7. OPTIČNI APARATI -...
Transcript of 7. OPTIČNI APARATI -...
-
150
7. OPTINI APARATI
7.1 TANKE LEE
o Bikonveksna lea:
f > 0
a > 0
b > 0
o Bikonkavna lea:
f < 0
a < 0
b < 0
o Raunanje gorine razdalje:
1 1 1
1'
nf r r
n lomni kolinik stekla
, 'r r krivinska radija obeh povrin lee
o Enaba tanke lee:
1 1 1
a b f
-
151
poveava: 'y b f
y a a f
Bikonveksna lea:
1
23
12
31F
2F
1
23
1 23
Q
1F
2F
1
23
12
3
Q
1F
2F
1
2
1
2
Q2F
SLIKA V
NESKONNOSTI
'P 'P
'P
'P
P
P
P
P
1F
1
SLIKA V
NESKONNOSTI
2F12Q
2
P'P
-
152
Sistem dveh le:
1 2 1 2
1 1 1
razdalja med leama
s
f f f f f
s
f > 0
bikonveksna:
0, ' 0r r
1 1 1 1 'f n r r
plankonveksna:
0, 'r r
1 1f n r
konkavno konveksna:
0, ' 0r r
1 1 1 1 'f n r r
konveksno konkavna:
0, ' 0r r
1 1 1 1 'f n r r
f < 0
plankonkavna:
0, 'r r
1 1f n r
bikonkavna:
0, ' 0r r
1 1 1 1 'f n r r
slike: J. Strnad, Fizika II
-
153
7.2. LUPA IN MIKROSKOP
7.2.1 LUPA
Predmet postavi v gorie povea zorni kot
brez lupe:
z lupo:
0
''
ytg
a
ytg
f
poveava 0
'
'
atgN
tg f
lupa0 25cma normalna zorna razdalja
y
0a
'f
y'
'
'f
-
154
7.2.2 OPTINI MIKROSKOP
o Okular uporabimo kot lupo
MAKROMETRSKI
VIJAK
MIKROMETRSKI
VIJAK
TUBUS
OKULAR
REVOLVER
OBJEKTIV
KONDENZOR
SVETLOBNI IZVOR
-
155
7.2.3 ELEKTRONSKI MIKROSKOP
Namesto curka svetlobe uporabimo curek hitrih elektronov. V elektronskem mikroskopu
imamo zato namesto obiajnih steklenih le lee, ki ustvarjajo elektrino in magnetno polje.
Elektronski mikroskop (Serway,1992)
o Slike eritrocitov z elektronskim mikroskopom (Bessis):
eritrocit: dimenzija ~ 6 m
-
156
7.3 OKO
Gorina razdalja 2cmf
Slika ODDALJENIH PREDMETOV
nastane pred mrenico, ker oesna
lea ne more imeti dovolj velike
gorine razdalje
Slika BLJINIH PREDMETOV
nastane za mrenico, ker oesna lea
ne more imeti dovolj majhne gorine
razdalje
NORMALNO OKO
mrenica
KRATKOVIDNO OKO
DALJNOVIDNO OKO
-
157
7.3.1 KOREKCIJA Z OALI
o Daljnovidno oko
Dobro vidi samo oddaljene predmete
f gorina razdalja oesne lee
Normalna vidna razdalja 0 25cma .
Brez oal: a > a0 , da je b normalen
1 1 1
a b f
Z oali: a = a0.
0
1 1 1 1
'a b f f
Odtejemo obe enabi in dobimo:
dioptrija: 0
0
10
'
a aD
f a a
zbiralna lea
e je predmet blizu,
vidi slabo
-
158
o Kratkovidno oko
Dobro vidi samo blinje predmete.
Brez oal: a < a0 , da je b normalen
1 1 1
a b f
Z oali: a >> a0:
1 1 1 1
'b f f
Odtejemo obe enabi in dobimo:
1 1
'a f
1 10
'D
f a
e je predmet zelo dale, vidi slabo
-
159
8. RELATIVNOSTNA MEHANIKA IN
KVANTNI POJAVI
8.1 DIMENZIJE Doline
DOLINA
[metri]
razdalja do najblije galaksije (v Andromedi) 2 x 1022
radij nae galaksije 6 x 1019
razdalja do najblije zvezde (Alpha Centauri) 4.3 x 1016
povpreni radij Plutona 5.9 x 1012
radij Sonca 6.9 x 108
radij Zemlje 6.4 x 106
viina Mt. Everesta 8.9 x 103
povprena viina loveka 1.7 x 100
debelina lista papirja 1 x 10-4
velikost virusa 1.2 x 10-8
polmer vodikovega atoma 5 x 10-11
~ 10-10
efektivni polmer protona 1.2 x 10-15
~ 10-15
Mase
OBJEKT
[kilogrami]
IZOTOP
MASA [a.e.m.]
naa galaksija 2.2 x 1041
H1
1.00782522 0.00000002
Sonce 2.0 x 1030
C12
12.00000000 (exactly)
Zemlja 6.0 x 1024
Cu54
63.9297568 0.0000035
Luna 7.4 x 1022
Ag102
101.911576 0.000024
voda oceanov 1.4 x 1021
Cs137
136.907074 0.000095
prekooceanska ladja 7.2 x 107 Pt
190 189.959965 0.000026
slon 4.5 x 103
lovek 5.9 x 101
drobec prahu 6.7 x 10-10
virus 2.3 x 10-13
molekula penicilina 5.0 x 10-17
atom urana 4.0 x 10-26
proton 1.7 x 10-27
elektron 9.1 x 10-31
-
160
8.2 MEGLINA CELICA, SELEKTOR HITROSTI, MASNI
SPEKTROMETER
8.2.1 MEGLINA CELICA
Mehanizem delovanja:
zraku z vodno paro sunkovito
poveamo prostornino, da se
ohladi
z vodno paro nasieni zrak
postane prenasien
vodna para se useda na gibajoih se ionih in tvori
vodne kapljice (kondenzacija)
sledovi nabitih delcev lahko tako
postanejo vidni
B magnetno polje
Bubble chamber photograph. The spiral tracks at the bottom of the photograph are an electron
positron pair (left an right respectively), formed by a gamma ray interacting with a hydrogen nucleus.
An applied magnetic field causes the electron and the positron to be defected in opposite directions. The
track leaving from the cusp between the two spirals is an additional electron knocked out of a hydrogen
atom during this interaction. (G. Holton, F.J. Rutherford, F.G. Watston, Project Physics, New York, HRW, 1981) .
8.2.2 SELEKTOR HITROSTI (izbira delcev z enako hitrostjo)
ev B eE E
vB
-
161
8.2.3 CIKLOTRON
2 votli elektrodi D1, D2 v evakuiranem prostoru. V elektrodah ni elektrinega polja!
gibanjepokroguv B
d d 0 konst.kF ev B s A F ds W
8.2.4 MASNI SPEKTROMETER
Masni spektrometer: nabiti delec gre najprej skozi selektor hitrosti (magnetno polje B ,
elektrino polje E ). Ko vstopi v podroje z magnetnim poljem 0B , se zane nabiti delec
gibati po kronem tiru s polmerom r. Fotografski film zadane v toki P. (iz Serway: Physics)
Selektor hitrosti:ev B eE E
vB
(8.2.1)
Newtonov zakon:
0
2
0
rma ev B
vm ev B
r
p (izvor ionov)
izhod
generator visokofrekvenne
izmenine napetosti
v vmesnem prostoru
se ioni pospeujejo
R
B
E
0B
selektor hitrosti
-
162
0
mvr
e B
(8.2.2)
0 0
mv m Er
e B e B B 0
r B Bm
e E
, kjer smo upotevali enabo (8.2.1)
o Thomsonov aparat za merjenje razmerja e
m (specifini naboj)
katodni arki elektroni
Thomson: 11As
0.77 10kg
e
m
Thomsonov eksperimentalni sistem za merjenje razmerja e/m (Serway, 1992).
reikatoda
fluorescentni premaz
na zaslonu
Odkritelj elektrona
J.J. Thomson (1856-1940)
+
-
-
163
8.3 POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI
8.3.1 AS V KLASINI FIZIKI
o Predpostavka o univerzalnem asu
'tt
o inercialni koordinatni sistem: konst.v
o inercialni sistem S: (x, y, z) mirujoi koordinatni sistem o inercialni sistem S': (x', y', z') gibajoi se koordinatni sistem (hitrost v0)
GALILEJEVA TRANSFORMACIJA:
0
'
'
'
'
x x v t
y y
z z
t t
00
0
d
d
d
d
d
'd' vvv
t
x
t
tvx
t
xv
0' vvv
o hitrosti se setevajo (ni zgornje meje!) o oblika zakonov (Newtonovih zakonov) je neodvisna od hitrosti premikanja koordinatnega
sistema.
x
y
z
x'
y'
z'
0v
-
164
8.3.2 ENABE POSEBNE TEORIJE RELATIVNOSTI
A. Einstein (1905 annus mirabilis)
Dve glavni naeli:
1. Naelo relativnosti: fizikalni zakoni imajo enako obliko v vseh inercialnih opazovalnih sistemih.
2. Hitrost svetlobe v praznem prostoru 00
0
1
c je enaka v vseh inercialnih
opazovalnih sistemih.
LORENTZOVA TRANSFORMACIJA:
00 0 0 00
'v
x x v t x c tc
(8.3.1)
'y y (8.3.2)
'z z (8.3.3)
00 0 00
'v
c t c t xc
(8.3.4)
02
0
2
0
1
1v
c
(8.3.5)
o Vsak inercialni sistem ima svoj lastni as.
OBRATNA LORENTZOVA TRANSFORMACIJA
00 00
' 'v
x x c tc
(8.3.6)
'y y (8.3.7)
'z z (8.3.8)
0
0 0 0
0
' 'v
c t c t xc
(8.3.9)
-
165
Zahteva, da preide nova Lorentzova transformacija pri majhnih hitrostih v GALILEJEVO
TRANSFORMACIJO je izpolnjena:
0
0
2
00 1 2 2
20 0
0
2
0
1 11 .... 1
21
v
c
v
cv
c
DODATEK: Izpeljava 0 (enaba (8.3.5)) in enabe (8.3.4)
Na osnovi enab (8.3.1) in (8.3.6):
0 0'x x v t , (8.3.D1)
0 0' 'x x v t , (8.3.D2)
in naelo o invariantnosti svetlobne hitrosti
'
0 0c c (8.3.D3)
lahko izpeljemo vrednost 0 kot sledi. Najprej vstavimo x iz enabe (8.3.D1) v enabo
(8.3.D2):
2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 ,x x v t v t x v t v t (8.3.D4)
torej:
2 20 0 0 0 0 1 .v t x v t (8.3.D5)
Iz enabe (D5) sledi:
200 2
0 0
1' .t t x
v
(8.3.D6)
Naredimo e diferencial enabe (8.3.D6):
1
1 0
0
v
c
0
-
166
200 2
0 0
1d ' d dt t x
v
. (8.3.D7)
V nadaljevanju upotevamo naelo invariantnosti svetlobne hitrosti '0 0c c (enaba
(8.3.D3)) ter diferencialono obliko enabe (8.3.D1): 0 0d ' d dx x v t in enabo
(8.3.D7) pri raunanju hitrosti ' d ' / d t'xv x , za xv pa postavimo 0c . Dobimo:
0 0' 0 0 0
0 02 220 00
02 20 20 0 0 00 0
d dd '.
d ' 1 111 1dt d
x
x
x v t v v c vxc c
tv cx
v vv
(8.3.D8)
Iz enabe (8.3.D8) sledi:
20 0 0 002
0 0 0 0
11 1 ,
c v vc
v c c
(8.3.D9)
oziroma:
20 002
0 0 0
1.
vc
v c
(8.3.D10)
Iz enabe (8.3.D10) lahko izraunamo 0 :
2 2
0 0
2 2 2
0 0 0
1 11 ,
v
c
(8.3.D11)
2
0
2 2
0 0
11 ,
v
c
2
0 2
0
2
0
1,
1v
c
(8.3.D12)
oziroma
02
0
2
0
1.
1v
c
(8.3.D13)
e vstavimo relacijo (glejte enabo (8.3.D11))
-
167
2 2
0 0
2 2
0 0
1 v
c
v enabo (8.3.D6) dobimo:
00 2
0
' ,v
t t xc
(8.3.D14)
oziroma enaba (8.3.4):
00 0 0
0
'v
c t c t xc
(8.3.D15)
o Transformacije hitrosti
Sledi iz enab (8.3.1) (8.3.4):
Infinitezimalna Lorentzova transformacija
00 2
0
d ' d dv
t t xc
(8.3.10)
0 0d ' d dx x v t (8.3.11)
d ' dyy (8.3.12)
d ' dzz (8.3.13)
' ' 'd ' d ' d '
d t' d t' d t'x y z
x y zv v v (8.3.14)
d d d
d t d t d tx y z
x y zv v v (8.3.15)
Iz enab (8.3.10) (8.3.15) sledi:
-
168
0 0'
00 2
0
0
0 0
0 0 0
2 2 2
0 0 0
d dd '
d t'd d
d
d d d t,
dd d 1 1
d t
x
x
x
x v txv
vt x
c
xv
x v t v v
v v v vxt x
c c c
torej
' 0
0
2
0
1
xx
x
v vv
v v
c
(8.3.16)
Podobno lahko dobimo e ostale transformacije za hitrosti:
'
00 2
0
1
y
y
x
vv
v v
c
(8.3.17)
'
00 2
0
1
zz
x
vv
v v
c
(8.3.18)
Obratna transformacija 0 0v v :
'
0
'
0
2
0
1
xx
x
v vv
v v
c
(8.3.19)
'
'
00 2
0
1
y
y
x
vv
v v
c
(8.3.20)
'
'
00 2
0
1
zz
x
vv
v v
c
(8.3.21)
o transformacija vsebuje NAELO O INVARIANTNOSTI SVETLOBNE HITROSTI v
praznem prostoru 00 0
1c
:
0 0 00 0 0 0
00 0 0 0 0
2
0 0
1 1x
c c vc v c vv c
v c v c v
c c
-
169
FORMALIZEM: 4-razseni prostor - as
Svetovni etverec definiran kot:
4 0 0, , , ,x c t x y z c t r
Lorentzova transformacija:
0 0 0'c t c t x
0 0'x x c t 'y y
'z z
kjer je 0
0
v
c
o Klasina 3-D slika: Razdalja med dvema tokama d d dr r r je neodvisna od izbire
opazovalnega sistema. Pravimo, da je 2d d dr r r invarianta.
o Specialna teorija relativnosti
Invarianta je:
2 2 2 2 2 2 2 '2 '2 '2 '2
0 0d d d d d d d d d .s c t x y z c t x y z (8.3.22)
Novost: negativni znak pred prvim lenom, klasino je namre
2 2 2 2d d d d d d .r x y z r r
1r
2r
dr
-
170
o Skrenje dolin
Inercialna opazovalna sistema S in S':
1 1
2 102 22
0
dogodek 1: 0, 0
S: palica miruje vsistemuS: xdogodek 2 : ,
t x
x Lv Lt x L
c
Lorentzova transformacija:
' '
1 1
' ' '
2 1' '
2 2 0
0
dogodek 1: 0, 0
S' : xdogodek 2 : 0,
t xL
x LLt x
ZAKLJUKI:
izmerjena dolina je odvisna od hitrosti gibanja koordinatnega sistema,
dogodka soasna samo, e se dogodita v isti toki,
opazovalcu se zdi gibajoa se palica skrena:
'
0
LL
(8.3.23)
soasnost dogodkov je relativen pojem
o Podaljanje asa (inercialna sistema S in S')
1
2 1
2
prvi dogodek: mesto , as:
drugi dogodek: mesto , as
x tS t t t
x t
Lorentzova transformacija:
S':
' 01 0 1 2
0
v xt t
c
' 02 0 2 2
0
v xt t
c
torej: ' '2 1 0 2 1t t t t
'
0t t (8.3.24)
-
171
't t za gibajoega opazovalca dogodki potekajo poasneje kot za opazovalca, ki miruje ob dogodkih as je relativna koliina.
lastni as as, ki ga kae ura v izbranem koordinatnem sistemu.
ZAKLJUKI:
Popolna novost specialne teorije relativnosti je, da se tudi as transformira.
Prostor in as sta povezana v skupni prostor - as.
Svetovni etverec popisuje dogodek.
8.3.3 ZAKONI GIBANJA
Na osnovi enabe (8.3.24) naredimo posploitev in definiramo lastni asovni razmik z
enabo:
d dt , (8.3.25)
2
2
0
1
1v
c
, (8.3.26)
kjer je:
dt as, ki ga meri opazovalec, ki opazuje gibanje tokastega telesa
d lastni as (lastni asovni razmik, ki ga izmeri opazovalec, ki se giblje skupaj z
opazovanim gibajoim tokastim telesom)
Novost: za hitrost v izrazu (8.3.26) dopuamo, da ni konstantna, kar pomeni, da se telo lahko
giblje pospeeno.
o etverec hitrosti 4v
svetovni etverec 4 0 , , ,x c t x y z (8.3.27)
odvajamo po lastnem asu in dobimo etverec hitrosti:
4 4
4
0
d d, , , ,
d dx y z
x xv c v v v
t
(8.3.28)
kjer so
d d d, ,
d d dx y z
x y zv v v
t t t .
Enabo (8.3.28) zapiemo v vektorski obliki:
-
172
4 0 ,v c v
, (8.3.29)
kjer je , , .x y zv v v v
Pri majhnih hitrostih 0
0:v
c
1 ,
torej:
v v , (8.3.30)
d dt . (8.3.31)
Opomba:
koordinatni as (t ali dt) ni skalar ampak komponenta 4-dimenzionalnega vektorja
0 , , ,c t x y z . Odvajanje po koordinatnem asu dt zato ne proizvede novega vektorja
etverca. Zato odvajamo po lastnem asu d . Lastni as je skalar, ki preide pri majhnih hitrostih v koordinatni as t.
o etverec gibalne koliine
4 40 0 0 0,P m v m c m v . (8.3.32)
Izraz 0m v zapiemo v obliki:
P mv , (8.3.33)
kjer je
0m m , (8.3.34)
0m mirovna ali lastna masa telesa.
Pri majhnih hitrostih 0
0:v
c
1 ,
0 ,m m (8.3.35)
0 .P m v
Vidimo, da pri majhnih hitrostih P preide v klasino gibalno koliino 0 .G m v
-
173
Opomba:
kljub temu, da 0v c je lahko relativistina gibalna koliina poljubno velika, ker se lahko
poljubno vea zaradi naraajoe vrednosti .
o Polna in lastna energija
etverec gibalne koliine lahko piemo tudi kot (glejte enabo (8.3.32)):
4
0
0
, ,W
P m vc
(8.3.36)
kjer je W polna energija delca:
2
0 0W m c . (8.3.37)
Polna energija je odvisna od hitrosti. Najmanja polna energija ima delec, ki miruje je
1 :
2
0 0 0W m c , (8.3.38)
0W lastna ali mirovna energija delca. Sedaj definiramo kinetino energijo delca kot:
2 2 20 0 0 0 0 0 0 1 .kW W W m c m c m c (8.3.39)
o Kinetina energija je torej tisti del polne energije, ki je posledica gibanja.
Pri majhnih hitrostih 0
0v
c
velja razvoj:
2
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0220
2
0
1 1 11 1 1 .... 1 .
2 21
k
vW m c m c m c m v
cv
c
(8.3.40)
Vidimo, da relativistini izraz za kinetino energijo telesa 20 0 1kW m c preide pri
0
v
c v klasini izraz 20
1
2kW m v , ki velja v Newtonovi mehaniki.
o Skalarni produkt etverca gibalne koliine 4
0
,W
P Pc
s samim seboj je invarianta:
24 4 2
2
0
WP P P
c
= invarianta . (8.3.41)
-
174
V lastnem sistemu delec miruje torej je P = 0. Iz enabe (8.3.41) v tem primeru sledi:
2 42
2 2 20 00 02 2
0 0
0 .m cW
P m cc c
(8.3.42)
Ker pa je 4 4P P invarianta, velja v splonem:
2
2 2 2
0 02
0
WP m c
c
, (8.3.43)
oziroma
2 2 2 2 4
0 0 0W c P m c ,
ali drugae:
2 2 2 2
0 0W W c P
. (8.3.44)
o Enabe gibanja
Newtonova mehanika d
d
GF
t
, G mv
Posebna teorija relativnosti 4
0
, ,W
P P P m vc
:
4 44
0
d d 1 d d,
d d d d
P P W PF
t c t t
. (8.3.45)
etverec sile 4 F na tokasti delec z nabojem e v elektrinem in magnetnem polju:
40
,e E v
F e E v Bc
. (8.3.46)
Izenaimo loeno asovni in krajevni del med enabama (8.3.45) in (8.3.46):
- asovni del: d
d d ,d
We E v W e E v t e E r e
t (8.3.47)
torej 0,W e W e
oziroma konst.W e
- krajevni del: d
d
Pe E v B
t
, P m v , (8.3.48)
-
175
Ohranitvene enabe:
44 4 4
dd
d
PF P F
e
4 4d 0 0F P
0W OHRANITEV POLNE ENERGIJE (8.3.49)
0P
OHRANITEV KRAJEVNEGA
DELA GIBALNE KOLIINE (8.3.50)
8.3.4 UPORABA ENAB GIBANJA SPECIALNE TEORIJE
RELATIVNOSTI
Obravnavamo enabo (8.3.48):
d
d
Pe E v B
t , P m v
.
Posebna primera: 0 ali 0E B
A) Poseben primer: e 0E iz enabe (8.3.48) sledi (kroenje v magnetnem polju):
d,
d
Pev B
t
0d
d
m vev B
t
, (8.3.51)
ker ,d d d 0 konst.
konst.
ev B v s A F s v
Torej: 0d
d
m vev B
t
,
0 rm a ev B , kjer je ra radialni pospeek, 2
0
vm ev B
r
0m v er B 0m v Pr
e B e B
(8.3.52)
Obhodni as: 0 002 22 m v mr
tv e Bv e B
Frekvenca:
0 0
1
2
e B
t m
. (8.3.53)
-
176
B) Poseben primer: e 0B iz enabe (8.3.48) sledi:
0d
d
m ve E
t
. (8.3.54)
Enabo (8.3.54) predelamo v obliko:
0d d .m v e E t (8.3.55)
e je E = konst. velja:
0 d ,m v e E t e E t (8.3.56) oziroma
0
2
2
0
1
m ve E t
v
c
. (8.3.57)
Iz enabe (8.3.57) po krajem raunu dobimo za hitrost:
02 21
tv c
t
, (8.3.58)
kjer je
0 0
e E
m c .
(8.3.59)
Izraunana pot pa je:
1
2 20 2
0
d 1 1 .
t
cs v t t
. (8.3.60)
-
177
8.4 POJAVI, KI JIH NE MOREMO RAZLOITI V OKVIRU
KLASINE FIZIKE
slika: Serway, 1992
8.4.1 FOTOEFEKT
Fotocelica:
j gostota svetlobnega toka
ANODA
SVETLOBA
napetost
elektrini
tok
zaporna
napetost
1 2j j
2j
-
178
o energija fotona: W h ; c ; c = svetlobna hitrost
frekvenca valovna dolina svetlobe
o gibalna koliina fotona: 2 2 2 20 0; kjer je lastna energija 0W W c P W
W h hP
c c
Albert Einstein
(1879 1955)
Einsteinova predstava fotona kot
potujoega energijskega paketa
Tabela: izstopno delo 0 0 0 0,izA h c
kovina 0
platina 230 nm
volfram, baker 280 nm
srebro 290 nm
aluminij, cink 340 nm
kalij 560 nm
8.4.2 SEVANJE RNEGA TELESA
Joef Stefan
(1835 1893)
Max Planck
(1858 - 1947)
foton z energijo h
-
179
Spektri sevanja rnega telesa za razline temperature
mK109.2 3wk (Wienova konstanta)
428 KWm1067.5 (Stefanova konstanta)
Js106.6 34h (Planckova konstanta)
J/k1038.1 23k (Boltzmannova konstanta)
o Planck-ov zakon sevanja rnega telesa
1
2
d
d5
2kT
hc
echj
o Stefanov zakon
4j T
Model rnega telesa
0
0
Wienov zakon
max wT k
0.001
vid
na
sv
etl
ob
a
20
1
1.5
32 10 K
240 10 nm
dj d
-
180
8.4.2.1 Izpeljava Stefanovega zakona iz Planck-ovega zakona
Planckov zakon, ki ga izpeljemo v okviru kvantne statistine fizike, podaja porazdelitev
gostote energijskega toka izsevanega elektromagnetnega valovanja po valovnih dolinah:
2
0
5 0
2d,
dexp 1
hcj
hc
k T
kjer je h Planckova konstanta, j gostota izsevanega energijskega toka, valovna dolina, k
Boltzmannova konstanta, 0c hitrost svetlobe v vakuumu in T absolutna temperatura.
Stefanov zakon podaja gostoto izsevanega energijskega toka. Dobimo ga z integracijo
Planckovega zakona po valovnih dolinah:
2
0
50 0 0
2 h c ddd .
dexp 1
jj
hc
k T
Uvedemo novo spremenljivko:
0 0
2, d d .
hc hcx x
kT kT x
Zgornji integral potem preide v:
4 4 3 5 4
4
3 2 x 3 2
0 00
2 d 2.
e 1 15
k T x x kj T
h c h c
Vrednost zgornjega integrala poiemo v tabelah, kjer najdemo
3 4
x
0
d.
e 1 15
x x
Zgornji izraz preuredimo v bolj znano obliko Stefanovega zakona:
4j T
kjer je:
5 4
8
3 2 2 4
0
25.67 10
15
k W
h c m K
Stefanova konstanta je imenovana po avstro-ogrskem fiziku slovenskega rodu Joefu Stefanu.
-
181
8.4.2.2 Izpeljava Wienovega zakona iz Planck-ovega zakona
Spekter izsevanega elektromagnetnega valovanja ima maksimum pri doloeni valovni dolini.
Ta valovna dolina m je odvisna od temperature in to tako, da je produkt valovne doline, pri kateri ima spekter maksimum, in absolutne temperature konstanten. Vrednost te konstante
izraunamo iz Planckovega zakona. Najprej Planckov zakon zapiemo z novo spremenljivko
x, ki smo jo definirali prej:
5 5 5
4 3 x
0
d 2.
d e 1
j k T xx
h c
Ekstrem te funkcije poiemo tako, da odvod po x izenaimo z 0. Tako dobimo enabo:
5 1 xx e .
To enabo reimo numerino, na primer z metodo navadne iteracije. Dobimo:
0 4.9651 ,m
hcx
kT
oziroma:
30 2.898 10 mK4.9651
m w
hcT k
k .
Enabi
m wT k
pravimo Wienov zakon, konstanti kw pa Wienova konstanta.
-
182
8.4.3 COMPTONSKO SIPANJE
Arthur Holly Compton
(1892 1962)
Sipana svetloba (Serway, 1992)
Shema Comptonovega aparata (Serway, 1992)
valovna dolina vpadne kratko valovne Rtg-svetlobe
odbiti elektron
x
y
sipani foton
vpadni foton
p
'
-
183
Ohranitev polne energije
0'
c ch W h W (8.4.1)
h Planckova konstanta
c hitrost svetlobe v vakuumu
0W lastna energija elektrona
W polna energija elektrona
o Ohranitev gibalne koliine
x os: cos cos ,'
h hP
(8.4.2)
y os: sin sin'
hP
(8.4.3)
Opomba:
Najibkeje vezani elektroni v atomih so vezani z energijo nekaj eV, zato jih v prvem
pribliku vzamemo za proste, to je nevezane delce.
Enabe (8.4.1) (8.4.3) zapiemo v obliki:
0'
h hc W W
, (8.4.4)
cos cos'
h hP
, (8.4.5)
sin sin'
hP
, (8.4.6)
in kvadriramo na obeh straneh enaajev:
2
2
0'
h hc W W
, (8.4.7)
2
2 2cos cos'
h hP
, (8.4.8)
2
2 2sin sin'
hP
. (8.4.9)
V nadaljevanju enabo (8.4.7) samo prepiemo, enabi (8.4.8) in (8.4.9) pa setejemo in
e mnoimo na obeh straneh enaaja s 2c :
-
184
2
2
0'
h hc W W
, (8.4.10)
2 2
2 2 2 2cos sin' '
h h hc c c P
. (8.4.11)
Enabi (8.4.10) in (8.4.11) zapiemo kot:
2
2
0'
h hc W W
, (8.4.12)
2 2
2 2 2 2 2 2 22 cos cos sin' '
h h h hc c c c P
. (8.4.13)
Torej:
2
2 2 2
0 02' '
h h h hc c W W W
, (8.4.14)
2 2
2 2 2 2 22 cos' '
h h h hc c c c P
. (8.4.15)
Enabi (8.4.14) in (8.4.15) med sabo odtejemo in upotevamo e zvezo 2 2 2 20W c P W .
Tako dobimo:
2 2
02 2 2 cos 0' ' '
h h h h h hc c W c
,
oziroma
20
'2 2 1 cos
' '
h hch W c
,
ali
0
' 1 coshc
W (8.4.16)
Enabo (8.4.16) imenujemo Compton-ova enaba, konstanto
0.0024chc
nmW
(8.4.17)
-
185
pa Compton-ova valovna dolina, torej:
' 1 cosc (8.4.18)
Enabe (8.4.18) ne moremo izpeljati v okviru klasine fizike.
Opomba:
Elektron v resnici absorbira foton z valovno dolino in takoj za tem odda foton z nekoliko vejo valovno dolino ' .
8.4.4 ATOMSKI RTASTI SPEKTRI
Niels Bohr
(1885 1962)
o Energijski nivoji vodikovega atoma so diskretni:
2
13.6 eV1,2,3,......nE n
n (8.4.19)
Pascheneva
serija
Balmerjeva
serija
Lymanova
serija
-
186
o Valovna dolina izsevane svetlobe pri prehodih elektrona iz vijega v niji energijski nivo za vodikov atom:
'2 2
1 113.6eV
nh
n
,
0
2 ' 2
1 113.6eV
n
ch
n
,
2 ' 2
0
1 13.6eV 1 1
nhc n
,
torej:
2 '2
1 1 1yR
n n
(8.4.20)
n' > n
kjer je 7 1
0
13.6eV1.09678 10yR m
hc
. Konstanti Ry pravimo Rydbergova konstanta.
8.4.5 INTERFERENNI POJAVI PRI ELEKTRONIH
Interferenni kolobarji curka elektronov:
slika: J. Strnad, Fizika II
Louis de Broglie
(1892 1987)
-
187
Fotoni:
2 2 2 2
0W W c P
0 0W h h
W Pc c
hP
2
2
22
hP k
hW h
P k
W
P gibalna koliina fotona
W energija fotona
Elektroni:
B
h h
P mv
de Broglie-eva valovna dolina
m masa elektrona
v hitrost elektrona
Interferenca dveh koherentnih EM valovanj:
Gostota energijskega toka EM valovanja v vakuumu: 2
1 2j E E
1
2
1 0
2 0
i kr t
i kr t
E E e
E E e
cos sin
cos sin
i
i
e i
e i
1 0 1cosE E kr t , 2 0 2cosE E kr t
1 2 1 2
2 * * *
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
* * * * 2
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2 0
2 2
04 o
2
c s2
ik r r ik r r
E E E E E E E E E E
E E E E E E E
k r rE
E E e e
Pogoj za maksimum (svetle interferenne proge):
1 21 2
2, 0, 1, 2
2
k r r nn r r n
k
zaslon
D
d
1r
2r
-
188
VALOVNA FUNKCIJA ZA DELEC (funkcija stanja)
o Fotoni :
P k 2
k
W c
0
i kx tE E e
povpreje ni odvisno od frekvence
2 2
0 0 0
1
2j wc E c E c
o Delci: po zgledu fotonov poskusimo zapisati valovno funkcijo za curek delcev z doloeno gibalno koliino (P) v smeri x:
, i kx tp x t e
2 2B
B
P mv P h hP k k k
h P mv
kin pot
WW W W W
torej:
,P W
i x ti px Wt
P x t e e
Z uporabo ,p x t lahko opiemo interferenni poskus z elektroni:
o curek elektronov iz oddaljenega izvira z doloeno gibalno koliino razdelimo na dva delna curka z isto gibalno koliino p in energijo W.
-
189
verjetnostna gostota elektronov na zaslonu * (po analogiji z EM
valovanjem kjer je *j E E ):
curek1: 11W
i tipx
p x e e
curek 2: 22W
i tipx
p x e e
skupno: 1 2p px x
*
1 2 1 2
2
2 1 2 1
12 1 cos 4cos
2
p p p px x x x
x x p x x p
o pogoj za maksimum (ojaanje):
2 1 2 11 2
, 0,1,2,...2
nx x p n x x n
p
-
190
Uklon curka elektronov na dveh reah
dele elektronov v pasu
med 1
d2
x x in 1
d2
x x je:
d
Ndx
N
a,b,c: raunalnika simulacija (Higgins, 1968)
Interferenni vzorec elektronov pri prehodu
skozi dve rei.
1
2
verjetnostna gostota,ebi bila rea 2zaprta
verjetnostna gostota,ebi bila rea1zaprta
verjetnostna gostota,esta obe reiodprti
a
b
po 28 elektronih
po 1000 elektronih
c
po 10 000 elektronih
fotografija interferennega vzorca
uklona elektronov na dveh reah
(C. Jnsson, Zeitschrift fr Physik,
161:454, 1961)
d
d:
izvor elektronov
x
1 2
1 2
x
1 2