74695191-Lista-Max-Min
-
Upload
marcos-vidal-camargo -
Category
Documents
-
view
187 -
download
0
Transcript of 74695191-Lista-Max-Min
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
Campus Ponta Grossa
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
4ª LISTA: MÁXIMO E MÍNIMO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1. Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y .
Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários 1p e 2p ,
respectivamente, que dependem de x e y conforme equações: xp 21201 −= e yp −= 2002 .
O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por
xyyxC 22 22 ++= . Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado,
determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo?
Resposta: (10, 30) � 3.600
2. Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de
x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por:
xyyxyxyxL −−−+= 22
2
3
2
310060),(
Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o
lucro. Determine, também, esse lucro.
Resposta: (10, 30) � 1.600
3. Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z , uma empresa
utiliza dois fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y . Os
preços unitários dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido
ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
Campus Ponta Grossa
por yxyxz 4132900 22 ++−−= . Determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro
máximo?
Resposta: (15,8; 20,4) �1.576, 20
4. Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 3 4m e com a menor
área de superfície possível? Resposta: (2, 2,1)
5. Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
a) 121023),( 22 +++++= yxyxyxyxf Resposta: Ponto de mínimo � (-2, 1)
b) xyyxyxf 6),( 32 −+= Resposta: Ponto de sela � (0; 0) e Ponto de mínimo � (18, 6)
6. Determine e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis.
a) 422),( 22 +−−−−= yxyxxyyxf Resposta: )2 ,2( −−
b) xyyx
yxf 493
),( 33
−+= Resposta:
9
4 ,
3
4 e )0 ,0(
c) yeyxf x cos.),( 2−= Resposta: Não tem ponto crítico
d) ).ln(2),( 2 yxxxyyxf −+= com 0>x e 0>y Resposta: Ponto de mínimo � (1/2, 2)
7. Determine os extremos e os pontos de sela de f :
a) 124),( 22 −+−−−= yyxxyxf Resposta: Ponto de máximo: 4)1 ,2( =−f
b) 22 32),( yxyxyxf ++= Resposta: Ponto de mínimo: 0)0 ,0( =f
c) 33 3),( yxyxyxf −+= Resposta: Ponto de sela: 0)0 ,0( =f e Ponto de mínimo:
1)1 ,1( −=−f
d) 234 422
1),( yxyxxyxf ++−=
Resposta: Ponto de sela: 0)0 ,0( =f ; Ponto de mínimo: 64)8 ,4( −=−f ;
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
Campus Ponta Grossa
Ponto de máximo:2
3)2 ,1( −=−f
d) yeyxf x sen.),( = Resposta: Não existem pontos críticos.
8. Determinar os pontos de máximos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições
indicadas:
a) 1 ;324 22 =+−−= yxyxz
b) 4 ;2 22 =++= yxyxz
c) 1 x;22 =++= yyxz
d) 16 2 ; 22 =+= yxxyz
Resposta:
a) Ponto de mínimo �
13
3,
13
2 e Ponto de máximo �
−−13
3,
13
2
b) Ponto de mínimo �
−−5
2,
5
4 e Ponto de máximo �
5
2,
5
4
c) Ponto de mínimo �
2
1,2
1
d) Ponto de mínimo � ( )22,2 − e ( )22,2− e Ponto de máximo � ( )22,2 e ( )22,2 −−
1) Encontre o valor máximo de xyyxf =),( , sujeita á restrição 1=+ yx .
Resposta:4
1
2
1,2
1=
f
9. Encontre os valores máximo e mínimo da função xyyxf =),( , sujeita á restrição
122 =+ yx .
Resposta:
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
Campus Ponta Grossa
10. Encontre o valor mínimo da função 22),( yxyxf += , sujeita á restrição 1=xy .
Resposta: 2)1- ,1()1 ,1( =−= ff
11. Encontre o valor mínimo da função 22 2),( yxyxyxf +−= , sujeita á restrição 222 =+ yx .
Resposta:
12. Encontre o valor mínimo de 22),( yxyxf −= , sujeita á restrição 422 =+ yx .
Resposta: 4)2- ,0()2 ,0( −== ff
13. O departamento de estrada está planejando construir uma área de piquenique para
motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de
5.000 metros quadrados, e cercada nos três lados não-adjacentes à auto-estrada. Qual é a
quantidade mínima de cerca que será necessária para realizar o trabalho?
Solução:
000.5 : .
2),(
=
+=
xyas
yxyxfMin
Portanto, a quantidade mínima é : 100 m + 50 m + 50 m = 200
m
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
Campus Ponta Grossa
14. Há 320 metros de cerca disponíveis para cercar um campo retangular. Como a cerca deve
ser usada de tal forma que a área incluída seja a máxima possível?
Solução:
32022 : .
),(
=+
=
yxas
xyyxfMáx
Portanto, o campo deve ser um quadrado com 40 metros de
lado.
15. Deseja-se construir um aquário, na forma de um paralelepípedo retangular de volume 1 m3
(1.000 L). Determine as dimensões do mesmo que minimizam o custo, sabendo que o custo do
material usando na confecção do fundo é o dobro do da lateral e que o aquário não terá tampa.
Solução: 1 :.
222
=
++
xyzas
yzxzxyMín, usando os multiplicadores de Lagrange.
Portanto, deve-se construir um cubo de aresta 1 m.
16. Projete uma caixa retangular de leite com largura x , comprimento y e altura z , que
contenha 512 cm3 de leite. Os lados da caixa custam 3 centavos/cm
2 e o topo e o fundo custam
5 centavos/cm2. Ache as dimensões da caixa que minimizem o custo total.
Solução: 512 :.
2yz2xzxy2
=
++
xyzas
Mín, usando os multiplicadores de Lagrange.
Portanto, as dimensões devem ser: Largura ≅ 6,75 cm; Comprimento ≅ 6,75 cm e Altura ≅
11,24 cm