Гл.7.Изкълчване и загуба на...

Гл.7.Изкълчване и загуба на устойчивост. Лекции по Строителна механика — 2016 г.

Гл.7.Изкълчване и загуба на устойчивост

доц. д-р инж. Ивелин Ивановe-mail: [email protected]://ivivanov.orgfree.com

каб. 1.432, кат. Техническа механика,Русенски университет,

гр. Русе

лекции 2016 г.

1/ 34


§1.Устойчивост

Устойчиви и неустойчиви форми на деформираното състояние.

Фигура 1: Примери за загуба на устойчивост при деформиране нателата

2/ 34



Фигура 2:Изкълчване на прът

Ще разгледаме загубата на устойчивост нацентрично натиснат прът. Когатонатисковата сила F е по-малка отопределена критична сила Fкр, устойчива еправолинейната равновесна форма. Принарастване на натоварването надкритичното F > Fкр, възможна става идруга равновесна форма — криволинейната.Праволинейната е неустойчива и принай-малките смущаващи фактори, катоначална кривина на пръта, ексцентричностна прилагане на силата, допълнителнинапречни, макар и много малки сили,прътът преминава внезапно вкриволинейната равновесна форма.

3/ 34



Изкълчване на прът — внезапното преминаване нанатиснатия прът от праволинейната си равновеснаформа в криволинейна.

За да осигурим натиснатия прът срещу изкълчване енеобходимо да дефинираме допустима сила [F ], коятопредставлява намалената с коефициент на сигурност срещузагуба на устойчивост nуст критична сила Fкр:

[F ] =Fкр

nуст. (1)

Така условието за устойчивост на натиснатия прът се явява

F ≤ [F ] . (2)

4/ 34



Коефициентът на сигурност срещу загуба на устойчивост nуст еаналогичен на коефициента на сигурност при съставяне наякостните условия за другите натоварвания, но обикновено епо-голям, поради катастрофалните най-често последици отизкълчването. Той е от порядъка 1, 8÷ 3 за строителниконструкции от стомана, 5÷ 5, 5 за строителни конструкции отчугун и 4÷ 5 за машиностроителни конструкции от стомана.Често пъти вместо критичната сила Fкр ще използвамекритично напрежение σкр, което представлява критичнотонатисково напрежение в пръта или критичната сила разделенана лицето на напречното му сечение S :

σкр =Fкр

S. (3)

5/ 34


§2.Задача на Ойлер

Ойлер е разгледал задачата за натиснатия прът, който е вравновесно криволинейно положение. Така е определилминималната сила, при която това равновесно състояниесъществува, т.е. критичната сила Fкр. Да разгледаме тазизадача. Можем да отбележим, че Iz = Imin. Оста z е насоченасрещу равнината на чертежа и поради това условната линия енанесена над гредата.

Фигура 3: Задача на Ойлер6/ 34



Разглеждайки равновесието на мислено отделената лява частот деформиралия се прът (фиг. 3б), става ясно, че внапречното сечение с абсциса x имаме следните различни отнула разрезни усилия:

Nx = −Fкр ;

Mz = −Fкрv(x) .

От диференциалното уравнение на еластичната линия вравнината xy имаме:

EIminv ′′(x) = Mz .

Като заместим Mz и го прехвърлим в лявата част наравенството се получава:

EIminv ′′(x) + Fкрv(x) = 0 ,

7/ 34



което е диференциално уравнение от втора степен и можем даго представим във вида:

v ′′(x) + α2v(x) = 0 . (4)

Тук коефициентът α представлява

α2 =Fкр

EImin.

Решението на диференциалното уравнение (4) е:

v(x) = C cosαx + D sinαx , (5)

където C и D са интеграционни константи, които се определятот условията на закрепване (в случая това са граничнитеусловия).

8/ 34



От условието, че при x = 0 v ≡ 0 следва, че C = 0 и решението(5) се превръща в

v(x) = D sinαx .

От другото гранично условие, че при x = ` v ≡ 0 следва, чеD sinα` = 0, което може да е изпълнено или за D ≡ 0, или заsinα` = 0. В първия случай, когато D ≡ 0, уравнението наеластичната линия (5) се превръща в нулево, т.е. възможна есамо праволинейната форма на пръта. В случая когато D 6= 0трябва да е изпълнено условието sinα` = 0 и еластичнаталиния има форма на полувълна от синусоида. Точно тозислучай представлява случая на изкълчване, който ниинтересува.

9/ 34



Изразът sinα` е равен на нула когато α` = 0, π, 2π, . . . , nπили все едно когато α = nπ/`. От тук следва, че

Fкр

EImin=

n2π2

`2.

Най-малката критична сила се получава, когато n = 1 и тя е:

Fкр =π2EImin

`2. (6)

Последната формула се нарича формула на Ойлер и определякритичната сила за натиснат прът само в случая, когато той еставно закрепен в двата си края (Ойлеров случай). За другислучаи на закрепване трябва да се намери решение, като те сеприведат към Ойлеровия случай.

10/ 34


§3.Други закрепвания

Диференциалното уравнение (4) от задачата на Ойлер евалидно и за други начини на закрепване на натиснатия прът.За да определим интеграционните константи в решението му(5) трябва да разглеждаме всеки отделен случай на закрепване.Но той не би трябвало да променя характера на решението, т.е.формата на еластичната линия остава винаги част отсинусоида. Тогава вместо да търсим каква част от синусоидатае формата на изкълчения прът, можем да си представимформата на изкълчения прът според наложените от опоритеограничения и да търсим дължината, равна на полувълна отсинусоида. Тази дължина наричаме ефективна или приведенадължина `еф. За тази дължина на пръта критичната сила еопределена от решението на задачата на Ойлер:

Fкр =π2EImin

`2еф.

11/ 34



Отношението на ефективната дължина при дадено закрепванекъм дължина на пръта наричаме коефициент на привеждане надължината κ = `еф/`. Този коефициент показва каква част отдължината на пръта е дължината на полувълната отсинусоида, по формата на която ще се изкълчи пръта.Ефективните дължини и съответните им коефициенти напривеждане на дължините при различни начини на закрепванена натиснати пръти са дадени на фиг. 4. Формулата на Ойлерза ефективните дължини добива вида:

Fкр =π2EImin

(κ`)2. (7)

12/ 34



Фигура 4: Ефективни дължини и коефициенти на привеждане13/ 34


§4.Граници на валидност

Формулата на Ойлер е валидна докато е валиден закона наХук, т.е. докато материалът е идеално еластичен. Граничнотонапрежение за това състояние на материала е границата напропорционалност σp. Така условието за валидност наформулата на Ойлер е:

σкр ≤ σp .

Да намерим σкр.

σкр =Fкр

S=π2EImin

(κ`)2SВеличината

imin =

√Imin

S(8)

се нарича инерционен радиус на сечението.

14/ 34



В случая това е минималният инерционен радиус. Мерната муединица е като за дължина например cm или mm. Тогава

σкр =π2E(κ`imin

)2

Величината

λmax =κ`imin

(9)

се нарича стройност на пръта и е важна негова характеристика,определяща способността му да се изкълчва. В случая това емаксималната стройност на пръта. Тя е безразмерна величина.

15/ 34



Сега става ясно, че изкълчването зависи от стройността напръта и при различни начини на закрепване ще се появи вравнината, в която тя е максимална, т.е. от различнитекомбинации на инерционен радиус и коефициент на привежданена дължината, определяща е тази, за която имаме λmax.Критичното напрежение може да се изрази лесно чрезстройността на пръта:

σкр =π2Eλ2

max. (10)

От условието за валидност на формулата на Ойлер се получава:

π2Eλ2

max≤ σp .

λmax ≥

√π2Eσp

16/ 34



Въвеждаме величината гранична стройност, зависеща само отматериала на пръта:

λгр = π

√Eσp

. (11)

Тогава формулата на Ойлер е валидна, когато

λmax ≥ λгр .

За стомана модулът на еластичност е E = 200 GPa, аграницата на пропорционалност може да се приеме равна награницата на провлачване σp ≈ σs ≈ 200 MPa и тогава заграничната стройност получаваме:

λгр = π

√Eσp

= π

√200 000

200= π√

1 000 ≈ 100 .

17/ 34


§5.Нееластична област

Има много изследвания, главно експериментални, заопределяне на критичните напрежения за изкълчване нанатиснати пръти в нееластичната област, т.е. когато σкр > σpили все едно когато λmax < λгр. Резултатите отексперименталните изследвания се апроксимират с регресионниформули.Една от най-популярните формули за определяне накритичното напрежение в нееластичната област е формулатана Ясински-Тетмайер:

σкр = σ0(1− bλ) , (12)

където σ0 и b са емпирично определени коефициенти зависещиот вида на материала. Тези коефициенти могат да се намерят всправочниците или от табл. 2. Формулата на Ясински-Тетмайеропределя линейна зависимост на критичното напрежение отмаксималната стройност.

18/ 34



Таблица 1: Коефициенти във формулата на Ясински-Тетмайер

Материал σ0, MPa b,– валидностИглолистно дърво 29,3 0,00662 λmax < 100Дъб и бук 37,5 0,00733 λmax < 100Дуралуминий 380 0,00575 λmax < 50Сив чугун 776 0,01546 5 < λmax < 80Стомана 3 310 0,00368 60 < λmax < 100Въгл. стомана 469 0,00558 60 < λmax < 100Силиц. стомана 589 0,00648 60 < λmax < 100Никелова стомана 470 0,00490 22 < λmax < 86

19/ 34



Фигура 5: Зависимост на критичното (граничното) напрежение отмаксималната стройност

20/ 34



При много малка максимална стройност на пръта (под някаквастойност λ0) няма смисъл да се говори за изкълчване, защототогава прътът се изражда в масивно тяло, подложено нанатиск. Тогава якостта се определя от граничното напрежениена натиск, което е границата на провлачване σs припластичните или границата на якост σB нат при крехкитематериали. Така за критичното напрежение при натиснат прътможем да направим следното обобщение:

σкр =

σs или σB,нат , ако λmax ≤ λ0

σ0(1− b λmax) , ако λ0 < λmax < λгрπ2Eλ2

max, ако λгр ≤ λmax

(13)

21/ 34



Пример 1

Изправен прът (колона) от Ст 3 справоъгълно напречно сечение енатиснат със сила F = 150 kN.Колоната е запъната в долния сикрай и е свободна в края, където еприложена силата. Да се направипроверка за изкълчване на колоната ипри опасност да се предприематмерки чрез укрепване, като приетияткоефициент на сигурност е nуст = 3, аE = 200 GPa.

22/ 34



Закрепването е едно и също във всички възможни равнини наизкълчване. Колоната ще се изкълчи в равнината с минималнаогъвна коравина при това закрепване. Геометричнихарактеристики на сечението в равнината с минимална огъвнакоравина:

S = 6 · 4 = 24 cm4

Iz =6 · 43

12= 32 cm4

iz =

√IzS

=

√3224

= 1, 155 cm

imin = iz = 1, 155 cm , κ = 2

λmax =κ`imin

=2 · 701, 155

= 121, 2

λmax = 121, 2 > λгр = 100 =⇒ валидна е формулата наОйлер

23/ 34



Fкр =π2ESλ2

max=π200 · 109 · 24 · 10−4

121, 22 =

= 322, 4 · 103 N = 322 kN

[F ] =Fкр

nуст=

322, 43

= 108 kN

Условието за устойчивост не е изпълнено, защотонатоварването е по-голямо от допустимата сила:

F = 150 kN > [F ] = 108 kN

Трябва да се вземат мерки чрез укрепване, например дазакрепим свободния край на колоната в равнината смаксимална стройност.

24/ 34



25/ 34



Сега имаме различни начини на закрепване в отделнитеравнини на огъване при изкълчване на пръта и се налагаизчисляването на геометричните характеристики на сечениетои за оста y :

Iy =4 · 63

12= 72 cm4

iy =

√IyS

=

√7224

= 1, 732 cm

Трябва да се изчислят стройностите и за двете оси, за да сенамери максималната стройност, определяща изкълчването:

λz =κz`

iz=

0, 7 · 701, 155

= 42, 42

λy =κy `

iy=

2 · 701, 732

= 80, 83

λmax = λy = 80, 83 < λгр = 100 λmax = 80, 83 > λ0 = 6026/ 34



Валидна е формулата на Ясински-Тетмайер σкр = σ0(1− bλ)

σкр = 310(1− 0, 00368 · 80, 83) = 217, 8 MPa

Fкр = σкрS = 217, 8 · 106 · 24 · 10−4 = 522, 7 · 103 N = 523 kN

[F ] =Fкр

nуст=

522, 73

= 174 kN

След укрепването условието за устойчивост е изпълнено:

F = 150 kN < [F ] = 174 kN

27/ 34


§6.Изкълчване на рамки

Нелинейно решение

§6.Изкълчване на рамки. 1.Нелинейно решение

Всички прави пръти никога не са абсолютно прави и то поцялата си дължина. Наличните неправилности на прътитепредизвикват наличието на ексцентритет e на прилагане насилата и поява на огъващ момент. Решаването на задачатаизисква геометрично и физично нелинейно решение за рамки.

Фигура 6: Влияние на неправилностите при изкълчване28/ 34



Геометрична коравинна матрица

2.Геометрична коравинна матрица

Да разгледаме какво е влиянието на нормалното натисковоразрезно усилие N(x) върху коравинната матрица на гредовиелемент.

Фигура 7: Определяне на коравинния коефициент от нормалноразрезно усилие

Задали сме единично завъртане на възел 1 ϕ1 = 1 катоосновни премествания и v1 = 1 като виртуално.

29/ 34




Тогава по принципа на виртуалната работа:

We = kN12 · 1 = kN

12

Елементарната работа на вътрешните сили е

dWi = N(x)du

къдетоdudv2

=dv1

dx⇒ du =

dv2

dx· dv2

dxdx

Тогава

kN12 =

∫ L

0N(x)v ′1(x)v

′2(x)dx

където v1(x) и v2(x) са функциите на еластичната линия при

v1(0) = 1 и ϕ1(0) =dv1

dx(0) = 0.

30/ 34




За всеки коравинен коефициент можем да запишем

kGij = N

∫ L

0v ′i (x)v

′j (x)dx (14)

където vi (x) или vj(x) i , j = 1, 2, 3, 4 са функции описващиеластичната линия при различни единични премествания,които се наричат Ермитови полиноми.С помощта на полиномите може да се намери геометричнатакоравинна матрица за равнинна греда:

[K′G] =N

30L

36 3L −36 3L3L 4L2 −3L −L2

−36 −3L 36 −3L3L −L2 −3L 4L2

(15)

Тази коравинна матрица е в допълнение на коравиннатаматрица за греда.

[K′e] = [K′0] + [K′G]31/ 34




Когато се решават рамки, тяхното геометрично нелинейнорешение трябва да включва геометричната елементна матрицаза всеки елемент:

[K′G] =N

30L

0 0 0 0 0 00 36 3L 0 −36 3L0 3L 4L2 0 −3L −L2

0 0 0 0 0 00 −36 −3L 0 36 −3L0 3L −L2 0 −3L 4L2

(16)

която трябва да се актуализира на всяка стъпка от решението.От коравинните матрици на елементите в глобалнакоординатна система могат да се сглобят коравинните матрицина системата:

[K0] =ne∑

e=1

[T]Te [K0]e [T]e , [KG] =ne∑

e=1

[T]Te [KG]e [T]e .

32/ 34




Определяне на загубата на устойчивост на рамкиОпределя се натоварване, което може да е номиналното Fiза рамката;Решава се линейно задачата за преместванията отноминалното натоварване и се определят Ne за всекиелемент;Изчислява се геометричната коравинна матрица KG ;Решава се задачата за собствените стойности

det([K0]− λ[KG]) = 0

Намира се най-малката собствена стойност λmin;Тази стойност е коефициентът на сигурност срещу загубана устойчивост на рамката или

Fkp,i = λminFi33/ 34




Съдържание I

1 Понятие за устойчивост

2 Формула на Ойлер за критичната сила

3 Критична сила при други начини на закрепване

4 Граница на валидност на формулата на Ойлер

5 Определяне на критичното напрежение внееластичната област

6 Изкълчване на рамкиНелинейно решениеГеометрична коравинна матрица

34/ 34

Гл.7.Изкълчване и загуба на...

Documents

Transcript of Гл.7.Изкълчване и загуба на...