7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR -...

© Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.

III/1

7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR

7.1. Giriş

Bir akışta viskozite etkisi önemli ise bu akış ‘viskoz (sürtünmeli) akış’ adını alır.

Akışkan viskozitesinden dolayı, yüzey ile akışkan arasında bir hız (hidrodinamik) sınır

tabakası oluşur. Viskoz akışlarda, akışın karakterine bağlı olarak iki tür akış bölgesi/ türü söz

konusudur. Laminar akışta, akış yapısı, akış tabakalarının hareketi ile tanımlanır. Komşu

tabakalar birbirlerine karışmaz ve tek bir çizgi halinde hareket ederler. Türbülanslı akışta ise,

akış yapısı rastgele üç boyutta hareket eden partiküllerle tanımlanır. Hız dalgalanmaları

nedeniyle tabakalar arası momentum transferi söz konusudur. Bu bölümde viskoz ve laminar

akışlar göz önüne alınmakta ve analitik çözümü yapılabilen bazı akış problemlerinin çözüm

aşamaları açıklanmaktadır.

7.2. Viskoz akışlarda Navier-Stokes Denklemleri

Sürtünmesiz akışlar için türetilen denklemde ihmal edilen viskoz kuvvet etkileri göz

önüne alındığında, sürtünmeli akış denklemleri ortaya çıkar. Newtonyan akışkanlar için

viskoz kuvvetleri ile deformasyon arasında ilişki lineer olup, stres-deformasyon ilişkisi

momentum denklemine uygulanır ve gerekli işlemler yapılırsa;

VgPDtVD ~~~~~

2∇++∇−= µρρ

denklemi elde edilir. Bu denklem sistemi daha önce belirildiği üzere, Navier – Stokes hareket

denklemleri olarak adlandırılır. İki boyutlu bir akışta Navier – Stokes denklemleri kartezyen

koordinatlar için (x ve y yönleri için),

∂

∂+

∂

∂++

∂∂

−= 2

2

2

2

yu

xug

xP

DtDu

x µρρ

∂

∂+

∂

∂++

∂∂

−= 2

2

2

2

yv

xvg

yP

DtDv

y µρρ

şeklindedir. Silindirik koordinatlarda ise (r ve θ yönleri için),

∂∂

−∂

∂+−

∂∂

∂∂

++∂∂

−=θθ

µρρ θvr

vrr

vrv

rrr

grP

DtDv rrr

rr

22

2

22211

∂∂

+∂

∂+−

∂∂

∂∂

++∂∂

−=θθ

µρθ

ρ θθθθ

θ rvr

vrr

vrv

rrr

gPrDt

Dv22

2

222111


III/2

olarak verilir. Bu denklemlerde iki hız bileşeni ve basınç bilinmeyen büyüklükler olup,

bilinmeyenlerin bulunması için ilave bir denkleme daha ihtiyaç vardır. Bu nedenle kartezyen

ve silindirik koordinatlar için aşağıda verilen süreklilik denklemi kullanılmaktadır:

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

θθVrV

r r

7.3. Hız (hidrodinamik) sınır tabakası ve tam gelişmiş akış kavramı

Viskoz akışlarda, akışkan viskozitesinden dolayı katı yüzeyde bir yapışma, yani akış

hızının sıfır olması söz konusudur. Katı yüzeyden uzaklaştıkça hızın sıfır değerinden, serbest

akış hızı değerine ulaştığı bir tabaka mevcut olup, bu tabaka ‘hız sınır tabakası’ olarak

adlandırılır. Sınır tabakası kavramına örnek olmak üzere; Şekil 7.1’de düz levha üzeri

(laminar) bir akışta hız sınır tabakasının, levha uzunluğu boyunca nasıl geliştiği gösterilmiştir.

Levhanın ‘ ∞U ’ sabit hızıyla akan bir akışkan içine konulması halinde, levhaya değen

parçacıkların hızı, yapışma sonucu sıfır olur. Böylece cidara yakın yerlerde hızın, sıfırdan ∞U

değerine ulaştığı ince bir tabaka oluşur. Bu tabakaya 1904 de Prandtl tarafından hidrodinamik

sınır tabaka ismi verilmiştir. Levhanın ucunda sıfır olan sınır tabaka kalınlığı akış (x) yönünde

giderek artar.

Şekil 7.1 Düz levha üzeri (laminer) akışta sınır tabakanın gelişimi

Düz yüzeyli levha için yerel Reynold sayısı:

vxU

x∞=Re

ve kritik Reynold Sayısı,

( ) 510*5Re ≅krx

olduğundan, akış

x

y


III/3

Turbulans10*5Re

Laminar 10*5Re5

5

⇒>

⇒<

x

x

olacaktır. Laminar akışta hız sınır tabakası kalınlığının hesabında;

( )x

xxRe5

=δ

denklem kullanılmaktadır. Denklemden anlaşılacağı üzere; levha üzerinde artan ‘x’ mesafesi

ile sınır tabakası kalınlığı da artmış olacaktır.

Viskoz etkiden dolayı yüzey üstü (harici) akışlarda akış yönünde gelişen sınır tabaka

kalınlığı, kanal içi (dahili) akışlarda; Şekil 7.2’de gösterildiği üzere, kanal girişinden itibaren

her iki cidarda simetrik olarak gelişir. Her iki yönden gelişen sınır tabakaların merkezde

birleşiminden itibaren, kanal içerisinde akış tamamen viskoz etkiler altında kalır. Akış bu

noktadan itibaren hidrodinamik yönden ‘tam gelişmiş akış’ olarak adlandırılır.

Şekil 7.2. Kanal içi akışlarda hidrodinamik sınır tabaka gelişimi ve tam gelişmiş akış bölgesi

Şekilde gösterilen ‘D’ çapına sahip dairesel boru içerisindeki akış için; ‘ mu ’ ortalama hız ve

Aum m.ρ=& akış debisi olmak üzere, Reynold sayısı,

µρ Dum

D.

Re =

şeklinde verilir. Kritik Reynolds sayısı ise,

2300)(ReD ≅kr

olduğundan akış,

Turbulans 2300Re Laminar 2300Re

D

D

>≤


III/4

şeklindedir. Boru içi laminar akışta; kanal girişinden itibaren tam gelişmiş bölgeye ulaşma

mesafesi,

Dh Dx Re 05.0≅

eşitliği ile hesaplanabilmektedir. Tam gelişmiş akış bölgesinin en önemli özelliklerinden bir

hız profilinin, Şekil 7.3’de gösterildiği gibi, akış yönünde aynı kalmasıdır.

aynı hız profili

akış yönü

Şekil 7.3. Tam gelişmiş bölgede akış yönünde hız profilinin aynı kalma özelliği

7.4.Temel viskoz akışlar ve analitik çözümleri

Viskoz akışlarda çözümler genellikle zor ve karmaşık sayısal teknikler gerektirmektedir.

Ancak bazı basit geometrilerdeki akışların analitik çözümleri mevcut olup, bu çözümlere

ulaşmada; tam gelişmiş, laminar, bir-boyutlu ve kararlı akış varsayımları uygulanır. Bazı

temel akışlar ve çözüm aşamaları aşağıda verilmiştir.

7.4.1. Hareketsiz (sabit) ve paralel yüzeyler arasında akış

Şekil 7.4. Sabit paralel yüzeyler arasında akış

ggggwv yzx −===== ,0 ,0

Süreklilik Denklemi

)(000 yfuxu

yv

yv

xu

=→=∂∂

⇒=∂∂

→=∂∂

+∂∂


III/5

x-yönü momentum denklemi

{ { {{

{

∂∂

+∂∂

++∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

0

2

2

0000

yu

xug

xP

yuv

xuu

tu

x µρρ

02

2

=∂∂

+∂∂

−yu

xP µ

y-yönü momentum denklemi

{ { { { {

∂∂

+∂∂

+−∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

0

2

2

0

2

2

000yv

xvg

yP

yvv

xvu

tv µρρ

( )xcgyPgyP

10 +−=⇒=−∂∂

− ρρ

Momentum denkleminden;

1

2

2

1

1

cyxP

dydu

xP

dyud

+∂∂

=

∂∂

=

µ

µ

212

21)( cycy

xPyu ++∂∂

=µ

hız profiline ulaşır.

Not (1): xP ∂∂ / terimi x’in bir fonksiyonu olmadığından sabit olarak alınabilir.

Sınır Koşulları:

221 2

1 ve00 hxPcchu∂∂

−==⇒→=µ

m

Hız dağılımı:

( )22

21 hy

xPu −

∂∂

=µ

Hacimsel debi:

xPhdyuAdVV

A

h

h ∂∂

−=== ∫ ∫+

− µ32.~.~ 3

&

Not (2): xP∂∂ terimi negatif işaretli olup, l uzaklığındaki iki nokta arasında

lP

xP ∆=

∂∂

− olarak

yazılabilir. Bu durumda;


III/6

lPhV ∆

=µ3

2 3&

elde edilir.

Ortalama hız ve maksimum Hız:

( )lPhuhuV

µ31.2

2∆=⇒=&

( ) ulPh

xPhuyuy

23

220

22

max =∆

=

∂∂

−==⇒=µµ

Kayma gerilmesi:

ylPy

xP

yu

xy∆

−=∂∂

=∂∂

= µτ

Elde edilen sonuçlar doğrultusunda, hız ve kayma gerilmesi profillerinin şematik

görüntüsü Şekil 7.5’de gösterilmiştir.

Şekil 7.5. Sabit paralel yüzeyler arasında akış için hız ve kayma gerilmesi profilleri

7.4.2. Üst yüzeyi hareketli iki levha arası akış (Couette akışı)

Şekil 7.5. Üst yüzeyi hareketli iki levha arası akış


III/7

Momentum ve süreklilik denklemi bir önceki kısımda uygulandığı şekliyle; sabit

paralel levha arasındaki akış ile aynı aşamaları içerir ve ortaya çıkan genel hız profili aşağıda

verildiği gibi aynıdır. Değişiklik sınır koşullarında oluşur.

( ) 212

21 cycy

xPyu ++∂∂

=µ

Sınır koşulları:

0 0 0 2 =⇒== cuy

∂∂

−=⇒== 21 2

11 b bxPu

bcuuy

µ

( )by

by

xPb

byubyy

xPb

byuu

−

∂∂

+=−

∂∂

+= 122

22

2

µµ

Hız profili denklemdeki basınç gradyanı terimine bağlı olacaktır. Şekil 7.6’da basınç

gradyanının,

( )0=∂∂

xP ; ( )0>∂

∂x

P ve ( )0<∂∂

xP

durumları için çizilen hız profilleri gösterilmiştir.

Şekil 7.6. Üst yüzeyi hareketli iki levha arası akışta farklı basınç gradyanları için hız profilleri

Şekil 7.6’da gösterilen üç farklı durum içerisinde en basit durum; ( )0=∂∂

xP olması

durumudur. ‘Basit Couette Akış’ olarak adlandırılan bu durumda hesaplamalar aşağıdaki

şekilde sonuçlanır:

Hız dağılımı:

( )byuyu =

Hacimsel debi:

( )∫ ==byudyyuV2

2&


III/8

Ortalama hız ve maksimum hız:

2

2

2byuu

bV

==&

y = b ise

uu =max

Kayma gerilmesi ve dağılımı:

µµτbu

yu

xy =∂∂

=

Kayma gerilmesi denklemden anlaşılacağı üzere; kesit boyunca sabit bir değere sahip

olacaktır. ‘Basit Couette Akış’ için elde edilen hız profili ile kayma gerilmesi dağılımı Şekil

7.7’de; bu akışa ait bazı uygulama örnekleri ise şematik olarak Şekil 7.8’de gösterilmektedir.

Şekil 7.7. Basit Couette akış için hız ve kayma gerilmesi profilleri

Şekil 7.7. Basit Couette akışa ait bazı ugulama örnekleri


III/9

7.4.3 Dairesel kesitli borularda akış

Şekil 7.8. Dairesel kesitli akışta koordinatların gösterimi

Süreklilik denklemi:

00 =∂∂

⇒==zv

vv zr θ

Akış aksimetrik olduğundan, süreklilik denkleminden elde edilen sonuç, hızın sadece yarıçap

yönünde değiştiğini ifade etmektedir. Yani;

)(rvv zz =

şeklindedir.

Navier – Stokes denklemi:

Yerçekimi ivmesinin bileşenleri; θsinggr −= ve θθ cosgg −= olmak üzere,

rPg∂∂

−−= θρ sin0

θ

θρ∂∂

−−=P

rg 1cos0

∂∂

∂∂

+∂∂

−=rv

rrrz

P z10 µ

(r) yönündeki NS denkleminden,

( ) ( )zfgyzfgrP 11sin +−=+−= ρθρ

( )zPP =

(z) yönündeki NS denkleminden;

( ) 212 ln

41 crcr

zPrvz ++

∂∂

=µ

elde edilir.


III/10

Hız dağılımı:

Yukarıdaki denkleme, r=R’de vz=0 ve r=0’da dvz/dz=0 sınır şartları uygulanarak

aşağıdaki hız profili elde edilir:

( ) ( )2241 Rr

zPrvz −

∂∂

=µ

Hacimsel debi:

( ) ( )lPR

zPRrvrdrQ z

R ∆=

∂∂

−== ∫ µπ

µππ

88.2

44

0


lPR

RQV

µπ 8

2

2∆

==

VlPRvv rr 2

4

2

0max =∆

== = µ

7.4.4. Halkasal kesitli borularda akış

Şekil 7.9. Halka kesitli akışta koordinatların gösterimi

Hız dağılımı:

Halka kesitli akışlar için; dairesel kesitli borular için çıkarılan bağıntılarda hız dağılımı

aynı kalır, fakat sınır şartların aşağıdaki gibi değişir:

000

=⇒==⇒=

zi

z

vrrvrr

Mevcut sınır şartlarının uygulanmasıyla, hız profili için,

−

+−

∂∂

=00

20

22

02 ln

ln41

rr

rrrr

rrzPv

i

iz µ

denklemine ulaşılır.


III/11

Hacimsel debi:

( )

−

−−∆

=

i

ii

rrrr

rrlPQ

0

222044

0ln

)(8µπ


lPR

RQV

µπ 8

2

2∆

==

Maksimum hızı veren yarıçap değeri, 2/1

0

220

ln20

−

=⇒=∂∂

i

im

z

rrrr

rrv

denklemi ile belirlenerek, hız dağılım denkleminde,

( )mz rvv =max

şeklinde yerine konularak bulunur.


III/12

7.5. Boru ve kanallarda sürtünmeli akış kayıpları

Bir boru hattı boyunca akan viskoz bir akışkan, boru cidarlarındaki sürtünme direnci

veya bağlantı noktalarında akışta meydana gelen karışmalar nedeniyle basınç kaybına uğrar.

Bu kayıplar iki ana başlık altında toplanabilir:

a) Sürekli Kayıplar (temel akış kaybı, HA)

b) Yerel Kayıplar (bağlantı elemanları kaybı, HB)

Bu kayıpların toplamı; yani toplam basınç kaybı; Şekil 7.10’da gösterilen iki nokta arasındaki

enerji seviyesi farkıdır. Toplam basınç kaybı (HT), Bernouilli denkleminin,

THgzVP

gzVP

=

++−

++ 2

22

22

1

21

11

22α

ρα

ρ

şeklinde yazılmasıyla bulunur.

Şekil 7.10. Boru hattı boyunca toplam basınç kaybı için seçilen referans noktalar

7.5.1. Temel akış kaybı ya da sürekli kayıplar (HA)

Gerçek sıvıların boru içindeki hareketinde oluşan yük kaybı, akıma ters yöndeki

sürtünme kuvvetlerinin neden olduğu, enerji kaybının birim kütleye düşen değeridir.

Sürtünme etkisi Şekil 7.11’ de gösterildiği üzere; laminar ve türbülanslı akış için boru kesiti

boyunca farklı hız profillerinin olşmasına sebep olmaktadır.

Borulardaki akıma Bernoulli denklemini uygulayabilmek için HA’ nın belirlenmesi

gerekir. Tam gelişmiş bölgede yatay bir boru/kanal içerisindeki akış söz konusu olduğunda;

AHPPP

zz

VV=

∆=

−

=

=ρρ

αα 21

21

22

2

21

1 22

elde edilir. Buradan, HA’ nın basınç kaybı ile orantılı olduğu görülür. Deneyler akış sürtünme

kaybının;

=

Def

DL

V

H A Re,

21 2


III/13

şeklinde ifade edilebileceğini kanıtlamaktadır. Denklemde; ‘f ‘ sürtünme faktörü, ‘e’ ise yüzey

pürüzlülüğünü göstermekte olup, laminar ve türbülanslı akış için farklı şekilde tespit

edilmektedir.

Şekil 7.11. Laminar ve türbülanslı akış için boru kesiti boyunca hız profilleri

Laminar akış

AHDV

DL

DDVL

DLQP ρµ

ππµ

πµ

====∆ 324/1281284

2

4

2Re6464

232

22 VDL

DVDVL

DV

DLH A =

==

ρµ

ρµ

Re64

=f

olup, sadece Re sayısının fonksiyonudur.

Türbülanslı Akış

Türbülanslı akış durumunda, sürtünme kayıplar sadece Re sayısının değil aynı

zamanda boru pürüzlülüğünün (e) de bir fonksiyonudur. Yani;

2Re,

2VDL

DefH A

=

Bu durumda ‘f’ için basit bir ifade bulunmamaktadır. En genel halde, ‘f’ değeri Şekil 7.12’de

gösterilen MOODY diyagramı yardımıyla bulunur. Ancak, pürüzsüz borular için

(diyagramdaki S eğrisi), aşağıda verilen Blasius denklemini küçük bir hata payı ile kullanmak

uygundur:

25.0Re3164.0

=f .


III/14

Pürüzlü borularda ise, pürüzlülük oranına bağlı olarak f’in bulunması için birtakım formüller

verilmişse de en uygun yol Moody diyagramını kullanmaktır.

Şekil 7.12. Moody diyagramı

Not: Yukarıda dairesel borular için verilen çözümlerin tümü; dairesel olmayan borular için, ,

hidrolik çap dönüşümüyle aynen kullanılır.

Hidrolik (eşdeğer çap) = (4 x Akışın geçtiği alan) / Islak çevre

PADh

4=

7.5.2. Bağlantı elemanları kaybı ya da yerel kayıplar (HB)

Borularda sürtünmeden ileri gelen sürekli yük kayıpları yanında, akım yönünün ve

kesit değişmesinin neden olduğu yerel yük kayıpları da vardır. Yerel yük kayıpları boru

boyuna bağlı değildir ve çok kısa aralıkta enerji çizgisinin düşmesine neden olurlar. Yerel

kayıplarının hesabında kullanılan temel denklem ile bu tür kayıplara sebep olan kesit ve


III/15

bağlantı elemanları Şekil 7.13’de özetlenmiştir. Denklemde verilen ‘k’ katsayısının hesabı,

yerel kayıp türüne bağlı olarak değişir. Bu katsayının bilinmesiyle yerel kayıplar kolayca

hesaplanabilir. Aşağıda ‘k’ katsayısı değerleri ile ilgili analiz ya da deneysel olarak elde

edilen değerler verilmiştir.

giriş ve çıkış kesitleri kaybı

2

2VkHB = ani genişleme ve daralma kaybı

boru – dirsek kaybı

valf ve bağlantı elemanları kaybı

Şekil 7.13. Yerel kayıpların hesabı ve türleri

Bağlantı kayıplarını veren denklem,

2

2VDLefH B =

şeklinde de ifade edilebilir. Bu durumda, Le düz boruya karşılık gelen eşdeğer uzunluk

anlamındadır. Bağlantı kayıplarının diğer bir ifade tarzı ise; kayıpların akışkan sütun

yüksekliği (m) olarak bulunmasıdır. Bu durumda, )........(2,1 mh∆ olarak bulunan değer,

yerçekimi ivmesi (g) ile çarpılarak,

2,1hgHB ∆=

değerin elde edilir..

Ani Genişleme Kaybı:

Şekil 7.14’de görüldüğü gibi A1 kesitli borudan akmakta olan akışkan ani olarak daha

büyük kesitli (A2) borudan akmak durumunda kalırsa, ‘0’ kesitinde ölü bir akışkan bölgesi

meydana gelir ve bu bölgede bir p0 basıncı oluşur.

Şekil 7.14. Ani genişleyen kesitin şematik gösterimi


III/16

(1) ve (2) kesitleri arasında meydana gelen momentum değişimi, p0 , p1 ve p2

basınçlarının sebep olduğu kuvvetlerin toplamına eşit olmalıdır:

)(.).(.. 2121 VVgQVVQVm −=−=∆

γρ&

∑ −−+−= )( 1202211 AApApApF .

Deneysel sonuçlar doğrultusunda, p0 = p1 olup, F m V=∑ & .∆ bağıntısı kullanılarak,

)(.)( 21122 VVgQppA −=−

γ

Q = A1.V1 = A2.V2

gVVVpp

gVVVpp

.2).(2

.

222112

222112

−=

−

−=

−

γ

γ

(1) ve (2) noktaları arasında Bernoulli denklemi yazılırsa,

2,1

222

211

2

2h

gVp

gVp

∆++=+γγ

elde edilir. ∆h1,2 1-2 kesitleri arasında ani genişlemeden dolayı meydana gelen enerji kaybı

olmak üzere,

γ12

22

21

2,1 2

ppgVVh −

−−

=∆

2

)( 221

2,1 gVV

h−

=∆

olur. Süreklilik denklemi (A1V1 = A2.V2 ) kullanılarak, elde edilen V2 = (A1/A2)V1 değerini

yerine yazarsak,

.............................22

)1(2

12

12

2

12,1 g

VkgV

AAh ag=−=∆

elde edilir. Kayıp katsayısı ‘k’ bu durumda aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır:

2

2

1 )1(AA

kag −= .

Ani Daralma Kaybı:

Şekil 7.15’de görüldüğü gibi; A1 kesitli borudan akmakta olan akışkan ani olarak daha

küçük kesitli (A2) borudan akmak durumunda kalırsa, akım ani daralma nedeniyle önce en

küçük kesit teşekkül ettirecek şekilde daralır, sonra dar boruyu tüm dolduracak şekilde


III/17

genişler. Burada (1) ve (3) kesitleri arasındaki enerji kaybı ihmal edilebilecek kadar küçüktür.

Enerji kaybının büyük kısmı (3) ve (2) kesitleri arasında meydana gelir. Bu kesitler arasındaki

kayıp, akım Ac kesitinden A2 kesitine aniden genişliyormuş gibi düşünülerek bulunabilir. Ani

daralma kaybı böylece (3) ve (2) kesitleri arasındaki ani genişleme kaybına eşit olacaktır.

Şekil 7.15. Ani daralan kesitin şematik gösterimi

Ani daralma kaybı,

2

)( 22

2,1 gVV

h c −=∆

denklemi ile ifade edilir. Süreklilik (Ac.Vc = A2.V2 ) denklemi ile elde edilen, Vc = (A2/Ac).V2

değerini yerine yazarsak,

2

22

2222

2,1

11

.22

)1(

−=

=−=∆

µad

adc

k

gV

kgV

AA

h

olacaktır. Denklemdeki, µ = Ac/A2, daralma katsayısıdır ve değeri kesitler oranına bağlı

olarak Tablo 7.1’de verilmektedir.

Tablo 7.1. Kesitler oranına bağlı olarak µ değerleri.

A2/A1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

µ 0.624 0.632 0.643 0.659 0.681 0.712 0.755 0.813 0.892 1.0

Depoya giriş ve depodan çıkış kaybı

Bu tarz kayıplara ilişkin kesitler Şekil 7.16’da verilmiştir. Depoya giriş kaybı; ani

genişlemenin özel bir şekli olup, k=1 , V2 ≅ 0 alınır. Sonuçta yük kaybı için,

∆hV

g1 212

2, =


III/18

elde edilir. Depodan çıkış kaybı ise; ani daralmanın özel bir hali olup, 0)/( 12 ≅AA ve

µ≅ 0.60 alınır. Bu durumda,

44.0)11( 2 ≅−=µadk

olur ve yük kaybı aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır:

∆hV

g1 212

0 442, .= .

Şekil 7.16. Depoya giriş ve depodan çıkış kesitleri

Dirsek Kayıpları

Farklı dirsek türleri için geçerli ‘k’ katsayıları Tablo 7.1’de verilmiştir.

Tablo 7.1 Dirsek yük kayıp katsayıları

Dirsek türü ‘k’ katsayısı

Eğrisel dirsekler

Köşeli Dirsekler

Çatallar


III/19

Tesisat elemanlarındaki kayıplar

Bu tür kayıplara ilişkin bilgiler aşağıda özetlenmiştir.

Ancak arka arkaya bağlanan elemanlar olması durumunda, Şekil 7.17’de verilen

konfigürasyonlara uygun olarak ‘k’ katsayısı iki ile dört kat artar.

Şekil 7.17. Arka arkaya bağlanan elemanlarda ‘k’ katsayısının artış oranları


III/20


III/21

ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER (7. BÖLÜM)

PROBLEM 1 Şekilde gösterilen düz yüzeyli levha üzerinden; ortalama sıcaklığı ve hızı sırasıyla 27°C ve 10 m/s olan hava hareketi söz konusudur. Levha uzunluğu 1m, genişliği ise 0.5 m olduğuna göre; yüzey uzunluğu boyunca 0.2 m aralıklarla hidrodinamik sınır tabaka kalınlıklarını tespit ediniz? Not (1): Verilen ortalama sıcaklıkaki havanın özellikleri aşağıda verilmiştir:

scp /m 15,89.10 kj/kg.K; 007.1;kg/m 1614,1 2-63 === νρ Not (2): Türbülanslı akım durumunda sınır tabaka kalınlığı için formül aşağıda verilmiştir:

5/1Re..37,0)( −= xh xxδ

ÇÖZÜM

x=0,2 m için

56 10.26,1

10.89,152,0.10Re === −

∞

νxU

x laminar akış

Hidrodinamik sınır tabaka kalınlığı;

mxx3

2,0

10.82,2Re

2,0.5)( −==δ

x=0.4 m, x=0.6 m, için akış yine laminar olduğundan yukarıdaki işlemler aynen takip edilir.

x=0,8 m için;

56 10.03,5

10.89,158,0.10Re === −

∞

νxU

x türbülanslı akış

x=0.8 m ‘den sonra akım türbülanslı olduğundan dolayı;

m 021,0Re..37,0)( 5/1 == −

xh xxδ x=1 m, için yukarıdaki işlemler aynen takip edilir. Elde edilen değerlere ilişkin tablo aşağıda verilmiştir: x=0,2 m x=0,4 m x=0,6 m x=0,8 m x=1 m

)(xhδ 2,82.10-3 m 3,98.10-3 m 4,88.10-3 m 0,021 m 0,0256 m


III/22

PROBLEM 2 Şekilde gösterilen levha üzerinde, boydan boya olmak üzere ‘W’ genişliğinde ince ve eğimli bir kanal (çatlak) bulunmaktadır. Kılcal çatlak içerisinde kararlı bir akış gerçekleştiğine göre; NS denklemlerini kullanarak, akışkana ait hız profilini ve akışkan debisini veren formülü türetiniz?

ÇÖZÜM

Basınç kuvveti ile yerçekimi etkisi birlikte tek bir terim olarak yazılırsa, modifiye edilmiş basınç terimi,

gzPP ρ+=ˆ

şeklinde elde edilir. Navier-Stokes (NS) denklemleri (x- ve z- yönleri için) ise,

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−−

2

2

2

2

2

2

2

2

ˆ0

ˆ0

zv

xv

zP

zv

xv

xP

zz

xx

µ

µ

şeklindedir. NS denklemleri ve süreklilk denkleminden aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

00

;0ˆ

2

2

2

2

=∂∂

=∂∂

⇒=

=∂∂

zv

xvv

zP

zzz

xvx

∂∂

= 0

Bu şartlarda NS denkleminin sadece ‘x’ yönünde çözümü gereklidir:

2

2ˆ0

dzvd

dxPd xµ+−=

=dxPd ˆ

sabit

Bu denklemin genel çözümü,


III/23

212

1

2

2

ˆ

21

ˆ1

ˆ1

CzCzdxPdv

CzdxPd

dzdv

dxPd

dzvd

x

x

x

++

=

+

=

=

µ

µ

µ

şeklindedir. Özel çözüm için sınır şartları,

Wxatv

xatv

x

x

====

0;00

uygulanırsa, C2 = 0 elde edilir.

WdxPdC

WCWdxPd

−=

+

=

ˆ

21

ˆ

210

1

12

µ

µ

Katsayıların değerleri yazıldığında hız dağılımı için aşağıdaki denklem elde edilir:

[ ]WzzdxPdvx −

= 2

ˆ

21µ

Yandaki şekilde hız dağılımının şematik görüntüsü verilmiştir.

Hacimsel debi ise aşağıdaki şekilde bulunur:

∫= vdAQ

Birim uzunluk göz önüne alınırsa; A = L × W = 1 × W = W, ve dA = dw.

dwvdAvQW

xx ∫∫ ==0

[ ]

[ ]dwWzzdxPd

dwWzzdxPdQ

W

W

∫

∫

−

=

−

=

0

2

0

2

ˆ

21

ˆ

21

µ

µ


III/24

W

W

WWdxPd

WzzdxPdQ

0

33

0

23

23

ˆ

21

23

ˆ

21

−

=

−

=

µ

µ

Sonuç olarak hacimsel debi için aşağıdaki denklem elde edilir:

−=

dxPdWQˆ

12

3

µ

Birim alan için hacimsel debi (q = Q/A) ise, A = 1xW = W olduğundan,

−=

dxPdWqˆ

12

2

µ

elde edilir.


III/25

PROBLEM 3 Şekilde gösterilen eğimli silindirik boru içerisinde kararlı bir akış gerçekleştiğine göre; NS denklemlerini kullanarak, akışkana ait hız profilini ve akışkan debisini veren formülü türetiniz?

ÇÖZÜM

Silindirik koordinatlar göz önüne alındığında, şekilde gösterilen ‘x’ yönü için Navier-Stokes denklemi,

∂∂

∂∂

++∂∂

−=rv

rrr

gxP x

xµρ0

şeklinde yazılabilir. Denklemi daha basit forma indirmek için,

gx = gsinφ

olduğundan hareketle;

( )ϕρρ singxPx

gxP

x +∂∂

=+∂∂

yazılabilir. Şekilde verilen bilgilerden, ϕsinx = z, denkleme uygulanırsa,

( )dxPdgzP

xg

xP

x

ˆ=+

∂∂

=+∂∂ ρρ

elde edilir ( P̂ :modifiye edilmiş basınç). Denklem bu durumda aşağıdaki basit forma dönüşür:

+−=

drdv

rdrd

rdxPd xµˆ

0

=dxPd ˆ

sabit

Bu durumda integrasyon işlemi,


III/26

rdxPd

drdv

rdrd x

=

ˆ1

µ

1

2

2

ˆ1

ˆ1

CrdxPd

drdv

r

rdrdxPd

drdv

rd

x

x

+

=

=

µ

µ

şeklinde uygulanır.

00

==r

x

drdv

olduğundan C1 = 0. İkinci kez integrasyon uygulandığında,

CrdxPdCr

dxPdv

rdrdxPddv

x

x

+

=+

=

=

22 ˆ

41

2

ˆ

21

ˆ

21

µµ

µ

elde edilir. ‘C’ sabiti, r = R için vx = 0 sınır şartı uygulanarak,

2

2

ˆ

41

ˆ

410

RdxPdC

CRdxPd

−=

+

=

µ

µ

bulunur. Hız dağılımı bu durumda aşağıdaki denklemle ifade edilir:

[ ]22ˆ

41 Rr

dxPdvx −

=

µ

Yandaki şekilde hız dağılımının şematik görüntüsü verilmiştir.

Hacimsel debi (Q):

[ ]

−

=−

== ∫∫∫∫ drrRdrr

dxPddrrRr

dxPddrrvQ

RRRR

x0

2

0

3

0

22

0

ˆ

22

ˆ

412

µππ

µπ

−=

dxPdRQˆ

8

4

µπ

Birim alan için hacimsel debi (q), A = πR2:

−==

dxPdR

RQq

ˆ

8

2

2 µπ


III/27

PROBLEM 4 Şekilde gösterilen düşey boruda bağıl yoğunluğu SG=0.87 ve kniematik viskozitesi ν=2.2x10-4 m2/s olan yağ, Q=4x10-4 m3/s debisi ile akmaktadır.

a) Boru içerisindeki sürtünme kayıplarını hesaplayınız? b) Manometre sıvısı için SG=1.3 olduğuna gore, ‘h’ yüksekliğinin değerini bulunuz?

S G = 0 .8 7

S G = 1 .3

h

4 m

2 0 m m

Q

ÇÖZÜM

SG = 0.87 olduğundan, ρ = 870 kg/m3

Q= 4×10-4 m3/s a)

273.1D

4π

QAQv

2=== m/s

75.115102.2

)02.0)(273.1(ν

vDRe 4D =×

== − Laminar flow

6.892

)273.1()02.0)(75.115(

)4)(64(2Re

642

222====

vD

LvDfLH

DA J/kg

b)

AHgzvpgzvp+++=++ 2

22

21

21

121

21

ρρ

AHzzgpp ρρ +−=− )( 1221 ( 8.43779)6.89)(13.869()4)(807.9)(13.869(pp 21 =+−=− Pa 12m12 p)hh(gghghp =+ρ−ρ+ρ− gh)hhh(gpp m2121 ρ+++ρ−=− , 4)()( 2121 =−=+ zzhh m ghgghhgpp mm ρρρρρ 4)()4(21 −−=++−=− (

)13.8699993.1)(807.9(

)807.9)(13.869(4)8.43779()(4)( 21

−×+

=−+−

=ρρρ

mggpph

h=18.5 m


III/28

PROBLEM 5 Ani daralan bir boruda akan suyun debisi 0.040 m3/s olup, ani daralan kesitte boru çapı 0.12 m’den 0.06 m’ ye düşmektedir. Boru içi sürtünme kayıplarını ihmal ederek, toplam basınç düşüşünü hesaplayınız? ÇÖZÜM

s/m04.0Q 3=

537.3)12.0(

4π

04.0

D4π

QAQv

221

11 ==== m/s

147.14)06.0(

4π

04.0

D4π

QAQv

222

22 ==== m/s

BHgzvpgzvp+++=++ 2

22

21

21

121

21

ρρ

∑+−=−2

)(2

222

12

221vkvvpp ρρ

Ani daralma için; 40.0=k alınırsa,

2)147.14()4.0(999)537.3147.14(

2999 2

2221 +−=− pp

5.399878.9371921 +=− pp

Papp 3.13370721 =−


III/29

AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II DERSİ FİNAL SINAVI ÇÖZÜMLERİ Tarih: 12/01/2004 Süre: 90 dak.

SORU 1 (25p). Laminar sınır tabaka içerisinde bulunan bir akış için boyutsuz hız bileşenleri;

δy

Uu

=∞

; δx

yU

v4

2

=∞

olarak verilmektedir. Denklemdeki sınır tabaka kalınlığı 2/1cx=δ (c:sabit katsayı) bağıntısı ile ifade edildiğine göre, akışkan partikülünün sınır tabaka içerisindeki herhangi bir noktada ivme vektörüne ait denklemi türetiniz? Çözüm 1

22

22

32

3

2/1

2

2/1

2

2/12/1 28)

4()

4()()(

xcyU

xcyU

xcxyU

yxcxyU

cxyU

xcxyUa

tu

yuv

xuu

DtDua

px

px

∞∞∞∞∞∞ −=∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

32

32

22

22

2/12/1

2

2/1

2

2/1 83

4)()

4()

4()(

xcyU

xcyU

cxyU

yxcxyU

xcxyU

xcxyUa

tv

yvv

xvu

DtDva

py

py

∞∞∞∞∞∞ −=∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

toplam ivme;

22pypx aaa +=

denkleminden bulunur SORU 2 (25p). İki boyutlu kararlı bir akışa ait hız vektörü; jiV

rrr 2ByAxy −= ; A=4 (ms)-1, B=2 (ms)-1

olarak verilmektedir. Şekilde gösterilen kapalı eğri boyunca sirkülasyon ( ∫=Γ

C

sdV rr. ) değerini hesaplayınız?

x

y

1

1


III/30

Çözüm 2

∫=Γ sdV ~.~

( )( )yxyx dydxByAxysdV δδδδ ~.~~~.~ 2 +−=

= dyByAxydx 2−

∫ ∫ ∫∫ −+−=Γ da

bc

ab

cd dyByAxydxdyByAxydx 22

)(3

)(2

33332222badccbad yyyyByxyxyxyxA

−+−−−+−=Γ

0y ve

ve=Γ⇒

====

bcda

dcba

yyyxxxx

Akış irrotasyonel olduğundan;

( ) 0~~ =∇=Γ ∫ dAVxzA

SORU 3 (30p). .........(a)20p, (b)10p. Potansiyel akım alanı içerisinde sabit-dairesel bir silindir etrafında hareket etmekte olan bir akışkan partikülüne ait hız vektörünün bileşenleri,

θcos]1) [( 2 −=raUvr ; θθ sin]1) [( 2 +=

raUv

olarak verilmektedir. Denklemde ‘a’ silindir yarıçapını temsil etmekte olup, a) Silindir yüzeyine (r=a) etkiyen basınç değişim (gradyant) vektörü ( P∇

r) için geçerli

bağıntıyı Euler momentum denklemi yardımıyla (yerçekimi kuvvetini ihmal ederek) türetiniz?,

b) 2/πθ = ve r/a: 1,2,3,4 ve 5 değerleri için hız (dağılımını) vektörünü gösteriniz? Çözüm 3 a) Euler denklemi;

PgDtDv

∇−= ρρ yer çekimi kuvveti ihmal edilirse

ρθθθ Pr

vvr

vrvv

tv rr

rr ∇

−=−∂∂

+∂∂

+∂∂ 2

θvvr ve yerine yerleştirildiğinde denklem;

+

+

=∇ 12cos.sin22 242

θθρra

ra

rUP

b) 2/πθ = ve r/a=1 olduğunda;

( ) ( )[ ]1)2/(2cos).2/sin(1212 242

++=∇ ππρr

UP

0=∇P


III/31

2/πθ = ve r/a=2 olduğunda;

+

+

=∇ 1)2/(2cos).2/sin(

212

212 242

ππρr

UP

rUP8

9 2ρ=∇


+

+

=∇ 1)2/(2cos).2/sin(

312

312 242

ππρr

UP

rUP.81

.128 2ρ=∇


+

+

=∇ 1)2/(2cos).2/sin(

412

412 242

ππρr

UP

rUP

.128.225 2ρ

=∇


+

+

=∇ 1)2/(2cos).2/sin(

512

512 242

ππρr

UP

rUP.625

.1152 2ρ=∇

SORU 4 (20p). Potansiyel akım alanı içerisinde olan bir akış için kompleks potansiyel fonksiyon, ziBAz ln)()( +=ζ denklemi ile tanımlanmaktadır. Bu akış için hız bileşenlerinin (vr ve vθ) hesaplanabileceği formülleri türetiniz? Çözüm 4 ( ) ( ) ziBAz ln+=ς θierz .=

32143421φψ

θθ θθ rBriAeriBerA ii lnln).ln().ln( −=+=

( )rArr

Vr ln11=

∂∂

=θψ

rA

rV θψθ =

∂∂

−=


III/32


SORU 1 (40p). Hız vektörü; jiV

rrr 6 )y-(3 22 xyx −= olarak verilen bir akışı göz önüne alarak aşağıdaki

soruları yanıtlayınız: a) potansiyel akış koşullarının geçerli olup, olmadığını belirleyiniz? b) akım fonksiyonu ve hız potansiyel eğrilerine ait denklemleri türeterek, iki eğri

arasındaki diklik koşulunun geçerli olup, olmadığını belirleyiniz? c) (x,y)=(1,1) noktasında ivme vektörü bileşenlerini ve şiddetini bulunuz? d) (x,y)=(1,1) noktasındaki basınca ait denklemi (serbest akış hız ve basıncının bir

fonksiyonu olarak) türetiniz? e) akışa ait durma noktası (ya da noktalarını) belirleyiniz? f) 0≥x ve 0≥y bölgesinde akışa ait en az üç farklı akım çizgisini (örneğin ψ =1, ψ =2 ve

ψ =3 için) yaklaşık ölçekte çizerek x=1 noktası için, maksimum hızın hangi iki akım çizgisi arasında olabileceği konusunda görüş belirtiniz?

Çözüm 1

( ) { jxyiyxVvu

63 22 −−=43421

a)

0)6(60 =−+⇒=∂∂

+∂∂

⇒ xxyv

xu olduğundan sürekli ve sıkıştırılamaz.

0=∇w

( ) 066 =−−−=∂∂

−∂∂

=⇒ yyyu

xvwz olduğundan irrotasyonel akıştır.

Hız denklemi verilen akış sıkıştırılamaz, sürekli ve döngüsüz olduğundan potansiyel akış koşulları geçerlidir. b) Akım fonksiyonu ( )ψ ve hız potansiyeli ( )φ

( ) 322222 3333 yyxdyyxyxy

u −=⇒−=⇒−=∂∂

= ∫ ψψψ

∫ −=⇒−⇒∂∂

= 2322 3)33( xyxdxyxx

u φφ

Diklik şartı ( )

⇒∂∂∂∂

⇒=∂∂∂∂−

⇒∂∂

= yx

uv

yx

xy

sbt //

//

φφ

ψψ

ψ

çarpımları (-1) olduğundan diktir.

c-) İvme bileşenleri

tu

zuw

yuv

xuuapx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

( ) ( )( )⇒−−+−= yxyxyxapx 66633 22 222 366)33( xyxyxapx +−=

( ) ( )( )⇒−−+−−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= xxyyyxtv

zvw

yvv

xvuapy 66)6(33 22

yxyyxapy232 361818 ++−=


III/33

22pypxp aaa +=

x=1 ve y=1 için;……………..ap=50,91 m/s2 d) (x,y)=(1,1)⇒ Basınç denklemi;

−=

−=⇒+=+

∞∞∞

∞∞

∞∞∞ 2

2

2

22

22

2

1

2122 V

V

V

PPcpVPVPρ

ρρ

( ) ( ) 66)y-3(xViçin 1,1, 22 −=−== xyiyx bulunur.

−=

−=

∞∞∞

∞2

2

2

2 361

21 VV

PPcpρ

şeklinde bulunur. e) Durma noktalarında hız bileşenleri 0’dır. (u=0 ve v=0) ( ) 0 ve0003 2222 ==⇒=⇒==⇒=− yxyxyxyx m noktaları durma noktasıdır

0y ve0060 ==⇒=−⇒=⇒ xxyv Sonuç: durma noktasıdır. f) 0 ve0 ≥≥ yx bölgesinde akışa ait akım çizgileri;

8,0322313x1iken 113 2232 ==⇒=⇒−==⇒=⇒−= xxyyyx ψψ

22,123968x61iken 2 22 ==⇒=⇒−== xxy

113x2iken 12 2 =⇒−==⇒= xyψ olur.

3,145

458x62iken 1 22 ==⇒=⇒−== xxy

15,134

3413x3iken 23 22 ==⇒=⇒−==⇒= xxyψ

35,16

111168x63iken 2 22 ==⇒=⇒−== xxy

En fazla hız ψ2 ve ψ3 eğrileri arasında olur. Çünkü kesitin daraldığı yerde hız artar.

1

0,8

2

1 2

ψ=3

ψ=2

ψ=1


III/34

SORU 2 (30p). Viskoz, sıkıştırılamaz bir akışa ait hız bileşenleri aşağıda verilmektedir:

yybcau )( +−= , v=0, w=0........................(a, b ve c : sabit katsayılar)

a) NS momentum denklemini kullanarak ‘x’ yönündeki basınç gradyantını veren formülü türetiniz?

b) Kayma gerilmesi ( yxτ ) için geçerli denklemi türeterek, y=0’da yxτ =0 değerine ulaşmak için sabit katsayılar (a,b ve c) arasındaki ilişkinin nasıl olması gerektiğini bulunuz?

Çözüm 2 a)

yybcau )( +−= , v=0 , w=0 (a,b,c sabit)

VgPDtDV 2∇++−∇= µρρ

x yönündeki

∂∂

+∂∂

++∂∂

−=⇒ 2

2

2

2

yu

xug

xP

DtDu

x µρρ

∂∂

+=∂∂

2

2

xug

xP

x µρ

( ) µ222 2

2

=∂∂

⇒=∂∂

⇒+−=∂∂

xP

yuybca

yu

b) kayma gerilmesi için

( ) bcabcaybcayu

xyyx =⇒=−⇒=⇒+−=∂∂

= 00τµµτ

olmalıdır. SORU 3 (30p). .........(a)20p, (b)10p.

a) Şekilde gösterilen dairesel kesitli boru içerisinden akmakta olan motor yağı (SAE-50W) için laminar-tam gelişmiş akış koşulları geçerlidir. Borunun iki noktası arasında ölçülen basınç farkı yardımıyla, akış hacimsel debisi, akış ortalama hızı ve akışa ait Reynold sayısı (Re) tespit edilmek istenmektedir. Söz konusu büyüklükleri, µyağ=0.9 Pas, γciva=13.6 kN/m3 değerlerini göz önüne alarak hesaplayınız?

b) Şekilde gösterilen kılcal borulu viskozimetre yardımıyla, bir

akışkana ( =ρ 900 kg/m3) ait viskozite değeri tespit edilmek istenmektedir. Üst depoda bulunan ∆V=3 cm3 akışkanın, ‘d=1mm’ çaplı kılcal borudan geçerek boşalması ∆t=200s sürmektedir. Kılcal boru boyunca gerçekleşen basınç kaybı, hidrostatik yükseklikle (L=100mm) direkt ilişkili olduğuna göre (tam gelişmiş-laminar akım koşullarında) akışkan viskozitesini hesaplayınız? d

L

H=50mm

φD=8mm SAE-50W

civa


III/35

Çözüm 3 a)

µ

ρνµ

π DVDVVAVQLP

LDQ ort =⇒=⇒⇒=⇒

∆= ReRe

128

4

b)

snmsnQt

VQ /10.01,0/cm 01,02002 363 −=⇒=⇒

∆∆

=

LgL

LDQ ρµ

π128

4=

denkleminden µ çekilir.


III/36


SORU 1 (40p). a) Potansiyel akım alanı içerisinde olan bir akış için, kompleks potansiyel fonksiyon aşağıdaki denklemle verilmektedir. Γ veQ değeri sabit büyüklükler olduğuna göre; akım fonksiyonu, hız potansiyeli ve hız bileşenlerine ( rv ve θv ) ait denklemleri türetiniz?

)(2ln)( Γ+−=Φ iQzzπ

b) Kararlı iki boyutlu bir akışa ait hız vektörü aşağıdaki denklemle tanımlanmaktadır. Şekilde verilen kapalı eğri boyunca, sirkülasyon ( ∫=Γ

CVds ) değerini hesaplayınız?

jiV )( AxBAy ++= …………… A=6 s-1 ; B=3m/s ,

a(0,0) b(2,0)

c(2,2) d(0,2)

y

x Çözüm 1 a)

434214434421ψφ

θ

πθ

πθ

πθ

ππ 2ln

2ln

)(2

ln)(2

ln)(2ln)(

QrirQiQiriQreiQzzi +Γ

−Γ−

−=Γ++

−=Γ+−=Γ+−=Φ

πφ

θψ

21

rQ

rrvr −=

∂∂

=∂∂

=

πθφψ

θ 21

rrrv Γ

−=∂∂

=∂∂

−=

b)

∫=Γ sdV ~.~

{ jAxiBAyVvu

++=43421

)(

∫ ∫ ∫∫ +++=Γ da

bc

ab

cd vdyudxvdyudx

∫ ∫∫ +++=Γ 20

02

20 )( dxBAAdyBdx

0)(222 =+−+=Γ BAAB


III/37

Soru 2.....(40p). Dairesel kesitli (R yarıçapında ve L uzunluğunda) bir boru içerisindeki akışa ait hız dağılımı aşağıdaki denklemle ifade edilebilmektedir.

( )

−

∆= 22 )(1

4 RrR

LPrvz µ

……………………………(1)

a) Bilindiği üzere (1) denklemi, momentum ve süreklilik denklemlerinin en genel halinden başlayarak türetilebilmektedir. Türetim sırasında uygulanan varsayım ve sınır şartlarını (denklemi yeniden türetmeden) maddeler halinde yazınız?

b) (1) denklemini kullanarak akışa ait, ortalama hız, maksimum hız ve hacimsel debi büyüklüklerini veren denklemleri türetiniz?

c) (1) denklemini kullanarak, boru uzunluğu boyunca basınç kaybını veren aşağıdaki denklemi türetiniz (D=2R)?

2Re64 2V

DLP

=∆ρ

…………………………………………(2)

d) Aynı akış koşullarına ve aynı (L) uzunluğuna sahip, kenar yüksekliği ‘a’ olan kare kesitli bir kanal için (1) ve (2) denklemlerini ‘a’ nın bir fonksiyonu olarak yazınız?

Çözüm 2 a)

Newtonyan akışkanlar için viskoz kuvvetleri ile deformasyon arasında ilişki lineer olup, stres-

deformasyon ilişkisi momentum denklemine uygulanır ve gerekli işlemler yapılırsa;

VgPDtVD ~~~~~

2∇++∇−= µρρ

denklemine ulaşılır. Süreklilik Denklemi kullanılarak,

00 =∂∂

⇒==z

vvv z

r θ

)(rvv zz =

elde edilir. Silindirik koordinatlar için geçerli iki boyutlu Navier – Stokes denklemleri:

(1) rPg∂∂

−−= θρ sin0 θsinggr −=

(2) θ

θρ∂∂

−−=P

rg 1cos0 θθ cosgg −=

(3)

∂∂

∂∂

+∂∂

−=r

vrrrz

P z10 µ

(1) ve (2) denklemi kullanılarak:

( )zPP =

(3) denklemi kullanılarak:


III/38

( ) 212 ln

41 crcr

zPrvz ++

∂∂

=µ

Sınır şartları:

r=0 için 0/)( =dzrdvz

r=R için 0)( =rvz

LPzP // ∆−=∂∂ uygulanarak,

( ) ( )22

41 rR

LPrvz −

∆=

µ

denklemine ulaşılır.

b)

Hacimsel Debi:

( ) ( )lPR

zPRrvrdrQ z

R ∆=

∂∂

−== ∫ µπ

µππ

88.2

44

0

Ortalama Hız ve Maksimum Hız

lPR

RQV

µπ 8

2

2∆

==

VlPRvv rr 2

4

2

0max =∆

== = µ

c)

AHDV

DL

DDVL

DLQP ρµ

ππµ

π

µ====∆ 324/128128

4

2

4

2Re6464

232

22 VDL

DVDVL

DV

DLH A =

==

ρµ

ρµ

d)

kare kesiti olduğundan,

==PxADh

4 (4xAkışın geçtiği alan) / Islak çevre

axa

xaDh ==4

4 2

Dh=a yazılarak çözüme gidilir.


III/39

SORU 3 (30p). Şekilde gösterilen bir su deposuna bağlı, daire kesitli pürüzsüz bir boru (L=5m, D=3cm) vasıtasıyla dışarıdaki bir hazneye su akıtılmaktadır (ρsu=998 kg/ m3 µsu=10-3 N.s/ m2). Hazneye transfer edilen suyun debisi 11 m3/saat olduğuna göre,

a) Akış karakterini belirleyerek, boru boyunca sürtünme nedeniyle oluşan basınç kaybını (∆P) hesaplayınız?

b) Mevcut boru çapının iki katına çıkarılması halinde (a) şıkkında bulduğunuz değerde oluşacak yüzdesel değişimi belirleyiniz?

c) Mevcut boru uzunluğunun iki katına çıkarılması halinde (a) şıkkında bulduğunuz değerde oluşacak yüzdesel değişimi belirleyiniz?

d) Pürüzlü boru kullanılmış olsaydı, basınç kaybının hesabı için nasıl bir yol izlerdiniz, kısaca belirtiniz?

Hatırlatma: pürüzsüz boru için basınç kayıp katsayısına ait formüller; 1Re64 −=lamf ve 25.0Re3164.0 −=türf

Çözüm 3 a)

smAQV /32,4

4/)03,0(3600/11

2 ===π

23008.129340001.0

)03.0)(32.4)(998(Re >===µ

ρVD türbülanslı akış.

01668.0Re

3164.025.0

==f

mg

VDLP 64.2

201668.0

2==∆

b)

D=2x0.03=0.06 m ise

snmAQV /08.1

4/)06,0(3600/11

2===

π


III/40

230022.64711001.0

)06.0)(32.4)(998(Re >===

µρVD türbülanslı akış

01984.0Re

3164.025.0

==f

mg

VDLP 0982.0

201984.0

2==∆

c)

L=5x2=10m olduğunda yalnızca P∆ değişir ve iki katına çıkar

mg

VDLP 28.5

201668.0

2==∆

d)

pürüzlü borularda Moddy diyagramı kullanılır.

7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR -...

Documents

Transcript of 7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR -...