7 unzioni Fweb.math.unifi.it/users/rosso/MAT-lez-eser/Materiale non...7 unzioni F ettoriali v In...

7Funzioni vettorialiIn questo apitolo daremo molto rapidamente e in modo a�atto esaustivo al- une nozioni di base per le appli azioni della matemati a al mondo reale. Cilimiteremo a to are solo quegli argomenti he in qual he misura sono im-pres indibili per una omprensione delle te ni he e dei metodi matemati i he vengono orrentemente utilizzati nello studio della stragrande maggio-ranza delle appli azioni e nell'investigazione di fenomeni naturali o meno diqualsiasi tipo.7.1 Funzioni vettoriali di più variabili realiLa teoria delle funzioni di più variabili reali è ovviamente più omplessa diquella delle funzioni di una singola variabile. D'altra parte nella maggior partedelle appli azioni intervengono funzioni di molte variabili he possono avere siail lassi o signi� ato di variabili spazio-temporali ma an he quello di opportuniparametri �si i del sistema he si sta studiando.Senza pretesa di essere rigorosi mostriamo un sempli e esempio di funzione dipiù variabili tratto dalle appli azioni.Esempio 7.1. A ausa dell'interazione on l'ambiente ir ostante la tempe-ratura di un qualsiasi orpo esteso dipende in genere dal tempo ma an hedal punto del orpo in ui viene valutata. Si tratta di una veri� a he hiun-que può fare: se si prende un'estremità di una barra onduttri e (ad esempiometalli a) e si pone l'altra estremità a ontatto on una sorgente di aloreintenso (ad esempio il fuo o) dopo un erto tempo ( he dipende dalla lun-ghezza della barra e dalla natura del materiale) si avvertirà la variazione di

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 220temperatura. Immaginiamo, per sempli ità, he la barra sia essenzialmenteunidimensionale, disposta lungo l'asse x, di avere posto inizialmente (t = 0)un'intensa fonte di alore al entro della barra (x = 0) e he il alore possadi�ondere lungo la barra ma non perpendi olarmente ad essa. Si può pensaredi rappresentare il valore della temperatura T misurata nei punti x lungo labarra a vari istanti t su essivi all'istante iniziale. Si otterranno, nel piano xT ,gra� i del tipo mostrati nella �gura 7.1. I gra� i evidenziano bene il fenomenodella di�usione del alore: la temperatura entrale diminuis e a favore delleregioni periferi he (inizialmente più �fredde�) �no a he la temperatura dellabarra diventa uniforme lungo tutta la sua estensione. L'uso di un diagrammatridimensionale, in ui la variazione temporale viene evidenziata senza solu-zione di ontinuità, fa ilita la visualizzazione del fenomeno (�gura 7.2) an hese non appare indispensabile. Il prossimo esempio mostra inve e un aso in ui l'opzione tridimensionale è si uramente da preferire.PSfrag repla ements0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

−10 −5 0 5 10Figura 7.1. Variazione della temperatura lungo una barra: i vari gra� i in tratteggiosi riferis ono a istanti su essivi mentre il gra� o a tratto pieno è quello inizialeEsempio 7.2. Nel aso della Terra si può per esempio valutare l'insolazionemedia giornaliera dovuta alla radiazione solare (valutata in per entuale ri-spetto ad un valore massimo teori o) al variare della latitudine e riportarein un gra� o l'andamento annuo. Per visualizzare l'osservazione si possonoporre in uno stesso diagramma bidimensionale �tempo-insolazione� i vari gra-� i ottenuti variando la latitudine (�gura 7.3): in questo modo sarà possibilevisualizzare solo un erto numero (�nito) di gra� i distinti pena l'impossibili-tà di distinguere un gra� o dall'altro (�gura 7.4). Tuttavia in questo aso, adi�erenza di quello mostrato nell'esempio pre edente, non è immediato preve-dere l'andamento dei vari gra� i al variare della latitudine. Se inve e si de idedi usare un diagramma tridimensionale tale problema non si pone e i vari©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

p. 221 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7

PSfrag repla ements

0.10.20.3

−10−5

510

0

0

100

200

300

xt

T

Figura 7.2. Rappresentazione tridimensionale della distribuzione di temperatu-ra in una barra unidimensionale ris aldata inizialmente al entro: la s ala di grigi orrisponde ai valori di temperatura (grigio s uro= freddo, grigio hiaro= aldo)diagrammi relativi al ambio di latitudine potranno essere rappresentati tuttisimultaneamente variando la latitudine senza soluzione di ontinuità (�gura7.5).

PSfrag repla ements

1

0.2

0.4

0.6

0.8

tempo%

0 50 100 150 200 250 300 350Figura 7.3. Insolazione media (in %) al variare dei giorni dell'anno: ogni gra� oè relativo ad una latitudine di�erente. Sono rappresentate le latitudini da 0◦ a 90◦ on passo 15◦Esempio 7.3. Si pensi al ampo di velo ità in un mezzo �uido: a parità ditutte le altre ondizioni �si o-geometri he la velo ità dipende -oltre he dallospazio e dal tempo - an he dalla natura del mezzo �uido onsiderato attra-verso parametri ome la �vis osità� la quale a sua volta dipende an he dallo©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 222

PSfrag repla ements

tempo%1

0.2

0.4

0.6

0.8

tempo%

0 50 100 150 200 250 300 350Figura 7.4. Insolazione media (in %) al variare dei giorni dell'anno: ogni gra� oè relativo ad una latitudine di�erente. Sono rappresentate le latitudini da 0◦ a 90◦ on passo 1◦.

PSfrag repla ements

tempo%

tempo%

latitudine tempo%Figura 7.5. Insolazione media (in %) al variare dei giorni dell'anno e della la-titudine: sono rappresentate tutte le latitudini da 0◦ a 90◦ senza soluzione di ontinuitàstato termi o del mezzo. An he limitandosi ai asi più sempli i, quello dei motilaminari non-stazionari (in ui la velo ità delle parti elle ha una sola ompo-nente signi� ativa dipendente a sua volta da una sola oordinata spaziale edal tempo) o quello di moti piani stazionari (per i quali non 'è dipendenzadal tempo ma la velo ità ha almeno due omponenti signi� ative ias unadipendente da due oordinate spaziali), la visualizzazione del moto ri hiedealmeno un diagramma tridimensionale. La �gura 7.6 rappresenta lo stato diuna super� ie liquida (inizialmente piana) in vari istanti dopo essere statadisturbata (ad esempio dalla aduta di una go ia): in ias una �gura il li-vello della super� ie liquida dipende da due oordinate spaziali ed è possibilevisualizzare l'evoluzione temporale solo utilizzando varie rappresentazioni adistanti di�erenti.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


PSfrag repla ements

tempo%

tempo%

latitudinetempo% Istante t1

Istante t4Istante t3

Istante t2

Figura 7.6. Evoluzione di una super� ie liquida piana a seguito della aduta diuna go ia (t1 > t>t3 > t4)Limiteremo le nostre onsiderazioni al aso di funzioni a valori s alari o vet-toriali de�nite su sottoinsiemi di IRn on n = 2, 3. Infatti solo in questi asi èpossibile visualizzare e interpretare fa ilmente molte delle proprietà geometri- he o di�erenziali; per n > 3 si perde molta della �intuibilità� dei risultati heesporremo an he se questi ontinuano a valere (salvo po hissime e ezioni)per ogni intero n > 3.Comin iamo innanzitutto on l'introdurre la notazionef : x ∈ U ⊆ IRn → IR; (7.1)esattamente ome nel aso uni-dimensionale, la legge f aratterizza una fun-zione se per ogni x ∈ U il orrispondente elemento immagine f(x) è univo- amente determinato. Si di e talvolta he f è a valori s alari, per distinguerequesto aso (l'esempio 7.2 è di questo tipo) dal seguentef : x ∈ U ⊆ IRn → IRm; (7.2)in ui l'immagine è un vettore. In questo aso si parla di funzione a valorivettoriali se m > 1 (e questo è il aso dell'esempio 7.3). S elta una base (adesempio quella usuale di IRm) la m−upla (f1, . . . , fm) denoterà le omponentidi f in tale base.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 224Esempio 7.4. Una funzione del tipo f : (x, y) → x2 + y2 è s alare, una fun-zione del tipo g : (x, y) → (x2 + y2, x2 − y2) è vettoriale: le sue omponentig1 : (x, y) → x2 + y2 e g1 : (x, y) → x2 − y2 sono funzioni s alari.Esempio 7.5. La funzione T utilizzata nell'esempio 7.1 si s rive

f(x, t) =

[

2

√

π

(

1

2+

t

25

)

]−1

exp

[

− x2

4 (1/2 + t/25)

]ed è hiaramente s alare.Esempio 7.6. La funzione utilizzata nell'esempio 7.2 si s rivef(x, t) =

12

π2cos

( πx

180

)

cos

[

J sin

(

2πt

365

)]

sin

(

π2

12

)

+ sin( πx

180

)

sin

[

J sin

(

2 π t

365

)](dove J = 0.40928, x denota la latitudine e t il tempo) è an h'essa s alare.Dire he una funzione a valori vettoriali �gode di una erta proprietà� signi� adire he tutte le sue omponenti, ias una delle quali è una funzione del tipo(7.1), godono di quella proprietà.Analogamente al aso delle funzioni de�nite su IR e a valori in IR, è possi-bile introdurre l'insieme gra� o per le funzioni s alari f : IRn → IR ome ilsottoinsieme di IRn+1 generato dai punti del tipo (x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn))quando (x1, . . . , xn) varia in U . In simboligraff ={

(x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)) ∈ IRn+1| (x1, . . . , xn) ∈ U}

.Le �gure 7.2 e 7.5 mostrano gra� i in IR3 di funzioni de�nite su sottoinsiemidi IR2. Si noti tuttavia he la rappresentazione gra� a per le funzioni vetto-riali si deve fare omponente per omponente. Inoltre, se la funzione (s alareo vettoriale) dipende da più di due variabili, il on etto di gra� o diventa©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

p. 225 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7prati amente inutile a ausa della nostra in apa ità di per epire uno spazio on più di tre dimensioni.Sarà poi possibile e�ettuare la omposizione di due funzioni f (de�nita suU ⊆ IRn e a valori in IRm) e g (de�nita su W ⊆ IRm e a valori in IRp) sel'immagine della prima appartiene al dominio di de�nizione della se onda,ovvero se

f(U) ⊆ W.La omposizionex

f→ f(x)g→ g[f(x)]è una appli azione de�nita su U ∈ IRn e on valori in IRp he denoteremo olsimbolo g ◦ f .Una lasse molto importante di funzioni del tipo (7.2) è rappresentata daquelle lineari, tali ioè he

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y), ∀α, β ∈ IR, ∀x,y ∈ IRn, (7.3)dato he il loro studio è intrinse amente ollegato alla teoria delle matri i.Esempio 7.7. Le funzioni a valori s alari del tipo f(x) = Ax on x ∈ IRn, Amatri e 1 × n sono lineari e hanno per gra� o un �piano� in IRn+1 passanteper l'origine: infatti �ssata una base nello spazio vettoriale IRn, la funzione èrappresentata dalla matri eA =

(

a1 a2 . . . an)e la sua azione sul vettore ( olonna) x =

(

x1 x2 . . . xn

)T genera lo s alarez = a1x1 + a2x2 + . . . anxn he è appunto l'equazione di un �piano� nello spazio ad n + 1 dimensionipassante per l'origine.

7.2 Limiti e ontinuitàSia in questo paragrafo he nei su essivi limiteremo il rigore formale ( hein Matemati a sarebbe indispensabile) per evitare he le di� oltà insite nel©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


PSfrag repla ements

tempo%

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latitudinetempo%IstanteIstanteIstanteIstante

Figura 7.7. Piano x3 = x1 + x2 + 1 in IR3formalismo fa iano perdere di vista le idee basilari. Nella maggior parte dei asi la dimensione dello spazio delle variabili è indi ata generi amente on n;lo studente dovrebbe sempre er are di parti olarizzare le varie nozioni, de�-nizioni, teoremi e . ai asi n = 2, 3 tentando osì di �visualizzare� i on ettistessi.Come nel aso delle funzioni f : IR → IR il on etto di limite è il puntodi partenza per ostruire il al olo di�erenziale. Conviene, per sempli ità, onsiderare solo funzioni a valori s alari, dato he, ome abbiamo già avvertito,il passaggio al aso di funzioni vettoriali non presenta di� oltà di sorta.An he in questo aso l'idea entrale è il omportamento della funzione f(x)quando x0 è �un punto di a umulazione� dell'insieme di de�nizione U dellafunzione e x è �vi ino� a x0.Si tratta quindi di dare un signi� ato pre iso al on etto di �vi inanza� in IRn.Mentre nel aso uni-dimensionale lo strumento per misurare quanto �vi ino�sia l'elemento generi o di una su essione an al suo valore limite ℓ (se esiste), èun intervallo del tipo ℓ− ε, ℓ+ ε ( entrato sul valore limite della su essione),l'analogo multi-dimensionale è un dis o aperto on entro nel valore limite( he ora è un vettore) a e raggio arbitrario ε, ioè l'insieme dei vettori antali he |an − a| < ε. La super� ie �sferi a� di entro ℓ e raggio ε formala frontiera dell'intorno. Abbiamo quindi s elto di misurare la �vi inanza�( om'era peraltro naturale) mediante la distanza eu lidea. Diremo allora hex0 è un punto di a umulazione di U ⊂ IRn se è possibile ostruire su essionixn, tutte formate da punti di U , he onvergono a x0.Ciò premesso il on etto di limite introdotto nel apitolo 3 per le funzionis alari di un'uni a variabile reale si generalizza al aso di funzioni di più©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


PSfrag repla ements

tempo%

tempo%


P

Q

R

Figura 7.8. L'insieme U è ostituito dai punti interni alla regione s ura. Il puntoP è interno ed è un punto di a umulazione di U ; il punto Q non appartiene adU e non è un suo punto di a umulazione; il punto R non appartiene ad U (non èinterno) ma è di a umulazione sia di punti di U he del suo omplementarevariabili e a valori vettoriali.Si de�nis e innanzitutto il limite di una su essione formata da vettori xn: las rittura

limn→+∞

xn = x0indi a he |xn−x0| può diventare arbitrariamente pi olo a ondizione di pren-dere n su� ientemente grande. Come si vede la de�nizione è sostanzialmenteidenti a a quella per su essioni generate da funzioni f : IN 7→ IR: la quantità he ora deve tendere a zero è la lunghezza del vettore xn − x0. Stabilito iòla de�nizione di limite di una funzione f : U ⊆ INn 7→ IR è immediata: presoun punto x0 di a umulazione di U , di iamo he f tende a ℓ per x he tendea x0, e s riveremolim

x→x0

f(x) = ℓ,quando, dato una qualsiasi su essione di punti xn tutta ontenuta in U e onvergente a ℓ risultalim

n→+∞f (xn) = ℓ.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 228Notiamo espli itamente he -esattamente ome nel aso di funzioni f : U ⊂IR → IR - la de�nizione di limite non ri hiede he f sia de�nita in x0: basta he x0 sia un punto di a umulazione di U .Osservazione 7.1. Nel aso di un limite in IRn on n = 1 vi sono solo duemodi (direzioni) al più on ui x può tendere a x0 e infatti si parla di limite�destro� e �sinistro� he devono oin idere; per ontro in IRn on n ≥ 2 iper orsi possibili on ui x può tendere a x0 sono in�niti . In analogia ol aso n = 1 è naturale pretendere he an he per n > 1 l'esistenza del limite siaindipendente dal per orso seguito. Ma questo è esattamente iò he a�ermala de�nizione 7.2. Infatti la de�nizione oinvolge solo l'appartenenza di x adun intorno di x0 e ri hiede he solo la lunghezza del vettore |x− x0| tendaa zero, non il modo on ui le omponenti di x onvergono a quelle di x0.Questa osservazione è utile per ri onos ere asi di non-esistenza del limite, ome mostra l'esempio seguente.Esempio 7.8. Sia f(t, y) = t2

t2 + y2; questa funzione non ha limite per (t, y) →

(0, 0). Infatti se il limite esistesse dovrebbe essere indipendente dal modo on ui la norma del vettore (t, y) tende a zero, ma iò non è; si onsideri adesempio la retta t = αy on α ∈ IR e al oliamo il limite �lungo la retta�. Sitrovalimy→0

f(αy, y) = limy→0

(αy)2

(αy)2 + y2=

α2

α2 + 12 he dipende da α e ioè dalla parti olare retta s elta. La non esistenza diquesto limite si può ris ontrare an he visivamente nella �gura 7.9 in ui èmostrato il gra� o di f in un intorno dell'origine.I teoremi sui limiti (per esempio di ompatibilità fra limiti e operazioni algebri- he, di uni ità e .) non di�eris ono sostanzialmente da quelli già proposti nel aso unidimensionale e non li ripeteremo osì ome il on etto di ontinuità.Osserviamo poi he una eventuale dis ontinuità di una funzione di più variabilisi può, più generalmente, presentare in una forma un po' più omplessa rispet-to al aso unidimensionale, per esempio può risultare distribuita lungo una opiù �linee� o, più in generale, sottoinsiemi k−dimensionali (1 ≤ k ≤ n− 1) deldominio di de�nizione U ⊆ IRn. Il seguente esempio serva a hiarire questo on etto.Esempio 7.9. Un esempio di funzione f : IR2 → IR dis ontinua è la seguente:©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


PSfrag repla ements

tempo%tempo%


PSfrag repla ements

tempo%tempo%

latitudinetempo%IstanteIstanteIstanteIstanteFigura 7.9. Gra� o di f(t, y) =

t2

t2 + y2in un intorno dell'origine (da due puntidi vista): si nota hiaramente he se |x| tende a zero lungo il � rinale� y = 0 allora

f → 1, mentre se lo fa lungo la �valle� t = 0, allora f → 0

f(t, y) =

1, se t ≤ 0 oppure y ≤ 0

0, altrimenti (7.4)Più pre isamente questa funzione è dis ontinua nell'origine e in qualsiasi altropunto dei due semiassi positivi t e y. La veri� a è elementare e viene las iataal lettore. La �gura 7.10 mostra il gra� o della funzione in questione in unintorno dell'origine.

PSfrag repla ements

tempo%

tempo%


Figura 7.10. Gra� o della funzione (7.4): i semiassi positivi x ≥ 0 e y ≥ 0 sonolinee di dis ontinuità (di prima spe ie)A questo punto si potrebbero provare, per le funzioni ontinue, risultati ana-loghi a quelli visti per funzioni di una variabile. Naturalmente gli enun iati©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 230variano un po' in onsiderazione della diversa aratterizzazione dimensionale.Ad esempio ontinuano a valere teoremi ome quello di esistenza degli zeri1,e quello della permanenza del segno. Fra i vari teoremi relativi alle funzioni ontinue he si estendono al aso di più variabili, un posto importante è o - upato dal Teorema di Weierstrass he garantis e l'esistenza di un minimo eun massimo assuluto per la funzione su ogni sottoinsieme del suo insieme dide�nizione he sia hiuso e limitato. Come nel aso unidimensionale il teoremaè falso se si rimuove una qualsiasi delle ipotesi.7.3 Di�erenziazioneSappiamo he nello studio delle funzioni f di una singola variabile reale, laderivata ostituis e uno strumento fondamentale per investigare il omporta-mento della funzione e per tra iarne quindi un gra� o signi� ativo. Sappiamoan he he l'impossibilità di de�nire la derivata in un punto x0 dell'insieme dide�nizione di f dipende non solo dalla possibile assenza di ontinuità di f intale punto, ma pure, quand'an he tale ontinuità fosse garantita, dall'impos-sibilità di tra iare un'uni a retta tangente al gra� o di f in x0. Nel passaggiodal aso n = 1 al aso n = 2 il andidato naturale a sostituire la retta tangenteè il piano tangente.Lo studente attento dovrebbe hiedersi, a questo punto, per hé abbiamo ini-ziato fa endo riferimento direttamente al signi� ato geometri o della derivatae non al rapporto in rementale, he, an he nel aso n > 1, può essere de-�nito onsiderando una variabile alla volta. La ragione è, ome vedremo fraun momento, he la proprietà �il gra� o (in IR3) di f : IR2 → IR possiedein P0 un uni o piano tangente� dà maggiori informazioni sulla regolarità dif di quanta non ne dia sapere he �il limite del rapporto in rementale di f ,eseguito variabile per variabile, è �nito�.Comin iamo ol de�nire il on etto di derivata parzialeSia f : U ⊂ IRn → IR e supponiamo he esista �nito il limite

limh→0

f(x(0)1 , x

(0)2 , . . . , x

(0)j + h, . . . , x

(0)n )− f(x0

1, . . . , x0n)

h

= limh→0

f(x0 + hej)− f(x0)

h1 Va tuttavia osservato he detti zeri potrebbero riempire sottoinsiemi (n −1)−dimensionali dell'insieme di de�nizione della funzione, se questa è de�nitain IRn.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

p. 231 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7dove x0 è �ssato ed ej indi a il j−esimo versore della base naturale di IRn;questi valori limiti, al variare della s elta di j, si di ono derivate parzialiprime di f in x0 rispetto, rispettivamente, alla prima, se onda, . . . , n−simavariabile e si indi ano ol simbolo∂f

∂xj

(x0)Se tali limiti esistono in ogni punto x ∈ U, restano de�nite le funzionix ∈ U ⊂ IRn → ∂f

∂xj

(x) ∈ IR, j = 1, . . . , n he ontinueremo a hiamare �derivate parziali prime di f �.Oltre he ol simbolo ∂f

∂xj

, le derivate parziali prime vengono an he indi ate(e an he noi talvolta lo faremo) oi simbolifx1

, fx2, . . . , fxn

.Se f ha valori in IRm la de�nizione si estende senza modi� he alle singole omponenti di f .Il al olo di derivate parziali di funzioni di più variabili non presenta nessunaparti olare di� oltà in più rispetto al aso di funzioni di una variabile: infatti,nell'eseguire il al olo, le variabili rispetto a ui non si deriva vanno trattate ome ostanti.Esempio 7.10. Per f(x, y) = cos(xy)

exyabbiamo

∂f

∂x=

−y sin(xy)exy − y cos(xy)exy

e2xy,

∂f

∂y=

−x sin(xy)exy − x cos(xy)exy

e2xy.

Esempio 7.11. Per f(x, y) = (x+y

x) + y sin

(

x2 + x) abbiamo©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 232∂f

∂x=

(

1− y

x2

)

+ y (2x+ 1) cos(

x2 + x)

,

∂f

∂y=

1

x+ sin

(

x2 + x)

.Ri ordiamo he per funzioni di una variabile l'esistenza della derivata in unpunto x0 impli a la relazione (Teorema del di�erenziale)f (x0 + h)− f (x0) = f ′ (x0)h+ o(h). (7.5)Ri ordiamo an he he2 la (7.5) si interpreta geometri amente notando he

r(x) = f (x0)+f ′ (x0) (x− x0) ha per gra� o una retta passante per (x0, f (x0)) on oe� iente angolare pari a f ′ (x0). Posto h = (x− x0) nella (7.5),otteniamof(x)− r(x) = o (x− x0) (7.6) ioè, a meno di in�nitesimi di ordine superiore ad (x− x0), il gra� o di f sipuò approssimare on quello della retta passante per il punto (x0, f (x0)) e di oe� iente angolare f ′ (x0). Vi eversa se esiste una retta r(x) = m (x− x0)+

f (x0) per ui vale la (7.6) si dedu e subito, proprio dalla (7.6), he m =f ′ (x0). Dunque per funzioni di una variabile l'esistenza del numerof ′ (x0)equivale all'esistenza della retta tangente in (x0, f (x0)).La suddetta equivalenza fra esistenza della derivata ed esistenza della rettatangente, non è in genere vera per una funzione di n variabili f , an he quandosiano de�nite le sue derivate parziali, se si sostituis e il sostantivo �retta� on�piano� (n−dimensionale). Senza addentrar i in troppe spiegazioni i limitia-mo a mostrare la �gura 7.11: le derivate parziali nell'origine sono de�nite manon esiste un piano tangente in tale punto (in e�etti ne esistono due distinti).Allo s opo di dare un senso rigoroso alla frase �il gra� o di f si può approssi-mare lo almente on un piano� omin iamo on l'osservare he, se f : IR2 → IRè dotata in P0 = (x0, y0) di derivate parziali prime �nite, possiamo senz'altrode�nire il piano di equazione

z = f(P0) +∂f

∂x(P0)(x − x0) +

∂f

∂y(P0)(y − y0) (7.7)A�n hé questo piano rappresenti on �buona� approssimazione il gra� o di fin un intorno di P0 o orre he valga una relazione analoga alla (7.6). Porremoallora la seguente de�nizione

2 Vedere il apitolo 4, a pagina 138.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


PSfrag repla ements

tempo%tempo%


PSfrag repla ements

tempo%tempo%

latitudinetempo%IstanteIstanteIstanteIstanteFigura 7.11. Gra� o della funzione f(x, y) = x1/3y1/3 (da due punti di vista):nell'origine il piano tangente non è univo amente de�nitoUna funzione f : U → IR, on U aperto di IR2 si di e di�erenziabile inP0 ∈ U se esistono �nite le derivate parziali prime di f in P0, e se

limP→P0

f(P )−[

f(P0) +∂f

∂x(P0)(x− x0) +

∂f

∂y(P0)(y − y0)

]

|P − P0|= 0, (7.8)Se una funzione è di�erenziabile in P0 hiameremo piano tangente in talepunto il piano di equazione (7.7).Il aso n > 2 (Questo paragrafo può essere saltato ad una prima lettura). Per funzionis alari de�nite su insiemi di IRn on n > 2, la de�nizione di di�erenziabilità è simile, ben hé più ompli ata dal punto di vista formale. Indi hiamo on ∇f(x0) la matri e 1 × n di elementi

∂f

∂xj

(x0)e he prende il nome di gradiente di f . Si noti he ∇f(x0) de�nis e un'appli azione lineare daIRn a IR. Se la funzione ha valori in IRm, la derivata è una matri e m× n, detta Ja obiana, hesi indi a usualmente ol simbolo Df oppure ol simbolo J(f) e il ui elemento di posto (i, j) è

∂fi

∂xj

(x0)Naturalmente la derivata (intesa ome la matri e Ja obiana di f al olata in P0) de�nis e inquesto aso un'appli azione lineare da IRn in IRm.Una funzione f : U → IRm, on U aperto di IRn si di e di�erenziabile in P0 ∈ U se esistono�nite le derivate parziali prime di f in P0, e se3 lo s alare∣

∣f(x)− [f(x0) + Df(x0) · (x − x0)]∣

∣ (7.9)tende a zero più rapidamente di |x − x0| per x → x0.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 234Un riterio molto sempli e di di�erenziabilità è il seguente.(Criterio di differenziabilità). - Sia f : U → IRm, on U aperto di IRn una funzione dotatadi derivata Df(x) ontinua4 in un intorno di x ∈ U . Allora f è ivi di�erenziabile.

PSfrag repla ements

tempo%tempo%


PSfrag repla ements

tempo%tempo%

latitudinetempo%IstanteIstanteIstanteIstanteFigura 7.12. Gra� o della funzione f(x, y) = sin(x) cos(y) e del suo piano tangentenell'origine (da due diversi punti di vista)Esempio 7.12. La funzione f(x, y) = xy è si uramente di�erenziabile ovunque in IR2 dato he∂f

∂x= y e ∂f

∂y= x sono ontinue in IR2. È dunque dotata in ogni punto (x0, y0) del suo gra� odi piano tangente di equazione

z = f(x0, y0) + y0(x− x0) + x0(y − y0).Ad esempio in (0, 0) il piano ha equazione z = 0 (vedere �gura 7.12).Un altro esempio è fornito dalla funzione f(x, y) = x2 − y4 he risulta parimenti di�erenziabileovunque in IR2, on ∂f

∂x= 2x e ∂f

∂y= −4y3 ontinue in IR2. In questo aso il piano tangente in

(x0, y0) si s rivez = f(x0, y0) + 2x0(x − x0) − 4y

3

0(y − y0).Ad esempio in (1, 1) il piano ha equazione z = 2(x − 1) − 4(y − 1).Esempio 7.13. Cal oliamo la matri e Ja obiana di f : IR2 → IR2 de�nita dalle relazioni f =

(f1, f2) on f1(x, y) = x3y e f2 = ex sin(xy). AbbiamoDf (x, y) =

∂f1

∂x

∂f1

∂y

∂f2

∂x

∂f2

∂y

=

3x2y x3

ex(sin(xy) + y cos(xy)) xex cos(xy)

©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

p. 235 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7Le proprietà fondamentali della di�erenziazione sono analoghe a quelle viste per funzioni di unavariabile e le riassumiamo tutte (senza dimostrarle) in un uni o teorema. Siano f : U ⊆ IRn →IRm e g : U ⊆ IRn → IRm entrambe di�erenziabili in x0 e siano α, β due ostanti reali. Allora(i) (linearità) la funzione h = αf + βg è di�erenziabile in x0 e risulta

Dh(x0) = αDf(x0) + βDg(x0).(ii) (prodotto) se m = 1 la funzione h = f · g è di�erenziabile in x0 e vale la regola5∇h(x0) = g(x0)∇f(x0) + f(x0)∇g(x0)(si noti he si tratta di un'uguaglianza fra due matri i 1 × n).(iii) (quoziente) se m = 1 e se g non è mai nulla, la funzione h =

f

gè di�erenziabile in x0 e valela regola

∇h(x0) =g(x0)∇f(x0) − f(x0)∇g(x0)

[g(x0)]2Esempio 7.14. Sia f(x, y, z) = xyz e g(x, y, z) = 2 + sin(xyz). Allora ∇f = (yz, xz, xy) e ∇g =

(yz cos(xyz), xz cos(xyz), xy cos(xyz)). Quindi, se h = fg, si ha∇h(x, y, z) = (2 + sin(xyz))∇f(x, y, z) + xyz∇g(x, y, z)ovvero(∇h(x, y, z))T =

yz(2 + sin(xyz)) + xy2z2 cos(xyz)

xz(2 + sin(xyz)) + x2yz2 cos(xyz)

xy(2 + sin(xyz)) + x2y2z cos(xyz)

Possiamo an he fare una veri� a diretta: ad esempio, poi héh(x, y, z) = 2xyz + xyz sin(xyz),derivando rispetto ad x si ha

∂h

∂x= 2yz + yz sin(xyz) + x(yz)2 cos(xyz) he oin ide on la prima omponente di ∇h al olata mediante la regola del prodotto.Il prossimo teorema mostra he la omposta di funzioni di�erenziabili è di�erenziabile, fornendo osì l'analogo in più variabili del Teorema di derivazione di una funzione omposta.

5 Per m 6= 1 il prodotto va opportunamente de�nito. Se f : U ⊆ IRn → IR eg : U ⊆ IRn → IRm la funzione h = fg, de�nita su U ⊆ IRn e a valori in IRm èdi�erenziabile in x0 e vale la regola

Dh(x0) · y = f(x0)Dg(x0) · y + [∇f(x0) · y]g(x0)dove y è un generi o vettore ( olonna) di IRn (si ri ordi he Dh(x0) è una matri em× n e quindi rappresenta un'appli azione lineare di IRn in IRm).©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 236(regola della atena o di derivazione di funzioni omposte) Siano g : U ⊆ IRn → IRm,f : V ⊆ IRm → IRp due funzioni di�erenziabili, la prima in x0 e la se onda in y0 = g(x0).Supponiamo an he he g(U) ⊆ V in modo he abbia senso la omposizione h = f ◦ g. Allorah è di�erenziabile in x0 e vale la relazione

Dh(x0) = Df(y0) · Dg(x0) (7.10)dove il membro di destra della (7.10) è il prodotto fra la matri e Df(y0) di dimensioni p×me la matri e Dg(x0) di dimensioni m × n.Piuttosto he vedere la dimostrazione di questo risultato, ne mostreremo l'uso attraverso esempi.Esempio 7.15. Sia g(t) = (t, t2) ed f(u, v) = u + v. In questo aso n = p = 1 e m = 2 e poi héV = IR2 la omposizione f ◦ g ha sempre senso.

Dg =

1

2t

, ∇f =(

1 1)

.La regola fornis e immediatamente il valore h′ = 1+2t, onformemente al fatto he h(t) = f ◦g =t + t2.Esempio 7.16. Siano g(x, y, z) = (x+ y + z, xyz) e f(u, v) = u2 + v2. In questo aso n = 3,m =2, p = 1 e poi hé V = IR2 la omposizione f ◦ g ha sempre senso.

Dg =

1 1 1

yz xz xy

, Df =

2u

2v

.Fissato un punto x0 = (x0, y0, z0) nell'insieme U ( he in questo aso oin ide on IR3) si hay0 = (x0 + y0 + z0, x0y0z0) e

Dg(x0) =

1 1 1

y0z0 x0z0 x0y0

, Df(x0) =(

2(x0 + y0 + z0), 2x0y0z0)

.Pertanto[Dh(x0)]

T =

2(x0 + y0 + z0) + 2x0y2

0z2

0

2(x0 + y0 + z0) + 2x2

0y0z

2

0

2(x0 + y0 + z0) + 2x2

0y2

0z0

Esempio 7.17. Se n = p = 1 la omposta h è una funzione di un'uni a variabile reale a valorireali. In tal aso la regola della atena si s rive più sempli emente ome un prodotto s alare:dh

dt(t) = ∇f(g(t)) ·

dg

dt(t) (7.11)©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

p. 237 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7dove dg

dt=

(

g′

1, g′

2, . . . , g′

m

). Veri� hiamo la (7.11) in un aso parti olare sia usando la regola he direttamente. Prendiamo g(t) = (t, t2, 1) e f(u, v, w) = euvw di modo he h(t) = et3 : perderivazione diretta troviamo h′(t) = 3t2et

3 . Osserviamo ora he∇f(u, v, w) = e

uvw(vw, uw, uv)e quindi

∇f(g(t)) = et3 (t2, t, t3)mentre

[

dg

dt(t)

]T

= (1, 2t, 0)Pertanto∇f(g(t)) ·

[

dg

dt(t)

]

= (t2 + 2t2)et3 he quindi non di�eris e dalla relazione trovata per derivazione diretta.

7.4 Gradiente e derivata direzionaleData una funzione f : IRn → IR, e �ssati arbitrariamente due vettori x,u ∈IRn ostruiamo la funzione h(t) = f(x+ut). Poi hé w(t) = x+ut rappresentauna retta di IRn passante per x, h è la restrizione di f a tale retta.Ci poniamo il problema di studiare la variazione di f lungo tale retta. A tales opo si pone la seguenteSi di e derivata direzionale di f : IRn → IR in x nella direzione del versoreu la funzione di x

limt→0

f(x+ tu)− f(x)

t(7.12)se questa esiste (�nita).È evidente he il on etto di derivata direzionale altro non è se non la gene-ralizzazione di quello di derivata parziale: infatti, se u = ei (i-esimo versoredella base anoni a di IRn) si ha

f(x+ tei) = f(x1, . . . , xi + t, . . . , xn)e quindilimt→0

f(x+ tei)− f(x)

t=

∂f

∂xi

(x)©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 238Le derivate direzionali possono esistere lungo parti olari direzioni an he sela funzione f non è di�erenziabile. Quindi non è a�atto le ito, in genere, al olare la (7.12) utilizzando la regola della atena. Non è nemmeno detto,in generale, he se f è dotata di derivata direzionale lungo qual he parti olaredirezione, onservi questa proprietà variando arbitrariamente la direzione. Seperò f è di�erenziabile, tutte queste di� oltà vengono meno: vale in propositoil seguenteSe f : IRn → IR è di�erenziabile, allora ammette derivata direzionale lungoqualsiasi direzione di IRn. Inoltre la derivata direzionale lungo il versore u sis rive∇uf := ∇f · u.Osservazione 7.2. È bene tener presente he ai �ni del al olo s egliere uin modo he |u| = 1 orrisponde ad un'esigenza di standardizzazione; diver-samente la derivata direzionale dipenderebbe, oltre he dal punto x e dalladirezione, an he dalla lunghezza del vettore di direzione s elto, introdu endo osì una ompli azione inutile. Inoltre l'uso di un versore inve e he di unsuo multiplo fa sì he il parametro t ∈ IR misuri esattamente la lunghezza delsegmento di retta he va da x a x + ut. Ciò orrisponde ad aver �ssato unas ala sulla retta.Siamo ora in grado di fornire una notevole interpretazione geometri a delgradiente.Sia f : U ⊆ IRn → IR di�erenziabile on ∇f 6= 0. Allora ∇f(x) fornis e, inogni punto x la direzione lungo la quale f res e più velo emente (nel senso he la sua derivata direzionale assume il massimo valore possibile).Esempio 7.18. Consideriamo la funzione f(x, y) = sinx cos y. Il suo gradienteè il vettore ∇f = (cosx cos y,− sinx sin y); s egliamo un punto, per esempio

P = (π/6, 0) e un vettore unitario, per esempio u = (√3/2,−1/2). La derivata

∇uf è lo s alare ∇f(π/6, 0) · (√3/2,−1/2) = (

√3/2, 0) · (

√3/2,−1/2) = 3/4.


p. 239 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 77.5 Operatori di�erenzialiNelle appli azioni è frequente in ontrare parti olari ombinazioni di derivateparziali di una funzione s alare f(x, y, z) o vettoriale u(x, y, z). Dal punto divista matemati o rappresentano degli �operatori�: on questo termine si inten-de una legge he ad una funzione assegnata asso ia una nuova funzione. La lassi a derivata di una funzione di una singola variabile è an h'essa un ope-ratore, lo stesso di asi della legge he ad una funzione asso ia la sua funzioneintegrale.Diamo qui un rapido elen o degli operatori di�erenziali he operano sufunzioni (s alari o vettoriali) di più variabili.GradienteLo abbiamo già de�nito in pre edenza: data una funzione s alare f(x, y, z) sidi e gradiente di f (indi ato an he ol simbolo ∇ oppure grad ) l'operatoredi�erenziale he ad f (supposta di�erenziabile) asso ia la funzione vettoriale∇f = grad f =

(

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)Come sappiamo nel aso di una funzione di due sole variabili, ∇f indi a ladirezione di massima res ita della funzione f nel piano.DivergenzaQuesto operatore (indi ato ol simbolo ∇· oppure on div ), asso ia ad unafunzione vettoriale u = (ux, uy, uz) (supposta di�erenziabile) la funziones alare de�nita dalla formula∇ · u = div u =

∂ux

∂x+

∂uy

∂y+

∂uz

∂zIl signi� ato dello s alare div u dipende dal ontesto. Ad esempio se u rappre-senta il ampo di velo ità di un ontinuo �uido, l'annullarsi della divergenzagarantis e la onservazione del volume del �uido durante il moto, se inve eu rappresenta l'intensità del ampo magneti o l'annullarsi della divergenzaesprime l'ipotesi (della �si a lassi a) he �non esistono ari he magneti he�.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 240RotoreQuesto operatore (indi ato ol simbolo ∇× oppure on rot ) asso ia ad unafunzione vettoriale u = (ux, uy, uz) (supposta di�erenziabile) la funzionevettoriale∇× u = rot u =

(

∂uy

∂z− ∂uz

∂y,∂uz

∂x− ∂ux

∂z,∂ux

∂y− ∂uy

∂x

)Il signi� ato del del vettore ∇ × u dipende, ome nel aso pre edente, dal ontesto. Ad esempio se u rappresenta il ampo di velo ità di un ontinuo�uido, l'annullarsi del rotore omporta he durante il moto le parti elle �uidenon ruotano rispetto al proprio bari entro.Indipendentemente da quale sia la funzione s alare f o il vettore u sussistonole due seguenti identità vettorialirot (grad f) = 0, div (rot u) = 0Lapla ianoQuesto operatore (indi ato ol simbolo∇2 oppure,talvolta, on∆2) asso ia aduna funzione s alare f (supposta due volte di�erenziabile) la funzione s alare

∇2f = div (grad f)e quindi∇2f =

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2Il lapla iano si può de�nire an he per funzioni vettoriali e in tal aso si ponesempli emente∇2u =

(

∇2ux,∇2uy,∇2ux

)Ci limitiamo ad osservare he molti fenomeni �si i fondamentali sono rettida opportune equazioni a derivate parziali he legano una funzione in ognitaalle sue derivate parziali opportunamente ombinate nelle forme pre edenti:tale è ad esempio l'equazione di di�usione del alore (nella forma più sempli epossibile)∂ϑ

∂t= k∇2ϑdove ϑ(x, y, z, t) è la temperatura e k il oe� iente di di�usività termi a delmezzo, oppure quella della propagazione ondosa (nella forma più sempli epossibile)©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

p. 241 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7∂2u

∂t2= c2∇2udove u(x, y, z, t) è l'ampiezza dell'onda, c è la sua velo ità di propagazione,oppure quella he regola l'intensità del ampo elettri o stazionario E(x, y, z)generato da una sorgente di ari a distributa on densità ̺ assegnata

∇ ·E =̺

εdove ε0 è la ostante dielettri a nel vuoto.7.6 Curve di�erenziabili e insiemi di livelloAn he se orrisponde ad un aso parti olare di funzione a valori vettoriali,è omodo introdurre il on etto di � urva� in modo indipendente: infatti lostudio delle urve, per i suoi risvolti appli ativi, riveste un ruolo importanteal punto da rendere opportuno un apposito paragrafo.Di esi urva (o ammino) un'appli azione ontinua del tipoc : t ∈ I ⊆ IR → IRn.Diremo poi he la urva è di�erenziabile se l'appli azione c è di�erenziabile.È abbastanza omune utilizzare il termine � urva� sia per indi are l'appli a-zione he la sua immagine {c(I) | t ∈ I} in IRn. In genere risulta hiaro dal ontesto se i si riferis e alla funzione o alla sua immagine e quindi seguiremoan he noi la stessa onsuetudine.Esempio 7.19. Le seguenti leggi fornis ono esempi di urve in IR2 ed in IR3(a) t ∈ [0, 2π) → (

1

2cos t, sin t) è un'ellisse di IR2;(b) t ∈ [0, 2π) → (t − r sin t, 1 − r cos t) dove r è un parametro positivo, è unesempio di i loide (vedere �gura 7.13);( ) t ∈ [0,+∞) → (cos t, sin t, t) è un'eli a ilindri a di IR3 (vedere �gura7.14);©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 242(d) t ∈ [0, 2π] → (t(1 − cos(50t)), t sin(50t), log(t + 1)) non ha un nomeparti olare ma ri orda la forma di un �tornado� (vedere �gura 7.15).

PSfrag repla ements

tempo%

tempo%


Figura 7.13. Curva i loide generata dalla rotazione senza stris iamento di undis o rigido lungo una retta orizzontale: i punti della urva sono la tra ia las iata daun'asta rigida diretta ome un raggio e solidale al er hio. Il parametro r rappresentail rapporto fra la lunghezza dell'asta e il raggio della ir onferenza. In questa �gurar = 7/4

PSfrag repla ements

tempo%

tempo%


Figura 7.14. Esempio di eli a ilidri aUna urva di�erenziabile in IR3 può pensarsi ome la traiettoria des ritta dauna parti ella materiale P nello spazio �si o rispetto ad un �ssato sistemadi riferimento. In questo aso il parametro t ha il signi� ato di �tempo� ed èdel tutto naturale de�nire ome velo ità media di P nell'intervallo di tempo(t0, t0 + h) il rapporto

c(t0 + h)− c(t0)

he porre quindi la seguenteData una urva di�erenziabile c in IR3 di esi vettore velo ità in c(t) il vettorev(t) := c′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t))©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


PSfrag repla ements

tempo%

tempo%


Figura 7.15. Curva a forma di �tornado�mentre si dà il nome di velo ità s alare alla lunghezza |v(t)|.Dato he il vettore c(t0 + h)− c(t0) ha la direzione della ongiungente i duepunti c(t0), c(t0 + h) sulla urva e il verso he va dal primo al se ondo, ègeometri amente evidente he al tendere di h a zero la direzione limite delvettore c(t0 + h)− c(t0) sarà quella della tangente alla urva nel punto c(t).Pertanto v è, punto per punto, tangente a c. Nei punti c(t) in ui v(t) 6= 0potremo de�nire una retta tangente mediante la relazioneu(s) = c(t) + sv(t), s ∈ IR (t �ssato in modo he v(t) 6= 0) (7.13)Se c è due volte di�erenziabile ( ioè se v è di�erenziabile), si potrà de�nirean he il vettore a elerazione a ponendo

a(t) := c′′(t) = (x′′(t), y′′(t), z′′(t))Se s riviamo v nella forma vt on t unitario e v = |v|, si ottiene v′ = v′t+vt′;il vettore t′ è ortogonale a t dato he t · t = 1 impli a, derivando, he t′ · t =0. Ne onsegue he il vettore a possiede, in generale, due omponenti, una on la direzione di v ( he prende il nome di a elerazione tangenziale) e una on direzione ortogonale a v ( he prende il nome di a elerazione normale o entripeta).Osservazione 7.3. Il moto nello spazio dei punti materiali di massa m ègovernato dall'equazione (se onda legge della Me ani a di Newton6)6 Isaa Newton (1643 - 1727), uno dei massimi s ienziati di tutti i tempi per i©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 244ma(t) = f(c(t),v(t), t) (7.14)dove F : IR7 → IR3 è un'assegnata legge fenomenologi a e rappresenta �l'azionedei ampi di forza� sul punto materiale he si trova in c(t) all'istante t. Ilproblema fondamentale della me ani a onsiste nel trovare la traiettoria c sesono note la posizione c(t0) e la velo ità v(t0) di P ad un istante iniziale t0.Tenendo presente la de�nizione di a e v in termini di c, la legge di Newtonsi può leggere ome un'equazione he lega la funzione (in ognita) c alle suederivate prima e se onda, ovvero la (7.14) è una �equazione di�erenziale�. Èpossibile mostrare he, sotto opportune ipotesi di regolarità per la funzione

F, il problema ha sempre una ed una sola soluzione, ioè he esiste una solatrettoria possibile per il punto P . La (7.14) ha un'importanza fondamentalenella Fisi a �deterministi a�.Osservazione 7.4. È bene notare he an he per urve c molto �regolari�7l'immagine può apparire tutt'altro he regolare. Per esempio la i loide mo-strata nella �gura 7.16 ha delle uspidi nei punti in ui la urva to a l'assex, nonostante he le omponenti di c siano funzioni regolarissime (addirit-tura in�nite volte derivabili). Il motivo è da ri er are nel fatto he il vettorevelo ità si annulla in tali punti e la tangente non è più ben de�nita. Infattiv(t) = (1 − cos t, sin t) e poi hé la i loide to a l'asse x nei punti tk = 2kπ(k ∈ Z), risulta proprio v = 0 in detti punti: �si amente iò si giusti� a olfatto he il vettore velo ità ambia direzione in modo dis ontinuo quando tpassa dal valore 2kπ−ε al valore 2kπ+ε, nonostante he la sua intensità variinve e in modo ontinuo. Analogo omportamento si osserva nella urva nota ome �ipo i loide� di equazione c(t) = (cos3 t, sin3 t) (vedere �gura 7.17).

PSfrag repla ements

tempo%

tempo%


Figura 7.16. Irregolarità della retta tangente per la urva i loide on r = 1: lavelo ità |v| è regolare per ogni t lungo la urva ma il vettore v non lo è nei punti uspidali, orrispondenti agli istanti tk = 2kπ on k ∈ Zsuoi straordinari ontributi nella Fisi a e nella Matemati a. La sua opera piùimportante Philosophiae Naturalis Prin ipia Mathemati a, pubbli ata nel 1687,può essere annoverata fra le pietre miliari della S ienza.7 Si potrebbe dare una de�nizione più pre isa di questo termine ma per il momento i a ontenteremo di pensare ome regolare una urva in ui la retta tangente siaovunque de�nita e, per pi ole variazioni del punto di tangenza, il oe� ienteangolare subis a parimenti solo pi ole variazioni.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


PSfrag repla ements

tempo%

tempo%


00

0.5

0.5

−0.5

−0.5

1

1

−1

−1Figura 7.17. Irregolarità della retta tangente per la urva ipo i loide: la velo ità|v| è regolare ovunque lungo la urva ma il vettore v non lo è nei punti uspidaliCome a ennato all'inizio di questo apitolo, le funzioni s alari de�nite suinsiemi di IR2 onsentono di �visualizzare� e quindi di omprendere più fa il-mente al une delle proprietà delle funzioni di più variabili reali. In artogra�aè omunemente usato il termine di isoipse o urve di livello per denotare suuna arta geogra� a quei per orsi he non omportano una variazione di quo-ta (altezza rispetto al livello del mare). A tutti gli e�etti le isoipse non sonoaltro he le proiezioni sulla arta geogra� a delle linee ottenute sezionando unrilievo montuoso (o un abisso o eani o) on piani di quota positiva (negati-va)8 variabile progressivamente on passo �ssato. Questa idea si generalizzaimmediatamente ad una funzione on gra� o in IRn+1.Data una funzione f : U ⊂ IRn → IR e una ostante c ∈ IR si di e insiemedi livello c (o sezione n-dimensionale di valore c) il luogo Lc dei punti x ∈ Uin ui risulta f(x) = c.Esempio 7.20. Consideriamo una funzione del tipo

f(x1, x2, x3) =

3∑

i,j=1

aijxixj +

3∑

s=1

bsxs − c

8 Rispetto al livello del mare s elto onvenzionalmente ome livello �zero�.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7 p. 246dove A = (aij) è una matri e reale simmetri a 3 × 3, B = (bs) è un vettoredi IR3 e c è una ostante he vale 0 oppure 1. Gli insiemi di livello zero di fde�nis ono in IR3 una famiglia di super� ie lassi he dette quadri he he sidi�erenziano fra loro per le proprietà della matri e A. Le quadri he sono giàstate ampiamente trattate nel apitolo 0.Esempio 7.21. Le �gure 7.18 e 7.19 mostrano an ora al uni insiemi di livellomolto sempli i.

PSfrag repla ements

tempo%

tempo%


00.51f

x1

x1

x2

x2

−2

−2

−1

−1 00

11

22

468Figura 7.18. Gra� o del �paraboloide paraboli o� di equazione x3 = x2

2 + x2

1 e deisuoi insiemi di livelloGli insiemi di livello di una funzione qualsiasi possono avere una struttura piùo meno ompli ata in funzione della non linearità del legame fra le variabilix1, . . . , xn espresso dall'equazione (impli ita) f(x) = c. Già nel aso dellequadri he il legame fra le variabili non onsente, in generale, di rappresentarein modo univo o questi luoghi geometri i in forme del tipo x3 = g(x1, x2). Adesempio la sfera di equazione x2

1 + x22 + x2

3 = 1 è rappresentabile nella formasuddetta solo �a pezzi�: la funzione g(x1, x2) =√

1− x21 + x2

2 rappresentala alotta sferi a superiore mentre g(x1, x2) = −√

1− x21 + x2

2 rappresentaquella inferiore.La ri er a degli insiemi di livello omporta in genere la risoluzione in unaforma espli ita del tipo©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

p. 247 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7-

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00.51012468

x1

x2

00

1111 2222Figura 7.19. Gra� o di un semi-�ellissoide� di equazione x3 =

√

1− 2x2

2− x2

1e deisuoi insiemi di livello

xn = g(x1, . . . , xn−1) (7.15)di un'equazione in forma impli ita del tipof(x1, . . . , xn) = c, (7.16)dove c è una ostante reale assegnata. È possibile provare he questo problemaè sempre risolubile (almeno lo almente) sotto opportune ipotesi sulla funzione

f .È onsuetudine hiamare super� ie n-dimensionale il luogo geometri o diIRn de�nito globalmente da una relazione del tipo (7.16) oppure, se f èsu� ientemente regolare, delle sue rappresentazioni lo ali (7.15).Sia F : U ⊆ IRn → IR una funzione di�erenziabile ed S una sua super� ie diequazione F (x) = k. Sia poi c : t ∈ I ⊆ IR → U in modo he risulti de�nitala omposizione F ◦ c. È ovvio he la urva appartiene alla super� ie S seF ◦ c(t) = k per ogni t ∈ I.Esempio 7.22. Vediamo al uni esempi di urve he appartengono a super� i.(i) c : t ∈ [0, 1] → (0, t,

√1− t2) è uno dei due meridiani he si ottengonotagliando la sfera unitaria di IR3 di entro l'origine ol piano x = 0; infattise s riviamo la sfera nella forma x2 + y2 + z2 = 1 è immediato veri� are he x2(t) + y2(t) + z2(t) = 1 identi amente per ogni t.(ii) c : t ∈ [0, π/2] → (cos t sin

√t, cos t cos

√t, sin t) è un esempio di urvadisegnata sulla sfera unitaria di IR3 di entro l'origine. An he in questo aso è immediato veri� are he x2(t)+ y2(t)+ z2(t) = 1 identi amente perogni t.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


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00.51012468012010.250.50.75Figura 7.20. Esempio di urva ottenuta interse ando una super� ie on un piano:la urva in tratto più spesso è un meridiano di una semisferaSupponiamo he f rappresenti l'andamento altimetri o (rispetto al livello delmare) di un erto territorio; è ben noto ai artogra� (e a hi ammina inmontagna) he la direzione ortogonale a due linee di livello su� ientementevi ine rappresenta la direzione di �massima pendenza�, ioè quella lungo laquale (a parità di ammino fatto) si ha il massimo guadagno o perdita diquota.Se f è su� ientemente regolare, siamo ora in grado di provare he la direzionedi massima pendenza è quella data dal vettore ∇f .Sia f : IRn → IR un'appli azione di�erenziabile e x0 un punto sull'insiemedi livello Lk de�nito dalla relazione f(x) = k, on k ostante �ssata. Allora

∇f(x0) è ortogonale a Lk in x0, nel senso he se c è una qualsiasi urvadi�erenziabile di Lk tale he c(0) = x0, posto v = c′(0) risulta ∇f · v = 0.Il teorema pre edente fornis e, per n = 2, proprio l'interpretazione geogra� a ui si a ennava prima: ogni urva c del tipo f(x, y) = k des rive il luogo deipunti he hanno la stessa altitudine. Per il teorema 7.6 in ogni punto (x0, y0)di tale urva risulta ∇f(x0, y0) · v(x0, y0) = 0; dato he muovendosi nelladirezione del vettore v si resta (per pi oli spostamenti) sulla stessa linea dilivello, la direzione ∇f , essendo ortogonale, è quella in ui si ha la massimavariazione di quota.La �gura 7.22 mostra il paraboloide iperboli o e le sue linee di livello in IR2( he sono iperboli). La �gura 7.23 mostra inve e la proprietà di ortogonalitàfra il gradiente e linee di livello.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


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00.51012468012010.250.50.75010.250.50.75Figura 7.21. Esempio di urva disegnata su una alotta sferi a

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0 0−1

−1

−2

−2−3

−3

11

22

33y

y

tt

t

105Figura 7.22. Al une linee di livello della funzione f(P ) = f(x1, x2) = x2

1 + x2

2 e il ampo vettoriale ∇f7.7 Curve regolari e ampi vettorialiLe onsiderazioni he esporremo in questo paragrafo su urve e ampi vettoria-li si possono formulare in IRn on n intero positivo qualsiasi senza parti olaridi� oltà, ma per sempli ità i limiteremo al aso piano (n = 2). Tornia-mo in parti olare sulla questione della regolarità delle urve e diamone unade�nizione pre isa.Una urva di�erenziabile c : t ∈ (a, b) → IR2 si di e regolare (e sempli e) sec è iniettiva e se1) le omponenti ci (i = 1, 2) del vettore c sono funzioni derivabili on©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


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00.51012468012010.250.50.75010.250.50.750123105

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−1

−1

−2

−2

−3

−3 1

1

2

2

3

3y

tFigura 7.23. Ortogonalità fra le linee di livello e il vettore ∇fderivata prima ontinua in (a, b).2) il vettore tangente non è mai nullo, ioè|c′| =

√

(c′1)2+ (c′2)

2> 0, ∀t ∈ (a, b). (7.17)La regolarità tradu e quindi la proprietà he l'immagine della urva sul piano

x1, x2 sia dotata in ogni punto di un vettore tangente non nullo univo amentede�nito.Una urva regolare assegnata nella forma c = c(t) si di e an he urva pa-rametri a; tuttavia ( ome in parte abbiamo già anti ipato) an he un insie-me di livello di una funzione f dotata di su� iente regolarità può de�nireimpli itamente una urva regolare.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

p. 251 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7Esempio 7.23. La ir onferenza C di raggio r e entro in un punto (α, β) ∈ IR2si s rive in forma impli ita(x1 − α)2 + (x2 − β)2 = r2. (7.18)Vi sono varie rappresentazioni parametri he della ir onferenza: ad esempiola (7.18) si può s rivere

x1 =

α+√

r2 − (x2 − β)2, se x1 ≥ α

α−√

r2 − (x2 − β)2, se x1 ≤ α

(7.19)oppurex2 =

β +√

r2 − (x1 − α)2, se x2 ≥ β

β −√

r2 − (x1 − α)2, se x2 ≤ β;

(7.20)nel primo aso si può assumere t = x2 ∈ (β − r, β + r), nel se ondo t = x1 ∈(α−r, α+r) ottenendo in ogni aso una rappresentazione parametri a. Si notiperò he he si tratta di rappresentazioni lo ali: ias una relazione rappresentasempre una parte (semi ir onferenza) della ir onferenza ompleta.Una rappresentazione alternativa (globale) della ir onferenza si ottieneutilizzando le relazioni

c1(t) = α+ r cos(t), c2(t) = α+ r sin(t)dove t varia in [0, 2π). Usando quest'ultima rappresentazione si vede imme-diatamente ( om'era naturale attendersi) he la ir onferenza è una urvaregolare: infatti la ri hiesta 1) della de�nizione 7.7 è senz'altro soddisfattadato he sia sin he cos sono funzioni addirittura di lasse C∞(IR), mentre lari hiesta 2) si s rive in questo aso[c′1(t)]

2+ [c′2(t)]

2= r2,e quindi il vettore tangente non è mai nullo.Il lettore può fa ilmente veri� are he a di�erenza della ir onferenza, né la i loide (�gura 7.16) né l'ipo i loide (�gura 7.17) sono regolari in IR2.Esempio 7.24. Il paraboloide iperboli o in forma anoni a ha equazione z =

1 − y2 + t2: i suoi insiemi di livello sono des ritti dalla relazione impli ita1−y2+t2 = c la quale si risolve lo almente nelle due forme t = ±

√

c− 1 + y2.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/


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Curva regolareCurva non regolareCurva non regolareFigura 7.24. Esempi di urve regolari e non regolari in IR2È immediato veri� are he le linee di livello orrispondenti a valori c 6= 1 sonotutte urve regolari, mentre l'insieme di livello L0, he è rappresentato dalla oppia di rette t = ±|y|, non è regolare in (0, 0).Un ampo vettoriale è una legge del tipo u : x ∈ IRm 7→ u(x) ∈ IRn. Il ampo si di e regolare se la funzione vettoriale u(x) lo è. In altre paroleassegnare un ampo vettoriale in una regione equivale a dare una legge heassegna ad ogni punto di quella regione un vettore se ondo una regola benpre isa.Esempio 7.25. La �si a fornis e molti esempi di ampi vettoriali: la forza digravità ne è un esempio. Ogni orpo di massaM , supposto di aver posizionatoil suo bari entro al entro x = 0 del sistema di riferimento s elto, eser ita unaforza di attrazione su un se ondo orpo di massa m posizionato in x des rittamatemati amente dalla legge ( ampo gravitazionale Newtoniano)

f (x) = −GMmx

|x|2 u,dove u è il versore (vettore di lunghezza unitaria) diretto dall'origine al puntox e G è una ostante universale. In questo aso i vettori f(x) sono ovunque©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

p. 253 Fabio Rosso: Lezioni di Matemati a ..., Capitolo 7paralleli al vettore x e diretti verso l'origine del riferimento (vedere �gura7.25). L'intensità del ampo res e proporzionalmente all'inverso del quadratodella distanza del orpo m dal bari entro del orpo M . Altri esempi sonoil ampo elettri o generato da una distribuzione di ari a oppure il ampomagneti o generato da un dipolo.

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00.51012468012010.250.50.75010.250.50.7501231050123Curva regolareCurva non regolare

M

m

Figura 7.25. Il ampo gravitazionale NewtonianoAssegnato un ampo vettoriale ha spesso interesse trovare le � urve integrali�del ampo ovvero le urve t 7→ c(t) he in ogni loro punto c(t) hanno u omevettore tangente: questa ri hiesta equivale a imporre l'equazioned c

d t= u(c(t))in ui c(t) rappresenta l'in ognita. È questo un primo esempio di �equazionedi�erenziale�, argomento di ui i o uperemo in dettaglio nel prossimo api-tolo. Qui i limitiamo a mostrare un paio di esempi in IR2 (vedere �gure 7.26e 7.27.



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latitudinetempo%IstanteIstanteIstanteIstante00.51012468012010.250.50.75010.250.50.750123105 0

011 1122 2233 33Curva regolareCurva non regolare

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011 1122 2233 33Curva regolareCurva non regolareFigura 7.26. Il ampo vettoriale (cos y3, sin x3): a sinistra i vettori del ampo, adestra le sue urve integrali

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011 1122 2233 33Curva regolareCurva non regolare

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011 1122 2233 33Curva regolareCurva non regolareFigura 7.27. Il ampo vettoriale (sin2 x + y, cos(x + y2): a sinistra i vettori del ampo, a destra le sue urve integrali7.8 Osservazioni �naliLa teoria delle funzioni s alari o vettoriali de�nite su IRn è molto più va-sta e ri hiederebbe molti più sviluppi he non i po hi enni fatti qui. Bastipensare all'integrale he permette sviluppi molto approfonditi attraverso in-tegrali de�niti su volumi, su super� i e su urve e alle proprietà estremalidelle funzioni he qui non abbiamo nemmeno menzionato. Nel prossimo api-tolo dedi heremo inve e molto spazio alle equazioni di�erenziali ordinarie, unasotto ategoria delle equazioni �a derivate parziali� di ui abbiamo qui itatosolo gli esempi più famosi.©F. Rosso, Università di Firenze web.math.uni�.it/users/rosso/

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