos en la industria se generaban a partir de la fermenta-ción de sustancias vegetales y más de un 10%, de la desti-lación de la madera. En la actualidad, buena parte de estassustancias se obtienen a partir de la destilación fracciona-da del petróleo. Otra fuente de productos orgánicos es elcarbón, aunque no tan fundamental como la anterior.

La cantidad de sustancias que contienen carbono comocomponente principal es tan elevada que es necesario quesu estudio se haga por separado del resto de los elemen-tos. Si el número de compuestos de los elementos restan-tes conocidos no sobrepasa los cincuenta mil, los com-puestos del carbono son más de un millón, y continua-mente se están sintetizando otros nuevos y encontrandoen la naturaleza nuevas sustancias que aún no se cono-cían. Ello se debe a la facilidad de los átomos de carbonopara unirse entre sí formando largas cadenas, que haceposible el gran número de compuestos existentes.

La característica fundamental que distingue a los com-puestos orgánicos de los inorgánicos es su sensibilidad alcalor. La mayoría de las sustancias orgánicas se descom-ponen cuando se someten a temperaturas elevadas, car-bonizándose por encima de los 400 ºC. Hay que destacartambién que la mayoría de las sustancias orgánicas soncombustibles, es decir, arden con facilidad.

Los compuestos orgánicos desempeñan un papel fun-damental en los procesos químicos que tienen lugar enlos seres vivos, interviniendo en todos los procesos vita-les. Los productos farmacéuticos, detergentes, plásticos,pinturas, combustibles, etc., son ejemplos de la utilidadde los derivados del carbono para el hombre.

Enlaces del carbono

Enlace simple

El carbono es un elemento situado en la columna 14, se-gún la IUPAC, en el centro del segundo período, y su nú-mero atómico es el 6:

1 2H He3 4 5 6 7 8 9 10Li Be B C N O F Ne

La configuración electrónica del átomo de carbono enestado fundamental es: 1s2 2s2 2p2:

1s 2s 2px 2py 2pz

La capa k está completa, con dos electrones en el orbital 1sy cuatro electrones en la capa externa (2s2 2p2 ); sin embar-go, estos últimos no son equivalentes, ya que dos de ellosestán en orbitales 2s y los otros dos desapareados, uno enun orbital 2px y otro en un orbital 2py , quedando el orbi-tal 2pz vacío. Estos orbitales p son de un mayor contenidoenergético. Sin embargo, el átomo de carbono presenta unavalencia 4 en los compuestos orgánicos, lo que se explicaconsiderando que uno de los electrones del orbital 2s pue-de saltar y ocupar el orbital 2pz con un aporte mínimo deenergía, quedando la estructura modificada de la siguienteforma:

1s 2s 2px 2py 2pz


Estos orbitales, con un electrón cada uno, pueden darlugar a cuatro enlaces covalentes por compartición deelectrones con átomos de otros elementos o con otros áto-mos de carbono.

Al formarse esta nueva estructura, los orbitales dondese mueven los electrones 1s y 3p cambian de forma y sesuperponen modificando su orientación espacial, dandolugar a 4 nuevos orbitales, con la misma energía. Se de-nominan sp3 , híbridos ente los orbitales s y p.

Al combinarse el carbono con el hidrógeno, estos enlacesse orientan en el espacio en la dirección de los vértices deun tetraedro regular en cuyo centro se encuentra el átomode carbono y en cada vértice un átomo de hidrógeno. El án-gulo que forman entre sí cada dos enlaces es de 109º 28’.

Cuando se unen dos o más carbonos entre sí para darlugar a una cadena se puede pensar que se unen una se-rie de tetraedros por un vértice. Esto no es exactamentela realidad, pero da una idea de cómo son las uniones en-tre carbonos. La realidad es que los orbitales híbridos deambos carbonos se unen entre sí para dar lugar a un or-bital molecular muy estable denominado orbital sigma.

Los tetraedros se unen por vértices, pero no es unaunión plana, sino que formaría un zig-zag, donde los car-bonos se sitúan a una distancia de 1,5 Å en estos enlacessencillos, formando una cadena de carbonos con estruc-tura zigzagueante

Enlace doble

El átomo de carbono se puede unir a otro átomo de car-bono compartiendo dos pares de electrones. Este tipo deenlace se denomina no saturado y se realiza uniéndoselos dos tetraedros por una arista. Este tipo de enlace serepresenta por dos rayitas y se llama doble enlace:

Los carbonos unidos por un enlace doble presentan me-nos movilidad que los enlaces simples, ya que los tetrae-dros están unidos por la arista en lugar de por el vértice.

Este enlace se forma por el solapamiento de dos zonasperpendiculares al plano del papel, dando lugar a un en-lace π, formado por los orbitales p, y un enlace σ más fuer-te que el π, formado al unirse los orbitales paralelos al pla-no del papel. Esta doble unión se conoce con el nombrede hibridación sp2 :

Este doble enlace impide la rotación de los carbonos,modificando también el ángulo entre el doble enlace y losenlaces del carbono con los hidrógenos, que es de 120º,

quedando entre sí más próximos que en el enlace senci-llo, siendo la distancia de separación de 1,34 Å. Este enla-ce no sólo se da entre carbonos, sino también en las unio-nes del carbono con el oxígeno y con el nitrógeno.

Enlace triple

Además de los dos tipos de enlace anteriormente expues-tos, existe una tercera forma de unirse entre sí dos carbo-nos; es el denominado enlace triple, llamado así porquelos dos carbonos comparten entre sí tres pares de electro-nes que se colocan en orbitales híbridos sp. En este enla-ce, las moléculas no tienen movilidad, y la unión se reali-za mediante un enlace de tipo σ y da enlaces más débilesde tipo π. Este enlace ordinariamente se representa pordos carbonos unidos entre sí por tres rayitas (– C ≡ C –).Se considera que los dos tetraedros se unen entre sí poruna cara. Sobre estas bases moleculares se asientan las le-yes que regulan la formulación y la nomenclatura de loscompuestos orgánicos.

Formulación orgánica

En cualquier sustancia, conocidos los porcentajes en pesode los elementos que la componen y sus pesos atómicos,se puede establecer su fórmula empírica. Sin embargo, enlas sustancias orgánicas muchas veces esto no es suficien-te, al existir compuestos con propiedades muy diferen-tes, pero cuya fórmula empírica coincidiría.

En química orgánica, para que una sustancia quedebien definida es necesario conocer la denominada fórmu-la estructural. En ella se representan los diferentes áto-mos que la componen y la disposición que tienen unos deotros con los diferentes enlaces que les unen. Esta fórmu-la estructural se presenta a veces en forma desarrolladay, más comúnmente, semidesarrollada. El compuesto lla-mado butano se representa:

Fórmula molecular C4 H10

Fórmula semidesarrollada CH3 - CH2 - CH2 - CH3

Fórmula desarrollada

A veces, cuando una sustancia es muy característica, serecurre a la representación geométrica, sin llegar a espe-cificar los átomos que la componen. La fórmula del ben-ceno se representa esquemáticamente:

H H H H| | | |

H – C – C – C – C – H| | | |H H H H

H

C

π H

Cσ

H H

σ

σ

σ

σ

| |– C = C –

| |

____________________________________________________________________________________________ Química orgánica 147

También se recurre a los llamados modelos molecula-res, con los que se pueden representar las moléculas entres dimensiones; son maquetas formadas por varillasque representan los enlaces y esferas de diferentes colo-res para encarnar los distintos átomos:

Las esferas de mayor tamaño, representan los átomosde carbono y las de menor tamaño, los átomos de hidró-geno.

Estructuras resonantes

En la práctica se da muchas veces el fenómeno en funcióndel cual para una misma molécula es posible representarmás de una fórmula, cumpliendo cada una de ellas los re-quisitos de la teoría de Lewis sobre el enlace covalente,pero sin explicar completamente el tipo de enlace. A estefenómeno se le denomina resonancia y se presenta en mo-léculas con dobles y triples enlaces. La estructura mole-cular del benceno, compuesto orgánico de fórmula C6 H 6 ,fue estudiada por Kekulé, que llegó a la conclusión deque correspondía a un híbrido de resonancia entre las fór-mulas:

Este fenómeno se debe a la movilidad de los electronesen determinados enlaces. La resonancia determina lazona del espacio en la que puede variar la estructura deuna molécula.

Una molécula es más estable cuanto más parecidas seanlas diferentes estructuras resonantes y mayor sea su nú-mero.

Grupos funcionales

Se llama grupo funcional al átomo o grupo reemplazanteque determina las propiedades químicas del compuestoformado, comunicándole identidad propia. Los com-puestos más sencillos en química orgánica son los hidro-carburos, que están formados únicamente por átomos decarbono e hidrógeno. El resto de los compuestos orgáni-cos están constituidos por una cadena de carbono e hi-drógeno llamada cadena hidrocarbonada y un grupo deátomos que le confiere entidad, que constituye lo que seconoce como grupo funcional.

Ejemplo. El propanol de fórmula CH3 - CH2 -CH2OH, o alcohol propílico, está formado por dos par-tes bien diferenciadas; por un lado, el radical propilo

que permanece inalterable, y por otro el grupo funcio-nal -OH, que es el que va a modificarse en las reaccio-nes químicas.

La mayor o menor longitud de la cadena hidrocarbona-da va a influir muy poco en el comportamiento del grupo-OH. Todos estos compuestos en los que únicamente va-ría dicha longitud van a formar lo que se conoce con elnombre de serie homóloga. Cada serie homóloga vendrádeterminada por el grupo funcional que intervenga. Lafórmula para cada compuesto en una serie homóloga sediferencia del anterior o del posterior únicamente porquetiene un grupo -CH2- más que el anterior y menos que elsiguiente.

Isomería

A diferencia de lo que sucede en los compuestos inorgáni-cos, en química orgánica, una misma fórmula empírica pue-de corresponder a varios compuestos diferentes. A estoscompuestos se les llama isómeros. Generalmente, el fenóme-no de isomería se debe a las distintas reagrupaciones quepueden presentar los átomos, teniendo en cada caso una fór-mula estructural diferente. Hay dos tipos genéricos de iso-mería:

– isomería plana, que a su vez puede ser de cadena, deposición y de función;

– isomería espacial, que puede ser geométrica, óptica oespecular.

Isomería de cadena. La única diferencia que presentanlos isómeros es la distinta estructuración de la cadena hi-drocarbonada.

Ejemplo. El butano y el metil propano tienen la mismafórmula empírica, C4H10, y sin embargo son sustanciasdistintas y con propiedades bien diferenciadas:

CH3|

CH3 – CH2 – CH2 – CH3 CH3 – C – CH3

butano metil propano

Isomería de posición. La isomería de posición se pre-senta en compuestos formados por una misma cadenacarbonada, pero que muestran colocado en diferentes po-siciones un mismo grupo funcional o un doble enlace.

Ejemplos. El buteno-1 y el buteno-2 tienen de fórmulaempírica C4H8. Sus fórmulas estructurales respectivasson:

H H H| | |

CH2 = C – CH2 – CH3 CH3 – C = C – CH3

buteno-1 buteno-2

Estos dos compuestos se diferencian en la posición deldoble enlace en la cadena hidrocarbonada.

El ortodiclorobenceno y el paradiclorobenceno son un

H – C

C – H

C – H

H – C C – H

C – H

H – C

C – H

C – H

H – C C – H

C – H

148 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

ejemplo de isomería de posición debida a la distinta co-locación del grupo funcional, los dos átomos de cloro, se-gún esté colocado en carbonos consecutivos u opuestos:

ortodiclorobenceno paradiclorobenceno

Isomería de función. Se da en compuestos con idénticafórmula molecular, pero que pertenecen a grupos funcio-nales distintos.

Ejemplo. El propanal y la propanona son un aldehídoy una cetona, respectivamente, con propiedades muy dis-

tintas; sin embargo, su fórmula empírica resulta ser lamisma: C3H 6O:

O O||

CH3 – CH2 – C//\H

CH3 – C – CH3

propanal propanona

Isomería geométrica. Se presenta en compuestos quetienen un doble enlace entre carbonos, sin posibilidad derotación en torno a él.

Cuando los grupos unidos a cada uno de los átomos decarbono que presentan el doble enlace son diferentes, re-sultan dos compuestos distintos según se coloquen deforma simétrica o no respecto del doble enlace. Cuandopresentan simetría se nombran anteponiendo el prefijo

Cl

Cl

Cl

Cl


Grupo funcional Nombre Fórmula Tipo de compuestos Ejemplo

–OH Hidroxi R-OH Alcoholes CH3-OH Metanol

–SH Sulfhidrilo R-SH Tioles CH3-CH2-SH Etanotiol

–O – Oxi R-O-R’ Éter CH3-CH2-O-CH2 Etano-oxi-metano

–S– Sulfuro R-S-R’ Sulfuro CH3-S-CH2 Sulfuro de dimetilo

–Hl Halo R-Hl Haluro CH3-Cll Cloruro de metilo

–NH2 Amino R-NH2 Aminas CH3-CH2-NH2 Etilamina

–NO2 Nitro R-NO2 Derivados nitrados CH3-NO2 Nitrometano

–C≡N Ciano R-CN Nitrilo CH3-CH2-CN Propanonitrilo

–C=O Carbonilo R-CO-R’ Cetonas CH2-CO-CH3 Propanona

//O–C Aldehído R-CHO Aldehído CH3-CHO Etanol

\H

//O–C Carboxilo R-COOH Ácidos CHOOH Metanoico

\OH

//O–C Éster R-COO-R’ Éster CH3-COOCH3 Etanoato de metilo

\ O – R’

//O–C Amida R-CONH2 Amina CH3-CH2-CONH2 Propanamida

\ NH2

O|| Sulfoxi- R-SO=R’ Sulfóxido CH3-SO-CH3 Dimetil sulfóxido

–S–

\ //OS Sulfona R-SO2-R’ Sulfona CH3-CH2-SO2-CH3 Et i l -metil sulfona

/ \\O

Grupos funcionales orgánicos más usuales

cis y en caso contrario con el prefijo trans:

Si los carbonos pudiesen girar libremente en torno aldoble enlace, estas dos fórmulas serían la misma. Al nopoder hacerlo, las posiciones son fijas.

Un caso típico es la isomería del ciclo-hexano, C6H 12,que presenta dos configuraciones características, pudien-do pasar de una a otra por simple torsión. Estas dos es-tructuras son conocidas con el nombre de silla y de bar-ca, siendo la de silla la más estable:

La isomería geométrica también se llama estereoisome-ría y esteroisómeros a los isómeros, por tratarse de unadistribución diferente en el espacio.

Isomería óptica o especular. La isomería óptica se da enaquellos compuestos que presentan dos estructuras espacia-les que no se pueden superponer, pero que son simétricas conrespecto al plano que las separa, como si fuese una de ellasla imagen reflejada de la otra en un espejo. De ahí el nom-bre de isomería especular con que también se le conoce.

Se presenta en aquellos compuestos que tienen un áto-mo de carbono asimétrico, es decir, que tienen ocupadossus enlaces por radicales diferentes. Estos isómeros reci-ben el nombre de enantiomorfos, y ambos tienen las mis-mas propiedades químicas y físicas excepto las diferen-tes formas de polarizar la luz. Uno de ellos desvía el pla-no de polarización un cierto ángulo en el sentido de lasagujas del reloj, a la derecha (dextrógiro), y el otro lo des-vía en sentido antihorario, hacia la izquierda (levógiro).

Si se mezclan dos disoluciones de la misma concentra-ción molar en ambos isómeros ópticos, no presenta acti-vidad óptica y se denomina mezcla racémica. Al isóme-ro dextrógiro se le llama d, y al levógiro, l, siendo la mez-cla racémica dl. Dicha mezcla se define, pues, como elcompuesto constituido por cantidades iguales de los isó-

meros dextrógiro y levógiro de una sustancia orgánica.En consecuencia, la mezcla resulta ópticamente inactiva.

Ejemplo. El ácido propanodiol-dioico presenta isome-ría óptica:

OH HO| |C = O O = C| |

OH – C – H H – C – OH| |

H – C – OH HO – C – H| |C = O O = C| |

OH HO

forma d – dextrógira forma l – levógira

Separación de los dos isómeros ópticos

Al ser prácticamente todas sus propiedades iguales, esmuy difícil separar dos isómeros de la mezcla racémica.A este proceso de separación se le llama resolución delracémico y se puede lograr de varias formas:

a) Mecánica. Se realiza cuando la sustancia cristaliza enformas de tamaño apreciable. Al ser como un objeto y suimagen, se puede separar con la mano o con pinzas. Estemétodo lo utilizaba Pasteur.

b) Por microorganismos. Ciertos hongos o bacterias des-truyen uno de los dos isómeros, dejando el otro intacto.Presenta la desventaja de perder totalmente uno de losdos isómeros.

c) Por cristalización selectiva. Consiste en añadir un pe-queño cristal de uno de los dos isómeros a una disoluciónsaturada de la mezcla racémica.

d) Añadiendo un compuesto ópticamente activo. Se trata deobtener sales de ambos isómeros neutralizando un ácidoo una base del racémico con una base o un ácido, respec-tivamente, y obteniendo dos sales diferentes y fáciles deseparar, de las que luego, mediante hidrólisis, se recupe-ran cada uno de los isómeros.

Reacciones orgánicas

Mecanismos de las reacciones orgánicas

Las reacciones químicas se realizan mediante la rupturade enlaces en unas sustancias para formar otras nuevas.Como la mayoría de los enlaces en las moléculas orgáni-cas son covalentes, es decir, bastante fuertes, el mecanis-mo de las reacciones orgánicas está basado en cómo rom-per este tipo de enlaces, teniendo en cuenta que al ser unenlace fuerte, para lograr la ruptura se necesita un granaporte energético, por lo que la energía de activación deestos procesos será elevada.

La ruptura del enlace covalente de las moléculas sepuede realizar únicamente de dos formas:

formade silla

formade barca

cis trans

R

H

R'

HC = C

R

H

H

R'C = C

ácido cis-butenodioicoH

C

HC = C

CO

OH

O

OH

ácido trans-butenodioico

C

HC = C

O

HOC

O

OH

H

150 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

a) Ruptura homolítica, en la que el par de electrones com-partido se reparte entre los dos átomos que integraban elenlace, dando lugar a la formación de radicales libres. Losradicales libres son neutros, no llevan carga eléctrica, peroposeen un electrón libre que se puede utilizar para com-partir con otro átomo:

A : B → A. + B.

Estas reacciones tienen lugar a temperaturas elevadas,en estado gaseoso y en presencia de luz.

b) Ruptura heterolítica, en la que el par electrónico es re-tenido completamente por uno de los dos átomos, dandolugar a la formación de iones:

A : B → A:. + B+

El compuesto A se queda con el par de electrones, que-dando cargado negativamente, y se llama combustión. Yel compuesto B pierde un electrón, quedando cargado po-sitivamente, y recibe el nombre de ion carbónico.

Estas reacciones tienen lugar a temperatura adecuaday en presencia de un catalizador.

Reactivos e intermedios en las reaccionesorgánicas

La mayor parte de las reacciones orgánicas no tiene lugarde forma espontánea. Existen sustancias orgánicas quefacilitan la realización de la reacción y otras que permi-ten controlar el proceso. Estas sustancias reciben el nom-bre de reactivos e intermedios. Los primeros intervienenen las reacciones y los segundos se forman como produc-tos intermedios en el transcurso de la reacción.

Reactivos nucleófilos. Los reactivos nucleófilos poseenen su capa externa un par de electrones no enlazantes,que actúan sobre otro átomo formando un enlace cova-lente, es decir, actúan como bases de Lewis sin serlo ensentido estricto. La mayor o menor actividad del reactivoestá determinada, entre otros factores, por la polaridadde los electrones, por la basicidad del reactivo y por el di-solvente en el que actúa.

Los reactivos nucleófilos son de gran interés en quími-ca orgánica, ya que intervienen en la mayor parte de lasreacciones orgánicas que se realizan en la industria.

Reactivos electrófilos. Los reactivos electrófilos pre-sentan orbitales de valencia vacíos, es decir, tienen caren-cia de electrones, por tanto aceptan electrones. Su com-portamiento es el de un ácido de Lewis sin serlo realmen-te, ya que no se puede identificar acidez con electrofilia.En la reacción con reactivos electrofílicos se emplean ca-talizadores inorgánicos como el ácido sulfúrico, clorurode aluminio, cloruro férrico, etc.

Los reactivos de adición entre hidrocarburos no satu-rados son reacciones electrofílicas.

Intermedios de reacción. Son compuestos inestablesque se forman durante el proceso de determinadas reac-ciones químicas. Debido a su inestabilidad reaccionan in-mediatamente, dando lugar a la siguiente fase de la reac-

ción, por lo que no pueden ser aislados. Los intermediosde reacción son los radicales libres, los iones carbonio ylos carbocationes. Los radicales libres proceden de unenlace destruido homolíticamente. Son átomos neutros,pero que conservan uno de los electrones del par enla-zante. Este electrón desapareado les va a permitir reac-cionar fácilmente. La formación de radicales libres estácondicionada por el aporte energético, ya que es necesa-ria una gran cantidad de energía y son muy inestables.

Los iones carbonio o carbocationes son reactivos elec-trofílicos formados por un átomo o conjunto de átomos,donde uno de sus átomos de carbono presenta una de-ficiencia electrónica: en su capa externa faltan electrones,por lo que tienen un marcado carácter iónico.

Los carbaniones son producto de rupturas heterolíticasde enlaces y están formados por un átomo o grupo de áto-mos, siendo uno de ellos un átomo de carbono que conser-va el par electrónico, por lo que su carga es negativa y portanto actúan como reactivos nucleófilos muy inestables.

Los radicales libres, los iones carbonio y los carbanio-nes se clasifican, según el tipo de carbono enlazante, enprimarios, secundarios o terciarios. La estabilidad es má-xima en los primarios y mínima en los terciarios.

Tipos de reacciones

El número de compuestos orgánicos actualmente conoci-dos supera el millón, y el número de reacciones que entreellos pueden producirse es aún mayor. No obstante, losmecanismos de estas reacciones no se encuentran muydiversificados, lo que permite clasificarlos en un númeroreducido de grupos, que se exponen a continuación:

Reacciones de sustitución. Son las de mayor interésquímico e industrial. Se llaman también de desplaza-miento. Consisten, fundamentalmente, en la sustituciónde un átomo o grupo de átomos por otro en una molécu-la. Dentro de este grupo de reacciones se encuentran:

– Reacciones homolíticas. Se producen en los hidrocar-buros saturados, es decir, en los compuestos de carbonoe hidrógeno que tienen todos los enlaces de carbono cu-biertos y, por consiguiente, no tienen enlaces dobles nitriples. Estas reacciones consisten en sustituir un átomode hidrógeno por otro átomo o grupo de átomos de Cl,Br, etc., en los que se da la formación de radicales libres yse producen en cadena. Por ejemplo, el cloro reaccionacon el metano para dar cloruro de metilo y ácido clorhí-drico.

CH4 + Cl2 → CH3Cl + HCl

El mecanismo de la reacción es el siguiente:

1.º

El cloro por la acción de la luz solar se disocia, y los áto-mos que actúan como radicales libres reaccionan rápida-mente con el metano.

Cl Cl → Cl + Cl• •

•• •

• •••

••

• • • •

• •••

• ••

• •••

• •


2.º

El cloro se une con uno de los hidrógenos de hidrocar-buro saturado formando ácido clorhídrico y un radicalalquilo con gran capacidad de reacción.

3.º

El radical metilo reacciona rápidamente con una mo-lécula de cloro para dar cloruro de metilo y un átomo decloro libre. Estos átomos de cloro libre pueden reaccio-nar con otra molécula de metano y repetir el proceso an-terior indefinidamente, dando lugar a una reacción encadena.

La energía liberada en cada una de estas reacciones esla misma, ya que el proceso es el mismo: ruptura de unenlace Cl-Cl y otro C-H, y formación de un enlace C-Cl yotro Cl-H.

– Reacciones de eliminación. Estas reacciones se caracte-rizan por la pérdida o separación de una molécula peque-ña de otra mayor, dando lugar a la formación de enlacesmúltiples en la molécula mayor:

El cloroetano se rompe, dando lugar al etano y al ácidoclorhídrico.

– Reacciones de adición. Son el proceso inverso a las reac-ciones de eliminación, y consisten en agregar una molé-cula a través de un enlace múltiple, pasando de triple adoble o de doble a sencillo. Esta molécula se incorpora alenlace de los dobles o triples enlaces debido a que el en-lace es de poca energía y fácilmente polarizable. Si se rea-liza por la poca energía del enlace es una reacción homo-lítica y si tiene lugar por la polarización del enlace es he-terolítica.

Cuando un ion positivo o el extremo positivo de unamolécula polarizada se acerca a un doble o triple enlace,los electrones móviles del enlace se aproximan hacia unode los carbonos, que se apropiará del par de electronesque anteriormente estaban compartidos. Éste es el deno-minado efecto electrómero, que es instantáneo y se pro-duce en el momento del choque con una molécula polar.

Reacciones típicas de adición son las realizadas entreun haluro de hidrógeno y un hidrocarburo etilénico. Serealizan siguiendo la regla de Horkownikov, por la queel halógeno se une siempre al carbono más sustituidoy el hidrógeno al menos sustituido. Estas reacciones son

más rápidas cuanto mayor carácter ácido tenga el reacti-vo atacante: HCl < HBr< HI

Ejemplo:

CH3 – CH = CH2 + Cl → CH3 – CH – CH2| |Cl H

Según la regla de Horkownikov, el cloro, que es el polonegativo, se une al carbono más sustituido, en este casoel intermedio, y el hidrógeno al menos sustituido, desha-ciendo el doble enlace.

Las reacciones de adición se realizan mediante unmecanismo iónico, en fase líquida y a temperatura or-dinaria.

Además de los tipos de reacciones expuestos anterior-mente, existen otros tipos de reacciones orgánicas, comolas de condensación, en las que se elimina una moléculapequeña entre dos sustancias reaccionantes, expulsándo-se el agua.

– Reacciones de transposición. Se produce una reorgani-zación de la molécula, obteniéndose un isómero de la ori-ginal:

H O|CH2 = C – OH ↔ CH3 – C//

\Hel etanol se transforma en etanal

– Reacciones de combustión. Son oxidaciones de una sus-tancia en presencia de oxígeno; es una reacción violenta,que se realiza con desprendimiento de luz y calor. Losproductos son dióxido de carbono y agua:

CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O + calor

– Reacciones de oxidación-reducción. Son mucho máscomplejas que las correspondientes a los productos inor-gánicos, ya que los compuestos orgánicos presentan di-versos grados de oxidación según el hidrocarburo satu-rado de igual número de átomos de carbono.

H H H H| | | |

H – C – C – H → H – C = C – H + HCl| |H Cl

+ Cl Cl

H

H Cl

H

• •

• •

••

•• →

• •

• •

••

••

• •

• •

••

H

H C.

H

Cl + Cl••

• •

• •

••

••

• •

• •

••

H + Cl

H

H Cl

H

• •

• •

••

••

• •

• •

• •• HCl + H C

• •

• •

•• •

H

H

→

152 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________


1. ¿Qué es la función química?

2. Indicar cinco de las funciones orgánicas más im-portantes.

3. ¿Qué son compuestos isómeros?

4. ¿Qué tipo de reacción ocurre en el gas butanocuando arde al cocinar los alimentos?

HIDROCARBUROSHN CH

3

N

O

N

N

CH3

O

os hidrocarburos son sustancias orgánicas com-puestas únicamente por carbono e hidrógeno. Se

obtienen fundamentalmente del petróleo y del gas natu-ral. Se pueden clasificar en los siguientes grupos:

hidrocarburossaturados normales,alcanos o parafinas

Hidrocarburos alifáticos hidrocarburos cíclicoso cicloalcanos

alquenosalquinos o hidrocarburos

aromáticos acetilénicos

Los hidrocarburos alifáticos son los que se encuentran enlas grasas naturales.

Los hidrocarburos aromáticos son derivados del bencenoy la mayor parte están dotados de un cierto aroma.

Hidrocarburos saturados normales o alcanos

Están formados únicamente por átomos de carbono uni-dos por enlaces simples y átomos de hidrógeno; se les lla-ma también parafinas. Este nombre hace referencia a sufalta de reactividad. Tienen gran interés en la industria,principalmente como combustibles. Su fórmula generales la siguiente:

CnH2n + 2, siendo n un número entero

El primero y más sencillo de los alcanos es el metano,cuya fórmula es:

La molécula es tetraédrica, estando el carbono situadoen el centro y los hidrógenos hacia los vértices.

El resto de los hidrocarburos se puede decir que son de-rivados del metano por sustitución de átomos de hidró-geno por grupos metilo, formando cadenas.

Se llama carbono primario a aquel que está unido sola-mente a otro átomo de carbono; carbono secundario, alque está unido a dos átomos de carbono; carbono tercia-rio, a tres, y cuaternario, a cuatro.

En las cadenas carbonadas que forman los alcanos, todoslos átomos de carbono mantienen la estructura tetraédrica desus moléculas determinadas por los enlaces sp3. La longituddel enlace C – H es de 1,07 Å y la del C – C, de 1,5 Å.

Nomenclatura

La Unión Internacional de Química Pura y Aplicada(IUPAC) establece las normas aceptadas por todos lospaíses para nombrar los compuestos orgánicos, aunque aveces se siga utilizando para algunos compuestos el nom-bre vulgar con el que tradicionalmente se le ha conocidoa lo largo de la historia.

Las moléculas de los hidrocarburos saturados se nom-bran anteponiendo el prefijo numeral latino o griegocorrespondiente al número de átomos de carbono y la ter-minación -ano. En el primer recuadro de la página si-guiente, se especifican los cinco primeros elementos.

A partir del término sexto, inclusive, se utiliza el prefi-jo griego que indica el número de carbonos (v. segundorecuadro de pág. 150).

Los radicales alquilos normales se nombran como el hi-drocarburo saturado de igual número de carbonos, peroterminado en -il o -ilo

CH3– metil o metilo

CH3 – CH2– etil o etilo

CH3 – CH2 – CH2– propil o propilo

Cuando existe una cadena ramificada, para nombrarlacorrectamente se debe determinar primero cuál es la ca-dena principal y cuál es el carbono por el que se van a em-pezar a numerar los carbonos, pasando a continuación anumerar el resto.

Se considera cadena principal la que tiene mayor nú-

H|

H – C – H (CH4)|H


L

mero de carbonos. En caso de que haya varias cadenascon igual número de carbonos, la principal es la que ten-ga mayor número de ramificaciones.

Determinada la cadena principal, se numeran suscarbonos, empezando por el extremo en que se consi-ga el número decimal más bajo, formado por los locali-

zadores de las cadenas laterales. En caso de obtener elmismo número al empezar por cualquiera de los extre-mos, se empezará a numerar por el extremo cuyo radi-cal más cercano se nombre primero. Antes del nombrede la cadena principal se escriben por orden alfabéticolos nombres de los radicales alquilo sin la o final. Si hayvarios radicales iguales se utilizan los prefijos di-, tri-,tetra-, etc., indicadores de su número. Delante del nom-bre del radical y separados por guiones se colocan losnúmeros correspondientes al carbón en que está situa-do el radical; estos números se llaman localizadores.Ejemplo:

La cadena más larga tiene 7 carbonos. Se empiezan anombrar los carbonos por la derecha, ya que el númeroobtenido con los localizadores es 2 – 4 – 5, menor que el5 – 4 – 2 que se obtendría empezado por el carbono de laizquierda. Aparecen dos radicales metil y uno etil. Senombra primero el etil, ya que se utiliza el orden alfabé-tico. Por tanto, este compuesto sería el 2-etil-2-5-dimetilheptano.

El caso contrario sería, dado el nombre de la molécula,escribir su fórmula. Para ello:

1. Se escribe la cadena principal con los enlaces, perosin los hidrógenos.

2. Se numeran los carbonos; es indiferente el extremopor el que se empiece.

3. Se escriben los radicales, situándolos en el carbonoque indica su localizador.

4. Se completan los enlaces que queden libres con áto-mos de hidrógeno.

Ejemplo: 4-etil-3-3-4-trimetilheptano:

1. La cadena es de siete carbonos, prefijo hept-:

2. Se numeran los carbonos por la izquierda:

3. Se sitúan los radicales:

| | | | | | |– 1C – 2C – 3C – 4C – 5C – 6C – 7C –

| | | | | | |

| | | | | | |– C – C – C – C – C – C – C –

| | | | | | |

H|

H–C–H|

H H–C–H| |

H H H–C–H | H H H| | | | | | |

H – 7C – 6C – 5C – 4C – 3C – 2C – 1C – H| | | | | | |H H H H H H–C–H H

|H

154 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

6 carbonos Hexano 21 carbonos Heneicosano7 carbonos Heptano 22 carbonos Dicosano8 carbonos Octano 23 carbonos Tricosano9 carbonos Nonano 30 carbonos Triacontano

10 carbonos Decano 31 carbonos Entriacontano11 carbonos Undecano 40 carbonos Tetracontano12 carbonos Dodecano 50 carbonos Pentacontano13 carbonos Tridecano 60 carbonos Hexacontano14 carbonos Tetradecano 70 carbonos Heptacontano15 carbonos Pentadecano 80 carbonos Octacontano16 carbonos Hexadecano 90 carbonos Nonacontano20 carbonos Eicosano 100 carbonos Hectano

Nomenclatura de hidrocarburossaturados

(desde el sexto elemento)

N.º de Fórmula Fórmulacarbonos desarrollada semidesarrollada Nombre

1 CH4 Metano

2 CH3 – CH3 Etano

3 CH3 – CH2 – CH3 Propano

4 CH3 – CH2 – CH2 – CH3 Butano

5 CH3 – CH2 –CH2 – CH2 – CH3 Pentano

H H H H H| | | | |

H–C–C–C–C–C–H| | | | |H H H H H

H H H H| | | |

H–C–C–C–C–H| | | |H H H H

H H H| | |

H–C–C–C–H| | |H H H

H H| |

H–C–C–H| |H H

H|

H–C–H|H

Nomenclatura dehidrocarburos saturados:

primeros elementos

4. Se completan los enlaces libres con hidrógenos:

En la nomenclatura tradicional, si el compuesto tieneun carbono terciario se antepone el prefijo iso- y si contie-ne un carbono cuaternario se denomina neo-:

Sin embargo, esta nomenclatura no se emplea paracompuestos de cadenas más largas.

Propiedades físicas de los hidrocarburossaturados

Los cuatro primeros hidrocarburos –metano, etano,propano y butano– son gaseosos; los siguientes hastael heptadecano son líquidos, y el resto son sólidos decontextura cérea. Los de cadena lineal tienen puntosde fusión más altos que sus isómeros de cadena rami-ficada.

Suelen distinguirse características diferenciadas entrelos compuestos con cadenas de números par de carbonosy los que presentan cadena de número impar. Los hidro-carburos de cadena impar son menos estables, en estadocristalino, que los de cadena par y por tanto los puntosde fusión son más bajos.

Al hacer una representación gráfica se observa que lospuntos de fusión crecen al aumentar el número de carbo-nos, pero en forma de escalera; sin embargo, los puntosde ebullición aumentan uniformemente.

Desarrollando los datos expuestos en la tabla anterior,obtendríamos estos gráficos:

Puntos de ebullición

Puntos de fusión

Todos los alcanos son insolubles en agua. Ello es debi-

T ºC

0–10–20–30–40–50–60–70–80–90

–100–110–120–130–140–150–160–170–180–190

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n.º carbonos

T ºC

160140120100806040200

–20–40–60–80

–100–120–140–160–180

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n.º carbonos

CH3 – CH – CH3 isobutano|

CH4

CH3|

CH3 – CH – CH3 neopentano|

CH4

CH3|

H H CH3 CH2 H H H| | | | | | |

H –1C – 2C – 3C – 4C – 5C – 6C – 7C – H| | | | | | |H H CH3 CH3 H H H

H|

H–C–H|

CH3H–C–H| | | | | | |

– 1C – 2C – 3C – 4C – 5C – 6C – 7C –| | | | | | |

CH3 CH3

________________________________________________________________________________________________ Hidrocarburos 155

Punto de Punto deFórmula Nombre fusión ebullición

CH4 Metano –182,6 ºC –161,6 ºCC2H6 Etano –172,0 ºC –88,5 ºCC3H8 Propano –187,1 ºC –42,2 ºCC4H10 Butano –135,0 ºC –0,5 ºCC5H12 Pentano –129,7 ºC 36,8 ºCC6H14 Hexano –94,0 ºC 68,8 ºCC7H16 Heptano –90,5 ºC 98,4 ºCC8H18 Octano –56,8 ºC 125,6 ºCC9H20 Nonano –53,7 ºC 150,7 ºCC10H22 Decano –29,7 ºC 174,0 ºC

Hidrocarburos saturados

do al carácter no polar de sus moléculas.

Propiedades químicas de los alcanos

Los alcanos presentan carácter inerte, es decir, no tienentendencia a reaccionar con otros compuestos. Los ácidosy las bases fuertes no actúan sobre ellos a temperaturaambiente. Las reacciones químicas de los alcanos son fun-damentalmente las de oxidación, las de sustitución, lasde isomerización y la pirólisis.

Cuando un reactivo ataca a un alcano, tiene más facili-dad para hacerlo sobre un átomo ligado a un carbono ter-ciario que sobre uno ligado a uno secundario, y más so-bre éste que sobre uno ligado a un carbono primario.

Reacción de oxidación. La principal reacción de oxida-ción es la combustión, que se realiza en presencia de oxí-geno, con gran desprendimiento de energía. Los produc-tos resultantes en esta reacción son dióxido de carbono(CO2) y agua (H2O).

– Combustión del metano CH4:

CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O ∆H = –189,2 Kcal

– Combustión del heptano:

C7H16 + 11O2 → 7CO2 + 8H2O ∆H = –1.149,9 Kcal

Se observa que estas reacciones son exotérmicas y des-prenden gran cantidad de calor. Sin embargo, para ini-ciar la combustión hay que calentar el sistema hasta latemperatura de ignición. A partir de esta temperatura,la reacción se mantiene por sí misma, llegando a una re-acción en cadena con formación de radicales libres.

Reacción de sustitución. Recibe este nombre debido aque en ella se sustituye un hidrógeno por otros átomos.La principal reacción de sustitución es la halogenación,es decir, el cambio de un átomo de hidrógeno por otro deflúor, cloro, bromo o yodo. Con los hidrocarburos de ma-yor número de carbonos se forman distintos compuestos,ya que se puede realizar la sustitución en diversos carbo-nos. Sin embargo, la reacción se hace más lenta al aumen-tar el número de estos últimos.

Con flúor, cloro y bromo, las reacciones de sustituciónson exotérmicas, mientras que con yodo son endotérmicas:

CH3 – CH3 + F2 → CH3F – CH3FReacción del etano con el flúor

Reacción de isomerización. Es el proceso en virtud delcual un alcano de cadena larga se transforma en un isó-mero de cadena ramificada, aumentando así su poder an-tidetonante.

Pirólisis. Este tipo de reacción se produce cuando se ca-lientan los hidrocarburos saturados a elevadas tempe-raturas en ausencia de oxígeno. El proceso consiste en laruptura del hidrocarburo, obteniéndose un hidrocarburosaturado de cadena más corta y otro no saturado. Ejemplo:

CH3 – CH2 – CH3 → CH2 = CH2 + CH4

Esta reacción se verifica a unatemperatura de unos 600º C

Hidrocarburos cíclicos o cicloalcanos

Si se eliminan los hidrógenos en cada uno de los carbo-nos situados en los extremos de una cadena carbonada(de tres o más carbonos), y ésta se gira en torno al enlace,los carbonos extremos quedan muy juntos y se forma unenlace que cierra la cadena carbonada. En el pentano, estareacción se representa esquemáticamente de la siguientemanera:

Se forman compuestos de cadena cerrada y fórmulaCnH2n y se nombran con el prefijo ciclo- colocado ante elnombre del alcano normal (en la industria del petróleoson conocidos como naftenos):

pentano C5H12 → ciclopentano C5H10

Ejemplos:

Estos compuestos cíclicos presentan gran estabilidad yse unen mediante reacciones de sustitución a otros com-puestos, sin descomponer el anillo.

En el ciclopropano, la variación de los ángulos de enla-ce respecto de los de las cadenas de enlace es mínima. Sinembargo, para compuestos de mayor número de carbo-nos, la variación es muy grande, pues las moléculas noadoptan una estructura plana, sino que se pliegan tratan-do de aminorar las tensiones.

Un caso interesante es el ciclohexano, de fórmula C6H12,que forma una molécula muy estable con dos estructurasposibles, que reciben los nombres de silla y de barca, con-virtiéndose de una en otra venciendo una barrera relacio-nal de 41,8 KJ/mol.

La conservación de los ángulos de enlace (109 ºC) es loque les confiere a los cicloalcanos la estabilidad.

En los laboratorios se han conseguido cicloparafinascon más de treinta átomos de carbono en el anillo. Tam-bién existen cicloparafinas con varios anillos unidos.

CH2 – CH2 | |CH2 – CH2

ciclopropano ciclobutano

CH2|

CH2C – CH2

Pentano

Se produce la rotación

Se cierra la cadena al unirselos dos carbonos primarios

156 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Configuración de cicloparafina formada por dos anillos (decalina)

Obtención de hidrocarburos saturados

El petróleo y el gas natural son las principales fuentesde obtención de estas sustancias. El petróleo en un líqui-do oleoso que se encuentra formando bolsas en el inte-rior de la tierra; tiene color variable, desde el pardo alnegro, y está formado por una gran cantidad de hidro-carburos de diversa composición, correspondiendo laparte de bajo punto de ebullición a los hidrocarburos sa-turados.

Para poder aprovechar el petróleo crudo (según se ob-tiene de la naturaleza), es necesario someterlo a un pro-ceso de refinado mediante destilación fraccionada. Cadafracción es una mezcla de hidrocarburos, cuyo peso mo-lecular queda comprendido entre determinados límites.Los restos obtenidos de la destilación fraccionada son so-metidos a un nuevo proceso, denominado cracking, porel cual se rompen las largas cadenas hidrocarbonadas,dando lugar a hidrocarburos de cadena más corta. Esteproceso se realiza a altas temperaturas y en presencia decatalizadores.

En función del número de carbonos que contienen ensu fórmula, los hidrocarburos presentan distintas ca-racterísticas químicas y diferentes aplicaciones. El re-cuadro superior indica alguna de las más significativaspara los productos de destilación del petróleo más im-portantes.

Con el nombre de gas natural se hace referencia a unaacumulación de gases presente en grandes depósitos enel interior de la tierra y formada principalmente por me-tano (el componente de mayor proporción), etano, pro-pano y butano, que se utiliza fundamentalmente comocombustible doméstico.

Químicamente se obtienen los hidrocarburos mediante:

– Hidrogenación de alquenos y alquinos, utilizando elplatino como catalizador:

R – CH = CH2 + H2 → R – CH2 – CH2 – R’

– Mediante tratamiento de los halogenuros de alquilopor reducción con hidrógeno, usando como catalizadorun metal activo en medio ácido:

Br CH2 – CH2 Br + 2H2 → CH3 – CH3 + 2 HBrdibromoetano etano ácido

bromhídrico

– Reacción de Grignard. Los alcanos se pueden prepa-rar tratando el reactivo de Grignard RMgX con compues-tos que contengan hidrógeno débilmente ácido, como losalcoholes y los ácidos orgánicos.

Alquenos

Los alquenos o hidrocarburos etilénicos son sustanciasorgánicas que presentan algún doble enlace comounión entre dos carbonos; son conocidos también conel nombre de olefinas. Se consideran formados por laeliminación de dos átomos de hidrógeno en dos áto-mos de carbono consecutivos. Su fórmula general es:Cn H2n.

Se nombran como los hidrocarburos saturados, perosustituyendo la terminación -ano por -eno, indicando,cuando sea necesario, mediante un localizador, la posi-ción del doble enlace. Se empieza a numerar la cadenapor el carbono más próximo al doble enlace. El localiza-dor corresponde al carbono de número más bajo. El pri-mero de la serie es el eteno, de fórmula C2H4:

Presenta una molécula plana, con ángulos de enlacede 120º, correspondiente a la hibridación sp2 de los orbi-tales que forman el enlace σ. El enlace πcorrespondienteal otro enlace está formado por dos zonas aplanadas, unapor encima y otra por debajo del plano donde está situa-do el enlace C – C:

H

H

C = C

H

H

C

CCC

CCC

CC

C

________________________________________________________________________________________________ Hidrocarburos 157

Númerode carbonos Fracción Aplicaciones

C1–C4 Gases (metano, Calefacciónetano, propano,butano)

C5–C6 Éter de petróleo Disolvente

C6–C7 Ligroína (nafta ligera) Disolvente

C6–C12 Gasolina Combustible

C12–C18 Queroseno Combustiblepara aeronaves

C16–C32 Vaselina Base para cremas ypomadas; lubricante

C18–C40 Gas-oil y fuel-oil Combustible

C18–C40 Aceite lubricante Lubricante

C15–C40 Alquitrán, Pavimentaciónbetún asfáltico de carreteras;

impermeabilizaciónde techados

Aplicaciones delos hidrocarburos

Nubes aplanadas que forman el enlace

Algunos alquenos conservan los nombres tradiciona-les; así, el etano es también conocido como etileno; elpropeno, como propileno, y así sucesivamente, butile-no, etc.

Los radicales derivados de los hidrocarburos etilénicosse nombran con la terminación -enil; cuando sea necesa-rio, hay que señalar la posición del doble enlace median-te un localizador:

CH2 = CH– etenilCH2 = CH – CH2

– 1-propenil

Estos dos radicales también tienen nombres especiales;el etenil se conoce en la industria con el nombre tradicio-nal de vinilo y el propenil, con el de alilo.

Cuando el doble enlace se presenta en moléculas de ca-dena cerrada se denomina cicloalqueno. El más sencilloes el ciclopropano, que tiene estructura triangular:

Cuando se presenta más de un doble enlace, son los al-quenos polifuncionales o polienos. Los más sencillos sonlos dienos, que llevan dos dobles enlaces en la molécula:

En el 1-3 butadieno, el cuantificador di indica la exis-tencia de dos dobles enlaces en la molécula y el 1 y el 3son los localizadores que señalan la posición de dichosdobles enlaces.

Si los dobles enlaces en una molécula son consecutivos,se les llama acumulados. Cuando se alternan con enlacessencillos, se llaman conjugados. Las estructuras en las queun carbono soporta dos dobles enlaces, aunque teórica-mente son posibles, en la realidad son muy inestables. Sinembargo, las que presentan enlaces conjugados son máscomunes y estables, teniendo además propiedades carac-terísticas. Un ejemplo de enlaces conjugados es el 1-3-5triexeno.

CH2 = CH – CH = CH – CH = CH2

La rigidez del doble enlace hace que los alquenos pre-senten isomería geométrica. Así, el 2-buteno tiene las for-mas cis y trans: cis cuando las formas iguales están próxi-mas y trans cuando están opuestas:

Cuando los isómeros se diferencian sólo en la posicióndel doble enlace, aquélla se indica tradicionalmente conletras griegas en orden creciente.

Según la posición del doble enlace en el buteno se tiene:

Propiedades físicas de los alquenos

Los puntos de fusión de casi todos los alquenos son se-mejantes a los de los alcanos correspondientes. Tienenpoca densidad, y son gaseosos los de hasta 4 carbonos, lí-quidos los de 4 a 16 y sólidos los de 16 en adelante. Soninsolubles en agua y solubles en alcohol y se mezclan biencon líquidos orgánicos. El punto de ebullición aumenta amedida que la cadena se hace mayor.

Propiedades químicas de los alquenos

La existencia de un enlace en el doble enlace de los alque-nos confiere a éstos una considerable actividad química.Las reacciones de los alquenos son similares a las de losalcanos y además se dan otras en las que únicamente serompe el enlace π(más débil), quedando el enlace σ (másfuerte) intacto. Este tipo de reacciones reciben el nombrede reacciones de adición. En general, esta reacción es:

Son reacciones en que dos moléculas se unen para for-mar una sola; tienen lugar en fase líquida y a temperatu-ra ambiente. En ellas, el doble enlace cede un par de elec-trones a un sustancia electrolítica, es decir, capaz de cap-tar electrones.

Los principales tipos de reacciones de adición son lossiguientes:

Hidrogenación catalítica. La hidrogenación se realizamediante la ruptura de un enlace H – H de la moléculade hidrógeno H2 y la formación de dos enlaces C – H, unoen cada carbono que formaba el doble enlace. Esta reac-ción es exotérmica, pero necesita la presencia de un cata-lizador metálico (Ni, Pt, etc.).

H H H H| | | |

R – C = C – R’ + X– Y→R – C – C – R’| |X Y

cis-2-buteno

CH3

H

C = C

CH3

Htrans-2-buteno

CH3

H

C = C

H

CH3

1-3 butadieno

H

H

H H| |

C = C – C = C

H

H

CH2

CH CH

H

H

C – C

H

H

158 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Nombre Nombrecientífico Fórmula tradicional

1-buteno CH2 = CH–CH2–CH3 α-butileno

2-buteno CH3–CH = CH–CH3 β-butileno

CH3 – CH = CH2 + H2 → CH3 – CH2 – CH31-propeno propano

El alqueno toma los hidrógenos en presencia de níquela alta temperatura.

Adición de haluros de hidrógeno. Los alquinos se unencon los ácidos hidrácidos para dar el correspondiente ha-luro de alquilo. En general, estas reacciones se realizan si-guiendo la regla de Maskownikov. En ellas, el carbono quetiene más hidrógenos tiende a quedarse con el par electró-geno, fenómeno que recibe el nombre de acción dirigida.

Ejemplo. Reacción del propeno con el ácido yodhídri-co para formar yoduro de propilo o 2-iodo-propano.

CH3 – CH = CH2 + IH → CH3 – CHI – CH3propeno A. Yodhídrico Yoduro de propilo

Adición de halógenos. Los alquenos se unen con los ha-lógenos, formando conjuntos naturales con dos átomosdel halógeno, uno en cada carbón de los que formaban eldoble enlace. Estas reacciones se realizan a temperaturasordinarias y en un medio inerte:

1-propeno 1-2-dibromo propano

Reacciones de hidratación. La hidratación o adición deagua es una reacción de un alqueno con el agua en pre-sencia de ácido fosfórico (H3PO4 ) como catalizador. Seobtiene un alcohol con el mismo número de carbonos queel alqueno:

CH2 = CH2 + H2O → CH3 – CH2OHeteno agua etanol

Además de las reacciones anteriores, los alquenos danlugar a otras, entre ellas las de polimerización y las decondensación del 2-metil-1,3 butadieno, llamado tambiénisopreno, de fórmula:

CH2 = C – CH = CH2|

CH3

En las reacciones de polimerización, los alquenos seunen entre sí por adición, en una reacción en cadena conformación de radicales libres, para dar los denominadospolímeros, radicales libres bivalentes de elevado númerode carbonos:

CH2 = CH2 + CH2 = CH2 → – CH2 – CH2 – CH2 – CH2 –

Dos moléculas de eteno se unen para formar una cade-na de cuatro carbonos con dos enlaces libres. Este proce-so se puede repetir indefinidamente. Como estas reaccio-nes son exotérmicas, de no controlarse adecuadamentepueden llegar a ser explosivas.

Las reacciones de condensación del isopreno, sustan-cia que forma parte de numerosos compuestos de granimportancia para el hombre (caucho), son muy comple-jas y dan lugar a dos grupos importantes, que son los ter-penos y los carotenos.

Obtención y utilización

Como para los alcanos, el petróleo es la fuente funda-mental de obtención de alquenos. El eteno es un gas in-coloro, de olor agradable; se usa como anestésico en me-dicina y para la maduración de frutas y verduras. Los po-límeros del eteno son los denominados vulgarmenteplásticos, de importancia capital en la industria.

En el laboratorio se pueden obtener:

– Haciendo reaccionar los halogenuros de alquilo conhidróxido potásico, KOH:

CH3 – CH2Cl + KOH → CH2 = CH2 + KCl + H2O

– Por deshidratación de alcoholes. Se realiza a 400º C yen presencia de óxido de aluminio como catalizador:

CH3 – CH2 – CH2OH → CH3 – CH = CH2 + H2O

Alquinos o hidrocarburos acetilénicos

Son hidrocarburos no saturados que presentan un tripleenlace entre dos de los carbonos de su cadena. Su fórmu-la general es: CnH2n-2.

El elemento más sencillo es el etino o acetileno, cuyafórmula H – C ≡ C – H corresponde a una molécula lineal.Es el que tiene mayor importancia. El triple enlace de lamolécula está formado por un enlace σ y dos π.

Nomenclatura

Los alquinos se designan como los hidrocarburos satura-dos, pero sustituyendo la terminación -ano por -ino y se-ñalando mediante un localizador la situación del tripleenlace.

1-butino

2-butino

Los radicales derivados de los compuestos acetilénicosse nombran mediante la terminación -inil:

H H| |

H – C – C ≡ C – C – H| |H H

H H| |

H – C ≡ C – C – C – H| |H H

Br Br| |

CH2 = CH – CH3 + Br2 → H – C – C – CH3| |H H

________________________________________________________________________________________________ Hidrocarburos 159

H – C ≡ C -etinilHC ≡ C – CH2

– → 1 → propinil

Propiedades físicas y químicas

Los alquinos presentan prácticamente las mismas propie-dades físicas que los alcanos y los alquenos. Son insolu-bles en agua y solubles en disolventes orgánicos. Tienenmenos densidad que el agua.

Desde el punto de vista químico, el triple enlace se con-sidera formado por eliminación de hidrógeno en dos car-bonos consecutivos.

Reacciones de los alquinos

Son debidas a la polarización del triple enlace, por lo queactúan como ácidos débiles.

Los tipos de reacciones son fundamentalmente de adi-ción, oxidación y polimerización.

Reacciones de adición. En este tipo de reacción, el tri-ple enlace tiene menos reactividad para el ataque electro-fílico que el doble enlace:

El producto final de esta reacción es el etanal, pero enel proceso, como paso intermedio, se forma el etanol. Tam-bién se reducen fácilmente a alquenos por adición de hi-drógeno:

CH ≡ CH + H2 → CH2 = CH2

Reacciones de oxidación. La oxidación en este ámbitoes equivalente a la combustión.

Reacciones de polimerización. Análogamente a las delos alquenos, las reacciones de polimerización son unio-nes entre sí de moléculas de alquinos para dar sustanciasde peso molecular elevado:

3 HC ≡ CH → C6 H6


Los alquinos no se encuentran en estado natural y seobtienen de sustancias dihalogenadas de los hidrocarbu-ros, o bien a partir del etino aumentando el número decarbonos de la cadena. El acetileno se obtiene por la unióndel carburo de calcio con el agua:

CaC2 + H2O → CH ≡ CH + Ca(OH)2

El alquino más importante es el propio acetileno. Es ungas incoloro y tóxico, y arde con llama luminosa. En el so-plete oxiacetilénico, el combustible utilizado es el acetile-no, siendo el carburante el propio oxígeno; al quemarse

la mezcla de ambos, se obtiene una llama que puede lle-gar hasta los 3.500 ºC. Se utiliza para fundir metales, sol-dar, etc. Reacciona con el ácido clorhídrico para dar clo-ruro de vinilo, importantísimo en la fabricación de plás-ticos.

Hidrocarburos aromáticos. El benceno

Se conoce por hidrocarburos aromáticos a un conjunto desustancias, la mayoría de las cuales se obtienen de los ve-getales, y que se caracterizan todas ellas por incluir en sufórmula al menos un anillo bencénico.

El benceno, de fórmula molecular C6 H6 y estructuracíclica, fue encontrado por primera vez en el gas delalumbrado y posteriormente en el alquitrán de hulla. Esun compuesto característico muy estable. Al tratar de de-terminar la fórmula estructural del benceno, hay que te-ner en cuenta diversas consideraciones de tipo experi-mental:

– El benceno da solamente un derivado monosustituido,lo que quiere decir que todos los hidrógenos son equiva-lentes.

– Según la colocación de los sustituyentes en la molé-cula, se obtienen tres tipos de derivados de sustituidos.

– Las reacciones de sustitución son características delbenceno.

– El benceno presenta tres dobles enlaces, sin embargo lalongitud de los enlaces C – C no se corresponde ni conla del enlace sencillo ni con la del doble enlace, sino que esintermedia: 1,39 Å.

– Se mantiene la tetravalencia del carbono:

Los carbonos tienen hibridación sp2 y se unen me-diante enlaces a los carbonos inmediatos y al hidróge-no, quedándole a cada uno de ellos un orbital p con suelectrón. Estos electrones forman dos nubes de electro-nes, una por encima de la molécula y otra por debajo.Todo ello forma un conjunto estable, que explica suspropiedades.

Nomenclatura

Los hidrocarburos aromáticos se constituyen al sustituiralguno de los hidrógenos del benceno por radicales hi-drocarbonados o grupos funcionales.

Si solamente se sustituye uno de los hidrógenos, se ob-tienen los llamados compuestos monosustituidos, que sedesignan situando en primer lugar el nombre del gruposustituyente y después el del benceno:

H|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

H|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

O//

CH ≡ CH + H2O → CH2 = CHOH → CH3 – C\

etino etanol etanal H

160 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Cuando existen dos o más sustituyentes (polisustitui-dos), hay que numerar los carbonos del benceno, empe-zando por el correspondiente al sustituyente principal ysiguiendo en la dirección de las agujas del reloj:

Cuando son dos los sustituyentes (disustituidos), seutilizan los siguientes prefijos:

orto-: cuando los carbonos sustituidos son consecu-tivos. Se abrevia como o;

meta-: cuando existe sólo un carbono sin sustituir en-tre los sustituidos. Se utiliza m de forma abreviada;

para-: cuando los sustituyentes están en carbonosopuestos; se abrevian como p.

Todos ellos son isómeros de posición.

En ciertas moléculas, el benceno también puede aparecerunido a otros anillos bencénicos, formando los llamados hi-

drocarburos polinucleares; entre éstos, los más importan-tes son los que presentan los anillos adosados: con sólo dosanillos adosados, el naftaleno; con tres, el antraceno.

Cuando el benceno actúa como sustituyente, lo hace enforma de radical C6 H5

– y se llama radical fenilo o fenil-.

Muchos de los derivados del benceno poseen nombrespropios (tradicionales) y se les conoce como:

A veces, la cadena cerrada no está integrada sólo por car-bonos, sino que uno de ellos está sustituido por azufre, oxí-geno o nitrógeno, formando los llamados compuestos aro-máticos heterocíclicos. Algunos son anillos de cinco áto-mos, como el pirrol; otros de seis, como la piridina, e inclusopueden estar unidos uno de seis y uno de cinco (adosados):

Propiedades físicas

El benceno es un líquido incoloro, inflamable y tóxico. Nose disuelve en el agua, pero sí en disolventes orgánicos.Disuelve bien las grasas, por lo que se utiliza para la lim-pieza. Es de baja densidad, menos que el agua, y su pun-to de ebullición es 80 ºC.

Los compuestos bencénicos presentan, en la mayoría

piridina

H|C

NC – HH – C

C – HH – C

pirrol

N|H

C – HH – C

C – HH – C

ácido benzoico

COOH|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

cresol

OH|C

C|H

C – HH – C

C – CH3H – C

xileno (o-xileno)

CH3

|C

C|H

C – HH – C

C – CH3H – C

COOH|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

ácido benzoico

H|C

C|H

C – HH – C

C – NH2H – C

anilina

CH3

|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

tolueno

difenil

C|H

CH – C

C|H

C|H

C – HC

C|H

H|C

H|C

H|C

H|C

Cl|C

C|H

C – ClH – C

C – HH – C

metadiclorobenceno(m-diclorobenceno)

Cl|C

C|H

C – HH – C

C – ClH – C

ortodiclorobenceno(o-diclorobenceno)

Cl|C

C|Cl

C – HH – C

C – HH – C

paradiclorobenceno(p-diclorobenceno)

5-nitro-3-metil-1-clorobenceno

CH3

|3C

6C|H

5C – NO2Cl – 1C

4C – HH – 2C

CH3

|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

H|C

C|H

C – HH – C

C – CH2 – CH3H – C

NO2

|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

metilbenceno(tolueno)

etilbenceno nitrobenceno

________________________________________________________________________________________________ Hidrocarburos 161

de los casos, propiedades similares a las del benceno.

Propiedades químicas. Reacciones

Los compuestos aromáticos, aunque también tienen do-bles enlaces, se diferencian de los alquenos en que danreacciones de sustitución electrofílica.

Reacciones de sustitución. En estas reacciones, se sus-tituye uno de los hidrógenos del anillo por un grupo concapacidad para aceptar electrones. Estos grupos puedenser los ácidos nítrico y sulfúrico, los halógenos o algúnradical alquílico.

Reacciones con el ácido nítrico. El ácido nítrico con-centrado y el benceno reaccionan en estado líquido for-mándose nitrobenceno y agua.

C6H6 + HNO3 → C6H5 – NO2 + H2O

El benceno puede seguir nitrándose, hasta incorporardos o tres radicales NO2

– a su molécula.Reacciones del ácido sulfúrico con el benceno. El pro-

ceso es similar al de las reacciones anteriores, siendo losproductos resultantes ácido bencenosulfónico y agua:

Reacción del benceno con los halógenos. Esta reacción serealiza en ausencia de luz y en presencia de catalizadores:

Reacción de alquilación del benceno. Esta reacción con-

siste en la sustitución de un hidrógeno por un radical al-quilo en la molécula del benceno:

Este proceso es similar al anterior. A esta reacción se laconoce con el nombre de reacción de Friedel y Crafts.

Obtención y utilización del benceno y los hidrocarburos aromáticos

Tradicionalmente se conocía la existencia de los com-puestos aromáticos en la naturaleza animal, y principal-mente vegetal, siendo fácil su obtención. El tomillo y engeneral las plantas aromáticas son ricas en estos com-puestos, aunque no todos tengan olor agradable.

Son innumerables las aplicaciones que estos compues-tos tienen en la actualidad. Las industrias de colorantes,insecticidas, perfumes, nailon, disolventes, explosivos,etc., tienen como base el benceno y sus derivados. El trini-trotolueno (TNT) es un explosivo de gran poder. En me-dicina, otros derivados del benceno tienen gran aplicaciónpor su capacidad de actuar sobre el sistema nervioso.

+ ClCH3 →

H|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

H|C

C|H

C – HH – C

C – CH3H – C+ HCl

+ Cl2 →

H|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

H|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C+ HCl

+ H2SO4 →

H|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

H|C

C|H

C – HH – C

C – SO3H–H – C

+ HNO3 → + H2O

H|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

H|C

C|H

C – HH – C

C – NO2H – C

162 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________


1. Calcular la composición centesimal del benceno,C6H6.

2. Escribir y ajustar la reacción de combustión delbutano.

3. Escribir y ajustar la reacción del barburo cálcicocon el agua para formar acetileno (etino) e hi-dróxido cálcico. ¿Cuánto acetileno se obtendráen 1 kg de carburo cálcico?

ALCOHOLES,FENOLES Y ÉTERES

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O

Alcoholes

Con el nombre de alcoholes se designa a las sustanciasque resultan de sustituir un hidrógeno en un hidrocarbu-ro saturado por un grupo hidroxilo (–OH). También sepueden considerar como el resultado de sustituir un hi-drógeno del agua por un grupo alquilo. En ambos casoslo que se constituye es un compuesto de fórmula generalR–OH, donde R es un grupo alquilo.

Los alcoholes serán primarios, secundarios o terciariossegún el carbono al que vayan unidos, ya que el grupo–OH se puede unir en cualquier lugar de la cadena, dan-do lugar a isomería de posición:

alcohol alcohol alcoholprimario secundario terciario

El enlace entre el carbono y el oxígeno se realiza por in-teracción de dos orbitales híbridos sp3, que dan lugar aun enlace σ.

Nomenclatura

Según la nomenclatura de la IUPAC, para nombrar los al-coholes hay que localizar la cadena más larga que contie-ne un grupo hidroxilo, indicando con un localizador laposición del grupo. Se empiezan a numerar los carbonosde forma que al grupo hidroxilo le corresponda el núme-ro más bajo. Se designan en primer lugar las cadenas la-terales, indicando mediante un localizador su posición y,a continuación, la cadena que contiene el grupo hidroxi-lo, a la que se le añade el prefijo -ol seguido del localiza-dor de dicho grupo:

metanol propanol-2 2 metil-butanol-1

Se llaman polialcoholes aquellas sustancias que llevanmás de un grupo –OH. En ellas nunca pueden estar dos gru-pos hidroxilo unidos a un mismo carbono, porque se uni-rían entre sí para formar agua. Según el número de gruposhidroxilo que contengan se les añade el prefijo di, tri, etc.:

Propanotriol

Algunos alcoholes todavía conservan el nombre tradi-cional. Tal es el caso, por ejemplo, del metanol, que se co-noce como alcohol metílico; del etanol, como alcohol etí-lico, y del propanotriol, como glicerina, etc.

Propiedades físicas

El grupo –OH en la molécula hace que las propiedades fí-sicas de los alcoholes sean muy diferentes de las de loscorrespondientes hidrocarburos con el mismo número decarbonos. Los puntos de ebullición son más elevados, yaumentan con el número de carbonos. En los polialcoholes,la dificultad de desplazamiento de las moléculas hace queéstas tengan carácter viscoso. Los alcoholes de menor pesomolecular son líquidos que se disuelven en el agua. Alaumentar el número de carbonos, la solubilidad disminuyehasta desaparecer, en cuyo caso son sólidos carentes de olor.

Propiedades químicas. Reacciones

Las propiedades químicas de los alcoholes son similaresa las del agua. Al existir una considerable polaridad en lamolécula, los dos electrones del enlace del grupo –OH seaproximan al oxígeno, y aunque el hidrógeno se une aéste, dicha unión no es fija, ya que se puede unir a oxíge-nos de otras moléculas mediante puentes de hidrógeno.

Las reacciones químicas de los alcoholes se deben a laelectronegatividad del oxígeno y a la facilidad del hidróge-no para separarse de la molécula, originando el radicalR–O–, de carácter ácido. Las posibles reacciones son:

OH OH OH| | |

H – C – C – C – H| | |H H H

H H CH3OH| | | |

H – C – C – C – C – H| | | |H H H H

H OH H| | |

H – C – C – C – H| | |H H H

H|

H – C – OH|H

RR'R''

C – OHR

R'C – OHR – CH2OH


– Reacciones de sustitución del H por un metal alcalino, paradar lugar a los alcoholatos o alcóxidos:

H H| |

2H – C – OH + 2Na → 2H – C – ONa + H2| |H H

– Reacciones de esterificación. Es la reacción característicaentre un alcohol y un ácido orgánico para formar un és-ter y agua:

H H O H O H| | || | || |

H – C – OH + H – C – C – OH → H – C – O – C – C – H| | | |H H H H

Otro tipo de reacciones son aquellas en las que se sepa-ra el grupo –OH, y el alcohol actúa como una base. En estegrupo de reacciones se encuentran:

– Reacciones de deshidratación, que pueden ocurrir conformación de un éter o de un doble enlace, según sea elmecanismo de reacción:

CH3 – CH2OH → H2O + CH3 = CH2

– Reacciones de oxidación. Dependen del tipo de alcohol;los alcoholes primarios se oxidan a aldehídos y despuésa ácidos; los secundarios, a cetonas, y los terciarios pre-sentan ruptura de cadena:

H

2CH3 – CH2 – CH2OH + O2 → 2CH3 – CH2 – C/

\\+ 2H2O

Opropanol 1 propanal

O||

2CH3 – CHOH + CH3 + O2 → 2CH3 – C – CH3 + 2H2

propanol 2 propanona


Los alcoholes se han obtenido tradicionalmente a par-tir de productos vegetales. Así, el alcohol metílico era co-nocido con el nombre de alcohol de madera porque se ob-tenía de su destilación. Por su parte, el etanol está presen-te en todas las bebidas alcohólicas y se obtiene mediantefermentación de sustancias que contienen glucosa:

C 6H 12O 6 → 2C2H 5OH + 2CO2

En el laboratorio se puede preparar por reducción delhidrógeno de los aldehídos y cetonas.

El metanol es tóxico y se emplea en medicina comodesinfectante y en la preparación de cloroformo, disolven-tes, anticongelantes y jabones. El etanol se usa fundamen-talmente como desinfectante y en la industria de las bebi-das, ya que no es tóxico, a diferencia del metanol. Tiene apli-caciones como componente de productos farmacéuticos, yes un producto de partida para la elaboración de colorantes,disolventes y explosivos. Tanto el metanol como el etanolson combustibles. La glicerina o propanodiol es un líquidoviscoso que tiene gran aplicación en cosmética y farmacia,en la fabricación de explosivos y como anticongelante.

Fenoles

Los fenoles son los compuestos que se obtienen al susti-tuir un hidrógeno de un hidrocarburo aromático por ungrupo hidroxilo –OH. El compuesto más simple es el fe-nol, de fórmula C6H 5OH:

Los restantes fenoles se consideran derivados de esteanterior y se nombran sustituyendo la palabra benceno delos hidrocarburos aromáticos por la palabra fenol:

ortometil fenol, conocido tradicionalmente comoo-cresol

También se les puede nombrar anteponiendo el prefijohidroxi- al del radical. De esta forma, el compuesto anteriorse llamaría hidroximetilbenceno. Los fenoles también ad-miten la sustitución de más de un hidrógeno por grupos–OH, con lo que se obtendrán mono, di, o tri sustituidos.

paradifenol o paradihidroxibenceno (tradicionalmente hidroquinona)

Los sustituyentes más comunes en los fenoles son loshalógenos, aminas, sulfonas, etc.

OH|C

C|

OH

C – HH – C

C – HH – C

OH|C

C|H

C – HH – C

C – CH3H – C

OH|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

CH3O H + CH3 – CO OH → CH3OOC – CH3 + H2OH2O

164 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Propiedades

Las propiedades físicas varían de forma análoga a las de losalcoholes alifáticos respecto de sus hidrocarburos corres-pondientes. Químicamente también son parecidos a ellos.Sin embargo, al ser más fuerte la unión del grupo –OH, sondifíciles de producir. Reaccionan con los hidróxidos paradar dos fenóxidos o fenatos, debido a su carácter ácido:


Se obtienen principalmente a partir del alquitrán de hulla.En el laboratorio se obtienen mediante la reacción del ácidobencenosulfónico con el hidróxido sódico. Se utilizan comoantisépticos, en la preparación de barnices y en fotografía.

Éteres

Son los compuestos que resultan de sustituir el hidróge-no del grupo –OH de un alcohol por un radical alquilo.La molécula de éter queda formada por dos radicales al-quilos unidos por un oxígeno: R – O – R’

Nomenclatura

Según la IUPAC, se nombran intercalando el prefijo oxi-entre los nombres de ambos radicales. Se considera la ca-dena de mayor número de carbonos la que sustituye el H:

CH3 – O – CH3 → metoxi-metanoCH3 – CH2 – O – CH3 → etoxi-metano

Otra forma de nombrarlos es utilizando la palabra éterseguida de los nombres de ambos radicales:

CH3 – O – CH3 → éter dimetílicoCH3 – CH2 – O – CH3 → éter metil-etílico

Si los dos radicales son iguales, los éteres se denomi-nan simétricos. El CH3 – CH2 – O – CH2 – CH3 es eléter dietílico o etoxietano. Es simétrico y conserva sunombre tradicional de éter sulfúrico.

El hidrógeno también se sustituye en un fenol:

Propiedades

Los éteres orgánicos son líquidos volátiles, muy inflama-bles. Presentan isomería funcional con los alcoholes, di-ferenciándose los isómeros en el grupo funcional. Lospuntos de ebullición no muestran gran variación respec-to de los hidrocarburos saturados de igual número decarbonos.


Los éteres se obtienen mediante el procedimiento de Wi-lliamson, que consiste en hacer reaccionar un haluro dealquilo con un alcóxido de sodio:

CH3 – CH2ONa + CH3 – CH2I →alcóxido sódico yoduro de etilo

→ CH3 – CH2 – O – CH2 – CH3 + NaIéter yoduro

de sodio

También se pueden obtener haciendo reaccionar ácidosulfúrico con un alcohol, con producción de agua.

El más utilizado de los éteres es el éter sulfúrico, quese emplea como anestésico. En general, los éteres se uti-lizan como disolventes en la industria, y algunos comofungicidas.

C|H

C – O – CH3H – C

C|H

H|C

H|C

fenil oximetilo anisol

OH|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C

ONa|C

C|H

C – HH – C

C – HH – C+ NaOH → + H2O

______________________________________________________________________________________ Alcoholes, fenoles y éteres 165


1. Nombrar los siguientes compuestos:

a) CH3 – CH – CH2OH|

CH3

b)

c) CH3 – CH2 – CH2 – O – CH2 – CH3

2. Escribir las fórmulas de:

a) 2-metil 2-propanol;b) éter dipropílico.

3. Calcular la composición centesimal del fenol.

H|C

C|H

CH – C

C – CH2 – OHH – C

OTROS COMPUESTOSORGÁNICOS

HN CH3

N

O

N

N

CH3

O

Derivados halogenados

Los derivados halogenados más simples son aquellos enlos que el hidrógeno de un hidrocarburo alifático se sus-tituye por un halógeno (F, Cl, Br, I). Son los llamados ha-logenuros de alquilo. Estos compuestos se caracterizan portener la molécula muy polarizada, lo que hace que seancapaces de reaccionar con facilidad.

Nomenclatura

Según la IUPAC, se designan con el nombre del halógenoprecedido de un localizador, cuando sea necesario, y se-guido del nombre del hidrocarburo:

yodo metano dicloro etano 2 cloro propano

Los más sencillos a veces se nombran como halurosdel radical al que van unidos. El yodo-metano sería elyoduro de metilo y el dicloro etano, dicloruro de etilo.Otras veces conservan el nombre tradicional; de estemodo, el triclorometano es conocido popularmente comocloroformo.

Propiedades

La mayor parte de estos compuestos son líquidos incolo-ros, que reaccionan más fácilmente cuanto más corta seala cadena del hidrocarburo al que van unidos. Dan lugara dos tipos de reacciones muy diferentes: las de sustitu-ción y las de eliminación.

Entre las reacciones de sustitución se encuentra la hi-drólisis, en la que el ion OH– sustituye al halógeno,dando lugar a un alcohol. Como catalizador se utiliza elhidróxido potásico en disolución acuosa:

CH3 – CH2Cl + H2O → CH3 – CH2OH + HClcloruro de etilo etanol

En las reacciones de eliminación, el halógeno desapa-rece de la molécula, dando lugar a dobles y triples en-laces:

CH3 – CH2I → CH2 = CH2 + IH

Cuando el halógeno sustituye a un hidrógeno de unanillo bencénico, se obtienen los haluros de arilo:

metadiclorobenceno


Los derivados hidrogenados se pueden obtener directa-mente añadiendo el halógeno al hidrocarburo.

Son múltiples las aplicaciones de estas sustancias. Seutilizan como disolventes, fumigantes, refrigerantes ypara la obtención de otras sustancias orgánicas más com-plejas. El cloroformo se emplea como anestésico.

Aldehídos y cetonas

Son dos tipos de compuestos con muchas semejanzas.Ambos se caracterizan por tener unido un oxígeno a uncarbono mediante un doble enlace. Es el grupo carboni-lo. La diferencia está en que, en los aldehídos, el oxígenoestá unido a un carbono primario y, en las cetonas, launión se efectúa en un carbono secundario:

aldehídos cetonas

O||

R – C – R’

O//

R – C\H

Cl|C

C|H

C – ClH – C

C – HH – C

H Cl H| | |

H – C – C – C – H| | |H H H

Cl Cl| |

H – C – C – H| |H H

H|

H – C – I|H


Los aldehídos reaccionan más fácilmente que las cetonas.En estas moléculas, el oxígeno atrae los dos electrones com-partidos, por lo que el carbono al que va unido queda con ca-rencia de electrones y presenta mayor facilidad para unirse asustancias nucleófilas. A su vez, el oxígeno, sobrecargado deelectrones, reacciona fácilmente con sustancias electrófilas.

Los aldehídos se forman a partir de alcoholes primarios ylas cetonas, a partir de alcoholes secundarios, por oxidación.

Nomenclatura

Los aldehídos orgánicos se nombran cambiando la termi-nación -o del alcano por la terminación -al. Como el oxí-geno está unido a un carbono primario, no necesita loca-lizador para indicar su posición, ya que en las cadenas seinicia la numeración por el carbono que lleva el grupocarbonilo. El más sencillo es el derivado del metanol:

metanal etanal

En la nomenclatura tradicional, se utilizaba el nombredel ácido que generan, terminado en la palabra aldehído.Así, el metanol, que da lugar al ácido fórmico, se deno-mina también formaldehído, y el etanal es conocido comoacetaldehído.

Las cetonas se nombran utilizando la terminación -ona.En estos compuestos sí es necesario utilizar localizadorespara conocer la posición del doble enlace, teniendo en cuen-ta que se empieza a numerar la cadena de forma que el gru-po carbonilo tenga el número más bajo. La cetona más sen-cilla es la propanona, también conocida como acetona:

acetona butadiona

3-pentanona

Propiedades

El metanal es un gas. Por el contrario, el resto de los al-dehídos y cetonas son líquidos. Los de menor número decarbonos en su cadena principal tienen un fuerte olor yson miscibles en agua. Los aldehídos pueden formar po-límeros y las cetonas no. Químicamente, pueden dar lu-gar a reacciones de adición y de sustitución.

Típicas reacciones de adición son las de hidrolización,la unión con el hidrógeno formando alcoholes primariosy secundarios, la unión con ácido cianhídrico, etc.

En la reacción del propanol con el ácido cianhídrico, eloxígeno rompe el doble enlace para unirse al hidrógeno:

O O – H// |

CH3 – CH2 – C + CNH → CH3 – CH2 – C – C ≡ N\H

propanal ácido cianhidrina cianhídrico del propanal

En las reacciones de sustitución de aldehídos y cetonasse deshace el grupo carbonilo y uno de los productos re-sultantes acapara todo el oxígeno:

O//

CH3 – C + PCl5 → CH3 – CH2 + POCl3\H

Oxidación de aldehídos y cetonas. Los aldehídos se oxi-dan dando ácidos con el mismo número de carbonos. Sinembargo, la oxidación de las cetonas es más difícil, ya quese produce la ruptura de la cadena, con conformación dedos ácidos:

O O// //

2CH3 – C + O2 → 2CH3 – C\ \H OH

etanal etanoico o ácido acético

O O|| //

CH3 – C – CH3 + 2O2 → CO3H2 + CH3 – C\OH

propanona etanoico


Los aldehídos y cetonas se obtienen por oxigenación delos alcoholes. En el laboratorio, se pueden obtener por re-ducción de ácidos.

Los aldehídos y cetonas tienen importancia como pro-ductos intermedios en la formación de otros productos.El metanal se usa como desinfectante. Otros aldehídosson utilizados en cosmética y perfumería.

En cuanto a las cetonas, la propanona se emplea comodisolvente y para obtener plexiglás. Otras cetonas se uti-lizan en perfumería.

Ácidos orgánicos

Son sustancias que presentan un oxígeno con un dobleenlace y un grupo –OH unidos a un carbono primario. Aeste conjunto se le llama grupo carboxilo:

O//

R – C\OH

O||

CH3 – CH2 – C – CH2 – CH3

O O|| ||

CH3 – C – C – CH3

O||

CH3 – C – CH3

H O| //

H – C – C| \H H

O//

R – C\H

____________________________________________________________________________________ Otros compuestos orgánicos 167

Nomenclatura

Se designan con el nombre del hidrocarburo terminado en-oico. Al ir colocados en carbonos primarios, no necesitanlocalizador de posición, iniciándose la numeración de lacadena por el carbono que contienen el grupo carboxilo:

metanoico etanoico

propanoico etanodioico

La mayoría de estos ácidos conservan su nombre tradi-cional, así:

Metanoico → ácido fórmicoEtanoico → ácido acéticoPropanoico → ácido propiónicoEtanodioico → ácido oxálico

Si el grupo carboxilo está presente en un anillo bencé-nico se obtienen los ácidos aromáticos. El más importan-te desde el punto de vista de sus características químicases el ácido benzoico, C 6H 5COOH:

Propiedades

Los ácidos orgánicos de cadena con bajo número de car-bonos son líquidos con olor fuerte y penetrante; el restoson sólidos. Debido a su elevado carácter ácido, reaccio-nan con las bases para formar sales. Son las llamadasreacciones de neutralización:

O O// //

H – C + KOH → H – C + H2O\ \OH OK

metanol hidróxido metanoato aguapotásico de potasio

Otra reacción típica de los ácidos es la esterificacióno formación de un éster al reaccionar un ácido con unalcohol:

CH3 – COOH + CH3 – CH2OH →etanoico etanol

O||

→ CH3 – C – O – CH2 – CH3 + H2Oetanoato de etilo

Los halógenos de ácidos se forman cuando un ácidoreacciona con compuestos halogenantes, como puede serel tricloruro de fósforo. En esta reacción, el cloro sustitu-ye al grupo –OH del ácido:

O O|| //

3CH3 – C – OH + PCl3 → 3CH3 – C + H3PO3\Cl


La mayoría de los ácidos orgánicos se encuentran en lanaturaleza, ya sea de forma animal o vegetal. Al metanolse le conocía como ácido fórmico porque se había encon-trado en las hormigas; el ácido acético se halla en el vina-gre; el ácido oxálico se halla en plantas como la acedera,etc. En el laboratorio se pueden obtener por oxidación deun alcohol o un aldehído.

La utilización de estos ácidos es muy variada. Son fun-damentales en la industria de los jabones que se empleanpara la limpieza. Se llaman jabones las sales metálicas delos ácidos grasos. Se obtienen haciendo reaccionar dichosácidos con hidróxidos metálicos, en una reacción deno-minada saponificación. Otros ácidos se utilizan para ob-tener fármacos, en la fabricación de fibras sintéticas y entrabajos de síntesis orgánica.

Ésteres

Son sustancias que se obtienen al reaccionar un ácido conun alcohol eliminando agua. El radical correspondienteal alcohol se une al oxígeno del grupo –OH del ácido. Sepuede decir que los ésteres son equivalentes a las sales enquímica inorgánica.

Nomenclatura

Se designan con el nombre del ácido terminado en -ato yseguido del nombre del radical:

etanoato de metilo propanoato de etilo

Los ésteres se encuentran en la naturaleza. Son los quehacen que las flores tengan olores agradables.

H H O| | ||

H – C – C – C – O – CH2 – CH3| |H H

H O H| || |

H – C – C – O – C – H| |H H

H|C

C|H

C – HH – C

C – CH – C

O

OH

O O\\ //

C – C/ \

HO OH

O//

CH3 – CH2 – C\OH

O//

CH3 – C\OH

O//

R – C\OH

168 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________

Sustancias nitrogenadas

Las sustancias orgánicas en las que interviene el nitróge-no son las amidas, las aminas y los nitrilos.

Amidas. Las amidas se consideran el resultado de sus-tituir el grupo –OH de un ácido por el grupo NH2. Portanto, su grupo funcional es:

Son sustancias neutras que se nombran añadiendo elsufijo -amida al nombre del radical del ácido del que pro-vienen:

metanoamida etanoamida metanodiamida(urea)

La más importante es la metanodiamida, más conoci-da como urea. Es un producto resultante de la descom-posición de las proteínas. Tiene gran utilidad como abo-no nitrogenado.

Aminas. Las aminas se consideran compuestos deriva-dos del amoniaco, de fórmula NH3, donde se han susti-tuido uno, dos o los tres hidrógenos por radicales alquíli-cos. Según estas sustituciones, las aminas serán prima-rias, secundarias o terciarias:

amina primaria amina secundaria amina terciaria

Se nombran añadiendo el sufijo -amina al nombre delradical o radicales a los que va unida, señalando median-te un localizador su posición:

metilamina metil - etil - amina

fenilamina o bencenoamina butanoamina

Algunos compuestos conservan los nombres tradicio-nales. La bencenoamina es conocida como anilina. Tie-nen gran aplicación como colorantes en la industria deteñidos.

Se obtienen al reaccionar el amoniaco con los halurosorgánicos

Nitrilos. Los nitrilos son sustancias orgánicas que po-seen el grupo ciano –CN incorporado a su estructura.

Se nombran añadiendo la palabra nitrilo al nombre delradical, o bien como cianuros de alquilo:

etano nitrilo o propano nitrilo ocianuro de metilo cianuro de etilo

Los nitrilos se utilizan en la síntesis de sustancias orgá-nicas por su facilidad para reaccionar.

El metanonitrilo es tóxico, tiene un olor característico yal unirse con los metales alcalinos forma productos vene-nosos, como el cianuro potásico, KCN.

CH3 – CH2 – C ≡NCH3 – C ≡N

NH2|

CH3 – CH – CH2 – CH3

H|CH – C

H – CC– NH2

C– HC|H

HCH3CH2 – CH2 – CH3

NNH2

|H – C – H

|H

RR'R''

NHRR'

NHHR

N

O||

NH2 – C – NH2

O||

CH3 – C – NH2

O||

H – C – NH2

O||

R – C – NH2

____________________________________________________________________________________ Otros compuestos orgánicos 169


1. ¿Cómo se nombran las siguientes fórmulas?

O O|| ||

a) H – C – C – H

O||

b) CH3 – CH2 – C – O – CH3

O||

c) CH3 – CH2 – CH3 – C – NH2

O H CH3 O|| | | ||

d) OH – C – C = C – C – OH

2. Escribir las fórmulas de los siguientes compuestosquímicos:

a) Butanoato de propilo.b) Metil etil propil amina.c) Propanonitrilo.

3. Explicar la diferencia entre las cetonas y los alde-hídos.

4. ¿Cuántos gramos de éster se obtienen en la reac-ción de 100 gramos de ácido metanoico en exce-so de etanol?

5. Escribir y nombrar tres aminas, una primaria, otrasecundaria y otra terciaria.

Ácido: Compuesto químico que, en disolución acuosa, in-crementa la concentración de iones hidrógeno de la mis-ma (definición de Arrhenius). También se define como elcompuesto capaz de ceder protones cuando reacciona conmetales u otras sustancias de carácter básico (ácido deBrönsted-Lowry). Según el concepto propuesto por Lewis,un ácido es toda sustancia que, al formar un enlace quími-co con otra, actúa como dadora del par de electrones queambas comparten.

Ácido-base: Grupo de compuestos químicos complementa-rios que interaccionan entre sí por las llamadas reaccionesde ácido-base. En estas reacciones, uno de los compues-tos, el ácido, cede protones o cationes hidrógeno H+, mien-tras que el otro, la base, acepta dichos protones (o, en sen-tido equivalente, libera aniones hidroxilo OH– para for-mar agua con los cationes H+).

Actínidos: Grupo de elementos químicos de la serie 14, quecomprende desde el torio (número atómico 90) al lawren-cio (103). Se distinguen por la presencia en su estructuraelectrónica de orbitales 5f, y son elementos de transicióninterna por lo general de carácter radiactivo y altamenteinestables. Ocupan en la tabla periódica simplificada el lu-gar del actinio.

Afinidad electrónica: Tendencia que muestran los átomosde un elemento o un compuesto químico para capturarelectrones ajenos y transformarse en iones cargados nega-tivamente (aniones).

Alquino: Hidrocarburo acetilénico, compuesto químico or-gánico constituido únicamente por átomos de carbono ehidrógeno en cadena abierta y con existencia de un tripleenlace, como mínimo, entre dos de sus carbonos. La fór-mula empírica general de los alquinos es CnH2n-2. Los al-quinos se denominan con el sufijo -ino, y los primeros com-puestos de la serie son el acetileno o etino (CH–CH), el pro-pino (CH3-CCH), el 1-butino (CHC-CH2-CH3) y el2-butino (CH3-CC-CH3).

Amida: Compuesto químico orgánico derivado de las ami-nas, y de fórmula empírica general R-CO-NH2, siendo Run radical orgánico.

Anión: Ion dotado de carga eléctrica negativa. En los procesoselectrolíticos es atraído por el ánodo (electrodo positivo).

Base: Compuesto químico que, en disolución acuosa, incre-menta la concentración de iones hidrógeno de la misma(definición de Arrhenius). También se define como el com-

puesto capaz de ceder protones cuando reacciona con me-tales u otras sustancias de carácter básico (definición deBrönsted-Lowry). Según Lewis, una base sería toda aque-lla sustancia que, al formar un enlace químico con otra, ac-túa como dadora del par de electrones que comparte.

Catalizador: Sustancia que, sin intervenir directamente enlos procesos de un intercambio químico, modifica la velo-cidad de reacción e influye en las características de los pro-ductos obtenidos. Un catalizador puede actuar como mo-derador o acelerador de una reacción química, e inclusomuchos de estos procesos no llegan a activarse sin la pre-sencia de una sustancia que ejerza esta función.

Catión: Ion dotado de carga eléctrica positiva que, en lasreacciones electrolíticas, es atraído por el electrodo negati-vo o cátodo.

Concentración: En una disolución, relación que existe entrela cantidad de soluto y de disolvente, o entre la cantidadde soluto y la total de la disolución. Se mide según diver-sas magnitudes, como molaridad, molalidad y norma-lidad.

Condensación: Cambio de estado de vapor a líquido en unasustancia.

Densidad: Magnitud definida como la masa existente de unasustancia por unidad de volumen o de superficie.

Destilación: Separación por vaporización de los componen-tes que integran una mezcla de sustancias líquidas.

Disolvente: Componente mayoritario de una disolución.Electrólisis: Proceso consistente en la descomposición de un

compuesto químico, o electrólito, por su sometimiento alpaso de una corriente eléctrica. Se basa en la apropiaciónde electrones del electrólito por el electrodo positivo (áno-do) y su cesión por parte del electrodo negativo (cátodo).

Electrón: Partícula subatómica elemental, de carga negativaigual a 1,602 x 10–19 culombios y con una masa casi nula(1.836,2 veces inferior a la del protón), presente en los áto-mos en la región llamada corteza electrónica y objeto delos intercambios entre moléculas conocidos como reaccio-nes químicas.

Electronegatividad: Capacidad por la cual un átomo, unamolécula o un ion muestran tendencia a atraer hacia síelectrones de otras partes del grupo al que pertenecen.

Equilibrio químico: Situación que se alcanza en una reac-ción química cuando se igualan las velocidades directa einversa de reacción. De este modo, la creación de produc-

GLOSARIO

tos de reacción y la descomposición de éstos para formarlos reactivos originales se compensan de manera que elproceso global se hace estacionario.

Evaporación: Sinónimo de vaporización, paso de una sus-tancia del estado líquido al de vapor.

Fusión: Cambio del estado sólido al estado líquido en unasustancia.

Gel: Sistema coloidal de aspecto sólido que se comportacomo un líquido al ser sometido a presiones y deforma-ciones.

Grupo funcional: Átomo o agrupación de átomos caracte-rística que, presente en un determinado compuesto orgá-nico, confiere a éste estructura y propiedades químicaspropias y diferenciativas. Algunos ejemplos de gruposfuncionales son alquilo, característico de los alcanos o hi-drocarburos saturados; carbonilo, de los aldehídos y ceto-nas; carboxilo, de los ácidos orgánicos, etc.

Hidruro: Combinación de hidrógeno con otro elemento quí-mico de electronegatividad inferior o semejante a la suya.Por ejemplo, hidruro de sodio o hidruro de níquel. En unsentido amplio, también se consideran hidruros compues-tos como el agua (H2O) y el amoniaco (NH3).

Iatroquímica: Química primitiva, floreciente durante los si-glos XVI a XVIII, aproximadamente, que se dedicaba a la pre-paración de remedios y medicamentos a partir del estu-dio de los procesos químicos naturales.

Ion: Átomo o conjunto de átomos que ha adquirido o cedi-do algún electrón. Los iones que capturan electrones secargan negativamente y reciben el nombre de aniones; losque ceden electrones adquieren carga positiva y se cono-cen por cationes.

Isótopo: Cada una de las especies atómicas de un elementoquímico que, aun compartiendo un mismo número atómi-co, difieren en su número másico; es decir, dos isótopos di-ferentes de un elemento poseen igual cantidad de proto-nes y distinto número de neutrones en su núcleo atómico.

Licuefacción: Cambio de estado de gas a líquido de una sus-tancia sometida a una presión exterior inferior a la tempe-ratura crítica. También se denomina licuación.

Mol: Unidad elemental de cantidad de sustancia en el Siste-ma Internacional, definida como la cantidad cuya masa engramos equivale numéricamente a la masa molecular delcompuesto.

Molalidad: Medida de la concentración de una disolución,expresada como la cantidad de sustancia de soluto dividi-da por la cantidad de disolvente en kilogramos. Su uni-dad es el mol por kilogramo.

Molaridad: Medida de la concentración de una disoluciónexpresada como la cantidad de sustancia de soluto por li-tro de disolución. Su unidad es el mol por litro.

Neutrón: Nucleón de carga eléctrica neutra, partícula subató-mica presente en los núcleos de los átomos, cuya masa enreposo es igual a 1,00136 veces la del protón. La suma delnúmero de protones y neutrones de un átomo se conoce pornúmero másico y es una de las propiedades característicasde los distintos isótopos de los elementos químicos.

Normalidad: Medida de la concentración de una disoluciónexpresada como el número de equivalentes químicos desoluto por litro de disolución.

Número atómico: Cantidad que expresa el número de pro-tones presentes en el núcleo atómico de un elemento quí-mico. Es una característica invariable para cada elemento,y en los átomos de carga eléctrica neutra coincide con elnúmero de sus electrones.

Número de Avogadro: Constante que expresa el número demoléculas contenidas en un mol y el número de átomosque contiene un átomo-gramo de una sustancia. Equivalea 6,023 x 1023.

Orbital: Región del espacio ocupado por un átomo dondese confina un par electrónico. Los dos electrones que, comomáximo, ocupan un orbital atómico poseen idénticos nú-meros cuánticos principal, magnético y acimutal, aunquedistinto espín (principio de exclusión de Pauli).

pH: Medida del grado de acidez de una disolución, definidacomo el logaritmo decimal del valor inverso de la concen-tración de iones hidronio (H3O

+). Si el pH es inferior a 7,la solución tiene carácter ácido, y es básica cuando el pHes superior a 7.

Polaridad: Fenómeno por el cual los electrones compartidospor dos átomos mediante un enlace covalente son atraí-dos con mayor fuerza por el elemento más electronegati-vo de dicho enlace. Ello confiere al compuesto propieda-des electroquímicas específicas.

Polímero: Sustancia química constituida por millares o mi-llones de moléculas, conforme a una estructura definidapor la repetición múltiple de unidades funcionales bási-cas. Los polímeros poseen numerosas aplicaciones indus-triales en la fabricación de plásticos, vidrio, papel y otrosmateriales.

Presión de vapor: Presión que ejerce un vapor que se en-cuentra en equilibrio con la fase líquida o sólida de la queemana. Cuando un líquido alcanza la temperatura deebullición, la presión de vapor se iguala con la atmosfé-rica.

Presión osmótica: Presión que se requiere para evitar la ós-mosis de disolvente a través de una membrana semiper-meable que separa dos disoluciones de distinta concentra-ción.

Protón: Nucleón, partícula subatómica de carga positivaigual a 1,602 x 10–19 culombios (idéntica a la del electrón,aunque de signo contrario) y masa de 1,673 x 10–24 gramos.La cantidad de protones de un núcleo, o número atómico,es la propiedad que distingue a unos elementos químicosde otros. La suma de protones y neutrones del núcleo seconoce por número másico.

Punto de fusión: Temperatura para la cual se equilibran lasfases sólida y líquida de una sustancia, y por debajo de lacual se produce un cambio de estado de líquido a sólido.El punto de fusión del agua (0 ºC) es el origen de la escalacentígrada o Celsius de temperaturas.

Sal: Compuesto químico formado por la reacción de un áci-do y una base o elemento metálico. En disolución o fundi-das, las sales se disocian para formar iones.

Valencia: Número entero que expresa la capacidad de reac-ción de un elemento químico. Se define como el númerode electrones que dicho átomo puede capturar, ceder ocompartir cuando interacciona con otros elementos de sumisma u otra especie.

______________________________________________________________________________________________________ Glosario 171

El estudio de la química

1. El angloirlandés Robert Boyle, en su obra El químico escép-tico, publicada en 1661.

2. Lavoisier resolvió el problema de la diferencia de peso delas distintas sustancias al considerar al oxígeno comoconstituyente gaseoso esencial de los ácidos y de las ba-ses. Además desarrolló todos los conocimientos químicosde la época, creando la base de la química moderna y con-cibiendo un sistema detallado de nomenclatura química.

3. La química puede ser inorgánica, que analiza los elemen-tos y sus compuestos, excepto los integrados por cade-nas de carbono; orgánica, que estudia los compuestos delcarbono; analítica, que trata sobre los métodos para de-terminar la composición de las sustancias; física, que seocupa de las relaciones entre la estructura y las propie-dades de las sustancias, y técnica o industrial, que des-cribe los procedimientos industriales para obtener lassustancias.

Estructura atómica

1. El número de protones es igual al número atómico, es de-cir, 38.Como el número másico es la suma del número de proto-nes más el número de neutrones, se obtiene restando elnúmero atómico del número másico:

número de neutrones = 90 – 38 = 52

2. La masa molecular es la suma de las masas o pesos ató-micos de los elementos que componen la molécula, portanto:

masa molecular H 2SO4 = 32 + (4 · 16) + (2 · 1 ) = 98 u

3. n = 2 l = 0 → m = 0 orbital 2s, esféricom = –1 orbital 2px, dos lóbulos orienta-

dos según el eje x.

l = 1 m = 0 orbital 2py , dos lóbulos orien-tados según el eje y

m = 1 orbital 2pz, dos lóbulos orienta-dos según el eje z

Estructura electrónica y sistema perió-dico

1. He: 1s2

Ne: 2s2 2p6

Ar: 3s2 3p6

Kr: 3d10 4s2 4p6

Xe: 4d10 4s2 5p6

Rn: 4f14 5d10 6s2 6p6

2. El número atómico z del sodio es 11.N.º Orbital que

electrón ocupa Representación1 1s 1s2 1s 1s3 2s 1s 2s4 2s 1s 2s5 2p 1s 2s 2p6 2p 1s 2s 2p7 2p 1s 2s 2p8 2p 1s 2s 2p9 2p 1s 2s 2p

10 2p 1s 2s 2p11 3s 1s 2s 2p 3s

3. El neón es un gas noble y por tanto presenta el máximopotencial de ionización. El cloro y el bromo son muy elec-tronegativos, al estar a la derecha del sistema periódico, ymayor es el del cloro, por situarse por encima del bromo.El litio y el sodio son los menos electronegativos, ya quese encuentran a la izquierda del sistema periódico:

Ne > Cl > Br > Li = NaLa electronegatividad aumenta a lo largo del sistema pe-riódico de izquierda a derecha y, dentro de cada grupo, ensentido ascendente.

4. Ca > Se > Ga > Fe.

Nomenclatura y formulación

1. a) H 3PO4; b) H 2S; c) FeO; d) Rb2O; e) Al(OH)3;f) Ba(OH)2; g) H 2O 2; h) NaHCO3; i) K 2SO4; j) H 2S.

2. a) óxido de magnesio; b) monóxido de carbono; c) hidró-xido de calcio; d) hidrogenosulfato de sodio; e) ácido yó-dico; f) óxido cuproso (I); g) ácido nítrico; h) permanga-nato de potasio.


3. a) ion sulfato; b) tetrahidruroaluminato de litio; c) sulfu-ro de berilio; d) tiosulfato de hierro (II); e) trióxido doblede magnesio-titanio (IV); f) carbonato de magnesio-diso-dio; g) ácido tetrafluorobórico; h) cloruro de tionilo o clo-ruro de sulfinilo; i) tetracloroferrato (II) de sodio o tetra-cloruro de hierro (II)-disodio.

4. a) VO(ClO4) 3; b) MgSO4; c) PtPHO3; d) H 2S 2O 5; e) PBr3.

Enlaces atómicos y moleculares

1. El átomo de flúor presenta la configuración electrónica1s22s22p5. Al realizar la representación gráfica, se ve quehay un electrón desapareado en el orbital pz de cada áto-mo y, por tanto, cuando se aproximan los dos átomos a lolargo del eje z, se originará un solapamiento de dichos or-bitales atómicos pz , produciéndose la formación de unnuevo orbital molecular donde se sitúan los electronescon espines opuestos:

1s 2s 2px 2py 2pz

2.La diferencia de electronegatividad hace que aparezcamomento dipolar. Si la molécula de agua fuese lineal, seanularían los dos momentos dipolares, pero como es an-gular, esto no sucede.

3. a) Cierto; los sólidos cristalinos no presentan conductivi-dad, puesto que no tienen cargas libres.

b) Cierto; los sólidos moleculares están unidos por fuer-zas de Van der Waals, más débiles que las electrostáti-cas, que mantienen unidos a los iones de una red cris-talina.

c) Falso; están deslocalizados y a ello se debe su conduc-tividad, brillo y maleabilidad, es decir, su propiedadesmás características.

d) Falso; al aumentar la temperatura, se incrementa la mo-vilidad de los electrones y la de los núcleos, por lo quetambién aumenta el número de choques entre ellos, loque facilita la movilidad y hace descender la conducti-vidad.

Estados de agregación de la materia

1. Según la ley completa de los gases, (P1 · V1)/T1 = P2 · V2/T2

P1 = 1,7 atmT1 = 20 + 273 = 293 KT2 = 83 + 273 = 356 K

Como el neumático no tiene cámara, mantiene el volu-men constante. Se sustituye en la fórmula y se obtiene:

(1,7 atm · 17 litros)/293 K = (P2 atm · 17 litros)/356 K

P2 = 2,06 atm

2. P i Vi / Ti = Pf Vf / Tf Vf = (Pi Vi /Pf) (Tf / Ti)

Vi = 100 cm3

Pi = 700 mmTi = 273 + 27 = 300 ºKPf = 760 mmTf = 273 ºKVf = [(700 mm · 100cm3) /760 mm] · (273 ºK/300 ºK) = = 83,82 cm3

3. Peso molecular del O2 = 32

dO2 = (32 g/mol)/(22,4 l/mol) = 1,428 g/l

4. En primer lugar hay que considerar el aporte necesariopara llegar hasta los 0 ºC:

Q1 = masa · calor específico (Tf – Ti)Q1 = 30g · 1cal/g ºC · 18 ºC = 540 cal

Como el calor de fusión del H2O es 334,4 julios/kilogra-mo, para fundir 30 g se necesitarán:

Q2 = 334,4 J/kg · 30 g = 10,032 JQ2 = 10,032 J · 0,24 Kcal/J = 2.408 cal

Por tanto, el calor para fundir el cubito de hielo será lasuma de los dos procesos anteriores:

Q = 540 cal + 2.408 cal = 2.948 cal

Química de disolución

1. El peso molecular del Na OH = 1 · 23 + 1 · 16 + 1 · 1 = 40 u;de este modo, la masa de 1 mol de Na OH es de 40 gra-mos, luego los moles de Na OH equivalentes a 3 gramosson:3 g Na OH · 1mol Na OH/40 g Na OH = 3/40 moles

de Na OH = 0,075 moles de Na OH, es decir, la disolución es 0,075 molar

2. La masa de la disolución es 1.060 g (1.000 g H2O y 60 g NaCl)C (%) = (peso de soluto/peso disolución) · 100

C (%) = (60 g/1.060 g) · 100 = 5,6 gPor tanto, el 5,6% de la disolución es sal y el 94,4% restan-

te es agua

3. 2N = 2 (eq/g) · NaOH/1 litro de disolución.1 litro de disolución tendrá 2 eq/g de NaOH.15 litros de disolución tendrán 15 · 2 eq/g = 30 eq/g NaOH.

Reacciones químicas

1. C4H10 + O2 → CO2 + H2O2C4H10(G) + 13O2(G) → 8CO2(G) + 10H2O(L)Dos moléculas de butano se combinan con trece de oxí-geno para formar ocho moléculas de dióxido de carbonoy diez moléculas de agua.De igual forma se pueden interpretar en moles y en gramos:

2. Dado que el hidróxido potásico es una base fuerte, su di-sociación es total:

KOH ↔ K+ + OH–

C4H10 O2 CO2 H2OMoles 2 13 8 10Gramos 2 · (4 · 12 + 10 · 1) 13(16 · 2) 8(12 + 16 · 2) 10(1 · 2 + 16)

2 · 58 = 116 13 · 32 = 416 8 · 44 = 358 10 · 18 = 180

H2O = H O H• •

••

••

• •

+ →F F2F


La concentración de iones OH– es 0,001, por lo que supOH será:

pOH = –log [OH–] = –log (0,01) = 2Como pH + pOH = 14, pH = 12

3. H2SO4 → (–2) · 4 del oxígeno + 1 · 2 del hidrógeno + x delazufre = 0 → x = 6.Na2CO3 → (–2) · 3 del oxígeno + 1 · 2 del sodio + x del car-bono = 0 → x = 4.

4. [CaCO3] = (3,5 · 10–3)/ (0,5 · 100) = 7 · 10–5 mol/l.Como el carbonato de calcio está en equilibrio en la diso-lución, el producto de solubilidad será:

K s = [Ca2+] · [CO32–] = s · s = s2 =

= (7 · 10–5) 2 = 49 · 10–10 5 · 10–9

5. a) Cloruro de hexaminocobalto (III).b) Nitrato de dicloro tetracuocromo (III).c) Tetracloroplatinato (II) de diaminoplata (I).d) Ion hexaminocobalto (III).

Elementos de la tabla periódica

1. El hidrógeno se puede obtener mediante métodos indus-triales y de laboratorio.

a) Métodos industriales:

Por descomposición del agua, mediante electrólisis, aña-diendo al agua unas gotas de ácido sulfúrico o hidróxidosódico. En uno de los electrodos se libera hidrógeno (cá-todo) y el oxígeno en el otro (ánodo):

2H2O → 2H2 + O2

Por reducción del vapor de agua con coque calentado a1.000 ºC, para obtener una mezcla de hidrógeno y monó-xido de carbono:

C + H2O → H2 + CO

b) En el laboratorio se pueden obtener pequeñas cantida-des a partir de compuestos que contengan hidrógeno, ta-les como ácidos, agua, etc., mediante diferentes métodos,como, por ejemplo:

Zn + 2H2O ↔ Zn2+ + 2OH– + H2

Al + 2H 2O → Al3+ + 2OH– + H2

2. a) Verdadero.b) Falso; el radón es el único gas noble que no forma par-

te de la composición de la atmósfera.c) Verdadero.d) Verdadero.

3. Se conocen tres isótopos del hidrógeno: hidrógeno, 11H;

deuterio, 21H, y tritio, 31H.

4. El método que más se utiliza es la electrólisis de sus com-puestos.

Química orgánica

1. La función química es el conjunto de compuestos orgáni-cos que tienen propiedades comunes, debido a la presen-cia de un grupo de átomos común a todos ellos llamadogrupo funcional.

2. Para responder a esta pregunta basta mirar la tabla de gru-pos funcionales y elegir cinco de ellos. Como ejemplo pue-den ser: alcohol, éter, aldehído, cetona y éster.

3. Isómeros son compuestos que tienen la misma fórmulaempírica, pero distintas propiedades.

4. Es un reacción de combustión, en la que el calor despren-dido se utiliza como energía para calentar los alimentos.También se desprende dióxido de carbono y agua.

Hidrocarburos

1. Se calcula el peso molecular del benceno (C = 12, H = 1) = 78:

en 78 g de benceno ———— 72 C100 ––––––––––––––––––––––– x

x = (100 · 72)/78 = 92, 3% de C100 – 92,3 = 7,7% de hidrógeno

2. 2C4H 10 + 13O2 → 8CO2 + 10H2O.

3. CaC 2 + 2H2O → CH ≡ CH + Ca(OH)2

Pm CaC2 = 64 Pm acetileno = 26

con 64 g CaC2 ————- 26 g de acetileno100 g de CaC2 ——————— x

x = 2.600/64 = 406,25 g de acetileno

Alcoholes, fenoles y éteres

1. a) 2-metil propanol.b) Hidroximetilbenceno.c) Etoxipropeno o éter etil propílico.

2. a)

b) CH3 – CH2 – CH2 – O – CH2 – CH2 – CH3

3. C6H 6O

Pm: 12 · 6 = 72; 6 · 1 = 6; 16 · 1 = 16 Pm: 72 + 6 + 16 = 94

en 94 g de fenol hay 72 g de Cen 100 g de fenol ———— x

x = (72 · 100)/94 = 76,6% de carbono

en 94 g de fenol hay 6 g de hidrógenoen 100 g de fenol ———— x

H|CH – C

H – CC– OHC– HC

|H

CH3|

CH3 – C – CH3|

OH

174 QUÍMICA ____________________________________________________________________________________________________


x = (6 · 100)/94 = 6,49% de carbono

en 94 g de fenol hay 16 g de oxígenoen 100 g de fenol ———— x

x = (16 · 100)/94 = 17% de oxígeno

Otros compuestos orgánicos

1. a) Etanodioico.b) Propanoato de metilo.c) Butanamida.d) 2 - metil - 2 - butenodioico.

2. a) CH3 – CH2 – CH2 – COO – CH2 – CH2 – CH3

b)

c) CH3 – CH2 – C ≡ N

3. Los aldehídos llevan el oxígeno unido con doble enlace aun carbono primario y las cetonas a un carbono secun-dario.

4. Se produce la siguiente reacción de esterificación:

O H H O H H|| | | || | |

H–C–OH + H–C– C–OH → H–C–O–C– C–H + H2O| | | |H H H H

Peso molecular del metanoico de fórmula CHOOH = 46:

(C = 12; H = 1 · 2 = 2; O =16 · 2 = 32)

El éster es el metanoato de etilo y su fórmula es la si-guiente: H - COO - C2H 5, cuyo peso molecular resultantees: 74 (C = 12 · 3 = 36; H = 6; O =16 · 2 = 32).Con 46 g de metanoico se obtienen 74 g de éster, luego en100 g se obtendrán:

x = 100 · 74 / 46 = 160,87 g

5. Entre otras muchas, se pueden citar las siguientes aminas:

etil-amina dietilamina trietilamina-(amina primaria) (amina trimetil

secundaria) (amina terciaria)

CH3

CH3

CH3

NCH2 – CH3

CH2 – CH3

HN

HHCH2 – CH3

N

CH3

CH2 – CH3

CH2 – CH2 – CH3

N

•Historia de las matemáticas•Conjuntos y subconjuntos•Álgebra de Boole.

Leyes de Morgan•Aplicaciones y relaciones

entre conjuntos•Estructuras algebraicas•Números naturales, enteros

y fraccionarios•Números primos•Proporciones y porcentajes•Polinomios•Ecuaciones de primer grado•Ecuaciones de segundo grado•Matrices y sistemas

de ecuaciones lineales•Sucesiones y límites•Números complejos

y logaritmos•Derivadas•Integrales•Ecuaciones diferenciales•Elementos de geometría plana•Geometría poligonal•Geometría circular•Cuerpos geométricos•Geometría analítica•Trigonometría•Teoremas angulares

y triangulares•Estadística•Cálculo combinatorio

•Probabilidad

•Variables aleatorias

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

g o f (x)

f → g →

A

B

C

x

g (y) = z

f (x) = y

← Solución del sistema

y

x1 2 3

1

4

23 7x

– 3

y =

5

4x – 3y = 23

Las matemáticas en la antigüedad

En las postrimerías del siglo XX, las matemáticas se con-ciben como una rama del saber humano caracterizada porsu contenido altamente simbólico, abstracto y sistemati-zado tanto desde un punto de vista lógico como formal.Sin embargo, en sus comienzos esta ciencia nació con elpropósito de resolver cuestiones concretas muy inmedia-tas y próximas al devenir de sociedades agricultoras y ga-naderas todavía incipientes. La medida de la extensiónde las tierras de cultivo de un agricultor o la determina-ción de la riqueza de un rebaño por el número de anima-les que contenía fueron origen de algunas de sus discipli-nas básicas, como son la geometría (del griego, medida detierras) o el cálculo (palabra derivada de calculus, o pie-dra, por constituir este elemento la unidad de recuentomás arcaica registrada).

Contar y medir fueron dos de los objetivos prioritariosde las matemáticas. China, Mesopotamia, Egipto o Persiase constituyeron en los primeros focos importantes deldesarrollo del saber humano en la historia de esta cien-cia, principalmente en la aritmética y la geometría. Perolos primeros grandes filósofos conocidos en el ámbito delpensamiento matemático fueron griegos. Así, Tales deMileto, Anaximandro o Pitágoras sentaron las bases de lageometría analítica, la trigonometría y el cálculo. Y entrelos siglos IV y II a.C. sobresalieron otros extraordinariosfilósofos que, como Euclides, Arquímedes y Apolonio,plantearon y resolvieron problemas de geometría aplica-da que aún hoy se consideran bases sólidas de la mate-mática moderna. También destacó, aunque muy poste-rior a ellos y ya en el período helenístico, Diofanto de Ale-jandría (siglo III d.C.), quien profundizó en el área de laresolución de ecuaciones.

En la edad media, y en plena decadencia cultural euro-pea, fueron los pueblos árabes quienes heredaron y ex-tendieron el saber helénico, al que, en el terreno de lasmatemáticas, supieron unir los conocimientos aprendi-dos de los pensadores indios. Así, la numeración decimalhoy universalmente extendida procede de la India y fuepropagada por los árabes (de donde se deriva el nombrede cifras arábigas). La traducción de textos griegos y laaportación propia de grandes matemáticos como AbulWaffa, al-Batani y Omar Khayyam permitieron el pro-

greso de las matemáticas y, al mismo tiempo, la pe-netración de estos conocimientos en los nacientes reinoscristianos de Europa a través de las regiones meridiona-les de este continente. Algunas figuras europeas aisla-das, como Leonardo de Pisa, también preludiaron la

HISTORIA DE LASMATEMÁTICAS

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

La moderna concepción de la ciencia matemática contó conaportaciones de grandes figuras del pensamiento científico comoGalileo Galilei. En la imagen, retrato de Galileo por JustusJustermans (Galería de los Uffizi, Florencia).

Fotografías de cabecera: relación de pertenencia entre dos conjuntos (izq.) yrepresentación cartesiana de una función en geometría analítica (der.).

eclosión de la ciencia moderna que se produciría enEuropa a partir del Renacimiento italiano.

La matemática moderna

El redescubrimiento del mundo clásico que se vivió enItalia y otras regiones europeas desde el siglo XIV no sólose redujo al mundo artístico y literario. Incluyó tambiénla revisión de las obras filosóficas de autores griegos y, enparticular, de los tratados de geometría y aritmética, porlo general conocidos a través de su traducción por los ára-bes. Así mismo, la invención de la imprenta permitió unadifusión más amplia de textos hasta entonces poco accesi-bles. En este período de resurgir del interés por la cienciabrillaron con luz propia varias generaciones de extraordi-narios matemáticos, en especial originarios de Italia (comoGirolamo Cardano y Niccolò Tartaglia, entre otros).

A su vez, el nacimiento del pensamiento moderno ci-mentado en la revolución científica abanderada por Ni-colás Copérnico, Johannes Kepler y Galileo Galilei crista-lizó en la búsqueda de modelos filosóficos más rigurososdesde un punto de vista formal, que impulsaron ambi-ciosos desarrollos matemáticos en campos de actividadcada vez más amplios.

Así, en el siglo XVII, el francés René Descartes elaboróun modelo matemático, llamado geometría analítica, quese basaba exclusivamente en la razón y el método deduc-tivo y que partía de dos ideas fundamentales: los siste-mas de coordenadas rectangulares, conocidos en su ho-nor como cartesianos, y las magnitudes variables. Por suparte, el británico John Napier publicó las primeras ta-blas de logaritmos, que permitieron una enorme simpli-ficación de los cálculos en geometría.

A finales de este siglo, y gracias a las investigaciones de-sarrolladas por separado por el británico Isaac Newton yel alemán Gottfried von Leibniz, nació la disciplina de lasmatemáticas conocida como cálculo diferencial e integral(o análisis infinitesimal). La sistematización lograda gra-cias a los postulados de Newton y Leibniz permitió un ex-traordinario avance de las ciencias de la naturaleza, enparticular la mecánica y la óptica. En la vía de investiga-ción abierta por estos dos científicos profundizaron mu-chos otros posteriores, como el alemán Leonhard Euler,los suizos Daniel, Johann y Jakob Bernouilli y los france-ses Jean Le Rond d’Alembert y Joseph-Louis Lagrange,todos ellos en el siglo XVIII. También en este siglo destaca-ron los trabajos de Abraham de Moivre y Pierre-Simon deLaplace, a quienes se deben los primeros desarrollosde los conceptos sobre cálculo de probabilidades y esta-dística, tan extendidos posteriormente en los estudios de-mográficos, la economía, la biología, las teorías de erroresy otros muchos campos de la ciencia y la industria.

El siglo XIX vivió innumerables avances en el terrenode las matemáticas. El desarrollo de las estructuras alge-braicas complejas (grupos, anillos, cuerpos, etc.) nacidode los trabajos de Évariste Galois y Niels-Henrik Abel; elestudio sistemático de geometrías no euclidianas debidoa Bernhard Riemann, Gustav Dirichlet y otros; los traba-jos de Joseph Fourier sobre series matemáticas comple-jas; el álgebra de Boole, así llamada en honor de su inven-tor, George Boole, y base de la lógica binaria usada en lascomputadoras actuales, o los estudios sobre topologíay análisis matemático debidos a August-Louis Cauchy y,sobre todo, Carl Friedrich Gauss son sólo algunas mues-tras del extraordinario progreso experimentado por lasdiversas ramas de las matemáticas durante estas décadas.

La sucesión continua y acelerada de descubrimientosprosiguió durante el siglo XX. De este modo, las matemá-ticas se convirtieron a un tiempo en producto y motor delos avances vividos en otras áreas de la ciencia. Teorías fí-sicas de complejidad formal tan enorme como la relativi-dad general y la mecánica cuántica no hubieran podidover la luz sin el soporte de elaborados modelos matemá-ticos. También el progreso tecnológico, en particular delas computadoras en el último tercio del siglo, multipli-có las posibilidades de investigación de los equipos dematemáticos tanto en el terreno teórico como en las apli-caciones prácticas.

La búsqueda de modelos matemáticos perfectos yautocontenidos en álgebra, geometría, cálculo, probabili-dades, estadística, teoría de los números, etc., centró bue-na parte de las investigaciones de estos equipos a lo lar-go del siglo. En ellas descollaron figuras tan relevantescomo David Hilbert, Bertrand Russell, Andréi Kolmogó-rov o Kurt Gödel. Fruto de estos trabajos son los intentosde axiomatización de la teoría de conjuntos, la lógica di-fusa, la teoría de las catástrofes, las geometrías de dimen-siones fraccionarias (objetos fractales), las hipótesis delcaos y otras múltiples facetas que constituyen algunos delos nuevos desafíos a que se enfrenta la matemática con-temporánea en sus diversas disciplinas.

180 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________


1. ¿Cuáles son las dos ideas básicas en las que se sus-tenta la elaboración matemática de Descartes?

2. En el presente siglo, ¿qué dos teorías físicas fun-damentales han tenido su soporte en la ciencia ma-temática?

CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Fotografías de cabecera: relación de pertenencia entre dos conjuntos (izq.) y representación cartesiana de una función en geometría analítica (der.).

Definición de conjunto

Un conjunto es una colección de objetos o entes cuales-quiera. Los días de la semana forman un conjunto, comotambién los números menores que diez o los animales delzoológico. Los conjuntos están formados por elementos; ellunes es un elemento del conjunto días de la semana,el dos es un elemento del conjunto números menoresque diez, la a es un elemento del conjunto vocales.

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto,se escribe el signo . Así: a vocales quiere decir que aes un elemento del conjunto de las vocales. Para indicarque un elemento no pertenece a un conjunto, se escribe elmismo signo , pero cruzado por una raya . Al escribirz vocales, se indica que la letra z no pertenece al con-junto de las vocales.

Los conjuntos se representan por letras mayúsculas ylos elementos por letras minúsculas. Cuando se escribea A, se indica que a es un elemento del conjunto A. Si Ses el conjunto días de la semana, se escribe lunes S y re-loj S.

En matemáticas, los conjuntos de números más impor-tantes se designan con determinadas letras:

N → representa al conjunto de los números naturales:0, 1, 2, 3, 4, 5

Z → representa al conjunto de los números enteros:4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4

Q → representa al conjunto de los números raciona-les (enteros y fraccionarios): 1/2, 3/5, 5/7, 2, 27

I → representa al conjunto de los números irracio-nales: 2, 3, π, e

R → representa al conjunto de los números reales, queengloba a todos los anteriores.

C → representa al conjunto de los números complejos,que son los de la forma: a + bi, siendo a y b números realese i un número imaginario, tal que i2 = 1: 3 + 2i, 1 i

Alo largo de este tema y en los sucesivos se empleará confrecuencia el lenguaje matemático, que utiliza determina-dos signos propios que permiten definir las proposicionesde una forma más concreta, precisa y rápida:

El cuantificador universal, cuyo signo es ∀ , se leepara todo, para cualquier. Si se escribe ∀ x N, seestá indicando para todo número natural o para cual-quier número natural.

El cuantificador existencial, cuyo signo es ∃ , se leeexiste. Si se escribe ∃ x N, x < 8, se esta indicandoque existe al menos un número natural menor queocho. El ; o una raya inclinada / significa tal que.

También se utilizan los signos de implicación hacia laderecha (→) o condición necesaria, el de (←) implicaciónhacia la izquierda o condición suficiente y el de equiva-lencia (↔) o condición necesaria y suficiente.

Cuando se escribe p → q, significa que, siempre queocurre p, necesariamente ocurre q.

El signo de equivalencia ↔ se lee si y sólo si. La ex-presión p ↔ q indica que ocurre q sólo si ocurre p.

Ejemplo: la condición necesaria y suficiente para queun número sea múltiplo de dos es que acabe en cero o encifra par, y se puede expresar como:

x es múltiplo de 2 ↔ x acaba en cerox acaba en cifra par

Conjunto unitario es el formado por un solo elemento.El conjunto Capital de España tiene un solo elemen-to: Madrid. Conjunto binario es el que tiene dos elementos,y así se definen también los conjuntos ternarios, cuater-narios, etc.

Existen dos formas distintas para determinar o definirun conjunto: por extensión y por comprensión:

Por extensión. Para determinar un conjunto por exten-sión se citan o escriben todos y cada uno de sus elemen-tos, separándolos por comas y encerrándolos entre dosllaves. Por ejemplo, el conjunto de las vocales será:

A = a, e, i, o, u

Por comprensión. Para determinar un conjunto porcomprensión se indican todas las propiedades comunesa los elementos del conjunto, de forma que todo elemen-to que está en el conjunto posee dichas propiedades y

todo elemento que posee esas propiedades está en el con-junto. El mismo conjunto anterior escrito por compren-sión sería:

A = vocales

Representación de conjuntosPara un mejor entendimiento del concepto de conjunto,así como de las relaciones entre conjuntos, se recurre a re-presentaciones gráficas que permiten adquirir, con unamirada, una idea general del conjunto y de sus propieda-des. Los más utilizados son los denominados diagramasde Venn. Estos gráficos son una representación de los ele-mentos del conjunto mediante puntos situados en el in-terior de una línea cerrada.

Diagrama de Venn representativo del conjunto de las vocales

Ejemplo: Sea A el conjunto:

A = divisores del número 12 (definido por compren-sión) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 (definido por extensión)

Diagrama de Venn

Que 1 A indica que el 1 es un divisor de 12. Si 5 Aquiere decir que el 5 no es un divisor de 12.

Conjunto vacío

Se define conjunto vacío como aquel que no tiene ningúnelemento. Se representa por ∅ .

Sea B el siguiente conjunto: B = triángulos rectángulosequiláteros. Ningún triángulo rectángulo es equilátero,pues la hipotenusa siempre es mayor que los catetos y,por tanto, B = ∅ .

Sea A el siguiente conjunto definido por comprensión:

A = números divisores de 12 y que sean mayores que15. Evidentemente, no existe ningún numero que cum-pla a la vez ambas condiciones; por tanto, el conjunto Ano tiene ningún elemento, luego A = ∅ .

El conjunto ∅ no es el conjunto o, ya que este últimotiene un elemento que es el cero y el conjunto ∅ no tieneningún elemento.

El conjunto formado por los números naturales que sonpares e impares a la vez es otro ejemplo de conjunto vacío.

Relación entre conjuntos

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales si ambos tienen los mis-mos elementos.

El conjunto A = a, e, i, o, u y el conjunto B = vocalesson iguales. En realidad, son el mismo conjunto definidopor extensión y por comprensión, respectivamente. Estarelación se escribe: A = B.

El conjunto de los triángulos equiángulos, o triánguloscon los tres ángulos iguales, es el mismo conjunto que elde los triángulos equiláteros, que son los triángulos quetienen los lados iguales:

Triángulo equiángulo Triángulo equilátero

El hecho de que dos conjuntos tengan los mismos ele-mentos significa que cualquier elemento de uno de elloses también elemento del otro y viceversa. En forma ma-temática, se escribe:

∀ x A se verifica que x BA = B ↔ y

∀ y B se verifica que y A

Es decir, la condición necesaria y suficiente para que losconjuntos A y B sean iguales es que cualquier elementodel conjunto A sea también elemento del conjunto B, y cual-quier elemento del conjunto B lo sea también del conjunto A.

Cuando dos conjuntos no son iguales, se escribe con elsigno ≠. Así, si A = a, e, i, o, p y B = a, e, i, o, u escribire-mos A B. Se lee: A es distinto de B o A no es igual a B. Pordefinición, el conjunto A es distinto del conjunto B si exis-te al menos un elemento de A que no está en B, o existe almenos un elemento de B que no está en A.

En el ejemplo, p, que es un elemento de A, no está en B

Propiedades de la igualdad de conjuntos. Son las si-guientes:

a) Propiedad reflexiva. La propiedad reflexiva para unarelación en general indica que todo elemento está relacio-nado consigo mismo (A R A). En el caso de la relación deigualdad de conjuntos, significa que todo conjunto es iguala sí mismo.

A = A

.p

AB

.u.a .o

.e

.i

a

a a

l

l

l

.1

.4 .6

.3

.12

.2

.a

.i .u

.e

.o

182 MATEMÁTICAS ____________________________________________________________________________________________

b) Propiedad simétrica. La propiedad simétrica parauna relación cualquiera indica que si un elemento está re-lacionado con otro, éste está relacionado con el primero(A R B → B R A). Para la relación de igualdad de conjun-tos, indica que si el conjunto A es igual al B, entonces elconjunto B es igual al A:

A = B → B = A

c) Propiedad transitiva. La propiedad transitiva paracualquier relación indica que si un elemento está relacio-nado con un segundo y este segundo lo está con un terce-ro, entonces el primero está relacionado con el tercero:A R B y B R C → A R C. Para la relación de igualdad de unconjunto, indica que si un conjunto A es igual a un con-junto B y este conjunto B es igual a un conjunto C, enton-ces el conjunto A es igual al conjunto C:

A = B y B = C → A = C

Por tanto, se puede decir que la igualdad de conjuntoses una relación de equivalencia, ya que cumple todas laspropiedades anteriormente expuestas.

Relación de inclusión

Se dice que el conjunto A esta incluido en el conjunto Bcuando todos los elementos del conjunto A están en B. Larelación de inclusión se representa por el signo , y asíescribiremos A B

Matemáticamente, la definición se expresa como:

A B ↔ ∀ x A → x B

Por ejemplo, el conjunto A =a, e, i está incluido en elconjunto B = vocales, relación que puede expresarsetambién con diagramas de Venn en la forma:

A B, ya que los elementos de A: a, e, i son tambiénelementos del conjunto B, que está formado por las le-tras a, e, i, o, u.

Para indicar que un conjunto no está incluido en otrose utiliza el signo de inclusión cruzado por una raya: .Decimos que el conjunto A no está incluido en B si existeal menos un elemento de A que no esta en B.

Ejemplo: A = a, e, p B = a, e, i, o, u

A B

El elemento p está en A, pero no en B. En forma mate-mática, se escribe la definición:

A B ↔ ∃ x A y / x B

Esta expresión significa que el conjunto A no está in-cluido en B si existe al menos un elemento de A que no eselemento de B.

Propiedades de la relación de inclusión entre conjun-tos. Son las siguientes:

a) Propiedad reflexiva. Para la inclusión de conjuntos,la propiedad reflexiva indica que cualquier conjunto estáincluido en sí mismo, es decir:

A A

Demostración: Si esta propiedad no fuese cierta y A noestuviera incluido en A, existiría un elemento de A queno pertenecería a A, lo que es absurdo y por tanto se veri-fica la propiedad:

∀ x A → x A, luego A A

b) Propiedad antisimétrica. La propiedad antisimétricapara cualquier relación R se verifica siempre que un elemen-to está relacionado con otro y este otro lo está con el prime-ro, en cuyo caso ambos elementos son iguales:

(a R b y b R a → a = b)

Para la relación de inclusión entre conjuntos, la propie-dad antisimétrica se verifica cuando se tienen dos con-juntos A y B en los que A está incluido en B y B lo está enA, entonces A = B

Esta propiedad es una condición necesaria y suficientepara que dos conjuntos sean iguales, es decir A = B ↔A B y B A

Demostración: Hay que demostrar que se verifica laequivalencia, es decir, la implicación en cada sentido:

1.º Implicación hacia la derecha. Si el conjunto A esigual al B, se verifica que el conjunto A está incluido en elconjunto B y que el B está incluido en el A:

A = B → A B y B A

Por definición de igualdad entre los conjuntos A y B(A = B) se verifica que cualquier elemento de A es un ele-mento de B, luego el conjunto A está incluido en el con-junto B, y análogamente cualquier elemento de B es unelemento de A, luego el conjunto B está incluido en el A.En términos matemáticos:

A = B → ∀ x A, se verifica que x B, luego A By análogamente ∀ y B, se verifica que y A, luego B A

2.º Implicación hacia la izquierda. Si A y B son dos con-juntos cualesquiera que verifican que el conjunto A está

.iB

.o.u

.a.e.p

A

.a.o B.e

.i .uA

________________________________________________________________________________________ Conjuntos y subconjuntos 183

incluido en el conjunto B y el B está incluido en el A, en-tonces ambos conjuntos son iguales: A = B.

Si el conjunto A está incluido en el B, se verifica quecualquier elemento de A es un elemento de B, y si el con-junto B está incluido en el A, se verifica que cualquier ele-mento de B lo es también de A, que son las dos condicio-nes que se han de cumplir para que dos conjuntos seaniguales. En términos matemáticos:

A B y B A → A = B

Por ser A B:se verifica que ∀ x A, x B → A = B

Por ser B A:se verifica que ∀ y B , y A

c) Propiedad transitiva. La propiedad transitiva para larelación de inclusión de conjuntos se cumple siempre quese verifique que si A, B y C son tres conjuntos tales que el Aestá incluido en el B y el B está incluido en el C, entonces secumple que el conjunto A esta incluido en el conjunto C:

A B y B C → A C

Gráficamente:

Demostración: Por estar el conjunto A incluido en B(A B), se verifica que cualquier elemento x de A estácontenido en B y, como cualquier conjunto B está inclui-do en el conjunto C, se verifica que cualquier elemento de Btambién está contenido en C, luego x pertenecerá tambiénal C y, por tanto, el conjunto A está incluido en el C. Entérminos matemáticos:

A B y B C → A Ccomo A B ∀ x A → x B y, como B C, también

pertenecerá a CLuego si ∀ x A, x C se verifica que A C

Por verificar estas tres propiedades, se puede decir quela relación de inclusión entre conjuntos es una relaciónde Orden.

Subconjuntos

Dados dos conjuntos M y N, se dice que M es un subconjuntode N si todos los elementos de M están en N, es decir, M N.

Así:

M = a, e, iN = a, e, i, o, u

M N

Gráficamente:

El conjunto ∅ es subconjunto de cualquier otro conjunto.Si A es un conjunto cualquiera, se verifica que ∅ A. Estaafirmación es cierta, ya que, si ∅ no estuviera incluido en A(∅ A), existiría un elemento en ∅ que no estaría en A, perocomo ∅ no tiene ningún elemento, esto no ocurre y ∅ A.

Subconjunto propio. Si A es un subconjunto de B y A esdistinto de B, se dice que A es un subconjunto propio de B.

Ejemplo. Si B = conjunto de todos los triángulos y A =conjunto de los triángulos rectángulos, entonces A es unsubconjunto propio de B, ya que A B y A ≠ B, pues haytriángulos que no son rectángulos.

Conjunto de las partes de un conjunto. Sea U un conjun-to cualquiera fijo. Se define el conjunto de las partes de Ucomo el formado por todos los subconjuntos de U. Se re-presenta con una P seguida de la U entre paréntesis, P (U):

P (U) = A / A es el subconjunto de U

Ejemplo. Si U = 1, 2, b, los elementos del conjuntoP (U) serían: el conjunto ∅ , todos los conjuntos unitariosformados por elementos de U, 1, 2, b, todos los con-juntos binarios, 1,2, 1,b, 2,b y el propio conjunto U.Es decir:

P (U) = ∅ , 1, 2, b, 1,2, 1,b, 2,b, U

.a.u M.e

.i .oN

BC

A

184 MATEMÁTICAS ____________________________________________________________________________________________


1. Escribir por comprensión los siguientes conjuntos:

A = 2, 4, 6, 8, 10B = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

2. Dado el conjunto A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,dibujar mediante un diagrama de Venn el comple-mentario del subconjunto de A, B, definido así:

B = x / x impar y x < 10

3. Sea C = c / c es triánguloP = p / p es triángulo equiláteroQ = q / q es un polígonoR = r / r es un polígono regularS = s / s es un triángulo rectángulo

Relacionar estos conjuntos por la relación de inclusión.

4. Escribir los diferentes elementos del conjunto P (A), siendo: A = a, b, c

l álgebra de conjuntos encuentra una de sus expre-siones más genuinas en la denominada álgebra de

Boole, base de numerosas aplicaciones en el ámbito cien-tífico y técnico. Por su parte, las leyes de Morgan, dedu-cibles así mismo del álgebra de conjuntos, actúan comofundamento del área de las matemáticas especializada enprobabilidades.

Operaciones con conjuntos

Sea U un conjunto fijo o referencial y P (U) el conjunto delas partes de dicho conjunto. En este conjunto se definendos operaciones:

– Unión de conjuntos.– Intersección de conjuntos.

Unión de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, pertenecientes a P (A), se de-fine la unión de los conjuntos A y B como el conjunto for-mado por todos los elementos que pertenecen a A o per-tenecen a B. Se representa por A B, donde el signo significa unión de conjuntos. En forma matemática se es-cribe:

A B = x U / x A o x B

Atendiendo a la definición de unión, se observa que elconjunto A B también pertenece a P (U), es decir, A B P (U), ya que está formado por elementos de U.

La representación de la unión de dos conjuntos me-diante diagramas de Venn es la siguiente:

A B

Ejemplo:

Si se consideran los conjuntos A = a, e, i y B = i, o, u

A B = a, e, i, o, u

Gráficamente:

Si se verifica que : A B → A B = B

Ejemplo:

A = 3, 4, 6B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7A B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Gráficamente:

Propiedades de la unión de conjuntos

Son las siguientes:

a) La unión de conjuntos es conmutativa, es decir, el or-den en que se produce la unión no altera el resultado dela misma:

A B = B A

B

A

57

46

31

2

A B

Aae

i

o

Bu

A B


ÁLGEBRA DE BOOLE.LEYES DE MORGAN

E

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Para demostrar esta propiedad, hay que comprobarque se verifica la doble inclusión, es decir:

1. A B B A2. B A A B

Para comprobar la primera inclusión, A B B A,es preciso demostrar que cualquier elemento de A B estambién un elemento de B A:

x A B → o x A → x B A → x B → x B A→ A B B A

La comprobación de la segunda inclusión, B A A B, se realiza de forma análoga a la anterior:

x B A → o x B → x A B → x A → x A B→ B A A B

Ejemplo:

Si A = a, b, d, f y B = a, b, c, d, e, se tiene:

A B = a, b, c, d, e, fB A = a, b, c, d, e, f

b) La unión de conjuntos es asociativa, es decir, se pue-den agrupar varios conjuntos mediante su unión:

(A B) C = A (B C)

Como siempre que aparezca una igualdad de conjun-tos, se realiza la comprobación mediante un sistema ana-lítico que demuestre la doble inclusión.

Primera inclusión:

(A B) C A (B C)

x (A B) C →

x A B → x A → x A (B C)

→ oo x B→x B C→x A (B C)x C → x B C → x A (B C)

Así pues, queda probada la primera inclusión.Para demostrar la segunda inclusión, se razona análo-

gamente:

A (B C) (A B) C

x A (B C) →

x A → x (A B) → x (A B) C→ ox (B C) →

x B→x (A B)→ x (AB) Cox C → x (AB)C

Así pues, queda demostrada la propiedad asociativapara la unión de conjuntos.

c) Propiedad de idempotencia: la unión del conjunto Aconsigo mismo es el conjunto A:

A A = A

Para comprobar esta propiedad, se sigue el mismo pro-ceso que con las propiedades anteriores, la doble inclusión:

1. A A A

x A A → o x A → A A A x A2. A A A

x A → x A A → A A A

Intersección de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B pertenecientes a P (U), la in-tersección de A y B se define como el conjunto formadopor todos los elementos que pertenecen a A y a B a la vez.Se representa por A B, donde el signo significa inter-sección de conjuntos. En forma matemática se escribe:

A B → x U; x A y x B

Atendiendo a la definición, se observa que el conjuntointersección pertenece a P (U), ya que es un subconjun-to formado por elementos de U.

La representación de la intersección de dos conjuntosmediante diagramas de Venn es la siguiente:

Ejemplo:

Si A y B son los conjuntos:

A = a, e, iB = i, o, uA B = i

Gráficamente:

Si los dos conjuntos A y B son disjuntos, es decir, si notienen ningún elemento común, la intersección es el con-junto vacío.

A BAae i

o

B

u

A BA B

186 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Si A y B son conjuntos disjuntos, es decir, no existe nin-gún elemento de U:

/∃ x U / x A y x B → A B =

Si se verifica que: A B → A B = A

Ejemplo:

A = 3, 4, 6B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7A B = 3, 4, 6,

Gráficamente:

Propiedades de la intersección de conjuntos. Son las si-guientes:

a) Al igual que la unión, la intersección de conjuntoscumple también la propiedad conmutativa:

A B = B A

Para comprobar esta propiedad, se sigue un procesoanálogo al utilizado para la unión de conjuntos; se verifi-ca la doble inclusión:

1. A B B A

x A B → y x A→x B A→A B B A x B2. B A A B

x B A → y x B→x A B→B A A B x A

b) La intersección de conjuntos es asociativa:

A (B C ) = (A B) C

Para probarlo, es preciso demostrar la doble inclu-sión:

1. A (B C ) (A B) C

x A (B C) → y x A x B C→ y x B → x C

→ y x A B → x (A B) C x C

Así pues, queda probada la primera inclusión.2. Se razona análogamente para la segunda inclusión:

(A B) C = A (B C)

x (A B) C → y x A Bx A

x C→ y yx B x C →

→ x B C

Una vez efectuada la demostración, se verifica la pro-piedad asociativa.

c) Propiedad de idempotencia. La intersección del con-junto A consigo mismo es el conjunto A

A A = A

Para comprobar esta propiedad se sigue el mismo pro-ceso que con las propiedades anteriores, la doble inclusión:

1. A A A

x A A → y x A→ x A → A A A x A2. A A A

x A → x A A → A A A

Propiedades combinadas de la unión y la intersección

En este epígrafe se estudian la unión y la intersección con-juntamente mediante dos nuevas propiedades de simpli-ficación:

a) La primera propiedad de simplificación es la de launión respecto de la intersección, matemáticamente ex-presada como:

A (B A) = A

Demostración:

1. A ( B A ) A

x A (B A) → o x A → y x B x B A x A

Así pues, en ambos casos x A, con lo que queda de-mostrada la primera inclusión.

2. A A (B A) x A → x A (B A)

Por pertenecer a A, pertenece a la unión de A con cual-quier otro conjunto, por tanto A A (B A).

b) La segunda de las propiedades simplificativascorresponde a la intersección respecto de la unión:

A (B A) = A

Se demuestra la doble inclusión:

A

B

5

12 6

4

7

______________________________________________________________________________ Álgebra de Boole. Leyes de Morgan 187

1. A (B A) A

x A (B A) → y x A → A(BA) A x B A2. A A (B A)

x A → x (B A)y, como x A, → x A (B A)

Estructura de retículo

Se dice que un conjunto tiene estructura de retículo cuan-do están definidas en él dos operaciones que cumplen,cada una de ellas, las propiedades asociativa, conmutati-va e idempotente y, ambas combinadas, la de simplifica-ción.

Por tanto, la terna [P (U), , ] tiene estructura de re-tículo.

Cuando las operaciones combinadas presentan ademásla propiedad doblemente distributiva, es decir, la uniónrespecto de la intersección y la intersección respecto dela unión, el retículo es distributivo. Por tanto, la terna[P (U), , ], es decir, el conjunto de las partes de U, jun-to con la unión e intersección de conjuntos, tiene estruc-tura de retículo distributivo.

Elementos neutros

El conjunto U que pertenece también a P (U) contiene acualquier otro conjunto de P (U), y se denomina conjun-to universal o referencial. En lenguaje matemático:

A P (U) / A U

Este conjunto presenta las siguientes propiedades:

A U = U y A U = A

De esta segunda propiedad se deduce que U es el ele-mento neutro de la intersección. Por definición, elementoneutro para una operación es aquel que operado con cual-quier otro elemento nos da ese otro elemento:

U es el elemento neutro ↔ A P (U) → A U = A

Como A U, A U = A:

Entre los elementos de P (U), uno está presente en to-dos los demás conjuntos, el conjunto vacío (), denomi-nado también elemento nulo, que verifica:

A P (U) P (U) / A

Este conjunto tiene las propiedades:

= A y =

Teniendo en cuenta la primera de ambas propiedades,se observa que es el elemento neutro de la unión deconjuntos.

Complementariedad

La existencia en el conjunto P (C) de los elementos uni-versal (U) y nulo () conduce a la idea de conjunto com-plementario de uno determinado.

Dado un conjunto A perteneciente a P (U), se defineconjunto complementario del conjunto A respecto de U,y se representa por A o A’, como el conjunto formado portodos los elementos de U que no están en A:

A = x / x U y x A

Ejemplo:

Si U = a, e, i, o, uA = a, e, el complementario de A seríaA = i, o, u

Ejemplo:

En el conjunto de los seres humanos, el complementa-rio del conjunto varones sería el conjunto hembras:

Propiedades de la complementariedad

Son las siguientes:

a) La unión del conjunto A y su complementario es elconjunto universal:

U: A A = U

b) La intersección del conjunto A y su complementarioes el conjunto vacío:

A A =

Sereshumanos = Varones Hembras

U

A .a.e

.i .o.u

A

A

U

188 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

c) El complementario del conjunto universal es el con-junto vacío:

U =

d) El complementario del conjunto vacío es el conjuntouniversal:

= U

e) El complementario del complementario de un con-junto es el propio conjunto:

∀ A U → =A = A

f) Si un primer conjunto está incluido en otro, el com-plementario del segundo está incluido en el complemen-tario del primero:

A B → –B

–A

g) Cuando se tienen dos conjuntos disjuntos, cada unode ellos está incluido en el complementario del otro, y vi-ceversa. Si un conjunto está incluido en el complementa-rio del otro, ambos son disjuntos:

A B = ↔ A –B

A B = ↔ B –A

h) Dados dos conjuntos cuya unión es el conjunto uni-versal, el complementario de cada uno de ellos estará in-cluido en el otro conjunto:

A B = U ↔ –A B

A B = U ↔ –B A

Leyes de MorganContinuando con las propiedades de la complementarie-dad de conjuntos, mediante las leyes de Morgan se sientala base del principio de dualidad. Por tanto, mediante es-tas leyes se puede pasar con facilidad de uniones a inter-secciones:

a) El complementario de la unión de dos conjuntos esigual a la intersección de los complementarios de cadauno de ellos:

(A B) =–A

–B

Demostración mediante la doble inclusión:

1. A B –A

–B

x (A B) → x A B → yx A → y x –A→ x B x –B

→ x –A

––B

2.–A

–B A B

x –A

–B.

Por pertenecer a la intersección pertenece a ambos con-juntos, es decir:

x –A

–B → y x

–A → y x A → x A B x –B x B

Y si x no pertenece a A B, tiene que pertenecer a sucomplementario, es decir, x

——A B, con lo que quedademostrada la segunda inclusión.

b) El complementario de la intersección de dos conjun-tos es igual a la unión de los complementarios de cadauno de ellos:

(A B) = –A

–B

Demostración:

1. (A B) –A

–B

x (A B) → x A B → o x A → ox –A→ x B x –B

→ x –A

–B

2.–A

–B A B

x –A

–B → o x

–A → ox A → x –B x B

→ x A B → x A B

Álgebra de BooleSe dice que un conjunto con dos operaciones internas esun álgebra de Boole o tiene estructura de álgebra de Boolesi, además de ser un retículo distributivo, posee elemen-tos neutros para ambas operaciones, y si cada elementotiene su complementario.

Así pues, la terna [P (U), , ] es un álgebra de Boole.

Diferencia de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B,y se representa por A – B, al conjunto formado por los ele-mentos de A que no están en B:

U

BA

B

U

BA

UU

C AB

______________________________________________________________________________ Álgebra de Boole. Leyes de Morgan 189

A – B = x A / x B

Diferencia aritmética

Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se llama dife-rencia aritmética de A y B, y se representa por ∆, al con-junto (A – B) (B – A), es decir, a la unión de las diferen-cias entre ambos conjuntos, o la unión de ambos conjun-tos sin la intersección de los mismos:

A ∆ B = (A – B) (B – A)

En el gráfico anterior se observa claramente y se puedecomprobar que A ∆ B = B ∆ A

Partición de un conjunto

Una partición de un conjunto A es una serie de subcon-juntos de dicho conjunto, A1, A2, …, An, que cumplen lassiguientes condiciones:

a) Son disjuntos dos a dos:

Ai Aj = ; i j

b) La unión de todos los subconjuntos es el conjunto to-tal A:

nUi=1

Ai = A

c) Ninguno de los subconjuntos es el conjunto vacío.

Ejemplo: i Ai

Dado el conjunto A= a, e, i, o, u, una partición del mis-mo puede ser la formada por los conjuntos:

A1 = a, A2 = e, i, A3 = o, u:

a) A1 A2 = , A1 A3 = , A2 A3 =

Es decir, son disjuntos entre sí; no hay ningún elemen-to que esté en dos subconjuntos a la vez.

b) A1 A2 A3 = a, e, i, o, u = A

La unión de todos los subconjuntos forma el conjuntototal.

c) A1 = a , A2 = e, i , A3 = o, u

Ningún subconjunto está vacío.

A1

A2A3

A4

AiAn

A

A

A – B

B

B – A

A – B B – A

A

BA – B

190 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

1. Dados los conjuntos:U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = 1, 2, 3B = 2, 5, 6, 7C = 3, 4, 8, 9Calcular:a) –Ub)

–––––A B

c) (A B) C

2. Dado el conjunto:U = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12

Hallar dos particionesdiferentes del conjunto U

3. Dados los conjuntos:A = 1, 3, 5, 7, 9B = 2, 4, 6, 8, 10C = 4, 5, 6, 7, 8, 9Calcular:a) (A B)b) (B C)c) (A B) Cd) (A B C)e) A ∆ B


Cuantificadores y pares ordenadosEl cuantificador universal indica, al colocarlo delantede una expresión, que afecta a todos los elementos a losque se hace referencia. se lee para todo o para cual-quiera.

El cuantificador existencial ∃ indica la presencia de almenos un elemento que verifica la condición a que se hacereferencia. ∃ se lee: existe o hay algún.

Los conjuntos de los seres vivos y de los hombres, estoes, A = seres vivos y B = hombres, al escribir x B,x A, se está diciendo que todo hombre es un ser vivo.Si se escribe ∃ x A, x B, quiere decir que existe o hayalgún ser vivo que no es hombre.

Por su parte, dados dos conjuntos A y B, se llama par or-denado a una expresión matemática de la forma (x, y) don-de x es un elemento del conjunto A e y es un elemento delconjunto B. A x, por tanto, se le llama primera componen-te, y a y, segunda. El par (x, y) es distinto que el par (y, x).

El resultado de un partido de fútbol es un ejemplo depar ordenado. Si este resultado es (2-3), quiere decir queel conjunto local consiguió dos goles y el visitante tres. Elresultado (3-2) nos indica algo muy diferente, ya que esel equipo visitante el perdedor.

Producto cartesiano de dosconjuntos

Dados dos conjuntos A y B no vacíos, se llama productocartesiano de dichos conjuntos, y se representa como A x Bal conjunto de todos los pares ordenados que se puedenformar, siendo la primera componente un elemento deA, y la segunda, un elemento de B. En términos matemá-ticos:

A · B = (a, b) / a A y b B

Ejemplo. Sea A = x, y, z y B = 0, 1, 2, 3. El productocartesiano de A x B es:

A · B = (x, 0), (x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 0), (y, 1), (y, 2), (y, 3), (z, 0), (z, 1), (z, 2), (z, 3)

El conjunto A tiene tres elementos; el conjunto B, cua-tro, y el producto cartesiano de A · B, doce. En general, siel conjunto A tiene p elementos, y el B, q elementos, el con-junto A · B posee p · q elementos.

Dos pares ordenados son iguales cuando sus primeroscomponentes son iguales y sus segundos componentestambién:

(x, y) = ( x, y) ↔ x = x e y = y

Al ser distintos los pares (x, y) e (y, x), el producto carte-siano no es conmutativo y A · B es distinto de B · A.

Representación gráfica del producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos se puede repre-sentar en un sistema de ejes cartesianos, mediante un dia-grama de árbol, en una tabla de doble entrada y en undiagrama sagital.

Si A y B son los conjuntos A = x, y, z y B = 1, 2, 3, 4, larepresentación gráfica del producto cartesiano de A · Bpodrá expresarse en los cuatro modos siguientes:

a) En un sistema de eje cartesiano. En el eje horizontalo de abscisas, se sitúa el conjunto A, y en el vertical o deordenadas, el B:

4

3

2

1

x y z

(x, 4) (y, 4) (z, 4)

(x, 3) (y, 3) (z, 3)

(x, 2) (y, 2) (z, 2)

(x, 1) (y, 1) (z, 1)


APLICACIONES YRELACIONES ENTRE

CONJUNTOS

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

b) Mediante un diagrama de árbol:

c) Mediante una tabla de doble entrada:

d) Mediante un diagrama sagital, representando am-bos conjuntos por medio de diagramas de Venn y unidocon flechas cada elemento del primer conjunto con todoslos del segundo:

Correspondencia entre conjuntos

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se llama correspon-dencia entre conjuntos A y B, representada por A f→ B,a cualquier subconjunto del producto cartesiano A · B.

Si A = x, y, z y B = 1, 2, 3, 4

El subconjunto de A · B formado por los pares ordena-dos (x, 2), (y, 2), (y, 3), (z, 2), (z, 3) es una correspondencia.Se dice que al elemento x de A le corresponde el elemento 2de B, al elemento y de A le corresponden los elementos2 y 3 de B y al elemento z de A le corresponden los ele-mentos 2 y 3 de B. Es decir:

f (x) = 2f (y) = 2, 3f (z) = 2, 3

Se puede representar esta correspondencia medianteun diagrama sagital:

A es llamado conjunto inicial y B conjunto final. Se diceconjunto origen al conjunto formado por elementos de Aque tienen imagen en B. En este ejemplo coinciden el con-junto original e inicial. Se representa por orig (f).

Se llama conjunto imagen de la correspondencia al for-mado por elementos de B que son imágenes de algún ele-mento de A. Se representa por im (f):

Conjunto inicial A Conjunto final Borig (f) = x, y, z = A im (f) = 2, 3

Grafo de una correspondencia es el subconjunto delproducto cartesiano que define. En el ejemplo anterior, elgrafo es:

Grafo = (x, 2), (y, 2), (y, 3), (z, 2), (z, 3)

Correspondencia inversa

Dada una correspondencia f de A en B (A f → B), sellama correspondencia inversa o recíproca de f y se repre-senta por f1 a la correspondencia de B en A, en la que alos elementos de B que son imágenes por f de algún ele-mento de A, se les hace corresponder sus originales.

En el ejemplo: A = x, y, z y B = 1, 2, 3, 4

f →

correspondencia

x

y

z

1

2

3

4

A B

f →x

y

z

1

2

3

4

A B

4

3

2

1

x y z

A · Bx

y

z

1

2

3

4

A

x

y

z

1 2 3 4

(x, 1) (x, 2) (x, 3)

(y, 1) (y, 2) (y, 3)

(z, 1) (z, 2) (z, 3)

B

(x, 4)

(y, 4)

(z, 4)

A · B

A B

1 (x, 1)2 (x, 1)3 (x, 1)4 (x, 1)

x

1 (z, 1)2 (z, 1)3 (z, 1)4 (z, 1)

z

1 (y, 1)2 (y, 1)3 (y, 1)4 (y, 1)

y

192 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Su correspondencia recíproca o inversa sería:

Si el grafo de f es: (x, 2), (y, 2, (y, 3), (z, 2), (z, 3), el gra-fo de f1 es: (2, x), (2, y), (2, z), (3, y), (3, z). Elemento a ele-mento se tiene que:

f (x) = 2y f1 (2) = x, y, zf (y) = 2, 3 f1 (3) = y, zf (z) = 2, 3

Aplicaciones

Se denomina aplicación entre dos conjuntos a una corres-pondencia en la que cada elemento del conjunto origentiene una imagen y solamente una. Por ejemplo:

Esta correspondencia es una aplicación, pues todos loselementos del conjunto A tienen imagen y además cadauno de ellos sólo tienen una.

Aunque dos elementos posean la misma imagen, si sólotienen una será una aplicación. En cambio, si un elemen-to tiene varias imágenes será una correspondencia, perono una aplicación:

El elemento x de A tiene dos imágenes en B:

Hay un elemento de A que no tiene imagen en B, el z.

Existen varios tipos de aplicación, que se exponen se-guidamente.

Aplicación constante. Es aquella aplicación en la quetodos los elementos del conjunto origen tienen la mismaimagen:

El grafo de esta aplicación es: (x, 2), (y, 2), (z, 2).

Aplicación inyectiva. Una aplicación entre dos conjun-tos A y B es inyectiva cuando cada elemento de B es ima-gen de un solo elemento de A. También se puede decirque en esta aplicación no hay dos elementos de A que ten-gan la misma imagen en B:

Para demostrar que una aplicación es inyectiva basta-ría probar que si a y b son dos elementos de A tales quef (a) = f (b), entonces a = b.

F es inyectiva ↔ a, b A tal que f (a) = f (b) → a = b.Por ejemplo, la aplicación f (x) = 3x x R f (a) = f (b)

→ 3a = 3 b → a = b, luego f es inyectiva.

aplicación inyectiva

A B

x

y

1

2

3

z 4

aplicación constante

A B

x

y

1

2

3

z 4

1

2

A B

x

4z

3y

A B

x 1

z 4

y3

2

aplicación

A B

1

2

3

4

x

y

z

f 1 →

correspondencia inversa

1

2

3

4

A B

x

y

z

__________________________________________________________________________ Aplicaciones y relaciones entre conjuntos 193

En las aplicaciones inyectivas, el número de elementosdel conjunto origen es menor o igual que el número deelemento del conjunto imagen.

Aplicación sobreyectiva. La aplicación f de A en B esuna aplicación sobreyectiva o suprayectiva si todos loselementos de B son imagen de algún elemento de A, es de-cir, todos los elementos de B tienen algún elemento origenen A.

f: A → B es sobreyectiva ↔ ∀ y B ∃ x A/f (x) = y

Ejemplo. Sea A = x, y, z, t y B = 1, 2, 3:

Esta aplicación es sobreyectiva, no importa que el ele-mento 2 sea imagen de dos elementos de A. En las apli-caciones sobreyectivas, el número de elementos del con-junto origen es mayor o igual que el de los elementosdel conjunto imagen.

Aplicación biyectiva. Se dice que una aplicación f delconjunto A en el conjunto B es biyectiva siempre que seaa la vez inyectiva y sobreyectiva. Sea A = x, y, z, t y B = 1, 2, 3, 4, entonces:

En la aplicación biyectiva, el conjunto A y el conjunto Btienen el mismo número de elementos.

Ejemplo: Países = España, México, Perú, Ecuador, Ve-nezuela. Capitales = Madrid, México D.F., Caracas, Qui-to, Lima

Composición de aplicaciones

Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos y sean f y g dos apli-caciones f: A → B y g: B → C:

Se llama composición de las aplicaciones f y g, repre-sentada por g o f, a la aplicación que a los elementos dex A le hace corresponder otro elemento z C de talforma que Z = g (y) = g [f (x)] = (g o f) (x). La composi-ción de aplicación biyectiva es una aplicación biyec-tiva:

(g o f) (a) = g [f (a)] = g (m) = 3(g o f) (b) = g [f (b)] = g (n) = 1(g o f) (c) = g [f (c)] = g (p) = 2(g o f) (d) = g [f (d)] = g (q) = 4

aplicación compuesta

A CB f → g →

t 4q

z 3p

y 2n

x 1m

g o f (x)

f → g →A B C

x g (y) = zf (x) = y

Países Capitales

España Madrid

México México D.F.

Perú Caracas

Ecuador Quito

Venezuela Lima

aplicación biyectiva

A B

x

y

z

t

1

2

3

4

A B

aplicación sobreyectiva

f →x

y

z

t

1

2

3

194 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Funciones

Las correspondencias en las que cada elemento del con-junto origen tiene una sola imagen y, además, los conjun-tos de origen e imagen son el conjunto de los númerosreales R o un subconjunto de él, se denominan funciones.La función expresa una idea de dependencia que, en mu-chas ocasiones, está presente en la naturaleza.

El espacio recorrido por un móvil depende del tiempoque ha estado circulando. La superficie de un círculo de-pende del radio. El tiempo que tarda un péndulo en ha-cer una oscilación, por su parte, depende de la longituddel péndulo.

En las funciones, el conjunto origen se denomina domi-nio de definición y sus elementos son las variables indepen-dientes. Al conjunto imagen se le llama recorrido, y a susimágenes, variables independientes, pues sus valores estáncondicionados por los de las variables independientes.

Sea la función:

f: R → R+

[x → y = f (x) = x2] x →y = f (x) = x2

El conjunto origen es todo R , pero el conjunto imagenson los números reales positivos (R+).

En la gráfica:

x serían las variables independientes;y serían las variables dependientes.La imagen del 0, es decir, cuando x = 0, sería y = f (0) =

02 = 0La imagen de x = 1 sería y = f (1) = 12 = 1.La correspondencia f: R → R, definida por f (x) = 1/x, no

es aplicación, pues no existe imagen para el elemento 0:

La correspondencia R+ → R, definida por y = f (x) = x,no es función, pues todos los elementos, menos el cero,tienen dos imágenes:

Relaciones entre conjuntos

Para indicar que dos elementos del conjunto A están co-nectados mediante la relación R, se hace indicando que elpar (x, y) pertenece a la relación (x, y) R, o también quex está relacionado con y mediante dicha relación, es de-cir, x R y.

Las relaciones más importantes son las de equivalen-cia y las de orden.

Relación de equivalencia

Una relación R definida en un conjunto A, es de equiva-lencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica ytransitiva:

a ) Propiedad reflexiva. R es reflexiva si y sólo si x A, x R x, es decir, todo elemento está relacionadoconsigo mismo.

b) Propiedad simétrica. R es simétrica si para cada doselementos x e y A en los que se verifica que x R y → y R x.

c) Propiedad transitiva. R es transitiva si dados tres ele-mentos x, y, z A en los que se verifica que x R y e y R z,entonces x R z.

La relación de igualdad en el conjunto de los númerosnaturales N es una relación de equivalencia, ya que:

Reflexiva: x N x = x.Simétrica: Dados x e y N, tales que x = y → y = x.Transitiva: Dados x, y, z N, se verifica que x = y, e y =

z → x = z.

En el ámbito de los conjuntos, la igualdad entre conjun-tos es una relación de equivalencia.

En el conjunto de las vocales A = a, e, i, o, u, la relaciónR definida como R = (a, a), (a, e), (e, a), (e, e), (a, o), (o, a),(e, o), (o, e), (o, o), (i, i), (i, u), (u, i), (u, u) es una relación deequivalencia.

f (x) = x

y

x

y

x

f (x) = 1x

f (x) = x2

y

x

__________________________________________________________________________ Aplicaciones y relaciones entre conjuntos 195

196 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Clases de equivalencia. Sea A un conjunto cualquieray R una relación de equivalencia definida en él. Se llamaclase de equivalencia del elemento a de A, lo que se re-presenta por Ca, al conjunto formado por todos los ele-mentos de A relacionados con él:

Ca = x A/x R a

Dos clases son iguales si sus elementos están relacio-nados:

Ca = Cb ↔ a R b.

El conjunto de las clases de equivalencia del conjun-to A mediante R es una partición del conjunto A, ya quese verifica:

1. a A, Ca A y Ca ≠ ∅ , es decir, las clases de equi-valencia son subconjuntos no vacíos de A.

2. A Ca, a A. El conjunto A está contenido en launión de todas las clases de equivalencia.

3. Dados a y b A, entonces existen dos posibilidades:Ca Cb = ∅ . O bien la intersección de dos clases es el con-junto vacío o bien ambas son la misma clase.

Conjunto cociente. Dado un conjunto A y una relaciónde equivalencia R definida en A se llama conjunto cocien-te de A, por la relación R, y se representa A/R, al conjuntoformado por todas las clases de equivalencia de elemen-tos de A:

A/R = Ca; a A

Ejemplo. En el conjunto de las vocales, A = a, e, i, o, u,se define una relación de equivalencia R = (a, a), (a, e), (e, a),(e, e), (a, o), (o, a), (e, o) (o, e), (o,o), (i, i), (i, u) (u, i), (u, u).

Las clases Ca, Ce y Co son la misma, y están formadaspor los elementos a, e, o:

Ca = Ce = Co= a, e, oCi = Cu = e, u)

El cociente A/R estaría formado por sólo dos clases:

A/R = Ca, Ci

Relación de orden

Una relación R definida en un conjunto A es de orden sicumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transi-tiva. Las propiedades reflexiva y transitiva están defini-das en las relaciones de equivalencia.

Propiedad antisimétrica. La relación R definida en elconjunto A es antisimétrica si x, y A, tal que se verifi-ca que x R y e y R x → entonces x = y.

La relación (menor o igual que) en el conjunto de losnúmeros naturales es una relación de orden.

Reflexiva: x N, x xAntisimétrica: x N, tales que x y e y x → x = y.Transitiva: Dados x, y, z N, tales que verifican x < y e

y z → x z.

La relación de inclusión de conjuntos en el conjuntoP (u)x es un ejemplo de relación de orden. Una relaciónde orden en un conjunto A es una relación de orden totalsi en (x, y) A se verifica que bien x R y o bien y R x.

La relación menor que, definida en el conjunto N de losnúmeros naturales, es de orden total, pues para cadados números naturales x e y se obtiene que bien x < y obien y < x.

relaciones entre conjuntos

.u

.i

.a

.o

.e


1. Escribir el producto cartesiano A x B, siendoA = 2, 4, 6, 8 y B = m, n, ñ, o, p. Representar-lo mediante un sistema de ejes cartesianos y en-contrar una aplicación inyectiva entre ambos con-juntos.

2. Demostrar que la aplicación f: N → N, definidacomo f (n) = u + 3, es inyectiva, pero no sobreyec-tiva.

3. Sea el conjunto E = 1, 2, 4, 6, 8, 10 con la relaciónR = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 4),(4, 8), (8, 4), (6, 8), (8, 6), (6, 6), (8, 8), (10, 10). Re-presentar mediante flechas esta relación. Compro-bar que es de equivalencia y calcular el conjuntocociente.

ESTRUCTURASALGEBRAICAS

l estudio de las estructuras algebraicas o entida-des definidas en torno a leyes denominadas de

composición constituye una de las ramas de las mate-máticas que mayor interés han despertado desde losinicios del siglo XIX. Base de la lógica formal, las estruc-turas algebraicas ayudan a construir modelos teóricosextensos de las magnitudes y los fenómenos de la rea-lidad.

Leyes de composición

Se distinguen dos tipos de leyes de composición: internay externa.

Leyes de composición interna

Dado un conjunto A no vacío, se llama ley de composi-ción interna u operación interna a cualquier aplicación Tde A · A → A:

A · A → AT: (a , b) → T (a, b) = C A

A todo par (a, b) A · A, le hace corresponder T (a, b) =C A, en lugar de T (a, b) se escribe a T b y se lee a ope-rado mediante T con b.

En el conjunto de los números naturales, la suma es unaley de composición interna, donde el signo de la opera-ción T se sustituye por el +:

+: N · N → N(n, n) → n + n

La suma es interna en N, ya que al sumar dos númerosnaturales se obtiene otro número natural.

Propiedades de las leyes de composición interna. Sonlas siguientes:

a) Asociativa. La ley de composición interna T en un con-junto A es asociativa si dados tres elementos a, b, c A cual-quiera, se verifica que: (a T b) T c = a T (b T c).

b) Conmutativa. La ley de composición interna T esconmutativa si para cada dos elementos a, b de A se veri-fica que: a T b = b T a.

c) Elemento neutro. El elemento neutro para la opera-ción interna T es e si se verifica que : a A; a T e = e T a = a,es decir, al operar cualquier elemento a con el neutro, aqueda invariable. En el conjunto de los números natu-rales, el elemento neutro para la suma es el 0, ya quen + 0 = 0 + n = n. Cuando existe elemento neutro para unaoperación interna, éste será único.

Demostración: sea e el elemento neutro para la opera-ción T. Si e no fuese único, existiría otro elemento neu-tro e. Operando entre sí estos elementos:

e T e = e por ser e neutroe T e = e por ser e neutro

Por ser T aplicación: e = e, es decir, estos dos elementose y e serían el mismo.

d) Elementos simétricos. Se dice que a es el simétri-co de a para la ley de composición interna T si: a T a =a T a = e; es decir, si al operarlos entre sí se obtiene el ele-mento neutro.

En el conjunto de los números naturales, el único ele-mento simétrico es el 0. Sin embargo, en el conjunto delos números enteros Z todo elemento tiene su simétrico:el simétrico de a Z sería el –a Z, ya que a + (–a) = 0.Los elementos simétricos se conocen también comoopuestos y, si la operación es la multiplicación, in-versos.

Teorema: dado un conjunto A con una ley interna T aso-ciativa, si existe el simétrico de cualquier elemento, ésteserá único.

Demostración: para demostrar que es único, se suponeque no lo es, es decir, que existen dos elementos simétri-cos para un mismo elemento: a y a serían los simétricosde a:

Por ser a simétrico de a se tiene: a T a = a T a = e. Por ser a simétrico de a se tiene: a T a = a T a = e. Por ser la operación asociativa se tiene: (a T a ) T a =

a T (a T a).


E

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Operando por separado cada uno de los dos miembrosde la igualdad se obtiene:

(a T a) T a = e T a = aa T (a T a) = a T e = a

donde se deduce que a = a, es decir, los dos simétricosson iguales y, por tanto, el simétrico es único.

Teorema: en A con la ley interna T, se verifica que el si-métrico del simétrico de un elemento a es el mismo a, esdecir, (a) = a:

a T a = a T a = eLuego a = (a)

(a) T a = a T (a) = e

e) Distributiva. En un conjunto A no vacío puede ha-ber definida más de una operación interna. Se supone queson dos, T y ⊥ , las operaciones internas, por lo que en esteconjunto para dichas operaciones se verifica la propiedaddistributiva cuando ∀ a, b, c A:

T (b ⊥ c) = (a T b) ⊥ (a T c)a ⊥ (b T c) = (a ⊥ b) T (a ⊥ c)

Leyes de composición externa

Dado un conjunto A no vacío, y otro conjunto K, se llamaley externa a toda aplicación de:

K · A →A (k, a) → k · a A

Al par (k, a) se le hace corresponder el elemento k · a de A.

Estructuras algebraicas

Una estructura algebraica es un conjunto en el que se hadefinido, al menos, una ley de composición. Estas estruc-turas, según las leyes de composición definidas y las pro-piedades que se verifiquen, son: semigrupo, grupo, ani-llo, cuerpo, etc.

Semigrupo

El par S, T donde S es un conjunto no vacío y T una leyde composición interna, se llama semigrupo. Si, además,existe elemento neutro para los elementos de S, el semi-grupo se llama monoide.

Grupo

Un conjunto G no vacío con una ley de composición in-terna tiene estructura de grupo cuando la operación T conlos elementos de G tiene las propiedades:

Asociativa.Elemento neutro.Elemento simétrico.

Si, además, se verifica la propiedad conmutativa, elgrupo se dice conmutativo o abeliano.

Ejemplo: el conjunto de los número enteros Z, con laoperación suma de los números enteros (+), es un grupoconmutativo.

1.º Propiedad asociativa: a, b, c Z, a + (b + c) =(a + b) + c.

2.º Elemento neutro. El elemento neutro con la suma,en Z, es 0: a Z a + 0 = a.

3.º Elemento simétrico: el elemento simétrico del ele-mento a Z es el –a Z, ya que a + (–a) = 0.

4.º Propiedad commutativa: a, b Z, se verifica:a + b = b + a.

5.º Propiedad de simplificación: Si G, T es un grupo,se verifica la propiedad de simplificación. Esta propiedaddice que a, b, c G, tal que a T c = b T c, entonces a = b.

Demostración: operando los dos miembros de esta igual-dad con c, por la derecha, se tienen:

(a T c) T c = (b T c) Tc

Por la propiedad distributiva a T (c T c) = b T (c T c).Pero c T c = e, luego queda a T e = b T e, de donde a = b,

ya que a T e = a y b T e = b.Subgrupo. Sea G, T un grupo, y S un subconjunto no va-

cío de G, S G, S ≠ ∅ , además si T, ley interna del grupo,es también ley interna para S, y S con T tiene estructura degrupo, el par S, T se dice que es un subgrupo de G, T.

Si S, T es un subgrupo del grupo G, T, entonces:

1. El elemento neutro de S es el elemento del grupo G.Sea e el elemento neutro del grupo G y e el elemento neu-tro del subgrupo S. Se tienen a T e = a y a T e = a, lue-go a T e = a T e y por la propiedad de simplificación e = e. Por tanto, los dos elementos neutros son el mismo.

2. El simétrico de a en el subgrupo es el mismo que enel grupo. Sea a el simétrico de a en el grupo y a el simé-trico en el subgrupo. Hay que demostrar que son el mis-mo. a S ∃ a S: a T a e, y como a G también se ve-rifica que ∃ a; a T a = e, de donde a T a = a T a y, por lapropiedad de simplificación, a = a, luego coinciden.

Teorema: la condición necesaria y suficiente para que unsubconjunto S de un grupo G, S G, sea un subgrupo esque a, b S; a T b S; es decir, a operado con el simé-trico de b es también un elemento de S.

Demostración: hay que demostrar la equivalencia o dobleimplicación. Primero, la implicación hacia la derecha o con-

G

S

.e

198 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

dición necesaria (→): S es subgrupo, entonces ∀ a, b S;a T b S:

a S

b S y b S, entonces a T b S, pues la operación en-tre los dos elementos de S es otro elemento de S y a y bson de S.

Implicación hacia la izquierda o condición suficiente(←); es decir, a, b S, tales que a T b S → entonces Ses subgrupo. Para la demostración hay que comprobar:

1.º El elemento neutro de G está en S. a S se verifi-ca que a T a S, pero a T a= e, luego e S.

2.º El simétrico de a también pertenece a S. Por hipóte-sis se tiene que a T a S si en particular se toman e ya S, se verifica que e T a S, pero e T a = a, luego a S.

3.º Hay que comprobar que la operación de dos ele-mentos cualesquiera de S pertenece también a S. Enton-ces a, b S se verifica que a T b S, luego por hipóte-sis a T (b) S, pero (b) = b, de donde a T b S.

Proposición: la intersección de cualquier familia no va-cía de subgrupos de un grupo G es un subgrupo de G. Essuficiente con demostrarlo para la intersección de dossubgrupos de G. Sean éstos S1 y S2 . Hay que demostrarque a, b S1 S2 , se verifica que a T b S1 S2. Porser a y b elementos de S1 y S2 se verifica que:

a S1 y b S1 a T b S 1a S2 y b S2

de dondea T b S2

Pertenecen a ambos, por tanto, a T b S1 S2.

Grupos finitos. Sea G, T un grupo, donde el conjun-to G tiene un número finito de elementos. Entonces, sedice que el par G, T es un grupo finito, y el número deelementos de G recibe el nombre de orden del grupo.

Teorema de Lagrange. Si G es un grupo finito y S un sub-grupo de G, entonces el orden de G es un múltiplo de or-den de S.

Homomorfismos de grupos

Sean G, T yG, ⊥ dos grupos. Se llama homomorfismode G en G a toda aplicación h: G → G que verifica:

h (a T b)= h (a) ⊥ h (b)

El logaritmo decimal es un homomorfismo entre el con-junto de los números reales positivos con la multiplica-ción R+, ·, y el conjunto de los números reales con la

suma R+, ·:

log: R +, · → R, +a, b R + log (a · b) = log a + log b

Un endomorfismo es un homomorfismo de (G, T) ensí mismo. Por su parte, el monomorfismo es un homo-morfismo inyectivo, epimorfismo es un homomorfismosuprayectivo; se llama isomorfismo a un homomorfis-mo biyectivo y un automorfismo es un endomorfismobiyectivo.

Núcleo de un homomorfismo es el conjunto de todoslos elementos de G cuya imagen es el elemento neutrode G. Se representa como N (h) o Kern (h):

N (h) = x G/ h(x) = e

Si x, y, z N (h)h (x) = eh (y) = eh (z) = e

Imagen del homomorfismo. El conjunto imagen de unhomomorfismo, escrito im (h), es el conjunto formado portodos los elementos de G que son imagen de algún ele-mento de G:

Im (h) = x G/ ∃ x G y h (x) = x

Los conjuntos N (h) e im (h) son subgrupos de G y G,respectivamente.

Propiedades de los homomorfismos. Sean (G, T) y(G, ⊥ ) dos grupos y h: G → G un homomorfismo, enton-ces se tiene:

a) La imagen por h del elemento neutro de G es el ele-mento neutro G:

h (e) = e

Demostración: a G, a T e = e T a = a, mediante el ho-momorfismo se tiene:

h (a T e) = h (a) ⊥ h (e) = h (a)h (e T a) = h (e) ⊥ h (a) = h (a)

Es decir, h (e) deja h (a) como está, luego h (e) debe deser el neutro y como el neutro es único h (e) = e.

b) La imagen del simétrico para un homomorfismo esel simétrico de la imagen. Se representa el simétrico o in-verso de a como a-1:

h (a-1) = [h (a)]-1 a G

G'G

N(h)x.y.z.

.e'

G, T G', ⊥

.a

.aTb

.b

.h (a)

.h (aTb) = h (a) ⊥ h (b)

.h (b)

h

________________________________________________________________________________________ Estructuras algebraicas 199

Demostración: a G ∃ a1 G; a T a1 = e y a1 T a = e, lue-go h (a T a1) = h (a) ⊥ h (a1) = h (e) = e; h (a1 T a) = h (a1) ⊥h (a) = h (e) = e.

Al realizarse la operación de h (a) con h (a1) se obtieneel elemento neutro e, luego h (a1) debe ser el simétrico deh (a) y, como el simétrico es único, entonces h (a1) = [h (z)]1.

c) La imagen por h de un subgrupo de G es un subgru-po de G. Es decir, S G; S es subgrupo h (S) G y h (S),también subgrupo.

Demostración: a, b S se verifica que a T b1 S, luegoh (a T b1) h (S).

Por otra parte, h (a T b1) = h (a) ⊥ h (b1) = h (a) ⊥ [h (b)]1;por tanto, h (a) ⊥ [h (b)]1 h (S), luego h (S) es subgru-po de G.

Teorema: la condición necesaria y suficiente para que unhomomorfismo sea inyectivo es que el núcleo tenga un soloelemento y éste sea el elemento neutro de G, e.

Anillo

Sea A un conjunto no vacío con dos operaciones internas(se cambia la notación de las operaciones y en lugar de Ty ⊥ se utiliza + y ·). La estructura a A, +, · se dice que esun anillo si:

1.º A, + es un grupo abeliano o conmutativo.2.º A, · es un semigrupo.3.º La operación · es distributiva respecto de la opera-

ción +, es decir, a, b, c A se verifica:

a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + b · c

Si además es conmutativa, se dice que el anillo es con-mutativo.

Si existe elemento neutro para la operación, se dice quees un anillo unitario:

A, +, · es un anillo si:

Subanillo. Dados un anillo A, +, · y un subconjuntono vacíos de A, S A, S ≠ ∅ , se dice que S es un subani-llo del anillo A, +, · cuando S, con las dos operacionesde A, tiene también estructura de anillo, es decir, S, +, ·es anillo.

Teorema: La condición necesaria y suficiente para queun subconjunto S de A sea subanillo es que:

x, y S se verifica que x y S(condición de subgrupo)

y, x · y S

Condición necesaria. Es evidente, pues si S es anillo,y S y x · y S.

Condición suficiente. Hay que probar que si x y S yx · y S, entonces S es subanillo.

1.º Si x y S, entonces S es un subgrupo.2.º Si x · y S, quiere decir que al multiplicar dos ele-

mentos de S, se obtiene otro elemento también de S, ycomo en el anillo la multiplicación es asociativa, en S tam-bién lo es. ∀ a, b, c S A se tiene a · (b · c) = (a · b) · c. Porla misma razón también será distributiva.

a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + c · a, luego S es anillo

Ejemplo de subanillo. El conjunto unitario formado porel neutro de la operación + en A es un subanillo de A:

S = 0 A, 0 es subanillo

Hay que ver si se verifican ambas condiciones:

0 0 = 0 S0 · 0 = 0 S, luego es subanillo

Ideal de un anillo. Dado un anillo A, +, ·, se dice queun subconjunto I de A, I A es un ideal de A si se verifica:

x, y I x y Iy a · x I

a A x · a I

Es decir, I, + es un subanillo de A si el producto de unelemento de I por cualquier elemento de A es un elemen-to de I.

Proposición: todo ideal de A es un subanillo de A. Lademostración es evidente, ya que la primera condiciónde subanillo se cumple y la segunda también, puesto que x I y a A, x · a I, en particular cuando a Itambién se cumplirá. Sin embargo, no todo subanillo esideal. La intersección de ideales de un anillo A, +, ·es otro ideal.

Se llama ideal engendrado por un subconjunto no va-cío de A al ideal de intersección de todos los ideales de Aque contienen al subconjunto.

Ideal principal de A es el generado por un solo elemen-to de A. El conjunto de los números pares en el anillo delos enteros es un ideal principal generado por el elemen-to 2. Un ideal es máximo cuando únicamente está conte-nido en el anillo A.

I es un ideal primo de un anillo A conmutativo si paracada dos elementos de A, a, b A, el producto a · b I, obien a I, o bien b I.

Por su parte, un anillo conmutativo a es principal si to-dos sus ideales son principales.

Dado un anillo A, se dice que dos elementos a y b de A,a, b A, son divisores de cero cuando el producto de apor b es cero (a · b = 0) y, sin embargo, a y b no son ceroninguno de los dos, es decir, a ≠ 0 y b ≠ 0.

A, + A, ·

1.º asociativa 1.º asociativa2.º elemento neutro3.º elemento simétrico4.º conmutativaA, +, · distributiva de · respecto de +

a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + b · c

200 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________ Estructuras algebraicas 201

Por su parte, se llama dominio de integridad a todo ani-llo unitario sin divisiones de cero; es decir, si el productode dos elementos cualesquiera es cero, entonces al menosuno de ellos tiene que ser cero.

Un anillo conmutativo A, T, · se dice que es euclídeosi para cada elemento a existe un número positivo f (a) talque la función cumple:

1.º Si a es múltiplo de b, es decir existe c A tal quea = b · c, entonces f (a) f (b).

2.º Para dos elementos a, b de A cualesquiera, siendob cero, existen q y r, elementos de A, de forma que se ve-rifica que a = b q + r, y f (r) < f (b).

En el anillo de los enteros, la función f es la función va-lor absoluto que se define x z como:

x si x es negativo (x < 0)|x| = 0 si x es cero (x = 0)

x si x es positivo (x > 0)

En realidad, esta función lo que hace es transformar alos números enteros negativos en positivos, dejando alcero y a los enteros positivos tal como están.

Cuerpos

Sea un conjunto K en el que se han definido dos opera-ciones internas: + y ·. Se dice entonces que la expresión K, +, · tiene estructura de cuerpo o es un cuerpo si:

1.º K, + es un grupo abeliano o conmutativo.2.º El conjunto K menos el elemento neutro de la suma

con la operación ·, es decir, K, 0, ·, tiene estructura degrupo.

3.º La multiplicación es distributiva respecto de la suma:

a · (b + c ) = a · b + a · c(a + b) · c = a · c + b · c

Si la operación · es conmutativa, se dice que el cuerpoes conmutativo.

Un cuerpo no tiene divisores de cero.

Subcuerpos. Sea K con + y · K, +, ·, un cuerpo y S unsubconjunto de K no vacío. S K, S ≠ ∅ , se dice que S esun subcuerpo de K si S con las operaciones de K, es decirS, +, ·, tienen estructura de cuerpo.

La condición necesaria y suficiente para que S ≠ ∅ seaun subcuerpo de K es que se verifique:

1.º a, b, S; a b S.2.º a, b, S; b ≠ 0 sea a · b1 S.

La estructura de un cuerpo es fundamental para la de-finición de espacio vectorial. El conjunto R de los núme-ros reales tiene estructura de cuerpo.


1. Comprobar que el conjunto de los números ente-ros pares es un subanillo del conjunto de los en-teros Z.

2. Demostrar que la interacción de ideales de un anillo(A, T, ·) es también un ideal de dicho anillo. Hacer lademostración para la intersección de dos ideales.

3. Comprobar que el conjunto formado por las clasesde restos módulo 5 (Z/5) con la operación suma declases tiene estructura de grupo abeliano. El con-junto Z/5 = 0, 1, 2, 3, 4. La tabla para sumar enZ/5 es:

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

a necesidad de contar es común al hombre desdelas primeras civilizaciones. Saber el número de

ovejas de su rebaño y la cantidad de tierras que poseíanobligó a los hombres primitivos a crear sistemas de me-dida y numeración. En principio, cada país y cada pue-blo tenían unidades de medida propias, lo que presenta-ba grandes dificultades en el intercambio de productos.Para evitarlo, se creó un sistema de unidades único y co-mún para todos: el sistema métrico decimal.

Números naturales

Los números naturales son los primeros que utilizó elhombre. Aparecieron con la necesidad de contar rebaños,los componentes de una tribu, etc. Indican el número deelementos de un conjunto, es decir, su cardinal.

Así, cardinal de un conjunto se define como el númerode elementos que componen dicho conjunto. Si A es elconjunto de las vocales:

A = a, e, i, o, u, card (A) = 5

Dos conjuntos se dicen equipotentes, si entre ellos sepuede establecer una aplicación biyectiva. Por tanto, losdos conjuntos tienen el mismo número de elementos, elmismo cardinal. La relación de la equipotencia de con-junto se representa por el signo . Escribir A B quieredecir que los conjuntos A y B son equipotentes:

A B ↔ ∃ f: A → B; f es biyectiva

La equipotencia de vectores es una relación de equiva-lencia que cumple las propiedades reflexiva, simétrica ytransitiva.

a) Propiedad reflexiva. Todo conjunto es equivalenteconsigo mismo, A A. Es evidente, pues la aplicaciónidentidad que, a cada elemento le hace corresponder elmismo es una biyección.

b) Propiedad simétrica. Si un conjunto A es equipotentecon otro, entonces el otro es equipotente con el primero.A B → B A, A B → f: A → B: f es biyección, luego ∃ f 1: B-A tal que f 1 es biyección, luego B A:

c) Propiedad transitiva. La propiedad transitiva dice quesi A, B y C son tres conjuntos tales que A B y B C, enton-ces se verifica que A C. Es evidente, pues la composiciónde aplicaciones biyectivas es una aplicación biyectiva.

Toda relación de equivalencia en un conjunto estableceuna clasificación donde los elementos son las clases deequivalencia. Estas clases de equivalencia son los núme-ros naturales. A la clase formada por el conjunto vacío sele llama cero y se le asigna el número 0; a la clase forma-da por los conjuntos unitarios se le llama número uno yse representa por 1; a la clase formada por los conjuntosde dos números se le llama número dos y se representapor 2, y así sucesivamente. Por tanto, el conjunto de los

f

g o f

g

CA B

f

f 1

aeiou

A B

mnpqr


NÚMEROS NATURALES,ENTEROS Y

FRACCIONARIOS

L

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

números naturales, que se designa por N, es el conjuntode las clases de equivalencia: N = 0, 1, 2, 3, 4.

Operaciones con números naturales

Adición o suma de números naturales

Sean A y B dos conjuntos tales que card (A) = a y card(B) = b y además A B = ∅ . Se define la suma de a y b,y se representa por a + b, como el cardinal del conjun-to A B:

a + b = card (A B), A B = ∅

donde a y b son los sumandos, y el resultado se denomi-na suma.

Propiedades de la suma. Son las siguientes:

a) Propiedad uniforme. Si m, n, m, n son números na-turales tales que m = m y n = n, entonces m + n = m + n.Esta propiedad dice que si se suman miembro a miembrodos igualdades, se obtiene otra igualdad.

b) Propiedad conmutativa. Si m y n N, entoncesm + n = n + m.

c) Propiedad asociativa. Si m, n y p son números natu-rales, se verifica que:

m + (n + p) = (m + n) + p

d) Existencia de elemento neutro. El cero es el elemen-to neutro para la suma de números naturales:

n + 0 = n

e) Propiedad monótona. Sumando miembro a miem-bro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene otradesigualdad del mismo sentido; es decir, si m, n, m, n,son números naturales que verifican:

m < m y n < n, entonces m + n < m + n

Sustracción o resta de números naturales

Para cada dos números naturales m y n, se llama diferen-cia de m y n a otro número natural p que verifica que m =n + p; m y p se llaman, respectivamente, minuendo y sus-traendo y p es la resta o diferencia.

La resta no es operación interna en el conjunto de los nú-meros naturales, ya que sólo se puede realizar cuando m > n.

Ejemplo: 9 3 = 6, pues 9 = 6 + 3. Esta operación se pue-de realizar, pues 9 > 3. Sin embargo 6 8 = no se puederealizar en N.

La resta no es asociativa ni conmutativa.

Multiplicación de números naturales

Dados dos números naturales llamados multiplicandoy multiplicador (ambos denominados factores), se llamamultiplicación al resultado de sumar el multiplicandotantas veces como indica el multiplicador. A este resulta-do se le llama producto. La multiplicación se indica conel signo · o .

Si m y n son dos números naturales: m · n = m + m + m+ (n ) + m.

Ejemplo: 7 · 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28.La multiplicación es operación interna en el conjunto

de los números naturales. Siempre que se multiplican dosnúmeros naturales se obtiene otro número natural. Tam-bién es asociativa, conmutativa y posee elemento neutropara N* conjunto de los números naturales menos el cero.N* = N 0. Este elemento neutro es el 1, llamado ele-mento unidad:

∀ n N, n · 1 = n

Además, la multiplicación es distributiva respecto de lasuma. Si m, n y p son números naturales se verifica:

m · (n + p) = m · n + m · p

División de números naturales

División es la operación matemática por la que se conoceel número de veces que un número contiene a otro. En ladivisión de números naturales se distinguen dos casos:la división exacta y la división inexacta.

División exacta. Dados dos números naturales m y n,siendo n ≠ 0, y m < n, se llama división exacta de m por n, yse representa por m : n, a otro número natural c llamadocociente que verifica que m = n · c. La división se repre-senta por la igualdad: m : n = c.

División inexacta. Dados dos números naturales m yn, con n ≠ 0 y m n, se llama división inexacta de núme-ros naturales a la operación por la cual se obtienen dosnúmeros naturales c y r con r < n que verifican la igual-dad: m = n · c + r.

El cociente de la división es c y r es llamado resto. Ladivisión exacta se puede considerar como un caso especí-ficamente particular de la división inexacta, aquel en queel resto es cero.

Potencias de números naturales

Una potencia de base a y exponente n es el resultado demultiplicar a por sí mismo n veces. Se escribe a n, siendoa y n números naturales. Por ejemplo:

________________________________________________________________________ Números naturales, enteros y fraccionarios 203

an = a · a · a (n) a43 = 4 · 4 · 4 = 64

25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

Casos particulares: cuando el exponente es cero, el resul-tado es 1:

a0 = 1 a N a ≠ 030 = 1 1000 = 1 3270 = 1

Cualquier número elevado a 1 es el mismo número →a1 = a a N .

41 = 4; 51 = 5

Propiedades de las potencias. Las propiedades de laspotencias son las siguientes:

a) Al multiplicar potencias que tienen la misma base,se obtiene otra potencia con la misma base y cuyo expo-nente es la suma de los exponentes:

a, m, n N con a ≠ 0 am · an = am + n,por ejemplo: 3 7 · 34 = 311

b) Al dividir potencias que tienen la misma base, se ob-tiene otra potencia con la misma base y cuyo exponentees la diferencia de los exponentes:

a , m, n N tal que a ≠ 0 y m > nam · an = am – n

Ejemplo: 37 : 32 = 37 2 = 3 5.

c) El producto de potencias con idéntico exponente esotra potencia con el mismo exponente y base, el produc-to de las bases:

a, b, n N con a ≠ 0 y b ≠ nse verifica an · bn = (a · b)n

Ejemplo: 27 · 57 = (2 · 5)7 = 107.

d) El cociente de potencias con el mismo exponente esotra potencia con el mismo exponente y cuya base es elcociente de las bases:

a, b, n N con a ≠ 0 y b ≠ 0se verifica an : bn = (a : b)n

Ejemplo: 94 : 34 = (9 : 3)4 = 3 4.

e) La potencia elevada a otra potencia es una potenciacon la misma base y su exponente es el producto de losexponentes:

a, m, n N con a ≠ 0se verifica (am) n = an · m

Ejemplo: (32) 4 = 32 · 3 2 · 3 2 . 3 2 = 3 8.

Descomposición polinómica de un número natural

Todo número natural se puede descomponer como sumade la cifra de las unidades más la de las decenas por 10más la de las centenas por 100 o 102 más la de las unida-des de millar por 1.000 o 103, y así sucesivamente. Porejemplo: 984 = 4 + 8 · 10 + 9 · 102.

Los números enteros

En la práctica existen situaciones que no se pueden ex-plicar utilizando los números naturales. Si se dice queuna temperatura es de 4 ºC no queda completamentedeterminada, pues pueden ser por encima o por debajode cero. Los números rojos, o saldo deficitario en lacuenta corriente, no se expresan claramente con los nú-meros naturales. Situaciones como las anteriores creanla necesidad de ampliar el campo numérico. Esta am-pliación lleva al concepto de número entero. El conjun-to de los números enteros se representa por la letra Z yestá formado por los números naturales y los númerosnegativos:

Z = ..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Formalmente, se define el conjunto de los enteros, Z,como el producto cartesiano de N · N ( Z = N · N), luegolos elementos de Z son los pares ordenados (a, b) N · N:

Z = (a, b); a N y b N

Los pares ordenados en los que la primera componen-te es mayor que la segunda, a > b, forman los números po-sitivos. El par (7, 3) será el número entero 4. Los parescuya primera componente es menor que la segunda, a < b,formarán los números negativos. El par (3, 7) será el nú-mero entero 4, y los pares ordenados que tengan amboscomponentes iguales formarán el cero.

En la operación Z = N · N, se define una relación de la si-guiente forma:

(a, b) R (m, n) ↔ a + n = b + m

Ejemplo: (5, 4) R (7, 6), pues 5 + 6 = 4 + 7; 11 = 11.

204 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Esta relación es de equivalencia, ya que cumple las pro-piedades reflexiva, simétrica y transitiva:

a) Propiedad reflexiva. (a, b) N · N (a, b) R (a, b).Todo par está relacionado consigo mismo. En efecto(a, b) R (a, b) ↔ a + b = b + a , y como la suma en N es con-mutativa, la igualdad anterior es cierta.

b) Propiedad simétrica. Para cada dos pares (a, b) y(m, n) de N · N tales que (a, b) R (m, n), entonces se verifi-ca que (m, n) R (a, b). Por verificarse que (a, b) R (m, n) secumple que a + n = b + m, pero como la suma es conmu-tativa en N se tiene que n + a = m + b, de donde (m, n)R (a, b).

c) Propiedad transitiva. (a, b), (m, n) y (c, d) N · N, ta-les que se verifica:

y(a, b) R (m, n) → (a, b) R (m, n)(m, n) R (c, d)

(a, b) R (m, n) ↔ a + n = b + m→

a + n + m + d =(m, n) R (c, d) ↔ m + d = n + c = b + m + n + c

de donde a + d + (n + m) = b + c + (m + n), luego a + d = b + c ypor tanto (a, b) R (c, d).

Esta relación de equivalencia induce una partición deN · N en clases de equivalencia. Dos elementos están re-lacionados si pertenecen a la misma clase, donde cadauna de estas clases de equivalencia va a ser un númeroentero. Como representante de la clase se toma aquelpar en el que alguno de sus componentes es cero. El con-junto de las clases de equivalencia es el conjunto co-ciente.

Los pares (2, 0), (3, 1), (4, 2), (5, 3), ..., forman una cla-se de equivalencia. El representante canónico de la clasees el (2, 0), que en la práctica se representa solamentecomo 2. Los pares (0, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 7), ..., formanuna clase de equivalencia. El representante es el (0, 4),que en la práctica se expresa por 4. Los pares (0, 0),(1, 1), (2, 2), (3, 3), ..., forman una clase de equivalenciacuyo representante es el (0, 0) y, en la práctica, se repre-senta por 0.

En general, el par (a, 0) es el número entero a y el par(0, a) es el número entero –a.

Valor absoluto de un número entero

Sea z Z. Se llama valor absoluto de Z, y se representapor |z|, a la función siguiente:

z si z > 0|Z| = 0 si z = 0

z si z < 0

Operaciones con números enteros

Adición de números enteros

Se define la suma de pares ordenados de la siguiente for-ma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Ejemplo: (3, 5) + (4, 7) = (3 + 4, 5 + 7). Si se hace median-te los representantes canónicos: (0, 2) + (0, 3) = (0, 5) = 5.

En general, para sumar dos números, si ambos son po-sitivos o negativos, se suman y se pone el signo que tie-nen. Si uno es positivo y otro negativo, se restan y se poneel signo del mayor de ambos en valor absoluto.

Ejemplo: 8 + 7 = 15; (8) + (7) = 15; 8 + (3) = 5;(9) + (4) = 5.

Para restar dos números enteros, basta sumar al mi-nuendo el opuesto al sustraendo: a b = a + (b); 7 (3)= 7 + 3 = 10.

Producto de números enteros

El producto de números enteros se define mediante paresordenados como: (a, b) + (c, d) = (a · c + b · d, a · d + b · c).Por ejemplo: (3, 7) · (6, 4) = (18 + 28, 12 + 42) = (46, 54). Efec-tuando la operación mediante los representantes canóni-cos: (0, 4) · (2, 0) = (0, 8); de donde (4) · 2 = 8.

En general, para multiplicar dos números enteros se tie-ne: si ambos son del mismo signo (ambos positivos o am-bos negativos), el producto es positivo e igual al produc-to de los valores absolutos de dichos números. Si los dosnúmeros son uno positivo y el otro negativo, el productoes negativo e igual al producto de los valores absolutosde dichos números. Por ejemplo:

(+3) · (+7) = +21; (3) · (7) = +21;(+3) · (7) = 21; (3) · (+7) = 21

El conjunto de los números enteros con la multiplica-ción así definida tiene las propiedades asociativa y con-mutativa, y posee elemento unidad para todos los núme-ros enteros, salvo el cero. No existe elemento inverso dela multiplicación en Z.

La multiplicación es distributiva respecto de la suma:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por tanto, el conjunto Z con la suma y productos defi-nidos (Z, + .) tiene estructura de anillo conmutativo y uni-tario.

División de enteros

La división se realiza análogamente a la de los números na-turales; sin embargo, han de tenerse en cuenta los signos. Sise dividen dos números de igual signo, el resultado es po-sitivo; si son de signos contrarios, el resultado es negativo:

(+9) : (+3) = +3(9) : (3) = +3(+9) : (3) = 3(9) : (+3) = 3


Regla de los signos para la multiplicación y división:

Potencias de números enteros

La potencia de números enteros se realiza de forma aná-loga a la de los números naturales. La diferencia consisteen que es preciso tener en cuenta los signos:

a n = a · a · a · (n ) a

Si la base de la potencia es positiva, el resultado es po-sitivo (3)3 = 27. Si la base es negativa, hay que tener encuenta la paridad del exponente, es decir, si el exponentees par el resultado es positivo, y si es impar, el resulta-do es negativo. Por ejemplo:

(2)4 = (2) · (2) · (2) · (2) = 16(2)3 = (2) · (2) · (2) = 8

Los números racionalesLos números enteros, si bien amplían el campo numéricode los números naturales, no bastan para cubrir todas lasnecesidades que se presentan en la realidad. Al medir, nosiempre se tiene un número exacto de veces la unidad. Enel conjunto de los números enteros Z, los elementos notienen inverso respecto de la multiplicación, etc. Estos he-chos motivaron la necesidad de ampliar el ámbito de es-tos números. Ello se consigue con los números raciona-les, cuyo conjunto se representa por Q.

Sea Z* = Z 0. En el conjunto producto Z · Z* se esta-blece una relación R, definida : (a, b), (c, d) Z · Z*; (a, b)R · (c, d) ↔ a · d = b · c. Esta relación así definida es de equi-valencia, es decir, cumple las propiedades reflexiva, si-métrica y transitiva:

a) Propiedad reflexiva. (a, b) Z · Z*, se verifica que(a · b) R (a · b). Esto es cierto pues a · b = b · a, por ser con-mutativo el producto de números enteros.

b) Propiedad simétrica. (a, b), (c, d) Z · Z*, que veri-fica que (a, b) R (c, d) → (c, d) R (a, b). Por estar (a, b) R (c, d),se verifica que a · d = b · c, de donde c · b = a · d, luego (c, d)R (a, b).

c) Propiedad transitiva. (a, b), (a, b), (a, b) Z · Z*,tales que se verifica (a, b) R (a, b), entonces (a, b) R (a, b)(a, b) R (a, b).

Por estar (a, b) R (a, b) y (a, b) R (a, b) se verifica a · b= b · a · a · b = b · a de donde , multiplicando miembroa miembro, a · b · a · b = b · a · b · a, cambiando el or-

den de los términos por la conmutatividad en Z, se tiene:a · b · (b · a) = b · a · (b · a), y por la propiedad de sim-plificación en Z, se tiene: a · b = b · a y, por tanto:

(a, b) R (a, b)

Esta relación de equivalencia en Z · Z* establece unapartición en clases de equivalencia. Al conjunto de co-ciente Z · Z*/R, cuyos elementos son las clases de equi-valencia, se le llama Q. Los pares ordenados (a, b), conb ≠ 0, se escriben de la forma a/b y se les llama fracciones:a la primera componente, a , numerador y a la segundacomponente, b, denominador.

Un ejemplo de equivalencia sería: (2, 3), (4, 6), (6, 9),(8, 12), (10, 15), ; o también 2/3, 4/6, 6/9, 8/12, 10/15,

De todos los elementos mostrados, existe uno, el 2/3,en que sus elementos son primos entre sí, el 2 y el 3. Estesería el representante canónico de todos los expuestos. Ala operación de hallar el representante canónico, dado unelemento de la clase, se llama simplificación de fraccio-nes. Los enteros se pueden considerar como fracciones enlas que el denominador es la unidad:

3/1, 2/1, 1/1, 0/1, 1/1, 2/1

Operaciones con números racionales

Suma de números racionalesDadas dos fracciones cualesquiera a/b y c/d, se define lasuma de fracción como: a/b + c/d = (a · d + b · c) / b · d; portanto, la suma es una operación interna. En forma de pa-res ordenados, esta operación se define: (a, b) + (c, d) =(a · d + b · c , b · d).

El conjunto de los números racionales con la operaciónsuma (Q, +) tiene estructura de grupo abeliano.

Reducción de fracciones a común denominador. Se lla-ma reducción de fracciones a común denominador a laoperación por la cual se eligen representantes de las frac-ciones en que los denominadores son el mismo. Se puedehacer de dos formas:

1.º Las nuevas fracciones se obtienen multiplicando losdos términos (numerador y denominador) por los deno-minadores de los demás:

2/5, 3/4, 7/10(2 · 4 · 10)/(5 · 4 · 10), (3 · 5 · 10)/(5 · 4 · 10),

(7 · 5 · 4)/(5 · 4 · 10)80/200, 150/200, 140/20

2.º Se calcula el mínimo común múltiplo de los deno-minadores de las fracciones, que será el denominador delas nuevas fracciones. El numerador de cada una de ellasse obtiene multiplicando el numerador original por el re-

Multiplicación División+ · + = + + : + = + · = + : = ++ · = + : = · + = : + =

206 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

sultado de dividir el mínimo común múltiplo entre el de-nominador primitivo:

2/5, 3/4, 7/10, m. c. m. (5 · 4 · 10) = 20(2 · 4)/20, (3 · 5)/20, (7 · 2)/20 → 8/20, 15/20, 14/20

20 : 5 = 4; 20 : 4 = 5; 20 : 10 = 2

Práctica de la suma algebraica de fracciones. Se distin-guen dos casos:

1.º Las fracciones tienen el mismo denominador. Se ob-tiene otra fracción que tiene el mismo denominador y,como numerador, la suma de los numeradores:

a/b + a/b a/b = (a + a a)/b

Ejemplo: 6/7 + 5/7 3/7 = (6 + 5 3)/7 = 8/7.

2.º Las fracciones tienen distinto denominador. Para su-marlas se reducen primero a común denominador y des-pués se suman como en el caso anterior:

2/3 + 3/4 7/10 = 8/20 + 15/20 14/20 == (8 + 15 14)/20 = 9/20

m. c. m. (5, 4, 10) = 20

Comparación de fracciones. Dadas dos fracciones deigual denominador, es mayor la que tiene el numeradormás alto. Así, dadas 4/5 y 3/5, como 4 > 3, entonces4/5 > 3/5.

Si las fracciones tienen distinto denominador, se redu-cen previamente a común denominador y después se si-gue la regla anterior: 2/5, 3/4; m. c. m. (5, 4) = 20:

2/5 = 8/20; 3/4 = 15/20; 15/20 > 8/20,luego 3/4 > 2/5

Multiplicación de números racionales

El resultado de multiplicar dos fracciones es otra fraccióncuyo numerador es el producto de los numeradores, y eldenominador, el producto de los denominadores:

a/b · c/d = (a · c)/(b · d)3/4 · 5/7 = (3 · 5)/(4 · 7) = 15/28

La multiplicación así definida también es operación inter-na. Si se define en forma de pares ordenados (a, b), (c, d) Q:

(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)

El conjunto de los números racionales con la operaciónmultiplicación (Q, ·) tiene las propiedades: asociativa yconmutativa. El elemento neutro unidad es la fracción1/1, ya que a/b · 1/1 = a/b.

El elemento inverso de la fracción a/b con a ≠ 0, es b/a,ya que a/b · b/a = a · b/b · a = 1/1.

Propiedad distributiva. La multiplicación de númerosracionales es distributiva respecto de la suma:

a/b · (a/b + a/b) = a/b · a/b + a/b · a/b

Por tanto, el conjunto de los números racionales con lasoperaciones suma y producto (Q, +, ·) tiene estructura decuerpo.

División de números racionales

Para dividir dos fracciones basta multiplicar el multipli-cando por el inverso del multiplicador:

Sean a/b, c/d Q con c ≠ 0; a/b : c/d = a/b · d/c = = (a · d)/(b · c)

Potencia de números racionales

Las propiedades son las mismas que para la potenciaciónde números enteros, teniendo en cuenta que:

a) Para elevar una fracción a una potencia, se elevan elnumerador y el denominador a dicha potencia:

(a/b)n = a/b · a/b · (n) · a/b = = a · a (n) a/b · b (n) b = an/bn

b) Toda potencia de exponente negativo es una fracciónen la que el numerador es la unidad y el denominador lamisma potencia, pero con exponente positivo: a–n = 1/an .

Fracciones decimales

Se llaman fracciones decimales a aquellas en las que el de-nominador es la unidad seguida de ceros: 3/10, 245/100,125/10.000.

En estas fracciones, si se efectúa la división del nume-rador por el denominador, se obtienen números decima-les con un número finito de cifras. Por ejemplo:

3/10 = 0,3; 245/100 = 2,45; 125/10.000 = 0,0125

Las cifras que quedan a la izquierda de la coma se lla-man parte entera, y las que quedan a la derecha son laparte decimal.

Multiplicación por la unidad seguida de ceros. Se des-plaza la coma tantos lugares a la derecha como ceros tie-ne el multiplicador. Por ejemplo:

3,27 · 10 = 32,7; 42,8 · 100 = 4.2800,3296 · 1.000 = 329,6


División por la unidad seguida de ceros. Para dividirpor la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma tan-tos lugares a la izquierda como ceros tiene el divisor. Porejemplo, 32 : 10 = 3,2; 42,5 : 1.000 = 0,0425.

Todo decimal finito se puede convertir en fracción de-cimal. Basta con quitar la coma y dividir por la unidadseguida de tantos ceros como cifras decimales haya. Así,por ejemplo:

0,32 = 32/100; 3,2 = 32/10

Números decimales periódicos

Se llama decimales periódicos a los que poseen cifras de-cimales, donde a partir de una determinada cifra o ungrupo de cifras se repiten. Estas cifras que se repiten reci-ben el nombre de período; para indicar que se repiten sesitúa el signo sobre el período. Si el período comienzaen la primera cifra decimal, ésta se llama periódica pura,y si existe alguna cifra decimal que no se repite, se cono-ce periódica mixta (la parte que no se repite se llama an-teperíodo). Por ejemplo:

3,28 = 3,28282828.................. 4,25 374 = 4,25374374374

Ejemplo de transformación de un número decimal pe-riódico puro en fracción. Sea x el número decimal:

x = 3,28 (1)

Se multiplican los dos miembros de la igualdad por launidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el pe-ríodo (en este caso 100):

100 x = 328,28 (2)

a (2) se le resta (1):

100 x = 328,28 x = 3,28

99 x = 325 → x = 325/99luego 3,28 = 325/99

Ejemplo de transformación de un número decimal pe-riódico mixto en fracción. Sea x el número decimal:

x = 4,25 374

Se multiplican los dos miembros de la igualdad por launidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el ante-período (en este caso por 100):

100 x = 425, 374 (1)

Esta expresión se multiplica por la unidad seguida detantos ceros como cifras tiene el período (por 1.000 en estecaso):

100.000 x = 425.374, 374 (2)

a (2) se le resta (1):

100.000 x = 425.374, 374 100 x = 425. 374

424.84999.900 x = 924.849 → x = 99.900

luego:

4,25 374 = 424.84999.900

Raíces

Se llama raíz de índice n y radicando a, y se representapor el signo na, a un número x que verifica que xn = a:

na = x ↔ xn = a

La raíz es la operación inversa de la potenciación:

532 = 2, pues 25 = 32

Cuando el índice de la raíz es 2, la raíz se llama cuadra-da y generalmente no se indica expresamente. En el con-junto de los números reales no se puede calcular la raízcuadrada de un número negativo:

3 = no tiene sentido en R

Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, unapositiva y otra negativa:

4 = 2, pues 22 = 4

pero también

4 = 2, pues (2)2 = 4

Si n = 3, la raíz se llama cúbica.Para introducir factores dentro de una raíz, se eleva el

factor al índice de la raíz. Por ejemplo:

3 24 = 32·4; 5 36 = 53·6

Para extraer factores fuera de la raíz, se divide el expo-nente del factor por el índice de la raíz:

346 ·5 = 42 · 5 ; 238·2 = 34 · 2

208 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________


Toda potencia de exponente fraccionario se puede con-siderar como una raíz en la que el índice es el denomina-dor del exponente de la potencia, y el radicando, la basede la potencia elevada al numerador de la fracción:

a p/q = qap

Reducción de raíces a índice común. Para modificar va-rias raíces de forma que todas tengan el mismo índice, secalcula el mínimo común múltiplo de los índices, que seráel índice de las nuevas raíces, de modo que el radicandoserá el original elevado al cociente, entre el mínimo co-mún múltiplo y el índice inicial:

34 49 65

m.c.m. (3, 4, 6) = 12

34 = 1244 12 : 3 = 4

49 = 1294 12 : 3 = 4

65 = 1252 12 : 6 = 2

Raíces semejantes son las que tienen el mismo índice yel mismo radicando.

Para sumar raíces, éstas tienen que ser semejantes y seobtiene otra raíz semejante, cuyo coeficiente es la sumaalgebraica de los coeficientes:

3 34 + 8 34 5 34 = (3 + 8 5) 34 = 6 34

Propiedades de las raíces

a) La raíz de índice n de un producto es igual al pro-ducto de las raíces de índice n de cada uno de los fac-tores:

na · b· c = na · nb · nc

b) La raíz de índice n de un cociente es igual a la raíz deíndice n del dividendo dividida por la raíz de índice ndel divisor:

np/q = np / nq

c) La potencia de una raíz es la raíz del mismo índicede la potencia del radicando:

( np)m = npm

d) La raíz de una raíz es otra raíz con el mismo radican-do e índice igual al producto de los índices.

Racionalizar raíces

Se llama racionalizar a quitar raíces del denominador deuna fracción. Pueden darse tres casos:

a) En el denominador existe una raíz cuadrada comofactor; entonces, para racionalizar se multiplican nume-rador y denominador por la raíz del denominador. Porejemplo:

3 3 · 5 3 · 5 3 · 5 3 · 5 = = = = 2 5 2 5 · 5 2 (5)2 2 · 5 10

b) En el denominador existe un binomio, en cuyo casose multiplican numerador y denominador por el conju-gado del denominador. Por ejemplo:

2 2 (3 +7) 2 (3 +7) = = =3 7 (3 7) · (3 +7) 32 (7)2

2 (3 + 7) 2 (3 + 7)= = = 3 +79 7 2

c) En el denominador existe una raíz de índice n comofactor. Para racionalizar, se multiplican numerador y de-nominador por una raíz del mismo índice y cuyo radi-cando es el de la raíz, pero elevado a la diferencia entre elíndice y el exponente:

3 3 734 = =2 733 2 733 · 734

3 734 3 734 34= = =

2 737 2 · 3 2


1. Transformar en fracción los siguientes númerosdecimales:a) 0,37 b) 12,47 c) 25,37

2. Calcular:2 3( )2

3 5 1/4+ 7

3. Una persona compra los 5/9 de una finca y otralos 2/12:a) ¿Cuál de las dos compró un trozo mayor?b) Si la finca era de 2,7 ha y el metro cuadrado de

tierra está a 750 unidades monetarias, ¿cuántopagó cada uno?

Múltiplos y divisores

Dados dos números a y b Z, si al dividir b entre a la di-visión es exacta, es decir, el resto es cero, entonces se diceque b es múltiplo de a y a es divisor de b. Por ejemplo: sib = 35 y a = 7, al dividir 35 entre 7, se obtiene un resto ceroy, por tanto, se puede decir que 35 es múltiplo de 7 y que7 es divisor de 35:

35|70 5

b es múltiplo de a cuando lo contiene un número exactode veces y a es divisor de b cuando a divide a b exacta-mente.

Un múltiplo de un número se obtiene multiplicandodicho número por cualquier entero; así, múltiplos de tresson: 3 · 2 = 6, 3 · 3 = 9, 3 · 5 = 15, 3 · 13 = 39.

El 6, el 9, el 15 y el 39 son múltiplos de 3.Luego b = m · a, m Z. Si a es divisor de b, –a tam-

bién es divisor de b, pues si b = m · a, también se verificaque b = (–m) · (–a).

Para indicar que b es múltiplo de a se coloca un puntosobre a: b = ·a.

Para indicar que a divide a b se coloca un segmento ver-tical entre ambos: a|b.

Propiedades de la divisibilidad

a) Propiedad reflexiva:

Todo número es múltiplo de sí mismo: a = a.Todo número es divisor de sí mismo: a|a.La unidad divide a cualquier número: 1|a.Estas tres afirmaciones son ciertas, pues: a = a · 1.

b) Propiedad transitiva:

Si a divide a b y b divide a c, entonces a divide a c.Si a/b y b/c, entonces a/c.

Demostración:

Si a/b, entonces ∃ m Z; b = m · a.Si b/c, entonces n Z; c = n · b.De donde c = n · b = n · (m · a) = (n · m) · a.Y como n · m Z, entonces a/b.

Ejemplo:

5 divide a 25 entonces 5 divide a 62525 divide a 62525 : 5 = 5; 625 : 25 = 25; 625 : 5 = 125Las tres divisiones son exactas.

c) Si a divide a dos números, a divide a su suma y asu diferencia:

a/b y a/b, entonces a/(b + b’) y a/(b – b’)

Demostración: por dividir a a b y b’, ∃ m y m’ Z; b = m · a y b’ = m’ · a. De donde (b + b’) = m · a + m’ · a =(m + m’) · a. Y como m + m’ Z, entonces a divide b + b’.Ejemplo: 5 divide a 125 y a 625, entonces 5 divide (625 +125) y 5 divide a (625 – 125); (625 + 125) = 750; 750 : 5 =150; (625 – 125) = 600; 600 : 5 =120.

d) Si un número a divide a dos números b y b’ enton-ces a divide a su producto:

Demostración: a divide a b y b’, entonces existen m ym’ Z; tales que b = a · m y b = a · m’. Multiplicando miem-bro a miembro estas dos igualdades se tiene, b · b’ = a · m ·a · m’, de donde b · b‘ = (a · m · m’) · a y como a · m · m’ Z,a/b · b’. Ejemplo: 5 divide a 125 y 625; 125 · 625 = 78.125;78.125 : 5 = 15.625.

Para el cociente no siempre ocurre.

e) Si un número a divide a otro b, entonces a divide atodos los múltiplos de b:

Demostración: a divide a b, entonces b = m · a y cualquiermúltiplo de b será h · b = h · m · a con h Z; luego a dividea h · b.


NÚMEROSPRIMOS

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

______________________________________________________________________________________________ Números primos 211

Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son unas reglas por las quese puede conocer si un número divide a otro sin necesi-dad de hacer la división:

a) Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en ci-fra par: 10 : 2 = 5; 14 : 2 = 7.

b) Un número es divisible por 3 cuando la suma de suscifras es 3 o un múltiplo de 3. Por ejemplo: para compro-bar si el número 1.956 es un múltiplo de 3, se suman sus ci-fras: 1 + 9 + 5 + 6 = 21. El 21 es un múltiplo de 3, luego 1.956también lo es; se ratifica mediante la división, 1.956 : 3 = 652.

c) Un número es divisible por 4 cuando el número for-mado por sus dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o di-chas cifras son dos ceros. Ejemplo: para saber si el núme-ro 512 es un múltiplo de 4, se toma el número formadopor sus dos últimas cifras, el 12, que es un múltiplo de4; por tanto, 512 es múltiplo de 4 y también lo será 500,pues termina en dos ceros:

512 : 4 = 128; 500 : 4 = 125

d) Un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 oen 5. Ejemplo: Según este criterio, el 425 y el 550 seránmúltiplos de 5.

e) Un número es divisible por 6 cuando lo es a la vezpor 2 y por 3. Ejemplo: el número 750 es múltiplo de 2 poracabar en 0, y es múltiplo de 3 porque la suma de sus ci-fras, 7 + 5 + 0 = 12, es múltiplo de 3; por tanto, lo será de6. Se comprueba que 750 : 6 = 125.

f) Un número es divisible por 7 cuando restando suce-sivamente a sus decenas el doble de sus unidades, al fi-nal queda 0 o un múltiplo de 7. Ejemplo: para comprobarsi el número 14.938 es múltiplo de 7 se procede así:

Como la unidad es 8, se resta a centenas ydecenas 16, eliminando la cifra de las uni-dades.Como la unidad es 7, se resta a centenas yunidades 14, eliminando la cifra de unidad.Como la unidad es 3, se resta 6 a las dece-nas y se elimina la cifra de las unidades.Como el residuo es un múltiplo de 7, el nú-mero también lo es.

En efecto, 14.938 : 7 = 2.134.

g) Un número es divisible por 8 cuando el número for-mado por sus tres últimas cifras sea un múltiplo de 8 otres ceros. Por ejemplo: los números 31.408 y 31.000 sonmúltiplos de 8. El primero, porque 408 es múltiplo de 8, 408 : 8 = 51, y el segundo, porque termina en tres ceros. Enefecto: 31.408 : 8 = 3.926 y 31.000 : 8 = 3.875.

h) Un número es divisible por 9 cuando la suma de suscifras es 9 o un múltiplo de 9. Por ejemplo: el número11.277 es un múltiplo de 9, pues la suma de sus cifras:1 + 1 + 2 + 7 + 7 = 18, y el 18 es un múltiplo de 9. En efec-to: 11.277 : 9 = 1.253.

i) Un número es múltiplo de 10 cuando termina en 0.El número 3.120 es múltiplo de 10; en efecto, al efectuarla división: 3.120 : 10 = 312.

j) Un número es múltiplo de 11 cuando la suma de suscifras de lugar impar menos la suma de sus cifras de lu-gar par, empezando a contar desde la derecha, sea 0, 11 oun múltiplo de 11. Ejemplo: El número 90.794 es múltiplode 11. Para comprobarlo según el criterio, se suman lascifras de lugar impar: 4 + 7 + 9 = 20, y se suman las cifrasde lugar par: 0 + 9 = 9. Se restan estas dos sumas: 20 – 9 yse obtiene 11; por tanto, dicho número, efectivamente, esmúltiplo de 11. Se comprueba: 90.794 : 11 = 8.254.

k) Un número es divisible por 13 cuando sumando su-cesivamente a sus decenas el cuádruple de sus unidades,se obtiene 0 o un múltiplo de 13. Ejemplo: el número32.981:

Como la unidad es 1, se suma 4 a sus de-cenas.

Como la unidad es 2, se suma 8 a susdecenas.Como la unidad es 8, se suma 32 a sus de-cenas.

En efecto, 65 : 13 = 5. Como 65 es un múltiplo de 13, en-tonces el 32.981 también lo es.

Al comprobar, se aprecia que:

32.981 : 13 = 2.537

l) Un número es múltiplo de 25 cuando sus dos últi-mas cifras sean ceros o múltiplos de 25. Por ejemplo: losnúmeros 31.200 y 31.275 son múltiplos de 25. En efecto,31.200 : 25 = 1.248 y 31.275 : 25 = 1.251.

Números primos

Se llama números primos a aquellos que sólo son divisi-bles por sí mismos o por la unidad. Los números que noson primos reciben el nombre de compuestos.

Dos números son primos entre sí cuando el único divi-sor común a ambos es la unidad.

Todo número compuesto se puede descomponer comoproducto de números primos. En efecto, si un número aes compuesto y admite varios divisores, el menor de to-dos ellos, b, sería el primo, ya que si éste fuese compues-to admitiría otros divisores menores que él:

a = b1 · a1 con a1 < a

Si a1 fuese primo ya bastaría. Si fuera compuesto, porlo anteriormente señalado, admitiría un divisor primo b2y, por tanto, a = b1 · b2 · a2 con a2 < a1; aplicando este proce-so repetidamente, se llegaría a un divisor que sería el úl-timo y, por tanto, primo. Luego:

a = b1 · b2… bn.

3265

– 8338

32.981

– 43.302

7

– 67

– 14133

14.938

– 1614.877

El 15 se descompone en 3 · 5 , donde ambos númerosson primos. Si algún factor se repite, se escribe en formade potencia: 75 = 52 · 3.

Método para descomponer un número en sus factores primos

Se coloca el número y, a su derecha, un segmento verti-cal. A la derecha del segmento se coloca el menor núme-ro primo que es divisor del número, se realiza la divisióny el resultado se coloca bajo el número, volviéndose a re-petir el proceso hasta llegar a la unidad. Por ejemplo:

Por tanto, 840 = 23 · 3 · 5 · 7.

Máximo común divisor

Se llama máximo común divisor, escrito m. c. d., de va-rios números al mayor número que divide a todos ellos.Ejemplo. Sean los números 40 y 60:

Divisores de 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20.Divisores de 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 30.

Los números, 1, 2, 4, 5, 10, 20, son divisores comunes a40 y 60. De todos ellos, el mayor es el 20, que sería el má-ximo común divisor.

Para calcular el máximo común divisor de varios nú-meros, se descomponen éstos en factores primos y se to-man los factores comunes a todos ellos elevados al me-nor exponente con el que aparezcan. Ejemplo: m. c. d.(40, 60) = 222 · 5 = 4 · 5 = 20:

Los factores comunes son el 2 y el 5. El 2 se tomaría alcuadrado.

Mínimo común múltiplo

Se llama mínimo común múltiplo, escrito m. c. m., de va-rios números al menor de los múltiplos comunes a dichosnúmeros.

Ejemplo:

Múltiplos de 40 = 40, 80, 120, 160, 200, 240, …Múltiplos de 60 = 60, 120, 180, 240, …

Los números 120 y 240 son múltiplos comunes de 40 y60. El menor de todos ellos es el 120, luego será el míni-mo común múltiplo de 40 y 60.

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios nú-meros, se descomponen éstos en producto de factores yse toman los factores comunes y los no comunes eleva-dos a los máximos exponentes con que aparezcan. Ejem-plo: 40 = 23 · 5; 60 = 22 · 3 · 5. Se toman el 23 y el 5, comofactores comunes, y el 3, que no es común. Luego m.c.m.(40, 60) = 23 · 3 · 5 = 120.

Propiedades del máximo común divisor y mínimo común múltiplo

a) Si uno de los números es divisor de todos ellos, ésees el máximo común divisor: m. c. d. (15, 30, 45, 60) = 15,pues 15 es divisor de 30, 45 y 60.

b) Si uno de los números es múltiplo de todos ellos, ésees el mínimo común múltiplo: m. c. m. (15, 30, 60) = 60,pues 60 es múltiplo de 15 y de 30.

c) Si los números son primos entre sí, su máximo co-mún divisor es la unidad, y su mínimo común múltiploel producto de todos ellos: m. c. d. (2, 3, 5) = 1; m. c. m.(2, 3, 5) = 30.

d) Todo divisor del m. c. d. de varios números es un di-visor común a todos ellos. Todo múltiplo del m. c. m. devarios números es un múltiplo común a todos ellos.

El 10 es un divisor de 20, que es m. c. d. (40, 60), por loque 10 es también divisor de 40 y 60; el 360 es un múlti-plo de 120, que es el m. c. m. (40 y 60). También es múl-tiplo de 40 y 60.

e) El producto del máximo común divisor por el míni-mo común múltiplo de dos números es igual al productode ambos números. Sean los números a y b Z, si d = m. c. d.(a, b) y D = m. c. m. (a, b), entonces d · D = a · b. Ejemplo:a = 40, b = 60, d = m. c. d. (40, 60) = 20, D = m. c. m. (40, 60)= 120, d · D = 20 · 120 = 2.400; a · b = 40 · 60 = 2.400.

f) Si se dividen dos números por su máximo comúndivisor, los resultados obtenidos son primos entre sí:40 : 20 = 2; 60 : 20 = 3; m. c. d. (2, 3) = 1.

Algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo co-mún divisor de dos números. Este método está basado enel hecho de que el m. c. d. de dos números es el mismoque el m. c. d. del menor de ellos y del resto por defecto opor exceso de la división entre ambos.

Sean dos números a, b, Z. El procedimiento es di-vidir a entre b; después, b por el resto de la división, r;posteriormente, r entre el resto de la división anterior,r1, y así sucesivamente hasta que se llega a una divi-sión exacta. El último divisor es el m. c. d. de los dosnúmeros. Por sencillez, este proceso se realiza en ungráfico:

40 = 23 · 5 60 = 22 · 3 · 5

40 220 210 25 51

60 230 215 35 51

840 2 840 2 840 2 840 2420 420 2 420 2

210 210 2105 335 57 71

212 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Ejemplo: a) m. c. d. (40, 60) = 20:

b) m. c. d. (1.375, 1.050) = 25:

Sistemas métricos no decimales

El sistema métrico decimal debe su nombre a que las re-laciones entre unidades se expresan mediante potenciasde 10. Pero éste no es el único sistema de medidas. Exis-ten dos tipos de magnitudes que utilizan unidades acep-tadas por todos y que, sin embargo, no utilizan el siste-ma decimal, sino el sexagesimal. La utilización del 60como base de un sistema se debe a la cantidad de diviso-res que posee, así como a la relativa facilidad para calcu-larlos y, sobre todo, relacionarlos. Estas dos magnitudesson la medida superior y la medida del tiempo:

Medida angular

La unidad de este sistema es el grado, que corresponde ala medida de un ángulo central de circunferencia cuyoarco corresponde a 1/360 de la circunferencia. El símbolocon que se designa el grado es un cero minúsculo (º) co-locado en la parte superior derecha de la cantidad:

Existen dos divisores del grado: el minuto y el se-gundo. El minuto corresponde a la 60ª parte del grado,y su símbolo es una tilde (’) en posición análoga a ladel símbolo del grado. Un grado tiene sesenta minutos(1º = 60’). El segundo corresponde a la 60ª parte del mi-nuto, y su símbolo son dos tildes (‘’) en la misma posi-ción que los símbolos del grado y minuto (1’ = 60’’;1º = 3.600’’).

Para medir los ángulos, se utiliza el transportador deángulos, que es una semicircunferencia graduada:

Medida del tiempo

Para medir el tiempo, la unidad que se utiliza es el día,que corresponde al período que tarda la Tierra en dar unavuelta completa alrededor de su eje. Como múltiplo deldía se utilizan las semanas y los meses, aunque estos últi-mos no tengan todos la misma duración, y como múlti-plo de éstos se utiliza el año solar, que tiene, aproxima-damente, 12 meses y 365 días. El día se divide en 24 uni-dades más pequeñas llamadas horas. Cada una de estashoras se divide en 60 partes más pequeñas llamadas mi-nutos, y cada minuto en 60 partes más pequeñas llama-das segundo.

Complejos e incomplejos

La medida de ángulos se expresa mediante el empleo devarias unidades a la vez, en una forma de expresióncompleja (p. ej., 30º 16’ 15’’). Si se expresa esta mismamagnitud con una sola unidad, se habla de forma in-compleja.

Paso de forma compleja a incompleja. Para expresarel complejo 30º 16’ 15’’ en segundos, hay que pasar cadauna de las cantidades a segundos: 30º · 3.600 = 108.000’’;16’ · 60 = 960’’; 15’’ = 15’’. Por tanto, al sumar estas cifrasse obtiene la equivalencia: 30º 16’ 15’’ = 108.975’’.

Paso de incomplejo a complejo. Expresar 354.580’’ enforma compleja. Para pasar a complejo los segundos, sedivide por 60. El resto de la división serán los segundos,y el cociente serán los minutos (los ceros no se simplifi-can en la división):

354.580|60545 5.909 es el cociente, los minutos

058040 es el resto, los segundos

180º 0º

90º

Una circunferenciatiene 360º

1 3 4 3

1.375 1.050 325 75 25

325 75 25 0

25 es el m. c. d.

1 2

60 40 20

20 0

C C1 C2 C3 …

a b r r1 …

r r1 r2 r3 …

______________________________________________________________________________________________ Números primos 213

214 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

El cociente, 5.909, se pasa a grados dividiendo por 60 yel resto de esta división serán los minutos, y el cociente,los grados:

5.909|60509 98 es el cociente, los grados29 es el resto, los minutos

Por tanto, 354.580’’ = 98º 29’ 40’’.

Operaciones con números complejos

Suma. La suma de números complejos se realiza colo-cando los sumandos, uno debajo del otro, de forma quecoincidan las respectivas unidades. Una vez efectuada lasuma, se reducen las unidades correspondientes:

60º 34’ 41’’15º 42’ 12’’75º 76’ 53’’ = 76º 16’ 53’’

puesto que 76’ es igual a 1º y 16’ (se han reducido los se-gundos a grados dividiendo por 60). El resto de la divi-sión equivale a los minutos, y el cociente se suma a losgrados.

Resta de complejos. Para restar ángulos, se sitúan és-tos de forma análoga a la suma: en la parte superior, elminuendo, y en la inferior, el sustraendo. Es preciso te-ner en cuenta que las cantidades del minuendo deben sermayores que las correspondientes del sustraendo. Si enalguna columna esto no ocurriese, se restaría una unidada la de las unidades superiores que, multiplicado por 60,se añadiría a la columna deficitaria:

96º 18’ 43’’– 45º 53’ 40’’

La cantidad de los minutos es inferior en el minuendo;entonces se quita una unidad de la columna de los gra-dos, que quedaría en 95º. Esta unidad son 60’, que suma-dos a los 18’ que había dan 78’ y así se puede efectuar laresta:

96º 78’ 43’’– 45º 53’ 40’’

51º 25’ 3’’

Multiplicación de un número complejo por un númeronatural. Para multiplicar un complejo por un número, semultiplican separadamente los grados, minutos y segun-dos del complejo por dicho número, y después, se redu-cen los incomplejos a complejos. Por ejemplo:

48º 53’ 18” Se efectúa la reducción(90º : 60” = 1’ y 30”; 266’ : 60” = 4º y 26’)

5240º 265’ 90” = 244º 26’ 30’’

División de un complejo por un número natural. Paradividir un complejo por un número natural, se dividenprimero las unidades superiores del complejo por el nú-mero, el resto se transforma en unidades inmediatamen-te inferiores y se suma a los existentes. Esta suma se divi-de por el número y se repite el proceso anterior:

63º 12' 33" 513 180 120 12º 38' 30"3 · 60 192' 153

42 032 · 60


1. Comprobar si los siguientes números son divisi-bles por 2, 3, 5 y 7: 13.528, 34.353, 625.

2. Descomponer en producto de factores los siguien-tes números: 75, 256, 90, 936.

3. Hallar el m. c. d. y el m. c. m. de los siguientes gru-pos de números: a) 100 y 90; b) 200, 160 y 130.

4. Pasar de forma compleja a incompleja y viceversa:a) 25D 8h 30’ 46’’; b) 18.369’’.

5. Realizar las siguientes operaciones: a) restar 180º –85º 43’ 18’’; b) multiplicar 12º 58’ 49’’ · 9.

Proporciones

Dados dos números cualesquiera a y c, se llama razón dedichos números a su cociente, indicado como a/c. Los tér-minos de este cociente reciben nombres especiales: a sedenomina antecedente, y c, consecuente. La expresiónse leerá: “a es a c”, es decir, antecedente es a consecuente.Una razón es una fracción, por lo que las propiedades delas fracciones son aplicables a las razones.

La igualdad entre dos razones se denomina propor-ción. Sus términos se designan como cuartos proporcio-nales:

m/n = p/q → proporción

La proporción se lee: “m es a n como p es a q”. Los tér-minos m y q se denominan extremos, y los términos n y p,medios. Ejemplo: 4/5 = 8/10. “Cuatro es a cinco comoocho es a diez”. Los medios son 5 y 8, y los extremos, 4 y10. Los antecedentes, 4 y 8, y los consecuentes, 5 y 10.

Por la propiedad uniforme de la multiplicación se ob-tiene la propiedad fundamental de las proporciones: entoda proporción, el producto de los medios es igual al delos extremos:

m/n = p/q; mq = np

Siempre se puede despejar uno de los términos en fun-ción de los otros tres:

m = np/q; q = np/m; n = mq/p; p= mq/n

Así, conocidos tres términos de una proporción, se pue-de conocer el cuarto. A éste se le llama cuarto proporcional.Con tres números es posible encontrar un cuarto, de for-ma que los cuatro constituyan una proporción. Una pro-porción en la que los medios son iguales se llama propor-ción continua: m/p = p/q.

Ejemplo: 2/6 = 6/18 → proporción continua.

Se llama medio proporcional al que se repite en una pro-porción continua. Dados dos números, se puede encon-trar otro que sea su medio proporcional:

m/p = p/q; p2 = m · q; p = m·q

Ejemplo:

5/x = x/45; x2 = 5 · 45; x2 = 225; x = 225 = 15;luego 5/15 = 15/45

Si se dividen los dos términos de una fracción por sumáximo común divisor, se obtiene la razón de proporcio-nalidad. Si se tiene la fracción 15/45, el m. c. d. (15, 45) =15, luego 15/45 = 15 : 15 / 45 : 15 = 1/5. La razón de pro-porcionalidad es de uno a cinco.

En una proporción, la suma o resta de antecedentesdividida por la suma o resta de consecuentes es igual auna cualquiera de las razones. De este modo, dada laproporción 2/3 = 4/6, se verifica que 2 + 4 / 3 + 6 = 2/3.En efecto, 6/9 = 2/3, ya que 18 = 18. Para la resta se si-gue un procedimiento análogo: 4 – 2 / 6 – 3 = 4/6 ; 2/6= 2/6, 12 = 12.

Magnitudes proporcionales

Magnitud es todo aquello que admite medida. El tiem-po, la velocidad, la longitud, etc., son magnitudes. Si setienen dos magnitudes tales que al variar una de ellas laotra se modifica en la misma proporción, se dice que sondependientes. Esta dependencia puede ser de dos for-mas: de proporcionalidad directa o de proporcionalidadinversa.

Magnitudes directamente proporcionales. Se conside-ra que dos magnitudes son directamente proporcionalescuando al aumentar una de ellas en una cantidad, la otralo hace en la misma proporción, y cuando disminuye unaen una cantidad, la otra también disminuye proporcio-nalmente.


PROPORCIONESY PORCENTAJES

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

En las magnitudes que son directamente proporciona-les, la razón de dos cantidades de una de ellas forma pro-porción con la razón de las cantidades correspondientesde la otra.

La regla de tres simple directa es una aplicación de lasmagnitudes directamente proporcionales. Con ella se re-suelven problemas en los que se conocen tres cantidadesde dos magnitudes directamente proporcionales y se tra-ta de conocer la cuarta.

Ejemplo:

Si 5 kg de manzanas cuestan 250 pesos,8 kg de manzanas costarán x

Se establece la proporción 5/8 = 250/x, y se calcula xdespejando:

5x = 250 · 8; x = 250 · 8/5 = 2.000/5; x = 400 pesos

Magnitudes inversamente proporcionales. Dos mag-nitudes son inversamente proporcionales cuando alaumentar o disminuir una de ellas en una cantidad, laotra disminuye o aumenta en una cantidad proporcional.En las magnitudes inversamente proporcionales, la ra-zón de dos cantidades forma proporción con la razón in-versa de las otras.

La velocidad y el tiempo, el número de obreros y eltiempo que se tarda en hacer una obra, etc., son ejem-plos de magnitudes inversamente proporcionales.

La regla de tres inversa es una aplicación de magnitudinversamente proporcional. Resuelve problemas en losque se conocen tres cantidades de dos magnitudes inver-samente proporcionales y se trata de calcular la cuarta.Ejemplo:

Si 2 grifos llenan un estanque en 6 horas,4 grifos lo llenarán en x horas

Se forma la proporción invirtiendo la razón:

2/4 = x/6; x = 12/4 = 3 horas.

Porcentaje

Cuando en una reunión se dice que el 20% de las perso-nas asistentes son niños, se quiere decir que si el númerode asistentes hubiera sido 100, 20 de ellos habrían sido ni-ños. El tanto por ciento se expresa con el signo %. Son pro-porciones referidas a 100, es decir, el consecuente de la ra-zón es 100.

Algunos ejemplos de problemas que se pueden presen-tar son:

– Conocida la cantidad y el tanto por ciento que se pre-senta hallar el total. El 25% de un número es 800, ¿de quénúmero se trata?:

25 —————— 100800 —————— xx = 800 · 100/25 = 3.200

– Si a un número dado se le suma un tanto por ciento,se puede saber en que número se convierte. El número800 se aumenta en un 35%, ¿en qué número se convierte?:

El 100 se transformará en el 135El 800 ———— xx = 800 · 135/100 = 1.080

Interés simple

El banco paga por el dinero que se deposita en una libre-ta o cuenta de ahorros una cantidad, que se expresa en %y se denota por R. Esta cantidad se llama rédito y depen-de del tiempo que ha estado depositado el dinero, biensea en años, en meses o en días. Interés simple es la canti-dad que produce un capital, C, colocado en un banco a de-terminado rédito, R, durante cierto tiempo, t. Si el tiempoes en años, la fórmula para calcular el interés, I, es:

I = CRt/100

Despejando, se pueden calcular las otras cantidades:

C = 100 · I/RtR = 100 · I/Ctt = 100 · I/CR

Si el tiempo se expresa en meses: I = CRt/1.200; si es endías: I = CRt/36.000.

El capital final será el que se tenía, llamado capital ini-cial, más los intereses:

Cf = Ci + I

Ejemplo: Se colocan 200.000 pesos durante 20 meses enun banco al 6%. Calcular el capital final.

Como el tiempo se expresa en meses, la fórmula parahallar el interés simple es:

I = CRt/1.200

luego:

Cf = Ci + I = Ci + CRt/1.200 = 200.000 + 20.000 · 6 · 20/1.200 = = 200.000 + 20.000 = 220.000 pesos

216 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ Proporciones y porcentajes 217

Descuento

Si al comprar una mercancía se adelanta el tiempo depago acordado, el vendedor, por el hecho de recibir el di-nero antes de la fecha prevista, debe desquitar una can-tidad igual al interés que produce el capital durante ladiferencia de tiempo. A esta rebaja que se hace sobre elvalor total de la deuda se le llama descuento. En el casode deudas, el valor total de la deuda, que es el capitalprestado, se llama valor nominal. Este valor nominal me-nos el descuento es la cantidad que se paga en realidad.A esta cantidad se le llama efectivo. El descuento, d, secalcula con las mismas fórmulas que para el interés sim-ple, teniendo en cuenta que C se sustituye por el valornominal, N:

d = NRt/100 d = NRt/1.200 d = NRt/36.000Tiempo en años Tiempo en meses Tiempo en días

Valor efectivo = Valor nominal – descuento (VE = N – d)

Ejemplo: Calcular la cantidad que hay que pagar paracancelar una deuda de 300.000 pesos al 8% en cien díasantes de lo previsto:

VE = N – d

como el tiempo es en días, la fórmula para el descuentoserá:

d = NRt/36.000

luego:

VE = 300.000 – (300.000 · 6 · 100)/36.000 = = 300.000 – 5.000 = 295.000 pesos

Interés compuesto

Se llama interés compuesto a un tipo particular de inte-rés en el que los intereses producidos al cabo de un añose suman al capital. Esta nueva cantidad produce interésdurante el segundo año, y así en años posteriores. Para elcálculo del interés compuesto, se utiliza en lugar del tan-to por ciento el tanto por uno, r, que es la cantidad que

produce una unidad monetaria en un año. El tanto poruno se obtiene dividiendo el tanto por ciento entre cien:

r = %/100

Si C es el capital, r el tanto por uno y t el tiempo en años,la fórmula para hallar el capital final del interés com-puesto es:

Cf = C (1 + r)t

Ejemplo: ¿En cuánto se convertirán 250.000 pesos colo-cados en un banco durante seis años al 7% de interés com-puesto?:

r = 7/100 = 0,07Cf = C (1 + r)t = 250.000 · (1 + 0,07)6 = 250.000 · 1,076 =

= 250.000 · 1,50 = 375.000 pesos


1. Se pone un capital a un interés del 8% durante12 años. Si al cabo de ese tiempo el capital es de1.260.000 pesos, ¿cuál fue el capital inicial?

2. ¿Durante cuánto tiempo hay que colocar un capi-tal de 150.000 pesos en el banco a un interés sim-ple del 4% para llegar a obtener unos intereses de90.000 pesos?

3. ¿Qué cantidad se recibirá al cabo de un año por uncapital de 350.000 pesos colocado al 6%, si en con-cepto de impuestos se retiene el 25% de los inte-reses?

4. Calcular: a) La media proporcional a 5 y 45. b) Lacuarta proporcional a 13,39 y 65.

5. Calcular: a) ¿Cuántos kilogramos de tomates sepodrían comprar con 12.000 pesos, si 5 kg valen100 pesos? b) ¿Cuál es el número de horas que tar-dan 6 obreros en descargar un camión, si 4 obrerosemplean 18 horas?

Introducción

Dado el conjunto de los números reales R y un elementoindeterminado x R , se llama polinomio de grado n, conn N, y coeficientes reales, con una indeterminada, atoda expresión de la forma : a 0 + a1x1 + a2x 2 + + anx n

con an ≠ 0, siendo a 0 , a1 , an , los coeficientes. Ejemplo:

P (x) = 3 + 2x 3x2 + 7x3 + 8x4

Se denomina grado de un polinomio al mayor exponen-te (n ) al que aparece elevada la indeterminada x . Este con-cepto se representa por grad. En el ejemplo, el grado es 4.

Se denomina monomio a un polinomio en el que los coe-ficientes son todos cero menos uno, por ejemplo, 6x2; si loscoeficientes son todos nulos menos dos, el polinomio sellama binomio; si posee tres términos es un trinomio, etc.

El grado de un monomio es el exponente de su indeter-minada. En 2x2, el grado es 2.

Un polinomio también se puede definir como la sumaalgebraica de monomios. El monomio que no tiene inde-terminada, a 0, se denomina término independiente, con-siderándose que la indeterminada está elevada a cero,a 0x 0, y es, por tanto, el término de grado cero.

Un polinomio se llama mónico cuando el coeficientedel término de mayor grado a n es 1. Se denomina nulocuando todos sus coeficientes son cero, es decir, ai = 0 ∀ i =1, 2 n .

Al conjunto de todos los polinomios con una indeter-minada x y coeficientes reales, se le representa por R (x).

Dos polinomios son iguales si son del mismo grado y,además, los coeficientes de los términos del mismo gra-do son también iguales. Si se representan por P(x) y Q(x)dos polinomios:

P(x) = a0 + a1x 1 + a2x 2 + + anxn

Q(x) = b0 + b1x 1 + b2x 2 + + bmxm

Entonces P(x) = Q(x) si:

a) grad [P(x)] = grad [Q(x)], es decir, m = n. b) a i = bi ∀ i.

La relación de igualdad de polinomios es una igual-dad de equivalencia, donde el representante de las cla-ses de equivalencia es el polinomio que tiene sus térmi-nos ordenados según potencias crecientes de x.

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se llama suma de es-tos polinomios a otro polinomio, S(x), en el que los coefi-cientes son la suma algebraica de los coeficientes de lostérminos de P(x) y Q(x) de igual grado. El grado del poli-nomio suma es menor o igual que el grado mayor de losgrados de P(x) y Q(x):

P(x) = a0 + a1x 1 + a2x 2 + a3 x3 + ... grad P(x) = nQ(x) = b0 + b1x 1 + b2x 2 + b3 x3 + ... grad Q(x) = m

S(x) = P(x) + Q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 ++ ... grad [S(x)] supremo m, n

El grado del polinomio suma es menor cuando m = n ya n = bn, es decir, si tienen el mismo grado y los coeficien-tes de los términos de mayor grado son opuestos. Ejemplo:

P(X) = 3 x + 2x2 4x4 6x5

Q(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x4 + 3x5 + 8x6

S(x) = P(x) + Q(x) = (3 + 1) + ( 1 + 2)x + (2 + 3 ) x2 ++ (0 + 0)x3 + ( 4 + 4)x4 + ( 6 + 3 )x5 + 8x6 =

= 4 + x + 5x2 3x5 + 8x6

El conjunto de los polinomios, con la operación sumade polinomios, [R(x), +], tiene estructura de grupo abe-liano donde el polinomio nulo es el elemento neutro; elpolinomio simétrico de otro es el que resulta de cambiarde signo todos sus términos.

Multiplicación de polinomios

Producto de monomios. El producto de dos monomioses otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coe-


POLINOMIOSY

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

ficientes, y cuya indeterminada está elevada a la suma delos exponentes de cada uno de los monomios:

a nx n · bmx m = (an · bm)xn + m

Ejemplo:

3x5 · 6x4 = (3 · 6)x5+4 = 18x9

Producto de un monomio por un polinomio. El produc-to de un monomio por un polinomio es el polinomio re-sultante de multiplicar el monomio por cada uno de lostérminos del polinomio:

a 0x n (b0 + b1x 1 + b2x2 + + bmxm) == a0 · b 0xn + a0 · b 1x n+1 + a0 · b 2x n+2 + + a0 · bn xn+m

Ejemplo:

6x3 · (3 + 7x 8x2 4x3) = 18x3 + 42x4 48x5 24x6

Producto de polinomios. El producto de dos polino-mios es el polinomio resultante de multiplicar cada unode los términos de uno de los polinomios por todos losdel otro, agrupando después los términos semejantes:

P(x) = a0 + a1x 1 + a2x 2 + ... + an xn

Q(x) = b0 + b1x 1 + b2x 2 + ... + bm xm

P(x) · Q(x) = a0 · Q(x) + a1x 1 · Q(x) + a2x 2 · Q(x) ++ an xn · Q(x)

Se reduce así la multiplicación de polinomios a la mul-tiplicación de monomios por polinomios.

Para efectuar la multiplicación de dos polinomios seaplica la siguiente regla: se sitúan uno debajo del otro or-denados y se van multiplicando los monomios del multi-plicador por los del multiplicando, y se colocan los mo-nomios del mismo grado en columna para después efec-tuar la suma. Ejemplo:

P(x) = 6x3 5x2 + 3x 2; Q(x) = 2x2 + 5x 7

Entonces para obtener P(x) · Q(x):

6x3 5x2 + 3x 22x2 + 5x 7

42x3 + 35x2 21x + 1430x4 25x3 + 15x2 10x

12x5 10x4 + 6x3 04x2

12x5 + 20x4 61x3 + 46x2 31x + 14

P(x) · Q(x) = 12x5 + 20x4 61x3 + 46x2 31x + 14

El conjunto [R(x), ·] es un semigrupo abeliano, cuya uni-dad es el polinomio P(x) = 1. Además, la multiplicación depolinomios es distributiva respecto de la suma:

Si P(x), Q(x), T(x) R(x), entonces P(x) · [Q(x) + T (x)]= P(x) · Q(x) + P(x) · T(x); luego [R(x), +, ·] tiene estructura de

anillo conmutativo y unitario. Además, es anillo de inte-gridad, ya que si P(x) · Q(x) = 0, tiene que ser P(x) = 0 oQ(x) = 0.

División de polinomios

Se llama división de polinomios a la operación por la cual,dados dos polinomios D(x) y d(x), con grad [D(x)] grad[d(x)], se obtienen otros dos polinomios C(x) y R(x), congrad [R(x)] < grad [d(x)], de tal forma que se verifica:

D(x) = d(x) · C(x) + R(x)

Si R(x) es el polinomio nulo, entonces se dice que la di-visión es exacta y D(x) = d(x) · C(x).

División de dos monomios. Al dividir dos monomios,se obtiene otro monomio cuyo coeficiente es el cocientede los coeficientes y la indeterminada está elevada a ladiferencia entre los grados de los monomios:

Si bm ≠ 0 anxn/bmxm = (an/bm)xn-m

Ejemplo:

6x4 : 3x3 = (6/3) · x4-3 = 2x

División de un polinomio por un monomio. Para divi-dir un polinomio, se divide cada uno de los términos delpolinomio por el monomio.

Para realizar la división de dos polinomios, se efectúanlos siguientes pasos:

a) Se ordenan los polinomios según potencial decre-ciente de la indeterminada, colocándose como en cual-quier división de números.

b) Se divide el primer término del dividendo entre elprimer término del divisor (división de monomios). El re-sultado será el primer término del cociente.

c) Se multiplica este cociente (monomio) por el divisory el producto obtenido se resta del dividendo.

d) Con la resta, anteriormente indicada, se repite el pro-ceso desde el paso 2, hasta llegar a un resto nulo o un res-to de menor grado que el divisor. Ejemplo:

P(x) = 12x5 + 20x4 61x3 + 46x2 31x + 14Q(x) = 6x3 + 5x2 + 3x 2

12x5 + 20x4 61x3 + 46x2 31x + 14 |6x3 5x2 + 3x 212x5 + 10x4 + 6x3 4x2 2x2 + 5x 7

30x4 67x3 + 50x2 31x + 1430x4 25x3 + 15x2 10x

42x3 + 35x2 21x + 14 42x3 + 35x2 21x + 14

0

Un polinomio es divisible por otro cuando al efectuarla división el resto es cero.

Las propiedades de la divisibilidad de polinomios sonlas mismas que para la divisibilidad de números enteros.

__________________________________________________________________________________________________ Polinomios 219

División por Ruffini. Un caso particular de división se re-fiere a cuando el divisor es el binomio x + a. En lugar de rea-lizar esta división normalmente, se puede efectuar de for-ma más sencilla y rápida por el método de Ruffini. Estaforma de dividir consiste en situar los coeficientes del po-linomio ordenados según potencias decrecientes, y colo-cando un cero cuando algún término falte. A la izquierda,y con el signo cambiado, se pone el término independien-te del binomio x + a, es decir, + a. El primer coeficiente esigual al primer coeficiente del dividendo y se sitúa deba-jo. El segundo coeficiente del cociente se obtiene multi-plicando el primer coeficiente por ± a, y sumando esteproducto al siguiente coeficiente del dividendo. Así suce-sivamente, se obtienen los restantes coeficientes. El últi-mo resultado corresponde al resto de la división. El gradodel cociente es una unidad menor que el del dividendo.

Ejemplo: Dividir x4 7x3 + 8x entre x 2:

1 7 0 8 32 2 10 20 24|1 5 10 12 27 → resto

Cociente = 1x3 5x2 10x 12

Valores numéricos de un polinomio

Dado un polinomio P(x), se llama valor numérico del poli-nomio para x = a, y se representa por P(a), al resultado quese obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones:

Si P(x) = a0 + a1x 1 + a2x 2 + + an xn

P(a) = a0 + a1a 1 + a2a 2 + + an an R

Teorema del resto o de Ruffini. El resto de la divisiónde un polinomio por x a es igual al valor numérico delpolinomio para x = a.

Demostración: Si C(x) y R(x) son el cociente y el resto de ladivisión del polinomio P(x) por el binomio x a, se tiene:

P(x) = (x a) C(x) + R(x)

Si se calcula el valor numérico del polinomio para x = a,se tiene P(a) = (a a) C(a) + R(a), y como a a = 0, resultaP(a) = R(a).

Ejemplo: Hallar el resto de dividir el polinomio P(x)= 3x3 6x2 + 8x 2 entre x 3. Se efectúa la división porRuffini:

3 6 8 23 9 9 51|3 3 17 49 Resto = 49

Se calcula el valor numérico del polinomio para x = 3:

P(3) = 3 · 33 6 · 32 + 8 · 3 2 = 81 54 + 24 2 = 49Resto = 49

Raíz de un polinomio. Las raíces de un polinomio sonaquellos valores de la indeterminada para los cuales el

valor numérico del polinomio es cero, es decir, r es raízdel polinomio P(x) si P(r) = 0.

Por ejemplo: 2 es una raíz del polinomio P(x) = x2 5x+ 6, pues P(2) = 22 5 · 2 + 6 = 4 10 + 6 = 0.

Las raíces de polinomios de primer y segundo gradoson fáciles de calcular, cuando existen, sin más que re-solver la ecuación que resulta de igualar el polinomio acero. En los restantes casos, lo que se hace es probar conaquellos valores que sean divisores del término indepen-diente. En el ejemplo anterior, el 2, que es raíz, es un di-visor del término independiente. Un polinomio de gra-do n se anula, como máximo, para n raíces.

Factorización de polinomios

Si a 1, a2, a3, ..., an , son raíces de un polinomio P(x) de gra-do n , entonces P(x) puede descomponerse en productode factores de la forma: P(x) = a (x a1) (x a2) ... (x an) ,siendo a el coeficiente del término de mayor grado.

Al dividir P(x) por (x a), como a es raíz, se obtiene uncociente C 1(x) de grado una unidad menos que P(x), luegoP(x) = (x a1) · C1(x). Como a 2 ≠ a1 , y a 2 es raíz de P(x), re-sultará que P(a2) = (a2 a1) · C1(a2) = 0, luego a 2 es una raízde C 1(x); por tanto, al dividir C 1(x) entre x a2 se tiene C 1(x)= (x a2) · C2(x), siendo C 2( x) el cociente de la división yP(x) quedará sustituyendo C 1(x) de la siguiente forma:

P(x) = (x a1) (x a2) · C2(x)

Repitiendo este proceso para cada una de las raíces setiene:

P(x) = (x a1) (x a2) ... (x an) · Cn(x)

siendo grad [Cn( x)] = 0, pues para cada raíz el grado hadisminuido en una unidad, y C n(x) = an.

El polinomio no podría anularse para ningún valormás, distinto de las n raíces. Como los restos serían todosdistintos de cero, tendría que ser cero el valor a n , pero éstees el coeficiente del término de mayor grado, a n ≠ 0.

Polinomio irreducible. Un polinomio P(x) = a0 + a1x 1 +a2x 2 + + anxn con n > 1, es decir, grad [P(x)] > 1 es irre-ducible cuando no puede descomponerse en producto dedos factores de grado mayor o igual que uno. El polino-mio P(x) = x2 + 1 es irreducible.

Representación gráfica depolinomios

Dado un polinomio P(x) R(x), se llama función poli-nómica a aquella aplicación P : R → R que, a cualquier va-lor a R, la hace corresponder el valor numérico del poli-nomio para dicho valor, a → P(A). Las funciones polinómi-cas se representan en unos ejes cartesianos. Las raíces delpolinomio son los puntos en que la gráfica corta al eje delas abscisas. Si bien los polinomios de grado par pueden notener ninguna raíz, los de grado impar tienen que poseer al

220 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

menos una, ya que si el recorrido son todos los númerosreales R , tendrá que cortar en algún punto al eje x . Para losde grado par, el recorrido puede no ser todo R . Por ejem-plo, para la función P(x) = x2, el recorrido es R +, y para P(x) = x2 , el recorrido es R 0. Sin embargo, el dominiode definición de las funciones polinómicas es todo R.

Lo que caracteriza fundamentalmente a las funcionespolinómicas de grado mayor que uno es el número deconcavidades que presentan, siempre una unidad menosque el grado del polinomio.

Gráfica de la función polinómica de grado cero. SiP(x) = a0 , la gráfica de esta función es una recta paralelaal eje de abscisas, en la que todos los puntos tienen porordenada a 0. Se llama también función constante:

y | a0

x

Si a 0 es positivo, la gráfica está en la parte positiva deleje y; si a 0 es negativo, la gráfica está en la parte negativade dicho eje.

Gráfica de la función afín. Si el polinomio P(x) es degrado uno, P(x) = a1x + a0 , la función se llama afín. Su grá-fica es una recta con inclinación menor de 90º si a es posi-tivo y mayor de 90º si a es negativo. El término indepen-diente es la ordenada en el origen, es decir, el punto(0, a 0) es el lugar por donde cortará al eje de ordenadas;si a 0 > 0, lo cortará en su parte positiva; si a 0 < 0, lo haráen su parte negativa. Para representar la gráfica, se com-pone una tabla de valores [x, P(x)]. Ejemplo:

P(x) = 2x 3

x 0 1 2 1P(x) | 3 | 1 | 1 | 7

Un caso particular de la función afín se obtiene cuandoa 0 = 0, P(x) = a1x . Ésta es la llamada función lineal o fun-ción de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasapor el origen de coordenadas (0, 0), y es simétrica respec-to del origen. Ejemplo:

y = 2x

x 0 1 2 1y | 0 | 2 | 4 | 2

Gráfica de la función polinómica de grado dos. La funciónpolinómica de grado 2 es de la forma: P(x) = ax2 + bx + c.La gráfica de esta función es una parábola cuyas ramasse dirigen hacia arriba si a > 0, y hacia abajo si a < 0. Suvértice está situado en el punto [( b/2a, P( b/2a)]. Es si-métrica respecto al eje dado por la recta x = b/2a y cortaal eje de abscisas en los puntos solución de la ecuaciónax2 + bx + c = 0. Al ser una función polinómica de gradodos, presenta sólo una concavidad. La más sencilla es lafunción P(x) = x2. Su gráfica es una parábola con las ra-mas hacia arriba, el vértice en el origen de coordenadas ysimetría respecto al eje y:

La función P(x) = x2 es simétrica respecto al eje de abs-cisas de la anterior:

Si P(x) = x2 + c con c > 0, la función aparece desplaza-da c unidades hacia la parte positiva del eje y, y si c < 0,hacia la parte negativa, es decir, el vértice está en el pun-to (0, c):

Si P(x) = ax2 , el valor de a da a la gráfica mayor o me-nor apertura:

cP(x) = x2 + c

(si c > 0)

(si c < 0)

y

x

y

x

P(x) = x2

eje y

x

P(x) = x2

y

x

y

x

__________________________________________________________________________________________________ Polinomios 221

222 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Si P(x) = a (x m)2 , la parábola está desplazada hori-zontalmente; si m > 0, hacia la derecha, y si m< 0, hacia laizquierda:

Si P(x) = a (x m)2 + c, la parábola está desplazada ensentido vertical y horizontalmente siendo el vértice elpunto (m, c):

Gráfica de la función polinómica de grado 3. La fun-ción polinómica de grado 3 presenta dos concavidades y,a lo sumo, tendrá tres raíces. La más sencilla es la funciónP(x) = x3, cuya gráfica es:

Si P(x) = x3 x2, las raíces son: x 3 x2 = 0; x (x2 1) = 0;x = 0; x2 1 = 0; x = 1; x1 = + 1; x2 = 1:

En general, un polinomio de grado n es más fácil de re-presentar en su descomposición factorial, pues se elimi-na el problema del cálculo de las raíces:

P(x) = 3x (x 2) (x + 2)

Otra forma de determinar las raíces, de una forma apro-ximada, sería observar los cambios de signo de los valo-res de P(x), pues al ser continua la función, cuando cam-bia de signo existe un punto en el que vale cero.

Gráfica de la función polinómica P(x) = x (x + 2) (x – 2)(x + 7):

y

x 2 2

y

x 1 1

y

x

P(x) = x3

y

x

(m, c)c

m

y

x

(0, m)

y

x

P(x) = ax2, siendo a' < a

a' a


1. Dados los polinomios A = x4 8x3 + 7; B = 2x4 8x3

+ 7x 9. Calcular: a) A · B; b) B 2A.

2. Calcular el cociente y el resto de la siguiente divi-sión de polinomios: (2x8 8x7 + x5 + 26x4 8x3 21x2 + 20x 9) : (x4 3x + 1).

3. Comprobar por Ruffini que las raíces del polino-mio: x 4 14x3 + 71x2 154x + 120, son 2, 3, 4 y 5, ydescomponerlo en factores.

4. Calcular m, n y p en la siguiente igualdad:5x2 20x + 23 = m (x n)2 + p

Introducción

Se llama igualdad a la expresión formada por dos miem-bros matemáticos situados a ambos lados del signo igual.La parte que está a la izquierda se llama primer miembro;situada a la derecha es el segundo miembro.

Identidad es una igualdad que se cumple siempre. Porejemplo, 3 + 4 = 5 + 2; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2, son identi-dades. Esta última se cumple para cualquier valor que seatribuya a x e y.

Ecuación es una igualdad que se cumple únicamentepara determinados valores de las incógnitas o letras queforman parte de la igualdad. Resolver una ecuación esencontrar sus soluciones, es decir, aquellos valores quehacen que se verifique la igualdad. Se llaman ecuacionesequivalentes las que tienen las mismas soluciones. Pararesolver una ecuación, se cambian las ecuaciones porotras equivalentes hasta despejar la incógnita.

Una ecuación de primer grado con una incógnita es unpolinomio de grado 1 igualado a 0: ax + b = 0, con a ≠ 0.

Propiedades de las ecuaciones

a) Si a los dos miembros de una ecuación se les suma oresta un mismo número, se obtiene otra ecuación equiva-lente. Si a los dos miembros de la ecuación 3x + 8 = 9 se lesresta 8, se tendría 3x + 8 8 = 9 8 o, lo que es lo mismo,3x = 9 8. En la práctica, esto se conoce como pasar untérmino de un miembro a otro o transponer términos, detal forma que el que está sumando pasa restando, y el queestá restando pasa sumando.

b) Si los dos miembros de una ecuación se multiplicano dividen por un mismo número distinto de 0, se obtieneotra ecuación equivalente.

Si en lugar de un número se tratara de una expresiónalgebraica, se podrían añadir soluciones. Sea la ecua-ción 3x = 1, si los dos miembros se dividen por 3, queda3x/3 = 1/3, de donde x = 1/3.

Esta propiedad permite en la práctica quitar denomi-nadores y transponer términos que están multiplicando

o dividiendo. El que está multiplicando pasa dividiendo,y el que está dividiendo pasa multiplicando.

Resolución de ecuaciones de primer grado

La secuencia que ha de seguirse para resolver una ecua-ción es la siguiente:

a) Se quitan denominadores, si los hubiera, multipli-cando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo delos mismos.

b) Se quitan paréntesis, si los hubiese, efectuando lasoperaciones que correspondan.

c) Se pasan al primer miembro los términos que tenganla incógnita x, y al segundo, los que no la tengan.

d) Se reducen términos semejantes.e) Se despeja la incógnita.

Ejemplo:

3 (x 1) + (x + 1)/2 = (2x + 1)/3

1.º Se quitan denominadores; m. c. m. (2, 3) = 6:

6 · 3 (x 1) + 6 (x + 1)/2 = 6 (2x + 1)/318 (x 1) + 3 (x +1)= 2 (2x + 1)

2.º Se quitan paréntesis: 18x 18 + 3x + 3 = 4x + 2.3.º Se pasan al primer miembro los términos que ten-

gan x y al otro los demás: 18x + 3x 4x = 2 3 + 18.4.º Se reducen términos semejantes: 17x = 17.5.º Se despeja la incógnita: x = 17/17 = 1.

Si al resolver una ecuación de primer grado se llega auna identidad numérica, la ecuación tiene infinitas solu-ciones, pues para cualquier valor que se dé a x, se verificala ecuación. Se dice en tal caso que una ecuación es com-patible, ya que tiene soluciones infinitas o indeterminadas.

Si se llegase a una expresión del tipo 0x = b o 0 = b, laecuación no tiene solución y se dice que es incompatible.


ECUACIONES DEPRIMER GRADO

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Si sólo existe una única solución, se dice que es compati-ble y determinada.

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Se llama ecuación de primer grado con dos incógnitas atoda aplicación f : R → R, tal que ∀ x R; se hace corres-ponder f(x) = ax + b, con a ≠ 0. Generalmente f(x) se repre-senta por y. La aplicación queda así: y = ax + b; x se cono-ce con el nombre de variable independiente, siendo la va-riable dependiente, ya que depende de los valores dadosa x. Para cada valor de x se obtiene el correspondiente va-lor de y. Si:

x = x1 y1 = ax1 + bx = x2 y2 = ax2 + b

Estos valores, en forma de pares ordenados (x1 , y1),(x2 , y2), se representan en un sistema de ejes cartesianosque consta de dos rectas perpendiculares: una horizon-tal, en la que se representan los valores de x (eje de absci-sas), y otra vertical, donde se representan los valores de y(eje de ordenadas). El punto (0, 0) se denomina origen decoordenadas:

Estas ecuaciones se dicen de primer grado porque tan-to x como y están elevadas a uno. Poseen infinitas solu-ciones, ya que para cada valor de x se obtienen otro de y,donde ambos verifican la ecuación cuya gráfica es unarecta. Ejemplo: y = 2x 1. Se forma una tabla de valores,se representan los pares y se unen los puntos obtenidos:

x 1 0 1 2y | 1 | 1 | 3 | 3

Sistemas de ecuaciones de primer grado

Un sistema de ecuaciones de primer grado, es un conjun-to de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

ax + by = cax + by = c

Soluciones del sistema son aquellos pares ordenados(x, y) que verifican ambas ecuaciones a la vez.

Resolver un sistema es encontrar sus soluciones. Si lossistemas no tienen solución, se llaman incompatibles; sitienen soluciones, son compatibles. Cuando la soluciónes única, se dicen determinados, y si tienen infinitas so-luciones, indeterminados.

Resolución de sistemas de primergrado

Existen diversos métodos para resolver un sistema deecuaciones de primer grado: reducción, sustitución, igua-lación y resolución gráfica del sistema.

Método de reducción

Consiste en transformar cada una de las ecuaciones me-diante ecuaciones equivalentes hasta conseguir que unade las incógnitas tenga coeficientes opuestos en ambasecuaciones. Este sistema será más o menos complicadodependiendo de los coeficientes.

Ejemplo; en el sistema:

4x + 5y = 237x 3y = 5

para conseguir que x tenga los coeficientes opuestos encada una de las ecuaciones basta multiplicar cada una deellas por el coeficiente de la otra, multiplicando poste-riormente por 1 (cambio de signo) una de las dos ecua-ciones:

→ →

El siguiente paso es sumar miembro a miembro ambasecuaciones:

28x + 35y = 16128x + 12y = 20

0 + 45y = 141 y = 141/47 = 3

Una vez conocida una de las incógnitas, se sustituye suvalor en una de las dos ecuaciones, y se despeja:

4x + 5 · 3 = 23; 4x + 15 = 23; 4x = 23 15; 4x = 8; x = 8/4 = 2

Por tanto, es un sistema compatible y determinado, ysu solución es el par (x, y) = (2, 3).

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una cual-quiera de las incógnitas en una de las ecuaciones y susti-

28x + 35y = 16128x + 12y = 20

28x + 35y = 16128x 12y = 207 (4x + 5y) = 7 · 23

4 (7x 3y) = 4 · 5

(2, 3)

(1, 1)

(0, 1)

(1, 3)

y

x

y

x x1

y1

224 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

tuir en la otra ecuación la incógnita por la expresión alge-braica obtenida.

Por sustitución, el sistema del ejemplo anterior se re-solvería así:

4x + 5y = 237x 3y = 5

se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, porejemplo, y, en la ecuación 4x + 5y = 23:

5y = 23 4x; y = (23 4x)/5

Este resultado se sustituye en la otra ecuación:

7x 3 · [(23 4x)/5] = 5

Esta ecuación tiene sólo una incógnita y es más fácil deresolver:

35x 3 (23 4x) = 2535x 69 + 12x = 25; 47x = 25 + 69; 47x = 94; x = 94/47 = 2

Sustituyendo este valor en la ecuación de sustitución,se obtiene y :

y = [23 (4 · 2)]/5 = (23 8)/5 = 15/5 = 3

La solución es el par (x, y) = (2, 3), la misma que se ob-tuvo por el método de sustitución.

Método de igualación

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecua-ciones e igualar (de ahí el nombre) estos resultados.

Para resolver el sistema del ejemplo anterior por estemétodo, se despeja x en ambas ecuaciones:

4x + 5y = 23 → 4x = 23 5y → x = (23 5y)/47x 3y = 5 → 7x = 5 + 3y → x = (5 + 3y)/7

Se igualan los resultados obteniendo la ecuación: (23 5y)/4 = (5 + 3y)/7, que tiene una sola incógnita. Sehalla entonces el m. c. m. (4, 7) = 28, luego 7 (23 5y) =4 (5 + 3y); eliminando paréntesis: 162 35y = 20 + 12y.Se continúa transponiendo términos: 35y 12y = 20 161; 47 = 141; y = 141/47 = 3. Esta solución se susti-tuye en cualquiera de las expresiones donde x está des-pejada:

x = [23 (5 · 3)]/4 = (23 15)/4 = 8/4 = 2

El sistema queda resuelto, obteniéndose el mismo re-sultado que mediante los sistemas anteriores.

Resolución gráfica del sistema

Este método consiste en representar las dos ecuacionesen un mismo eje cartesiano. El punto de intersección de

las rectas que representa a cada una de las ecuaciones serála solución del sistema.

Para representar cada ecuación, se despeja y, y se hallauna tabla de valores. En el ejemplo anterior:

Primera ecuación:

4x + 5y = 23; 5y = 23 4xy = (23 4x)/5

x 2 3 1 0y | 3 | 7 | 19/5 | 23/5

Segunda ecuación:

7x 3y = 5; 3y = 7x 5y = (7x 5)/3

x 2 1 0y | 3 | 4 | 5/3

Resolución de problemas medianteecuaciones y sistemas

Gran variedad de problemas se pueden resolver median-te el planteamiento de una ecuación o un sistema. La di-ficultad para el planteamiento se presenta al elegir las in-cógnitas y, posteriormente, en transcribir el lenguaje or-dinario del enunciado al lenguaje matemático. Pararesolver los problemas es necesario leer el enunciado condetenimiento hasta comprender su significado perfecta-mente. Los pasos que se han de seguir después son:

a) Elegir bien las incógnitas.b) Plantear las ecuaciones con los condicionantes del

enunciado.c) Resolver la ecuación o el sistema.d) Verificar si los resultados cumplen el enunciado.

En los problemas de geometría suele ser fundamentalrealizar el dibujo.

Ejemplo: En un corral hay un total de 46 cabezas entregallinas y conejos. Si el número de patas es de 142, ¿cuan-tas gallinas y conejos hay?

← Solución del sistema

y

x

1 2 3

1

4

23

7x

3y

= 5

4x 3y = 23

____________________________________________________________________________________ Ecuaciones de primer grado 225

226 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

El problema se puede resolver mediante una ecuacióno un sistema.

a) Mediante una ecuación: sea x el número de gallinas.Como en total son 46, el número de conejos será: 46 x:

En la tabla se observa que el número de patas de galli-na es igual al número de gallinas por dos. El número depatas de conejo es el número de conejos multiplicado por4. Luego la ecuación es:

2x + 4 (46 x) = 142

resolviendo:

2x + 184 4x = 142; 2x = 142 184; 2x = 42; x = 42/ 2 = 21

Luego hay 21 gallinas y 25 conejos (46 21 = 25).

b) Mediante un sistema de ecuaciones. Las incógnitasson x = número de gallinas e y = número de conejos; to-tal, 46. Planteándolo mediante una tabla:

El sistema es:

x + y = 46002x + 4y = 142

que se puede resolver por cualquier método. Por sustitu-ción, se despeja x en la primera ecuación: x = 46 y, susti-tuyendo en la otra ecuación:

2 (46 y) + 4y = 142; 92 2y + 4y = 142; 2y + 4y = 142 92; 2y = 50; y = 50/2 = 25

y como:

x = 46 y; x = 46 25 = 21

que son los mismos resultados del apartado a).

Cabezas Patas

Gallinas x 2x

Conejos y 4y

Total 46 142

Cabezas Patas

Gallinas x 2x

Conejos 46 x 4 (46 x)

Total 46 142


1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 3(x 4) + 4 = 2x + 5 (2 x) 6.b) (6 x)/2 x/2 = 2x 3 (10 x)/2 9.

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) Por reducción:

2x + y = 74x 2y = 2

b) Por igualación:

3x + 5y = 87x 2y = 5

c) Por sustitución:

x 3y = 72x + 9y = 29

3. La suma de dos números es 36 y su diferencia 18.Hallar los números.

4. Resolver gráficamente el sistema:

4x + y = 164x 3y = 0

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Se llama ecuación de segundo grado a un polinomio desegundo grado igualado a 0: ax2 + bx + c = 0. Como máxi-mo, este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones reales.

Al resolver una ecuación de segundo grado se tienenen cuenta las siguientes premisas:

a) Cuando b = c = 0, la ecuación es de la forma ax2 = 0,y la única solución que presenta es x = 0, como solucióndoble.

b) Si el término de grado 1 es 0: b = 0, estas ecuacionesson de la forma ax2 + c = 0 y se resuelven sin más que des-pejar c · ax2 = c; x2 = c/a; x = ± c/a. Ejemplo:

3x2 27 = 0; 3x2 = 27; x2 = 27/3;x2 = 9; x = ± 9; x1 = + 3; x2 = 3

c) Si el término independiente es 0, c = 0, la ecuación se-ría: ax2 + bx = 0. Para resolverla, se saca factor común a x, x (ax + b) = 0, obteniéndose un producto de dos facto-res igualado a 0. Esto significa que o bien x = 0, con lo queya se tiene una solución, o bien ax + b = 0, de donde des-pejando x se obtiene la segunda solución:

ax = b; x = b/a

Por tanto, las soluciones son x = 0 y x = b/a. Ejemplo:

3x2 15x = 0; x (3x 15) = 0x = 0 y 3x 15 = 0; 3x = 15; x = 15/3; x = 5

Sin embargo, el caso general es la ecuación ax2 + bx + c = 0,con a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Para llegar a una fórmula con la queencontrar una solución, se siguen los siguientes pasos:

a) Se multiplican los dos miembros de la ecuación por 4a:4a (ax2 + bx + c) = 4a · 0, de donde4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0.

b) Se suma b2 a los dos miembros de la ecuación:

4a2 x 2 + 4abx + 4ac + b2 = b2

c) El término 4ac se transpone al segundo miembro dela ecuación:

4a2 x 2 + 4abx + b2 = b2 4ac

d) El primer miembro de la igualdad es equivalente a unbinomio al cuadrado (2ax + b)2, luego:

(2ax + b)2 = b2 4ac

e) Se despeja x:

(2ax + b) = b24ac; 2ax = b ± b24acx = (b ± b24ac)/2a

Este resultado es la fórmula que permite obtener la so-lución general en una ecuación de segundo grado.

Ejemplo. Hallar la solución de x2 5x + 6 = 0:

x = (+ 5 ± 524·6)/2 · 1 = (5 ± 1)/2x 1 = (5 + 1)/2 = 3 y x2 = (5 1)/2 = 2

Las soluciones corresponden cada una de ellas al signode la raíz cuadrada:

x 1 = (b + b24ac)/2a; x2 =(b b24ac)/2a

Discusión de las soluciones. Al término incluido den-tro de la raíz, b2 4ac, se le llama discriminante y se re-presenta por la letra griega ∆, luego ∆ = b2 4ac. Si ∆ esmayor que 0 (∆ > 0), la ecuación tiene dos solucionesreales:

Si ∆ = 0, la ecuación tiene una única solución, que sedice que es una solución doble.

Si ∆ <0, la ecuación no tiene soluciones reales.

Cálculo de la ecuación de segundo grado

a) La suma de las raíces de una ecuación de segundogrado es:


ECUACIONES DESEGUNDO GRADO

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

x 1 + x2 = (b + b24ac)/2a + (b b24ac)/2a = = (b + b24ac b b24ac)/2a = 2b/2a = b/a

luego:

x1 + x2 = S = b/a

b) Producto de las raíces de una ecuación de segundogrado es, por su parte:

x1 · x2 = (b + b24ac)/2a · (b b24ac)/2a = = (b + b24ac) · (b b24ac)/4a2

El numerador es el producto de una suma por una di-ferencia que es igual a la diferencia de sus cuadrados; portanto:

(b)2 (b24ac)2 /4a2 = (b2 b2 + 4ac)/4a2 == 4ac/4a2 = c/a

luego:

x1 · x 2 = P = c/a

Si en la ecuación de segundo grado se dividen los dosmiembros de la igualdad por a se obtiene:

ax2 + bx + c/a = 0/a

de donde

ax2 /a + b/ax + c/a = 0

pero

b/a = S y c/a = P

por tanto, la ecuación queda como:

x 2 Sx + P = 0

Donde S y P son la suma y el producto de las raíces.

Ejemplo. Si las soluciones de una ecuación de segundogrado son 2 y 4, calcular la ecuación.

La suma de las soluciones serán 2 + 4 = 6, y el produc-to, 2 · 4 = 8; luego la ecuación es x2 6x + 8 = 0.

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son polinomios de cuartogrado igualados a 0, pero son polinomios incompletos:les faltan los términos de grado tres y de grado uno;luego son de la forma ax4 + bx2 + c = 0. Estas ecuacio-nes se transforman en ecuaciones de segundo gradomediante el cambio de variable z = x2 , quedando comoaz2 + bz + c = 0.

Ejemplo. La ecuación bicuadrada x4 13x2 + 36 = 0 setransforma en la ecuación de segundo grado z2 13z +36 = 0. Al resolver ésta:

z = (13 ± 169144)/2 = (13 ± 25/2) = (13 ± 5)/2

de donde:

z1 = 9 y z2 = 4

Como x2 = z, para z1 se tendrá x2 = 9; x = 9.Luego:

x1 = 3; x2 = 3

y para el valor z2 :

x2 = 4; x = 4; x3 = 2; x4 = 2

Luego 2, 2, 3 y 3 son las cuatro soluciones de la ecua-ción inicial.

Función de segundo grado o función cuadrática

Se llama función de segundo grado o cuadrática a unafunción f : R → R que a x R le hace corresponder f (x) =ax2 + bx + c. Normalmente f (x) se sustituye por y, que-dando y = ax2 + bx + c.

Descomposición factorial. Si x1 y x2 son las solucionesde ax2 + bx + c = 0, entonces la función y = ax2 + bx + c, sepuede descomponer en producto de factores como y = a(x x1 ) (x x2 ). Así, por ejemplo, la función y = x2 6x + 8cuyas soluciones son 2 y 4, se descompone factorialmen-te como y = 1 (x 2) (x 4).

Función de proporcionalidad inversa o hipérbola equilátera

Esta función tiene como ecuación x · y = K, cuyos términosestán en proporcionalidad inversa (al aumentar uno deellos disminuye el otro, y viceversa). Al representar la grá-fica de la función x · y = 1, generalmente escrita en la for-ma y = 1/x, se obtiene una gráfica simétrica respecto al ori-gen de coordenadas donde los ejes son asíntotas, no estan-do definida para x = 0. La recta y = x es el eje de simetría:

y

x

y = x

y =1x

228 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

La elipse

La elipse es la figura geométrica que se obtiene al cortartodas las generatrices de un cono mediante un plano:

Se define la elipse como el conjunto de los puntos delplano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llama-dos focos es constante:

A los segmentosPF y

PF se les llama radios vectores

de la elipse. La distancia de los puntos A (a, 0) y A (a, 0)en los focos es 2a, luego d + d = 2a.

La ecuación de la elipse en forma reducida es x2 /a2 +y2 /b2 = 1, expresión de una elipse centrada en el origende coordenadas y simétrica respecto a los ejes, que sontambién ejes de simetría, y respecto al origen.

Se llama excentricidad de la elipse al cociente c/a, querefleja un mayor o menor aplastamiento. Cuando c = a,la excentricidad es uno y se trata de una circunferencia.

En forma explícita (despejada y), la ecuación de la elip-se queda como:

y = ± b/a a2x2

que no es una función, pues a cada valor de x correspon-den dos de y, según el signo de la raíz cuadrada. Los pla-netas al girar en torno al Sol siguen una trayectoria en for-ma de elipse.

La hipérbola

La figura geométrica denominada hipérbola se obtiene alcortar un cono con un plano paralelo a dos generatrices.

Se define la hipérbola como el conjunto de puntos delplano cuya diferencia de distancias a dos puntos llama-dos focos es constante:

F y F son los focos, siendo d1 d2 = 2a. La ecuación re-ducida de la hipérbola es x2/a2 y2/b2 = 1, cuya excentri-cidad es c/a.

A los puntos (a, 0) y (a, 0) se les llama semiejes de lahipérbola, siendo a el semieje real y b el semieje imagina-rio. La gráfica de esta función es simétrica respecto al ori-gen y a los ejes de coordenadas.

En forma explícita, la ecuación queda como:

y = b/a x2a2

La parábola

Aunque la ecuación de segundo grado tiene por gráficauna parábola, en general las parábolas son curvas que seobtienen al cortar la superficie de un cono por un planoparalelo a una generatriz.

F´(c, 0)

d1

F (c, 0)A´(a, 0) A(a, 0)

P (x, y)

d2

Hipérbola

A (a, 0)

P (x, y)

F

bd´

Á (a, 0)d

(c, 0) (c, 0)

F´

Elipse

______________________________________________________________________________________ Ecuaciones de segundo grado 229

230 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Se define la parábola como el conjunto de puntos delplano que equidistan de un punto llamado foco y de unarecta llamada directriz:

Si p es la distancia del foco a la directriz, la ecuación re-ducida de la parábola es y = x2/2p.

Las parábolas tienen gran aplicación en óptica para laconstrucción de lentes, y presentan la propiedad de quelos rayos que inciden paralelos emergen por el foco y a lainversa. Por tanto, si se coloca el ojo en el foco, se puedever por toda la lente.

Resolución de sistemas deecuaciones de segundo grado

Para resolver este tipo de sistemas, se actúa de forma aná-loga a los sistemas de primer grado. Las interseccionesde una recta con una hipérbola, parábola, elipse o circun-ferencia, y los de estas curvas entre sí, son sistemas de estetipo. El método que se utiliza en cada caso dependerá decómo sean las ecuaciones, siendo los más adecuados losde reducción y sustitución. Se distinguen varios casos po-sibles:

a) Sistema formado por una ecuación de primer gradoy una de segundo: se resuelve por sustitución, despejan-do la variable en la ecuación de primer grado y sustitu-yendo en la de segundo. Ejemplo:

x y = 1 Despejando y, y = x + 1 y sustituyendox 2 + y2 = 25 x2 + (x + 1)2 = 25,

x2 + x2 + 2x + 1 = 25

2x2 + 2x 24 = 0 es una ecuación de segundo grado cu-yas soluciones son:

x = (2 ± 4+96)/4 = (2 ± 10)/ = 3 ó 2

Luego si:

x1 = 3 , y = 3 + 1 = 2; si x1 = 2, y = x + 1 = 3

Las soluciones del sistema son (3, 2) y (2, 3), correspon-dientes a los puntos de corte entre una recta y una elipse.

b) Sistemas en que las dos ecuaciones son del mismo gra-do: se pueden resolver por sustitución o reducción, segúnconvenga, si las dos ecuaciones tienen el mismo grado.Siempre que se pueda, se resolverá por reducción. Ejemplo:

x2 + y2 = 7x2 y2 9x = 11

2x2 9x = 4; 2x2 9x + 4 = 0

Resolviendo:

x = (+9 ± 8132)/4 = (+9 ± 49)/4 = (+9 ± 7)/4x1 = 4, x2 = 1/2

sustituyendo en la primera ecuación:

4 2 + y2 = 700y 2 = 7 16

y = 9

no tiene soluciones reales

(1/2)2 + y2 = 7; 1/4 + y2 = 7; 1 + 4y2 = 28; 4y2 = 27;y2 = 27/4

y = 27/4 = (+3 3)/2 o (3 3)/2

luego las soluciones son los pares:

(1/2, 3 3/2); (1/2, 3 3/2)

directriz

d = d´

d

p

d´F (P/2, 0)

eje y

eje x

→

p (x, y)


1. La suma de las edades de dos niños es 14, y suproducto 45. Calcular las edades de cada uno.

2. Descomponer factorialmente la función:y = 3x2 + 15x 42

3. Resolver las siguientes ecuaciones:a) x2 49 = 0b) x2 2x = 0c) x4 37x2 + 36 = 0


MATRICES Y SISTEMASDE ECUACIONES

LINEALES

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Generalidades

Matriz numérica

Se define matriz numérica como un conjunto de núme-ros ordenados en filas y columnas de forma que todas lasfilas tengan el mismo número de elementos y todas las co-lumnas también, siendo los elementos los números queforman la matriz.

Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice quees de orden m · n. Cuando m > n, se la llama matriz ver-tical; si m < n, matriz horizontal, y si m = n, matriz cua-drada.

Los elementos de las matrices se representan medianteletras acompañadas de dos subíndices indicadores de suposición en la matriz; el primero señala la fila, y el segun-do, la columna; así, el elemento aij quiere decir que estásituado en la fila i y en la columna j.

El conjunto ordenado de los elementos de la matriz serepresenta entre paréntesis o corchetes. En general, unamatriz de orden m · n se escribirá:

a 11 a12 a13 . . . a1i . . . . a1n

a 21 a22 a23 . . . a2i . . . . a2n conA =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ≤ j ≤ma j1 aj2 aj3 . . . . aji . . . . ajn 1 ≤ i ≤ n( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

a m1 am2 am3 . . . ami . . . . amn

El conjunto de los números que forman los elementosde la matriz será el cuerpo de los números reales R.

Matriz nula

La matriz en que todos sus elementos son 0 se llama ma-triz nula.

Si es de orden 1 · n, se llama matriz columna, pues sólotiene una columna; si es de orden m · 1, se conoce comomatriz fila:

Matriz fila (a1 a2 am)a1

Matriz columna ( a2 )an

Matriz diagonal

En una matriz cuadrada, se llama diagonal principal a laformada por los elementos que tienen los dos subíndicesiguales; la otra diagonal es secundaria:

a11 a12 a1n

A =a21 a22 a2n diagonal principal( )an1 an2 ann

Cuando en una matriz cuadrada son nulos todos loselementos excepto los de la diagonal principal, se llamamatriz diagonal. Si los elementos no nulos de una matrizdiagonal son todos 1, se la llama unidad:

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0( )0 0 0 1

Matriz triangular

Una matriz cuadrada en la que los elementos que estándebajo o encima de la diagonal principal son nulos se dicematriz triangular:

1 2 3 1 0 0( 0 4 1 ) ( 3 4 0 )0 0 5 5 1 3matrices triangulares de orden 3

0 0 . 00 0 . 0( )0 0 . 0

Matriz simétrica

Una matriz cuadrada en que los elementos simétricos res-pecto de la diagonal principal son iguales se dice matrizsimétrica, es decir:

4 3 1 0

aij = aji i, j 3 5 2 91 2 4 6(0 9 6 1

)matriz simétrica de orden 4

Matriz traspuesta

Dada una matriz A de orden m · n, se llama matriz tras-puesta de la matriz A, y se representa por At, a la que re-sulta de cambiar las filas por las columnas en A · At seráde orden n · m:

1 2 3 1 1 2 7A = 1 0 5 → At = 2 0 3 9

2 3 4 ( 3 5 4 6 )(7 9 6

)orden A = 4 · 3 orden At = 3 · 4

Igualdad de matrices

Dos matrices del mismo rango son iguales si los elemen-tos situados en la misma posición en cada una de ellasson iguales, es decir:

A = (aij) y B = (bij) con i = 1, m; j = 1, n,A = B si aij = bij

Operaciones con matrices

Suma de matrices

La suma sólo puede realizarse entre matrices del mismoorden. Dadas dos matrices A y B de orden m · n, se llamamatriz suma de A y B y se representa por A + B, a otra ma-triz también del mismo orden, cuyos elementos están for-mados por la suma de los correspondientes de A y de B:

a11 a12 a1n b11 b12 b1n

A =a21 a22 a2n B =

b21 b22 b2n( ) ( )am1 am2 amn bm1 bm2 bmn

a 11 a12 a1n b11 b12 b1n

A + B =a 21 a22 a2n +

b21 b22 b2n =( ) ( )a m1 am2 amn bm1 bm2 bmn

a11 + b11, a12 + b12 a1n + b1n

=a21 + b21, a22 + b22 a2n + b2n( )

am1 + bm1, am2 + bm2 amn + bmn

El conjunto de las matrices de orden m · n sobre el cuer-po de los números reales con la operación suma (repre-sentado como Mm · n, +) tiene estructura de grupoabeliano, siendo el elemento neutro la matriz nula deorden m · n, y el elemento simétrico de cada matriz, lamatriz simétrica de la dada. La matriz simétrica es la for-mada por los elementos opuestos a los de dicha matriz,es decir: si A (aij) es una matriz y B (bij) su opuesta, en-tonces aij = ij.

Propiedad. La traspuesta de una suma de dos matricesA y B es igual a la suma de las traspuestas de cada unade las matrices (A + B)t = At + Bt. Una matriz A se llamaantisimétrica cuando su traspuesta y su opuesta soniguales.

Producto de un número real por una matriz. Al multi-plicar un número real por una matriz A, se obtiene unamatriz que resulta de multiplicar todos los elementosde A por dicho número:

4 7 0 2 3 · 4 3 · 7 3 · 0 3 (2)3 · 1 1 3 5 = 3 · 1 3 · (1) 3 · 3 3 · 5 =( 2 1 0 3 ) ( 3 · 2 3 · 1 3 · 0 3 · 3)

12 21 0 6= 3 3 9 15( 6 3 0 9 )

Multiplicación de matrices

Para que se puedan multiplicar dos matrices, el númerode columnas de la primera tiene que ser igual al núme-ro de filas de la segunda. Si A es de orden m · n, B tendráque ser de orden n · p para que la multiplicación sea posi-ble. El producto de la matriz A:

a11 a12 a1nb11 b12 b1p

A = ( ) por la matriz B =b21 b22 b2p

am1 am2 amn( )

bn1 bn2bnp

es otra matriz

C11 C12 C1p

C =C21 C22 C2p( )Cm1 Cm2 Cmp

de orden m · p y en la que:

C11 = a11 b11 + a12 · b21 + ... + a1n · bn1C22 = a11 · b12 + a12 · b22 + ... + a1n · b2n

y así sucesivamente.

En general:

C ij = ai1 · b1j + ai2 · b2j ... + ain · bnj

232 MATEMÁTICAS ____________________________________________________________________________________________

Ejemplo:

1 11 2 3 4 2 3( 0 1 1 2 ) ·

4 1=(

1 2)

2 · 4 4 · 2

= 1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 4 + 4 · (1); 1 · 1 + 2 · 3 + 3 · (1) + 4 · 2 =[0 · 1 + 1 · 2 + (1) 4 + 2 (1); 0 · 1 + 1 · 3 + (1) · (1) + 2 · 2]= 13 12( 4 8 )

2 · 2

El producto de matrices no es conmutativo, sí tiene ele-mento unidad, que es la matriz unidad, y se denotará por I.

Matriz inversa de una dada. Dada una matriz A, sellama matriz inversa de A por la derecha, y se representapor A1, a aquella matriz que verifica: A · A1 = I. Análo-gamente, se define matriz inversa por la izquierda.

Determinantes de una matriz

Se llama permutación principal a la ordenación creciente delos n primeros números naturales 1, 2, 3, 4, 5, .... n. Si sólose toman dos números naturales, el 1 y el 2, la permuta-ción principal es 1, 2. Si se toman en el orden, 2, 1, se diceque se ha realizado una inversión. Una permutación espar si presenta un número par de inversiones. Una per-mutación es impar si presenta un número impar de inver-siones. Si se toman los tres primeros números naturales:

1, 2, 3: permutación par, pues presenta número par de in-versiones.

1, 3, 2: permutación impar, presenta una inversión.3, 1, 2: permutación par, porque presenta dos inversiones.3, 2, 1: permutación impar, pues presenta tres inversiones.

Se llama determinante de una matriz cuadrada al númeroque resulta de sumar algebraicamente todos los produc-tos que se pueden formar tomando cada vez un elemen-to de cada fila y uno de cada columna en la matriz. El sig-no de cada producto vendrá dado por la paridad de lapermutación que forman los subíndices de los elementosque componen el producto, positivo si la permutación espar y negativo si es impar.

Se eligen los elementos de cada producto de forma quelos subíndices de las filas estén en el orden natural; portanto, la paridad vendrá dada por la colocación de los sub-índices de las columnas. El determinante de la matriz Ase representa por |A|:

a11 a12 . . . . . . a1n

|A| =a21 a22 . . . . . . a2n =|an1 an2 . . . . . . ann |

= n

∑i = 1

a1i1 a 2i2 a nin · sig [i1, i2, ..., in]

Determinante de segundo orden

|A| = a11 a12 =| a11 a 22 |= a11a22 a12a 21

Ejemplo:

| 2 3 |4 1= (2 1) 3 · 4 = 2 12 = 14

Determinante de tercer orden

a 11 a12 a13|A| = a 21 a22 a23 =| a 31 a32 a33 |

= a11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32

Regla de Sarrus para el cálculo de los determinantes deorden tres. Se toman como productos positivos los de lostres elementos de la diagonal principal y los de los doselementos paralelos a ella por el vértice opuesto, y comonegativos, los de la diagonal secundaria y los de los ele-mentos paralelos a ellos por el vértice opuesto:

producto con signo + producto con signo

Ejemplo:

1 2 3|A| = 0 1 1 =| 2 1 5 |

= 1 · 1 · 5 + 2 (1) · 2 + 0 · 1 · 3 2 · 1 · 3 2 · 0 · 5 (1) · 1 · 1 = 5 4 + 0 6 0 + 1 = 4

Propiedades de los determinantes

a) El determinante de una matriz es igual al determi-nante de su traspuesta |A| = |At|.

b) Si un determinante tiene dos filas o dos columnasiguales, su valor es 0:

a a a|A| = b b b = 0| c c c |

c) Si se multiplican todos los elementos de una fila o co-lumna por un mismo número, el determinante quedamultiplicado por dicho número:

__________________________________________________________________________ Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 233

234 MATEMÁTICAS ____________________________________________________________________________________________

a b c Ka Kb Kc|A| = a b c a b c = K · |A|| a b c | | a b c |d) Al cambiar entre sí dos filas o dos columnas, el de-

terminante cambia de signo:

a b c b a ca b c = b a c| a b c | | b a c |

e) Cuando un determinante tiene dos filas o dos colum-nas proporcionales, su valor es 0:

a Ka c a b ca Ka c = K · a a c = 0| a Ka c | | a a c |

f) Si todos los elementos de una fila o columna son nu-los, el determinante es nulo:

0 a b0 a b = 0| 0 a b |

g) Si todos los elementos de una fila o columna repre-sentan una suma de dos elementos, el valor del determi-nante es igual a la suma de dos determinantes en la quetodos los elementos son iguales excepto la de los suman-dos, que estará formada en uno de ellos por los primerossumandos y en el otro por los segundos:

a b x1 + x2a b x1 + x2 =| a b x1 + x2 |

a b x1 a b x2= a b x1 + a b x2| a b x2 | | a b x2|

h) Cuando a los elementos de una fila o columna se lessuman los de otra paralela a ella multiplicados por unmismo número, el valor del determinante no varía:

a b c a + bK b ca b c = a + bK b c| a b c | | a + bK b c |

Desarrollo de un determinante por loselementos de una fila o columna

Menor complementario de un elemento es el determinanteque resulta de suprimir la fila y la columna donde estádicho elemento:

menor complementario de a23 =a11 a12 a13 a 14a21 a22 a23 a 24 =

a 11 a12 a14= a31 a32 a33 a34

a 31 a32 a34|a41 a42 a43 a 44 | | a 41 a42 a44 |

Adjunto de un elemento es su menor complementariomultiplicado por menos uno elevado a la suma de los sub-índices del elemento. Se representa por Adj:

a11 a12 a14Adj (a23) = (1)2 + 3 · a 31 a32 a34| a41 a42 a44 |

El valor de un determinante es igual a la suma de losproductos de cada elemento de una fila o columna por suadjunto. Por ejemplo:

a11 a12 a13A = a21 a22 a23 = | a31 a32 a33 |

= a 11Adj(a11) + a21Adj(a23) + a31Adj(a31)

La suma de los elementos de una fila o columna por losadjuntos de otra paralela a ella es 0.

Regla para calcular un determinante

Para obtener el valor de un determinante de orden n, seanulan, mediante las propiedades anteriores, todos loselementos de una fila o columna menos uno. Desarrollan-do por los elementos de esa fila o columna, quedará úni-camente el producto correspondiente al elemento no nulopor su adjunto, que será un determinante de orden (n 1).Se sigue así sucesivamente hasta llegar a un determinan-te de orden 3 que se resuelve por la regla de Sarrus.

Ejemplo:

3 0 1 3 22 1 3 0 0 3 0 1 2

1 2 0 2 5 = (1) · (1)4 · 2 1 3 0

0 0 0 1 0 1 2 0 5| 0 3 1 4 3| | 0 3 1 3|sumando a la segunda columna la cuarta:

3 2 1 2

= 2 1 3 0| 1 7 0 5 |0 0 1 3

sumando a la cuarta columna la tercera por (3):

3 2 1 5

= 2 1 3 9 = 1 · (1)4 + 33 2 5| 1 7 0 5| 2 1 9

0 0 1 0 | 1 7 5 |Ahora se puede resolver por la regla de Sarrus:

3 2 5= + 2 1 9 =| 1 7 5 |

= 15 70 + 18 (5) (20) (189) = 15 70 + 18 + 5 + + 20 + 189 = 247 70 = 177

Se llama menor de una matriz de orden m · n al valor deldeterminante que se forma tomando h filas y h columnasde dicha matriz. Si a un menor se le añade una fila y unacolumna distintas de las que componen el menor, se ob-tiene otro menor de orden una unidad mayor, que se de-nomina menor orlado:

a11 a12 a13 a 14 a 15a21 a22 a23 a 24 a 25| a41 a42 a43 a 44 a 45|

Un menor es:

a11 a12| a21 a22 |y un menor orlado de este menor es:

a11 a12 a 15a21 a22 a 25| a41 a42 a 45 |

Rango de una matriz

Se llama rango de una matriz al orden del mayor me-nor no nulo. Ejemplo. Calcular el rango de la matriz:

2 1 3 1 4 51 3 1 1 5 12 2 0 0 1 1| 0 2 2 4 3 2 |

Para calcular el rango de una matriz se comienza conun menor de orden 2 no nulo, y después este menor se vaorlando:

2 1 2 1 3

| 1 3 | = 6 2 = 4 1 3 1 =| 2 2 0 |= 0 2 + 6 18 (4) 0 =

= 0 2 + 6 18 + 4 = 10 20 = 10

Este menor se orla con la última fila y una columna has-ta encontrar un menor no nulo si lo hubiese:

2 1 3 1 1 1 3 11 3 1 1 1.er C 2.º C = 2 3 1 12 2 0 0 0 2 0 6

=|0 2 2 4 | | +2 2 2 4 |1 3 1 1 3 1

= 2 (1)3 + 2 2 1 1 = 2 · 2 2 1 1 = 60| 2 2 4 | | 1 1 2 |Luego el rango es 4. No se puede seguir más, pues se

ha encontrado un menor no nulo de orden máximo.

Matriz adjunta de una dada de orden n es la que resul-ta de sustituir cada elemento por su adjunto:

a11 a12 a13A = a21 a22 a23( a31 a32 a33

)Adj(a11) Adj(a12) Adj(a13)

AdjA = Adj(a21) Adj(a22) Adj(a23)[ Adj(a31) Adj(a32) Adj(a33) ]Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada.

Para que una matriz cuadrada A tenga inversa es condi-ción necesaria y suficiente que el valor de su determinan-te no sea 0: |A| ≠ 0. En este caso la matriz inversa de A seobtiene mediante la fórmula:

A 1 = Adj (At)/A

Ejemplo. Sea la matriz:

A =2 1

|A| =2 1

= 2 0 = 2( 0 1 ) | 0 1 |Matriz traspuesta de A:

At =2 0( 1 1 )

(1)1 + 1 (1)1 + 2 · 1 1 1Adj At = [ (1)2 + 1 · 0 (1)2 + 2 (2)] = ( 0 2 )

1 1

A1 = Adj (At) =( 0 2 )

= 1/2 1/2|A| 2 ( 0 1 )

Comprobación: A · A-1 = I

A · A1 = 2 1 · 1/2 1/2( 0 1 ) ( 0 1 ) == ( 2 · 1/2 + 0 2 (1/2) + 1 ) = ( 1 0 )0 · 1/2 + 0 0 (1/2) + 1 0 1

Resolución matricial de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas

Sea el sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

a11x 1 + a12x 2 + + a1nx n = C1a21x 1 + a22x 2 + + a2nx n = C2

an1x 1 + a n2x 2 + + annx n = Cn

Y sea M la matriz formada por los coeficientes de lasincógnitas:


236 MATEMÁTICAS ____________________________________________________________________________________________

a11 a12 a 1n

M =a21 a22 a 2n

(an1 an2 a nn

)M es la matriz M ampliada con la columna de los tér-

minos independientes:

a11 a12 a 1n C 1

M =a21 a22 a 2n C 2(an1 an2 a nn C n

)El sistema se puede escribir en forma matricial como

M X = C:

a11 a12 a 1n x 1 C 1a21 a22 a 2n ·

x 2 =C 2

(an1 an2 a nn

) (x n

) (C n

)Si |M| ≠ 0, entonces el sistema tiene solución. La regla

de Cramer permite hallar dichas soluciones.

a11 a12 a 1j-1 C 1 a 1j+1 a 1n

a21 a22 a 2j-1 C 2 a 2j+1 a 2n

Xj =|an1 an2 a nj-1 C n a nj+1 a nn |

|A|

Ejemplo:

2x + 3y = 143x 4y = 4

A = 2 3 |A| = 2 3 = 8 9 = 17( 3 4 ) | 3 4 |14 3

x = | 4 4 | =14 · (4) 12

=68

= 4 17 17 17

2 14

y = | 3 4 | = 8 42

=34

= 2 17 17 17

Teorema de Rouché-Fröbenius

Dado el sistema de ecuaciones con n incógnitas:

a11x 1 + a12x 2 + + a1nx n = C1a21x 1 + a22x 2 + + a2nx n = C2

am1x 1+ a m2x 2 + + amnx n= Cm

Sea M la matriz de los coeficientes, y M, la matriz am-pliada:

1.º Si r(M) > r(M), entonces el sistema es incompatible,no tiene solución.

2.º Si r(M) = r(M), el sistema es compatible, pero hayque distinguir dos casos:

a) r(M) = r(M) = número de incógnitas, el sistema escompatible y determinado. Tiene solución única.

b) r(M) = r(M) < número de incógnitas, sistema com-patible indeterminado con infinitas soluciones.

La regla de Cramer también se puede aplicar a los sis-temas compatibles e indeterminados.

Sea el sistema:

a 11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + a14x 4 = C1a 21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + a24x 4 = C2a 31x 1 + a 32x 2 + a 33x 3 + a34x 4 = C3

Si se supone que r(M) = r(M) = 2, y que:

a11 a12 ≠ 0| a21 a22 |Entonces se elimina la última ecuación, quedando:

a 11x 1 + a12x 2 + a13x 1 + a14x 4 = C1a 21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + a24x 4 = C2

Los sumandos con incógnitas x3 y x4 se pasan al segun-do miembro de las ecuaciones:

a 11x 1 + a12x 2 = C1 a 13x 3 a14x 4a 21x 1 + a22x 2 = C2 a 23x 3 a24x 4

Y ahora se puede resolver por medio de la regla deCramer:

C1 a 13x 1 a14x 4 a 12

x1 = | C2 a 23x 3 a24x 4 a 22 |a11 a12| a21 a22 |

a11 C1 a 13x 1 a14x 4

x2 = | a21 C2 a 23x 3 a24x 4 || a11 a12 |a21 a22

Ejemplos:

x + 2y + 3z = 124x y z = 36x + 3y + 5z = 21

1 2 3 1 2 3 12M = 4 1 1 M = 4 1 1 3(

6 3 5) (

6 3 5 21)

1 2| 4 1 | = 1 8 = 9


1 2 34 1 1 = 5 12 + 36 + 18 40 + 3 = 0| 6 3 5 |

luego r(M) = 2.

1 2 124 1 3 = 21 36 + 144 + 72 + 9 168 =| 6 3 21 | = 225 + 225 = 0

luego r(M) = 2.

Por tanto, r(M) = r(M) = 2 < número de incógnitas. Sis-tema compatible indeterminado, se elimina la últimaecuación y queda:

x + 2y + 3z = 124x y z = 3

de donde:

x + 2y = 12 3z4x y = 3 + z

Mediante la regla de Cramer:

12 3z 2

x = | 3 + z 1 | =12 + 3z 2 (3 + z)

=7 7

=12 + 3z + 6 2z = z 6

=7

=6 Z

71 12 32

y = | 4 3 + z | =3 + z 4(12 3z)

=7 7

= 3 + z 48 + 12z =7

= 51 + 13z = 51 13z7 7

y llamando a z se tiene la solución, que es:

6 λ , 51 13 λ , λ( 7 7 )Sistemas homogéneos

Son sistemas homogéneos aquellos en que los términosindependientes de las ecuaciones son todos nulos. En ellossiempre existe la solución trivial x1 = 0, x2 = 0, , xn = 0,luego todos son compatibles.

El sistema homogéneo será compatible y determinadosi r(M) = número de incógnitas. Este caso no tiene muchointerés, dado que la única solución es la trivial.

El sistema homogéneo es compatible e indeterminadosi r(M) < número de incógnitas. Se resuelve entonces uti-lizando un número de parámetros igual al número de in-cógnitas no principales.


1. Efectuar el producto de las siguientes matrices:

1 2 3 02 5

A = 2 1 5 0 B =1 1( 1 2 1 4 ) 0 3(3 2

)2. Calcular el determinante A:

1 0 1 3|A| = 2 1 1 1

0 2 3 4| 1 3 5 2 |3. Resolver el siguiente sistema:

x + y z = 03x + y + z = 02x + 2z = 0

Generalidades

Se llama sucesión a toda aplicación del conjunto de los nú-meros naturales N en el conjunto de los números reales Ro en un subconjunto de él. Los elementos de la sucesiónse representan con la letra a y un subíndice i, que es el ori-gen de la aplicación: a1, a2, , an; donde a1 es el primer tér-mino de la sucesión, a2 el segundo y así sucesivamente.El término general se denota an.

En la sucesión del gráfico: a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; , an = 2n,las sucesiones se representan: (an)n N.

Ejemplo: 1/2, 1/3, 1/4 1/n + 1; donde (1/n + 1) es eltérmino general, con n N.

Una sucesión es creciente si cada término es mayor oigual que el anterior, es decir: an ≤ an + 1, n N, si se ve-rifica que an < anN n N, se llama estrictamente crecien-te, la sucesión de los números pares es estrictamente cre-ciente: 2, 4, 6, 8, , 2n.

Una sucesión es decreciente si cada término es menoro igual que el anterior: an ≥ an + 1, n N, y estrictamen-te decreciente si an > an + 1, n N.

La sucesión (an)n N = (1/n)n N es estrictamente decre-ciente: 1 · 1/2, 1/3, 1/4, , 1/n.

Una sucesión es monótona cuando es creciente o decre-ciente. Dos sucesiones son monótonas convergentes en-tre sí cuando:

a) Una es creciente y la otra decreciente.b) Cualquier término de la creciente es menor que cual-

quier término de la decreciente.c) La diferencia entre dos términos, uno de la creciente

y otro de la decreciente, puede llegar a ser tan pequeñacomo se quiera.

Operaciones con sucesiones

Las operaciones con sucesiones se efectúan mediante suaplicación con los términos correspondientes. Si (an)n N

y (bn)n N son dos sucesiones, la suma se define como:

(an) + (bn) = (an + bn)

Por ejemplo, si:

(an) = 2, 4, 6, 8, , 2n y (bn) = 3, 5, 7, 9, , 2n + 1, enton-ces: (an) + (bn) = 2 + 3, 4 + 5, 6 + 7 , 2n + 2n + 1

Por su parte, el producto es: (an) · (bn) = (an · bn) que, enel ejemplo: (an) · (bn) = 2 · 3, 4 · 5, 6 · 7, ., 2n · (2n + 1).

La resta y el cociente se realizan de forma análoga,teniendo en cuenta que para la divisón ha de serbn ≠ 0, n N.

Se dice que una sucesión está acotada superiormente siexiste un número real que es mayor que todos los de lasucesión; a la menor de las cotas superiores se le llamaextremo superior y, si pertenece a la sucesión, máximo.Una sucesión está acotada inferiormente si existe un nú-mero que es más pequeño que todos los de la sucesión;este número es una cota inferior. La mayor de las cotasinferiores se llama extremo inferior, y mínimo si pertene-ce a la sucesión. Por ejemplo, la sucesión (1/n) está aco-tada superior e inferiormente, 1 es el máximo y el extre-mo inferior es el 0.

1, 1/2, 1/3, 1/4, , 1/n2, 3, 4, 1 son cotas superiores; 0, 1, 3, son cotas inferiores

Límite de una sucesión

Generalidades

Intuitivamente, el límite de una sucesión puede definirsecomo el número al que se va aproximando la sucesión.

sucesión: N f → R1

2

3

n

2

4

6

2n


SUCESIONES Y LÍMITES

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Por ejemplo, los términos de la sucesión an = (1/n) son:

1, 1/2 = 0,5, 1/3 = 0,3, 1/4 = 0,25, 1/5 = 0,2, 1/6 = 0,16,1/7 = 0,142, 1/8 = 0,125,

Son todos positivos si se representan en una recta:

←| | | | | | |

0 1

Se van acercando al cero, que será el límite de la suce-sión. Una definición más rigurosa sería: una sucesión an

se dice que tiende a un límite a cuando n tiende a infinito,y se expresa

n → lim an = a, si ε > 0, ε R, ∃ no N tal que

n ≥ no se verifica que |an a|≤ ε. Es decir, a es el límitede la sucesión an, si para cualquier número que se elija,todo lo pequeño que se quiera, existe un término de la su-cesión, el correspondiente a n0, a partir del cual todos lossiguientes de la sucesión están a una distancia del límiteinferior que el número ε elegido:

ε ε| | (| |) | |a1 a3 an a an a2

n ≥ no, d (an, a) ≤ ε

Si una sucesión tiene límite se llama convergente. El lí-mite de una sucesión, si existe, es único. Si una sucesióntiene límite está acotada y toda sucesión monótona y aco-tada es convergente.

Se dice que una sucesión es divergente cuando, dadoun número real M, tan grande como se quiera a partir deun término en adelante, todos los de la sucesión son ma-yores que M en valor absoluto:

n → lim an = ± si ∃ no N tal que |an|≥M n ≥ no

Las sucesiones que no son convergentes ni divergentesse llaman oscilantes. Así, por ejemplo, (an) = (2n) es diver-gente y la sucesión (bn) = [(1)4(2n)] es oscilante.

Todo número real se puede definir como límite de dossucesiones monótonas convergentes:

1 ≤ 1,7 ≤ 1,73 ≤ 1,732 ≤ ≤3 ≤ ≤ 1,733 ≤ 1,74 ≤ 1,8 ≤ 2

Operaciones con límites

Si (an) y (bn) son dos sucesiones con n → lim (an) = a y

n → lim bn = b,

se verifican las siguientes propiedades:

a)n → lim (an + bn) = a + b, el límite de la suma de dos su-

cesiones es igual a la suma de sus límites.b)

n → lim (an bn) = a b, el límite de la diferencia de dos

sucesiones es igual a la resta de sus límites.c)

n → lim (an · bn) = a · b, el límite del producto de dos su-

cesiones es igual al producto de sus límites.

d) Si bn ≠ 0 n N y b ≠ 0,n → lim an/bn = a/b; es decir, en

las condiciones expresadas, el límite del cociente entredos sucesiones es el cociente entre sus límites.

e) Si b ≠ 0 y a ≠ 0n → lim an

bn = ab.

Cálculo de límites

Para calcular el límite de una sucesión, se sustituye la ndel término general por infinito, teniendo en cuenta lassiguientes expresiones determinadas e indeterminadas:

Determinaciones:

r/0 = 0 r/0 = r · = r · = r · = r · = +

Si r > 0 r/± = 0 Si r < 0 r/± = 0r = r = 0 ± r = ± r = ± r = ± r =

Si r ≥ 1 r = Si 0 < r < 1 r = 0r = 0 r =

+ = , = , · = , · = , = , = 0

Indeterminaciones:

, /, 0/0, · 0, 1, 0 y 00

Para resolver las indeterminaciones, es preciso efec-tuarlo particularmente en cada caso. Por ejemplo, si

(an) = (n2) y (bn) = (n)

n → lim (an ± bn) =

n → lim (n2 ± n) = 2 ± =

n → lim (an · bn) =

n → lim (n2 · n) =

n → lim n3 = 3 =

n → lim (an/bn) =n →

lim (n2/n) =n →

lim n =

n → lim (1/n) = 1/ = 0 (Las sucesiones con límite nulo se

llaman infinitésimos.)

Resolución de indeterminaciones:

a) De la forma /, se elimina la indeterminación divi-diendo numerador y denominador por n elevado a la ma-yor potencia.

Por ejemplo:

n → lim = = , luego dividiendo por n3

+ 1 + 1 + 1 + 0 1

n → lim =

n → lim = = = = 1

+ 1 + 1 1 0 12

2n3

2n3

n3

n3

3

3n

n3

n3n3

n3

3 + 32n3 + 3n2

n3 2

12

13

14

15

16

__________________________________________________________________________________________ Sucesiones y límites 239

b) La indeterminación de la forma se resuelvemultiplicando y dividiendo por el conjugado del térmi-no general. Por ejemplo:

n → lim n = = . Por tanto

n → lim n =

n → lim

( n)( +n) =

+ n

= n → lim =

n → lim =

= = = 0

c) Las indeterminaciones de la forma 1 se resuelven te-niendo en cuenta que:

n → lim (1 + 1 = n)n e 2,7182818284

base de los logaritmos neperianos; entonces si: n → lim an = 1

y n → lim (bn) = :

n → lim abn = 1, indeterminación que se resuelve de la si-

guiente forma:

n → lim abn = ep, donde p =

n → lim (an 1) · bn

Por ejemplo:

n → lim ( ) 2n = 1; luego an = y bn = 2n, de donde

p =n → lim ( 1) 2n =

n → lim ( ) 2n =

n → lim = 2;

finalmente, n → lim ( ) 2n = ep = e2 =

Progresión aritmética

Se llama progresión artimética a una sucesión de núme-ros en los que cada término se obtiene del anterior, su-mándole una constante llamada diferencia de la progre-sión. La sucesión 1, 3, 5, 7, , 2n 1 es una progresiónaritmética, donde cada término n se obtiene sumando 2al anterior, 3 = 1 + 2, 5 = 3 + 2, 7 = 5 + 2, , luego 2 es ladiferencia de la progresión. Si d > 0, la progresión es cre-ciente y decreciente si d < 0.

Cálculo del término general

Si a1, a2, a3, , an, es una progresión aritmética de diferen-cia d, se tiene que:

a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d, a4 = a3 + d = = a1 + 2d + d = a1 + 3d de donde a1 = a1 + (n 1)d

Así, por ejemplo, el término general de la sucesión 3,7, 11, 15,, corresponde a: an = 3 + (n 1) 4 = 3 + 4n 4 == 4n 1.

Interpolación aritmética

Dados dos números, interpolar es obtener algunos térmi-nos intermedios de forma que todos ellos estén en pro-gresión aritmética. Para interpolar, es necesario conocerla diferencia despejando en la fórmula del término gene-ral, con lo que: d = (an a1)(n 1).

Por ejemplo, para interpolar tres términos aritméticosentre 25 y 45:

2545, d = (45 25)/(5 1) = 20/4 = 5, luego los términos son 30, 35 y 40

En toda progresión aritmética finita, la suma de dos tér-minos equidistantes de los extremos es igual a la suma delos extremos:

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28

Los extremos son 4 y 28 y su suma 4 + 28 = 32, 7 y 25equidistan de los extremos 7 + 25 = 32 análogamente:10 + 22 = 32, 13 + 19 = 32. En este caso, en que la progre-sión tiene un número impar de términos, el central sesuma consigo mismo, 16 + 16 = 32.

Suma de n términos de una progresiónaritmética

La suma de n términos es:

S = a1 + a2 + a3 + + an 1 + an y también:S = an + an 1 + an 2 + + a2 + a1

Luego:

2S = (a1 + an) + (a2 + an 1) + (a3 + an 2) + +( an + a1)

Todas las sumas que están entre paréntesis son iguales,pues se trata de la suma de dos términos equidistantes delos extremos, luego:

2S = (a1 + an) + (a1 + an) + + (a1 + an) = n (a1 + an), y despejando S: S = (a1 + an) · n/2

Por ejemplo, para calcular la suma de los diez prime-ros términos de la sucesión de los números pares: 2, 4, 6,se calcula el término a10 = 2 + (9) · 2 = 20 y luego la sumaS = (2 + 20) · 10/2 = 110.

Progresión geométrica

Se conoce por progresión geométrica a una sucesión enla que cada término se obtiene multiplicando el anteriorpor una constante llamada razón de la progresión. La su-cesión 3, 12, 48, 192, 768 es una progresión geométricadonde cada término se obtiene multiplicando el anteriorpor 4:12 = 3 · 4, 48 = 12 · 4 Para hallar la razón, se divi-de un término entre el anterior (an : an 1), como, por ejem-plo, 768 : 192 = 4.

1e2

n 1n

2nn

n 1 nn

n 1n

n 1n

n 1n

1

1

n + 1 nn + 1 + n

(n + 1)2 (n)2

n + 1 + n

240 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Término general de una progresión geométrica

Dada la progesión geomérica: a1, a2, a3, an de razón r,como cada término se obtiene multiplicando el anteriorpor la razón:

a2 = a1 · r, a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 r2, a4 = a3 · r = a1 r2 · r = = a1 · r3 y en general an = a1 · rn 1

Así, en la progresión 3, 12, 48, 192 an = 3 · 4n 1, si sequiere hallar el término octavo, será: a8 = 3 · 47 = 49.152.

Interpolación geométrica

Dados dos números, se llama interpolación geométrica ala operación consistente en calcular otros términos inter-medios de forma que todos ellos estén en progresióngeométrica. Para interpolar es necesario conocer la razónde la progresión despejando en la fórmula el término ge-neral:

r =

Por ejemplo, para interpolar cuatro medios proporcio-nales entre

4 y

r = = =

Luego los términos son: 4 · 1/2 = 2, 2 · 1/2 = 1 y1 · 1/2 = 1/2; y la progresión: 4, 2, 1 · 1/2, 1/4.

En toda progresión geométrica finita, el producto dedos términos equidistantes de los extremos es igual alproducto de los extremos. Así, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, setiene el producto de los extremos 2.128 = 256; si se vanmultiplicando los términos equidistantes de los extremos,se tiene: 4 · 64 = 256, 8 · 32 = 256, y si el término central semultiplica por sí mismo, 16 · 16 = 162 = 256.

Producto de n términos de una progresióngeométrica

Dada la progresión geométrica a1 · a2 · a3 an, el produc-to de sus términos es P = a1 · a2 · a3 an 1 · an y tambiénP = an · an 1 · an 2 a2 · a1. Multiplicando miembro a miem-bro ambas expresiones:

P2 = (a1 · an) · (a2 · an 1) (an 1 · a2) · (an · a1)

todos estos paréntesis son productos formados por dostérminos equidistantes de los extremos, luego:

P2 = (a1 · an)n, P = 2(a1 · an)n

Por ejemplo, el producto de los siete términos de la pro-gresión:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es P = 2(2.128)7 = 268.435.456

Suma de n términos de una progresióngeométrica

La suma de n términos de una progresión geométrica es:

S = a1 + a2 + a3 + + an

Si se multiplica por r:

S · r = a1 · r + a2 · r + a3 · r + + an 1 · r + an · r

Restando miembro a miembro estas igualdades, y te-niendo en cuenta que: a1 · r = a2, a1 · r = a3, , an 1 r = an, sellega a: Sr S = an · r a1.

Sacando factor común a r, S(r 1) = an r a1, y despe-jando S: S = (an · r a1)/(r 1).

Así, por ejemplo, la suma de 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es:

S = (128 : 2 2)/(2 1) = 254

La suma de los infinitos términos de una progresión geo-métrica ilimitada decreciente se obtiene por la fórmulaS = a1/1 r; así, en la progresión: 4, 2, 1, 1/2, 1/4 de ra-zón r = 1/2 se tiene que: S = 4(1 1/2) = 4/1/2 = 8.

12

41/44

14

n1an

__________________________________________________________________________________________ Sucesiones y límites 241


1. Calcular los siguientes límites:

a)n → lim

b)n → lim

c)n → lim 3n2

2. Dada la sucesión 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, :a) Hallar su término general.b) Decir si está acotada y si lo está calcular las co-

tas superiores e inferiores.

3. Dada la progresión aritmética 4, 10, 16, 22, Hallar:a) La diferencia.b) El término general.c) La suma de los 15 primeros términos.

4. Interpolar 3 medios proporcionales entre 2 y1.458.

5. Aplicando las propiedades de las progresionesgeométricas, calcular la fracción generatriz delnúmero decimal 4,3.

)n2 + 1n2 + 1(

2n2 + 1 n2 1

n3 + n2 52n3 + 7

Números complejos

Los números complejos nacen de la imposibilidad de en-contrar soluciones en el conjunto de los números reales Ra ecuaciones del tipo x2 + 1 = 0, pues en R las raíces cua-dradas de números negativos no existen.

Se llama número complejo a cualquier elemento delconjunto producto R · R, compuesto por pares ordena-dos de números reales. A R · R se le denomina C. Dado(a, b) C, a es la parte real y b la parte imaginaria.

Para resolver las ecuaciones de la forma x2 + 1 = 0, sedespeja x, x = –1, y se llama a –1 = i. Escribiendo los nú-meros complejos de la forma (a, b), y dado que a + bi es lallamada forma binómica de expresar los elementos de C,si b = 0 se obtienen los números reales. Si a = 0, los ele-mentos de la forma bi se llaman imaginarios puros.

En C se define la suma de números así: (a + bi) + (c + di)= (a + c) + (b + d) i.

El producto de un número real por un complejo se cal-cula: k R: k(a + bi) = ka + kbi.

El producto de números complejos es: (a + bi) · (a’ + b’i)= (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’) · i.

El conjunto (C, +, ·) tiene estructura de cuerpo, siendo elelemento neutro el 0 y el inverso de un elemento (a + bi):

a + –b · i–––––– –––––a2 + b2 a2 + b2

Representación de los números complejos

Los elementos de C se representan en un eje cartesiano,con la parte real en el eje de las abscisas y la imaginariaen el de ordenadas:

Forma polar de un número complejo. Se llama módu-lo de un número complejo z, y se representa por |z| a|z| = a2+b2.

Argumento de un número complejo es el ángulo queforma con la parte positiva del eje x. Se representa por α,luego el complejo a + bi se puede representar como rα,donde r = a2+b2 y tgα = b/a.

Fórmula trigonométrica. Como a = r cosα y b = r senα,el número complejo a + bi se puede expresar como r (cosα+ i senα), o forma trigonométrica.

División de números complejos en forma binómica.Para calcular el cociente

a + bia’ + b’i

se multiplica el numerador y el denominador de la frac-ción por el conjugado del denominador:

(a + bi) (a’ – b’i)(a’ + b’i) (a’ – b’i)

siendo el resultado

+

Operaciones con números complejos en forma polar:

Producto: rα · r’α’ = (r · r’) α + α’

Cociente: rα · r’α’ = (r/r’) α – α’

Potencia: (rα)n = rnn · α

Raíz enésima: nrα = nr , k = 0, 1, 2, … , n – 1

La función exponencial

La función exponencial es la función y = ex, donde e es labase de los logaritmos neperianos. El eje x es una asínto-ta horizontal. La función es creciente:

α + 360kn

(ba’ – ab’)i(a’)2 – (b’)2

(aa’ + bb’)(a’)2 – (b’)2

b

a

z = (a + bi)

rα


NÚMEROS COMPLEJOS Y LOGARITMOS

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

________________________________________________________________________________ Números complejos y logaritmos 243

gráfica de la función exponencial

Son numerosos los fenómenos de la realidad que pre-sentan un crecimiento exponencial: el aumento de pobla-ciones animales y vegetales, la desintegración del carbo-no 14, etc.

Aunque se ha considerado como función exponencialy = ex, por ser la más frecuente, son también funciones ex-ponenciales las de la forma: y = ax, siendo crecientes cuan-do a >1 y decrecientes cuando a < 1.

Logaritmos

Se llama logaritmo de un número N en una base b al ex-ponente al que es preciso elevar la base para obtener elnúmero. El logaritmo se representa por logb, siendo b labase:

logb N = x ↔ bx = N

Cuando la base es el número 10, el logaritmo se llamadecimal, y no se suele escribir la base log10 100 = 2, pues102 = 100.

Propiedades de los logaritmos

a) El logaritmo de un producto es igual a la suma de loslogaritmos de cada uno de los factores (transforma pro-ductos en sumas):

logb p · q = logb p + logb q

b) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo delnumerador menos el logaritmo del denominador (trans-forma cocientes en restas):

logb p/q = logb p – logb q

c) El logaritmo de una potencia es igual a la multiplica-ción del exponente por el logaritmo de la base de la po-tencia (transforma potencias en productos):

logb a n = n logba

d) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del ra-dicando dividido por el índice de la raíz (transforma raí-ces en divisiones):

logbm

a =logb a

m

Cambio de base de logaritmos. La fórmula que permi-te relacionar el logaritmo de un número en dos bases dis-tintas, b y b’, es:

logb N = logb’ N / logb’ b

Función logarítmica

Es una función f : R+ → R / que x R+ → logb x R.El dominio de definición de la función logarítmica es

el conjunto R+, pues los números negativos no tienen lo-garitmo. La función inversa de la función logarítmica esla función exponencial, luego ambas funciones son simé-tricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Si labase de los logaritmos es e, la gráfica de la función inver-sa de y = ex se obtiene como:

y = ex

y = logex = ln ex

(0, 1)0

y = ex

(1, e)


1. Si Z1 = 2 – 3i y Z2 = 3 + i. Calcular:a) Z1 + Z2.b) Z1 · Z2.c) Z1 / Z2.

2. Calcular5

3260º.

3. Dado el número complejo en forma polar, 230º, ex-presarlo en forma binómica.

4. Calcular log3 (27 · 92) /4

729.

5. Resolver la siguiente ecuación logarítmica:log (x + 5) – 2 log (x + 4) = log 4 – log 9

Derivada de una función

La noción de derivada surge al intentar encontrar la rectatangente a una función en un punto.

Si y = f(x) es una función definida en R o en un subcon-junto de R, y x0 un punto, el valor x0 + h es el x0 incremen-tado en una cantidad h. A la diferencia f(x0 + h) f(x0) sele conoce por incremento de la variable independiente, yal cociente [f(x0 + h) f(x0)]/h se le llama cociente incre-mental.

Se define la derivada de la función f en el punto x0 comoel límite del cociente incremental cuando h (incrementode la variable independiente) tiende a cero. La derivadade f en x0 se representa por f(x0).

f (x0) =lim f(x0 + h) f(x0)h → 0 h

Ejemplo. Hallar la derivada de la función f(x) = x enx0 = 3:

f(3) = 3, f(3 + h) = 3 + hf (3) =

h → 0lim [f(3 + h) f(3)/h] =

h → 0lim [(3 + h 3)/h] =

h → 0lim h/h =

= h → 0lim 1 = 1, luego f(3) = 1

Ecuación de la recta tangente a una función en un punto

La derivada de una función en un punto es la pendientede la recta tangente a la curva en dicho punto:

tg α = f(x0 + h) f(x0)h

La tgα es la pendiente de la recta secante a la funciónen los puntos [(x0, f(x0)], [(x0 + h), f(x0+ h)], y el límite cuan-do h → 0 es la pendiente de la recta tangente; luego si mes la pendiente, m = tg α = f(x0) y la ecuación de la tan-gente será:

y f(x0) = f(x0)(x x0)

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta tangente a la fun-ción f(x) = x2 en x = 1:

f(1) = 12 = 1, f(1 + h) = (1 + h)2 = 1 + h2 + 2hf (x) = lim [(f(1 + h ) f(1))/h] = lim [(1 + h2 + 2h 1)/h] =

h → 0 h → 0

= h → 0lim [(h (h + 2))/h] = 0 + 2 = 2

La ecuación de la recta tangente es:

y 1 = 2(x 1), y = 2x 2 + 1y = 2x 1

y = 2x 11

y = x2

f (x0 + h)

f (x0)

f (x0 + h)

α'

x0 + hx0

f (x0 + h)

f (x0)

f (x0 + h) f (x0)

h

x0 + hx0

derivada de una función


DERIVADASY

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Función derivada

Si la función y = f(x) es derivable en R y en cada punto x0existe la derivada f (x0), se llama función derivada a lafunción que a cada x0 le hace corresponder f (x0), y se re-presenta por f (x):

f (x) = lim [f(x + h) f(x)/h]h → 0

Diferencial de una función

Si se tienen en cuenta los incrementos de la variable de-pendiente, f (x0 + h) f(x0), y de la variable independien-te, h, el primero representa los sucesivos incrementos quetoma la ordenada para los sucesivos valores de h. Si seconsidera la función que, para los valores de h, le hacecorresponder f (x0) · h , y llamando dy a f(x0 + h) f(x0) ydx a h, se establece la función diferencial:

dy = f (x0) · dx

donde dy es la diferencial de y, dx es la diferencial de x.

Derivada de la suma, diferencia,producto y cociente

Derivada de la suma y/o diferencia de dos funciones

Sean u(x) y v(x) dos funciones derivables, y f(x) = u(x) ± v(x), luego f(x + h) = u(x + h) ± v(x + h).

Por la definición de derivada se tiene que:

f (x) = h → 0lim [(f(x + h) f(x))/h] =

= h → 0lim [(u(x + h) ± v(x + h)) (u(x) ± v(x))/h] =

= h → 0lim [(u(x + h) u(x))/h ±

h → 0lim (v(x + h) v(x))/h] =

= u(x) ± v(x)

Luego la derivada de la suma es la suma de las deri-vadas.

Derivada de una constante por una función

Si u(x) es una función derivable, K R y f(x) = Ku(x), en-tonces:

f (x) = Ku(x)

La derivada de una constante por una función es iguala la constante por la derivada de la función.

Derivada de un producto

Si f(x) = u(x) · v(x), entonces f (x) = u(x) · v(x) + u(x) · v(x).

Derivada de un cociente

Si f(x) = u(x)/v(x), un cociente,

f(x) = [u(x) · v(x) u(x) · v(x)]/[v(x)]2

Derivada de la función compuesta

La derivada de la función compuesta se calcula por la lla-mada regla de la cadena:

Si f(x) = u [v(x)], f (x) = u [v(x)] = u [v(x)] · v(x)

Derivada de las funcioneselementales

Derivada de una constante

La derivada de una constante es igual a cero:

f(x) = K, siendo K constante, f(x + h) = K, luegof´(x) =

h → 0lim [f(x + h f(x)/h] =

h → 0lim [(K K)/h] =

h → 0lim 0 = 0

Derivada logarítmica

f(x) = Lx (Lx es el logaritmo neperiano de x), f(x + h) =L (x + h) f (x) =

h → 0lim [(L(x + h) L(x))/h] =

h → 0lim [1/h ·

L ((x + h)/x)].

Multiplicando y dividiendo por x:

f (x) = h → 0lim [x/h · 1/x · L(1 + h/x)] =

= h → 0lim [1/x · L(1 + h/x)x/h] =

h → 0lim [1/x · Le]

Aplicación de los logaritmos a la derivada. Sea y =

x0 + hx0

diferencial de una función

dy

__________________________________________________________________________________________________ Derivadas 245

f(x)g(x).Tomando logaritmos en la igualdad: Ly = Lf(x)g(x), de

donde Ly = g(x) · Lf(x), derivando y/y = g(x) · Lf(x) + g(x)· f (x)/f(x), y = [g(x) · Lf(x) + g(x) · f (x)/f(x)] · y, y final-mente y= [g(x) · Lf(x) + g(x) · f (x)/f(x)] · f(x)g(x).

En general, la derivada del logaritmo neperiano de unafunción es el cociente entre la derivada de la función y lapropia función.

Derivada de una potencia

Si y = xn, se verifica que y = nxn-1.En general:

Función exponencial:

y = ex, y = ex

y = ax, y = ax · La

Derivada de funciones trigonométricas

Función circular:y = sen x → y = cos xy = cos x → y = sen xy = tg x → y = 1 + tg2x = 1/cos2x

Función circular inversa:y = arc sen x y = 1/ (1 x2)y = arc cosen x y = 1/ (1 x2)y = arc tg x y = 1/(1 + x2)

Derivada de una raízy =

nu(x). La raíz se deriva como una potencia, ya que:

y =n

u(x) = [u(x)]1/n y = [u(x)]/[nn

u(x)n1]

Derivadas sucesivasSi la función derivada y = f(x) es una función derivable,se llama derivada segunda a y = f (x), es decir, la deriva-da de la derivada. Ejemplo:

y = x3, y = 3x2, y = 6x.

Si cada vez se obtiene una función derivable, se puedecontinuar de forma análoga.

Máximos y mínimos

Una función f(x) presenta un máximo en un punto x0cuando f(x) ≤ f(x0) x E(x0, r). Entonces, la función y =x2 presenta un máximo en x0 = 0. A la izquierda del má-ximo, la función es creciente, y a la derecha, decreciente.

Una función f(x) presenta un mínimo en x0 si f(x) ≥ f(x0),

x0 E(x0, r). A la izquierda del mínimo, la función esdecreciente, y a la derecha, creciente. La función y = x2

presenta un mínimo en x0 = 0.

Cálculo de máximos y mínimos

Si f(x) es una función derivable dos veces, entonces f(x)presenta un máximo en x0 si f (x0) = 0 y f (x0) < 0; f(x) pre-

y = x2

máximo mínimo

y = x2

246 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Función Derivada

y = cte. (constante) y = 0y = x y = 1y = f ± g ± h y = f ± g ± hy = f · g y = f · g + g · f

y =f

y =f · g g · f

g g2

y = cte · f y = cte · f

y = nf y = fn nf n1

y = logaf y =f

· logaef

y = ln (f) y =f f

y = af y = af · ln a · f y = ef y = f · ef

y = fg y = f g · ln f · g + g · f g 1 · f y = sen f y = f · cos fy = cos f y = f · sen f

y = tg f y =f

cos2 f

y = arc sen f y =f

1f2y = arc cos f y =

f 1f2

y = arc tg f y = f 1 + f 2

y = Sh f y = f · Ch fy = Ch f y = f · Sh f

y = arg Sh fy = f

1+f2y = arg Ch f y = f

f21

Principales funciones y sus derivadas

senta un mínimo en x0 si f (x0) = 0 y f (x0) > 0.La teoría de máximos y mínimos permite resolver pro-

blemas de optimización.Ejemplo. De todos los rectángulos de área 9 cm2, ¿cuál

es el de perímetro mayor?Si se llama x a uno de los lados, el otro será 9/x, y el pe-

rímetro P(x) = 2 · 9/x + 2x = 18/x + 2x.Se trata de hallar un máximo, luego se calcula la deri-

vada P respecto de x y se iguala a cero.

P(x) = 18/x2 + 2, P(x) = 0, 18/x2 + 2 = 018/x2 = 2, 2x2 = 18, x2 = 9, x = 9 = + 3 y 3

Si x = 3, 9/x = 3, luego el rectángulo de perímetro má-ximo es el cuadrado.

Teoremas de Rolle, de Cauchy y del valor medio

Teorema de Rolle

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado[a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), y que veri-fica que f(a) = f(b); entonces existe al menos un puntox0 (a, b) tal que f (x0) = 0

Si f es una función constante f (x) = 0, x (a, b). Si fno fuese constante y f (x) ≠ 0, x (a, b), al ser f continuaen [a, b] alcanza en algún punto su máximo, M, o su mí-nimo, M, pero estos puntos no pertenecen a (a, b), puesse ha partido de que f (x) ≠ 0, en (a, b); luego f tiene quealcanzar el máximo y el mínimo en a o b, y como f(a) = f(b),tendrá que ser M = M y f constante contra la hipótesis departida. Por tanto, existirá x0 (a, b); f (x0) = 0.

Geométricamente, el teorema de Rolle indica que, enalgún punto del intervalo, la tangente a la curva es hori-zontal.

Teorema de Cauchy

Si f y g son dos funciones continuas en el intervalo cerra-do [a, b] y derivables en el intervalo abierto (a, b), verifi-cando que f y g no se anulan simultáneamente en nin-

gún punto del intervalo abierto (a, b) y además g(a) ≠ g(b),entonces existe por lo menos un punto x0 (a, b) que ve-rifica:

f(b) f(a) = f (x0)g(b) g(a) g(x0)

Para demostrarlo se construye la función F(x) de la si-guiente forma:

F(x) = [f(b) f(a)] g(x) [g(b) g(a)] f(x)

F(a) = F(b), que se comprueba sin más que sustituir x,primero por a y después por b. En estas condiciones, F(x)verifica el teorema de Rolle, luego:

x0 (a, b) tal que F (x0) = 0, y por tanto,F(x0) = [f(b) f(a)] g (x0) [g(b) g(a)] f (x0) = 0

Como g(b) ≠ g(a) y f y g no se anulan simultáneamen-te, entonces:

f(b) f(a) = f (x0)g(b) g(a) g(x0)

Teorema del valor medio

Este teorema se conoce también con el nombre de teoremade los incrementos finitos o de Lagrange.

Si f(x) es una función continua en [a, b] y derivable en(a, b), entonces existe por lo menos un punto x0 (a, b) queverifica:

f(b) f(a) = f (x0) (b a)

Este teorema es un caso particular del teorema deCauchy cuando la función g(x) = x. La función F(x) seríaentonces:

F(x) = [f(b) f(a)] x [b a] f(x)

que cumple las condiciones del teorema de Rolle, luegotenemos:

∃ x0 (a, b); F(x0) = [f(b) f(a)] (b a) f (x0) = 0,

de donde

f(b) f(a) = f (x0)b a

Este teorema indica, para una función con las hipótesis

teorema de Rolle

x0

f (a) f (b)

x'0a b

__________________________________________________________________________________________________ Derivadas 247

iniciales, que existe un punto x0 (a, b) en el que la tan-gente a la curva es paralela a la recta que pasa por [a, f(a)],[b, f(b)]:

Regla de l’Hôpital. Una aplicación del teorema deCauchy al cálculo de límites de sucesiones, fundamental-mente para resolver indeterminaciones de la forma 0/0,es la llamada regla de lHôpital.

Si f(x) y g(x) son dos funciones que cumplen las condi-ciones del teorema de Cauchy, y además existe x0 (a, b)tal que

f(x0) = g(x0) = 0, entonces x → x0

lim [f(x)/g(x)] =

= x → x0

lim [f (x0)/g(x0)] cuando existen ambos límites

Ejemplo:

x → 0lim [(ex 1)/x2] = (e0 1)/02 = (1 1)/0 = 0/0

Aplicando la regla de lHôpital:

x → 0lim [(ex 1)/x2] =

x → 0lim (ex/2x) = e0/0 = 1/0 =

Mediante transformaciones convenientes, las indeter-minaciones /, 0 . y se transforman en otras de laforma 0/0 y por tanto se les puede aplicar la regla delHôpital. Las indeterminaciones de la forma 10, 00 y 0 setransforman aplicando logaritmos.

Teorema de Taylor

Las funciones más conocidas y sencillas son las llama-das polinómicas. Muchas funciones se pueden aproxi-mar mediante funciones polinómicas con un margen deerror muy pequeño que, además, se puede acotar. El teo-rema de Taylor es un medio de calcular estas aproxima-ciones.

Sea f(x) derivable hasta el orden n en un punto a; enton-

ces f(x) se puede aproximar de forma única por el si-guiente polinomio:

f(x) = f(a) + f (a) (x a) + f (a) (x a)2 ++ fn(a) (x a)n

2! n!

Esta expresión recibe la denominación de polinomio deTaylor.

Cuando a = 0, el polinomio obtenido recibe el nombrede McLaurin:

f(x) = f(0) + f (0) x + f (0) x2 + + f n(0) xn

2! n!

Si en vez de calcular la aproximación polinómica dela función en el punto a se hace en un punto x próximoal a, se comete un error que sería la diferencia entre elvalor de la función y el valor del polinomio. A este errorse le llama resto de orden n de x. Rn(x) = f(x) P(x), envirtud de lo cual la fórmula de Taylor queda de la si-guiente forma:

f(x) = f(x) + f (x)(xa) + f (x) (x a)2 + +2!

+ f n(x) (x a)n + Rn(x)n!

Formas de determinar el resto del desarrollo del teorema de Taylor

Resto de Lagrange. Si f es derivable n + 1 veces, existex0 (a, x), que verifica:

Rn(x) = f (n+1)(x0) (x a)n+1

(n + 1)!

Resto de Cauchy. Si f es derivable n + 1 veces, entoncesx0 (a, x), que verifica:

Tn(x) = f (n+1)(x0) (x x0) n(x a)n!

El desarrollo de la función ex se realiza mediante la fór-mula de McLaurin con resto de Taylor:

ex = 1 + x + x2+ x3

+ + xn+ ex0

· xn + 1 2! 3! n! (n + 1)!

siendo 0 < x0 < x.

Aplicaciones de la fórmula de Taylor

x0

teorema del valor medio

a b

f (a)

f (b)

248 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Las aplicaciones de las distintas formas del desarrollo deuna función en polinomio de Taylor son variadas y estáncondicionadas por el hecho de que el margen de error seamínimo al calcular el resto. Algunas de estas aplicacionesson:

Cálculo de valores numéricos de diferentes funciones.El valor de e0,1 aproximado por un polinomio de grado 3será:

e x = 1 + x + x2/2! + x3/3! + R4e 0,1 = 1 + 0,1 + 0,12/2 + 0,13/6 + R4 = 1,10516 + R4

R 4 = [ex0 (0,1)4]/4! = 0 < x0 < 0,1 y como e0,1 < 1, 2, el error es R4 < 0,000005

Aplicación a la representación gráfica de funciones. Elestudio de la concavidad o convexidad de una función ensus diferentes puntos se realiza respecto a la recta tangen-te a la función en cada uno de ellos. Si la tangente quedapor encima de la función, ésta es convexa respecto al eje x,y si queda por debajo respecto al mismo eje, es cóncava.La diferencia entre la ordenada de la tangente y la orde-nada de la función en un entorno del punto es positiva enel primer caso, y en el segundo, negativa.

Si se aproxima la función f(x) mediante polinomio deTaylor de primer grado en un punto x0, se tiene que:

f(x) = f(x0) + f (x0) (x x0) + R1

luego R 1 = f(x) f(x0) + f (x0) (x x0), que es la diferenciaentre la función y la ordenada de la recta tangente a lafunción en el punto x0.

Como R1 = [f (x0)/2!] (x x0) 2 , el signo de R1 viene dadopor el de la derivada segunda en el punto, f(x0).

Si f (x0) > 0 → R1 > 0 y la gráfica se conserva por enci-ma de la tangente, luego es cóncava.

Si f (x0) < 0 → R1 < 0 y la gráfica se conserva por deba-jo de la tangente, es convexa.

Si f (x0) = 0 es necesario tomar el polinomio de Taylorde grado dos. El resto será R2 = [f 3(x0)/3!](x x0)3 si f 3(x0)≠ 0, la tangente atraviesa la curva, siendo convexa a unlado y cóncava al otro. Por tanto, en x0 existe un punto deinflexión.

Si f 3 (x0) = 0, se toma el polinomio de Taylor de gradosuperior, repitiéndose el proceso cuantas veces fuese ne-cesario.

En el caso de máximos y mínimos se efectuaría un es-tudio análogo. Como (x x0)n es positivo cuando n es par,el signo viene determinado por el de f n (x0), y, por tanto,si f (x0) = 0, n es par. Si f n (x0) < 0, existe un máximo y sif n(x0) > 0 existe un mínimo.

Ejemplo. Hallar máximos y mínimos de la función:

y = x5/5 13x3/3 + 36x + 3y = x4 13x2 + 36, y = 0, x4 13x2 + 36 = 0, de donde x1 =

= 2, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 3

Se calcula la derivada segunda y = 4x3 26x.Si x = 2y = 4 · 8 26 · 2 = 32 52 = 20 < 0, en x = 2 exis-

te un máximo.Si x = 2, y = 4 (2)3 26 (2) = 32 + 52 = 20 > 0, en

x = 2 existe un mínimo.Si x = 3, y = 4(3)3 26(3) = 108 78 = 30 > 0, en x = 3,

un mínimo.x = 3, y = 4 (3)3 26 (3) = 108 + 78 = 30 > 0, en

x = 3, un máximo.Haciendo f(x) = 04x3 26x = 0, x(4x2 26) = 0x = 0, 4x2 26 = 0, x2 = + 13/2, x = + 13/2 y x = 13/2Los puntos de abscisa x = 0, x = + 13/2, x = 13/2

son puntos de inflexión, pues, si f(x) = 12 x2 26, se ve-rifica f (0) = 26 ≠ 0, f (13/2) = 12 (13/2)2 26 =

__________________________________________________________________________________________________ Derivadas 249


1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) y = sen x3 b) y = xx c) y = sen x/ecos x

2. Dada la función y = x2 5x + 6, hallar el punto enque la tangente a dicha función es paralela a lacuerda que pasa por los puntos (0, 6), (2, 0).

3. Calcular, aplicando la definición, la derivada de lafunción y = x3 + 3, en x = 1.

4. Desarrollar, aplicando la fórmula de McLaurin, lasiguiente función: y = sen x.

Integral indefinida

Función primitiva

Dada una función f(x), se llama función primitiva de f(x) aotra función F(x), si existe, que verifica que F(x) = f(x). Lafunción F(x) = x4/4 es una primitiva de f(x) = x3.

Si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x) + C, dondeC es una constante, también lo es, ya que [F(x) + C] = f(x),pues la derivada de C es cero. Conocida la función primi-tiva de f(x), calcular todas las demás es fácil.

Al conjunto de todas las primitivas de una función f(x),que se representa por f(x) dx, se le llama integral indefi-nida de dicha función:

f(x) dx = F(x) + C

Al signo se le llama signo de integración, y a f(x), in-tegrando.

Propiedades básicas de la integración

Las propiedades básicas de la integración son:

a) Al calcular la primitiva de una función se obtieneninfinitas funciones que se diferencian entre sí en una cons-tante:

f (x) dx = f(x) + C

b) La integral del producto de una constante por unafunción es igual a la constante por la integral de la fun-ción:

Kf(x) dx = K f(x) dx

c) La integral de la suma (o resta) es la suma (o resta)de las integrales:

[f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx

Integrales indefinidas

Dado un diferencial, el cálculo de una integral indefinidaconsiste en obtener la función primitiva de donde proviene.

Métodos generales de integración

Integración por descomposición

Se basa en las propiedades 1 y 2 de la integración Así, porejemplo:


INTEGRALESY

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Integral Función primitiva

xn · dxxn + 1

+ C, siendo n ≠ 1n + 1

ab · x · dxab · x

+ C, siendo a > 0 y a ≠ 1b · ln(a)

dxln(x) + Cx

sen x · dx cos x + C cos x · dx sen x + C tg x · dx ln(cos x) + C ex · dx ex + C 1 · dx arc sen x + C

1x2

1 · dx arc tg x + C1 + x2

Sh x · dx Ch x + C Ch x · dx Sh x + C Th x · dx ln Ch x + C

dxTh x + CCh2x

cotg x · dx ln|sen x| + C

sec x · dx ln tgx

+π

+ C| ( 2 4 )| cosec x · dx ln tg

x+ C| 2 |

Obtención de integralesindefinidas

__________________________________________________________________________________________________ Integrales 251

(3x2 + 7x 3)dx = 3x2 dx + 7x dx 2 dx == 3 x2 dx + 7 x dx 2dx = x3 + 7x2/2 + C =

= x3 7x2/2 2x + C

Integración por sustitución

En ocasiones, determinadas integrales se transforman,mediante un cambio de variable adecuado, en integralesinmediatas. A este método se le conoce con el nombre demétodo de sustitución. La dificultad estriba en encontrarel cambio adecuado que se ha de realizar. Después de cal-cular la integral es necesario deshacer el cambio. Porejemplo, en:

2x ex2 dx, el cambio que se hace es z = x2

de donde:

dz = 2x dx, dx = dz/2x

Sustituyendo, se obtiene:

2x ex2 dx = 2x ez dz/2x = ez dz = ez + C = ex2 + C

Integración por partes

Mediante la fórmula por la que se obtiene la derivada deun producto:

[u(x) · v(x)] = u(x) · v(x) + u(x) · v(x)

se despeja u(x) · v(x) y queda

u(x) · v(x) = [u(x) · v(x)] u(x) · v(x)

Integrando los dos miembros de la igualdad:

u(x) · v(x) dx = [u(x) · v(x)] dx u(x) · v(x) dx,

y finalmente:

u(x) · v(x) dx = u(x) · v(x) u(x) · v(x) dx

que generalmente se expresa:

u dv = u · v v du

Así, para el cálculo de x ex dx, se llama u = x y dv = exdx,de donde du = dx y v = ex. Aplicando la fórmula:

x ex dx = x ex ex dx = x ex ex + C = x(ex 1) + C

Algunas veces es necesario repetir el método de in-tegración por partes en una misma integral. El llama-do método de reducción no es, por tanto, sino una re-petición sucesiva del método por partes en las que losexponentes se reducen cada vez en una unidad. Porejemplo:

I = ex sen x dx = sen x ex ex cos x dx =u = sen x, du = cos x dx

dv = ex dx, v = ex

Se vuelve a aplicar el método por partes a esta últimaintegral:

u = cos x, du = sen x dxdv = ex dx, dv = ex

Luego I = sen x ex [cos x ex ex (sen x) dx] == sen x ex cos x ex ex sen x dx.

Pasando al primer miembro de la igualdad este últimosumando integral, se tiene:

2 ex sen x dx = ex (sen x cos x)

luego, despejando y añadiendo la constante queda:

e x sen x dx = ex/2(sen x cos x) + C

Integración de funciones racionales

Las integrales de funciones racionales son de la formaP(x)/Q(x) dx, donde P(x) y Q(x) son polinomios con coe-ficientes reales. Se pueden presentar dos casos:

a) grad P(x) ≥ grad Q(x).b) grad P(x) ≤ grad Q(x).

El primer caso se reduce al segundo efectuando una di-visión:

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) y dividiendo por Q(x)P(x)/Q(x) = C(x) + R(x)/Q(x)

el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x).Para resolver este tipo de integrales, es necesario cono-

cer las raíces del polinomio Q(x).Para descomponer la fracción en suma de fracciones se

distinguen los siguientes casos:

a) Todas las raíces del denominador son reales y no serepite ninguna.

Si x1, x2, x3, ...., xn son las raíces reales simples de Q(x),la fracción admite la siguiente descomposición:

P(x)/Q(x) = A1/(x x1) + A2/(x x2) + A3/(x x3) + ... + + An/(x xn)

Siendo la integral de cada uno de los sumandos una in-tegral logarítmica.

Por ejemplo:

3x2 2 dx = A dx + B dx + C dx x3 3x2 4x +12 x 2 x + 2 x 3

pues x3 3x2 4x + 12 = (x 2)(x + 2)(x 3)

Es necesario calcular A, B, y C.

3x 2 2 = A + B + C =x3 3x2 4x + 12 (x 2) (x + 2) (x 3)

= A(x + 2)(x 3) + B(x 2)(x 3) + C(x 2) (x + 2) =(x 2)(x + 2)(x 3)

= (A + B + C)x2 + (A 5B)x + (6A + 6B 4C)(x 2)(x + 2)(x 3)

Los denominadores son iguales; por tanto, los numera-dores también y, por la igualdad de polinomios, se tiene:

A + B + C = 3 Resolviendo el sistema:A 5B = 0 A = 5/2, B = 1/2, C = 56A + 6B 4C = 2

Luego:

3x2 2 dx = 5/2 dx + 1/2 dx + 5 dx = x3 3x2 4x + 12 (x 2) (x + 2) (x 3)

= 5/2 dx dx + 1/2 dx + 5 dx =(x 2) (x + 2) (x 3)

= 5/2 L|x 2| + 1/2 L|x + 2| + 5 L|x 3| + C

b) El denominador tiene raíces múltiples. Si, por ejem-plo, la primera raíz x1 es triple, la descomposición deP(x)/Q(x) sería:

A 1/(x x1) + A1/(x x1) 2 + A1/(x x1) 3 ++ A2/(x x2) + + An/(x xn)

Para calcular las constantes A1, A1, A1, se procededel mismo modo que en el caso anterior.

c) Si en el denominador aparecen raíces imaginarias, esdecir, aparece un polinomio de segundo grado irreduci-ble, la descomposición de la fracción es:

P(x)/Q(x) = A1/(x x1) + A2/(x x2) + + + An 2/(x xn 2) + (Mx + N)/(ax2 + bx + c)

En el caso de raíces imaginarias múltiples, uno de lossumandos es de la forma (Mx + N)/(ax2 + bx + c)2 . La in-tegral de este sumando se resuelve mediante el métodode reducción.

Integral definida

La integral definida surge como solución al cálculo delárea de un rectángulo especial en el que uno de sus ladoses una función cuya gráfica es curva.

Sea y = f(x) una función continua definida en un inter-valo cerrado [a, b]. Se llama división del intervalo a unasubdivisión del mismo en intervalos iguales más peque-ños, definidos por los puntos a = x0, x1, ..., xn = b:

-[|||]a = x0 x1 x2 x 3 x n = b

La longitud de cada uno de estos intervalos es xi xi 1= (b a)/n, i = 0, 1, 2, ..., n.

Se llama mi al mínimo de la función f(x) en cada uno delos intervalos y Mi al máximo:

La superficie limitada por la función y = f(x), las rectasx = a y x = b y el eje x estará comprendida entre la sumade las áreas de todos los rectángulos de área (xi xi 1) mi

y las de los rectángulos de área (xi xi 1) Mi , es decir,(x1 x0) m1 + (x2 x1) m2 + ... + (xn xn 1) mn ≤ S ≤ (x1 x0)M1 + (x2 x1) M2 + ... + (xn xn 1) Mn.

La suma en que las alturas de los rectángulos son losmínimos (mi) de la función se llama suma inferior de Rie-mann, (sn), y cuando son máximos (Mi), se llama suma su-perior de Riemann (Sn):

sn =n∑

i = 1(xi xi 1) mi

Sn =n∑

i = 1(xi xi 1) Mi

Se verifica que cualquier suma inferior es menor quecualquier suma superior, y que para una división de [a, b]en m intervalos más pequeños, n < m, es:

s n ≤ s m ≤ S m ≤ S n

Además, por ser f(x) continua n →lim

(Sn sn) = 0

En estas condiciones, se llama integral definida de lafunción f(x) en un intervalo [a, b] al límite de las sucesio-nes s n y S n, que existe, pues ambas son monótonas y aco-tadas y que, además, es el mismo para sn y S n. La integraldefinida se representa por a

b f(x) dx. A a y b se les llama lí-mites de integración:

a

b f(x) dx = n →lim

sn =

n →lim

Sn

Como para cualquier punto interior del intervalo xi, severifica que, con mi ≤ f(xi) ≤Mi, se puede escribir:

a

b f(x) dx = n →lim

,

n∑

i = 1(xi xi 1) f(xi)

Propiedades de la integral definida

Es posible describir las propiedades de las integrales de-finidas en forma simbólica del modo siguiente:

y = f(x)

x1 x2a b

mi

Mi

252 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________ Integrales 253

a) a

b f(x) dx = 0

b) a

b [f(x) ± g(x)] dx = a

b f(x) dx ± a

b g(x) dx

c) a

b Kf(x) dx = K a

b f(x) dx

d) Si c [a, b]; y a < c < b,entonces

ab f(x) dx =

ac f(x) dx +

cb f(x) dx

e) a

b f(x) dx = ba f(x) dx

f ) |a

b f(x) dx|≤ a

b| f(x) dx

g) Si m y M son el mínimo y el máximo, respectivamen-te, de la función f en [a, b], entonces se verifica que existex (a, b) tal que

ab f(x) dx = (b a) f(x).

Se tiene que m ≤ f(x) ≤ M, x (a, b), luego a

b m dx ≤a

b f(x) dx ≤ a

b M dx, pero a

b m dx = m (b a) y a

b M dx =M (b a), luego m (b a) ≤

ab f(x) dx ≤M (b a), de donde

m ≤ (a

b f(x) dx)/(b a) ≤M, y por ser f continua, existe x,con m ≤ f(x) ≤ M, tal que [

ab f(x) dx]/(b a) = f(x), luego

a

b f(x) dx = (b a) f(x), x (a · b).

A esta propiedad se la conoce con el nombre de teore-ma del valor medio del cálculo integral.

Teorema fundamental del cálculo integral

Se define la función F(x) de la siguiente forma:

F(x) = a

x f(x) dx

Siendo f continua, entonces se verifica que F(x) = f(x):

F(x) = h + 0lim F(x + h) F(x) = h + 0

lim ax+h f(x)dx a

x f(x)dx =h h

= h + 0lim x

x+h f(x) dx = h + 0lim (x + h x) f(x) = f(x)

h h

Regla de Barrow

La regla de Barrow permite calcular integrales definidasconociendo una primitiva de la función, cuando éstaexista.

Si F(x) es una primitiva de f(x) en [a, b], entonces:

a

b f(x) dx = F(b) F(a)

Al ser F(x) una primitiva, también lo es F(x) + C.Luego:

a

x f(x) dx = F(x) + C

haciendo x = a, se tiene:

a

a f(x) dx = F(a) + C

y como a

a f(x) dx = 0, se verifica:

F(a) + C= 0, de donde C = F(a), → a

x f(x)dx = F(x) F(a)

tomando x = b a

b f(x) dx → a

x F(b) F(a). El resultadoF(b) F(a) se representa como [F(x)]

ab. Ejemplo:

1

3 x2 dx = [x3/3]1

3 = 33/3 13/3 = 9 1/3 = 26/3

Si al calcular una integral definida para obtener la fun-ción primitiva se aplica el método del cambio de varia-ble, habría que volver a calcular la variable original. Sinembargo, esto no es necesario, pues el cambio de varia-ble se puede aplicar también a los límites de integración.

Si se desea calcular el área limitada por dos curvas f(x) yg(x) en [a, b], siendo g(x) ≥ 0 y f(x) ≥ g(x), x [a, b]:

S = a

b [f(x) g (x)] dx

Aplicaciones de la integral definida

Volumen de un cuerpo de revolución

Al girar una curva alrededor del eje x genera un volumenque se puede calcular mediante la fórmula:

V = πa

b [f(x)]2dx

Longitud de un arco de curva

La longitud del arco de curva de la función y = f(x) entrelos puntos de abscisas a y b se obtiene con la fórmula:

L = a

b 1+(y)2 dx

a b

l

y = f(x)

a b

f(x)

a b

g(x)

S

254 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Área de la superficie de revolución

El área de la superficie de revolución generada por el arcode la curva y = f(x) al girar sobre el eje x se halla mediantela fórmula:

S = 2πa

b y1+(y)2 dx

Ejemplos:

Calcular el área limitada por la curva y = 1/x y las rec-tas x = 1 y x = 4.

Área = 1

4 1/x dx = [ln x]1

4 = ln 4 ln 1 = ln 4

El volumen generado por dicha curva al girar sobre eleje x es:

v = π1

4 (1/x)2 dx = π1

4 dx/x2 = [1/x]1

4 =

= π[1/4 (1/1)] = 3π/4

Hallar el área limitada por las curvas y = x e y = x3.

Se resuelve el sistema formado por ambas curvas:

y = x x = x3

y = x3 → x3 x = 0

x(x2 1) = 0, luego x = 0x 2 1 = 0, luego x = + 1 y x = 1

Para calcular la superficie, basta determinar la que exis-te en el primer cuadrante, S1, y multiplicar por 2, ya quelas dos partes son iguales:

S 1 = 01 (x x3) dx = [x2/2 x4/4]

01 =

= (1/2 1/4) 0 = 1/4luego S = 2S1 = 2 · 1/4 = 1/2

11

S1

1

4

y = 1/x

1 4


1. Integrar las siguientes funciones:a) tg x dx.b) x2 sen x dx.c) [3/(x2 5x + 6)] dx.

2. Hallar la superficie de la circunferencia x2 + y2 = 1.

3. Hallar la superficie limitada por la curva y = 1/x ey = x2, entre los puntos de abscisas x = 1/2 y x = 5.

4. Hallar el volumen de la esfera engendrada al girarla circunferencia, x2 + y2 = 1, sobre el eje x.

Introducción

Las ecuaciones diferenciales son funciones de la formaF(x, y, y, y, ..., yn) = 0, donde x es la variable indepen-diente, y es la variable dependiente e y, y, ... yn, las deri-vadas sucesivas de y.

A n se le denomina orden de la ecuación diferencial, oderivada de orden mayor que figura en la ecuación dife-rencial.

Solución de una ecuación diferencial es una funcióny = f(x) y sus derivadas tales que, al sustituir en la ecua-ción a la función y sus derivadas, la transforma en unaidentidad. Resolver una ecuación es encontrar su solu-ción general.

Todas las soluciones de una ecuación diferencial son dela forma f(x, y, C) = 0, donde C es una constante arbitra-ria. El conjunto f(x, y, C) = 0 se denomina haz de curvasplanas; por cada punto del plano pasa una sola curva dela familia f(x, y, C).

Una familia de curvas planas se transforma por deri-vadas sucesivas en una ecuación diferencial. Se derivahasta eliminar C. Si se tiene la familia de curvas x2 + y2 = C,se trata de circunferencias concéntricas en el origen, y ra-dio C. Derivando se tiene 2x + 2yy = 0, que es una ecua-ción diferencial de primer orden.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplica-ciones en las distintas ramas de la ciencia. Por ejemplo, six = x(t) es la función que relaciona el espacio con el tiem-po, la definición de F = m · a se expresa como F = m dx2/df 2

o por F = m x, que es una ecuación diferencial.

Ecuación diferencial de primer orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son de laforma F (x, y, y) = 0, y su solución general es de la formay = f(x, C). Se resuelven fácilmente cuando se pueden se-parar las variables.

Ecuaciones diferenciales de variablesseparadas

Estas ecuaciones tienen la forma P1(x) dx = P2(y) dy, don-de P1(x) y P2(y) son dos polinomios en cada una de las va-riables, respectivamente.

La ecuación x · y + y = 0 es una ecuación diferencial devariables separadas, pues x · dy/dx = y; dx/x = dy/y.

Las soluciones de estas ecuaciones se obtienen inte-grando ambos miembros de la igualdad:

P1(x) dx = P2(y) dy

Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden

En general, una función F (x, y) es homogénea de grado nsi F(tx, ty) = tn · F(x, y).

La función F(x, y) = x2 y2 es homogénea de grado dos,pues F(tx, ty) = (tx)2 (ty)2 = t2 (x2 y2) = t2 F(x, y).

En particular, una ecuación diferencial y = f(x, y) eshomogénea si la función f(x, y) es homogénea de gradocero:

f(tx, ty) = tº f(x, y)

Las ecuaciones homogéneas pueden escribirse de laforma y = dy/dx g(y/x) y, haciendo el cambio de varia-ble, y = v · x se transforman en ecuaciones de variables se-paradas.

Son ecuaciones diferenciales homogéneas de primer or-den las que presentan la forma y + f(x) · y = 0. Se sustitu-ye y por dy/dx; dy/dx = f(x) · y. Separando las variablesdy/y = f(x) · dx e integrando después los dos miembros, dy/y = f(x) dx, de donde:

ln y + ln C = f(x) dx, ln y · C = f(x) dx, e y · C = ef(x) dx

Haciendo C = 1/K, queda finalmente y = K · ef(x) dx.Si la ecuación diferencial es y + (x 2) y = 0, la solución

es y = K · e(x-2) dx = K · ex2/2 + 2x.


ECUACIONES DIFERENCIALES

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Ecuaciones lineales de primer orden

Son lineales aquellas ecuaciones en que las variables noaparecen multiplicadas entre sí ni elevadas a exponentesmayores que 1. Son ecuaciones diferenciales que presen-tan la forma:

P(x) · y + Q(x) · y + R(x) = 0O también y + f(x) · y = g(x)

Se llama ecuación homogénea asociada a la ecuaciónlineal de primer orden a la ecuación y + f(x) · y = 0.

La solución de la ecuación se obtiene sumando a la so-lución general de la ecuación homogénea asociada unasolución particular de la ecuación lineal. Para ello, se pro-cede del siguiente modo:

a) Se calcula la solución general de la homogénea, queserá:

y = K · ef(x) dx

b) Para hallar la solución particular de la ecuación li-neal completa, se supone que la constante K es una fun-ción de x, K(x), y se le hace cumplir la ecuación:

y = K(x) · ef(x) dx

Derivando:

y = K(x) · ef(x) dx K(x) · f(x) ef(x) dx

y sustituyendo en la ecuación y + f(x) · y = g(x):

K(x) · ef(x) dx K(x) · f(x) · e f(x) dx + f(x) · K(x) · ef(x) dx = g(x)

Simplificando, queda:

K(x) · ef(x) dx = g(x)

de donde

K(x) = g(x)ef(x) dx

y K(x) = g(x) · e+f(x) dx,

integrando K(x) = g(x) · e+f(x) dx dx,luego: y = [g(x) · e+f(x) dx dx + K1] · ef(x) dx.

Este resultado sería la solución particular de la ecua-ción lineal completa. La solución general es:

y = K · ef(x) dx + [g(x) · e+f(x) dx dx + K1] · ef(x) dx

Para hallar la solución general de la ecuación lineal deprimer orden, xy + y = x sen x, se calcula primero la solu-ción general de la ecuación homogénea asociada:

x · y + y = 0; y + 1/x · y = 0; dy/dx = y/x; dy/y = dx/x;ln y = ln x + ln K, ln y = ln K/x; y = K/x

Para hallar una solución particular de la ecuación linealcompleta, se hace K = K(x):

y =K(x)

x

Se sustituye en la ecuación x · y + y = x sen x:

xK(x)

x · K(x)

+K(x)

= x sen x_____ _______ ____x x2 x

Simplificando queda K(x) = x sen x, que integrandoK(x) = x sen x:

x cos x + sen xK(x) = x cos x + sen x y, por tanto, y = x

La solución general es:

y = k1 + x cos x + sen x = x cos x + sen x + k__ ____________ _______________x x x

solución solución solucióngeneral de la particular de general de lahomogénea la completa completa

Ecuaciones diferenciales totalesSe distinguen dos casos posibles: ecuaciones diferencia-les totales exactas y ecuaciones diferenciales reducibles aexactas.

Ecuaciones diferenciales totales exactas

La ecuación diferencial de forma P(x, y) dx + Q(x, y) dx = 0es exacta si existe una función U(x, y) que verifica que dU (x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dx = 0.

La condición necesaria y suficiente para que P(x, y) dx+ Q(x, y) dx = 0 sea exacta es que se verifique la igualdadde las derivadas parciales cruzadas:

αP=

αQαy αx

siendo α el símbolo de la derivada parcial.Además, en este caso, la solución de la ecuación es

U(x, y) = C, siendo:

dU(x, y) =αU

dx +αU

dy, P =αU

y Q =αU___ ___ ___ ___

αx αx αx αy

Para hallar esta solución, se integran los dos miembrosde la ecuación respecto de una variable, suponiendo laotra constante:

P(x, y) dx + C(y) = U(x, y)

K(x)x2y’ = k(x) · x K(x) = K(x)

x2 x

256 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________ Ecuaciones diferenciales 257

Siendo α (y) una función desconocida que hay que cal-cular, derivando respecto a y, se tiene:

α P(x, y)dx + C(y) = Q(x, y)αy

y despejando:

C(y) = Q(x) α P(x, y)dx2y

al integrar esta función se obtiene:

C(y) = [Q(x, y) α P(x, y)dx]dy2y

Si se deriva con respecto a x, se obtiene el segundomiembro:

αQ α [ α P(x, y)dx] = αQ α [ α P(x, y)dx] · αx αx αy αx αy αx

· αQ αP = 0 αx αy

y U(x, y) = P(x, y)dx + [Q(x, y) α P(x, y)dx]dy = C2y

En la práctica se elige P o Q, según sean más sencillas.Ejemplo. La ecuación diferencial:

(x3 5xy2 + 2xy + y) (dx + x2 5x2y + 3y2 + x)dy = 0

Siendo:

P = x3 5xy2 + 2xy + y · yQ = x2 5x2y + 2xy2 + x es exacta, ya que

αP = 10xy + 2x + 1αy

y αQ = 2x 10xy + 1αx

de donde:αP

=αQ

αy αx

Integrando respecto a x se obtiene:

(x3 5xy2 + 2xy + y)dx + ϕ(y) = U(x, y)

de donde:

x4 5y2x2

+ x2y + y · x + ϕ(y) = U(x)4 2

y derivando respecto a y:

5x2y + x2 + x + ϕ(y) = αU = x2 5x2y + 3y2 + xαy

ya que, αU = Q, despejando ϕ (y) = 3y2 e integrandoαy

ϕ(y) = y3 + C, finalmente se obtiene la función:

U(x, y) = x4/4 (5/2) x2y 2 + x2y + yx + y3 + C

solución de la ecuación inicial.

Ecuaciones diferenciales reducibles a exactas

Son aquellas de la forma P(x, y) dx + Q(x, y)dy = 0, en lasque:

αP ≠ αQαy αx

y que, sin embargo, multiplicando la ecuación por unafunción λ (x, y) se transforman en exactas; a λ (x, y) se ledenomina factor integrando y se verifica:

α(λ, P) = α(λQ)αy αx

La solución de la ecuación diferencial es la misma quela solución de la ecuación multiplicada por el factor inte-grante.

Ecuaciones diferenciales de segundoorden reducibles a primer orden

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden son aque-llas de la forma:

F(x, y, y, y) = 0

En determinados casos, estas ecuaciones pueden dis-minuirse de grado, quedando reducidas a ecuaciones deprimer orden:

a) Ecuación en la que falta y; F(x, y, y, y) = 0. Se haceel cambio y = u; y = u y se obtendría una ecuación deprimer orden: F(x, u, u) = 0.

b) Ecuaciones en las que falta x. Son de la forma F(y,y, y) = 0. El cambio es y = u, y = y du/dy = u du/dy;la ecuación que resulta, F(y, u, udu/dy) = 0, es de primerorden.

c) Ecuaciones en las que no están presentes ni x ni y. Sonde la forma F(y, y). El cambio y = u, y = du/dx las trans-forma en ecuaciones de primer orden:

F(u, du/dx) = 0

d) Ecuaciones en las que no están presentes ni x ni y. Elcambio y = u, y = u du/dy las transforma en ecuacionesde primer orden:

F(u, du/dy) = 0

La ecuación y + y = 0 es del tipo 4.º, en las que no exis-ten ni x ni y; si se hace el cambio y = u, y = u du/dy, laecuación queda u du/dy + y = 0, que es una ecuación deprimer orden.

Separando las variables u du = y dy e integrando des-pués u2/2 = y2/2 + C1 u 2 = C2 y2, u = C2y2, y como u = dy/dx, dy/dx = C2y2, que es una ecuación de va-riables separables dy/C2y2, = dx, integrando queda:arc sen y/C2 = +C3, de donde y/C2 = sen(x, C3), luegoy = C2 sen (x + C3).

Ecuaciones diferencialeshomogéneas de segundo orden

Las ecuaciones homogéneas de segundo orden con coefi-cientes constantes son de la forma y + ay + by = 0. La so-lución general de esta ecuación depende de dos constan-tes arbitrarias. Se demuestra que si y1 e y2 son dos solu-ciones de la ecuación, cualquier combinación lineal deellas también lo es, es decir, z = C1 y1 + C2 y 2 es soluciónde la ecuación. En efecto, calculando z y z y sustituyen-do se tiene: (C1 y 1 + C2 y2) + a(C1 y1 + C2 y 2) + b (C1 y 1+ C2 y 2) = C1 (y1 + ay1 + by) + C2(y2 + ay1 + by) = C1 · 0+ C2 · 0 = 0.

Cualquier solución de esta ecuación homogénea esde la forma y = erx, donde r es una constante; luego y= rerx, y = r2 · erx.

Sustituyendo en la ecuación r2e x + arerx + berx = erx(r2 +ar + b) = 0, como erx ≠ 0, necesariamente r2 + ar + b = 0, sir1 y r2 son las soluciones distintas de esta ecuación, y1 =er1 x e y2 = er2 x son dos soluciones particulares e y = C1 er1 x

+ C2 er2 x es la solución general.Sea la ecuación y 4y + 3y = 0 de donde r2 4r + 3 = 0,

r = 4 ± 4/2; r1 = 3, r2 = 1, y = C1 e3x + C2 e x + C2 e x es lasolución general de la ecuación.

Si una ecuación característica tiene una raíz doble r0,las soluciones particulares son y1 = er 0

x e y2 = x er 0x.

Si las raíces de la ecuación característica son comple-jas, tienen que ser conjugadas α + iβ y α iβ, y como eiβx =(cos βx + isenβx), la solución general es:

y = C1e(α+iβ)x + C2e(α iβ)x = eαx · [K1 cosβx + K2 senβx]

Ecuaciones diferenciales nohomogéneas de segundo orden

Entre las ecuaciones diferenciales no homogéneas de se-gundo orden se encuentran las ecuaciones lineales concoeficiente constante. Son de la forma:

F(x, y, y, y) = 0, o también a0y + a1y + a2y + f(x) = 0

Método de variación de las constantes para resolver este tipo de ecuaciones

Si y = C1er1x + C2er2

x es la solución de la ecuación generalhomogénea asociada, se supone que las constantes son

función de x, así C1 = C1(x) y C2 = C2(x) y se les hace veri-ficar la ecuación a través del sistema:

C1(x)er1x + C2(x)er2x = 0C1(x)(er1x) + C2(x)(er2x) = f(x)

Resolviendo el sistema se obtiene C1(x) y C2

(x), quemediante integración permiten obtener C1(x) y C2(x), y lasolución general es y = C1(x) y1 + C2(x)y2, siendo y1 e y2la solución de la ecuación homogénea asociada.

La ecuación diferencial y 4y + 3y = x · e2x tiene comoecuación homogénea asociada a y 4y + 3y = 0, cuya so-lución general es y = C1e 3x + C2e x.

Sistemas de ecuaciones diferencialescon coeficientes constantes

Se llama sistema diferencial de primer orden a un siste-ma de la forma:

y 1 = f1(x1, y1, y2, yn)

y 2 = f2(x1, y1, y2, yn)

y n = fn(x1, y1, y2, yn)

Una solución de un sistema es un conjunto de n funcio-nes y 1, y2, , yn de la variable x, derivables respecto a x ycon derivadas primeras y1, y2, , yn, y que verifican lasn igualdades del sistema.

Toda ecuación diferencial de orden n, de la forma y(n) =f(x, y, y, y, , y(n-1)) se puede transformar en un sistemasin más que hacer el cambio y = y1, y = y2, , y(n-1) = yn .El sistema formado sería y1 = y2, y2 = y3, yn-1 = yn e yn =f(x, y1, y2, , yn).

Un sistema diferencial de primer orden es lineal si esde la forma yi = fi(x, y1, yn), i = 1, , n, siendo las fun-ciones fi lineales en y1, y2, , yn. Dicho sistema se escribi-rá en la forma:

yi = ai1(x) y1 + + ain(x) yn + bi (x), i = 1, , n

Cuando ai1(x), , ain(x), i = 1, n son constantes, es de-cir, ai1(x) = ai1, , ain (x) = ain, i = 1, , n, se tiene un siste-ma de n ecuaciones lineales con coeficientes constantes.

Sea el sistema lineal con coeficientes constantes:

x(t) + a1x + b1y = f1(t)y(t) + a2x + b2y = f2(t)

El método de variación de las constantes se basa en cal-cular primero la solución general del sistema homogéneoasociado:

x(t) + a1x + b1y = 0y(t) + a2x + b2y = 0

que será de la forma x = m ert e y = nert, siendo m, n y r cons-tantes, x = m r et e y = n r et ; sustituyendo en el sistemaqueda:

258 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________ Ecuaciones diferenciales 259

m r ert + a1 m ert + b1n ert = 0n r ert + a2 m ert + b2 n ert = 0

simplificando por ert:

m r + a1 m + b1 n = 0n r + a2 m + b2 n = 0

(r + a1) m + b1 n = 0a 2 m + (r + b2)n = 0

que tienen solución no nula cuando el determinante escero:

(a 1 + r) b1| a2 (r + b2) | = 0

La ecuación obtenida con el determinante es de segun-do grado. Si r1 y r2 son las soluciones, se sustituyen enel sistema y se obtienen valores para m = m1 y n = n1 ym = m2 y n = n2.

Luego las soluciones son x1 = m1 er1, y 1 = n1 er1 y x 2 =m2 er2 e y2 = n2 er2.

La solución general del sistema homogéneo es:

x = C1 m1 er1 + C 2 m2 er2y = C1 n1 er1 + C2 n2 er2

Para hallar la solución del sistema completo, se suponeque las constantes de la solución del sistema homogéneoson función de t, C1 = C1(t) y C2 = C2(t). Se buscan solu-ciones de la forma:

x = C1(t) m1 er1 + C 2 (t) m2 er2y = C1 (t) n1 er1 + C2(t) n2 er2

y efectuando la sustitución en el sistema, teniendo encuenta que x1 = m1 er1, x 2 = m2 er2, y 1 = n1 er1 e y2 = n2 er2son soluciones de las ecuaciones homogéneas, queda:

C 1 x 1 + C

2 x2 = f1(t)C

1 y 1 + C 2 y2 = f2(t)

y como el determinante:

x1 x2|y1 y2| ≠ 0

el sistema tiene solución para C 1(t) y C

2(t), que una vezintegrados darán la solución del sistema completo.

Si las soluciones de la ecuación característica del siste-ma homogéneo hubieran sido imaginarias, serían conju-gados entre sí. El sistema quedaría como:

[a (a + bi)]m + n = 0m + [(a bi) + bi]n = 0

y se prosigue de forma análoga, pero teniendo en cuentaque eai

t = cos at + i sen at.Si la solución hubiera sido doble, se buscarían solucio-

nes de la forma:

x = (m1 + n1t) ert

y = (m2 + n2t) ert


1. Hallar la familia de curvas solución de la ecuacióndiferencial y = 1.

2. Resolver la ecuación diferencial:(x + e2x) y2 y = 1 + 2e2x

3. Resolver la ecuación diferencial:y + 1/x · y = ex

4. Un cuerpo parte de reposo con un movimiento enel que la ecuación de la velocidad es V = 3t2 +5m/seg, siendo t el tiempo. Hallar la fórmula queda el espacio, y el espacio recorrido en 8 segundos.

eometría es la ciencia que estudia la forma, posi-ción y magnitudes de las líneas, superficies y vo-

lúmenes.Superficie es el límite que separa a un cuerpo del resto

del espacio, o también la separación entre dos partes con-tiguas de un cuerpo. Un volumen es la porción de espacioencerrada por diferentes superficies que interseccionanentre sí. Una línea es la intersección entre dos superficies,o bien es la separación entre dos partes contiguas de unasuperficie. Un punto es la intersección entre dos líneas ola separación entre dos partes contiguas de una línea.

Los puntos se suelen representar por letras mayúscu-las. Las líneas, por letras minúsculas o señalando dos omás de sus puntos, y las superficies, indicando las líneasque los limitan. Por ejemplo:

La líneas se dividen en rectas y curvas. Una recta es unalínea que tiene todos sus puntos en una misma direccióny constituye la distancia más corta entre dos puntos. Laslíneas curvas tienen sus puntos en diferentes direccionesy reciben algunos nombres particulares según la formaque tengan.

Las superficies se dividen en planas y curvas. Las pri-meras sólo pueden ser cortadas por una recta en un pun-to. En cambio, una superficie curva sí puede ser cortadapor una recta en más de un punto.

La recta y el plano

Las líneas rectas satisfacen las siguientes propiedades:

a) Por un punto pasan infinitas rectas.b) Entre dos puntos sólo puede existir una línea recta.c) Para determinar una recta son necesarios dos puntos.d) Existen infinitos puntos que pertenecen a una recta e

infinitos que no pertenecen a ella.e) Las líneas rectas son ilimitadas, a pesar de que se sue-

len limitar para trabajar con una parte de ellas.

A las líneas rectas limitadas por ambos extremos se lesllama segmentos, y se denotan por sus puntos límites:

segmento de una recta

Un punto de una recta la divide en dos partes, llama-das semirrectas. Éstas se representan por el punto en cues-tión y por otro cualquiera situado sobre alguna de las se-mirrectas, unidos por una flecha; por ejemplo:

→AB = semirrectas A y B

Dos puntos dividen a una recta en tres partes, siendouna de ellas un segmento:

semirrecta dividida en tres partes

A B

A B

A B

superficie curva superficie recta

línea recta

línea curva

AA

A

E

B

C

C

A B

D

B


ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

G

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Dos segmentos son iguales si al colocarlos uno encima deotro coinciden ambos extremos. Si sólo coincide un extremose dice que los segmentos son desiguales y el segmento cuyoextremo no coincidente sobresale se dice que es el mayor:

Para sumar dos segmentos, deben colocarse sobre unarecta de manera que se hagan coincidir un extremo decada segmento y los otros dos en dirección opuesta; esdecir, se deben poner en prolongación uno de otro. Porejemplo:

suma de segmentos

Dos segmentos se pueden restar, colocando uno sobreotro coincidentes en un extremo. La diferencia será la por-ción de segmento mayor que sobresalga. Por ejemplo:

resta de segmentos

La multiplicación entre segmentos no tiene sentido,pero sí se puede multiplicar un segmento por un núme-ro, obteniéndose el segmento ampliado en tantas vecescomo indique dicho número. Geométricamente, esto sepuede conseguir dibujando una recta, fijando un origeny a partir de él reproduciendo el segmento tantas vecescomo indique el número. Por ejemplo:

multiplicación de un segmento

Las propiedades que identifican a los planos y a las rec-tas son las siguientes:

a) Tres puntos determinan un plano:

b) Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano:

c) Por una recta pasan infinitos planos:

d) Dos rectas que se cortan determinan un plano:

e) Un plano contiene infinitas rectas y, por tanto, infini-tos puntos:

f) Una recta sobre un plano lo divide en dos semiplanos:

Todo punto de un plano dividido en dos semiplanospertenece a uno de dichos semiplanos o a la recta diviso-ria. Además, un segmento o bien tiene un extremo en cadasemiplano y corta a la recta de división o bien es paraleloo está contenido en dicha recta:

Los ángulos

Cuando dos rectas se cortan, forman entre ellas un án-gulo. Estos ángulos se suelen denotar con letras griegas:α, β, γ, etc.

Cuando dos segmentos forman un ángulo, éste se pue-de representar por las letras que componen los segmen-tos, escribiendo en el centro el punto de intersección, porejemplo ABC:

pA

B

l

l1

l2

l3l4

l1

l2

l

p l

A

B

C

x 3 =

A B O C

– =

A B C D E F

+ =

A B C D A D

segmentos iguales

segmentos desigualesA B C D

pues

A B C D

=

pues

A B C D

<

A B C D

__________________________________________________________________________________ Elementos de geometría plana 261

Las medidas más usuales de ángulos son los grados se-xagesimales, o grados simplemente, y los radianes. La es-cala de grados sexagesimales va desde 0º (ángulo nulo)hasta 360º (ángulo completo). La escala de radianes con-sidera el ángulo completo como 2π.

Para hacer una conversión entre grados y radianes seutiliza una regla de tres. Por ejemplo, 90º en la escala se-xagesimal corresponde a:

= radianes

, por su parte, equivale a · = 60º.

La escala de grados sexagesimales se divide en minu-tos (‘) y segundos(“). Así, 1º es igual a 60’ e igual a 3.600”.De ello se desprende que 1’ equivale a 60”.

Tipos de ángulos

Según la posición y la magnitud de los ángulos, éstosse clasifican en:

Ángulos adyacentes. Son los que tienen el vértice y unlado comunes y los otros lados están sobre una mismarecta. Por ejemplo:

Ángulos consecutivos. Tienen el vértice y un lado comunes:

Ángulo recto. Se forma un ángulo recto cuando dos án-gulos adyacentes son iguales. Por tanto, debe medir 90º(o π/4).

Todos los ángulos rectos miden lo mismo, por eso sesuele hablar de 90º como de 1 recto:

Ángulo agudo. Mide menos de 90º:

Ángulo obtuso. Mide entre 90 y 180º:

Ángulo extendido o llano. Es el ángulo que mide 180º:

Ángulos complementarios. Son los que al sumarlos re-sulta un ángulo recto:

α + β = 90º

Ángulos suplementarios. Son los que al sumarlos resul-ta un ángulo llano:

α + β = 180º

Propiedades de los ángulos

a) Si a un mismo lado de una recta y por uno de sus pun-tos se trazan otras varias rectas, la suma de los ángulossucesivos que forman todas ellas es igual a 180º:

α + β + γ + δ + ε = 180º

b) La suma de todos los ángulos consecutivos que seforman alrededor de un punto por varias rectas que con-curran en él es igual a 360º:

O

βγ

εδ

α

β

Oα

Oα

β

O

β

O

β

Oαα

O

β

Oα

β

Oα

3602π

π3

π3

π4

90º . 2π360

B

A

α

C

262 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

α + β + γ + δ + ε = 360º

c) Dadas dos rectas que se cortan en un punto, se for-marán cuatro ángulos, que, según lo dicho, suman 360º.Todos los ángulos adyacentes son suplementarios. Ade-más, los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismoy las bisectrices de los cuatro ángulos formados por lasrectas que se cortan son perpendiculares:

α = γ; β = δ; α + β = 180º; β + γ = 180º

Posiciones relativas de las rectas en el plano

En un mismo plano, dos rectas pueden: ser coinciden-tes, cuando tienen todos sus puntos en común; interse-carse, formando cuatro ángulos, o ser paralelas, si no secortan o lo hacen en el infinito.

El último caso, que se representa por l1 || l2, muestra lassiguientes propiedades:

a) Una recta puede tener infinitas paralelas.b) Por un punto fuera de una recta siempre se puede

trazar una única paralela.c) Si una recta se intersecta con otra, entonces necesa-

riamente lo hará también con todas sus paralelas.d) Si una recta corta en un cierto ángulo α a otra recta,

entonces cortará a todas sus paralelas en el mismo án-gulo α.

La última propiedad sirve para establecer una relaciónentre todos los ángulos que se forman al cortar dos para-lelas por una recta. Pero previamente conviene definir losdiferentes ángulos que se forman al cortar dos rectas cua-lesquiera por una tercera. Supóngase que las rectas l1 y l2son cortadas por una tercera, l3, llamada secante:

Entonces se forman los ángulos que se describen a con-tinuación:

Internos: los cuatro ángulos que están en el interior delas rectas l1 y l2: α ’, δ’, β y γ.

Externos: los ángulos que se encuentran en el exte-rior: α, δ, β’ y γ’.

Alternos internos: los ángulos internos que están endistinto lado de la secante y que no son adyacentes: β yδ’, α’ y γ.

Alternos externos: los ángulos externos de distinto ladode la secante no adyacentes: α y γ’, β’ y δ.

Correspondientes: son los ángulos que están al mismolado de la secante, siendo uno interno y el otro externo: αy α ’, β y β’, γ y γ’, δ y δ’.

Supongamos ahora que l1 y l2 y son paralelas. Entoncesse tendrán las siguientes relaciones:

a) Los ángulos alternos internos son iguales: α’ = γ, β = δ’.

b) Los ángulos alternos externos son iguales: α = γ’, β’ = δ.

c) Los ángulos correspondientes son iguales: α = α’, β = β’, γ = γ’, δ = δ’.

d) Los ángulos internos del mismo lado de la secanteson suplementarios: α ’ + β = 180º, γ + δ’ = 180º.

e) Los ángulos externos del mismo lado de la secanteson suplementarios: α + β’ = 180º, γ’ + δ = 180º.

l1

l2

l3

β γα δ

β’

α ’ δ’

γ’

l1

l2

l3

β’ γ’

α ’ δ’

β γα δ

O5

α l1

l3αl2α

l4α

β

δαγ

γ

δ

αα

β

ε

α

__________________________________________________________________________________ Elementos de geometría plana 263


1. ¿En qué se diferencian las líneas rectas y las líneascurvas?

2. ¿Cuántos puntos son necesarios para definir unarecta? ¿Y un plano?

3. ¿Qué son ángulos complementarios? ¿Y suple-mentarios?

4. ¿Qué elementos geométricos son los que determi-nan un plano?

Conceptos generales

Se llama polígono a la porción de superficie cerrada, con-finada por rectas que se cortan formando segmentos uni-dos por un extremo:

Los segmentos se llaman lados del polígono, cuyo perí-metro es la suma de todos los lados. Los puntos de uniónson los llamados vértices del polígono. Los ángulos del po-lígono son formados por cada dos lados unidos en un vér-tice. Las diagonales son los segmentos que unen dos vérti-ces no consecutivos. Los ángulos que se forman en cadavértice entre un lado y la prolongación del otro se dicenexternos:

Un polígono tiene tantos lados y tantos ángulos comovértices. Si tiene n lados entonces tendrá:

n (n 3) diagonales2

La suma de los ángulos de un polígono de n lados vie-ne dada por:

S = (n 2) · 180º

y la suma de los ángulos exteriores de todo polígono esigual a 360º.

Los lados se denotan con letras minúsculas (a, b, c, ...);los vértices, con letras mayúsculas (A, B, C, ...) y los án-

gulos, con letras griegas (α, β, γ, ...) o también con la letradel vértice.

Los polígonos pueden ser convexos o cóncavos. Un polí-gono es convexo si al prolongar cualquiera de sus lados,la línea queda siempre fuera del polígono. En caso con-trario, es decir, cuando la prolongación de uno de sus la-dos corta a otro lado cualquiera, es cóncavo:

El área de un polígono es la porción de plano que cu-bre su figura.

Un polígono se llama equilátero si todos sus lados soniguales; equiángulo, si lo son todos sus ángulos, y regular,si es equilátero y equiángulo. Los polígonos que no cum-plen estas condiciones se llaman irregulares.

Los polígonos regulares de n lados tienen diversas pro-piedades particulares. Por ejemplo, se puede determinarel valor de sus ángulos, ya que todos ellos son iguales, envirtud de la expresión:

α = (n 2) · 180º = 180º 360n n

Los ángulos externos, β, por su parte, se miden todosmediante la expresión:

b = 360ºn

El perímetro de un polígono regular viene dado porP = n · a, donde a es la longitud de cada lado.

Además, las bisectrices de todos los ángulos de un po-lígono regular concurren en un mismo punto, llamadocentro del polígono. Las rectas que unen el centro con losvértices se denominan radios. Las rectas que unen el cen-

polígono cóncavo polígono convexo

elementos deun polígono

A CB

D

E

polígonos


GEOMETRÍA POLIGONAL

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

tro con el punto medio de cada lado se llaman apotemas, ycortan a los lados en ángulo recto. Por último, los ángu-los formados entre cada dos radios consecutivos son losdenominados ángulos en el centro.

Clases de polígonos

En general, dos polígonos cualesquiera son iguales si sepueden superponer todos los vértices de forma que coin-ciden. Dos polígonos se dicen equivalentes si tienen elmismo área, pero no coinciden por tener distinta forma.

Para formar un polígono se requieren por lo menos treslados, si bien no existe un número máximo:

En general, el área de un polígono regular convexo esigual a la mitad del producto de la longitud del períme-tro por la apotema. Así, por ejemplo, el área de un ico-ságono regular de lado igual a 8 unidades y apotema 3 mide:

A = 1 8 · 20 · 3 = 2402

Triángulos

Se llama triángulo a los polígonos de tres lados. Se suelenrepresentar por las tres letras de sus vértices precedidaspor un triángulo pequeño, por ejemplo ∆ABC. Sus ladosse expresan con las minúsculas de las letras de los vérti-ces opuestos:

Una propiedad importante de los triángulos es que lasuma de sus ángulos internos es siempre 180º.

Los triángulos pueden ser equiláteros, si tienen todossus lados iguales; isósceles, si sólo dos de sus lados soniguales, y escalenos, si todos sus lados son diferentes:

Según los ángulos, los triángulos se clasifican en acu-tángulos, si tienen tres ángulos agudos; obtusángulos, siposeen un ángulo obtuso, y rectángulos, si tienen un án-gulo recto:

Elementos de un triángulo

Alturas. Son las perpendiculares trazadas desde losvértices a los lados opuestos. El punto de intersección delas tres alturas se llama ortocentro:

Mediatrices. Son las perpendiculares trazadas desde elpunto medio de los lados. El punto de intersección de lastres mediatrices se llama circuncentro:

Medianas. Son los segmentos que van desde los vérti-ces al punto medio de los lados opuestos. El punto de in-tersección de las tres medianas se llama baricentro:

Bisectrices. Son las líneas rectas que dividen por la mi-

medianas deun triángulo

C

A B

mediatrices deun triángulo

C

A B

alturas deun triángulo

C

A B

acutángulo obtusángulo rectángulo

clases de triángulos según sus ángulos

equilátero isósceles escaleno

clases de triángulos

triángulo

b a

c

C

A B

__________________________________________________________________________________________ Geometría poligonal 265

N.º deNombre

N.º de Suma de suslados diagonales ángulos

3 triángulo 0 180°4 cuadrilátero 2 360°5 pentágono 5 540°6 hexágono 9 720°7 heptágono 14 900°8 octógono 20 1.080°9 nonágono 27 1.260°

10 decágono 35 1.440°12 dodecágono 54 1.800°15 pentadecágono 90 2.340°20 icoságono 170 3.240°

Tabla de polígonos

tad a cada uno de los tres ángulos del triángulo y su pun-to de intersección se llama incentro:

Área de un triángulo

El área de un triángulo viene dada por la expresión:

A = base · altura2

Como alternativa, se puede aplicar también la siguien-te fórmula:

A = s (s a) (s b) (s c)

donde:

s = a + b + c2

esto es, el semiperímetro.Así, por ejemplo, el perímetro del triángulo isósceles

de base 8 y lados iguales todos ellos a 5 es 8 + 5 + 5 = 18;por tanto, su área es:

A = 9 (9 8) (9 5) (9 5) = 154 = 12,41

Congruencia de triángulos

Se dice que dos triángulos son iguales o congruentes(∆ABC ∆CDE) si, al superponerlos, todos sus vérticescoinciden. En dos triángulos congruentes, los lados y án-gulos iguales, respectivamente, se llaman homólogos.

Para comprobar que dos triángulos son congruentes noes necesario verificar que coinciden los tres lados y lostres ángulos de ambos. Supongamos que tenemos los si-guientes triángulos:

Para que sean congruentes, basta con que se verifiquealguno de los siguientes casos:

Caso 1. Tienen dos lados iguales, respectivamente, y elángulo comprendido entre ellos es también igual:

a = ab = b → ∆ABC ∆ABC

γ = γ Caso 2. Tienen los tres lados iguales, respectivamente:

a = ab = b → ∆ABC ∆ABCc = c

Caso 3. Tienen dos lados iguales, respectivamente, eigual ángulo opuesto al mayor de estos lados:

a = ab = b → ∆ABC ∆ABCa > b

α = α

Semejanza de triángulos

Dos triángulos se dicen semejantes (∆ABC ∆ABC) sitienen sus ángulos iguales y los lados proporcionales:

α = αβ = βγ = γ

Al igual que para la congruencia, tampoco es nece-sario comprobar todas las proporciones e igualdadespara demostrar la semejanza de triángulos. Suponga-mos que tenemos dos triángulos de vértices ABC yABC, respectivamente, y ángulos α β γ y α βγ. En-tonces, ∆ABC ∆ABC si se verifica alguno de los ca-sos siguientes:

Caso 1. Tienen dos ángulos iguales, respectivamente:

α = αβ = β → ∆ABC ∆ABC

γ = γ Caso 2. Tienen un ángulo igual y los lados que lo for-

man son proporcionales:

α = αc = b → ∆ABC ∆ABCc b

Caso 3. Tienen todos los lados proporcionales:

→ ∆ABC ∆ABCa = b = c a b c

γ

α βA B

C

b a

cA' B'

C'

b' a'

c'

γ'

α' β'

a = b = c a b c

γ

α βA B

C

b a

c

γ'

α' β'A' B'

C'

b' a'

c'

bisectrices deun triángulo

γ/2

α/2 β/2

266 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Por ejemplo, los triángulos de lados 2, 4, 6 y 8, 16, 24son semejantes, ya que:

Propiedades de los triángulos rectángulos

Este tipo de triángulos se trata en forma separada debidoa lo singular de sus propiedades. En un triángulo rectán-gulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman cate-tos y el lado opuesto se conoce por hipotenusa:

a) Los dos ángulos agudos son complementarios.b) El punto equidistante de los tres vértices es el punto

medio de la hipotenusa.c) Las tres alturas se cortan en el vértice del ángulo recto.d) Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen

iguales: los catetos, un lado cualquiera y un ángulo agu-do o la hipotenusa y un cateto.

e) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienenun ángulo agudo igual, los catetos proporcionales o la hi-potenusa y un cateto proporcionales.

f) El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitaddel producto de los catetos:

A = b · c2

Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, elcuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cua-drados de los catetos:

a2 = b2 + c2

Por ejemplo, en el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4,la hipotenusa vale:

a = 9+16 = 25 = 5

Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Se pue-den distinguir los siguientes tipos de cuadriláteros:

Trapecios: cuadriláteros con dos de los cuatro lados pa-ralelos.

Paralelogramos: cuadriláteros con lados paralelos dosa dos.

Rombos: paralelogramos con dos lados contiguos iguales.Trapezoides: cuadriláteros cuyos lados no son iguales

ni paralelos.

Casos particulares de los paralelogramos son los rec-tángulos. Éstos tienen todos los ángulos rectos. Y si ade-más tienen todos los lados iguales, se llaman cuadrados.

Paralelogramos

Algunas propiedades de los paralelogramos son las si-guientes:

a) Los lados opuestos son iguales.b) Los ángulos que tienen un lado común son suple-

mentarios y, por tanto, los ángulos opuestos son iguales.c) Las diagonales se cortan en dos partes iguales.

En un rombo, además de las propiedades de los para-lelogramos, se cumple que las diagonales se cortan en án-gulo recto y son bisectrices de los ángulos cuyos vérticesunen.

El rectángulo, además de las propiedades del paralelo-gramo, tiene sus diagonales iguales.

En cuanto al cuadrado, como es a la vez rectángulo yrombo, sus diagonales son iguales, perpendiculares y bi-sectrices de los ángulos que unen, y se cortan en partesiguales.

Trapecios

En los trapecios, la recta que une los puntos medios delos lados no paralelos es paralela a las bases. El segmentocomprendido entre estos lados es igual a la semisuma delas bases, y el segmento que forman las diagonales al cor-

trapecio trapezoiderombo

clases de cuadriláteros

paralelogramo rectángulo cuadrado

triángulo rectángulo

γ

α βA

C

b

Bc

a

a = b = c a b c

__________________________________________________________________________________________ Geometría poligonal 267

268 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

tar a esta recta es igual a la semidiferencia de la mismasbases. En términos matemáticos:

a) EF AB DC.

b) EF = AB + DC .2

c) GH = AB DC .2

Área de los cuadriláteros

En virtud de la clasificación de los cuadriláteros el árease puede calcular de diversas formas.

En un paralelogramo, si se traza una diagonal podrán ob-servarse dos triángulos congruentes que tienen la mismaaltura. Entonces, el área del paralelogramo es el doble dela de cada uno de esos triángulos:

A = base · altura

Por ejemplo, el área de un paralelogramo rectángulode lados 3 y 4 será: 3 · 4 = 12:

En un rombo, el área se puede calcular de idéntica ma-nera que en el paralelogramo. Se obtiene una fórmula al-ternativa si se observa que al trazar las diagonales d1 y d2(d1 > d2) se forman dos triángulos rectángulos, con áreasiguales a la mitad del producto de los catetos. Por tanto,el área del rombo es:

A = d1 · d22

En un trapecio, se puede calcular el área colocando otrotrapecio imaginario a continuación y en posición inverti-da, de forma tal que se forme un paralelogramo:

El área de este último será, como se ha visto:

A = base · altura

En este caso: A = AF · h, la cual constituye justo el dobleque la del trapecio. Como AF = B + b, el área del trapecioserá:

A = B + b · h2

Es decir, el área de un trapecio es igual a la semisumade los lados paralelos (o de la base mayor y la base me-nor) por la altura del trapecio.

Por su parte, no existe una forma general para calcularel área de un trapezoide. Como norma, conviene dividirsu área en porciones que sean triángulos y rectángulos,al igual que se hizo con el trapecio, y sumarlas:

C

trapezoide BA

D

C

b

trapecio

FA

D

B C

h

E B

h

b

rombo

A

D

d2C

B

d1

C

4

rectángulo

BA

D

3


1. ¿Cuánto suman los ángulos de un icoságono?

2. ¿Cuál es el área de un triángulo de lados de longi-tudes 6, 5 y 3 cm?

3. Calcular el área de un rombo sabiendo que susdiagonales son d1 = 5 mm, d2 = 3 mm.

4. Calcular el área del trapecio de la figura:

10 cm

4 cm

6 cm

La circunferencia

Se llama circunferencia a una curva cerrada cuyos pun-tos equidistan de un punto interior, que se denominacentro:

A toda recta que une el centro con cualquier punto dela circunferencia se le llama radio. Igual nombre recibe ladistancia del centro a la circunferencia.

Elementos de una circunferencia

Arco es la partición de la circunferencia existente entredos radios cualesquiera. Se representa por los puntosen la circunferencia que limitan dicho arco, por ejem-plo, AB:

Secante es toda recta que corta a la circunferencia:

Cuerda es la parte de la secante que está dentro de lacircunferencia:

Diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la cir-cunferencia. Mide dos radios y es la mayor de todas lascuerdas. Las dos partes iguales en que queda dividida lacircunferencia por un diámetro reciben el nombre de se-micircunferencias:

Tangente es la recta que sólo tiene un punto en comúncon la circunferencia. Este punto se le conoce por puntode tangencia:

Normal es la recta perpendicular a la tangente en elpunto de tangencia. Ésta siempre pasa por el centro de lacircunferencia:

Círculo es el plano que encierra la circunferencia:

normal

O P

tangente a unacircunferencia

PO

diámetro

O

cuerda

O

secante

O

arco de circunferencia

OB

A

circunferencia

O


GEOMETRÍA CIRCULAR

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Sector circular es la parte del círculo comprendida en-tre dos radios:

Segmento circular es la parte del círculo que encierraun arco y la cuerda que une sus extremos:

Semicírculos son las dos porciones en que queda divi-dido un círculo por un diámetro:

Propiedades de las circunferenciasa) Dos circunferencias y dos círculos son iguales si tie-

nen igual radio.b) Dos arcos del mismo radio son iguales si se pueden

superponer de modo que coincidan sus extremos.c) Por tres puntos no colineales siempre se puede tra-

zar una única circunferencia.d) En una misma circunferencia, los arcos iguales son

subtendidos por cuerdas iguales; de los desiguales, al ma-yor le corresponde cuerda mayor:

e) En un mismo círculo, las cuerdas iguales equidistandel centro; de las cuerdas desiguales, la mayor dista me-nos del centro que las otras:

f) El diámetro perpendicular a una cuerda divide a éstay a los dos arcos que subtiende en dos partes iguales:

g) Por un punto de una circunferencia puede trazarsesiempre una única tangente. Además, esa tangente es pa-ralela a todas las cuerdas, según las cuales el diámetro quepasa por el punto de tangencia divide en partes iguales:

h) Dos rectas forman en una circunferencia arcosiguales:

Posiciones relativas de dos circunferencias

Dos circunferencias pueden no tener puntos en común.En tal caso estarán o bien separadas (exteriores) o bieninscritas una dentro de otra (interiores). Si dos circunfe-rencias interiores tienen el mismo centro, se llaman con-céntricas, y la parte comprendida entre las dos líneas es lacorona o anillo circular:

A B

A

C

B

O O O

AB = AB AC = AC AC = BC

O

A

D

B

CAC = CBAD < DB

OC ⊥ AB →O

AB = CD → d(AB, O) = d(CD, O)AC < EF → d(AB, O) > d(EF, O)

C

B

E A

FD

O

A

C

B

AB = BC → AB = BCAC > AB → AC > ABO

semicírculos

O

segmento circular

O

sector circular

O

círculo

O

270 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Dos circunferencias pueden tener un punto en común,llamándose en tal caso circunferencias tangentes, y tambiénpueden ser exteriores o interiores:

Dos circunferencias pueden tener dos puntos en co-mún. En este caso se llaman secantes:

Si dos circunferencias tienen más de dos puntos en co-mún serán una misma, pues por tres puntos sólo puedepasar una circunferencia.

En todas las posiciones, la recta que une los centros delas circunferencias se llama línea de los centros. En dos cir-cunferencias secantes, la línea de los centros corta per-pendicularmente a la cuerda común en su punto medio:

OO’ ⊥ AB y BC = AC

En dos circunferencias tangentes, la línea de los centrospasa por el punto de tangencia y corta perpendicularmen-te en este punto a la tangente común de las dos curvas:

Respecto a los radios, se dan estas propiedades:

a) En dos circunferencias exteriores, la suma de los ra-dios es menor que la línea de los centros, es decir:

OO’ > r + r’

b) En dos circunferencias tangentes exteriores, la sumade los radios es igual a la línea de los centros:

OO’ = r + r’

c) En dos circunferencias secantes, la suma de los ra-dios es mayor que la línea de los centros y la resta de losradios es menor:

OO’ > r – r’ y OO’ < r + r’

d) En dos circunferencias tangentes interiores, la dife-rencia de los radios es igual a la línea de los centros:

OO’ = r – r’

e) En dos circunferencias interiores, la diferencia de losradios es mayor que la línea de los centros:

OO’ > r – r’

f) En dos circunferencias concéntricas no existe línea delos centros:

OO’ = 0

Ángulos en el círculo

Todo ángulo mide lo mismo que el arco comprendido en-tre sus lados y descrito con un radio trazado desde el vér-tice como centro. Se requiere que se tome como unidadde ángulo aquella que tenga el correspondiente arco deigual radio tomado como unidad de arcos.

Se pueden definir los siguientes ángulos respecto a uncírculo:

Ángulo en el centro, formado por dos radios:

ángulo en el centro

O

O'O

A

B

O'O

circunferencias secantes

O'O

circunferencias tangentes

O O' O O'

circunferencias exteriores

circunferencias interiores

O O'

O O' O

______________________________________________________________________________________________ Geometría circular 271

Ángulo inscrito, el vértice sobre la circunferencia:

Ángulo con el vértice en algún punto dentro del círculo:

Ángulo con el vértice fuera del círculo. En este caso, los la-dos pueden ser secantes de la circunferencia o bien tenerun lado tangente o los dos. Este último es el ángulo cir-cunscrito:

Propiedades de los ángulos de un círculo

a) El arco que comprenden los lados de un ángulo en elcentro es la medida del ángulo (α). Todo ángulo inscritoen una circunferencia mide la mitad que el ángulo del cen-tro que comprende el mismo arco (β):

α = β2

b) Todos los ángulos inscritos que comprenden un mis-mo arco son iguales. Dos ángulos inscritos en cada unode los arcos que determinan una cuerda son suplemen-tarios:

c) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es unángulo recto:

d) Los ángulos formados por dos secantes que se cor-tan en un punto del círculo miden igual que la semisumade los arcos comprendidos por sus lados y por sus pro-longaciones:

ACB = AB’B + B’AA’ = 1 AB +1 A’B’

2 2

e) Los ángulos formados por dos secantes que se cor-tan en un punto fuera del círculo miden igual que la se-midiferencia entre el mayor y el menor de los arcos com-prendidos por sus lados:

ACB = AB’B – A’AB’ = 1 AB – 1 A’B’2 2

Longitud de una circunferencia y área de uncírculo

Supongamos que se tiene un polígono regular de n lados.Cada lado del polígono es una cuerda de la circunferen-

B'

A'A

B

C

O

B' A'

C

ABO

O

α + β = 180º

β

α

O O

β

α

O

ángulo con vértice fuera del círculo

O O O

ángulo con vértice en elcírculo

O

ángulo inscrito

O

272 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

cia. Si aumentamos n, dichas cuerdas serán cada vez máspequeñas y estarán más cerca de la circunferencia. En ellímite, cuando n es muy grande (se dice “cuando n tien-de al infinito”, n → ) coincidirán el polígono y la circun-ferencia. Por tanto, la circunferencia se puede tomar comoun caso límite de un polígono regular.

Por las propiedades de los polígonos regulares, puede con-cluirse que el área del círculo que comprende la circunferen-cia es igual a la mitad de la apotema (que, en este caso, es elradio) multiplicada por la longitud de la circunferencia.

Como la longitud del arco es igual al ángulo cuyos ra-dios lo forman, en una semicircunferencia el arco medirá π(se suele expresar la longitud de arco en radianes), supo-niendo que el radio de la circunferencia es la unidad. Siel radio mide r, la longitud es l = 2πr; π= 3,1416.

De lo anterior puede concluirse que el área de un círcu-lo es igual a la mitad del producto del radio por la longi-tud de la circunferencia:

A = r · 2πr = π · r2

2

Por otra parte, para obtener la longitud de un arco dela circunferencia, sabiendo que la amplitud de arco es a,basta con usar una regla de tres:

2πr = longitud de 360º2πr = longitud de un arco de 1º360º

Por tanto, la longitud de un arco de aº es igual a:

l = 2 · π · r · a = π · r · a360º 180º

El área de un sector circular es igual a la mitad del pro-ducto de su longitud de arco por el radio:

A = lr2

Si un arco mide aº, entonces:

A = A aº360º

donde A es el área de la circunferencia.Finalmente, el área de una corona circular se obtiene

como la diferencia de las áreas de los círculos circunscritos:

A = π(r’2 – r2)

área de una coronacircular

r'

r

______________________________________________________________________________________________ Geometría circular 273


1. ¿En qué se diferencian la cuerda y la secante de unacircunferencia?

2. Calcular el área de un sector circular de 50º de unacircunferencia de radio 6 cm.

3. Calcular el área de una corona circular compren-dida entre dos circunferencias concéntricas conradios de 3 y 5 cm.

Conceptos generales

Un cuerpo geométrico o volumen es un espacio limitadopor superficies. Estas superficies pueden ser curvas,como en la esfera; planas y curvas, como en el cono y elcilindro, o planas, para formar los poliedros.

Las caras de un poliedro están constituidas por cadauna de sus superficies y están limitadas por las aristas, cu-yos extremos son los vértices. En cada arista se forma undiedro, o figura formada por dos planos, y en cada vérti-ce, un ángulo poliedro:

Un ángulo poliedro es, en general, la unión de variosplanos que sólo tienen un punto común. Se llama diago-nal del poliedro a la recta que une dos vértices y que noes una arista ni diagonal de ninguna de las caras. Un vér-tice y una arista pueden formar, además de las caras, elplano diagonal:

El volumen de un cuerpo es la medida del espacio queocupa. Si al prolongar una cara indefinidamente, el po-liedro queda siempre al mismo lado, se llama poliedro con-vexo. Es cóncavo en caso contrario.

Además, los poliedros pueden ser regulares cuando to-

das sus caras son polígonos regulares y sus ángulos po-liedros son iguales, e irregulares, en caso contrario.

Los poliedros que tienen cuatro, cinco, seis, siete, ocho,doce y veinte caras se denominan tetraedro, pentaedro,hexaedro, heptaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, respec-tivamente.

Todos los poliedros tienen un número par de caras queposeen un número impar de lados; es decir, no existe nin-gún poliedro que tenga un número impar de caras for-madas por triángulos, pentágonos, heptágonos, etc.

Por otra parte, no existen más que cinco poliedros re-gulares convexos: tetraedro, hexaedro, octaedro, dode-caedro e icosaedro.

En todo poliedro regular convexo, la suma de las carasy los vértices es igual al número de aristas más 2:

C + V = A + 2

Dentro de las clasificaciones anteriores existen polie-dros que reciben además nombres particulares, por su im-portancia y usos en las diferentes disciplinas.

Pirámide

Se llama pirámide a todo poliedro en que una de sus caras esun polígono cuyos lados sirven de base a otros tantos trián-gulos con un vértice común exterior al plano del polígono:

El polígono se llama base, las caras triangulares son lascaras laterales, el vértice común de éstas es el vértice de lapirámide y la altura es la perpendicular trazada desde elvértice a la base.

pirámideplano diagonal

diedro


CUERPOS GEOMÉTRICOS

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

__________________________________________________________________________________________ Cuerpos geométricos 275

El área lateral de una pirámide es la formada por todassus caras laterales. El área total es la lateral más el área delpolígono de la base.

Una pirámide se llama triangular, o tetraedro, si su basees un triángulo; cuadrangular, si es un cuadrilátero; pen-tagonal, si es un pentágono, etc. En un tetraedro, la basees cualquiera de sus caras.

Una pirámide es regular si el polígono de la base es re-gular y la altura coincide con el centro de dicho polígo-no. Las aristas laterales son todas iguales y las caras, portanto, son triángulos isósceles. La altura de cualquiera deestos triángulos es la apotema de la pirámide.

Un tetraedro es la más sencilla de las pirámides y el po-liedro de menos número de caras, dado que con menosde cuatro caras no se puede cerrar un espacio. Un tetrae-dro no admite rectas ni planos diagonales:

En todo tetraedro se verifica que los planos bisectoresde los seis diedros se cortan en un punto que equidista delas cuatro caras.

Si por los puntos medios de las aristas de un tetraedrose trazan planos perpendiculares a las respectivas aris-tas, estos planos se cortan en un punto que equidista delos cuatro vértices.

En todo tetraedro, las rectas que unen cada vértice conel punto de intersección de las medianas de la cara opues-ta se cortan en un mismo punto. Este punto se encuentraen dichas rectas a una distancia igual a la cuarta parte des-de la cara.

Supongamos que se corta una pirámide cualquiera porun plano paralelo al de la base. Entonces, la sección es unpolígono semejante al de la base. Estos polígonos tienensus áreas proporcionales a los cuadrados de sus distan-cias al vértice. Además, las aristas laterales, la altura y de-más rectas trazadas desde el vértice hasta la base quedancortadas en partes proporcionales.

Se llama tronco de la pirámide a la porción que queda com-prendida entre la base y la sección plana de la pirámide.

Cuando la pirámide es regular, el polígono de la sec-ción es también regular. Además, las caras laterales detodo tronco de pirámide regular de bases paralelas sontrapecios isósceles iguales:

Áreas y volumen. El volumen de una pirámide es igual altercio del producto del área de la base por su altura:

V = 1 Abase · h3

El volumen de un tronco de pirámide es igual a un terciodel producto de su altura por la suma de las áreas de susbases más una media geométrica de ellas:

V = 1 h · (A1 + A2 + A1A2)3

donde A1 y A2 son las áreas de las dos bases.Por otra parte, el área de la superficie lateral de una pirá-

mide es la suma de las áreas de los triángulos que formansus caras. Si la pirámide es regular, el área es igual a la mi-tad del producto del perímetro p de la base por la apo-tema a:

Al = p · a2

El área lateral de un tronco de pirámide regular es igual alproducto de la semisuma de los perímetros de las basespor la apotema.

El área total de una pirámide regular cuya base tiene apo-tema a’ viene dada por:

Al = p · (a + a’)2

El área total de un tronco de pirámide regular de bases pa-ralelas es igual a:

Al = h’ · p + p’2

donde h’ es la altura de los trapecios, y p y p’ son los perí-metros de las bases, respectivamente.

Por ejemplo, el volumen de la pirámide de altura 5 ycuya base es un cuadrado de lado 2 es:

V = 1 · 22 · 5 = 102

Si se corta la pirámide con un plano paralelo al de labase a una altura 3, el área de los cuadrados de la base y

2 2

h = 5

tronco piramidal

tetraedro

de la sección son proporcionales a las distancias al vérti-ce al cuadrado:

Asecc = 2 2

Abase( 5 )

Por tanto, el área del cuadrado de la sección se calculamediante la fórmula:

Asecc = 4 · 4 = 0,6425

lo que significa que este cuadrado tiene de lado 0,8. Así,el volumen del tronco resultante es:

V = 1 3 · (4 + 0,64 + 4·0,63) = 6,793

Para calcular el área lateral se necesita la apotema, quese obtiene del triángulo rectángulo de catetos 2 y 5:

a = 4+25 = 5,39

Entonces, el área lateral viene dada por:

Al = 4 · 5,39 = 21,54

y su área total:

Al = Al + Abase = 21,54 + 4 = 25,54

Para calcular el área total del tronco de pirámide se cal-cula la apotema de la pirámide que se ha formado sobrela sección a partir del triángulo rectángulo de catetos 2 y 2:a’ = 8 = 2,83, y se resta de la apotema de la pirámide to-tal: 5,39 – 2,83 = 2,56, con lo que se obtiene la altura de lostrapecios laterales del tronco. Entonces, el área total es:

Al = 2,56 · 4 (2 + 0,8) = 14,342

Prisma

Se llama prisma a un cuerpo en el que dos de sus caras sonpolígonos iguales con lados que se corresponden, respec-tivamente paralelos, y las restantes caras formadas porlos planos que determinan cada par de lados paralelos.Estas últimas caras, que son paralelogramos, se denomi-nan caras laterales, y los dos polígonos anteriores son lasbases. La distancia entre éstas es la altura del prisma:

Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentago-nal, respectivamente, etc., según sus bases sean triángu-los, cuadriláteros, pentágonos, etc. Si las bases son para-lelogramos, el prisma se llama paralelepípedo.

Las secciones creadas en un prisma por planos parale-los son polígonos iguales. Se dice que el prisma es rectosi las aristas laterales de un prisma son perpendiculares alos planos de las bases. En este caso, las aristas son igua-les a la altura. Si además las bases son polígonos regula-res, el prisma se dice también regular.

Todo prisma oblicuo es equivalente a un prisma rectoque tiene por base la sección del oblicuo y por altura laarista lateral del mismo.

Por su parte, los paralelepípedos en que las bases y lascaras laterales son rectángulos se llaman paralelepípedosrectángulos. Si las bases y las caras son cuadrados, el pris-ma se llama cubo:

En todo paralelepípedo, las caras opuestas son igualesy paralelas. Además, las diagonales se cortan en un mis-mo punto y en partes iguales.

paralelepípedo

cubo

prisma

a

2

5

3

276 MATEMÁTICAS ____________________________________________________________________________________________

En un paralelepípedo rectángulo, el cuadrado de la dia-gonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres aris-tas que concurre en un mismo vértice.

En el paralelepípedo de la figura, por ejemplo, de la-dos 2, 2 y 3, sus diagonales miden 4 + 4+ 9 = 4,12:

Áreas y volumen. El área de la superficie lateral de un pris-ma es igual al producto de su arista lateral por el perímetrode la sección recta. Si el prisma es recto, su área lateral seráigual al producto del perímetro de la base por la altura:

Al = p · h

El área lateral del paralelepípedo rectángulo del ejem-plo anterior es 3 · 4 · 2 = 24.

El volumen de un prisma es igual al producto del área dela base por su altura:

V = Ab · h

Si el prisma es un paralelepípedo, su volumen será elproducto de sus tres dimensiones, es decir, de las tres aris-tas que concurren en un mismo vértice. Si el prisma es uncubo, su volumen es el cubo de la arista: V = a3.

En la misma figura del ejemplo anterior, el volumenviene dado por 3 · 2 · 2 = 12.

Cuerpos de revolución

Se llama cuerpos de revolución a los engendrados por la ro-tación de una línea alrededor de una recta fija. El cuerpode revolución es la porción de espacio limitado por unasuperficie de revolución cerrada.

Las superficies de revolución pueden ser cilíndricas,cónicas o esféricas. Cuando una recta gira alrededor deotra a la cual se mantiene siempre paralela, se genera uncilindro. Si la recta corta oblicuamente al eje de rotación yforma con él un ángulo constante, la superficie generadaes un cono. Por último, si una semicircunferencia gira entorno a su diámetro, se genera una esfera.

Se llama cilindro de revolución al espacio limitado poruna superficie cilíndrica de revolución y por dos planosperpendiculares. El cono de revolución es el sólido limi-tado por una superficie cónica de revolución y por un pla-no perpendicular al eje de rotación. La esfera es el cuerpode revolución limitado por una superficie esférica:

El cilindro

En un cilindro, los círculos que lo limitan se llaman bases,y el eje de rotación es igual a su altura. Se llama generatriza cualquier recta trazada perpendicularmente entre lasbases y también mide igual que su altura:

Las secciones rectas de un cilindro son círculos, y sussecciones meridianas, rectángulos.

El plano tangente a la superficie lateral de un cilindroes el que sólo contiene una de las generatrices de esta su-perficie:

Áreas y volumen. El área lateral de un cilindro es igual alproducto de su altura por la longitud de la circunferenciade su base:

Al = 2 · π · r · h

donde r es el radio de la circunferencia de su base, y h, sualtura.

El área total de un cilindro es igual a su área lateral másla suma de las áreas de sus bases:

Al = 2 · π · r · h + 2π · r2 = 2 · π · r · (h + r)

El volumen de un cilindro es igual al producto del áreade la base por su altura:

V = A · h = π · r2 · h

plano tangente lateralde un cilindro

h

cilindro

h

r

3 2

2


Así, por ejemplo, el área lateral de un cilindro con unaaltura 4 y cuyas circunferencias de las bases tienen un ra-dio 2 es:

Al = 2 · π · 2 · 4 = 16π

Y su área total es:

Al = 2 · π · 2 · (4 + 2) = 24π

Además, dicho cilindro tiene volumen:

V = π · 4 · 4 = 16π

Cono

Un cono es una superficie de revolución engendrada porun triángulo rectángulo al girar en torno a uno de suscatetos.

El vértice de la superficie cónica es el vértice del cono, elcírculo que lo limita es su base, y la recta que une el vérti-ce con el centro de la circunferencia es el eje del cono. Unageneratriz del cono es cualquier recta trazada desde elvértice hasta el círculo sobre la superficie cónica:

Las secciones rectas de un cono son circunferencias deradio menor que la base. Las secciones meridionales sontriángulos isósceles, con alturas iguales a la del cono.

En todo cono de revolución cortado por un plano pa-ralelo a su base se verifica que las circunferencias de lasección y de la base son proporcionales a sus distanciasrespectivas al vértice. Además, las áreas de la sección yde la base son también proporcionales a sus distancias alvértice:

Un plano tangente a la superficie lateral de un cono esel plano que sólo contiene a una generatriz de esta super-ficie.

Áreas y volumen. El área lateral de un cono de revoluciónes igual a la mitad de su generatriz multiplicado por lacircunferencia de la base:

Al = 1 · g · π · r3

donde r es el radio de la base y g es la longitud de la ge-neratriz.

El área total de un cono viene dada por:

Al = π · r · g + π · r2 = π · r · (g + r)

El volumen de un cono de revolución es igual al tercio delproducto del área de la base por su altura:

V = 1 · π · r2 · h3

Por ejemplo, en un cono de altura 4 y cuya base tieneradio 3, la generatriz mide 5 (usando el teorema de Pitá-goras). Entonces:

Al = 1 · 5π · 3 = 7,5π2

Al = π · 3 · (5 + 3) = 24πV = 1 · π · 9 · 4 = 12π

3

Esfera

La superficie esférica es el lugar geométrico de los pun-tos del espacio que equidistan de un punto dado. Todarecta comprendida entre el centro de la esfera y un puntode la superficie esférica se llama radio de la esfera. Por suparte, las rectas que determinan dos puntos de la super-ficie y pasan por el centro se llaman diámetros. Todos losradios de la esfera son iguales entre sí y todos los diáme-tros miden el doble que cualquier radio:

Zona esférica es la porción de superficie esférica engen-drada por un arco de círculo menor que una semicircunfe-rencia, al girar alrededor del diámetro de ésta. Las zonasde una sola base reciben el nombre de casquetes esféricos:

zona esférica casquete esférico

rh

rh

esfera

r

cono truncado

h

cono

h

r

g

278 MATEMÁTICAS ____________________________________________________________________________________________


Sector esférico es el sólido que se genera por un sectorcircular al girar en torno a un eje que pasa por el centrode la esfera y que es externo a su superficie. La zona en-gendrada por el arco del sector circular será la base delsector esférico.

El huso esférico es la porción de superficie esférica limi-tada por dos semicircunferencias máximas que tienen sudiámetro común:

Toda sección plana de una esfera es un círculo cuyo cen-tro es la proyección del centro de la esfera sobre el planosecante y su radio es menor o igual al de la esfera.

El plano tangente a una superficie esférica es el planoque la toca en un solo punto:

Áreas y volumen. El área de la superficie esférica es igualal producto de su diámetro por la circunferencia máxima:

A = 2 · r · 2 · π · r = 4πr2

El área de una zona esférica viene dada por el productode su altura por la circunferencia máxima:

A = 2 · π · r · h

El área de un casquete esférico también se puede calcularcomo el área del círculo cuyo radio es la cuerda del arcogenerador de dicho casquete.

El área de un huso esférico es igual a la cuarta parte delproducto del área total de la esfera por la medida α del arcodel huso. En términos de ángulo, esta área se puede es-cribir como:

A = 1 · Aesf · α4 360º

El volumen de una esfera es igual al tercio del productode su radio por el área de su superficie:

V = 1 · 4 · πr3 = 4 πr3

3 3

Por ejemplo, dada una esfera de radio 3, el área de susuperficie mide:

A = 4π · 9 = 36π

Si formamos una zona de altura 1, su área es:

A = 2 · π · 3 · 1 = 6π

Un huso de ángulo 30º tiene área:

A =1

·36π · 30º

=3π

– ––––––– ––4 360º 4

Por último, el volumen de la esfera está dado por:

V = 4 π · 27 = 36π3plano tangente a

una esfera

huso esférico

α


1. Calcular el volumen de una pirámide de 5 cm dealtura y base rectangular de 4 x 3 cm de lados.

2. ¿Cuánto miden las diagonales de un cubo de 3 cmde lado?

3. Calcular el área lateral de un cilindro de altura5 cm y base una circunferencia de 3 cm de radio.

4. Determinar el volumen de un cono de 10 cm de al-tura y base una circunferencia de 3 cm de radio.

a geometría analítica tiene por objetivo estudiar laspropiedades de las figuras geométricas por medio

del cálculo algebraico. La geometría analítica plana estu-dia las propiedades de los puntos y líneas que están situa-dos en un mismo plano. La geometría analítica espacial sepreocupa de los puntos, líneas y superficies en el espacio.

Geometría analítica en el plano

El punto

La posición de un punto en el plano determinado por un sis-tema de ejes coordenados queda fijada por las longitudes dedos segmentos que se encuentran en el punto paralelos a losejes y cuyos extremos son el punto y cada uno de esos ejes.

El sistema de ejes coordenados consiste en dos rectasque se cortan, representadas por x e y y llamadas abscisay ordenada. El punto de corte de ambos ejes se llama ori-gen y se representa por un cero:

Cuando estos ejes son perpendiculares entre sí, se lla-man ejes rectangulares.

Las rectas pueden estar provistas de una escala que de-termina las longitudes de los segmentos que se forman apartir del sistema. Por convención, los valores de estas esca-las serán positivos a la derecha del eje x y arriba del eje y. Unpunto se representa por los valores de sus coordenadas. Porejemplo, el punto P(1,1) tiene por abscisa 1 y ordenada 1:

La distancia entre dos puntos dados, P(x1, y1) y Q(x2, y2),se puede determinar considerando que la línea que uneesos puntos es la hipotenusa de un triángulo rectángulo:

Por el teorema de Pitágoras, se tiene que:

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 →

→ d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Vectores

Se llama vector a un segmento dotado de longitud, direc-ción y sentido. La longitud es una medida que toma algúnsegmento como unidad. La dirección es la recta que con-tiene al vector. Su sentido representa el movimiento delvector. El punto de partida de un vector se llama origen.A la longitud se le suele llamar módulo del vector. El senti-do se indica con una flecha:

Este vector se denota por OP. También se puede deno-tar por letras minúsculas coronadas por una flecha, porejemplo v. El módulo de un vector se denota por el vec-tor entre líneas verticales, por ejemplo | v|.

Dos vectores que están en diferentes rectas tendrán lamisma dirección si esas rectas son paralelas, y poseeránel mismo sentido si, teniendo la misma dirección, las fle-chas apuntan hacia el mismo lado:

O

P

v n

y

xdistancia entredos puntos

y1 P

x1

y2

Q

x2

y

xOcoordenadasde un punto

P(x, y)y

x

y

xO

y

xO

ejes coordenados


GEOMETRÍAANALÍTICA

L

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

____________________________________________________________________________________________ Geometría analítica 281

Si la flecha apunta hacia el lado contrario, se dice quelos vectores son opuestos:

Dos vectores son iguales si tienen igual dirección, sen-tido y longitud:

En un sistema de ejes coordenados, un vector se puederepresentar por sus puntos de origen y destino:

Por tanto, v tendrá dos coordenadas, v1 y v2, en dondev1 = x2 – x1 y v2 = y2 – y1. La representación será más sen-cilla si se sitúa el vector con el origen sobre el del sistema.En este caso, v tendrá coordenadas x e y:

El módulo de un vector es la distancia existente en-tre los puntos que lo determinan; es decir, si a = (x1, y1) yb = (x2, y2) determinan el vector v = (x2 – x1, y2 – y1), en-tonces:

|v| = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Dos vectores se pueden sumar, restar y multiplicar porun escalar.

Suma de vectores. Sean los vectores a y b. El vectorsuma se obtiene situando sobre el destino del primero elorigen del segundo. El vector suma une el origen del pri-mero con el destino del segundo:

Con referencia a un sistema de ejes coordenados,la suma de los vectores a y b, de coordenadas (a1, a2) y(b1, b2), es igual a: (a1 + b1, a2 + b2).

Por ejemplo si a = (2, 3) y b = (4, 5), entonces sucedeque a + a = (6, 8).

Diferencia de dos vectores. Para restar los vectoresa y b, es necesario sumar el vector a más el opuestode b:

La resta de los vectores a = (a1, a2) y b = (b1, b2) vienedada por (a1, – b1, a2, – b2).

Producto de un vector por un escalar. Multiplicar elvector a por una constante n es lo mismo que sumar an veces. Por tanto, el producto se obtiene dibujando elvector sobre la recta de la dirección n veces:

Si a = (a1, a2), entonces n · a = (n · a1, n · a2).Producto escalar de dos vectores. Sean los vectores a =

(a1, a2) y b = (b1, b2). Se define el producto escalar a · bcomo:

a · b = a1 · b1 + a2 · b2

lo que obviamente es un escalar.Por ejemplo: (2, 3) · (3, –1) = 6 – 3 = 3.

Ecuación de la recta

En general, una recta se representa por la ecuación de pri-mer grado:

y = mx + n

· 3 =

producto de un vector por un escalar

a 3a

– b =

– b

resta de vectores

+ –b =a a–b

a

a

+ b = a + b

a

ba

suma devectores

vector con origen en el origende coordenadas

y

xO

P

representación de un vector en un sistemade ejes coordenados

y

xO

Q

P

vectores iguales

O

P

O

P'

vectores opuestos

O

P

P'

O'

vectores paralelos

O

P

O

P'

donde m es la pendiente de la recta, o ángulo que formacon el eje horizontal, y n es el punto donde corta al eje y.La pendiente de una recta indica la inclinación respectoal eje x.

Para determinar la recta es necesario obtener los valo-res de m y n. Se dice que un punto cualquiera satisface larecta y = mx + n si, al sustituir sus coordenadas en la rec-ta, los términos a ambos lados de la igualdad tienen elmismo valor. En resumen:

Ecuación general de la recta: y = mx + n.Si el primer punto está sobre la recta: y1 = mx1 + n.Si el segundo punto está sobre la recta: y2 = mx2 + n.

Restando cada ecuación de la anterior:

y1 – y = m(x1 – x)y2 – y1 = m(x2 – x1)

y dividiendo miembro a miembro:

y1 – y=

x1 – xy2 – y1 x2 – x1

lo que equivale a:

y – y1 =x – x1

y2 – y1 x2 – x1

que es la ecuación de la recta. Se suele escribir de la si-guiente forma:

y – y1 =y2 – y1 (x – x1)x2 – x1

El término es la pendiente de la recta.

Además, se puede construir la ecuación de la recta co-nociendo un punto y su pendiente.

Se reemplaza la pendiente m en y se tiene

y – y1 = m(x – x1), que es la ecuación de la recta que pasapor un punto.

Por ejemplo, puede construirse la ecuación de la rectaperpendicular a y = 2x – 3 en el origen del sistema de ejescoordenados. La pendiente de la recta dada es m1 = 2; portanto, la de la recta buscada es m2 = –1/2. Así, la recta per-pendicular tiene por ecuación:

y – 0 = m2(x – 0); y = –1/2 x

Punto de corte de dos rectas. El punto de corte (x0, y0)deberá satisfacer ambas ecuaciones, es decir:

y = m1x + n1, y = m2x + n2

Igualando estas ecuaciones, se tiene:

m1x0 + n1 = m2x0 + n2

x0(m1 – m2) = n2 – n1 → x0 =

y0 se obtiene reemplazando el valor de x0 en cualquierade las ecuaciones.

Así, por ejemplo, la recta y = 2x – 3 corta al eje y eny = –3, ya que el sistema

y = 2x – 3x = 0

tiene como solución el punto (0, –3):

Distancia de un punto a una recta. Dada la rectay = mx + n y un punto fuera de ella (x0, y0), puede trazar-se por este punto la perpendicular a la recta, a la que cor-tará en un punto (x1, y1). La distancia de (x0, y0) a (x1, y1)será también la distancia del punto a la recta.

Este procedimiento nos conduce a concluir que la dis-tancia d entre (x0, y0) e y = mx + n es:

d =y0 – mx0 – n

1 + m2

Si la distancia es negativa, el punto está debajo de larecta; en caso contrario, está por encima.

Bisectriz de un ángulo formado por dos rectas. Cual-quier punto (x, y) situado sobre la bisectriz de las rectasy = m1x + n1 e y = m2x + n2 está separado de ambas rec-tas por una misma distancia. Por tanto, dicha bisectriz seobtiene a partir de la igualdad:

=

De hecho, entre dos rectas que se cortan existen dos bi-sectrices, donde la segunda es:

y – m2x – n2

1 + m22

y – m1x – n1

1 + m21

y

xO

–3

y = 2x – 3

n2 – n1m1 – m2

y

x

y2 – y1x2 – x1

y2 – y1x2 – x1

282 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

= –

Por ejemplo, si se tienen las rectas y = 2x – 3 e y = x, unabisectriz viene dada por:

=

lo que, multiplicando cruzado y agrupando los términos, da:

y = ( ) x – ( )Ecuación de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos delplano que equidistan de un punto dado. Esta distancia esel radio.

Sea el punto P(a, b). Para que su distancia a otro punto,Q(x, y), sea r, debe ser:

(x – a)2 + (y – b)2 = r

Elevando ambos términos de la igualdad al cuadrado,se obtiene la ecuación general de la circunferencia de cen-tro (a, b) y radio r:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Un caso particular se produce cuando el centro es el ori-gen del sistema de ejes coordenados:

x2 + y = r2

Para hallar la intersección de una recta con una circun-ferencia basta con igualar sus respectivas ecuaciones. Sino existe solución es por que no se cortan; si existe unasolución, la recta es tangente a la circunferencia, y si haydos, la recta es secante. Análogo razonamiento se usa parahallar la intersección de dos circunferencias.

Por ejemplo, la intersección de la recta y = 2x + 3 con lacircunferencia x2 + y2 = 9 se obtiene sustituyendo:

lo que nos genera la ecuación de segundo grado 5x2 + 12x = 0que tiene soluciones x = 0 y x = –12/5. De la ecuación de larecta se obtiene y = 3 e y = –9/5, respectivamente.

Entonces, los puntos de intersección de la recta y la cir-cunferencia son (0, 3) y (–12/5, –9/5).

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntosdados. Recuérdese que por tres puntos no colinealessiempre puede pasar una única circunferencia. Sean lospuntos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Para que la circunferenciapase por ellos, su ecuación debe satisfacer:

(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2

(x2 – a)2 + (y2 – b)2 = r2

(x3 – a)2 + (y3 – b)2 = r2

Se tienen así tres ecuaciones con tres incógnitas: a, b y r.La solución será única, a no ser que dos de las ecuacionessean linealmente dependientes, lo que sólo se puede pro-ducir si dos puntos son uno mismo, lo cual queda descar-tado al haber escogido tres puntos. Las tres ecuaciones nopueden ser linealmente dependientes, al haber escogidotres puntos no colineales.

Por ejemplo, la circunferencia que pasa por los puntos(1,2), (–3,2) y (2,2) se obtiene resolviendo el siguiente sis-tema:

(1 – a)2 + (2 – b)2 = r2

(–3 – a)2 + (2 – b)2 = r2

(2 – a)2 + (–2 – b)2 = r2

La solución es a = –1, b = –5/8 y r2 = 697/64. Por tanto,la circunferencia es:

(x + 1)2 + (y + )2=

Tangente en un punto de la circunferencia. La pendien-te de la recta tangente a la circunferencia que tiene centroen el origen en el punto (x1, y1) tiene valor m = –x1/y1, y larecta es:

69764

58

x2 + (2x + 3)2 = 9

3

3

–3

–3 O

ecuación canónica de la circunferencia

r

y

rr O x

3522 – 5

y – x1 + 1

y – 2x + 31 + 4

y – m2x – n2

1 + m22

y – m1x – n1

1 + m21


Si la circunferencia tiene centro en el punto (a, b), la rec-ta tangente en (x1, y1) se obtiene a partir de:

(y – y1) (y1 – b) + (x – a) (x1 – a) = r2

Por ejemplo, la tangente a (x – 2)2 + y2 = 16 en el punto(2, 4) es:

(y – 4) (4 – 0) + (x – 2) (2 – 2) = 16 → y = 8

Lo cual es una recta paralela al eje x:

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos de un pla-no cuyas distancias a dos puntos fijos, llamados focos,tienen suma constante:

Los puntos fijos se llaman focos. En la elipse de la figu-ra, F1 y F2 son los focos. Su distancia mide, por definición,2c; r y r’ son los radio vectores y su suma se representa me-diante 2a. AA’ es el eje mayor y mide 2a. BB’ es el eje menory mide 2b. Se define la excentricidad de la elipse como elcociente c/a. Por último, la ecuación de la elipse está dadapor:

+ = 1

Un caso particular de esta ecuación se produce cuan-do a = b, con lo que la elipse se convierte en una circun-ferencia.

Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuyasdistancias a dos puntos fijos se diferencian en una cons-tante:

En la hipérbola, F y F’ son los focos y su distancia (fo-cal) se representa por 2c. Los segmentos que unen losfocos con cualquier punto de la curva son los radios vecto-res. Las rectas R y R’ son las asíntotas de la hipérbola. Ladistancia entre los vértices A y A’ se denota por 2a.

La ecuación de la hipérbola viene dada por:

– = 1

Un caso particular de esta ecuación se produce cuandoa = b, lo que representa una hipérbola equilátera.

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos de unplano que equidistan de un punto llamado foco y una rec-ta exterior llamada directriz:

La distancia del foco a la directriz se representa por p. Elpunto medio de esta distancia es el vértice de la parábola.

La ecuación de la parábola viene dada por:

parábola

F

d

v

y2

b2

x2

a2

hipérbola

F' F

R' R

AA'

y2

b2

x2

a2

elipse

B

B'

A' AOF2 F1

r' r

x

2

8

y

x · x1 + y · y1 = r2

y

xO

(x1, y1)

284 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

y2 = p(2x – p)

Un caso particular se produce, nuevamente, cuando elvértice de la parábola se encuentra sobre el origen del sis-tema de ejes coordenados y la directriz es paralela al eje y.En tal caso:

y2 = 2px

Geometría analítica en el espacio

En el espacio, el sistema de ejes coordenados tendrá untercer eje llamado cota y denotado por Z, que se añade alas abscisas (X) y a las ordenadas (Y), y que corta a éstosen el origen:

Si estos tres ejes son perpendiculares dos a dos, el siste-ma se llama rectangular.

Un punto P queda totalmente determinado por rectasparalelas a los ejes que forman sus coordenadas (x, y, z).Así, el punto se denota por P(x, y, z):

Las coordenadas se suponen positivas cuando están to-madas en los sentidos OX, OY y OZ, y negativas cuandoestán tomadas a partir del mismo punto O, pero en senti-do contrario.

Distancia entre dos puntos

Si se quiere determinar la distancia entre los puntosA(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), ha de considerarse que la rectaque los une es la diagonal de un paralelepípedo con la-dos paralelos a los ejes. La longitud de dicha diagonal esla distancia:

d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

Por ejemplo, la distancia entre los puntos (1, 1, 3) y(–1, 0, 2) es:

d = (–1 – 1)2 + (0 – 1)2 + (2 – 3)2 = 6

Ecuación de la recta en el espacio

Una recta puede determinarse por dos puntos. Si se tie-nen los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2), puede realizarse undesarrollo similar al de la recta en el plano, obteniendo:

= =

Ésta es la ecuación general de la recta en el espacio. Enrealidad, son dos las ecuaciones que determinan una rec-ta. Una forma más sencilla de escribir esta ecuación se ob-tiene despejando dos variables en función de la tercera:

x = az + py = bz + q

Por ejemplo, la ecuación de la recta que pasa por lospuntos (2, 3, 3) y (1, 4, 2) es:

= = ↔

↔ = = ↔

↔ x – 3 = y – 3 = 3 – z

O bien:

x = 3 – z + 2 = 5 – zy = 3 – z + 3 = 6 – z

Por tanto:

x – 2 = y – 3 = 3 – z y

son ecuaciones de una misma recta: la que pasa por lospuntos dados.

Ecuación del plano

La ecuación general del plano viene dada por:

Ax + By + Cz + D = 0

es decir, está formada por una combinación lineal de lascoordenadas de los tres ejes.

Casos particulares son los planos que forman dos ejescoordenados, lo cual se consigue cuando el tercero es cero:x = 0 o bien y = 0 o bien z = 0. Estas ecuaciones se escribenasí directamente o Ax + By + D = 0, Ax + Cz + D = 0, By +Cz + D = 0.

x = 5 – zy = 6 – z

z – 3–1

y – 31

x – 21

z – 32 – 3

y – 34 – 3

x – 22 – 1

z – z1z1 – z2

y – y1y1 – y2

x – x1x1 – x2

P

O

y

x

z

O

z

x

y

sistema de ejes coordenadosen el espacio


286 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Intersección de dos planos

La intersección de dos planos es una recta. De hecho, di-chos planos forman un diedro.

Por ejemplo, puede construirse la intersección de losplanos 3x + y + 2z – 6 = 0 y x – y + 2z = 0. Tenemos, portanto, el sistema:

3x + y + 2z – 6 = 0x – y + 2z = 0

que son dos ecuaciones con tres incógnitas. Si los planosfueran paralelos, no habría solución para este sistema. Sino son paralelos, se cortarán en una recta, por lo que nohabrá un único punto que satisfaga a ambas ecuaciones.Desarrollando el sistema se tienen las siguientes solucio-nes, que corresponden a una recta:

x =

y =

Distancia de un punto a un plano

De forma análoga a la distancia entre un punto y una rec-ta en el plano, la distancia del punto P(x1, y1, z1) al planoAx + By + Cz + D = 0 viene dada por

d =Ax1 + By1 + Cz1 + D

A2 + B2 + C2

Ecuación de la esfera

La esfera es el lugar geométrico de todos los puntos en elespacio que equidistan de un punto dado llamado centro.Si esa distancia es el radio r y el centro de la esfera puedeexpresarse como (a, b, c), su ecuación viene dada por:

(x – a)2 + (y – b)2 + (c – z)2 = r2

Cuando el centro de la esfera es el centro del sistema deejes coordenados, la ecuación se transforma en:

x2 + y2 + z2 = r2

Para determinar una esfera son necesarios cuatro pun-tos. Por ejemplo, determinemos la ecuación de la esferaque pasa por los puntos (1, 1, 3), (2, –2, 1), (0, 1, 2) y (1, 3, 0).Como la esfera debe satisfacerlos a todos, se obtiene el si-guiente sistema:

(1 – a)2 + (1 – b)2 + (3 – c)2 = r2

(2 – a)2 + (–2 – b)2 + (1 – c)2 = r2

(0 – a)2 + (1 – b)2 + (2 – c)2 = r2

(1 – a)2 + (3 – b)2 + (0 – c)2 = r2

Despejando a, b, c y r, se llega a la siguiente ecuación dela esfera:

(x – )2+ (y – )2

+ (z – )2=

La intersección de una esfera y un plano es una circun-ferencia si el plano es secante y un punto si el plano estangente.

Por ejemplo, la esfera de ecuación

(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z – 1)2 = 4

y el plano z = 0 (es decir, con el plano XY) forman al cor-tarse una circunferencia de centro en (2, –3) y radio 3:

(x – 2)2 + (y + 3)2 = 3

(2, –3, 1)r

z

x(2, –3)

x

6.803900

1930

710

7130

4z + 64

6 – 4z4


1. ¿Cuál es la distancia entre dos puntos P(–3, 5) yQ(–1, –1)?

2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por lospuntos (1, 1) y (3, 5).

3. Calcular la distancia de la recta y = 2x – 3 al ori-gen de coordenadas.

4. Determinar la ecuación de la circunferencia de cen-tro (2, 3) y radio 3.

5. Calcular la distancia del punto (–1, 1, 4) al plano2x + 3y – 2z + 4 = 0

Conceptos generales

La trigonometría es la ciencia que estudia la relación en-tre los lados de los triángulos y sus ángulos. La dificultadde medir exactamente los arcos y ángulos y operar conellos en los cálculos necesarios se aborda utilizando cier-tas relaciones entre magnitudes rectilíneas. Estas relacio-nes se denominan funciones circulares o trigonométricas.

Se toman los vértices de ángulos como centro y se des-criben dos arcos de circunferencia con el mismo radio. Larelación entre la amplitud de los ángulos es igual a la re-lación existente entre las longitudes de sus arcos respec-tivos.

En trigonometría, se toman como unidades para medirlos arcos tanto el radián como el grado. Pero en el estu-dio de las funciones circulares se suelen usar los radianesy, con el fin de simplificar los cálculos, se considera y su-pone que el radio del círculo vale siempre la unidad. Estecírculo adopta el nombre de círculo trigonométrico

Consideremos un círculo trigonométrico de centro 0.Su circunferencia puede ser recorrida en dos sentidos porun punto m cualquiera: en el sentido contrario de las agu-jas del reloj, en cuyo caso se consideran positivos, y en elmismo sentido de las agujas del reloj, negativos. En la fi-gura, el arco AB es positivo y el arco AB es negativo:

El punto M puede llegar otra vez al punto de partida,recorriendo así todos los arcos con valores compartidosentre 0 y 2π.

Razones trigonométricas

Un ángulo se puede determinar conociendo su ampli-tud o su longitud y el radio con el cual ha sido trazado.

Además, se puede determinar el valor de los ángulos pormedio de las razones de dos segmentos.

Tomemos un ángulo cualquiera. Hagamos centro ensu vértice y tracemos arcos de radios distintos con suscorrespondientes ordenadas:

Los triángulos formados, DCO, DCO y DCO, sonsemejantes (tienen sus tres ángulos iguales). Por tanto,pueden establecerse las siguientes razones:

a) = =

b) = =

c) = =

Estas razones se denominan trigonométricas o goniométri-cas. Consideremos el triángulo ∆DCO, de ángulos α, 90º y90º α, catetos x e y e hipotenusa r (que tiene longitud 1):

Respecto al ángulo α, pueden definirse:

el seno o razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

sen α =yr

C

D

O

yr

xα

DCOC

D’C’OC’

DCOC

OCOD

OC’OD’

OCOD

DCOD

D’C’OD’

DCOD

D

O C A C' A' C" A"

D'D"

B

arcos positivosy negativosB'

+

AO

M

M


TRIGONOMETRÍAY

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

el coseno o razón entre el cateto adyacente y la hipo-tenusa:

cos α =

la tangente o razón entre el cateto opuesto y el catetoadyacente:

tgα = =

Además, se tienen los inversos de los valores ante-riores:

la cosecante o inversa del seno:

cosecα = =

la secante o inversa del coseno:

secα = =

la cotangente o inversa de la tangente:

cotgα = =

Variaciones de las razones trigonométricas

Como las razones trigonométricas son funciones de losángulos y, por tanto, de los arcos, al variar estos últimostambién se alterarán las razones, tanto en sus magnitu-des como en sus signos.

Tomemos un círculo trigonométrico fijándonos princi-palmente en las variaciones en los diferentes cuadrantes:

Variaciones en el signo. Variando el ángulo α, se tieneque:

a) El seno es positivo en el primer y segundo cuadrantey negativo en el tercero y cuarto.

b) El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrantey negativo en el segundo y tercero.

c) La tangente es positiva en el primer y tercer cuadran-te y negativa en el segundo y cuarto.

Los signos de las tres razones restantes son los mismosque sus correspondientes inversos.

Variaciones en magnitud. El seno vale 0 cuando α = 0,ya que en ese caso la ordenada vale 0/ y sen0 = 0/x = 0.

A medida que el arco crece, el seno crece. Cuando llegaa π/2 vale 1, pues en este extremo la hipotenusa y el catetoopuesto del ángulo α se confunden, siendo sen π/2 = y/y = 1.

Entre π/2 y πel seno sigue siendo positivo, ya que y espositivo, pero va decreciendo hasta que en πvuelve a va-ler 0: senπ= 0//x = 0. Entre πy 3π/2 vuelve a crecer, perose mantiene con signo negativo, llegando a sen3 π/2 = 1.Entre 3π/2 y 2πse va acercando cada vez más a 0, hastaque, finalmente, sen2π= sen0 = 0.

En definitiva, 1 ≤ senα ≤ 1.Gráficamente:

Si el arco se forma al moverse en el sentido de las agu-jas del reloj, se tienen las siguientes relaciones:

sen (α) = senα, cos (α) = cosα, tg(α) = tgαcosec (α) = cosecα, sec (α) = secα, cotg(α) = cotgα Para ángulos complementarios (adviértase que π/2 α

0

1

1

π/2 π 3π/2 2π

cotangente

0

1

1

π/2 π 3π/2 2π

secante

0

1

1

π/2 π 3π/2 2π

cosecante

0

1

1

π/2 π 3π/2 2π

tangente

0

1

1

π/2 π 3π/2 2π

coseno

0

1

1

π/2 π 3π/2 2π

seno

3π/2

O

2.º cuadrante

3.er cuadrante

1.er cuadrante

4.º cuadrante

π/2

π

xy

1tgα

rx

1cosα

ry

1senα

senαcosα

yx

xr

288 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________ Trigonometría 289

y α son complementarios, ya que π/2 α + α = π/2), setiene:

senα = cos (π/2 α), cosα = sen(π/2 α), tgα = cotg (π/2 α),cosecα = sec (π/2 α), secα = cosec (π/2 α), cotgα =

= tg (π/2 α)

Para ángulos suplementarios, se tiene que:

senα = sen (π α), cosα = cos (π α), tgα = tg (π α), cosecα = cosec (π α), secα = sec (π α), cotgα = sec (π α)

Por último, para ángulos que difieren en πse tienenlas siguientes relaciones:

sen (π+ α) = sen (α) = senα, cosec (π+ α) = cosec (α) == cosecα, cos (π+ α) = cos (α) = -cosα, sec (π+ α) =

= sec (α) = secα, tg (π+ α) = tg (α) = tgα, cotg (π+ α) = = cotg (α) = cotgα

Relaciones entre las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas de un mismo ángulo guar-dan entre sí ciertas relaciones, que se llaman identidades:

a) tgα = .

b) cotgα = .

c) sen2α + cos2α = 1.

d) tg2α + 1 = .

e) 1 + cotg2α = .

Las dos primeras relaciones se conocen por definición.La tercera se obtiene a partir de la ecuación de la circun-ferencia. Las restantes resultan de dividir la tercera ex-presión por cos2α y sen2α, respectivamente.

Estas fórmulas sirven para obtener todas las razonestrigonométricas a partir de una dada. Por ejemplo, cono-ciendo senα, se tiene que:

cosα = ± 1 sen2α

tgα =

cosecα =

secα =

cotgα = ±1 sen2α

1±1 sen2α

1senα

senα±1 sen2α

1sen2α

1cos2α

cosαsenα

senαcosα

0ºπ

π3π

2π2 2

seno 0 1 0 1 0coseno 1 0 1 0 1tangente 0 ± 0 ± 0cosecante ± 1 ± 1 ± secante 1 ± 1 ± 1cotangente ± 0 ± 0 ±

Tabla de valorestrigonométricos


1. Sabiendo que el seno de 45º = 2/2, calcular el co-seno de 45º.

2. Calcular la tangente de 45º a partir del ejercicio an-terior.

3. Indicar los signos que adopta la cosecante de un án-gulo en cada uno de los cuatro cuadrantes.

4. ¿Qué funciones trigonométricas son continuas?

Conceptos generales

En un triángulo existen seis elementos básicos: tres ángu-los y tres lados. Una de las aplicaciones de la trigonome-tría consiste en obtener todos los elementos de un trián-gulo, conociendo sólo algunos de ellos. Se llama resolu-ción de un triángulo al cálculo del valor de todos sus ladosy ángulos.

Antes de resolver triángulos, conviene analizar algu-nas relaciones de interés, como son las funciones circula-res de la suma y diferencia de ángulos, así como del do-ble de un ángulo y su mitad.

Las funciones trigonométricas no son funciones linea-les, por lo que, por ejemplo, sen(α + β) ≠ senα + senβ (sal-vo que α = 0, que representa un caso particular y no sepuede generalizar).

Operaciones con ángulos

Suma de dos ángulos. Sean los ángulos α y β tales que α + β < π/2. Al trazar un arco AC puede verse que:

senα = BG, senβ = CDcosα = OG, cosβ = OD

sen (α + β) = CE cos (α + β) = OE

Además: sen (α + β) = CE = CF + FE = CD + DH.Pero en el triángulo rectángulo OHD:

senα = → DH = OD · senα = cosβ · senα

y en el triángulo rectángulo CFD, FCD = α, por lo que:

cosα = → = CF = CD · cosα = senβ · cosα

Así pues: sen (α + β) = cosβ · senα + senβ · cosα. Análo-gamente se obtiene la expresión para cos (α + β). El restode las funciones trigonométricas resulta de aplicar los co-cientes adecuados y desarrollar las expresiones en los ca-sos en que se pueda:

sen (α ± β) = senα · cosβ ± cosα · senβcos (α ± β) = cosα · cosβ senα · senβ

tg (α ± β) = tgα ± tgβ1 tgα · tgβ

Doble del ángulo. Dado el ángulo α, y considerandoque 2α = α + α, las relaciones trigonométricas del dobledel ángulo son las siguientes:

sen (2α) = 2 · senα · cosαcos (2α) = 2 · cos2α sen2α

tg (2α) = 2tgα1 tg2α

Ángulo medio. Las relaciones trigonométricas de α/2son las siguientes:

sen = ±

cos = ±

tg = ± 1 cosα1 + cosα

α2

1 + cosα2

α2

1 cosα2

α2

CFCD

DHOD

α

suma de dos ángulos

1

O

C

β

αF

D

B

E HGA


TEOREMAS ANGULARES Y

TRIANGULARES

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

________________________________________________________________________________ Teoremas angulares y triangulares 291

Triángulos rectángulos

En cualquier triángulo rectángulo, un cateto es igual a la hipotenusa multiplicada por el seno del ánguloopuesto:

En el triángulo de la figura, senγ= c/a, por lo que c = a · senγ.Análogamente, senβ = b/a, con lo que b = a · senβ.

En todo triángulo rectángulo, un cateto es igual al otrocateto multiplicado por la tangente del ángulo opuesto alprimero:

tgγ = → c = b · tgγ

tgβ = → b = c · tgβ

Además, en todo triángulo rectángulo un cateto esigual a la hipotenusa multiplicada por el coseno del án-gulo comprendido entre ambos e igual al otro cateto mul-tiplicado por la cotangente del ángulo adyacente al pri-mero.

Casos de resolución de triángulos rectángulos

Conocidos la hipotenusa y el ángulo γ (fuera del ángulorecto). El tercer ángulo, β, se obtiene sabiendo que en untriángulo la suma de los ángulos es 180º, por lo queβ = 180º 90º γ = 90º γ.

Para calcular los catetos se usan las expresiones:

c = a · senγ y b = a · senβ

Por ejemplo, si a = 12 y γ = 40º, se obtiene el tercer án-gulo:

β = 90º 40º = 50º

y los catetos:

c = a senγ = 12 · sen 40º = 7,71b = a senβ = 12 · sen 50º = 9,19

En resumen:

a = 12, b = 9,19, c = 7,71,α = 90º =, β = 50º, γ = 40º

Conocidos la hipotenusa y un cateto, b. Usando senβ =b/a, se obtiene el ángulo β a partir de la función inversa,sen1 b/a. Las funciones trigonométricas inversas se deno-minan con el prefijo arco (arco seno, arco coseno, etc.) y serepresentan, por ejemplo, como sen1 (b/a) = arcsen (b/a).

El tercer ángulo es γ = 90 β y el tercer lado resulta deaplicar el teorema de Pitágoras:

c = a2 b2

Conocidos un cateto y un ángulo (fuera del ángulo rec-to). Si conocemos γ, puede calcularse β. La hipotenusa seobtiene a partir de senβ = b/a → a = b/senβ. Ahora se pue-de calcular c a partir del teorema de Pitágoras o c = a · senγ.

Por ejemplo, para b = 29 y γ = 60º, tenemos:

β = 90º 60º = 30º

a = = = 58

c = 582 292 = 50,23

En resumen:

a = 58, b = 29, c = 50,23,α = 90º, β = 30º, γ = 60º

Conocidos los dos catetos. Sabemos que tgγ = c/b, porlo que γ = arcotg (c/b). β se obtiene por diferencia y la hi-potenusa por el teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, los catetos de un triángulo rectángulo mi-den b = 80 y c = 60. Entonces, la hipotenusa vale

a = 802 + 602 = 100

y los ángulos:

y = arctg (60/80) = 36,87 y β = 90 36,87 = 53,13

Resumiendo:

a = 100, b = 80, c = 60,α = 90º, β = 53,13º, γ = 36,87º

Casos de resolución de triángulos cualesquiera

Para resolver los problemas referentes al cálculo de loselementos de un triángulo cualquiera es preciso estable-cer fórmulas que relaciones sus elementos entre sí.

Teorema del seno. En el triángulo ∆ABC, tracemos lasalturas h y h correspondientes a los lados c y a:

29sen30º

bsenβ

bc

cb

triángulo rectángulo

BA

a

c

α

β

C

b

Se pueden observar las siguientes relaciones:

En ∆ACD, senα = h/b.En ∆DBF, senβ = h/a.

Por tanto, h = b · senα = a · senβ → b/senβ = a/senα.

En ∆AEC, senγ = h/b.En ∆ABE, senβ = h/c.

Por tanto, h = b · senγ = c · senβ → = b/senβ = c/senγ.

Así, reuniendo lo anterior, se obtiene el llamado teore-ma del seno:

= =

Teorema del coseno. Dado un triángulo ∆ABC cualquie-ra, tracemos la altura correspondiente al lado AB. Supon-gamos que la altura CM mide h, y descompongamos ellado AB en AM + MB = y + x.

Se tienen las siguientes relaciones:

En ∆CMB, por ser rectángulo,

a2 = h2 + x2 = h2 (c y)2 = = h2 + c2 + y2 2cy

En ∆ABC, también por ser rectángulo, h2 = b2 y2. Ade-más y = b · cosα. Sustituyendo, se tiene que:

a2 = h2 + c2 2cy == b2 y2 + c2 + y2 2cb · cosα =

= b2 + c2 2bc · cosα

Análogamente:

b2 = a2 + c2 2ac · cosβc2 = a2 + b2 2ab · cosγ

Estas expresiones constituyen el teorema del coseno, quees una extensión del teorema de Pitágoras al caso de trián-gulos cualesquiera.

Con todo lo anterior, es posible resolver cualquier tipode triángulo. En particular, pueden resolverse triángulosconociendo:

un lado y los ángulos adyacentes a él; dos lados y el ángulo comprendido entre ellos; dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Los siguientes ejemplos darán una idea de cómo se ope-ra en estos tres casos y tomarán como base el siguientetriángulo:

a) En el triángulo ABC se sabe que el lado a mide 2, ylos ángulos α y β, 60º y 50º, respectivamente.

Sabiendo que en un triángulo la suma de sus ángulosinteriores es 180º, se obtiene:

α = 180º 60º 50º = 70º

Por el teorema del seno:

= =

pueden determinarse los otros dos lados:

= → b = = 1,84

= → c = = 1,63

En resumen, en ∆ABC se tiene:

a = 2, b = 1,84, c = 1,63,α = 70º, β = 60º, γ = 50º

b) En ∆ABC se sabe que a = 3 y b = 5, además γ = 45º.

2sen50ºsen70º

csen60º

2sen70º

2sen60ºsen70º

bsen60º

2sen70º

csenγ

bsenβ

asenα

BA β

C

b

α

γ

c

a

demostración del teorema del coseno

BA

a

y

β

C

b

α

γ

M

h

xc

csenγ

bsenβ

asenα

demostración del teorema del seno

BA

a

c

β

C

b

α

γE

D

h'h

292 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________ Teoremas angulares y triangulares 293

Por el teorema del coseno:

c2 = a2 + b 2ab · cosγ = 9 + 25 2 · 3 · 5 · cos45º = 12,79 →

→ c = 12,79 = 3,58

Por el teorema del seno:

= ↔ = ↔ senα = = 0,59

lo cual nos da el ángulo α:

α = arcsen (0,59) = 36,39

Por otra parte:

= ↔ = ↔ senβ = = 0,99

de lo que se deduce el ángulo β:

β = arcsen (0,99) = 81,39

Resumiendo, en ∆ABC se tiene:

a = 3, b = 5, c = 3,58

α = 36,39º, β = 81,39º, γ = 45º

c) En el ∆ABC, a = 3, b = 5 y b = 70º.Por el teorema del seno:

= ↔ = ↔ senα = = 0,56

de lo cual se deduce el ángulo α:

α = arcsen (0,56) = 34,32º

Usando la relación α + β + γ = 180º, se obtiene:

γ = 180º 34,32º 70º = 75,68º

Usando nuevamente el teorema del seno, se tiene que:

= ↔ = ↔

↔ c = = 5,16

Entonces, en ∆ABC se tiene que:

a = 3, b = 5, c = 5,16, α = 34,32º, β = 70º, γ = 75,68º

5 · sen75,68ºsen70º

csen75,68º

5sen70º

csenγ

bsenβ

3 · sen70º5

5sen70º

3senα

bsenβ

asenα

5 · sen45º3,58

3,58sen45º

5senβ

csenγ

bsenβ

3 · sen45º3,58

3,58sen45º

3senα

csenγ

asenα


1. Sabiendo que cos90º = 0, calcular cos45º.

2. Sabiendo que un cateto mide 14 y la hipotenu-sa 18, calcular el valor del otro cateto y de los án-gulos del triángulo rectángulo.

3. Resolver un triángulo no rectángulo sabiendoque uno de sus lados mide 6 y sus ángulos adya-centes son ambos de 60º.

Conceptos generales

La estadística es una ciencia cuyo objeto es la obtenciónde interpretaciones y conclusiones a partir de series dedatos extraídos de un experimento o prueba.

El estudio estadístico se realiza sobre un conjunto deelementos de partida denominado población o universo,cuyo tamaño puede ser finito o infinito (en términos es-trictos, ilimitado o extraordinariamente grande).

Se conoce como muestra al subconjunto de una pobla-ción sobre el que se aplica un estudio estadístico concre-to. La muestra se caracteriza por su tamaño y se extiendea un ámbito de trabajo definido por leyes o propiedadesdeterminadas que recibe el nombre de espacio muestral.Por su parte, se conoce como muestreo al conjunto de ope-raciones destinadas a obtener muestras significativasdentro de una población estadística.

Cada ocurrencia de un espacio muestral se conocecomo valor de muestra, y el número de veces que tienelugar este valor en la muestra recibe el nombre de fre-cuencia absoluta del mismo.

Como objetivo último, un estudio estadístico pretende,a partir de las conclusiones obtenidas de las muestras, ex-

tender los resultados del muestreo a toda la población ini-cialmente considerada.

Formas de representación de resultados

Los resultados de un estudio estadístico pueden presen-tarse en forma de tablas que contengan el detalle o el re-sumen, según diversos criterios, de los valores de lasmuestras. Sin embargo, estos resultados suelen acompa-ñarse de representaciones gráficas que ilustran y aclaranel significado de los valores y sus tendencias.

Así, existen múltiples formas de diagramas y esquemasgráficos representativos de las distribuciones estadísticas.A grandes rasgos, estos esquemas pueden dividirse en:

1. Gráficas de distribución, entre las que se cuentan losdiagramas de líneas, los gráficos de barras o histogramasy, las más habituales variedades de estos últimos, los dia-gramas de frecuencias acumuladas. Este tipo de repre-sentaciones resultan particularmente valiosas cuando sepretende conocer la evolución en el tiempo de una varia-ble o un conjunto de variables estadísticas:


ESTADÍSTICAY

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

diagrama de líneas

80

70

60

50

40

30

20

10

0Valor

5Valor

1Valor

2Valor

3Valor

4

Serie 1

2. Gráficas de repartición, como los diagramas de tar-tas (o sectores) y de barras, cuyo fin es ilustrar los datoscomparados de los diversos valores de una o varias se-ries estadísticas:

Medidas estadísticas

Dada una determinada muestra estadística de variablesnuméricas, del análisis de los datos se desprenden diver-sos resultados.

Un primer grupo de ellos, conocidos como medidas detendencia central, ofrece una idea sobre los valores y lasfrecuencias más repetidos en la distribución. Sin embar-go, los parámetros de tendencia central no son por sí mis-mos suficientes para expresar de forma sintética el conte-nido de la muestra.

Como complemento a las medidas o parámetros de ten-dencia central, se manejan también las llamadas medidasde dispersión, que reflejan el ámbito de extensión de losresultados del muestreo y el grado de proximidad entrelos mismos.

Medidas de tendencia central

Como parámetros de tendencia central de un estudio es-tadístico se dispone básicamente de tres conceptos: lagráfico de tarta o de sectores

Valor 345%

Valor 57%

Valor 124%

Valor 29%

Valor 415%

____________________________________________________________________________________________________ Estadística 295

histograma o gráfico de barras

80

70

60

50

40

30

20

10

0Valor

5Valor

1Valor

2Valor

3Valor

4

Serie 1

diagrama de frecuencias acumuladas

1,00

0,80

0,60

0,40

0,20

1,60

5

1,64

5

1,68

5

1,72

5

1,76

5

1,80

5

1,84

5

1,88

5

1,92

5

1,96

5

2,00

5

moda, la mediana y la media. A su vez, pueden distin-guirse cuatro clases de valores promedio, conocidos res-pectivamente como medias aritmética, geométrica, armó-nica y cuadrática.

Moda es el valor de una muestra que se repite con ma-yor frecuencia. En un estudio estadístico pueden existirvarias modas (esto es, varios valores con frecuencia má-xima e igual), una moda o ninguna.

Mediana es el valor que ocupa el lugar central en unamuestra. En caso de que el número de observaciones dela muestra sea par, existirán dos medianas.

Media aritmética de una distribución se define comoel cociente entre la suma de todos sus valores y el nú-mero de sucesos u observaciones de la muestra. En tér-minos matemáticos, dada una distribución x1, x2,…, xn,donde la frecuencia absoluta de cada suceso es f1, f2,…,y fn, respectivamente, la media aritmética se definecomo:

xa = =

Media geométrica de una distribución es la raíz enési-ma del producto de todos sus valores, cada uno de elloselevado a su frecuencia absoluta respectiva y siendo n elnúmero total de sucesos de la distribución. En el mismoconjunto anterior, la media geométrica se definiría:

xg =n

x1f1 · x2

f2 … xn f n

Media armónica de la anterior distribución es el resul-tado de aplicar la siguiente expresión matemática:

xh =f1 + f2 + … + fn

+ + … +

Media cuadrática de la distribución anterior será el re-sultado de la siguiente expresión matemática:

xc =

, siendo n = f1 + f2 + … + fn

Medidas de dispersión

Las medidas de centralización o de tendencia central ex-puestas en el apartado anterior no son suficientes paraexpresar los resultados de un estudio estadístico. Bastedecir que las muestras 1, 5, 5, 9 y 4, 5, 5, 6 poseen igua-les valores de moda, mediana y media aritmética, auncuando en la primera serie los valores se hallen claramen-te más “dispersos” que en la segunda.

Para conocer con mayor precisión el comportamientode una muestra es preciso considerar los parámetros co-

nocidos como medidas de dispersión, fundamentalmen-te el recorrido o amplitud, las desviaciones media y típi-ca y la varianza.

Recorrido es la diferencia existente entre los valores ex-tremos de la muestra. En el ejemplo citado, en la primeramuestra sería 9 – 1 = 8, y en la segunda 6 – 4 = 2, notable-mente inferior.

Desviación media de una distribución x1, x2, …, xn,donde la frecuencia absoluta de cada suceso es f1, f2, …, yfn, respectivamente, es la desviación global con respecto ala media aritmética de los valores de la distribución. Entérminos matemáticos, se expresa como:

σm = f1|x1 – xa| + f2 |x2 – xa| + … + fn |xn – xa| =f1 + f2 + f3 + … + fn

=

Desviación típica o cuadrática de una distribución esla raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadradosde las desviaciones con respecto a la media de la distri-bución.

Es decir:

σt = Varianza. La varianza de una distribución puede de-

finirse como el cuadrado de la desviación típica o cua-drática.

Es decir:

V = σt =

n∑

i = 1fi (xi – xa)2

n

n∑

i = 1fi (xi – xa)2

n

n∑

i = 1fi|xi – xa|

n

n∑

i = 1xi

2 fi

n

fn

xn

f2x2

f2x2

n∑

i = 1xi fi

nx1 f1 + x2 f2 + ... + xn fn

f1 + f2 + f3 + ... + fn

296 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________


1. Sea la siguiente distribución estadística de valores:

Valor Frecuencia absoluta5 3

10 415 220 225 1

Expresar gráficamente estos resultados.

2. Determinar las medidas de tendencia central de ladistribución del ejercicio anterior.

3. En el ejercicio anterior, determinar las medidas dedispersión de la distribución.

Conceptos generales

La combinatoria es la rama de las matemáticas que estu-dia las diferentes formas de agrupación y ordenación delos elementos de un conjunto. Se trata de una metodolo-gía para contar de manera sistemática, y sirve para resol-ver problemas del tipo de los siguientes:

– ¿Cuántos números diferentes pueden escribirse usan-do los dígitos 2, 3 y 4?

– ¿Cuántos números pueden escribirse usando los 10 dí-gitos del sistema decimal?

– ¿Cuántas formas distintas adopta el código genético?– ¿Cuáles son las variaciones posibles cuando se dispo-

ne de ciertos gametos?

Para ello se utilizan diversos conceptos, conocidos bá-sicamente como variaciones, permutaciones y combina-ciones.

Variaciones

Dado un conjunto A con n elementos, se llama variacio-nes de los n elementos tomados de k en k a las distintasordenaciones de los n elementos tomados en grupos de k,de modo que cada una de ellas difiera de las restantes enalguno de los elementos que la componen o en su ordende colocación.

El número de variaciones se representa por Vnk y viene

dado por:

Vnk = n!

(n – k)!

Es decir, es igual al cociente entre el factorial del nú-mero total de elementos disponibles y el factorial delnúmero de elementos que no participan en la ordena-ción. El factorial de un número n, representado por n!,equivale a:

n! = n (n – 1) (n – 2) … 1

Por ejemplo, si se quiere realizar una ordenación de las26 letras del alfabeto en grupos de a 2, se tendrá que:

V262 = 26! = 26 · 25 = 650

(26 – 2)!

Variaciones con repetición. Las variaciones con repeti-ción de n elementos tomados de k en k son las ordenacio-nes de elementos de un grupo, permitiéndose la repeti-ción de los mismos. Se representan por VRn

k.En el caso de las variaciones con repetición, una orde-

nación se distingue de las restantes por los elementos quela constituyen o por su orden.

El número de variaciones con repetición viene dado por:

VRnk = nk

En este caso, por permitirse la repetición, el valor de kpuede ser mayor, menor o igual que el de n.

Por ejemplo, el total de variaciones con repetición quese podrían hacer con los números 1, 2, 3 y 4, tomando con-juntos de dos elementos es:

VR42 = 24 = 16

y son las siguientes:

11 21 31 4112 22 32 4213 23 33 4314 24 34 44

PermutacionesLas permutaciones son las agrupaciones o variaciones sinrepetición que pueden formarse con todos los elementosde un conjunto. Se denotan por Pn y su número vienedado por Pn = n!

Así, por ejemplo, el número de permutaciones que sepuede hacer con los elementos del conjunto a, b, c, d es:

P4 = 4! = 24


CÁLCULO COMBINATORIO

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

298 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Dichas permutaciones son las siguientes:

abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb,bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca,cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba,dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba

Permutaciones con repetición. Dado un conjunto A deelementos: a1, a2, …, an, las permutaciones con repeti-ción de orden k1, k2, … kn, son las agrupaciones de los ele-mentos de A tales que a1 se repita k1 veces; a2, k2 veces; …;an, kn veces. Se representan por PRp

k1, k2, …, kn, donde:

k1 + k2 + … + kn = p

Entonces, el número de permutaciones con repeticiónviene dado por:

PRpk1, k2, … , kn

= p!k1! · k2!, …, kn!

Por ejemplo, si se quieren hacer permutaciones de loselementos del conjunto a, b, c, d, pudiéndose repetir laletra a 3 veces, y la d, 2, el total de posibilidades es:

PR73, 1, 1, 2 = 7! = 1.680

3! · 1! · 1! · 2!

Por ejemplo: aaabcdd, aaacbdd, aaacdbd, adadcba…Por otra parte, el número de permutaciones de los ele-

mentos del conjunto a, a, a, b, c, c está dado por:

PR3, 1, 26 = 6! = 60

3! · 1! · 2!

CombinacionesDado un conjunto A, las combinaciones de sus n elemen-tos tomados de m en m son el número de subconjuntosde tamaño m que se pueden formar, considerando quedos subconjuntos son diferentes cuando difieren en almenos un elemento, pero no en el orden en que están losmismos. Se representan por Cn

m. Su valor numérico vienedado por:

Cnm = = =

Por ejemplo, el número de maneras en que se puedenextraer tres elementos del conjunto 3, 5, 7, 11, 14 es:

C 53 = 5! = 10

3! · 2!

Estas combinaciones son las siguientes:

3, 5, 7; 3, 5, 11; 3, 5, 14; 3, 7, 11; 3, 7, 14;3, 11, 14; 5, 7, 11; 5, 7, 14; 5, 11, 14; 7, 11, 14

El número Cnm se suele expresar también de la forma:

Cnm = ( n

m )

El término de la derecha recibe el nombre de númerocombinatorio. Para el cálculo de las combinaciones pue-den ser útiles las propiedades de los números combina-torios:

( n0 ) = 1

( n1 ) = n

( nn ) = 1

( nm ) = ( nn – m )

( nm ) = ( nm – 1 ) + ( n + 1

m )

( nm ) = ( n – 1p – 1 ) + ( n – 2

p – 1 ) + … + ( p – 1p – 1)

n!m! (n – m)!

n!(n – m)!

m!Vn

m

Pm


1. De un grupo de veinte personas, se designa un co-mité de tres. ¿De cuántas maneras es posible ha-cerlo?

2. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes puedenescribirse con los dígitos 3, 4 y 5?

3. ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarseen una estantería 4 libros blancos, 3 rojos y 5 ne-gros?

4. Hay 3 libros de estadística, 2 de matemáticas y4 novelas. ¿De cuántas maneras se pueden colo-car en una librería si los libros sobre el mismo temadeben quedar juntos?

5. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarseseis personas en una mesa redonda?

6. ¿Cuántos números pares de 3 cifras diferentes pue-den escribirse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5?

Conceptos generales

Cada vez que se realiza un experimento, se obtiene unresultado. Cuando dicho resultado se puede predecirexactamente, se dice que el experimento es determinísti-co; en cambio, si no se puede predecir, pero sí enumerartodos los resultados posibles, el experimento se llamaaleatorio.

El conjunto de todos los resultados posibles recibe elnombre de espacio muestral y se representa por Ω. Los sub-conjuntos del espacio muestral se denominan sucesos oeventos, y se representan por las primeras letras mayús-culas del alfabeto: A, B, C, etc. Estos sucesos pueden seranalizados por medio de la teoría de conjuntos. En parti-cular, son de interés para la teoría de las probabilidadeslas siguientes propiedades de los conjuntos:

1. A B se compone de todos los elementos que estánen A, en B o en ambos conjuntos a la vez.

2. A B se compone de todos los elementos que se en-cuentran en A y en B al mismo tiempo.

3. A y B se dice que son excluyentes, disjuntos o incom-patibles cuando carecen de elementos en común, es de-cir, A B = ∅ .

4. Ac es el conjunto complementario de A y contiene to-dos los elementos del espacio muestral que no están en A.

Así, por ejemplo, si se tiene una caja con 12 fichas nu-meradas y se extrae una, el espacio muestral estará for-mado por todos los posibles números que se pueden ex-traer:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Sea A el suceso se extrae una ficha mayor que 5, y B,la ficha extraída es de número par. Entonces:

A = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12B = 2, 4, 6, 8, 10, 12

A B = 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12A B = 6, 8, 10, 12

Ac = 1, 2, 3, 4, 5

Probabilidad de un suceso

Realizado un experimento aleatorio, a cada suceso A sele hace corresponder un número P(A), llamado probabi-lidad del suceso A, que obedece las siguientes propie-dades:

1. P(A) ≥ 0 (de hecho, es 0 cuando A = ∅ , es decir, el su-ceso es el conjunto vacío).

2. P(A) = 1 si y sólo si A = Ω (es decir, el suceso es todoel espacio muestral).

3. Para dos sucesos excluyentes cualesquiera A y B,P(A B) = P(A) + P(B).

Como consecuencia inmediata de esta definición, sepuede concluir que P(A Ac) = P(A) + P(Ac) = 1. Esta pro-piedad se utiliza generalmente cuando por problemas decálculos es más fácil calcular la probabilidad de Ac quede A, en cuyo caso P(A) = 1 P(Ac).

Analógicamente, en un experimento aleatorio quepuede generar varios sucesos igualmente probables,llamados equiprobables, se define la probabilidadcomo:

p =

Por otra parte, la probabilidad de un suceso A cual-quiera asociado a un espacio muestral Ω viene dadapor:

P(A) =

En el ejemplo en que se extrae una ficha de una caja con12 numeradas, se tiene que:

≠ Ω = 12≠ A = 7≠ B = 6

≠ A≠ Ω

número de casos favorablesnúmero de casos posibles


PROBABILIDADY

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Así:

P(A) = 7/12P(B) = 0,5

A su vez, puede calcularse:

P(A B) = 9/12P(A B) = 4/12

P(Ac) = 1 7/12 = 5/12

Por otra parte, si A y B son dos sucesos cualesquiera, setendrá que:

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

En el ejemplo anterior, sería:

P(A B) = 7/12 + 6/12 4/12 = 9/12

Probabilidad condicional. Supongamos que tenemoslos sucesos A y B asociados a cierto espacio muestral Ω.Se define la probabilidad de A condicionada a B (sabien-do que ha ocurrido B) como:

P(A|B) =

Volviendo al ejemplo de las fichas numeradas del 1 al 12,calculemos P(A|B), es decir, la probabilidad de que salgauna ficha mayor que 5, sabiendo que es par:

P(A|B) = =

Se dice que los sucesos A y B son independientes si secumple que P(A B) = P(A) · P(B). En términos de pro-babilidad condicional, A y B son independientes si:

P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)

En el ejemplo anterior, los sucesos A y B no son inde-pendientes.

Se tienen así dos formas de calcular P(A B):

1. Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces su-cede que: P(A B) = P(A|B) · P(B), o bien P(A B) =P(B|A) · P(A).

2. Si A y B son independientes, entonces: P(A B) =P(A) · P(B).

Por ejemplo, supongamos que se lanza un dado dos ve-ces. Sea A el suceso sale un 6 en el primer lanzamiento,y B, sale un 6 en el segundo lanzamiento. Como el es-pacio muestral está formado por todos los resultados po-sibles al lanzar el dado, P(A) = 1/6 y P(B) = 1/6. Así, alser independientes los resultados del primer y segundolanzamiento, P(A B) = P(A) · P(B) = 1/36.

Teorema de la probabilidad total. Supongamos que unespacio muestral está compuesto por n sucesos disjuntosA1, A2, , An:

Entonces, la probabilidad de un suceso cualquiera sepuede calcular a partir de:

P(B) = P(B|A1) · P(A1) + P(B|A2) · P(A2) + + P(B|An) · P(An)

Un caso particular se tiene cuando Ω se descomponeen A y Ac. Entonces, la probabilidad de un suceso cual-quiera del mismo espacio muestral viene dada por:

P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|Ac) · P(Ac)

Por ejemplo, supongamos que en un curso el 60% delos alumnos disponen de una calculadora para los exá-

B AcA

espacio muestral

B

A1

A1

A2

A3

A4

A6

A5

A

A

Ai

A10

A9

A8A7

23

4/121/2

P(A B)P(B)

300 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

menes. De los que tienen calculadora, el 90% acaba un de-terminado examen a tiempo, y de los que no la tienen,sólo el 30% termina a tiempo. Calculemos la probabili-dad de que un alumno determinado acabe el examen atiempo. Si no sabemos de antemano si tiene o no calcula-dora, podemos usar el teorema de la probabilidad total.Definamos los sucesos:

A: el alumno tiene calculadora.B: el alumno acaba el examen a tiempo.

Por tanto, Ac es el suceso el alumno no tiene calculado-ra. Queremos calcular P(B). Por el teorema tenemos que:

P(B) = 0,9 · 0,6 + 0,3 · 0,4 = 0,66

Teorema de Bayes. Dada la situación anterior, es decir,Ω formado por n sucesos disjuntos (a lo que se denominapartición), supongamos ahora que sabemos que el suce-so B ha ocurrido y queremos calcular la probabilidad deque ocurra alguno de los sucesos de la partición, diga-mos Ai; entonces, por definición de probabilidad condi-cionada, tenemos que:

P(Ai|B) =

y utilizando la misma definición en el numerador y elteorema de la probabilidad total en el denominador, seobtiene la fórmula siguiente, conocida como teorema deBayes:

P(Ai|B) =

De ella también se obtiene el siguiente caso particular:

P(A|B) =

En el ejemplo de los alumnos con y sin calculadora, su-pongamos que se escoge un alumno y se observa que ha

acabado el examen; calculemos la probabilidad de quehaya usado calculadora:

P(A|B) = = = 0,820,540,66

0,90 · 0,600,90 · 0,60 + 0,30 · 0,40

P(B|A) · P(A)P(B|A) · P(A) + P(B|Ac) · P(Ac)

P(B|Ai) · P(Ai)P(B|Ai) · P(Ai) + + P(B|An) · P(An)

P(Ai B)

__________________________________________________________________________________________________ Probabilidad 301


1. Se fabrican artículos hasta producir diez no defec-tuosos. Se cuenta el número total de artículos ma-nufacturados. Describir el espacio muestral aso-ciado a este experimento.

2. Un alumno se presenta a un examen sin haber es-tudiado. El examen consta de diez preguntas, cadauna con cuatro alternativas. El alumno escoge alazar una alternativa en cada pregunta. ¿Cuál es laprobabilidad de que conteste exactamente la mi-tad en forma correcta?

3. Una caja contiene dos bolitas blancas y tres negras.Se extraen simultáneamente dos, se examinan suscolores y se devuelven a la caja. Calcular la proba-bilidad de tener que repetir la operación más deuna vez para lograr observar dos bolitas blancas.

4. Las máquinas A y B, de igual capacidad de pro-ducción diaria, elaboran en promedio un 5% y un10% de piezas defectuosas. Se extrae una pieza dela producción de un día al azar. Calcular la proba-bilidad de que sea defectuosa.

5. En el ejercicio anterior, si se observó que la piezano era defectuosa, calcular la probabilidad de quehaya sido producida por la máquina A.

6. En el ejercicio anterior, si se observan dos piezas y seve que no son defectuosas, calcular la probabilidadde que hayan sido producidas por la máquina A.

Conceptos generales

Cuando un espacio muestral está formado por números,es decir, se puede construir un isomorfismo entre Ω y S,donde S R, se dice que los resultados posibles son va-riables aleatorias.

Las variables aleatorias se suelen representar por lasúltimas letras mayúsculas del alfabeto (X, Y, Z) y los va-lores que pueden tomar se denotan por las mismas letras,pero minúsculas (x, y, z).

Al conjunto de X y sus probabilidades se le llama dis-tribución. Según los valores que pueden tomar las varia-bles aleatorias, éstas se clasifican en discretas y conti-nuas.

Variables aleatorias discretas

Las variables aleatorias discretas se suelen representar entablas de distribuciones de probabilidad o por su funciónde cuantía [P(X = x)].

Por ejemplo, construyamos una tabla de distribuciónde probabilidades donde X es el número que sale al lan-zar un dado. X toma los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6, todos elloscon igual probabilidad, lo que se resume en la siguientetabla:

x 1 2 3 4 5 6

P(X = x) | | | | | |En una tabla de distribución de probabilidades, siem-

pre se cumple que

n∑

i = 1P(X = xi) = 1

Gráficamente, la tabla del ejemplo se puede represen-tar como sigue:

Variables aleatorias continuas

Las variables aleatorias continuas se representan por me-dio de las funciones de densidad. Una función f(x) se diceque es de densidad si cumple con los siguientes requisitos:

a) f(x) ≥ 0; esto es, la función es positiva.b)

- f(x) dx = 1; es decir, la probabilidad total de la fun-ción extendida a todo el conjunto de los números realeses igual a la unidad.

La segunda condición indica también que el área bajola curva es 1. Como se trata de una variable continua, elárea bajo un punto es nula, por lo que no tiene sentidocalcular probabilidades puntuales. Se suelen calcular, encambio, probabilidades de intervalos según el área com-prendida bajo el intervalo dado.

Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 para 0 ≤ x ≤ 1 es la fun-ción de densidad que se puede ver en el siguiente gráfico:

f(x)

10 x

3

caras del dado

0,2

0,15

0,1

0,05

051 2 3 4pr

obab

ilid

ad6

16

16

16

16

16

16


VARIABLES ALEATORIAS

Y

O

X

ax c x+h

f (x)

h

f

B

e

d

ac

bA

Si se quiere calcular, por ejemplo, P (0,3 ≤ x ≤ 0,6), bastacon determinar el área entre 0,3 y 0,6:

P (0,3 ≤ x ≤ 0,6) = 0,60,3 3x2 dx = [x3]0,6

0,3 = 0,189

Función de distribución

Se llama función de distribución F(x) de una variable alea-toria a la función de probabilidad acumulada P(X ≤ x):

F(xj) = j

∑i = 1

P(X = xi) si x es discreta y F(x) = x- f(x)dx si x es

continua. F(x) se suele escribir por intervalos.Por ejemplo, para la variable aleatoria discreta defini-

da en el ejemplo anterior, se tiene que:

0 si x < 1

si 1 ≤ x < 2

si 2 ≤ x < 3

F(x) = si 3 ≤ x < 4

si 4 ≤ x < 5

si 5 ≤ x < 6

1 si x ≥ 6

con la siguiente representación gráfica:

Y para la variable aleatoria continua definida antes, setiene que:

0 si x < 0F(x) = x3 si 0 ≤ x < 1

1 si x ≥ 1

cuyo gráfico es:

Cuando X es variable aleatoria continua, se pueden cal-cular probabilidades de intervalos usando la siguientepropiedad:

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) F(a)

Por ejemplo, P(0,3 ≤ X ≤ 0,6) puede calcularse también:

P(0,3 ≤ X ≤ 0,6) = F(0,6) F(0,3) = 0,63 0,33 = 0,189

La esperanza matemática

Dada una variable aleatoria definida por una distribu-ción de probabilidades o una función de densidad, la es-peranza matemática, o esperanza simplemente, es el va-lor medio de la distribución:

E(X) =

n∑

i = 1xi · P(X = xi) (variable discreta)

- x · f(x) dx (variable continua)

Para los ejemplos anteriores, en el primer caso se tiene:

E(X) = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · = 3,5

y en el segundo:

E(X) = 10 3x3dx = [ ]1

0=

La varianza

En términos de variable aleatoria, se define la varianzacomo la media de las desviaciones cuadráticas de X aE(X), es decir: V(X) = E[X E(X)]2.

34

3x4

4

16

16

16

16

16

16

F(x)

10 x

1

1

0,83

0,67

0,5

0,33

0,17

50 1 3 4 62

56

46

36

26

16

____________________________________________________________________________________________ Variables aleatorias 303

A efectos de cálculo, puede ser útil la siguiente fórmula:

V(X) = E(X2) [E(X)]2

Al término E(X2) se le llama segundo momento de X yse calcula de forma análoga a E(X):

E(X2) =

n∑

i = 1x2

i · P(X = xi) (variable discreta)

- x2 · f(x) dx (variable continua)

Por ejemplo, calculemos la varianza para los dos ejem-plos utilizados:

1.º E(X2) = 1 · + 4 · + 9 · + 16 · + 25 · + 36 · == 15, 17.

Entonces, V(X) = 15,17 3,52 = 2,92.

2.º E(X2) = 10 3x4 dx = .

Por tanto, V(X) = ( )2

= 0,0375.

Distribuciones estadísticas

Existen distribuciones estadísticas que en general tienenun comportamiento similar y que se distinguen entre sípor los parámetros que las definen.

Distribución de Bernoulli

Cuando, al realizar un experimento, la variable aleatoriasólo puede tomar dos valores, llamados éxito o fracaso, yrepresentados por 1 y 0, en que el éxito sucede con pro-babilidad p y el fracaso con probabilidad q = 1 p, se diceque X obedece a una distribución de Bernoulli de pará-metro p denotado X ~ Ber(p). La prueba realizada reci-be el nombre de experimento de Bernoulli. La tabla dedistribución de probabilidades es la siguiente:

x 0 1P(X = x) | p | q

De forma análoga, su función de cuantía viene dadapor P(X = x) = px · q1 x; x = 0, 1.

Por ejemplo, supongamos que al lanzar un dado nosinteresa que salga el 6. Entonces X ~ Bern(1/6), con la ta-bla siguiente:

x 0 1

P(X = x) | |

La esperanza de una distribución de Bernoulli es p y suvarianza p · q. En el ejemplo:

E(X) = 1/6 y V(X) = 5/36

Distribución binomial

Supongamos que un experimento de Bernoulli se repiten veces bajo las mismas condiciones. Nos interesa ahorael número de éxitos en esos n ensayos independientes. Ladistribución que define la variable aleatoria X que des-cribe el número de éxitos en los ensayos independientesse conoce como binomial, y depende de dos parámetros:el número de repeticiones n y la probabilidad de éxito pen cada ensayo. Se representa por X ~ B(n, p), y su fun-ción de cuantía viene dada por:

P(X = x) = (nx) · px · qn x; x = 0, 1, 2, , n

Por ejemplo, calculemos la probabilidad de que al lan-zar un dado diez veces, salga cinco veces el 6. En este caso,X ~ B(10, 1/6) y

P(X = 5) = ( ) · ( )5 · ( )5 = 0,0130

En una distribución binomial, la esperanza es n · p, y lavarianza, n · p · q. En el ejemplo, como promedio saldránE(X) = 10 · 1/6 = 1,67 seises en diez lanzamientos, convarianza igual a:

V(X) = 10 · · = 1,39

Distribución de Poisson

Si un experimento de Bernoulli se repite indefinidamen-te en un intervalo continuo (p. ej., en un período de tiem-po), se dice que la variable aleatoria X número de éxitosen el intervalo sigue una distribución de Poisson con pa-rámetro λ simbolizada por X ~ P(λ), donde λ es una me-dia conocida. Su función de cuantía es:

P(X = x) = ; x = 0, 1, 2,

Además, si X ~ P(λ), se tiene que E(X) = V(X) = λ (la dis-tribución de Poisson es la única distribución cuya espe-ranza y varianza coinciden).

Como ejemplo de una distribución de Poisson, consi-deremos el número de llamadas a una centralita en una

λx · e-λ

x!

56

16

56

16

105

56

16

34

35

35

16

16

16

16

16

16

304 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

hora. Supongamos que se sabe que en promedio se reali-zan cuarenta llamadas. Calculemos la probabilidad deque en una hora se produzcan 43 llamadas:

P(X = 43) = = 0,054

También se puede calcular la probabilidad de que enmedia hora se produzcan sólo quince llamadas. Para estoha de tenerse en cuenta que si en una hora se realizan enpromedio cuarenta llamadas, en media hora es de espe-rar que haya veinte. Representemos por Y a la variablealeatoria número de llamadas en media hora. EntoncesY ~ P(20) y:

P(Y = 15) = = 0,052

Se puede demostrar que, cuando n es grande, la distri-bución binomial tiende a aproximarse a la de Poisson conparámetro λ = n · p. Por tanto, se suele utilizar esta apro-ximación cuando, por la magnitud de n, los cálculos re-sultan muy prolijos si se utiliza directamente una distri-bución binomial.

Distribución geométrica

Si se repite el mismo experimento de Bernoulli hasta ob-tener éxito por primera vez, la distribución se llama geo-métrica y se representa por X ~ G(p). Su función de cuan-tía viene dada por P(X = x) = qx 1 · p; x = 1, 2, 3,

En virtud de esta definición, para tener éxito en el en-sayo es necesario haber tenido fracasos en los x 1 ensa-yos anteriores. No se conoce el valor máximo de x, ya quese podría estar repitiendo el experimento indefinidamen-te y no ganar nunca, como suele ocurrir en el juego de lalotería:

Si X ~ G(p), entonces E(X) = y V(X) =

Por ejemplo, si lanzamos un dado hasta que aparezcael 6, necesitaremos hacer seis lanzamientos en promedio,con una varianza igual a 30.

Distribución uniforme

Se dice que X obedece a una distribución uniforme en elintervalo (a, b) [X ~ U(a, b)] si, en cualquier momento dedicho intervalo, la variable puede suceder con igual pro-babilidad el intervalo puede ser cerrado también, es de-cir [a, b]. Su función de densidad viene dada por:

f(x) = ; x (a, b)

Si, por ejemplo, se sabe que de cierta estación sale untren cada diez minutos, al llegar en un momento cual-quiera una persona puede suponer que el tiempo xde espera hasta que salga el próximo tren es una varia-ble aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo(0, 10). Por tanto, la probabilidad de que tenga que espe-rar menos de tres minutos hasta que pase el próximo trensería:

P(X < 3) = 30 dx = [ ]

3

0

= 0,3

El valor esperado de una variable uniforme en (a, b) esE(X) = a + b/2, y la varianza V(X) = (b a)2/12. En el ejem-plo, la persona tendrá que esperar en promedio cinco mi-nutos, con una varianza de 8,3.

Distribución exponencial

Se dice que el intervalo continuo existente entre dos éxi-tos consecutivos tiene distribución exponencial con pa-rámetro λ , lo que se suele representar por X ~ exp(λ).Esta distribución se puede obtener a partir de una dis-tribución de Poisson en que en un intervalo continuo seproducen 0 éxitos. Su función de densidad viene dadapor:

f(x) = λ · eλx; x ≥ 0

Además, si X ~ exp(λ), entonces E(X) = 1/λ y V(X) = 1/λ2

(la distribución exponencial es la única distribución cuyavarianza es igual al cuadrado de su esperanza).

Por ejemplo, supongamos que el tiempo medio entrellamadas a una centralita es de 1,5 minutos; entonces:X ~ exp(1/1,5).

La distribución exponencial posee la propiedad defalta de memoria: sabiendo que un éxito no ha sucedi-do en un tiempo t, la probabilidad de que suceda en untiempo adicional x es la probabilidad de que suceda enun tiempo x sin considerar que no haya sucedido en eltiempo t.

Analíticamente, esta propiedad se puede escribir de lasiguiente forma:

P(X < t + x | X > t) = P(X < x)

Por ejemplo, supongamos que en el caso de la centralitano se han producido llamadas durante dos minutos; laprobabilidad de que se realice una llamada dentro de lospróximos tres minutos viene dada por:

P(X < 5 X > 2) = P(X < 3) = 30 (1/1,5) · ex/1,5 dx = 0,86

x10

110

1b a

qp2

1p

2015 · e20

15!

4043 · e40

43!

____________________________________________________________________________________________ Variables aleatorias 305

Distribución normal o de Gauss

Considerada muchas veces como una de las distribucio-nes más importantes, la distribución normal depende dedos parámetros: la media aritmética µ y la varianza σ2. Sepresenta cuando se tiene una gran cantidad de medidasreferidas a individuos con características similares, porejemplo las estaturas de los niños de diez años, el tiempode respuesta a una pregunta, etc. Se representa por me-dio de X ~ N(µ; σ), y su función de densidad es la si-guiente:

f(x) = · e ( )2

; < x <

Una característica importante de esta distribución esque es simétrica con respecto a la media. A su gráfica sele suele llamar campana de Gauss. El siguiente gráficoes un ejemplo de una distribución normal N(0, 10):

Un caso particular de la distribución normal se produ-ce cuando se tiene una media µ = 0 y una varianza σ2 = 1.De cualquier distribución normal se puede llegar a unaZ ~ N(0; 1) mediante la transformación Z = X µ/σ, pro-ceso que se llama estandarización de X.

Se dice, entonces, que Z tiene distribución normal es-tándar o típica. Existen tablas de las que es posible ex-traer probabilidades acumuladas P(Z ≤ z). Así, se pue-den calcular probabilidades de cualquier distribuciónnormal simplemente por estandarización y consulta entabla.

Por ejemplo, supongamos que la estatura X de los ni-ños de diez años sigue una distribución normal con me-dia 1,20 m y varianza 0,40 m al cuadrado. Si se escogeun niño al azar, calculemos la probabilidad de quemida a lo sumo 1,30 m. Como X ~ N(1,20; 0,40), se tie-ne que:

P(X ≤ 1,30) = P(Z ≤ ) = P(Z ≤ 0,16) = 0,5636

donde 0,5636 se obtuvo a partir de una tabla N(0; 1).

Otra característica importante es que la distribuciónnormal se puede utilizar para aproximar otras distribu-ciones cuando se dispone de una muestra muy grande.En particular, si X ~ B(n, p) y n es lo suficientemente ele-vado como para que los cálculos directos sean muy com-plejos (digamos n ≥ 60), entonces se puede usar la aproxi-mación X ~ N(np; npq) y efectuar los cálculos a partirde la distribución normal estándar. Esta aproximaciónpuede resultar adecuada incluso cuando n no es muygrande, pero p es cercano a 1/2.

Por ejemplo, si X ~ B(25; 0,48) y se quiere calcularP(11 ≤ X < 15), mediante cálculos directos resulta 0,5664,y utilizando la aproximación normal, el resultado nosda 0,5403.

1,30 1,200,40

distribución normal o campana de Gauss

0,04

0,03

0,02

0,01

03050 40 10 10 50

x µσ

121

2 πσ

306 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________


1. Construir la tabla de distribución de probabilida-des para la variable aleatoria suma de las caras allanzar un dado dos veces. Calcular la esperanzay la varianza.

2. Suponiendo que X está definida por la funciónf(x) = k · (x 2) para 2 ≤ x ≤ 5, calcular k de modoque f(x) sea función de densidad; calcular tambiénsu función de distribución, su esperanza y su va-rianza.

3. Si X ~ B(150; 0,2), calcular:

a) P(X > 30).b) P(25 < X < 42).c) P(X = 29).

4. Calcular la probabilidad de necesitar exactamentediez lanzamientos de una moneda para obtenerseis caras, si en los tres primeros aún no se ha ob-tenido ninguna cara.

5. Una cajera de supermercado atiende a los clientescon un tiempo de servicio exponencial de valor es-perado de dos minutos por persona. Una personaque está en octavo lugar para pagar, ¿cuál es la pro-babilidad de que tenga que esperar más de diez mi-nutos para ser atendida?

6. Una variable aleatoria X está distribuida uniforme-mente con media 6 y varianza 0,75. Calcular la pro-babilidad de que x2 9x + 20 sea negativo.

Álgebra: Rama de las matemáticas que se dedica al estudiode las estructuras algebraicas, entendidas éstas como ge-neralizaciones abstractas de los conjuntos aritméticos.

Álgebra de Boole: Sistema lógico simbólico definido por elfilósofo inglés George Boole a mediados del siglo XIX pararepresentar las relaciones entre conceptos, entidades y ob-jetos. Se basa en el empleo de estructuras sobre las que sedefinen dos operaciones internas binarias conmutativas(normalmente llamadas suma y producto o multiplica-ción) que verifican ciertas reglas. El álgebra de Boole cons-tituye la base del cálculo de probabilidades y la lógica in-formática.

Análisis matemático: Rama de las matemáticas aplicada ala resolución de problemas mediante métodos de aproxi-mación. Tradicionalmente, se ha dividido en cálculo infi-nitesimal, análisis de funciones, ecuaciones diferenciales eintegrales, etc.

Ángulo: Figura geométrica formada por dos semirrectas quese cortan en un punto llamado vértice.

Anillo: Estructura algebraica que, con respecto a dos opera-ciones internas definidas sobre la misma, cumple las pro-piedades siguientes: a) es un grupo conmutativo con res-pecto a la primera operación; b) tiene estructura de se-migrupo para la segunda operación, y c) la segundaoperación cumple la propiedad distributiva con respectoa la primera.

Aplicación: Correspondencia entre dos conjuntos o estruc-turas algebraicas, de modo que a cada elemento del con-junto origen le corresponde uno y sólo un elemento en elconjunto imagen.

Aritmética: Parte de las matemáticas que se dedica al estu-dio de los números, sus relaciones y sus operaciones, apli-cada a la resolución de problemas.

Asociatividad: Propiedad de los conjuntos matemáticos porla cual, tomados tres de sus elementos a, b y c, se verificaque el resultado de operar un elemento a con la operaciónde un elemento b con c es igual al que se obtiene al operarprimero a con b y el resultado de tal operación con c.

Base: En estructuras matemáticas, colección de elementos apartir de la cual es posible generar todos los restantes ele-mentos que integran un conjunto dado.

Cálculo infinitesimal: Rama de las matemáticas dedicadaal estudio de las funciones diferenciales e integrales.

Cardinal: Número de elementos de un conjunto.

Combinación: Dado un conjunto de m elementos, se llamancombinaciones de los m elementos tomados de n en n a losdistintos grupos que pueden formarse de n elementos ta-les que cada grupo difiere de los restantes en el contenido,con independencia de su orden de colocación.

Combinatoria: Rama de las matemáticas especializada en elestudio de las permutaciones, las combinaciones, las va-riaciones y los números combinatorios.

Complementariedad: Dos conjuntos se dicen complemen-tarios cuando: a) la intersección entre ambos es nula; b) suunión forma el conjunto universal.

Cónica: Curva geométrica plana generada por una ecuaciónde segundo grado. Una cónica se suele definir como el lu-gar geométrico de los puntos cuya relación de distancias aun punto fijo llamado foco y a una recta denominada di-rectriz es una constante. Gráficamente, las cónicas puedenconstruirse mediante la intersección de un cono de revo-lución con un plano que no corta al cono por su vértice.Existen tres grandes familias de cónicas: elipses (entre lasque se incluyen las circunferencias), parábolas e hipér-bolas.

Conjunto: Estructura algebraica constituida por una reu-nión de elementos que comparten unas características co-munes. Cuando dicho conjunto contiene todos los ele-mentos del espacio de referencia se denomina universal;por el contrario, si no contiene ningún elemento se dicevacío.

Conjuntos disjuntos: Dícese de dos o más conjuntos cuyasintersecciones son conjuntos vacíos.

Conmutatividad: Propiedad de una operación definida enuna estructura algebraica por la cual el orden en que se to-man los operandos no afecta al resultado final.

Continuidad: Propiedad de las funciones matemáticas quepuede expresarse intuitivamente como la ausencia de sal-tos bruscos e interrupciones en su representación gráficaen un sistema de coordenadas. Según una definición to-pológica más estricta, es continua toda función definidasobre un conjunto cerrado de elementos que, a su vez, estambién cerrada.

Correspondencia: Relación establecida entre dos conjuntoso estructuras algebraicas: el de partida se denomina ori-gen, y el de llegada se conoce por conjunto imagen.

Cosecante: En trigonometría, función inversa del seno de unángulo.

GLOSARIO

Coseno: En un triángulo rectángulo, razón entre el catetocontiguo a un ángulo dado y la hipotenusa del trián-gulo.

Cotangente: Razón trigonométrica existente entre el cosenoy el seno de un ángulo. Valor inverso de la tangente.

Cuerpo: Conjunto algebraico con definición de dos opera-ciones internas, llamadas suma y multiplicación o produc-to, tales que: a) el conjunto tiene estructura de anillo conrespecto a estas dos operaciones; b) todo elemento del ani-llo, salvo el elemento neutro de la suma, posee un elemen-to inverso según la multiplicación.

Deducción: Forma de razonamiento matemático que, a par-tir de un conjunto de premisas o hipótesis de partida yaplicando condiciones lógicas, llega a una conclusión de-mostrable.

Derivada: Dada una función matemática continua en unpunto dado, se llama derivada de la función en dicho pun-to a la pendiente del gráfico de la función en el mismo. Laderivada de una función, entendida intuitivamente comoel grado de aproximación entre la curva que la representay su recta tangente en cada uno de sus puntos, ofrece unaidea de la rapidez del cambio de la función con respecto aaquélla de sus variables para la cual se obtiene la deriva-da. Matemáticamente, la derivada en un punto a se expre-sa como el límite de la función [f(a + h) – f(a)]/h cuando htiende a 0.

Desviación típica: Medida estadística de dispersión defini-da como la raíz cuadrada del valor de la varianza.

Determinante: Dada una matriz cuadrada de n filas y n co-lumnas, su determinante es la suma de los n! (factorialde n) términos que pueden obtenerse multiplicando loselementos individuales de la matriz de manera que: a) encada término del determinante aparezca uno y sólo un ele-mento de cada fila y uno y sólo un elemento de cada co-lumna; b) el signo del término del determinante será posi-tivo cuando la permutación de los índices de las filas seapar en el orden de su escritura, y negativo cuando dichapermutación sea impar.

Ecuación: Igualdad definida entre dos funciones matemáti-cas de una o más variables o incógnitas. Los valores de lasvariables para los cuales se cumple la igualdad reciben elnombre de raíces o soluciones de la ecuación.

Ecuación diferencial: Igualdad entre dos funciones mate-máticas en la que participan tanto variables como sus di-ferenciales y derivadas parciales o totales.

Elemento inverso: Dado un elemento e de una estructura al-gebraica para la que se ha definido una operación internadada, se llama elemento inverso de e con respecto a estaoperación a aquel que, operado con e, da como resultadoel elemento neutro.

Elemento neutro: En una estructura algebraica para la quese ha definido una operación interna, se llama elementoneutro a aquel que, operado con cualquier otro elemento edel conjunto, da como resultado este mismo elemento e.

Elipse: Lugar geométrico de los puntos de un plano para losque la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamadosfocos es una constante. Pertenece a la familia de las cóni-cas. Una circunferencia es un caso particular de elipse cu-yos ejes mayor y menor poseen la misma longitud.

Elipsoide: Superficie cuádrica cuya intersección con cual-quier plano es una elipse. Los elipsoides poseen tres ejesde simetría.

Estadística: Disciplina científica que se dedica al estudio delcomportamiento de los fenómenos de masa o colectivos.Posee numerosas aplicaciones en investigaciones científi-cas, económicas, demográficas, etc.

Frecuencia: Cantidad de veces que se produce un suceso ob-jeto de un estudio estadístico.

Función matemática: Aplicación matemática definida entredos conjuntos cuyos elementos son números.

Geometría: Rama de las matemáticas que se dedica al estu-dio del comportamiento de los espacios, o colecciones deestructuras matemáticas, y de sus transformaciones.

Grupo: Estructura algebraica en la que se ha definido unaoperación interna con respecto a la cual cumple las pro-piedades de asociatividad y existencia de elementos neu-tro e inverso. Si, además, la propiedad es conmutativa, elgrupo se dice abeliano.

Hipérbola: Lugar geométrico de los puntos del plano cuyasdistancias a dos puntos fijos denominados focos difierenen un valor constante.

Hiperboloide: Superficie cuádrica cuya intersección con unplano secante puede ser bien una hipérbola o bien unaelipse.

Homomorfismo: Aplicación definida entre dos estructurasalgebraicas, de manera que si a los elementos a y b de laprimera les corresponden imágenes a’ y b’ en la segunda,a la operación (ab) de la primera estructura se le asociacomo imagen el resultado de la operación (a’b’) en la se-gunda.

Infinitésimo: Dícese de toda sucesión numérica que tiendea cero.

Integral: Inversa de la derivada de una función. Numérica-mente, la integral de una función en un cierto intervalocoincide con el área de la superficie situada entre el gráfi-co de la función y el eje horizontal.

Intersección de conjuntos: Conjunto constituido exclusiva-mente por los elementos comunes a los conjuntos de par-tida.

Isomorfismo: Homomorfismo de naturaleza biyectiva.Límite: Valor al que tiende una sucesión cuando el número

de sus elementos tiende a infinito. En análisis matemáti-co, punto al que tiende una función cuando alguna de susvariables se acerca indefinidamente a un cierto valor dado.

Logaritmo: Exponente o potencia a la que ha de elevarse unelemento numérico llamado base para dar un cierto nú-mero. En particular son muy utilizados los logaritmos de-cimales (base 10) y los neperianos o naturales (cuya basees el número e = 2,718281828...).

Matriz: Colección de números ordenados en filas y colum-nas según una distribución rectangular. Una matriz den filas y m columnas posee dimensión n x m; cuando el nú-mero de filas y columnas coincide, la matriz se dice cua-drada.

Máximo: Valor máximo de una función. Cuando se extiendeal dominio completo de la misma, se llama máximo abso-luto; si se aplica sólo a un entorno de un punto, el máximose dice relativo o local.

308 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

Media: Valor promedio central de un estudio estadístico. Co-múnmente se utilizan varios tipos de medias: la mediaaritmética se define como la suma de todos los valores deuna distribución dividida por el número de observacio-nes; la media geométrica es la raíz enésima del productode los n valores de una distribución, y la media cuadráticaes igual a la raíz cuadrada de la media aritmética de losvalores de la distribución elevados al cuadrado.

Mínimo: Valor mínimo que alcanza una función. Cuandoeste concepto se extiende a todo el dominio de definiciónde la función, el mínimo se dice absoluto; si se aplica al en-torno de un punto, se llama mínimo relativo o local.

Moda: En una muestra estadística, valor más frecuente delespacio muestral.

Número combinatorio: Concepto de la combinatoria defini-do como el número de combinaciones de m elementos to-mados en grupos de n.

Número complejo: Cada uno de los elementos del conjuntode los números complejos, que engloba a los números rea-les y a los imaginarios (que resultan de extraer la raíz cua-drada de números reales negativos). Cada uno de los ele-mentos de los números complejos puede expresarse comoa + bi, siendo a y b números reales e i la base de los núme-ros imaginarios, igual a la raíz cuadrada de –1.

Número entero: Cada uno de los elementos del conjunto delos números enteros, integrado por los números natura-les, el elemento neutro (cero) y los números negativos. Elconjunto de los números enteros se denota por Z.

Número natural: Cada uno de los elementos de la sucesión1, 2, 3, 4, 5, ... El conjunto de los números naturales se de-nota por N.

Número primo: Dícese del número natural divisible única-mente por sí mismo y por la unidad.

Número racional: Número que puede describirse como larazón entre dos números enteros. El conjunto de los nú-meros naturales, denotado por Q, incluye al de los enteroscomo un subconjunto.

Número real: Número que puede expresarse con una canti-dad finita o infinita de cifras decimales. El conjunto de losnúmeros reales, denotado por R, incluye a los racionales(enteros y fraccionarios) y a los irracionales (número π, nú-mero e o base de los logaritmos neperianos,

—2, etc.).

Parábola: Lugar geométrico de los puntos del plano cuyasdistancias a un punto fijo llamado foco u origen y a unarecta denominada directriz son iguales. La distancia exis-tente entre el foco y la directriz recibe el nombre de pará-metro de la parábola. Esta curva pertenece a la familia delas cónicas.

Paraboloide: Superficie cuádrica cuya intersección con unplano secante puede ser bien una parábola o una hipérbo-la (paraboloide hiperbólico) o bien una parábola o unaelipse (paraboloide elíptico).

Permutación: Dado un conjunto de m elementos, se llamanpermutaciones de los m elementos a los distintos gruposque pueden formarse de manera que cada uno difiera delos restantes sólo en el orden de colocación.

Plano: Lugar geométrico de los puntos del espacio que serigen por una ecuación de primer grado con tres varia-bles.

Polinomio: Suma de un número finito de términos, dondecada uno de los cuales está constituido por el producto deun coeficiente y una variable elevada a una potencia ente-ra no negativa. El máximo valor de esta potencia entre to-dos sus términos define el grado del polinomio.

Probabilidad: Rama de las matemáticas que se dedica al es-tudio de los fenómenos aleatorios.

Punto: Cada uno de los elementos pertenecientes a un espa-cio, un plano o una recta.

Punto de inflexión: Cada uno de los puntos de una curvadonde la pendiente cambia de signo; en estos puntos, lacurva pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa.

Raíz: Solución de una ecuación.Recta: Lugar geométrico de los puntos de un plano que se

rigen por una ecuación de primer grado con dos variables.Secante: En trigonometría, valor inverso del coseno de un

ángulo.Semigrupo: Estructura algebraica en la que se ha definido

una operación interna que cumple la ley asociativa.Seno: En un triángulo rectángulo, razón numérica existente

entre el cateto opuesto a un ángulo dado y la hipotenusadel triángulo.

Sucesión: Conjunto de tres o más números clasificados se-gún un cierto orden y que cumplen una ley predefinida.Se trata de una aplicación del conjunto de los números na-turales en otro conjunto, por lo común el de los númerosreales.

Tangente: En trigonometría, razón entre el seno y el cosenode un ángulo. En geometría, recta que corta a una curvaen un punto dado.

Topología: Rama de las matemáticas que se encarga del es-tudio de las propiedades de las estructuras compuestaspor elementos abstractos o físicos que permanecen inva-riantes cuando son sometidas a operaciones de distorsióndefinidas por homomorfismos matemáticos.

Triángulo: Figura geométrica plana provista de tres lados ytres ángulos. Los triángulos se llaman acutángulos cuan-do sus tres ángulos son agudos (menores de 90º); obtusán-gulos, cuando existe un ángulo obtuso (mayor de 90º), yrectángulos, de particular interés en trigonometría, cuan-do poseen un ángulo recto (90º).

Trigonometría: Parte de las matemáticas que estudia las re-laciones entre los lados y los ángulos de un triángulo, yasea éste plano (trigonometría plana) o esférico (trigono-metría esférica).

Unión de conjuntos: Dada una serie de conjuntos de parti-da, su unión es el conjunto constituido por la agregaciónde todos los elementos de cada uno de los conjuntos.

Variación: Dado un conjunto de m elementos, se llaman va-riaciones de los m elementos tomados de n en n a los dis-tintos grupos de n elementos que pueden formarse, de talmodo que cada grupo difiere de los restantes bien en elcontenido o bien en el orden de colocación.

Varianza: Medida de dispersión estadística definida comoel momento de segundo orden centrado en la media. Secalcula como la media aritmética de los cuadrados de lasdesviaciones de los valores de la variable con respecto a lamedia aritmética de la muestra. Su raíz cuadrada es la lla-mada desviación típica o estándar de la distribución.

______________________________________________________________________________________________________ Glosario 309

Historia de las matemáticas

1. El modelo matemático de Descartes, llamado geometríaanalítica, se basa en la razón y el método deductivo, y par-te de dos ideas fundamentales: los sistemas de coordena-das rectangulares, llamados cartesianos en su honor, y lasmagnitudes variables.

2. Las dos teorías físicas de gran complejidad del siglo XXpara cuya elaboración han servido de base los conoci-mientos matemáticos son la teoría de la relatividad gene-ral y la mecánica cuántica.

Conjuntos y subconjuntos

1. A = números pares.B = números impares.

2.

3. S C QP C QR QP R Q

4. P(A) = ∅ , a, b, c, a, b, a, c, b, c, A

Álgebra de Boole. Leyes de Morgan

1. a) A = 4, 5, 6, 7, 8, 9b) A B = 2 → A B = 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9c) A B = 1, 2, 3, 5, 6, 7

(A B) = 3

2. Una partición podría ser:U1 = 0, 2, 4U2 = 6, 8U3 = 10, 12

y otra sería, por ejemplo:

U’1 = 0, 2, 4, 6, 8, 10U’2 = 12

3. A B = ∅B C = 4, 6, 8(A B) C = ∅ C = C(A B C ) = ∅A ∆ B = (A B) (B A)A B = AB A = B

ya que A B = ∅

Por tanto: A ∆ B = A B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Aplicaciones y relaciones entre conjuntos

1.

Una aplicación inyectiva entre A y B sería:

2. Es inyectiva, pues f (n) N, y n, m N; F (n) = f (m).Se verifica que n + 3 = m + 3, de donde n = m. No es so-breyectiva porque el 1 y el 2 no son imagen de ningúnelemento.

3. .2

.1 .6

.8 .4

.10

fA B

poñnm

2

4

7

8

poñn

2 4 6 8

m

.4

A

.2

.0 .8

.6.10

B .5 .1.3.7.9


Propiedad reflexiva. Cada elemento está relacionadoconsigo mismo: (1, 1), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (8, 8), (10, 10).

Propiedad simétrica. Si a R b → b R a. Los pares (1, 2),(2, 1), (4, 6) (6, 4) (4, 8), (8, 4), (6, 8), (8, 6) verifican estapropiedad.

Propiedad transitiva. Si a R b y b R c, entonces a R c:4R8 6R88R6

Luego se verifica la propiedad transitiva, y al verificar-se las tres propiedades R es de equivalencia.El conjunto cociente E/R estaría formado por la clasedel 1, la del 4 y la del 10:

E/R = [1], [4], [10]

Estructuras algebraicas1. El conjunto de los números enteros pares se representa

por 2Z y está formado por los números: 8, 6, 4,2, 0, 2, 4, 6, Hay que comprobar que se verifican las dos condicio-nes de subanillo:a) Dados m, n Z, 2m y 2n son dos números pares per-

tenecientes a 2Z; entonces 2m 2n = 2(m n) 2Z,pues m n Z; queda probada la primera condición.

b) Hay que ver que el producto de dos elementos de 2Zes otro elemento de 2Z.

Si m, n Z, 2m, 2n 2Z, entonces 2m · 2n = 2(m · 2 · n) 2Z, pues m · 2 · n · Z por ser Z anillo queda probadala segunda condición, por tanto (2Z, +, ·) es un subani-llo de Z, +, ·.

2. Hay que demostrar que se cumplen las dos condicio-nes de ideal:a) a, b I I2 se verifica por definición de intersec-

ción que a y b I1 y a y b I2 , por ser I1 e I2 idealesse verifica que a b I1 y a b I2 y por definiciónde intersección a b I1 I2, luego queda probadala primera condición.

b) Sean a, I1 I2 cualquiera, y x A. Por definiciónde intersección a I1 y a I2 y, como I1 e I2 son idea-les, se verifica que x A, a · x I1 y a · x I2, luegoa x I1 I2, y queda probada la segunda condición.

3. (Z/5, +) es un grupo. La operación es interna, pues alsumar dos elementos cualesquiera de Z/5 da otro ele-mento de Z/5, ya que los resultados de la tabla son to-dos pertenecientes a Z/5. El elemento neutro es el 0; lossimétricos de 0, 1, 2, 3, 4 son, respectivamente, 0, 4, 3, 2, 1. La propiedad conmutativa se verifica, pues la tablaes simétrica con respecto a la diagonal principal.

Números naturales, enteros y fraccionarios

1. a) 0,37 = 37/100b) x = 12,47

100 x = 1.247,47; se resta: 100 x = 1.247,47x = 12, 47

99 x = 1.235x = 1.235/99

c) x = 25,3710 x = 2.53,7; se multiplica por 10, pues el an-

teperíodo sólo tiene una cifra.100 x = 2.537,7; se multiplica por 10, pues el pe-

ríodo tiene una sola cifra.

se resta: 100 x = 2.537,710 x = 253,790 x = 2.284

x = 2.284/90

2. = ( )2

: ¯

= ( )2

: ¯

=

= : :

3. a) Hay que comparar las dos fracciones 5/9 y 2/12.Para ello se reducen a común denominador: m. c. m.(9,12) = 36:

5/9 = 20/36 2/12 = 6/36Compró mayor parte de finca el que adquirió 5/9.

b) Se pasan las hectáreas a metros cuadrados: 1 ha =1 hm2 = 10.000 m2:

2,7 ha = 2,7 · 10.000 = 27.000 m2

Se calcula la parte que compró cada uno:5/927.000 = 135.000/9 = 15.000 m2

2/1.227.000 = 54.000/12 = 4.500 m2

El primero pagó 15.000.750 = 11.250.000 unidadesmonetarias.El segundo pagó 4.500.750 = 3.375.000 unidades mo-netarias.

Números primos

1. Solamente el 13.528 es divisible por 2. El 34.353 es elúnico que es divisible por 3. El 625 es divisible por 5.Ninguno de los tres es divisible por 7.

2. 75 3 256 2 90 2 936 225 5 128 2 45 2 468 25 5 64 2 15 3 234 21 32 2 5 5 117 3

16 2 1 39 38 2 13 134 2 12 21

75 = 3 · 52 256 = 28 90 = 2 · 32 · 5 936 = 23 · 32 · 13

3. a) 100 2 90 2 m. c. d. (100, 90) = 2 · 5 = 1050 2 45 3 m. c. m. (100, 90) = 22 · 52 · 32 = 90025 5 15 35 5 5 51 1

100 = 22 · 52 90 = 2 · 32 · 5Algoritmo de Euclides100 |90 90 |10

10 1 00 9m. c. d. (100, 90) = 10

2

675

3

2

1

225

9

5

1

15

1 + 8

4

10 9

15

(2/3 3/5)2

1 /4 + 2


b) 200 2 160 2 130 2100 2 80 2 65 2

50 2 40 2 13 1325 5 20 2 15 5 10 21 5 5

1200 = 23 · 52 160 = 25 · 5 130 = 2 · 5 · 13m. c. d. (200, 160, 130) = 2 · 5 = 10m. c. m. (200, 160, 130) = 25 · 52 · 13 = 10.400

4. a) 25D · 24 · 3.600 = 2.160.0008h · 3.600 = 28.80030 · 60 = 1.80046 = 46

2.190.64625D 8h 30 46 = 2.190.646

b) 18.369 |600369 306 |60

09 06 518.369 = 5º 6 9

5. a) 180º =179º 59 6085º 43 1894º 16 42

b) 12º 58 49 441 |60 9 21 7

108º 522 441529 21 529 |60

106º 49 21 49 8

Proporciones y porcentajes

1. Cf = Ci (1 + r)t; r = 8/100 = 0,08; Ci = Cf/(1 + r)t = = 1.260.000 / (1 + 0,08)12 = 1.260.000/1,0812 = = 1.260.000/2,52 = 500.000 pesos.

2. Se pide el tiempo; la fórmula es: t = I · 100/RC = = 90.000 · 100/4 · 150.000 = 15 años.

3. I = CRt/100 = 350.000 · 6 · 1/100 = 21.000. El interés son21.000, pero como en concepto de impuestos se retiene el25% de los intereses, de los 21.000 sólo se cobrará el 75%:

100 7521.000 x

x = 21.000 · 75/100 = 15.750Efectivos, recibe 15.750 pesos, que sumados al capitalinicial dan: 350.000 + 15.750 = 365.750 pesos.

4. a) 5/x = x/45; x2 = 5 · 45 = 225; x = 225 = 15; 5/15 = 15/45.

b) 13/39 = 65/x; 13x = 65 · 39; x = 65 · 39/13 = 195;13/39 = 65/195.

5. a) Es una proporción directa: cuanto mayor sea el nú-mero de tomates, más cantidad de dinero se necesi-ta; luego:

5 kg 100 pesosx 12.000 pesos

se forma la proporción directa: 100/12.000 = 5/x:x = 12.000 · 5/100 = 600 kg

b) Es una proporción inversa: a más obreros, menoshoras:

4 obreros 18 horas6 obreros x horas

se forma la proporción inversa: 6/4 = 18/x:6x = 4 · 18; x = 4 · 18/6 = 12 horas

Polinomios

1. a) A · B = 2x8 24x7 + 64x6 + 7x5 51x4 + 16x3 + 49x 63.b) B 2A = 8x3 + 7x 23.

2. Cociente = 2x4 8x3 + 7x 9; resto = 0.

3. 1 14 +71 154 +1202 | 2 24 94 120

1 12 47 60 0 Resto3 | 3 27 60

9 20 0 Resto4 | 4 20

1 5 0 Resto5 | 5

0 Restox 5 = 0 x = 5

P(x) = (x 2) (x 3) (x 4) (x 5)

4. m (x n)2 + p = m (x2 2nx + n2) + p = mx2 2mnx + mn2

+ p, luego 5x2 20x + 23 = mx2 2mnx + (mn2 + p). De laigualdad se deduce: m = 5; 2mn = + 2; 2 · 5 · n = 20; n =20/10 = 2; mn2 + p = 23; 5 · 22 + p = 23; 20 + p = 23 ; p = 3

| m = 5 | n = 2 | p= 3 |Ecuaciones de primer grado

1. a) 3 (x 4) + 4 = 2x + 5 (2 x) 63x 12 + 4 = 2x + 10 5x 63x 8 = 3x + 43x + 3x = 4 + 86x = 12x = 12/6 = 2x = 2

b) = 2x

m. c. m. (2, 1) = 2(6 x) x = 4x 3 (10 x) 186 x x = 4x 30 + 3x 186 2x = 7x 482x 7x = 48 69x = 54x = 54/9 = 6x = 6

2. a) (2x + y = 7)→

4x + 2y = 144x 2y = 2 4x 2y = 2

8x = 16 → x = 22 · 2 + y = 7 y = 7 4 = 3x = 2; y = 3

3 (10 x) 92

x2

6 x2

1 9100 90 1010 0

312 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

b) Despejando x en otra ecuación:

3x + 5y = 8 → 3x = 8 5y → x =

→7x 2y = 5 → 7x = 5 + 2y → x =

→ =

m. c. m. (3, 7) = 217 (8 5y) = 3 (5 + 2y)56 35y = 15 + 6y35y 6y = 15 5641y = 41y = 41/41 = 1y = 1

x = = = = 1

x = 1y = 1; x = 1

c) Despejando x en la primera ecuación:x = 7 + 3y

y sustituyendo en la segunda ecuación:

2 · (7 + 3y) + 9y = 2914 + 6y + 9y = 2915y = 29 1415y = 15y = 15/15 = 1x = 7 + 3 · 1 = 10x = 10; y = 1

3. Se plantea un sistema:x + y = 36x y = 18

Se resuelve por reducción, sumando la ecuación:

x + y = 36x y = 18 2x = 54 → x = 27

Sustituyendo en la primera ecuación: 27 + y = 36 → y = 9

4. Se despeja y en otra ecuación:

y = 16 4x3y = 4xy = 4x/3

Se calcula una tabla de valores:

y = 16 4x

x 3 4 2y | 4 | 0 | 8

y = 4x/3x 0 3 3y | 0 | 4 | 4

Ecuaciones de segundo grado

1. Se puede plantear un sistema de ecuaciones:

x + y = 14x · y = 45

o bien se puede sustituir directamente en x2 Sx + P = 0y resolver. Sería:

x2 14x + 45 = 0x = (14 ± 196 180)/2 = (14 ± 16)/2 = (14 ± 4)/2→ x1 = 9; x2 = 5Las edades son de 5 y 9 años.

2. y = 3 (x2 + 5x 14), y las raíces del polinomio son:

x = 5 ± = → y = 3 (x 2) · (x + 7)

3. a) x2 = 49; x = 49; x1 = 7 y x2 = 7b) x (x 2) = 0; x = 0; x 2 = 0; x = 2c) x 2 = z; z2 37z + 36 = 0

z = (37 ± 1.369 144) /2 = (37 ± 35)/2 = = 72/2 = 36 ó 2/2 = 1 z1 = 36 y z2 = 1x 2 = 36, x = 36; x1 = 6, x2 = 6x 2 = 1, x = 1; x3 = 1, x4 = 1

Matrices y sistemas de ecuacioneslineales

1. Como A es de orden 3 · 4 y B, de orden 4 · 2 , se puedeefectuar el producto de A · B:

2 + 2 + 0 + 2 5 + 2 + 9 + 0 4 16A · B =( 4 1 + 0 + 0 10 1 + 15 + 0 ) = ( 3 24)2 + 2 + 0 12 5 + 1 + 3 + 8 12 8

2. A la cuarta columna se le suma la primera multiplican-do por (3)

1 0 1 3

A = 2 1 1 7 primera columna +0 2 3 4 tercera columna =|1 3 5 1 |0 0 1 0 3 1 7

= 3 1 1 7 = (1) · (1)1+3 3 2 4 =3 2 3 4 |4 3 1 || 4 3 5 1 |

= [6 + 16 + 63 (56) (3) (36)] == (6 + 16 + 63 + 56 + 3 + 36) = 168

3. 1 1 1 1 1M = ( 3 1 1 ) , | 3 1 | = 1 3 = 2

2 0 21 1 1| 3 1 1 |= 2 + 2 + 0 + 2 6 + 0 = 02 0 2

r(M) = 2 < número de incógnitas

x1 = 2x2 = 7

5 ± 92

25 + 562

x

y

8Solucióndel sistema

6

(6, 8)

33

8 53

8 5y3

5 + 2y7

8 5y3

5 + 2y7

8 5y3


Se desprecia la última ecuación:

→

x = = = z

y = = = = 2z

Haciendo z = λ, se tiene la solución (λ, 2λ, λ).

Sucesiones y límites

1. a) Es una indeterminación de la forma /. Se resuel-ve dividiendo numerador y denominador por n3:

n → lim =

n → lim = =

= = =

b) Indeterminación de la forma . Se resuelvemultiplicando y dividiendo por el conjugado de

n2 + 1 n2 1

n → lim =

= n → lim =

= n → lim =

= n → lim =

=n → lim n2 + 1 + n2 + 1 = + =

c) Es un indeterminación de la forma 1, luego:

P = n → lim ( 1) · 3n2 =

n → lim ( ) · 3n2 =

= n → lim = 6, luego

n → lim ( )3

n2 = ep = e6

2. La sucesión es la misma que 1/12, 1/22, 1/32, 1/42, 1/52:a) El término general es an = 1/n2.b) La sucesión está acotada superior e inferiormente. El 1

es el máximo y el extremo inferior es el 0. Cualquier nú-mero mayor que 1 es una cota superior y cualquiernúmero menor que 0 es una cota inferior.

3. a) La diferencia es 10 4 = 6.b) El término general an = a1 + (n 1) d = 4 + (n 1) · 6 =

= 4 + 6n 6 = 6n 2.c) a15 = 6 · 15 2 = 88.

S15 = [(4 + 88) · 15]/2 = 690.

4. 2 1.458. Se calcula la razón r =4

1.458/2=4

729 = 33,luego la sucesión es 2, 63, 54, 1623, 1.458.

5. El número 4,3 es igual a 4 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + Los términos 0,3 + 0,03 + 0,003 forman una progresióngeométrica ilimitada decreciente, de razón 1/10, luego susuma se obtiene por la fórmula:

S = = = = = =

Por tanto: 4,3 = 4 + 1/3 = (12 + 1)/3 = 13/3

Números complejos y logaritmos

1. a) Z1 + Z2 = (2 3i) + (3 + i) = 5 2ib) Z1 · Z2 = (2 3i)(3 + i) = (6 + 3) + (9 + 2)i = 9 7ic) Z1 / Z2 = (2 3i)/(3 + i) = [(2 3i)(3 i)]/

/[(3 + i)(3 i)] = [(6 3) + (2 9)i]/(32 i2) = = (3 11i)/10 = 3/10 11i/10

Pues 32 i2 = 9 (1) = 10

2.5

3260º = 5

32(60 + 360K)/ 5, con K = 0, 1, 2, 3, 45

32 = 5

25 = 2Para K = 0 60/5 = 12º → 212º

Para K = 1 (60 + 360 ) / 5 = 84º → 284º

Para K = 2 (60 + 720 ) / 5 = 156º → 2156º

Para K = 3 (60 + 1.080 ) / 5 = 228º → 2228º

Para K = 4 (60 + 1.440 ) / 5 = 300º → 2300º

Las cinco raíces son: 212º, 2 84º, 2 156º, 2 228º, 2 300º

3. Para pasar de forma polar a binómica, es necesario pri-mero pasar a trigonométrica:

230º = 2 (cos 30 + i sen 30) = 2 (3/2 + 1/2 · i) = = 2 · 3/2 + 2/2 · i = 3 + i

4. log3 (27 · 92)/ 4

729 = log3 (27 · 92) log3

4729 = log3 27 +

+ log3 92 log3 729

= log33 3 + 2log33 2 log33 6

= 3log33 +4 4+ 4log33 6log33/4, 3 + 4 6/4 = (12 + 16 6) = 22/4 == 11/2, ya que log33 = 1

5. Aplicando las propiedades de los logaritmos, queda:

log [(x + 5) log (x + 4)2] = log (4 / 9)log [(x + 5)/(x + 4)2] = log (4/9), luego (x + 5)/(x + 4)2 == 4 / 9; por tanto, 9x + 45 = 4 (x2 + 8x + 16) → 4x2 + 32x ++ 64 9x 45 = 0 → 4x2 + 23x + 19 = 0x = (23 ± 529 304)/8 = (23 ± 15)/8 = 38/8 = 19/8.

Se comprueban las soluciones y x = 1 es la que verifi-ca la ecuación.

Derivadas

1. a) y = 3x2 cos x3.

b) y = xx, tomando logaritmos Ly = Lxx, Ly = xLx.y/y = 1Lx + x1/x, y = (Lx + 1) y, y = (Lx + 1)xx

c) y = sen x/ecos x es un cociente

y= cos x · ecos x + sen2 x · ecos x= cos x + sen2 x

(ecos x) 2 ecos x

13

39

0,39/10

0,3(10 1)/10

0,31 1/10

a11 r

n2 + 1n2 1

6n2

n2 + 1

n2 + 1 n2 + 1n2 + 1

n2 + 1n2 1

2(n2 + 1 + n2 1)(n2 + 1 n2 + 1)

2(n2 + 1 + n2 1)(n2 + 1)2 (n2 1)2

2(n2 + 1 + n2 1)(n2 + 1 n2 1)(n2 + 1 + n2 1)

2n2 + 1 n2 1

12

1 + 0 02 + 0

1 + 3/ 5/2 + 7/

1 + 3/n 5/n3

2 + 7/n3n3/n3 + 3n2/n3 5/n3

2n3/n3 + 7/n3

4z2

z 3z2

1 z| 3 z|2

z + 22

z 1| z 1|2

x + y = 03x + y = z

x + y = 03x + y + z = 0

314 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________

2. Aplicando el teorema del valor medio

[f(b) f(a)]/(b a) = f (c)(0 6 )/(2 0) = 2x 5, 3 = 2x 5, 2x = 1,

x = → y = 5 + 6 = + 6 =

3. f(x) = x3 + 3, f(1) = 13 + 3 = 4, f(1 + h) = (1 + h)3 + 3

f (1) = h → 0lim [f(1 + h) f(1)]/h =

h → 0lim [(1 + h)3 + 3 4]/h =

= h → 0lim (1 + h3 + 3h2 + 3h + 3 4)/h =

h → 0lim (h3 + 3h2 + 3h)/h =

= h → 0lim h2 + 3h + 3 = 0 + 0 + 3 = 3, f (1) = 3

4. f(x) = sen xsen x = x x3/3! + x5/5! x7/7! + x9/9! +

Integrales

1. a) tg x dx = (sen x/cos x) dx = (sen x du)/u(sen x) == du/u = lnu + C = ln cos x + C, llamando u = cos x, du = sen x dx, de donde dx = du/sen x.

b) Se integra por partes, llamandou = x2 du = 2x dxdv = sen x dx v = cos x

x2 sen x dx = x2 cos x + 2 cos x · x dx

Para resolver la integral del segundo miembro, sevuelve a aplicar el método por partes, haciendou = x, du = dx, dv = cos x dx, v = sen x

= x2 cos x + 2 [x sen x sen x dx]= x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + C

c) 3/(x2 5x + 6) = A/(x 2) + B/(x 3) == [A(x 3) + B(x 2)]/[(x 2)(x 3)]Resolviendo x2 5x + 6 = 0, se tiene x1 = 2; x2 = 33 = A (x 3) + B(x 2), 3 = (A + B)x + (3A 2B)Se obtiene el sistema:

A + B = 03A 2B = 3

Resolviendo se llega a: B = 3, A = 3, luego: 3 dx/(x2 5x + 6) = [3/(x 2)] dx + 3 dx/(x 3) == 3 ln x 3 + C

2. Se representa la circunferencia:

El radio es 1; la superficie será 4 veces la del área ra-yada.

Despejando y: y = 1 x2

S1 = 0

1 1 x2 dx = 0π/2 1sen2 cost dt =

0π/2 cost · cost dt

= 0π/2 cos2 t dt = 1/2

0π/2 (1 cos 2t) dt = 1/2

0π/2 dt

1/2 0π/2 cos 2t dt = [1/2t]

0π/2 1/4

0π/2 2 cost dt = [t/2]

0π/2

[sen 2t/4]0π/2 = π/4 + [0] = π/4

Haciendo el cambio x = sen t, dx cos t dt x = 0 t = 0 x = 1t = π/2.Y como cos2 t = 1 cos 2t;la superficie pedida S = 4 S1 = 4/4 = π.

3. Se representan las gráficas

El área rayada es la pedida.Como el punto de corte de ambos gráficos es el (1, 1),entre 1/2 y 1, la gráfica de la función y = 1/x está porencima de la y = x2 y entre 1 y 5 es al revés, luego:

S = 11/2

(1/xx2) dx + 1

5 (x21/x)dx = [ln xx3/3]11/2

++ [x3/3 ln x]

15 = (ln 1 13/3 ) [ln 1/2 (1/2)3/3] +

+ (53/3 ln 5) (13/3 ln 1) = 0 1/3 0 + ln 2 + + 1/24 + 125/3 ln 5 1/3 + 0 = ln 2/5 + 985 /24

4. La fórmula para hallar el volumen es V = πa

b [f(x)]2 dxSe despeja y en la función, y = 1x2la función corta al eje x en los puntos (1, 0) y (1, 0),luego:

V = π1

1 (1x2 )2 dx = π1

1 (1 x2) dx == π[x x3/3]

11 = π(1 1/3) [(1) (1/3)] = 4π/3

Ecuaciones diferenciales

1. dy/dx = 1.dy = dx, integrando y = x + C, para el punto (0,0), C = 0,y = x. La familia son todas las rectas paralelas a la rec-ta y = x:

y = x

y = x2

1 51/2

y = 1x

S1

(1, 0)

154

52

14

12

122

12


2. Es una ecuación en variables separables:

(x + e2x) y2 dy/dx = 1 + 2e2x

separando las variables:y2 dy = (x + e2x) dx

1 + e2x

luego:y3/3 = ln (x + e2x) + ln C, y3 = 3 ln (x + e2x)C

y = ln [(x + e2x) · C]

3. Es una ecuación lineal de primer orden.Se calcula la solución de la ecuación homogénea:

y + y/x = 0dy/dx = y/x, separando las variables:

dy/y = dx/xln Cy = ln x, Cy = elnx = 1/elnx = 1/x; y = 1/Cx = K/x

haciendo K = K(x), y = [K(x)x K(x)]/x2,sustituyendo en la ecuación completa:

[K(x)x K(x)]/x2 + K/x2 = ex, de donde Kx/x2 = ex

K = xex

integrando por partes K = x ex ex + C,luego la solución general es: y = (x ex ex + C)/x.

4. V = dx/dt, dx/dt = 3t2 + 5, separando las variables dx =(3t2 + 5) dt; integrando x = t2 + 5t + C. Como parte dereposo, para t = 0, x = 0, luego C = 0 y la ecuación delmovimiento es x = t2 + 5tA los 8 segundos: x(8) = 83 + 5 · 8 = 552 metros.

Elementos de geometría plana

1. Todos los puntos de una línea recta se encuentran enuna misma dirección; no sucede así en las curvas.

2. Para definir una recta basta con dos puntos; un planoqueda perfectamente definido por medio de tres puntos.

3. Los ángulos complementarios son aquellos que suman90º. Los suplementarios son los que suman 180º.

4. Tres puntos o una recta y un punto fuera de ella.

Geometría poligonal

1. Un icoságono tiene 20 lados. Aplicando la fórmula:S = (n 2) · 180º

se tiene:

S = (20 2) · 180 = 18 · 180 = 3.240º

2. El perímetro es: P = 6 + 5 + 3 = 14 cm, por lo que el se-miperímetro es S = 7 cm.Aplicando la fórmula:

A = S(s a) (s b) (s c)

A = 7(7 6) (7 5)(7 3) = 7 · 1 · 2 · 4 == 56 = 7,48 cm2

3. A = = = 7,5 mm2.

4. A = = · 4 = 32 cm2.

Geometría circular

1. La cuerda es la porción de la secante incluida dentrode una circunferencia:

2. As = ,

siendo As el área del sector, Ac el área de la circunferen-cia, y a, el ángulo del sector expresado en grados. Esdecir:

As = = = 5πcm2.

3. A = π (r2 r2) = π (52 32) = 16πcm2.

Cuerpos geométricos

1. V = Abase · h = 4 · 3 · 5 = 60 cm3.

2. d = 3l2 = 3 · 32 = 3 3 cm = 5,2 cm.

3. Al = 2πrh = 2π · 3 · 5 = 30πcm2.

4. V = Abase · h = πr2 · h = π · 32 10 = 30πcm3.

Geometría analítica

1. d = (1 + 3)2 +(1 5)2 = 4 + 36 = 40

2. y 1 = (x 1) → y 1 = 2(x 1) → y = 2x 1

3. d = = = =

4. (x 2)2 + (y 3)2 = 9

5. d = = =

= 317

2 · (1) + 3 ·1 + (2) · 4 + 44 + 9 + 4

Ax1 + By1 + Cz1 + DA2 + B2 + C2

355

35

0 2 + 31 + 4

y0 mx0 n1 + m2

5 13 1

13

13

13

π · 62 · 50360

πr2a360

Ac · a360

secante

A

B

AB = cuerda

O

10 · 62

B · b2

5 · 32

d1 · d22

316 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________


Trigonometría

1. sen2α + cos2α = 1 → cosα = 1 sen2α

Entonces: cos 45º = = 1

=

= 1 = =

2. tgα = = = 1

3. Al igual que su inversa, el seno, es positiva en los cua-drantes I y II, y negativa en los cuadrantes III y IV.

4. Solamente el seno y el coseno. Las restantes funciones(tangente, cotangente, secante y cosecante) presentanpuntos de discontinuidad, donde se hacen infinitas(con valor positivo o negativo).

Teoremas angulares y triangulares

1. Dado que 45º es la mitad de 90º, aplicamos las relacio-nes del ángulo mitad:

cos = ± = ± = ±

= ±

(α = 90)

como estamos en el primer cuadrante, el coseno es po-sitivo, luego:

cos45 =

2. a = 18, b = 14 → c = = = 11,31

senβ = = 0,77 → β = arcsen (0,77) = 51,06º

α = 90 β = 90 51,06 = 38,94º

3. α = 180 60 60 = 60.

Los tres ángulos son iguales, luego los tres lados tam-bién han de serlo: a = b = c = 6

Estadística

1.

2. Moda: 10 (se repite 4 veces).Mediana: 15.Media aritmética:

xa = =

= = = 12,5

Media geométrica:

xg =12

=12

= 22,50

Media cuadrática:

xc = =

= = 13,99

Media armónica:

xh = = = 9,45

3. Recorrido: 25 5 = 20Desviación media:

σm = =

= 5,42

3 · |5 12,5| + 4 ·|10 12,5| + 2 · |15 12,5| + 2 · | 20 12,5| + 1 · | 25 12,5|12

121,27

3 + 4 + 2 + 2 + 13/5 + 4/10 + 2/15 + 2/20 + 1/25

75 + 400 + 450 + 800 + 62512

3 · 52 + 4 · 102 + 2 · 152 + 2 · 202 + 1 · 252

3 + 4 + 2 + 2 +1

16.875 · 101253 · 104 · 152 · 202 · 25

15012

15 + 40 + 30 + 40 + 2512

5 · 3 + 10 · 4 + 15 · 2 + 20 · 2 + 25 · 13 + 4 + 2 + 2 + 1

gráfico de líneas

54321

255 10 15 20

α

b

a c

60º

60º

1418

βa = 18

α

b = 14

c

182 142a2 b2

22

22

12

1 + 02

1 + cosα2

α2

2/22/2

senαcosα

22

12

24

2 2( 2 )1 sen2 45º

Desviación típica:

σt = =

= 6,29Varianza: V = σt = 2,51

Cálculo combinatorio

1. Dado que cualquiera de las 20 personas puede ser selec-cionada para el comité, el problema consiste en calcularlas combinaciones de 20 personas tomadas de 3 en 3:

(203) = = 1.140

2. Un número de 3 cifras es diferente de otro por los dígi-tos que lo constituyen y por su orden. Se trata entoncesde variaciones con repetición de 3 elementos en gruposde 3:

VR33 = 33 = 27

3. Se trata de hacer ordenaciones con los 12 libros, con losque se forman grupos de 4, 3 y 5 libros iguales, respecti-vamente. Se trata, pues, de permutaciones con repetición:

PR124, 3, 5 = = 27.720

Los 12 libros se pueden colocar de 27.720 maneras di-ferentes.

4. Los tres libros de estadística se pueden ordenar deP3 = 3! = 6 maneras diferentes; los 2 de matemáticas,de P2 = 2! = 2, y las 4 novelas, de P4 = 4! = 24. Además,como se dispone de 3 bloques de libros, éstos se pue-den poner de P3 = 3! = 6 formas distintas. Entonces, los9 libros se pueden colocar de 6 · 2 · 24 · 6 = 1.728 mane-ras diferentes.

5. Como en una mesa circular no se puede determinar unprincipio y un final, debemos fijar un punto de partida,en el que sentaremos a una persona. Al resto de perso-nas lo podemos sentar de P5 = 5! = 120 formas diferen-tes.

6. La solución de este problema es semejante a la del ejer-cicio 2, teniendo en cuenta que:a) para que los números sean pares deben acabar en un

dígito par o en 0;b) el número 000 es 0, por lo que no sirve;c) todos los números que empiezan con un 0 (p. ej., el

054) tienen un dígito menos, ya que el 0 a la izquier-da no cuenta (en el ejemplo, 054 es 54).Así, para el primer dígito se tienen 5 posibilidades (nopuede haber un 0); para el segundo, 6 (puede ser cual-quiera), y para el tercero, sólo 3 (debe ser par o el 0).

5 · 6 · 3 = 90

90 números pares de 3 cifras se pueden formar con losdígitos dados.

Probabilidad

1. Por lo menos se producen 10 artículos, cosa que sucederási los primeros 10 son no defectuosos. Si aparece uno de-fectuoso se producirán 11; si hay dos, se producirán 12, yasí sucesivamente. Como no hay condición de fin para laproducción más que el hecho de producir 10 no defectuo-sos, se podrían seguir fabricando artículos indefinidamen-te. Entonces Ω = 10, 11, 12, 13, .

2. Como el alumno responde al azar, podemos suponer quelas respuestas son independientes entre sí y sólo una es co-rrecta. De haber diez preguntas, contestará exactamentecinco correctas si contesta también cinco incorrectamente.Además, como puede responder a cinco cualesquiera detodas las preguntas, existen (10

5) = 252 posibilidades dife-rentes. Así, la probabilidad pedida es:

p = (105) · ( )

5· ( )

5= 0,058

3. En una extracción, la probabilidad de observar dos bolitasblancas viene dada por:

p = =

Si no se observan dos bolitas blancas, tendrá que repetirsela operación; por tanto, la probabilidad pedida es:

1 p =

4. Sean los sucesos A = la pieza proviene de la máquina A,B = la pieza proviene de la máquina B y D = la pieza esdefectuosa. Se sabe que: P(A) = P(B) = 0,5, P(D|A) = 0,05y P(D|B) = 0,10. Como se pide P(D), se utiliza el teoremade la probabilidad total:

P(D) = P(D|A) · P(A) + P(D|B) · P(B) = = 0,05 · 0,5 + 0,10 · 0,5 = 0,075

5. Se pide P(A|Dc). Por el teorema de Bayes, tenemos que:

P(A|Dc) = =

= = 0,5135

6. En el ejercicio anterior, si se observan dos piezas y se veque no son defectuosas, se puede calcular la probabilidadde que haya sido producida por la máquina A.

Suponiendo que las piezas son independientes entre sí,P(2D|A) = 0,052 = 0,0025 y P(2D|B) = 0,102 = 0,01. Así:

P(A|2Dc) = = 0,50190,9975 · 0,50,9975 · 0,5 + 0,99 · 0,5

0,95 · 0,50,95 · 0,5 + 0,9 · 0,5

P(Dc|A) · P(A)P(Dc|A) · P(A) + P(Dc|B) · P(B)

910

110

(22) · (3

0)(5

2)

34

14

12!4! · 3! · 5!

20!3! · 17!

3 · (5 12,5)2 + 4 · (10 12,5)2 + 2(15 12,5)2 + 2(20 12,5)2 + (25 12,5)2

12

318 MATEMÁTICAS ______________________________________________________________________________________________


Variables aleatorias1. La variable aleatoria toma por lo menos el 2.

P(X = 2) = · =

ya que X = 2 cuando en ambos lanzamientos sale un 1;

P(X = 3) = 2 · · =

ya que la suma puede ser 3 si primero sale el 1 y luego el 2o viceversa, etc. La información se resume en la siguientetabla:

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X = x) |Entonces:

E(X) = 2 · + 3 · + + 12 · = 7

Para calcular la varianza, se necesita calcular primero

E(X2) = 4 · + 9 · + + 144 · = 54,83

Con lo que se tiene:

V(X) = 54,83 49 = 5,83

2. Para que f(x) sea función de densidad debe cumplirse pri-mero que f(x) ≥ 0, lo cual se cumple exigiendo que k ≥ 0.La segunda condición es 5

2 f(x)dx = 1. Es decir:

52 k(x 2)dx = k ·

que vale 1 si y sólo si k = .

Calculemos, ahora, su función de distribución:

0 si x < 2

F(x) = x2 (x 2)dx = si 2 ≤ x ≤ 5

1 si x > 5

El valor esperado es:

E(X) = 52 x(x 2)dx = 4

Y, por último, sabiendo que E(X2) = 52 x2(x 2)dx = 16,5,

tenemos:

V(X) = 16,5 16 = 0,5

3. a) Como n es muy grande usamos aproximación normal:X ~ N(30; 4,9); por tanto, P(X > 30) = 0, ya que la distri-bución normal es simétrica respecto a la media.

b) P(25 < X 42) = P( < Z < ) =

= P(Z < 2,45) P(Z < 1,02).

Como Z ~ N(0; 1) = 1, que es simétrica respecto al 0, setiene que P(Z ←1,02) = 1 P(Z < 1,02). Por consulta entablas resulta, finalmente:

P(25 < X < 42) = 0,992857 (1 0,8461) = 0,838957

c) Utilizando la distribución binomial, se tiene que:

p(X = 29) = (15029) 0,2290,8121 = 0,08

Si hubiésemos utilizado la aproximación de Poisson,habríamos tenido que:

p(X = 29) = = 0,07

Y, por aproximación normal, esta probabilidad es 0, yaque el área bajo un punto es siempre 0.

4. Sea X = número de lanzamientos necesarios hasta quesalgan 6 caras, entonces X ~ G(1/6); por tanto:

P(X = 10|x > 3) = = =

= = =

= = 0,0558

Nótese que esta probabilidad es igual a (5/6)6 (1/6), yaque la distribución geométrica también posee la propie-dad de la falta de memoria.

5. Para que la persona sea atendida, la cajera debe haberatendido a las siete personas que están antes en la fila. Siuna persona es atendida en un promedio de dos minutos,siete lo son en catorce, por lo que el tiempo medio de es-pera es de catorce minutos. Suponiendo distribución ex-ponencial, se tiene que:

P(X > 10) = 1 P(X ≤ 10) = 100 e xdx = 0,51

6. Primero es preciso determinar a y b. Para eso se utiliza lainformación de E(X) y V(X):

E(X) = = 6; V(X) = = 0,75

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos in-cógnitas, se tiene que a = 4,5 y b = 7,5, con lo que:

f(x) = para x (4,5, 7,5)

Ahora, nos fijamos en x2 9x + 20 < 0, lo cual sólo se cum-ple si 4 < x < 5; por tanto, la probabilidad pedida es equi-valente a P(4,5 < x < 5):

P(4,5 < x < 5) = 54,5 dx = 0,171

3

13

(b a)2

12a + b

2

1141

14

(5/6)9 (1/6)1 (5/6)2(1/6) (5/6) (1/6) (1/6)

P(X = 10)1 P(X = 3) P(X = 2) P(X = 1)

P(X = 10)1 P(X ≤ 3)

P(X = 10)P(X > 3)

P(X = 10 X > 3)P(X < 3)

3029 e30

29!

42 304,9

25 304,9

29

29

(x 2)2

929

29

92

136

236

136

136

236

136

136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

236

16

16

136

16

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