7. Jahrgangsstufe– Mathematik – Aufgaben– Arbeitsblatt 1 … · 2018. 4. 20. · 7....

7. Jahrgangsstufe– Mathematik – Aufgaben– Arbeitsblatt 1

Aufgabensammlung


Grundaufgaben zur Achsenspiegelung

1. Gegeben sind die Punkte A(2|1), B(5|3) und C(4|4). Die Spiegelachse ist gegebendurch die Punkte R(−4| − 4) und T (6|4)

(a) Lege ein Koordinatensystem an mit −6 < x < 6 und −5 < y < 5 in deinemHeft an und zeichne die gegebenen Punkte und die Spiegelachse ein.

(b) Konstruiere die Spiegelpunkte der Eckpunkte des Dreiecks ABC bei einer Ach-senspiegelung an der gegebenen Spiegelachse.

(c) Vergleiche das Dreieck ABC mit seinem Spiegeldreieck und stelle Gemeinsam-keiten fest.

(d) Begründe die Gemeinsamkeiten mit den dir bekannten Eigenschaften der Ach-senspiegelung.

2. Gegeben sind die Punkte A(−1| − 2), B(2|1) und der Spiegelpunkt C ′(3|6). DieSpiegelachse bei dieser Abbildung ist die Senkrechte, die durch den Punkt P (1|0)verläuft.

(a) Zeichne das Koordinatensystem mit −5 < x < 7 und −4 < y < 4 in dein Heftund trage alle gegebenen Punkte und die Spiegelachse ein.

(b) Konstruiere den Punkt C und zeichne das Dreieck ∆ABC.

(c) Konstruiere die Punkte A′ und B′ und zeichne ∆A′B′C ′.

3. Ein Fixpunkt einer Abbildung ist ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird.

(a) Erkläre, wo sich alle Fixpunkte der Achsenspiegelung befinden müssen und wieviele Fixpunkte jede Achsenspiegelung daher besitzt.

(b) Erkläre, wie eine Gerade in Bezug zur Spiegelachse liegen muss, damit es sichum eine Fixgerade handelt.

4. Ein Drachenviereck ensteht durch eine Achsenspiegelung. Dabei wird zunächst einbeliebiges Dreieck gezeichnet und dann der Punkt, der der größten Dreiecksseitegegenüber liegt an dieser gespiegelt wird.

(a) Wähle ein beliebiges Dreieck und konstruiere nach der oben stehenden Anlei-tung ein Drachenviereck.

(b) Notiere möglichst viele Eigenschaften dieses Drachenvierecks.

(c) Erkläre die gefundenen Eigenschaften des Drachenvierecks mit den Eigenschaf-ten der Achsenspiegelung.


Aufgaben zu den Grundkonstruktionen

1. Gegeben ist das Dreieck ∆ABC mit A(2|1), B(5| − 1) und C(4|3).

(a) Der Punkt A′(−1|4) ist der Spiegelpunkt von A bei einer Achsenspiegelung.Konstruiere die Spiegelachse.

(b) Konstruiere die Punkte B′ und C ′.

2. Gegeben ist das Dreieck ∆ABC mit A(2| − 1), B(5| − 1) und C(4|3).

(a) Der Punkt B′(−2|2) ist der Spiegelpunkt von A bei einer Achsenspiegelung.Konstruiere die Spiegelachse.

(b) Konstruiere die Punkte A′ und C ′.

3. Gegeben ist das Dreieck ∆ABC mit A(2|5), B(5| − 2) und C(4|3).

(a) Der Punkt C ′(−1| − 2) ist der Spiegelpunkt von A bei einer Achsenspiegelung.Konstruiere die Spiegelachse.

(b) Konstruiere die Punkte B′ und C ′.

4. Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

��

A

B

C�

��

��

��

��

rA’

(a) Konstruiere in der oben stehenden Abblidung die Spiegelache.

(b) Konstruiere alle Eckpunkte des Spiegeldreiecks.


5. Konstruiere die Spiegelachse und das Spiegelbild des folgenden Vierecks

��

��

�� D�

��

A

B

C�

��

��

��

��

rA’

6. Konstruiere ein Dreieck ∆ABC mit den folgenden Vorgaben

• AB = 6 cm

• C liegt auf der Spiegelachse und hat von AB den Abstand 5,0 cm.

• B ist bei der Achsenspiegelung der Spiegelpunkt von A.

7. Konstruiere ein Dreieck ABC, das den nachstehenden Forderungen gerecht wird:

• BC = 9,0 cm

• B ist der Spiegelpunkt von C bei einer Achsenspiegelung.

• A liegt auf der Spiegelachse und hat von BC einen Abstand von 6,0 cm.

8. Gegeben sind die Punkte A(−1,−2) und B(2|4).

• Konstruiere den Ort aller Punkte, die von A den Abstand 2 cm besitzen.

• Konstruiere den Ort aller Punkte, die von B den Abstand 1,5 cm besitzen.

• Konstruiere alle Punkte, die den gleichen Abstand zu A und zu B aufweisen.


Aufgaben zur Punktspiegelung

1. Zeichne ein beliebiges Dreieck ∆ABC und einen außerhalb liegenden Punkt Z.Konstruiere anschließend das Bilddreick bei einer Punktspiegelung an Z. Vergleicheim Anschluss beide Dreiecke und stelle Besonderheiten fest und versuche sie zubegründen.

2. Gegeben ist das Viereck ABCD mit A(−3|0,5), B(3|2), C(4|6) und D(−1| − 2).Außerdem ist der Punkt Z(−2|1) gegeben.

(a) Zeichne das Viereck und den Punkt Z in ein Koordinatensystem ein.

(b) Konstruiere das Bildviereck bei einer Punktspiegelung an Z.

3. An der folgenden Figur wird der Zusammenhang zwischen Achsen- und Punktspie-gelung verdeutlicht.

��

��

��

A

BA

AA

AA

AA

AA

AAA

C�

��

��

��

��

��

��

��

��

uZ

(a) Konstruiere ∆A′B′C ′ als Bild bei einer Punktspiegelung an Z.

(b) Konstruiere die Spiegelachse zwischen A und A′.

(c) Konstruiere A′′B

′′C

′′ durch Spiegelung von A′B′C ′ an dieser Achse.

(d) Konstruiere die Achse zwischen B′′ und B und spiegele A

′′B

′′C

′′ an dieserAchse.

(e) Welchen Winkel bilden die beiden Achsen?


(f) Begründe, durch welche Abbildungen man damit die Punktspiegelung ersetzenkann.


Vermischte Aufgaben

1. Zeichne in einem Koorrdinatensystem die Punkte A(0| − 4), B(2|4), C(3|0), D(0|4)und M(3,5|3,5)ww ein.

(a) Zeichne die Gerade AB und CD sowie den Kreis mit Mittelpunkt M undRadius r = AB ein.

(b) Wähle AB als Achse und konstruiere die symmetrischen Punkte zu P (1| − 2)und Q(−2|2).

(c) Konstruiere alle symmetrischen Punkte zu den bereits angegebenen Punktenbei einer Punktspiegelung an Z(−1| − 1).

(d) Konstruiere das Bild der Geraden AB und CD bei einer Spiegelung an Z.

(e) Vergleiche die Lage des Schnittpunkts von AB und CD mit der Lage desSpiegelgeraden A′B′ und C ′D′.

(f) Begründe deine Beobachtung.

(g) Spiegle den gezeichneten Kreis an Z und begründe, welche Aussage man überden Schnittpunkt der Gerade A′B′ mit dem gespiegelten Kreis machen kann.

2. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(2|2), B(5|2) und C(4|3).

(a) Das Dreieck ABC soll durch eine Spiegelung von A und C zu einem gleich-schenkligen Trapez erweitert werden, dessen Grundseite doppelt so lang seinsoll wie die zu ihr parallele Seite. Begründe welche Spiegelungsart zu wählenist.

(b) Ermittle durch Konstruktion die fehlenden Eckpunkte des Trapezes und notierederen Koordinaten.

(c) Spiegle das entstandene Trapez an dem Punkt B. Ermittle die Eigenschaftendes so entstandenen Sechsecks.

3. Konstruiere ein Dreick mit den folgenden Eigenschaften

• AM = 5 cm.

• B ist der Spiegelpunkt von A bei einer Punktspiegelung an M .

• C ist der Spiegelpunkt von A bei der Achsenspiegelung an der Geraden, diedurch M verläuft und AB in einem Winkel von 30◦ schneidet.

Es gibt zwei verschiedene Lösungen. Kläre die Frage, ob man eine Lösung auf dieandere abbilden kann.


Winkel an Geradenkreuzungen

In der folgenden Abbildung ist eine Doppelstraßenkreuzung einer Stadt schematisch dar-gestellt:

��

��

��

��

��

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

S

T

g

h

k

1. Welche besondere Lage besitzen die Geraden g und h?

2. Messe alle Winkel an der Geradenkreuzung mit dem Schnittpunkt S. Gib dabeijedem Winkel eine Bezeichung und fülle die folgende Tabelle aus

Winkel Größeα ................β ...............γ .............δ ............

Welche Gesetzmäßigkeiten kann man an dieser Geradenkreuzung feststellen? For-muliere deine gefundenen Gesetze.

3. Messe alle Winkel an der Geradenkreuzung mit dem Schnittpunkt T . Gib dabeijedem Winkel eine Bezeichung und fülle die folgende Tabelle aus

Winkel Größeε ................σ ...............φ .............µ ............

Vergleiche die Winkel dieser Geradenkreuzung mit den Winkeln an der Geraden-kreuzung mit dem Schnittpunkt S und notiere dir Besonderheiten.

4. Formuliere Winkelgesetz für diese Art von Doppelgeradenkreuzungen. Überlege, wel-che Voraussetzung deinen Winkelgesetzen zu grunde liegt und ob deine Gesetze auchohne diese Voraussetzung ihre Gültigkeit behalten.


Aufgaben zu den Winkelgesetzen

1. Die untenstehende Abbildung ist eine nichtmaßtabsgetreue Abbildung einer Gera-denkreuzung. Dabei gilt, dass g||h. Die Größe von α ist 35◦.

��

��

��

��

��

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQg

h

k

αβ γ

δε

µσ φ

Berechne alle eingezeichneten Winkel und nenne stichpunktartig die verwendetenWinkelgesetze bei jedem Rechenschritt.

2. Begründe die folgende Aussage: Wenn zwei Geraden nicht parallel sind, dann sindauch die Stufenwinkel nicht gleich groß.

3. α und γ sind Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung. α ist doppelt so groß wie γ.Berechne die Größe der beiden Winkel.

4. β und δ sind Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung.. β ist um 40◦ größer als δ.Berechne die Größe der beiden Winkel..

5. Begründe die folgende Aussage: α und γ sind zwei Nebenwinkel. Wird α verdoppelt,dann gilt γ = 180◦ − 2α.


Aufgaben Grundkonstruktionen

1. Gegeben ist das folgende Dreieck

��

��

��

A

BA

AA

AA

AA

AA

AAA

C�

��

��

��

��

��

��

��

��

(a) Konstruiere die Mittelsenkrechte der Seite AB.

(b) Konstruiere die Mittelsenkrechten der Seitenn AC und BC. Welche Feststel-lung kann man treffen?

(c) Konstruiere einen Kreis, der als Mittelpunkt den Schnittpunkt der Mittelsenk-rechten von AB und AC M besitzt und den Radius MA. Welche Eigenschaftbesitzt der Kreis?

(d) Beschreibe alle Konstruktionschritte, die zu diesem Kreis führen durch einenformal sorgfältig gestalteten Konstruktionsplan.

2. Konstruiere die Winkelhalbierende eines 60◦ Winkels.

3. Du sollst auf einer beliebigen Gerade g einen 90◦ Winkel konstruieren.

(a) Lege dir eine sorgfältige Überlegungsfigur an.

(b) Zeichne eine Gerade g in dein Heft und konstruiere einen rechten Winkel, derseinen Scheitel auf einen vorher festgelegten Punkt S auf der Geraden hat.

(c) Begründe deine Konstruktion in einigen Sätzen.

(d) Fertige einen formal sorgfältigen Konstruktionsplan an.


(e) Konstruiere die Winkelhalbierende dieses Winkels.

4. Gegeben ist eine beliebige Gerade g und ein Punkt P , der außerhalb der Geradeliegt.

(a) Zeichne beide geometrische Objekte in dein Heft ein.

(b) Fälle das Lot – d.h. konstruiere die Senkrechte– durch P auf g.

(c) Begründe dein Vorgehen mit den Eigenschaften der Achsenspiegelung.

(d) Fertige einen formal korrekten Konstuktionsplan deiner Konstruktion an.


Wiederholung

1. Gegeben sind die Punkte A(2|2) und B(5|3). Der Punkt C liegt auf der Mittelsenk-rechten von AB und hat von A den Abstand 2,0 cm.

(a) Konstruiere den Punkt C.

(b) Fertige einen Konstruktionsplan in der korrekten mathematischen Notation an.

(c) Konstruiere den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.

(d) Begründe deine Konstruktion mit den Symmetrieeigenschaften dieser Vierecks-klasse.

(e) Fertige für die Konstruktion von D eine sorgfältigen Konstruktionsplan in ma-thematischer Symbolschreibweise an.

2. Gegeben sind die Punkte A(−3|2) und B(2| − 1). Der Punkt C hat von A einenAbstand von 3 cm und von B einen Abstand von 3,5 cm. Die y-Koordinate von Cist dabei größer als die y-Koordinate von B.

(a) Zeichne A und B in ein Koordinatensystem ein und konstruiere den Punkt C.

(b) Fertige einen Konstruktionsplan in mathematischer Symbolschreibweise an.

(c) Konstruiere den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein gleichschenkligesTrapez ergibt.

(d) Begründe dein Vorgehen mit den Symmetrieeigenschaften dieser Vierecksklas-se.

(e) Notiere deine Schritte der Reihenfolge nach in der mathematischen Kurzschreib-weise.

3. Bei einem ∆ABC ist bekannt, dass B der Spiegelpunkt von A bei einer Achsenspie-gelung ist. C hat von AB den Abstand 6,0 cm und C ist bei der Spiegelung an dergleichen Achse ein Fixpunkt. Außerdem ist AB = 8,0 cm.

(a) Fertige eine Planfigur an, in der alle bekannten Größen farbig eingetragen wer-den.

(b) Konstruiere das Dreick ∆ABC und nummeriere deine Konstruktionsschritte.

(c) Fertige einen Konstruktionsplan in mathematischer Kurznotation an.

4. Die drei Ortschaften A-Weiler, B-Stadt und C-Dorf wollen einen gemeinsamen Sen-der für den Lokalfunk errichten. Auf einer Karte haben die Ortschaften die Koordi-naten A(−1| − 2), B(4|2) und C(3|7). Der Standort für den Sender soll so gewahltwerden, dass er von allen drei Ortschaften den gleichen Abstand hat.

(a) Konstruiere den Standort des Senders auf der Landkarte.

(b) Fertige einen Konstruktionsplan in mathematischer Kurznotation an.


5. Die untenstehende Abbildung ist eine nichtmaßtabsgetreue Abbildung einer Gera-denkreuzung. Dabei gilt, dass g||h. Die Größe von α ist 35◦.

��

��

��

��

��

��

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQg

h

k

αβ γ

δε

µσ φ

Berechne die Größe von allen angegeben Winkeln dieser Doppelkreuzung.

6. Bei einem gleichschenkligem Dreieck sind alle Seiten gleich lang, d.h. AB = AC =BC.

(a) Konstruiere ein derartiges Dreieck mit AC = 5,0 cm.

(b) Begründe mit Hilfe der Winkelgesetze und geeigneten Symmetrieüberlegungen,dass alle Innenwinkel des Dreiecks 60◦ messen.

7. Gegeben ist der Gerade g = AB durch A(−2|−1) und B(3|1). Zudem ist der PunktP (2|5) gegeben.

(a) Fälle das Lot von P auf g. Der Schnittpunkt des Lotes mit g wird mit Sbezeichnet.

(b) Fälle das Lot von S auf AP . Der Schnittpunkt dieses Lots mit AP wird mit Tbezeichnet.

(c) Begründe mit den Winkelgesetzen, dass 6 SAP = 6 PST .

(d) Fertige einen Konstruktionsplan über alle von dir getätigten Konstruktions-schritte in mathematischer Kurzschreibweise an.


Aufgaben zu Termen

1. Gegeben ist der folgende Term

T (x, y) =x3

2+ x2 + x · y +

2

3y2

(a) Setze für x = −23

und y = 32

ein und berechne den Termwert.

(b) Finde zwei Möglichkeiten für die Zahlen, die man für x und y einsetzen muss,damit T (x, y) = 0 ist. Beweise die Richtigkeit deiner Ergebnisse, indem du fürdiese Zahlen den Termwert berechnest.

(c) Ermittle durch Rechnung, welchen Wert man für y einsetzen muss, damitT (2, y) = 182

3.

2. Fasse die folgenden Terme soweit wie möglich zusammen. Beachte dabei auch dieGesetze der Bruchrechnung

(a) T (x, y) = 23x + 1

6y + 31

3x + 5

6y

(b) T (x, y) = −23x + 1

6y + 31

3x − 5

6y

(c) T (m,n) = m + 7n − 3m + n

(d) T (a, b) = 3ab − b2 + 2a2 − ab + 3b2 − a2 + ba

(e) T (a, b) = −458a + 31

2b + ab − 32

3a + 117

24a − ab − 43

4b

3. Löse bei den folgenden Termen erst die Klammer auf und fasse dann soweit wiemöglich zusammen

(a) T (a, b) = 5a − (3b + 7a)

(b) T (a, b) = 5a − (−3b − 7a)

(c) T (a, b) = 5a − (−3a + 7b)

(d) T (a, b) = 5a − (3a − 7b)

(e) T (a, b) = 5a + (3a − 7b)

4. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen

(a) T (a, b) = (2a − 4b) − (6a − 4b)

(b) T (a, b) = −(2a − 4b) + (6a − 4b)

(c) T (a, b) = (2a − 4b) − (−6a + 4b)

(d) T (a, b) = −(2a + 4b) + (−6a − 4b)


Aufgaben zu Termumformungen

1. Multipliziere die Klammern aus und fasse so weit wie möglich zusammen

(a) 15x(15

3x − 20

7y) − 1

2(2

3x2 + 14

6xy)

(b) −3a(4b − 2c + 3d) + 2a(−3b − 2d + c)

(c) −6m(m − n) + 3n(−m + 13n)

(d) 9n(−2m − 3n) − 7n(9m − 3n)

(e) 18b(a − b + c) − 14ab( ba

+ 1c− d

ab)

(f) 4m(n − 3m) + mn(mn− 6n

m) − mn

2. Multipliziere die Klammern aus und fasse soweit wie möglich zusammen und gib dasErgebnis vollständig gekürzt an

(a) 5a2( 1a− b) − 3a(a + b) − a

(b) m3( nm

− 1m2 ) − m

n( 1

n− 2n

m)

(c) 7x4( 3yx3 − 3y

x2 ) − xy(2y2

2− 2xy3

4)

(d) (3x + 2y + 4z)(8x − (−2y) + 3z)

3. Multipliziere die folgenden Terme und gib das Ergebnis maximal gekürzt an

(a) a5

6· 3

a2

(b) 14a7

3b2· 21b4

7a6

(c) 35x2y3

7x· 14xy

20y4

(d) 24ab28a2c

· 7c3

6b7

4. Kürze die folgende Bruchterme soweit wie möglich

(a)

144a7b9c11

108a11b7c9

(b)

420x15y18z

84z22y13x14

(c)

210xx6y3z2

126x5y3z2


(d)

168s4t2u3

336t3s4u2

(e)

180w2v3u

420w4u3v4


Aufgaben Modellieren mit Termen

1. Der Bremsweg eines Wagens wird in der Fahrschule über den nachfolgenden Term er-mittelt

s(x) =x2

100+

x

3

Dabei steht x für die Geschwindigkeit in kmh

. Der Bremsweg wird dabei in m gemessen.

(a) Ermittle den Bremsweg, wenn das Kraftfahrzeug eine Geschwindigkeit von 550 mh

gefahren ist.

(b) Ermittle durch Rechnung, um welchen Faktor sich der Bremsweg ändert, wenn dieGeschwindigkeit sich verdoppelt.

(c) Bei herbstlichen Straßenverhältnissen vergrößert sich der Bremsweg eines Fahrzeugaufgrund von schlechterer Haftung auf der Fahrbahn um 20%. Ermittle, um wieviele m sich der Bremsweg unter diesen Bedingungen vergrößert, wenn das Automit einer Geschwindigkeit von 60 km

hfährt.

2. Ein Quader besitzt als Länge x. Seine Höhe ist um 20 cm größer als die 80% der Länge.Die Breite ist um 35 cm kürzer als die doppelte Länge.

(a) Stelle Breite und Höhe als Term dar.

(b) Bestimme das Volumen V (x) als Term und fasse ihn soweit wie möglich zusammen.

(c) Bestimme die Oberfläche des Quaders als Term und fasse ihn soweit wie möglchzusammen.

3. Ein Trapez besitzt die Höhe x. Die längere der beiden parallelen Seiten ist 5 cm kürzerals das Dreifache der Höhe. Die kürzere parallele Seite ist um 45% kleiner als die längereParallele.

(a) Stelle beide parallelen Seiten als Term mit der Variablen x dar.

(b) Bestimme den Flächeninhalt des Trapezes A(x) als Term und fasse diesen soweitwie möglich zusammen.

(c) Die Höhe des Trapezes wird um 20% gekürzt. Ermittle rechnerisch, um wieviel %sich der Flächeninhalt des Trapezes sich reduziert.

4. Ein Dachstuhl stellt einen halben Quader dar. Dabei ist x die Länge dieses Dachstuhls.Die Länge und die Breite des Dachstuhls sind gleich lang und sind um 2 m länger alsein Viertel der Länge.

(a) Zeichne den Dachstuhl als halben Quader mit den Maßen l = 8 cm und b = h =2 cm..

(b) Stelle einen Term für die Breite und Höhe des Terms auf und fasse ihn soweit wiemöglich zusammen.


(c) Bestimme einen Term, mit dessen Hilfe man den Rauminhalt des Dachstuhls be-stimmen kann und fasse dein Ergebnis soweit wie möglich zusammen.

(d) Bestimme für die Oberfläche des Dachstuhls einen Term und fasse deinen Ergeb-nisterm soweit wie möglich zusammen.


Aufgaben zur Gleichung

1. Löse die folgenden Gleichungen über Äquivalenzumformungen

(a)

1

3x − 2 = 1

2

3x + 6

(b)

2

5x − 1

4=

2

3− 1

4x

(c)

3

8− 3

7x =

2

3x +

3

4

(d)

6

7− 2

5x =

5

4x − 0,3

(e)

6x − 7 = 5x + 0,4

2. Fasse zunächst die Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammen und löse anschlie-ßend die vereinfachte Gleichung mit Hilfe von geeigneten Äquivalenzumformungen

(a)

(6x − 2)(2x − 3) = (3x − 4)(4x + 2)

(b)

(1

2x − 3)(4x + 2) = (x − 3)(2x + 5)

(c) (0,3x − 5

)(3x + 2) = (x − 4)(x + 1)

(d) (2

3x + 2

)(1,5x − 5) = (0,3x + 1)(3x + 2)


3. Gegeben ist die folgende Gleichung

x2 = 2x + 3

(a) Lege für den Term der linken und der rechten Seite eine Termwerttabelle an für−3 < x < 3 an.

(b) Lege ein Koordinatensystem an mit −4 < x < 4 und −4 < y < 10 an und zeichnefür beide Terme den Graphen in dieses Koordinatensystem ein.

(c) Überlege und begründe, welche Bedeutung die Schnittpunkte der beiden Graphenhaben.

(d) Bestimme mit Hife der gezeichneten Graphen die Lösung der Gleichung.

(e) Führe für die gefundenen Lösungen die Einsetzprobe durch und kommentiere dieErgebnisse der Einsetzprobe.


Aufgaben zur Vertiefung

1. Fasse die folgenden Terme soweit wie möglich zusammen

(a) (3a − 4b)(a − 6b) + (5a − 2b)(3a − 7b)

(b) (5m − 3n)(−2n − 4m) − (n2 − 3mn) + 5mn − 3n(m + n)

(c) (8n − 4m)(5m − 6n) + (4m − 8n)(5n − (−3m))

(d) (4x − 5y)(3x + 2y) + (−2xy) − 3x(x − y)

2. Löse die folgenden Gleichungen durch Anwendung der Äquivalenzumformungen

(a) x2 − 5(x − 3) = (x − 2)(x + 3)

(b) (x − 4)(6x + 1) = (2x − 3)(3x − 5)

(c) (4x − 5)(5x + 22) = (10x − 3)(2x + 7)

(d) (6x + 5)(4x − 5) = (8x − 6)(3x + 6)

3. Löse die folgenden Gleichungen mit einer Tabelle und graphisch mit einem Koordinaten-system

(a) x2 = 7x − 10 mit x aus [−1; 6]

(b) x2 = 9x − 20 mit x aus [3; 7]

(c) x2 = 8x − 12 mit x aus [1; 7]

(d) x2 = 12x − 35 mit x aus [5; 8]

4. Bestimme einen Term, der folgendes ausdrücken kann und fasse diese soweit wie möglichzusammen:

(a) Die Grundlinie eines Dreiecks ist um 35% größer als die Höhe x. Bestimme denFlächeninhalt.

(b) Die Länge eines Quaders ist fünfmal größer als die Breite x, die Höhe um 2 kleinerals die Länge. Bestimme die Oberfläche.

(c) Bei einem Parallelogramm ist die Höhe um 45% kleiner als die Grundlinie. Bestimmeden Term für den Flächeninhalt, wenn die Grundlinie x ist

(d) Bei einem gleichschenkligen Trapez ist die kürzere der beiden parallelen Seiten x cmlang. Die zweite parallele Seite ist gegenüber der ersten Parallele um 8 cm länger.Die Höhe ist um 4 cm kürzer als die längere der beiden Parallelen. Bestimme denFlächeninhalt des Trapezes.


Aufgaben zur Prozentrechnung

1. Der Masseverlust beim Mahlen von Weizen beträgt 17%. Ermittle rechnerisch, welcheMasse die Ernte eines Landwirts besitzt, wenn er 46 Säcke mit je 57 kg Weizen zurMühle bringt.

2. Aus dem Alltag

(a) Ein Toastgerät kostet 48,50 Euro. Der Händler gewährt dem Kunden einen Rabattvon 5%. Berechne den neuen Preis des Geräts.

(b) Ein Händler verkauft von einer Stoffart den Meter für 48 Euro. Dabe erzielt ereinen Gewinn von 33,3%. Bestimme den Einkaufspreis des Händlers und ermittleden Gewinn in Euro.

(c) Die Luft besteht im Normalfall aus 21% Sauerstoff und 79% Stickstoff. Bestimme,wie viel hl in einem Klassenzimmer mit der Länge 15 m Länge, 10 m Breite und3,8 m Höhe von jeder Gasart vorhanden.

3. In einem Container werden von einer Ware 63 Pakete verschickt. Jedes Paket hat eineMasse von 250 kg. Bestimme wie viel % das Nettogewicht der Fracht beträgt, wenn 1kg 25 Euro kostet und die Gesamtfrachtkosten 4500 Euro betragen.

4. Ein Obstgeschäft bezieht 3 Kisten Äpfel mit einer Bruttomasse von je 52 kg. Das Ver-pacungsmaterial schlägt mt 4% je Kiste zu Buche. Die Ware kostet das Geschäft imEinkauf 80 Euro, die sonstigen Ausgaben belasten das Geschäft nochmals mit 17%. Er-mittle rechnerisch zum welchem Kilogrammpreis das Obst verkauft werden muss, wennder Gewinn 28% betragen soll.

5. Ein Verein bestellt bei einem örtlichen Busunternehmen eine Reise für eine 16 Personenstarke Gruppe. Die Fahrkarte kostet normalerweise 10,80 Euro. Der Unternehmer gewährtdem Verein einen Nachlass um 331

3%. Zudem erhält der Reiseleiter als 16te Person eine

Freikarte.

(a) Bestimme den Einzelpreis der Busfahrt bei diesem Vereinsausflug.

(b) Bestimme, um wie viel % die Fahrt zusätzlich jedem Teilnehmer billiger kommt,wenn die Freifahrt auf alle Reiseteilnehmer umgelegt wird.


Aufgaben zur Wiederholung

1. Die Klasse 7x des Schlauberger- Gymnasiums macht eine Umfrage über die Dauer derHausaufgabe innerhalb einer Woche. Dabei werden nur die Hausaufgaben statistisch er-fasst, zusätzliche Lernzeiten bleiben unberücksichtgt. Das Ergebnis wird in der folgendenHäufigeitstabelle zusammengefasst.

Mathematik Deutsch Englisch Latein Physik mündlich4h 35min 3h 20 min 2h 22min 4h 35min 2h 10min 1h 10 min

(a) Die Klasse hat insgesamt 120 Schüler befragt. Erkläre, wie die einzelnen Werte inden Spalten zustande gekommen sein müssen.

(b) Bestimme alle statistischen Merkmale (Mittelwert, Median, Modalwert, Minimum,Maximum und Spannweite)

(c) Stelle die Daten in einem Säulendiagramm graphisch dar. Zeichne in dieses Dia-gramm zusätzlich den Mittelwert ein und kennzeichne farbig den Median und denModalwert.

(d) Bestimme alle relativen Häufigkeiten und fertige mit diesen ein Kreisdiagramm an.

2. Ein Elektromarkt wechselt im Frühjahr sein Sortiment und will daher seine Auslaufmo-delle vorher verkaufen. Deshalb reduziert er die Preise um 15%. Nach der Rabattaktionkostet ein Fernseher noch 450 Euro. Berechne, wie viel der Fernseher regulär gekostethat.

3. Eine Modeboutique verkauft im Sommerschlussverauf ein Kleid für 2200 Euro. Vor derPreissenkung kostete das gleiche Kleid 2500 Euro. Ermittle, um wie viel % das Kleidverbilligt wurde.

4. Ein Kapital wird von einem Geldinstitut mit 3% per anno verzinst. Am Ende der 3jährigen Laufzeit erhält der Kunde insgesamt 2180 Euro. Die Jahreszinsen wurden vonder Bank am Jahresende jeweils ausbezahlt. Ermittle durch Rechnung, welches Kapitalder Kunde auf der Bank ursprünglich angelegt hatte.

5. Eine Bank verzinst ein Guthaben voon 2000 Euro mit 1,5% per anno. Es werden dieZinsen am Jahresende jeweils ausgezahlt. Ermittle durch Rechnung die Laufzeit derKapitalanlage, wenn der Kunde insgesamt 2120 Euro ausbezahlt bekommt.


Aufgaben zur Vertiefung

1. Nach einer Laufzeit von 1 Jahr und 4 Monate erbringt ein Kapital von 3200 Euro einenZinsertrag von 128 Euro. Berechne den Zinssatz, zu dem das Kapital angelegt wurde.Die Jahreszinsen werden von der Bank ausgezahlt.

2. Herr Redlich legt auf der Bank ein Kapital von 3500 Euro an. Die Jahreszinsen werdenvon der Bank ausgezahlt, wobei der Jahreszinssatz 2,0% beträgt. Nach einer bestimmtenLaufzeit erhält Herr Redlich 87,50 Euro Zinsen. Ermittle die Laufzeit der Geldanlage.

3. Frau Eilig legt bei ihrer Hausbank eine Summe von 2700 Euro an. Es wird vereinbart,dass die Bank die Jahreszinsen am Jahresende auf das Girokonto von Frau Eilig auszahlt.Nach einer Laufzeit von drei Jahren hat Frau Eilig von der Bank insgesamt 2862 Euroerhalten. Ermittle durch eine Gleichung den Zinssatz der Geldanlage von Frau Eilig.

4. Eine Bank wirbt mit folgendem Text: Wir verzinsen ihr Kapital von 2500 Euro in denersten 4 Monaten der Geldanlage mit 2,0% und die restlichen Monate mit 3,5% Zinsen.

(a) Berechne das Kapital, dass ein Kunde nach einem Jahr bei dieser Anlage erhält.

(b) Ermittle, welcher Zinssatz bei einer anderen Geldanlage gezahlt werden muss, damitman den gleichen Zinsertrag erhält wie bei der Geldanlage aus der Werbung.

5. Ein Kreditinstitut verleiht einen Kredit über 5000 Euro zu einem Zinssatz von 4,5%.Legt ein Kunde bei der Bank hingegen einen Betrag von 7500 Euro an, dann erhälter die gleichen Zinsen, die der Kreditnehmer an die Bank bezahlen muss. Ermittle denZinssatz, den die Bank ihrem Kunden bei der Geldanlage anbietet.

6. In einem Elektrowarengeschäft kostet ein Fernsehgerät nach einer Rabattaktion, bei derdie Preise um 15% gesenkt wurden noch 204 Euro. Ermittle durch Rechnung, wie vielEuro sich ein Kunde spart, wenn er den Fernseher nach und nicht vor der Preissenkunggekauft hat.

7. Löse die folgenden Gleichungen nach der Unbekannten x auf

(a) 4(x − 6) − 3(2x + 3) = 3(3x − 12)

(b) 2(2x + 3) + 5(3 − x) = (3 − x)4

7. Jahrgangsstufe– Mathematik – Aufgaben– Arbeitsblatt 1 … · 2018. 4. 20. · 7....

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