7. Izvod Funkcije i Primene

IZVOD FUNKCIJE

Diferencijalni račun

• Problemi tangente i brzine, kao i problemi ekstrema, tj. minimuma i maksimuma postepeno su podsticali nastajanje pojma izvoda. Mnogi matematičari još od antičke Grčke uspevali su da reše neke od ovih problema za pojedinačne slučajeve.

• Tek kada je Dekart definisao metodu koordinata omogućeno je da se krive predstavljaju jednačinama, tako da je stvoren osnovni preduslov za pojavu opšte metode za analitičko rešavanje ovih problema , odnosno za definisanje pojma izvoda.

• Danas, diferencijalni račun, predstavlja nezaobilazno sredstvo u rešavanju mnogih problema savremene nauke i tehnike.

• Problem tangente prvi je rešio nemački matematičar i filozof Lajbnic definišući novu oblast matematike pod nazivom diferencijalni račun.

• U isto vreme Njutn je definisao izvod kao posledicu istrživanja fenomena kretanja.

• To su bile dve idejno i metodolški različite koncepcije koje su dovele do istog rezultata.

• G. Leibniz (1646-1716) I. Newton (1642-1727)

PRIRAŠTAJ FUNKCIJE

• Neka je data funkcija y=f(x) definisana u okolini tačke x.

• Proizvoljnu malu veličinu nazivamo priraštaj argumenta .

Kada se nezavisna promenljiva promeni od x do , tada se vrednost funkcije promeni od do , tj. za veličinu

koja se naziva priraštaj funkcije.

f x x

y f x f x x f x

x x f x

x

IZVOD FUNKCIJE

Ako postoji granična vrednost

tada kažemo da je prvi izvod funkcije u datoj tački x.

Postupak nalaženja izvoda naziva se diferenciranjem. Funkcije koje imaju izvod nazivaju se diferencijabilne funkcije.

0 0

lim limx x

f x x f xyy f x

x x

f x f x

OSNOVNA PRAVILA DIFERENCIRANJA

, .c f x c f x c const

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

2

, 0f x f x g x g x f x

g xg x g x

TABLICA OSNOVNIH IZVODA

y f x y f x

1

1. 0

2. ,

13.

21

4. logln1

5. ln

6. ln

7.

8. sin cos

9. cos sin

n n

a

x x

x x

y y

const

x n R nx

xx

xx a

xx

a a a

e e

x x

x x

Primer 1

Naći prvi izvod sledećih funkcija korišćenjem tablice izvoda:

2

1

2

13 3

3

3

) ,

) ,

) ,

) 2 ,

) 3 2 3,

a y x

b y x x

c y x x

d y x

e y x x

Primer 1


2 2 1

1 1 11

2 2 2

1 1 21

3 3 3 3

3 2

3 3 2 2

3 3 2

) , 2 2

1 1 1) ,

2 2 2

1 1 1) ,

3 3 3

) 2 , 2 2 3 6

) 3 2 3, 3 2 3 9 2

a y x y x x

b y x x y x xx

c y x x y x xx

d y x y x x x

e y x x y x x x

Primer 2


2

2

) ,

) ln ,

) ,1

x

x

a y xe

b y e x

xc y

x

Primer 2


2 2 2 2 2 22

2 2 22 2 2 2

) ,

) ln , ln ln ln

1 1 2 1 2 2) ,

1 1 1 1

x x x x x

xx x x x

a y xe y x e x e e xe

eb y e x y e x e x e x

x

x x x x x x x xx xc y y

x x x x

IZVOD SLOŽENE FUNKCIJE

• Složene funkcije su oblika :

12

2

2 6

2

2 1 ,

1,

,

sin 2 ,

sin .

x

y x

y x

y e

y x

y x

IZVOD SLOŽENE FUNKCIJE

Ako je data složena funkcija gde je funkcija

diferencijabilna u tački x , a funkcija diferencijabilna u tački

onda je

F x f g x g x

f u u g x

F x f g x g x

Primer 3Naći izvod sledećih složenih funkcija:

2

332

2

) 3 2

) ,

) 1,

) ln 2 5 ,

x

a y x

b y e

c y x

d y x

Primer 3Naći izvod sledećih složenih funkcija:

2 2 2

332

32 32 322 2 2 2

2

2 2

2 2 2

) 3 2

33 3 2 3 2 33 3 2 4 132 3 2

) , 2

1 2) 1, 1

2 1 2 1 11 2

) ln 2 5 , 2 52 5 2 5

x x x

a y x

y x x x x x x

b y e y e x xe

x xc y x y x

x x x

d y x y xx x

IZVODI VIŠEG REDA

Neka je diferencijabilna funkcija, tj postoji njen izvod .

Ako postoji izvod, funkcije izvoda , on se definiše kao drugi izvod funkcije i

obeležava sa . Na sličan način se definišu

Izvodi višeg reda funkcije definišu se kao:

f x f x

f x 4, ,.........f x f x

0 1, , 0,1,2n nf f f f n

Primer 4Odrediti drugi izvod funkcije

Rešenje:

3 22 4f x x x

23 4

6 4

f x x x

f x x

Primer 5Odrediti drugi izvod funkcije 2xf x e


Rešenje:

2xf x e

2 2

2 2 2 2

2

2

2

2

2

2 2 2 2

4 2

x x

x x x x

x

f x e x x e

f x x e x e e x e

e x

Primer 6Odrediti drugi izvod funkcije 21f x x


Rešenje:

21f x x

2 2

22 2

2

2 22

22

2

2 2 2

12

2 1 11

1 21 12 1

11

111

1 1 1

xf x x

x x

x x xx x x xxf x

xx

xx

xx x x

Primer 7Odrediti treći izvod funkcije 2 lnf x x x

Primer 7Odrediti treći izvod funkcije

Rešenje:

2 lnf x x x

2 2 2 1ln ln 2 ln 2 ln ,

12 ln 2 ln 1 2ln 2 1 2ln 3,

2.

f x x x x x x x x x x xx

f x x x x x x x xx

f xx

LOPITALOVA TEOREMA

Ako su funkcije i diferencijabilne u nekoj okolini tačke a , pri

čemu je ili i , tada je:

f x g x

lim lim 0x a x a

f x g x

0g a

lim limx a x a

f x f x

g x g x

• Primer 1

0

2

0

0

sinlim

6 2lnlim

lim ln

lim

x

x

x

x

x

x

xx

x

x x

x

01 20 0

0 0

2 2

0 0 0 0 0

2 2

1

limln 1

lim ln lim lln

0 0

sinlim limcos 1

26 2ln 1

lim lim lim 02

1 1ln

lim ln lim lim lim lim 01 1 1

lim limx

xx x

x x

x x x

x x x x x

xx

x xx x x x

x x

xx

x

x xx x x

x x xx x x

x x x

x e e e e e

0im

0 1xx

e

• Primer 2

2

2

30

2

3

20

0

8 5lim

2 6sin

lim

lim

cos 1lim

1 1lim

1

x

x

x

x

x

xx

x x

x xx x

x

e

x

x

x

x e

• Primer 2 2

2

3 20 0 0 0

2 2 2 2

3 2

20 0 0

8 5 2 8 1lim lim

2 6 4 6 2sin 1 cos sin cos 1

lim lim lim lim3 6 6 6

2 4 8lim lim lim lim

3 6 61 sin

cos 1 12 coslim lim lim2 4

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x xx x x x x

x x x

e e e e

x x xx

x xx x

0 0 0

0 0

sin 1 1

4cos

1 1 1 1lim lim lim

1 11

1 1lim lim

2 2

x x

x x xxx x x

x

x x xx x

x

x x

e x e

x e e xex e

e

e e xe x

RAŠĆENJE I OPADANJE FUNKCIJE

Neka je funkcija diferencijabilna na i ako je za

• , funkcija je strogo rastuća,

• , funkcija je strogo opadajuća.

f x ,a b ,x a b

0f x

0f x

Primer 1Ispitati monotonost sledećih funkcija:

3 21) , ) , ) 2 3.a f x x b f x c f x x x

x

Primer 1Ispitati monotonost sledećih funkcija:

Rešenje:

a) Izvod funkcije je . Kako je za

funkcija je stalno rastuća.

b) Izvod funkcije je . Kako je za

funkcija je stalno opadajuća.

c) Izvod funkcije je Kako je za

a, za zaključujemo da funkcija raste za

, a opada za

3 21) , ) , ) 2 3.a f x x b f x c f x x x

x

3f x x 23f x x 0x R f x

1f x

x 2

1f x

x

2 2 3f x x x 2 2.f x x 0f x 1x

0f x 1,x 1,x

,1 .x

0x R f x

EKSTREMNE VREDNOSTI FUNKCIJE

• Funkcija f(x) definisana na (a,b) imaće maksimum u tački ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te tačke ,

a imaće minimum u tački ako i samo ako je za svako x koje pripada nekoj okolini te tačke .

Minimum i maksimum funkcije se nazivaju ekstremima funkcije.

1 ,x a b 1f x f x

2 ,x a b 2f x f x

ODREĐIVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOĆU IZVODA

• Ako diferencijabilna funkcija y=f(x) ima u tački ekstrem

(maksimum ili minimum), tada je u toj tački

Iz navedenog uslova sledi da, ako je funkcija diferencijabilna, tada ona može imati ekstremum samo u tačkama u kojima je njen izvod jednak nuli, obratan zaključak ne važi.

Tačke u kojima je nazivaju se stacionarnim tačkama.

1x x 1 0 .f x

1 0 .f x

• Neka je stacionarna tačka funkcije y=f(x) . Ako je:

• Napomena: Predhodna teorema kaže da ako izvodna funkcija menja znak pri prolasku kroz tačku tada funkcija ima ekstrem u toj tački .

1 1 10 0 minf x za x x i f x za x x tada je f x f x

1x

1 1 10 0 maxf x za x x i f x za x x tada je f x f x

1x

• Pri ispitivanju ekstrema funkcije y=f(x) pomoću prvog izvoda određujemo:

2. stacionarne tačke, tj.

3. znak izvoda sa obe strane stacionarnih tačaka.

1. f x

0f x

f x

Primer 2

Odrediti monotonost I ekstreme funkcije

219 5 .

2f x x x

Primer 2

Odrediti ekstreme funkcije

Rešenje:Prvi izvod funkcije jeStacionarnu tačku i mogući ekstrem dobijamo rešavanjem jednačine

Da bi ova vrednost predstavljala ekstrem funkcije mora da u njoj dođe do promene znaka

prvog izvoda. Zaista za Zaključujemo da funkcija u tački x=9 ima minimum koji iznosi

219 5 .

2f x x x

9f x x

9 0 9f x x x

9, 0 9 0x f x i x f x

min 9 5f

ODREĐIVANJE EKSTREMA FUNKCIJE POMOĆU DRUGOG IZVODA

• Predpostavimo da je i da je neprekidna funkcija u nekoj okolini tačke .

• Ako je tada funkcija f(x) ima maksimum u tački

• Ako je tada funkcija f(x) ima minimum u tački

1 0f x f x1x

1 0f x

1 .x 1 0f x

1 .x

7. Izvod Funkcije i Primene

Documents

Transcript of 7. Izvod Funkcije i Primene