6. ANALISIS DE REDES

Profesor Jimmy Rosales H.

TEORIA DE REDES

En los temas anteriores nuestra atencin se dio en problemas de transporte que tienen que ver con el envi de mercancas entre fuentes y destinos a costo de transporte mnimo.El problema de transporte(y sus variantes) es sin duda uno de los muchos problemas que se pueden representar y resolver como una red.

Un estudio revela que los problemas de optimizacin de redes se pueden representar en trminos de tres modelos:

TEORIA DE REDES

1. Modelo del rbol de extensin mnima.

2. Modelo de la ruta mas corta(mas larga)

3. Modelo del flujo mximo.

Definiciones

Una red consta de un conjunto de nodos conectados por arcos y ramas.

Arco

Una lnea que conecta dos puntos y que representa un enlace,una direccin, accin, o una actividad que es parte del modelo de la red.

TEORIA DE REDES

El recorrido del arco supone un costo, un

beneficio , una distancia, etc. Adems los arcos

pueden tener limitaciones de capacidad.

Los arcos pueden ser dirigidos o no.

Un arco es dirigido si hay direccin asignado a el,

su sentido se representa por una flecha.

1 2

TEORIA DE REDES

Un arco es no dirigido,si no hay direccin asignada a el,no tiene

flecha.

(1,2) o

Nodo

Un pequeo circulo que representa el comienzo o el final de los arcos.

El nodo puede representar ciudades, un punto en el tiempo, un estado,

o los comienzos o finales de las actividades. Los nodos se suelen

numerar con el fin de identificar los arcos referenciando a los nodos de

inicio y final de un arco.

1 2

TEORIA DE REDES

Notacion:

Un grafo o una red se representa

G=(N,A) o (V,E)

Donde N(V) es un conjunto finito de elementos llamados

nodos o vertices. Ademas A(E) es un conjunto finito de

arcos.

Ejm 1

2 3

4

TEORIA DE REDES

N={1,2,3,4}

A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(3,4)}

Una trayectoria es una secuencia de ramas distintas que conectan dos

nodos sin considerar la orientacin de las ramas individuales.

Una trayectoria forma un ciclo o lazo si conecta un nodo consigo

mismo.

Un rbol es una red conectada que puede constar solo de un

subconjunto de nodos, adems es un grafo conexo y aciclico.

Un grafo es conexo, si contiene como mnimo un vrtice de grado uno

o un ciclo o ambos.

TEORIA DE REDES

Un rbol extenso, es una red conectada que

incluye todos los nodos de la red sin lazos.

Un grafo es orientado(dirigido), si todos sus

arcos son orientados o dirigidos.

Un grafo es aciclico, si no contiene ciclos.

El grado de un vrtice es el numero de arcos

incidentes sobre dicho vrtice.

EjemploEn la sgte. Figura:identifique una trayectoria

del nodo 1 al nodo 4,un rbol, y un rbol

extenso. 31 5

2 4

TEORIA DE REDES

Las ramas o arcos (1,3),(3,2),(2,4) constituyen una trayectoria del nodo

1 al nodo 4.

Las ramas (2,3),(3,4) y (4,2) forman un lazo

Un ejemplo de rbol es

Un ejm de rbol extenso es

1 3

2 4

1 3 5

2 4

1. PROBLEMA DEL ARBOL

DE EXTENSION MINIMA En este problema se conocen los costos o

distancias entre diferentes nodos de una red. Sinembargo, los arcos no se especifican y lo que setrata de encontrar es un rbol que comunique atodos los nodos de la red, pero cuyo costo odistancia total sea mnimo.

La aplicacin de este tipo de problemas deoptimizacin se ubica, sobre todo en: redes decomunicacin elctrica, telefnica, telegrfica,carretera, etc.

PROBLEMA DEL ARBOL DE

EXTENSION

Donde los nodos representan por ejemplo puntos

de consumo elctrico, telfonos, terminales de

autobuses, puertos, etc. Y los arcos pueden ser :

lneas de alta tensin elctrica , lneas telefnicas,

rutas areas, etc.

De hecho el problema del rbol de extensin

mnimo consiste en encontrar las conexiones mas

eficientes entre todos los nodos de la red, las que

por definicin no deben incluir lazos.

ALGORITMO DEL ARBOL DE

EXTENSION

MINIMO(KRUSKAL) Paso 1.

Seleccinese un arco de costo(distancia) mnimo.

Paso 2.

Si el rbol tiene (n-1) arcos, donde n es el numerode nodos en la red,pare. De otra manera continucon el paso 3

Paso 3.

Seleccinese aquel arco(que no pertenezca alrbol) que tenga el costo (distancia) mas pequeode todos los arcos que unen al rbol con los nodosvecinos

ALGORITMO DEL ARBOL DE

EXTENSIONa el . Tanto el arco como el nodo seleccionadoentran a formar parte del rbol continu con elpaso 2.

Ejemplo.

Cierta compaa de cable, esta planeando una

red para dar servicio de TV por cable a cinco

nuevas reas de desarrollo habitacional. La red del

sistema de cable se resume en la figura. Los

nmeros asociados con cada rama representan la

longitud de cable(en millas) que se necesita

Ejemplo

para conectar dos sitios cualesquiera.

El nodo 1 representa la estacin de TV por cable

y los nodos restantes(2 a 6) representan las cinco

reas de desarrollo. Una rama faltante entre dos

nodos implica que es prohibitivamente costoso o

fsicamente imposible conectar las reas de

desarrollo asociadas.

Se necesita determinar los enlaces que originaran el

uso mnimo de cable a la vez que se garantiza que

Ejemplotodas las reas se conecten(directamente

o indirectamente) a la estacin de TV.

25

13

4

67

3

10

8

3

1

5

9

6

5

4

Solucin en INVOP

Solucin con Tora

2. PROBLEMA DE LA RUTA

MAS CORTA

Se refiere a una red en la que cada arco, ruta

tiene asociado un numero Cij que se

interpreta como la distancia, el costo, o el

tiempo que hay entre los nodos i y j.

El problema consiste en encontrar la ruta

mas corta, o mas econmica, o mas rpida

entre un nodo especifico y los dems.

ALGORITMO ACICLICO

Este algoritmo se basa en clculos recursivos, que son labase para los clculos de la programacin dinmica.

Sea Uj =distancia mas corta entre el nodo 1 y el nodo j.Donde por definicin U1=0, por definicin.

Los valores de Uj se calculan en forma recursiva, j=1,2,3......,n. Por medio de la formula:

Uj= min{ distancia Ui mas corta a un nodo i

i inmediatamente anterior mas la

distancia dij entre el nodo actual j y su

predecesor i}

ALGORITMO ACICLICO

Uj =min{ui + dij}

La formula recursiva implica que la distancia mascorta Uj al nodo j, se puede determinar solodespus de que se calcula la distancia mas corta acada nodo predecesor i enlazado a j por un arco.

Adems usaremos un procedimiento de rotulacino etiquetacion, que asocia el sgte. rotulo o etiquetaal nodo j :

etiqueta del nodo j = [Uj,n]

donde n es el nodo que precede inmediatamente a

ALGORITMO ACICLICO

j y que da la distancia mas corta Uj.

Uj = min{ui + dij}

Por definicin la etiqueta en el nodo 1 es

[0,- ] lo que indica que el nodo 1 es la

fuente.

Los clculos preceden en etapas.

Ejemplo

Una camioneta de pasajeros se compra en el

ao 1 y se planea una poltica de reemplazo

para los prximos 6 aos. Sea Cij el costo

total(adquisicin,mantenimiento,operacin

y valor de reventa) asociada al uso de la

camioneta del ao i en el ao j(j>i). Cada

una de estas camionetas no puede ser

utilizada por mas de tres aos.

Ejemplo

Calcular por medio de una red de optimiza-

cion , la mejor poltica de reemplazo si:

C12 =5000; C13 =8000; C14 =9000

C23 =2000; C24 =3500; C25 = 5700

C34 =3700; C35 =4000; C36 =5100

C45 =2300; C46 =3300

C56 =1800

Solucin con INVOP

Solucin con Lindo

Solucin con Lindo

ALGORITMO CICLICO

(DIJKSTRA) De acuerdo con las reglas del algoritmo aciclico,

es imposible evaluar cualesquiera de los nodos enun lazo, por que algoritmo necesita que se calculelos Uj de todos los nodos que llegan al nodo jantes de que se pueda evaluar Uj.

El algoritmo cclico difiere del algoritmo aciclicoen el sentido que permite tantas oportunidadescomo sean necesarias para reevaluar un nodocuando resulta evidente que se ha alcanzado ladistancia mas corta a un nodo, este se excluye decualquier consideracin posterior.

ALGORITMO CICLICO

(DIJKSTRA)

El proceso termina cuando se ha evaluado el nodo

destino.

El algoritmo cclico usa dos tipos de etiqueta:

temporal y permanente. Utilizan el mismo formato

que en el algoritmo aciclico, esto es [d,n], donde d

es la distancia mas corta, disponible hasta el

momento para un nodo corriente y n es el nodo

inmediato precedente al cual la distancia es igual a

d.

PROCEDIMIENTO

El algoritmo comienza con el nodo fuente quelleva la etiqueta permanente[0,-].

Luego consideramos todos los nodos que sepuedan alcanzar directamente desde el nodo fuentey determinamos sus etiquetas asociadas.

Las etiquetas recin creadas se designan comotemporales.

La siguiente etiqueta permanente se seleccionacomo aquella, de entre todas las etiquetastemporales corrientes, que tengan la menor d en la

PROCEDIMIENTO

etiqueta [d,n] (los empates se rompen

arbitrariamente).

El proceso se repite para el ultimo nodo que se ha

designado permanente. En tal caso, una etiqueta

temporal de un nodo se puede cambiar solo si la

nueva etiqueta da una distancia d menor.

Una hiptesis bsica del algoritmo es que todas las

distancias en la red son no negativas.

EJEMPLO

Aplicar el procedimiento a la red en la

figura siguiente.

4

2

1

3 5

100

30

15

50

60

1020

PROBLEMA DEL FLUJO

MAXIMO

Se considera la situacin cuando se enlaza un

nodo fuente y un nodo destino, a travs de una red

de ramas o arcos de capacidad finita.

La red ser unidireccional, en el sentido que el

flujo comienza con el nodo fuente y sale en un

nodo destino.

Sin embargo una rama (i,j) puede tener 2

capacidades distintas dependiendo si el flujo es de

i a j o bien de j a i.

PROBLEMA DEL FLUJO

MAXIMO Utilizaremos una notacin especial para

representar el flujo bidireccional de una rama.

En una rama con nodos extremos i y j, la notacin(a,b) significa que la capacidad de flujo de i a j esa y que la de j a i es b.

La idea bsica del algoritmo de flujo mximo esencontrar una trayectoria de penetracin queconecte el nodo fuente con el nodo destino enforma tal, que la capacidad de cada rama en estatrayectoria sea positiva.

PROBLEMA DEL FLUJO

MAXIMO El flujo mximo a lo largo de esta trayectoria debe

ser igual a la capacidad mnima C*, de todas lasramas que constituyen la trayectoria.

Luego modificamos las capacidades (a,b) de lasramas a lo largo de la trayectoria a

(a-c*,b+c*) o bien a (a+c*,b-c*) dependiendo si elflujo en la rama (i,j) es de i a j o de j a i,respectivamente.

La modificacin pretende indicar que el flujo c* seha comprometido.

PROBLEMA DEL FLUJO

MAXIMO El proceso de buscar trayectoria de penetracin

entre la fuente y el destino, se repite hasta queresulta evidente que no son posibles mastrayectorias de este tipo.

El flujo mximo es entonces igual a la suma devalores de c* determinados en las iteracionessucesivas.

Podemos as obtener el flujo optimo en la red,restando los flujos modificados (a*,b*) de lafigura del flujo original (a,b).

PROBLEMA DEL FLUJO

MAXIMO

Se debe tener en cuenta que si (a-a*) >0 se

tendr un flujo (a-a*) en la direccin i -- j ;

de otra manera si (b-b*) >0 se tendr un

flujo (b-b*) en la direccin j i.

Es imposible que (a-a*) y (b-b*) sean

mayores que cero simultneamente.

Ejemplo

La siguiente red de comunicaciones transfiereinformacin entre los distintos nodos. Losnmeros sobre los arcos de la red indican lascapacidades mximas de transferencia de cadalnea .Se desea determinar el flujo mximo deinformacin del nodo 1 al 6

Formularlo como un problema de programacinlineal.

Resolverlo mediante el algoritmo respectivo.

Ejemplo

12

7

9

26

12

15

18

15

106

11

141

2

3 4

5

6

Programacin con Lindo

Programacin con Lindo

Solucin INVOP

Solucin Tora

Problema

Considere el problema de enviar gas natural desde

un campo de gas que se encuentra en Camisea

hasta Cuzco, a travs de una red de gaseoductos.

El flujo f entra en el gaseoducto en el nodo 1 (el

campo de gas) y sale del gaseoducto en el nodo 5

(la terminal en Cuzco). Utilizando este flujo f,

puede plantearse este problema de la siguiente

manera: si x ij es el flujo entre nodos i y j

Problema

Max z = f

s.a.

x12 + x13 = f

x12 - x23 - x24 = o

x13 + x23 -x34 - x35 = o

x24 + x34 - x45 = o

x35 + x45 = f

x12 10 ; x13 6

x23 3 ; x24 5

x34 7 ; x35 8

x45 8

x ij 0, para todo i y todo j.

Resuelva el problema como uno de red

Solucin INVOP

Solucin Tora

EjemploEn la operacin Tormenta que desarrolla el Ministerio de

Interior cuando se perpetra un acto delictivo se sabe que

los culpables abandonan la zona del delito en 1, para

dirigirse a otra ms segura que es 9. La situacin de estas

zonas y las intermedias se representan en el grafo:

Ejemplo

En dicho grafo se presenta asociado a cada calle el

nmero de policas que se necesitan para montar el

control. Donde debern situarse estos para que se

minimice el nmero total de policas que controlan

el paso de 1 a 9.

a) Formularlo como uno de Programacin Lineal

b) Revulvalo por el algoritmo respectivo