BULOVA ALGEBRA BULOVA ALGEBRA

??????????????Matematiari kau da je 1+1=2, a informatiari da je 1+1=1

Informatika se zasniva na Bulovoj algebri-teorijska osnova raunaraOsnova Bulove algebre: Zakoni logikog miljenja zasnivaju se na tvrenjima koja mogu biti samo: tana i netana.

Trvenja nikada ne mogu biti delimino tana ili delimino netana.

Algebra koja analizira ovakva tvrenja, saima matematiku logiku i teoriju skupova i daje teorijsku osnovu savremenih raunarskih nauka naziva se Bulova algebra.

Slui za dizajniranje elektronskih kola, delova raunara.

Tvorac ove algebre je Dord Bul (George Boole, 1815- 1864) engleski matematiar i filozof.

Bulova ideja je bila da logiku same je u prostu algebru, pretvarajui je u matematiku.

Na taj nain stvorene su nove matematike discipline:matematika logika ili simbolina logika i algebra logike koja je nazvana Bulova algebra.

Tvorac ove algebre je Dord Bul (George Boole, 1815- 1864) engleski matematiar i filozof.Naalost, nije iveo dugo, umro je u 49-oj godini ivota, od prehlade, koju je dobio tako to je peaio dve milje po kii, kako bi stigao na predavanje, i predavao je u mokroj odei.

Sve do kasnih tridesetih godina njegova algebra nije imala nikakve praktine primene.

1937. godine naunici Nakaima i godinu dana kasnije enon su iskoristili Bulovu aglebru za analizu mrea sa relejima. Telefonija je tih godina bila u brzom razvoju, pa je bilo potrebno koristiti neki matematiki aparat kojim bi se opisivale eljene komunikacije i nain ostvarivanja veza. Od ovog trenutka Bulova algebra doivljava svoju ekspanziju.

DEFINICIJA I AKSIOME Neka je neprazan skup u kome su definisane dve binarne operacije + i *, unarna operacija , a 0 i 1 su elementi iz skupa , tada skup

nazivamo Bulovom algebrom, ako za bilo koje elemente skupa a,b,c iz skupa B vae aksiome:zatvorenosti komutativnosti distributivnosti postojanje neutralnog elementa postojanje inverznog elementa

Element 0 zove se nula element, a element 1 se zove jedinini element.

zove se komplement od a.

Operacije + i * zovu se sabiranje i mnoenje.

Oznaka za operaciju * se esto ne pie, ve se koristi oznaka .

Usvajamo i klasine konvencije prioriteta operacija. Najvei prioritet ima operacija komplementa , zatim * i najmanjeg prioriteta je operacija +.

OSNOVNE TEOREME Neka su a,b,c elementi Bulove algebre B, tada vae sledee teoreme, odnosno zakoni:zakon asocijacije

zakon idempotencije zakon nule zakon apsorbcije zakon involutivnosti De Morganovi zakoni zakon komplementa za neutralne elemente zakon saimanja

BINARNA BULOVA ALGEBRA Iako Bulova algebra moe da bude definisana i na beskonanom skupu elemenata, njena je primena u digitalnoj tehnici ograniena na algebru na binarnom skupu {0,1}.

Kako u algebrskoj logici promenljive bilo da su nezavisne ili zavisne, imaju samo vrednosti nule (0) ili jedinice(1), iz ega vidimo da se radi o diskretnim promenljivim i diskretnim funkcijama.

Ako se na skupu B={0,1} definiu operacije +,* , odnosno , prema tablicama, dobija se Bulova algebra.

0=1, 1=0

+10111010

*10110000

BULOVE FUNKCIJE Neka je neka formula . Iskazna slova p mogu da uzimaju vrednosti 1 i 0. Bulova funkcija je svako preslikavanje Bulove funkcije sa jednom i dve promenljive date su tablicom.

pF1F2F3F41110001010

pqF1F2F3F4F5F6F7F8F9F10F11F12F13F14F15F16111111111100000000101111000011110000011100110011001100001010101010101010

Tablica za Bulove funkcije ima promenljivih i funkcija , jer je

Iz tablice se moe videti da su F8, F5, F7 i F10 redom disjunkcija, konjukcija , implikacija i ekvivalencija.

Sve Bulove funkcije mogu se predstaviti iskaznim formulama

DISJUNKTIVNA I KONJUKTIVNA FORMA Algebarske Bulove funkcije se mogu predstaviti u dva oblika.

Disjunktivna forma predstavlja logiku sumu logikih proizvoda (primer):

Konjunktivna forma predstavlja logiki proizvod, logikih suma (primer):

Primer: Funkcija je zadata tabelom . Napisati konjuktivnu i disjunktivnu formu zadate funkcije

Algebarski prikaz funkcije u obliku konjunktivne forme, na osnovu zadate tabele, zapisujemo u vidu logikog proizvoda onoliko elementarnih suma koliko u tabeli ima vrsta sa vrednou funkcije 0.

pqrF11111100101010010111010000110001

Primer: Funkcija je zadata tabelom . Napisati konjuktivnu i disjunktivnu formu zadate funkcije

Algebarski prikaz funkcije u obliku disjunktivne forme, na osnovu zadate tabele, zapisujemo u vidu logikog zbira onoliko elementarnih proizvoda koliko u tabeli ima vrsta sa vrednou funkcije 1.

pqrF11111100101010010111010000110001

PRIMENA U RAUNARSTVU I TEHNICI Raunari koriste binarni brojni sistem koji ima dve cifre 0 i 1.Binarni sistem je izabran zato to raunar mora da prikae bilo koju cifru na jedinstven nain,a postoji veliki broj elektronskih sklopova koji se nalaze u dva jedistvena stabilna stanja. Ova stanja mogu biti otvoren-zatvoren, levo-desno, ukljuen-iskljuen i slino. Binarni sistem pogodan za korienje primenom matematike logike.

Jedna binarna cifra 0 ili 1 predstavlja minimalnu koliinu informacija, odnosno najmanji podatak koji se moe obraditi u raunaru i zove se bit (bit). Bit moe da reprezentuje istinu (true) i neistinu (false). Jedinica reprezentuje istinu, a nula neistinu. Logike operacije se predstavlja i kao konjukcija AND, a disjunkcija kao OR, imajui u vidu istinitosne tablice za date logike operacije. U veini raunara koristi se grupa od osam bita koja se naziva bajt (byte).

Primer: Ako primenimo operatore AND i OR na brojeve 0110110110 i 1100011101 dobiemo:

011011011001101101101100011101 AND 1100011101 OR11101111110100010100

Raunari moraju imati mogunosti da memoriu i obrauju i ne-numerike, odnosno tekstualne podatke. To su ili nizovi ( string) ili znakovi ( charcter data), zatim slova, znakovi interpunkcije, matematiki znaci, specijalni znaci i slino.Podaci ovog tipa su memorisani u obliku niza bitova. Danas se koriste ASCII i EBCDIS kod. Na primer 1111001 predstavlja slovo b.

Dakle, binarni brojevi su osnova za funkcionisanje raunara.Digitalna kola kombinuju nule i jedinice, i generiu nove nule i jedinice.Mainske instrukcije su takoe prikazane kao nizovi nula i jedinica. Svi programi napisani u asembleru ili nekom viem jeziku da bi mogli da rade moraju da budu prevedeni u nizove nula i jedinica.

PREKIDAKE EME I DIGITALNA LOGIKA KOLA

Klod Elvud enon (Claude Elwood Shannon; 1916. 2001.) bio je ameriki naunik i inenjer. Meu najznaajnija otkria ovog naunika spadaju teorija informacija i dizajn digitalnih raunara i kola.1938. godine otkrio vezu izmeu tablica istinitosti i elektrinih kola.enon je poznat kao utemeljiva informacione teorije sa svojim naunim radom objavljenim 1948. godine.Takoe se smatra utemeljivaem teorije digitalnog raunara i teorije dizajna digitalnih kola, kada je kao 21-godinji student MIT-a, napisao tezu gdje dokazuje da je primjenom Bulove algebre na digitalna elektrina kola, mogue reiti bilo koji logiki ili numeriki problem.

Prekidake eme i digitalna logika kola su tako projektovana da implementiraju principe binarne aritmetike i matematike logike. Prekidake eme su univerzalne eme koje ne zavise od tehnologije. Mogu da se realizuju na osnovu mehanikih prekidaa, elektrinih kola i slino. Digitalna elektrina logika kola su specijalizovane eme sastavljene od tano definisanih elektrinih komponenti.Iskazne formule u kojima se pojavljuju samo operacije , imaju jednu zanimljivu interpretaciju koja se koristi u tehnici, u projektovanju digitalnih kola i naziva prekidaka algebra. Iskazna slova se tretiraju kao otvoreni prekidai, a njihova negacija kao zatvoreni prekidai. Ako iskazno slovo ima vrednost p=1, smatra se da je prekida zatvoren, tj. da provodi struju, a za p=0, je otvoren, tj. da ne provodi struju.

Formula se tretira kao ema sa dva kraja sastavljena od prekidaa koji su povezani paralelno ili serijski. Tautologijama odgovaraju eme koje uvek provode struju.

Primer: Posmatrajmo prekidaku kolo-emu koje sadri prekida i sijalicu. Vrednost 1 dodeljujemo prekidaima i kada su zatvoreni, tj ako kroz njih protie struja. U suprotnom dodeljujemo im vrednost 0. Kada su prekidai redno vezani, sijalica e svetleti i kolo e imati vrednost 1 samo ako su oba prekidaa p i q zatvorena. Prema tome, ovo kolo e odgovarati iskazu p i q, odnosno i zove se AND i kolo.

Digitalno logiko kolo

p

q

p

q

p i q

Primer: Posmatrajmo prekidako kolo u kome su prekidai i vezani paralelno. Kada su prekidai paralelno vezani, sijalica e svetleti ako je ili i kolo e imati vrednost 1 ako je bar jedan prekidaa i zatvoren. Prema tome, ovo kolo e odgovarati iskazu p ili q, odnosno i zove se OR- ili kolo

Kolo sa jednim prekidaem , u kome sijalica svetli samo ako je prekida otvoren. Prema tome kolo e imati vrednost 1 ako je prekidaa zatvoren, odnosno ako je p jedako 0. Takvo kolo se zove ne kolo ili invertor.

p

q

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

u2

u3

u4

u5

un

x3

x4

x5

xn

u1

x2

x1

* / *

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

p ili q

p

q

1

ne p

p

Elementi digitalnih logikih kola osim standardnih navedenih ( i kolo, ili kolo i ne kolo ) su i sledea kola:ni kolo , odgovara logikom izrazu

nili kolo, odgovara logikom izrazu

ekskluzivno ili

p

q

p

q

p

q

Datoj formuli pridruiti prekidaku emu i digitalno logiko kolo.

p

q

r

s

p

q

r

UPROAVANJE PREKIDAKIH EMA I LOGIKIH KOLA

Minimizacija prekidakih funkcija je jedan od najvanijih praktinih zadataka. Inae metode minimizacije su raznovrsne. Najea je podela na grafike i algoritamske. Jedan od esto korienih naina u inenjerskoj praksi su Karnoove mape.

Najvanija primena Bulove algebre je da pojednostavi konstrukciju prekidakih i logikih kola.

Potrebno je da se podsetimo aksioma i teorema koje smo ve definisali, a potrebne su nam za dalji rad.

Bulovi zakoni za operaciju i Bulovi zakoni za operaciju ili

Za operacije i i ili

Teoreme minimizacijeTeoreme inverzije

Primer: Pojednostaviti izraz

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

u2

u3

u4

u5

un

x3

x4

x5

xn

u1

x2

x1

* / *

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

q ili r

r

q

PITANJA ZA PONAVLJANJEta je Bulova algebra?ta su DF i KF?Kako izgledaju prekidaka, a kako digitalna logika kola