7. modul Körbe, körbe, karikába -...

MATEMATIKA „C” 11. évfolyam

7. modul Körbe, körbe, karikába

Készítette: Kovács Károlyné

Matematika „C” – 11. évfolyam – 7. modul: Körbe, körbe, karikába Tanári útmutató 2

A modul célja A körrel és egyenessel kapcsolatos koordinátageometriai eljárások, módszerek elmélyítése Időkeret 4 foglalkozás Ajánlott korosztály 11. évfolyam Modulkapcsolódási pontok

Tágabb környezetben: Fizika Szűkebb környezetben: Algebra, elemi geometria, halmazok Ajánlott megelőző tevékenységek: A kör egyenletének ismerete. Ajánlott követő tevékenységek: Trigonometria

A képességfejlesztés fókuszai Metakogníció, ismeretek rendszerezése, elmélyítése

JAVASLAT

A koordinátageometria sajátos eszközei akkor alkalmazhatók igazán eredményesen, ha a tanuló elemi síkgeometriai ismeretei biztosak. A mo-

dulban ezért elsőször a körrel kapcsolatos alapismeretek felelevenítésére kerül sor, és csak utána annak koordinátageometriában való alkalmazá-

sára. Sajnos, az óraszám csökkentése miatti tananyagszűkítés már kevés lehetőség nyújt a koordinátageometria mint elemi geometriai feladatok

(pl. azonos tulajdonságú pontok halmazának megkeresésére irányuló) megoldására szolgáló módszer alkalmazására. A modulban találunk ilyen

jellegű feladatot is.

A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE:

1. foglalkozás: Segítség 2. foglalkozás: Látómezőnkben a kör 3. foglalkozás: Érinti? 4. foglalkozás: Mértani hely


MODULVÁZLAT

Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/

Gyűjtemény

I. Segítség

1. Körrel kapcsolatos elemi geometriai ismeretek fel-elevenítése feladatokon keresztül

Metakogníció Feladatlap: 1., 4., 5., 7., 8., 10. feladat

2. Szerkesztési feladatok Rész és egész észlelése, problémamegoldás Feladatlap: 2., 3., 6., 9., 11. feladat

II. Látómezőnkben a kör

1. A kör egyenletének felismerése Számolás, induktív következtetés Feladatlap: 1– 3. és 8. feladat

2. A kör és egyenes Metakogníció, értelmes memória Feladatlap: 4– 7. és 9. feladat

III. Érinti?

1. A kör érintőjével kapcsolatos problémák megoldása Metakogníció, rendszerezés Feladatlap: 1– 8. feladat

IV. Ponthalmazok

1. Megadott tulajdonságú ponthalmazok keresése, egyenleteik felírása

Metakogníció Feladatlap: 1– 8. feladat


I. SEGÍTSÉG Koordinátageometriában a sikeres munka egyik feltétele, hogy az éppen tanulmányozott alak-

zat tulajdonságait jól ismerjék a tanulók. Ezért, a kör egyenletének ismeretét is feltételező

koordinátageometriai problémák megoldása előtt – feladatokon keresztül – átismételjük a kör

legfontosabb tulajdonságait. Elsősorban azokat, amelyeket majd a következő foglalkozások

feladatainak megoldásában is használhatunk.

1. Derékszögű háromszög befogói 5 cm és 12 cm hosszúak. Mekkora a háromszög köré írt

kör sugara?

Megoldás: cm 5,6=r

2. Szerkeszd meg az ABC háromszög körülírt körét!

3. Szerkeszd meg a kör

a) egy tetszőleges H pontjában a kör érintőjét; b) P ponton átmenő érintőit!

C

B A


4. A 8 cm sugarú kör K középpontjától 17 cm távolságra megjelölt P pontból milyen hosszú

érintőszakasz húzható?

Megoldás: 1521 == PEPE cm

5. Ismét adott az előző feladat K középpontú köre és a P pont. Forgassuk a PK egyenest pozi-

tív irányba! Jelöljük az ε szöggel elforgatott egyenest e-vel. ( oo 1800 <≤ ε , hiszen o180 -

os elforgatásnál már az elforgatott egyenes újra a PK egyenessel esik egybe.) Az ε milyen

értéke esetén a) metszi; b) érinti; c) kerüli el az e egyenes a kört?

A hajlásszöget egész fokra kerekítve add meg!

Megoldás: Ha a kört érintő e egyenes kérdéses ε szöge hegyesszög, akkor a 1PKE derékszö-

gű háromszögben 178sin =ε . Ebből o07,28≈ε , egészre kerekítve o28=ε . A tenge-

lyes szimmetria miatt o152);( =∠ePK esetén is érinti az e egyenes a kört. Így

a) o280 <≤ ε vagy oo 180152 ≤< ε esetén metszi az egyenes a kört.

b) o28=ε vagy o152=ε esetén érinti a kört.

c) oo 15228 << ε esetén elkerüli az egyenes a kört.

6. Adott egy K középpontú kör, és annak külső tartományában egy P pont. Szerkeszd meg azt

az egyenlőszárú ABP háromszöget, amelyben BPAP = , és az adott kör a háromszög beírt

köre!


Megoldás: Mivel a keresett egyenlőszárú háromszög PK szögfelezője merőlegesen felezi az

AB alapot, ezért a PK félegyenes K-n túli meghosszabbítása a kört az AB oldal F felező-

pontjában metszi. Az F pontban a PK egyenesre állított merőlegesnek a P pontból meg-

szerkesztett érintőkkel való metszéspontjai lesznek a keresett háromszög A és B csúcsai.

7. Számítsd ki, hogy milyen hosszú az előző feladatban megszerkesztett ABP egyenlőszárú

háromszög AB alapja, ha az adott kör sugara 5 cm és 13=PK cm!

I. Megoldás: Az ábrán látható jelöléseket használva: KPE1 háromszög hasonló a PFA há-

romszöghöz. Mivel cm 121 =PE , így KE

AFPEPF

11= , azaz

51218 AF

= . Ebből

cm 5,7=AF . A háromszög alapjának hossza: cm 15=AB .

II. Megoldás: Ismert, hogy a háromszög beírt körének r sugara, T területe és s félkerülete kö-

zött fennáll a rsT = kapcsolat. Mivel 1AEAF = és 2BEBF = , így

ABABs +=⋅+

= 122224 . Tehát )12(5

218 ABAB

+⋅=⋅ . Ebből cm 15=AB adódik.


8. Tekintsük azokat a köröket, amelyek átmennek az A és B (különböző) pontokon. Milyen

alakzatot alkot azon körök középpontjainak halmaza?

Megoldás: Az AB szakasz felezőmerőlegese.


9. Az adott szögtartományba szerkessz olyan adott r sugarú kört, amely érinti a szög szárait!

Megoldás:

10. Mi azon 2 cm sugarú körök középpontjainak halmaza, amelyek az egymásra merőleges e

és f egyenes közül legalább az egyiket érintik?


Megoldás:

11. Adott az ábrán látható kör és egyenes. Szerkeszd meg a kör azon érintőit, amelyek

a) párhuzamosak az adott egyenessel!

b) merőlegesek az adott egyenesre!


Megoldás:


II. LÁTÓMEZŐNKBEN A KÖR 1. Határozd meg azt az alakzatot, amelynek az egyenlete (Vigyázz!):

a) 261022 +−=+ yxyx ; b) xyx 622 =+ ; c) 0102622 =+−−+ yxyx ;

d) 0)12(4 22 =−− yx ; e) yx

xy

=−+

24 .

Megoldás:

a) 261022 +−=+ yxyx ⇔ 36)3()5( 22 =++− yx . Az alakzat kör: )3;5( −K és

6=r .

b) xyx 622 =+ ⇔ 9)3( 22 =+− yx . Az alakzat kör: )0;3(K és 3=r .

c) 0102622 =+−−+ yxyx ⇔ 0)1()3( 22 =−+− yx . Az alakzat egy pont: )1;3(P

d) 0)12(4 22 =−− yx ⇔ 0)122)(122( =−++− yxyx .

Az alakzat két, egymásra merőleges egyenes, amelyek a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21;0 koordinátájú pont-

ban metszik egymást. Az egyik egyenes meredeksége 1, a másiké )1(− .

e) yx

xy

=−+

24 ⇔ 04222 =+−+ yxyx , ha 2≠x és 0≠y .

04222 =+−+ yxyx ( 2≠x és 0≠y ) ⇔ 5)2()1( 22 =++− yx ( 2≠x és

0≠y ).

Az alakzat a )2;1( −K középpontú és 5 sugarú kör minden pontja, kivéve három

pont: )0;0( , )0;2( és )4;2( − .

2. Határozd meg az 0138422 =+−++ yxyx egyenletű körrel koncentrikus, feleakkora

sugarú kör egyenletét!

Megoldás: 0138422 =+−++ yxyx ⇔ 7)4()2( 22 =−++ yx . Ennek a körnek a közép-

pontja: )4;2(−K , sugara: 7=r .

A körrel koncentrikus, feleakkora sugarú kör egyenlete: 47)4()2( 22 =−++ yx .


3. Tükrözd az 062622 =−−−+ yxyx egyenletű kört az x tengelyre, majd annak képét az y

tengelyre! Végül az így kapott kört az xy −= egyenletű egyenesre! Írd fel az egyes transz-

formációk végrehajtásával kapott alakzat egyenletét!

Megoldás:

062622 =−−−+ yxyx ⇔ 16)1()3( 22 =−+− yx . A kör középpontja: ( )13; , sugara:

4=r .

Az x tengelyre tükrözött képének egyenlete: 16)1()3( 22 =++− yx , K(3; –1).

A tükörkép y tengelyre tükrözött képének egyenlete: 16)1()3( 22 =+++ yx .

Ennek a körnek a középpontja: )1;3( −−K .

A )1;3( −−K ponton átmenő, az xy −= egyenletű egyenesre merőleges egyenes egyenlete:

2+= xy . A két egyenes metszéspontja: )1;1(−A . A K pont tükörképe az xy −= egyenle-

tű egyenesre: )3;1(1K . Tengelyes tükrözéskor a kör sugarának hossza változatlan.

Az utolsó tükrözéskor kapott kör egyenlete: 16)3()1( 22 =−+− yx .

4. Írd fel azoknak a köröknek az egyenletét, amelyek érintik az x tengelyt a )0;2( koordinátá-

jú pontban, és 3 a középpontjuk második koordinátájának abszolútértéke!

Megoldás: A körök sugara 3 egység. Középpontjaik: )3;2(1K , illetve )3;2(2 −K .

Egyenletük: 9)3()2( 22 =−+− yx és 9)3()2( 22 =++− yx .

Célszerű a feladat kapcsán megbeszélni a tanulókkal, hogy egy kör akkor és csak akkor érinti

az x tengelyt, ha az egyenlete: 222 )()( vvyux =−+− , ahol );( vu a kör középpontjának ko-

ordinátái. Ekkor a kör sugara: vr = .

Fogalmaztassuk meg a tanulókkal, hogy milyen azoknak a köröknek az egyenlete, amelyek

érintik az y tengelyt!

5. Írd fel azoknak a köröknek az egyenletét, amelyek érintik mindkét koordinátatengelyt, és a

sugaruk 4 egység!

Megoldás: 16)4()4( 22 =−+− yx

16)4()4( 22 =−++ yx

16)4()4( 22 =+++ yx

16)4()4( 22 =++− yx


6. Hol metszi az xy = egyenletű egyenes az 25)3()4( 22 =−+− yx egyenletű kört?

Megoldás: 25)3()4( 22 =−+− yx ⇔ 06822 =−−+ yxyx . Az ⎪⎭

⎪⎬⎫

==−−+

xyyxyx 06822

egyenletrendszer megoldásai a );( 00 és a );( 77 számpárok.

Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy egy kör pontosan akkor megy át a koordináta-

rendszer origóján, ha az egyenletének polinomalakjában a konstans nulla. Tehát az egyenlete

02222 =−−+ vyuxyx , ahol );( vu a kör középpontjának koordinátái. Ekkor a kör sugara:

22 vu + .

7. Írd fel az 25)3()4( 22 =−+− yx egyenletű körnek a koordináta-rendszer origóján átmenő

érintőjének egyenletét!

Megoldás: Az origó rajta van a körön. A kör K középpontjának koordinátái: )3;4(K . Az érin-

tő, az →

OK vektorra merőleges, origón átmenő egyenes. Egyenlete: 034 =+ yx .

8. Kicsinyítsd az 25)3()4( 22 =−+− yx egyenletű kört a )0;0( pontból 51 arányban. Írd fel

a kapott alakzat egyenletét! A transzformáció végrehajtásával hányszorosára változott a kör

területe?

Megoldás: Az egyenlete: 153

54 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yx , a területe huszonötöde az eredeti kör terü-

letének.

9. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: )3;0(A , )0;4(−B és )0;0(C . Írd fel a három-

szög körülírt körének egyenletét!

Megoldás: A derékszögű háromszög körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja,

sugara az átfogó felének hosszával egyenlő.

A körülírt kör egyenlete: 25,6)5,1()2( 22 =−++ yx .


III. ÉRINTI? Ezen a foglalkozáson a tanulók a kör érintőjével kapcsolatos koordinátageometriai feladatok-

kal foglalkozhatnak. Az elemi geometriai előkészítés talán megkönnyíti az egyes feladatok

megoldástervének elkészítését, így a koordinátageometriai módszerek, eszközök alkalmazásá-

ra több idő jut. A feladatok nem igényelnek túl bonyolult számolást, éppen azért, hogy a tanu-

lók elsősorban a különböző eljárások helyes alkalmazására tudjanak figyelni. A tanulók önál-

lóan dolgozzanak, de tegyük lehetővé, hogy a munka során a részeredményeket egyeztethes-

sék egymással!

1. Hány közös pontja van az xyx 822 =+ egyenletű körnek az xy 2= egyenletű egyenes-

sel?

Megoldás: Az ⎪⎭

⎪⎬⎫

==+

xyxyx

2822

egyenletrendszer megoldásai: )0;0( és ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

516;

58 . Tehát két kö-

zös pontja van a két alakzatnak.

2. Írd fel annak az origó középpontú körnek az egyenletét, amely érinti a 052 =+− yx

egyenletű egyenest!

Megoldás: Jelölje e az adott egyenletű egyenest, f pedig a kör középpontjából az e egyenesre

állított merőleges egyenest. Az e és az f egyenesek metszéspontja az érintési pont.

02: =+ yxf .

A ⎭⎬⎫

=+=+−

02052

yxyx

egyenletrendszer megoldása: )1;2(− . Az érintési pont: )1;2(−E . A kör

sugara: 5=r , az egyenlete: 522 =+ yx .

3. A g egyenes merőleges a 02023 =+− yx egyenletű e egyenesre. A két egyenes metszés-

pontja )7;2(−P . A )2;1(−K középpontú kör érinti mind a két egyenest.

a) Írd fel a g egyenes egyenletét!

b) Határozd meg az e és g egyenesek által alkotott szögek szögfelezőinek egyenletét!

c) Határozd meg az adott középpontú kör egyenletét!

Megoldás:

a) )3;2(gn , gP ∈− )7;2( , így g: 1732 =+ yx .


b) Mivel a K pont az e és g egyenest érintő kör középpontja, így az egyik keresett

szögfelező a PK egyenes, a másik a PK egyenesre merőleges, P ponton átmenő

egyenes.

Mivel )5;1( −→

PK , a PK egyenes egyenlete: 35 −=+ yx ; a másik szögfelező egyenle-

te: 375 −=− yx .

c) A K ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenlete: 432 =+ yx . Az e

és f egyenes metszéspontjának koordinátái az ⎭⎬⎫

=+=+−

43202023

yxyx

egyenletrendszer

megoldása: )4;4(− .

Az e és g egyenest érintő kör sugara: 13=r . A kör egyenlete:

13)2()1( 22 =−++ yx .

4. Ha az x tengelyt forgatnád a koordináta-rendszer origója körül, az elforgatott egyenesek

közül melyek kerülik el, érintik, illetve metszik az 25)5()10( 22 =−+− yx egyenletű

kört? Add meg egyenletével a kérdezett tulajdonságú egyeneseket!

Megoldás:


Az y tengellyel egybeeső egyenes elkerüli a kört. Ha az egyenes nem esik egybe az y

tengellyel, akkor az egyenletét kereshetjük mxy = alakban.

Az ⎪⎭

⎪⎬⎫

==−+−

mxyyx 25)5()10( 22

paraméteres egyenletrendszer megoldásai a két alakzat

közös pontjainak koordinátái.

Behelyettesítő módszer alkalmazásával 0100)2(10)1( 22 =++−+ xmxm másodfokú

egyenlethez jutunk. A megoldás számainak meghatározásához elegendő az egyenlet

diszkriminánsát vizsgálnunk.

)1(400)2(100 22 mmD +−+= .

A diszkrimináns pontosan akkor nulla, ha 0=m vagy 34

=m . Tehát az egyik érintő az x

tengely (az ábráról is leolvasható), a másik az xy34

= egyenletű egyenes.

A diszkrimináns pontosan akkor pozitív, ha 340 << m . A kört metsző egyenesek egyen-

lete: mxy = , ahol 340 << m .

A kört elkerülő egyenesek: az 0=x egyenletű (y tengely), és az mxy = egyenletű

egyenesek, ahol m<34 vagy 0<m .

5.* Határozd meg annak az x tengelyt érintő körnek az egyenletét, amelyik áthalad az

)5;9(−A és )9;1(−B pontokon!

Megoldás: Mivel a kör érinti az x tengelyt, az egyenletét 222 )()( vvyux =−+− alakban

kereshetjük. A keresett kör );( vuK középpontja rajta van az AB szakasz f felezőmerőle-

gesén, amelynek az egyenlete: 32 −=+ yx . Tehát 32 −=+ vu .

A kör egyenletét egy paraméterrel (v-vel) is felírhatjuk: 222

)(2

3 vvyvx =−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ .


A kör átmegy pl. a B ponton, tehát 222

)9(2

31 vvv=−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+− , azaz

222

)9(2

1 vvv=−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + . Az egyenlet ekvivalens a 0325702 =+− vv egyenlettel. En-

nek megoldásai: 65=v , illetve 5=v . A kör középpontja: )65;34(1 −K vagy )5;4(2 −K .

A keresett kör egyenlete: 4225)65()34( 22 =−++ yx vagy 25)5()4( 22 =−++ yx .

6. Írd fel az 25)2()4( 22 =++− yx egyenletű körnek a 4034 −=+ yx egyenletű

a) egyenessel párhuzamos érintőit!

b) egyenesre merőleges érintőit!

A feladat megoldásában követhetjük a szerkesztés menetét is, vagy segítségül hívhatjuk a

vektorokat. A közölt megoldásban vázlatosan mindkét gondolatmenet szerepel.

Megoldás:

a) A kör középpontján átmenő, az adott egyenesre merőleges egyenes egyenlete:

2043: =− yxf . Ennek az egyenesnek metszéspontjai a körrel: );( 18A és

);( 50 −B . A kör adott egyenessel párhuzamos érintőinek egyenlete: 3534 =+ yx és

1534 −=+ yx .

Megoldhatjuk a feladatot úgy is, hogy mivel az adott egyenes egyik normálvektora

)3;4(en , és ennek vektornak valamint a kör sugarának hossza is 5 egység, így ha a

kör középpontját eltoljuk az )3;4(en , illetve a )3;4()1( en⋅− vektorral, éppen a kere-

sett A és B érintési pontokhoz jutunk.

)1;8()3;4()2;4(→→

=+− OAOK en illetve )5;0()3;4()2;4( −=−−→→

OBOK en .

b) A kör középpontján átmenő, az adott egyenessel párhuzamos egyenes egyenlete:

1034 =+ yx . Ennek az egyenesnek metszéspontjai a körrel: );( 21C és );( 67 −D .

A kör adott egyenesre merőleges érintőinek egyenlete: 543 −=− yx és

4543 =− yx .

A vektorok felhasználásával: )2;1()4;3()2;4(→→

=−+− OCOK ev , illetve

)6;7()4;3()2;4( −=−−−→→

ODOK ev .


7.* Mi az egyenlete annak a körnek, amely belülről érinti az 2522 =+ yx egyenletű kört a

)3;4(−P pontban, és érinti az y tengelyt!

Megoldás: Két, egymást érintő kör középpontjait összekötő egyenes áthalad a körök közös

érintési pontján, ezért a keresett kör középpontja illeszkedik az OP: xy43

−= egyenletű

egyenesre. A keresett );( vuK középpontú kör érinti az y tengelyt, így az egyenletét

222 )()( uvyux =−+− alakban kereshetjük. A K pont rajta van az OP egyenesen, ezért

uv43

−= . A keresett kör egyenlete egy paraméterrel felírható:

22

243)( uuyux =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++− .

A P pont rajta van a keresett körön, így 22

2433)4( uuu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−− .

22

2433)4( uuu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−− ⇔ 04002009 2 =++ uu .

Ennek az egyenletnek a megoldásai: 920

−=u és 20−=u . Mivel a kör belülről érinti az

adott kört, ezért középpontjának első koordinátája nem lehet )20(− . A kör középpontja:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

35;

920K . Sugara:

920 .

A keresett kör egyenlete: 81

40035

920 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + yx .

8. Mi azon pontok halmaza a koordináta síkon, amelyekből az 25)3()7( 22 =−++ yx

egyenletű körhöz húzott érintőszakaszok hossza 12 egység?

Megoldás: Az adott )3;7(−K középpontú kör sugara 5 egység, a keresett P pontokból húzott

érintőszakasz hossza 12 egység. Az érintőszakasz, az érintési pontba vezető sugár, és a

KP szakasz alkotta derékszögű háromszög KP átfogója 13 egység. Így a keresett pont-

halmaz azon pontok halmaza a koordináta síkon, amelyek 13 egység távolságra vannak

a K ponttól, tehát egy K középpontú, 13 egység sugarú kör minden pontja.

A keresett ponthalmaz egyenlete: 169)3()7( 22 =−++ yx .


IV. PONTHALMAZOK A tanulók koordinátageometriai ismereteinek elmélyítésére nagyon jól használhatók az adott

tulajdonságú pontok halmazának meghatározására irányuló feladatok. Természetesen ez akkor

lenne igazán hasznos, ha a tanulók további alakzatok egyenletét is ismernék (parabola, ellip-

szis, hiperbola), és elemi geometriai feladatok megoldásához eszközként lehetne használni a

koordinátageometriát. Csak a kör és egyenes egyenletének ismeretében is érdemes ilyen mó-

don megfogalmazott feladatokat kitűzni megoldásra, hiszen eközben a tanulók feleleveníthe-

tik különböző elemi geometriai ismereteiket is, és közben lehetőségük nyílik a koordináta-

geometriában tanult eljárások, módszerek alkalmazására.

1. Az ABC derékszögű háromszög két csúcsa rögzített: )3;2(−A és )1;4(B . Határozd meg

egyenletével azon pontok halmazát, amelyek bármelyike a háromszög harmadik C csúcsa

lehet!

Megoldás: A C pont nyilván nem lehet az AB egyenes pontja. A háromszög derékszöge vagy

az A, vagy a B, vagy a C csúcsnál van.

Az első esetben a háromszög C csúcsa az AB szakaszra merőleges, az A ponton átmenő

egyenes minden pontja, az A pont kivételével. Egyenlete: 93 −=− yx , ahol 2−≠x .

A második esetben a keresett ponthalmaz a B ponton átmenő, AB szakaszra merőleges

egyenesnek a B ponttól különböző pontjai. Egyenlete: 113 =− yx , ahol 4≠x .

A harmadik esetben a ponthalmaz az AB átmérőjű kör, az A és a B pont kivételével.

Egyenlete: 10)2()1( 22 =−+− yx , kivéve a )3;2(− és )1;4( pontok.

A keresett ponthalmaz e három alakzat uniója.


2. Egy egyenlőszárú háromszög egyik szárának végpontjai )2;4(A és )6;1(−B . A háromszög

harmadik csúcsát jelöljük C-vel. Határozd meg a lehetséges C pontok halmazát! Add meg a

ponthalmaz egyenletét!

Megoldás: Az egyenlőszárú háromszög másik szára vagy AC, vagy BC. A C pont nem lehet

rajta az AB egyenesén.

A keresett ponthalmaz tehát egy A középpontú, AB sugarú kör, kivéve a B pontot és a

kör B-vel átellenes pontját, illetve a B középpontú, AB sugarú kör, kivéve az A pontot és

a kör A ponttal átellenes pontját.

A keresett ponthalmaz egyenlete: 41)2()4( 22 =−+− yx , kivéve a );( 61− és a

);( 29 − pontok vagy 41)6()1( 22 =−++ yx , kivéve a );( 24 és a );( 106− pontok.

3. Egy háromszög két csúcsa ( )01;A és ( )05;B . A háromszög harmadik csúcsa az xy =

egyenletű egyenesen mozog.

a) Válassz ki a lehetséges háromszögek közül hármat, és határozd meg a kiválasztott há-

romszögek súlypontjának koordinátáit!

b) Határozd meg egyenletével az összes ilyen háromszög súlypontjának halmazát!

Megoldás: A háromszög harmadik csúcsa nem lehet az x tengelyen, tehát nem lehet a koordi-

náta-rendszer origója. Az xy = egyenletű egyenes origótól különböző );( ccC pontja


esetén az ABC háromszög egyik súlyvonala a CF szakasz, ahol )0;3(F . Ismert, hogy a

háromszög súlypontja a súlyvonalnak az oldalhoz közelebbi harmadolópontja. A CF

szakasz F-hez közelebbi harmadolópontjának koordinátái: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

3;

36 cc , ahol 0≠c . Ez az

ABC háromszög súlypontjának koordinátái. Észrevehetjük, hogy ha súlypont első koor-

dinátáját x-szel jelöljük, akkor a második koordinátája 2−x .

Tehát az ABC háromszög súlypontjainak halmaza az 2−= xy egyenletű egyenes, ki-

véve annak )0;2( koordinátájú pontja.

4. Az )0;0(A ponton át rajzolj egy tetszőleges 0≠m iránytangensű egyenest, a )0;6(B pon-

ton át pedig egy m2 iránytangensűt. Jelölje C a két egyenes metszéspontját.

a) Töltsd ki az alábbi táblázat hiányzó helyeit!

m értéke 2− 5,0− 1,5 2 3

C pont koordinátái )4;12( −

b) Határozd meg egyenletével a C pontok halmazát!

Megoldás:

a)

m értéke: 2− 5,0− -1/3 1,5 2 3

C pont koor-

dinátái: (12; -24) (12; -6) )4;12( − (12; 18) (12; 24) (12; 12 3 )

b) Az A ponton átmenő egyenes egyenlete: mxy = , a B ponton átmenő egyenes egyen-

lete: mmxy 122 −= , ahol 0≠m . A két egyenes metszéspontja: ( )mP 1212; .

Mivel m tetszőleges, nullától különböző számot jelöl, így a keresett ponthalmaz az

12=x egyenletű egyenes, kivéve annak ( )012; koordinátájú pontja.

5*. Egy 10 dm hosszú, vékony, elhanyagolható tömegű madzag két végére egy-egy azonos

tömegű kis tárgyat erősítünk. Az egyik kis tárgyat (tömegpontot) egy sima asztalra he-

lyezzük. A madzagot kicsi csigán átvetve, annak másik vége szabadon mozoghat. Kezdet-

ben az asztalon lévő tömegpont a lehető legtávolabb (10 dm-re) van a kis csigától.


Határozd meg a két tömegpontból álló rendszer tömegközéppontjának pályáját, miközben

a tömegpont lecsúszik az asztalról!

Megoldás: Helyezzük a két pontból álló rendszert a koordinátasíkra: a kooordináta-rendszer

kezdőpontja a csiga helye, tengelyei pedig a tömegpontok felé mutatnak. Legyenek az

asztalon lévő tömegpont koordinátái )0;(a , a másik tömegponté );0( b , ahol 100 ≤≤ a

és 010 ≤≤− b , és 10)( =−+ ba .

Ekkor a két azonos tömegű pontból álló rendszer tömegközéppontjának helye a két tö-

megpont helyét összekötő szakasz felezőpontja, tehát ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2;

2baF . Mivel 10)( =−+ ba ,

így 522−=

ab , a tömegközéppont koordinátái: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 5

2;

2aaF . Ha F első koordinátáját x-

szel jelöljük, akkor a második koordinátája: 5−= xy , a tömegközéppont ezen az egye-

nesen mozog. Mivel 100 ≤≤ a és 010 ≤≤− b , ezért 50 ≤≤ x és 05 ≤≤− y .

A rendszer tömegközéppontjának pályája az 5−= xy egyenletű egyenes ( )50 −; és

( )05; koordinátájú pontjait összekötő szakasza.

6. Adott az )0;0(A és )0;6(B pont. Mi azon pontok halmaza a koordinátasíkon, amelyeknek

az A ponttól mért távolsága kétszerese a B ponttól mért távolságának?

Megoldás: Keressük azon );( yxP koordinátájú pontokat, amelyekre PBPA ⋅= 2 , azaz

2222 )6(2 yxyx +−⋅=+ . Az egyenlet mindkét oldala nemnegatív, ezért mindkét

oldalt négyzetre emelve nem változik az egyenlet megoldáshalmaza. Ebből az

0481622 =+−+ xyx adódik. Innen azonos átalakítással az 16)8( 22 =+− yx egyen-


letet kapjuk, ez pedig a )0;8( középpontú, 4 egység sugarú kör egyenlete. A keresett

ponthalmaz e kör pontjainak halmaza.

A keresett ponthalmaz az AB szakasz Apollóniusz-köre, 2=λ esetre. Az Apollóniusz-kör

azoknak a pontoknak a halmaza a síkban, amelyeknek két adott ponttól mért távolságainak

aránya adott (1-től különböző) pozitív szám.

7. Jelöld meg a koordinátasíkon az )0;1(A pontot és az 1=x egyenletű e egyenest! Határozd

meg azon pontok halmazát a koordinátasíkon, amelyeknek az A ponttól mért távolságuk

négyzetének számértéke megegyezik az e egyenestől mért távolságukkal!

Megoldás: Keressük azon );( yxP koordinátájú pontokat, amelyekre

1)1(2

22 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− xyx .

Ha x≤1 , akkor 1)1( 22 −=+− xyx , azaz 023 22 =++− yxx . Ebből azonos átalakí-

tással az 41

23 2

2=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yx egyenlet adódik, ami egy olyan kör egyenlete, amelynek a

középpontja ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

23 , sugara

21 egység. Mivel e kör minden pontjának első koordinátája

nem kisebb 1-nél, tehát a teljes kör része a keresett ponthalmaznak.

Ha 1≤x , akkor xyx −=+− 1)1( 22 , azaz 022 =+− yxx . Ebből 41

21 2

2=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yx

egyenlethez jutunk. Ez is egy kör egyenlete: középpontja ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

21 , sugara

21 egység. Eb-

ben az esetben is a teljes kör hozzátartozik a keresett ponthalmazhoz.

Így a keresett ponthalmaz két kör: az 41

23 2

2=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yx és az

41

21 2

2=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yx

egyenletű körök uniója.

7. modul Körbe, körbe, karikába -...

Documents

Transcript of 7. modul Körbe, körbe, karikába -...