7. RETIFICAÇÃO E NORMALIZAÇÃO DE IMAGENS
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7. RETIFICAÇÃO E NORMALIZAÇÃO
DE IMAGENS
7.1 CONCEITO INICIAL
Segundo (Andrade, 1998), retificar uma imagem consiste em
projetá-la, segundo seu próprio feixe perspectivo, para um plano
horizontal. Isso significa que, através da retificação, é possível modificar e
até mesmo eliminar completamente os ângulos de atitude da câmara em
relação a um dado referencial, bem como a distância focal da imagem
resultante. Tal fato pode ser evidenciado mais claramente na Figura 7.1.
Figura 7.1 – Imagem original, com suas devidas inclinações e imagem retificada de modo a não es-tar
rotacionada. Note-se que, no processo de retificação, a escala da imagem poderá ser alterada.
7.1
No caso da fotogrametria aérea/orbital, ou seja, a fotogrametria
com vistas ao mapeamento em larga escala, interessa transformar as
imagens em perfeitamente verticais, ou seja: eliminar os ângulos φ e ω,
gerando, então, imagens perfeitamente verticais. Vale lembrar que, para
imagens aéreas, φ e ω devem ser menores que 5o. Caso se queira, pode-
se alterar além dos ângulos já citados, o ângulo de deriva κ e a distância
focal da imagem, o que serve para uniformizar todas as imagens de um
mesmo vôo (ou mesmo de vôos diferentes).
O objetivo primordial da retificação para a fotogrametria
aérea/orbital é gerar uma nova imagem vertical sem as distorções
introduzidas pela atitude do sensor durante a tomada da imagem. A
imagem resultante poderá, inclusive, está isenta dos erros de
deslocamento devido ao relevo. Nessa hipótese, deve-se realizar o
processo da ortorretificação.
A retificação é orientada à imagem, sendo necessário o
conhecimento dos parâmetros de orientação interior e exterior da mesma.
A seguir serão apresentados alguns dos métodos matemáticos mais
utilizados para este fim.
7.2 MODELOS MATEMÁTICOS
Existem basicamente duas formas para a realização das operações
de retificação, a saber: transformações (afim, polinomial, projetiva, etc.) e
princípio da colinearidade.
7.2.1 TRANSFORMAÇÃO AFIM
A já conhecida transformação afim também pode ser utilizada para
a retificação aproximada de uma imagem. Consiste em, conhecendo-se
as coordenadas de, no mínimo três pontos não-colineares no sistema de
7.2
coordenadas da imagem inicial e no sistema de coordenadas da imagem
final, através de um ajustamento pelo método paramétrico, calcular os
coeficientes de transformação entre ambos os sistemas. Tais coeficientes
são a0, a1, a2 e b0, b1, b2. A formulação da transformação afim é a
seguinte:
x = a0 + a1 . x' + a2 . y' (7.1)
y = b0 + b1 . x' + b2 . y' (7.2)
(x, y) representa o sistema de coordenadas de imagem final,
enquanto (x', y') é o sistema de imagem inicial.
Neste caso, deseja-se corrigir as distorções causadas pela rotação
da câmara em relação a um referencial. Dispõe-se de uma imagem inicial,
em sistema de pixels (discreto) e quer-se chegar a outra imagem digital,
porém retificada. O sistema de coordenadas desta segunda imagem
também é discreto. Sem embargo, pode-se reescrever as equações (7.1)
e (7.2) como:
coluna = a0 + a1 . coluna' + a2 . linha' (7.3)
linha = b0 + b1 . coluna' + b2 . linha' (7.4)
Resta ainda uma condição para executar-se o ajustamento: alguns
pontos de controle (no mínimo três) são necessários. Para estes pontos,
deve-se conhecer suas coordenadas no sistema da imagem retificada.
Uma boa saída é escolher os cantos do objeto a ser retificado, se o
mesmo for retangular. Caso queira-se eliminar totalmente a distorção
causada pela rotação da câmara, esses cantos terão de ser
obrigatoriamente os cantos da imagem retificada, ou seja, as coordenadas
(0,0) ; (0,l); (c,l) e (c,0), onde c e l são valores arbitrados e que devem ser
obtidos aproximadamente caso se deseje manter a proporcionalidade.
Um exemplo que serve para clarificar este modelo de
transformação é o da figura 7.2. Nela, tem-se uma imagem da fachada de
um pequeno edifício, obviamente eivada das distorções convencionais.
Sua representação retificada pode ser vista ao lado. Como a fachada é
7.3
retangular, pode-se utilizar seus cantos como pontos de controle e dizer
automaticamente que estes serão os cantos da imagem final. Para dar
um valor aproximadamente igual à proporção base X altura da fachada à
imagem final, é possível, por exemplo, verificar quanto valem as alturas
(pela direita e pela esquerda) e as bases (embaixo e em cima) do prédio
na imagem distorcida e tirar uma média. Esta foi a estratégia adotada
neste caso, chegando-se ao resultado a seguir.
Figura 7.2 – Imagem original, com suas devidas distorções e imagem retificada de modo a
não estar rotacionada. Os pontos de controle estão marcados com cruzes vermelhas.
Tem-se em mãos, agora, valores de coordenadas de quatro pontos
no sistema da imagem original (obviamente, pois o usuário terá de
escolhê-las) e no sistema da imagem final (no caso da figura 7.2, porque
foram arbitrados os cantos da imagem). Arranjando-se os termos em
forma matricial, chega-se a:
¦coluna1linha1
coluna2linha2
coluna3linha3
coluna4linha4
§=¦1 coluna1' linha1' 0 0 00 0 0 1 coluna1' linha1'1 coluna2' linha2' 0 0 00 0 0 1 coluna2' linha2'1 coluna3' linha3' 0 0 00 0 0 1 coluna3' linha3'1 coluna4' linha4' 0 0 00 0 0 1 coluna4' linha4'
§E¦a0a1a2b0b1b2§ (7.5)
7.4
Um ajustamento pelo método paramétrico pode ser realizado,
tendo, como valores finais: a0, a1, a2 e b0, b1, b2 ajustados.
7.2.2 TRANSFORMAÇÃO PROJETIVA
A transformação projetiva é expressa da seguinte forma:
x =c11 x'Ac12 y'Ac13
c31 x'Ac32 y'A1 (7.6)
y =c21 x'Ac22 y'Ac23
c31 x'Ac32 y'A1 (7.7)
Esta transformação requer quatro pontos de controle no mínimo
para sua execução. Outro inconveniente da mesma é que ela mapeia
planos em planos, sendo desaconselhável para a retificação de
superfícies tridimensionais (um terreno, por exemplo). Para superfícies
planas, ou aproximadamente planas (uma fachada “bem-comportada”, por
exemplo), ela chega a apresentar melhores resultados finais que a
transformação afim.
7.2.3 OUTRAS TRANSFORMAÇÕES
Ao invés de se utilizar a transformação afim, pode-se escolher
modelos menos completos (isto é, que modelam menos parâmetros,
porém, que exigem menos pontos de controle), facilitando o esforço
computacional do ajustamento por mínimos quadrados. Como exemplos,
citam-se as transformações isogonal e ortogonal.
Polinômios de maior ordem também podem ser empregados,
porém, deve-se ter em mente que estes implicarão em maior volume de
cálculos, e também em não-linearidade do modelo a ser ajustado.
7.5
7.2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE AS TRANSFORMAÇÕES
MATEMÁTICAS APRESENTADAS
As transformações já citadas são de uso e implementação
relativamente simples. Porém, é claro que estas não modelam de forma o
mais eficaz possível o problema da retificação, uma vez que elas não têm
como variáveis ou injunções os valores dos ângulos de rotação aos quais
a câmara foi submetida.
Explica-se: no caso da retificação, é de interesse a eliminação (ou
modificação) das distorções causadas por tais ângulos. Entretanto,
nessas transformações, não se modelam tais ângulos. O que se faz é
uma correção aproximada dos mesmos. Assim, para uma retificação mais
acurada, faz-se necessária a entrada de tais valores no ajustamento.
7.2.5 EQUAÇÃO DA COLINEARIDADE
Neste caso, utiliza-se o princípio da colinearidade, já utilizado
anteriormente (Capítulo 5) para a orientação exterior e o ajustamento,
porém, com alguns coeficientes modificados, de modo a adequar-se ao
problema aqui proposto.
As equações são as seguintes:
xN=BfN
r11 xpAr12 ypBr13 fp
r31 xpAr32 ypBr33 fp
(7.8)
yN=BfN
r21 xpAr22 ypBr23 fp
r31 xpAr32 ypBr33 fp
(7.9)
Na figura 7.3, encontram-se identificadas graficamente as variáveis
envolvidas:
O sistema xp, yp e fp pertence à imagem não retificada, sendo fp a
7.6
distância focal com a qual ela foi obtida.
O sistema xN, yN e fN equivale à imagem retificada, sendo, em geral
utilizado fN igual a fp, porém não necessariamente há que se seguir tal
convenção.
Observa-se que a cada ponto da imagem original, corresponde um
outro na imagem retificada. Os valores da matriz de rotação modelam as
rotações entre os eixos. Em geral, se usa para estes valores os mesmos
ângulos de atitude da câmara, de modo a eliminá-los na imagem final.
Nada impede, entretanto, que sejam utilizados outros, de modo a se criar
uma imagem com inclinação específica.
Figura 7.3 – Princípio da colinearidade para a retificação de imagens
A partir daí, segue um ajustamento por mínimos quadrados,
7.7
utilizando-se o método paramétrico não-linear, tendo, como resultados, os
valores ajustados dos coeficientes de transformação entre os dois
sistemas. Um problema, porém, continua a existir: embora seja modelada
uma transformação onde x e y possam assumir valores reais, o espaço
representado deve ser discreto (pixels). Assim, de modo a exibir, na
imagem final, a distribuição radiométrica mais adequada possível, diversos
métodos de reamostragem dos níveis de cinza dos pixels são necessários.
A seguir, serão vistos alguns deles.
7.3 REAMOSTRAGEM
O grande problema da reamostragem encontra-se, como já dito, na
determinação exata do tom de cinza a ser destinado aos pixels da nova
imagem. Como exemplo, um determinado pixel, que encontra-se na
coluna 430 e linha 289 possui o nível de cinza igual a 17. De acordo com
a transformação utilizada para executar a retificação, a posição
equivalente deste ponto (430; 289) na nova imagem deve ser (427,35;
288,78). A figura 7.4 demonstra graficamente, a situação apresentada.
Como apresentado, a imagem original encontra-se com seu grid de
pixels em vermelho-escuro. Já a nova imagem encontra-se representada
através do quadriculado azul-marinho sobreposto. Essa representação
gráfica demonstra claramente o problema decorrente da transformação
utilizada para retificar uma imagem e os inconvenientes decorrentes da
dos eventuais resultados a serem obtidos. Neste caso, vê-se que o pixel
de nível de cinza 17 da imagem original deve influenciar
radiometricamente ao menos outros quatro da imagem retificada (colunas
427 e 428 e linhas 288 e 289). A reamostragem, neste caso, faz-se
necessária para que os novos pixels tenham a cor que deveriam ter por
estarem em tal posição. Vários métodos então, foram desenvolvidos para
realizar esta correspondência. Os mais utilizados são: vizinho mais
próximo, interpolação bilinear, splines bicúbicas e polinômios de Lagrange,
conforme citado em (Andrade, 1998).
7.8
Figura 7.4 – O problema da reamostragem: compatibilizar a radiometria da imagem original
para uma nova distribuição de pixels
7.3.1 REAMOSTRAGEM POR VIZINHO MAIS PRÓXIMO
Este método apenas atribui o valor do nível de cinza de
determinado pixel da imagem reamostrada ao pixel da imagem original
que estiver mais próximo. Trata-se então, apenas de um arredondamento.
Para o caso anteriormente citado, o pixel (427; 289) – que é o
arredondamento de (427,35; 288,78) – da imagem final receberá o nível
de cinza (tonalidade) igual a 17. Este método possui 0,5 pixel de erro, e
isso leva a descontinuidades na imagem reamostrada. Algumas de suas
vantagens, segundo (Novo, 1992) são seu rápido processamento e fácil
implementação. Além disso, esta reamostragem não altera os valores
radiométricos da imagem original.
(Andrade, 1998) apresenta tal método na forma de equações, de
7.9
modo a facilitar a pronta utilização em implementações computacionais.
As mesmas foram transcritas a seguir:
A'(k,l) = A(i,j) para dx P 0,5 e dy P 0,5 (7.10)
A'(k,l) = A(i+1,j) para dx U 0,5 e P 0,5 (7.11)
A'(k,l) = A(i,j+1) para dx P 0,5 e dy U 0,5 (7.12)
A'(k,l) = A(i+1,j+1) para dx U 0,5 e dy U 0,5 (7.13)
A notação empregada (e que será adotada também nas equações
para os outros métodos) é a seguinte:
“A'” é o valor reamostrado do pixel;
“A” é o valor do pixel na imagem original;
“dx” e “dy” são os valores calculados, em números reais, das coordenadas
definidoras da posição de um pixel (na imagem a ser reamostrada) e os
seus valores inteiros menores.
7.3.2 REAMOSTRAGEM POR INTERPOLAÇÃO BILINEAR
O valor do nível de cinza, neste método, será determinado a partir
dos quatro pixels da imagem inicial que a ele são vizinhos.
Com este método, segundo (Novo, 1992), haverá uma maior
precisão geométrica e o desaparecimento de descontinuidades.
Entretanto, há que se considerar o maior processamento de cálculos e a
alteração dos valores de níveis de cinza da imagem original.
Segue a fórmula contida em (Andrade, 1998).
A(k,l) = A(i,j) + dx [A(i+1,j) – A(i,j)] + dy [A(i,j+1) – A(i,j)] + (7.14)
+ dx dy [A(i,j) – A(i+1,j) – A(i,j+1) + A(i+1,j+1)]
7.10
7.3.3 REAMOSTRAGEM POR MÉTODOS DE VIZINHANÇA 4 X 4
PIXELS
Estes métodos apresentam um resultado de melhor visualização,
incorrendo em menos erros de interpolação. Entretanto, recaem em
cálculos muito mais complexos, uma vez que utilizam cálculos envolvendo
os tons dos 16 pixels vizinhos, além de terem, obviamente, a modificação
dos tons da imagem original.
(Andrade, 1998) apresenta as formulações para os métodos de
splines bicúbicas e polinômio de Lagrange. As mesmas são inteiramente
transcritas a seguir.
Para splines bicúbicas:
Primeiro, define-se uma função “df(x)”:
df(x) = |x|3 – 2 |x|2 +1, se |x| P 1
df(x) = –|x|3 + 5 |x|2 – 8 |x| + 4, se 1 T |x| P 2 (7.15)
df(x) = 0, se x U 2
E uma outra função “a(n)”:
a(n) = df(dx+1)*A(i–1,j+n–2) + A(i,j+n–2)*df(dx) + (7.16)
+ A(i+1,j+n-2)*df(dx–1) + A(i+2,j+n–2)*df(dx–2)
Por fim, “A'(k,l)” equivale a:
A'(k,l) = a(1) df(dy+1) + a(2) df(dy) + a(3) df(dy–1) +a(4) df(dy-2) (7.17)
Para polinômio de Lagrange:
7.11
a(n) = A(i–1,j+n–2)*(dx–1)*(dx–2)*dx/(–6) +
+ A(i,j+n–2)*(dx+1)*(dx–1)*(dx–2)/2 + (7.18)
+ A(i+1,j+n–2)*(dx+1)*(dx–2)*dx/(–2) +
+ A(i+2,j+n–2)*(dx+1)*(dx–1)*dx/6
A(k,l) = a(1)*(dy–1)*(dy–2)*dy/(-6) +
+ a(2)*(dy+1)*(dy–1)*(dy–2)/2 + (7.19)
+ a(3)*(dy+1)*(dy–2)*dy/(–2) +
+ a(4)*(dy+1)*(dy–1)*dy/6
(Stucki, 1979) apud (Andrade, 1998) apresenta um quadro
comparativo quanto aos erros e número de operações matemáticas
envolvidos nos quatro processos apresentados. Esta informação está
contida na tabela 7.1
Método Vizinhança Operações de
adição e
multiplicação
Erros de
interpolação
Vizinho mais
próximo1x1 1 15,70%
Interpolação
bilinear2x2 8 3,70%
Splines bicúbicas 4x4 110 0,30%
Polinômio de
Lagrange4x4 80 quase 0
Tabela 7.1 – Métodos de reamostragem (fonte: Stucki, 1979 apud Andrade, 1998)
7.4 NORMALIZAÇÃO DE IMAGENS
Outro processo extremamente útil é a normalização de imagens.
Diferentemente da retificação, que é feita imagem a imagem, a
normalização é “orientada” ao par estereoscópico, porém sem restringir-se
7.12
à área de superposição das imagens.
O objetivo principal da normalização é gerar um novo par de
imagens digitais que se adeqüe à assim chamada geometria epipolar.
Normalmente, um par estereoscópico não está adequado à
geometria epipolar. Cada imagem está eivada de ângulos de rotação
diferentes da outra, além de estarem deslocadas em Y e em Z. Como
visto na figura 7.5, embora as linhas que se originam dos centros
perspectivos, passando pelos pontos p e p' se encontrem no ponto P (no
terreno), não se pode dizer que C', C, p', p e P estejam em um mesmo
plano. Da mesma forma, observa-se que p e p' não se encontram na
mesma linha em cada uma das imagens. Isso dificultaria bastante caso
fosse realizado um processo de correlação automática, uma vez que a
janela de procura na segunda imagem deveria ser bastante grande,
ampliando o tempo de processamento. Some-se a isso o não paralelismo
entre a linha que une os dois centros de perspectiva e os sistemas de
coordenadas (x, y, z) de cada um dos centros de perspectiva.
A geometria epipolar é materializada pela presença de um plano
epipolar e de linhas epipolares. O plano epipolar é definido pelos dois
centros de perspectiva das imagens e por um ponto no espaço objeto (P).
Na figura 7.6, encontra-se representado em verde claro. As linhas
epipolares são as interseções do plano epipolar com os planos das
imagens normalizadas. Uma linha epipolar está representada em azul-
marinho na mesma figura.
Dessa forma, normalizar um estereopar é torná-lo compatível com a
geometria epipolar, seguindo, então, a configuração demonstrada na
figura 7.6. Pode-se ver que, para um par normalizado, C', C, p', p e P
estão em um mesmo plano, os pontos p e p' estão na mesma linha, tanto
na imagem direita quanto na esquerda. Ainda vê-se que as linhas
epipolares encontram-se paralelas aos sistemas de coordenadas
centrados nos centros de perspectiva. Uma situação ideal como essa
permite muito mais facilmente a execução de algoritmos de localização
automática de pontos homólogos, uma vez que ambos devem estar em
uma mesma linha, diminuindo a área de procura na segunda imagem.
Para adequar um par à geometria epipolar, se faz necessário
7.13
eliminar todos os ângulos de atitude da aeronave (convém lembrar que
para a retificação, apenas φ e ω obrigatoriamente deveriam ser zerados).
Além disso, os componentes de base BY e BZ do par também devem ser
eliminados, para que ambas as imagens estejam em uma mesma altura e
com seus pontos homólogos em uma mesma linha (linha epipolar). É
importante dizer que BX não é eliminado. Eliminar BX (base
fotogramétrica) seria equivalente ao ato de colocar uma imagem sobre a
outra, impossibilitando completamente a possibilidade de se tirar proveito
das condições geométricas advindas do princípio da colinearidade e da
geometria epipolar. Por isso, apenas a distância em X relativa entre uma
imagem e a outra deve ser mantida, qualquer outro tipo de movimento
não.
Figura 7.5 – Um par esteroscópico não-normalizado (note-se a não-coplanaridade de
C',C,p',p e P e a localização em linhas diferentes de p e p')
Caso ainda seja necessário, uma rotação adicional ainda pode ser
executada, a fim de otimizar a reamostragem para a geometria epipolar.
O produto final, embora dotado de uma rigidez geométrica muito boa,
7.14
ainda não elimina o deslocamento devido ao relevo (como já dito, apenas
a ortorretificação é capaz de realizar tal tarefa).
Figura 7.6 – Um par esteroscópico normalizado (note-se a coplanaridade de C',C,p',p e P e
a localização na mesma linha de p e p')
7.4.1 MODELO MATEMÁTICO
O processo da normalização envolve um modelo matemático que
pode ser melhor representado matricialmente.
A equação da normalização pode ser sucintamente representada
por:
RN = RB . RT (7.20)
Onde “RB” equivale a RΩ Rφ Rκ (não se deve confundir com “R”, que é a
matriz de rotação: R = Rφ Rω Rκ).
7.15
Na figura 7.7, ficam melhor evidenciadas as relações matemáticas
entre os componentes de base do par estereoscópico. Com elas, pode-se
calcular RΩ, até então desconhecido.
Figura 7.7 – Um par esteroscópico normalizado e seus correspondentes não-normalizados,
referenciados a um sistema cartesiano (livre adaptação de Digital Photogrammetry - An
Addendum to the Manual of Photogrammetry)
Note-se os triângulos retângulos em violeta. Seus lados são
paralelos aos eixos do sistema cartesiano, e representam os componentes
de base BX, BY e BZ (ou seja, a diferença entre X' e X, Y' e Y e Z' e Z).
Os ângulos relativos κ e ω também estão representados.
Por relações trigonométricas:
Ú=arctg¢BYBX£ (7.21)
Ú=Barctg¢ BZ
BX2ABY2£ (7.22)
7.16
Ω será igual à média aritmética entre ω1 e ω2:
Ð=è1Aè2
2 (7.23)
Um exemplo de algoritmo de reamostragem por geometria epipolar
foi desenvolvido na The Ohio State University. O algoritmo de Schenk-
Choo constitui-se em uma transformação do tipo:
T4 = T3(T2(T1(linhai, colunaj)[epipolar])) (7.24)
Figura 7.8 – Proposta de algoritmo de Shenck-Choo
(retirada de Choo, Schenk, Madani, 1992)
Cada um destas transformações tem seu significado próprio, a saber:
T1: Constitui-se na transformação entre imagem digital e analógica
7.17
correspondentes.
T2: Normalização da imagem analógica (ou seja, retificação aliada à
eliminação dos componentes de base.
T3: Definição do sistema de coordenadas para a imagem epipolar.
T4: Transformação entre a imagem epipolar vazia e a imagem digital
origial para a reamostragem dos níveis de cinza (o algoritmo parte de uma
imagem em branco e sobre ela executa a reamostragem). A figura 7.8
mostra graficamente tal conjunto de operações.
7.5 CONCLUSÃO
A retificação (eliminação das distorções causadas pelos ângulos de
atitude da câmara) e a normalização (eliminação dos ângulos e
componentes de base BX e BY) de imagens permitem a preparação das
imagens propriamente ditas para a execução de outras tarefas
fotogramétricas. Pode-se dizer, inclusive, que este capítulo marca o fim
das tarefas de preparação das imagens para extração de informações. A
partir dele, todas as tarefas seguintes gerarão produtos-fim da
fotogrametria, tais como: modelos digitais do terreno - MDT's, originais de
restituição fotogramétrica, fotocartas, ortoimagens e ortofotocartas.
Outro fato a ser ressaltado quanto à normalização de imagens é a
aplicação destinada primariamente à extração semi-automática de MDT's
(objeto de análise mais profunda no capítulo a seguir). Isso, no entanto,
não impossibilita a utilização de pares normalizados, por exemplo, em
outras aplicações. Os próprios MDT's também podem ser gerados de
forma manual, a partir de pares não-normalizados, e ainda o são com
freqüência. Assim, em caso de economia orçamentária ou de tempo, essa
etapa pode ser descartada sem maiores prejuízos à linha de produção
cartográfica.
A retificação (eliminação das distorções causadas pelos ângulos de
atitude da câmara) já possuiu maior relevância na época da fotogrametria
analógica e analítica, no entanto, hoje em dia, com a maior facilidade na
7.18
produção de ortoimagens e ortomosaicos, a retificação pura e simples não
tem sido mais tão empregada, podendo, inclusive, não ser efetuada caso
não haja necessidade de uso da mesma. Reserva-se a ela,
principalmente, a utilização em fotogrametria com fotos oblíquas, a curta
distância ou com câmaras não-métricas.
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7.19