DISEÑO CONCEPTUAL DE TRANSMISIONES AUTOMÁTICAS MEDIANTE ENUMERACIÓN DE SUS GRAFOS

Francisco Javier Alonso Sánchez D. Rodríguez Salgado; J.M. del Castillo Granados Departamento de Electrónica e Ingeniería Electromecánica Universidad de Extremadura Escuela de Ingenierías Industriales, Avda. de Elvas s/n, 06071 Badajoz E-mail: javias7@navegalia.com Modelización Gráfica

1. Resumen

En este trabajo se expone una representación en forma de grafo de distintos modelos de cajas de cambios utilizadas en automoción. Estas cajas consisten fundamentalmente en una cadena cinemática de engranajes planetarios y un conjunto de frenos y embragues. Dependiendo de los grados de libertad de la cadena cinemática, tendrán que activarse un determinado número de frenos y/o embragues. En concreto, tendrá que activarse un número de frenos y embragues tal que la transmisión resultante presente un grado de libertad. Por cada combinación de frenos y/o embragues se dispondrá de una relación de transmisión en la caja de cambios. El resultado final es una representación en forma de grafo de cada modelo de caja que simplifica considerablemente el estudio de estas transmisiones.

2. Abstract

This work uses a new graph representation of a set of gearboxes models commonly used in automotive. Gearboxes consists of a planetary gear kinematic chain and a set of clutches and brakes. Depending on degrees of freedom of kinematic chain a susbset of clutches and/or brakes must be activated so that the resultant transmission have a single degree of freedom. Each combination of clutches and/or brakes produces a transmission ratio in gearbox. The final result is a new graph representation of each gearbox model that simplifies the kinematic, dynamic and efficiency analysis of gearboxes.

3. Introducción

En todos los sistemas que aprovechan un determinado tipo de energía para transformarla en energía mecánica, es necesaria la existencia de un elemento que realice esta transformación, por ejemplo: en un automóvil, el motor de combustión interna transforma energía química del combustible en mecánica. En un aerogenerador, las palas son las encargadas de transformar la energía del viento en energía mecánica de rotación, para su posterior transformación en energía eléctrica. Normalmente, las condiciones en las que se requiere la energía mecánica para un aprovechamiento útil no coinciden con las condiciones de trabajo del órgano motriz que la genera. El objetivo es lograr que, el sistema conducido reciba la energía mecánica del órgano motriz en las condiciones requeridas de par y velocidad sin alterar las condiciones de trabajo del motor. Por ello se hace necesaria la interposición de un dispositivo entre el órgano motor y el órgano conducido para tal fin. Estos dispositivos reciben el nombre de transmisiones de potencia. En este trabajo se estudiarán las transmisiones de potencia basadas en trenes de engranajes planetarios, en adelante TEP.

En los automóviles se utilizan unas transmisiones de potencia comúnmente denominadas cajas de cambio. En este artículo se plantea una forma sencilla de reflejar mediante una única representación gráfica cajas de cambios utilizadas en automoción. En concreto se han elegido los modelos propuestos en [1]. La representación, que será en forma de grafo, presenta algunas ventajas, como la simplicidad de la representación gráfica, y sobre todo, la facilidad de utilización para que puedan obtenerse todas las relaciones de transmisión posibles de la caja en cuestión, los esfuerzos a que van a estar sometidos cada uno de sus elementos y el rendimiento para cada relación de transmisión. Esto es lo que hace muy útil la representación que se propone.

4. Representación en forma de grafo de la transmisión

En la representación gráfica se enumeran cada uno de los miembros de la transmisión, y se representan en el grafo por un círculo. La relaciones cinemáticas entre distintos miembros pueden ser de dos tipos: pares de engrane y pares de rotación. Los pares de engrane se representan por una línea discontinua entre los dos miembros, mientras que los pares de rotación existentes se representan mediante línea continua. Los miembros de un tren de engranajes planetarios pueden ser de dos tipos atendiendo a su movimiento. Aquellos que rotan en torno al eje central, que se denominarán genéricamente ‘miembros centrales’, y los que rotan en torno a ejes no centrales y no fijos se denominarán ‘planetas’. Los miembros centrales pueden ser de dos tipos, atendiendo al tipo de par cinemático que lo vincula con los planetas. Aquellos que sólo tienen pares de engrane con planetas se denominarán ‘soles’, mientras que los que tienen al menos un par de rotación con algún planeta se denominarán ‘brazos’. Estos últimos pueden igualmente tener pares de engrane con planetas. Por otra parte, los pares de engrane además de vincular soles y planetas y eventualmente brazos y planetas, pueden igualmente vincular dos planetas entre sí. Se entiende por circuito fundamental el conjunto formado por un sol, un planeta y su brazo y se denota por (i:sol,j:planeta,k:brazo)

En la figura 1(a), se representa un esquema constructivo de un TEP de seis miembros. Los rectángulos representan engranajes, siendo los miembros 1, 4 y 2 engranajes soles, los miembros 5 y 6 engranajes planetas, y los miembros 3 y 4 brazos. Obsérvese la diferencia entre pares de rotación (p.e.: entre 4 y 6) y pares de engrane (p.e.: entre 6 y 1). Una explicación más detallada de la estructura de los TEP puede consultarse en [2]. En la figura 1(b) se ha representado el tren en forma de grafo. En dicha representación, los vértices del grafo constituyen cada uno de los elementos del tren, los lados en línea discontínua los pares de engrane entre elementos y los lados en línea continua los pares de rotación. Esta representación simplifica considerablemente el estudio de este tipo de transmisiones, en concreto el análisis de velocidades, y pares en cada uno de los miembros, así como el rendimiento del conjunto. El cálculo del rendimiento de un TEP se detalla en [3].

(a) (b)

Figura 1. Esquema constructivo y representación en forma de grafo de un TEP de seis miembros.

Es de gran interés conocer el número de grafos que pueden obtenerse para cada número de miembros. Para ello es necesario conocer las propiedades que deben cumplir las cadenas cinemáticas de trenes de engranajes, y traducirlas en restricciones que deben imponerse sobre sus grafos. Una explicación de las propiedades que deben cumplir y las restricciones que implican sobre el grafo que las representa pueden encontrarse en [2]. Los TEP son las inversiones de las cadenas cinemáticas de trenes de engranajes planetarios resultantes de tomar un miembro como miembro fijo, y un par de ellos como miembros de entrada y salida. Una vez obtenidos los distintos grafos, es por tanto necesario estudiar las inversiones posibles, eliminando de entre éllas las que sean idénticas (isomorfas). El concepto de isomorfismo en que se basa la enumeración propuesta es el empleado en [4]. La enumeración de las inversiones y la detección de las inversiones isomorfas ha sido objeto de numerosos trabajos. Autores como Hsu proponen métodos para la detección y eliminación de las inversiones isomorfas en [5].

Los grafos cajas de cambio tienen la particularidad respecto a los TEP de, poder seleccionar distintas relaciones de transmisión según se activen los distintos frenos y/o embragues de que dispone la transmisión.

En la figura 2 se ha representado el modelo de caja de cambio Hydramatic THM 440-T4 de General Motors. Este modelo cuenta con ocho miembros, los embragues se han representado por la letra C los frenos con la letra C y los miembros de entrada y salida con las etiquetas input y output respectivamente. El número de pares de engrane es cuatro, y los grados de libertad pueden calcularse mediante la expresión F N J= − − 1, deducida en [6]. En esta expresión F es el número de grados de libertad, N es el número de miembros y J el número de pares de engrane. De este modo puede deducirse que el modelo de caja de cambio de la figura 2 tiene 3 grados de libertad. Los frenos y/o embragues que han de activarse por tanto para que el sistema cuente con un grado de libertad es dos. En general, como F debe ser un grado de libertad el número de frenos y/o embragues que han de activarse debe ser N J− − 2 . Cada relación de transmisión viene definida por la combinación de frenos y/o embragues que se haga, por lo que el número de relaciones de transmisión que pueden obtenerse en principio se deduce de la ecuación (1), siendo B el número de frenos y C el número de embragues.

( )( ) ( )N relaciones de transmision N

B C

N J

B C

N J B C N Jrº ( )!

! !=

+− −

=

+− − ⋅ + − + +2 2 2

Ec. 1 – Nº relaciones de transmisión de una caja de cambios.

2 1

3 4

5 6

brazos

planetas

soles

1

2

5 6

4

3

Figura 2. Esquema constructivo de un modelo de caja de cambio (Hydramatic THM 440-T4 de General Motors).

Al activar un embrague, el número de miembros se reduce, ya que se unen dos solidariamente, pasando por tanto a comportarse como un único miembro en el conjunto. En la figura 2 al activar el embrague C1 se unen los miembros 1 e input. Por el contrario al activar un freno, lo que se consigue es unir un miembro al fijo, es decir, fijar su velocidad de rotación, haciéndola nula. En la figura 2 al activar el freno B1, se fija el miembro 3.

Del número de relaciones de transmisión dado por la ecuación (1) pueden existir algunas no admisibles. En concreto, se eliminan las obtenidas al activar una combinación de frenos y embragues que fijen el miembro de entrada o salida, pues en estos casos no se transmite potencia. Otras combinaciones no admisibles son aquellas que dejan el miembro de entrada en vacío, esto es, sin vinculación con ningún otro miembro.

5. Análisis de distintas cajas de cambio

En este apartado se obtiene una representación en forma de grafo de cinco transmisiones utilizadas en automoción. Se analizan también las combinaciones de frenos y/o embragues que dan lugar a las distintas relaciones de transmisión.

5.1.Modelo Hydramatic THM 440-T4 (General Motors)

En la figura 2 se ha representado un esquema constructivo de la transmisión de General Motors. Esta transmisión consta de ocho miembros, tres frenos y dos embragues. Para determinar el número de marchas posibles se determina el número de frenos y/o embragues que se deben fijar. En este caso:

N J− − = − − =2 8 4 2 2

Ec. 2 – Nº de miembros que deben fijarse en el modelo Hydramatic.

con lo que el número de transmisiones posibles será:

N r =

=

5

210

Ec. 3 – Nº de relaciones de transmisión posibles de la caja de cambios.

OUTPUT

INPUT

B1 B3

B2

C2

C1

4

6

3

5

1 2

Para obtener el número de relaciones admisibles descontamos las combinaciones en las que el miembro de entrada se deja en vacío (en este caso ocurre si sólo se activan frenos) y aquellas en las que se fija el miembro de entrada. Del conjunto de relaciones admisibles sólo un subconjunto se elegirán como relaciones de transmisión. La elección dependerá del diseño de la transmisión, y se corresponderán con las distintas marchas de la caja de cambios según sea el valor de la relación de transmisión. En la tabla 1 se representan las relaciones admisibles que corresponden a las velocidades del modelo.

FRENOS Y EMBRAGUES ACTIVADOS

VELOCIDAD C1 C2 B1 B2 B3

PRIMERA X X

SEGUNDA X X

TERCERA X X

CUARTA X X

M. ATRÁS X X

Tabla 1 - Combinaciones de frenos y embragues que corresponden a velocidades de la transmisión.

En la figura 3 se representa el grafo que sintetiza toda la información de la transmisión. En negro se ha representado la cadena cinemática de engranajes planetarios y en rojo la disposición de frenos y embragues y su conexión con los miembros a los que afectan. Se han representado todos los frenos y embragues en posición abierta (no activos). Las flechas que entran y salen del grafo representan el miembro de entrada y salida respectivamente. Para obtener el grafo del TEP correspondiente a cada marcha resultante de cada combinación de la tabla 1, se han de cerrar los embragues y/o frenos activos y elimiminar el resto de frenos y/o embragues. En adelante se utilizará esta representación en forma de grafo.

Figura 3. Representación en forma de grafo del modelo Hydramatic THM 440-T4 de General Motors.

5.2.Modelos 4 HP500 (ZF) y W4A 080 (Mercedes Benz)

En la figura 4(a) se representa un esquema constructivo de la transmisión. Esta transmisión consta de ocho miembros, tres frenos y dos embragues. Para determinar el número de marchas posibles se determina el número de frenos y/o embragues que se deben fijar. En este caso:

B3

3

6 5

2 4

1 B2 B1

C1

C2

N J− − = − − =2 8 4 2 2

Ec. 4 – Nº de miembros que deben fijarse en los modelos 4 HP500 (ZF) y W4A 080 (Mercedes Benz).

con lo que el número de transmisiones posibles será:

N r =

=

5

210

Ec. 5 – Nº de relaciones de transmisión posibles de las caja de cambios.

a) b)

Figura 4. Esquema constructivo (a) y representación en forma de grafo (b) de los modelos 4 HP500 (ZF) y W4A 080 (Mercedes Benz).

En la tabla 2, falta la relación de transmisión que puede obtenerse al activar el embrague C2 y el freno B2, que no ha sido elegida por los fabricantes como relación de transmisión para sus modelos. El resto de relaciones de transmisión admisibles son las que se encuentran en la tabla 2. Cualquier otra relación de transmisión frena la entrada o la deja en vacío, por lo que no son admisibles.

FRENOS Y EMBRAGUES ACTIVADOS

VELOCIDAD C1 C2 B1 B2 B3

PRIMERA X X

SGUNDA X X

TERCERA X X

CUARTA X X

M.ATRAS X X

Tabla 2.- Combinaciones de frenos y embragues que corresponden a velocidades de la transmisión.

C2

B2 B1

C1

B3

6 5

2 1 8

3 4 7

B3 B2 B1 C2

C1

5

6

7

2 8 1

3

INPUT OUTPUT

5.3.Modelo A24I (Toyota)

En la figura 5 se representa un esquema constructivo de la transmisión de Toyota. Esta transmisión consta de once miembros, tres frenos y tres embragues. Para determinar el número de marchas posibles se determina el número de frenos y/o embragues que se deben fijar. En este caso:

N J− − = − − =2 11 6 2 3

Ec. 6 – Nº de miembros que deben fijarse en el modelo A24I (Toyota).

con lo que el número de transmisiones posibles será:

N r =

=

6

320

Ec. 7 – Nº de relaciones de transmisión posibles de las caja de cambios.

a) b)

Figura 5. Esquema constructivo (a) y representación en forma de grafo (b) del modelo A24I (Toyota).

En este caso, son cinco las combinaciones de frenos y embragues que se han utilizado como relaciones de transmisión. De las veinte relaciones posibles, sólo son admisibles diez, es decir, hay cinco combinaciones que dan lugar a distintas relaciones de transmisión y que no han sido elegidas para el diseño de esta transmisión. Las combinaciones admisibles no utilizadas son C1C2B2, C1C3B2, C1C3B3, C1B2B3 Y C2C3B2.

FRENOS Y EMBRAGUES ACTIVADOS

VELOCIDAD C1 C2 C3 B1 B2 B3

PRIMERA X X X

SEGUNDA X X X

TERCERA X X X

CUARTA X X X

M.ATRAS X X X

Tabla 3. Combinaciones de frenos y embragues para el modelo A24I (Toyota).

9

C3

3 4 B2

8

B1

7 1

B3 C1 C2 2

5

OUTPUT

9

INPUT

C2

C1

B3 B2 B1

C3

1

2

5 6 8

7

4

3

5.4.Modelos W4A 040 y W4A 020 (Mercedes Benz)

En la figura 6(a) se representa un esquema constructivo de la transmisión de Mercedes Benz. Esta transmisión consta de diez miembros (entre éllos la entrada), tres frenos y dos embragues. Para determinar el número de marchas posibles se determina el número de frenos y/o embragues que se deben fijar. En este caso:

N J− − = − − =2 10 6 2 2

Ec. 8 – Nº de miembros que deben fijarse en los modelos W4A 040 y W4A 020 (Mercedes Benz).

En este caso, el número de combinaciones posibles de frenos y/o embragues activos es nuevamente 10.

a) b)

Figura 6. Esquema constructivo (a) y representación en forma de grafo (b) de los modelos W4A 040 y W4A 020 (Mercedes Benz).

En esta transmisión, las combinaciones que no tengan activo el freno B1 o el embrague C1 no son admisibles, ya que el brazo de salida no rotaría. En total son tres las combinaciones en las que esto sucede, por tanto de las diez combinaciones posibles, sólo existen siete admisibles. En la tabla se representan las cinco combinaciones elegidas como relaciones de transmisión para el modelo real. Las dos combinaciones no elegidas son C1B2 y B1B3.

FRENOS Y EMBRAGUES ACTIVADOS

VELOCIDAD C1 C2 B1 B2 B3

PRIMERA X X

SEGUNDA X X

TERCERA X X

CUARTA X X

M.ATRAS X X

Tabla 4. Combinaciones de frenos y embragues para de los modelos W4A 040 y W4A 020 (Mercedes Benz).

C1

B3 3 9

5 6 C2

7

1 2 4 8

B2 B1

OUTPUT INPUT

4

B2 C2

B3 B1 C1 2

3 6

5 7 8

9 1

5.5.Modelos BORG WARNER M35 y M8 (Mitsubishi)

En la figura 7(a) se representa un esquema constructivo de la transmisión. Esta transmisión consta de ocho miembros, tres frenos y dos embragues. Para determinar el número de marchas posibles se determina el número de frenos y/o embragues que se deben fijar. En este caso:

N J− − = − − =2 8 4 2 2

Ec. 8 – Nº de miembros que deben fijarse en los modelos BORG WARNER M35 y M8 (Mitsubishi).

En este caso, el número de combinaciones posibles de frenos y/o embragues activos es 6.

Figura 7. Esquema constructivo (a) y representación en forma de grafo (b) de los modelos BORG WARNER M35 y M8 (Mitsubishi).

En la tabla 5 se enumeran las combinaciones de frenos y embragues que dan lugar a las distintas relaciones de transmisión que tienen los modelos BORG WARNER M35 y M8 de Mitsubishi. En este caso el número de combinaciones admisibles coincide con el de relaciones de transmisión. La combinación B1B2 deja la entrada en vacío y la combinación C2B2 frena la entrada.

FRENOS Y EMBRAGUES ACTIVADOS

VELOCIDAD C1 C2 B1 B2

PRIMERA X X

SEGUNDA X X

TERCERA X X

M.ATRAS X X

Tabla 5. Combinaciones de frenos y embragues para de los modelos BORG WARNER M35 y M8 (Mitsubishi).

6. Aplicaciones

La representación en forma de grafo propuesta permite realizar un estudio cinemático y dinámico de una transmisión, sin necesidad de haber adoptado previamente una solución constructiva, lo que posibilita la optimización de estas transmisiones en la fase de prediseño. Como ejemplo, en la transmisión de la figura 7, para

OUTPUT INPUT

C2 B2 B1

C1

4 1

5

6

3

2 4

3 B1

C2 C1

2 1

6 5

B2

calcular las velocidades de cada miembro para una determinada combinación de frenos y/o embragues, planteamos las ecuaciones de Willis de los J circuitos fundamentales (Ec.9). En la ecuación se ha utilizado la misma nomenclatura adoptada en [3].

ijj

i

ki

kjZ

Z

Z=±=

−−

ωωωω

Ec.9-Ecuación de velocidad de un circuito fundamental

En estas J ecuaciones habrá 2−N incógnitas, no obstante, al elegir una cierta marcha, quedan fijadas

2−− JN velocidades, con lo que el número de velocidades incógnita queda reducido a J y el sistema puede resolverse de forma sencilla para cada marcha. En concreto, en la transmisión de la figura 7, al elegir la primera

marcha haríamos 14 == inputωω ; 03 =ω . El cálculo de los pares a que está sometido cada miembro se

realiza de forma similar. El proceso puede automatizarse de forma sencilla sin más que definir los elementos conectados mediante frenos y/o embragues en cada marcha de forma matricial, con lo que el análisis de este tipo de transmisiones se simplifica considerablemente.

7. Conclusiones

Se ha presentado un procedimiento sistemático de representación en forma de grafo de transmisiones utilizadas actualmente en automoción. A partir de dicha representación es posible obtener de forma sencilla el número de relaciones de transmisión, el valor de éstas, los esfuerzos a que estarán sometidos los miembros que intervienen en dicha relación de transmisión y el rendimiento de cada una de ellas. El interés de los resultados obtenidos radica en que en una única representación gráfica queda condensada toda la información relativa a las distintas cadenas cinemáticas que intervienen en cada relación de transmisión.

8. Referencias bibliográficas

[1] Pennestri, E.; Sinatra, R.; Pio Belfiore, N.; “A Catalogue of Automotive Transmissions with Kinematic and Power Flow Analysis”, Proc. 3rd Nat. Conf. On Applied Mechanisms and Robotics, Paper No. AMR-93-057, (1993).

[2] del Castillo, J.M.; “Restricciones Funcionales en Trenes de Engranajes Planetarios: Enumeración Sistemática”, Revista Iberoamericana de Ingeniería Mecánica, 4(1), 3-15, (2000).

[3] del Castillo,J.M.; ”Symbolic Computation of planetary gear train efficiency”. Barcelona (España):European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, (2000).

[4] Hsu, C.H.; Lam, K.T.; “Automatic Analysis of Kinematic Structure of Planetary Gear Trains”, Journal of Mechanical Design 107, 61-67 (1985).

[5] Hsu, C.H.; Wu, Y.C.; “Automatic Detection of Embedded Structure in Planetary Gear Trains”, Journal of Mechanical Design 119, 315-318 (1997).

[6] Buchsbaum, F.; Freudenstein, F.; "Synthesis of Kinematic Structure of Geared Kinematic Chains and other Mechanisms", Journal of Mechanisms 5, 357-392 (1970).