A

IFB

S

S20

01

2

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (2/33)(2/33)

Definition (B-Baum)

Ein B-Baum vom Typ (k, h), k 1, h 0, ist ein sortierter

Schlüsselbaum

T = (W,U, <, Inhalt, )

mit folgenden Eigenschaften (w W):

(i) w) = {(s) | s Inhalt(w)},

und verschiedene Knoten haben keinen Schlüssel

gemeinsam:

w' W, w' w: Inhalt(w) Inhalt(w' ) = Ø

(ii) Alle Blätter haben dieselbe Höhe h:

w Blatt H(w) = h

A

IFB

S

S20

01

3

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume7.2.3 B-Bäume (3/33)(3/33)

(iii) Die Wurzel enthält mindestens einen Schlüssel:I(w0) 1

(iv) Außer der Wurzel enthält jeder Knoten mindestens k Schlüssel:

w w0 Iwk

(v) Ein Knoten w enthält höchstens 2k Schlüssel: I(w) 2k.

(vi) Für die Anzahl der Söhne eines Knotens w gilt: (w) = 0 oder (w) = I(w) +1

A

IFB

S

S20

01

4

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (4/33)(4/33)

Aus (iii) und (vi) folgt:

Die Wurzel w0 hat niemals genau einen Sohn:

(w0)

(d.h. : Entweder (w0) = 0 oder (w0)

A

IFB

S

S20

01

5

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (5/33)(5/33)

Eigenschaften von B-Bäumen

• Aus den Definitionen folgt für B-Bäume (w W):

w w0 : (w) = 0 oder k+1 (w) 2k+1

w w0 : (w) = 0 oder 2 (w0) 2k+1

• Format von B-Baum-Knoten:

(Schlüssel in den Knoten seien sequentiell aufsteigend angeordnet)

A

IFB

S

S20

01

6

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (6/33)(6/33)

w:

p w,0 S w,1 w,1 p w,1 S w,2 w,2 p w,2 ... S w,I w,I p w,I ...

-sw,i Schlüssel, I = I(w) = #Inhalt(w)

w,i = (sw,i) (Satz-Information)

-pw,i = Zeiger auf einen Sohn des Knotens.

A

IFB

S

S20

01

11

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (11/33)(11/33)

class B_BAUM [SCHLÜSSELTYP <- COMPARABLE, SATZTYP]

feature

k : INTEGER wurzel : B_BAUM_KNOTENmake (k0 : INTEGER; key : SCHLÜSSELTYP; info SATZTYP)

is require

k0 1 and key Ø and info Ødo

k := k0!!wurzel.make (k, key, info)

ensurekey wurzel.s and info wurzel.p

end…

invariant wurzel_hat_keinen_vater: wurzel.ist_wurzel

end – – class B_BAUM

A

IFB

S

S20

01

12

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (12/33)(12/33)

Höhe eines B-Baums vom Typ (k,h) in Abhängigkeit von der Anzahl Schlüssel in S (#S):

• Obere Schranke für die Höhe h:

Alle Knoten haben eine Mindestbelegung mit 1 Schlüssel (Wurzel) bzw. k Schlüsseln:

1

k k

k k k kk1....

k1....

Höhe #Knoten #Söhne(proKnoten)

h=0 1 2

h=1 2 k1

h=2 2(k1) k1

h=3 ... ...

A

IFB

S

S20

01

13

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (13/33)(13/33)

1 + 2k + 2k(k + 1) + 2k(k + 1)2 + ... + 2k(k + 1)h -1 #S

1 + 2k (1 + (k + 1) + (k + 1)2 + ... + (k + 1)h -1) #S

1 + 2k #S

1 + 2((k + 1)h - 1) #S

(k + 1)h

h logk+1

h ist ganze Zahl, also h logk+1 für #S .

1)1(1)1(

khk

#S12

2

1#S

#S12

A

IFB

S

S20

01

14

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (14/33)(14/33)

• Untere Schranke für die Höhe h:

Alle Knoten haben eine Höchstbelegung

mit 2k Schlüsseln:

2k

2k 2k

2k 2k 2k 2k2k1....

2k1

....

Höhe #Knoten #Söhne

h=0 1 2k1

h=1 2k1 2k1

h=2 (2k1)2 2k1

h=3 ... ...

2k1....

A

IFB

S

S20

01

15

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (15/33)(15/33)

2k + 2k(2k + 1) + 2k(2k + 1)2 + ... + 2k(2k + 1)h #S

2k(1 + (2k + 1) + (2k + 1)2 + ... + (2k + 1)h ) #S

k #S

(2k + 1)h+1 #S + 1

h log2k+1(#S + 1) - 1

h ist eine ganze Zahl, also h log2k+1(#S + 1) - 1.

1)12(11)12(

khk

A

IFB

S

S20

01

16

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (16/33)(16/33)

Beispiele zur Höhe von B-Bäumen:

(1) #S = 17, k = 2 h 2

log2k+1(#S + 1) - 1 h logk+1

2

1#S

log5(18) = 1.80 (Abschätzung: 51 = 5, 52 = 25)

log3(9) = 2 1 h 2

log5(25) = 2

log3(12.5) = 2.30 1 h 2

(2) #S = 24, k = 2, 1 h 2

log2k+1(#S + 1) - 1 h logk+1

2

1#S

A

IFB

S

S20

01

17

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (17/33)(17/33)

(3) Block: 2KB

Schlüssel + Zeiger + Zeiger p ca. 15-16 B

2k 128, k 64

h = 0: 1 - 128 Schlüssel

h = 1: 129 - 16.640 Schlüssel

h = 2: 8449 - 2.146.688 Schlüssel (!)

A

IFB

S

S20

01

18

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (18/33)(18/33)

B-Baum Algorithmen

Suche den Schlüssel s im B-Baum T:

SUCHE(s, T, w)

• Vorgehensweise klar

• Suche endet mit einem Knoten w = w(s), für den gilt:

- s Inhalt(w) oder

- w ist Blatt, das s enthalten müßte.

END SUCHE

A

IFB

S

S20

01

19

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (19/33)(19/33)

Beispiel: Suche nach s=10

7 •

4 • 9 • 12 •

1 • 3 • 6 • 8 • 10 • 11 • 13 • 14 •

A

IFB

S

S20

01

20

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (20/33)(20/33)

Einfügen eines Schlüssels s in einen B-Baum T

INSERT (s, T,w ) :

– -- Schlüssel s in Baum T einfügen

– Suche(s,T,w);

– WENN s in w enthalten ist, DANN

– Fehler

– ANDERNFALLS

– INSERT-IN-NODE ((nil, s, nil), w)

– -- s ist in diesem Fall immer ein Blatt

END INSERT

A

IFB

S

S20

01

21

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (21/33)(21/33)

INSERT-IN-NODE ((l, s, r), w) :

– -- Schüssel s mit Zeiger auf linken und

-- rechten Sohn (l, r) in Knoten w

-- einfügen

–FÜGE s in w sortiert ein

–Wenn I(w) > 2k DANN -- Überlauf

– SPLIT (w)

END INSERT-IN-NODE

A

IFB

S

S20

01

22

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (22/33)(22/33)

SPLIT (w) :

– -- Spaltet den übervollen Knoten w in

– -- zwei Knoten auf

Erzeuge Knoten w‘;

in w verbleiben die ersten k Schlüssel,

w‘ wird mit den letzten k Schlüsseln von w gefüllt.

sei s’ der (k+1)-te Schlüssel

WENN Vater v von w nicht existiert

(w ist also die Wurzel),

DANN

– v := neu erzeugte Wurzel

INSERT-IN-Node ((w, s’, w’), v)

END SPLIT

A

IFB

S

S20

01

23

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume7.2.3 B-Bäume (23/33) (23/33)

Vor Split w

Nach Split:

... 8 17 61 ...

17

... 8 61 ...

v

w w´

A

IFB

S

S20

01

24

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (24/33)(24/33)

Einfügen der Schlüssel 0, 7, 22, 1, 20, 11, 3

0S=0

0 7S=7

7

0 22

S=1

S=20

7

0 1 20 22

S=22 split

Neue Wurzel

A

IFB

S

S20

01

25

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (25/33)(25/33)

7 20

0 1 22 11

7

1 20

0 22 3 11

S=11 split

S=3 split

neue Wurzel

A

IFB

S

S20

01

26

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (26/33)(26/33)

Löschen eines Schüssels s aus einem B-Baum T

DELETE (s, T) :

-- Schlüssel s aus dem Baum T löschen

SUCHE (s, T, u);

WENN s nicht in u enthalten ist,

DANN

– Fehler

ANDERNFALLS

– DELETE-FROM-NODE (s, u)

END DELETE

A

IFB

S

S20

01

27

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (27/33)(27/33)

DELETE-FROM-NODE (s, u) :

-- Schlüssel s aus Knoten u löschen

WENN u kein Blatt ist,

DANN

Ersetze s in u durch den kleinsten Schl. s0

aus dem rechten Teilbaum von s.

Sei b das Blatt, aus dem s0 entnommen wurde.

DELETE-FROM-NODE (s0, b)

ANDERNFALLS

Entferne s aus u

UNTERLAUFBEHANDLUNG (u)

END DELETE–FROM-NODE

A

IFB

S

S20

01

28

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (28/33)(28/33) UNTERLAUFBEHANDLUNG (u) :

-- Ausgleich oder Zusammenlegung mit -- einem Bruderknoten, falls u die erlaubte -- Schüsselzahl unterschreitet

WENN u nicht Wurzel von T ist UND I(u) < k (Unterlauf),

DANN

– Sei w der Bruderknoten von u, s‘ der zu u und w gehörende Schlüssel in deren Vaterknoten v und S’ die Schlüsselliste {Schlüssel aus u, s‘, Schlüssel aus w}

– WENN I(u) + I(w) 2k DANN

– Verteile die Schlüssel aus S‘ gleichmäßig auf u und w; ersetze s‘ durch den mittleren Schlüssel aus S’

– ANDERNFALLS

– Fasse S’ in einem Knoten zusammen; entferne s‘ aus v;

– UNTERLAUFBEHANDLUNG (v)END UNTERLAUFBEHANDLUNG

A

IFB

S

S20

01

29

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (29/33)(29/33)

... 1 17 61 ...

... 2 4 18 19 ...

v

u w

s

... 1 61 ...

... 2 4 17 18 19 ...

v

u

Vor Zusammenfassen:

Nach Zusammenfassen:

A

IFB

S

S20

01

30

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (30/33)(30/33)

7

1 20

0 22 3 5 11

T

S=17

7

1 20

0 22 3 5 11 17

Beispiel: Löschen in Blattern (Schlüssel17.22)DELETE (s,T)

A

IFB

S

S20

01

31

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (31/33)(31/33)

7

0 3 5 11 20

S=22,

Zwischenschritt

Ergebnis

7

1

0 3 5 11 20

Beispiel: Löschen in Blattern (Schlüssel17.22)DELETE (s,T)

A

IFB

S

S20

01

32

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (32/33)(32/33) Beispiel:Löschen aus inneren Knoten (Schlüssel 1, 20) DELETE(s,T)

7

3 20

0 22 5 11 17

T

S=1

7

1 20

0 22 3 5 11 17

A

IFB

S

S20

01

33

Phy

sisc

he D

aten

orga

nisa

tion

7.2.3 B-Bäume 7.2.3 B-Bäume (33/33)(33/33)

S=20,

Zwischenschritt

Ergebnis

7

3 22

0 5 11 20

7

3 17

0 22 5 11

Beispiel:Löschen aus inneren Knoten (Schlüssel 1, 20) DELETE(s,T)