7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni)
description
Transcript of 7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni)
Definisi
Misal
2
( ) | ( ) , ( ) ( ), 0P X t s j X s i X u x u u s
( ) , 0X t t proses stokastik dengan waktu kontinu dan ruang keadaan diskrit .SJika untuk
( ) | ( )P X t s j X s i
, 0,s t
maka proses disebut rantai Markov waktu kontinu.
, ,i j S
Prostok-7-firda
3
7.1 Proses Kelahiran Murni
Definisi 1 (Shunji Osaki)Jika proses menghitung adalahrantai Markov dengan peluang transisi stasionerdan memenuhi:
( ), 0N t t
1. (0) 0N
2. ( ( ) ( ) 1 | ( ) ) ( )kP N t h N t N t k h o h 3. ( ( ) ( ) 2 | ( ) ) ( )P N t h N t N t k o h
maka proses dinamakan proses kelahiran murnidengan parameter , 0,1, 2,...k k
Prostok-7-firda
5
Tulis peluang transisi stasioner:
( ) ( ) | (0) ( , 0,1,2,...)ijP t P N t j N i i j
merupakan peluang transisi dari state i ke state j.
Dengan kondisi awal (0) 0,N maka
( ) ( ) | (0) 0 ( 0,1,2,...)kP t P N t k N k
(menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadi pada interval (0,t].
Prostok-7-firda
6
0)(0 htNPhtP
0)()(,0)( tNhtNtNP
0)()(0)( tNhtNPtNP
)()( 00 hPtP
0 0( )(1 ( ))P t h o h
kenaikanbebas
kenaikanstasioner
Sifat (2),(3)
0 0 0( ) ( ) ( )P t hP t o h
Untuk k = 0,
Prostok-7-firda
7
Dari bentuk
0 0 0 0( ) ( ) ( )P t h P t hP t o h
0 00 0
( ) ( )' lim
h
P t h P tP t
h
diperoleh :
0 00
( )lim ( )h
o hP th
0 0 0'( ) ( )P t P t
0 (0) 1P Dengan syarat awal
0 ( ) .tP t Ce
00 ( ) .tP t e
Prostok-7-firda
8
khtNPhtPk )(
( ) , ( ) ( ) 0
( ) 1, ( ) ( ) 1
( ) 2, ( ) ( ) 2
P N t k N t h N t
P N t k N t h N t
P N t k N t h N t
1 1( )(1 ( )) ( )( ( )) ( )k k k kP t h o h P t h o h o h
)()()()()( 110 hohPtPhPtP kk
( ( ) ) ( ( ) 0) ( ( ) 1) ( ( ) 1)( ( ) 2) ( ( ) 2)
P N t k P N h P N t k P N hP N t k P N h
Untuk 1,k
Prostok-7-firda
9
0
( ) ( )' lim k kk h
P t h P tP t
h
1 1(1 ) ( ) ( ) ( )k k k k kP t h h P t hP t o h
atau
Dari sini diperoleh :
1 1( ) ( )k k k kP t P t
1 1' ( ) ( ) ( )k k k k kP t P t P t
Atau ditulis, PDB linear
1 10
( ) ( ) , 1, 2,...k k
tt x
k k kP t e e P x dx k
(*)
Prostok-7-firda
10
Jika i j untuk i j maka persamaan (*)
memberikan hasil
00 ( ) .tP t e
0 11 0
1 0 0 1
1 1( ) .t tP t e e
00 1 1 0, ,( ) ... ... , 1kt t
k k k k kP t B e B e k
( ) ( ) | (0) 0kP t P N t k X
dimana
(1)
(2)
(3)
Prostok-7-firda
12
Teorema 1
Untuk proses kelahiran murni denganparameter
( ), 0N t t , 0,1, 2,... ,k k
Waktu antar kedatangan (waktu antar kelahiran)
1 0,1,2,...kX k
saling bebas dan berdistribusi eksponensialdengan parameter 1/ .k kmean
Prostok-7-firda
13
Teorema 2
Untuk proses kelahiran murni denganparameter
( ), 0N t t , 0,1, 2,... ,k k
0
( ) 1 0,kk
P t t
jika dan hanya jika 0
1 .k k
Prostok-7-firda
14
1. Proses Poisson yang mempunyai laju kelahiran konstan, , 0.n n
7.2 Contoh Proses Kelahiran Murni
Dalam hal ini,
( ) , 0,1, 2,...!
k t
k
t eP t k
k
dimana, laju kelahiran per unit waktu
( ( ))E N t t jumlah kelahiran yang diperkirakan ( ( )) 1/E X t rata rata kelahiran
Prostok-7-firda
15
Contoh Pada kantor catatan sipil, pengeluaran akte kelahiran mengikuti proses Poisson dengan laju 5,5 akte/jam.
Tentukan:a. Peluang tidak ada akte yang dikeluarkan dalam 1 jam.b. Jika dalam periode 3 jam dikeluarkan 35 akte, tentukan peluang pengeluaran akte pada 1 jam terakhir jika telah dikeluarkan 25 akte pada 2 jam pertama.
c. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara pengeluaran akte ke 4 dan akte ke 5 tidak lebih dari ½ jam.
Prostok-7-firda
16
0 5,55,55,5
.0!
ee
a. Peluang tidak akte yang dikeluarkan dalam 1 jam.
b. (3) 2 35 25 (1) 10P N N P N
0 (1) ( (1) 0)P P N
( )N t
Misal
Jumlah akte yang dikeluarkan dalam waktu t.
10 5,5
10
5,5(1) .
10!e
P
Prostok-7-firda
17
( ) 1 ( ) 1 ( ( ) 0) 1 tk kP X t P X t P N t e
c. Jika waktu antar pengeluaran akte = X(t)
5 5
5,5(0,5)
2,75
( 0,5) 1 ( 0,5)1 ( (0,5) 0)
1
1 .
P X P XP N
e
e
Prostok-7-firda
18
Contoh
Sebuah proses kelahiran murni dengan N(0)=0 yang mempunyai parameter
0 1 21, 3, 2.
Tentukan ( ), 0,1, 2kP t k
Jawab:
Untuk k=0,1, gunakan persamaan (1),(2) slide 12.
0 1.0 ( ) .t t tP t e e e
Prostok-7-firda
19
0 11 0
1 0 0 1
1 1( ) .t tP t e e
31 11 .3 1 1 3
t te e
31 .2
t te e
30
1 ( ) .2
tP t e
Prostok-7-firda
20
0 1 22 0 1 0,2 1,2 2,2( ) t t tP t B e B e B e
Untuk k=2, gunakan persamaan (3) slide 12,
0,21 0 2 0
1 1 1 ,(3 1)(2 1) 2
B
dimana
1,20 1 2 1
1 1 1 ,(1 3)(2 3) 2
B
2,20 2 1 2
1 1 1.(1 2)(3 2)
B
Prostok-7-firda
22
2. Proses Yule
Jika menyatakan jumlah populasi pada saat t, maka
( )N t
( ), 0N t t adalah proses kelahiran murni
dengan laju , 0.n n n
Prostok-7-firda
23
1. Sebuah proses kelahiran murni dengan N(0)=0 yang mempunyai parameter
0 1 2 32, 3, 1, 4.
( ), 0,1, 2,3.kP t k Tentukan
Soal latihan
Prostok-7-firda
24
Sebuah proses Yule dengan imigrasi yang mempunyai parameter kelahiranuntuk k=0, 1, 2,… dimana merupakan kelajuan imigrasi dalam populasi dan β sebagai kelajuan kelahiran individu. Asumsikan bahwa N(0)=0, Tentukan
k k
2 ( ).P t
2.
Prostok-7-firda
Contoh Proses Kelahiran Murni
Kelahiran bayi mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata satu kelahiran 12 menit.Tentukan :
a)Rata-rata kelahiran per tahun.b)Peluang tidak adanya kelahiran dalam satu hari.c)Peluang pengeluaran 50 akte kelahiran diakhir
periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui bahwa 40 akte dikeluarkan dalam 2 jam pertama.
d)Asumsikan pegawai memasukkan data akte kelahiran ke komputer setelah terkumpul 5 akte kelahiran. Berapa peluang pegawai akan memasukkan sekumpulan data baru setiap jam.
25Prostok-7-firda
Jawab :Misal menyatakan banyaknya kelahiran. ( )N t
1( ) ( ) ( ( )) 12 .X t EXP E X t menit
( )X t menyatakan waktu antar kelahiran.
a) rata-rata kelahiran per tahun ( )E N t1 60 24 12012
kelahiran per hari.
1 365
( ) 120 365 43.800t tahun hari
E N t t
Jadi rata-rata kelahiran bayi 43.800 bayi/tahun. 26Prostok-7-firda
27
b) Peluang tidak ada kelahiran perhari
( ) , 0,1, 2,...
!
k t
k
t eP t k
k
0 120120
0
1, 0, 120
120(1) 0.
0!
t k
eP e
Jadi dalam satu hari mustahil tidak ada kelahiran.
Prostok-7-firda
28
c) Peluang pengeluaran 50 akte di akhir periode (3jam), dengan diketahui ada 40 akte di 2 jam pertama.
1010(1) 10 (1) , 5
10!e
P N P
(3) (2) 50 40 , 12 / 5 /P N N menit jam
10 550,01813.
10!e
Jadi pengeluaran 10 akte pada 1 jam terakhir kira kira 1,8%. Prostok-7-firda
29
d) Jika data akte di entri setelah terkumpul 5 data akte, berapa peluang pegawai akan mengentri sekumpulan data baru setiap jam?
( ) 5 1 ( ) 5P N t P N t Minimal 5 data akte k=0,1,2,3,4,5
0 1 2 3 41 (1) (1) (1) (1) (1)P P P P P 0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 510! 1! 2! 3! 4!
e
0,559.
Jadi kemungkinan pegawai akan mengentri setiapjam setelah terkumpul paling sedikit 5 data akteadalah 60%.
Prostok-7-firda
30
7.3 Proses Kematian Murni
Definisi 1 (Shunji Osaki)
Jika proses stokastik adalahrantai Markov dengan peluang transisi stasioner,ruang keadaan , memenuhi:
( ), 0X t t
1. (0)X n
2. ( ( ) ( ) 1 | ( ) ) ( )kP X t h X t X t k h o h 3. ( ( ) ( ) 2 | ( ) ) ( )P X t h X t X t k o h
maka proses dinamakan proses kematian murnidengan parameter , 1, 2,..., .k k n
, 0,1, 2,...,k k n
Prostok-7-firda
32
Tulis peluang transisi dengan kondisi awal
( ) ( ) | (0) ( 0,1, 2,...)kP t P N t k X n k
(menyatakan peluang bahwa ada k unit yang tersisa pada interval (0,t].
(0) ,X n
Seperti proses kelahiran murni, dengan persamaan Kolmogorov diperoleh:
' ( ) ( )n n nP t P t'
1 1( ) ( ) ( ) ( 1, 2,..., 1)k k k k kP t P t P t k n
'0 1 1( ) ( )P t P t
Prostok-7-firda
33
Khusus jika ( 1, 2,..., ) , (0) 1,k nk n P
(0) 0 ( 1, 2,..., 1),kP k n maka
( ) , ( 1, 2,..., )!
n k t
k
t eP t k n
n k
0
1 1
( ) 1 ( ) 1!
n k tn n
kk k
t eP t P t
n k
dan
1
0
1!
k tn
k
t ek
Prostok-7-firda
34
Jika parameter kematian berbeda untuk setiap k,artinya
k,k j k j maka
( ) N tNP t e
Untuk ,n N
( ) ( ) | (0)nP t P X t n X N
1 2 , ,... ...n Nt tn n N n n N nA e A e
dimana
,1 1
1( )...( )( )...( )k n
N k k k k k n k
A
Prostok-7-firda
7.4 Contoh Kematian Murni
1. Sebuah toko bunga memiliki persediaan 18 lusin bunga mawar setiap awal pekan, rata-rata toko tersebut menjual 3 lusin mawar per hari, dengan permintaan yang mengikuti distribusi Poisson. Ketika persediaan mencapai 5 lusin, pesanan baru akan ditempatkan di awal pekan selanjutnya. Semua mawar yang tersisa di akhir pekan akan dibuang.
35Prostok-7-firda
• Tentukan:
a)Peluang mawar yang tersisa paling banyak 5 lusin.
b)Peluang persediaan habis dalam waktu 3 haric)Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari
keduad)Peluang tidak ada mawar yang terjual selama
hari pertama
36Prostok-7-firda
Jawab:
N banyak mawar di awal pekan = 18 lusin
laju permintaan = 3 per hari
( ) , ( 1, 2,..., )!
N n t
n
t eP t n N
N n
•Peluang n unit yang tersisa selama periode t :
0
1
( ) 1!
N n tn
k
t eP t
N n
37Prostok-7-firda
a) Peluang mawar tersisa paling banyak 5 lusin
5
0 1 2 3 4 5
( ) 5 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nP N t P t
P t P t P t P t P t P t
18 183 318 5
1 1
3 31
18 ! 18 !
n it t
n i
t e t en i
18 318
6
31
18 !
n t
n
t en
38Prostok-7-firda
39Prostok-7-firda
35 (2) 9,3213 10nP
45 (1) 3,116 10nP
5 (3) 0,124768nP
5 (4) 0, 4243nP
5 (5) 0,7323nP
5 (6) 0,9085nP
5 (7) 0,9754nP
b) Peluang persediaan habis dalam waktu 3 hari
Jadi, peluang persediaan habis dalam 3 hari adalah 0,00608
40
c) Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari kedua
Tabel berikut meringkas perhitungan dengan diketahui µt=6
Jadi, rata-rata kurang dari 12 lusin mawar yang tersisa di akhir hari kedua
n 0 1 … 18
Pn(2) 3,932x10-5 1,1796x10-4 2,4787x10-3
41Prostok-7-firda
d) Peluang tidak ada mawar yang terjual pada hari pertama
Jadi, peluang tidak ada mawar yang terjual pada hari pertama adalah 0,049 (4,9%).
42Prostok-7-firda
43
Contoh Proses Kematian Murni
2. Suatu proses kematian murni dimulai dari X(0)=3, dengan parameter kematian
0 1 2 30, 3, 2, 5.
Tentukan ( ), 0,1, 2,3.nP t untuk n
Prostok-7-firda
44
Jawab:
untuk n=0,
0 ( ) ( ) 0 | (0) 3P t P X t X
0 31 21 2 3 0,0 1,0 2,0 3,0
t tt tA e A e A e A e
dimana:
0,03 0 2 0 1 0
1( )( )( )
A
1 1(5 0)(2 0)(3 0) 30
Prostok-7-firda
45
1,03 1 2 1 0 1
1 1 1( )( )( ) 2( 1)( 3) 6
A
2,03 2 1 2 0 2
1 1 1( )( )( ) 3.1.( 2) 6
A
3,02 3 1 3 0 3
1 1 1( )( )( ) ( 3)( 2)( 5) 30
A
Jadi0 3 2 5
01 1 1 1( ) 3.2.530 6 6 30
t t t tP t e e e e 3 2 51 5 5t t te e e
Prostok-7-firda
46
untuk n=1,
1 ( ) ( ) 1| (0) 3P t P X t X
31 22 3 1,1 2,1 3,1
tt tA e A e A e
dimana:
1,13 1 2 1
1 1 1 .( )( ) 2( 1) 2
A
2,13 2 1 2
1 1 1 .( )( ) 3.1 3
A
Prostok-7-firda
47
3,12 3 1 3
1 1 1 .( )( ) ( 3)( 2) 6
A
Jadi
3 2 51
1 1 1( ) 2.52 3 6
t t tP t e e e
3 2 510 1053 6
t t te e e
Prostok-7-firda
48
untuk n=2,
2 ( ) ( ) 2 | (0) 3P t P X t X
323 2,2 3,2
ttA e A e
dimana:
2,23 2
1 1 .( ) 3
A
3,22 3
1 1 .( ) 3
A
Prostok-7-firda
49
Jadi
2 52
1 1( ) 53 3
t tP t e e untuk n=3,
3 ( ) ( ) 3 | (0) 3P t P X t X
3te 5 .te
Prostok-7-firda
50
Definisi (Shunji Osaki)
Jika proses stokastik adalahrantai Markov dengan peluang transisi stasioner ,dan memenuhi:
1. (0)X i
3. ( ( ) ( ) 1| ( ) ) ( )kP X t h X t X t k h o h ( , ) | ( )4. ( ) ( )dua atau lebih kejadian terjadi pada t t h X t kP o h
maka proses dinamakan proses kelahiran dan kematian dengan parameter
PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN
( ), 0X t t
2. ( ( ) ( ) 1| ( ) ) ( )kP X t h X t X t k h o h
1{ , , 0,1,2,3,....}k k k
Prostok-7-firda 52
( ) ( ) | (0) ( , 0,1,2,...)ijP t P N t j N i i j
merupakan peluang transisi dari state i ke state j .
Misal
Dengan menggunakan persamaan Chapman-Kolmogorov
0 ( ) 0 | ( )iP t h P X t h X t i
0
1
2
( ) ( ) ( ) 0 | ( ) 0
( ) ( ) ( ) 1| ( ) 1
( ) ( ) ( ) | ( )
i
i
ikk
P t P X t h X t X t
P t P X t h X t X t
P t P X t h X t k X t k
0 0 1 1( )[1 ( )] ( )[ ( )] ( )i iP t h o h P t h o h o h
53
Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta mengambil h 0 diperoleh
'0 0 0 1 1( ) ( ) ( )i i iP t P t P t
( ) | ( )ijP t h P X t h j X t i
1
1
11, 1
( ) ( ) ( ) 0 | ( )
( ) ( ) ( ) 1| ( ) 1
( ) ( ) ( ) 1| ( ) 1
( ) ( ) ( ) | ( )
ij
ij
ij
ikkk j k j
P t P X t h X t X t j
P t P X t h X t X t j
P t P X t h X t X t j
P t P X t h X t j k X t k
, 1 1 , 1 1( )[ ( )] ( )[1 ( ) ( )] ( )[ ( )] ( )i j j ij j j i j jP t h o h P t h o h P t h o h o h
Secara umum
Prostok-7-firda 54
t t+h0
i
j+1
j
j-1
j
1 ( )j h o h
1 ( )j h o h
1 ( ) ( )j j h o h o(h)
o(h)
Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta mengambil h 0 diperoleh
'1 , 1 1 , 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2,...ij j i j j j ij j i jP t P t P t P t j
Prostok-7-firda 55
Blok Diagram Proses Kelahiran dan Kematian
( )ioP t
0 1
1( )iP t
1j j
( )ijP t
1 2 j1j
Contoh : Proses pertumbuhan linear
1, ( 1) , 0,1,2,....k kk k k Sehingga
'0 1 1( ) ( )i iP t P t'
, 1 , 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ), 1,2,...ij i j ij i jP t j P t jP t j P t j
56
Nilai rata-rata pada saat t
0
( ) ( ( )) ( )ijj
M t E X t jP t
'jika persamaan ( )dikalikan dgn pada kedua ruasijP t j
dan dijumlahkan terhadap j diperoleh
'( ) ( ) ( )M t M t
Dengan nilai awal M(0) = i , dgn asumsi X(0) = i
( )( ) tM t ie
jika t
0, ( )lim ( ) , ( )
, ( )t
M t i
(*)
Prostok-7-firda 57
Bukti (*)
', 1 , 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )ij i j ij i jP t j P t jP t j P t
'jika persamaan ( )dikalikan dgn pada kedua ruasijP t j
dan dijumlahkan terhadap j diperoleh
', 1 , 1
0 0 0 0
( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )ij i j ij i jj j j j
jP t j j P t j jP t j j P t
2, 1
0 0 0
2
0
Misal 1 1
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
i j ik ikj k k
ijj
k j j k
j j P t k k P t k k P t
j j P t
Nyatakan suku pertama dalam Pij(t)
58
2, 1
0 1 0
2
0
Misal 1 1
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
i j ik ikj k k
ijj
k j j k
j j P t k k P t k k P t
j j P t
', ,
0 0 0 0
, ,0 0 0
( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ij i j ij i jj j j j
i j i j ijj j j
jP t j j P t j jP t j j P t
j P t j P t jP t
'( ) ( ) ( )M t M t
atau
Nyatakan suku ketiga dalam Pij(t)
sehingga