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2016 年 5 月 19、23 日（5 月 17 日）

7.4. 繰り返しゲーム（Repeated Game） 多段階ゲームの特殊ケース 毎期「同じゲーム（ステージゲーム、Component Game）」が繰り返しT 回プレイ 有限回（T ）vs 無限回（T ）

「History-Dependent Strategy（Stick-and-Carrot）」によって 一回限りのゲームでは説明できない「暗黙の協調（Tacit Collusion）」が説明可能になる

特に、無限回繰り返しゲーム！

ただし、この講義では簡単な解説のみ（時間制約のため）

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7.4.1. 有限回繰り返しゲーム 例１： 以下のステージゲームが２回繰り返される状況を考えよう

d e f a 5 5 -2 7 0 0 b 7 -2 4 4 0 0 c 0 0 0 0 1 1

ナッシュ均衡が複数存在： ( , )b e ( , )c f ( , )b e は( , )c f に対して「パレート優位（Pareto-Dominant）」であることを確認せよ

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２回繰り返しゲームにおける部分ゲーム完全均衡はどれ？ History-Independence: 履歴に関係なく同じステージゲームのナッシュ均衡がプレイ ステージ１で必ず ( , )b e ステージ２で必ず ( , )b e ステージ１で必ず ( , )b e ステージ２で必ず ( , )c f ステージ１で必ず ( , )c f ステージ２で必ず ( , )b e ステージ１で必ず ( , )c f ステージ２で必ず ( , )c f 他にない？

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History-Dependence: 履歴によって行動選択を変更 以下の戦略プロファイルを考えよう： 第 1 期にて ( , )a d プレイ 第 2 期にて： 第 1 期に ( , )a d → ( , )b e プレイ 第 1 期に ( , )a d 以外 → ( , )c f プレイ この戦略プロファイルは部分ゲーム完全均衡になっている：Why?

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・部分ゲーム（第 2 期）でナッシュ均衡（( , )b e あるいは( , )c f ）がプレイ（逐次合理性 OK） ・ 第 1 期において、プレーヤー１が a を選択すれば、利得は 5 4 9 b を選択すれば、利得は 7 1 8 c を選択すれば、利得は 0 1 1 9 8 より、a を選択するインセンティブをもつ ・ プレーヤー２のインセンティブについても同様。 ∴ 部分ゲーム完全均衡 OK！

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第 1 期の( , )a d （暗黙の協調プレイ）は ステージゲームのナッシュ均衡ではないのに

なぜ均衡プレイになる？ ( , )a d から unilaterally に Deviate すると： Instantaneous Gain from Deviation： 7 5 2 次期プレイが変更され ( , )b e から ( , )c f へ： Future Loss from Deviation： 4 1 3

Instantaneous Gain 2 Future Loss 3 今日利益があっても明日報復を受けるのでa（d ）を選択

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例２： 有限回（T ）繰り返される状況を考えよう 以下の戦略プロファイルは部分ゲーム完全均衡になる： ・ 第 1 期にて ( , )a d プレイ ・ 任意の期 {2, ..., 1}t T および任意の履歴 1 1

1( ( ))t th a において：

( , )a d がプレイされ続けてきた場合（ ( ) ( , )a a d for all {1, ..., 1}t ） → t 期にて ( , )a d プレイ: Cooperative Phase ( , )a d 以外が一度でもあった場合（ ( ) ( , )a a d for some {1, ..., 1}t ） → t期にて ( , )c f プレイ: Punishment Phase ・ T 期で任意の履歴 1 1

1( ( ))T Th a において：

( , )a d がプレイされ続けてきた場合（ ( ) ( , )a a d for all {1, ..., 1}T ） → T 期にて ( , )b e プレイ: Pareto-Dominant NE ( , )a d 以外が一度でもあった場合（ ( ) ( , )a a d for some {1, ..., 1}T ） → T 期にて( , )c f プレイ: Pareto-Dominated NE

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この戦略プロファイルにしたがえば 1T 期まで ( , )a d がプレイされる 問：この戦略プロファイルは部分ゲーム完全均衡であることを証明せよ

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例３：囚人のジレンマが有限回（T ）繰り返される状況を考えよう

c d c 1 1 -1 2 d 2 -1 0 0

唯一の部分ゲーム完全均衡は

「( , )d d を履歴に関係なく繰り返しプレイする」である つまり

有限回繰り返しても新しい均衡は生まれない なぜ？

・ T 期では履歴に関係なく必ずステージゲームのナッシュ均衡 ( , )d d プレイ ・ 1T 期でも履歴に関係なく必ずステージゲームのナッシュ均衡 ( , )d d プレイ

∵ 履歴に関係なく T 期で ( , )d d がプレイされるから ・ 以下同様、どの期 tでも履歴に関係なく ( , )d d プレイ

∵ 履歴に関係なく以降の期で ( , )d d がプレイされるから

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定理：任意の有限回繰り返しゲームを考える。ステージゲームのナッシュ均衡が一意に存在

すると仮定する。この時、部分ゲーム完全均衡は一意に存在し、それはステージゲームのナ

ッシュ均衡の繰り返しプレイである。

有限回繰り返しゲームでは 「暗黙の協調」を説明できるケースは限られている

（Component Game に複数の性質の異なるナッシュ均衡が存在する場合のみ OK）

無限回繰り返しではどうか？ （こちらの方がずっと重要）

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7.4.2. 無限回繰り返しゲーム（Infinitely Repeated game with Discounting） 仮定： Discounted Sum（割引現在利得和）：割引ファクター (0,1) 毎ステージ {1, ..., }t T に利得 ( ( ))iw a t を獲得

1( ) ( (1)) ( (2)) ( ( ))ti i i iu h w a w a w a t

1

1( ( ))t

it

w a t

解釈： Random Termination:

各プレーヤーは「繰り返しゲームは必ず有限回で終了する」と予想している

しかし「何回目で終了するか知らない」：「有限回繰り返し」との違いの本質

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毎期確率 1 で終了すると予想： t 期目で終了する確率は 1(1 )t 実現される利得は ( (1)) ( (2)) ( ( ))i i iw a w a w a t 完全履歴 h における期待利得は

( )iu h 1

1(1 ){ ( (1)) ( (2)) ( ( ))}t

i i it

w a w a w a t

2 1

1{ ( (1)) ( (2)) ( (3)) }{ (1 )}t

i i it

w a w a w a

2( (1)) ( (2)) ( (3))i i iw a w a w a となる（要確認！）

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有限回？無限回？ 無限回繰り返しゲーム： プレーヤーは、「いずれは有限回で終了する」と予想する一方で どの期においても「（一定）確率 で次期に継続される」と予想 有限回繰り返しゲーム： 「特定の T 期になれば次期には継続されない」と予想

あなたはどっち派？

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代表的な戦略：トリガー（Trigger, Grim, Grim-Trigger）戦略 1期には c（協力）を選択 任意の 2t 期にて： 過去にずっと ( , )c c がプレイされれば c 選択 一度でも ( , )c c 以外がプレイされれば d 選択

割引ファクターがある程度大きい場合 トリガー戦略プロファイルは部分ゲーム完全均衡になる

∴ ずっと ( , )c c がプレイ

囚人のジレンマの長期的関係においては

トリガー戦略プロファイルによって 「暗黙の協調（Tacit Collusion）」

を逐次合理的に維持できる

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One-Stage Deviation Principle を使って証明： 任意の期にて： 過去に ( , )c c 以外の履歴がある場合： 以降 ( , )d d の繰り返し（逐次合理性OK） 過去の履歴が ( , )c c の繰り返しの場合： トリガー戦略にしたがえば

2 111

d を選択して以降トリガーにしたがう（( , )d d の繰り返し）ならば 2 0 2 割引ファクターが 1

2 ならば

1 2

1

よって部分ゲーム完全均衡！

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Instantaneous Gain 2 1 1 Future Loss 01 1

d （非協力）を選択すれば、 今期の利得は１高まるが、次期以降の協力関係が崩壊：

( , )c c の繰り返し（2

1

）から

( , )d d の繰り返し（20 0 0 ）にダウン

∴ 将来の協力関係の崩壊を恐れるので c を選択し続ける

Cf. 有限回繰り返しゲーム：「将来協力関係は必然的に崩壊する運命にある」

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その他の代表的な戦略：しっぺ返し（Tit-For-Tat, TFT）戦略

前の期に相手が選択した行動と同じ行動を選択 0( )i h c １期目は c でスタート 1( ) ( 1)t

i jh a t 各期 2t では、 1t 期の相手の選択 ( 1)ja t を選択 ∴ TFT戦略プロファイルに従えば、協調関係( , )c c が繰り返される

一般に（Generous TFTに修正しない限り）TFTは部分ゲーム完全均衡にならない ……

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7.4.3. 無限回繰り返しゲームの応用：カルテル 問：クールノー複占が無限回繰り返される。以下のトリガー戦略プロファイルを考える。一期目、各企業

は 14 ずつ供給し、独占価格 1

2 が成立。以降、独占価格が成立し続けるかぎり、各企業は 14 ず

つ供給し続ける。しかし一度でも独占価格 12 が成立しなければ、以降 1

3 ずつ供給する。この戦略

プロファイルが部分ゲーム完全均衡になる割引ファクター (0,1) の範囲を求めよ。 問：ベルトラン複占が無限回繰り返される。以下のトリガー戦略プロファイルを考える。一期目、各企業

は独占価格 12 を選択する。以降、両企業が独占価格を選択し続けるかぎり、各企業は独占価格 1

2 を

選択し続ける。一度でもどちらかが独占価格を選択しなければ、以降は価格 0 を選択する。この戦略プ

ロファイルが部分ゲーム完全均衡になる割引ファクター (0,1) の範囲を求めよ。

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7.4.4. フォーク定理（Folk Theorem） 割引ファクターが１に近い（ほとんど割り引かない）無限回繰り返しゲームにおいては

部分ゲーム完全均衡は無数に存在し しかもそれぞれことなる性格をもつ

囚人のジレンマ：赤枠内すべてOK

（いったいどれが実現？？）

1

2

-1

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＊繰り返しゲームを考察する際の注意点

一般に、ゲームを繰り返すと相手の戦略を学習する可能性がある： Adaptive Learning （Bayesian Learning） 講義で扱った繰り返しゲームには「学習」はない： 逐次合理的ナッシュ均衡： 「相手の戦略を正しく予想している」

ことを仮定 履歴に応じて行動を変えるのは「学習」の結果ではないことに注意せよ！ History-Dependence： 経験や慣習による行動選択パターン どのような経験？どのように慣習形成？： 明示的に考察してない きちんとしたこといえない 無限回繰り返しゲームの無限回繰り返し？

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宿題 9 問１：7.4.1.の例 2 の問を解答せよ。 問 2：7.4.3.の問ふたつを解答せよ。